Đang tải... (xem toàn văn)
Baøi 5: Cho Δ ABC tuøy yù vôùi ba goùc ñeàu laø nhoïn.[r]
(1)CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Định nghĩa
Trên mặt phẳng Oxy cho đường trịn lượng giác tâm O bán kính R=1 điểm M đường tròn lượng giác mà sđAM= β với 0≤ β ≤ π2
Đặt α = β +k2 ,k Zπ ∈ Ta định nghóa:
sinα =OK cosα =OH
sin tg
cos α α =
α với cosα ≠0 cos
cot g
sin α α =
α với sinα ≠0
II Bảng giá trị lượng giác số cung (hay góc) đặc biệt Góc α
Giá trị ( )
o
0 ( )30o
π ( )45o
4
π ( )60o
3
π ( )90o
2 π
sinα
2 22 23
1
cosα 3
2
2
1
0
tgα 0 3
3
1 ||
cot gα || 3 1 3
3
0
III Hệ thức
2
sin α +cos α =1
2 1 tg
cos + α =
α với k k Z( ) π
α ≠ + π ∈
2 t cot g
sin
+ =
α với α ≠ π ∈k k Z( )
IV Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo) a Đối nhau: α −α
( )
sin −α = −sinα ( )
cos −α =cosα
( ) ( )
tg −α = −tg α
( ) ( )
(2)b Bù nhau: α π − α
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g
π − α = α π − α = − α π − α = − α
π − α = − α c Sai : vaø π α π +α
( )
( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tg t g
cot g cot g π + α = − α π + α = − α π + α = α
π + α = α d Phuï nhau: vaø α
2 π
− α
sin cos
2
cos sin
2
tg cot g
2
cot g tg
2 π
⎛ − α =⎞ α
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π
⎛ − α =⎞ α
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π
⎛ − α =⎞ α
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π
⎛ − α = α⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
e.Sai
π: α vaø π+ α
sin cos
2
cos sin
2
tg cot g
2
cot g tg
2 π
⎛ + α =⎞ α
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π
⎛ + α = −⎞ α
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π
⎛ + α = −⎞ α
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π
⎛ + α = − α⎞
⎜ ⎟
(3)f
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
+ π = − ∈
+ π = − ∈
+ π = ∈
+ π = k
k
sin x k sin x,k Z cos x k cosx,k Z tg x k tgx,k Z
cot g x k cot gx
V Công thức cộng
( )
( )
( )
sin a b sinacos b sin b cosa cos a b cosacos b sin asin b
tga tgb tg a b
1 tgatgb
± = ±
± = ± ± =
m
m VI Công thức nhân đôi
=
= − = − =
= −
− =
2 2
2
2 sin2a 2sinacosa
cos2a cos a sin a 2sin a 2cos a 2tga
tg2a
1 tg a cot g a cot g2a
2cot ga
−
VII Công thức nhân ba:
3
sin3a 3sina 4sin a cos3a cos a 3cosa
= −
= −
VIII Công thức hạ bậc:
( )
( )
2
2
2
1
sin a cos2a
1
cos a cos2a
1 cos2a tg a
1 cos2a
= −
= +
− =
+
IX Công thức chia đôi Đặt t tga
2
(4)2 2
2 2t sin a
1 t t cosa
1 t 2t tga
1 t =
+ − =
+ =
−
X Cơng thức biến đổi tổng thành tích
( )
( )
a b a b
cosa cos b 2cos cos
2
a b a b cosa cos b 2sin sin
2
a b a b sina sin b 2cos sin
2
a b a b sina sin b cos sin
2
sin a b tga tgb
cosacos b sin b a cot ga cot gb
sina.sin b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
±
± =
±
± =
XI Cơng thức biển đổi tích thành tổng
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
cosa.cos b cos a b cos a b
1
sina.sin b cos a b cos a b
1
sina.cos b sin a b sin a b
= ⎡⎣ + + − ⎤⎦ −
= ⎡⎣ + − − ⎦
= ⎡⎣ + + − ⎤⎦ ⎤
Bài 1: Chứng minh sin a cos a 246 46 sin a cos a
+ − =
+ −
Ta coù:
( )2
4 2 2
sin a cos a 1+ − = sin a cos a+ −2sin acos a 1− = −2sin acos a2 Vaø:
( )( )
( )
6 2 2
4 2
2 2
2
sin a cos a sin a cos a sin a sin acos a cos a sin a cos a sin acos a
1 2sin acos a sin acos a 3sin acos a
+ − = + − +
= + − −
= − − −
= −
(5)Do đó: sin a cos a 146 46 2sin acos a 222 22 sin a cos a 3sin acos a
+ − −
= =
+ − −
Bài 2: Rút gọn biểu thức ( )
2
2 cosx cosx
A
sin x sin x
⎡ − ⎤
+
= = +⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Tính giá trị A cosx
= − vaø x
2 π
< < π
Ta coù: A cosx sin x 2cosx cos x2 2
sin x sin x
⎛ ⎞
+ + − +
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
2 cosx cosx
A
sin x sin x − +
⇔ =
( ) 2
3
2 cos x 2sin x 2 A
sin x sin x sin x −
⇔ = = = (với sin x 0≠ )
Ta coù: sin x cos x 12 4
= − = − =
Do: x
2
π< < π nên sinx 0>
Vậy sin x =
Do A 4
sin x 3
= = =
Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: a A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x= − + 2 +
b B cot gx tgx cot gx
+
= +
− −
1
a Ta coù:
4 2
A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x= − + +
( ) ( ) ( )
( )
2
4 2 2
4 4
A cos x cos x cos x cos x cos x A cos x cos x cos x cos x cos x 3cos x
⇔ = − − + − + −
⇔ = − − + + − + −
A
⇔ = (không phụ thuộc x)
b Với điều kiện sin x.cosx 0,tgx 1≠ ≠ Ta có: B cot gx
tgx cot gx 1 +
= +
(6)1 1
2 tgx tgx
B 1
tgx 1 tgx 1 tgx tgx
+
+
⇔ = + = +
− − − −
( )
2 tgx tgx
B
tgx tgx
− − −
⇔ = = = −
− − (không phụ thuộc vào x) Bài 4: Chứng minh
( )2 2 2
2
2 2
1 cosa
1 cosa 1 cos b sin c cot g bcot g c cot ga 1 2sina sin a sin bsin c
⎡ − ⎤
+ −
− + − =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
− Ta coù:
* 2 2
2
cos b sin c cotg b.cotg c sin b.sin c
− −
2
2
2
cotg b cot g b cot g c sin c sin b
= − −
( ) ( )
2 2 2
cot g b cot g c cot g b cot g b cot g c
= + − + − = −1 (1)
* ( )
2
2 cosa cosa
2sin a sin a
⎡ − ⎤
+ ⎢ − ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )2
2 cosa cosa
2sin a cos a
⎡ − ⎤
+
= ⎢ − ⎥
−
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 cosa 1 cosa 2sin a cosa
+ ⎡ − ⎤
= ⎢ − ⎥
+
⎣ ⎦
1 cosa cosa. cot ga 2sin a cosa
+
= =
+ (2)
Lấy (1) + (2) ta điều phải chứng minh xong Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc nhọn Tìm giá trị nhỏ P tgA.tgB.tgC=
Ta có: A B+ = π −C Nên: tg A B( + )= −tgC
tgA tgB tgC tgA.tgB
+
⇔ =
− −
tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC
⇔ + = − +
Vaäy: P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC= = + +
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta
(7)3 P P ⇔ ≥
3 P2 3 P 3
⇔ ≥
⇔ ≥
Dấu “=” xảy
= =
⎧ π
⎪
⇔⎨ π ⇔ =
< < ⎪⎩
tgA tgB tgC
A B C 3 0 A,B,C
2
= =
Do đó: MinP 3 A B C
3
π
= ⇔ = = =
Bài : Tìm giá trị lớn nhỏ a/ y 2sin x cos 2x= +
b/ y = 4sin x − cosx
a/ Ta coù :
4
4
1 cos 2x
y cos 2x
2 −
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ +
⎝ ⎠
Đặt t cos 2x= với − ≤ ≤1 t ( )4 4
1
y t
8
= − +t
=> y ' 1(1 t)3 4t3
2
= − − +
Ta coù : y ' 0= Ù (1 t− )3 = 8t3
⇔ t− =2t ⇔ t
3
=
Ta coù y(1) = 1; y(-1) = 3; y 1
3
⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
Do : ∈
=
x y
Max vaø
∈ =
x
1 y
Min 27
b/ Do điều kiện : sinx 0≥ cos x 0≥ nên miền xác định
π
⎡ ⎤
= ⎢ π + π⎥
⎣ ⎦
D k2 , k2
2 với k∈
Đặt t = cosx với t 1≤ ≤ t4 = cos x sin2 = − 2x
Neân sin x= 1 t−
Vaäy y = 81 t− −t D ' =[ ]0,1
Thì
( )
−
= − <
−
3
t
y '
2 t ∀ ∈t [0; 1)
Nên y giảm [ 0, ] Vậy : ( )
∈ = =
x D
max y y 1, ( )
∈ = = −
x D
min y y 1
Bài 7: Cho hàm số y = sin x cos x 2msin x cos4 + − x
(8)Xeùt f (x) sin x cos x 2m sin x cos x= + −
( ) ( 2 2 )2 2
f x = sin x cos x+ −m sin 2x 2sin x cos x−
( )
f x sin 2x msin 2x
= − −
Đặt : t sin 2x= với t∈ −[ 1,1] y xác định ∀x ⇔ f x( )≥ ∀ ∈0 x R
⇔ 1 1t2 mt 0
2
− − ≥ ∀ ∈t [−1,1]
⇔ g t( )= t2 +2mt 0− ≤ ∀ ∈ −t [ 1,1]
t
Do Δ =' m2 + >2 ∀m nên g(t) có nghiệm phân biệt t1, t2 Lúc t t1 t2
g(t) + - Do : yêu cầu toán ⇔ t1 ≤ − < ≤1
⇔ ( ) ⇔
( )
1g
1g
− ≤ ⎧⎪
⎨
≤ ⎪⎩
2m 2m
− − ≤
⎧
⎨ − ≤
⎩ ⇔
1 m
2 m
2 − ⎧ ≥ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ≤ ⎪⎩
⇔ m
2
− ≤ ≤
Caùch khaùc :
g t( )= t2 +2mt 0− ≤ ∀ ∈t [−1,1]
{ }
[ , ]
max ( ) max ( ), ( )
t∈ − g t g g
⇔ ≤ ⇔ − ≤
1 1
{ }
max m ), m )
⇔ −2 − −1 +1 ≤0⇔
1 m
2 m
2 − ⎧ ≥ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ≤ ⎪⎩
m
⇔ − ≤ ≤1
2
Bài : Chứng minh A sin4 sin43 sin45 sin4
16 16 16 16
π π π π
= + + + =
Ta coù : sin7 sin cos
16 16 16
π = ⎛π − π ⎞= π
⎜ ⎟
⎝ ⎠
π = ⎛π − π⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
5
sin cos cos
16 16 16
π
Mặt khác : sin4α +cos4α = (sin2α +cos2α −)2 2sin2αcos2α
2
1 2sin cos
= − α α
2
1 sin
2
(9)Do : A sin4 sin47 sin4 sin4
16 16 16 16
π π π π
= + + +
4 4
sin cos sin cos
16 16 16 16
π π π
⎛ ⎞ ⎛
=⎜ + ⎟ ⎜+ +
⎝ ⎠ ⎝
π ⎞ ⎟ ⎠
2
1
1 sin sin
2 8
π π
⎛ ⎞ ⎛
=⎜ − ⎟ ⎜+ −
⎝ ⎠ ⎝
3 ⎞ ⎟ ⎠
2
1
2 sin sin
2 8
π π
⎛ ⎞
= − ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
2
1
2 sin cos
2 8
π π
⎛ ⎞
= − ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
π = π
⎝ ⎠
3
do sin cos
8
⎛ ⎞
⎜ ⎟
1
2
= − =
Bài : Chứng minh :16sin10 sin 30 sin 50 sin 70o o o o =1
Ta coù : A A cos10oo cos10 cos10
= = o (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o
⇔ ( o) o
o
1 o
A sin 20 cos 40 cos 20
2 cos10
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔ ( o)
o
1 o
A sin 20 cos 20 cos 40 cos10
=
⇔ ( o) o
o
1
A 2sin 40 cos 40 cos10
=
⇔ o o
o o
1 cos10
A sin 80
cos10 cos10
= = =
Bài 10 : Cho ΔABC Chứng minh : tg tgA B tg tgB C tg tgC A 2 + 2 + 2 =
Ta coù : A B C
2
+ π
2
= −
Vaäy : tgA B cot gC
2
+ =
⇔
A B
tg tg 1
2
A B C
1 tg tg tg
2 2
+
= −
⇔ tgA tgB tgC tgA tg
2 2
⎡ + ⎤ = −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
B ⇔ tg tgA C tg tgB C tg tgA B
2 + 2 + 2 =
Bài 11 : Chứng minh : 4tg+ π +2tg π +tg π = cot g π ( )*
(10)Ta coù : (*) ⇔ cot g tg 2tg 4tg
32 32 16
π π π
= − − − π
Maø : cot ga tga cos a sin a cos a sin a2 sin a cos a sin a cos a
−
− = − =
cos 2a 2 cot g2a sin2a
2
= =
Do :
cot g tg 2tg 4tg
32 32 16
π ⎡
⎢ π − π ⎤⎥ − π − =
⎣ ⎦
(*) ⇔
2cot g 2tg 4tg
16 16
π π π
⎡ − ⎤−
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⇔ =
4 cot g 4tg
⇔
8
π π
= −
8cot gπ
⇔ = (hiển nhiên đúng)
4
Bài :12 : Chứng minh :
2 2 2
cos x cos x cos x
3
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⎜ + ⎟+ ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 = a/
1 1 cot gx cot g16x
b/
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x+ + + = −
a/ Ta coù : cos x cos2 2 x cos2 x
3
π π
⎛ ⎞ ⎛
+ ⎜ + ⎟+ ⎜ −
⎝ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
( )
1 1 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x
2 3
⎡ ⎛ π ⎤⎞ ⎡ ⎛ π ⎞⎤
= + + ⎢ + ⎜ + ⎟⎥+ ⎢ + ⎜ − ⎟⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3 cos 2x cos 2x cos 2x
2 3
⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤
= + ⎢ + ⎜ + ⎟+ ⎜ − ⎟⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
3 cos 2x cos 2x cos4
2
π
⎡ ⎤
= + ⎢ + ⎥
⎣ ⎦
3 cos 2x 2cos 2x
2 2
⎡ ⎛ ⎞⎤
= + ⎢ + ⎜− ⎟⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦
3
=
2
b/ Ta coù : cot ga cot gb cosa cos b sin b cosa sin a cos b sin a sin b sin a sin b
−
− = − =
( )
sin b a sin a sin b
− =
Do : cot gx cot g2x sin 2x x( ) ( )1 sin x sin 2x sin 2x
−
− = =
( ) ( )
sin 4x 2x
cot g2x cot g4x
sin 2x sin 4x sin 4x
−
(11)( ) ( )
sin 8x 4x
cot g4x cot g8x
sin 4x sin 8x sin 8x
−
− = =
( ) ( )
sin
cot g8x cot g16x− = 16x 8x sin16x sin 8x sin16x
− = Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta
1 1
cot gx cot g16x
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x
− = + + +
Bài 13 : Chứng minh : 8sin 183 +8sin 182 =1
Ta coù: sin180 = cos720 ⇔ sin180 = 2cos2360 -
⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 –
⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1 ⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + = (1 ) ⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) =
0 < 1) Chia veá (1) cho ( sin180 – ) ta có
( sin180 + ) – = Baøi 14 :
⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – = (do < sin18 Caùch khaùc :
( ) ⇔ 8sin2180 Chứng minh :
( )
a/ sin x cos x4 + = 3 cos4x
4 +
b/ sin 6x cos6x 1(5 3cos4x)
+ = +
c/ sin x cos x8 (35 28cos4x cos8x)
64
+ = + +
( )2
4 2
sin x cos x+ = sin x cos x+ −2sin x cos x2
a/ Ta coù:
2
2 sin
4
= − x
( )
1
1 cos4
= − − x
3 cos4x 4
= +
b/ Ta coù : sin6x + cos6x
) (sin x cos x sin x sin x cos x cos x2 )( 2
= + − +
(sin x cos x4 ) 1sin 2x2
4
= + −
( )
3 1cos 4x 1 cos 4x
4
⎛ ⎞
=⎜ + ⎟− −
⎝ ⎠ ( kết câu a )
3cos 4x
8
= +
( )
+ = + −
8 4
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x4
(12)( )
= 3 cos4x+ − sin 2x4
16 16
( ) ⎡ ( )⎤
= + + − ⎢ − ⎥
⎣ ⎦
2
1 9 6cos 4x cos 4x 1 1 cos 4x
16
( ) ( )
9 3cos4x 1 cos8x 1 2cos4x cos 4x
16 32 32
= + + + − − +
( )
= + 3cos4x+ cos8x+ cos4x− 1 cos8x+
16 32 16 64
35 cos4x cos8x 64 16
= +
64
+
Bài 15 : Chứng minh : sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x3 + =
Caùch 1:
Ta coù : sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x3 + =
(3sin x sin x sin x3 ) (4 cos x 3cos x cos x3 )
= − + −
4 6 s4
3sin x 4sin x cos x 3co x
= − + −
( 4 ) ( 6 )
3 sin x cos x sin x cos x
= − − −
( 2 )( 2 )
3 sin x cos x sin x cos x
= − +
( 2 )( 2 )
4 sin x cos x sin x sin x cos x cos x
− − + +
2
3cos 2x cos 2x sin x cos x⎡ ⎤
= − + ⎣ − ⎦
2
1
3cos 2x cos 2x sin 2x
⎛ ⎞
= − + ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
2
1
cos 2x sin 2x
⎡ ⎛ ⎞⎤
= ⎢− + ⎜ − ⎟⎥
⎝ ⎠
⎣ ⎦
( )
cos 2x sin 2x
= −
3
cos 2x
=
Caùch :
Ta coù : sin 3x.sin x cos3x.cos x3 +
3sin x sin 3x 3cos x cos 3x
sin 3x cos 3x
4
− +
⎛ ⎞ ⎛
= ⎜ ⎟+ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
( ) ( 2 )
3 sin 3x sin x cos3x cos x cos 3x sin 3x
4
= + + −
( )
3cos 3x x 1cos6x
4
= − +
(
1 3cos2x cos3.2x
= + )
( )
= 3cos2x 4cos 2x 3cos2x+ − ( bỏ dòng được)
4
3
cos 2x
(13)o o o o o
cos12 cos18 cos15 co
Baøi 16 : s 21 cos 24
2 +
+ − = −
Chứng minh :
( )
o o o o
cos12 +cos18 −4 cos15 cos 21 cos 24o
Ta coù :
( )
o o o o
2cos15 cos 2cos15 cos 45 cos
= − + o
os3 2cos15 cos45 2cos15 cos3
= − −
− +
o o o o o o
2cos15 c
o o
2cos15 cos45
= −
(cos 60o cos 30o)
=
3 = − +
Baøi 17 : Tính P sin 50= o +sin 70 cos50 cos702 − o o
( ) ( ) ( )
= − o + − o −1 o +
P cos100 cos140 cos120 cos20
2 2
o
Ta coù :
( o o)
1 1
P cos100 cos140 cos 20
2 2
⎛ ⎞
= − + − ⎜− + ⎟
⎝ ⎠
o
( o o) 1
P cos120 cos20 cos20
= − + − o
o o
5
P cos20 1cos20
4 2
= + − =
Bài 18 : Chứng minh : tg30o tg40o tg50o tg60o 3cos 20
3
+ + + = o
( )
sin a b tga tgb
cos a cos b
+
+ =
Áp dụng :
Ta coù : (tg50o +tg40o) (+ tg30o +tg60o)
o o
o o o
sin 90 sin 90 cos50 cos 40 cos 30 cos60
= + o
o o
o
1
1
sin 40 cos 40 cos 30
= +
o o
2
sin 80 cos30
= +
o o
1
2
cos10 cos 30
⎛ ⎞
= ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
o o
o o
cos30 cos10
cos10 cos 30
⎛ + ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
p o
o o
s 20 cos10 co
4
cos10 cos 30
=
o
8 cos20
=
(14)a/ sin A sin B sin C cos cos cosA B C
2
+ + =
2 A
b/ cA cosB cosC 4sin sin sinB C
2 2
+ + = +
so
c/ sin 2A sin 2B sin 2C sin A sin B sin C+ + = d/ cos2A +cos B cos C2 + = −2cos A cosBcosC
e/ tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + =
f/ cot gA.cot gB cot gB.cot gC cot gC.cot gA 1+ + = g/ cot gA +cot gB +cot gC = cot g cot g cot gA B
2 2
C
2
2
a/ Ta coù : sin A sin B sin C 2sinA BcosA B sin A B( )
2
+ −
+ + = + +
A B A B A B
2sin
= cos cos
2 2
+ ⎛ − + + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ π
⎛ ⎞
= ⎜ = ⎟
⎝ ⎠
C A B A B C
4 cos cos cos
2 2 2 2−
b/ Ta coù : cos A cosB cosC 2cosA BcosA B cos A B( )
2
+ −
+ + = − +
2
A B A B A B
2 cos cos 2cos
2 2
+ − ⎛ + ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ − ⎠
A B A B A B
2 cos cos cos
2 2
+ ⎡ − + ⎤
= ⎢ − ⎥
⎣ ⎦+
A B A B
4 cos sin sin
2 2
+ ⎛− ⎞+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = −
C A B
4sin sin sin
2 2
= +
( ) ( )
sin 2A sin 2B sin 2C 2sin A B cos A B+ = + − +2sin C cosC
c/
=2sin C cos(A B) 2sin C cosC− + =2sinC[cos(A B) cos(A B) ]− − +
d/
= −4sinCsin A sin( B)−
=4 sin C sin A sin B
+ +
2
cos A cos B cos C
( )
1
1 cos2A cos2B cos C
= + + +
( ) ( )
1 cos A B cos A B cos C
= + + − +
( )
1 B
= −cosC cos A⎣⎡ − −cosC⎦⎤ (cos A B( + )= −cosC)
( ) ( )
1 cosC cos A B cos A B
= − ⎡⎣ − + + ⎤⎦ cos C.cos A.cos B
= −
e/ Do nên ta có
g A B+ = −tgC
a b+ = π −C
( )
(15)tgA tgB tgC tgAtgB
+
= − −
⇔
⇔ tgA tgB+ = −tgC tgAtgB+ tgC
⇔
a coù : cotg(A+B) = - cotgC
tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ + = f/ T
1 tgAtgB cot gC
⇔
tgA+tgB
−
= −
⇔ cot gA cot gB cot gC cot gB cot gA
− = −
+ (nhân tử mẫu cho cotgA.cotgB)
⇔ =
g/ Ta coù :
cot gA cot gB 1− = −cot gCcot gB cot gA cot gC− ⇔
cot gA cot gB cot gBcot gC cot gA cot gC 1+ +
A B C
tg cot g
2
+ = ⇔
A B
tg tg C
2 cot g
A B 2
1 tg tg 2
+
= −
A B
cot g cot g C
2 cot g
A B
cot g cot g
2
+
= −
.cotgB
2
A
2
⇔ (nhân tử mẫu cho cotg )
⇔ cot gA B A B C C
2 +cot g = cot g cot g cot g2 2 −cot g2
A B C A B
⇔ cot g cot gC
2 2
Baøi 20 :
cot g cot g cot g cot g + + =
ABC Chứng minh : Cho Δ
cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + = Ta coù : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)
= cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C = - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C
= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC Do : cos2A + cos2B + cos2C + + 4cosAcosBcosC =
Bài 21 : Cho ΔABC Chứng minh :
3A 3B 3C 4sin sin sin
2
cos3A + cos3B + cos3C = -
2
Ta coù : (cos3A + cos3B) + cos3C
2
3
2cos (A B) cos (A B) 2sin
2
= + − + − 3C
2
Maø : A B+ = π −C neân 3(A B)
2 + = π −2
(16)=> cos3(A B+ )= cos 3C
2 2
π
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3C cos
2
π
⎛ ⎞
= − ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
3C sin
2
= −
Do : cos3A + cos3B + cos3C
( )
3 A B
3C 3C
2sin cos 2sin
2 2
−
= − − +
( )
3 A B
3C 3C
2sin cos sin
2 2
−
⎡ ⎤
= − ⎢ + ⎥+
⎣ ⎦
( ) ( )
3 A B
3C
2sin cos cos A B
2 2
= − ⎢ − +
⎣
−
⎡ ⎤
+ ⎥ ⎦ −
=4sin3Csin3Asin( 3B) 1+
2 2
3C 3A 3B 4sin sin sin
2 2
= − +
Bài 22 : A, B, C ba góc tam giác Chứng minh :
sin A sin B sin C tgA tg cot gB C cos A cosB cosC 2
+ − =
+ − +
2
A B A B C C
2sin cos 2sin cos
sin A sin B sin C 2 2 2
A B A B C
cos A cos B cosC 2cos cos 2sin
2 2
2
+ − −
+ − =
+ −
+ − + +
Ta coù :
C A B C A B A
2cos cos sin cos cos
C
2 2 cot g 2 2 B
A B A
C A B C 2 cos cos
2sin cos sin 2 2
2 2
−
⎡ ⎤
B
− +
− −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
= = − +
−
⎡ + ⎤ +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
A B
2sin
C − sin
cot g A B
2 2cos cos
2
⎛− ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
C A B
cot g tg tg 2
=
2
Bài 23 : Cho ΔABC Chứng minh :
A B C B C A C A B
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
2 2 + 2 + 2
( )
A B C A B B C A C
sin sin sin tg tg tg tg tg tg *
2 2 2 2 2
(17)A
Ta coù : B C
2 2
+ = π − vaäy tg A B cot gC
2 2
⎛ + ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔
A B
tg tg 1
2
A B C
1 tg tg tg
2 2
+
= −
⇔ tgA tgB tgC tgAtg
2 2
⎡ + ⎤ = −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
B ⇔tg tgA C tg tgB C tg tgA B 1( )
2 + 2 + 2 =
Ac B C sin cos cosB C A C A B
sin os cos sin cos cos
2 2 + 2 + 2
Do : (*) Ù
A B C
sin sin sin
2 2
= + (do (1))
A B C B C A B C C B
sin
⇔ cos cos sin sin cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2
⎡ − ⎤+ ⎡ + ⎤=
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇔ sin cosA B C cos sinA B C
2 2
+ +
+ =
⇔ sinA B C
+ +
= ⇔sinπ =1
2 ( hiển nhiên đúng)
Baøi 24 : tgA tgB tgC cos A cosB cosC( )*
2 2 sin A sin B sin C
+ + +
+ + =
+ +
Chứng minh : Ta có :
2
A B A B C
cos A cos B cosC 2cos cos ⎡1 2sin
2 2
+ − ⎤
+ + = + ⎥ +
⎣ − ⎦
⎢ +
2
C A B
2sin cos 2s C
2 2
− in
= + −
C A B C
2sin cos sin
2 2
−
⎡ − ⎤+
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
C A B A B
2sin cos cos
2 2
− +
⎡ − ⎤+
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
C A inB sin sin s
2 2 + (1)
=
A B A B
sin A sin B sin C 2sin cos sin C
2
+ −
+ + = +
C A B C
2cos cos 2sin cos
2 2
C
−
= +
C A B A B
2cos cos cos
2 2
− +
⎡ ⎤
= ⎢ + ⎥
⎣ ⎦
C A B
Từ (1) (2) ta có :
4 cos cos cos
2 2
(18)(*) ⇔
A B C A B C
sin sin sin sin sin sin
2 2 2
A B C A B C
cos cos cos cos co
+
s cos
2 2 2
+ + =
A B C B A C C A B
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
2 2 2 2 2
⎡ ⎤+ ⎡ ⎤+ ⎡
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤ ⎥⎦
⇔
A B C
sin sin sin
2 2
= +
⇔ sinA cos cosB C sin sinB C cosA sin cosB C sin cosC B
2 2 2 2 2
⎡ − ⎤+ ⎡ +
⎢ ⎥ ⎢
⎣ ⎦ ⎣ ⎤ =⎥⎦
⇔ sin cosA B C+ cos sinA B C
2 2
+
+ =
A
⇔ B C
2
+ + ⎤ =
⎢ ⎥
⎣ ⎦
sin⎡ ⇔ sinπ
2 = ( hiển nhiên đúng)
Bài 25 : Chứng minh:
A B C
sin sin sin
2 2 2
B C C A A B
cos cos cos cos cos cos
2 2 2
+ + =
ABC Δ Cho
Caùch : Ta coù :
A B A A B
sin sin sin cos sin cos
2 2 2
B C C A
B
B C
cos cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2
+
+ = A
A B A
sin cos B
sin A sin B 2+ 2
A B C A B C
2 cos cos cos cos cos cos
2 2 2
−
+ =
=
−
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= =
A B
C A B cos
cos cos 2
2
A B C A
cos cos cos cos cos
2 2
B
Do : Vế trái
A B C A B A
cos sin cos cos
2 2 2
A B A B A B
cos cos cos cos cos cos
2 2
B 2
−
⎛ ⎞ − + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + =
2
A B
2cos cos
2 2
A B
cos cos
2
= =
(19)B C A C A B
cos cos cos
2
B C C A A B
cos cos cos cos cos cos
2 2 2
+ + +
= + +
2
Ta có vế trái
B C B C A C A C
cos cos sin sin cos cos sin sin
2 2 2 2
B C C A
cos cos cos cos
2 2
− −
= +
A B A
cos cos sin sin
2 2
A B
cos cos
2
− +
B
B C A C A B
3 tg tg tg tg tg tg
2 2 2
⎡ ⎤
= −⎢ + + ⎥
⎣ ⎦
Maø : tg tgA B tg tgB C tg tgA B 2 + 2 + 2 =
(đã chứng minh b Do : Vế trái = – = Bài 26 :
aøi 10 )
Coù cot g ,cot g ,cot gA B C
2
ABC Δ Cho
2 theo tứ tự tạo cấp số cộng
A C
cot g cot g
2 =
Chứng minh
A B C
cot g ,cot g ,cot g
2
Ta có :
2 cấp số cộng
⇔ cot gA cot gC 2cot gB
2 + =
⇔
+ =
A C
sin 2cos
2
B
A C B
sin sin sin
2 2
⇔
B
cos 2cos
2
B
A C B
sin sin sin
2 2
=
neân cosB >
⇔ =
+
1
A C A C
sin sin cos
2 2
(do 0<B<π )
⇔
A C A C
cos cos sin sin
2 2 2
A C
sin sin
2
−
⇔ cot g cot gA C
=
2 =
(20)1 + 1 tgA tgB tgC cot gA co gt B cot gC
sin A sin B sin C 2 2 2
⎡ ⎤
+ = ⎢ + + + + + ⎥
⎣ ⎦
A B C A B
cot g cot g cot g cot g cot g cot g
2 + + = 2
Ta coù : C
2
(Xem chứng minh 19g )
Mặt khác :tg cot g sin cos
cos sin sin
α α
α + α = + =
α α α
1 tgA tgB tgC cotg A cotgB cotgC
2 2 2 2
⎡ + + + + + ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Do :
1 A B C 1⎡cotgA +
⎢ B C
tg tg tg cotg cotg
2 2 2
⎡ ⎤ ⎤
= ⎢ + + ⎥+ + ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
1 tgA cot gA tgB cot gB tgC cot gC
2 2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
= ⎢ + ⎥+ ⎢ + ⎥+ ⎢ +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎤ ⎥⎦
1 1
sin A sin B sin C
= + +
BAØI TẬP 1 Chứng minh :
a/ cos cos2
5
π − π =
2
b/ cos15oo sin15oo cos15 sin15
+ =
−
2
cos cos cos
7 7
π π π
+ + =
c/
2
−
d/ sin 2xsin 6x cos 2x.cos6x cos 4x3 + =
o o o o
tg20 tg40 tg60 tg80 =3
e/
π π π π
+tg2 +tg5 +tg = 3cosπ
6 18 3
8 tg
f/
7
2
os cos cos cos cos cos cos
15 15 15 15 15 15 15
π π π π π π =
c π
g/
h/ tgx.tg⎡⎢π−x tg⎤⎥ x tg3x
3
π
⎡ + ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
k/ tg20o +tg40o + 3tg20 tg40o o = 3
o o o
sin 20 sin 40 sin 80 e/
8 = m/ tg5 tg55 tg65 tg75o o o o =1
( )
2 Chứng minh
( ) (
x y 2k k z
2 π
+ ≠ + ∈
⎪⎩ )
x y+
sin x 2sin= ⎧
⎪ ⎨
sin
( )
cos y
tg x y
y
+ =
−2
(21)a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b/ Đ
Chứng minh (p-1)(q-1)ặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q
4 Chứng minh biểu thức không phụ thuộc x : a/
≥
( ) ( )
4 2
A sin x sin x= + +cos x cos x+ +5sin x cos x 1+
( 8 ) ( 6 )
B sin x cos x= − +4 cos x 2sin x− +6sin x
b/
c/ C cos x a= 2( − )+sin x b2( − )−2cos x a sin x b sin a b( − ) ( − ) ( − )
5 Cho ΔABC, chứng minh :
cosC cosB
cot
a/ gB cot gC
sin Bcos A sin Ccos A
+ = +
b/ 3 3C 3cos cos cosA B C co 3As cos3Bcos3C
2 2 2
= +
sin A sin B sin+ +
A B C B A C
sin A sin B si
c/ n C cos cos cos cos
2 2
− −
+ + = +
C A
cos co B
2
−
s
+
otgAcotgB + cotgBcotgC + cotgC otgA =
s C 2cos A cosBcosC= − in3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 6 Tìm giá trị nhỏ :
d/ c c
e/ cos A cos B co2 + +
f/ s
1
y
sin x cos x
= + với x
2
π < < a/
π
= + +
y 4x sin x
x với x< < ∞
b/
2
y 2sin x sin x cos x= + + c/
7 Tìm giá trị lớn :
a/ y sin x cos x cos x sin x= + b/ y = sinx + 3sin2x