Các bài toán về giới hạn trong đề thi olympic toán 11

NGUYỄN THỊ ANH THƯ & ĐỘI TUYỂN TOÁN 11 Các toán GIỚI HẠN sin x lim 1 x0 x NIÊN KHĨA: 2019 - 2022 LỜI GIỚI THIỆU Kính chào Quý Thầy Cô bạn học sinh thân mến! Trong q trình ơn tập để chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi, em với Đội tuyển Tốn 11 Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang vơ thích thú với Chun đề “Giới hạn” Nhằm để củng cố kiến thức, qua sưu tầm, tìm tịi học hỏi, chúng em tổng hợp số dạng toán đề thi Olympic tháng 4, Kì thi tuyển chọn học sinh giỏi, phát triển thêm số tập hay khó Chúng em hy vọng tài liệu nhỏ giúp Q Thầy Cơ bạn học sinh tham khảo, mở rộng thêm nhiều dạng tập mới, giúp ích cho bạn học sinh, anh chị ôn tập để chuẩn bị cho kì thi tới! Khi tổng hợp biên soạn, chúng em xin chân thành cảm ơn đến Thầy Nguyễn Minh Thành góp ý mặt ý tưởng hỗ trợ mặt công nghệ thông tin để giúp chúng em hoàn thiện tài liệu Ngoài ra, xin gửi lời cảm ơn đến bạn sau: Bạn Tăng Phồn Thịnh, Lớp 11A1, Niên khóa 2019 – 2022 Bạn Huỳnh Trần Nhật Quang, Lớp 11T1, Niên khóa 2019 – 2022 Bạn Nguyễn Phạm Nhật Minh, Lớp 11T2, Niên khóa 2019 – 2022 Bạn Lý Nguyễn, Lớp 11T2, Niên khóa 2019 – 2022 Bạn Nguyễn Đức Lộc, Lớp 11T1, Niên khóa 2019 – 2022 Bạn Nguyễn Minh Khoa, Lớp 11A2, Niên khóa 2019 – 2022 Cùng bạn thành viên Đội tuyển Tốn 11 Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang tham gia, đóng góp để tài liệu thêm hoàn thiện chỉnh chu Đây dự án ebook chúng em, dù cố gắng tránh sai sót, chúng em mong nhận phản hồi, góp ý từ Q Thầy Cơ bạn học sinh Kính chúc Q Thầy Cơ bạn học năm thành công hạnh phúc Đặc biệt, chúc bạn Đội tuyển Toán 11 Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang đạt kết thật cao kỳ thi tới Em xin trân trọng kính chào! Mỹ Tho, ngày 18 tháng 02 năm 2021 Nguyễn Thị Anh Thư, Lớp 11T3, Niên khóa 2019 – 2022 Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 CÁC BÀI TOÁN GIỚI HẠN TRONG ĐỀ THI OLYMPIC THÁNG TP.HCM DẠNG Bài toán giới hạn dãy số theo quy luật Phương pháp giải Thu gọn un , dựa vào tìm lim un Sử dụng định lý kẹp: “Xét dãy số (un ) , (vn ) , (wn ) Giả sử với n ta có ≤ un ≤ wn Khi lim = lim wn = L (L ∈ R) lim un = L.” Ƙ Bài Tính lim un với un = n + + + , (n ∈ N, n ≥ 3) 1! + 2! + 3! 2! + 3! + 4! (n − 2)! + (n − 1)! + n! (Đề thi Olympic Tháng TP.HCM lần Lớp 11 - Năm học 2014 - 2015) Lời giải n n = (n − 2)! + (n − 1)! + n! (n − 2)! [1 + n − + n (n − 1)] n−1 1 = = = − (n − 2)!n n! (n − 1)! n! ò n n ï 1 1 k Suy un = ∑ =∑ − = − 1)! k! 2! n! k=3 (k − 2)! + (k − 1)! + k! k=3 (k − Å ã n 1 k = lim − = Vậy lim un = lim ∑ 2! n! k=3 (k − 2)! + (k − 1)! + k! Ta có ï ị 1 1 Ƙ Bài Tính giới hạn A = lim + + + + 1.3 2.4 3.5 n (n + 2) Lời giải Å ã 1 1 = − Ta có n (n + 2) n n + Å ã Å ã n n 1 1 1 1 1 1 Suy ∑ =∑ − = − + − + − + + − k (k + 2) k=1 k k+2 n n+2 k=1 Å ã 1 1 = 1+ − − 2 n+1 n+2 Å ã Å ã n 1 1 1 Vậy A = lim ∑ = lim 1+ − − = lim − − = 2 n+1 n+2 2n + 2n + 4 k=1 k (k + 2) Å ã 1 1 Nhận xét Áp dụng tính chất = − để giải toán dạng n (n + k) k n n + k ï ị 1 Ƙ Bài Tính giới hạn B = lim + + + 1.2.3 2.3.4 n (n + 1) (n + 2) Lời giải Chuyên đề: Giới hạn Trang Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 ï ò 1 1 = − Ta có n (n + 1) (n + 2) n (n + ï1) (n + 1) (n + 2) ò ï ò n n 1 1 1 =∑ − = − Suy ∑ 1) (n + 1) (n + 2) 1.2 (n + 1) (n + 2) k=1 n (n + k=1 k (k + 1) (k + 2) ï ï ò ò n 1 1 1 Vậy B = lim ∑ = lim − = lim − = 1.2 (n + 1) (n + 2) (n + 1) (n + 2) k=1 k (k + 1) (k + 2) Nhận xét Áp dụng tính chất ï ị 1 1 = − , ∀n, k ∈ N∗ n (n + 1) (n + k) k n (n + 1) (n + k − 1) (n + 1) (n + 2) (n + k) để giải toán dạng Ƙ Bài Tính giới hạn C = lim 2021 1 + + + 1+ 1+2 1+2+3 1+2+3+ +n Lời giải 2021 2021 ò ï = lim 1 1 1 1+ + + + + + + 1+2 2.3 3.4 n (n + 1) 2.3 3.4 n (n + 1) 2 2021 2021 Å Å ã = lim ã = lim 1 1 1 1 1+2 1+2 − + − + + − − 3 n n+1 Å n+1 ã 2021 2021 2021 2021 (n + 1) = lim 1+ = = lim = lim 2n n 2− n+1 n (n + 1) Nhận xét Áp dụng tính chất cấp số cộng, ta có + + + n = tính chất sử dụng Bài toán – Dạng 1, tốn trở nên dễ dàng Ta có C = lim n Ƙ Bài Tính giới hạn D = lim ∑ ak với an = k=1 3n2 + 3n + (n2 + n) Lời giải 3n2 + 3n + (n + 1)3 − n3 1 − 3 (n + 1) n n (n + 1) (n2 + n) ñ ô n n 1 Suy ∑ ak = ∑ − = − (k + 1)3 (n + 1)3 k=1 k=1 k đ n Vậy D = lim ∑ ak = lim − = (n + 1)3 k=1 ï ò 1 √ + √ √ √ + + Ƙ Bài Tính giới hạn E = lim √ √ (n + 1) n + n n + 1+1 2+2 Ta có an = = = Lời giải (Lời giải bạn Huỳnh Trần Nhật Quang) √ √ 1 n+1− n 1 √ Ta có = = √ −√ √ √ √ = n (n + 1) n + n n + n+1 n (n + 1) n + + n n (n + 1) Chuyên đề: Giới hạn Trang Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 n ã n Å 1 1 √ Suy ∑ = ∑ √ −√ = 1− √ √ n+1 k+1 k k=1 (k + 1) k + k k + k=1 Å ã n 1 √ Vậy E = lim ∑ = lim − √ = √ n+1 k=1 (k + 1) k + k k + Ƙ Bài Cho dãy số un = 12 + 32 + 52 + + (2n − 1)2 22 + 42 + 62 + + (2n)2 Tìm giới hạn dãy số cho Lời giải (Lời giải bạn Nguyễn Phạm Nhật Minh) 12 + 22 + 32 + + (2n)2 12 + 22 + 32 + + (2n)2 Ta có un + = = 22 + 42 + 62 + + (2n)2 (12 + 22 + 32 + + n2 ) 2n (2n + 1) (4n + 1) 4n + = = n (n + 1) (2n + 1) (n + 1) 4n + Suy lim (un + 1) = lim = Vậy lim un = 2n + n (n + 1) (2n + 1) , toán xử lý dễ dàng Nhận xét Áp dụng tính chất 12 + 22 + 32 + + n2 = Å ãÅ ã Å ã 1 1− 1− Ƙ Bài Tính lim un với un = − 2 n Lời giải ãÅ ã Å ã Å 1 22 − 32 − n2 − 1 1− 1− = Ta có un = − 2 n Å 22 ã 32 n2 1.3 2.4 (n − 1) (n + 1) n + 1 = = 1+ = 2 2n n Å n ã 1 Vậy lim un = lim 1+ = n n+ Ƙ Bài Tính lim un với un = n−1 n−2 + + + n 1 + + + n+1 Lời giải ã Å ã Å ã n−1 n−2 n−1 n n n+ + + + + + + + − − − − 2 3 n n n+1 n+1 Ta có un = 1 + + + Å ã n+1 n n n n n + + + + + n− − − − n n+1 n+1 = 1 + + + 3ã n+1 Å 1 1 n n + + + +1− +1− + +1− n+1 n+1 = 1 + + + n+1 Å Chuyên đề: Giới hạn Trang Đội tuyển Tốn 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 ã 1 1 1 + + + + + + + n n+1 n+1 = n + = 1 + + + n+1 Vậy lim un = lim (n + 1) = +∞ Å Ƙ Bài 10 Tính lim un với … … … … 1 1 3.4 + + 4.5 + + 5.6 + + + n (n + 1) + n+2 un = , (n ∈ N, n ≥ 3) n + 2021 Lời giải 1 1 < n (n + 1) + (vì n ≥ ≤ < ) n+2Å n+2 … ã 1 1 ⇔ n (n + 1) + < n+ ⇔ n (n + 1) + < n+ n+2   n+2 ã n n Å 1 n (n + 1) n − n2 + 2n − Suy ∑ k (k + 1) + < ∑ k+ = −3+ = k + k=3 2 2 k=3 n2 + 2n − n2 + 2n − Mà lim = nên lim un = Do đó, ∀n ∈ N, n ≥ ta có < un < (n3 + 2021) (n3 + 2021) Ta có n (n + 1) + Ƙ Bài 11 Tính lim un với un = 2.22 + 3.23 + + n.2n (n − 1) (2n + 1) Lời giải Cách (Lời giải bạn Tăng Phồn Thịnh) Đặt Sn = 2.22 + 3.23 + + n.2n Khi Sn + = + 2.22 + 3.23 + 4.24 + 5.25 + + n.2n = + 22 + + 2n + 22 + 23 + + 2n + + 2n−1 + 2n + 2n 2n−1 − 22 2n − 21 (1 − 2n ) 22 − 2n−1 + + + + = 1−2 1−2 1−2 1−2 n) (1 − = (n − 1) 2n+1 + = n.2n+1 − + 22 + + 2n = n.2n+1 − 1−2 Suy Sn + = (n − 1) 2n+1 + ⇔ Sn = (n − 1) 2n+1 Sn (n − 1) 2n+1 2n+1 Vậy lim un = lim = lim = lim n = lim (n − 1) (2n + 1) (n − 1) (2n + 1) +1 Å ãn = 1+ Cách Ta có n.2n = (n − 1) 2n+1 − (n − 2) 2n , ∀n n n ỵ ó Suy ∑ k.2k = ∑ (k − 1) 2k+1 − (k − 2) 2k = (n − 1) 2n+1 k=2 k=2 (n − 1) 2n+1 2n+1 = lim = lim (n − 1) (2n + 1) 2n + Å ãn = 1+ …   … un 1 1 1 Ƙ Bài 12 Tính lim với un = + + + + + + + + + n 2 n (n + 1)2 Vậy lim un = lim Lời giải Chuyên đề: Giới hạn Trang Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang   1 Ta có + + = n (n + 1)2 = n2 (n + 1)2 + (n + 1)2 + n2 n2 (n + 1)2 n2 n2 + 2n + + + (n + 1)2 n2 (n + 1)2 n2 + n + Niên khóa: 2019 - 2022 = n4 + 2n2 (n + 1) + (n + 1)2 n2 (n + 1)2 1 n2 + n + = 1+ = 1+ − n (n + 1) n (n + 1) n n+1 n2 (n + 1)  ã n n Å 1 1 Suy un = ∑ + + = ∑ 1+ − = n+1− k k k+1 n+1 (k + 1) k=1 k=1 n+1− 1+ + 2n un n n + = lim n = Vậy lim = lim = lim n n n (n + 1) 1+ n = = Ƙ Bài 13 Cho f (n) = n2 + n + un = + Xét dãy số (un ) với f (1) f (3) f (5) f (2n − 1) , ∀n = 1, 2, 3, f (2) f (4) f (6) f (2n) √ Tính lim n un Lời giải 2 Ta có f (n) = n2 + n + + = nỵ2 + + 2n ón2 + + n2 + = n2 + n2 + 2n + = n2 + (n + 1)2 + ỵ ó (2n − 1) + 4n2 + f (2n − 1) (2n − 1)2 + ó= ỵ Suy = f (2n) (2n + 1)2 + (4n2 + 1) (2n + 1)2 + 12 + 32 + (2n − 1)2 + = = 2 2 +1 +1 2n + 2n + + (2n + 1) (2n + 1) … 1 √ √ = Vậy lim n un = lim n 2n2 + 2n Khi un = DẠNG Bài tốn giới hạn có chứa thức Phương pháp giải Sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để khử thức đồng thời làm xuất nhân tử chung để khử dạng vô định Các công thức nhân lượng liên hợp cần nhớ: √ A − B2 A±B = √ A∓B √ A ± B3 A±B = √ √ A2 ∓ B A + B2 √ √ − 2x − x − + 2x − √ Ƙ Bài 14 Tính giới hạn A = lim √ x→2 2x − + 6x − − 2x (Đề thi Olympic Tháng TP.HCM lần Lớp 11 - Năm học 2014 - 2015) Lời giải Chuyên đề: Giới hạn Trang Đội tuyển Tốn 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 Cách (Lời giải √ bạn Nguyễn Thị √ Anh Thư) − 2x − − x − − + (x − 2) √ Ta có A = lim = √ x→2 2x − − + 6x − − − (x − 2) Å ã (x − 2) 2 (x − 2) −√ + (x − 2) (x − 2) − √ −√ +2 −√ x−1+1 x − + − 2x + − 2x + Å ã = lim = lim 6 (x − 2) (x − 2) x→2 x→2 √ +√ −2 (x − 2) √ − (x − 2) +√ 2x − + 6x − + 2x − + 6x − + √ √ − 2x − x−1−1 √ +1− √ +√ 1− √ x−1+1 x−1+1 − 2x + − 2x + √ √ = lim = lim x→2 − 2x − x→2 − 6x − √ −1+ √ −1 √ +√ 2x − + 6x − + 2x − + 6x − + 2 (x − 2) x−2 − √ − √ + √ + √ 2 2 x−1+1 x−1+1 − 2x + − 2x + = lim = lim = 2 (x − 2) (x − 2) x→2 x→2 − √ − √ − √ − √ 2 2 2x − + 6x − + 2x − + 6x − + Nhận xét Bài toán thuộc dạng nên ta phải tìm cách khử nhân tử chung làm cho tử mẫu 0 Cụ thể toán ta cần tạo nhân tử x − 2.Do √ để tìm√được lượng liên hợp thích hợp cho − 2x = − 2.2 =    √   x − = √2 − = √ thức, ta thay x = vào thức sau √  2x − = 2.2 − =    √ √ 6x − = 6.2 − = √ − 2x −    √   x−1−1 Vậy lượng liên hợp cần tạo √  2x − −    √ 6x − − Cách √ √ √ √ − 2x − x − + 2x − − 2x − (3 − x) + x − x − √ √ = lim √ Ta có A = lim √ x→2 x→2 2x − − (x − 1) + 6x − − (x + 1) 2x − + 6x − − 2x − 2x − (x − 3)2 x2 − (x − 1) (x − 2)2 (x − 2)2 √ √ √ + −√ + x+2 x−1 − 2x + − x − 2x + − x x + x − = lim = lim x→2 2x − − (x − 1)2 6x − − (x + 1)2 x→2 (x − 2)2 (x − 2)2 √ + √ −√ −√ 2x − + x − 2x − + x − 6x − + x + 6x − + x + 1 1 √ −√ + − + − 2x + − x x + x − = = = lim 1 1 x→2 −√ −√ − − 2x − + x − 6x − + x + Nhận xét Bài toán thuộc dạng nên ta phải tìm cách khử nhân tử làm cho tử mẫu 0, ta tìm 0 lượng liên hợp để tạo nhân tử chung x − tử mẫu Cách lúc sau dạng nên phải tiếp tục liên hợp để tạo nhân tử chung “khá vất vả” Nếu để ý x = nghiệm kép tử mẫu, ta tìm cách liên hợp để xuất nhân tử (x − 2)2 • Cách kiểm tra nghiệm kép đa thức Bấm √ d √ − 2x − x − + 2x − dx Chuyên đề: Giới hạn x=2 √ d √ 2x − + 6x − − 2x dx kết x=2 Trang Đội tuyển Tốn 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 đa thức nhận x = nghiệm kép d đạo hàm hàm số f (x) x = x0 Chú ý Kí hiệu ( f (x)) dx x=x0 • Cách liên hợp để tạo nhân tử (x − 2)2 √ Đặt − 2x = ax + b Vì x = nghiệm kép nên ta có √ ® ®   − 2.2 = a.2 + b a = −1 2a + b = ä ⇔ ⇔ d Ä√ d  b=3 a = −1 = − 2x (ax + b)  dx dx x=2 x=2 √ Vậy lượng liên hợp √ cần tạo − 2x − (3 − x) Tương tự cho thức lại, lượng liên hợp   x√− x − cần tạo 2x − − (x − 1)  √ 6x − − (x + 1) √ − 2x + x − √ Ƙ Bài 15 Tính giới hạn B = lim x→1 x − − x (Đề thi Olympic Tháng TP.HCM lần Lớp 11 – Năm học 2015 - 2016) Lời giải (x − 2)2 − (3 − 2x) (x − 1)2 √ √ √ x+1+x x − − − 2x x − − − 2x √ Ta có B = lim = lim = lim − = x→1 x→1 x→1 x − − − 2x 4x − (1 + x)2 (x − 1)2 √ − √ x+1+x x+1+x Nhận xét Bài toán thuộc dạng x = nghiệm kép tử mẫu Bằng cách tạo lượng liên hợp trên, ta thấy toán đơn giản lượng liên hợp có sẵn √ √ (2x + 1) + 2x − x − − 5x − √ √ Ƙ Bài 16 Tính giới hạn C = lim x→2 (1 − 3x) x + + x 2x − + x3 Lời giải √ √ (2x + 1) + 2x − + − x − + x − √ √ Ta có C = lim x→2 (1 − 3x) x + − + x 2x − − + x3 − 5x + 2−x (2x + 1) (2x − 4) √ » + +x−2 √ + 2x + + x − + (x − 1)2 = lim x (2x − 4) x→2 (1 − 3x) (x − 2) √ +√ + (x − 2) (x2 + 2x − 1) 2x − + x+2+2 4x + √ » − +1 √ − +1 + 2x + + x − + (x − 1)2 28 = lim = 3 = − 3x 2x x→2 93 √ +√ + x2 + 2x − − +2+7 2x − + x+2+2 Ä√ ä √ Ƙ Bài 17 Tính giới hạn D = lim n2 + n + − n3 + 3n + Lời giải Chuyên đề: Giới hạn Trang Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 (Lời giải bạn Ä Minh) äó ỵÄ√Nguyễn PhạmäNhật √ n + n + − n + n − n3 + 3n + Ta có D = lim   3 2 n − n + 3n + n +n+1−n  » = lim  √ + √ 3 n + n + + n n2 + n n3 + 3n + + (n3 + 3n + 2)   n+1 −3n −  » = lim  √ + √ n2 + n + + n n2 + n n3 + 3n + + (n3 + 3n + 2)2     1+ − − 1   n n   n = lim  … + + = = … Å ã 2  1+1 1+1+1 1 1+ + +1 1+ 1+ + + 1+ + n n n2 n3 n2 n3 √ √ − x + x − √ √ Ƙ Bài 18 Tính giới hạn E = lim x→3 − x − x + (Đề thi Olympic Tháng TP.HCM lần Lớp 11 – Năm học 2016 - 2017) Lời giải √ x+1−2    √   x−2−1 Phân tích Lượng liên hợp cần tạo √ Vậy việc tách cho khéo thôi!!!  x − −    √ x+5−2 (Lời giải bạn Lý √ √ √ √ Nguyễn) √ 2− x+1− x+1 x−2−1 − x + x − √ √ √ √ √ Ta có E = lim = lim x→3 − x − x + x→3 − x + − x + x−2−1 √ √ − (x + 1) (x − 2) − x−3 (x − 3) x + √ √ − x + » − −» √ √ 3 2+ x+1 2+ x+1 (x − 2)2 + x − + (x − 2)2 + x − + √ = lim = lim √ (x − 2) − x→3 − (x + 5) x→3 x−3 (x − 3) x + » − x + √ » − − √ √ √ 3 x−2+1 x−2+1 + x + + (x + 5)2 + x + + (x + 5) √ x+1 √ − −» √ − − 2+ x+1 (x − 2)2 + x − + 11 √ = lim = = x→3 13 x+5 − −1 » −√ − √ 12 x−2+1 + x + + (x + 5)2 √ n ax + − Ƙ Bài 19 Tính giới hạn F = lim , với a = n ∈ N, n ≥ x→0 x Lời giải √ Đặt t = n ax + Suy x → t → tn − (ax + 1) − Ta có lim = lim = a x→0 x √ x→0 x n ax + − tn − Khi F = lim = lim x→0 x→0 x (t n−1 + t n−2 + + t + 1) x Chuyên đề: Giới hạn Trang Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 tn − 1 a lim n−1 n−2 = x→0 x t→1 t +t + +t +1 n Nhận xét Bài toán thuộc dạng nhận x = nghiệm chung tử mẫu √ √ Thay x = vào n ax + ta nên lượng liên hợp cần tạo n ax + − Áp dụng đẳng thức an − = (a − 1) an−1 + an−2 + + a + để nhân liên hợp giúp ta khử bậc n, toán xử lý dễ dàng = lim n Ƙ Bài 20 Tính giới hạn G = lim x→0 (2x + 1) (3x + 1) (4x + 1) − x Lời giải (Lời giải bạn Huỳnh Trần Nhật Quang) Đặt y = n (2x + 1) (3x + 1) (4x + 1) Suy x → y → (2x + 1) (3x + 1) (4x + 1) − yn − = lim = lim 24x2 + 26x + = Ta có lim x→0 x→0 x→0 x x n (2x + 1) (3x + 1) (4x + 1) − yn − Khi G = lim = lim x→0 x→0 x (yn−1 + yn−2 + + y + 1) x n y −1 = lim lim n−1 = n−2 x→0 x y→1 y +y + +y+1 n √ √ √ √ 2x + 2.3x + 3.4x + 2021 2020.2021x + − Ƙ Bài 21 Tính giới hạn H = lim x→0 x Lời giải Phân tích Thay x = vào thức, ta có lượng liên hợp cần tạo thức có dạng n+1 n (n + 1) x +√ − Khi đó,√ta có lời giải √ sau √ 2x + − 2.3x + 3.4x + 2021 2020.2021x + Ta có H = lim x→0 x √ √ √ 2.3x + − 3.4x + 2021 2020.2021x + +lim + + lim x→0 x→0 x √ 2020.2021x + − x 2021 Mặt khác, theo kết Bài toán 19 – Dạng √ n ax + − a lim = để ý lim x→0 x→0 x n Khi L = + + + 2020 = n+1 n (n + 1) x + = 1, ∀n ∈ N∗ 2020.2021 = 1010.2021 = 2041210 DẠNG Bài toán giới hạn có liên quan đến lượng giác Phương pháp giải sin x = x→0 x Biến đổi để đưa giới hạn đặc biệt lim Sử dụng định lý kẹp: “Xét dãy số (un ) , (vn ) , (wn ) Giả sử với n ta có ≤ un ≤ wn Khi lim = lim wn = L (L ∈ R) lim un = L.” Chuyên đề: Giới hạn Trang Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 √ x2 + 3x + − 6x2 + 3x Ƙ Bài 22 Tính giới hạn A = lim x→1 x − 2x + − cos (x − 1) (Đề thi Olympic Tháng TP.HCM lần Lớp 11 – Năm học 2017 - 2018) Lời giải x = nghiệm kép tử mẫu Như Bài toán 14 – Dạng 2, ta ® √ x + − 6x + sin x √ có lượng liên hợp cần tạo , sau đưa giới hạn đặc biệt lim = x→0 x x+1−2 x √ √ √ (x + 1) x + − 6x + + 6x + (x + − x) Ta có A = lim x−1 x→1 (x − 1)2 + 2sin2 ỵ ó √ (x + 1) (x + 2)2 − (6x + 3) √ (x + 1)2 − 4x (x − 1)2 (x + 1) (x − 1)2 6x + √ √ √ √ + 6x + + x+1+2 x x+1+2 x x + + 6x + x + + 6x + = lim = lim x−1 x−1 x→1 x→1 (x − 1)2 + 2sin2 (x − 1)2 + 2sin2 2 √ √ 6x + 6x + x+1 x+1 √ √ √ √ + + + x + + 6x + x + + x x + + 6x + x + + x = 13 = lim = = lim Ö è x−1 x→1 x→1 18 x−1 1+ sin2 sin 2 1+2 1+ x − (x − 1) 2 Phân tích Bài tốn thuộc dạng 3x − sin 2x + cos2 x Ƙ Bài 23 Tính giới hạn B = lim x→+∞ x2 + Lời giải (Lời giải bạn Huỳnh Trần Nhật Quang) 3x − sin 2x + cos2 x 6x + − 10 sin 2x + cos 2x Ta có B = lim = lim x→+∞ x→+∞ x2 + 2x2 + 6x + −10 sin 2x + cos 2x −10 sin 2x + cos 2x = lim + lim = lim x→+∞ 2x2 + x→+∞ x→+∞ 2x2 + » 2x2 + √ 102 + 12 sin2 2x + cos2 2x −10 sin 2x + cos 2x 101 Mặt khác, ≤ = , ∀x ≤ +4 +4 +4 2x 2x 2x √ −10 sin 2x + cos 2x 101 Mà lim = nên B = lim = x→+∞ 2x + x→+∞ 2x2 + + sin x − cos x x→0 − sin x − cos x Ƙ Bài 24 Tính giới hạn C = lim Lời giải x x x x 2x 2sin + sin cos + cos sin + sin x − cos x 2 = lim 2 = −1 Ta có C = lim = lim x x x x x→0 − sin x − cos x x→0 2sin x→0 sin − cos x − sin cos 2 2 − cos 3x x→0 sin x tan 2x Ƙ Bài 25 Tính giới hạn D = lim Chuyên đề: Giới hạn Trang 10 Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 Lời giải   3x 3x  sin2  2sin2 cos 2x x 2x − cos 3x   = lim = lim  Å ã22 cos 2x = Ta có D = lim  x→0 sin x sin 2x x→0  3x x→0 sin x tan 2x sin x sin 2x Å ã sin x Ƙ Bài 26 Tính giới hạn E = lim − tan x π cos2 x x→ Lời giải π π Đặt t = x − Suy x → t → 2   π Å ã − t sin sin x 2 π −t  x = lim  Khi E = lim − tan − tan π π cos2 x t→0 −t cos2 x→ 2 2t cost (1 − cost) t sin = = lim = lim cost 2 t→0 t→0 sin t sin t t 4 Ƙ Bài 27 Tính giới hạn F = lim (5x + 1) tan x→∞ x Lời giải Đặt t = Suy x → ∞ t → x Å ã sin 2t (5 + t) Khi F = lim (5x + 1) tan = lim + tan 2t = lim = 10 x→∞ t→0 2t x t→0 t cos 2t sin (a + 2x) − sin (a + x) + sin a , a tham số thực x→0 x2 Ƙ Bài 28 Tính giới hạn G = lim Lời giải sin (a + 2x) − sin (a + x) + sin a sin (a + 2x) − sin (a + x) + sin a − sin (a + x) = x2 ã x2 Å x x x 3x x ã ò sin cos a + sin − cos a + sin ï Å 3x x 2 2 = = cos a + − cos a + x2 x2 2 2x = − sin sin (a + x) x Ñ x é2 ï ị sin x Khi G = lim − sin2 sin (a + x) = lim lim [− sin (a + x)] = − sin a x x→0 x→0 x→0 x 2 Ta có − cos x cos 2x cos 3x x→0 − cos x Ƙ Bài 29 Tính giới hạn H = lim Lời giải Chuyên đề: Giới hạn Trang 11 Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 Cách 1 Ta có cos x cos 2x cos 3x = (cos 4x + cos 2x) cos 2x = (cos 6x + cos 2x + cos 4x + 1) 1 Suy − cos x cos 2x cos 3x = (1 − cos 2x + − cos 4x + − cos 6x) = sin2 x + sin2 2x + sin2 3x x đ 2 2 2 sin x sin 2x sin 3x sin x + sin 2x + sin 3x = lim Khi H = lim + + .4 x x 2 2 x→0 x→0 x (2x) (3x) 4sin sin2 2 = + + = 14 Cách − cos 2x − cos 3x − cos x cos 2x cos 3x = + cos x + cos x cos 2x Ta có − cos x − cos x − cos x  x    − cos 2x sin2 x   lim cos x = lim cos x .4 =   x→0 x→0 − cos x x2 sin2 x    Mà x 2 3x  sin   − cos 3x  =  = lim cos x cos 2x lim cos x cos 2x  Å ã  x→0 x→0 − cos x  3x sin2 x   2 Vậy H = + + = 14 Nhận xét Ở toán trên, làm theo Cách cho ta lời giải ngắn gọn giải toán tổng quát nhẹ nhàng − cos a1 x cos a2 x cos an x , với n ∈ N∗ x→0 x2 Ƙ Bài 30 Tính giới hạn I = lim Lời giải − cos a1 x cos a2 x cos an x Ta có I = lim x2 ã Å x→0 − cos a1 x − cos a2 x − cos an x = lim + cos a1 x + + cos a1 x cos a2 x cos an−1 x x→0 x2 x2 x2   a1 x a2 x an x sin sin sin 2  a1 + cos a x a2 + + cos a x cos a x cos a x an  = lim   1 n−1 a1 x 2 a2 x 2 an x 2 x→0 2 2 2 = a1 + a2 + + an √ √ cos x − cos x Ƙ Bài 31 Tính giới hạn J = lim x→0 sin2 x Lời giải √ √ √ √ cos x − cos x cos x − 1 − cos x Ta có J = lim = lim + lim x→0 sin2 x sin2 x å Å x→0 ã x→0 Ç sin x − cos x cos x − 1 √ = lim √ + lim √ x→0 x→0 cos x + sin2 x sin2 x + cos x + cos2 x 1 1 =− + =− 2 12 DẠNG Một số toán tổng hợp Phương pháp giải Chuyên đề: Giới hạn Trang 12 Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 Ƙ Bài 32 Cho a, b, c ba số (un ) dãy số xác định công thức √ √ √ un = a n + + b n + + c n + 3, ∀n ∈ N∗ Chứng minh lim un = a + b + c = Lời giải • Giả sử lim un = … … un n+2 n+3 Đặt = √ = a+b +c Suy → a + b + c n → +∞ n+1 n+1 n +√ Khi un = n + √ Nếu a + b + c = suy lim un = lim n + = ∞ (trái với lim un = 0) Suy a + b + c = • Giả sử a + b + c = ⇔ a = −b − c √ √ √ √ b 2c √ √ n+2− n+1 +c n+3− n+1 = √ +√ n+2+ n+1 n+3+ n+1 Suy lim un = Vậy ta có điều phải chứng minh Khi un = b Ƙ Bài 33 Cho a, b số thực thỏa mãn x2 − (a + b) x + a + b − lim = −3 lim x→1 x→0 x−1 √ √ ax + − − bx = x Tìm a b Lời giải x2 − (a + b) x + a + b − (x − 1) (x − a − b + 1) = lim = lim (x − a − b + 1) = − a − b x→1 x→1 x→1 x−1 x−1 Suy a + b =√5 (1) √ Ç√ å √ 3 ax + − − bx ax + − 1 − − bx Mặt khác lim = lim + x→0 x→0 x x x   ax bx  √ = lim  » + √ 3 x→0 x + − bx x (ax + 1) + ax + +   a b  = a + b = (2) √ = lim  » + √ x→0 (ax + 1)2 + ax + + 1 + − bx  ® a + b = a=3 Từ (1) (2) ta suy a b ⇔  + =2 b=2 Å ã a b Ƙ Bài 34 Biết a + b = lim − hữu hạn x→1ã − x − x3 Å b a Tính giới hạn L = lim − x→1 − x 1−x Ta có lim Lời giải Chuyên đề: Giới hạn Trang 13 Đội tuyển Tốn 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 ã b a a + ax + ax2 − b Ta có lim − = lim x→1 − x − x3 ã x→1 (1 − x) (1 + x + x2 ) Å b a Khi lim − hữu hạn ⇔ lim a + ax + ax2 − b = ⇔ 2a − b = −1 x→1 x→1 − x − x ® ® 2a − b = −1 a=1 Suy ⇔ a+b = b=3 Å ã Å ã b a − x − x2 Vậy L = lim − = lim − = lim x→1 − x3 x→1 − x3 x→1 (1 − x) (1 + x + x2 ) 1−x 1−x (1 − x) (x + 2) x+2 = lim = lim = x→1 (1 − x) (1 + x + x ) x→1 + x + x2 Å Ç Ƙ Bài 35 Cho hai số thực a b thỏa mãn lim x→+∞ å 4x2 − 3x + − ax − b = Tính a + 2b 2x + Lời giải (Lời giải củaÇbạn Nguyễn Minh Khoa) å 4x2 − 3x + 4x2 − 3x + − (2x + 1) (ax + b) Ta có lim − ax − b = lim x→+∞ x→+∞ 2x + 2x + (4 − 2a) x − (a + 2b + 3) x + − b = lim x→+∞ 2x +  Ç å ® a = 2 − 2a = 4x − 3x + Để lim − ax − b = ⇔ ⇔ x→+∞ b = − 2x + a + 2b + = Å ã = −3 Vậy a + 2b = + − Ƙ Bài 36 Cho hai số thực a b thỏa mãn lim Ä√ ä an2 + bn + − n = Tính a2 + b2 Lời giải ä Ä√ an2 + bn + − n2 (a − 1) n2 + bn + √ Ta có lim an + bn + − n = lim = lim √ an2 + bn + + n an2 + bn + + n (a − 1) n + b + n = lim … b a+ + +1 n n  ® a − = Ä√ ä a=1 Để lim an + bn + − n = ⇔ b ⇔ √ b=3 = a+1 2 2 Vậy a + b = + = 10 √ ax + b − Ƙ Bài 37 Cho hai số thực a b thỏa mãn lim = Tìm a b x→3 x2 − 54 Lời giải √ ax + b − ax + b − 27 » Ta có lim = lim √ x→3 x→3 x −9 (x − 9) (ax + b)2 + 3 ax + b + Chuyên đề: Giới hạn Trang 14 Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 a (x − 3) + 3a + b − 27 » √ x→3 (x − 9) (ax + b)2 + 3 ax + b +   3a + b − 27 = √   ax + b − a lim Để lim = » = √  x→3 x2 − 54  54 x→3 (x + 3) (ax + b)2 + 3 ax + b +   3a + b = 27 ®   a ⇔ a=3 ⇔ » =  b = 18  (3a + b)2 + 3√ 54  3a + b + = lim x2 − ax + b = x→2 x−2 Ƙ Bài 38 Cho a, b số thực thỏa mãn lim Tính giá trị biểu thức P = 2b − 3a Lời giải x2 − ax + b = nên phương trình x2 − ax + b = có nghiệm x = x→2 x−2 Suy 22 − 2a + b = ⇔ b = 2a − (x − 2) (x + − a) x2 − ax + 2a − = lim = lim (x + − a) = Với b = 2a − 4, ta lim x→2 x→2 x→2 x−2 x−2 x2 − ax + b ⇔ − a = ⇔ a = −1 Từ tìm đươc b = −6 Vậy P = 2b − 3a = −9 Cách Ta có lim = x→2 x − Å ã x2 − 2x + (2 − a) x + 2a − + − 2a + b − 2a + b x2 − ax + b lim = lim x + − a + Để lim =5 x→2 x→2 x→2 x−2 x−2 x−2 ® lim (x + − a) = a = −1 x→2 ⇔ Vậy P = 2b − 3a = (−6) − (−1) = −9 b = −6 − 2a + b = Cách Vì lim Ƙ Bài 39 Cho a, b số thực thỏa mãn lim 2x3 + ax2 − 4x + b x→1 (x − 1)2 = Tính a + b Lời giải Vì lim 2x3 + ax2 − 4x + b = nên phương trình f (x) = 2x3 + ax2 − 4x + b = phải có nghiệm kép x = (x − 1) Ta có f ®(x) = 6x2 + 2ax®− ® ® 2.13 + a.12 − 4.1 + b = f (1) = a+b = a = −1 Khi ⇔ ⇔ ⇔ f (1) = + 2a = b=3 6.1 + 2a.1 − = x→1 Thử lại, với a = −1, b = ta có lim 2x3 − x2 − 4x + x→1 (x − 1)2 = lim x→1 (x − 1)2 (2x + 3) (x − 1)2 = lim (2x + 3) = (thỏa mãn) x→1 Vậy a + b = x + x2 + + xn − n x→1 x−1 Ƙ Bài 40 Tính giới hạn L = lim Lời giải Chuyên đề: Giới hạn Trang 15 Đội tuyển Tốn 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 (x − 1) + x2 − + + (xn − 1) x + x2 + + xn − n = lim x→1 x→1 x−1 x−1 n−1 n−2 = lim + (x + 1) + + x +x + +x+1 Ta có L = lim x→1 = 1+2+ +n = n (n + 1) Ƙ Bài 41 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn lim x→1 Tính lim f (x) − f f (x) − = x−1 (x) − 15 x−1 x→1 Lời giải f (x) − = ⇒ lim [ f (x) − 5] = ⇔ lim f (x) = x→1 x→1 x→1 x − f (x) − f (x) − 15 [2 f (x) + 3] [ f (x) − 5] Ta có lim = lim x→1 x→1 x−1 x−1 f (x) − = lim lim [2 f (x) + 3] = (2.5 + 3) = 26 x→1 x − x→1 Vì lim Ƙ Bài 42 Cho hàm số f (x) liên tục không âm R thỏa mãn lim x→1 ó2 ỵ f (x) − ỵ ó Tính giới hạn lim √ x→1 ( x − 1) f (x) + − f (x) − = x−1 Lời giải ỵ ó f (x) − = suy lim f (x) − = ⇔ f (1) = x→1 x−1 ỵ ó2x→1 ỵ ó2 √ ỵ ó f (x) − f (x) − ( x + 1) f (x) + + ỵ ó = lim Ta có lim √ x→1 ( x − 1) x→1 (x − 1) [ f (x) − 4] f (x) + −   ỵ ó ỵ ó √ √ ( x + 1) ( x + 1) f (x) + + f (x) + + f (x) − f (x) −  = lim lim = lim  x→1 x→1 x→1 x−1 x−1 f (x) + f (x) + Ä√ äÄ ä 1+1 f (1) + + = = f (1) + Vì lim Ƙ Bài 43 Cho đa thức f (x) , g (x) thỏa mãn lim x→1 Tính L = lim x→1 f (x) − g (x) − = lim = x→1 x − x−1 f (x) g (x) + − x−1 Lời giải   f (x) −   =2  lim  lim f (x) = x→1 x − x→1 Vì ⇒   lim g (x) =  lim g (x) − =  x→1 x→1 x − f (x) g (x) + − f (x) g (x) − ỵ ó Ta có L = lim = lim x→1 x→1 (x − 1) x−1 f (x) g (x) + + Chuyên đề: Giới hạn Trang 16 Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang f (x) [g (x) − 1] + f (x) − ỵ ó x→1 (x − 1) f (x) g (x) + + f (x) f (x) − g (x) − + lim = lim x→1 x − f (x) g (x) + + x→1 x − 17 = √ + √ = 5.1 + + 5.1 + + Niên khóa: 2019 - 2022 = lim f (x) g (x) + + Å ã Ƙ Bài 44 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) + f + 9x = 0, ∀x = x x f (x) + 14 − Tính lim x→2 x2 − x − Lời giải Å ã    f (x) + f + 9x = (1)  x Å ã Từ giả thiết, thay x thành ta  x  5 f (x) + f + = (2) x x 45 Lấy (2) − (1) ta suy f (x) + − 36x = ⇔ f (x) = 4x − x x √ x f (x) + 14 − 4x2 + − (x − 2) (x + 2) Ä√ ä Khi lim = lim = lim x→2 x→2 x − x − x→2 (x + 1) (x − 2) x2 − x − 4x2 + + (x + 2) Ä√ ä= x→2 (x + 1) 15 4x2 + + = lim BÀI TẬP TỰ LUYỆN Ƙ Bài Tính giới hạn sau Å ã2 Å ãn 2 + + 1+ + 3 a) lim Å ã2 Å ãn 1 + + 1+ + 5 b) lim n + + + (2n − 1) 2n2 + n + 12 + 32 + + (2n − 1)2 c) lim n3 ï ò 1 d) lim + + + 2.4 4.6 2n (2n + 2) ï ò 1 e) lim n + + + 1.2 2.3 n (n + 1) − + − + + (2n − 1) − 2n n→∞ 2n + f) lim Đáp số: 12 Đáp số: Đáp số: Đáp số: Đáp số: +∞ Đáp số: − Ƙ Bài Tính giới hạn sau + a + a2 + + an , với |a| < 1, |b| < n→∞ + b + b2 + + bn a) lim Chuyên đề: Giới hạn Đáp số: 1−b 1−a Trang 17 Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang ã n−1 b) lim + + + , n ∈ N∗ n n n Å 2n c) lim n→∞ n! Ä√ √ √ √ ä d) lim 2n n→∞ Å e) lim n→∞ ã 2n − 2n Ƙ Bài Tính giới hạn sau √ n2 + + n6 a) lim √ n4 + + n2 √ √ n2 + + n b) lim √ n +n−n ä5 Ä ä5 Ä √ √ n − n2 − + n + n2 − c) lim n5 √ √ √ n+ n+ n √ d) lim 2n + Ç√ å √ n4 + 4n6 + e) lim − n n Ƙ Bài Tính giới hạn sau √ √ a) lim 3n − − 3n + 21 b) lim Ä√ ä √ n2 + n − n2 + c) lim Ä√ ä √ 9n2 + 2n − 8n3 + 6n + − n » d) lim n n+ e) lim n √ √ n+ n− n Ä√ ä √ n2 + 2n + − n + n3 Niên khóa: 2019 - 2022 Đáp số: Đáp số: Đáp số: Đáp số: Đáp số: Đáp số: −1 Đáp số: 32 Đáp số: √ Đáp số: −∞ Đáp số: Đáp số: Đáp số: − Đáp số: +∞ Đáp số: +∞ Ƙ Bài Tính giới hạn sau + x + x2 + x3 x→0 1+x a) lim b) lim |x − 1| x→−1 x4 + x − √ √ 3x2 − − 3x − c) lim x→2 x+1 √ + x2 − d) lim x→0 x Chuyên đề: Giới hạn Đáp số: Đáp số: − Đáp số: Đáp số: Trang 18 Đội tuyển Tốn 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang √ − 2x + x2 − (1 + x) e) lim x→0 x … … x x 1+ − 1+ … f) lim x x→0 1− 1− √ √ √ (1 − x) (1 − x) (1 − n x) g) lim , ∀n ∈ N∗ , n ≥ n−1 x→1 (1 − x) h) lim xn − nx + n − (x − 1)2 x→1 Niên khóa: 2019 - 2022 Đáp số: −2 Đáp số: 36 Đáp số: n! Đáp số: n (n − 1) Ƙ Bài Tính giới hạn sau a) lim (2x − 3)4 (5x + 3)6 (6x + 2)7 x→−∞ (3 − 2x) (6 − 3x) (7 − 2x) √ (2x − 1) x2 − b) lim x→−∞ x − 5x2 −5x + c) lim √ x→−∞ x2 + − x √ x4 − 9x3 + x2 d) lim x→+∞ x−3 Ä√ ä √ e) lim x x2 + − x2 − x→+∞ Ƙ Bài Tính giới hạn sau Å» ã √ √ a) lim 3x + 3x + 3x − 3x x→+∞ b) lim Ä√ ä 3 x + 6x2 − x c) lim ä Ä√ √ 3x3 − + x2 + x→+∞ x→+∞ Đáp số: − 125000 Đáp số: 5 Đáp số: Đáp số: +∞ Đáp số: Đáp số: Đáp số: Đáp số: +∞ d) lim √ √ √ x+2−2 x−1+ x e) lim ä Ä√ √ x2 + 2x − x2 + x + x Đáp số: −∞ f) lim Ä √ ä √ √ 4x2 − 3x + x3 − x − x2 + Đáp số: − x→+∞ x→−∞ x→+∞ Đáp số: Ƙ Bài Tính giới hạn sau sin 5x sin 3x sin x x→0 45x3 a) lim b) lim x→a sin x − sin a x−a Đáp số: Đáp số: cos a − cos3 x x→0 x sin x Đáp số: Chuyên đề: Giới hạn Trang 19 c) lim Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang d) lim (1 − x) tan x→1 πx Đáp số: π −x lim π − sin x x→ √ √ + tan x − + sin x lim x→0 x3 √ cos 3x + + sin 3x lim π + sin 3x x→ √ √ 2x2 + − 4x2 + lim x→0 − cos x √ √ − cos x cos 2x cos 3x lim x→0 x2 sin e) f) g) h) i) Niên khóa: 2019 - 2022 π Đáp số: √ Đáp số: Đáp số: +∞ Đáp số: − Đáp số: Ƙ Bài Tìm số thực a b thỏa mãn ä Ä √ a) lim ax + b − x2 − 6x + = Đáp số: a = 1, b = x→+∞ Ä√ ä 4x2 − x + ax + b = x→−∞ Ä√ ä √ c) lim ax2 + x + − x2 + bx − = Đáp số: a = 1, b = −3 ä Ä√ 3 x − 3ax2 + − bx = Đáp số: a = −5, b = 1 Đáp số: a = 2, b = b) lim x→+∞ d) lim x→+∞ x2 + ax + b = −1 x→2 x2 − Đáp số: a = 8, b = 12 e) lim f) lim x→ 8x3 − ax2 − x + b = 4x − Đáp số: a = −23, b = − f (x) − 27 Ƙ Bài 10 Cho f (x) hàm đa thức thỏa mãn lim = x→3 x −ã3 Å 1 Tính giới hạn L = lim [2 f (x) − 19x + 3] − x→3 x − x − 3x Ƙ Bài 11 Cho f (x) đa thức thỏa mãn lim x→2 x→2 f (x) + f (x) − − x3 − 3x − Đáp số: Ƙ Bài 12 Cho f (x) hàm đa thức thỏa mãn lim x→4 1009 [ f (x) − 2018] ỵ ó Tính lim √ x→4 ( x − 2) 2019 f (x) + 2019 + 2019 Chuyên đề: Giới hạn Đáp số: − f (x) − = x−2 Tính lim 21 16 f (x) − 2018 = 2019 x−4 Đáp số: 2018 Trang 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Câu hỏi tập trắc nghiệm Toán 11 - Huỳnh Đức Khánh [2] Ứng dụng giới hạn để giải tốn trung hoc phổ thơng - Nguyễn Phụ Hy [3] Giải tốn Giải Tích 11 - Võ Anh Dũng, Trần Đức Huyên [4] Tài liệu chun Tốn Đại số Giải tích 11 - Đồn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng [5] Internet  ... 2019 – 2022 Đội tuyển Tốn 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 CÁC BÀI TỐN GIỚI HẠN TRONG ĐỀ THI OLYMPIC THÁNG TP.HCM DẠNG Bài toán giới hạn dãy số theo quy luật... − + 2x − √ Ƙ Bài 14 Tính giới hạn A = lim √ x→2 2x − + 6x − − 2x (Đề thi Olympic Tháng TP.HCM lần Lớp 11 - Năm học 2014 - 2015) Lời giải Chuyên đề: Giới hạn Trang Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT... cos 3x x→0 − cos x Ƙ Bài 29 Tính giới hạn H = lim Lời giải Chuyên đề: Giới hạn Trang 11 Đội tuyển Toán 11 Ƅ Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang Niên khóa: 2019 - 2022 Cách 1 Ta có cos x