Giải toán sử dụng nguyờn lý ĐIRICHLấ:- 123docz.net

I. Mục tiờu

7. Giải toán sử dụng nguyờn lý ĐIRICHLấ:

Nguyờn lý này mang tờn nhà bác học Đirichlờ (1805-1859) : Khụng thờ̉ nhụ́t 7 con thỏ vào 3 cái lụ̀ng mà mụ̃i lụ̀ng có khụng quá 2 con thỏ. Nói cách khác, nờ́u nhụ́t 7 con thỏ vào 3 cái lụ̀ng thì tụ̀n tại mụ̣t lụ̀ng có từ 3 con thỏ trở lờn.

b. Ví dụ:

1. Mụ̣t lớp học có 40 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhṍt 4 học sinh có tháng sinh giụ́ng nhau.

Giải:

Mụ̣t năm có 12 tháng. Ta phõn chia 40 học sinh vào 12 tháng ṍy. Nờ́u mụ̃i tháng có khụng quá 3 học sinh được sinh ra thì sụ́ học sinh khụng quá 3.12 = 36 (em) mà 36 < 40 vụ lý.

Vọ̃y tụ̀n tại mụ̣t tháng có ít nhṍt 4 học sinh trùng tháng sinh (Trong bài này 40 thỏ ví như là 40 HS, 12 lụ̀ng ví như là 12 tờn tháng).

………

2. Chứng minh rằng tụ̀n tại sụ́ tự nhiờn k sao cho 3k tọ̃n cùng bằng 001 Giải:

Trước hờ́t ta chứng tỏ rằng tụ̀n tại hai lũy thừa của 3 có cùng sụ́ dư khi chia cho 1000. Trong phép chia cho 1000, có 1000 sụ́ dư là 0, 1, 2,….., 999.

Ta xét 1001 sụ́ là 3, 32, 33,….., 31001 thì tụ̀n tại hai sụ́ có cùng sụ́ dư trong phép chia cho 1000. Gọi hai sụ́ đó là 3m và 3n (1 ≤ n < m ≤ 1000). Như vọ̃y 3m – 3n chia hờ́t cho 1000, do đó 3n.(3m – 1) chia hờ́t cho 1000, suy ra 3m-1 chia hờ́t cho 1000, tức là sụ́ 3m – n tọ̃n cùng bằng 001.

………..

3. Người ta thả 130 viờn xúc xắc vào mụ̣t bàn cờ Quụ́c Tờ́ có 64 ụ vuụng. Chứng minh rằng tụ̀n tại 1 ụ vuụng trong bàn cờ chứa 3 viờn xúc xắc.

Giải:

Giả sử mụ̃i ụ chứa khụng quá 2 viờn xúc xắc thì 64 ụ chứa khụng quá 2.64 = 128 (viờn).

Mà 128 < 130. Nờn có ít nhṍt 1 ụ vuụng trong bàn cờ chứa 3 viờn xúc xắc.

………

4. Chứng minh rằng trong 6 sụ́ tự nhiờn bṍt kỳ, tìm được hai sụ́ có hiợ̀u chia hờ́t cho 5.

Giải:

Mụ̣t sụ́ khi chia cho 5 chỉ có 1 trong 5 sụ́ dư là 0, 1, 2, 3, 4. Ta lại có 6 sụ́ tự nhiờn bṍt kỳ. Như vọ̃y sẽ tụ̀n tại hai sụ́ có cùng sụ́ dư khi chia cho 5, hiợ̀u của chúng sẽ chia hờ́t cho 5.

5. Chững minh rằng tụ̀n tại mụ̣t bụ̣i sụ́ của 1989 được viờ́t bởi toàn các chữ sụ́ 1 và 0.

Giải: Xét 1990 sụ́ dạng 1, 11, 111,…..,

1990 chữ số

11...11 2 3 . Chia các sụ́ trờn cho 1989, sụ́ dư chỉ có thờ̉ là 0, 1, 2, 3, 4,……,1988. Có 1990 sụ́ mà chỉ có 1989 sụ́ dư nờn tụ̀n tại hai sụ́ có cùng sụ́ dư, hiợ̀u của chúng chia hờ́t cho 1989. Hiợ̀u này gụ̀m toàn chữ sụ́ 1 và 0.

Giải toán sử dụng nguyờn lý ĐIRICHLấ:

Kiờ́n thức cơ bản: