Tìm GTLN và GTNN bằng phương pháp tọa độ

Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc chắn kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết lựa chọn các phương pháp đã học vào giải các bài toán là điều rất cần thiết. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là các dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông, thường gặp trong các đề tuyển sinh đại học – cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông. Các bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số rất đa dạng và phong phú. Cả lý luận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho học sinh. Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán. Đứng trước bài toán này, học sinh phổ thông thường lúng túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski…Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giải toán với bài toán này rất quan trọng. Trong bài viết này tôi tập trung vào vấn đề: “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT” Việc lựa chọn công cụ hình học vào giải quyết các bài toán về đại số là một cách nhìn khá mới mẻ. Nội dung chính của phương pháp là nhìn một bài toán đại số theo quan điểm hình học, khi giải quyết bài toán này đỏi hỏi chúng ta phải tọa độ hóa bài toán đại số. Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ như thế nào là rất quan trọng. Việc chọn hệ trục tọa độ hợp lý sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán là nhanh gọn, trong sáng.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU TIẾN s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Người thực hiện: Trần Mạnh Hân Tổ chuyên môn : Toán - Tin NĂM HỌC 2013- 2014 ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 1 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc chắn kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết lựa chọn các phương pháp đã học vào giải các bài toán là điều rất cần thiết. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là các dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông, thường gặp trong các đề tuyển sinh đại học – cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông. Các bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số rất đa dạng và phong phú. Cả lý luận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho học sinh. Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán. Đứng trước bài toán này, học sinh phổ thông thường lúng túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski…Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giải toán với bài toán này rất quan trọng. Trong bài viết này tôi tập trung vào vấn đề: “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT” Việc lựa chọn công cụ hình học vào giải quyết các bài toán về đại số là một cách nhìn khá mới mẻ. Nội dung chính của phương pháp là nhìn một bài toán đại số theo quan điểm hình học, khi giải quyết bài toán này đỏi hỏi chúng ta phải tọa độ hóa bài toán đại số. Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ như thế nào là rất quan trọng. Việc chọn hệ trục tọa độ hợp lý sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán là nhanh gọn, trong sáng. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng một hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 3. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên quan khác,… - Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Nguyễn Hữu Tiến. - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng. 4. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm - Mục lục - Mở đầu - Nội dung - Thực nghiệm sư phạm - Tài liệu tham khảo www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 2 PHẦN 2: NỘI DUNG I. CƠ Sở LÍ THUYếT 1. Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong mặt phẳng a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng ' , ' x Ox y Oy vuông góc với nhau. Trên , Ox Oy lần lượt chọn các véc tơ đơn vị , i j   . Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxy . b) Toạ độ của một điểm và của một véc tơ - Cho điểm M tùy ý trong mặt phẳng ( ) Oxy . Vì hai véctơ , i j   không đồng phẳng nên có một bộ số ( ; ) x y duy nhất sao cho: OM xi yj      . Bộ hai số ( ; ) x y được hoàn toàn xác định bởi điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M , ký hiệu ( ; ) M x y . - Cho a  trong mặt phẳng Oxy . Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM a    . Gọi ( ; ) x y là toạ độ của điểm M . Khi đó bộ hai số ( ; ) x y gọi là toạ độ của véc tơ a  trên hệ trục Oxy và ký hiệu là ( ; ) a x y   . c) Các phép tính véc tơ Cho hai véctơ 1 2 1 2 ( ; ), ( ; ) a a a b b b     và k là một số thực. Các phép tính véctơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với một số, tích vô hướng hai véctơ được xác định như sau: 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ( ; ) ( ; ) . . a b a b a b ka ka ka a b a b a b             d) Các công thức về độ dài, góc, khoảng cách: Cho hai véctơ 1 2 1 2 ( ; ), ( ; ) a a a b b b     và gọi  là góc tạo bởi hai véctơ đó. i) Độ dài véctơ: 2 2 1 2 a a a    ii) Khoảng cách giữa hai điểm ( ; ), ( ; ) A A B B A x y B x y : 2 2 ( ) ( ) B A B A AB AB x x y y       . iii) Góc giữa hai véctơ: 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . cos . . a a bb a b a b a a b b           . e) Phương trình đường thẳng - Phương trình của đường thẳng d đi qua điểm 0 0 ( ; ) M x y và nhận véctơ ( ; ) n a b   làm véctơ pháp tuyến là: 0 0 ( ) ( ) 0 a x x b y y     . - Khoảng cách từ điểm 0 0 ( ; ) M x y đến đường thẳng : 0 d ax by c    là: 0 0 2 2 ( ; ) ax by c d M d a b     www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 3 f) Phương trình đường tròn Phương trình đường tròn tâm ( ; ) I a b , bán kính R là: 2 2 2 ( ) ( ) x a y b R     . 2. Một số bất đẳng trong hình học a) Bất đẳng thức véctơ i) a b a b a b            - Dấu “=” bên trái xảy ra khi , a b   ngược hướng hoặc 0 a    hoặc 0 b    . - Dấu “=” bên phải xảy ra khi , a b   cùng hướng hoặc 0 a    hoặc 0 b    . ii) . . . a b a b a b          - Dấu “=” bên trái xảy ra khi , a b   ngược hướng hoặc 0 a    hoặc 0 b    . - Dấu “=” bên phải xảy ra khi , a b   cùng hướng hoặc 0 a    hoặc 0 b    . b) Bất đẳng thức tam giác: Với ba điểm , , A B C bất kì ta luôn có AB BC AC   . Dấu “=” xảy ra khi , , A B C theo thứ tự đó thẳng hàng. Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm , A B cho trước thì đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất. c) Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng d . Khi đó độ dài đoạn thẳng MH (với H d  ) ngắn nhất khi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng . d II. BÀI TậP Phương pháp: + Biến đổi hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về dạng tọa độ để xác định véctơ, các điểm, các đường có tọa độ từ điều kiện và biểu thức ban đầu. + Chuyển bài toán từ dạng đại số về dạng hình học tọa độ, giải bài toán bằng phương pháp hình học từ đó suy ra kết quả dạng đại số. Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2 ( ) 1 3 1 f x x x x x       với x   . Giải: Viết lại hàm số dưới dạng: 2 2 2 2 1 3 3 1 ( ) 2 2 2 2 f x x x                                                           Hàm số xác định trên  . Xét trên hệ trục tọa độ Oxy . Cách 1: www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 4 Chọn 1 3 3 1 ; ; ; 2 2 2 2 u x v x                                     2 2 3 1 1 3 2 2 2 2 2 u v                                    Khi đó ( ) 2 f x u v u v         Dấu bằng xảy ra khi các véctơ , u v   3 ( 0) 3 1 k u kv k x                   . Vậy min ( ) 2 f x  khi 3 1 x   . Cách 2: Gọi 1 3 ; 2 2 A               3 1 ; , ( , 0) 2 2 B C x                2 2 1 3 2 2 AC x                              và 2 2 3 1 2 2 BC x                              Nên ta có: ( ) f x AC BC   . Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 2 2 3 1 1 3 2 2 2 2 2 AC BC AB                                     . Nên ( ) 2, f x x     . Vậy min ( ) 2 f x  khi C là giao điểm của AB và trục Ox , từ đó 3 1 x   . Bình luận: - Nếu như áp dụng phương pháp hàm số thì việc xét sự biến thiên sẽ gặp khó khăn vì để tìm nghiệm của phương trình '( ) 0 f x  dẫn tới việc giải phương trình bậc 4. - Về cách chọn điểm hoặc chọn vectơ trong bài 1: + Cách 1: Việc chọn vectơ , u v   cần phải khéo léo để sao cho u v    là một hằng số đồng thời dấu “=” phải xảy ra. + Cách 2: Câu hỏi đặt ra là tại sao lại chọn cặp điểm 1 3 3 1 ; , ; 2 2 2 2 A B                              mà không phải cặp điểm khác, mặc dù các biểu thức tính khoảng cách , AB BC không đổi, ta có thể chọn 1 3 3 1 ; , ; 2 2 2 2 A B                             thì vẫn thu được ( ) f x AC BC   . Lúc này A và B nằm cùng phía so với trục Ox . Khi đó để tìm giá trị nhỏ nhất của AC BC  bài toán sẽ dài hơn www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 5 bằng cách chọn điểm ' B đối xứng với B qua Ox , tức là 3 1 ' ; 2 2 B                và khi đó M là giao điểm của ' AB và trục Ox . Nên ta chọn điểm 3 1 ; 2 2 B                . - Mở rộng bài toán: + Thứ nhất: Liệu các hệ số của các biểu thức có phải là bất kì không? Nếu thay 2 1 x x   bởi biểu thức 2 x x  hay 2 1 x x   thì sao? Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách hoặc độ dài của một véctơ nên biểu thức dưới dấu căn phải luôn dương. + Thứ hai: Hệ số của 2 x trong hai biểu thức của hàm số có nhất thiết phải bằng nhau không? Nếu không thì sao? Ví dụ: 2 2 ( ) 1 2 1 f x x x x x       Trả lời: Do khi áp dụng: “Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm , A B cho trước thì đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách giữa điểm đầu và cuối là không đổi, nên cặp điểm , A B phải có dạng ( , ), ( , ) A m n B p q hoặc ( , ), ( , ) A x m n B x p q   hoặc ( , ), ( , ) A m y n B p y q   hoặc ( , ), ( , ) A x y B x p y q   (trong đó , , , m n p q là các giá trị không đổi). Và với điểm C bất kì thay đổi thì khi áp dụng công thức khoảng cách để tính , AC BC ta luôn được hệ số của 2 x là bằng nhau. + Thứ ba: Khi thay bằng hàm số 2 2 ( ) 1 3 1 f x x x x x       có thể đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay không? Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số ( ) f x sẽ đạt được giá trị lớn nhất. Nếu như muốn tìm giá trị lớn nhất của hàm số này ta sẽ chọn 1 3 3 1 ; , ; 2 2 2 2 A B                             sao cho cùng phía so với trục Ox thì ta có ( ) f x AC BC AB    . Từ đó ta tìm được giá trị lớn nhất của hàm số trên. + Thứ tư: Ta có thể tìm thêm giá trị lớn nhất của hàm số không? Trả lời: Nếu như giới hạn của biến x lại trong một tập D thì ta có thể tìm được giá trị lớn nhất của hàm số đó. Các vấn đề sẽ lần lượt được áp dụng và trình bày qua các bài toán dưới đây. Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 f x x px p x qx q       , ( , p q là hai số cho trước) Giải: TH1: Xét 0 p q   Trên mặt phẳng tọa độ Oxy xét các điểm ( ; ); ( , ) A x p p B x q q    . Khi đó : www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 6 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) f x x p p x q q OA OB         Rõ ràng có: OA OB AB   . Mà 2 2 ( ) ( ) AB q p p q     không đổi với mọi vị trí của A và B. Vậy ta luôn có   2 2 ( ) ( ) f x q p p q     . Dấu "=" xảy ra khi , , A O B theo thứ tự thẳng hàng. Ta có ( ; ), ( ; ) OA x p p BO q x q       . Khi đó , , A O B theo thứ tự thẳng hàng p q p p q x p x q x q p q         . Do độ dài đoạn AB không đổi với mọi vị trí của , A B nên ta có: 2 2 min ( ) ( ) ( ) | | q p p q f x f AB p q p q p q                        TH2: Xét | | | | 0 0. p q p q      Lúc này khi ( ) 2 min ( ) 0, 0. f x x f x x     Vì vậy, với mọi trường hợp ta đều có: 2 2 min ( ) ( ) ( ) f x p q p q     Bài 3: Cho , , , a b c h là bốn số dương cho trước và , , x y z là ba số thực thay đổi sao cho , ax by cz k    ( k là số cho trước). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2 2 2 2 2 ( , , ) f x y z a h x b h y c h z       (1) Giải: Trên hệ trục Ouv , lấy được các điểm:   ( , ), (( ) ; ), ( ) ; A ah ax B a b h ax by C a b c h ax by cz       Ta có: 2 2 2 2 2 2 ; , OA a h x AB b h y BC c h z       Vậy (2) ( ; ; ) , f x y z OA AB BC    Và do OA AB BC   là độ dài đường gấp khúc OABC nối hai điểm cố định (0;0) O và (( ) ; ) C a b c h k   . Từ (2) suy ra : (3) 2 2 2 ( ; ; ) ( ) ,f x y z OC k h a b c     Dấu "=" trong (3) xảy ta , , , O A B C  theo thứ tự thẳng hàng. www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 7 ax ax by ax by cz ah ah bh ah bh ch          k x y z a b c       Như vậy: 2 2 2 ; ; ( ) k k k f k a b c h a b c a b c a b c                       (4) Từ (3) và (4), ta có: 2 2 2 min ( ; ; ) ( ) f x y z k a b c h     khi k x y z a b c      . Bài 4 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : 2 2 ( ) 2 2 2 2 f x x x x x       trên miền 1 | 1 2 x x                    Phân tích: Nếu làm như bài 1 thì ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà không tìm được giá trị lớn nhất. Với bài này ta sử dụng định lí: “Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó”. Giải: Viết lại hàm số dưới dạng: 2 2 ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) f x x x       Xét hệ trục tọa độ Ouv , trên đó xét điểm cố định (2;2) N và điểm chuyển động (1;1 ) M x  . Khi 1 1 2 x    ta được 3 0 1 2 x    khi đó M giới hạn trên đoạn thẳng 0 1 M M với 0 1 3 (1; 0), (1; ). 2 M M Do: 2 2 1 ( 1) , 1 ( 1) OM x MN x       Suy ra ( ) . f x OM MN   Nên ( ) 2. f x ON   + Vậy ( ) f x đạt GTNN bằng 2 khi , , O M N theo thứ tự thẳng hàng hay M là giao điểm của ON và 0 1 M M . Dễ dàng tìm được (1;1) M hay 0. x  + Và 0 1 1 [ ] [ ;1] 2 max ( ) max ( ) M M M x f x OM MN      0 0 1 1 max{ ; } 1 5 OM M N OM M N     . Vậy 1 [ ;1] 2 max ( ) 1 5 x f x     khi 1 x  ; 1 [ ;1] 2 min ( ) 2 x f x    khi 0. x  Bình luận: - Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình '( ) 0 f x  không khó như bài 1. www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 8 - Sử dụng phương pháp này có thể giảng dạy phù hợp với chương trình lớp 10, phần hệ trục tọa độ trong mặt phẳng. Bài 5: Cho , x y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 A x y x y y         (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006) Phân tích: Hai căn thức đầu tiên làm ta nghĩ tới tọa độ các điểm ( 1; ), ( 1; ) M x y N x y    và sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá hai căn thức đầu tiên. Tuy nhiên cần khéo léo chọn để dấu bằng xảy ra. Giải: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , xét điểm ( 1; ) M x y   , ( 1; ) N x y  . Ta được 2 2 2 2 ( 1) ( 1) OM ON x y x y        Do OM ON MN   nên 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 1 x y x y y        Đẳng thức xảy ra khi , , M O N theo thứ tự thẳng hàng. Từ đó ta được 0. x  Do đó 2 2 1 2 ( ) A y y f y      Ta tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) f y trong hai trường hợp: + Nếu 2 y  ta được 2 ( ) 2 1 2 f y y y     2 2 3 '( ) 1; '( ) 0 3 1 y f y f y y y       Bảng biến thiên Từ đó suy ra: ( ) 2 3, 2. f y y     Dấu bằng xảy ra khi 3 3 y  . + Nếu 2 y  , tương tự ta được 2 ( ) 2 1 2 2 5 2 3 f y y y        . Vậy 2 3 A   với mọi số thực , . x y Khi 3 0, 3 x y  thì 2 3 A   nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 3.  www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam 9 Bình luận: Nếu như chọn cặp điểm ( 1; ), ( 1; ) M x y N x y   thì tuy 2 MN  sẽ nhỏ hơn 2 3  nhưng sẽ không có dấu “=” xảy ra. Vì vậy, việc chọn tọa độ trong bài này phải hết sức tinh tế. Bài 6: Với x   , tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 ( 3 1) 1 2 ( 3 1) 1 f x x x x x x x            Giải: Phân tích vế trái: 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 ( ) ( 1) 2 2 2 2 f x x x x x x x                                                                Trong mặt phẳng tọa độ, ta xét các điểm 3 1 3 1 ( ; ), (1;0), ; , ; 2 2 2 2 M x x A B C                                Khi đó: ( ) f x MA MB MC    Nên ( ) f x nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh , , AB BC AC của tam giác ABC dưới một góc 120 0 . Dễ thấy tam giác ABC đều, tâm O nên ( ) f x đạt giá trị nhỏ nhất khi M O  hay 0 x  . Và khi đó ta được min ( ) (0) 3 f x f   . Chứng minh bài toán phụ: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý nằm trong mặt phẳng ( ) ABC thì tổng MA MB MC   nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh , , AB BC CA dưới một góc 120 0 . Hướng dẫn: Xét phép quay tâm A góc quay 60 0 . - Biến điểm M thành điểm N - Biến điểm C thành điểm M Khi đó, theo tính chất của phép quay và do góc quay bằng 60 0 ta được : , AM MN CM NP   . Vậy tổng MA MB MC   nhỏ nhất  tổng BM MN NP   nhỏ nhất , , , B M N P  thẳng hàng. Nói riêng , , B M N thẳng hàng mà  0 60 AMN  nên  0 120 AMB  . Tương tự ta cũng được   0 120 BMC CMA   . Từ đó ta được điều phải chứng minh. Bài 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2 2 2 2 2 2 ( ; ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) f x y x y x y x y             trong đó , x y là các số thực. (Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998) www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com [...]... toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ và toạ độ thì có thể chuyển thành bài toán đại số hoặc giải tích và tìm ra lời giải ngắn gọn, phần nào làm sáng tỏ vấn đề của đề tài Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nào cũng có thể dùng phương pháp tọa độ Ngoài phương pháp tọa độ nêu trên thì còn rất nhiều kĩ thuật, phương pháp để giải đối với bài toán này Tuy nhiên phương. .. bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số cũng như vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức Học sinh trung bình khá trở nên nắm vững được phương pháp và biết vận dụng ở dạng bài tập cơ bản, học sinh khá giỏi có thể sử dụng phương pháp này để giải quyết một số bài toán trong đề thi đại học và đề thi học sinh giỏi 2 Ngoài ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Phương pháp tọa độ còn có...  0 và min f (x ; y )  4  5 khi x  5; y  2 5  4 III BÀI TẬP ÁP DỤNG Xin đưa ra một số bài tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp tham khảo, đó là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và một số bài toán chứng minh bất đẳng thức Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f (x )  x 2  2x  3  x 2  4x  6 khi 1  x  1 Bài 2: Cho a, b, c  0 và a  b  c  2 Tìm. .. với bài toán này Tuy nhiên phương pháp này cho thấy việc sử dụng phương pháp tọa độ trong hình học vào giải quyết các bài toán đại số là rất mạnh mẽ, làm cho việc trình bày lời giải trở nên gọn gàng, sáng sủa Thông quan bản sáng kiến kinh nghiệm này, tôi mong muốn được đóng góp một phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác phương pháp tọa độ một cách có hiệu quả khi làm... thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Tôi khuyến khích các em về tìm tòi thêm 3 Thực nghiệm cho thấy: kết quả ứng dụng của phương pháp là tương đối khả quan Học sinh tiếp thu được bài và trình bày chặt chẽ Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụng được ý tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ mà trở nên thích thú, ham tìm hiểu về những bài toán tìm giá... tế giảng dạy tôi thấy rằng phương pháp này có thể dạy ngay cho học sinh học lớp 10 – khi đã học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở một mức độ nào đó (phần hình học) Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 23 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 PHẦN 4: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Thực hiện mục đích... Nam Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm và nhóm 2 là nhóm đối chứng Chọn học sinh ở 2 nhóm này có lực học khá và tương đương nhau 3 Nội dung thực nghiệm Dạy thực nghiệm nội dung: Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 4 Đánh giá kết quả thực nghiệm a) Đề kiểm tra: Phát phiếu kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh: Thời gian 45’ Bài 1 (3đ): Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y  f...  cắt cung AB , tức nó nằm giữa hai đường thẳng u  v   5 và u  v  5 Từ đó suy ra  5    5 Vậy ta có max f (x )  5  x  4 và min f (x )   5  x   1 Bình luận: - Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình f '(x )  0 không khó như bài 1 - Sử dụng phương pháp này có thể dạy cho học sinh lớp 10 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f (x )  x  4  x... chứng khả năng ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 Tổ chức thực nghiệm a) Hình thức thực nghiệm: Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo nội dung đã đề cập ở phần 2 Sau đó cho học sinh lớp chọn làm thực nghiệm đo kết quả thực nghiệm b) Đối tượng thực nghiệm Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10A1 (nhóm 1) và 20 em học sinh còn... đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ và thành công hơn trong giảng dạy Tôi xin trân trọng cảm ơn! Duy Tiên, tháng 4 năm 2014 Người viết ThS Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam DeThiThuDaiHoc.com 24 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU TIẾN s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Người . kinh nghiệm - Mục lục - Mở đầu - Nội dung - Thực nghiệm sư phạm - Tài liệu tham khảo www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường. y đến đường thẳng : 0 d ax by c    là: 0 0 2 2 ( ; ) ax by c d M d a b     www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường.          Hàm số xác định trên  . Xét trên hệ trục tọa độ Oxy . Cách 1: www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam DeThiThuDaiHoc.com ThS. Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Trường