phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm ba biến

Ví dụ 3.1 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 1abc  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 (1 ) (1 ) (1 ) a b c       P a b c 2 2 2 Phân tích. Ta nhận thấy ngay ( ) ( ) ( )P f a f b f c   với . x f x x  , 0x  . Ta có các biến a, b, c có vai trò bình đẳng và P đạt cực trị tại tâm   1a b c   . Bài giải. Phương trình trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x f x x  ( ) (1 )  ( ) (1 ) 3 2 , tại  3 2     1 1; 4 M   là 1 1 2 4 y x 

3 ỨNG DỤNG TIẾP TUYẾN CỦA DỒ THỊ HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN TÌN GTNN, GTLN CỦA BIỂU THỨC BA BIẾN

Cho hàm số y f x( ) liên tục và có đạo hàm trên K Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị

hàm số y f x( ) tại điểm x0K là y f x'( )(0 xx0) f x( )0 Khi đó tiếp tuyến nằm trên hoặc nằm dưới đồ thị hàm số y f x( )

* Nếu tiếp tuyến nằm trên đồ thị hàm số thì f x( )  f '(x0)(xx0)  f x( 0), đẳng thức xảy ra khi

0

xx Khi đó x x1, 2, ,x nK, ta có f x( )i  f x'( )(0 x ix0) f x( )0 , đẳng thức xảy ra khi x i x0, (i 1, 2, , )n

n n

i i

0 0 0

1

n i i



0 0 0

1

n i i



* Nếu tiếp tuyến nằm dưới đồ thị hàm số thì f x( ) f x'( )(0 xx0) f x( )0 , đẳng thức xảy ra khi

0

xx Khi đó x x1, 2, ,x nK, ta có f x( )i  f'(x0)(x ix0)  f x( 0), đẳng thức xảy ra khi x i x0, (i1, 2, , )n

n n

i i

0 0 0

1

n i i



0 0 0

1

n i i



Như vậy nếu

1

n i i

x k





 (hằng số) thì từ (i) và (ii), ta có

0  0 0 0 

1

n i i



Hoặc 0  0 0 0 

1

n i i

f x kf x n f x x f x



Suy ra MinP = Min

1

( )

n i i

f x



 kf x'( 0 ) n f x ( 0 ) x f x0 '( 0 ) khi x i x0,  i 1, 2, ,n MaxP = Max

1

( )

n i i

f x



 kf x'( 0 ) n f x ( 0 ) x f x0 '( 0 ) khi x ix0, i 1, 2, ,n

Ví dụ 3.1 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(1 ) (1 ) (1 )

P

Phân tích Ta nhận thấy ngay P f a( )  f b( )  f c( ) với

3 2

( ) (1 )

x

f x

x



 ,x 0

Ta có các biến a, b, c có vai trò bình đẳng và P đạt cực trị tại tâm ab c 1

Bài giải

Phương trình trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 2

( ) (1 )

x

f x

x



 , tại 1;1

4

M 

  là 1 1

y x

Ta chứng minh

3 2

x

x

 với x 0 (3.1.1) Thật vậy

3 2

x

x



4x (1 x) (2x 1)

    (x1) (22 x1)0, đúng  x 0, đẳng thức xảy

ra khi và chỉ khi x 1

Áp dụng bất đẳng thức (3.1.1), ta có

3 2

a

a

3 2

b

b

3 2

c

c

Suy ra

(1 ) (1 ) (1 )

P

2 a b c 4

2 abc 4 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc 1

Vậy MinP 3

4

 khi abc 1

Ví dụ 3.2 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P a   a b   b c  c

Phân tích P f a( )  f b( )  f c( ) với f x( )  x2  x 1,x 0

Ta có các biến a, b, c có vai trò bình đẳng và P đạt cực trị tại tâm ab c 1

Bài giải

Phương trình trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2

f x  x  x , tại M 1;1 là 1 1

y x

1

x   x x với x 0 (3.1.2)

2 2

3( 1)

x

x



   

Ví dụ 3.3 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Phân tích Biểu thức P chưa có dạng f a( ) f b( ) f c( ) nhưng các biến hoán vị vòng quanh và đạt cực trị tại tâm ab c 1 Hơn nữa a b c, , 0, ta có

9 ab 9 (3 c) c 6c 27

bc

ca

với ( ) 2 4

6 27

f x



   ,  x (0;3)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( ) tại điểm x 1 là 1 9

64 64

y  x

Bài giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương a b c, , , ta có

9 ab 9 (3 c) c 6c 27

bc

ca

P

6 27 64x 64 x

Thật vật với  x (0;3), ta có

1

0

x

6 27 64x 64

   

     ,  x (0;3) (3.3.1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1

Với a b c , , (0;3), áp dụng bất đẳng thức (3.3.1), ta có

2 4 1 9

6 27 64a 64

2 4 1 9

6 27 64b 64

2 4 1 9

6 27 64c 64

P

2 4 2 4 2 4

27 ( ) 3

a b c

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc 1

Do đó MaxP 3

8

 khi abc 1

Ví dụ 3.4 Cho a b c, , là các số dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Phân tích Đây là bài toán cực trị không có điều kiện Để sử dụng tính chất của tiến của đồ thị hàm

số ta cần xây dựng các x iK   sao cho

1

n i i





 (hằng số) và phân tích

1

( )

n i i



 với f x( )

liên tục và có đạo hàm trên K

Ta nhận xét rằng biểu thức P đồng bậc, không mất tính tổng quát, ta giả sử a  b c 1 Khi đó

P

       f a( ) f b( ) f c( ),

trong đó

2 2

( )

x x

f x





  , với x (0;1)

Ta có P đạt cực trị tại tâm ( 1)

3

ab c Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2 2

( )

x x

f x





  tại điểm 1

3

x  là 27 1

25 25

y x

Bài giải

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a  b c 1 Khi đó biểu thức P có dạng

P

Ta chứng minh

2 2

27 1

x x

x



  ,  x (0;1) Thậy vậy với  x (0;1), ta có

0

x

Suy ra

2 2

27 1

x x

x



  ,  x (0;1) (3.4.1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

x  Với a b c, , (0;1), áp dung bất đẳng thức (3.4.1), ta có

2 2

a a

a



2 2

27 1

b b

b



 

2 2

27 1

c c

c



  Suy ra

P

25a 25 25b 25 25c 25

27( ) 3 6

a b c 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

abc

Do đó MaxP 6

5

3

abc