Nh¬m giúp các em håc sinh có thêm tư li»u gi£i toán THPT và chu©n bà cho các kì thi quèc gia (tèt nghi»p, tuyºn sinh CĐĐH) do Bë GDĐT tê chùc, chúng tôi biên so¤n và giîi thi»u đ¸n các b¤n tuyºn tªp Phương pháp tåa đë trong m°t ph¯ng và trong không gian theo chương trình c£i cách mîi cõa Bë GDĐT. Gçm hai ph¦n: Ph¦n 1: Phương pháp tåa đë trong m°t ph¯ng. Ph¦n 2: Phương pháp tåa đë trong không gian. Nëi dung ki¸n thùc trong tuyºn tªp này bám sát chương trình và ki¸n thùc THPT (chương trình chu©n– nâng cao), chuyên sâu vào các đ· thi trong các năm g¦n đây. Các bài toán đưñc gi£i mët cách t¿ b¬ng nhi·u cách khác nhau nh¬m giúp các em håc sinh có nhi·u hưîng ti¸p cªn ki¸n thùc, đçng thíi t¤o ra phương thùc gi£i quy¸t v§n đ· linh ho¤t hơn. Đ°c bi»t vîi nhúng nhªn xét sau méi ví dö, tác gi£ đưa các trưíng hñp riêng, các trưíng hñp chung và các hưîng gi£i quy¸t v§n đ· theo tøng trưíng hñp, nh¬m giúp các em håc sinh lüa chån cho mình phương pháp gi£i tôt nh§t, ngn gån nh§t. M°c dù đã r§t nhi·u cè gng, song không tránh khäi sai sót. R§t mong nhªn đưñc sü góp ý chân thành cõa các em håc sinh và các th¦y cô giáo.
ThS. CAO HỒNG SƠN CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN ÔN THI TỐT NGHIỆP 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 2 1 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 3 PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 5 1 Điểm và véc tơ trong mặt phẳng 5 1.1 Tọa độ của một điểm trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tọa độ của một véctơ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Các phép toán về véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Tổng và hiệu hai véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Tích của một số và một véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.3 Tích vô hướng của hai véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Chia một đoạn thẳng theo tỉ số cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Điều kiện để hai vectơ cùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Đường thẳng 14 2.1 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Véc tơ chỉ phương và véc tơ pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Phương trình của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.1 Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.2 Công thức tính g óc giữa hai đường thẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.1 Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.2 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Đường tròn 54 3.1 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.1 Định nghĩa đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 3.1.2 Phươg trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 3.1.3 Phương trình chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.4 Phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Vị trí tương đối của điểm và đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 3.2.1 Phương tích của điểm đối với đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.2 Vị trí của điểm và đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4 Vị trí tương đối của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5 Tiếp tuyến của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.6 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4 Đường Elip 82 4.1 Phương trình của eli p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.1.1 Phương trình chính tắc của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.1.2 Phương trình tham số của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.1.3 Hình dạng của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2 Các dạng elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3 Tiếp tuyến của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm giúp các em học sinh có thêm tư liệu giải toán THPT và chuẩn bị cho các kì thi quốc gia (tốt nghiệp, tuyển sinh CĐ&ĐH) do Bộ GD&ĐT tổ chức, chúng tôi biên soạn và giới thiệu đến các bạn tuyển tập Phương ph áp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian theo chương trình cải cách mới của Bộ GD&ĐT. Gồm hai phần: Phần 1: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Phần 2: Phương pháp tọa độ trong không gian. Nội dung kiến thức trong tuyển tập này bám sát chương trình và kiến thức THPT (chương trình chuẩn– nâng cao), chuyên sâu vào các đề thi trong các năm gần đây. Các bài toán được giải một cách tỉ bằng nhiều cách khác nhau nhằm giúp các em học sinh có nhiều hướng tiếp cận kiến thức, đồng thời tạo ra phương thức giải quyết vấn đề l inh hoạt hơn. Đặc biệt với những nhận xét sau mỗi ví dụ, tác giả đưa các trường hợp riêng, các trường hợp chung và các hướng giải quyết vấn đề theo từng trường hợp, nhằm giúp các em học sinh lựa chọn cho mình phươ ng pháp giải tôt nhất, ngắn gọn nhất. Mặc dù đã rất nhiều cố gắng, song không tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các em học sinh và các thầy cô giáo. Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ: Cao Hồng Sơn ĐT: 0975472725 Email: caohongson@gma il.com Tác giả 4 PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 5 Chương 1 Điểm và véc tơ trong mặt phẳng A. Tóm tắt lí thiết. 1.1 Tọa độ của một điểm trong mặt phẳng M(x, y) ⇔ −−→ OM = x −→ e 1 + y −→ e 2 1.2 Tọa độ của một véctơ trong mặt phẳng 1. −→ a = (a 1 , a 2 ) ⇔ −→ a = a 1 −→ e 1 + a 2 −→ e 2 2. Véc tơ −→ 0 = (0, 0) 3. Hai véc tơ bằng nhau: −→ a = −→ b ⇔ a 1 = b 1 a 2 = b 2 4. Véc tơ đối : Hai véc tơ đối nhau khi và chỉ khi tọa độ của chúng đối nhau. Kí hi ệu − −→ a 1.3 Các phép to án về véc tơ Trong mặt phẳng Oxy, hai véc tơ −→ a = (a 1 , a 2 ) và −→ b = (b 1 , b 2 ), ta có 1.3.1 Tổng và hiệu hai véc tơ −→ a ± −→ b = (a 1 ± b 1 , a 2 ± b 2 , a 3 ±b 3 ) 1.3.2 Tích của một số và một véc tơ k. −→ a = (k.a 1 , k.a 2 ), k ∈ R Ths. Cao Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian. 6 1.3.3 Tích vô hướng của hai véc tơ Định lí 1.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai véc tơ −→ a = (a 1 ; a 2 ) và −→ b = (b 1 ; b 2 ), ta có −→ a . −→ b = | −→ a |.| −→ b |. cos( −→ a , −→ b ) −→ a . −→ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 Hệ quả 1.1. −→ a ⊥ −→ b ⇔ a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0 Hệ quả 1.2. −→ a 2 = | −→ a | 2 = a 2 1 + a 2 2 Suy ra | −→ a | = a 2 1 + a 2 2 Hệ quả 1.3. Góc giữa hai véc tơ: cos( −→ a , −→ b ) = −→ a . −→ b | −→ a |.| −→ b | = a 1 b 1 + a 2 b 2 a 2 1 + a 2 2 . b 2 1 + b 2 2 Hệ quả 1.4. Khoảng cách giữa hai điểm: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(x A , y A ), B(x B , y B ), ta có AB = (x B −x A ) 2 + (y B −y A ) 2 1.4 Chia một đoạn thẳng theo tỉ số cho trước Định lí 1.2. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k = −1 nếu −−→ AM = k. −−→ MB ⇔ x M = x A + kx B 1 + k y M = y A + ky B 1 + k Hệ quả 1.5. M là trung điểm của AB ⇔ x M = x A + x B 2 y M = y A + y B 2 Chú ý 1.1. Nếu −−→ MB = −→ 0 thì ta có thể vi ết −−→ AM −−→ MB = k và k gọi là tỉ số giữa hai véc tơ cùng phương −−→ AM và −−→ MB. 1.5 Điề u kiệ n để hai vectơ cùng phương Định lí 1.3. Trong mặt phẳng Oxy, cho vecctơ −→ a = (a 1 , a 2 ), −→ b = (b 1 , b 2 ) véc tơ −→ a cùng phương với −→ b khi và chỉ khi −→ a = k −→ b , k = 0 ⇔ a 1 : b 1 = a 2 : b 2 Ths. Cao Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian. 7 Hệ quả 1.6. 3 điểm A(x A ; y A ), B(x B ; y B ), C(x C ; y C ) thẳng hàng khi và chỉ khi (x A −x C )(y B −y C ) = (x B − x C )(y A −y C ) B. Bài toán. Bài toán 1.1. Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện K Phương pháp: Ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Gọi M(x 0 ; y 0 ) Bước 2: Sử dụng điều kiện K tìm x 0 , y 0 . Bước 3: Kết luận Ví dụ 1.1. Tìm điểm M để tam giác AB M vuông cân tại M với A(2; 3), B(3; 4) Giải Gọi M (x 0 ; y 0 ), ta có −−→ AM = (x 0 −2; y 0 −3), −−→ BM = (x 0 −3; y 0 −4) Tam giác ABM vuông cân tại M ⇔ −−→ AM⊥ −−→ BM AM = BM ⇔ (x 0 −2)(x 0 −3) + (y 0 − 3)(y 0 − 4) = 0 (x 0 − 2) 2 + (y 0 − 3) 2 = (x 0 − 3) 2 + (y 0 − 4) 2 ⇔ x = 3 y = 3 hoặc x = 2 y = 4 Vậy có hai điểm thỏa mãn bài toán là M 1 (2; 4), M 2 (3; 3) Ví dụ 1.2. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam g iác ABC với A(1; 2), B(2; −2) và C(0; 3). a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. b) Tìm tọ a độ trọng tâm của tam giác ABC. c) Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC d) Tìm tọ a độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải a) Gọi D(x 0 ; y 0 ), ta có −−→ AB = (1; −4), −−→ DC = (−x 0 ; 3 −y 0 ) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi −−→ AB = −−→ DC −x 0 = 1 3 −y 0 = −4 ⇔ x 0 = −1 y 0 = 7 Ths. Cao Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian. 8 Vậy D(−1; 7) b) Trọng tâm tam giác ABC có tọa độ thỏa mãn x G = x A + x B + x C 3 = 1 y G = y A + y B + y C 3 = 1 Vậy G(1; 1) c) Gọi H(x H ; y H ), ta có −−→ AH = (x H −1; y H −2), −−→ CH = (x H ; y H − 3) H là trực tâm của tam giác ABC ⇔ −−→ AH. −−→ BC = 0 −−→ CH. −−→ AB = 0 ⇔ −2(x H − 1) − 5(y H − 2) = 0 x H −4(y H − 3) = 0 ⇔ 2x H + 5y H = 12 x H −4y H = −12 ⇔ x H = − 12 7 y H = 18 7 Vậy H(− 12 7 ; 18 7 ) d) Gọ i I(x I ; y I ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có AI 2 = BI 2 AI 2 = CI 2 ⇔ 2x I −8y I = 3 x I −y I = −4 ⇔ x I = − 35 6 y I = − 11 6 Vậy I(− 35 6 ; − 11 6 ) Ví dụ 1.3. (ĐH 2004 A) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(0; 2) và B(− √ 3; −1) a) Tìm trực tâm H của tam giác OAB b) Tìm tâ m đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Giải a) Gọi H(x; y) là trực tâm của ta m giác OAB. Ta có −−→ OH = (x; y), −−→ OB = (− √ 3; −1), −−→ AH = (x; y − 2) H(x; y) là trực tâm của tam giác OAB khi và chỉ khi −−→ OB⊥ −−→ AH −−→ OH⊥ −−→ AB ⇔ − √ 3x + (−1)(y − 2) = 0 − √ 3x −3y = 0 ⇔ x = √ 3 y = −1 ⇒ H( √ 2; −1) Vậy trực tâm H( √ 3; −1) b) Gọ i I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam gi ác OAB. [...]... thì véc tơ pháp tuyến của nó là a − = (−a , a ) → n 2 1 2.1.2 Phương trình của đường thẳng Phương trình tham số → Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua M0 (x0 , y0 ) nhận − = (a1 , a2 ) a làm véc tơ chỉ phương có dạng: x y = x 0 + a1 t , = y0 + a2 t t∈R (2.1) Ths Cao Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian 15 Phương trình chính tắc → Trong mặt phẳng... yB ) Phương pháp chung Phương trình đường thẳng đi qua A, B có dạng: x − xA y − yA = xB − xA yB − yA Ths Cao Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian Chú ý 2.4 Nếu A(a, 0), B(0, b), thì phương trình x y + =1 a b gọi là phương trình đoạn chắn của đường thẳng (AB) Ví dụ 2.17 Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2, 1), B(−1, 3), D(1, 3), E(−3, −1), F (5, −5), M (1, 0), N (0, 2) a) Lập phương. .. Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (∆) và thoả mãn điều kiện K Phương pháp chung: Ta chọn một trong các cách sau: Cách 1: Dùng cho trương hợp phương trình (∆) dạng tham số hoặc chính tắc, ta thực hiện theo các bước sau: Ths Cao Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian 20 Bước 1: Xác định véc tơ chỉ phương của (∆) → → Bước 2: Vì (d)//(∆) nên véc tơ chỉ phương. .. Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian 24 Tọa độ đỉnh H là nghiệm của hệ phương trình 4x − 3y + 1 = 0 7x + 2y − 22 = 0 x = 64 29 ⇔ y = 95 29 hay H( 64 95 ; ) 29 29 BC⊥AH nên phương trình của BC có dạng 3x + 4y + m = 0 B(2;4)∈BC ⇔ m = −22 Vậy cạnh BC có phương trình 3x + 4y − 22 = 0 AC⊥BH nên phương trình của AC có dạng 2x − 7y + m = 0 A(-1;-1)∈AC ⇔ m = −5 Vậy cạnh AC có phương. .. Ta có thể giải hệ (I) bằng phương pháp thế hay phương pháp cộng đại số (xem ví dụ 2.31a) Bài toán 2.15 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0; (d2 ) : A2 x + B2 y + C2 = 0 Phương pháp chung: Ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét hệ phương trình A1 x + B1 y = −C1 A2 x + B2 y = −C2 (I) 33 Ths Cao Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian Bước 2: Giải... − y0 ) = 0 Phương trình chính tắc của (d) là x−x0 a1 = y−y0 a2 Ví dụ 2.12 Lập phương trình tổng quát và phương trình chính tắc của đường thẳng (d) : x = 2 + 3t , y = −1 − 2t Giải t∈R (2.5) Ths Cao Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian 16 → Đường thẳng (d) đi qua điểm M0 (2; −1) có véc tơ chỉ phương là − = (3; −2) Suy ra véc tơ pháp tuyến là a − = (2; 3) → n Do đó phương trình... Cao Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian 17 Bước 1: Xác định điểm M0 (x0 ; y0 ) ∈ (d) → Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương − = (a1 , a2 ) a → Bước 3: Đường thẳng (d) đi qua M0 (x0 ; y0 ) nhận − = (a1 , a2 ) làm vectơ chỉ phương có phương trình a tham số dạng (2.1) → Ví dụ 2.14 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M (2, 1) có véc tơ chỉ phương − = (−2, 3) a Giải Phương trình... cùng phương → →− Phương pháp: Hai vectơ − , b cùng phương khi và chỉ khi a → − = k− → a b k ∈ R, k = 0 ⇔ a1 : b 1 = a2 : b 2 − − → −→ − Ví dụ 1.10 Trong mặt phẳng Oxy, cho 4 điểm A(1; 5), B(3; 1), C(1; 2) và D(0; 4) Chứng minh AB và CD cùng phương Giải − − → −→ − − − → −→ − Ta có AB = (2, −4), CD = (−1; 2) và AB = −2.CD − − → −→ − Do đó AB cùng phương với CD Ths Cao Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong. .. sau: Phương trình đường thẳng đi qua D, E có dạng x−1 y −3 = ⇔ x−y+2 = 0 4 4 Ta có F ∈ (DE) Do đó ba điểm D, E, F đã cho thẳng hàng Bài toán 2.9 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M0 (x0 , y0 ) có hệ số góc k cho trước Phương pháp chung Phương trình đường thẳng đi qua M0 (x0 , y0 ) có hệ số góc k, có dạng: y = k(x − x0 ) + y0 18 Ths Cao Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong. .. Hồng Sơn Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian 25 Giải Phương trình tổng quát của (d2 ) là x + y + 2 = 0 Phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1 ), (d2 ) có dạng x + 2y + α(x + y + 2) = 0 ⇔ (1 + α)x + (2 + α)y + 2α = 0 → → Vì (d)//(∆) nên − cùng phương với − ad a∆ 1+α 2+α = −2 3 ⇔ ⇔ α= −7 5 Vậy phương trình (d) là 2x − 3y + 14 = 0 Ví dụ 2.27 Trong mặt . tập Phương ph áp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian theo chương trình cải cách mới của Bộ GD&ĐT. Gồm hai phần: Phần 1: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Phần 2: Phương pháp tọa độ trong. HỒNG SƠN CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN ÔN THI TỐT NGHIỆP 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 2 1 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 3 PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG. 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 5 Chương 1 Điểm và véc tơ trong mặt phẳng A. Tóm tắt lí thiết. 1.1 Tọa độ của một điểm trong mặt phẳng M(x, y) ⇔ −−→ OM = x −→ e 1 + y −→ e 2 1.2 Tọa độ