PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 10

Bộ tài liệu đầy đủ và chi tiết các dạng bài tập Toán lớp 10. Một tài liệu rất bổ ích cho giáo viên và học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TÂY NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN TRỖI --------------------------------------- PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN LỚP 10 Theo chuẩn kiến thức kó năng-Ban cơ bản TÂY NINH THÁNG 3 NĂM 2011 www.VNMATH.com 1 Lụứi noựi ủau Trong chng trỡnh mụn Toỏn lp 10, khi ging dy chỳng tụi nhn thy rng hc sinh cha tip cn tt vn ủ, nht l k nng gii toỏn. iu ủú dn ủn hc sinh cha cú hng thỳ trong hc toỏn, ủc bit nú s nh hng rt ln cho nhng nm hc tip theo. Nhm giỳp cỏc em ly li cn bn v nõng cao cht lng hc tp mụn Toỏn theo chng trỡnh ci cỏch ca B giỏo dc v ủo to, chỳng tụi biờn son b ti liu : Phõn loi v phng phỏp gii toỏn lp 10 . B ti liu gm hai phn : Hỡnh hc v i s. Ni dung ti liu bỏm sỏt theo cu trỳc ca sỏch giỏo khoa Toỏn 10 (chng trỡnh chun) v da trờn chng trỡnh Chun kin thc, k nng ca B giỏo dc v ủo to va ban hnh. Mi bi hc trong b ti liu ny ủc trỡnh by nh sau : A. Kin thc cn nh. B. Phng phỏp gii toỏn. C. Bi tp ủ ngh. Phn kin thc cn nh chỳng tụi túm tt li ni dung chớnh ca bi hc trờn nn Chun kin thc, k nng. Phn phng phỏp gii toỏn gm nhiu vn ủ, trong mi vn ủ cú nờu phng phỏp gii quyt v mt s bi tp c bn cú hng dn gii chi tit. Phn bi tp ủ ngh giỳp cỏc em t ụn li kin thc trong mi bi hc. Chỳng tụi hy vng b ti liu ny s giỳp cỏc em vng bc v t tin hn trờn con ủng hc vn ca mỡnh. Chỳc cỏc em hc tp tin b v thnh cụng !. Mc dự rt c gng trong quỏ trỡnh biờn son nhng khú trỏnh khi sai sút. Rt mong nhn ủc ý kin ủúng gúp ca cỏc thy cụ v cỏc em hc sinh ủ ti liu ủc b sung, ủiu chnh ngy mt hon thin hn. Tõy Ninh, thỏng 3 nm 2011 T Toỏn, trng THPT Nguyn Vn Tri www.VNMATH.com 2 PHẦN 1 ðẠI SỐ -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y 2 4 5y x x= − − 1y x= − − www.VNMATH.com 3 CHƯƠNG I MỆNH ðỀ - TẬP HỢP §1. MỆNH ðỀ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. MỆNH ðỀ-MỆNH ðỀ CHỨA BIẾN 1.1. Mệnh ñề Mỗi mệnh ñề (lôgíc) phải ñúng hoặc sai. Mỗi mệnh ñề không thể vừa ñúng vừa sai. Kí hiệu mệnh ñề bởi các chữ cái in hoa : P, Q, A, B… 1.2. Mệnh ñề chứa biến: “ n chia hết cho 4” là mệnh ñề chứa biến. Chú ý : Với mỗi giá trị của biến x thuộc tập hợp nào ñó, mệnh ñề chứa biến ( ) P x trở thành một mệnh ñề. 2. PHỦ ðỊNH CỦA MỘT MỆNH ðỀ Cho mệnh ñề P . Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề P là mệnh ñề P , ta có: P ñúng khi P sai và P sai khi P ñúng. 3. MỆNH ðỀ KÉO THEO Mệnh ñề “Nếu P thì Q ” ñược gọi là mệnh ñề kéo theo. Kí hiệu: ⇒ P Q . Mệnh ñề ⇒ P Q chỉ sai khi P ñúng và Q sai (trong các trường hợp khác ⇒ P Q ñều ñúng) Các ñịnh lí toán học là những mệnh ñúng và có dạng ⇒ P Q . Khi ñó ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận của ñịnh lí, hoặc P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc Q là ñiều kiện cần ñể có P . 4. MỆNH ðỀ ðẢO-HAI MỆNH ðỀ TƯƠNG ðƯƠNG Mệnh ñề ⇒ Q P ñược gọi là mệnh ñề ñảo của mệnh ñề ⇒ P Q . Nếu cả hai mệnh ñề ⇒ P Q và ⇒ Q P ñều ñúng thì ta nói P và Q tương ñương. Kí hiệu: P Q ⇔ . ðọc là: P tương ñương Q , hoặc P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q . www.VNMATH.com 4 5. KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃ Kí hiệu ∀ ñọc là với mọi. Kí hiệu ∃ ñọc là tồn tại ít nhất một (hay có ít nhất một). B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Cách xác ñịnh mệnh ñề Phương pháp : Cần nắm vững khái niệm mệnh ñề ,mệnh ñề chứa biến từ ñó rút ra kết luận. Bài tập 1. Xét xem các câu sau , câu nào là mệnh ñề, câu nào là mệnh ñề chứa biến và câu nào không là mệnh ñề ? a/ 2x-3>7 b/ 5-9=3 c/ ∀ x, x 2 =25 d/ Hôm nay trời mưa quá!. Giải a/ Là mệnh ñề chứa biến.Với mỗi giá trị của x ta ñược một mệnh ñề. b/ Là mệnh ñề.ðó là mệnh ñề sai. c/ Là mệnh ñề chứa biến.Với mỗi giá trị của x ta ñược một mệnh ñề. d/ Không là mệnh ñề.Vì không khẳng ñịnh ñược tính ñúng hoặc sai. Bài tập 2. Với mỗi câu sau , hãy tìm giá trị thực của x ñể ñược mệnh ñề ñúng, mệnh ñề sai ? a/ 5x 2 -14x+9=0 b/ 5x-1>x+11 c/ | x+3|= 5 d/ x 2 +4=0. Giải a/ Giải phương trình : 5x 2 - 14x + 9 = 0 .Ta ñược nghiệm x = 1 v x = 9/5. • Với x = 1 v x = 9/5 thì ñược mệnh ñề ñúng. • Với ≠ 1 x và ≠ 9/ 5 x thì ñược mệnh ñề sai. b/Giải bất phương trình .Ta ñược x > 3 • Với x > 3 thì ñược mệnh ñề ñúng. • Với ≤ 3 x thì ñược mệnh ñề sai. c/ Giải phương trình   + = = + = ⇔ ⇔   + = − = −   3 5 2 3 5 3 5 8 x x x x x • Với x=2 hoặc x = - 8 thì ñược mệnh ñề ñúng. • Với ≠ 2 x và ≠ −8 x thì ñược mệnh ñề sai. d/ Phương trình x 2 + 4 = 0 vô nghiệm. Vậy với mọi giá trị của x ñều ñược mệnh ñề sai. Không có mệnh ñề ñúng. Vấn ñề 2. Phát biểu thành lời của một mệnh ñề. Dùng kí hiệu ,∀ ∃ viết mệnh ñề phủ ñịnh của nó. Phương pháp: 1. ∀ ∈" ; coù tính chaát T" x P x có mệnh ñề phủ ñịnh là ∃ ∈" ; khoâng coù tính chaát P" x P x . 2. ∃ ∈" ; coù tính chaát T" x P x có mệnh ñề phủ ñịnh là ∀ ∈" ; khoâng coù tính chaát P" x P x . www.VNMATH.com 5 Bài tập. Phát biểu thành lời của một mệnh ñề. Viết mệnh ñề phủ ñịnh của nó. a/ ∀ ∈ 2 : =-5 x R x b/ ∀ ∈ ≥ 2 : +4x 0 x R x c/ ∃ ∈ 2 : =3 x Z x d/ ∃ ∈ x x 2 : 5 ℤ ⋮ Giải a/ “ Với mọi số thực ñều có bình phương bằng -5” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∃ ∈ ≠ 2 : -5 x R x b/ “Với mọi số thực x ta có x 2 +4x ñều lớn hơn hoặc bằng 0” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∃ ∈ 2 : +4x<0 x R x c/ “Tồn tại một số nguyên mà có bình phương bằng 3” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∀ ∈ ≠ 2 : 3 x Z x d/ “Tồn tại một số nguyên mà có bình phương chia hết cho 5” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∀ ∈ 2 : khoâng chia heát cho 5 x Z x . Vấn ñề 3. Lập mệnh ñề ñảo của ñịnh lý – ñịnh lý ñảo Phương pháp : Dùng kiến thức, các ñịnh nghĩa , ñịnh lý ñã học ñể nhận xét ñánh giá rồi kết luận. Bài tập. Trong các trường hợp sau ñây, hãy phát biểu mệnh ñề ñảo của ñịnh lý và xét xem nó có phải là ñịnh lý ñảo của ñịnh lý ấy hay không? a/Trong tam giác vuông thì ñường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh ấy. b/Một số tự nhiên tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 5. Giải a/ Mệnh ñề ñảo : “Một tam giác có ñường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác ñó bằng tam giác vuông” ðể biết mệnh ñề trên có phải là ñịnh lý ñảo hay không thì ta phải chứng minh mệnh ñề. Do AM = MB, AM = MC nên tam giác MAB, MAC cân tại M suy ra : góc B = A 1 ; góc C = A 2 Mà tổng các góc B, A 1 , A 2 , C bằng 180 0 nên góc A 1 + A 2 =90 0 , suy ra tam giác ABC vuông tại A. Vậy mệnh ñề trên là ñịnh lý ñảo. b/Mệnh ñề ñảo là : “Một số tự nhiên chia hết cho 5 thì tận cùng bằng 0” Mệnh ñề này sai vì 15 chia hết cho 5 mà tận cùng không bằng 0. Vậy mệnh ñề không là ñịnh lý ñảo. Chú ý : Không phải ñịnh lý nào cũng có ñịnh lý ñảo của nó. 2 1 B A C M www.VNMATH.com 6 Vấn ñề 4. ðiều kiện cần, ñiều kiện ñủ, ñiều kiện cần và ñủ Phương pháp : 1/Dạng: ⇒ P Q . Khi ñó : P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc Q là ñiều kiện cần ñể có P . 2/ Dạng: ⇔ P Q : P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q . Bài tập 1. Phát biểu các ñịnh lý sau ,sử dụng khái niệm “ðiều kiên cần”, “ðiều kiện ñủ”: a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau. b/Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. c/ Nếu a=b thì a 2 =b 2 . Giải a/+ ðể hai tam giác bằng nhau, ñiều kiện cần là chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau. + ðể hai tam giác có ít nhất một cạnh bằng nhau, ñiều kiện ñủ là hai tam giác bằng nhau. b/+ ðể một số tự nhiên chia hết cho 6, ñiều kiện cần là nó chia hết cho 3. + ðể một số tự nhiên chia hết cho 3, ñiều kiện ñủ là nó chia hết cho 6. c/ + ðể a=b ,ñiều kiện cần là a 2 =b 2 . + ðể a 2 =b 2 , ñiều kiện ñủ là a=b Bài tập 2. Cho hai tam giác ABC và AB C ′ ′ ′ . Với hai mệnh ñề : P : " Tam giác ABC và tam giác AB C ′ ′ ′ bằng nhau". Q : " Tam giác ABC và tam giác AB C ′ ′ ′ có diện tích bằng nhau" a) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒ P Q . b) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒ Q P . c) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇔ P Q . Giải a/ Ta có mệnh ñề ⇒ P Q : “Nếu tam giác ABC và tam giác AB C ′ ′ ′ bằng nhau thì tam giác ABC và tam giác AB C ′ ′ ′ có diện tích bằng nhau” , mệnh ñề này hiển nhiên ñúng. b/Ta có mệnh ñề ⇒ Q P : “Nếu tam giác ABC và tam giác AB C ′ ′ ′ có diện tích bằng nhau thì tam giác ABC và tam giác AB C ′ ′ ′ bằng nhau” là mệnh ñề sai. c/ Do ⇒ P Q ñúng nhưng ⇒ Q P sai nên ⇔ P Q là mệnh ñề sai. www.VNMATH.com 7 C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Trong các câu sau ñây thì câu nào là mệnh ñề? Nếu là mệnh ñề thì nó ñúng hay sai? a) “10 là số nguyên tố” b) "123 là một số chia hết cho 3". c) " Ngày mai trời sẽ nắng" d) " Hãy ñi ra ngoài!" Bài 2. Nêu mệnh ñề phủ ñịnh của các mệnh ñề sau và cho biết tính ñúng sai của mỗi mệnh ñề phủ ñịnh ñó ? a) "Số 11 là số nguyên tố" b) Số 111 chia hết cho 3" Bài 3. Xét hai mệnh ñề: P : " π là số vô tỉ" và Q : " π không phải là số nguyên" a) Hãy phát biểu mệnh ñề ⇒ P Q . b) Phát biểu mệnh ñề ñảo của mệnh ñề trên. c) Xem xét tính ñúng, sai của các mệnh ñề trên. Bài 4. Xét hai mệnh ñề: P : " 24 là số chia hết cho 2 và 3". Q : " 24 là số chia hết cho 6". a) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒ P Q . b) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒ Q P . c) Mệnh ñề ⇔ P Q ñúng hay sai ? www.VNMATH.com 8 §2. TẬP HỢP A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. KHÁI NIỆM TẬP HỢP 1.1. Tập hợp và phần tử Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học. Thông thường mỗi tập hợp gồm các phần tử cùng có chung một hay một vài tính chất. Tập hợp thường ñược kí hiệu bởi các chữ cái in hoa: , , , . A B C phần tử của tập hợp ñược kí hiệu là các chữ cái thường: , , . a b c a là phần tử của tập hợp A , viết là ∈ a A . b không là phần tử của tập hợp B , viết là ∉ b B . 1.2. Cách xác ñịnh tập hợp Có 2 cách: a) Liệt kê các phần tử của nó. b) Chỉ rõ tính chất ñặc trưng cho các phần tử của tập hợp ñó. Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng ñược bao quanh bởi một ñường kín ñược gọi là biểu ñồ Ven. 1.3. Tập hợp rỗng Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu: ∅ . 2. TẬP HỢP CON Nếu mọi phần tử của tập hợp A ñều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là tập hợp con của B . Kí hiệu: ⊂ A B (ñọc là A chứa trong B ) hay ⊃ B A (ñọc là B chứa A ). Tính chất: a) ⊂ A A với mọi tập hợp A . b) ⊂ A B và ⊂ B C thì ⊂ A C c) ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A . 3. HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU Khi ⊂ A B và ⊂ B A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A B = . B www.VNMATH.com 9 B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Viết tập hợp dưới dạng liệt kê phần tử. Phương pháp: Kỹ năng giải phương trình, bất phương trình, .tính toán, suy luận. Bài tập 1. Viết các tập hợp sau dưới dạng liệt kê phần tử a/ { = ∈ </ 5} A x N x b/ { = ∈ − < ≤/ 2 4} B x Z x c/ { = = ∈ </ 3 ; vaø -1<k 6} C x x k k Z d/  = = ∈ ≥   1 1 / vôùi k N vaø } 2 8 k D x x x e/ { = ∈ − − + = 2 /( 2)(3 5 2) 0} E x R x x x f/ F={x ∈ / N x là số chính phương bé hơn 100}. Giải a/ { = 0;1;2;3;4} A c/ { = 0;3;6;9;12;15} C e/  =   2 ;1;2} 3 E b/ { = −1;0;1;2;3;4} B d/  =   1 1 1 ; ; ;1} 8 4 2 D f/ F={0 ;1 ;4 ;9 ;16 ;25 ;36 ;49 ;64 ;81}. Bài tập 2. Tập hợp nào sau ñây là tập rỗng. a/ { = ∈ + = 2 / 4 5} A x R x b/ { = ∈ + =/ 3 9 6} B n N n . Giải a/Giải phương trình x 2 +4=5 ñược nghiệm x= -1 ; 1 nên A={-1 ;1}. b/ ∈ ∈   ∈ ⇔ ⇔   + = = −   3 9 6 1 n N n N n B n n vậy = ∅ B Vấn ñề 2. Xác ñịnh tập con của tập hợp. Phương pháp: Dùng ñịnh nghĩa về tập hợp con, tính toán, suy luận. Bài tập 1. a/ Viết tập hợp con gồm hai phần tử của A={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}. b/ Viết tập hợp con gồm ba phần tử và luôn có số 0 của B={0 ;1 ;2 ;3 ;4 }. Giải a/ Tập con gồm hai phần tử của A là : {1 ;2},{1 ;3},{1 ;4},{1 ;5},{1 ;6},{2 ;3},{2 ;4},{2 ;5},{2 ;6},{3 ;4},{3 ;5},{3 ;6},{4 ;5},{4 ;6 },{5 ;6}. b/ Tập con gồm ba phần tử luôn chứa số 0 của B là : {0 ;1 ;2},{0 ;1 ;3},{0 ;1 ;4},{0 ;2 ;3},{0 ;2 ;4},{0 ;3 ;4}. www.VNMATH.com