Tim cuc tri cua ham so

2) Chöùng toû raèng chæ coù moät ñieåm A duy nhaát treân maët phaúng toaï ñoä sao cho noù laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa ñoà thò öùng vôùi moät giaù trò thích hôïp cuûa m vaø cuõng laø ñieå[r]

Vấn đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA I Định nghóa

Giả sử hàm số f x  xác định tập D  x0D

1) x0 gọi điểm cực đại hàm số f x  tồn khoảng a b;  chứa điểm x0 cho a b;  D f x   f x 0 , x a b;   \ x0

Khi f x 0 gọi giá trị cực đại hàm số f x 

2) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f x  tồn khoảng a b;  chứa điểm x0 cho a b; D f x  f x 0 , x a b;   \ x0

Khi đó, f x 0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f x  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị II Điều kiện để hàm số có cực trị

1) Điều kiện cần

Giả sử hàm số f x  đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f x  có đạo hàm x0 f x' 0 0

2) Điều kiện đủ

Dấu hiệu Giả sử hàm số f x liên tục khoảng a b;  chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng a x; 0 x b0;  Khi đó:

 Nếu f x'  đổi dấu từ âm sang dương x qua điểmx0thì hàm số đạt cực tiểu điểm x0

 Nếu f x'  đổi dấu từ dương sang âm x qua điểmx0thì hàm số đạt cực đại điểm

x .

Dấu hiệu Giả sử hàm số f x có đạo hàm khoảng a b;  chứa điểm x0,  0

'

f x  f x có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó:

 Nếu f '' x0 0 hàm số đạt cực đại điểm x0  Nếu f '' x0 0 hàm số đạt cực tiểu điểm x0 III Các phương pháp tìm cực trị hàm số

Phương pháp  Tìm f x' 

 Tìm điểm x ii 1, 2,  mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm

 Tìm f x' 

 Giải phương trình f x'  0tìm nghiệm x ii 1, 2,   Tính f '' xi

Nếu f '' xi 0 hàm số đạt cực đại điểm xi Nếu f '' xi 0 hàm số đạt cực tiểu điểm xi

A CÁC VÍ DỤ

Ví dụ Với giá trị tham số m hàm số sau có cực đại cực tiểu 1) ym2x33x2mx m

2)

2 2 2

1

x m x m

y

x

 





Giaûi 1) ym2x33x2mx m

Tập xác định: D

Đạo hàm: y' 3 m2 x26x m

Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 hay g x 3m2x26x m 0có hai nghiệm phân biệt

 

2

'

m

m m

  

  

    



  

2

2

3

m

m m

    

   

 

2

3

m m

   

  



Vậy giá trị cần tìm là:  3 m1 vaø m2.

2)

2 2 2

1

x m x m

y

x

 





Taäp xác định: D\ 1

Đạo hàm:  

2

2

2 '

1

x x m

y

x

 

 

Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 hayg x x22x m 20 có hai nghiệm phân

biệt khác –1

 

2

'

1

m

g m

   

  

   

 

1

1

m m

  

  



   1 m1 Vậy giá trị cần tìm là:  1 m1.

1) ym 3x3 2mx2 3 2)

2

mx x m

y

x m

  



Giaûi 1) ym 3x3 2mx2 3

Tập xác định: D

Đạo hàm: y' 3 m 3x2 4mx  

' 3

y   m x  mx (1)  Xeùt m3 :

' 12 0

y    x  x

'

y

 đổi dấu x qua x0 0

 Hàm số có cực trị  m3 khơng thỏa  Xét m3 :

Hàm số khơng có cực trị  y' khơng đổi dấu  phương trình (1) vơ nghiệm có

nghiệm kép

3

'

m m

 

  

  



3

m m

   



  m0

Vậy giá trị cần tìm m0.

2)

2

mx x m

y

x m

  



Tập xác ñònh: D\m

Đạo hàm:  

2

2

2

' mx m x

y

x m

 



'

y   g x  mx2 2m x2 0

   (1) xm

Hàm số khơng có cực trị  y' khơng đổi dấu  phương trình (1) vơ nghiệm có

nghiệm kép  Xét m0:

' 0,

y   x m  m0 thoûa

 Xét m0:

u cầu tốn   ' m4 0: vô nghiệm m0 Vậy giá trị cần tìm là: m0.

Ví dụ Cho hàm số

1

x mx m

y

x

 



 Chứng minh với m hàm số ln có cực

Đạo hàm:  

2

2 '

1

x x

y x

 



0 '

2

x y m

y

x y m

  



      



Vậy y' 0 ln có hai nghiệm phân biệt m  Hàm số ln ln có cực trị

Tọa độ điểm cực trị A0;m B, 2; 4 m Khoảng cách hai điểm A, B là:

2 02 4 2

AB    m m 

= const (đpcm)

Ví dụ Cho hàm số

2 1

x mx

y

x m

 



 Định m để hàm số đạt cực đại x2.

Giải Tập xác định: D\m

Đạo hàm:  

2

2

2

' x mx m

y

x m

  





Điều kiện cần

Hàm số đạt cực đại x2  y' 2 0

 

2

4

0

m m

m

 

 



2 4 3 0

2

m m

m

   

   

1

m m

 

  



 Điều kiện đủ + Với m1:

 

2

0

'

2

x

x x

y

x x

  

   



 

Bảng biến thiên

x    y' + - - + CÑ   y

    CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu x2

1

m

  khoâng thoûa.

+ Với m3:  

2

2

6

'

4

x

x x

y

x x

 

 

   



 

x    y' + - - + CÑ   y

    CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x2

3 m

  thoả yêu cầu tốn. Vậy giá trị cần tìm là: m3.

Cách khác Ta có:

1

y x

x m

  

Tập xác ñònh: D\m  2

1 '

y

x m

  

 3

2 '

y

x m

 

Hàm số đạt cực đại x2

   

'

''

y y

 

  

 



 

 

2

1

1

2

0

m m



 



 

 

 

 



2

4

2

m m

m m

   



  

  



1

2

m m

m

  

  

 

  m3 Vậy giá trị cần tìm là: m3.

Ví dụ Cho hàm số

2

ax bx ab

y

ax b

 



 Tìm giá trị a, b cho hàm số đạt cực trị

tại x0 x4.

Giải Hàm số xác định ax b 0.

 

2 2

2

2

' a x abx b a b

y

ax b

  





 Điều kiện cần

   

' 0

'

y y

 

  

 



 

2

2

2 2

2

0

16

0

b a b

b

a ab b a b

a b

 

 

  

  

 

 



2

2 2

0

16

4

b a b

b

a ab b a b

a b

  

    

   



  



 

2

2

0

8

4

b a a a a a

  



   



 



2

a b

   

 

 Điều kiện đủ

Với a2,b4, ta có:

 

2

0

'

4

x

x x

y

x x

  

   



  

Bảng biến thiên

x    y' + - - + CÑ   y

    CT

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x0 đạt cực tiểu x4

Vaäy giá trị cần tìm là: a2,b4.

Ví dụ Cho hàm số y x 3 2m1x2m2 3m2x4 Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Đà Nẵng, 2000) Giải

Tập xác định: D

Đạo hàm: y' 3 x2 2 m1x m 2 3m2

Hàm số có cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung  y' 0 hay

  2 2 1

g x  x  m x m  m  có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thoả x1 0 x2  

3 0g

  m2 3m 2 0

     1 m2

Vậy giá trị cần tìm là: 1m2.

Ví dụ Cho hàm số y2x3ax212x13 (a tham số) Với giá trị a

Giải Tập xác định: D

Đạo hàm: y' 6 x22ax12 3  x2ax 6

Hàm số có cực đại cực tiểu cách trục tung  y' 0 hay g x  3x2ax 0 có

hai nghiệm phân biệt x x1, 2thoả x1x2 0

1

72 0,

a a

a

x x

    

  

  



  a0

Vậy giá trị cần tìm là: a0.

Ví dụ Cho hàm số

3

1

3

y x  x mx

Định m để hàm số đạt cực đại cực tiểu điểm có hồnh độ x m .

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 1996) Giải

Tập xác định: D

Đạo hàm: y'x2 x m

Yêu cầu toán  y' 0 hay g x x2 x m0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thoả

1

m x x

 

1

1

1

2

m

g m m m

S

m



   

 

    



  

 

1

2

1

m

m m

m

   

     



  

  m 2

Vậy giá trị cần tìm là: m 2.

Ví dụ Cho hàm số yx33m1x2 3m27m1x m 21 Định m để hàm số đạt cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ

Giải Tập xác định: D

Đạo hàm: y'3x26m1 x 3m27m1

Yêu cầu toán  y' 0 hay g x  3x26m1x 3m27m10 có hai

nghiệm phân biệt x x1, thoả  

 

1

1

1

1

x x

x x

  



 



 1  3 1g 0  3 m2m 40

4

1

3 m

   

   

'

2

1

g S

    

  



 





   

 

2 2

2

9 3

3

1

m m m

m m

m

     

 

    

    

2

3 12

3

0

m

m m

m

  

 

    

 



4

1

0

m

m m

m

   

    

   

4

m

 

(b)

Kết hợp (a) (b) ta có giá trị cần tìm là: m1.

Ví dụ 10 Cho hàm số y x 3 3x22  C Hãy xác định tất giá trị a để điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) hai phía khác đường trịn (phía phía ngồi): x2y2 2ax 4ay5a21 0 .

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000) Giải

Tập xác định: D

Đạo hàm: y' 3 x2 6x

0

'

2

x y

y

x y

  



     



 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A0; , B2; 2 

Đặt Ca:x2y2 2ax 4ay5a21 0

Hai điểm A, B hai phía hai đường tròn Ca  PA C/ a.PB C/ a 0

   

5a 8a 5a 4a

     

2

5a 8a

    (do 5a24a 7 0,a)

3

1

5 a

  

Cách khác

Phương trình đường trịn Ca viết lại: x a 2y 2a2 1

Ca coù tâm I a a ;  bán kính R1 Ta coù:

 22 2 22

IB a  a

 5a24a8

2

2 36

5

5 5

a R

 

       

 Điểm B nằm ngồi Ca Do đó:

Điểm A nằm phía đường trịn Ca  IA1  2

2 2 2 1

a a

    5a2 8a 3 0

   

3

1

5 a

  

Ví dụ 11 Cho hàm số    

3

1

1

3

y mx  m x  m x

Với giá trị m hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực đại cực tiểu x x1, thoả

1 2 x  x  .

Giải Tập xác định: D

Đạo hàm: y'mx2 2m1x3m 2

Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 hay mx2 2m1x3m 2 0 có hai nghiệm phân biệt x x1,

 2  

0

'

m

m m m

    

     





0

2

m

m m

   

   



0

2 6

2

m

m

  

   

 



 (*)

Theo định lí Vi-ét theo đề bài, ta có:

 

1

2 m

x x

m



 

(1)

 

1

3

m

x x

m

 

(2) 2

x  x  (3)

Từ (1) (3), ta có:

3

,

m m

x x

m m

 

 

Thế vào (2), ta được:

 

3

3m m m

m m m



 

   



   

   

2

3m 8m

    (do m0)

2

m m

   

 

 (thoả (*))

Vậy giá trị cần tìm là:

2

2

m  m

Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu

(Trích ĐTTS vào Học viện Kó thuật Mật mã, năm 1999) Giải

Tập xác định: D

Đạo hàm: y' 3 x2 6m1x2m27m2

   

2

'

y   x  m x m  m 

(1)

 Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 có hai nghiệm phân biệt

 2  

' m m 7m

         3m2 8m10

4 17 17

m m

     

Laáy y chia cho y’, ta coù:

     

1 2

1 '

3 3

y x m  y  m  m x m  m  m

Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 điểm cực trị đồ thị hàm số x x1, nghiệm (1) Ta có:

       

 

2

1 1

1

1 2

1 '

3 3

'

y x m y x m m x m m m

y x



         

 

 



   

1

2

8

3

y m m x m m m

       

Tương tự ta có:

   

2

2

8

3

y  m  m x  m  m  m

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu là:

   

2

8

3

y m  m x m  m  m

Ví dụ 13 Cho hàm số y x 3 6x23m2x m  Định m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị dấu

Giải Tập xác định: D

Đạo hàm: y' 3 x212x3m2

 

2

' 12 y   x  x m  (1)

 Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 có hai nghiệm phân biệt

 

' 36 m

       2 m0  m2 (*) Lấy y chia cho y’, ta có:

   

1

2 ' 2

3

y x y  m x m 

1 4, 2 x x  x x  m Ta coù:

     

 

1 1

1

1

2 ' 2

3

'

y x y x m x m

y x



     

 

 

  y1 2m 2x1m

Tương tự ta có: y2 2m 2x2m u cầu tốn  y y1 0

   

2 m x m 2 m x m

            

m 2 2 2x1 2  x2 1

      m 224x x1 22x1x21 0 m 22 4m 2 2.4

         m 2 2 4m17 0

17

m m

     

 



So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:

17

2

4 m

  

Ví dụ 14 Cho hàm số y x 3 3x2m x m2 

Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng

1

2

y x

(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001) Giải

Taäp xác định: D

Đạo hàm: y' 3 x2 6x m

2

'

y   x  x m  (1)

 Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 có hai nghiệm phân biệt

' 3m

       3m 3

Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 điểm cực trị đồ thị hàm số I trung điểm đoạn AB

Do x x1, nghiệm (1) nên theo định lí Vi-ét, ta coù:

1 2

x x  ,

2

3

m

x x 

Hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng

1

:

2

y x

  

AB I

  

    

Đường thẳng  AB có hệ số góc là:

1

1

   

3 2

2 2

2

2

2

3

x x x x m x x

y y

k

x x x x

    



 

 

x1x22 x x1 2 3x1x2m2

2

2

4

3

m

m

   

2

3

m  

1 AB   k k 

2

1

2

m

  

  

   m0.

Với m0:

1

2

2

0

'

2

x y

y x x

x y

  



    

  



 Đồ thị hàm số có hai cực trị A0;0 , B2; 4   Trung điểm AB là: I1; 2 

T a coù: I 

Vậy: m0 thoả yêu cầu tốn.

Ví dụ 15 Cho hàm số y x  2mx22m m 4 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu,

đồng thời điểm cực đại cực tiểu lập thành tam giác

(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997) Giải

Tập xác định: D

Đạo hàm: y' 4 x3 4mx

 

0 '

*

x y

x m

    

 

Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 có ba nghiệm phân biệt y’ đổi dấu x qua

các nghiệm

 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác  m0

Khi :

4

4

0

'

2

x y m m

y

x m y m m m

    

  

    



Đồ thị hàm số có điểm cực đại A0;m42m hai điểm cực tiểu

 ; 2  , ; 2 

B  m m  m  m C m m  m  m

Các điểm A, B, C lập thành tam giác

AB AC

AB BC

   

 

2

AB BC

   m m 4m  

3 3 0

m m

    m33

Ví dụ 16 Cho hàm số y kx 4k1x2 1 2k Xác định giá trị tham số k để đồ thị hàm số có điểm cực trị

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, 1999) Giải

Tập xác định: D

Đạo hàm: y' 4 kx3 2k1x  

0 '

2 *

x y

kx k

    

  



Hàm số có cực trị  y' 0 có nghiệm y’ đổi dấu x qua

nghiệm

 Phương trình (*) vơ nghiệm có nghiệm x0

 

0

'

k k

k k

  

  



    



0

0

k

k k

 

    

  k 0 k1

Vậy giá trị cần tìm là: k 0 k1.

Ví dụ 17 Cho hàm số

4

1

2

y x  mx 

Xác định m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Cảnh sát, 2000) Giải

Tập xác định: D

Đạo hàm: y' 2 x3 2mx

 

0 '

*

x y

x m

    

 

Hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại  y' 0 có nghiệm y’ đổi dấu

từ âm sang dương x qua nghiệm

 Phương trình (*) vơ nghiệm có nghiệm kép x0  m0 Vậy giá trị cần tìm là: m0.

Ví dụ 18 Cho hàm số

2 2

1

x mx

y

x

 



 Tìm m để điểm cực tiểu đồ thị hàm số nằm

treân parabol  P y x:  2 x

Giải Ta có:

3

1

m y x m

x



   



Tập xác định: D\ 1 

Đạo hàm:  

2

2

'

1

x x m

y

x

  



   

' 2

y   g x x  x m   x (1)

Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 có hai nghiệm phân biệt khác

 

 

'

1

m

g m

     

  

  

 

3

m m

  

  

  m 3 (*) Khi đó:

1

2

3

1 3 2

3 '

3

1 3 2

3

m

x m y m m m m

m y

m

x m y m m m m

m

 

             

  

  

 

             

 



Baûng biến thiên

x   x1 x2  y’ + - - +

y1   y

    y2 Từ bảng biến thiên, ta thấy:

2

CT

x x   m

2 2

CT

y y   m m

 Điểm cực tiểu A1 m3;m 2 m3

  2 1 32

A P  m  m   m   m 

3

m

    m 3  m2 (thỏa (*))

Vậy giá trị cần tìm là: m2.

Ví dụ 19 Cho hàm soá

 

2 1 4 2

1

x m x m m

y

x

    



 Tìm tất giá trị tham số

m hàm số cho có cực trị Tìm m để tích giá trị cực đại cực tiểu đạt giá trị nhỏ

(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999) Giải

Ta coù:

2 3 2

1

m m

y x m

x

 

  



Tập xác định: D\ 1 

Đạo hàm:  

2

2

2 3

'

1

x x m m

y

x

   



Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 hay g x  x2 2x m 2 3m 3 0 x1 có

hai nghiệm phân biệt x x1, khaùc  

'

1

g

     

 



2

3

3

m m

m m

   

  

  



  1 m2 (*)

Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 điểm cực trị đồ thị hàm số x x1, 2 nghiệm (1) Khi đó:

2

1

2

2

1 2

'

1 2

x m m y m m m

y

x m m y m m m

            

  

            



Ta coù:

  

1 2 2

y y   m m  m  m m  m

   

2

1 m m 3m

     

5m214m9

2

7 4

5

5 5

m

 

     

 

 2

4

5

Min y y

 

, đạt

7

m

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:

7

m

Ví dụ 20 Cho hàm số

 

2

1

1

x m x m

y

x

   



 Với giá trị m hàm số cho

có cực đại cực tiểu đồng thời giá trị cực đại giá trị cực tiểu dấu

(Trích ĐTTS vào Trường Cao đẳng Sư phạm TPHCM, 2000) Giải

Ta coù:

2

1

m y x m

x



  



Tập xác định: D\ 1 

Đạo hàm:  

2

2

'

1

x x m

y

x

  





Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 hay g x  x2 2x 2m1 0 có hai nghiệm

phân biệt x x1, khác  

'

1

g

     

 



2

2

m m

  

 

  

  m 1 (*)

1

2

2

1 2 2 2

2

'

2

1 2 2 2

2

m

x m y m m m m

m y

m

x m y m m m m

m

 

            

  

  

 

            

 



Hai giá trị cực trị dấu  y y1 0

1 m 2m 1  m 2m 2

         1 m2 4 2 m2 0

2

10

m m

     m 5 2 m 5

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:  1 m 5 2 m 5 2. Cách khác

Tập xác định: D\ 1 

Đạo hàm:  

2

2

'

1

x x m

y

x

  





Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 hay g x  x2 2x 2m1 0 có hai nghiệm

phân biệt x x1, khác y' đổi dấu x qua hai nghiệm  

'

1

g

     

 



2

2

m m

  

 

  

  m 1 (*)

Hai giá trị cực trị dấu  Đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt

0

y

  hay x2 m1x3m 2 x1 có hai nghiệm phân biệt khác 1

   

 

2

1

1

m m

m m

     

  

    

 

2 10 7 0

2

m m

m

   

 

  

5

1

m m

m

     

  

  

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:  1 m 5 2 m 5 2.

Ví dụ 21 Xác định p cho hàm soá

2 3

4

x x p

y

x

  



 có giá trị cực đại M giá trị cực

tiểu m với m M 4.

Giải Ta có:

4

4

p

y x

x



  



Tập xác định: D\ 4 

Đạo hàm:  

2

8 12

'

4

x x p

y

x

   





   

' 12

y   g x x  x p   x (1)

   

' 16 12

4

p

g p

    

  

  

 

4

4

p p

 

  



  p4 (*)

Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 điểm cực trị đồ thị hàm số x x1, nghiệm (1) Khi đó:

 

 

1

2

4

4 4

4 '

4

4 4

4

p

x p y p p

p y

p

x p y p p

p

 

           

  

  

 

           



 

Bảng biến thiên

x   x1 x2  y’ - + +

-  y2

y

y1     Từ bảng biến thiên, ta thấy:

2 M y    p

1 my    p Do đó:

4

m M    5 4 p   4 p4  4 p 1  p3 (thoả (*))

Vậy giá trị cần tìm là: p3.

Ví dụ 22 Cho hàm số

2 2 5 3

x m x m m

y

x

   



Tìm m0 để hàm số đạt cực tiểu tại 0; 

x m .

Giải Tập xác định: D\ 0 

Đạo hàm:

2

2

2

' x m m

y

x

  



Bảng biến thiên

x   x1 x2 2m  y’ + - - + CÑ   y

Hàm số đạt cực tiểu x0; 2m  y' 0 hay g x  x2 2m25m 0 có hai

nghiệm phân biệt x x x1, 2 1x2 thoả: x1  0 x22m  

 

0

1 0

1

m g g m

 



  



 

2

0

2

2

m

m m

m m

  

    



  



0

3

2

2

m

m m

m m



 

 

    

 

   

 

1

1

3

m m



 

  

 



Vậy giá trị cần tìm là:

1

1

2m  m2.

Ví dụ 23 1) Cho hàm số

   

u x y

v x



Chứng minh y x' 0 0 v x' 0 0 ta có:

   

   

0

0

' '

u x u x

v x v x .

2) Chứng tỏ hàm số:

2

2

2

x x m

y

x

  



 đạt cực đại x1 đạt cực tiểu

x ta có :

 1  2

y x  y x  x  x

Giaûi 1) Ta coù:

         

' '

' u x v x u x v x

y

v x

 

 

 

Do đó: y x' 0 0

   0    0

' '

u x v x u x v x

  

   0    0

' '

u x v x u x v x

 

   

   

0

0

' '

u x u x

v x v x

 

(ñpcm)

2) Theo kết câu 1) nên ta có:  1

y x  x  , y x 2 4x23  1  2

y x y x x x

   

(đpcm)

Ví dụ 24 Cho hàm số

2 2 2

1

x mx

y

x

 



Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách từ hai điểm đến đường thẳng x y  2 0 nhau.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2001) Giải

Tập xác định: D\ 1

Đạo hàm:  

2

2 2

'

1

x x m

y

x

  





Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 hay g x x22x2m 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, khác -1

 

'

1

g

     

 

 

3

2

m m

 

  

 



3

m

 

(*)

Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 điểm cực trị đồ thị hàm số x x1, 2 nghiệm (1) Theo định lí Vi-ét, ta có: x1x2 2, x x1 2m

Mặt khác: y12x12m, y2 2x22m Đặt :x y  2

Yêu cầu toán  d A ,  d B ,

1 2 2

2

x y  x y 

 

1

3x 2m 3x 2m

       3x12m223x22m22

3x1 2m 22 3x2 2m 22

        x1 x23x1x24m4 0

 2  2

3 x x 4m x x

       2 4m 4

1

m

 

(thoả (*)) Vậy giá trị cần tìm là:

1

m

Ví dụ 25 Cho hàm số

 

2 2 3 2

1

x m x m

y

x

   



 .

1) Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu

2) Giả sử y có giá trị cực đại, cực tiểu yCĐ,yCT Chứng minh:

2

2

CT

yCÑ2 y 

Giải

1) Tập xác định: D\ 1

Đạo hàm:  

2

2

'

1

x x m

y

x

 

 

Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 hay g x  x22x 2m0 có hai nghiệm phân

 

'

1

g

     

 

 

2

2

m m

  

 

  



1

m

  

Vậy giá trị cần tìm là:

1

m 

2) Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 điểm cực trị đồ thị hàm số x x1, 2 nghiệm (1)

Theo định lí Vi-ét, ta có

1 2, 2

x x  x x  m

Mặt khác: y1 2x1m2, y2 2x2m2 Do đó:

2 2

1

CT

yCÑ y y y

2x1m222x2m22

       

2

2

1 2

4 x x m x x m

      

       

2

1 2

4 x x 2x x  m x x m

       

 

4 4  m 8m22m22 2m2 16m8

Xét hàm số:  

2

2 16 8,

2

f m  m  m m 

 

' 16 0,

2

f m  m  m 

Baûng biến thiên

x

1



 f m'  +

f m  

1

Từ bảng biến thiên, ta thấy  

1

, ;

2

f m    m  

 .

Vaäy:

2

2

CT

yCĐy 

(đpcm)

Ví dụ 26 Cho hàm số

 

2 1 4

mx m x m m

y

x m

   



 Tìm giá trị m để đồ thị hàm

số tương ứng có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ  II điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ IV mặt phẳng toạ độ

Giải Ta có:

3

4

1 m

y mx

x m

  



 Tiệm cận xiên: y mx 1 m0

Tập xác ñònh: D\m

Đạo hàm:  

2

2

2

' mx m x m

y

x m

 





  2  

'

y   g x mx  m x m  xm (*)

Giả sử A x y 1; 1,B x y 2; 2 x1x2là điểm cực trị đồ thị hàm số x x1, 2 nghiệm (*)

Yêu cầu toán

A B

   

thuộc góc phần tư thư ù (II) thuộc góc phần tư thư ù (IV)

   

 

1

2

0

0

x x

y y

  

 

   

 

 He äsố góc tiệm cận xiên nhỏ

 1  m g 0  0 3m4 0

    m0 (a)

 2  Đồ thị hàm số không cắt trục Ox

0

y

  hay mx2m21x4m3m0 xm vô nghiệm

 2  

0

1 4

m

m m m m

    

     





0

15

m

m m

   

   



2

0

m m

    

  

1

5

m m

    

(b)  3  m0 (c)

Từ (a), (b) (c) ta có giá trị cần tìm là:

1

m 

Ví dụ 27 Cho hàm số

 

2 1 1

x m m x m

y

x m

   





1) Chứng minh đồ thị hàm số cho ln ln có điểm cực đại cực tiểu với giá trị m Xác định toạ độ điểm cực trị

2) Chứng tỏ có điểm A mặt phẳng toạ độ cho điểm cực đại đồ thị ứng với giá trị thích hợp m điểm cực tiểu đồ thị ứng với giá trị thích hợp khác Tìm toạ độ A

(Trích ĐTTS vào TTĐT Cán Y tế TPHCM, 2000) Giải

Đạo hàm:  

2

2

2

' x mx m

y x m        2

'

y   x  mx m   x m Ta có:  ' m2 m21  1 0,m Do đó: 2 '

x m y m m

y

x m y m m

      

  

     



Vậy đồ thịhàm số ln có cực đại cực tiểu

Toạ độ điểm cực trị là: m1;m2m , m 1; m2m2 2) Đặt A x y 0; 0

Giả sử ứng với giá trị m m A điểm cực đại ứng với giá trị m m A điểm cực tiểu đồ thị hàm số

Ta coù:

0

2

0 1

1

2

x m

y m m

          ; 2

0 2

1

2

x m

y m m

          Do đó: 2

1 2

1

2

m m

m m m m

                 

1 2

2

1

m m

m m m m

            2 m m m m         2 m m           0 x y          

Vậy có điểm A thoả yêu cầu toán là:

1

;

2

A  

 .

Ví dụ 28 Cho hàm số

2 8 x mx y x m   

 Xác định m để hàm số có cực trị, viết

phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Cảnh sát Nhân dân, 2000) Giải Cách 1 Ta có: 2 m

y x m

x m



  



Tập xác định: D\ m

Đạo hàm:  

2

2

2

' x mx m

y

x m

  





 Hàm số có cực đại cực tiểu  y' 0 hay  

2 2 8 0

  ' 0 g m          2

2

2

m m          

  m  2 m2 (*)

 Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 điểm cực trị đồ thị hàm số x x1, nghiệm (1) Khi đó: 2 2 '

x m m

y

x m m

   

  

   



Toạ độ điểm A thoả hệ:

 

2

2

2

1 1 2 1

1

2

2 8

2 2

2

x m m

m m

y x m x m x m m m x m

x m m

                          1

x m m

y x m

          

Tương tự ta có toạ độ B:

2

2

2

2

x m m

y x m

         

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y2x m

Caùch2

 Định m để hàm số có cực đại cực tiểu: m  2 m2  Toạ độ điểm cực trị thoả hệ:

2

2

2

8

x mx m

x mx y x m                2

2 2 2 2

2

8 2

x mx m

x mx x mx m x mx m

y

x m x m

                         

2 2 8 0

2

x mx m

x m x m

y x m                

2 2 8 0

2

x mx m

y x m x m

            

y x m

   phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu.

Caùch 3

 Định m để hàm số có cực đại cực tiểu: m  2 m2

 Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 điểm cực trị đồ thị hàm số x x1, nghiệm (1)

Đặt u x  x2mx 8, v x  x m Ta coù:

   

   

1 1

1 1

1

'

2

'

u x u x x m

y y x m

v x v x



     

Tương tự ta có: y2 2x2m

Ví dụ 29 Xác định tham số a để hàm số sau có cực đại: y2x 2 a x2 4x5

Giaûi Tập xác định: D

 

2

2

'

4

a x y

x x

  

 

 3

''

4

a y

x x



 

Hàm số đạt cực đại x x

   

0

'

''

y x y x

 

  

 



 

0

2

4

0

a x

x x

a

 

 

   

  

 

0

0

4

1

2

0

x x a

x a

  

 

  

  

Với a0 nên từ (1) suy x0 2 Xét hàm số:  

2

0

0

0

4

2

x x

f x

x

 



 , với x0 2

 

   

0 2

0 0

2

' 0, ;

2

f x x

x x x



     

  

Baûng biến thiên

x0    0

'

f x

1

f x 0

 

Yêu cầu tốn  phương trình (1) có nghiệm x02

1

2

a

a

     

B BÀI TẬP

Bài Xác định tham số m để hàm số sau có cực đại cực tiểu 1) y x 3mx23mx5

Đáp số: m 0 m9.

2)

2 2

x mx m

y

x m

 





3)

 

2 1 1

2

mx m x

y

mx

  





Đáp số: m2,m0.

Bài 1) Tìm m để hàm số y x 3 m3x2mx m 5

đạt cực tiểu x2.

Đáp số: m0. 2) Cho hàm số y m2 5m x 36mx26x

Với giá trị m hàm số đạt cực đại x1.

Đáp số: m1. 3) Tìm m để hàm số

 

2 1 1

1

x m x

y

x m

  



  đạt cực đại x2.

Đáp số: m2.

Bài 1) Cho hàm số y x 3ax2bx c Xác định a, b, c để hàm số có giá trị

khi x0 đạt cực trị x2 giá trị cực trị – 3.

Đáp số: a3,b0,c1.

2) Cho hàm số

2

x ax b

y x

 



 Tìm a b để hàm số đạt cực trị x3 có tiệm cận xiên y x 1

Đáp số: a3,b3.

3) Cho hàm số

2

2

ax bx c

y

x

 



 Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị x1 đường tiệm cận xiên dồ thị vng góc với đường thẳng

1

x y 

Đáp số: a2,b3,c0.

Bài 1) Cho hàm số y4x3 mx2 3x m Chứng minh với m hàm số ln

ln có cực đại, cực tiểu đồng thời chứng minh hoành độ cực đại hồnh độ cực tiểu ln trái dấu

Đáp số:

1

4

C CT

x Ñ x  

2) Cho hàm số y x 33mx23m21x m 3 3m Chứng minh với m hàm số

ln ln có cực đại, cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định

Đáp số: y2

3) Cho hàm số y2x3 2 a1 x26a a 1x1 Chứng minh với a, hàm số luôn đạt cực trị hai điểm x x1, với x2  x1 không phụ thuộc vào tham số a Định a để yCĐ1

Đáp số:

3

1,

2

x  x   a

Bài 1) Cho hàm số y x 32m1x2m2 4m1x 2m21 Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu hai điểm x x1, thoả điều kiện:

 2

1

1 1

2 x x

x x  

Đáp số: m 1 m5.

2) Cho hàm số    

3 1 5 1

3

m

y x  m x  m x

Với giá trị m hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hoành độ x x1, điểm cực trị thoả mãn điều kiện:

 

1 2

2

1

3

24

x x x x

x x

   

  

 





Đáp số:

1

0

7 m

  

3) Cho hàm số y x 3 6x23mx 2 m Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại

 

1 1;

M x y điểm cực tiểu M x y2 2; 2 thoả điều kiện:

   

1

1 2

0

y y

x x x x





 

Đáp số: 2m4.

Bài 1) Cho hàm số y2x33m1x26m 2x1 a) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu x x1, và:

1 2

x x 

Đáp số: m1. b) Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị vng góc với đường thẳng y x .

Đáp số: m 2 m4.

2) Cho haøm soá

2

2x 3x m

y

x m

 



 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu thoả mãn điều

kieän:

8 CT

yCÑ y 

Đáp số:

1 5

2

m   m 

Baøi 1) Cho hàm số

2 5

x mx m

y

x m

  



 Với giá trị tham số m hàm số có

cực đại cực tiểu đồng thời giá trị cực trị dấu

Đáp số: m  2 6  2 6m5.

2) Cho hàm số

2 3 2 1

1

mx mx m

y

x

  



 Định m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng

thời hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm hai phía trục Ox

3) Cho hàm số

 

2 1 1

x m x m

y

x m

   



 Với giá trị tham số m hàm số có cực

đại cực tiểu đồng thời giá trị cực đại giá trị cực tiểu dấu

Đáp số: m  2 3 m  2 3.

Bài 1) Cho hàm số y x 3 3x23mx 1 m Định m để hàm số có cực trị với hồnh

độ điểm cực trị nhỏ

Đáp số: 0m1.

2) Cho hàm số y x 3 3m1 x22m24m1x 4m m 1 Định m để hàm số đạt cực trị hai điểm x x1, cho  1 x1x2

Đáp số:

7 3

,

2

m  m

3) Cho hàm số y2x33m1x26m 2x1 Định m để hàm số có cực đại cực

tiểu có hồnh độ khoảng 2;3

Đáp số:  1 m4,m3.

Bài 1) Cho hàm số y mx 4 m 3x23m Định m để hàm số có ba cực trị với hoành độ thuộc đoạn 2; 2

Đáp số:

3

3

m  m

2) Cho haøm soá

2 3 5

x mx

y

x m

 



 Tìm giá trị tham số m để hàm số có cực

trị thuộc đoạn 1;1

Đáp số:

2

2

3m .

3) Cho hàm số

m 1x2 2mx m3 m2 2

y

x m

    



 , với m tham số khác -1 Với giá trị

nào m hàm số đạt cực đại cực tiểu khoảng 0;2

Đáp số: m . Bài 10 1) Cho hàm số

2 1

2

x mx m

y

x

   



 .

a) Định m để hàm số có cực đại cực tiểu đoạn 1;5

Đáp số: 4m5.

b) Định m để hàm số có cực đại cực tiểu x x1, cho x y1 1x y2 x1x2, với  

1

y y x vaø y2 y x 2

Đáp số: m5. 2) Cho hàm số

2 2

1

x mx m

y

x m

  



  Định m để đồ thị hàm số đạt cực tiểu điểm có

hồnh độ nhỏ

3) Tìm a b để cực trị hàm số

2

5

2

3

y a x  ax  x b

số dương

5

x

điểm cực đại Đáp số:

81 400 36

, ,

25 243

a b  a b

Bài 11 1) Cho hàm số y x 3 3mx2m22m 3x4 Xác định tất giá trị m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu hai phía trục tung

Đáp số:  3 m1. 2) Cho hàm số

2 2 2

1

x x m

y

x

  



 .

a) Chứng minh hàm số ln ln có cực đại cực tiểu với m, đồng thời điểm cực đại cực tiểu hai phía trục hoành

Đáp số: y y1 4m210,m. b) Tìm m để điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số cách trục Ox

Đáp số: m . Bài 12 1) Cho hàm số

 

2 1 2 1

x m x m

y

x m

   



 .Tìm m để hàm số có cực trị ln

ln nằm góc phần tư thứ mặt phẳng toạ độ

Đáp số: m5. 2) Cho hàm số

2 1

1

mx mx m

y

x

  



 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có

điểm cực trị nằm góc phần tư thứ (I) điểm cực trị nằm góc phần tư thứ (III) mặt phẳng toạ độ

Đáp số: m0.

Bài 13 1) Xác định m để hàm số yx42mx2 có ba cực trị

Đáp số: m0. 2) Cho hàm số y 1 m x 4 mx22m1 Định m để hàm số có cực trị

Đáp số: m 0 m1.

3) Cho hàm số y x 4 2m x2 21 Định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực

tiểu lập thành tam giác

Đáp số: m6 3.

4) Cho hàm số yx42m2x2 2m Tìm m để hàm số có cực đại mà khơng

có cực tiểu

Đáp số: m2. Bài 14 1) Cho hàm số y x 3 3ax24a3 Tìm a để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

đối xứng qua đường thẳng y x .

Đáp số:

2

a

2) Cho hàm số y2x3 2 m1x26m m 1x1 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng y x 2.

Đáp số:

1 17

1

4

m  m 

5) Cho hàm số

 

2 3 1 4

2

x m x m

y

x

  



 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối

xứng qua đường thẳng x y  1 0.

Đáp số: m1.

Bài 15 1) Cho hàm số y2x33m 3x211 3 m Tìm m để hàm số có hai cực trị Gọi M M1, điểm cực trị, tìm m để M M1, B0; 1  thẳng hàng

Đáp số: m4. 2) Cho hàm số y mx 3 3mx22m1x 3 m Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu Chứng minh đường thẳng nối cực đại, cực tiểu luôn qua điểm cố định

Đáp số:    

2 1

0 1; 10 , ;3

3

m  m y m x  m A 

 

4) Cho hàm số

3

1

1

y x  mx  x m 

Chứng minh với m hàm số cho ln ln có cực đại, cực tiểu Hãy xác định m để khoảng cách điểm cực đại, cực

tiểu nhỏ

Đáp số: m0.

Bài 16 Xác định tham số k để hàm số sau có cực tiểu:

y2x k x 21

Đáp số: k 2. Câu 309 Cho hàm số y x 3 3x25 Khẳng định đúng?

A y đạt cực đại x0, cực tiểu x2;

B y có cực đại x0;

C y đạt cực tiểu x0, cực đại x2;

D y khơng có cực trị Câu 311 Hàm số

2 1

1

x x

x

 

 có giá trị cực đại ycd giá trị cực tiểu yct là: A ycd 1;yct 3;

B ycd 3;yct 1; C ycd 1;yct 5; D ycd 3;yct 2.

Câu Cho hàm số y =x3-12x-7, đồ thị hàm số có cực đại điểm có hồnh độ là

D

Câu 6* Tìm m để y=x

+mx+1

x −1 có cực trị

A m>−2 B m 2 C m≤ −2 D m<2

Câu 9* Tìm m để y = x3 – mx2 + mx -2 có cực trị

A m<0 m>3 B m3 m 0 C 0<m<3

D m3

Câu 16 Điểm cực đại hàm số y=2x

+1

x laø :

A M(−√2

2 ;−2√2)

B M(√2

2 ;2√2)

C M(−√2

2 ;2√2)

D Không có

Câu 17* Giá trị tham số m để hàm số y=x

3 −mx

2

+(m2−1)x −m

3 có cực đại

cực tiểu là: A ∀m∈ℜ

m>4

3

B m<4

3

C Tất câu trả lời khác sai

Câu 18 Nếu hàm số y=2x3−3(2a+1)x2+6a(a+1)x+1 đạt cực đại x2 , đạt cực

tieåu x1 giá trị x1− x2 laø:

A B C 2a+1

D Tất câu trả lời khác sai Câu 19* Giá trị m để hàm số y=x

2

+2m2x+m2

x+1 có cực trị là:

A −1<m<1 B m>3

C −2<m<2

Câu 21 Điểm cực trị đồ thị hàm số y=f(x)=x

3 +m là:

A Khơng có điểm cực trị B I(−√33m ;0)

C I(0;m)

D Tất câu trả lời khác sai

Câu 22 Điểm cực trị M đồ thị hàm số y=f(x)=lnx

x +1 laø:

A M (e ;1 e+1)

B M (e ;1 e)

C Khơng có điểm cực trị

D Tất câu trả lời khác sai

Câu 23* Hàm số

2

1

x y

x



 coù:

A Một cực tiểu cực đại B Hai cực tiểu

C Hai cực đại

D Tất câu trả lời khác sai

Câu 24* Hàm số y=f(x)=¿x¿3+3∨x¿2−9 coù:

A Một cực tiểu

B Một cực tiểu cực đại C Một cực đại

D Tất câu trả lời khác sai

Câu 25* Hàm số y=f(x)=|¿x¿3+3∨x¿2−4| có:

A Hai cực tiểu B Hai cực đại

C Hai cực tiểu hai cực đại

D Tất câu trả lời khác sai

Caâu 26* Hàm số y=f(x)=¿x+1∨(x2−2x+2) có:

A Ba cực trị B Hai cực trị C Một cực trị

D Tất câu trả lời khác sai

Câu 27 Giá trị cực đại hàm số

x −1¿2 ¿ ¿

y=¿

là: A Tất câu trả lời khác sai

Câu 28 Giá trị cực đại hàm số y=−2x3+3x2+12x −5 là: A 15

B C −1

D Tất câu trả lời khác sai

Câu 31 Giá trị tuyệt đối hiệu giá trị cực tiểu giá trị cực đại hàm số

y= x

2

x+1 laø:

A B C −2

D Tất câu trả lời khác sai Câu 32 Nếu đồ thị hàm số y=2x

2

+(6−m)x+4

mx+2 ñi qua điểm (−1;1) giá trị

của m là: A B C

D Tất câu trả lời khác sai Câu 33 Hàm số y=x

2 +x+1

x+1 có giá trị cực tiểu yct giá trị cực đại ycđ Khi đó,

|yct− ycđ| :

A B C D +∞

Câu 224 Cho hàm số y =x3-3x-7, đồ thị hàm số có cực tiểu điểm có hồnh độ là

A B -1 C D

Câu 228 Đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu hàm số

2 2 3

2

x x

y x

 



 laø: