Tìm GTLN và GTNN bằng phương pháp tọa độ

Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc chắn kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết lựa chọn các phương pháp đã học vào giải các bài toán là điều rất cần thiết. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là các dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông, thường gặp trong các đề tuyển sinh đại học – cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông. Các bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số rất đa dạng và phong phú. Cả lý luận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho học sinh. Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán. Đứng trước bài toán này, học sinh phổ thông thường lúng túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski…Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giải toán với bài toán này rất quan trọng. Trong bài viết này tôi tập trung vào vấn đề: “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT” Việc lựa chọn công cụ hình học vào giải quyết các bài toán về đại số là một cách nhìn khá mới mẻ. Nội dung chính của phương pháp là nhìn một bài toán đại số theo quan điểm hình học, khi giải quyết bài toán này đỏi hỏi chúng ta phải tọa độ hóa bài toán đại số. Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ như thế nào là rất quan trọng. Việc chọn hệ trục tọa độ hợp lý sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán là nhanh gọn, trong sáng.

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU TIẾN

s¸ng kiÕn kinh nghiÖm

ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

Người thực hiện: Trần Mạnh Hân

Tổ chuyên môn : Toán - Tin

NĂM HỌC 2013- 2014

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc chắn kiến thức cơ

bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết lựa chọn các phương pháp đã học

vào giải các bài toán là điều rất cần thiết Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số là các dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông, thường

gặp trong các đề tuyển sinh đại học – cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong

các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông

Các bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số rất đa dạng và phong phú Cả lý luận

và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho

học sinh

Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, việc vận dụng nhìn

chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán Đứng trước bài toán này, học sinh phổ

thông thường lúng túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng

thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski…Vì vậy việc lựa chọn phương pháp giải toán với

bài toán này rất quan trọng Trong bài viết này tôi tập trung vào vấn đề:

“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT”

Việc lựa chọn công cụ hình học vào giải quyết các bài toán về đại số là một cách

nhìn khá mới mẻ Nội dung chính của phương pháp là nhìn một bài toán đại số theo quan

điểm hình học, khi giải quyết bài toán này đỏi hỏi chúng ta phải tọa độ hóa bài toán đại

số Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ như thế nào là rất quan trọng Việc chọn hệ trục tọa

độ hợp lý sẽ giúp cho việc giải quyết bài toán là nhanh gọn, trong sáng

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng một hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh

cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

3 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên

PHẦN 2: NỘI DUNG

I CƠ Sở LÍ THUYếT

1 Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong mặt phẳng

a) Định nghĩa:

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng 'x Ox y Oy vuông góc với nhau Trên , ' Ox Oy lần lượt ,

chọn các véc tơ đơn vị i j , Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Oxy

b) Toạ độ của một điểm và của một véc tơ

- Cho điểm M tùy ý trong mặt phẳng (Oxy Vì hai véctơ ) i j , không đồng phẳng nên có một

bộ số ( ; )x y duy nhất sao cho: OM xi yj Bộ hai số ( ; )x y được hoàn toàn xác định bởi

điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M , ký hiệu M x y ( ; )

- Cho a trong mặt phẳng Oxy Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM a Gọi

( ; )x y là toạ độ của điểm M Khi đó bộ hai số ( ; )x y gọi là toạ độ của véc tơ a trên hệ trục Oxy

và ký hiệu là a ( ; )x y

c) Các phép tính véc tơ

Cho hai véctơ a ( ; ),a a b1 2  ( ; )b b1 2 và k là một số thực

Các phép tính véctơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với một số, tích vô hướng hai

véctơ được xác định như sau:

d) Các công thức về độ dài, góc, khoảng cách:

Cho hai véctơ a ( ; ),a a b1 2  ( ; )b b1 2 và gọi  là góc tạo bởi hai véctơ đó

i) Độ dài véctơ: a  a12 a22

ii) Khoảng cách giữa hai điểm A x y( ; ), ( ;A A B x y B B): AB  AB  (x B x A)2 (y B y A)2

2 2 2 2

1 2 1 2

cos

- Dấu “=” bên trái xảy ra khi a b, ngược hướng hoặc a  0 hoặc b  0

- Dấu “=” bên phải xảy ra khi a b, cùng hướng hoặc a  0 hoặc b  0

ii) a b .  a b.  a b. 

- Dấu “=” bên trái xảy ra khi a b, ngược hướng hoặc a  0 hoặc b  0

- Dấu “=” bên phải xảy ra khi a b, cùng hướng hoặc a  0 hoặc b  0

c) Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng d Khi đó độ dài đoạn thẳng MH (với

H d) ngắn nhất khi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d.

II BÀI TậP

Phương pháp:

+ Biến đổi hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về dạng tọa độ để xác định véctơ, các

điểm, các đường có tọa độ từ điều kiện và biểu thức ban đầu

+ Chuyển bài toán từ dạng đại số về dạng hình học tọa độ, giải bài toán bằng phương

pháp hình học từ đó suy ra kết quả dạng đại số

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

- Nếu như áp dụng phương pháp hàm số thì việc xét sự biến thiên sẽ gặp khó khăn vì để

tìm nghiệm của phương trình f x '( ) 0 dẫn tới việc giải phương trình bậc 4

- Về cách chọn điểm hoặc chọn vectơ trong bài 1:

+ Cách 1: Việc chọn vectơ ,u v  cần phải khéo léo để sao cho uv là một hằng số đồng

thời dấu “=” phải xảy ra

+ Cách 2: Câu hỏi đặt ra là tại sao lại chọn cặp điểm 1 3 3 1

    thì vẫn thu được ( )AC BC Lúc này A và B nằm cùng

phía so với trục Ox Khi đó để tìm giá trị nhỏ nhất của AC BC bài toán sẽ dài hơn

bằng cách chọn điểm B' đối xứng với B qua Ox, tức là 3 1

x   bởi biểu thức x x2 x hay x2  x 1 thì sao?

Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách hoặc độ dài của một véctơ nên biểu thức dưới

dấu căn phải luôn dương

+ Thứ hai: Hệ số của x2 trong hai biểu thức của hàm số có nhất thiết phải bằng nhau

không? Nếu không thì sao? Ví dụ: f x( )  x2   x 1 2x2 x 1

Trả lời: Do khi áp dụng: “Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm A B, cho trước thì

đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách giữa điểm đầu và cuối là không đổi,

nên cặp điểm A B, phải có dạng A m n B p q( , ), ( , ) hoặc A x( m n B x, ), ( p q, ) hoặc

A m yn B p y q hoặc A x y B x( , ), ( p y, q) (trong đó m n p q, , , là các giá trị

không đổi) Và với điểm C bất kì thay đổi thì khi áp dụng công thức khoảng cách để tính

,

AC BC ta luôn được hệ số của x2 là bằng nhau

+ Thứ ba: Khi thay bằng hàm số f x( ) x2  x 1 x2  3x 1 có thể đạt giá trị

lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay không?

Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số ( ) sẽ đạt được giá trị lớn nhất Nếu như muốn

tìm giá trị lớn nhất của hàm số này ta sẽ chọn 1 3 3 1

    sao cho cùng phía so

với trục Ox thì ta có ( )AC BC AB Từ đó ta tìm được giá trị lớn nhất của hàm

số trên

+ Thứ tư: Ta có thể tìm thêm giá trị lớn nhất của hàm số không?

Trả lời: Nếu như giới hạn của biến x lại trong một tập D thì ta có thể tìm được giá trị lớn

nhất của hàm số đó

Các vấn đề sẽ lần lượt được áp dụng và trình bày qua các bài toán dưới đây

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

TH2: Xét | |p | | 0q    p q 0 Lúc này f x( )  2x  min ( )f x  0, khi x  0.

Vì vậy, với mọi trường hợp ta đều có: min ( )f x  (pq)2  (p q)2

Bài 3: Cho a b c h, , , là bốn số dương cho trước và x y z, , là ba số thực thay đổi sao cho

Nếu làm như bài 1 thì ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà không tìm được giá trị lớn nhất

Với bài này ta sử dụng định lí: “Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó”

+ Vậy ( ) đạt GTNN bằng 2 khi O M N, , theo thứ tự thẳng hàng hay M là giao điểm

của ON và M M0 1 Dễ dàng tìm được M(1;1) hay x 0.

- Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình f x '( ) 0

không khó như bài 1

- Sử dụng phương pháp này có thể giảng dạy phù hợp với chương trình lớp 10, phần hệ

Hai căn thức đầu tiên làm ta nghĩ tới tọa độ các điểm M x(  1; y N x), ( 1; )y và sử dụng

bất đẳng thức tam giác để đánh giá hai căn thức đầu tiên Tuy nhiên cần khéo léo chọn để

dấu bằng xảy ra

+ Nếu y 2, tương tự ta được f y( )  2 1 y2   y 2 2 5   2 3

Vậy A  2 3 với mọi số thực x y,

Bình luận: Nếu như chọn cặp điểm M x( 1; ), (y N x 1; )y thì tuy MN  2 sẽ nhỏ hơn

2  3 nhưng sẽ không có dấu “=” xảy ra Vì vậy, việc chọn tọa độ trong bài này phải

Nên ( ) nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh AB BC AC, , của

tam giác ABC dưới một góc 1200 Dễ thấy tam giác

ABC đều, tâm O nên ( ) đạt giá trị nhỏ nhất khi

M O hay x  0 Và khi đó ta được

min ( )f x  f(0)3

Chứng minh bài toán phụ:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý nằm trong mặt phẳng (ABC) thì

tổng MAMBMC nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh AB BC CA, , dưới một góc 1200

Hướng dẫn: Xét phép quay tâm A góc quay 600

- Biến điểm M thành điểm N

- Biến điểm C thành điểm M

Khi đó, theo tính chất của phép quay và do góc quay bằng

BMC CMA Từ đó ta được điều phải chứng minh

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

Phân tích : Trong hàm số ( ; ) xuất hiện căn bậc hai, gợi chúng ta nghĩ đến công thức

khoảng cách giữa hai điểm

Kết hợp với điều kiện ban đầu a2 b2  1 ta được 2

2

a  b

Vậy minP  2  2 khi 2

.2

a  b Bài 9: Cho x y z, , là ba số dương và x  y z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ab bc ca

Giải:

Vậy minP  3 khi a  b c 3

Bình luận: Đây là dạng của đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2000

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

Vậy min ( )f x  4 2 2 khi x 2

Bình luận: Trong bài này, việc chọn tọa độ mang ý nghĩa quyết định Nếu chọn hệ

tọa độ hợp lý thì chúng ta thấy lời giải hết sức gọn gàng Qua bài toán này, ta cũng nhận

thấy rằng cơ sở trực quan của hình học phần nào đã giảm nhẹ được độ khó của bài toán

Vận dụng hình học trong bài toán đại số, giúp học sinh đỡ phải tính toán cồng kềnh phức



Giải:

Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy:

Gọi M k là điểm có tọa độ

Gọi M x y  ( ; ) thì M sẽ nằm ở miền trong hoặc nằm

trên biên của ABC

+ f x y( ; )  maxOA OB OC; ;  max 4; 20;2  20 khi M B hay x  4;y 2

Vậy max ( ; )f x y 2 5 khi x  4;y 2 ; 4 5

Nếu gọi M a b N c d P( ; ), ( ; ), (1;2) thì từ điều kiện a2 b2 c2 d2 5 ta thấy M N P, , là

các điểm nằm trên đường tròn tâm O bán kính 5

2 MP NP MN

Vế trái là giá trị của chu vi tam giác MNP Sử

dụng tính chất : "Trong các tam giác nội tiếp đường

tròn, tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất"

Nên P đạt giác trị lớn nhất khi tam giác MNP đều

và nội tiếp đường tròn bán kính 5 Khi đó ta được

M a b N c d , thì từ điều kiện ta thấy M N,

là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn

tâm O1(1;1) bán kính 1 và đường tròn tâm

2 (7;7)

O bán kính 5

Và ta cũng có MN2  (ac)2  (bd) 2

Nối O O1, 2 cắt đường tròn bé tại G E, và cắt

đường tròn lớn tại F H, Khi đó tính được tọa

Phân tích: Bài toán sẽ sử dụng tính chất tương đối của đồ thị hai hàm số liên tục và sử

dụng tính chất miền giá trị của hàm số

Gọi  là giá trị tùy ý của hàm số y  f x( ) trên

miền xác định  Tức là hệ sau có nghiệm:

khi hệ sau có nghiệm : 2 2 2 (2)

- Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình f x '( ) 0

không khó như bài 1

- Sử dụng phương pháp này có thể dạy cho học sinh lớp 10

Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

2 2

f x  x x x x trên miền  x | 2   x 2

Phân tích: Khi đặt y  4 x2  0 thì bài toán trở thành :

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ( , )  x y xy thỏa mãn

2 2 4 0

x y y

  



 

Điều kiện này xác định một nửa đường tròn tâm O bán kính 2 lấy phía trên trục hoành

Giải: Gọi  là giá trị tùy ý của hàm số y  f x( ) trên

miền  Tức là hệ sau có nghiệm:

Hệ (*) có nghiệm khi đường x    y 1 5  2 cắt nửa đường tròn, tức nó nằm giữa

hai đường x  y 2 2 và x   y 2 Ta suy ra:

Như vậy đối với các bài toán tưởng chừng như quá tầm đối với cách giải thông thường

thì lại thật gọn nhẹ với phương pháp sử dụng, nhìn bài toán đoán đó bằng con mắt hình

Giải: Miền xác định  được biểu diễn bởi miền tô đậm trong hình vẽ

Gọi  là một giá trị tùy ý của ( ; ) trên  Điều này có nghĩa hệ sau có nghiệm:

Đường tròn (x6)2 (y3)2 25 cắt trục hoành tại B(2; 0), (10; 0)C

Đường thẳng x y  qua B khi  2

Khi đó: x    y 4 5 và x  y 2 là hai vị trí giới hạn mà đường thẳng x y 

cắt miền D Từ đó suy ra:

max ( ; )f x y 2 khi x 2;y 0 và min ( ; )f x y   4 5 khi x  5;y  2 5  4.

III BÀI TẬP ÁP DỤNG

Xin đưa ra một số bài tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy cô và bạn bè đồng

nghiệp tham khảo, đó là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và một số bài toán chứng

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:y  f x( ) x24x 29 x2 4x 5 trên 

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

y  f x  x   x trên miền  x | 1  x 4 Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

y  f x  x   x trên miền  x | 1  x 4 Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x22px2p2  x22qx2 ,(q2 p q)

Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  a2 x2  a2 (cx)2

Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số  2

( ) 1993 1995

f x  x   x trên miền xác định của nó

a b a c b c b a c a c b 

(Trích đề thi ĐH Nông nghiệp I năm 2000)

Bài 22: Cho x y u v, , ,   :u2 v2 x2y2  1 Chứng minh rằng:

u xy v x y 

Bài 23: Chứng minh rằng x y,   ta có:

a) 4 cos2xcos2ysin (2 x y) 4 sin2xsin2ysin (2 x y)2

b) cos4x cos4y sin2x sin2y  2

c) sinx  2sin2x sinx 2sin2x 3

PHẦN 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

1 Mục đích thực nghiệm

Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng khả năng ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải

một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

2 Tổ chức thực nghiệm

a) Hình thức thực nghiệm:

Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo nội dung đã đề cập ở phần 2 Sau đó cho

học sinh lớp chọn làm thực nghiệm đo kết quả thực nghiệm

b) Đối tượng thực nghiệm

Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10A1 (nhóm 1) và 20 em học sinh còn

lại (nhóm 2) năm học 2013-2014 của trường THPT Nguyễn Hữu Tiến – Hà Nam

Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm và nhóm 2 là nhóm đối chứng Chọn học sinh ở 2

nhóm này có lực học khá và tương đương nhau

3 Nội dung thực nghiệm

Dạy thực nghiệm nội dung: Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

a) Đề kiểm tra: Phát phiếu kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh: Thời gian 45’

Bài 1 (3đ): Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

y f x  x  x   x  x  trên  Bài 2 (4đ): Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

y  f x  x   x trên miền  x | 1  x 4 Bài 3 (3đ): Choa b c , , 0 và a   b c 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

n là số học sinh tham gia (n 20)

Kết quả thu được: xTN  7, 05;x§C  5,6

5 Kết luận

Dựa trên kết quả thực nghiệm thấy rằng kết quả của nhóm thực nghiệm cao hơn lớp đối

chứng Số học sinh đạt điểm cao ở nhóm thực nghiệm cũng vượt trội so với nhóm đối

chứng

Trong thực tế giảng dạy tôi thấy rằng phương pháp này có thể dạy ngay cho học sinh học

lớp 10 – khi đã học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) và phương pháp tọa độ trong

mặt phẳng ở một mức độ nào đó (phần hình học)

PHẦN 4: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

Thực hiện mục đích của đề tài, tôi đã giải quyết được một số vấn đề sau:

1 Học sinh biết áp dụng những điều đã được giới thiệu để giải quyết một số bài

toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số cũng như vận dụng vào chứng minh bất

đẳng thức Học sinh trung bình khá trở nên nắm vững được phương pháp và biết vận

dụng ở dạng bài tập cơ bản, học sinh khá giỏi có thể sử dụng phương pháp này để giải

quyết một số bài toán trong đề thi đại học và đề thi học sinh giỏi

2 Ngoài ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Phương pháp tọa độ

còn có nhiều ứng dụng: chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình,

bất phương trình Tôi khuyến khích các em về tìm tòi thêm

3 Thực nghiệm cho thấy: kết quả ứng dụng của phương pháp là tương đối khả

quan Học sinh tiếp thu được bài và trình bày chặt chẽ

Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụng được ý

tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ mà trở nên thích thú, ham tìm hiểu về những bài

toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như bài toán chứng minh bất đẳng thức Nếu khéo

léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ và toạ độ thì có thể chuyển

thành bài toán đại số hoặc giải tích và tìm ra lời giải ngắn gọn, phần nào làm sáng tỏ vấn

đề của đề tài

Tuy nhiên, không phải tất cả các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nào cũng có

thể dùng phương pháp tọa độ Ngoài phương pháp tọa độ nêu trên thì còn rất nhiều kĩ

thuật, phương pháp để giải đối với bài toán này Tuy nhiên phương pháp này cho thấy

việc sử dụng phương pháp tọa độ trong hình học vào giải quyết các bài toán đại số là rất

mạnh mẽ, làm cho việc trình bày lời giải trở nên gọn gàng, sáng sủa

Thông quan bản sáng kiến kinh nghiệm này, tôi mong muốn được đóng góp một

phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác phương pháp

tọa độ một cách có hiệu quả khi làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng

tạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán

Qua nội dung đề tài, tôi mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn nữa về bài toán tìm giá

trị lớn nhất, nhỏ nhất và bài toán chứng minh bất đẳng thức cũng như muốn nghiên cứu

mối quan hệ giữa “Hình học” và “Đại số”

Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ bản thân còn hạn chế, nên tôi rất mong

được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các đồng nghiệp để

sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ

và thành công hơn trong giảng dạy

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Duy Tiên, tháng 4 năm 2014

Người viết

ThS Trần Mạnh Hân