Các bài tập về giới hạn có đáp án

Dưới đây là các bài tập về giới hạn hàm số thuộc chương trình Đại học kèm theo lời giải chi tiết bao gồm phân loại dạng giới hạn, định lí áp dụng trong bài toán giới hạn đó trong các định lý đã học và cuối cùng là đáp số.

x xe x  x  e x L  lim  Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta được:  x x x x x  x x 2 2 e  e  e e   2  2 L  lim  lim  lim x (Sử dụng vô lớn để tính giới hạn) x   e x x x e  ex x L'Hospital (Khi x   e x   )  lim 2x  lim x  lim x  x  x  x e2 e2 e2 Giới hạn có dạng   arccos x x 1 x 1 Giới hạn có dạng Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta được: L  lim    x arccos x L  lim  x 1 x 1 12 L  lim 1  x  x 1  lim 1  x 1  x  arccos x  x 1  lim  x1 1  x  arccos x  2 ln x x0 Giới hạn có dạng 1 Ta có: L  lim e ln x ln 1 x  x0 J  lim ln x ln 1  x   lim x 0  x 0  ln x ln 1  x  L'Hospital  e lim ln x ln 1 x  x 0  eJ   x  1 ln  x  1  x lim  lim   x 0 x 0 x     x  1 ln  x  1    ln  x  1  2ln  x  1   lim   0 x0   J  L  e  e 1 L'Hospital  13 L  lim  tan x  x  2cos x  lim 2cos x ln tan x Giới hạn có dạng  Ta có: L  lim e x   2cos x ln tan x e x   eJ J  lim 2cos x ln tan x  lim x   x   2ln tan x cos x L'Hospital  2 2cos x lim cos x tan x  lim  lim 0 sin x   tan x sin x  sin x x x x 2 cos x    L  e J  e0  1 x2 14 L  lim x e x 0 x2 e x 0 x3 Giới hạn có dạng 0 Biến đổi L  lim Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta được: 1  ex x 2e L  lim x  lim x 0 x 0 3  x x 2 1  ex L'Hospital x 4e  lim x  lim x 0 x 0 x  x 2 x2 Ta thấy lim4 e  , lim3x  Xét giới hạn hai phía x0 x0 Khi x  0 lim3x  3x  nên lim x 0 x0 Khi x  0 lim3x  3x  nên lim x0 x2 x 0  x2 4e   3x x2 4e   3x x2 4e 4e Mà lim suy không tồn giới hạn L  lim x3e x  lim x 0 x0 x x0 x    1x 1 15 L  lim x  e  cos  x  x  Giới hạn có dạng 0 Đặt t  Khi x   t  x t et  cos t L'Hospital et  sin t L  lim e  cos t  lim  lim 1 t 0 t t 0 t 0 t   