Phầ nI minh họa tuổi anh bộ đội và tuổi các ng ời thân trong gia đình

I. Mục tiờu

Phầ nI minh họa tuổi anh bộ đội và tuổi các ng ời thân trong gia đình

các ng ời thân trong gia đình hiện nay

Phần I minh họa tuổi anh bộ đội vàtuổi các ng ời thân trong gia đình tuổi các ng ời thân trong gia đình II

Căn cư vào hình vẽ ta thṍy: Trước đõy tuụ̉i anh bụ̣ đụ̣i bằng 1/5 tụ̉ng sụ́ tuụ̉i người thõn trong gia đình, nay anh được tăng thờm mụ̣t sụ́ tuụ̉i, thì sụ́ tuụ̉i anh cũng tăng gṍp 5 lõ̀n. Vì sụ́ năm đó 1 người đờ̀u tăng tuụ̉i như nhau nờn muụ́n gṍp 5 lõ̀n sụ́ tuụ̉i tăng trong khoảng thời gian đó gia đình anh bbụ̣ đụ̣i phải có 5 người. Kờ̉ cả anh bụ̣ đụ̣i nữa là 6.

...

4. Hai xe ụ tụ cùng khởi hành lúc 7 giờ, xe thứ nhṍt đi từ A và đờ́n B lúc 9 giờ, xe thứ hai đi từ B và đờ́n A lúc 10 giờ. Hai xe gặp nhau trờn đường lúc máy giờ?

Giải:

Đờ̉ tìm thời gian gặp nhau trong chuyờ̉n đụ̣ng ngược chiờ̀u, ta lṍy quãng đường chia cho tụ̉ng vọ̃n tụ́c. Ta chưa biờ́t quãng đường nờn cũng chưa biờ́t vọ̃n tụ́c mụ̃i xe, nhưng có thờ̉ biờ̉u thị được vọ̃n tụ́c của mụ̃i xe theo quãng đường AB mà ta chọ là đơn vị qui ước.

Xe thứ nhṍt đi cả quãng đường AB trong: 9 – 7 = 2 (giờ). Xe thứ hai đi cả quãng đường BA trong: 10 – 7 = 3 (giờ).

Trong 1 giờ, xe thứ nhṍt đi được ẵ quãng đường, xe thứ hai đi được 1/3 quãng đường, chúng gõ̀n nhau thờm: 1 1 5

(quãng đ ờng)

2 3 6+ = .

Hai xe gặp nhau sau 1 : 5 6

(giờ) = 1 giờ 12 phút. 6 = 5

Lúc hai xe gặp nhau là 8 giờ 12 phút.

………..

2. Toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuụ́i.

a. Nụ̣i dung: Phương pháp tính ngược từ cuụ́i thường áp dụng giải những bài toán sụ́ học mà viợ̀c giải bằng đại sụ́ sx dõ̃n đờ́n mụ̣t phương trình bọ̃c nhṍt 1 ẩn sụ́ có dạng x + a ± b = c hay ax ± b = c (trong đó a, b, c là sụ́ nguyờn hay phõn sụ́) và thường được tính ngược từ cuụ́i bằng các hình vẽ minh họa hay dùng trong phương pháp ô đơn vị qui ước ằ.

b. Ví dụ:

1. Tụ̉ng của hai sụ́ là 444. Lṍy sụ́ lớn chia cho sụ́ nhỏ được thương là 4 và sụ́ dư là 24. Tìm hai sụ́ đó.

Giải: * Bằng sụ́ học:

Ta minh họa bài toán ở hình vẽ bờn: Như vọ̃y ta thṍy 5 lõ̀n sụ́ nhỏ

Sẽ bằng 444 – 24, do đó mụ̣t Lõ̀n sụ́ nhỏ bằng : 444 24 84 5 − = Sụ́ lớn là : 444 - 84 = 360 * Bằng đại sụ́:

Gọi x là sụ́ nhỏ (24 < x < 444) , ta có : x + 4x + 24 = 444 5x + 24 = 444 5x = 420 x = 84 Sụ́ lớn là : 4x + 24 = 4. 84 + 24 = 360. ………

2. Mụ̣t cửa hàng mọ̃u dịch, trong tuõ̀m lờ̃ thứ nhṍt bán được mụ̣t nửa sụ́ tṍm vải cụ̣ng thờm ẵ tṍm. Tuõ̀n lờ̃ thứ hai bán được 1/3 sụ́ vải còn lại cụ̣ng thờm 1/3 tṍm. Tuõ̀n lờ̃ thứ ba bán ẳ sụ́ vải còn lại sau lõ̀n 2 cụ̣ng thờm ắ tṍm. Tuõ̀n lờ̃ thứ tư bán 1/5 sụ́ vải còn lại cụ̣ng thờm 1/5 tṍm. Tuõ̀n 5 bán hờ́t 19 tṍm còn lại. Hỏi cửa hàng lúc đó có bao nhiờu tṍm vải ?

Giải:

* Ta thṍy sụ́ vải còn lại sau lõ̀n bán thứ tư là 19 tṍm. Nờ́u tuõ̀n thứ tư khụng bán thờm 1/5 tṍm thì sụ́ vải còn lại là 4/5 sụ́ vải. Nghĩa là (19 +1/5) tṍm chính là sụ́ vải còn lại sau lõ̀n 3 và bằng : (19 + 1/5) : 4/5 = 24 (tṍm).

* 24 tṍm cụ̣ng với ắ tṍm chính là ắ vải còn lại sau tuõ̀n 2 tức bằng : (24 + 3/4) : 3/4 = 33 (tṍm).

* 33 tṍm cụ̣ng 1/3 tṍm chính là sụ́ vải còn lại sau lõ̀n 1, tức bằng : (33 + 1/3) : 2/3 = 50 (tṍm)

* 50 tṍm cụ̣ng ẵ tṍm chính là 1/2 sụ́ vải ban đõ̀u của cửa hàng và bằng : (50 + 1/2) : 1/2 = 101 (tṍm).

………..

3. Mụ̣t người bán khoai cho ba người : Người thứ nhṍt mua ẳ sụ́ khoai và 10 kg. Người thứ 2 mua 5/11 sụ́ khoai còn lại và 10 kg. Người thứ ba mua 50 kg khoai còn lại. Hỏi sụ́ lượng khoai đã được bán là bao nhiờu ?

Giải:

* Sụ́ khoai còn lại sau khi người thứ hai mua là 6/11 sụ́ khoai còn lại khi người thứ nhṍt mua (kờ̉ cả 10 kg của người thứ 2 mua). Sụ́ khoai đó là :

50 kg + 10 kg = 60 kg.

* Sụ́ khoai còn lại sau khi người thứ nhṍt mua là : 60 : 6/11 = 110 (kg) * Sụ́ lượng khoai đã bán là : (110 + 10) : ắ = 160 (kg).

……….

4. Mụ̣t người ra chợ bán cam. Lõ̀n thứ nhṍt bán 1/2 sụ́ cam cụ̣ng thờm 1/2 quả. Lõ̀n thứ 2 bán 1/2 sụ́ còn lại cụ̣ng thờm 1/2 quả. Lõ̀n thứ 3 bán 1/2 sụ́ còn lại cụ̣ng thờm 1/2 qủa. Lõ̀n thứ 4 bán 1/2 sụ́ còn lại cụ̣ng thờm 1/2 qủa thì vừa hờ́t. Tính sụ́ cam của người đó đem bán ?

Giải:

Lõ̀n thứ tư bán 1/2 sụ́ còn lại cụ̣ng 1/2 quả thì vừa hờ́t nờn 1/2 quả chính là 1/2 sụ́ cam còn lại. Vọ̃y sụ́ cam còn lại sau lõ̀n bán thứ ba là 1 quả.. Lõ̀n thứ ba bán 1/2 sụ́ còn lại cụ̣ng thờn 1/2 quả thì còn 1 quả nờn 1

1

2 quả chính là 1/2 sụ́ cam còn lại. Vọ̃y sụ́ cam còn lại sau lõ̀n bán thứ hai là 1

1 2 3

2ì = (quả). Lõ̀n thứ 2 bán 1/2 sụ́ còn lại cụ̣ng thờm 1/2 quả thì cón 3 quả nờn 1

3 2 quả chính là 1/2 sụ́ còn lại. Vọ̃y sụ́ cam còn lại sau lõ̀n thứ nhṍt là 7 quả.

Lõ̀n thứ nhṍt bán 1/2 sụ́ cam cụ̣ng 1/2 quả thì còn 7 quả nờn 1 7

2 quả chính là 1/2 sụ́ cam. Vọ̃y sụ́ cam lúc đõ̀u có 15 quả.

……….

5. Mụ̣t cụng trường giao cụng viợ̀c sửa mụ̣t đoạn đường cho các đụ̣i như sau : đụ̣i 1 nhọ̃n 150 m và 1/9 phõ̀n còn lại, đụ̣i 2 nhọ̃n 200 m và 1/9 phõ̀n còn lại, đụ̣i 3 nhọ̃n 250 m và 1/9 phõ̀n còn lại. Cứ chia như vọ̃y cho đờ́n đụ̣i cuụ́i cùng thì vừa hờ́t và phõ̀n đṍt của mụ̃i đụ̣i bằng nhau. Tính sụ́ đụ̣i tham gia sửa đường và chiờ̀u dài toàn bụ̣ quãng đường cõ̀n sửa ?

Giải:

Xét hai đụ̣i cuụ́i cùng là đụ̣i thứ n – 1 và đụ̣i thứ n. Đụ̣i thứ n – 1 nhọ̃n A mét cụng 1/9 sụ́ còn lại hay A + 1

B

9 . Đụ̣i thứ n là đụ̣i cuụ́i cùng nờn nhọ̃n nụ́t 8

B

9 , hay theo qui luọ̃t của bài toán, nhọ̃n A + 50 m (khụng còn sụ́ còn lại). Vì sụ́ mét đường của các đụ̣i bằng nhau nờn:

A + 1 1

B = A + 50, suy ra B = 50

Đụ̣i thứ n nhọ̃n 8

B hay 50.5 = 400 (mét).

9 Đó cũng là sụ́ đṍt mụ̃i đụ̣i

nhọ̃n. 1

ố còn lại sau khi đội 1 nhận 150 m là 400 - 150 = 250 (m).

9s Do đó

đoạn đường tụ̉ng cụ̣ng dài : 250 .9 + 150 = 2400 (m).

……….

3. Giải toán tìm hai sụ́ khi biờ́t tụ̉ng và hiợ̀u của nó:

a. Nụ̣i dung:

Loại toán khi biờ́t tụ̉ng hai sụ́ và hiợ̀u của chúng, ta phải tìm hai sụ́. Ở các lớp dưới ta đã có phương pháp giải : tìm sụ́ lứo trước hoặc sụ́ nhỏ trước bằng cách cụ̣ng hay trừ từng vờ́ của hai đẳng thức đã cho :

a + b = c a + b = c

hay -

a - b = d a - b = d

 

+  

  từ đó suy ra sụ́ kia. Nay ta có thờm

phương pháp giải nữa đó là phương pháp : Thờm hoặc bớt hiợ̀u của 2 sụ́ vào sụ́ nhỏ hoặc sụ́ lớn đờ̉ được 2 sụ́ bằng nhau.

b. Ví dụ minh họa:

1.Trong hai trọ̃n tiờ́n cụng vào sõn bay Biờn Hòa và Plõy Cu, quõn giải phóng miờ̀n Nam đã giợ̀t gọ 654 tờn xõm lược Mỹ. Trọ̃n Plõy Cu giợ̀t hơn trọ̃n Biờn Hòa 60 tờn. Tính xem mụ̃i trọ̃n quõn giải phóng giợ̀t được bao nhiờu tờn xõm lược Mỹ ?

Giải:

Cách 1:

Nờ́u thờm 60 tờn vào trọ̃n Biờn Hòa thì sụ́ Mỹ bị giợ̀t ở 2 sõn bay bằng nhau và do đó sụ́ Mỹ bị giợ̀t ở PlõyCu là :

(654 + 60) : 2 = 357 (tờn). Sụ́ Mỹ bị giợ̀t ở Biờn Hòa là :

357 – 60 = 297 (tờn) Cách 2:

Bớt 60 tờn xõm lược Mỹ ở trõn PlõyCu thì sụ́ Mỹ bị giợ̀t ở 2 trọ̃n bằng nhau, do đó sụ́ Mỹ bị giợ̀t ở trọ̃n Biờn Hòa là :

(654 – 60) : 2 = 297 (tờn) Sụ́ Mỹ bị giợ̀t ở trọ̃n PlõyCu là :

297 + 60 = 357 (tờn)

2. Hai thúng khoai có 1 24

4kg. Nờ́u lṍy 1 3

2kg ở thúng 1 bỏ vào thúng 2 thì thúng thứ nhṍt còn hơn thúng thứ 2 là 3

5kg. Tính xem lúc đõ̀u mụ̃i thúng có bao nhiờu kg ?

Giải:

Ta giải bài toán này bằng cách tìm sụ́ lớn trong 2 sụ́ biờ́t tụ̉ng của chúng

là 1 3

24 và hiệu của chúng là (7 + )

4 5 ,

sau đó đem trừ đi 1 1 3

3 3

2 2 5

 + + 

 ữ

 

sẽ được thúng thứ nhṍt. Thúng thứ nhṍt có:

1 3 37 24 7 : 2 15 ( ) 4 5 40 kg  +  =  ữ  

Thúng thứ 2 có: 1 37 13

24 15 8 ( )

4 − 40 = 40 kg

………

4. Toán giải bằng phương pháp giả thiờ́t tạm:

a. Nụ̣i dung:

Loại toán này tương đụ́i khó, nờn đờ̉ giải được loại toán này ta phải dùng phương pháp riờng gọi là phương pháp giả thiờ́t tạm. Trong phương pháp giả thiờ́t tạm, người ta đưa ra các giả định mới đờ̉ chuyờ̉n bài toán vờ̀ các bài toán đã biờ́t cách giải.

b. Ví dụ minh họa:

1. Mụ̣t đoàn 46 học sinh chèo thuyờ̀n qua sụng, có hai loại thuyờ̀n, loại lớn chở 6 người, loại nhỏ chở 4 người. Các em xuụ́ng thuyờ̀n thì xờ́p vừa đủ 10 thuyờ̀n 2 loại. Hỏi mụ̃i loại có mṍy chiờ́c.

Giải:

Giả sử cả 10 thuyờ̀n đờ̀u là loại lớn thì khi đó sụ́ người xờ́p đủ 10 thuyờ̀n là 6. 190 = 60 người.

Như vọ̃y so với tụ̉ng sụ́ người đã biờ́t thì thừa 60 – 46 = 14 (ngừời). Sụ́ người này là do mụ̃i thuyờ̀n 4 chở thờm 2 người (6 – 4). Vọ̃y sụ́ thuyờ̀n nhỏ là :

14 : 2 = 7 (thuyờ̀n) 3 5 3 1 2 3 1 2 241 4

Sụ́ thuyờ̀n lớn là : 10 – 7 = 3 (thuyờ̀n)

(Ta cũng có thờ̉ giải bài toán này bằng giả sử 10 thuyờ̀n đờ̀ là loại nhỏ) ……….

2. Bạn Nam đi xe đạp từ A đờ́n B với vọ̃n tụ́c 10 km/h, rụ̀i đi tiờ́p từ B đờ́n C với vọ̃n tụ́c 15 km/h. Biờ́t rằng quãng đường BC ngắn hơn quãng đường AB là 1 km và thời gian đi trờn BC ít hơn thời gian đi trờn AB là 16 phút. Tính quãng đường AB.

Giải:

Bạn Nam đi 1 km trờn AB hờ́t 60 : 10 = 6 (phút), đi 1 km trờn BC hờ́t 60 : 15 = 4 (phút).

Ta giả thiờ́t rằng từ B bạn Nam đi quãng đường bằng AB thì phải đi thờm đoạn CE dài 1 km, tức là đi thờm 4 phút nữa, do đó thời gian đi trờn BE ít hơn thời gian đi trờn AB là 16 – 4 = 12 (phút).

Chú ý rằng quãng đường AB và BE bằng nhau và thờ gian chờnh lợ̀ch khi đi 1 km với 2 vọ̃n tụ́c Là : 6 – 4 = 2 (phút). Do đó quãng đường AB dài là : 12 : 2 = 6 (km).

……….

3. Mụ̣t cụng viợ̀c được giao cho mụ̣t thợ bọ̃c 1 làm trong mụ̣t thời gian, rụ̀i giao cho thợ bọ̃c 2 làm tiờ́p cho xong. Tính xem mụ̃i người làm viợ̀c trong bao lõu biờ́t rằng tụ̉ng cụ̣ng cả hai người làm trong 14 giờ và đờ̉ hoàn thành cụng viợ̀c đó mụ̣t mình, người thợ bọ̃c 1 cõ̀n 15 giờ, người thợ bọ̃c 2 cõ̀n 12 giờ.

Giải:

Trong 1 giờ, người thợ bọ̃c 1 làm được 1/15 cụng viợ̀c, người thợ bọ̃c 2 làm được 1/12 cụng viợ̀c.

Giả thiờ́t rằng người thợ bọ̃c 1 làm tṍt cả 14 giờ thì người đó làm được :

1 14 14 1

14 (công việc), hụt đi: 1 - (công việc).

15ì = 15 15 15=

Sở dĩ hụt đi vì người thợ bọ̃c 1 làm thay cho người thợ bọ̃c 2. Mụ̃i giờ người thợ bọ̃c 2 làm hơn người thợ bọ̃c 1 là : 1 1 1

(công việc)

12 15 60− = .

Thời gian người thợ bọ̃c 2 đã làm : 1 1

: 4 (giờ).

15 60 =

Thời gian người thợ bọ̃c 1 đã làm : 14 – 4 = 10 (giờ).

……….

5. Giải toán vờ̀ chuyờ̉n đụ̣ng đờ̀u:

a. Nụ̣i dung: Loại toán này rṍt phức tạp, vì thờ́ khi giải cõ̀n lưu ý : + Vẽ hình minh họa.

+ Nhớ kỹ mụ̣t sụ́ kiờ́n thức vọ̃t lý vờ̀ chuyờ̉n đụ̣ng đờ̀u như : - Quãng đường = vọ̃n tụ́c . thời gian (S = v.t)

- Vọ̃n tụ́c = quãng đường : thời gian. (v = S)

t

- Thời gian = quãng đường : vọ̃n tụ́c (t = S v )

- Quãng đường đi được (đi cùng vọ̃n tụ́c) tỉ lợ̀ thuọ̃n với thời gian. - Quãng đường đi được (đi cùng thời gian) tỉ lợ̀ thuọ̃n với vọ̃n tụ́c. - Vọ̃n tụ́c và thời gian (đi cùng quãng đường) tỉ lợ̀ nghịch với nhau. - Vọ̃n tụ́c mụ̣t đụ̣ng tử khi xuụi dòng = vọ̃n tụ́c thọ̃t + vọ̃n tụ́c dòng nước. - Vọ̃n tụ́c mụ̣t đụ̣ng tử khi ngược dòng = vọ̃n tụ́c thọ̃t - vọ̃n tụ́c dòng nước.

b. Ví dụ minh họa : * Toán về chuyờ̉n đụ̣ng đều:

1. Mụ̣t người đi từ thị trṍn Hụ̀ xá vờ̀ mụ̣t xã ở Quảng Bình. Người đó khởi hành lúc 8 giờ sáng và đi xe đạp với vọ̃n tụ́c 10 km/h. Sau đó 1 giờ cũng có mụ̣t người đi từ Hụ̀ Xá vờ̀ xã đó bằng ngựa với vọ̃n tụ́c 12 km/h. Hỏi người thứ 2 đuụ̉i kịp người thứ nhṍt sau mṍy giờ ? và gặp nhau cách Hụ̀ Xá bao nhiờu km ?

Giải:

Cách 1: cách này dùng thụng thường với loại toán vờ̀ chuyờ̉n đụ̣ng cùng chiờ̀u (đuụ̉i kịp nhau).

Sau 1 giờ, người đi xe đạp đi được 10 km. Nghĩa là sau 1 gời ta coi như 2 người cùng bắt đõ̀u đi, thì rừ ràng người đi ngựa đi thua người đi xe đạp 10 km. Nhưng mụ̃i giờ người đi ngựa đi hơn người đi xe đạp là 12 – 10 = 2 (km). Như vọ̃y muụ́n đi thờm 10 km nữa cho kịp, người đó phải đi trong 10 : 2 = 5 (giờ). Chụ̃ gặp nhau cách thị trṍn Hụ̀ Xá 5.12 10.6 = 60 (km).

Cách 2:

Trong cùng mụ̣t thời gian, người đi ngựa đi được khoảng cách AC, với vọ̃n tụ́c 12 km/h. Người đi xe đạp đi

với vọ̃n tụ́c 10 km/h và đi được quãng đường BC. Vì quãng đường tỉ lợ̀ thuọ̃n với thời gian nờn ta có:

10 km

A C

AC 12 6

BC =10 = 5. Mặt khác AC – BC = 10 => AC = 10.6 = 60.

Thời gian người thứ hai đuụ̉i kịp người thứ nhṍt là: 60 : 12 = 5 (giờ).

Cách 3:

Gọi t1 là thời gian đờ̉ người đi xe đạp đi hờ́t quãng đường AC; t2 là thời gian đờ̉ người đi xe đạp đi hờ́t quãng đường BC.

Ta biờ́t thời gian tỉ lợ̀ nghịch với vọ̃n tụ́c, tức là: 1 1 2 2 t 12 6 . Mặt khác t t = 1 t =10 = 5 − .

Đờ́n đõy bài toán được đưa vờ̀ dạng: Tìm hai sụ́ khi biờ́t tỉ sụ́ của chúng và hiợ̀u của 2 sụ́.

t1 = 1.6 = 6 (giờ) t2 = 5 (giờ).

Quãng đường cõ̀n tìm là 5.12 = 60 (km).

……… *Toán về chuyờ̉n đụ̣ng ngược chiều:

2. Mụ̣t xe đạp đi từ A đờ́n B lúc 8 giờ sáng với vọ̃n tụ́c 20 km/h. Lúc 9 giờ mụ̣t ụ tụ đi từ B đờ́n A với vọ̃n tụ́c 35 km/h. Hỏi sau mṍy giờ thì gặp nhau? Và chụ̃ gặp nhau cách B bao nhiờu km? Biờ́t rằng A và B cách nhau 240 km.

Giải:

Cách 1:

Sau 1 giờ người đi xe đạp đi từ A đờ́n A/ cách A 20 km, lúc đó ụ tụ bắt đõ̀u đi từ B và cách người đi xe đạp 240 – 20 = 220 (km).

- Mụ̃i giờ hai đụ̣ng tử đi được 20 + 35 = 55 (km). - Đờ̉ đi được 220 km phải mṍt: 220 : 55 = 4 (giờ). - Chụ̃ gặp nhau cách B: 4. 35 = 140 (km).

Cách 2:

Từ 9 giờ đờ́n lúc gặp nhau, trong cùng mụ̣t thời gian người đi xe đạp đi được quãng đường x với vọ̃n tụ́c 20 km/h. Trong lúc đó ụ tụ đi được quãng đường y với vọ̃n tụ́c 35 km/h. Vì quãng đường tỉ lợ̀ thuọ̃n với vọ̃n tụ́c nờn ta có:

x 20 4

y = 35 7= . Mặt khác x + y = 220 nờn suy ra: x 4 x + y 4 7

y 7 y 7 + = ⇒ = 20 A/ 220 A B 220 { }

=> 220 11 220 y = 7 140 (km) y = 7 ⇒ 11 ì = => x = 220.4