Các dạng bài tập vận dụng cao phương trình đường thẳng

Biết rằng khi MH  NK thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là.. A..[r]

BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phương trình đường thẳng

Vectơ phương đường thẳng

Cho đường thẳng  Vectơ u0 gọi vectơ phương đường thẳng  giá song song trùng với 

Cho đường thẳng  qua M x y z 0; ;0 0 có vectơ

phương ua b c; ; 

Chú ý:

+ Nếu u vectơ phương  k u k. 0 vectơ phương 

+Nếu đường thẳng  qua hai điểm A, B AB vectơ phương. Phương trình tham số đường thẳng

Phương trình tham số đường thẳng  có dạng

0 0

, (1)  



   



   



x x at

y y bt t

z z ct

Cho đường thẳng  có phương trình (1) thì

+ ua b c; ;  là vectơ chỉ phương 

+ Với điểm M   0 ; 0 ; 0 

M x at y bt z ct t là giá trị cụ thể tương ứng với từng điểm M

Phương trình tắc

Nếu a b c, , 0 phương trình tắc đường thẳng  có dạng

 

0 0 2

    

x x y y z z

a b c

2 Khoảng cách

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng  qua M0, có vectơ phương u điểm M  Khi để tính khoảng cách từ M đến  ta có cách sau:

Cách 1: Sử dụng cơng thức:  ,   0, 

  

MM u d M d

u

Cách 2:

+ Lập phương trình mặt phẳng  P qua M vng góc với  + Tìm giao điểm H  P với 

Cách 3:

+ Gọi N d , suy tọa độ N theo tham số t + Tính MN2 theo t.

+ Tìm giá trị nhỏ tam thức bậc hai

Khoảng cách hai đường thẳng chéo

Cho hai đường thẳng chéo  qua M0 có vectơ phương u  qua M0 có vectơ phương u Khi khoảng cách hai đường thẳng   tính theo cách sau:

Cách 1: Sử dụng công thức:  ,  , 0 ,

  

 

   

 

 

    

u u M M d

u u

Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung MN Khi độ dài MN khoảng cách cần tìm

Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng  P chứa qua  song song với  Khi khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm  đến  P

3 Vị trí tương đối

Vị trí tương đối hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng

0 0

1:

    

x x y y z z

d

a b c qua M x y z1 0; ;0 0 có vectơ phương u1a b c; ; ,

0 0

2:

  

    

  

x x y y z z

d

a b c qua M x y z2 0; ;0 0 có vectơ phương u2 a b c  ; ; 

Để xét vị trí tương đối d1 d2, ta sử dụng phương pháp sau:

Phương pháp hình học + d1 trùng d2

3

1

1

1

1

1

/ /   

 

 



  

  a a a

u u

b b b

M d M d

+ 1 2

1

,

/ /

,

u u

d d

u M M   

 

 

  

 



  

  

3

1

1

1

1

1

||   

 

 



  

  a a a

u u

b b b

M d M d

Ta dùng phương pháp đại số để xét vị trí tương đối: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng

Chú ý trường hợp vô nghiệm + Nếu 1;

 

u u cùng phương d d 1//

+ Nếu 1;

 

u u khơng phương d d1;

+ d1 cắt d2

1 2

,

,

                   u u

u u M M

+ d1 chéo d2 u u  1, 2.M M1 2 0

Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng   :Ax By Cz D   0 có vectơ pháp tuyến

 ; ;  



n A B C đường thẳng

0 0 :           

x x at

d y y bt

z z ct

đi qua  0; ;0 0

M x y z có vectơ phương ud a b c; ; 

Phương pháp đại số

Xét hệ phương trình         0                 

x x at

y y bt

z z ct

Ax By Cz D

Để xét vị trí tương đối d   ta sử dụng phương pháp sau:

Phương pháp hình học Nếu

 0; ;0 0           d u n

M x y z



 d  Nếu

 0; ;0 0           d u n

M x y z



 d// 

Nếu ud n phương ud k n. với k0 d  

Nếu u n d  0; ud n khơng phương d cắt  

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta

      * 

A x at B y bt C z ct  D

+) Nếu phương trình (*) vơ nghiệm t  

// d 

+) Nếu phương trình (*) có nghiệm t d cắt  

+) Nếu phương trình (*) có vơ số nghiệm t d  

Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng d mặt phẳng   ta giải phương trình (*), sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm x y z; ; 

Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mặt cầu có phương trình là:

0 0 : ,             

x x at

d y y bt t

z z ct

    2  2 2 2

:      

S x a y b z c R

Phương pháp hình học

Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I  S đến d Bước 2:

+ Nếu d I d , R d khơng cắt  S + Nếu d I d , R d tiếp xúc  S + Nếu d I d , R d cắt  S

Phương pháp đại số

thay x, y, z từ phương trình tham số d vào phương trình  S , ta phương trình bậc hai theo t Biện luận số giao điểm  d  S theo số nghiệm phương trình bậc hai theo t

Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t, sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm x y z ; ; 

4 Góc

Góc hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d d1, 2 có vectơ pháp tuyến u u 1, 2

Góc d1 d2 bù với góc u1

2



u

Ta có:  2  2

1

cos , cos ,

 

   

 u u

d d u u

u u

Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng góc nhọn

Góc đường thẳng mặt phẳng

Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ phương ud mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến



n

Góc đường thẳng d mặt phẳng   góc đường thẳng d với hình chiếu d

 

Ta có: sin ,  cos , 

 

   

 d

d

d u n

d u n

u n

 





SƠ ĐỒ HỆ THỐNG

Đi qua M x y z0 0; ;0 0 có vectơ phương u a b c ; ; 

Tham số:

0 0

,   

   



   



x x at

y y bt t

z z ct

Chính tắc: Nếu , ,a b c0

0 0

    

x x y y z z

a b c

u 

Phương trình đường

ĐƯỜNG THẲNG

Vị trí tươn g đối

Hai đường thẳng d d1, 2

1 2

1 2

1 2

/ / / /

; / /

 

 

  

 

 

 

   

u u u u

d d d d

M d M d

;

1

d cắt d2

1, 0; 1,

   

u u  u u  M M 

1

d chéo d2  1, 2 0

  

u u M M

Đường thẳng d mặt phẳng     ;  0; ;0 0  

 d  

d  u n M x y z 

  ;  0; ;0 0  

// d  

d  u n M x y z 

d cắt   u n d  0, ,u n d  không phương Đường thẳng d mặt cầu S I R , 

d không cắt  S d I d , R d tiế ú  S d I d  R

Khoảng cách

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng



  0,

,   

  

MM u d M

u Khoảng cách đường thẳng chéo  , 

  ,

,      

 

    

u u M M d

Góc

Giữa hai đường thẳng dvà d

 2  2

cos d d,  cos  u u, Góc đường thẳng

d mặt phẳng    

  

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng 1 Phương pháp

 Đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0và có vectơ phương  1; ;2 3



a a a a có phương

trình tham số  

0

0

0

  

   



   



x x a t

y y a t t

z z a t

 Đường thẳng d qua hai điểm A, B: Một vectơ phương d AB

Đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0 song song với đường thẳng  cho trước: Vì d// nên vectơ phương  vectơ phương d

Đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0 vuông góc với mặt phẳng  P cho trước: Vì  



d P nên vectơ pháp tuyến  P vectơ phương d Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng  P ,  Q

Cách 1: Tìm điểm vectơ phương

Tìm toạ độ điểm A d cách giải hệ phương trình mặt phẳng  P ,  Q với việc chọn giá trị cho ẩn

Tìm vectơ phương d: ,a n n P Q

Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d viết phương trình đường thẳng qua hai điểm

Đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0 vng góc với hai đường thẳng d d1, 2: Vì

1,

 

d d d d nên vectơ phương d là: u  u ud1, d2 2 Bài tập

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A2;1; ,  B 2;3;1 C0; 1;3  Gọi d đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ABC Phương trình đường thẳng d

A 1

1 1

    

x y z

B.

1 1   

x y z

C.

2 1



 



x y z. D

1 1   

x y z.

Hướng dẫn giải Chọn B

 2; 2; 4 4 16

       



AC AC

2; 4; 2 16

      



BC BC

Vậy tam giác ABC nên tâm đường trịn ngoại tiếp trọng tâm G0;1;1 Ta có  AB AC,   12;12;1212 1;1;1 

Đường thẳng d qua G0;1;1 có vectơ phương phương với  AB AC, , chọn u1;1;1

Phương trình đường thẳng d 1          

x t

y t

z t

Với t 1, ta có điểm A1;0;0d

Vậy đường thẳng d qua A1;0;0 có vectơ phương u1;1;1

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai M1; 2;3 , N3; 4;5 mặt phẳng  P x: 2y3z14 0 Gọi  đường thẳng thay đổi nằm mặt phẳng  P , điểm H K, hình chiếu vng góc ,M N  Biết MH NK trung điểm HK ln thuộc đường thẳng d cố định, phương trình đường thẳng d

A 13 2  

   

    

x t

y t

z t

B 13  

   

    

x t

y t

z t

C 13 2

4  

   

    

x t

y t

z t

D

1 13

4  

   

    

x

y t

z t

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi I trung điểm HK

Do MH NK nên HMI  KNI IM IN Khi I thuộc mặt phẳng  Q mặt phẳng trung trực đoạn MN

Ta có  Q qua trung điểm MN điểm J2;3; 4 nhận 1;1;1

 

 

n MN làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  Q x y z:    9

Mà I A  P Suy    : 14     

       



x y z

I d P Q

x y z

Tìm 0;13; 4  d vectơ phương d 1; 2;1  Vậy : 13

4  

   

    

x t

d y t

z t

Bài tập Trong không gian Oxyz Cho điểm E1;1;1, mặt cầu  S x: 2y2z24 mặt phẳng

 P x: 3y5z 3 Gọi  đường thẳng qua E, nằm  P cắt  S hai điểm ,

A B cho OAB tam giác Phương trình tham số 

A

1 1           

x t

y t

z t

B

1           

x t

y t

z t

C

1 1           

x t

y t

z t

D

1 1           

x t

y t

z t

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi ua b c; ;  vectơ phương  với a2b2c20.

Ta có nP 1; 3;5 

Vì   P nên unPu n  P   0 a 3b5c  0 a 3b5c (1) Mặt cầu  S có tâm O0;0;0 bán kính R2

Gọi H hình chiếu vng góc O AB

Ta có OAB tam giác cạnh R nên 3  R 

OH

Suy khoảng cách từ O đến đường thẳng  OH 

Khi  ,  

  

u OE u

  2  2 2 3 2 2

 a b  b c  c a  a b c

 2

0

 a b c      a b c (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

3b5c b c       0 b c a 2c Thay c 1 b 1 a2

Ta vectơ phương  u2; 1; 1   Vậy phương trình đường thẳng 

1 1           

x t

y t

z t

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng phương pháp tham số hóa 1 Phương pháp

Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0, vng góc cắt đường thẳng  Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng  Khi H , M H0 u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M H0,

Cách 2: Gọi  P mặt phẳng qua M0 vng góc với d  Q mặt phẳng qua M0 chứa d Khi d    P  Q

Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M x y z0 0; ;0 0 cắt hai đường thẳng d d1, 2 Cách 1: Gọi M1 d1 d M, 2 d2 d Suy M M M0, 1, 2 thẳng hàng Từ tìm M M1, 2 suy phương trình đường thẳng d

Cách 2: Gọi  P mặt phẳng qua M0 chứa d1;  Q mặt phẳng qua M0 chứa d2 Khi d    P  Q Do vectơ phương d chọn u n n P, Q

Đường thẳng d nằm mặt phẳng  P cắt hai đường thẳng d d1, 2: Tìm giao điểm

   

1 ,

A d  P B d  P Khi d đường thẳng AB

Đường thẳng d song song với  cắt hai đường thẳng d d1, 2: Viết phương trình mặt phẳng  P song song với  chứa d1, mặt phẳng  Q song song với  chứa d2 Khi

   

 

d P Q

Đường thẳng d đường vng góc chung hai đường thẳng d d1, chéo nhau:

Cách làm: Gọi Md N d1,  2 Từ điều kiện

 

 



MN d

MN d , ta tìm M N, Viết phương trình đường thẳng MN đường vng góc chung d d1, 2

2 Bài tập

Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P x y z:    1 đường thẳng :

2

    



x y z

d Phương trình đường thẳng d hình chiếu vng góc d mặt phẳng  P

A

5

 

 

x y z

B.

5

 

 



x y z

C.

5

 

 



x y z . D.

5

 

 

Hướng dẫn giảii Chọn B

Đường thẳng d có phương trình tham số  

2   

    



    



x t

y t t

z t

Lấy điểm M  d  P M4 ; 2 ; 1 t   t   t d Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng  P ta được: 2       t 2t t t

Suy M0; 2;1

Do d P M0; 2;1

Lấy A4; 2; 1   d Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  P

Đường thẳng AH qua A4; 2; 1   nhận n P 1;1; 1  làm vectơ phương nên AH có phương trình  

1

1

1

4   

    



    



x t

y t t

z t

Suy H4    t1; t1; t1

Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng  P

1 1

2 10

4 1 ; ;

3 3

t t t t H 

              

 

MH hình chiếu d lên mặt phẳng  P , MH qua M0; 2;1 nhận

 

10 14

; ; 5;7;2

3 3

 

     

 



MH vectơ phương nên có phương trình

2

5

 

 



x y z .

Bài tập Cho đường thẳng 1: 1

1

    

x y z

d đường thẳng 2:

1 2

   

x y z

d

Phương trình đường thẳng  qua A1;0; 2, cắt d1 vng góc với d2

A

2

   



x y z

B

4 1

   

 

x y z

C.

2

    

x y z

D.

2

   

x y z

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi I  d1 , I1  t, ,t t  AIt t; 1;  t 2 vectơ phương  Do ud2 1; 2; 2



Suy   0 2 1     2 2     0

 

d

AI u t t t t t

Vậy AI 2;3; 4  Phương trình đường thẳng  cần tìm

2

    

x y z

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 3x y 2z0 hai đường thẳng 1:

1

    

x y z

d 2:

3

    

 

x y z

d Đường thẳng vuông góc với  P cắt hai đường thẳng d1 d2 có phương trình

A

3

    

x y z

B

3

   

x y z

C.

3

     

x y z

D. 2

3

     

x y z

Hướng dẫn giải

Chọn A

1

1

1

: ,

1

                  x t

x y z

d y t t

z t

 

1 ;6 ;

    

M d M t t t

2

1

1

: ,

3

4                         x t

x y z

d y t t

z t

 

1 ; 2 ; 4

     

N d N t t t

2 ; 2 ; 4          



MN t t t t t t

 P : 3x y 2z0 có vectơ pháp tuyến n3;1; 2 

Đường thẳng  d vng góc với  P cắt hai đường thẳng d1 M cắt d2 N suy

2 3

4

4

                             

  t t k t

MN kn t t k t

t t k k

 

2 1; 2;

   

t M

Do    d  P nên u d n P Phương trình đường thẳng d

1 ; 2               x s

y s s

z s

Chọn  2;1;0 :

3

 

       



x y z

Bài tập Viết phương trình đường thẳng d qua A1; 2;3 cắt đường thẳng

2 :

2 1   

x y z

d

song song với mặt phẳng  P x y z:    2 A            x t y t z t B           x t y t z C           x t y t z D            x t y t z t Hướng dẫn giải

Chọn C

Do d  d1 B B m m m2 ; ; 2AB2m1;m2;m1 d song song với mặt phẳng  P nên

         

 0  1  2     1  1; 1;0

  

P

AB n m m m m AB

Vậy phương trình đường thẳng           x t y t z

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y z  10 0 , điểm 1;3; 2

A đường thẳng : 1

2 1

     

x y z

d Tìm phương trình đường thẳng  cắt  P d M N cho A trung điểm MN

A

7

     

x y z . B.

7

     

x y z .

C.

7

    

 

x y z . D.

7

    

 

x y z .

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có N    d N 2 ;1 ;1t t t

A trung điểm MN M4 ;5 t t;3t

Mà M P nên tọa độ M thỏa phương trình  P , ta được:

         

2 2 t     5 t t 10 0    t N  6; 1;3 ,M 8;7;1 Suy MN 14;8; 2 

Đường thẳng  qua hai điểm M N nên có vectơ phương 7;4; 1

  

 

u NM

nên có phương trình

7

     

x y z

Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A3;3; 3  thuộc mặt phẳng   : 2x2y z 15 0 mặt cầu   S : x2 2 y3 2 z 52100 Đường thẳng  qua A, nằm mặt phẳng   cắt  S ,M N Để độ dài MN lớn phương trình đường thẳng 

A. 3

1

    

x y z

B. 3

16 11 10     



x y z

C

3

3    

  

    

x t

y

z t

D. 3

1

    

x y z

Hướng dẫn giải

Chọn A

Mặt cầu  S có tâm I2;3;5 bán kính R10 Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n2; 2;1 

Gọi H K, hình chiếu vng góc I lên  mặt phẳng    

IK   nên phương trình đường thẳng IK qua I vng góc với mặt phẳng   2

3           

x t

y t

z t

Tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình   2

3

2;7;3

2 15

     

  

   

    



x t

y t

K

z t

x y z

Vì    nên IHIK Do IH nhỏ H trùng với K Để MN lớn IH phải nhỏ

Khi đường thẳng  cần tìm qua A K Ta có AK1;4;6 Đường thẳng  có phương trình là: 3

1

    

x y z

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho ABC có A2;3;3, phương trình đường trung tuyến kẻ từ B : 3

1

    

 

x y z

d , phương trình đường phân giác góc C

2

:

2 1

  

  

 

x y z

Đường thẳng AB có vectơ phương

Chọn C

Ta có phương trình tham số  là:   2

4 2 ;4 ;2

  

      

    

x t

y t C t t t

z t

Gọi M trung điểm AC nên ;7 ;5 2

 

 

  

 

t t

M t

Vì Md nên  

7

3

2 2 1 1

1 1

 

   

   

             

   

t t

t t t t t

Suy C4;3;1

Phương trình mặt phẳng  P qua A vng góc với  là: 2x y z   2 Gọi H giao điểm  P  H2; 4; 2

Gọi A điểm đối xứng với A qua đường phân giác , suy H trung điểm 

AA A2;5;1

Do ABC nên đường thẳng BC có vectơ phương CA   2; 2;0 2 1;1;0  Suy phương trình đường thẳng BC

4          

x t

y t

z

Vì B BM BCB2;5;1A

Đường thẳng AB có vectơ phương AB0;2; 2  2 0;1; 1  Bài tập Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2 1

 

  



x y z hai điểm

4; 2; ,  0;0; 2 

A B Gọi d đường thẳng song song cách  khoảng , gần đường thẳng AB Đường thẳng d cắt mặt phẳng Oxy điểm đây?

A. 2;1;0 B 2; 14;0 3

  

 

  C 3; 2;0 D. 0;0;0 Hướng dẫn giải

Chọn D

Phương trình tham số đường thẳng AB có dạng:

2      

    

x t

y t

z t

Đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB  MN với M0; 5;1 ,  N 3;1;1

Để d gần đường thẳng AB d phải qua điểm D nằm đoạn MN mà

 ,  5,

   

DN d d MN Do MN3DN  D 2; 1;1  Vectơ phương đường thẳng d u d 2; 1;1 

Suy phương trình tham số d

2 1   

    

   

x t

y t

z t

Đường thẳng d cắt Oxy điểm có 1 0           

 x

z t t

y

Vậy giao điểm d Oxy 0;0;0

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng

1

2 1

: ; :

1 1

    

     

  

x y z x y z

3

2

: ; :

1 1

x y z x y a z b

     



Biết không tồn đường thẳng không gian mà cắt đồng thời bốn đường thẳng Giá trị biểu thức T  a 2b

A.2 B.3 C.2 D.3

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có:  1//

Gọi  P mặt phẳng chứa 1  3  P x: 2y z  3 Gọi I  2  P I0; 1;1 

Gọi 4   22 3; 24;

6 6

      

 

     

 

a b b a b

2 22 18 14

; ;

6 6

      

 

   

 

 a b b a b

IJ

Để thỏa mãn u cầu tốn IJ phải phương với   1; 1;

   



u

Suy 22 18 14 2

6 6

           

 

a b b a b

a b

Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng 1 Phương pháp

Cho đường thẳng

  :x x  y y  z z

a b c mặt phẳng   :Ax By Cz D   0

Gọi  góc hai mặt phẳng     ta có cơng thức:

2 2 2

sin

 



   

Aa Bb Cc

A B C a b c



Chú ý: , ,A B C , ,a b c không đồng thời

Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

2 1

 

 x  y  z mặt phẳng   : 3x4y5z 8

Tính góc tạo    Hướng dẫn giải

 có vectơ phương u2;1;1   có vectơ pháp tuyến n3;4;5 Ta có: sin,   cos , n u 

2 2 2

3.2 4.1 5.1 3 1

 

 

   

Suy ,   60 2 Bài tập

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng :

1

  

 x  y  z mặt phẳng  P x y:  2z 6 Biết  cắt mặt phẳng  P A M, thuộc  cho AM 2 Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng  P

A. B.2 C. D.3

Hướng dẫn giải Chọn B

Đường thẳng :

1

  

 

   

sin , cos , sin

3

u n

P u n

u n 

    

   

 

Suy  ,  sin 3

    

d M MH MA 

Dạng 4: Góc hai đường thẳng 1 Phương pháp

Cho hai đường thẳng:

  0

1 :

  

 x x  y y  z z

a b c

  0

2 :

  

  

  

x x y y z z

a b c

Gọi  góc hai đường thẳng  1  2

Ta có:

2 2 2

cos

   

  

   

aa bb cc

a b c a b c



Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

1

1

:

2

  

  



x y z

;

2

3

:

1

  

  



x y z

Tính góc hai đường thẳng Hướng dẫn giải

Vectơ phương 1 u1  2;1;2 Vectơ phương 2 u2 1;1; 4 

   

1 2

1

cos , cos ,

u u u u

u u

   

   

 

   

 2 2 2  2

2 1.1 2 1

   



     

9

2 3.3

 

Vậy góc hai đường thẳng cho 45 2 Bài tập

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  d giao tuyến hai mặt phẳng  : sin cos 0;  : cos sin 0; 0;

2

 

       

 

P x z   Q y z     Góc  d trục Oz là:

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Hướng dẫn giải Chọn B

 d giao tuyến  P  Q nên vectơ phương  d là:     ,  sin ;cos ;1

  

d P Q

u n n  

Vectơ phương  Oz u Oz 0;0;1

Suy    

2 2

0.sin 0.cos 1.1

cos , , 45

2 sin cos 0

 

    

   

d Oz   d Oz

 

Vậy góc  d trục  Oz 45

Bài tập Trong không gian Oxyz, d đường thẳng qua điểm A1; 1; 2 , song song với mặt phẳng  P : 2x y z   3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1

1 2

 

  



x y z góc lớn nhất.

Phương trình đường thẳng d

A 1

4

     

x y z

B. 1

4

     

x y z

C. 1

4

     

x y z

D. 1

4

    

x y z

Hướng dẫn giải

Chọn D

Mặt phẳng  P : 2x y z   3 có vectơ pháp tuyến n P 2; 1; 1   Đường thẳng : 1

1 2

 

  



x y z có vectơ phương là 1; 2;2   



u

Giả sử đường thẳng d có vectơ phương ud

Do 0 d,   90 mà theo giả thiết d tạo  góc lớn nên  ,    90  

 

d

d u u

Lại có d// P nên ud n P Do chọn ud u n,  P 4;5;3

  

Vậy phương trình đường thẳng d 1

4

    

x y z

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2

4

     

x y z

d mặt phẳng

 P : 2x y 2z 1 Đường thẳng  qua E2;1; 2 , song song với  P có vectơ phương um n; ;1, đồng thời tạo với d góc bé Tính T m2n2.

A.T  5 B. T 4 C. T 3 D. T  4

Hướng dẫn giải Chọn D

Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n2; 1; 2 ; đường thẳng d có vectơ phương 4; 4;3

 



v

  2 2

//

Mặt khác ta có:  

 2

2 2

4 4 3

cos ;

1 4

 

  

    

 

 u v m n

d

u v m n

   

2 2

2

2

4 5 16 40 25

5 5

41 41

41

   

  

   

 

m m m m

m m m m

m m

Vì 0   ,d  90 nên  ,d bé cos ,d lớn Xét hàm số    

 

2

2

2 2

16 40 25 72 90

5 5 8 5

    

  

   

t t t t

f t f t

t t t t

x 

 



f  + 

f 16

5

5

0

16 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f t  f  0 5

Suy  ,d bé m  0 n Do T m2n2 4

Dạng 5: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 1 Phương pháp

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2

1 2

     

x y z

d

Tính khoảng cách từ M2;1; 1  tới d Cho đường thẳng   qua điểm

 

0 0; ;0

M x y z có vectơ phương

 ; ;  



u a b c Khi khoảng cách từ điểm M1 đến   tính cơng thức:

 

1

;

, M M u

d M

u

 

 

 

 



Hướng dẫn giải

Ta có

1; 2; 2    3; 1;1 ,  1; 2; 2 

A d AM u

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

 ;  ;

3

 

 

 

  

AM u d M d

u

2 Bài tập

Bài tập Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A1;1; 1  cho trước, nằm mặt phẳng  P : 2x y z   2 cách điểm M0; 2;1 khoảng lớn

A. 1

1

    

 

x y z

B. 1

1

    

x y z

C. 1

1

     

x y z

D. 1

1

    

 

x y z

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta gọi B hình chiếu M lên đường thẳng d MB MA

Suy MBmaxMA nên đường thẳng d qua điểm A vuông góc với MA Đồng thời đường thẳng dnằm mặt phẳng  P nên ta có

    , 1;3;

 

  

  

d P

u MA n

Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1; ,  B 5;1;1 mặt cầu  S :x2y2z26y12z 9 0 Xét đường thẳng d đi qua A tiếp xúc với  S cho

khoảng cách từ B đến d nhỏ Phương trình đường thẳng d

A

2      

    

x

y t

z t

B

2      

    

x

y t

z t

C

2 2

2       

    

x t

y t

z t

D

2

2       

    

x t

y t

z t

Hướng dẫn giải

Chọn C

Mặt cầu  S :x2y2z26y12z 9 0 có tâm I0; 3; 6   bán kính R6

 

6 , 10

     

IA R A S IB R nên B nằm  S

Đường thẳng d qua A tiếp xúc với  S nên d nằm mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S A

Mặt phẳng  P qua A nhận IA làm vectơ pháp tuyến có phương trình x2y2z0 Gọi H hình chiếu B lên  P tọa độ H4; 1; 1  

Ta có: d B d ; d B P ; BH

Suy phương trình đường thẳng d là:

2 2

2       

    

x t

y t

z t

Dạng 6: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 1 Phương pháp

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau: 1 có vectơ phương

 ; ;  



u a b c qua M x y z0 0; ;0 0; 2 có vectơ phương ua b c  ; ;  qua

 

0   0; ;0

M x y z

Khi khoảng cách 1 2 tính

bởi cơng thức  1, 2 , 0 ,

  

 

  

 

 

    

u u M M d

u u

Nếu  1// 2 (u1 u2 phương

0 2

M ) d  1, 2 d M 0,2

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, tính khoảng cách hai đường thẳng

1

1

:

2 1

    

x y z

d 2

1 : ,

2   

    

    



x t

d y t t

z t

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d1 qua điểm M1; 2;0  có

một vectơ phương u12; 1;1 

Đường thẳng d2 qua điểm N1; 1; 2  có vectơ phương u24; 2;2 

Do u1 phương với u2 Md2 nên

1//

d d

Suy  2  1 1

, ;  ;   

  

u MN

d d d d N d

u

Ta có MN0;1; , u MN ,    3; 4; 2 Suy    

 

2 2

1

2

1

, 3 4 2 174

6

2 1

     

   

  

  

u MN

u

Vậy  1; 2 174 

d d d

2 Bài tập

Bài tập Cho phương trình mặt phẳng  P : 2x y z   3 0, đường thẳng :

1 

 x  y z

d

điểm A0; 2;1 Viết phương trình đường thẳng d qua A, nằm  P cho khoảng cách d d đạt giá trị lớn

A

1

 

 



x y z . B.

1

 

 

C.

1

 

 



x y z

D

1

 

 

 

x y z

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi d1 đường thẳng qua A song song với d

Phương trình d1 là: 2          

x t

y t

z t

Trên đường thẳng d1 lấy điểm B1;0;0 Gọi  Q mặt phẳng chứa d d1

Ta có d d d , d d Q , d B Q , 

Do d1 cố định d d d ,   d B Q , d B d , 1

Đẳng thức xảy n  Q BH H hình chiếu B lên d1 Ta tìm 2 1; ;

3 3 

 

 

 

H nên 1; ;    5;2;1 3



 

   

 

 

Q

BH n

Ta có ud n  P ;n Q 1;7; 9 

Vậy phương trình đường thẳng d

1

 

 



x y z .

Lưu ý : Vì đường thẳng d qua A nên ta loại đáp án cách thay tọa độđiểm A vào đáp án

Dạng 7: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 1 Phương pháp

Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng   có vectơ phương aa a a1; ;2 3 qua

 

0 0; ;0

M x y z mặt phẳng   :Ax By Cz D   0 có vectơ pháp tuyến nA B C; ;    cắt    0 1 2 0

 

a n Aa Ba Ca

     

0 0

0

0

0

//      

  

   

 



 

Aa Ba Ca

a n

Ax By Cz D

M P



     

0 0

0

0

0

     



   

   

 



 

Aa Ba Ca

a n

Ax By Cz D

M P



      a n phương a a a1: 2: 3 A B C: :

Ta biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm phương trình đường thẳng   mặt phẳng  

2 Bài tập

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

1

   

 

x y z

d mặt

phẳng  P : 3x3y2z 6 Mệnh đề đúng?

A. d cắt khơng vng góc với  P B. d song song với  P C. d vng góc với  P D. d nằm  P

Hướng dẫn giải Chọn A

Đường thẳng d nhận u1; 3; 1   làm vectơ phương Mặt phẳng  P nhận n3; 3;2  làm vectơ pháp tuyến

Do u n 0 hai vectơ không phương nên đường thẳng d cắt khơng vng góc với  P

Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình

2 1

:

1 1

     

x y z

d mặt phẳng  P x my:  m21z 7 0 với m tham số thực Tìm

m cho đường thẳng d song song với mặt phẳng  P

A. m1 B. m 1 C

2      

m

m D. m2

Hướng dẫn giải Chọn B

Đường thẳng d có vectơ phương u1;1; 1  mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến

1; ; 1

 



n m m

  . 0 1 1 0 2 0

2

//                 

 

    m

d P u n u n m m m m

Thử lại ta thấy với m 2 d P (loại) Vậy m 1

Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

2

    

x y z

d mặt phẳng

  :x y 2z 5 0, mệnh đề đúng?

A. d//  B. d  

C. d cắt   khơng vng góc với   D. d   Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

1 : ,

3   

   

    



x t

d y t t

z t

Xét hệ phương trình:

       

1

2

3

2 *

 

 

      

     

x t

y t

z t

x y z

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta 2  t 2 4t 2 3  t Phương trình có vơ số nghiệm

Do đó, đường thẳng d nằm mặt phẳng   Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

 P x: 2y z  1 0,  Q : 2x y z   2 hai đường thẳng 1: 1, 2:

2 1

   

     



x y z x y z

Đường thẳng  song song với hai mặt phẳng    P , Q cắt  1, 2 tương ứng ,H K Độ dài đoạn HK

A. 11

7 B. C.6 D.

11 Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có u n nP, Q    1; 1; 3

Gọi H2 ;1 ; ;t   t t K m ; 2m;1 2 m

 ;1 ;2 2 

HK  m t  m t  m t

2 2

1

      

m t m t m t

Tính 2;

7



 

m t Suy 11 

HK

Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P : 2m2 m 2 x m21ym2z m 2  m 1 0 chứa đường thẳng  cố định khi

m thay đổi Khoảng cách từ gốc tọa độ đến  là?

A.

3 B.

2

3 C.

2

3 D.

2 Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: 2m2 m 2 x m21ym2z m 2  m 1 0,  m 

   

2 2 1 2 1 4 2 1 0,

m x y  m x z   x y  z   m 

2

2

2

2

4

   

   

 



     

     

 

     

x y

x y y z

x z

x z x y

x y z

Vậy  P chứa đường thẳng   cố định:

1 2     

      

t x y t z t

Đường thẳng  qua 1;0;0

 

 

 

A có vectơ phương 1;1;1

   

 



u

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến  là:  ;  ,

 

 

 

  

  

OA u d O

u

Dạng 8: Vị trí tương đối hai đường thẳng 1 Phương pháp

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 0 1:

x x y y z z

d

a b c

    

đi qua M x y z1 0; ;0 0

có vectơ phương u1a b c; ;  0 2:

x x y y z z

d

a b c

  

    

   qua M x y z2 0  ; ;0 0 có vectơ

phương u2a b c  ; ; 



+) d1 trùng d2

3

1

1

1

1

1

/ / a a a

u u b b b

M d M d

  

 

 



  

 

+) 1 2

1

,

,

// u u

d d

u M M   

 

 

  

 



  

  

3

1

1

1

1

1

/ / a a a

u u b b b

M d M d

  

 

 



  

 

+) d1 cắt d2

1 2

,

,

u u

u u M M

  

 

 

  

 



  

  

+) d1 chéo d2u u  1, 2.M M1 20 2 Bài tập

Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

1

:

1

x y z

d      2  

3

:

4

x y z

d m

m

     

Tập hợp giá trị m thỏa mãn d d1// 2 có số phần tử là:

A.1 B.0 C.3 D.2

Hướng dẫn giải Chọn B

Đường thẳng d1 qua A1; 1; 2  có vectơ phương u11;2;1 Đường thẳng d2 qua B  3; 9; 2 có vectơ phương  2

2 4;8;

u m

Đường thẳng d d1// 2 u1 phương với u2 hai đường thẳng d1 d2 khơng trùng

Vì 2

1

       

nên B nằm đường thẳng d1

Do hai đường thẳng ln có điểm chung B nên hai đường thẳng song song Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng

1

1 3

: , :

2

x y z x y z

     

 

A 1 song song với 2 B 1 chéo với 2 C 1 cắt 2 D 1 trùng với 2

Hướng dẫn giải Chọn C

Vì 2 1

  nên vectơ phương u12; 2;3



Suy 1 chéo với 2 1 cắt 2

Lấy M1; 1;0  1, N3;3; 2   2 Ta có MN2;4; 2  Khi u u1, 2.MN 0

  

Suy u u MN  1, ,2 đồng phẳng Vậy 1 cắt 2

Dạng 9: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu 1 Phương pháp

Cho đường thẳng

     

0

0

0

1

:

3

x x a t

d y y a t

z z a t

  



 



   

mặt cầu   S : x a 2y b 2 z c2R2

có tâm I a b c ; ; , bán kính R

Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2 z 22 25 đường

thẳng d có phương trình

2 2

3

x t

y t

z t

   

   

    

Chứng minh d cắt  S hai điểm phân biệt

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu  S đến đường thẳng d

 

, IM a h d I d

a

 

 

 

  

Hướng dẫn giải

Mặt cầu  S có tâm I0;0; 2  bán kính

R

Đường thẳng d qua M2; 2; 3  có vectơ phương u2;3; 2

Ta có h d I d , IM u, u

 

 

  

 



Bước 2: So sánh d I d , với bán kính R mặt cầu:

Nếu d I d , R d khơng cắt  S Nếu d I d , R d tiếp xúc  S Nếu d I d , R d cắt  S hai điểm phân biệt ,M N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu  S

Vì h R nên d cắt mặt cầu  S hai điểm phân biệt

Thế (1), (2), (3) vào phương trình  S rút gọn đưa phương trình bậc hai theo

 *

t

Nếu phương trình (*) vơ nghiệm d khơng cắt  S

Nếu phương trình (*) có nghiệm d tiếp xúc  S

Nếu phương trình (*) có hai nghiệm d cắt  S hai điểm phân biệt ,M N Chú ý: Để tìm tọa độ M N, ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d

  2 2  2

: 17

S x y  z  cắt trục Oz hai điểm ,A B Tìm độ dài đoạn AB

Hướng dẫn giải

Gọi M giao điểm  S với trục Oz Ta có M Oz nên M0;0;t

Mà M S nên 0202 t 22 17

 2 17

2 17 17

2 17 t

t t

t    

       

  



Suy tọa độ giao điểm A0;0; 2  17,

0;0; 17 17

B   AB

2 Bài tập

Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A0;0; 2  đường thẳng  có phương trình

là 2

2

x  y  z

Phương trình mặt cầu tâm A, cắt  hai điểm B C cho BC8 A x2 2 y3 2 z 1216 B x2y2 z 22 25

C. x22y2z2 25. D. x2y2 z 22 16.

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi  S mặt cầu tâm A0;0; 2  có bán kính R

Đường thẳng  qua M2; 2; 3  có vectơ phương u2;3; 2 Gọi H trung điểm BC nên AH BC

Ta có AH d A ,  MA u u

 

 

  

  

Với  

   

   2 2

2 2

2; 2;1 10

7; 2;10

2;3;2

MA

MA u AH

u

      

       

  

  





 



Bán kính mặt cầu  S là: R AB AH2HB2  3242 5

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x1 2 y1 2 z 229 điểm M1;3; 1  Biết tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu cho ln thuộc đường trịn  C có tâm J a b c ; ; 

Giá trị 2a b c  A. 134

25 B.

116

25 C

84

25 D.

62 25 Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có mặt cầu  S có tâm I1; 1;2  bán kính R3 Khi IM   5 R M nằm ngồi mặt cầu

Phương trình đường thẳng MI

1 x

x t

z t

 

    

   

Tâm J a b c ; ;  nằm MI nên J1; ; 3  t  t Xét MHI vng H có

2

5;

MI IH MH  MI HI 

Mặt khác  

     

2

1;3;

4 3 1; ;2

M

MJ t t

J t t



      



  



2 16

5 MJ MIMH MJ 

  2 2 256

4

25

t t

     

2

9

369 25

25 50

41 25

25 t

t t

t   

     

  

Suy 1;11 23; 25 25 J 

 

139 73 1; ;

25 25 J  

 

+) Với 1;11 23; 25 25 J 

 

IJ  IM (nhận)

+) Với 1;139; 73 25 25 J  

 

41

IJ  IM (loại)

Vậy 1;11 23; 25 25 J 

  nên

84

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình   2  2 2 14

1

3

x  y  z  đường thẳng d có phương trình 4

3 2

x  y  z

Gọi  0; ;0 0

A x y z , x0 0 điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻ ba tiếp tuyến đến mặt cầu  S có tiếp điểm , ,B C D cho ABCD tứ diện

Giá trị biểu thức P x 0y0z0

A.6 B.16 C.12 D.8

Hướng dẫn giải Chọn C

I tâm mặt cầu I1;2;3

Gọi O giao điểm mặt phẳng BCD đoạn AI Vì theo giả thiết ABACAD 14

3

IB IC ID   nên AI vng góc với mặt phẳng BCD O Khi O tâm đường trịn ngoại tiếp BCD

Đặt 14

3 AI x x  

 

Ta có 2 14

3 AB AI IB  x 

2

2 . 14 2 14 14

3 3

IB IO IA OI OB IB IO

x x

 

         

 

2 2 2 . .cos120 3

BD OB OD OB OD OB

     

2

14 196

3 3

3

BD OB BD OB

x

 

       

 

Do ABCD tứ diện nên

2

2

14 14 196 14 196

3 14

3 3

AB BD x x

x x

 

         

 

2

4

2

14

3 56 196 14

14 x

x x x

x   

     

 

A d nên A4 ; ; 4 t  t t

 

 

4; 4;

1

2 2;0; A

t t

t A

 



        

 

Do x0 0 nên điểm A có tọa độ A4; 4; 4 Suy P12

Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm , ,P Q R di động ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , (không trùng với gốc tọa độ O) cho 12 12 12

8

OP OQ OR  Biết mặt phẳng PQR tiếp xúc với mặt cầu  S cố định Đường thẳng  d thay đổi qua

1 ; ;0 2 M 

  cắt  S hai điểm ,A B phân biệt Diện tích lớn AOB

A. 15 B. C. 17 D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng PQR Dễ thấy 2 12 12 12 2 2

8 OH

OH OP OQ OR OH   

Khi PQR tiếp xúc với mặt cầu  S tâm O, bán kính R2 Ta có

4

OM     R nên điểm M nằm mặt cầu  S Gọi I trung điểm AB, OAB cân O nên

2 OAB

S  OI AB Đặt OIx Vì OI OM nên 0 x AB2 8x2

Ta có .2 8 8 8

2 OAB

S  x x x x  x x

Xét hàm số f x 8x2x4, 0 x 1

Vì f x 4 4x x20 với x0;1 nên f x  f  1 7.

Dạng 10: Một số toán cực trị

Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 2; 2;1 , A 1; 2; 3  đường thẳng :

2

x y z

d    

 Tìm vectơ phương u



đường thẳng  qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé

A. u2;2; 1  B u1;7; 1  C. u1;0; 2 D. u3; 4; 4  Hướng dẫn giải

Chọn C

Xét  P mặt phẳng qua M    P  d

Mặt phẳng  P qua M 2; 2;1 có vectơ pháp tuyến 2;2; 1

P d

n u   nên có phương trình: 2x2y z  9 Gọi H K, hình chiếu A lên  P 

Khi AKAH const nên AK đạt giá trị nhỏ K H

Đường thẳng AH qua A1; 2; 3  có vectơ phương ud 2;2; 1  nên AH có phương trình tham số

1 2

3

x t

y t

z t

      

    

Vì HAH nên H1 ; 2 ; 3 t  t  t

Lại H P nên 2  t 2 2 t         3 t t H  3; 2; 1 Vậy u  HM 1;0; 2

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình

2 2 4 2 2 3 0

x y z  x y z  điểm A5;3; 2  Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt ,M N

Tính giá trị nhỏ biểu thức S  AM 4AN

A Smin 30 B Smin 20 C Smin 5 34 9 D Smin  34 3 Hướng dẫn giải

Mặt cầu  S có tâm I2; 1;1 , bán kính R 22  1 2   12  3 3

Ta có: AI  2 5  2  1 3 2 1 22  34R nên A nằm mặt cầu  S Ta lại có: S AM 4AN

Đặt AM x x,  34 3; 34 3  

Mà AM AN. AI2 R2 34 25 AN 25

AM

      

Do đó: S f x  x 100 x

   với x 34 3; 34 3  

Ta có:  

2

100 100

1 x

f x

x x



     với x 34 3; 34 3  

Do đó:    

34 3; 34 3min f x f 34 34

   

 

   

Dấu “=” xảy A M N I, , , thẳng hàng AM  34 3; AN 34 3

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A9;6;11 , B 5;7; 2 điểm M di động mặt cầu   S : x1 2 y2 2 z 32 36

Giá trị nhỏ AM2MB

A. 105 B. 26 C. 29 D. 102

Hướng dẫn giải Chọn C

Mặt cầu   S : x1 2 y2 2 z 3236 có tâm I1; 2;3 bán kính R6 Ta có IA12 2 R

Gọi E giao điểm IA mặt cầu  S suy E trung điểm IA nên E5; 4;7 Gọi F trung điểm IE suy F3;3;5

Xét MIF AIM có AIM chung

IF IM

IM  IA  Suy MIF AIMc.g.c MA AI MA 2MF

MF MI

 #     