de hoc ki 1 mon toan 8 ha noi

Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là hình thang cân.. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là hình thang cân.. b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của đa [r]

(1)

Tailieumontoan.com 

Sưu tầm

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP HÀ NỘI

(2)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN BA ĐÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KIỂM TRA HỌC KÌ I Năm học: 2016 – 2017

Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Bài (2 điểm) Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)

6x −3xy b) 2

6 x −y − x+ c)

5 x + x−

Bài (1 điểm) Thực phép tính a)

(x+2) − −(x 3)(x+1) b)

(x −2x +5x−10) : (x−2)

Bài (2,5 điểm) Cho biểu thức x A

x

− =

−

2

5 2 50

2 10

x x x x

B

x x x x

+ − − −

= − −

− −

(ĐK: x≠0;x≠5;x≠4) a) Tính giá trị A x2−3x=0

b) Rút gọn B

c) Tính giá trị nguyên x để P= A B: có giá trị nguyên

Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, O trung điểm AC, điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O

a) Chứng minh tứ giác AECD hình chữ nhật

b) Gọi I trung điểm AD, chứng tỏ I trung điểm BE c) Cho AB = 10cm, BC = 12cm, tính diện tích tam giác OAD

d) Đường thẳng OI cắt AB K Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEDK hình thang cân

Bài (0,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau, biết abc= 2016

2bc 2016 2b 4032 3ac

P

3c 2bc 2016 2b ab 3ac 4032 2016a

− −

= − +

− + − + − +

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài (2 điểm) Hãy phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)

6x −3xy b) 2

6 x −y − x+ c)

5 x + x−

Hướng dẫn

(3)

a) ( )

6x −3xy=3x 2x−y

b) 2 2 2 2 ( )2 2 ( )( )

6 9 3

x −y − x+ =x − x+ −y = x− −y = x− −y x− + y

c) 2 ( ) ( ) ( )( )

5 6 6 1

x + x− =x − +x x− =x x− + x− = −x x+

Bài (1 điểm) Thực phép tính a)

(x+2) − −(x 3)(x+1) b)

(x −2x +5x−10) : (x−2)

Hướng dẫn

a/

(x+2) − −(x 3)(x+1)

2

4 ( 3)

4

( ) (4 ) (4 3)

x x x x x

x x x x

x = + + − + − − = + + − − − = + + − + + = − + + + + = +

b/

(x −2x +5x−10) : (x−2)

3

2 2

( ) (5 10) : ( 2) ( 2) 5( 2) : ( 2) ( 2)( 5) : ( 2)

5

x x x x

x x x x

x x x

x   = − + −  −   = − + −  − = − + − = +

Bài (2,5 điểm) Cho biểu thức x A x − =

−

2

5 2 50

2 10

x x x x

B

x x x x

+ − − −

= − −

− −

(ĐK: x≠0;x≠5;x≠4) a) Tính giá trị A x2−3x=0

b) Rút gọn B

c) Tính giá trị nguyên x để P= A B: có giá trị nguyên Hướng dẫn

a) ( ) 0 (

3

3 ( )

x x

x x x x

x x TM

= =   − = ⇔ − = ⇔ ⇔  − = =   loại)

Thay x=3vào biểu thức A ta có: 2

3

A= − = − =

− −

Vậy với x=3 A=2

b) 2 22 50

2 10

x x x x

B

x x x x

+ − − −

= − −

− − (ĐK: x≠0;x≠5;x≠4) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2

2 2

5 2 50

2 5

5 2 50

2

25 12 2 50

2

x x x x

B

x x x x

x x x x x x

B

x x

x x x x x

B x x + − − − = + − − − + − + − − + + = − − + − − + + = −

(4)

( ) ( )

( )

2

10 25

2

5

2

5

x x

B

x x x B

x

− +

=

− − =

Vậy

2 x B

x − =

c)

4 x A

x

− =

−

5 x B

x − =

5 5 2

: :

4 4

x x x x x

P A B

x x x x x x

− − −

= = = = = +

− − − − − vớix≠0;x≠5;x≠4

8

2

4

P Z Z Z

x x

∈ ⇔ + ∈ ⇔ ∈

− − (vì 2∈Z)

{ }

4 1; 2; 4; 8

x

⇔ − ∈Ö(8) = ± ± ± ±

Lập bảng giá trị 4

x− −8 −4 −2 −1 0 8

x −4 0 3 5 6 8 12

KH ĐK TM Loại TM TM Loại Loại TM TM TM

Vậy để P= A B: có giá trị ngun x∈ −{ 4; 2;3;6;8;12}

Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, O trung điểm AC, điểm E đối xứng với điểm D qua điểm O

e) Chứng minh tứ giác AECD hình chữ nhật

f) Gọi I trung điểm AD, chứng tỏ I trung điểm BE g) Cho AB = 10cm, BC = 12cm, tính diện tích tam giác OAD

h) Đường thẳng OI cắt AB K Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEDK hình thang cân

Hướng dẫn

(5)

a) O trung điểm AC nên OA=OC Vì E đối xứng với D qua O nên OE=OD

Tam giác ABC cân A, đường cao AD nên AD⊥BC ⇒ADC =900

Tứ giác AECD có OA=OC; OE=OD ⇒ AECD hình bình hành, mà 

90 ADC= ⇒AECD hình chữ nhật

b) AECD hình chữ nhật ⇒AE//DC;AE=DC ⇒AE//BD

Tam giác ABC cân A, đường cao AD⇒AD đồng thời đường trung tuyến ⇒

2

BD=DC= BC, mà AE=DC ⇒BD=AE

Tứ giác AEDB có AE//BD; AE=BD nên AEDB hình bình hành ⇒hai đường chéo AD,BE cắt trung điểm đường mà I trung điểm AD⇒ I trung điểm BE c) Xét tam giác ADC có AI=ID; OA=OC ⇒OI đường trung bình ⇒

1 1

2 2

OI = DC= BC=

Tam giác ABC cân A ⇒AB=AC =10 cm

Xét tam giác ADC vuông D, theo định lý Pytago:

2 2

2

10

64

AC AD CD

AD AD

AD cm

= +

= =

2

1

.4.8 16 cm

2

OAD

S = OI AD= =

d) Xét tam giác ABC có O trung điểm AC; OI //BC nên OK //BC ⇒K trung điểm AB mà D trung điểm BC nên KD đường trug bình ⇒KD//AC

K I

E

O

D

B C

A

(6)

Tứ giác AKDO có KD//AO; AK//DO⇒ AKDO hình bình hành, mà AD⊥OK ( / / ;

OK BC AD⊥BC)⇒AKDO hình thoi KDO =KAO AEDB hình bình hành ⇒  AED=ABD

/ /

AE DK ⇒Tứ giác AEDK hình thang

Hình thang AEDK hình thang cân  AED= ADK

Mà  AED=ABD ; KDO =KAOnên  ABD=KAO ⇒ABC cân C mà ABCcân A ABC

⇒

Bài (0,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau, biết abc= 2016

2bc 2016 2b 4032 3ac

P

3c 2bc 2016 2b ab 3ac 4032 2016a

− −

= − +

− + − + − +

Hướng dẫn

2bc 2016 2b 4032 3ac

P

3c 2bc 2016 2b ab 3ac 4032 2016a

− −

= − +

− + − + − +

2bc 2016 2b 2.2016 3ac

P

3c 2bc 2016 2b ab 3ac 2.2016 2016a

− −

= − +

− + − + − +

2bc abc 2b 2.abc 3ac

P

3c 2bc abc 2b ab 3ac 2.abc abc.a

− −

= − +

− + − + − +

(Thay abc = 2016)

( )

( ) ( ( ) )

c 2b ab 2b ac 2b

P

c 2b ab 2b ab ac 2b ab

− −

= − +

− + − + − +

2b ab 2b 2b

P

3 2b ab 2b ab 2b

− −

= − +

− + − + −

3 2b ab

P

3 2b ab

− + −

= = −

− +

Vậy P 1= −

(7)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐAN PHƯỢNG

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÝ I Năm học 2017- 2018

Mơn Tốn lớp

Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x x( −y) (+2 x−y) b) Tính nhanh giá trị biểu thức: 2

6

x − xy+ y x=16 y=2 c) Tìm x, biết 2x x( − −5) (x 2x+3)=26

Bài 2 (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: 22

x xy

x y

+ −

b) Thực phép tính: 52

2

x

x x x

− −

+ +

+ − −

Bài 3 (1,5 điểm) Cho hai đa thức

2 3

A= x + x+ B=2x−1 a) Thực phép chia A cho B

b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị đa thức A chia hết cho giá trị đa thức B

Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A Gọi H, K trung điểm BC AC

a) Chứng minh tứ giác ABHK hình thang

b) Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho H trung điểm cạnh AE Chứng minh tứ giác ABEC hình thoi

c) Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AH cắt tia HK D Chứng minh AD=BH

d) Vẽ HN ⊥ AB N∈AB, gọi I trung điểm AN Trên tia đối tia BH lấy điểm M cho B trung điểm HM Chứng minh MN ⊥HI

Bài 5 (0,5 điểm)

Cho x, y, z ba số thỏa mãn điều kiện:

2 2

4x +2y +2z −4xy−4xz+2yz−6y−10z+34=0 Tính ( )2017 ( )2017 ( )2017

4 4

S = x− + y− + z−

HẾT

(8)

HƯỚNG DẪN

Bài (2 điểm)Thực phép tính:

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x x( −y) (+2 x−y) b) Tính nhanh giá trị biểu thức: 2

6

x − xy+ y x=16 y=2 c) Tìm x, biết 2x x( − −5) (x 2x+3)=26

Hướng dẫn

a) x x( −y) (+2 x−y) (= x−y)(x+2)

b) 2 ( )2

6

x − xy+ y = x− y

Tại x=16 y=2 ta ( )2

16 3.2− =10 =100

c) ( ) ( ) 2

2x x− −5 x 2x+3 =26⇔2x −10x−2x −3x=26 16x 26

⇔ − = 26 13

16

x

⇔ = = −

−

Bài (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: x22 xy2

x y

+ −

b) Thực phép tính: 52

2

x

x x x

− −

+ +

+ − −

Hướng dẫn

a) ( )

( )( )

2 2

x x y

x xy x

x y x y x y x y

+

+ = =

− − + −

b) 52 4(2 2) (3 2 2) 52

2 4 4

x x

x x x x x x

− +

− − − −

+ + = + +

+ − − − − −

( ) ( )( )

2

4 2

x

x x x x

x x x x x

−

− + + − − −

= = = =

− − − + +

Bài (1,5 điểm) Cho hai đa thức A=2x2+3x+3 B=2x−1

a) Thực phép chia A cho B

b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị đa thức A chia hết cho giá trị đa thức B

Hướng dẫn

a)

2x +3x+3 2x−1

2

2x −x x+2 4x+3

4x−2

( ) ( )

2x +3x+3 : 2x− = +1 x (dư 5)

b) Để đa thức A chia hết cho đa thức B

(9)

Ta có: A

x

B = + + x− Từ giả thiết suy

2x−1 nguyên

( ) { }

− ∈ = − −

2x Ö 1;5; 1; { 2; 0;1;3}

x

⇒ ∈ −

Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A Gọi H, K trung điểm BC AC

a) Chứng minh tứ giác ABHK hình thang

b) Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho H trung điểm cạnh AE Chứng minh tứ giác ABEC hình thoi

c) Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AH cắt tia HK D Chứng minh AD=BH

d) Vẽ HN ⊥ AB N∈AB, gọi I trung điểm AN Trên tia đối tia BH lấy điểm M cho B trung điểm HM Chứng minh MN ⊥HI

Hướng dẫn

a) ABHK hình thang HK / /AB (giả thiết) b) Xét tứ giác ABEC ta có: H trung điểm BC (gt)

H trung điểm AE (gt)

Mà AE, BC đường chéo tứ giác ABEC Suy tứ giác ABEC hình bình hành (1)

Ta lại có: AH ⊥BC (do tam giác ABC cân A) (2) ⇒ ABEC hình thoi

c) Ta có AD/ /BH (vì vng góc với AH) / /

AB HD (vì AB/ /HK) ABHD

⇒ hình bình hành

AD BH HC

⇒ = =

Suy AD=BH (đpcm)

d) Gọi P trung điểm HN Nối PI, PB

Xét ∆AHN có IP/ /AH (do IP đường trung bình tam giác ∆AHN) Mà AH ⊥BC⇒IP⊥BC

Xét ∆BIH có HN ⊥BI (gt)

IP⊥BH (cmt)

HN∩IP={ }P

⇒P trực tâm tam giác ∆BIH ⇒BP⊥IH

Mà BP/ /MN(vì BP đường trung bình tam giác ∆MNH)

P I

N K

H C

B

A D

M

E

(10)

⇒IH ⊥MN (đpcm) Bài (0,5 điểm)

Cho x, y, z ba số thỏa mãn điều kiện:

2 2

4x +2y +2z −4xy−4xz+2yz−6y−10z+34=0 Tính ( )2017 ( )2017 ( )2017

4 4

S = x− + y− + −z

Hướng dẫn

2 2

4x +2y +2z −4xy−4xz+2yz−6y−10z+34=0

( 2 2) ( ) ( )

4x 4xy 4xz y 2yz z y 6y z 10z 25

⇔ − − + + + + − + + − + =

( ) (2 ) (2 )2

2x y z y z

⇔ − − + − + − =

Vì ( )2

2x− −y z ≥0; (y−3)2 ≥0; (z−5)2 ≥0 Do để ( ) (2 ) (2 )2

2x− −y z + y−3 + −z =0

2

3

5

x y z x

y y

z z

− − = =

 

 − = ⇒ =

 

 − =  =

 

Khi đó: ( )2017 ( )2017 ( )2017

4 4

S= x− + y− + z− =

HẾT

(11)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN BA ĐÌNH

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ MƠN TỐN Năm học 2017 – 2018

Ngày thi: 15/12/2017 Thời gian làm bài: 90 phút Bài (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2x3 −50x

b) x2 −6x+ −9 4y2 c) x2 −7x 10+ Bài (1,5 điểm):

a) Làm tính chia: (12x y6 +9x y5 −15x y2 3): 3x y2

b) Rút gọn biểu thức: ( )( ) ( )( )

x −2 x− + x+3 x −3x+9 Bài (2,5 điểm):

Cho biểu thức A 5 2 3x2 22x 9

x 3 3 x x 9

− −

= − −

+ − − (với x≠ −3 x ≠3)

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị A x − =2 1.

c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Bài (3,5 điểm):

Cho tam giác ABC vuông A, gọi m trung điểm AC Gọi D điểm đối xứng với B qua M

a) Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành

b) Gọi N điểm đối xứng với B qua A Chứng minh tứ giác ACDN hình chữ nhật c) Kéo dài MN cắt BC I Vẽ đường thẳng qua A song song với MN cắt BC K

Chứng minh: KC=2BK.

d) Qua B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC kéo dài E Tam giác ABC cần có thêm điều kiện để tứ giác EBMN hình vuông

Bài (0,5 điểm):

Cho a thỏa mãn

a −5a+ =2 0. Tính giá trị biểu thức: ( )

5 4 2

P=a −a −18a +9a −5a+2017+ a −40a +4 : a - Hết -

(12)

Hướng dẫn Bài 1:

a) Ta có

2x −50x =2x(x −25)=2x(x−5)(x+5)

b) Ta có 2 2

x −6x+ −9 4y =(x−3) −(2y) =(x −2y−3)(x+2y−3) c) Ta có 2

x −7x 10+ =x −2x−5x+10=x(x− −2) 5(x−2)=(x−2)(x−5) Bài

a) ( 3) 12x y +9x y −15x y : 3x y =4x y+3x −5

b) ( )( ) ( )( ) 3

x −2 x− + x+3 x −3x+9 = − +x x +2x− +2 x +27=x +2x+25 Bài

a) Ta có

2

5 2 3x 2x 9 5(x 3) 2(x 3) 3 2 9 A

x 3 3 x x 9 (x 3)(x 3)

5 15 2 6 3 2 9 3 9 3 (x 3) 3

(x 3)(x 3) (x 3)(x 3) (x 3)(x 3) x 3

− − − + + − + +

= − − =

+ − − − +

− + + − + + − + − − −

= = = =

− + − + − + +

x x

x x x x x x x x

b) Ta có x 2 1 x 3 x 1

= 

− = ⇔  =

Với x=3 ta có A 9 3

6 2

− −

= =

Với x 1= ta có A 3 4

− =

c) Ta có A 3 9 9 3 9

x 3 x 3

− − +

= = − +

+ +

x

A nguyên ⇔Anguyên⇔ + ∈x 3 Ư(9) x∈ −{ 2;0;2;6; 4; 6; 12− − − } Bài

N D

M B

A C

I K

E

(13)

a) Vì M trung điểm AC, BD nên I tâm ABCH hình bình hành

b) Ta có AN = CD=AB ( AB) suy ACDB hình bình hành Mà góc A

vng nê ACDN hình chữ nhật

c) ta có A trung điểm BN AK//MN nên K trung điểm BI

Ta có MI//AK, M trung điểm AC nên I trung điểm KC Do KC=2KB

d) Ta có EBMN hình thoi, để EBMN hình vng tam giác ABC có thêm điều kiện AB=2BC

Câu Cho a thỏa mãn

a −5a+ =2 0. Tính giá trị biểu thức: ( )

5 4 2

P=a −a −18a +9a −5a+2017+ a −40a +4 : a Hướng dẫn

T a có

( )

5 4 2

5 4 2 2

2 2

2

P a a 18a 9a 5a 2017 a 40a 4 : a

(a 5 2 ) (4 20 8 ) (a 5 2) 2015 a 40 4 : a (a 5 2)(a 5 2)

1975 a 4 : a 1996 1996

a

= − − + − + + − +

= − + + − + + − + + + − +

− + + +

= + + = + =

a a a a a a

a a

(14)

PHÒNG GD & ĐT QUẬN BẮC TỪ LIÊM TRƯỜNG THCS CỐ NHUẾ

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I

NĂM HỌC 2017 – 2018 MƠN: TỐN

Thời gian 90 phút (không kể thời gian giao đề)

I Trắc nghiệm (1 điểm) (Chọn đáp án câu sau đây)

Câu 1: Điều kiện xác định phân thức 22 16 − − x

x là:

A x≠8 B x≠4 x≠ −4 C x≠4 D x≠ −4 Câu 2: Rút gọn phân thức 2−22 +2

−

x xy y

x y kết là: A −

+ x y

x y B

+ − x y

x y C 2xy D −2xy

Câu 3: Tam giác ABC vuông A có AB=8cm BC=10cm Gọi M, N trung điểm AB BC. Khi độ dài MN là:

A 5cm B 9cm C 3cm D 4cm

Câu 4: Cho tam giác ABC vng A có AC=12cm, AB=9cm Diện tích tam giác ABC bằng:

A

108cm B 120cm2 C 21cm2 D 54cm2

II Tự luận (9 điểm)

Bài (1 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử a)

2

− + −

x xy x y b) x2+10x−y2+25

Bài (1.0 điểm):Tìm x, biết

a)

5(x− −3) x +3x=0; b)

12 − − =

x x

Bài (3.0 điểm):Cho hai biểu thức 2 + =

− + x A

x x

2

3 12

3

+ −

= + +

− −

x x

B

x x x x (với

3; ≠ ± ≠

x x )

a) Tính giá trị biểu thức A x=5 b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên, biết P= A B:

Bài (3,5 điểm): Cho ∆ABC vuông A (AB<AC), E trung điểm BC Kẻ EF vuông góc với AB F, ED vng góc với AC D Gọi O giao điểm AE

DF

a) Chứng minh tứ giác ADEF hình chữ nhật

b) Gọi K điểm đối xứng E qua D Chứng minh tứ giác AECK hình thoi

(15)

c) Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng/ Kẻ EM vng góc với AK M Chứng minh DMF = °90

d) Kéo dài BD cắt KC I, cho AB=3cm, AC=4 cm Tính độ dài đoạn KI

Bài (0.5 điểm):Cho a b c, , ≠0 a b c+ + ≠0 thỏa mãn 1+ + =1 1 + + a b c a b c Chứng minh rằng: 20171 + 20171 + 20171 = 2017 20171 2017

+ +

a b c a b c

Hết. HƯỚNG DẪN I Trắc nghiệm: ( điểm)

Câu 1: Điều kiện xác định phân thức 22 16 − − x

x là:

A x≠8 B x≠4 x≠ −4 C x≠4 D x≠ −4 Hướng dẫn

Chọn B

Điều kiện xác định ( )( ) 4

16 4

4

+ ≠ ≠ −

 

− ≠ ⇒ + − ≠ ⇒ ⇒

− ≠ ≠

 

x x

x x x

x x

Câu 2: Rút gọn phân thức 2−22 +2 −

x xy y

x y kết là: A −

+ x y

x y B

+ − x y

x y C 2xy D −2xy

Hướng dẫn

Chọn A

Ta có ( )

( )( )

2

2 −

− + = = −

− + − +

x y

x xy y x y

x y x y x y x y

Câu 3: Tam giác ABC vng A có AB=8cm BC =10cm Gọi M, N trung điểm AB BC Khi độ dài MN là:

A 5cm B 9cm C 3cm D 4cm

Chọn C

Hướng dẫn

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABCvng Ata có

2

10

= − =

AC

Mặt khác MNlà đường trung bình tam giác ABCnên

2 = AC =

MN (cm)

Câu 4: Cho tam giác ABC vng A có AC=12cm, AB=9cm Diện tích

(16)

của tam giác ABC bằng:

A

108cm B 120cm2 C 21cm2 D 54cm2 Hướng dẫn

Diện tích tam giác vng ABClà 1.12.9 54 2AB AC= = (cm

2)

II Tự luận: (9 điểm)

Bài (1 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử a)

2

− + −

x xy x y b) x2+10x−y2+25 Hướng dẫn

a) ( ) ( ) ( )( )

2 2

− + − = − + − = + −

x xy x y x x y x y x x y

b) 2 ( ) ( )2 ( )( )

10 25 10 25 5

+ − + = + + − = + − = + + + −

x x y x x y x y x y x y

Bài (1.0 điểm):Tìm x, biết

a)

5(x− −3) x +3x=0; b)

12 − − =

x x

Hướng dẫn

a) 2 2

5(x− −3) x +3x= ⇔0 5x− −15 x +3x= ⇔0 x −8x+15= ⇔0 x −3x−5x+15=0

3

( 3) 5( 3) ( 3)( 5)

5

− = =

 

⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ ⇔

− = =

 

x x

x x x x x

x x

b) 2

12 12 ( 3) 4( 3) ( 3)( 4)

− − = ⇔ + − − = ⇔ + − + = ⇔ + − =

x x x x x x x x x x

3

4

+ = = −

 

⇔ ⇔

− = =

 

x x

Bài (3.0 điểm):Cho hai biểu thức 2 + =

− + x A

x x

2

3 12

3

+ −

= + +

− −

x x

B

x x x x (với

3; ≠ ± ≠

x x )

d) Tính giá trị biểu thức A x=5 e) Rút gọn biểu thức B

f) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên, biết P= A B: Hướng dẫn

a) Thay x=5 vào biểu thức A, ta

2

5 8

2 6.5 25 30

+

= = = =

− + − +

A

b) Với x≠ ±3;x≠0, ta có

2 2

2

3 12 ( 3)( 3) 12 12

3 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)

+ − + − − − + + − +

= + + = + + = =

− − − − − − −

x x x x x x x x x x

B

x x x x x x x x x x x x x x

c) Điều kiện x≠ ±3;x≠0

(17)

Ta có 2 32 ( 3)

+ +

= =

− + −

x x

A

x x x ;

2

3 12

3 ( 3)

+ − +

= + + =

− − −

x x x

B

x x x x x x

2

3 ( 3) ( 3) 3 3

: :

( 3) ( 3) ( 3) 3 3 3

+ + + − − + −

= = = = = = + = +

− − − + − − − − −

x x x x x x x x

P A B

x x x x x x x x x x

Để P nhận giá trị nguyên 3 ( 3) ( 3)

3 x x

x− ∈ ⇒  − ⇒ − ∈ Ư

{ } { }

(3)= −1;1; 3;3− ⇒ ∈x 2; 4; 0;

Kết hợp với điều kiện, x∈{2; 4; 6} P nhận giá trị nguyên

Bài (3,5 điểm): Cho ∆ABC vuông A (AB<AC), E trung điểm BC Kẻ EF vng góc với AB F, ED vng góc với AC D Gọi O giao điểm AE

DF

a) Chứng minh tứ giác ADEF hình chữ nhật

b) Gọi K điểm đối xứng E qua D Chứng minh tứ giác AECK hình thoi

c) Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng/ Kẻ EM vng góc với AK M Chứng minh DMF = °90

d) Kéo dài BD cắt KC I, cho AB=3cm, AC=4 cm Tính độ dài đoạn KI Hướng dẫn

a) Chứng minh tứ giác ADEF hình chữ nhật Xét tứ giác ADEF có

= °90

DAF (∆ABC vuông A)  = °90

AFE (EF ⊥AB F) = °90

ADE (ED⊥AC D)

Vậy tứ giác ADEF hình chữ nhật b) Chứng minh AECK hình thoi.

Ta có ADEF hình chữ nhật nên AF//DE Hay DE//AB

Xét ∆ABC có E trung điểm BC DE//AB nên D trung điểm AC

Xét tứ giác AECK có

D trung điểm AC (chứng minh trên)

D trung điểm EK (K đối xứng với E qua D) Do đó, tứ giác AECK hình bình hành

Mà EK ⊥AC nên tứ giác AECK hình thoi c) + Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng

(18)

Ta có ADEF hình chữ nhật (theo câu a) AE cắt DF O (gt) Suy O trung điểm AE

Mặt khác AECK hình thoi (theo câu b) nên EC//AK EC=AK Do BE//AK BE=AK (vì EB=EC)

Suy ABEK hình bình hành

Mà O trung điểm AE (chứng minh trên) nên O trung điểm BK Hay ba điểm B, O, K thẳng hàng

+ Chứng minh DMF = °90

Ta có ADEF hình chữ nhật (theo câu a) AE cắt DF O (gt)

Suy O trung điểm AE DF Hay OA=OE=OD=OF (1) Lại có ∆AME vng M (EM ⊥ AK M )

Suy =

OM AE (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Hay OM =OA=OE (2)

Từ (1) (2) suy OM =OF=OD hay =

OM DF Do ∆DMF vuông M hay DMF = °90

d) Tính KI

Gọi G giao điểm AE BD

Xét ∆ABC có AE BD đường trung tuyến Do G trọng tâm ∆ABC Suy

3 =

GE AE

Mặt khác, ∆ABC vng A nên BC2 =AB2+AC2 (định lý Py-ta-go) ( )

2 2

3 25 cm

⇒BC = + = ⇒BC=

Suy 1.5 5( )cm

2 2

= = =

AE BC (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) ( )

1 5

cm

3

⇒GE= AE= = Xét ∆DEG ∆DKI có

 =

EDG KDI (hai góc đối đỉnh) =

DE DK (E đối xứng với K qua D)  =

DEG DKI (cặp góc so le trong, AECK hình thoi nên AE//CK) Vậy ∆DEG= ∆DKI (g.c.g)

Suy EG=KI (cặp cạnh tương ứng) Do ( )cm

6 =

KI

(19)

Bài (0.5 điểm):Cho a b c, , ≠0 a b c+ + ≠0 thỏa mãn 1+ + =1 1 + + a b c a b c Chứng minh rằng: 20171 + 20171 + 20171 = 2017 20171 2017

+ +

a b c a b c

Hướng dẫn

Điều kiện: a b c, , ≠0 a b c+ + ≠0

Ta có 1 1 1 1 ( )

( )

+ − +

+ + = ⇔ + = − ⇔ =

+ + + + + +

a b a b

a b c a b c a b a b c c ab c a b c

2

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( a)

⇔ + + + = − +

⇔ + + + + = ⇔ + + + =

a b c a b c a b ab

a b ca cb c ab a b b c c

Do a b+ =0 b c+ =0 c a+ =0

Vai trò a b c, , nên giả sử a b+ = ⇔ = −0 a b Khi

2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017

1 1 1 1

; ( )

+ + = + + =

−

a b c a a c c

2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017

1 1

( )

= =

+ + + − +

a b c a a c c

Vậy 20171 + 20171 + 20171 = 2017 20171 2017

+ +

a b c a b c (điều phải chứng minh)

(20)

PHỊNG GD&ĐT QUẬN HỒNG MAI TRƯỜNG THCS LĨNH NAM

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I Mơn: Toán

Năm học: 2017 – 2018

Thời gian làm bài: 90 phút

I Trắc nghiệm: ( điểm)

Câu 1.Kết phép nhân 2x x( −5) A.

2x −5 B.2x2−10x C.10x−2x2 D. 2x2−10 Câu 2.Kết phép nhân ( )2

2 −

x

A.

2

+ +

x x B.x2−2x−4 C.x2−4x−4 D. x2−4x+4 Câu 3.Kết phép nhân ( ) ( )

8 :

− + +

x x x

A.x−2 B.x+2 C.2−x D. 2+x

Câu 4.Phân thhức ( )(8 )

7

− +

x x

x x A.

2 − + x

x B.

1 + + x

x C.

1

− − x

x D.

1 − + x x Câu 5.Tứ giác sau có hai đường chéo

A. Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình thang D. Hình thoi Câu 6.Cho Hình thoi ABCD Khi đó:

A.AB⊥CD C.AB⊥BD

B.AC tia phân giác góc A D. AC=BD

Câu 7.Tam giác ABC vng A có AB=6cm, BC 10cm= , diện tích tam giác ABC là:

A.

60cm B.30cm2 C.48cm2 D. 24cm2

Câu 8.Cho hình bình hành ABCD có 

A=80 Số đo góc C là: A.

80 B.1000 C.400 D. 1600

Bài (1.0 điểm):Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 2

6 64

x − xy+ y − b) 3x2 +3xy−2x−2y

Bài (1.0 điểm):Tìm x

a) ( )

2x x+ −3 2x =30 b) x x( −1)(x+ −3) x2(x+ = −3) 4

Bài (2.0 điểm):Cho biểu thức 4 5 x A

x

− =

+

2 20

4 16

x B

x x

+

= +

+ − với x≠ ±4;x≠ −5

a) Tính giá trị A x= −3 b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm giá trị nguyên x để M nguyên, biết M=A.B

(21)

Bài (3.5 điểm):Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, CD

a) Tứ giác AECF hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh: Tứ giác AEFD hình chữ nhật

c) Vẽ điểm M đối xứng với F qua D điểm N đối xứng với A qua D Chứng minh: Tứ giác AMNF hình thoi

d) Gọi I, K giao điểm BD với AF, EF Chứng minh: IK 1DK. 3

=

Bài (0.5 điểm):Cho x2 y2 z2 2017 x+y + y+z+ z+x = Tính giá trị biểu thức P y2 z2 x2

x y y z z x

= + + −

+ + +

Hướng dẫn

Câu 1.Kết phép nhân 2x x( −5) A.

2x −5 B.2x2−10x C.10x−2x2 D. 2x2−10 Hướng dẫn

Chọn B ( )

2x x− =5 2x −10x

Câu 2.Kết phép nhân ( )2

2 −

x

A.

2

+ +

x x B.x2−2x−4 C.x2−4x−4 D. x2−4x+4 Hướng dẫn

Chọn D ( )2 2

2 4

x− =x − x+

Câu 3.Kết phép nhân ( ) ( )

8 :

− + +

x x x

A.x−2 B.x+2 C.2−x D. 2+x

Hướng dẫn

Chọn A

( ) ( ) ( )( ) ( )

8 : 2 :

x − x + x+ = x− x + x+  x + x+ = −x

Câu 4.Phân thhức

( )( )

2

8

7

− +

x x

x x A.

2 − + x

x B.

1 + + x

x C.

1

− − x

x D.

1 − + x x Hướng dẫn

Chọn D

(22)

( )( ) (( )()( ))

2 1 7

8

7 2

x x

x x x

x x x x x

− −

− + −

= =

− + − − + +

Câu 5.Tứ giác sau có hai đường chéo

A. Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình thang D. Hình thoi Hướng dẫn

Chọn B Hình chữ nhật Câu 6.Cho hình thoi ABCD Khi đó:

A.AB⊥CD C.AB⊥BD

B.AC tia phân giác góc A D. AC=BD Hướng dẫn

Chọn B Theo tính chất hình thoi thìAC tia phân giác góc A

Câu 7.Tam giác ABC vng A có AB=6cm, BC 10cm= , diện tích tam giác ABC là:

A.

60cm B.30cm2 C.48cm2 D. 24cm2

Hướng dẫn

Chọn D Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC vuông A

Suy 2

AC= BC −AC =8cm Khi SABC 1AB.AC 1.6.8 24cm2

2

= = =

Câu 8.Cho hình bình hành ABCD có 

A=80 Số đo góc C là: A.

80 B.1000 C.400 D. 1600

Hướng dẫn

Chọn B    

A+ =C 180 ⇒ =C 180 − =A 100

Bài (1.0 điểm):Phân tích đa thức thành nhân tử:

b) 2

6 64

x − xy+ y − b) 3x2 +3xy−2x−2y Hướng dẫn

a) 2 2 ( 2 2) 2 ( )2 2 ( )( )

6 64 8 8

x − xy+ y − = x − xy+ y − = x− y − = x− y− x− y+

b) ( ) ( ) ( )( )

3x +3xy−2x−2y=3x x+ y −2 x+ y = 3x−2 x+ y

Bài (1.0 điểm):Tìm x

a) ( )

2x x+ −3 2x =30 b) x x( −1)(x+ −3) x2(x+ = −3) 4 Hướng dẫn

a) ( ) 2

2x x+ −3 2x =30⇒2x +6x−2x =30⇒6x=30⇒ =x

b) ( )( ) 2( ) ( )( )

1 3 3 4 3 1 4 3 4 0

x x− x+ − x x+ = − ⇒ x x+ x− −x = − ⇒ x + x− =

( 1)( 4) 0 1

4 x x x

x

= 

⇒ − + = ⇒  = −



(23)

Bài (2.0 điểm):Cho biểu thức 4 5 x A

x

− =

+

2 20

4 16

x B

x x

+

= +

+ − với x≠ ±4;x≠ −5

a) Tính giá trị A x= −3 b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm giá trị nguyên x để M nguyên, biết M=A.B Hướng dẫn

a) 3 4 7

3 5 2

A=− − = −

− +

b) ( )

( )( ) ( )( ) ( ( )( ) )

2

2 4 20 3 4

2 20 3 12 3

4 16 4 4 4 4 4 4 4

x x x

x x

B

x x x x x x x x x

− + + +

+ +

= + = = = =

+ − + − + − + − −

c) 4 3 3

5 4 5

x

M A.B .

x x x

−

= = =

+ − +

Để M nguyên thìx+ ∈5 U( ) {3 = − −3; 1 3; ; } Khi x∈ − − − −{ 8; 6; 4; 2}

Bài (3.5 điểm):Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, CD

a) Tứ giác AECF hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh: Tứ giác AEFD hình chữ nhật

c) Vẽ điểm M đối xứng với F qua D điểm N đối xứng với A qua D Chứng minh: Tứ giác AMNF hình thoi

d) Gọi I, K giao điểm BD với AF, EF Chứng minh: IK 1DK. 3

=

Hướng dẫn

a) Ta có:AB =CD( ABCD hình chữ nhật )

1 1

2 2

AE=BE= AB;CF =DF = DC⇒ AE=AF Hơn AE//AF Vậy AECF hình bình hành b) Ta có:AB=CD( ABCD hình chữ nhật )

1 1

2 2

AE=BE= AB;CF =DF = DC ⇒ AE=DF Hơn nữaAE//DF , suy AEFD hình bình hành Ta lại có: 

BAC=90

Vậy ABFD hình chữ nhật

c) Do M điểm đối xứng với F qua D nên DM =DF Do N điểm đối xứng với A qua D nên DN=DA Hơn AN ⊥MF

K I

C

A B

D

N M

F E

(24)

Vậy AMNF hình thoi d)Xét ∆DKCcó :

E trung điểm AB FI / / CK

Do I trung điểm DK hay IK =ID,( )1 Xét ∆BAI có :

F trung điểm DC EK/ / AI

Do K trung điểm BI hay IK =BK ,( )2

Từ (1) (2) suy 1

3 ID=IK =BK = DK

Vậy 1

3 IK = DK

Bài (0.5 điểm):Cho

2 2

2017

x y z

x+y + y+z+ z+x = Tính giá trị biểu thức P y2 z2 x2

x y y z z x

= + + −

+ + +

Hướng dẫn

( )

2 2 2

2017 2017

x y z x y z

x y y z z x x y y z z x

     

+ + = ⇔ −  + −  + − + + + =

+ + +  +   +   + 

( )

2 2

2017 2017

x y z

x y z x y z

x y y z z x

xy yz zx

x y z x y y z z x

     

⇔ −  + −  + − + + + =

+ + +

     

− − −

⇔ + + + + + =

+ + +

( )

2 2 2

3

2017 2020

y z x y z x

P y z x x y z

x y y z z x x y y z z x

     

= + + − = −  + −  + − + + + +

+ + +  +   +   + 

= + =

(25)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THCS VÀ THPT TẠ QUANG BỬU

KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I NĂM HỌC 2017 – 2018

Mơn: Tốn Câu 1.(2 điểm): Thực phép tính

1 2xy x( +2y) 10x y4 3: 6x y2 2 (x+1 2)( x−1) (x3−8 :) (x2+2x+4) Câu 2.(2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử

1

2xy −4y x y2 −6xy+9y x2 + −x y2−y

4 x + x+

Câu 3.(2,5 điểm): Cho biểu thức 222 1

x x

P

x x x x

− −

= − +

+ +

a) Rút gọn P b) Tìm x để P=0

c) Tính giá trị biểu thức P x thỏa mãn

0 x − =x d) Tìm giá trị lớn biểu thức 21

9

Q P

x =

−

Câu 4.(3,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông A AB, =6cm AC, =8cm Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Điểm D đối xứng với A qua M

a) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật ABDC

b) Kẻ AH ⊥BC H∈BC Gọi E điểm đối xứng với A qua H Chứng minh / /

HM DE

2 HM = DE c) Tính tỉ số AHM

AED S

S

d) Chứng minh tứ giác BCDE hình thang cân

Hướng dẫn Câu 1.Thực phép tính

1 2xy x( +2y) 3.10x y4 3: 6x y2 2 (x+1 2)( x−1) (x3−8 :) (x2+2x+4)

Hướng dẫn

1 2xy x( +2y)=2x y2 +4xy2

2 (x+1 2)( x−1) 2

2x x 2x 2x x = − + − = + − 2

10x y : 6x y 3x y =

(26)

4 ( ) ( )

8 :

x − x + x+ =(x−2)(x2+2x+4 :) (x2+2x+4)= −x Câu 2.Phân tích đa thức thành nhân tử

1

2xy −4y x y2 −6xy+9y x2 + −x y2−y

4 x + x+ Hướng dẫn

1

2xy −4y =2 y xy( −2 ) 2

6

x y− xy+ y = y x.( 2−6x+9)= y x.( −3 )2 2

x + −x y −y =x x( + −1) y y.( + =1) (x+1)(x−y)

4 x + x+

( ) ( )2 ( )( ) ( )( )

2

4 4 2 1

x x x x x x x x x

= + + − = + + − = + − = + − + + = + +

Câu 3.Cho biểu thức

2

2 1

1

x x

P

x x x x

− −

= − +

+ +

a Rút gọn P b Tìm x để P=0

c Tính giá trị biểu thức P x thỏa mãn

0 x − =x d Tìm giá trị lớn biểu thức 21

9

Q P

x =

− Hướng dẫn

a ĐK x≠ −1;x≠0

2

2 1

1

x x

P

x x x x

− −

= − +

+ + ( )

( ) ( )

2 1 1

2

x x

x x x x x x

− + − = − + + + + ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 1 2 1 1 3

x x x x x x

x x x x

− − − + − − + + = = + + ( ) 3

1

x x x

x x x

+ +

= =

+ +

b

1 x P x + = ⇔ =

+ ĐK x≠1

3

x x

⇔ + = ⇔ = −

Vậy để P=0 x= −3 c Khi x thỏa mãn

0

x − =x ⇔x x.( − = ⇔ =1) x x=1 Khi 0 3

0 x= ⇔ =P + =

+ Khi 1

1 x= ⇔ =P + =

+

Vậy P=3 P=2 x thỏa mãn

0 x − =x d 21

9

Q P

x =

− ( )( )( ) ( )( )

1 3

9 3

x x

x x x x x x x

+ +

⇔ = =

− + + − + − +

Ta có:( )( ) 2 2 ( )2

3 4

x− x+ =x − x− =x − x+ − = x− − ≥ −

(27)

( )( ) ( )2

1 1

3 1 4

P

x x x

= = ≤ −

− + − −

Dấu “=” xảy x− = ⇔ =1 x Vậy giá trị lớn cửa

4

Q= − x=1

Câu 4.Cho tam giác ABC vuông A AB, =6cm AC, =8cm Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Điểm D đối xứng với A qua M

a Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật ABDC

b Kẻ AH ⊥BC H∈BC Gọi E điểm đối xứng với A qua H Chứng minh / /

HM DE

2 HM = DE c Tính tỉ số AHM

AED S

S

d Chứng minh tứ giác BCDE hình thang cân Hướng dẫn

Giải

a) Ta có MA=MD gt( );MB=MC gt( ) ⇒ABDC hình bình hành Và A=90o

Vậy ABDC hình chử nhật

2

6.8 48 ABDC

S = AB AC= = cm b) Xét ∆AED

Ta có MH ⊥AE HA=HE gt( ) MH

⇒ đường trung bình AED / /

HM DE

⇒

2

HM = DE

GT ∆ABC ⊥A ;

MB=MC AM =MD AH ⊥BC

EH =HA

KL a) Cm ABDC hình chử nhật, SABDC =? b) Cm HM / /DE

1 HM = DE c) AHM ?

AED S

S =

d) BCEDlà hình thang cân?

(28)

c) Ta có HM ⊥AE gt( );DE/ /HM cmt( )

ED AE

⇒ ⊥

1 ADE

S = AE DE

Ta lại có : ;

2

AH = AE MH = DE

1 1 1

2 2

AMH ADE

S = AH MH = AE DE= S

Vậy

4 AHM

AED S

S =

d) Ta có ED/ /BC⇒BCDE hình thang.( )1

Ta lại có BH ⊥ AE HE; =HA⇒BH đường trung trực ABE

AB BE

⇒ =

Mà AB=CD (ABDC hình chử nhật ) ( )

BE CD

⇒ =

Từ ( )1 ( )2 ⇒BEDC hình thang cân

(29)

PHỊNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2018 – 2019

Mơn: Tốn Thời gian: 90 phút

Bài 1. (1,5 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a

2x – 8x +8x b

2x – 3x−5

c

– – 9 x y x y+ x

Bài 2. (1 điểm): Tìm đa thức A biết:

( )

– – – 10

A x = x x + x

Bài 3. (3,5 điểm): Cho biểu thức: 102 :

3

x x x x

P

x x x x

− − +

 

= − − 

+ − − −

 

a Rút gọn P tìm điều kiện xác định P b Tính giá trị P

– 12 x x+ =

c Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên dương

Bài 4. (3,5 điểm): Cho ∆ABC có góc nhọn AB < AC Các đường cao BE, CF cắt H Gọi M trung điểm BC K điểm đối xứng với H qua M

a Chứng minh: Tứ giác BHCK hình bình hành b Chứng minh: BK ⊥ AB CK ⊥ AC

c Gọi I điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh: Tứ giác BIKC hình thang cân d BK cắt HI G Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để tứ giác GHCK hình

thang cân

Bài 5. (0,5 điểm):Cho số x y, thỏa mãn điều kiện:

2

2x +10y – 6xy– – 2x y+10=0 Hãy tính giá trị biểu thức ( )

2018 2018

4

x y y

A

x

+ − −

=

HƯỚNG DẪN Bài 1(1,5 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a

2x – 8x +8x b

2x – 3x+5

c

– – 9 x y x y+ x

Hướng dẫn

a 2

2x – 8x +8x=2 (x x – 4x+4)=2 ( – 2)x x

b 2

2x – 3x− =5 2x +2x– 5x−5=2 (x x+1)– 5(x+ =1) (x+1)(2 – 5)x

c 3

– – 9 ( – ) (–9 ) x y x y+ x= x y x + y+ x

(30)

2

( – ) – 9( ) ( – )( – 9) ( – )( – 3)( 3)

x y x y x y x x y x x x

= − = = +

Bài 2(1 điểm): Tìm đa thức A biết:

( )

– – – 10

A x = x x + x

Hướng dẫn

( ) 3 ( )

– – – 10 (2 – – 10) : –

A x = x x + x ⇒ =A x x + x x

Cách 1: Đặt phép chia

Cách 2: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử (có nhân tử 2x−5 )

3 2 2

2

2 ) (2 (4

2 – – 10 – – 10 (2 – ) – 10)

(2 – 5) (2 5) 2(2 – 5) (2 5)( 2)

–

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

A x x

− + + − − + − − + + = = = = + = − ⇒ − +

Bài 3(3,5 điểm): Cho biểu thức: 102 :

3

x x x x

P

x x x x

− − +

 

= − − 

+ − − −

 

a Rút gọn P tìm điều kiện xác định P b Tính giá trị P

– 12 x x+ =

c Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên dương Hướng dẫn

a Rút gọn P tìm điều kiện xác định P

: 3,

DK x≠ ± x≠ −

2

2 10 2 10 3

:

3 3

x x x x x x x x

P

x x x x x x x x

− − + − − −

   

= − −  = + + 

+ − − − + − − +

   

(2 1)( 3) ( 3) 10 3

( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3)

x x x x x x

x x x x x x x

 − − + −  −

= + + 

− + − + − + +

 

2

2 3 10 3

( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3)

x x x x x x x

 − − + + −  −

= + + 

− + − + − + +

 

2

3 3 ( 2)

( 3)( 3) ( 3) ( 3)

x x x x x x

x x x x x x

+ − +

= = =

− + + + + +

b Tính giá trị P

– 12 x x+ =

2

– 12 – – 12

x x+ = ⇔x x x+ =

2

(x – ) – (4x x 12) x x( – 3) – 4(x 3)

⇔ − = ⇔ − =

– 3(l) ( – 3)( 4)

4 4(tmdk)

x x x x x x = =   ⇔ − = ⇒ ⇒ − = =  

Với x=4 ta có: 3.4 12

P= =

+ Vậy giá trị P

2

– 12

x x+ = là 12

7 P= c Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên dương

(31)

{ } { }

3 9 3( 3) 9

3

3 3

9

, 3 (9)

3

Do P x x 1;3;9 x 2;0;6

x x x

P

x x x x

Do x Z Z P Z Z x U

x

+ − + −

= = = = −

+ + + +

∈ ∈ ⇒ ∈ ⇔ ∈ ⇔ + ∈

+

> ⇒ + > ⇒ + ∈ ⇒ ∈ −

Bài 4(3,5 điểm): Cho ∆ABC có góc nhọn AB < AC Các đường cao BE, CF cắt H Gọi M trung điểm BC K điểm đối xứng với H qua M

a Chứng minh: Tứ giác BHCK hình bình hành b Chứng minh: BK ⊥ AB CK ⊥ AC

c Gọi I điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh: Tứ giác BIKC hình thang cân d BK cắt HI G Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để tứ giác GHCK hình

thang cân

Hướng dẫn

a. Chứng minh: Tứgiác BHCK hình bình hành

Tứ giác BHCK có đường chéo BC HK cắt trung điểm M đường nên Tứ giác BHCK hình bình hành

b. Chứng minh: BK ⊥ AB CK ⊥ AC

Do Tứ giác BHCK hình bình hành suy / / (t/ c)

(gt) :

BK HC

BK AB

ma HC AB

cmtt CK AC

⇒ ⊥



⊥ 

⊥



c. Gọi I điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh: Tứ giác BIKC hình thang

cân

Gọi D giao BC HI, suy D trung điểm HI mà M trung điểm Hk

suy DM đường trung bình tam giác HIK suy DM // IK hay IK // BC (1)

Lại có BK = IC (=HC) (2)

Từ (1) (2) suy ra: Tứ giác BIKC hình thang cân

d. BK cắt HI G Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để tứ giác GHCK hình thang cân.

Ta có tứ giác GHCK hình thang (do GK // HC) nên để hình thang GHCK hình thang cân cần thêm điều kiện góc kề đáy

Giả sử KCH =CHG ma KCH  =CHE(slt, CK/ / HE)⇒CHG =CHE (ch gn)

DHC EHC

⇒ ∆ = ∆ − ⇒ ECH =DCH ⇒CH la p g ACB /  G

I D

K M H

E F

B C

A

(32)

Mặt khác CH đường cao (gt) tam giác ABC cân C

Vậy Tam giác ABC phải có thêm điều kiện cân C để tứ giác GHCK hình thang cân

Bài 5 (0,5 điểm): Cho số x y, thỏa mãn điều kiện: 2

2x +10y – 6xy– – 2x y+10=0 Hãy tính giá trị biểu thức ( )

2018 2018

4

x y y

A

x

+ − −

=

Hướng dẫn

2

2x +10y – 6xy– – 2x y+10=0

2 2

– – –

x xy y x x y y

⇔ + + + + + =

2 2

(x – 6xy 9y ) (x – 6x 9) (y – 2y 1)

⇔ + + + + + =

2 2

( – 3x y) +(x– 3) ( – 1)y

⇔ + =

2 2

( – ( –

– 3)

1

( –

)

1) ) (

x y x y

x x

y y

 =  =

 

⇔ = ⇔ =

 =  =



( )2018 2018

3 1

3

A + − − −

⇒ = =

(33)

VINSCHOOL

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1(2.0 điểm): Chọn chữ trước đáp án Đa thức

12 – 36x −x bằng: A. ( )2

6 x

− + B.( )2

6− −x C.(− +x 6)2 D.− −(x 6)2 Kết phép cộng

3 3 x

x x

− + −

− − A.

3 x x

+

− B. x x

+

− C. D.

3 3(3 3)

x x

− − Kết rút gọn biểu thức ( ) 2 ( ) 2

2 ( ) ( )

x− y x + xy+ y − +x y x − xy+ y là: A.

16y

− B.

4y

− C.

16y D.−12y3 Số dư chia đa thức

3x −2x +x −2x+2 cho đa thức x−2 là:

A. 50 B. 34 C. 32 D. 30

5 Hình vng có độ dài đường chéo 6cm Độ dài cạnh hình vng là: A. 18cm B. 18cm C. 3cm D. 4cm Một hình chữ nhật có diện tích

15m Nếu tăng chiều dài lên hai lần, chiều rộng lên ba lần diện tích hình chữ nhật :

A.

30m B.45m2 C.90 m2 D. 75 m2

7 Cho hình thang cân ABCD / /(AB CD)có  135

A= góc C bằng:

A.350 B. 450 C. 550 D. Khơng tính

được

8 Tứ giác có đỉnh làtrung điểm cạnh tứ giác có hai đường chéo :

A. Hình thang cân B. Hình chữ nhật C. Hình thoi D. Hình vng

Câu 2: (1.0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)6xy+12x−4 – 8y b)x3+2x2− −x

Câu 3: (1.5 điểm):

a) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến ( ) (2 )( ) ( )

2 1

x− − −x x+ + x+ b) Tìm x, biết: (2 –x)(2+x)=3

Câu 4: (1 điểm)Thực phép tính: a) 22

3

x x

x x x

+ − +

− − b)

2

4

:

4 (2 )

x x

x x x

− −

− + −

(34)

Câu 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có AD phân giác gócBAC D( ∈BC) Từ D kẻ đường thẳng song song với AB vàAC, chúng cắt AC AB, E vàF

a) Chứng minh:Tứ giác AEDF hình thoi

b) Trên tia AB lấy điểm Gsao cho Flà trung điểm AG Chứng minh: Tứ giác EFGDlà hình bình hành

c) Gọi I điểm đối xứng D quaF , tia IA cắt tia DE tạiK Gọi Olà giao điểm AD vàEF Chứng minh: G đối xứng với K qua O

d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác ADGIlà hình vng

Câu 6: (0,5 điểm)Tính giá trị biểu thức: 12 12 12 1 2

2 2017

 −  −  −   − 

     

     

HƯỚNG DẪN

Câu 1(2.0 điểm): Chọn chữ trước đáp án Đa thức

12 – 36x −x bằng: A. ( )2

6 x

− + B.( )2

6− −x C.(− +x 6)2 D.− −(x 6)2 Hướng dẫn

Chọn D

( ) ( )2

2

12 – 3x 6−x = − x −12x+36 = − −x

2 Kết phép cộng 3 3

x

x x

− + −

− − A.

3 x x

+

− B. x x

+

− C. D.

3 3(3 3)

x x

− − Hướng dẫn

Chọn C

3 3

1

3 3 3 3

x x x

x x x x

− − − − −

+ = = =

− − − −

3 Kết rút gọn biểu thức ( ) 2 ( ) 2

2 ( ) ( )

x− y x + xy+ y − +x y x − xy+ y là: A.

16y

− B.

4y

− C.

16y D.−12y3 Hướng dẫn

Chọn A

( ) 2 ( ) 2

2 ( ) ( )

x− y x + xy+ y − +x y x − xy+ y

( )

3 3 3

8 16

x y x y y

= − − + = −

(35)

4 Số dư chia đa thức

3x −2x +x −2x+2 cho đa thức x−2 là:

A. 50 B. 34 C. 32 D. 30

Hướng dẫn

Chọn B

Cách 1: Thực phép chia Cách 2: Đặt ( )

3 2

f x = x − x +x − x+ Số dư chia

3x −2x +x −2x+2 cho x−2 : ( )

2 3.2 2.2 2.2 34

f = − + − + =

5 Hình vng có độ dài đường chéo 6cm Độ dài cạnh hình vng là: A. 18cm B. 18cm C. 3cm D. 4cm

Hướng dẫn

Chọn A

Gọi cạnh hình vng x x, >0 Áp dụng định lí Pytago ta có:

2 2 2

6 36 18 18

x +x = ⇔ x = ⇔x = ⇔ =x Một hình chữ nhật có diện tích

15m Nếu tăng chiều dài lên hai lần, chiều rộng lên ba lần diện tích hình chữ nhật :

A.

30m B.45m2 C.90 m2 D. 75 m2

Hướng dẫn

Chọn C

Gọi hai cạnh HCN x y, Diện tích ban đầu xy=15m2 Diện tích sau tăng là:

2 3x y=6xy=6.15=90m

7 Cho hình thang cân ABCD / /(AB CD)có  135

A= góc C bằng:

A.350 B. 450 C. 550 D. Khơng tính

được

Hướng dẫn

Chọn B

Ta có:   

180 45

A D+ = ⇒ =D mà ABCD hình thang cân nên C =D=450

8 Tứ giác có đỉnh làtrung điểm cạnh tứ giác có hai đường chéo :

A. Hình thang cân B. Hình chữ nhật C. Hình thoi D. Hình vng Hướng dẫn

(36)

Chọn C

Chỉ HE/ /GF

HE GF



 =

 ( song song DB

) nên HEFG hình bình hành

Mà AC=BD⇒HE=HG⇒HEFG hình thoi

Câu (1 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 6xy+12x−4y−8 b) x3 +2x2 − −x 2 Hướng dẫn

a) 6xy+12x−4y− =8 6x y( +2) (−4 y+2) (= y+2 6)( x−4)

b) 2( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2 2 2 1 1

x + x − − =x x x+ − x+ = x+ x− x+

Câu (1,5 điểm):

a) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến

(x−2) − −(x 1)(x+ +1) 4(x+2) b) Tìm x, biết: (2−x)(2+x)=3

Hướng dẫn

a) Ta có 2

(x−2) −(x−1)(x+ +1) 4(x+2)=x −4x+ −4 x + +1 4x+ =8 13 Vậy giá trị biểu thức

(x−2) −(x−1)(x+ +1) 4(x+2) không phụ thuộc vào giá trị biến

b) Ta có 2

(2−x)(2+x)= ⇔ −3 4 x = ⇔3 x = ⇔ = ±1 x 1 Câu 4: Thực phép tính: a)

2

2 6

3 3

x x

x x x

+ − +

− − b)

2

4 4 1

:

4 4 (2 )

x x

x x x

− −

− + −

Hướng dẫn

a) Ta có ( )

( ) ( ) ( )

2

2 6 6 2 6 2

3 3 3 3 3

x x

x x x x

x x x x x x x x x x

+

+ − + = − + = − =

− − − − −

b) Ta có ( )

( ) ( ( )( ) )

2

4 1 2

4 4 1 4

:

4 4 (2 ) 2 1 1 1

x x

x x x x x x x

− −

= ⋅ =

− + − − − + +

Câu 5: Cho tam giác ABC có AD phân giác góc BAC ( D∈BC) Từ D kẻ đường thẳng song song với AB AC, chúng cắt AC, AB E F

a) Chứng minh: Tứ giác AEDF hình thoi

b) Trên tia AB lấy điểm G cho F trung điểm AG Chứng minh: Tứ giác EFGD hình bình hành

c) Gọi I điểm đối xứng D qua F, tia IA cắt tia DE K Gọi O giao điểm AD EF Chứng minh: G đối xứng với K qua O

d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác ADGI hình vng

F

G H

E

D

B A

C

(37)

Hướng dẫn

a) Chứng minh: Tứ giác AEDF hình thoi

Xét tứ giác AEDF có AE//DF; DE//AF nên tứ giác AEDF hình bình hành

Mà có AD tia phân giác góc A nên tứ giác AEDF hình thoi

b) Chứng minh: Tứ giác EFGD hình bình hành

Xét tứ giác EFGD có DE//GF (do DE//AB) DE=GF DE( =AF AF; =GF) Suy tứ giác EFGD hình bình hành

c) Chứng minh: G đối xứng với K qua O

Chứng minh tương tự câu b, ta tứ giác AEFI hình bình hành Xét tứ giác AKDG có AG//DK AK// GD // FE( )

Suy tứ giác AKDG hình bình hành

Mà có O giáo điểm AD FE nên O trung điểm AD FE (vì AEDF hình bình hành)

Vì tứ giác AKDG hình bình hành O trung điểm AD nên O trung điểm GK Vậy G đối xứng với K qua O

d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác ADGI hình vng

Xét tứ giác ADGI, có F trung điểm AG F trung điểm DI

Suy tứ giác ADGI hình bình hành Mà AG=DI AF( =AD)

Nên tứ giác ADGI hình chữ nhật

Ta có tứ giác ADGI hình vng ⇔ hình chữ nhật ADGI có AG tia phân giác góc

IAD

Khi  0( 0)

45 90

GAD= IAD= , mà AD tia phân giác góc BAC nên góc BAC có số đo

90

Vậy tam giác ABC vng A tứ giác ADGI hình vng

(38)

Câu 6: Tính giá trị biểu thức: 1 12 1 12 1 12 1 1 2

2 3 4 2017

 −  −  −   − 

     

     

Hướng dẫn

Ta có: 12 12 12 1 2

2 2017

 −  −  −   − 

     

     

2 2

2 2017

 −  −  −   − 

=      

     

2 2 2

1.3 2.4 3.5 4.6 2015.2017 2016.2018

2 2016 2017

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅

2 2 2

2 2 2 2

1.2.3 2015 2016 2017.2018 1.2018 1009 2015 2016 2017 2.2017 2017

= = =

(39)

UBND QUẬN NAM TỪ LIÊM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2018-2019

TRƯỜNG THCS ĐẠI MỖ MƠN KIỂM TRA: TỐN 8

Thời gian làm bài: 90 phút (Đề kiểm tra gồm trang)

I TRẮC NGHIỆM (1,5 điểm)

Câu Kết rút gọn phân thức 24 4

x x

x − +

− là:

A 1 B

2 x x

−

+ C

4 x

x −

D

2 x x

+ − Câu Phân thức

2 x

x

+ có giá trị x bằng:

A.(- 2) B 0 C 1 D (- 1)

Câu Phân thức đối phân thức x x

−

+ phân thức: A

3 x

x −

+ B

1 x x

+

+ C

1 x x

−

− − D

1 x x

− + Câu Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng định sai:

A.Tứ giác có cạnh vào có góc vng hình vng B.Hình thoi hình thang cân

C. Trong hình chữ nhật, giao điểm đường chéo cách đỉnh hình chữ nhật

II TỰ LUẬN (8,5 điểm)

Bài 1(1 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)

2x – 18 b) x2– 12 –x y2+36

Bài 2(1,5 điểm) Tìm x biết: a)

–

x x= b)x x( +3 – – 6) x =0 c) ( )( )

27 –

x + + x+ x =

Bài 3(2 điểm) Cho biểu thức: A = 22 12 :

3

x x x

x x x x

 + 

+ −

 + − −  −

 

a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x= −4

c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Bài 4(3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH, gọi D trung điểm AC, lấy điểm E đối xứng với H qua D

a) Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật

b) Qua A kẻ AI song song với HE (I ∈ đường thẳng BC) Chứng minh tứ giác AEHI hình bình hành

ĐỀCHÍNH THỨC

(40)

c) Trên tia đối tia HA lấy điểm K cho AH = HK Chứng minh AK tia phân giác góc IAC

d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác CAIK hình vng, tứ giác AHCE hình gì?

Bài 5(0,5 điểm)

Cho số thực a, b, c đôi khác nhau, thỏa mãn:

3 3

3

a +b +c = abc abc≠0 Tính

2 2

2 2 2 2 2

ab bc ca

P

a b c b c a c a b

= + +

+ − + − + −

-Hết -

Cán coi thi không giải thích thêm

HƯỚNG DẪN

I TRẮC NGHIỆM (1,5 điểm)

Câu Kết rút gọn phân thức 24 4

x x

x − +

− là:

A 1 B

2 x x

−

+ C

4 x

x −

D

2 x x

+ − Hướng dẫn

Chọn B

Câu Phân thức x

x

+ có giá trị x bằng:

A.(- 2) B 0 C 1 D (- 1)

Hướng dẫn

Chọn C

Câu Phân thức đối phân thức x x

−

+ phân thức: A

3 x

x −

+ B

1 x x

+

+ C

1 x x

−

− − D

1 x x

− + Hướng dẫn

Chọn D

Câu Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng định sai: A.Tứ giác có cạnh vào có góc vng hình vng

B.Hình thoi hình thang cân

C. Trong hình chữ nhật, giao điểm đường chéo cách đỉnh hình chữ nhật

Hướng dẫn

A.Tứ giác có cạnh vào có góc vng hình vng (Đ) B.Hình thoi hình thang cân (S)

(41)

C. Trong hình chữ nhật, giao điểm đường chéo cách đỉnh hình chữ nhật (Đ)

II TỰ LUẬN (8,5 điểm)

Bài 1(1 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)

2x – 18 b) x2– 12 –x y2+36

Hướng dẫn

a) 2

2x – 18=2(x − =9) 2(x−3)(x+3)

b) 2 2 2

– 12 – +36= – 12 +36− =( −6) − =( − +6 )( − −6 )

x x y x x y x y x y x y

Bài 2(1,5 điểm) Tìm x biết: a)

– =0

x x b) x x( +3 – – 6) x =0 c) ( )( )

27 –

+ + + =

x x x

Hướng dẫn

a) 0

– ( 4)

4

= =   = ⇔ − = ⇔ ⇔ − = =   x x

x x x x

x x

b) ( – – 6) ( – 2() 3) ( 3)( 2) 3

2

+ = = −   + = ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔ ⇔ − = =   x x

x x x x x x x x

x x

c) ( )( )

27 –

+ + + =

x x x

( )( )

2

( 3)( 9) –

⇔ x+ x − x+ + x+ x =

2

( +3)( −3 + +9 9)

⇔ x x x x− =

2

3

( 3)( ) ( 3) ( 2) 0

2

+ = = −     + − = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ =  − =  =   ⇔ x x

x x x x x x x x

x x

Bài 3(2 điểm) Cho biểu thức: 22 12 :

3

 + 

= + − 

+ − − −

 

x x x

A

x x x x

a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x= −4

c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Hướng dẫn

a) ĐKXĐ: x≠ ±3

2

2 12 ( 3) ( 3) (3 12)

: :

3 9

 +  − + + − +

= + −  =

+ − − − − −

 

x x x x x x x x

A

x x x x x x

2 2

3 12 3 12 3( 4)

:

( 3)( 3) ( 3)( 3) 3( 3)

− + + − − − − − −

= = = =

− + − − + + +

x x x x x x x x x

x x x x x x x

b) Thay x= −4 (TMĐKXĐ) ta 4

8 − − − = = = + − + x A x

(42)

c) 7

3 3

− + −

= = = −

+ + +

x x

A

x x x

Để

3

∈ ⇔ ∈ ⇔ + ∈

+

 

A x

x Ư(7)

{ } { }

3 1; 10; 4; 2;

⇔ + ∈ ± ±x ⇔ ∈ −x − − (TMĐKXĐ)

Vậy x∈ −{ 10;− −4; 2; 4}thì thỏa mãn yêu cầu toán

Bài 4(3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH, gọi D trung điểm AC, lấy điểm E đối xứng với H qua D

a) Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật

b) Qua A kẻ AI song song với HE (I ∈ đường thẳng BC) Chứng minh tứ giác AEHI hình bình hành

c) Trên tia đối tia HA lấy điểm K cho AH = HK Chứng minh AK tia phân giác góc IAC

d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác CAIK hình vng, tứ giác AHCE hình gì?

Hướng dẫn

a) Xét tứ giác AHCE có D trung điểm AC; D trung điểm HE (vì E đối xứng với H qua D)

⇒ AHCE hình bình hành (1) Lại có: AH⊥BC⇒AHC= °90 (2)

Từ (1) + (2) suy AHCE hình chữ nhật

b) Ta có: AE // HC (vì AHCE hình chữ nhật) ⇒AH // IH (vì I, H∈BC) Xét tứ giác AEHI có AI // HE AE // IH suy AEHI hình bình hành

c) Ta có: AC = HE (vì AHCE hình chữ nhật) AI = HE (vì AEHI hình bình hành) ⇒AI = AC ⇒ ∆IACcân A

Xét ∆IACcân A có AH đường cao ⇒AH đường phân giác Vì K∈AH⇒AK tia phân giác góc IAC

I

E

H

D A

B C

K

(43)

d) Xét ∆IACcân A có AH đường cao ⇒AH đường trung tuyến ⇒H trung điểm IC

Xét tứ giác CAIK có H trung điểm IC, H trung điểm AK (vì K đối xứng với A qua H)

⇒CAIK hình bình hành mà lại có AK⊥IC (vì AH⊥BC, K∈AH, I∈BC) ⇒CAIK hình thoi ⇒để CAIK hình vng AK = IC

AH HC AHC

⇔ = ⇔ ∆ vuông cân A⇔ACH= ° ⇔ ∆45 ABCvng cân A Khi đó: hình chữ nhật AHCE hình vng có AH = HC

Bài 5(0,5 điểm)

Cho số thực a, b, c đôi khác nhau, thỏa mãn:

a3 + b3 + c3 = 3abc abc ≠ 0. Tính P =

2 2

2 2 2 2 2

ab bc ca

a +b −c +b +c −a +c +a −b Hướng dẫn

Ta có:

( )

3 3 3 3 2 2

3 3 3 3

+ + = ⇔ + + − = ⇔ + + + + − − − =

a b c abc a b c abc a b a b ab c abc a b ab

( )3 3 2 2

3 ( ) ( ) ( ) ( )  ( )

⇔ a+b +c − ab a+ +b c = ⇔ a+ +b c  a+b − a+b c+c − ab a+ +b c =

2 2 2

( )( ) ( )(2 2 2 )

2

⇔ a b c a+ + +b +c −ab bc ca− − = ⇔ a b c+ + a + b + c − ab− bc− ca

2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

2  

⇔ a+ +b c  a b− + −b c + −c a = Vì a, b, c đơi khác suy

( )

0 ( )

( )

= − + 



+ + = ⇒ = − +

 = − + 

c a b

a b c a b c

b c a

Thay vào P ta được:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

= + + = + +

+ − + − + − + − + + − + + − +

ab bc ca ab bc ca

P

a b c b c a c a b a b a b b c b c c a c a

2 2

( )

0

2 2 2

− − − − + +

= + + = + + = =

− − −

ab bc ca b c a a b c

ab bc ca

(44)

TRƯỜNG THCS DỊCH VỌNG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I Năm học: 2018 – 2019 MƠN: TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút

Bài (2 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử a)

5x y+10xy

b) 2

– – 25

x xy+y

c) ( )

– 2x + x x– d) 2

x +x y +y

1 Tìm x, biết:

a) ( )

– – x x + x=x b) ( )

3 x+4 –x – 4x=0 c)

7x +12x – 4x=0

2 Tìm a cho đa thức

– –

x x + x x+a chia hết cho đa thức x2 –x+5

Bài (2 điểm) Thực phép tính: a) 32 32

2

x x

xy xy

+ − + ( )

,

x y≠ b)

2

4 13

5 25

x x

x x x

−

− +

− + − (x≠ ±5)

Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, đường cao AH Gọi I trung điểm AB Lấy điểm K đối xứng với B qua H Qua A dựng đường thẳng song song với BC cắt HI D

a) Tứ giác AKHD hình gì? Chứng minh?

b) Chứng minh tứ giác AHBD hình chữ nhật Từ tính diện tích tứ giác AHBD AH = 6cm; AB = 10cm

c) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để tứ giác AHBD hình vng? d) M điểm đối xứng với A qua H Chứng minh: AK ⊥ CM

Bài (0,5 điểm). Cho số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: 2

5x +8xy+5y +4 – 4x y+ =8 Tính giá trị biểu thức: ( ) (8 ) (11 )2018

1 –

P= x+y + x+ + y

-Hết -

(45)

HƯỚNG DẪN

Bài (2 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử a)

5x y+10xy

b) 2

– – 25

x xy+y

c) ( )

– 2x + x x– d) 2

x +x y +y

Hướng dẫn

a) ( )

5x y+10xy=5xy x+2

b) 2 2 ( 2 2) ( )2 2 ( )( )

– – 25 – – 25 – 5

x xy+y = x xy+y = x−y = x− −y x− +y

c) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )2

– 2x + x x– = x– x +2x+4 +2x x– = x– x +4x+4 = x– x+2 d) 2 4 2 2 ( 2)2 2 ( 2 )( 2 )

2

x +x y +y =x + x y +y −x y = x +y −x y = x +y −xy x +y +xy

1 Tìm x, biết:

a) ( )

– – x x + x=x b) ( )

3 x+4 –x – 4x=0 c)

7x +12x – 4x=0

– –

x x + x x+a chia hết cho đa thức x2 –x+5 Hướng dẫn

1 Tìm x, biết:

a) ( ) 2

– – – –8

x x + x=x ⇔x − x+ x=x ⇔ x= ⇔ = −x

b) ( ) ( ) ( ) ( )( )

3 x+4 –x – 4x= ⇔0 x+4 −x x+4 = ⇔0 x+4 3−x = ⇒ = −0 x 4;x=3 c)

( )

( )( )

3

2

7 12 – 12 – 12 –

2

2 0; 2;

7

x x x

x x x x

x x x

x x

x

x x

+ =

⇔ + =

⇔ + − =

⇒ = = =

– –

x x + x x+a chia hết cho đa thức x2 –x+5

( )( ) ( )

4 2

– – – 5

x x + x x+a= x x+ x + + a− Để

– –

x x + x x+a chia hết cho đa thức x2–x+5 thìa− = ⇔ =5 a

Bài (2 điểm) Thực phép tính: a) 32 32

2

x x

xy xy

+ − + ( )

,

x y≠ b)

2

4 13

5 25

x x

x x x

−

− +

− + − (x≠ ±5)

(46)

D I H C

A B

M K

Hướng dẫn

a) 32 32 2 23 2 23 ( 32) 32

2 2 2

x x

x x x x x x x

xy xy xy xy xy y

−

+ + + − − − −

− = = = =

b)

( )( ) ( )

( )( ) ( ( )( ) ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( ( )( ) )

2

4 13

5 25

4 13

5 25

4 13

5 5

4 5 13

5 5 5

4 20 13

5

10 25

5 5 5

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

x x

x

x x x

x x x x x

−

− +

− + −

−

= − −

− + −

−

= − −

− + + −

+ − −

= − −

+ − + − + −

+ − + − + =

+ −

−

− + −

= = =

+ − + − +

Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, đường cao AH Gọi I trung điểm AB Lấy điểm K đối xứng với B qua H Qua A dựng đường thẳng song song với BC cắt HI D

a) Tứ giác AKHD hình gì? Chứng minh?

b) Chứng minh tứ giác AHBD hình chữ nhật Từ tính diện tích tứ giác AHBD AH = 6cm; AB = 10cm

c) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để tứ giác AHBD hình vuông? d) M điểm đối xứng với A qua H Chứng minh: AK ⊥ CM

Hướng dẫn

a)

Tứ giác AKHD hình bình hành AD//KH; AK//HD b)

Tứ giác AHBD hình chữ nhật AD/ /=HB góc AHB=90 

Diện tích: 2

6.8 48

AH HB=AH AB −AH = = cm c)

Để tứ giác AHBD hình vng ABC=45 suy tam giác ABC vuông cân A

d)

Dễ thấy tứ giác AKMB hình thoi có hai đường chéo cắt trung điểm đường vng góc với suy AK//BM

Dễ chứng minh ∆ACB= ∆CMB(c.c.c) suy raCAB =CMB=90 hay BM ⊥CM

(47)

VậyAK ⊥CM

Bài (0,5 điểm). Cho số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: 2

5x +8xy+5y +4 – 4x y+ =8 Tính giá trị biểu thức: ( ) (8 ) (11 )2018

1 –

P= x+y + x+ + y Hướng dẫn

Có:

( ) ( ) ( )

2

2 2

5 –

4 4 – 4

2 2

x xy y x y

x xy y x x y y

x y x y

+ + + + =

⇔ + + + + + + =

⇔ + + + −

+

+ =

+

Vì ( )2 ( )2 ( )2

2x+2y ≥0; x+2 ≥0; y−2 ≥0 nên

2

x y

x x

y y

+ =



= − 

 + = ⇔

  =



 − =



Nên ( ) (8 ) (11 )2018

2

2 – 1

P= − + + − + + = − + =

(48)

UBND QUẬN HOÀNG MAI TRƯỜNG THCS TÂN MAI

KIỂM TRA HỌC KÌ I Năm học: 2018 - 2019

Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 90 phút

I Trắc nghiệm: ( 1.5 điểm)

Câu 1. (0.5 điểm)Hãy chọn chữ in hoa đứng trước đáp án Mẫu thức chung phân thức ; ; 22

1

x

x x x

   

A.   

2 x1 x  x B. x1x2 x  C. x1 2 D.

1 x  Một hình vng có chu vi cm diện tích

A.

16 cm B. cm C. cm D. 64 cm Câu 2. (1 điểm)Khẳng định đúng? Khẳng định sai?

A Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình chữ nhật

B Phân thức đối phân thức

x x



2 x x

 

C Hình chữ nhật có hai đường chéo hình vng D Kết phép rút gọn phân thức 332

12 xy

x y

2

y x

II Tự luận: (8.5 điểm) Bài (2 điểm):Tìm x biết:

a) x1x 1 x x  4 15 b)

     

2 3

x x x  x x   x

Bài (3 điểm):Rút gọn biểu thức:

a)  

2

5

4 x

x x

 

  b)

36

2

6

x

x x x

 

  c)

2 30

3

x x x

 

  

Bài (3.5 điểm): Cho ABC cân A Gọi M N P, , trung điểm cạnh , ,

AB AC BC

a) Chứng minh tứ giác BCNM hình thang cân

b) Gọi D điểm đối xứng với P qua N Chứng minh tứ giác APCD hình chữ

nhật

c) Gọi O G giao điểm BD với AP AC Chứng minh

1 DG BD

(49)

d) Gọi E hình chiếu N cạnh BC Tam giác ABC phải có thêm điều kiện

để tứ giác ONEP hình vng? Khi ONEP hình vng, tính diện tích tam

giác ABC, biết PN2 cm

HƯỚNG DẪN

I Trắc nghiệm: ( điểm)

Câu (0.5 điểm)Hãy chọn chữ in hoa đứng trước đáp án Mẫu thức chung phân thức ; ; 22

1

x

x x x

   

A.   

2 x1 x  x B. x1x2 x  C. x1 2 D.

1 x  Hướng dẫn

Mẫu thức chung phân thức cho là:

      

1 1

x x    x x x  x Chọn B

2 Một hình vng có chu vi cm diện tích

A.

16 cm B.

2 cm C.

4 cm D. 64 cm

Hướng dẫn

Gọi x x 0 cạnh hình vng

Chu vi hình vng 4x  8 x cm Vậy diện tích hình vng 2

2 cm

Sx  

Chọn C

Câu (1 điểm)Khẳng định đúng? Khẳng định sai?

A Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình chữ nhật

B Phân thức đối phân thức

x x



2 x x

 

C Hình chữ nhật có hai đường chéo hình vuông D Kết phép rút gọn phân thức 332

12 xy

x y

2

y x Hướng dẫn

A Đúng Vì tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành, hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật B Sai Phân thức đối

3 x

x



2

x x



C Sai Vì hình chữ nhật ln có hai đường chéo D Đúng Ta có 332 3 32 2

12 12

xy x y y

x y  x y  x

(50)

II Tự luận: (8.5 điểm) Bài (2 điểm):Tìm x biết:

a) x1x 1 x x  4 15 b)      

2 3

x x x  x x   x Hướng dẫn

a) Ta có:

    

2

1 15

4 16 16

4

x x x x

x x x

x x               

Vậy x4 giá trị cần tìm

b) Ta có:

     

   

2

2 3

3

2 3

4

4 27

4 28 28

7

x x x x x x

x x x

x x x

x x                         

Vậy x 7 giá trị cần tìm

Bài (3 điểm):Rút gọn biểu thức:

a)  

2 4 x x x  

  b)

36

2

6

x

x x x

 

  c)

2 30

3

x x x

 

  

Hướng dẫn

a)       

 

  

 

2 2

2

2 2

5 5 8

4 .2 2 2

x x x x x x x

                      b)        

2 2 2

2

2 36

36 36 12 36

2

6 6 6

x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x

                         2 6

12 36

6

x

x x x

x x x x x



  

  

 

c)     

  

2

2 30

3 3

x x x x x

x x x

x x x x x

                          

2 2 3 9

2 30 3 27

3

3 3 3

x

x x x x x x x

x x x x x x



       

   

     

Bài (3.5 điểm): Cho ABC cân A Gọi M N P, , trung điểm cạnh , ,

AB AC BC

(51)

a) Chứng minh tứ giác BCNM hình thang cân

b) Gọi D điểm đối xứng với P qua N Chứng minh tứ giác APCD hình chữ

nhật

c) Gọi O G giao điểm BD với AP AC Chứng minh

1 DG BD

d) Gọi E hình chiếu N cạnh BC Tam giác ABC phải có thêm điều kiện

để tứ giác ONEP hình vng? Khi ONEP hình vng, tính diện tích tam

giác ABC, biết PN 2 cm

Hướng dẫn

a) Vì MA MB

NA NC

 

 

 

 MN đường trung bình tam giác ABC

Suy MN // BC.Do BCNM hình thang

Và BC (ABC cân A) Vậy BCNM hình thang cân

b) Ta có NA NC

NP ND

 

 

 

 APCD hình bình hành

Mà ABC cân có AP đường trung tuyến đường cao Hay APC 90

Vậy tứ giác APCD hình chữ nhật

c) Ta có

// //

AD PC BP

ADPB

AD PC BP

  

 



 hình bình hành

Suy O trung điểm hai đường chéo AP BD

Tam giác ADP có hai đường trung tuyến AN DO cắt G Nên G tâm tam giác ADP

2 1

3 3

GD DO DB DB

   

(52)

Vậy DG BD

d) Vì E hình chiếu N BC nên NEBC Suy AP // NE (cùng vng góc với BC)

Trong tam giác APC có

//

NA NC

E

AP NE

 

 



 trung điểm PC Hay NE đường trung bình tam giác APC

Suy

NE APOP Và OP // NE, ONEP hình bình hành

Hơn nữa, APC 90 Nên ONEP hình chữ nhật

Để ONEP hình vng NEEP

Tam giác NPC có NE trung tuyến

2

NEPE PC nên NPC vuông N Hay PN AC

Mà AB // PN (do PN đường trung bình ABC) Ta suy ABAC

Vậy tứ giác ONEP hình vng tam giác ABC vuông cân A

(53)

PHÒNG GD & ĐT NAM TỪ LIÊM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I TRƯỜNG THCS MỸ ĐÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019

Mơn kiểm tra: Tốn Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề kiểm tra gồm: 01 trang)

Bài 1(2,0 điểm) Thực phép tính a) 3x(2x2 – 4x + 3)

b) (12x2y2 + 6xy) : 3xy

c) x2 y2 2xy

x y y x

+ +

− −

Bài 2(2,0 điểm) Tìm x: a) (x – 1)2 + x(5 – x) =

b) x2 – 4x =

c)

2

1

( 2)( 2)

x x x

 −  − + − =

 

 

Bài 3(2,0 điểm)

Cho A = 3

1

x x x

x x

+ +

 − 

 + − 

  với điều kiện x ≠ ±1

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A <

c) Tìm x nguyên để biểu thức A nguyên Bài 4(3,5 điểm)

Cho tam giác MNP vuông M, đường cao MH Gọi D, E chân đường vng góc hạ từ H xuống MN MP

a) Chứng minh DE = MH

b) Gọi A trung điểm HP, O giao điểm DE MH Chứng minh: 𝑂𝐻𝐴� = 𝑂𝐸𝐴�

c) Chứng minh AO vng góc với MN

d) Gọi I trung điểm NH Chứng minh SMNP = 2SDEAI

Bài 5(0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + 2y2 – 2xy + 4y + 2014

………Hết………

Họ tên thí sinh:……… Số báo danh:………

ĐỀ CHÍNH THỨC

(54)

HƯỚNG DẪN

Bài 1.(2đ) Thực phép tính a) 3x(2x2 – 4x + 3)

b) (12x2y2 + 6xy) : 3xy

c) x2 y2 2xy

x y y x

+ +

− −

Hướng dẫn

a) 3x(2x2 – 4x + 3) =

6x −12x +9x b) (12x2y2 + 6xy) : 3xy = 4xy+2

c) 2+ + = 2+ − = 2+ −2 =( − )2 = −

− − − − − −

x y xy x y xy x y xy x y

x y

x y y x x y x y x y x y

Bài 2.(2đ) Tìm x:

a) (x – 1)2 + x(5 – x) =

b) x2 – 4x =

c)

2

1

( 2)( 2)

x x x

 −  − + − =

 

 

Hướng dẫn

a) (x – 1)2 + x(5 – x) =

2

⇔x − x+ −x + x= 3 1 − ⇔ x+ = ⇔ x= − ⇔ =x

b) x2 – 4x = 0⇔x x( −4)=0⇔ =x 0 x – = 0⇔ =x 0 x =

c)

2

1

( 2)( 2)

x x x

 −  − + − =

 

 

2

4

17 17

0

4

⇔ − + − + = ⇔ − + = ⇔ =

x x x

x x

Bài 3.(2đ)

Cho A = 3

1

x x x

x x

+ +

 − 

 + − 

  với điều kiện x ≠ ±1

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A <

c) Tìm x nguyên để biểu thức A nguyên

Hướng dẫn

(55)

2

2 3 ( 2)( 1) ( 1) 3 2 3

1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

2 3( 1)

( 1)( 1)

 

+ + + − − + + − + − − − +

 

= −  =  = 

+ − + − + −

     

 −  + −

=  =

+ − −

 

x x x x x x x x x x x x x x

A

x x x x x x

x

x x x

b) Tìm x để A <

1 − =

− A

x nên để A < x – > suy x > c) Tìm x nguyên để biểu thức A nguyên

3 − =

− A

x nên để A nguyên x – ∈Ư(-3) mà Ư(–3)={-3; -1; 1; } Suy x – 1= – 3⇒ = −x

x – 1= – 1⇒ =x x – 1= 1⇒ =x x – 1= 3⇒ =x

Bài (3.5 điểm): Cho tam giác MNPvuông M, đường cao MH Gọi D E, chân đường vng góc hạ từ Hxuống MNvà MP

a Chứng minh DE=MH

b Gọi Alà trung điểm HP O, giao điểm DEvàMH Chứng minh:

 =

OHA OEA

c Chứng minh AOvng góc với MN

d Gọi I trung điểm củaNH Chứng minh S∆MNP =2SDEAI Hướng dẫn

a Ta có:   

90

= = =

MDH MEH DME ⇒DMEH hình chữ nhật ⇒DE=MH

b Ta có: ∆MEPvng Ecó EA đường trung tuyến ⇒AE= AH

∆AHE cân A⇒ AEH = AHE (1)

Mặt khác: OH =OE⇒ ∆OHEcân O

(56)

 

⇒OEH =OHE (2)

Từ ( ) ( )1 , ⇒OHA   =OEH +HEA=OEA (đpcm) c Ta có:  = ⇒

= 

OE OH

OA

AE AH đường trung trực HE Mà HE/ /MN

⇒OA⊥MN

d Ta có: S∆DIH =S∆NID;S∆OHD =S∆MOD

1 ∆ ⇒SDOHI = S NMH

;

2 ∆OHE = MOE ∆HEA = EEP⇒ OEAH = ∆MHP

S S S S S S

( )

1

2 ∆ ∆ ∆

= + = + =

DEAI DOHI OEAH MNH MHP MNP

S S S S S S

Bài (0.5 đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + 2y2 – 2xy + 4y + 2014 Hướng dẫn

Ta có

2

) ( 4) 2010 ( ) ( 2) 2010

– 2014 ( –

= =

+ + +

= + + + + +

− + + +

x y xy y

x xy y

A

y y

x y y

Vì 2

(x−y) ≥0, (y+2) ≥0,nên A≥2010

Vậy giá trị nhỏ A 2010 x – y = y + = hay x = y = –2

(57)

PHÒNG GD – ĐT QUẬN ĐỐNG ĐA ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học: 2018 – 2019

Mơn Tốn Lớp Thời gian làm bài: 90 phút Ngày kiểm tra: 11/12

Bài (1,5 điểm). Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 2

– – –

x x y y

b)

2 – –

x + x x

c)

– 16

a a + a

Bài (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức sau: a) ( ) (2 )2 ( )( )

3 – – –

A= x+ + x x+ x

b) ( )3 ( )( ) 2

– – – – 3 –

B= x x x x + x x+

Bài (3,0 điểm). Cho biểu thức 3 2 23

2

x x x x

M

x x x

+ − + +

= + −

− + −

a) Tìm điều kiện để biểu thức M xác định b) Rút gọn M

c) Tính giá trị M x=3

d) Tìm tất giá trị nguyên x để M nhận giá trị nguyên

Bài (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM Kẻ MH, MK vng góc với AB AC (H thuộc AB K thuộc AC)

a) Chứng minh tứ giác AKMH hình chữ nhật b) Chứng minh tứ giác BHKM hình bình hành

c) Gọi E trung điểm MH, gọi F trung điểm MK Đường thẳng HK cắt AE, AF I J Chứng minh HI = KJ

d) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử tam giác ABG vng G

AB= (cm) Tính độ dài EF

Bài (0,5 điểm). Cho số hữu tỷ a, b, c d thỏa mãn điều kiện:

2

2016 2017 2018 2019

1

a b c d

 + + + =

 

+ + + =



Tính giá trị biểu thức

3 5 7

M =a − +a b − b+ c − c+ d − d -Hết - Lưu ý q trình làm bài:

- Thí sinh được sử dụng máy tính, khơng được sử dụng bút xóa

- Giáo viên coi thi khơng giải thích thêm.

ĐỀ SỐ

(58)

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Năm học 2018 – 2019

ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ

Bài (1,5 điểm). Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 2

– – –

x x y y

b)

2 – –

x + x x

c)

– 16

a a + a

Hướng dẫn

a ) 2 2 ( )( ) ( )

5 5 5

x − x−y − y=x −y − x− y= x−y x+y − x+y =(x+y)(x− −y 5)

b ) 2( ) ( ) ( )( )

2 4

x + x − x− = x x+ − x+ = x − x+ =(x−2)(x+2)2

c ) ( )

8 16 16

a − a + a=a a − a+ =a a( −4)2

Bài (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức sau: a) ( ) (2 )2 ( )( )

3 – – –

A= x+ + x x+ x

b) ( )3 ( )( ) 2

– – – – 3 –

B= x x x x + x x+

Hướng dẫn

a ) ( ) (2 )2 ( )( ) ( ) ( ) 2

3 2 3 25

A= x+ + x− − x+ x− = x+ − x−  = = Vậy A=25

b ) ( )3 ( )( ) 2

2 3

B= x− −x x− x− + x − x+

( )

3 2

6 12 3

x x x x x x x x x

= − + − − − − + + − +

3 2 2

6 12 3

x x x x x x x x x x

= − + − − + + − + − + =

Vậy

B=x

Bài (3,0 điểm). Cho biểu thức 3 2 23

2

x x x x

M

x x x

+ − + +

= + −

− + −

a) Tìm điều kiện để biểu thức M xác định b) Rút gọn M

c) Tính giá trị M x=3

Tìm tất giá trị nguyên x để M nhận giá trị nguyên Hướng dẫn

a ) Biểu thức M xác định

2

2 x

x x  − ≠  + ≠ 

 − ≠ 

2

x

x x

≠ 

≠  

⇔ ≠ − ⇔ ≠ −   ≠ ±  Vậy M xác định x≠ ±2

b ) MTC:

4 x −

(59)

( )( )

( )( ) (( )()( )) ( )( )

2

3

3 3 6

2 2 2 2

x x x x

x x x x x x

M

x x x x x x x x x

+ + − −

+ − + + + +

= + − = + −

− + − − + − + − +

( )( ) ( )( ) ( )( )

2

3 2

2

x x x x x x

M

x x

+ + + − − − − −

=

− +

( )( ) ( )( ) ( ()( ) )

2 2 3 2

2 6 6 3

2 2 2 2

x

x x x x x x x x x

M

x x x x x x x

− −

+ + + + − − + − − − − −

= = = =

− + − + − + +

Vậy

2 M

x − =

+

c ) Khi x = (thỏa mãn điều kiện), ta có 3

3

M = − = − + Vậy với x=3

5 M = −

d ) Ta có: Z x U 3( ) { 1; 3}

M x

−

= ∈ ⇔ + ∈ = ± ±

+

Ta xét trường hợp sau:

) 1

)

x x

+ + = ⇔ = −

+ + = − ⇔ = −

+ + = ⇔ =

+ + = − ⇔ = −

Các giá trị tìm thỏa mãn điều kiện Vậy x∈{1; −1; −3; −5 }

Bài (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM Kẻ MH, MK vuông góc với AB AC (H thuộc AB K thuộc AC)

a) Chứng minh tứ giác AKMH hình chữ nhật b) Chứng minh tứ giác BHKM hình bình hành

c) Gọi E trung điểm MH, gọi F trung điểm MK Đường thẳng HK cắt AE, AF I J Chứng minh HI = KJ

d) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử tam giác ABG vuông G

AB= (cm) Tính độ dài EF

Hướng dẫn

a ) xét tứ giác AKMH có:



90

HAK = (vì 

90 BAC= - gt)



90

AHM = (do MH ⊥ AB-gt)



90

AKM = (do MK ⊥ AC-gt)

Vậy tứ giác AKMH có góc vng, AKMH hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết

hình chữ nhật) J

F I

E

G

K H

M B

A C

(60)

b ) Do AKMH hình chữ nhật (chứng minh câu a) nên MK//AB

Do M trung điểm BC (gt) nên MK đường trung bình tam giác ABC Từ MK//HB

2

MK = AB (1)

+) Do AKMH hình chữ nhật (chứng minh câu a) nên MH//AC

Do M trung điểm BC (gt) nên MH đường trung bình tam giác ABC Từ H trung điểm AB Do

2

HB= AB (2) Do đó, từ (1) (2), ta có MK =HB, MK // HB

Vậy BHKM hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

c ) Gọi O trung điểm AM Khi O trung điểm HK AKMH hình chữ nhật Tam giác AHM có trung tuyến HO, AE cắt I

Tam giác AKM có trung tuyến AF, KO cắt J

Theo tính chất đường đường trung tuyến tam giác ta có: ;

3

HI = HO KJ = KO Mà HO=KO(do O trung điểm HK) Từ HI = KJ

d ) Ta có: 2 2

,

3 3

AC

AG= AM = BC BG = BK = AB +

Vậy, áp dụng định lý Pitago tam giác ABG ta có:

( )

2

2 2 2 2

5

9

AC

AG +BG =AB ⇔ BC + AB + =AB ⇔ AC +BC = AB

 

Mặt khác, tam giác ABC vuông A nên 2 ( )

2 AC +AB =BC

Kết hợp (1), (2) ta được: 2 ( )

3 144 12

BC = AB = ⇒BC = cm

Trong tam giác MHK, EF đường trung bình tam giác nên HK = 2EF Trong tam giác ABC, HK đường trung bình tam giác nên BC = 2HK Do đó: BC = 4EF

Vậy EF = (cm)

Bài (0,5 điểm). Cho số hữu tỉ a, b, c d thỏa mãn điều kiện:

2

2016 2017 2018 2019

1

a b c d

 + + + =

 

+ + + =



Tính giá trị biểu thức

3 5 7

M =a − +a b − b+ c − c+ d − d Hướng dẫn

Từ điều kiện

1

a +b +c +d = , ta có a ≤1, b ≤1,c ≤1, d ≤1

(61)

Do đó:

2016 2017

2016 2017 2018 2019 2018

2019

a a

b b

a b c d a b c d

c c

d d

 ≤

 ≤

 ⇒ + + + ≤ + + +

 ≤ 

 ≤

 Từ :

2016

2017 4

2016 2017 2018 2019

2018

2019

a a a a

b b b b

a b c d a b c d

c c c c

d d d d

 =  =

 

= =

 

+ + + = + + + ⇔ ⇔

= =

 

 =  =

 

Vậy ( ) ( ) ( )

3

M =a − +a b −b + c − +c d −d =

(62)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN TÂY HỒ

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I Năm học: 2018 – 2019

MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài: 90 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Bài (2 điểm):

a) Phân tích thành nhân tử:

5 –x xy+y – 5y b) Tính nhanh giá trị biểu thức: 2

2 –

x + x+ y với x=84;y=15

a) Tìm x biết: (3 – 1x ) (2 = x– 1)2

b) Tìm m để đa thức B=x3 – 3x2+5 – 2x m chia hết cho đa thức C=x–

Cho biểu thức 2 20

4 16

P x x

x x x

+ −

 + 



= 

+ − +

  (với x≠ −5;x≠ −4 vàx≠4 ) a) Chứng tỏ

5 P

x =

+

b) Tính giá trị biểu thức P với x thỏa mãn x2+4x=0 c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên

Bài (3,5 điểm):

Cho ∆ABC cóAB=2BC , từ trung điểm M AB kẻ tiaMx/ /BC, từ Ckẻ tia / /

Cy AB cho Mx cắt Cy N a) Tứ giác MBCN hình gì? Tại sao? b) Chứng minh BN ⊥AN

c) Gọi D giao điểm MN với AC E, giao điểm MC với BN F, giao điểm ED với AN Chứng minh DE=DF

d) Gọi G giao điểm AE vớiMN Chứng minh B G F, , thẳng hàng

Bài (0,5 điểm): Cho số x y z, , dương thỏa mãn x2+y2+z2 =1

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 12 12 12

16x M

y z

+ +

=

(63)

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ TOÁN

a) Phân tích thành nhân tử:

5 –x xy+y – 5y b) Tính nhanh giá trị biểu thức: 2

2 –

x + x+ y với x=84;y=15 Hướng dẫn

a) 2

5 –x xy+y – 5y=(5 –x xy) (+ y – )y (5 ) (5 ) (5 )( )

x y y y y x y

= − − − = − −

b) Ta có:

2

(

( 1) – x 1)( 1),

A= +x y = −y+ x+ +y

Thay x=84;y=15 ta A=(84 15 1)(84 15 1)− + + + =70.100=7000

a) Tìm x biết: (3 – 1x ) (2 = x– 1)2

b) Tìm m để đa thức B=x3 – 3x2+5 – 2x m chia hết cho đa thức C=x– Hướng dẫn

a) ( ) (2 )2

3 – 1x = x– ( ) (2 )2

0 (3 1)(3 1)

3 – 1x x– x x x x

⇔ − = ⇔ − − + − + − =

0

2

1

4

2 x x

x x

=  =

 

⇔ ⇒



= − = −

 

Vậy x=0 x= −

b) Tìm m để đa thức B=x3 – 3x2+5 – 2x m chia hết cho đa thức C=x– lấy B chia C ta dư là: 2− m

Để B C 2− m=0 Vậy m=3 B C

Cho biểu thức 2 20

4 16

P x x

x x x

+ −

 + 



= 

+ − +

  (với x≠ −5;x≠ −4 vàx≠4 ) a) Chứng tỏ

5 P

x =

+

b) Tính giá trị biểu thức P với x thỏa mãn x2+4x=0 c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên

Hướng dẫn

a) 2 20

4 16

P x x

x x x

+ −

 + 



= 

+ − +

  (với x≠ −5;x≠ −4 vàx≠4 )

(64)

( )

2 2

2( 4) 20 20 12

16 16 16 ( 4)( 4)

=

5

x x x x x x x x

x x x x x

P đpc

x x x x m

− + − − + + − + −

 +  = = =

 − −  + − + − + + +

 

b) Ta có:

2

4 ( 4)

4( ) x

x x x x

x l

= 

+ = ⇔ + = ⇔ 

= −  Với x=0 ta

5 P= c) Ta có:

5 P

x =

+

{ }

3

3 ( 5) ( 5) (3) 1;

5

5 4( )

5

P x x U

x

x x

x x l

x x

∈ ⇔ ∈ ⇔ + ⇔ + ∈ = ± ±

+

+ = − = −

 

 + = −  = −

 

⇒ ⇒

 + =  = −

 

  

Vậy x= − − −{ 8; 6; 2}

Bài (3,5 điểm):

Cho ∆ABC cóAB=2BC , từ trung điểm M AB kẻ tiaMx/ /BC, từ Ckẻ tia / /

Cy AB cho Mx cắt Cy N a) Tứ giác MBCN hình gì? Tại sao? b) Chứng minh BN ⊥AN

c) Gọi D giao điểm MN với AC E, giao điểm MC với BN F, giao điểm ED với AN Chứng minh DE=DF

d) Gọi G giao điểm AE vớiMN Chứng minh B G F, , thẳng hàng Hướng dẫn

a) Vì Mx/ /BC⇒MN/ /BC N( ∈Mx gt)( ) (1)

tương tự, ta có: Cy/ /AB⇒CN/ /AB N( ∈Cy gt)( )(2) Từ (1) (2), ta được:

G

F D

E

N

M

B A

C

(65)

/ / / /

MN BC

BMNC

CN AB

 ⇒



 hình bình hành (3)

Mặt khác, ( )

( ) BM BC

MA MB g

A C t

t

B B g

 ⇒ =

 = 

=

(4) Từ (3) (4), ta được: BMNC hình thoi (dhnb) b) Vì BMNC hình thoi(cmt) nên ta có: BN ⊥CM (1) Ta có: CN/ /BM M trung điểm AB (gt)

Mặt khác: CN =BM (cmt) / /

CN MA

CNAM

CN MA



⇒ ⇒

=

 hình bình hành / / (2)

CM NA

⇒

Từ (1) (2), ta được: BN ⊥ AN(đpcm) c) Ta có: CNAM hình bình hành(cmt)

D

⇒ trung điểm AC MN (t/c hbh) (1)

Tương tư: E trung điểm BNvà CM( vìBMNClà hình thoi) (2) Từ (1) (2), ta được: ED đường trung bình tam giác CMA

/ /

ED MA

⇒

2

ED= MA (1) mà F∈ED

/ /

FD CN

⇒ (vìCN/ /MA) F

⇒ trung điểm NA(đ/l đường trung bình) FD

⇒ đường trung bình tam giác CNA

2

FD CN

⇒ = (2)

Ta có: CN =MA cmt( ) (3)

Từ (1);(2) (3), ta được: ED=DF(đpcm). d) Xét tam giác NAB có:

E trung điểm BN (cmt) M trung điểm BA (gt)

{ }( )

NM ∩BA= G gt Suy ra: G trọng tâm tam giác NAB (1) Mà F trung điểm NA (cmt)

Do đó, BF trung tuyến (2)

Từ (1) (2), ta được: B G F, , thẳng hàng (đpcm)

Bài (0,5 điểm): Cho số x y z, , dương thỏa mãn x2+y2+z2 =1

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 12 12 12

16x M

y z

+ +

=

(66)

Hướng dẫn

Ta có ( , , )x y z >0và x2+y2+z2 =1

2 2

1 1

4 16x M

y z

+ +

=

Áp dụng BĐT AM-GM, ta được:

2 2

2

2 2

1 (1 4)

16 16 16 16( )

49 16

x y z x

M M

y z

+ +

+ + ≥

⇒ ≥

=

+ +

Dấu “ ”= xảy khi:

2 2

1

; ;

16x =16y =16z =16⇒x =7 y =7 z =7

Vậy 49

16

MinM = 1; 2;

7 7

x = y = z =

(67)

PHÒNG GD& ĐT QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC

KIỂM TRA HỌC KÌ I Năm học: 2018 – 2019

Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 90 phút

Bài (1.5 điểm):Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) 2

6x y+4xy

b) 2( ) ( )

4 x x−y + y−x

c) 2

2

x + x y+xy − x

Bài (1.5 điểm):Tìm x biết

a) ( )2 ( )

1

x− +x −x =

b) ( ) ( )( )

12x −6x : 6x+2x 2+x 2−x =7

c)

3

x − x + − =x

Bài (1.5 điểm):Cho biểu thức

2

1

2

x A

x x x

 

= − + 

+ − −

 

2

x B

x + =

+ với

2 2;

3 x≠ ± x≠ −

a) Tính giá trị biểu thức B x= −3

b) Rút gọn biểu thức M = A B

c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( )

2 N =M x −x − x

Bài (1.5 điểm):Cho ∆ABC cân A, đường cao AH Gọi I trung điểm AC Lấy điểm D đối xứng với điểm H qua điểm I

a) Chứng minh tứ giác ADCH hình chữ nhật

b) Chứng minh tứ giác ADHB hình bình hành

c) Gọi E trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh điểm A đối xứng với điểm H qua đường thẳng EI

d) Gọi giao điểm BD AC F Chứng minh AF= AC

Bài (1.5 điểm): Cho x y; số dương thỏa mãn: x3+8y3−6xy+ =1

Tính giá trị biểu thức:

2019

2018

2 x +y− 

 

-HẾT -

(68)

HƯỚNG DẪN

Bài (1.5 điểm):Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) 2

6x y+4xy

b) 2( ) ( )

4 x x−y + y−x

c) 2

2

x + x y+xy − x

Hướng dẫn

a) 2 ( )

6x y+4xy =2xy 3x+2y

b) 2( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

4 2

x x−y + y−x = x−y x − = x−y x− x+

( ) ( )2 ( )( )

3 2 2

2 4 2

x + x y+xy − x=x x + xy+y − =x x+y − =x x+ +y x+ −y

Bài (1.5 điểm):Tìm x biết

a) ( )2 ( )

1

x− +x −x =

b) ( ) ( )( )

12x −6x : 6x+2x 2+x 2−x =7

c)

3

x − x + − =x

Hướng dẫn

a) ( )2 ( ) 2 2

1 8

3 x− +x −x = ⇔ x − x+ + x−x = ⇔ x= ⇔ =x

b) ( ) ( )( )

12x −6x : 6x+2x 2+x 2−x =7

( ) ( 2)

3

6 :

2 8

x x x x x

⇔ − + − =

⇔ − + − = ⇔ = ⇔ =

c) 2( ) ( )( )

2

3

3 3 3

1

x x

x x x x x x x x

x x − = =   − + − = ⇔ − + − = ⇔ − − = ⇔ ⇔ = ± − =  

Bài (1.5 điểm):Cho biểu thức

2

1

2

x A

x x x

 

= − + 

+ − −

 

2 x B x + =

+ với

2 2;

3 x≠ ± x≠ −

a) Tính giá trị biểu thức B x= −3

b) Rút gọn biểu thức M = A B

c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( )

2 N =M x −x − x

Hướng dẫn

a)

( )3 1

3 7

x= − ⇒ =B − + = − = − + −

b) ( )

( )( ) ( )( ) ( ( )( ) )

2

2 2

1

2 2 2 2

x x x x

x x

A

x x x x x x x x x

− + + + + +

= − + = = =

+ − − + − + − + −

( )

( )( )

2 2

x x

M A B

x x x x

+ +

= = =

+ − + −

(69)

c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

3 2 2 2

2 2

x x x x x x

N M x x x x x x x x

x x x

− − + −

= − − = − − = = = +

− − −

Ta có ( ) ( )

2

2 1 1 1

2 2

2 4 2

x x+ = x +x = x + x+ − = x+  − ≥ −

   

Vậy giá trị nhỏ N −

Bài (1.5 điểm):Cho ∆ABC cân A, đường cao AH Gọi I trung điểm AC Lấy điểm D đối xứng với điểm H qua điểm I

a) Chứng minh tứ giác ADCH hình chữ nhật

b) Chứng minh tứ giác ADHB hình bình hành

c) Gọi E trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh điểm A đối xứng với điểm H qua đường thẳng EI

d) Gọi giao điểm BD AC F Chứng minh AF= AC Hướng dẫn

a) Ta có IA=IC ID; =IH , tứ giác ADCH có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên ADCH hình bình hành H = °90 nên ADCH hình chữ nhật b) ADCH hình chữ nhật ⇒AD=HC mà HC=HB⇒AD=HB (1)

Ta lại có AD/ /HB ( ADCH hình chữ nhật) (2) Từ (1) (2) suy Chứng minh tứ giác ADHB hình bình hành

c) Xét ∆AHB vng H có E trung điểm đoạn thẳng AB nên HE=EA (*) ADCH hình chữ nhật ⇒IA=IH(**)

Từ (*) (**) suy A đối xứng với điểm H qua đường thẳng EI d) Ta có AD/ /BC, theo talet ta có

1 1

2 2

AF AD AF AF AF

FC = BC = ⇒ FC = ⇒ AF+FC = + ⇒ AC =

1

AF AC

⇒ =

F E

D

I

H

B C

A

(70)

Bài (1.5 điểm): Cho x y; số dương thỏa mãn: x3+8y3−6xy+ =1

Tính giá trị biểu thức:

2019

2018

2 x +y− 

 

Hướng dẫn

Cách 1: Ta chứng minh:

( )( ) ( ) ( ) (2 ) (2 )2

3 3 2

3

2

a + + −b c abc= a b c+ + a +b + −c ab bc ca− − = a b c+ +  a b− + −b c + −c a  Thật

( ) ( ) ( )3 ( )

3 3 3 3

3 3 3

a +b + −c abc=a +b + ab a+ + −b c abc− ab a+b = a+b + −c ab a+ +b c

( ) ( ) (2 ) 2 ( )

3

a b c  a b a b c c  ab a b c = + +  + − + + − + +

( )( 2 2) ( )

2

a b c a ab b ac bc c ab a b c

= + + + + − − + − + +

( )( 2 2 2 ) 1( ) ( ) (2 ) (2 )2

2

a b c a b c ab bc ca a b c  a b b c c a 

= + + + + − − − = + +  − + − + − 

( ) ( ) (2 ) (2 )2

3

8 2 1

x + y − xy+ = ⇔ x+ y+  x− y + y− + −x =

Vì x>0;y> ⇒ +0 x 2y+ ≠1

Vậy ( ) (2 ) (2 )2

2 1

x− y + y− + −x =

2 1

2

1

x y x

y

y x

− =

  =

 

⇔ − = ⇔ 1

=

 − = 



Thay vào

2019

2018

2 P=x +y− 

  ta có

2019 2018 1

1 1

2

P= + −  = + =

 

Cách 2: Do x>0;y>0 nên áp dụng bất đẳng thức Coossi cho số x3; 2( )y 3;13

Ta có 3 ( )3 3 3 ( )3 3

3

2

x + y + ≥ x y = xy

Dấu xảy x=2y=1

1

2 x y

=  

⇔ 

= 

Thay vào

2019

2018

2 P=x +y− 

  ta có

2019 2018 1

1 1

2

P= + −  = + =

 

TRƯỜNG THCS NGỌC LÂM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I

(71)

NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TỐN Thời gian: 90 phút

Bài (2,0 điểm) Thực phép tính a) (2x+3)(x– – 2) x2

b) ( ) ( )

3x – 4x +5x+6 : x – 2x+3

Bài (2,0 điểm) Tìm x a)

3x – 6x+ =3

b) 2x x( +3 – 4) (x+ =3) c)

7 10 x + x+ =

Bài (2,0 điểm) Cho hai biểu thức:

3 x A

x + =

+

3

x x

B

x x x

= − +

− − +

c) BiếtP=A B , tìm số tự nhiên x để P∈

Bài (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông tạiA ,(AB<AC) Gọi Dlà trung điểm củaAC Vẽ điểm Eđối xứng với điểm B quaD

a) Chứng minh: Tứ giác ABCElà hình bình hành

b) Gọi M điểm đối xứng với Bqua A Tứ giác AMEClà hình gì? Vì sao?

c) Kéo dài MDcắt BCtạiI Vẽ đường thẳng qua Asong song với MDcắt BCởK Chứng minh: KC=2BK

d) ChoAC=8cm BC, 10= cm Tính diện tích tứ giác MECB

Bài (0,5 điểm). Ơng Giáp có 15m hàng rào đẹp Ông muốn rào sân vườn hình chữ nhật để đạt diện tích lớn vườn sát tường nhà để chiều khơng phải rào Hỏi diện tích sân vườn m2 ?

-* Chúc làm tốt * -

HƯỚNG DẪN

Bài (2,0 điểm) Thực phép tính a) ( )( )

2x+3 x– – 2x

b) ( ) ( )

3x – 4x +5x+6 : x – 2x+3

Hướng dẫn

a) Ta có:

( )( ) 2

2 6

2x+3 x– – 2x = x − x+ x− − x = − −x

b) Kẻ cột thực phép chia, thương 3x+2 Suy : ( ) ( )

2 3x – 4x +5x+6 : x –2x+3 =3x+

(72)

Bài (2,0 điểm) Tìm x a)

3x – 6x+ =3

b) 2x x( +3 – 4) (x+ =3) c)

7 10 x + x+ =

Hướng dẫn

a) Ta có:

( )2

2

3x – 6x+ = ⇔3 x – 2x+ = ⇔1 x−1 = ⇔ =0 x Vậy: b) Ta có:

( ) ( ) ( )( ) 3

2 – 3

2

x x

x x x x x

x x

+ = = −

 

+ + = ⇔ + − = ⇔  ⇔

− = =

 

Vậy: c) Ta có:

( ) ( )

2

7 10 10 5

x + x+ = ⇔ x + x+ x+ = ⇔x x+ + x+ = ( 2)( 5) 2

5

x x

+ = = −

 

⇔ + + = ⇔ ⇔

+ = = −

  Vậy:

Bài (2,0 điểm) Cho hai biểu thức:

3 x A

x + =

+

3

x x

B

x x x

= − +

− − +

c) BiếtP=A B , tìm số tự nhiên x để P∈ Hướng dẫn

a) Điều kiện xác định biểu thức A là: x≠ −3

Với x=5 ( tmđk) thay vào A ta 3 x

A x

+ +

= = =

+ +

Vậy x=5 A=

b) Điều kiện xác định biểu thức B là: x≠ ±3 Ta có:

( )( )

2

3 6

3 3 3

x x x x

B

x x x x x x x

= − + = + +

− − + − − + +

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ( )( ) )

2

3 6 3

3 3 3 3

x x x x x x x x

x x x x x x x

+ + + − + + + +

= = = =

− + − + − + −

c) Ta có: 1

3 3

x x x

x x

P

x A B

x

+ + +

= = = +

+ =

− − −

(73)

Để P∈ ⇒ 4(x− ⇒3) (x− ∈3) Ư( )4 suy (x− ∈ ± ± ±3) { 4; 2; 1} Suy x∈ −{ 1;1; 2; 4;5; 7}

Vì x∈ ⇒ ∈ x {1; 2; 4;5; 7}

Bài (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông tạiA ,(AB<AC) Gọi Dlà trung điểm củaAC Vẽ điểm Eđối xứng với điểm B quaD

a) Chứng minh: Tứ giác ABCElà hình bình hành

b) Gọi M điểm đối xứng với Bqua A Tứ giác AMEClà hình gì? Vì sao?

c) Kéo dài MDcắt BCtạiI Vẽ đường thẳng qua Asong song với MDcắt BCởK Chứng minh: KC=2BK

d) ChoAC=8cm BC, 10= cm Tính diện tích tứ giác MECB Hướng dẫn

a) Chỉ DB DE ABCE

DA DC

= 

⇒

 =

 hình bình hành

b) EC/ /AB EC/ /AD ACEM

EC AB EC AD

 

⇒ ⇒

 =  =

  hình bình hành

Mặt khác 

90

CAM = ⇒ACEM hình chữ nhật

c) ID/ /AK mà D trung điểm AC⇒I trung điểm KC / /

AK MI mà A trung điểm BM ⇒K trung điểm

BI ⇒BK =KI =IC⇒KC= KB

d) Sử dụng Pytago tính AB=6cm

Diện tích hình thang AECB 12.8 72

2

EC MB

S = + ME= + = cm

K

I

M E

D

A C

B

(74)

Bài (0,5 điểm). Ơng Giáp có 15m hàng rào đẹp Ông muốn rào sân vườn hình chữ nhật để đạt diện tích lớn vườn sát tường nhà để chiều rào Hỏi diện tích sân vườn m2 ?

Hướng dẫn

Gọi kích thước hai cạnh hình chữ nhật x y, Suy 15

2

x+ =y m suy 15

x= −y ( mét) Diện tích hình chữ nhật là:

2

15 15 225 15 225

2 16 16

S =xy= −y y= − +y y= −y−  ≤

   

Dấu xảy 15 15

4

y= ⇒ =x

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn 225

16 m

(75)

ỦY BAN NHÂN DÂN Q.HÀ ĐÔNG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I TRƯỜNG THCS VĂN YÊN Năm học: 2018 – 2019 Mơn: Tốn lớp

Thời gian bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề

Bài (1,5 điểm).Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2

2

x −y − x+ y b) 2

4 25

x + y − + xy

Bài (2 điểm) Tìm x biết:

a) (x+1)(x+ −3) (x x− =1)

b) ( )( )

9x = −1 3x+1 2x−9

Bài (2,5 điểm). Cho hai biểu thức: 23( 1) x A

x x

− +

=

− −

2

3

x x x

B

x x x

+

= − −

+ − − với

3;

x≠ ± x≠ −

a) Tính giá trị biểu thức A

4 x − = b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm số tự nhiên x để biểu thức P=B A: đạt giá trị nguyên

Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AM đường cao Gọi D E hình chiếu điểm M lên AB AC

a) Chứng minh tứ giác ADME hình chữ nhật

b) Lấy I đối xứng với D qua A, K đối xứng với E qua M Chứng minh DK = IE c) Gọi O giao điểm AM DE Chứng minh điểm K, O, I thẳng hàng

d) Gọi P, Q thứ tự trung điểm BM, CM Chứng minh tứ giác DPQE hình thang vuông

Bài (0,5 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz=1 Tính giá trị biểu thức:

1 1

M

x xy y yz z zx

= + +

+ + + + + +

-Hết -

HƯỚNG DẪN

(76)

Bài (1,5 điểm).Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2

2

x −y − x+ y b) 2

4 25

x + y − + xy

Hướng dẫn

a) 2 ( )( ) ( ) ( )( )

2 2

x −y − x+ y= x− y x+ y − x− y = x− y x+ −y

b) 2 2 ( )2 2 ( )( )

4 25 5

x + y − + xy= x+ y − = x+ y− x+ y+

Bài (2 điểm) Tìm x biết:

a) (x+1)(x+ −3) (x x− =1)

b) ( )( )

9x = −1 3x+1 2x−9

Hướng dẫn

a) (x+1)(x+ −3) (x x− =1) 8

2

3

x x x x x

⇔ + + + − + =

5x 5x x

⇔ + = ⇔ = ⇔ =

Vậy x=1

b) ( )( )

9x = −1 3x+1 2x−9

(3x 3)( x 1) (3x 2)( x 9)

⇔ − + + + − =

(3x 3)( x 2x 9)

⇔ + − + − =

(3 5)( 10) 31

5 10

2

x x

x

x − 

+ = =

 

⇔ + − = ⇔ ⇔



− =

  =

Vậy 2;

3 x∈ − 

 

Bài (2,5 điểm). Cho hai biểu thức: 23( 1) x A

x x

− +

=

− −

2

3

x x x

B

x x x

+

= − −

+ − − với

3;

x≠ ± x≠ −

a) Tính giá trị biểu thức A

4 x − = b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm số tự nhiên x để biểu thức P=B A: đạt giá trị nguyên Hướng dẫn

a) Ta có: ( ) ( )

( )

2

3

6 ( 2)

x x

A

x x x x

− + − +

= =

− − − + có ĐKXĐ: x≠3; x≠ −2 Ta có: 2( )

4

2( )

x Tm x

x KTm

 = − = ⇔ 

= − 

(77)

Thay x=2 vào A, ta ( )

(2 (23 1) 2) 1.49 94

A= − + = − =

− + −

b) 22

3

x x x

B

x x x

+

= − −

+ − − với x≠ ±3; x≠ −1

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )

2

2 2

2 3

2

3 3

2 3 9

3 3 3

x x x x x

x x x

B

x x x x x

x x x x x x

x x x x x

− + + − −

+

= − − =

+ − − − +

− + + − − − − −

= = =

− + − + −

Vậy với x≠ ±3; x≠ −1 3 B

x − =

− c)

( )( )

3 3( 1)

: :

3 1

x x

P B A

x x x x x

− − + +

= = = = +

− − + + +

Để P có giá trị ngun x+ ∈1 U(1), từ tìm x=0(tm) x= −2 (Khơng thỏa mãn điều kiện để A có nghĩa)

Vậy x=0

Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AM đường cao Gọi D E hình chiếu điểm M lên AB AC

a) Chứng minh tứ giác ADME hình chữ nhật

b) Lấy I đối xứng với D qua A, K đối xứng với E qua M Chứng minh DK = IE c) Gọi O giao điểm AM DE Chứng minh điểm K, O, I thẳng hàng

d) Gọi P, Q thứ tự trung điểm BM, CM Chứng minh tứ giác DPQE hình thang vng

Hướng dẫn

(78)

a) Tứ giác ADME hình chữ nhật    o

A= = =D E 90

b) Vì tứ giác ADME hình chữ nhật (cmt) nên AD ME, AD =ME

Mà I đối xứng với D qua A, K đối xứng với E qua M nên DI KE, ID =KE  Tứ giác IDKE hình bình hành

 DK=IE

c) Vì O giao điểm AM DE nên O trung điểm AM DE

Lại có tứ giác DKEI hình bình hành (cmb) nên O trung điểm KI Vậy điểm K, O, I thẳng hàng

d) Ta có ∆BDMvng D, DP đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BM nên

DP BP PM BM

2

= = = => ∆PDMcân P => PDM =PMD, ta có ∆DOMcân O ( OD = OM theo tính chất hình chữ nhật) => ODM =OMD

Ta có:   o   o

DMO+PMD=90 ⇒ODM+MDP=90 ⇒DP⊥DE (1) Chứng minh tương tự ta có EQ⊥DE(2)

Từ (1), (2) suy DP EQ (3)

Từ (1), (3) suy tứ giác DPQE hình thang vng

Bài (0,5 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz=1 Tính giá trị biểu thức:

1 1

M

x xy y yz z zx

= + +

+ + + + + +

Hướng dẫn

( ) ( )

2

1

1 1

xyz xyz xyz xyz

M

xyz x yz xy xyz y yz z zx xy z xz y xz z z zx

= + + = + + =

+ + + + + + + + + + + +

(79)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TỐN Thời gian: 90 phút

I TRẮC NGHIỆM (2 điểm): Học sinh làm trực tiếp vào đề kiểm tra

(Khoanh tròn chữcái trước phương án trả lời đúng)

Câu 1.Kết phép tính 21 32

7

x x

+ − − bằng: A.

7x B

7

x x

− C 7

x D

1 x Câu 2. Kết phép tính 22 10: 2

3

x x

xy x y

+ + là:

A. 6y2

x B

6y

x C.

x

y D.

x y Câu 3.Cho ∆ABC vuông A có AB=4cm BC, 5= cm Diện tích ∆ABC bằng:

A

6cm B 10cm2 C 12cm2 D 20cm2

Câu 4. Hình bình hành ABCD có Aˆ =2 ˆB Số đo góc D là:

A 60° B 120° C 30° D. 45°

II TỰ LUẬN (8 điểm): Học sinh làm vào giấy kiểm tra

Bài (1,5 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2(x– –) (y x– 3) b) Tính nhanh gá trị biểu thức 2

55 +45 +90.55 c) Làm tính chia: ( 2 )

2x y – 12xy +6x y : 2xy

Bài (1,5 điểm)

a) Tìm x, biết: ( ) ( )( )

5x x+1 – x+1 x– =2x +23 b) Thực phép tính: 2 2x2

x y x y x y

−

+ +

+ − −

Bài (1,5 điểm)

a) Tìm số a để đa thức:

4 –

P= x x a+ chia hết cho đa thức Q=x– b) Chứng tỏ A=x2+2x+ >3 0với số thực x

Bài (3,0 điểm). Cho tam giác ABCvuông tạiA, đường caoAH Gọi D điểm đối xứng với H qua AB E, điểm đối xứng với HquaAC Gọi I giao điểm ABvà DH K, giao điểm AC vàEH

a) Tứ giác AIHKlà hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh ba điểm D E A, , thẳng hàng

c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM ⊥ IK

(80)

Bài (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2

5 12 24 48 81

M = x + y − xy+ x− y+ HƯỚNG DẪN

I TRẮC NGHIỆM (2 điểm): Học sinh làm trực tiếp vào đề kiểm tra

(Khoanh tròn chữcái trước phương án trả lời đúng)

Câu 1.Kết phép tính 21 32

7

x x

+ − − bằng: A.

7x B

7

x x

− C 7

x D

1 x Hướng dẫn

Chọn D

2 2

4 1 1

7 7

x x x x x

+ − − = + − + = = Câu 2. Kết phép tính 22 10: 2

3

x x

xy x y

+ + là:

A. 6y2

x B

6y

x C.

x

y D.

x y Hướng dẫn

Chọn C

( )

2

2 2

5 10

:

3

x x x x y x

xy x y xy x y

+ + = + =

+

Câu 3.Cho ∆ABC vng A có AB=4cm BC, 5= cm Diện tích ∆ABC bằng: A 6cm2 B 10cm2 C 12cm2 D 20cm2

Hướng dẫn Chọn A

Sử dụng định lí Pytago:

2

3 AC= BC −AB = cm

Diện tích tam giác là:

2

S = AB AC= cm

Câu 4. Hình bình hành ABCD có Aˆ =2 ˆB Số đo góc D là:

A 60° B 120° C 30° D. 45°

Hướng dẫn Chọn A

Ta có:  

    

0

180

2 180 60

2

A B

B B B

A B

 + =

 ⇒ + = ⇒ =

 =

 nên

 

60 D= =B

(81)

(82)

II TỰ LUẬN (8 điểm): Học sinh làm vào giấy kiểm tra Bài (1,5 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2(x– –) (y x– 3) b) Tính nhanh gá trị biểu thức 552+452+90.55

c) Làm tính chia: ( 2 )

2x y – 12xy +6x y : 2xy

Hướng dẫn a) Ta có: 2(x– –) (y x– 3) (= x–3)(2−y)

b) Ta có: 2 2 ( )2

0 55 +45 +90.55=55 +2.55.45 45+ = 55 45+ =100 =1000

c) Ta có: ( 2 ) 2 2

2x y – 12xy +6x y : 2xy=2x y : 2xy– 12xy : 2xy+6x y: 2xy=xy−6y +3x

Bài (1,5 điểm)

a) Tìm x, biết: ( ) ( )( )

5x x+1 – x+1 x– =2x +23 b) Thực phép tính: 2 2x2

x y x y x y

−

+ +

+ − −

Hướng dẫn a) Ta có:

( ) ( )( )

5x x+1 – x+1 x– =2x +23

( )

2 2

5x 5x x 2x 23

⇔ + − − = +

5x 23 5x 20 x

⇔ + = ⇔ = ⇔ = Vậy x=4

b) Điều kiện: x≠ ±y

( )( )

2

2 2x 2x

x y x y x y x y x y x y x y

− −

+ + = + +

+ − − + − − +

( )

( )( ) ( )( )

2 x y x y 2x x y

x y x y x y x y x y

− + + − −

= = =

− + − + +

Bài (1,5 điểm)

a) Tìm số a để đa thức:

4 –

P= x x a+ chia hết cho đa thức Q=x– b) Chứng tỏ

2

A=x + x+ > với số thực x Hướng dẫn a) Kẻ cột thực phép chia số dư a−3 Để đa thức:

4 –

P= x x a+ chia hết cho đa thức Q=x– a− = ⇔ =3 a

(83)

b) Ta có: 2 2 ( )2

2 2

A=x + x+ =x + x+ + = x+ + Từ lập luận A>0 x

Bài (3,0 điểm). Cho tam giác ABCvuông tạiA, đường caoAH Gọi D điểm đối xứng với H qua AB E, điểm đối xứng với HquaAC Gọi I giao điểm ABvà DH K, giao điểm AC vàEH

a) Tứ giác AIHKlà hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh ba điểm D E A, , thẳng hàng

c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM ⊥ IK Hướng dẫn

a) Chỉ tứ giác AIHK có góc vng ⇒AIHK hình chữ nhật b) Vì H đối xứng D qua AB⇒ DAB=HAB ( tính chất đối xứng trục) Vì H đối xứng Equa AC⇒ EAC=HAC ( tính chất đối xứng trục)

Mà   

90 180 , ,

BAC = ⇒DAE= BAC= ⇒ A D E thẳng hàng c) Gọi O giao AHvà IK, P giao AM IK

Chỉ OH =OK ⇒OKH  =OHK =BCA ( phụ góc KHC) =MAC ( AM =MC=MB: Tính chất trung tuyến tam giác vuông)

mà     

90 90 90

OKH+OKA= ⇒MAC+OKA= ⇒ APK =

Bài (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2

5 12 24 48 81

M = x + y − xy+ x− y+ Hướng dẫn

Ta có:

O

P

M

E D

K

I H

A C

B

(84)

( ) ( )2 ( )2

2

9 – 12 4 – 4 24 81

M = y y x+ + x+ x+ + x + x+

( ) 2 ( ) (2 )2

3 – 2y x x – 8x 17 – – 8y x x– 1

=  +  + + = + + ≥

Dấu xảy 416

3 x

y x

x y

=  − − =

 ⇔

 − =  =

 

Vậy

4

min 16

3 x M

y =   = ⇔  =



(85)

UBND HUYỆN THANH TRÌ PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TOÁN 8

Thời gian làm bài: 90 phút

Câu (2,0 điểm) Chọn chữ đứng trước đáp án đúng: 1. Giá trị biểu thức

– 3 –

x x + x x=101 bằng:

A.1000 B. 10000 C. 100000 D. 1000000 2. Thương phép chia ( ) ( )

– – : –

x x +x x là:

A.

1

x + B x2 C. x+1 D x2+5

3. Kết phân tích đa thức

2x +5 – 3x thành nhân tử là: A. (2 – 3x )(x+1) B. (2 – 1x )(x+3) C. (2x+3)(x– 1) D (2x+1)(x– 3) 4. Phân thức

( 1) x x x

−

− có kết rút gọn là: A

x

− B

x

− C x

x +

− D. x

x + 5. Tứ giác sau có hai đường chéo nhau:

A. Hình thang B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Hình thoi 6. Hình thang ABCD (AD // BC) có Aˆ =100° thì:

A. Dˆ = °80 B. Cˆ=100° C. Bˆ= °80 D. Bˆ=100° 7. Hình thoi có hai đường chéo 6cm 8cm có cạnh bằng:

A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm

8. Diện tích tam giác cân có cạnh đáy 8cm cạnh bên 5cm là: A

24cm B 20cm2 C 15cm2 D. 12cm2

Câu (1,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)

–

x x +x b) x2 – 4xy– 16 4+ y2

Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức ( ) ( )( ) ( )2

4 – – 1 –

A=x x+ x x+ + x

b) Tìm giá trị x để A có giá trị

Câu (1,5 điểm) Thực phép tính: a) 2 2

2

x

x + x− +x x+ b) 212 :4 16

4

x x

x x x

− −

+ + +

(86)

Câu (3,5 điểm) Cho ∆ABCvuông A AB( <AC), đường caoAH Gọi M trung điểm BC D, điểm đối xứng với Aqua M tia đối tia HAlấy điểm Esao cho

HE = HA

a) Chứng minh HM/ /ED HM = DE b) Chứng minh ABDC hình chữ nhật

c) Gọi P Q, hình chiếu Elên BD CD EP, cắt AD K Chứng minh DE=DK

d) Chứng minh điểm H P Q, , thẳng hàng

Câu (0,5 điểm)

Tìm x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau: 2 2

(x−z) +(y−z) +y +z =2xy−2yz+6z−9 -Hết -

HƯỚNG DẪN

Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8

Đáp án D A B C C C C D

Câu (1,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)

–

x x +x b) x2 – 4xy– 16 4+ y2 Hướng dẫn

a) 3 2 ( 2 ) ( )2

– 2 1

x x + =x x x − x+ =x x−

b) 2 2 2 2 ( )2 2 ( )( )

– – 16 – 4 – 16 4

x xy + y =x xy+ y = x− y − = x− y+ x− y−

Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức ( ) ( )( ) ( )2

4 – – 1 –

A=x x+ x x+ + x

b) Tìm giá trị x để A có giá trị Hướng dẫn

a) Ta có:

( ) ( )( ) ( )2

4 – – 1 –

A=x x+ x x+ + x

( )

2 2

4 4

x x x x x x

= + − − + − + = − + b) Ta có:

2

3

A= ⇔ − + = ⇔x x = ⇔ = ±x Vậy:

Câu (1,5 điểm) Thực phép tính:

(87)

a) 2 2

2

x

x + x− +x x+ b) 212 :4 16

4

x x

x x x

− −

+ + +

Hướng dẫn

a) Ta có:

2

2 2

2 ( 2)

x x

x + x− +x x+ = x+ x− +x x+

2

2( 2) ( 2)( 2)

( 2) ( 2) ( 2)

x x x x x x x

x x x x x x x

− + + − + − −

= = = =

+ + +

b) Ta có:

2 2

12 16 3(4 ) 3( 4)( 2)

:

4 ( 2) 4( 4) ( 2) 4( 4) 4( 2)

x x x x x x

x x x x x x x x

− − = − + = − − + = −

+ + + + − + − +

Câu (3,5 điểm) Cho ∆ABCvuông A AB( <AC), đường caoAH Gọi M trung điểm BC D, điểm đối xứng với Aqua M tia đối tia HAlấy điểm Esao cho

HE = HA

a) Chứng minh HM/ /ED HM = DE b) Chứng minh ABDC hình chữ nhật

c) Gọi P Q, hình chiếu Elên BD CD EP, cắt AD K Chứng minh DE=DK

d) Chứng minh điểm H P Q, , thẳng hàng Hướng dẫn

a) Chứng minh MHlà đường trung bình ∆AED b) Xét tứ giác ABDCcó:

M trung điểm BC (gt)

M trung điểm AD (D đối xứng với A quaM ) ⇒ ABDClà hình bình hành

Mà BAC= °90 ⇒ ABDC hình chữ nhật c) CBD =BDE (2 góc so le trong,BC/ /DE)

 

CBD=MDB (∆MBD cân, có lập luận) ⇒ ∆DEK cân D(có lập luận) ⇒ DE=DK

d) Chứng minh PHlà đường trung bình ∆AEK ⇒PH / /AK , tức PH/ /AD (1)

Gọi I giao điểm PQvới ED⇒I trung điểm ED Chứng minh PIlà đường trung bình ∆DEK⇒PI/ /DK

(88)

Mà I∈PQ K; / /∈AD⇒PQ AD(2) Từ (1) (2) ⇒H P Q, , thẳng hàng

Câu (0,5 điểm)

Tìm x y z, , thỏa mãn đẳng thức sau: (x−z)2+(y−z)2+y2+z2 =2xy−2yz+6z−9 Hướng dẫn

- Biến đổi dạng: (x– y–z) (2+ y–z) (2+ z– 3)2 =0 Lập luận x=6, 3, 3y= z=

- Ghi chú: cách làm khác, cho điểm tối đa

(89)

TRƯỜNG THCS THÀNH CÔNG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I MƠN TỐN LỚP Năm học: 2014 – 2015 I Trắc nghiệm (2 điểm) Điền vào chỗ trống (…)

Câu 1: Viết gon biểu thức 2 2 ( )2

25x −20xy+4y = − Câu 2: Kết phép chia ( 2) ( )

2 :

x + xy+y x+y =

Câu 3: Áp dụng quy tắc đổi dấu để viết lại phân thức 22

8

y y

y x

− =

− +

Câu 4: Rút gọn phân thức: ( ) ( )( )

2

4

4 16 4

x x

x x

x x x x x

+

+ = = =

− + −

Câu 5: Hình ……… có hai đường chéo vng góc với hình vng Câu 6: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyển ………

Câu 7: Biết độ dài hai đáy hình thang 24cm 40cm, độ dài đường trung bình hình thang ………

Câu 8: Biết độ dài đường chéo độ dài cạnh hình chữ nhật 10cm 8cm, diện tích hình chữ nhật ………

II. Tự luận (8 điểm)

Bài (1đ): Phân tích đa thức thành nhân tử a)

4y −8y b) 6x−6y−x2+2xy−y2

Bài (1đ): Tìm x, biết:

a) 8x x( − + − =3) (x 3) b)

5 14 x − x− =

Bài (1đ): Tính giá trị biểu thức A=(x−2)(x+ − −3) (x 4)(x+ +4) (x x−3)tại x= −

Bài (1đ): Cho 2

3 12

4 16

x x x x

B

x x x

− − +

= − +

− + − Với x≠4 x≠ −4,chứng minh giá trị biểu thức B không phụ thuộc vào biến x

(90)

Bài (3,5đ): Cho hình vng ABCD Lấy điểm E cạnh BC, điểm F thuộc tia đối tia DC cho BE=DF Qua A kẻ đường thẳng vng góc với EF H, cắt CD K Qua E kẻ đường thẳng song song với CD, cắt AK I

a) Tứ giác ABEI hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh ∆ABE= ∆ADF Từ suy AE= AF AE⊥AF c) Chứng minh tứ giác FIEKlà hình thoi

d) Chứng minh ba điểm B H D, , thẳng hàng

Bài (0,5đ): Tìm cặp số nguyên dương (x, y) biết: xy−2x−3y+ =1 ĐÁP ÁN

I Trắc nghiệm : (2 điểm)

Câu 1.Viết gon biểu thức 2 2 ( )2

25x −20xy+4y = −

Hướng dẫn

( )2

2

25x −20xy+4y = 5x−2y

Câu 2: Kết phép chia ( 2) ( )

2 :

x + xy+y x+y =

Hướng dẫn

( 2 2) ( ) ( ) (2 )

2 : :

x + xy+y x+y = x+y x+y = +x y

Câu 3: Áp dụng quy tắc đổi dấu để viết lại phân thức 22

y y

y x

− =

− +

Hướng dẫn

2

8y 8y

y x y x

− =

− + −

Câu 4: Rút gọn phân thức: ( ) ( )( )

2

4

4 16 4

x x

x x

x x x x x

+

+ = = =

− + −

Hướng dẫn ( )

( ) ( ( )( ) )

2

3

4

16 16 4

x x x x

x x

x x x x x x x x

+ +

+ = = =

− − + − −

Câu 5: Hình ……… có hai đường chéo vng góc với hình vng

Hướng dẫn

Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc hình vng

(91)

Câu 6: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyển ………

Hướng dẫn

Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh

Câu 7: Biết độ dài hai đáy hình thang 24cm 40cm, độ dài đường trung bình hình thang ………

Hướng dẫn

Biết độ dài hai đáy hình thang 24cm 40cm, độ dài đường trung bình hình thang

( 24 + 40 ) : = 32 (cm)

Vậy điền : Biết độ dài hai đáy hình thang 24cm 40cm, độ dài đường trung bình hình thang 32 cm

Câu 8: Biết độ dài đường chéo độ dài cạnh hình chữ nhật 10cm 8cm, diện tích hình chữ nhật ………

Hướng dẫn

Độ dài cạnh cịn lại hình chữ nhật : 2

10 −8 =6(cm)

Diện tích hình chữ nhật : = 48 (cm2)

Vậy điền : Biết độ dài đường chéo độ dài cạnh hình chữ nhật 10cm 8cm, diện tích hình chữ nhật 48 (cm2)

II Tự luận : (8,0 điểm)

Bài (1đ): Phân tích đa thức thành nhân tử

a )

4y −8y b) 6x−6y−x2+2xy−y2

Hướng dẫn

a) 4y2−8y=4 y y( −2) b) 6x−6y−x2+2xy−y2 =6(x−y)−(x2−2xy+y2) ( ) ( )2

6 x y x y

= − − −

=(x−y)(6− +x y)

Bài (1đ): Tìm x, biết:

(92)

a ) 8x x( − + − =3) (x 3) b)

5 14 x − x− =

Hướng dẫn

a ) 8x x( − + − =3) (x 3)

⇔(x−3 8)( x+ =1)

3

1

8 x x

x x

=  − =

 

⇒ ⇒ −



+ = =

 

Vậy 3;

8 x∈  − 

 

b)

5 14 x − x− =

2

7 14

x x x

⇔ − + − =

( 7) (2 7)

x x x

⇔ − + − =

(x 7)(x 2)

⇔ − + =

7

2

x x

− = =

 

⇒ ⇒

+ = = −

  Vậy x∈ −{ 2; 7}

Bài (1đ): Tính giá trị biểu thức A=(x−2)(x+ − −3) (x 4)(x+ +4) (x x−3)tại x= −

Hướng dẫn Ta có : A=(x−2)(x+ − −3) (x 4)(x+ +4) (x x−3) = ( )

3 16

x + x− x− − x − +x − x = 2

2x −2x− −6 x +16

2 10

x x

= − + Thay

2

x= − vào biểu thức A rút gọn , ta có : A =

2

1 1

2 10 10 11

2 4

− −

  − + = + + =  

  Vậy

2

x= − 111 A=

Bài (1đ): Cho 2 29 12

4 16

x x x x

B

x x x

− − +

= − +

− + − Với x≠4 x≠ −4,chứng minh giá trị biểu thức B không phụ thuộc vào biến x

(93)

Hướng dẫn Với x≠4 x≠ −4,

2

3 12

4 16

x x x x

B

x x x

− − +

= − +

− + −

=

( )( )

2

3 12

4 4

x x x x

− − +

− +

− + − +

( )( ) ( )

( )( )

2

3 4 12

4

x x x x x x

x x

− + − − + − +

=

− +

( )( )

2 2

12 12

4

x x x x x x

x x

+ − − + + − + =

− +

0 16 x

= =

−

Vậy với x≠4 x≠ −4, biểu thức B không phụ thuộc vào biến x

Bài (3,5đ): Cho hình vngABCD Lấy điểm E cạnh BC, điểm F thuộc tia đối tia DC cho BE=DF Qua A kẻ đường thẳng vng góc với EF H, cắt CD K Qua E kẻ đường thẳng song song với CD, cắt AK I

a)Tứ giác ABEIlà hình gì? Vì sao?

b)Chứng minh ∆ABE= ∆ADF Từ suy AE= AF AE⊥ AF c)Chứng minh tứ giác FIEKlà hình thoi

d)Chứng minh ba điểm B H D, , thẳng hàng

Hướng dẫn a) Vì ABCD hình vng

/ / , / /

AB CD AD BC

AB BC CD DA



⇒  = = =



Lại có EI / /CD⇒EI/ /AB nên tứ giác ABEI hình thang

Mà ABE = °90 nên ABEIlà hình thang vng

b) tam giác vng ABEvà tam giác vng ADFcó :

AB=AD ; BE=DF

1

2

Q I

K H

F C

A

B

D

E

(94)

ABE ADF

⇒ ∆ = ∆ (c.g.c)⇒AE= AF ; Aˆ1= Aˆ2 Nên Aˆ1   

2

ˆ

DAE A DAE

+ = + ⇒ FAE =DAB FAE= °90 ⇒ AE⊥AF c)Chứng minh ∆AEF vuông cân A có AH ⊥EF

⇒AH đường trung trực EF AH phân giác FAE Mà I,K thuộc AH ⇒IE=IF KE; =KF (1)

∆IEF cân I có IH đường cao⇒IH phân giác FIEIˆ1 =Iˆ2

Lại có IE // FK Kˆ1=Iˆ2 nên Iˆ1 =Kˆ1⇒∆FIK cân F⇒FI=FK(2)

Từ (1) (2) ta có IE=EK =KF =FI ⇒ tứ giác FIEK hình thoi d) Chứng minh ba điểm B H D, , thẳng hàng

Trên đoạn thẳng DC lấy điểm Q cho DQ=FD FED

∆ có : H trung điểm FE , D trung điểm FQ ⇒DH đường trung bình ∆FED⇒DH / /EQ (1)

Vì BC=CD , BE=Q(=FD) ⇒BC–BE=CD–DQ ⇒CE=CQ ⇒ ∆ECQ vuông cân C⇒ CQE= °45

Lại có DB đường chéo hình vngABCD⇒ DB phân giác ADC ⇒ CDB= °45 Nên CDB =CQE mà hai góc đồng vị ⇒DB/ /EQ (2)

Từ (1) (2) ⇒ D B H, , thẳng hàng

Bài (0,5đ): Tìm cặp số nguyên dương (x, y) biết: xy−2x−3y+ =1

Hướng dẫn Ta có xy−2x−3y+ =1

( 2) (3 2)

x y y

⇒ − − − =

(y−2)(x− =3)

Mà x∈Z y, ∈Z nên x−3;y−2là ước Ta có bảng :

x−

2

y−

x

y

Vậy ( ) ( ) ( )x y; ∈{ 4; ; 8;3 }

(95)

Trường THCS Nguyễn Trường Tộ

Lớp: ……….

Họvà tên: ………

ĐỀTHI HỌC KÌ I MƠN TỐN 8 NĂM HỌC 2016 – 2017

Thời gian: 90 phút

I.Trắc nghiệm: (2 điểm)

Câu 1: Mỗi câu sau hay sai?

a) Trong hình thang cân, hai góc đối bù

b)Tứ giác có hai đường chéo vng góc hình thoi Câu 2: Chọn đáp án

a) Kết rút gọn phân thức 2

9

x x x x



  là: A

9 2 x B

x

x C

x x

 D

2

3

x x

  b)Mẫu thức chung hai phân thức

6

x

x  x  là:

A.x2 4x 12 B x 2x3 C x 1x 6 D x 1x 2

II. Tự luận

Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) x3 4x2 8x 8 b) 4x4 1 c) x x2 4x2 4

Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức 25 : 26

1 2

1

x B

x x

 

 

    

 

 

 

a) Tìm x để giá trị biểu thức B xác định rút gọn biểu thức B b) Với giá trị x 2B 1

c) Chứng minh B0

Bài 3: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A M trung điểm cạnh BC Từ

M kẻ MD vng góc với AB D ME vng góc với AC E a) Chứng minh tứ giác ADME hình chữ nhật

b) Gọi P điểm đối xứng D qua M Q; điểm đối xứng E qua

M Chứng minh tứ giác DEPQ hình thoi

c) Chứng minh: BC 2DQ

d) BQ cắt CP I Chứng minh ba điểm A M I, , thẳng hàng

Bài 4: (0,5 điểm) Xác định số a thỏa mãn 2x2 ax 1 chia cho x 3 dư 4.

(96)

HƯỚNG DẪN I. Trắc nghiệm: (2 điểm)

Câu 1: Mỗi câu sau hay sai?

a) Trong hình thang cân, hai góc đối bù

b)Tứ giác có hai đường chéo vng góc hình thoi

Hướng dẫn

Câu a) Đúng Câu b) Sai

Câu 2: Chọn đáp án

a) Kết rút gọn phân thức 2

9

x x x x



  là: A

9 2 x B

x

x C

x x

 D

2

x x 



b)Mẫu thức chung hai phân thức

x

x  x  là:

A x2 4x 12 B x 2x3 C x 1x 6 D x 1x 2

Hướng dẫn

a)  

 

2

2 3

3

9 3

x x

x x x

x

x x x



  



   , chọn B

b) x2 5x  6 x 1x 6nên mẫu chung: x 1x 6, chọn C II. Tự luận

Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) x3 4x2 8x 8 b) 4x4 1 c) x x2 4x2 4

Hướng dẫn

 

    

  

3

2

) 8

2 4 2 4

2

a x x x

x x x

x x x x x

x x x x

x x x

  

   

     

    

   

(97)

             2 2 2 2

)

2

2 2

b x x

x x x x

x x x

                                  

2 2

2

) 4

4

2 1

c x x x x x x x x

x x x x

  

   

  

    

Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức 25 : 26

1 2

1 x B x x x x               

a) Tìm x để giá trị biểu thức B xác định rút gọn biểu thức B b) Với giá trị x 2B 1

c) Chứng minh B0

Hướng dẫn a) B xác định x2     1 0 x 1

            2 2 2

5

2 :

1 2

1

2 1 1

6 1

2 6 x B x x x x

x x x x x x

x x

x x x x

x B                                                2 2

) 2

2

6

2

2 b B x x x x              

  x ( khơng thỏa điều kiện)

Vậy khơng có giá trị x để 2B 1 2

)

x

c B    x2 0;x2  2 0 nên 2 0

x  

Bài 3: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A M trung điểm cạnh BC Từ

M kẻ MD vng góc với AB D ME vng góc với AC E

(98)

a) Chứng minh tứ giác ADME hình chữ nhật

b) Gọi P điểm đối xứng D qua M Q; điểm đối xứng E qua

M Chứng minh tứ giác DEPQ hình thoi

c) Chứng minh: BC 2DQ

d) BQ cắt CP I Chứng minh ba điểm A M I, , thẳng hàng

Hướng dẫn

a) Tứ giác ADME hình chữ nhật A D E 900

b) Tứ giác DEPQ hình bình hành MD MP ME; MQmà DP QE( Tứ giác

ADME hình chữ nhật) nên hình thoi

màDQ ME( tứ giác DEPQ hình thoi) nên BC 2DQ //

//

MB MC

EA EC

ME AB

MB MC

DA DB

MD AC

 

  

 

 

  

 

nên DE đường trung bình tam giác ABC hay

2

BC  DE

màDQ ME( tứ giác DEPQ hình thoi) nên BC 2DQ

c) Tứ giác DMQP hình bình hành MQ ME DADB MQ DB// mà  900

D  nên hình chữ nhật suy raABQ 900

Tương tự: tứ giác EMBC hình bình hành MP MD EAEC //

MP EC mà E 900 nên hình chữ nhật suy raACI 900

Tứ giác ABIC hình chữ nhật A B C 900 mà M là trung điểm BC nên M trung điểm AI,hay ba điểm A M I, , thẳng hàng

Bài 4: (0,5 điểm) Xác định số a thỏa mãn 2x2 ax 1 chia cho x 3 dư

Hướng dẫn

2x ax1 x3

2

2x −6x 2x+ +a (a+6)x

A

B

M

D E

C

P Q

I

(99)

(a+6)x−3a−18 3a+18

2x ax1 chia cho x 3 dư 18 14

a a 

    

(100)

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP (2018-2019)

Thời gian: 120 phút

Bài 1. (2.5 điểm)

Cho biểu thức: 2 :1 22

1 1

x A

x x x x

−

 

= + − 

+ − − −

 

b) Tính giá trịbiểu thức A biết 3x+ =5

c) Tìm số nguyên x đểbiểu thức A có giá trịnguyên dương Bài 2. (2.5 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 2

4x −12xy+5y

b) 2

(x+ +y )z + + −(x y z) −9z

c)

2019 2018 2019

x + x + x+

Bài 3. (1 điểm)

Tìm hệ số a b c, , cho đa thức 3x4+ax2+bx+cchia hết cho đa thức(x−2)và chia cho đa thức

(x −1)được thương dư ( 7− −x 1) Bài 4. (3,5 điểm)

Cho tam giácABC nhọn (AB>AC) có góc B 450 vẽđường cao AH Gọi M trung điểm AB P điểm đối xứng với Hqua M

a) Chứng minh AHBP hình vng

b) Vẽđường cao BKcủa tam giácABC Chứng minh HP=2MK

c) Gọi D giao điểm AH BK Qua Dvà Cvẽcác đường thẳng song song với BC AHsao cho chúng cắt Q Chứng minh P K Q, , thẳng hàng

d) Chứng minh đường thẳng CD AB, PQ đồng quy Bài 5. (0,5 điểm)

a) ( Chỉ dành cho lớp 8B,8C,8D,8E )

Cho số a b c, , khác đôi thỏa mãn: a2−2b=c2−2a Tính giá trị biểu thức A=(a+ +b 2)(b+ +c 2)(c+ +a 2)

b) ( Dành cho lớp 8A )

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3 2

2

P=x +y + x y biết x y số thực thỏa mãn điều kiện x+ =y

(101)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP (2003-2004)

Thời gian: 120 phút Bài 1. Cho biểu thức: 2 :1 22

1 1

x A

x x x x

−

 

= + − 

+ − − −

 

c) Tìm số nguyên x đểbiểu thức A có giá trịnguyên dương Lời giải

a) Điều kiện xác định

1 x x

≠ ±   

≠ 

3(1 ) ( 1)(1 )

(1 )( 1) (1 )(1 ) (1 )(1 )

x x x x

A

x x x x x x x

 − +  − +

= + − 

− + − + − + −

 

3 ( 1)(1 )

(1 )(1 )

x x x x

A

x x x

 − + + −  − +

=  − +  −

 

4 ( 1)( 1)

(1 )(1 ) (1 )

x x x

A

x x x

− − +

=

− + −

2 ( 1)( 1)

( 1)(1 ) (1 )

x x x x

A

x x x x

+ − + +

= =

− + + −

Ta có: 5 1;

3 x+ = ⇔ x+ = ± ⇔ ∈ − −x  

 

Đối chiếu điều kiện loại x= −1

Thay

3

x= − ta tính 17 A= −

c) Tìm số ngun x đểbiểu thức A có giá trịngun dương * Tìm x để Angun:

Ta có: 2x+ = − −4 (1 )x nên 1 A

x

= −

−

Để Anguyên chỉkhi chia hết cho 2− x⇒ −1 2x∈ −{1; 1;5; 5− }⇒ ∈x {0;1; 2;3− } * Đối chiếu điều kiện loại x=1

* Thửtrực tiếp chọn x=0 Bài 2. (2.5 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

(102)

a) 2

4x −12xy+5y

b) 2

(x+ +y )z + + −(x y z) −9z

c)

2019 2018 2019

x + x + x+

Lời giải

a) 2

4x −12xy+5y

Ta có: 2

4x −12xy+5y =(2x−y)(2x−5 )y

b) 2

(x+ +y )z + + −(x y z) −9z Ta có:

2 2

2

( ) ( )

( ) ( )( )

( )(2 2 )

2( )( )

x y z x y z z

x y z x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

+ + + + − −

= + + + + + + −

= + + + −

c)

2019 2018 2019

x + x + x+

Ta có:

4

2

2019 2018 2019 ( ) 2019( 1)

( 1)( 1) 2019( 1)

( 1)( 2019)

x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

+ + +

= − + + +

= − + + + + +

= + + − +

Bài 3. (1 điểm)

Tìm hệ số a b c, , cho đa thức 3x4+ax2+bx+cchia hết cho đa thức(x−2)và chia cho đa thức

(x −1)được thương dư ( 7− −x 1) Lời giải

Biểu diễn phép chia đẳng thức

4

1

3x +ax +bx+ =c (x−2) ( ),q x ∀x (1)

4 2

2

3x +ax +bx+ =c (x −1)q x( ) 7− x− ∀1, x (2) Thay x=2vào (1) thu 4a+2b c+ = −48 Thay x=1vào (2) thu a b c+ + = −11 Thay x= −1vào (2) thu a b c− + =3 Giải ta được: a=10,b= −7,c=6 Bài 4. (3,5 điểm)

Cho tam giácABCnhọn (AB>AC) có góc B 450 vẽđường cao AH Gọi M trung điểm AB Plà điểm đối xứng với Hqua M

a) Chứng minh AHBPlà hình vng

(103)

c) Gọi Dlà giao điểm AHvà BK Qua Dvà Cvẽcác đường thẳng song song với BCvà AHsao cho chúng cắt Q Chứng minh P K Q, , thẳng hàng

d) Chứng minh đường thẳng CD AB, PQ đồng quy Lời giải

a) Chứng minh AHBPlà hình vng

Vì M trung điểm ABvà PHnên tứgiác AHBPlà hình bình hành Do AH ⊥BHnên AHBPlà hình chữ nhật

Vì góc 

45

ABH = nên AHBvng cân H Vậy AHBP hình vng

Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông ABK suy AB=2MK Dùng kết quảcâu a suy HP= AB HP=2MK

c) Gọi Dlà giao điểm AHvà BK Qua Dvà Cvẽcác đường thẳng song song với BCvà AHsao cho chúng cắt Q Chứng minh P K Q, , thẳng hàng

Từ 

2 90

HP= MK ⇒PKH =

Chứng minh tương tự: QKH=900

Kết hợp đểsuy 

180

PKQ= hay Chứng minh P K Q, , thẳng hàng d) Chứng minh đường thẳng CD AB, PQ đồng quy

Gọi Elà giao điểm PQvà AB; F trung điểm BC

Ta có: ME/ /HQ ( vng góc với PH ) mà M trung điểm PH nên MElà đường trung

bình tam giác PHQsuy Etrung điểm PQ ⇒EFlà đường trung bình hình

thang PBCQ

( )

2

EF PB CQ

⇒ = + 1( )

2 BH HC 2BC

= + = ⇒EBCvuông E suy BEC=900 Mặt khác ta có: CD⊥ ABdo D trực tâm tam giác ABC

F

Q

M D

E

K

H A

B C

P

(104)

Như vậy, CD AB E D C, ,

CE AB

⊥

 ⇒

 ⊥

 thẳng hàng

Kết luận: CD AB, PQ đồng quy Bài 5. (0,5 điểm)

a) ( Chỉ dành cho lớp 8B,8C,8D,8E )

b) ( Dành cho lớp 8A )

2

Lời giải a) ( Chỉ dành cho lớp 8B,8C,8D,8E )

Biến đổi:

2

a − b=c − a (a b a− )( +b)=2b−2c

(a b a− )( + +b) 2a−2b=2b−2c+2a−2b (a b a− )( + +b 2)=2(a−c)

Tương tự:

(b c b− )( + +c 2)=2(b−a) (c−a c)( + +a 2)=2(c b− )

Nhân vế theo vếtương ứng đẳng thức lập luận ta thu A=8 b) ( Dành cho lớp 8A )

2

Biến đổi:

3 2 2

2 ( ) ( )

P=x +y + x y = x+y − xy x+y + x y

2

2 2( )

4

P= x y − xy+ = xy− −

Do x+ =y ta chứng minh xy≤

Suy 1

4−xy≥ ⇒ ≥ − ⇒ ≥2 P P

Dấu đẳng thức xẩy

2 x= =y

(105)

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2000-2001

Thời gian: 120 phút Bài Cho 2 : 3 22

1 1

a a

M

a a a a a

   

= +   − 

+ − − + −

   

a) Rút gọn M tìm M biết 2a− =1 b) Tìm a∈ để M∈

c) Tìm a để M =7; Tìm a để M >0 Bài Tìm x biết:

a)

4 12

x − x + x− = b)

4 x −x − =

c) ( )( ) (2 )

2x+1 x+1 2x+3 =18

Bài Xác định hằng số a b, cho: (x4−7x3+4x2+ax b+ ) chia hết cho đa thức

( )

4 x − x+

Bài 4. Cho tam giác ABC vng góc đỉnh A Đường cao AH, dựng phía ngồi tam giác hình vng ABMN ACIK, Chứng minh rằng:

a) Ba điểm M A I, , thẳng hàng; b) Tứgiác CKNB hình thang cân;

c) AH qua trung điểm D NK đường thẳng AH IK MN, , cắt điểm E;

d) Các đường thẳng AH CM BI, , đồng quy AN2 =NK2−AK2 Bài a) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn

6

3

x A

x − =

+

b) Cho tứ giác lồi ABCD E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB AD, Gọi

;

G=AE∩BF H =CF∩BD Chứng minh SEFGH =SAGB+SDHC

Nếu M N, nằm hai cạnh lại tứ giác cho MENF hình chữ nhật

MENF ABCD

S =S

(106)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2000-2001

Thời gian: 120 phút Bài 1. Cho 2 : 3 22

1 1

a a

M

a a a a a

   

= +   − 

+ − − + −

   

a) Rút gọn Mvà tìm M biết 2a 1− =1 b) Tìm a∈để M∈

c) Tìm ađể M =7;Tìmađể M >0

Lời giải

a) 2 : 3 22

1 1

a a

M

a a a a a

    = +   −  + − − + −     ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 2

2

2 2

1

:

1 1 1

1

:

1 1 1

a a a

a a a a a a

a a a a

a a a a a

   +  = + + +   − − − + −         + +   +  =   −  + + − + −     ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2

1 2a

:

1 1

1

1 1

a a a

a a a a a a + + − + = + + − + − + + = + − ( )( ) ( ) 2 2 1 1 1 a a a a a a a a a + − + + = + − + + = −

ĐKXĐ: a≠1

( )

a 2a 1 2a

2a 1

2a 1 2a a L TM =  − = =   − = ⇔ ⇔ ⇔  − = − = =   

Thay a=0vào biểu thức M , ta có

2

0 1

M = + + = −

−

Vậy với 2a 1− =1thì M = −1

b) 2

1 a a M a a a + + = = + + − −

Để M∈thì ∈ ⇔ − ∈ ( )

− 

3

1 ¦

1 a

a

(107)

( ) ( ) ( ) ( )

4

2

1

1 0

a TM

a

a TM

a

a a TM

=  − =

 

 − = −  = − 

⇒ ⇒ 

 − =  =

 − = − 

  =

Vậy để M∈thì a∈{4;2; 2;0− } c)

( )

( )( )

2

1

7 7

1

6

a a

M a a a

a

a a a a

+ +

= ⇔ = ⇔ + + = −

−

⇔ − + = ⇔ − − =

( )

2

a TM

=  ⇔ 

= 

Vậy với a∈{ }2;4 M=7

2

1

0

1

a a

M

a

+ + > ⇔ >

−

Mà 2 3

1

2 4

a + + =a a+  + ≥ >

 

1

a a

⇒ − > ⇔ >

Kết hợp với ĐKXĐ: a≠1 Vậy với a>1 M >0 Bài Tìm x biết:

a) x4−4x2+12x− =9 0.

b)

4 x −x − =

c) ( )( ) (2 )

2x+1 x+1 2x+3 =18

Lời giải a)

4 12

x − x + x− =

( ) ( )

( )

4

4 3 2

3

9 12

3 9

( 1) ( 1) ( 1) 9( 1)

( 1)

− − − =

− + − − + + − =

− + − − − + − =

− + − + =

x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x

(108)

( )

3 2

2 2 2

( 1)

( 1) ( 3) ( 3) 3( 3)

( 1)( 3)

1

3

2

1 (VL) − + − − + + =   −  + − + + + = − + − + = − + − + = − =   ⇒ + =  − + =   =   ⇒ = −   − + = 

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x x

Vậy x=1;x= −3 b)

4 x −x − =

( )

3 2

2

( 2) ( 2)( 2)

( 2)

2 2

1

0 (VL)

2 − + − = − + − + = − + + = − =  ⇒  + + =  =   ⇒  +  + =     

x x x

x x x x

x x x

x

x x

Vậy x=2

c)

(2x+1)(x+1) (2x+ =3) 18

[ ] ( ) ( ) 2 2 2

( 1) (2 1)(2 3) 18 ( 1) 1 18 ( 1) 4( 1) 18 ( 1) 18

+ + + =   +  + + − = + + − = + +    + = 

x x x

x x

x x x

Đặt ( )2

1

x+ =a, ta có phương trình:

(4 − =1) 18⇒4 − −18=0

a a a a

2

4 18 ( 2) 9( 2) ( 2)(4 9)

⇒ a + a− a− = ⇒ a a+ − a+ = ⇒ a+ a− =

2

9

4

4 = − + =   ⇒  − = =    ⇒  a a a a

Với a= −2 ta có: (x+1)2 = −2 (vơ lý)

(109)

Với

a= ta có:

3

1

9 2

( 1)

3

4

1

2

 + =  =

 

+ = ⇒ ⇒

 + = −  = −

 

 

x x

x

x x

Vậy 1; 2

x= x= −

Bài Xác định hằng số a b, cho: ( )

7

x − x + x +ax b+ chia hết cho đa thức

( )

4 x − x+

Lời giải Cách

Ta có:

4 ( 1)( 3) x − x+ = x− x− Để ( )

7

x − x + x +ax b+ chia hết cho đa thức (x2−4x+3 ) Thì (x4−7x3+4x2+ax b+ ) có nghiệm x=1 x=3, đó:

4 2

4

2 35

7

3 72 72 33

3 7.3 4.3

a b a b a

t t t a t b

a b a b b

a b

 − + + ⋅ + − + − =  + = =

⇔

 + − =  + = = −

− +

 

⇔ ⇔

 + =

 + ⋅  

Thử lại ta thấy thỏa mãn Cách

Thực phép chia đa thức ( )

7

x − x + x +ax b+ cho đa thức (x2−4x+3) ta thương (x2−3x−11) và dư (a−35)x b+ +33

Để ( ) ( ) ( ) 35 35

7 4 35 33

33 33

− = =

 

− + + + − + ⇒ − + + = ⇒ ⇒

+ = = −

 

 a a

x x x ax b x x a x b

b b

Vậy a=35;b= −33 hai giá trị cần tìm

Bài 4. Cho tam giác ABC vng góc đỉnh A Đường cao AH, dựng phía ngồi tam giác hình vng ABMN ACIK, Chứng minh rằng:

a) Ba điểm M A I, , thẳng hàng; b) Tứgiác CKNB hình thang cân;

c) AH qua trung điểm D NK đường thẳng AH IK MN, , cắt điểm E;

d) Các đường thẳng AH CM BI, , đồng quy AN2 =NK2−AK2 Lời giải

(110)

a) Ba điểm M A I, , thẳng hàng;

Theo giảthiết: BAC= °90 mà BAN =CAK = °90 Nên BAN CAK ; hai góc đối đỉnh

Do AM AI, đường chéo hình vuông ABMN ACIK, Suy AM AI, tia phân giác BAN CAK ;

Ta có:    MAI MAN NAK KAI= + + =45 900+ +450 =1800

Vậy ba điểm M A I, , thẳng hàng b) Tứgiác CKNB hình thang cân;

Xét hình vng ABMN có AM BN, hai đường chéo nên AM ⊥BN ( )1 Tương tự: AI⊥CK ( )2

Mà M A I, , thẳng hàng (3)

Từ(1); (2); (3) suy BN CK// ⇒BCKN hình thang (*)

Mặt khác: BK =BA+AK = AN+AC=CN (cạnh hình vng ABMN ACIK, ) (**) Từ(*); (**) suy tứgiác BCKN hình thang cân

c)

Cách 1: Gọi H’ giao điểm DA BC

( )  ( )4

ABC ANK c g c C K

∆ = ∆ − − ⇒ =

Lại có ∆ADK cân D: K =DAK ( )5 Mặt khác  DAK=BAH' 6( )

Từ(4); (5); (6) suy C =BAH' Lại có C =BAH

F D

P E

H

K

I N

M

C B

A

(111)

Do BAH '=BAH ⇒ AH'≡AH hay AH qua trung điểm D NK Cách 2:

( )

ABC ANK c g c

∆ = ∆

 

ANK ABC

⇒ = mà  ABC HAC= (cùng phụ góc C)

và HAC DAN = (đối đỉnh)

 

DNA DAN

⇒ =

NDA

⇒ ∆ cân tạiD

DN DA

⇒ = (+)

Chứng minh tương tự: DA DK= (++) Từ (+) (++), ta có DN DK=

Vậy D trung điểm NK

+ Gọi E giao điểm MN IK

Xét tứgiác ANEK có:   A=N =K= ° ⇒90 ANEK hình chữ nhật Mặt khác D trung điểm NK nên D trung điểm AK Theo chứng minh trên: AH qua D

Do AH qua E Hay đường thẳng AH MN IK, , đồng quy E d) Các đường thẳng AH CM BI, , đồng quy AN2 =NK2−AK2

ABC KEA BC AE

∆ = ∆ ⇒ =

Lại có MBC =90° +B EAB ; =90° +B (góc ngồi dỉnh A tam giác ABH)

 .

MBC EAB

⇒ =

Xét ∆MBC ∆BAE có: BM =BA (cạnh hình vng)  

MBC=EAB (cmt)

( )

BC=AE cmt Suy

( )  

MBC BAE c g c BMC ABE

∆ = ∆ − − ⇒ =

Mà  ABE+EBM = ° ⇒90  BMC+EBM = ° ⇒90 MC⊥EB Chứng minh tương tự: BI ⊥EC

Xét ∆EBC có EH BI CM; ; đường cao nên cắt điểm Các đường thẳng AH CM BI, , đồng quy

+ Xét ∆ANK vuông A, theo định lý Pytago ta có:

2 2 2

NK = AN +AK ⇒AN +NK −AK

(112)

Bài a) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn 2

3

x A

x − =

+

b) Cho tứ giác lồi ABCD E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB AD, Gọi

;

G=AE∩BF H =CF∩BD Chứng minh SEFGH =SAGB+SDHC

Nếu M N, nằm hai cạnh cịn lại tứ giác cho MENF hình chữ nhật

MENF ABCD

S =S

Lời giải

a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2

3

x A

x

− =

+

( )

2

6

* 1

3

6 1

1

1 1,

3

x A

x

x x

A

x x

A x

x

−

= − +

+

− − −

= +

+ −

= − ≤ ∀

+

Dấu “=” xảy x =

Vậy giá trị lớn A là 1 khi x =

( )

2

6

* 3

3

6

3

3 3,

3

x A

x

x x

A

x x

A x

x

−

= + −

+

− + +

= −

+ +

= − ≥ − ∀

+

Dấu “=” xảy x= −

Vậy giá trị nhỏ A là -3 khi x= − b)

G

H

E F

A

D

B

C

(113)

a) Chứng minh SEGFH =SAGB+SDHC Nối AC; FE

Có SACF =SDCF; SACE =SABE

1

2

ACF ACE DCF ABE ABCD AECF DCF ABE ABCD

S S S S S S S S S

⇒ + = + = ⇒ = + =

Có SCEF =SBEF;SAEF =SDEF ⇒SCEF−SAEF =SBEF −SDEF CHE HDF GBE AGF CHE AGF GBE HDF

S S S S S S S S

⇒ − = − ⇒ + = + (1)

Mà

2

AECF DCF ABE ABCD GEHF CHE AGF DCH HDF AGB GBE

S =S +S = S ⇒S +S +S =S +S +S +S (2)

Từ (1) (2) ⇒EGFH=SAGB+SDHC b) Chứng minh rằng: MENF ABCD

S = S

Kẻ MP⊥BC P ; OI ⊥BC I ; NQ⊥BC Q ; Suy OI là đường trung bình hình thang MPQN

2

MP NQ

OI +

⇒ =

Ta có: 1

2

MBE MCE

S = S = MP BC

1

NQ

2

NCE NBC

S = S = BC

( )

1 1 1

NQ .BC

2 4

NCE MBE NBC MCE

S S S S BC MP BC MP NQ BC OI

⇒ + = + = + = + =

NCE MBE BOC

S S S

⇒ + =

Mà

2 BCO BFC

S = S

2 NCE MBE BFC

S S S

⇒ + =

I

Q

P

N

M

O G H

E F

C

B D

A

(114)

Chứng minh tương tự, ta có: ED

1 AMF DNF A

S +S = S

Do SAED+SBFC =SABCD−SAGB −SDHC+SFGEH =SABCD (do theo câu a, SAGB+SDHC =SFGEH)

Ta được: ED D

1 1

2 2

NCE MBE AMF DNF A BFC ABC

S +S +S +S = S + S = S

1 MENF ABCD

S S

⇒ = (ĐPCM)

Bài 1. Cho biểu thức 2 22 22

1 2

:

2 4

y x x y

A

x y y x x y x y

 − −   + 

= + −   + 

− − + −

   

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị A biết x− =1 2; y=2001 c) Chứng minh A>0

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử :

a)

2

x +x + x + +x

b) 2

2 2 a − ab+ + b− a− b

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

P= x − x−

Bài 4. Cho hình vng ABCD , M trung điểmAB.Gọi N giao điểm củaDM CB a) CMR: TứgiácANBD hình bình hành

b) Kẻtia Cx song song với DN Cx, cắtAB P CMR: Tứgiác MNPC hình thoi I

Q

P

N

M

O G H

E F

C

B D

A

(115)

c) Tứ giác DNPC có phải hình thang khơng? Có phải hình thang câ khơng? Vì sao?

d) Gọi Glà trọng tâm tam giác NDC.CMR: SGDC =SGNC =SGDN

Bài 5.

a) Chứng minh 1

a  b c a  b c abc 2

1 1

2 a b c  ( với a  b c 0 a  b c )

b) Cho tứgiác ABCD ;các đường thẳng AB CD; cắt E Gọi F G; theo thứ tự trung

điểm đường chéo AC BD; Chứng minh EFG ABCD

S  S

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

MƠN TỐN LỚP (2001-2002) Thời gian: 120 phút

Bài 1. Cho biểu thức 2 22 : 22 22

2 4

y x x y

A

x y y x x y x y

 − −   + 

= + −   + 

− − + −

   

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị A biết x− =1 2; y=2001 c) Chứng minh A>0

Lời giải a) Đk: 2x≠ ±y x; ≠0

2 2

1 2

:

2 4

y x x y

A

x y y x x y x y

 − −   + 

= + −   + 

− − + −

   

( )( ) ( )( ) ( ( )( ) ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2

:

2 2 2 2 2

x y

x y y x x y x y

A

x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y

 + − − −   + − 

= − −   + 

− + − + − + − + − +

   

( )( ) ( )( )

2 2 2

2 4

:

2 2

x y y x x y x y x y

A

x y x y x y x y

+ − + + − + + + −

=

− + − +

( )( ) ( )( )

2

:

2 2

x x x

A

x y x y x y x y

− +

=

− + − +

( )( ) ( )( )

2

x y x y

x x

A

x y x y x

− +

=

− +

2

5

x x

A

x

− +

=

(116)

Vậy với 2x≠ ±y x; ≠0 2 2 x x A x − + =

b) Ta có 2

1

x x x x x − = =   − = ⇔ ⇔ − = − = −  

+) Thay x=3;y=2001 (thỏa mãn đk) vào biểu thức A, ta được:

2

3 2.3

5.3 5.3

A= − + = =

+) Thay x= −1; y=2001 (thỏa mãn đk) vào biểu thức A, ta được:

( ) ( ) ( )

2

1 2 5

A= − − − + = =

−

Vậy: Với x=3;y=2001 A=

Với x= −1; y=2001 A=1 c) Với 2x≠ ±y x; ≠0 ( )

2 2 1 2 5 x x x A x x − + − + = =

Với 2x≠ ±y x; ≠0 ta có: ( )

2

1

5

x x

 − + > 

 > 

( )2 1 x A x − +

⇒ = > (đpcm)

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử :

a)

2

x +x + x + +x

b) 2

2 2 a − ab+ + b− a− b

Lời giải Ta có :

a) 2( ) ( )( )

2 1 1

x +x + x + + =x x x + + +x x + + =x x + +x x +

b) 2 2 2 ( ) ( ) (2 )2 2

2 2 1

a − ab+ + b− a− b =a − a b+ + +b − +b − b + b+

( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 2 2 2

1 1 2

3 1

a b b b b b a b b a b b a b b

a b a b

= − − − − − − + + = − − − = − − − − − +

= − − + −

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

P= x − x− Lời giải Trường hợp

5 x≥ Ta có

2

2 7

2 5

4 8

P= x − x− = x − x+ = x−  + ≥

 

Dấu “=” xảy chỉkhi

x= ( thỏa điều kiện)

(117)

Trường hợp x< Ta có:

2

2 57 57

2 5

4 8

P= x − x− = x + x− = x+  +− ≥−

 

Dấu “=” xảy rakhi chỉkhi

x=− ( thỏa điều kiện) Từđó kết hợp hai trường hợp ta có 57

8 P≥ −

Bài 4. Cho hình vng ABCD , M trung điểmAB.Gọi N giao điểm củaDM CB a) CMR: TứgiácANBD hình bình hành

b) Kẻtia Cx song song với DN Cx, cắtAB P CMR: Tứgiác MNPC hình thoi c) Tứgiác DNPC có phải hình thang khơng? Có phải hình thang cân khơng? Vì sao?

d) Gọi Glà trọng tâm tam giác NDC.CMR: SGDC =SGNC =SGDN Lời giải

a) CMR: TứgiácANBD hình bình hành + Xét ∆AMD ∆BMNcó:  

90

DAM =NBM = ; AM =MB gt( );  AMD=BMN (đối đỉnh) Nên ∆AMD= ∆BMN g c g( )

Nên AD=NB

Xét tứgiác ANBDcó: AD/ /NB AD; =NB Do tứgiácANBD hình bình hành b) CMR: Tứgiác MNPC hình thoi

Xét ∆NMB ∆CBPcó: MBN =PBC=900; BN =BC gt( );  MNB=BCP (so le trong) K

G

P N

M

D C

B A

(118)

Nên ∆NMB= ∆CBP g c g( ) Nên MN =CP

Xét tứgiác MNPCcó: MN/ / CP; MN=CP Do tứgiácMNPC hình bình hành Mà CN ⊥MP B

Do đó: Tứgiác MNPC hình thoi

c) Tứ giác DNPC có phải hình thang khơng? Có phải hình thang câ khơng? Vì sao?

Xét tứgiác DNPCcó: CP/ /DN Nên tứgiác DNPC có hình thang

+Tứgiác DNPC có phải hình thang cân khơng? Vì sao?

Đặt AB=a a( >0) Mà tứgiác ABCDlà hình vng nên AB=BC=a Vậy NC=2a

Ta có: ;

2

a a

AD=a AP= + =a Xét ∆APD vng A có:

2

2 13 13

2

a a a

PD= a +  = =

 

Ta thấy NC ≠PD

Nên tứgiác DNPC hình thang cân d) CMR: SGDC =SGNC =SGDN

Do Glà trọng tâm tam giác NDC Nên NG đường trung tuyến Gọi NG cắt CD K

Ta có: SDGK =SGKC (Cùng chiều cao hạ từ G xuống BC mà DK =KC ) (1) DNK NKC

S =S (Cùng chiều cao hạ từ N xuống BC mà DK =KC ) (2) Mặt khác SDNK =SNDG+SDGK (3)

NKC NGC GKC S =S +S (4)

Từ (1);(2);(3) (4) nên SNDG =SNGC

+ Chứng minh tương tự lại có: SNGC =SDGC Vậy SGDC =SGNC =SGDN

Bài 5.

a) Chứng minh 1

a  b c a  b c abc 2

1 1

2 a b c  ( với a  b c 0 a  b c )

(119)

b) Cho tứgiác ABCD ;các đường thẳng AB CD; cắt E Gọi F G; theo thứ tự trung

điểm đường chéo AC BD; Chứng minh EFG ABCD

S  S

Lời giải

a) Ta có:a b c abc a b c

abc  

     1 1

abbcca  Mặt khác ta có :

2

2 2

1 1 1 1 1

2

a b c a b c ab bc ac

   

           

   

 

   

2

2 2

1 1

2 2.1

a b c

     nên ta 12 12 12 2

a b c    ( đpcm )

b)

Ta có SEFG SEFGCSGCE SEFCSGFC(SGDESGDC) EFC GFC GDC DGE

S S S S

    (1)

Mặt khác ta có G F; trung điểm BD AC; nên AGD BAD

S  S ;

2 GDC BCD

S  S

1 EFC EAC

S  S ; 1( ) 1

2 2 4

GFC GAC DAC AGD GDC DAC ABD BCD

S  S  S S S  S  S  S

1 GDC BCD

S  S ;

2 DGE EBD

S  S

Thay vào (1) ta : 1( ) 1( )

2

EGF EAC DAC BCD EBD ABD BCD

S  S S S S  S S

Mà SABD SBCD SABCD SEAC SDAC SEAD SEBD SBCD =SEBC

Do SEACSDACSBCDSEBD SEAD SEBC SABCD

Vậy 1

2 4

EGF ABCD ABCD ABCD

S  S  S  S ( đpcm )

G F

E A

D

C B

(120)

Thời gian: 120 phút Bài 1. Cho biểu thức 32

4

:

2

a a a

A

a a a a a a a

 + 

= − −  −

− − + +

 

a) Rút gọn A

b) Tìm a∈Z để A=4

c) Tìm giá trị nhỏ A Bài 2. a) Cho

( )

P x =x − x − x +ax b+ ; Q x( )=x2+2x−3 Xác định a b cho ( ) ( )

P x Q x

b) Tìm

: 34

x∈Q x + x − x + x+ =

Bài Cho hình vngABCD có cạnha M điểm đường thẳng BC(M khácB C)

Vẽ hình vngAMEN Tia AM cắt DCtại Q, tia NAcắt CBtại P Gọi I trung điểm PQ

a) Chứng minh ba điểm N D C, , thẳng hàng ∆APQvuông cân

b) Gọi Olà giao điểm AEvà MN Xác định dạng tứgiácAOKI(Klà giao điểm NM với PQ)

c) Chứng minh rằng: khiM di động đường thẳngBCthì Ovà Iln di động đường thẳng cốđịnh

d) Xác định vị trí Mtrên đường thẳng BCsao cho diện tích hình vng

2

4 AMEN = a

Bài 4. Biết x y z t

y+ +z t = z+ +t x = x+ +y t = x+ +y z

Tính giá trịbiểu thức sau : P x y y z z t t x

z t t x x y y z

+ + + +

= + + +

+ + + +

Bài 5.

a) Cho ∆ABC điểm D cạnh AB cho AD>DB Xác định điểm E cạnh AC cho đoạn DE chia ∆ABCthành hai phần có diện tích

b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 5xyz= +x 5y+7z+10 c) Cho hình chữ nhật ABCD Điểm M cạnh AB cho

3 AM = AB

Điểm Ntrên cạnh CD cho

3

DN = DC Điểm P cạnh BC cho BP= BC

Điểm Q

(121)

trên cạnh AD cho

DQ= DA Gọi E F, giao điểm AP cắt DM BN, G H, giao điểm CQ cắt BN DM, Tính diện tích tứgiác EFGH , biết diện tích ABCD S

Bài 1. Cho biểu thức 2 32 2 : 3

2

a a a

A

a a a a a a a

 + 

= − −  −

− − + +

 

a) Rút gọn A

b) Tìm a∈Z để A=4

c) Tìm giá trị nhỏ A

Lời giải

a)ĐểA xác định

0

2 2

a a

 ≠  ≠

 − ≠ ⇒ ≠

 

 + ≠  ≠ −

 

2

2 3

2

2 2

2

4

:

2

4 ( 2)( 4)

( 2) ( 2)( 2) ( 2)

2 ( 2)( 4)

( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)

2 ( 2)( 4)

( 2)( 2)

a a a

A

a a a a a a a

a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a

a a a a

 + 

= − −  −

− − + +

 

 +  + − +

= − −  −

− − + +

 

 + + −  + − +

= − −  −

− + − + − +

 

− + − +

= −

− +

2 2

2 4 2

3

a a a a a a a

a a a

− + − + − − − +

= − = =

b) Để A=4 −2a2−22a+4=4 a

(122)

2 2

2

4

6

0

6

2(3 2)

2( 1)(3 2)

1 (nhan)

2

3 (nhan)

3

− − +

⇒ − =

− − +

⇒ =

⇒ − − + =

⇒ − + − =

= −  + =

 

⇒ ⇒



− = =

 

a a

a

a a

a

a a

Vậy với a= −1

a= A=4 c)Ta có

2

2 4

2

− − +  

= = − − + = −  −

 

a a

A

a a a a

Vì

2

2 a

 −  ≥

 

  , ∀ ≠a 0;a≠2;a≠ −2

2

2 9

2 4

a

 

⇒ −  − ≥ −

  , ∀ ≠a 0;a≠2;a≠ −2

4 A

⇒ ≥ − , ∀ ≠a 0;a≠2;a≠ −2 Dấu xảy

2

0 4( )

2

−

− = ⇒ a = ⇒ − = ⇒ =a a nhan

a a

Vậy GTNN A

4

A= − a=4

Bài 2. a) Cho

( )

P x =x − x − x +ax b+ ; Q x( )=x2+2x−3 Xác định a b cho ( ) ( )

P x Q x

b) Tìm

: 34

x∈Q x + x − x + x+ =

Lời giải

a) Ta có : (Sử dụng quy tắc cộng)

(123)

4 2

3

2

3 2 3

2 5 6

5

5 10 15 ( 15)

6 12 18

( 27) ( 18)

x x x ax b x x

x x x x x

x x ax b

x x x

x a x b

x x

a x b

− − + + + −

+ − − +

− − + +

− − +

+ − +

+ −

− + +

Để P x Q x( ) ( ) ( 27) ( 18) 27 18 27 18 = 

− + + = ⇒ − = + = ⇒ 

= − 

a

a x b a b

b

b)

3x +2x −34x +2x+ =3

4 3 2

3x −9x +11x −33x −x +3x− + =x

( ) ( ) ( ) ( )

3

3x x− +3 11x x− −3 x x− − − =3 x

( )( )

3 11

x− x + x − − =x

( )( 2 )

3 12

x− x −x + x − x+ x− =

( ) 2( ) ( ) ( )

3 3

x− x x− + x x− + x− =

( )( )( )

3

x− x− x + x+ =

( )( ) ( )2

3 3

x− x−  x+ − = TH1:x− = ⇒ =3 x

TH2: 1

3 − = ⇒ =

x x

TH3: ( )2

2 x+ − = ( )2

2

x+ = x+ = ±2 x= ± 3−2 Vậy 2; ;31

3 x∈ ± − 

 

4

3x +2x −34x +2x+ =3

Bài Cho hình vngABCD có cạnh a M điểm đường thẳng BC(M khácB C)

Vẽ hình vuôngAMEN Tia AM cắt DCtại Q, tia NAcắt CBtại P Gọi I trung điểm PQ

a) Chứng minh ba điểm N D C, , thẳng hàng ∆APQvuông cân

b) Gọi Olà giao điểm AEvà MN Xác định dạng tứgiácAOKI(Klà giao điểm NM với PQ)

(124)

c) Chứng minh rằng: khiM di động đường thẳngBCthì Ovà Iluôn di động đường thẳng cốđịnh

d) Xác định vị trí Mtrên đường thẳng BCsao cho diện tích hình vng

2

4 AMEN = a

Lời giải

a) Ta có:  NAD=MAB (cùng phụ với MAD) Xét ∆ADNvà ∆ABM có:

  ( )  

90

AD AB

NAD MAB ADN ABM c g c ADN ABM

AN AM

= 



= ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = =



= 

⇒ ND⊥ AD, mà DC⊥AD, từđó suy ba điểm N D C, , thẳng hàng

Ta có tứgiác AMENlà hình vng, suy raNAM =900⇒PAM=900⇒ ∆APQvng A

Mà tứgiácAMENlà hình vng, suy raNAM=900 ⇒ANM =450

Xét ∆NPQcó đường caoPC QA, cắt M ⇒Mlà trực tâm, suy NM ⊥PQ, mặt

khác NM ⊥ AE, từđó suy PQ/ /AE⇒ APQ=NAE=450(đồng vị) Do ∆APQvng cân A

b) Ta có ∆APQvng cân A, có AIlà trung tuyến suy raAI⊥PQ⇒ =I 900

(125)

Xét tứgiác AOKIcó O =K= =I 900⇒ tứgiác AOKIlà hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

c) Ta có

IA=IC= PQ⇒I

  thuộc trung trực AC⇒ ∈I BD

Mà

OA=OC= MN⇒O

  thuộc trung trực AC⇒ ∈O BD

Từđó suy khiMdi động đường thẳngBCthì Ovà I ln di động đường

thẳng cốđịnh BD

d) Ta có diện tích hình vng

4

AMEN = a ⇒ AM = a

Xét ∆ABM vuông B ta có: BM2 =AM2−AB2 =4a2−a2 =3a2 ⇒BM =a Vậy Mthuộc đoạn thẳng BCsao choBM =a 3thì diện tích hình vng

2

4 AMEN= a

Bài 4. Biết x y z t

y+ +z t = z+ +t x= x+ +y t = x+ +y z(1) Tính giá trịbiểu thức sau : P x y y z z t t x

z t t x x y y z

+ + + +

= + + +

+ + + +

Lời giải

*) TH1: x= = =y z t ( thỏa mãn (1))

Ta có : x+ = +y z t y; + = +z t x z; + = +t x y; t+ =x yz 1 1

P= + + + = *) TH2: x≠ ≠ ≠y z t

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :

( ) ( )

x y x y x y

y z t z t x y z t z t x y x

− −

= = = = −

+ + + + + + − + + − ⇒ = − + + ⇔ + = − +x (y z t) x y (z t) Tương tự ta có : y+ = − +z (t x) ; z t+ = − +(x y t); + = − +x (y z)

Từđó P= − − − − = −1 1 Bài 5.

a) Cho ∆ABC điểm D cạnh AB cho AD>DB Xác định điểm E cạnh AC cho đoạn DE chia ∆ABCthành hai phần có diện tích

b) Tìm nghiệm ngun dương phương trình: 5xyz= +x 5y+7z+10 c) Cho hình chữ nhật ABCD Điểm M cạnh AB cho

3 AM = AB

Điểm Ntrên cạnh CD cho

3

DN = DC Điểm P cạnh BC cho BP= BC

Điểm Q

(126)

trên cạnh AD cho

DQ= DA Gọi E F, giao điểm AP cắt DM BN, G H, giao điểm CQ cắt BN DM, Tính diện tích tứgiác EFGH , biết diện tích ABCD S

Lời giải a)

Lấy điểm F đối xứng với A qua D

Từ B kẻđường thẳng song song với FC cắt AC E

Gọi I giao điểm BC FE

Thật vậy, ta có: SBFC =SEFC(chung đáy, đường cao nhau)

( )

BFI IFC EIC IFC

BFI EIC

BFI DEIB EIC DEIB

DEF DECB

S S S S

S S

S S S S

S S

⇔ + = +

⇔ =

⇒ + = +

⇒ =

Mà SADE =SDEF (D trung điểm AF)

ADE DECB

S S

⇒ =

Vậy điểm E dựng thỏa mãn yêu cầu toán

b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 5xyz= +x 5y+7z+10 1( ) * Xét x=1, thay vào (1) ta được: 5yz=5y+7z+ ⇔11 (5y−7)(z− =1) 18

Vì y z, ∈Z+ ⇒(5y−7;z− ∈1) ({1;18 ; 18;1 ; 2;9 ; 9, ; 9; ; 3; ; 6;3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

(127)

Trong trường hợp có TH: t/m( )

1

y y

z z

− = =

 ⇔

 − =  =

 

* Xét x≥2 : 1( )⇔5y+7z+10=x(5yz− ≥1) 10yz−2

( )( )

10 12

20 10 14 24

10 31

yz y z

y z

⇔ − − ≤

Do 10y− ≥ ⇒7 2z− =1 1(Do 31 số nguyên tố)

z

⇒ = ⇒ thay vào phương trình (1) ta

( )( )

5 17

5 1 18

yx x y

y x

= + +

⇔ − − =

Vì x y, ∈Z+ 5y−1,x− ∈1 ¦ 18( ) Mà 5y− ≥1

⇒ Xét trường hợp:

( ) ( )

( )

19 18

lo¹i

1 2

5

tm

1

7

lo¹i

1

4

y y

x x

y y

x x

y y

x x



− = =

 ⇔

 − = 

  =

− = =

 

⇔

 − =  =

 



− = =

 ⇔

 − = 

  =

Vậy phương trình có nghiệm ngun dương (1;2;7) (3;2;1)

c)

Ta có:

2

5 3

15

AME MEP AMP ADE DEP ADP

AD CD

S S S

EM PB AM

ED = S = S = S = CD AD = AD CD =

4 19 EM DM

⇒ =

(128)

Gọi ; I∈DC DI = DC

Ta chứng minh được: AMID hình chữ nhật H

⇒ trung điểm AI DM

2

4 11

1

19 38 DH

DM

HE EM DH

DM DM DM

⇒ = ⇒ = − − = − − = ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

1 1 2

1

2

FBP AFB ABP NCP ANF ANP

ABP

APCD NPC ADN

S S S

FB

NF S S S

S

S S S

AB BP

AD PC DC PC NC AD DN

AB CB

AD DC DN PC DC NC

AB CD

AD AB BC AB

= = = = − − = + − − = − + − = + 1 5

1 13 13 10 10

3

1

2

1

13 15 15

QNG

CNG ANC

CBG QGB ABC S

S S

NG

GB S S S

AD DC DQ NC DC AD AB BC NG NB

FB GF FB NG

FN NB NB NB

= = = + = = = = = = ⇒ = = ⇒ = − − = − − = ( )

( )

1 11 469 469

2 30 15 570 1140

EFGH BMDN

EH GF h

S EH GF

S BN DM h BN

EH GF DM BN + + = = +     =  + =  + = =    

Mà ( )

2

BMDN ABCD

AB BC

BM DN BC

S

S AB BC AB BC

+

= = =

(129)

469 469 469

1140 3420 3420 EFGH

EFGH ABCD

S

S S

S

⇒ = = ⇒ =

Bài Cho 2 42 : 32

2 2

x x x x

B

x x x x x x

 + −   + 

= − −   − 

− + −  − − 

 

a) Rút gọn B b) Tìm x để B<0 Bài 2. Tìm đa thức P x( ) biết:

( )

P x chia cho đa thức x+4 dư

( )

P x chia cho đa thức x−7 dư

( )

P x chia cho đa thức

3 28

x − x− thương 3x cịn dư

Bài 3. Cho hình vng ABCD, điểm E bất kỳtrên cạnh BC Tia Ax⊥AE cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G

a) Tam giác AEF tam giác gì? b) Tứgiác EGFK hình gì?

c) Chứng minh B I D, , thẳng hàng

d) Cho AB=a, tính chu vi tam giác ECK e) Chứng minh diện tích

2 ≤

AKE

S a

f) Dựng hình bình hành AEPF, chứng minh đỉnh P ln chạy đoạn thẳng cố định

Bài a) Tìm giá trị lớn biểu thức

( )2

2003 2004 x x

+ +

b) Cho x y z, , ≠0 thỏa mãn x 1 y 1 z 1

y z z x x y

 + +  + +  + = −

     

 

   

3 3

1 x +y +z = Tính giá trị P 1

x y z

= + +

(130)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TOÁN LỚP (2003-2004)

Bài Cho 2 42 : 32

2 2

x x x x

B

x x x x x x

 + −   + 

= − −   − 

− + −  − − 

 

a) Rút gọn B b) Tìm x để B<0

Lời giải Điều kiện x≠ ±2

a) 2 42 : 32

2 2

x x x x

B

x x x x x x

 + −   + 

= − −   − 

− + −  − − 

 

2 2

2

(2 ) ( 2)

:

4 (2 )

4

:

4 (2 )

4 ( 2) ( 2) ( 2)( 2)

4

3

x x x x

B

x x x x

B

x x x

x x x x

B

x x x

x x

B

x x



− + + − − +

=  −

−  − −

− − − −

=

− −

− + −

= ⋅

− + −

−

= =

− −

b) 0

3

x x

x B

x x

x

≠ ≠

 

= < ⇔ ⇔

− < <

−  

Vậy để B<0 x≠ ±2; x≠0 x<3 Bài 2. Tìm đa thức P x( ) biết:

( )

P x chia cho đa thức x+4 dư

( )

P x chia cho đa thức x−7 dư

( )

P x chia cho đa thức x2−3x−28 thương 3x dư Lời giải

Đa thức chia

3 28

x − x− có bậc nên đa thức dư có dạng ax b+ Khi ta có: ( ) ( ) ( )( )

3 28

P x = x − x− x+ax b+ = x+ x− x+ax b+ Theo định lí Bezout, ta có:

Do P x( )chia cho đa thức x+4 dư 2⇒P( )− =4 2⇒ − + = ⇒ =4a b b 4a+2 (1) Do P x( )chia cho đa thức x−7 dư 5⇒P( )7 =5⇒7a b+ =5 (2)

(131)

Thay (1) vào (2) ta có: 11 3 11 a+ a+ = ⇒ a= ⇒ =a

Thay

11

a= vào (1) ta có 34

11 11

b= + =

Vậy đa thức cần tìm là: ( ) ( ) 34 921 34

3 28 3

11 11 11 11

P x = x − x− x+ x+ = x − x − x+

Bài 3. Cho hình vuông ABCD, điểm E bất kỳtrên cạnh BC Tia Ax⊥AE cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G

a) Tam giác AEF tam giác gì? b) Tứgiác EGFK hình gì?

c) Chứng minh B I D, , thẳng hàng

d) Cho AB=a, tính chu vi tam giác ECK e) Chứng minh diện tích

2 ≤

AKE

S a

f) Dựng hình bình hành AEPF, chứng minh đỉnh P chạy đoạn thẳng cố định

Lời giải

a) Xét tam giác AEB AFDcó:  ABE= ADF =90o

AD= AB (cùng cạnh hình vng ABCD)  FAD=EAB (cùng phụ với góc EAD)

⇒ ∆ABE= ∆ADF(g.c.g) ⇒AF = AE Xét ∆AEF có =90o

EAF (gt) AF = AE (cmt) nên ∆AEF tam giác vuông cân A

b) Vì GE/ /FK nên EGK =GKF (so le trong) (1)

Ta lại có: Vì ∆AEF tam giác vng cân A có AI trung tuyến nên AI đường trung trực EF ⇒ KI đường phân giác góc EKF ⇒ FKA =AKE

(2)

L

H

P G

K I

F C

B A

D

E

(132)

Từ (1) (2) ta có:  EGK =GKE ⇒∆EGK cân E ⇒EG=EK (3) AI đường trung trực EF ⇒  =

= 

GF GE

KF KE (4)

Từ (3) (4) ta có: EG=GF =FK=KE ⇒EGFK hình thoi c) Gọi Llà giao điểm AD FI

Xét ∆ALI ∆FLD có: LAI =DFL (cùng phụ AKD)

 =

ALI FLD (đối đỉnh)

⇒ ∆ALI ∆FLD ⇒ AL = LI

FL LD ⇒ =

LI LD

LA LF

Xét ∆ALF ∆ILD có:  ALI =FLD (đối đỉnh) =

LI LD

LA LF

⇒ ∆ALF ∆ILD ⇒ AFL=LDI Mà    + = + =90o

AFL FAI LDI IDK ⇒IDK =FAI =45o =BDK ⇒ B I K, , thẳng hàng d) C∆ECK =EC+CK+KE =EC+CK+KF (AI đường trung trực EF)

=EC+CK+KD+DF

=EC+CD+BE (∆ABE= ∆ADF⇒BE=DF)

=BC+CD= a e) Xét ∆ADK ∆FCE có: CFE =DAK (cmt)

 FCE=ADK =90o ⇒ ∆ADK ∆FCE ⇒ AD = DK ≤1

FC CE ⇒DK ≤CE ⇒FK ≤BC=a Xét ∆AKF ∆AEK có: AK chung

AF = AE FK; =KE (AI đường trung trực EF)

⇒ ∆AKF = ∆AEK (c.c.c) ⇒S∆AEK =S∆AFK

= AD FK

2

≤ AD BC= a Dấu “=” xảy ⇔ AD=FC ⇔ ≡E B

f) Vì ∆AEF vng cân A nên hình bình hành AEPF hình vng ⇒ =45o

PFI

Ta có:   + = =45o

CAK KAD CAD =  PFI =PFK+KFI mà  KAD=IFK (cmt) ⇒PFK =KAC Xét ∆AKC ∆FKP có:  FKP=AKC (đối đỉnh)

 PFK=KAC (cmt)

(133)

⇒ ∆AKC∆FKP⇒ KA = KC

KF KP

Xét ∆PKC ∆KFA có:  PKC=FKA (đối đỉnh) =

KA KC

KF KP (cmt)

⇒ ∆PKC ∆FKA ⇒KCP =FAI =45o

Từ C kẻ đường vng góc với CA cắt AD H ⇒ H cố định ⇒ P nằm đường thẳng CH

Khi E≡ ⇒B F ≡D⇒ ≡P C

Khi E≡C ⇒F ≡điểm đối xứng C qua D ⇒ ≡P H Vậy P di động đoạn CH cốđịnh

Bài a) Tìm giá trị lớn biểu thức

( )2

2003 2004 x x

+ +

b) Cho x y z, , ≠0 thỏa mãn x 1 y 1 z 1

y z z x x y

 + +  + +  + = −

     

   

3 3

1 x +y +z = Tính giá trị P 1

x y z

= + +

Lời giải

a) Với x≤ −2003

( )2

2003

( )

2004 x f x

x

+

= ≤

+ ta xét f x( ) miền x> −2003

( )

f x > Bài tốn trởthành tìm giá trị nhỏ biểu thức ( )

f x với x> −2003

Ta có: ( 2003)2 2( 2003) ( 2003)

( ) 2003 2003

x x

x

f x x x

+ + + +

= = + + +

+ + , áp dụng BĐT AM-GM

ta có: ( 2003) 2 ( 2003)

2003 2003

x x

+ + + ≥ + + =

+ + , dấu xảy 2002

x= −

Vậy giá trị lớn f x( )

4 đạt x= −2002 b) Ta có

1 1 1

2 1

( )

1 1

x y z

y z z x x y

x y z

x y z x y z

 + +  + +  + = −

     

 

   

 

+ +  + + =

 

⇔ + =

+ ⇔

+

(134)

1 1

0

x y z x y z

⇔ + + − =

+ +

( )

x y x y

xy z x y z

+ +

⇔ + =

+ +

( ) x ( ) zy z

z x y

z x y z xy

+ + +

⇔ + =

+ +

(x y)(y z)(z x)

⇔ + + + =

( )3 3 3 3 ( )( )( ) 3 3 3

3

x y z x y z x y y z z x x y z

⇒ + + = + + + + + + = + +

Mặt khác

3

3 3

1 1

1

x y z x y z

 

+ + = =

  + +

 

3 3

1 x +y +z = Vậy P=1

Bài 1. Cho biểu thức M 2x2 x2 y2 2y2 2 x y 2

x x xy xy y xy x xy y

 −  +

= − − − 

+ + + +

 

a) Chứng minh 2

0

x +xy+y > ∀x y, ≠0 b) Chứng minh rằng: M x y

xy +

=

c) Tìm nghiệm nguyên phương trình M = −1 Bài 2. a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2

3 10

A=x +y + x− y− xy−

b) Chứng minh ( )3 3 3 3 ( )( )( )

3

x+ +y z −x −y −z = x+y y+z z+x Áp dụng: Cho x+ + =y z x3+y3+z3 =1 Tính 2005 2005 2005

B=x +y +z c) Cho

4

x − x+ = Tính

4 2

1 x x C

x

+ +

=

d) Tìm x:

15x −8x −14x −8x+15=0

Bài 3. Tìm hệ số a, b,c để f x( )=ax3+bx2+c chia hết cho (x+2), chia cho ( )

1 x − dư (x+5)

Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có O giao điểm hai đường chéo AC BD Lấy điểm P cạnh BD (P nằm O D) Gọi M điểm đối xứng với C

qua P

a) Chứng minh AMDB hình thang Xác định vịtrí điểm P BD để AMBD

là hình thang cân

(135)

b) Kẻ ME⊥ AD MF, ⊥ AB Chứng minh EF AC// E F P, , thẳng hàng c) Trên cạnh AB lấy điểm X , DC lấy điểm J cho AX =CJ lấy N

điểm tùy ý AD Gọi G giao điểm củaXJ NB, H giao điểm XJ

và NC Tính diện tích tứgiác AXJD theo SABCD =S Chứng minh AXGN NHJD GBCH

S +S =S

d) Gọi K điểm thuộc cạnh AB cho ADK =15o AB=2BC Chứng minh CDK

∆ cân

Bài 5. a) Tìm GTLN, GTNN 16 2 16 12

x A

x + =

+

b) Cho a b c, , ≠0 Chứng minh (a b c+ + )2 =a2+b2+c2 thì:

2 2

a b c

a + bc+b + ac+c + ab= 2 2 2

bc ca ab

a + bc+b + ca+c + ab =

HẾT

Bài 1. Cho biểu thức M 2x2 x2 y2 2y2 2 x y 2

 −  +

= − − − 

+ + + +

 

a) Chứng minh 2

0

x +xy+y > ∀x y, ≠0 b) Chứng minh rằng: M x y

xy +

=

c) Tìm nghiệm nguyên phương trình M = −1 Lời giải a) Ta có:

2

x +xy+y

2

2 2

y y y

x x     y

= + +  −  +    

2 2

3

2

y y

x

 

= +  +

 

Vì

2 y x

 +  >

 

  , ∀x y, ≠0;

2

3

y

> ,∀ ≠y nên

2

3

2

y y

x

 +  + >

 

  ,∀x y, ≠0

Vậy 2

0

x +xy+y > ,∀x y, ≠0 b) Với x y, ≠0, ta có:

(136)

2 2

2

x x y y x y

M

 −  +

= − − − 

+ + + +

 

( ) ( )

2 2

2

x x y y x y

x x x y xy y x y x xy y

 −  + = − − −  + + + +   ( ) ( ( )( ) ) ( ) 2 2 2

x y x y

x y y x x y

x xy x y xy x y xy x y x xy y

 − +  +   = − − − + + + + +     ( )( ) ( ) 2 2 2

x y x y x y y x x y

x xy x y x xy y

 − − + −  + = −   + + +     ( ) ( )( ) ( ) 2 2

xy x y x y x y x y

x xy x y x xy y

 − − − +  + = −   + + +     ( ) ( ) ( ) 2 2

x y xy x y x y

x xy x y x xy y

  −  − +  + = − + + + ( ) ( ) ( ) 2 2

x y x xy y x y

x xy x y x xy y

 

− − + +  +

= −

+ + +

2 x y x xy

−

= +

2y x y xy + − = x y xy + =

c) Với x y, ≠0, ta có: M = −1 x y xy + ⇔ = − x y xy + ⇔ + = x y xy

xy + +

⇔ =

0 x y xy

⇒ + + = 1 x y xy

⇔ + + + =

(x 1) (y x 1)

⇔ + + + =

(x 1)(y 1)

⇔ + + =

Vì x,y nghiệm nguyên nên (x+1),(y+1) ước 1

x+ x

−1 −2

1

(137)

1

y+ y

−1 −2

1

Kết hopwh điều kiện x y, ≠0, ta được: x= −2;y= −2

Vậy phương trình M = −1 có nghiệm nguyên x= −2;y= −2 Bài 2. a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2

3 10

A=x +y + x− y− xy−

b) Chứng minh ( )3 3 3 3 ( )( )( )

3

x+ +y z −x −y −z = x+y y+z z+x Áp dụng: Cho x+ + =y z x2+y2+z2 =1 Tính 2005 2005 2005

B=x +y +z c) Cho

4

x − x+ = Tính

4 2

1 x x C

x

+ +

=

d) Tìm x:

15x −8x −14x −8x+15=0 Lời giải

a) 2

3 10

A=x +y + x− y− xy−

2

2 3 10

=x + y − xy+ x− y−

( )2 ( )

3 10

= x−y + x−y −

( )2 ( ) ( )

5 10

= x− y + x−y − x−y − =(x− y)(x− + −y 5) (2 x− +y 5) =(x− −y 2)(x− +y 5)

b) VP = ( )3 3 3 3

x+ +y z −x −y −z

( )3 3 ( )2 ( ) 2 3 3 3

3

= x+ y +z + x+ y + x+y z −x −y −z

2 2 2

3x y 3xy 3x z 6xyz 3y z 3xz 3yz

= + + + + + +

2 2 2

3xyz 3x y zx 3x z 3xyz 3y z 3y x 3yz

= + + + + + + +

( ) ( 2)

3x yz xy z xz 3y xz yz xy z

= + + + + + + +

( )( ) ( )( )

3x x z y z 3y x z y z

= + + + + +

( )( )( )

3 x y y z z x

= + + + =VT

+) Do x+ + =y z x3+y3+z3 =1 nên

( )3 3 3 3 ( )( )( )

1

3

x+ +y z −x −y −z = x+y y+z z+x = − = Suy ba số (x+y), y+z, z+x phải có số Khơng tính tổng quát, giả sử y+ =z Khi

( )

1

x= − y+z =

2005 2005 2005

B=x +y +z

( )( )

2005 2004 2003 2002 2 2002 2003 2004

= x + y+z y −y ⋅ +z y ⋅z − + y ⋅z − ⋅y z +z

2005

0 x

= + =

(138)

Vậy B=1 c) Ta có

4

x − x+ = ⇒x2+ =1 4x Từđó suy x>0

2 2 2

1 16 15

x + = x⇔x + x + = x ⇔x +x + = x , thay vào C ta

4 2

2

1 15

15

x x x

C

x x

+ +

= = =

d)

15x −8x −14x −8x+15=0

4 3 2

15x 30x 15x 22x 44x 22x 15x 30x 15

⇔ − + + − + + − + =

( ) ( ) ( )

2 2

15x x 2x 22x x 2x 15 x 2x

⇔ − + + − + + − + =

( )( )2

15x 22x 15 x

⇔ + + − = (1)

Ta có

2

2 11 121 104 11 104

15 22 15 15 15 15

15 15 15

15 15

x + x+ = x + ⋅ ⋅ ⋅ +x + = x+  + >

  , ∀ ∈x ,

do PT(1) tương đương (x−1)2 = ⇔ =0 x 1

Bài 3. Tìm hệ số a, b,c để f x( )=ax3+bx2+c chia hết cho (x+2), chia cho ( )

1 x − dư (x+5)

Lời giải Vì f x( ) chia hết cho (x+2) nên f ( )− =2 Khi đó: − +8a 4b c+ =0 (1)

Gọi A x( ) thương phép chia f x( ) cho ( )

1 x − Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )

1 A

f x = x − x + x+

( )1 f = + + =a b c (2)

( )1 f − = − + + =a b c (3)

Lấy (2) - (3) ta được: 2a= ⇔ =2 a Thay a=1 vào (1) (2) ta được:

4b c+ =8 (4) b c+ = (5)

Lấy (4) – (5) ta được: 3b= ⇔ =3 b Thay b=1vào (4) ta được: c=4 Vậy a=1,b=1,c=4

Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có O giao điểm hai đường chéo AC BD Lấy điểm P cạnh BD (P nằm O D) Gọi M điểm đối xứng với C

qua P

a) Chứng minh AMDB hình thang Xác định vịtrí điểm P BD để AMBD

là hình thang cân

(139)

b) Kẻ ME⊥ AD MF, ⊥ AB Chứng minh EF AC// E F P, , thẳng hàng c) Trên cạnh AB lấy điểm X , DC lấy điểm J cho AX =CJ lấy N

điểm tùy ý AD Gọi G giao điểm củaXJ NB, H giao điểm XJ

và NC Tính diện tích tứgiác AXJD theo SABCD =S Chứng minh AXGN NHJD GBCH

S +S =S

d) Gọi K điểm thuộc cạnh AB cho ADK =15o AB=2BC Chứng minh CDK

∆ cân

Lời giải

a)

Chứng minh AMDB hình thang

Vì M điểm đối xứng với C qua P nên P trung điểm MC, O giao

điểm AC BD nên O trung điểm AC

⇒ OP đường trung bình ∆ACM ⇒OP MA// hay MA BD//

AMDB

⇒ hình thang

Xác định vịtrí điểm P trên BD để AMDB hình thang cân

AMDB hình thang cân ⇔  ABD=BDM mà  ABD=BDC (tính chất hình chữ

nhật)

 

MDB BDC DP

⇒ = ⇒ phân giác MDC P trung điểm MC

DP

⇒ trung tuyến ∆MDC Khi BD⊥MCtại P Hay P chân

đường vuông góc kẻ từ C đến BD

b) Chứng minh EF AC//

Dựa vào giả thiết tứ giác MFAE hình chữ nhật có góc vuông

 

⇒ MFE=FEA mà  FEA=MAE (1)

Vì MA DB// ⇒MAD = ADB (góc so le trong) (2)

Vì ABCD hình chữ nhật ⇒  ADB=DAC (3)

Từ(1), (2), (3) suy ra: MFE =DAC mà FEA DAC nằm vịtrí so le nên //

EF AC (4)

2 Chứng minh E F P, , thẳng hàng

Gọi O′ =MA∩EF từ chứng minh ta có O E AC′ // (5)

(140)

Ta có: O′ trung điểm MA, P trung điểm MC suy O P′ đường

trung bình tam giác MAC ⇒ O P AC′ // (6)

Từ(4), (5), (6) suy ra: E F P, , thẳng hàng

c)

Tính diện tích tứ giác AXJD theo SABCD =S

Vì AXJD có DJ ||AX  A= =D 90o Nên AXJDlà hình thang vng

( ) ( )

1 1

( )

2 2

AXJD

S DJ AX AD DJ AB XB AD DJ AB DJ AD

⇒ = + = + − = + −

1

2

S AB AD

= =

2 Chứng minh SAXGN +SNHJD =SGBCH (*)

Ta có: SGBCH =SXBCJ −SGXB−SJHC =SXBCJ −(SANB −SAXGN) (− SNDC −SNHJD)

Vậy chứng minh (*) tương đương với

( ) ( )

+ = − − − − ⇔ = +

AXGN NHJD XBCJ ANB AXGN NDC NHJD XBCJ ANB NDC

S S S S S S S S S S (*)(*)

Ta chứng minh (*) (*) Ta có

1 1

2 2

+ = + = +

ANB NDC

S S AN AB ND CD AN CD ND CD

( )

1

2

= AN +ND CD= AD CD

( )

1

2

XBCJ

S = BC XB+JC = AB CD

Vậy SXBCJ =SANB +SNDC nên (*) chứng minh

d)

(141)

Chọn P nằm ∆DKC cho ∆KPD Từ P kẻ PQ⊥DC

Vì ∆KPD ⇒ KDP=60o ⇒ PDQ =90o−15o−60o =15o

Xét ∆DAK vuông A ∆DQP vng Q có:

DK =PD (theo cách dựng ∆DPK)  ADK =PDQ=15o ⇒ ∆DAK = ∆DQP

(cạnh huyền – góc nhọn)

2 DC

AD DQ Q

⇒ = = ⇒ trung điểm DC

Mà PQ⊥DC⇒ ∆DPCcân P⇒ PCQ=15o

DP PC

⇒ = mà ∆KPD ⇒ DP=PC=PK =KD

 180o (15o 15o) 150o

DPC

⇒ = − + = ⇒ ∆KPC cân P Mà

=360o −(60o +150o)=150o ⇒  =15o

KPC PCK (vì ∆KPC cân P)

   15o 15o 30o

KCD PCQ PCK

⇒ = + = + =

Xét tam giác KCD có KDC =75 ;o KCD =30o ⇒ DKC=75o ⇒KDC =DKC DKC

⇒ ∆ cân C

Bài 5. a) Tìm GTLN, GTNN 16 2 16 12

x A

x + =

+

b) Cho a b c, , ≠0 Chứng minh (a b c+ + )2 =a2+b2+c2 thì:

2 2

a b c

a + bc+b + ac+c + ab= 2

2 2

bc ca ab

a + bc+b + ca+c + ab = Lời giải

a) Cách 1: (Sử dụng kiến thức lớp 9) Ta có:

( ) 2

2

16 16

12 16 16 12 16 16 12 16 16

12 x

A A x x Ax A x Ax x A

x +

= ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ − + − =

+

+ Nếu A= ⇒ −0 16x= − ⇔ =16 x

+ Nếu A≠0: ∆ = −′ ( )8 2−12A(3A−16)=64 36− A2+192A

Đểphương trình có nghiệm 2

0 64 36A 192A 9A 48A 16 ′

∆ ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − − ≤

(142)

( )2 ( )2

3 2.3 64 80 80 80 80

⇔ A − A + − ≤ ⇔ A− ≤ ⇔ − ≤ A− ≤

4 8

⇔ − + ≤ A≤ + 8

3 A

− + +

⇔ ≤ ≤

Vậy GTLN A

+

, GTNN A

− +

Cách 2:

2

16 16 2

12

x x A A x x + + = ⇒ = + +

Đặt 2

2

2 2 2

4

x

B x x x x

x B B B B

+

= ⇔ + = + ⇔ − + − =

+

( )2 2

2 2

1 1 1

2 2.2

2 4

B B

x x x

B B B B B B

+ −   ⇔ − + = + − ⇔ −  =   Vì 2 x B  −  ≥ ⇒     ( ) 2 2

1

0 4 2

4

B B

B B B B B

B

+ − ≥ ⇒ + − ≥ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤

5

5 2 5 2

2

B B − + B +

⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − + ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤

5 5 8

2 8A A

− + + − + +

⇒ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

Vậy GTLN A

+

, GTNN A

− +

b) Ta có ( )2 2 2 2

0 a b c+ + =a +b +c ⇔ab bc+ +ca=

Ta có: 2 ( ) ( ) ( )( )

2

a + bc=a +bc+bc=a +bc−ab ca− =a a b− +c b−a = a b− a−c Tương tự: ( )( )

2

b + ac= b−a b c− c2+2ab=(c−a)(c b− )

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2

2 2

a b c a b c

a bc b ac c ab a b a c b a b c c a c b

⇒ + + = + +

+ + + − − − − − −

( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ( ) )( ( )() )( )

2− − + 2− − + 2− −  − − − − − −

     

= =

− − − − − −

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

a b b c c a a b b c c a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2

− − − − +  − + − 

=

− − −

a b c b c a c b c c a

a b b c c a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2

− − − − + − + −

=

− − −

a b c b c a c b c c c a

a b b c c a

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

2 2

− − + − −

=

− − −

b c c a c a c b

a b b c c a

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

− −  + − +  =

− − −

b c c a c a c b

a b b c c a

( )( )( ) ( )( )( )

− − −

= =

− − −

b c c a a b

a b b c c a

(143)

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2

bc ca ab bc ca ab

a + bc+b + ca+c + ab = a b− a c− + b a b c− − + c a− c b−

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

− − + − − + − −

     

     

=

− − −

bc b c ca c a ab a b

a b b c c a

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

− − − − − −

=

− − −

bc b c ca c a ab a b

a b b c c a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

− − − − +  − + − 

=

− − −

bc b c ca c a ab b c c a

a b b c c a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

− − − − + − + −

=

− − −

bc b c ca c a ab b c ab c a

a b b c c a

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

− − + − −

=

− − −

b c ab bc c a ab ca

a b b c c a

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

− − + − −

=

− − −

b b c a c a c a b c

a b b c c a

( )( )( ) ( )( )( )

− − −

= =

− − −

b c c a a b

a b b c c a

Thời gian: 120 phút Bài 1. Cho biểu thức 2 22

2

:

2 2

x x x x x

A

x x x x x

 + −  −

= − − 

− − + −

 

a) Chứng tỏrằng x A

x =

− giá trị thích hợp biến b) Tính giá trị A 2x+ = +3 x

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) ( ) ( )( )

27

a − − −a a+ b) ( )4 4

4 x−a + a

c) (x+1)(x+2)(x+3)(x+ −4) 120 Câu 3. Cho ( ) ( )

2 ;

f x =x +ax + x b+ g x =x + +x a) Tìm a b, cho f x g x( ) ( )

b) Với a= =b Tìm x∈* cho f x g x( ) ( )

Câu Cho tam giác ABC, vuông A Đường thẳng d quay quanh A không cắt cạnh BC Kẻ BI , CK vng góc với d (I K, ∈d) Gọi E M D, , trung điểm AB, BC,

CA

a) Tứgiác AEMD hình ? Tại ?

b) G ∈ tia đối CK cho: CG=BI Chứng minh I M G, , thẳng hàng Và MI =MG

c) MK giao tia IB H Tứgiác IKGH hình ?

(144)

d) - Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện để tứgiác IKGH hình vng

- Khi tam giác ABC cốđịnh xác định d cho chu vi tứgiác IKGH lớn Câu 5. Cần cân cân đĩa để có thểcân khối lượng

có giá trị số nguyên từ1 đến số 13

HẾT

MƠN TOÁN LỚP (2003-2004) Thời gian: 120 phút

Bài 1. Cho biểu thức 42 2 : 22 33

2 2

x x x x x

A

x x x x x

 + −  −

= − − 

− − + −

 

a) Chứng tỏrằng

3

x A

x

=

− giá trị thích hợp biến b) Tính giá trị A 2x+ = +3 x

Lời giải a) Điều kiện: x≠0,x≠ ±2,x≠3

Ta có: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

2

2 2

2

2 2

2

:

2 2

:

4

2

4 4 4

x x x x x

A

x x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x x x

x x x x x x x x x x x x  + −  − = − −  − − + −   − + + − + − −  − =  −  −   − − − − − − + − + = ⋅ − − − − − − = ⋅ − − − = − − x x = − b) Ta có:

5 2

2 5

2

x x

x x x x

x x x > −   =   + = + ⇔ + = + ⇔ =−   + = − −  

Kết hợp điều kiện 0, 2, x≠ x≠ ± x≠ ⇒ =x −

(145)

Tại

x=− giá trị biểu thức A

2

8

256

8 51

3 A

−   ⋅   −

= =

−   −    

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) ( ) ( )( )

27

a − − −a a+

b) ( )4 4

4

x a− + a

c) ( )(x+1 x+2)(x+3)(x+4)−120

Lời giải a)

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

3

2

27

3 9

3 18

a a a

a a a a a

a a a a

a a a

− − − +

= − + + + − +

= − + + + +

= − + +

b)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4 4

2 2

2

2 2 2

2 2

4

2 .2 .2

2

2 2

x a a

x a a x a a x a a

x a a a x a

x a a a x a x a a a x a

− +

 

= −  +

 

= −  + + − − −

 

= − +  − − 

   

= − + − −   − + + − 

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

4

x a a x a a a x a a x a a a

x a a x a

x ax a x a

   

= − − − + +   − + − + + 

   

= − +   + 

= − + +

c)

(146)

( )( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

1 120

5 120

5 121

5 11

5 11 5 11

5 16

x x x x

x x

x x x x

+ + + + −

   

= + +   + + −

= + + + + + −

 

= + + + + + + −

 

= + + + −

= + + − + + +

= + − + +

Câu 3. Cho ( ) ( )

2 ;

f x =x +ax + x b+ g x =x + +x a) Tìm a b, cho f x g x( ) ( )

b) Với a= =b Tìm x∈* cho f x g x( ) ( ) Lời giải a) Chia đa thức

2

x + ax + x + b

1 x + +x

x + x + x x a+ −1

( )

1

a− x + x + b ( ) ( )

1 1

a− x + a− x + −a (2−a x) + − +b a

( ) ( )

f x g x chỉkhi 2

1

a a

b a b

− = =

 ⇔

 − + =  =

 

b) Với a= =b 2, f x( )=x3+2x2+2x+2 Chia đa thức

2 2

x + x + x +

1 x + +x

x + x + x x+1

2 x + x +

1 x + x +

Ta có: ( )( )

2 2 1

x + x + x + = x+ x + + +x Để f x g x x( ) ( ) , ∈*

1

x + +x phải ước

Do x∈* nên

1

x + + ≥x , khơng thểlà ước Vậy khơng có x thỏa yêu cầu

(147)

Câu Cho tam giác ABC, vuông A Đường thẳng d quay quanh A không cắt cạnh BC Kẻ BI , CK vng góc với d (I K, ∈d) Gọi E M D, , trung điểm AB, BC,

CA

a) Tứgiác AEMD hình ? Tại ?

b) G ∈ tia đối CK cho: CG=BI Chứng minh I M G, , thẳng hàng Và MI =MG

c) MK giao tia IB H Tứgiác IKGH hình ?

d) - Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện để tứgiác IKGH hình vng

- Khi tam giác ABC cốđịnh xác định d cho chu vi tứgiác IKGH lớn Lời giải:

a) Tam giác ABC có E M D, , trung điểm AB, BC, CA Suy EM MD hai đường trung bình ∆ABC

// // EM AD MD AE 

⇒ 

 ⇒ Tứgiác AEMD hình bình hành

Mà EAD= °90 (gt), nên tứgiác AEMD hình chữ nhật

b) Xét tứgiác IBGC có: IB=GC (gt) ( )1 IB GC// (cùng ⊥d)

⇒ Tứgiác IBGC hình bình hành

Mà M trung điểm BC (BC đường chéo hình bình hành IBGC)

⇒ M tâm hình bình hành IBGC M

⇒ trung điểm IG , ,

I M G

⇒ thẳng hàng MI =MG c) Xét BMH CMK có:

 

HBM =KCM (so le trong), MB=MC (gt), BMH =CMK (đối đỉnh)

(148)

BMH CMK

⇒ = (g-c-g)⇒BH =CK (hai cạnh tương ứng) ( )2 Từ ( )1 ( )2 suy ra: IB+BH =GC CK+ ⇔IH =KG ( )3

Ta có: IH KG// (cùng ⊥d) ( )4

Từ ( )3 ( )4 suy tứgiác IKGH hình bình hành Mà IKG= °90 (do KG⊥d)

Nên IKGH hình chữ nhật d)

Giả sử IKGH hình vuông cạnh a

Đặt IB=x (x<a), IA= y (y<a) Suy AK = −a y KC= −a x

Ta chứng minh 2

(CK−BI) +IK =BC

2 2 2 2

2

CK BI CK BI AI AK AI AK BI AI CK AK

CK BI AI AK

⇔ + − + + + = + + +

⇔ =

2

ax x ay y

⇔ − = −

( ) ( )( )

a x y x y x y

⇔ − = − + x y

a x y =  ⇔  = +



TH1: x= ⇒ ∆y IAB vuông cân I ⇒d tạo với AB góc 45o

TH2: a= + ⇒ = − ⇒x y x a y BI= AK ( )

BMI AMK c c c

⇒ ∆ = ∆ ⇒ BMI =AMK ⇒AMB= ° ⇒90 AM ⊥BM

⇒ ∆ABC vuông cân A

Vậy để IKGH hình vng ∆ABC vng cân A

(Hoặc d tạo với AB góc 45°)

*) Ta có: 2( )

2

IB IA AB

IA IB KA KC AB AC

KA KC AC

 + ≤

 ⇒ + + + ≤ +



+ ≤



(149)

( ) ( )

2

IA CG KA KC AB AC

IK KG AB AC

⇔ + + + ≤ +

⇔ + ≤ +

( ) ( )

2 IK KG 2 AB AC

⇔ + ≤ +

( )

2 IKGH

P AB AC

⇔ ≤ +

Dấu xảy d tạo với AB góc 45°

Vậy chu vi tứgiác IKGH lớn 2(AB+AC) d tạo với AB góc 45°

Câu 5. Cần cân cân đĩa để có thểcân khối lượng có giá trị số nguyên từ1 đến số 13

Lời giải

Với cân gồm: cân 6kg, cân 4kg, cân 2kg cân 1kg, ta có thểcân khối lượng có giá trị số nguyên từ1 đến số 13 Cụ thểnhư sau:

1 2 4 6 10 11 12 13

= = = + = = + = = + = + = + +

= + = + + = + + = + + +

Giả sử dùng tối đa quảcân mà làm điều đềbài yêu cầu Phải có cân a1 nặng 1kg đểcân khối lượng 1kg

TH1: Quả cân có khối lượng lớn a2 nặng 4kg Lúc không thểcân

khối lượng 2kg, cần có thêm cân a3

+ Nếu cân a3 nặng 2kg khơng thểcân khối lượng 2kg

+ Nếu cân a3 nặng 1kg 2kg khơng thểcân khối lượng 4kg

Vậy TH1 sai

TH2: Quả cân có khối lượng lớn a2 nhẹ 5kg Lúc kể cảkhi có thêm

cân a3 không thểcân 13kg Vậy TH2 sai

Vậy số cân để thực yêu cầu toán

(150)

Bài1. Cho biểu thức:

( )

( )2 3 2

2 3

4 12

2 2

:

8 2

6

x

x x x x

A

x x x x x

x x

 − + −  + + +

= + − 

− − − + −

+ −

 

  …

a) Tìm giá trị thích hợp biến làm cho biểu thức có nghĩa Sau rút gọn A b) Tính giá trị A

3 x = Bài2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) ( ) ( )( )

8

a − − −a a+ b) ( )( )

4 45

a − a + a+ −

c) 2( ) 2( ) 2( )

4x y 2x+y +y z z−y −4x z 2x+z Bài3. a) Tìm a b đểđa thức

3

x − x +ax b+ chia hết cho đa thức x2−3x+4 b) Tìm tất cảcác số nguyên x để

5

x + chia hết cho (x−2)

Bài4. Cho tam giác ABC vng A có AB< AC đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD=HA, vẽ hình vng AHDE

a) CMR: Điểm D thuộc đoạn thẳng HC Gọi F =DE∩AC CMR: ∆AHB= ∆AEF b) Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC điểm G Tứgiác ABGFlà hình gì?

c) CMR: AG BF HE, , đồng quy

d) CMR: tứgiác DEHG hình thang

Nếu cho độdài AB=5cm AH, =4cm Hãy tính diện tích hình thang DEHG Bài5. (Dành cho lớp 8C)

a) Cho a b c+ + =0 Đặt P a b b c c a;Q c a b

c a b a b b c c a

− − −

= + + = + +

− − −

CMR: P Q =9

b) CMR số

120 12 24 12

x x x x x

N = + + + + luôn số tự nhiên với số tự nhiên x

Biểu điểm 2, 1, 4− − − (Với lớp 8C là2 1− − − − )

(151)

Thời gian: 120 phút Bài 1. Cho biểu thức

( )

( )2 3 2

2 3

4 12

2 2

:

8 2

6

x

x x x x

A

x x x x x

x x  − + −  + + + =   − − − + − + −    

a) Tìm giá trị thích hợp biến làm cho biểu thức A có nghĩa sau rút gọn biểu thức

b) Tính giá Akhi x =

Lời giải a) Đk x≠2

( )( ) ( ) ( )

( )( )

2

2 2

2

:

2 2 2

x x

x x x

A

x x x x x x x x

 − + +  + +   = + − + + − + + − + −     ( )( ) ( )( )

2 2

2

4 4

:

2

:

2

1

2

1

x x x x x x x

x

x x x

x

x x x

x x x x  − + + + + − − −  +   = − − + +      + +  +   = − − + +     − = − + = + b) 2 3 x x x  = −  = ⇔   = 

+) Với

2

3 2

3 x= ⇒ =A =

+

+) Với

3

2 x= − ⇒ =A =

− +

Bài 2. Phân tích thành nhân tử a) ( ) ( )( )

8

a − − −a a+ b) ( )( )

4 45

a − a + a+ −

c) 2( ) 2( ) 2( )

4x y 2x+y +z y z−y −4x z 2x+z Lời giải

(152)

a)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

8 2 4

a − − −a a+ = a− a + a+ + a− a+ ( )( 2 ) ( )( )2

2

a a a a a

= − + + = − +

b)( )( ) 4 2

4 45 24 65 24 65

a − a + a+ − =a + a +a − a− =a + a + a − a − a−

( 4 3 2) ( 2 ) ( 2 ) ( ( ))2 ( ) ( )

6 13 39 15 65 13 65

a a a a a a a a a a a a a

= + + + − − + + − = + − + + + −

( ) ( ) ( ) ( )( )

3 13 13 13

a a a a a a a a a a

= +  + − +  + − = + + + −

c) 2( ) 2( ) 2( )

4x y 2x+y +z y z−y −4x z 2x+z

( )

3 2 3 2 2

8x y 4x y 8x z 4x z z y z y

= + − − + −

3( )( ) 2( )( 2) 2( )

8x y z y z 4x y z y yz z z y y z

= − + + − + + − −

( ) 3( ) 2( 2) 2

8

y z  x y z x y yz z z y 

= −  + + + + − 

( ) 3 2 2 2

8 4

y z  x y x z x y x yz x z z y 

= −  + + + + − 

( ) ( ) ( ) 2( )( )

4 2

y z  x y x y x z x y z x y x y 

= −  + + + + − +  ( )( ) 2 2( )

2 4

y z x y  x y x z z x y 

= − +  + + − 

( )( )( 2 2 )

2 4

y z x y x y x z xz z y

= − + + + −

Bài 3. a) Tìm a b đểđa thức

3

x − x +ax+b chia hết cho đa thức

3 x − x+ b) Tìm tất cảcác số nguyên x để

5

x + chia hết cho (x−2) Lời giải

a) Ta có 4 3 2 ( ) ( )

3 12 8

x − x +ax b+ =x − x + x + x − x + x+ x − x+ + a− x+ −b

( )( ) ( ) ( )

3

x x x x a x b

= − + + + + − + −

Đa thức

3

x − x +ax b+ chia hết cho đa thức x2−3x+4

(a 6) (x b 8)

⇔ − + − chia hết cho

3 x − x+ a b − =  ⇔  − =  a b =  ⇔  =  Vậy a=6 b=8

b)

5

x + chia hết cho (x−2)

2 x x + ⇔ ∈ −  2 x x ⇔ + + ∈ −  ( ) x x ⇔ ∈ ∈ −  

(153)

Vậy x−2 ước 9, tức

2

x x x x x x

− =   − =   − =  − = − 

 − = − 

− = − 

11 1 x x x x x x

=   =   = ⇔  =

  = − 

= −  Vậy tập hợp x cần tìm {11;5;3;1; 1; 7− − }

Bài4. Cho tam giác ABC vng A có AB< AC đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD=HA, vẽ hình vng AHDE

a) CMR: Điểm D thuộc đoạn thẳng HC Gọi F =DE∩AC CMR: ∆AHB= ∆AEF b) Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC điểm G Tứgiác ABGFlà hình gì?

c) CMR: AG BF HE, , đồng quy

d) CMR: tứgiác DEHG hình thang

Nếu cho độdài AB=5cm AH, =4cm Hãy tính diện tích hình thang DEHG Lời giải

a) * Ta có HAC =HBA (cùng phụ với BAH)

Do ∆ABC AB: <AC⇒ ACB< ABH ⇒ ACB<HAC Nên ∆HAC AH: <AC

Mà D thuộc tia HC HA, =HD⇒HD<HC⇒Dthuộc đoạn HC * Ta có:

  ( 0)

90 EAF =HAB +HAF =

EA=HA (do AHDE hình vng)

 ( 0)

90 AEH = AHB =

Nên ∆AEF = ∆AHB (gn-cgv)

b) Tứ giác ABGF hình vng có:

0

/ / , / / , 90

BG AF FG AB BAF = ;AF = AB

c) Tứgiác ABGF hình vng nên AG∩BF = ⇒O OA=OG=OB=OF Nên DO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông DBF

1

DO BF OB OF OA OD

⇒ = = = ⇒ =

I

O

G

F E

D H

B

A

C

(154)

Mà EA=ED HA, =HD

Nên H O E, , thuộc đường trung trực đoạn AD, suy H O E, , thẳng hàng Vậy AG∩BF∩HE=O

d) Do HE đường trung trực AD⇒HE⊥AD tạiI Xét :

2

DAG DO AG OA OG DAG

∆ = = = ⇒ ∆ vuông

Từ(*) (**) suy DEHF hình thang Do 1( )

2 DEHG

S = GD+HE DI

Mà 2 2

4 4 4

AH = ⇒ AE= ⇒HE= AH +AE = + =

1

2

ID= AD= HE=

2 2

GD= AG −AD = BF −HE

Lại có 2 2 2

5 50; 32

BF =AB +AF = + = HE = Suy GD= 18=3

Vậy 1( ) 1(3 2 2) 14

2

DEHG

S = GD+HE DI = + = (cm2)

Bài 5. (Dành cho lớp C)

a) Cho a b c+ + =0 Đặt P a b b c c a

c a b

− − −

= + + ; Q c a b

a b b c c a

= + +

− − − Chứng minh

9 PQ=

b) Chứng minh số 120 12 24 12

x x x x x

N = + + + + luôn số tự nhiên với số tựnhiên x

Biểu điểm 2, 1, 4− − − (Với lớp 8C 2 1− − − − ) Lời giải

a)

Chữa lại đề sau: “Cho a b c+ + =0,abc≠0 Đặt P a b b c c a

c a b

− − −

= + + ;

c a b

Q

a b b c c a

= + +

− − − Chứng minh PQ=9.”

Khí P a b b c c a

c a b

− − −

= + +

ab a b( ) bc b c( ) ca c( a) abc

− + − + −

=

(155)

ab a b( ) bc b a( a c) ca c a( ) abc

− + − + − + −

=

ab a b( ) bc b a( ) bc a c( ) ca c a( ) abc

− + − + − + −

=

b a b c a( )( ) (c c a)(a b) abc

− − − + − −

=

(a b b c c a)( )( ) abc

− − −

= −

Và Q c a b

a b b c c a

= + +

− − −

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

c b c c a a a b c a b a b b c a b b c c a

− − + − − + − −

=

− − −

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

c b c c a b c a b c a b a b b c

a b b c c a

− − + − − − − + − −

=

− − −

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

c b c c a c a b c a b a b c a b a b b c a b b c c a

− − − − − − − − + − −

=

− − −

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

2

c c a b a c b a b c a b

a b b c c a

− − − − − − −

=

− − −

( ) ( ) ( )( )( )

3

c c a b b a b c a b b c c a

− − −

=

− − −

( ) ( )( )( )

3bc b c 2a a b b c c a

+ − =

− − −

( ) ( )( )( )

3bc 3a a b b c c a

− =

− − −

(a b b c c a)(9abc)( )

− =

− − −

Khi có PQ=9

b)

120 12 24 12

x x x x x

N = + + + +

5

10 35 50 24

120

x + x + x + x + x =

Ta có: ( )

10 35 50 24 10 35 50 24

x + x + x + x + x=x x + x + x + x+

( )( )

1 26 24

x x x x x

= + + + +

( )( )( )

1 12

x x x x x

= + + + +

=x x( +1)(x+2)(x+3)(x+4)

Đây tích năm số tự nhiên liên tiếp, ta biết năm số tự nhiên liên tiếp có hai sốchia hết cho 2, sốchia hết cho 3, sốchia hết cho 4, sốchia hết

(156)

cho Do hai sốchia hết cho năm sốliên tiếp hai số chẵn liên tiếp nên có sốchia hết cho sốkhông chia hết cho

Vậy nên x x( +1)(x+2)(x+3)(x+4) ( 2.3.4.5), có 2.3.4.5 120=

hay

120 12 24 12

x x x x x

N = + + + + số nguyên với số tựnhiên x ( )1 Lại có x∈ ⇒ ≥ ⇒ x N ≥0 2( )

Từ ( )1 ( )2 có

5

7

120 12 24 12

x x x x x

N = + + + + luôn số tựnhiên với số tựnhiên x

Bài 1. Cho biểu thức: 22 2 2 3 1 22

2 8

x x x

M

x x x x x x

 −   

= −   − − 

+ − + −  

 

a) Tìm điều kiện x để M có nghĩa sau rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị x nguyên cho M nguyên

Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a)

2

A= x + x − x

b)

19 30 B=x − x−

c) ( )( )

5

C= x + −x x + − +x

d) ( ) (2 )3 ( )2

1

D= a b+ + + + −a b − a b+

Câu 3.Cho hình thoi ABCD Đường chéo AC không nhỏhơn đường chéo BD M điểm tùy ý AC Đường thẳng qua M song song với AB cắt AD E, cắt BC G Đường thẳng qua M song song với AD cắt AB F, cắt CD H

a) Chứng minh tứgiác MEAF hình thoi Từđó suy tứgiác EFGH hình thang cân

b) Xác định vịtrí điểm M cho EFGH hình chữ nhật

c) Hình thoi ABCD thỏa mãn điều kiện để hình chữ nhật EFGH câu b) hình vng

d) Biết hình thoi ABCD có hai đường chéo d1 d2 Xác định M cho chu vi tứ

giác EFGH nhỏ Tính chu vi theo d1, d2

Câu 4. a) Cho đa thức ( )

2

f x =x + ax + x− b Tìm hệ số a, b biết chia đa thức cho

x− ta đa thức thương −5 chia cho đa thức x+1dư −1

(157)

b) (Dành cho lớp 8C) Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB AD lấy điểm E F, (không trùng đầu mút) Gọi K giao điểm DE BF Chứng minh diện tích ABKD diện tích CEKF

MƠN TOÁN LỚP (2007-2008) Thời gian: 120 phút

Bài 1. Cho biểu thức: 22 2 2 3 1 22

2 8

x x x

M

x x x x x x

 −   

= −   − − 

+ − + −  

 

a) Tìm điều kiện x để M có nghĩa sau rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị x nguyên cho M nguyên

Lời giải a) Biểu thức có nghĩa

( ) 2( ) ( )( 2)

2 2 4 0

2

4 2

8

0

0 0

x x x x

x x x

x x

x x x



 − + − ≠ − + ≠ − ≠ ≠

 − + − ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

    ≠  ≠

≠  ≠ ≠  

  

( )( )

2

2 2

2

2 2

2 8 2

x x x x

x x x x x

M

x x x x x x x x x

 − − − 

 −       − − 

= −   − −  =  



+ − + −   − +

     

( )( )

( )( ) ( ( )( ) ) ( )( )

2 2

2

2 4 1

2

2 2

x x x x x x x x x x x

x x x

x x x x

 − − −   − −   − +   − +  +

   

=  =  =

 − +     − +   

   

b)

2 x M

x +

= ∈

1 2 2 2 2 2

x+  x⇒ x+  x⇒ x+ − x x⇒  x

Vì x∈ nên 2x∈U( )2 ⇒2x∈ −{ 1;1; 2; 2− }⇒ ∈ −x { 1;1} Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a)

2

A= x + x − x

b)

19 30 B=x − x−

c) ( )( )

5

C= x + −x x + − +x

d) ( ) (2 )3 ( )2

1

D= a b+ + + + −a b − a b+

Lời giải

a) ( )

2 2

A= x + x − x=x x + x−

(158)

b) 3 ( ) ( )

19 30 10 30 10

B=x − x− =x − x− x− =x x − − x−

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

3 10 3 10 3 10

x x x x x x x x x x

= − + − − = −  + − = − + −

(x 3)(x2 2x 5x 10) (x 3) (x x 2) (5 x 2)

= − + − − = −  + − + 

(x 3)(x 2)(x 5)

= − + −

c) C=(x2+ −x 5)(x2+ − +x 7) 1

Đặt

5 t=x + −x

( ) 2 ( )2 ( 2 )2

2 1

C=t t− + = − + = −t t t = x + −x

d) ( ) (2 )3 ( )2

1

D= a b+ + + + −a b − a b+ Đặt t= +a b

( ) (2 )3 2 2 ( )

1 3 6

D= +t + −t − t = + + + −t t t t + − −t t = −t t + =t t t − +t

( ) ( ) ( ) ( )( )

5 5 1

t t t t t t t t t t t

= − − + =  − − − = − −

(a b)(a b 1)(a b 5)

= + + − + −

Câu 3.Cho hình thoi ABCD Đường chéo AC không nhỏhơn đường chéo BD M điểm tùy ý AC Đường thẳng qua M song song với AB cắt AD E, cắt BC G Đường thẳng qua M song song với AD cắt AB F, cắt CD H

a) Chứng minh tứgiác MEAF hình thoi Từđó suy tứgiác EFGH hình thang cân

b) Xác định vịtrí điểm M cho EFGH hình chữ nhật

c) Hình thoi ABCD thỏa mãn điều kiện để hình chữ nhật EFGH câu b) hình vng

d) Biết hình thoi ABCD có hai đường chéo d1 d2 Xác định M cho chu vi tứ

giác EFGH nhỏ Tính chu vi theo d1, d2

Lời giải

N

K

L O

H M

B

C

D E

F

G

A

(159)

a) Tứgiác MEAF có:

( ) ( )

// //

ME AB EG AB MF AE FH AD 





⇒ Tứgiác MEAF hình bình hành

Mà AM tia phân giác FAE (do AC tia phân giác BAD) ⇒MEAF hình thoi

⇒ EF ⊥AM hay EF⊥AC (1)

Chứng minh tương tựta MGCH hình thoi

GH MC

⇒ ⊥ hay GH ⊥AC (2)

Từ(1) (2) suy tứgiác EFGH hình thang Mặt khác: EG= AB (ABGE hình bình hành) FH =BC (AFHD hình bình hành)

AB=AC (ABCD hình thoi) Do EFGH hình thang cân

b) Hình thang cân EFGH hình chữ nhật FG⊥EF⇔FG AC// ⇔M ≡O c) Hình chữ nhật EFGH hình vng ⇔ FME= °90 ⇔PAE= ° ⇔90 BAD= °90

ABCD

⇔ hình vng

d) Gọi L giao điểm EF với AC,K giao điểm GH với AC Kẻ GN ⊥BD

Dễ chứng minh ∆AFL= ∆GBN (cạnh huyền – góc nhọn)

FL BN

⇒ = (hai cạnh tương ứng)

FL GK BO

⇒ + = ⇒EF+GH =BD

Chu vi tứgiác EFGH là: EF+FG GH+ +HE=2FG+BD≥2KL+BD

Mà

2 KL= AC

Do 2FG+BD≥2KL+BD=AC+BD= +d1 d2

Dấu “=” xảy ⇔FG AC//

FG= AC ⇔M ≡O

Vậy chu vi tứgiác EFGH nhỏ d1+d2 M ≡O Câu 4.

a) Cho đa thức ( )

2

f x =x + ax + x− b Tìm hệ số a, b biết chia đa thức cho

x− ta đa thức thương −5 chia cho đa thức x+1dư −1

(160)

Lời giải

a) Theo định nghĩa phép chia ta có

( ) ( ) ( )

2 3

f x =x + ax + x− b= x− Q x − (1)

( ) ( ) ( )

2 1

f x =x + ax + x− b= x+ H x − (2)

Từ (1), cho x=3, ta 27 18+ a+12 3− b= − ⇔5 18a−3b= −44⇔3b=18a+44 (3)

Từ (2), cho x= −1, ta − +1 2a− −4 3b= − ⇔1 2a−3b=4, kết hợp với ( )3 ta suy

( )

2a− 18a+44 =4 ⇔ −16a=48

a

⇔ = − 10

3 b

⇒ = −

Ta có SABKD =SADE +SABF −SAEKF; SCEKF =SAEC+SACF −SAEKF (1) Mặt khác, tứgiác ABCD hình bình hành nên AB CD AD BC// , // , suy SADE = SACE (chung đáy chiều cao đến AB) (2) SABF =SACF (chung đáy chiều cao đến AD) (3) Từ(1), (2) (3) ta suy SABKD =SCEKF

(161)

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TOÁN LỚP (2008-2009)

Bài (3 điểm).Cho biểu thức 2

1 2 24 12

4 12 13

x x x x

A

x x x x

 +  −

= − + 

+ − − +

 

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A= −2,

c) Tìm x đểbiểu thức A rút gọn có giá trịdương Bài (2 điểm). Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a)

6x −x −2x

b)

4 29 24

x + x − x+

c) 2

53 196

x − x y + y

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A (AB< AC), đường cao AH , đường trung tuyến AM Gọi D, E theo thứ tựlà hình chiếu của Hlên ABvà AC , hạ MK vng góc với AB (K∈AB)

Giao điểm AM với HE N a) Tứgiác AEHD, ABHN hình gì?

b) Lấy P đối xứng với H qua AB, Q đối xứng với H qua AC Chứng minh rằng tứ giác BPQC hình thang vng

c) Chứng minh AM ⊥DE, BN DE//

d) Chứng minh ba đường AH BN MK, , đồng quy Bài (1,5 điểm)

1) a) Tìm giá trị k để đa thức f x( )=x4+2x2−7x+3k+5 chia hết cho đa thức

2

3 x + x+

b) Cho x22 y22 z22 x22 y22 z22

a b c a b c

+ + = + +

+ + Chứng minh x= = =y z

2) Tìm số tự nhiên nhỏ lớn để (n+1 2)( n+1) chia hết cho thương phép chia (n+1 2)( n+1)cho số phương

(162)

Bài (3 điểm).Cho biểu thức 2 2 24 12

4 12 13

x x x x

A

x x x x

 +  −

= − + 

+ − − +

 

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A= −2,

c) Tìm x đểbiểu thức A rút gọn có giá trịdương Lời giải a) Điều kiện: x≠2, x≠ −2,

13 x≠ −

Rút gọn: 2 2 24 12

4 12 13

x x x x

A

x x x x

 +  −

= − + 

+ − − +

 

2( ) ( ) ( 2)(2 ) 24 12

2 3 2 13

x x x x

x x x x x

 +  −

= − − 

+ − − + +

 

( )(( ))( ( ) )

2

3 2 2 24 12

6 2 13

x x x x x x

x x x

+ − − + − −

=

− + +

6 2( 12)( 2) 4 2.24 12

6 2 13

x x x x x x x

x x x

− + − − − − −

=

− + +

( )( ) ( )

12

13

6 2 13

x x

x x x

− −

=

− + +

2 x =

+

b) Để A= −2, 2,

x+ = − ⇒ = −2 2, 5(x+2)⇒ = −x 2,8(TM) Vậy để A= −2, x= −2,8

c) Đểbiểu thức A rút gọn có giá trịdương 2 x+ > Vì 2>0 ⇒ + >x 0⇒ > −x Mà x≠2, x≠ −2, 13 x≠ −

6 13 x x x

> −   ⇒ ≠ −

 ≠ 

Vậy x> −2, x≠2, 13

x≠ − biểu thức A rút gọn có giá trịdương Bài (2 điểm). Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a)

6x −x −2x

b)

4 29 24

x + x − x+

c) 2

53 196

x − x y + y

(163)

Lời giải

a)

6x −x −2x

( )

6

x x x

= − −

( )

6

x x x x

= + − −

( ) ( )

3 2

x x x x

=  + − + 

(2 3)( 2)

x x x

= + −

b)

4 29 24

x + x − x+

3 2

5 24 24

x x x x x

= + − − − +

( ) ( )

5 24 24

x x x x x

= + − − + −

( )( )

5 24

x x x

= + − −

( )( )

8 24

x x x x

= + − − −

( 8) (3 8) ( 1)

x x x x

= + − +  −

(x 1)(x 3)(x 8)

= − − +

c) 2

53 196

x − x y + y

4 2 2

28 196 25

x x y y x y

= − + −

( 2) 2

14 25

x y x y

= − −

( 2 )( 2 )

14 14

x y xy x y xy

= − − − +

( 2)( 2)

2 14 14

x xy xy y x xy xy y

= + − − − + −

( ) ( ) ( ) ( )

x x y y x y x x y y x y

= + − +    − + − 

(x 2y)(x 7y)(x 2y)(x 7y)

= + − − +

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A (AB< AC), đường cao AH , đường trung tuyến AM Gọi D, E theo thứ tựlà hình chiếu Hlên ABvà AC , hạ MK vng góc với AB(K∈AB) Giao điểm AM với HE N

a) Tứgiác AEHD, ABHN hình gì?

b) Lấy P đối xứng với H qua AB, Q đối xứng với H qua AC Chứng minh tứ giác BPQC hình thang vng

c) Chứng minh AM ⊥DE, BN DE//

d) Chứng minh ba đường AH BN MK, , đồng quy Lời giải

(164)

a)

• Xét tứgiác AEHDcó:



90

E= (HE⊥AC )



90

D= (HD⊥AB)



90

A= (ABClà tam giác vuông A) Khi đó: Tứgiác AEHDlà hình chữ nhật • Ta có HE AD// (AEHDlà hcn)

// HE AB

⇒

⇒ Tứgiác ABHN hình thang (1) Xét tam giác AMB có:

1

AM =MB= BC (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC tam giác vuông ABC)

AMB

⇒ ∆ cân M

 

MAB=MBA (2)

Từ(1) (2) suy Tứgiác ABHN hình thang cân b) Vì :

• P đối xứng với H qua AB nên AB đường trung trực HP ⇒ AH =AP⇒ ∆AHP cân A

⇒HAD =PAD

• Q đối xứng với H qua AC nên AC đường trung trực HQ

AH AQ AHQ

⇒ = ⇒ ∆ cân A  

HAE QAE

⇒ =

(165)

Xét ∆ABP ∆ABH có: AH =AP (cmt)

 HAD=PAD (cmt) AB: cạnh chung

Khi ∆ABP= ∆ABH(c.g.c) Suy ˆ ˆ

90

P=H = (2 góc tương ứng) Suy BP⊥PQ (3)

Chứng minh tương tự, ta có ∆ACQ= ∆ACH (c.g.c) Suy ˆ ˆ

90 Q=H = Suy CQ⊥QP(4)

Từ(3) (4) suy BP QC//

Suy Tứgiác BPQClà hình thang

Mà ˆ ˆ

90 P= =Q

Nên Hình thang BPQClà hình thang vng

c) * Ta có: HD=DP ( Vì P đối xứng với H qua AB) Mà HD= AE (AEHD hcn)

Suy DP=AE (5) Hơn AE AB

PD AB

⊥ 

 ⊥

 Suy DP= AE (6)

Từ(5) (6) suy Tứgiác AEDP hình bình hành Suy AP DE//

Mà AM ⊥ AP (cmt) Nên AM ⊥DE (7) • Xét ∆AHB ∆BNA có:

AH =BN (ABHN hình thang cân)

 

HAB=NBA (ABHN hình thang cân) AB : cạnh chung

AHB BNA

⇒ ∆ = ∆ (c.g.c)

 

90

AHB BNA

⇒ = = (2 góc tương ứng)

BN AM

⇒ ⊥ (8)

Từ(7) (8) suy BN DE//

(166)

d) Trong tam giác AMB có: AH MB MK AB BN AM ⊥   ⊥   ⊥ 

Ba đường cao tam giác đồng quy điểm Điểm gọi trực tâm tam giác ABC

Bài (1,5 điểm)

1) a) Tìm giá trị k để đa thức f x( )=x4+2x2−7x+3k+5 chia hết cho đa thức

3 x + x+

b) Cho x22 y22 z22 x22 y22 z22

a b c a b c

+ +

= + +

+ + Chứng minh x= = =y z

2) Tìm số tự nhiên nhỏ lớn để (n+1 2)( n+1) chia hết cho thương phép chia (n+1 2)( n+1)cho số phương

Lời giải

1) a) Thực phép chia đa thức f x( ) cho đa thức

3

x + x+ ta

( )

2

3

3 k

f x x x

x x

+

= − + +

+ +

Để f x( ) chia hết cho đa thức

3

x + x+ 1

3 k+ = ⇔ = −k b) Điều kiện : a≠0;b≠0;c≠0

2 2 2 ( 2 2) ( 2 2) 2

2 2 2 2 2

x y z x y z x y z

x y z a b c

a b c a b c a b c

  + + = + + ⇔ + + = + +  + +  + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

0

0 0

0

b c x

b c x a c y a b z a c y x y z

a b z

 + =  ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ = = =  + = 

2) Đặt ( )( )

1

A= n+ n+ = k Vì

6k chẵn mà 2n+1 lẻ nên n+1chẵn hay n lẻ Đặt n=2k+1khi A=(2k+2 4)( k+ =3) 6n2 ⇔(k+1 4)( k+ =3) 3m2

Vì (k+1; 4k+ =3) 4k+3 khơng thể số phương nên

2 2 ( )( )

2

1 4

4 2

4 3 3

k a k a

a b a a b

k b k b

 + =  + =  ⇔ ⇒ − = ⇔ − + =   + = + =    

Vì (2a−1; 2b− =1) nên ta có trường hợp sau TH1: 2

2

3 2 a e f e a f  − =  ⇒ = +  + =

 (vơ lí khơng có số phương dạng 3n+2)

TH2: 12 2 ( )

1

2

3 *

2

a e f e a f  − =  ⇒ − =  + = 

Nếu e1 chẵn f1 chẵn suy

2

1

3f −e chiahết cho (vơ lí với ( )* ), e1 lẻ

(167)

Ta có n>1 nên k ≥1 suy a>1do e1>1

+)

1

11

3

e = ⇒ f = ( loại) +) e1= ⇒5 f1 =3 Khi

( 2 )2

1

2

2 1 337

2 e

n= k+ = a − = + − =

Vậy n=337 số cần tìm

Thời gian: 120 phút Bài 1. Cho 22

3 3

2

x x x x

P

x x x x

+ − + −

= − +

+ − + −

a) Rút gọn P

b) Tìm số nguyên x để P có giá trị ngun c) Tính P với x thỏa mãn x2−4x+ =5 Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)

13 12 x − x+

b) (x−1)(x+1)(x+3)(x+ +5) 15

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AA BB CC', ', ' cắt H Các đường thẳng vng góc với AB B, vng góc với AC C cắt điểm D

a) Chứng minh tứgiác BDCH hình bình hành

b) Gọi O I, trung điểm AD BC Chứng minh: OI= AH

c) Gọi G la trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm H G O, , thẳng hàng d) Cho BC=a AA, '=h Từ điểm M đường cao AA' vẽ đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB AC P Q Vẽ PS QR vuông góc với BC Tính diện tích tứgiác PQRS theo a h x, , (x độdài đoạn AM ) Xác định vịtrí M AA' đểdiện tích PQRS lớn

Bài 4. Cho 2

10a =10b +c Chứng minh rằng: (7a−3b+2c)(7a−3b−2c) (= 3a−7b)2 Bài 5. Cho số a b c, , ≠0 khác đôi thỏa mãn: a b b c c a

c a b

+ = + = + Tính giá trị

của biểu thức M a b c

b c a

   

= +  +  +     

(168)

Thời gian: 120 phút Bài 1. Cho 22 3

2

x x x x

P

x x x x

+ − + −

= − +

+ − + −

a) Rút gọn P

b) Tìm số nguyên x để P có giá trị ngun c) Tính P với x thỏa mãn x2−4x+ =5

Lời giải a) ĐKXĐ: x≠1;x≠ −2

( )( )

2

3 3

2

x x x x

P

x x x x

+ − + −

= − −

+ − + − ( )( )

( )( )

( )( ) (( )()( ))

2 1 1 2 2

3 3

2 2

x x x x

x x

x x x x x x

+ − − +

+ −

= − −

+ − + − + −

( )( )

2 2

3 3

2

x x x x

x x + − − + − + = + − ( )( ) 2 x x x x + + = + − ( )( ) ( )( ) 2 x x x x + + = + − 1 x x + = −

b) 1

1 x P x x + = = + − − Để

P Z Z

x

∈ ⇔ ∈

− ⇔(x− ∈1) Ư( )2

Ư( ) {2 = ± ±1; 2}

x− −1 −2

x −1

t/m t/m t/m t/m

Vậy x∈ −{ 1; 0; 2;3} P∈Z c) Ta có:

4 x − x+ =

2

4

x x x x  − + = ⇔  − + = −  x x =  ⇔  ∈∅  Thay x=2 (tmđk) vào

1 x P x + =

− , ta được:

2 P= + =

−

Vậy P=3 với x thỏa mãn x2−4x+ =5 Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)

13 12 x − x+

(169)

b) (x−1)(x+1)(x+3)(x+ +5) 15

Lời giải a)

13 12

x − x+ =x3−x2+x2− −x 12x+12

( ) ( ) ( )

2

1 12

x x x x x

= − + − − −

( )( )

1 12

x x x

= − + −

( )( )

1 12

x x x x

= − + − −

(x 1)(x 4)(x 3)

= − + −

b) (x−1)(x+1)(x+3)(x+ +5) 15

(x 1)(x 5) (x 3)(x 1) 15

= − +    + + +

( )( )

4 15

x x x x

= + − + + +

(t 5)(t 3) 15

= − + + với

4 t=x + x

2

2 15 15

t t

= − − +

2

t t

= − =t t( −2)

( )( )

4

x x x x

= + + −

( )( )

4

x x x x

= + + −

( )( )

4 4

x x x x

= + + + −

( ) ( )2

4

x x  x 

= +  + − 

 

( )( )( )

4 6

x x x x

= + + + + −

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AA′, BB′, CC′ cắt H Các đường thẳng vng góc với AB B, vng góc với AC C cắt điểm D

a) Chứng minh tứgiác BDCH hình bình hành

b) Gọi O, I trung điểm AD BC Chứng minh: OI= AH

c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm H , G, O thẳng hàng d) Cho BC=a, AA′=h Từ điểm M đường cao AA′ vẽ đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB AC P Q Vẽ PS QR vng góc với BC Tính diện tích tứgiác PQRS theo a, h, x ( x độdài đoạn AM ) Xác định vịtrí

M AA′ đểdiện tích PQRS lớn nhất? Lời giải

(170)

a) Ta có: DC⊥CA gt( )

BB′⊥CA ( BB′ đường cao ∆ABC)

⇒ DC//BB′ ( Quan hệ từvng góc đến song song) hay DC//BH CMTT: CH//BD

Xét tứgiác BDCH có: + DC//BH cmt( ) + CH//BD cmt( )

⇒ Tứgiác BDCH hình bình hành (dhnb)

b) Ta có hình bình hành BDCH nhận HD BC đường chéo Có I trung điểm BC (gt)

⇒ I trung điểm HD (T/c) Xét ∆ADH có:

+ O trung điểm AD (gt) + I trung điểm HD (cmt)

⇒ OI đường trung bình ∆ADH (đ/n)

⇒

2

OI= AH (đpcm) c) Xét ∆ABC có:

+ AI trung tuyến ( I trung điểm BC) + G trọng tâm (gt)

⇒

3

AG= AI ( T/c ) Xét ∆ADH có:

(171)

+ AI trung tuyến ( I trung điểm HD)

+

3

AG= AI (cmt)

⇒ G trọng tâm ∆ADH

Mà HO trung tuyến ∆ADH ( O trung điểm AD) ⇒ H G O, , thẳng hàng (đpcm)

d) Ta có: PQ//BC(gt); PS⊥BC (gt) ⇒PQ⊥PS ( Quan hệ từvng góc đến song song) Xét tứgiác PQRS có: QPS  =PSR SRQ= = °90

⇒ Tứgiác PQRS hình chữ nhật (dhnb) ⇒ PQ SR= (T/c) + Gọi độdài đoạn thẳng PQ y ⇒ PQ SR= =y

+ Ta có: PS⊥BC gt MA( ); ′⊥BC gt QR( ); ⊥BC gt( )mà PQ//BC(gt) ⇒ PS=MA′=QR h x= −

Ta có: SPQRS =SABC−SAPQ−SPBS−SQRC

⇒

2 2

PQ PS= AA BC′ − AM PQ− PS BS− QR RC

⇒ ( ) 1 1( )( )

2 2

y h x− = ah− xy− h x− a−y

⇒ 1 1 1

2 2 2

yh xy− = ah− xy− ha+ hy+ xa− xy

⇒ 1

2

ax

yh ax y

h

= ⇒ =

⇒ PQRS ( )

ax h x ax

S ax

h h

−

= = − (đvdt)

+

2

4

PQRS

ah a ah ah

S x

h

 

= − −  ≤

 

⇒ max

4 PQRS

ah

S =

2

a ah h

x x

h − = ⇒ = ⇒ M trung điểm AA′ Bài 4. Cho 2

10a =10b +c Chứng minh (7a−3b+2c)(7a−3b−2c) (= 3a−7b)2 Lời giải

Ta có VT =(7a−3b+2c)(7a−3b−2c)

( ) ( )2

7a 3b 2c

= − −

2 2

49a 42ab 9b 4c

= − + −

Từ 2 2 2

10a =10b +c ⇒c =10a −10b

Suy 2 ( 2)

49 42 10 10 VT = a − ab+ b − a − b

(172)

2

9a 42ab 49b

= − +

( )2

3a 7b VP

= − = (đpcm)

Bài 5. (Dành cho lớp 8C) Cho số a b c, , khác đôi thỏa mãn

a b b c c a

c a b

+ = + = + Tính giá trị của biểu thức

1 a b c M

b c a

   

= +  +  +      Lời giải

a b b c c a

c a b

+ + +

= =

1 1

a b b c c a

c a b

+ + +

⇒ + = + = +

a b c b c a c a b

c a b

+ + + + + +

⇒ = =

Suy a b c+ + =0 a= =b c TH1: a b c+ + =0

1 a b c a b b c c a c a b M

b c a b c a b c a

+ + + − − −

   

= +  +  + = = = −

   

TH2: a= =b c

2 2 a b c a b b c c a a b c M

b c a b c a a b c

+ + +

   

= +  +  + = = =

   

Thời gian: 120 phút Bài 1. Cho biểu thức 29 2 14

4 5

x x x x

A

x x x x x

− + + −

 

= − − ÷

+ − − + −

 

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên c) Tìm x cho A<0 tìm x để A =3

Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) ( )( ) ( )( )

2x−1 x +2x− − −1 2x x−3 b)

2x +x −5x+2

c) ( ) (2 )2

4 a+ +b c + a+ −b c − c Bài 3. a) Chứng minh

2n +3n +n chia hết cho với nnguyên b) Cho ( )

3

f x = x +ax b+ , biết f x( )chia x dư 27 chia x+5thì dư Tìm a b,

(173)

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm thuộc cạnh BC, từ M vẽ đường vng góc với cạnh AB D vng góc với cạnh AC E

a) Chứng minh AM =DE

b) Gọi I điểm đối xứng D qua A K điểm đối xứng củaE qua M Chứng minh tứ giác DIEK hình bình hành Từđó suy ba đoạn IK DE AM, , cắt trung điểm O đoạn

c) Gọi AH đường cao tam giác ABC Chứng minh góc DHE 90° d) Tìm vịtrí điểm M cạnh BC để tứgiác DIEK hình thoi

Bài 5. a) Tìm n∈ để

1

n +n + số nguyên tố

b) ( Dành cho học sinh lớp 8C) Cho tam giác ABC Ta lấy điểm Dtrên cạnh ABvà điểm E cạnh ACsao cho

3 BD

AD=

1 CE

AE = Gọi F giao điểm BE CD Tính diện tích tam giác ABCtheo S biết diện tích tam giác ABF S

Bài 1. Cho biểu thức 29 :7 2 14

4 5

x x x x

A

x x x x x

− + + −

 

= − − 

+ − − + −

 

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên c) Tìm x cho A<0 tìm x để A =3

Lời giải a) Ta có: 29 2 14

4 5

x x x x

A

x x x x x

− + + −

 

= − − ÷

+ − − + −

 

( )( ) ( ()( ) )

7

9

5 1 1

x

x x x

x x x x x x

 − + +  −

= + − ÷

+ − − + − +

 

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ()( ) )

9 5 1 1

5

x x x x x x x

x x x

− + + + − + − − +

= ×

+ − −

( )( ) ( ( )( ) )

2 1 1

9 10 25

5

x x

x x x x

x x x

− +

− + + + − +

= ×

+ − −

( )( ) ( ()( ) )

1

7 35

5

x x

x

x x x

− +

+

= ×

+ − −

( )( )

( )( ) (( )()( ))

7 35 1

7 2

x x x x x

+ + + + +

= = =

+ − + − −

(174)

b) ĐKXĐ: x≠2

Ta có: 1

2 x A x x + = = + − −

Để biểu thức A đạt giá trị nguyên 3(x−2), x∈

2

2 1

2

x x x x x x x x − = =    − = −  =   ⇔ ⇔  − =  =  − = −  = −   (tmđk)

Vậy x= −{ 1;1;3;5} c)

1

2

1

0

1

2 1

2

x x

x x x

x A

x

x x x

x x

 + <  < −

 

 − >  > ∈∅ 

+  

< ⇔ < ⇔ ⇔ ⇔ 

− < < −  + >  > − 

 − <  <

 

 

Vậy A<0 − < <1 x

Ta có:

1

3

1 2

3 x x x x A x x x x +  =  =   + − = ⇔ = ⇔ ⇔ + −  = −  =  −   (tmđk)

Vậy

x=

x= A =3 Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) ( )( ) ( )( )

2x−1 x +2x− − −1 2x x−3 b)

2x +x −5x+2

c) ( ) (2 )2

4 a+ +b c + a+ −b c − c

Lời giải a) ( )( ) ( )( )

2x−1 x +2x− − −1 2x x−3 ( )( ) ( )( )

2x x 2x 2x x

= − + − + − −

( )( )

2x x 2x x

= − + − + −

( )( )

2x x 3x

= − + −

( )( )

2x x 4x x

= − + − −

(2x 1)(x 4)(x 1)

= − + −

b)

2x +x −5x+2

2

2x x 2x x 4x

= − + − − +

2( ) ( ) ( )

2 2

x x x x x

= − + − − −

(175)

( )( )

2x x x

= − + −

( )( )

2x x 2x x

= − + − −

(2x 1)(x 2)(x 1)

= − + −

c) ( ) (2 )2

4 a+ +b c + a+ −b c − c ( ) ( ) 2

4

a b c a b c c

= + +  + + −  −

( )2 2

2 a b 2c

= + −

=2(a b c+ − )(a b c+ + ) Bài 3. a) Chứng minh

2n +3n +n chia hết cho với nnguyên b) Cho ( )

3

f x = x +ax b+ , biết f x( )chia x dư 27 chia x+5thì dư Tìm a b, Lời giải

a) Xét đa thức ( )

2n +3n +n n∈ Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

3 2

2 3 2 1

1

n n n n n n n n n n n n n n

n n n

 

+ + = + + =  + + + =  + + + 

= + +

Do n n+1là hai số tựnhiên liên tiếp nên n n( +1 2) với n∈ Ta cần chứng minh n n( +1 2)( n+1 3) với n∈

Xét số nguyên n; n+1 2n+1 + Nếu n3 n n( +1 2)( n+1 3) + Nếu n chia dư n=3k+1

( ) ( )( )

2n 2(3k 1) 6k 2n n n 2n

⇒ + = + = + ⇒ +  ⇒ + + 

+ Nếu n chia dư n=3k+2

( ) ( )( )

1 3 3

n k k n n n n

⇒ + = + + = + ⇒ +  ⇒ + + 

Như vậy,

( 2)( 2)

n n+ n+  với n∈

( 2)( 3)

n n+ n+  với n∈

Mà UCLN( )2;3 =1 nên n n( +1 2)( n+1 6) với n∈ hay

2n +3n +n6 ∀ ∈n  b) Xét đa thức ( )

3

f x = x +ax b+

+ Vì f x( ) chia x dư 27 nên f x( )=x g x ( )+27 ; (g x( ) đa thức biến x, g x( )có bậc nhỏhơn 2)

Xét ( ) ( )

0 3.0 0 27 27

f = +a + =b g x + ⇔ =b ( )1 ,

(176)

Vì f x( ) chia x+5 dư nên f x( ) (= x+5 ) ( )h x +2 ; (h x( ) đa thức biến x, h x( ) có bậc nhỏhơn 2)

Xét ( ) ( )2 ( ) ( )

5 75 5 73

f − = − +a − + =b h x + ⇔ − a+ = ⇔ − + = −b a b ( )2 , Từ ( )1 , thay b=27 vào ( )2 ta − +5a 27= − ⇔ − = −73 5a 100⇔ =a 20

Vậy a=20;b=27 Đa thức f x( )=3x2+20x+27

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm thuộc cạnh BC, từ M vẽ đường vng góc với cạnh AB D vng góc với cạnh AC E

a) Chứng minh AM =DE

b) Gọi I điểm đối xứng D qua A K điểm đối xứng E qua M Chứng minh tứ giác DIEK hình bình hành Từđó suy ba đoạn IK DE AM, , cắt trung điểm O đoạn

c) Gọi AH đường cao tam giác ABC Chứng minh góc DHE 90° d) Tìm vịtrí điểm M cạnh BC để tứgiác DIEK hình thoi

Lời giải:

a) Xét tứgiác ADME có:

 90

DAC= ° (∆ABC vuông A)

 90

ADM = ° (MD⊥AB)

 90

AEM = ° (ME⊥ AC)

Suy tứgiác ADME hình chữ nhật

AM DE

⇒ =

b) +) Ta có: AD=ME (ADME hình chữ nhật)

Mà

2

AD= DI ( I điểm đối xứng D qua A)

H O

K

I

E D

B C

A

M

(177)

ME= EK(K điểm đối xứng củaE qua M ) Suy ra: DI =EK

+) Lại có: DA// ME (ADME hình chữ nhật) Mà: I∈DA K; ∈EM

Suy DI // EK

Xét tứgiác DIEK có: DI =EK; DI // EK(cmt)

Suy tứgiác DIEKlà hình bình hành (đpcm)

+) Gọi O giao điểm hai đường chéo AM DE hình chữ nhật ADME Khi đó, O trung điểm đường chéo DEvà AM

Mà hình bình hành DIEKcó O trung điểm đường chéo DE, nên O trung điểm đường chéo IK

Vậy ba đoạn IK DE AM, , cắt trung điểm O đoạn

c) Xét∆AHM vng H có O trung điểm AM , HO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM

Suy

HO= AM Mặt khác, AM =DE

Nên

2 HO= DE

Xét ∆DHO có đường trung tuyến HO= DE Suy ∆DHE vuông H

 90

DHE

⇒ = °

d) Để hình bình hành DIEK hình thoi thì: ID=IE Ta chứng minh AIEM hình bình hành ⇒IE= AM Suy ID=AM

Mà

2 DA= DI Suy

2 DA= AM ADO

⇒

 60

DAO

⇒ = ° hay BAM= °60

Vậy điểmM nằm cạnh BC cho BAM= °60 tứgiác DIEK hình thoi Bài 5. a) Tìm n∈ để

1

n +n + số nguyên tố

(178)

b) ( Dành cho học sinh lớp 8C) Cho tam giác ABC Ta lấy điểm Dtrên cạnh ABvà điểm E cạnh ACsao cho

3 BD

AD=

1 CE

AE = Gọi F giao điểm BE CD Tính diện tích tam giác ABCtheo S biết diện tích tam giác ABF S

Lời giải

a) Ta có 4 2 ( 4 2 ) 2 ( 2 )2 2 ( 2 )( 2 )

1 1 1

n +n + = n + n + −n = n + −n = n + −n n + +n Vì

1

n +n + số nguyên tố nên

1

n +n + chỉcó ước sốđó

Mà ( ) ( )

1

n + −n ≤ n + +n Do đó,

( )

2

1 1

0

1

n n n n n n

n n

+ − = ⇔ − = ⇔ − =

= =

 

⇔ ⇔

− = =

 

Thử lại:

+ n=0thì

1

n +n + = (khơng thỏa mãn) + n=1thì n4+n2+ = + + =1 1 (thỏa mãn) Vậy n=1 số cần tìm

b)

+ Xét tam giác FADvà FBDcó: FAD

FBD

S AD

S = BD = (Chung chiều cao hạ từ Fxuống AB) Mà SFAD+SFBD =SFAB =S

3 ;

4

FAD FBD

S S

⇒ = =

+ Xét tam giác FECvà FAEcó: FEC

FAE

S EC

S = EA = (Chung chiều cao hạ từ F xuống AC )

Giả sửdiện tích tam giác FEClà S1 diện tích tam giác FAElà 4S1

+ Xét tam giác BECvà BEAcó: 1

1

4 4

BEC BFC FEC BFC

BFC BEA ABF AFE

S S S S S EC S

S

S S S S S EA

+ +

= = = = ⇒ =

+ +

(Chung chiều cao hạ từ B xuống AC)

(179)

+ Xét tam giác CBDvà CADcó: 4

3 3 4

4 CBD BFC FBD

ACF CAD ACF AFD

ACF

S S

S S S BD S

S S

S S S S AD

+ +

= = = = ⇒ =

+ +

(Chung chiều cao hạ từ C xuống AB)

Do đó,

4 ABC ABF BFC AFC

S S

S =S +S +S = + +S = S

Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức 2

1

:

1

 + + −   

= +   − 

− − −

   

x x x x

P

x x x x x

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị x để P=3x c) Với x>1, so sánh P với

Bài 2. (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2

1

+ − −

x x y y

b)

7x +3x −43x+33

c) 2

4x −17x y +4y

d) ( )( )

10 8

− − − − −

x x x x

Bài 3. Xác định số a b, cho f x( )=x3+ax2+bx−1chia hết cho g x( )=x2− −x Bài 4.( 3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn , trực tâm H , đường caoBD CE, Gọi M

trung điểm BC Lấy điểm F đối xứng với điểm C qua H

a) Qua F kẻ đường thẳng song song với ACcắt cạnh AB tạiP , nối PH cắt AC

Q , chứng minh : HP = HQ

b) Chứng minh: MH ⊥PQ

c) Gọi I trung điểm DE , J trung điểm AH Chứng minh I; J; M thẳng hàng

d) Chứng minh : SPBC+SQBC =2SBHC

Bài 5. a) Cho số x y, thỏa mãn: 2x+3y=13 Tìm giá trị nhỏ Q=x2+y2 b) Cho x>0 Tìm giá trị nhỏ

2

3 x S

x

+ =

+

(180)

Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức 2

1

: 1  + + −    = +   −  − − −    

x x x x

P

x x x x x

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị x để P=3x c) Với x>1, so sánh P với

Lời giải a) Rút gọn P

ĐKXĐ: ≠   ≠ ±  x x ( ) ( )( ) 2

1

:

1 1

   + + −    = +  − −  − − + +     

x x x x

P

x x x x x x x

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 2

2

1

:

1 1 1

 

 + − + −   + + 

= +  −

− −  − + + − + + 

   

x x x x x x x

P

x x x x x x x x x x

( ) ( )( )

2

1

:

1 1

− + + − +

=

− − + +

x x x x

P

x x x x x

( ) ( )( ) 1 1 − + + + = − +

x x x

x P

x x x

2

1 + + = x x P

x b) P=3x ⇔

2 + + = x x x

x với

0 ≠   ≠ ±  x x

⇒ 2

1

+ + =

x x x

⇒

2x − − =x

⇒

2x −2x+ − =x

⇒ 2x x( − + − =1) (x 1)

⇒(x−1 2)( x+ =1)

⇒

2 − =   + =  x x ⇒ 1 =    = −  x x

(181)

Vì ≠   ≠ ± 

x

x nên

1

= −

x

c) Với x>1, so sánh P với

Xét ( )

2

2 1

1

3 + + − + −

− = x x − = x x = x

P

x x x

Với x>1, ta có: ( )

2

1

0  − > 

 > 

x x Nên P− >3 ⇒ >P

Bài 2. (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2

1

+ − −

x x y y

b)

7x +3x −43x+33

c) 2

4x −17x y +4y

d) ( )( )

10 8

− − − − −

x x x x

Lời giải

a) 2 2( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

1 1 1 1

+ − − = + − + = + − = + − +

x x y y x y y y x y x x

b) 3 2

7x +3x −43x+33=7x −7x +10x −10x−33x+33

( ) ( ) ( )

7 10 33

= x x− + x x− − x−

( )( )

1 10 33

= x− x + x−

( )( )

1 21 11 33

= x− x + x− x−

( 7) ( 3) 11( 3)

= x−  x x+ − x+ 

( 1)( 7)( 11)

= x− x+ x−

c) 2 ( 2 4) 2

4x −17x y +4y = 4x −8x y +4y −9x y

( ) ( )2

2

= x− y − xy

(2 )(2 )

= x− y− xy x− y+ xy

d) ( )( )

10 8

− − − − −

x x x x

Đặt

9 − − =

x x y, thay vào đa thức cho ta được:

( )( ) 2 ( )( )

1 8 3

− + − = − − = − = − +

y y y y y y

Do đó, ta có:

( )( ) ( )( )

10 8 9

− − − − − = − − − − − +

x x x x x x x x

( )( )

12

= x − −x x − −x

( )( )

4 12

= x − x+ x− x − x+ x−

(182)

( 4) (3 4) ( 3) (2 3)

=x x− + x−   x x− + x− 

( 4)( 3)( 3)( 2)

= x− x+ x− x+

Bài 3. Xác định số a b, cho f x( )=x3+ax2+bx−1chia hết cho g x( )=x2− −x Lời giải

Gọi Q x( )là đa thức thương phép chia hết f x( ) cho g x( )

Ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2

x +ax +bx− = x − −x Q x = x+ x− Q x

Vì đẳng thức với x nên cho x= −1và x=2 ta được:

1 2

8 4

2 a

a b a b

a b a b

b −  = 

− + − − = − =

 ⇔ ⇔

 + + − =  + = −  −

   =

 Vậy với 1;

2

a= − b=− f x( )chia hết cho g x( )

Bài 4.( 3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn , trực tâm H , đường caoBD CE, Gọi M trung điểm BC Lấy điểm F đối xứng với điểm C qua H

a) Qua F kẻ đường thẳng song song với ACcắt cạnh AB tạiP , nối PH cắt AC

Q , chứng minh : HP = HQ

b) Chứng minh: MH ⊥PQ

c) Gọi I trung điểm DE , J trung điểm AH Chứng minh I; J; M thẳng hàng

d) Chứng minh : SPBC+SQBC =2SBHC

Lời giải a) Xét ∆FHP ∆CHQ có :

 

PFH =QCH (hai góc so le củaFP/ /AC )

( )

FH =CH gt

 

FHP=CHQ (hai góc đối đỉnh)

( )

FHP CHQ g c g HP HQ

⇒ ∆ = ∆ ⇒ =

b) Vì FP/ /AC BD, ⊥AC⇒FP⊥BD

Lại có : BE⊥FC gt( ), Suy P giao điểm đường cao ∆FBH ⇒P trực tâm

của ∆FBH ⇒ HP đường cao ∆FBH ⇒HP⊥FB

(183)

Mặt khác MH đường trung bình ∆FBC nên MH/ /FB ⇒MH ⊥HP hay MH ⊥PQ

c) ∆BEC vng E có EM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

BC

EM = Tương tự:

2 BC

DM = , suy : EM =DM ⇒M nằm đường trung trực ED (1)

AEH

∆ vng E có EJ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH nên :

AH EJ =

Tương tự :

2 AH

DJ = , : EJ =DJ ⇒J nằm đường trung trực ED (2) Mặt khác ta có :ID=IE gt( ) ⇒I nằm đường trung trực ED (3)

Từ(1), (2), (3) suy : I J M; ; nằm tên đường trung trực ED ⇒I J M; ; thẳng hàng

d) Kẻ PK ⊥BC HN, ⊥BC QT, ⊥BC , / / HN/ / QT

PK Hình thang PQTK có: , / / / /

HP=HQ HN PK QT ⇒HN đường

trung bình

2

PK QT

HN + PK QT HN

⇒ = ⇒ + =

Ta có :

2

PBC QBC

S +S = BC PK+ BC QT

( )

1

.HN 2S

2BC PK QT 2BC HBC

= + = =

Vậy :SPBC+SQBC =2SBHC

Bài 5. a) Cho số x y, thỏa mãn: 2x+3y=13 Tìm giá trị nhỏ Q=x2+y2 b) Cho x>0 Tìm giá trị nhỏ

2

3 x S

x + =

+ Lời giải a) Ta có 13 13

3 x

x+ y= ⇔ =y − Do đó:

( )2

2 2

2 13 2 169 52 13 52 169 13 117 117

13

3 9 9

x

x x x x x

Q=x + −  =x + − + = − + = − + ≥ =

 

Vậy minQ=13.Đẳng thức xảy x=2 y=3

b) Ta có ( ) ( ) ( )

2

2 2 1 2 1 4

3

1

1 1

x x x

x

S x

x x x

+ + − + +

+

= = = + + −

+ + +

(184)

Ta có với x>0 , hai số dương x+1và

x+ có tích không đổi nên S nhỏ

( )2

4

1

x x x

x

⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

+ (vì x>0)

Vậy minS= ⇔ =2 x

Thời gian: 120 phút Bài1. Cho biểu thức 32 2 1 2

1 1 5

x x x

B

x x x x x x

 + −  −

= − − 

− + + − − +

 

a) Tìm điều kiện xác định rút gọn B

b) Tính giá trị B x thỏa mãn x+ =1

c) Tìm x cho biểu thức B đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn Bài2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a)

3 10 A= x − x−

b)

3 10

B=x + x + x + x+

c) C=(x+2)(x+3)(x+4)(x+ −5) 24

d) D=ab a b( − −) ac a c( + +) bc(2a b c− + )

Bài3. (1 điểm)Tìm đa thức f x( ) biết f x( ) chia cho đa thức x+3 dư 2, chia cho đa thức

−

x dư chia cho đa thức x2− −x 12 đa thức thương − +x dư

Câu 4.(4 điểm) Cho tam giác ABC có BAC=α tổng AB+AC=2a Dựng phía ngồi tam ABC tam giác ABE ACF vuông cân A Gọi I, J, G, H trung điểm cạnh CF, EF, EB, BC

a) Chứng minh vng góc b) Chứng minh tứgiác hình vng c) Chứng minh AH vng góc

2EF

d) Chứng minh diện tích tam giác ABCbằng diện tích tam giác AEF Xác định số đo góc α cho diện tích tứgiác BEFC lớn Tính diện tích theo a

Bài5. (0,5 điểm – Dành cho học sinh lớp 8C) Cho hình chữ nhậtcó chu vi khơng nhỏ 2 có tứgiác có đỉnh nằm cạnh hình chữ nhật Chứng minh chu vi tứgiác không nhỏhơn

CE BF

GHIJ

(185)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TOÁN LỚP (2012-2013)

Thời gian: 120 phút Bài1. Cho biểu thức 32 2 1 2

1 1 5

x x x

B

x x x x x x

 + −  −

= − − 

− + + − − +

 

a) Tìm điều kiện xác định rút gọn B

b) Tính giá trị B x thỏa mãn x+ =1

c) Tìm x cho biểu thức B đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn Lời giải

a Điều kiện xác định x≠1

B= 32 2 1 2

1 1 5

x x x

x x x x x x

 + − − −  −  − + + −  − +   ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2

2 2

2 2 2

3 1 1

2 5

1

3 1

2 5

1

2 5

1

2 5

x x x x x

x x

x x x

x x x x x x

x x

x x x

x x x x x x x x + − − − + + − = − + − + + + − + − − − − − = − + − + + + + = − + + + = − +

b Khi x+ =1 Ta có trường hợp

x+ = ⇒ =x ( Không thỏa mãn điều kiện xác định) Hoặc x+ = −1 2⇒ = −x (thỏa mãn điều kiện xác định) Với x= −3ta có

( )2 ( )

1

38 5

B= =

− − − +

c Ta có

2

2 5

5 25 25

2

4 16

5 15 x x x x x − +   =  − + + −     =  −  +  

(186)

Vì

2

5 15 15

0

4 8

x x x x

 −  ≥ ∀ ⇒  −  + ≥ ∀

   

   

Mà >0

Nên

15 15

B≤ ≤

Vậy giá trị lớn biểu thức Blà 15

5

0

4

x− = ⇒ =x Bài2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a)

3 10 A= x − x−

b)

3 10

B=x + x + x + x+

c) C=(x+2)(x+3)(x+4)(x+ −5) 24

d) D=ab a b( − −) ac a c( + +) bc(2a b c− + ) Lời giải

a)

3 10 A= x − x−

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

3 10 10

3 10

x x x

x x

= − + −

= − +

b)

3 10

B=x + x + x + x+

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

4 2

2 2

2

3 3

1 1

1

x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x

= − + + + + + +

= − + + + + + + + +

= + + − + +

= + + + +

= + + +

c) C=(x+2)(x+3)(x+4)(x+ −5) 24

( )( ) ( )( )

( )( )

2 24

7 10 12 24

x x x x

= + +    + + −

= + + + + −

Đặt t =

7 10 x + x+ ta có

( ) ( )( )

2

2 24 24

4

C t t

t t

= + −

= − +

Thay t =

7 10

x + x+ ta

(187)

( )( )

( )( )( )

2

7 16

1 16

C x x x x

x x x x

= + + + +

d) D=ab a b( − −) ac a c( + +) bc(2a b c− + )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )(ac bc) ( )(a c) (a )(a b) (a b)(a c)(b c)

D ab a b ac a c bc a c bc a b a b ab bc a c

b a b c c

= − − + + + + −

= − + − + −

= − + −

Bài3. (1 điểm)Tìm đa thức f x( ) biết f x( ) chia cho đa thức x+3 dư 2, chia cho đa thức

−

x dư chia chođa thức x2− −x 12 đa thức thương − +x dư

Lời giải

Vì f x( ) chia cho đa thức x2− −x 12 đa thức thương − +x dư nên

( ) ( )( ) ( )( )( )

12

= − − − + + = + − − + +

f x x x x ax b x x x ax b

Vì f x( ) chia cho đa thức x+3 dư nên f ( )− =3 Do − + = ⇒ =3a b b 3a+2( )1 Vì f x( ) chia cho đa thức x−4 dư nên f ( )4 =9 Do 4a b+ =9( )2

Thay ( )1 vào ( )2 ta 7a+ = ⇒ =2 a Từđó tính b=5 Vậy đa thức cần tìm ( ) ( )( )

12 12

= − − − + + = − + + −

f x x x x x x x x

Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC có BAC=α tổng AB+AC =2a Dựng phía ngồi

tam ABC tam giác ABE ACF vuông cân A Gọi I, J , G, H trung điểm cạnh CF, EF, EB, BC

a) Chứng minh vng góc b) Chứng minh tứgiác hình vng c) Chứng minh AH vng góc

2EF

d) Chứng minh diện tích tam giác ABCbằng diện tích tam giác AEF Xác định số đo góc α cho diện tích tứgiác BEFC lớn Tính diện tích theo a

Lời giải

Các chứng minh sử dụng hình vẽ lập luận với giả thiết góc BAC =α khơng phải góc tù Khi góc BAC=α góc tù, ta đổi vai trị hai tam giác ABC,

AEF cho ta có kết quảbài tốn a) Chứng minh vng góc

CE BF

GHIJ

CE BF

(188)

Xét hai tam giác AEC ABF có AE= AB

AC =AF

  90

EAC =BAF = ° +α

⇒∆AEC= ∆ABF⇒EC=BF  AFB=ACE

Gọi Klà giao điểm CE vàBF tam giác KFC ta có:

 

KCF+KFC =KCA +ACF + AFC−AFK =ACF +AFC = °⇒90 CKF= °⇒90 CE⊥BF b) Chứng minh tứgiác hình vng

Ta có: I, J trung điểm cạnh CF, EF nên IJ đường trung bình tam giác ⇒ ,

2

IJ = EC

(1)

Tương tự, GH đường trung bình tam giác ⇒GH  EC,

GH = EC (2) GHIJ

FEC IJ  EC

BEC

(189)

JG đường trung bình tam giác EBF⇒GJ  BE,

GJ = EB (3) Từ (1) (2) ⇒ ⇒IJGH hình bình hành

Lại có: = CE⊥BF nên từ (2), (3) ⇒GH =GJ GH⊥GJ Từđó suy tứgiác hình vng

c) Chứng minh AH vng góc 2EF

Gọi P điểm đối xứng với C qua A⇒FAP= °90 Xét hai tam giác EAF BAP có

AE= AB AP=AF =AC

  90 

EAF =BAP= ° +EAP

⇒∆EAF = ∆BAP⇒EF=BP  APB=AFE Gọi M , L giao điểm EFvới PA,PB thì:



PLM =180° − APB−PML=180° −(AFE +AMF) =180° − °90 = °90 ⇒PB⊥EF

Tam giác CBP có AH đường trung bình nên AH  PB

AH = PB⇒AH ⊥EF

và

2 AH = EF

d) Chứng minh diện tích tam giác ABCbằng diện tích tam giác AEF Xác định sốđo góc

α cho diện tích tứgiác BEFC lớn Tính diện tích theo a IJ  GH IJ =GH

CE BF

GHIJ

M

L P

H F

E

B A

C

(190)

Theo chứng minh câu c), ∆EAF = ∆BAP⇒SEAF =SBAP

Dễ thấy SABC =SBAP(hai tam giác có chung đường cao kẻ từ B hai đáy AP=AC) ⇒SABC =SAEF

Đặt AB=x, AC= y (x>0,y>0) ⇒x+ =y 2a

Hơn nữa, kẻđường cao CT tam giác ABC CT ≤CA nên

1

2

ABC

S = AB CT ≤ AB AC

2 ABC

S xy

⇒ ≤

Dấu “=” xảy CT ≡CA, góc α 90°

Ta có: SBEFC = SABE+SACF+SABC+SAFE =SABE +SACF+2SABC ( )

2 2

1

2

2 x y xy a a

≤ + + = =

Vậy diện tích tứgiác BEFC lớn góc α 90° Khi SBEFC =2a

Bài 5. (0,5 điểm – Dành cho học sinh lớp 8C) Cho hình chữ nhật có chu vi khơng nhỏhơn 2 có tứgiác có đỉnh nằm 4cạnh hình chữ nhật Chứng minh chu vi tứgiác không nhỏhơn

Lời giải

Xét hình chữ nhật ABCDcó E F G H, , , điểm thuộc cạnh , , ,

AB BC CD DA Gọi M N P, , theo thứ tựlà trung điểm EH EG GF, , Ta có EH =2AM ; HG=2MN; GF =2CP EF =2NP

K P

H

I J

G

F

E

B A

C

P N

M

H

G

F E

D C

B A

(191)

Chu vi tứgiác EFGH là: EH+HG+GF+FE=2(AM +MN+NP+PC)≥2AC Theo giảthiết ta AB+BC≥

Giả sử AB≥BC + Nếu

2

≥

BC ta AB2+BC2 ≥1 Do EH+HG GF+ +FE≥2AC≥2 + Nếu

2

<

BC

2

= −

BC a với a>0 Khi 2

≥ +

AB a

Ta 2

1

+ ≥ + ≥

AB BC a Do EH+HG GF+ +FE≥2AC≥2 Ta có điều cần chứng minh

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TOÁN LỚP (2013-2014)

sBài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức: 32 2 21

1 2x +1

x x

P

x x x x

−  

= −  − 

+ +  + − 

a) Tìm điều kiện có nghĩa P rút gọn P b) Tìm số nguyên x để

P số nguyên Bài 2. (2,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 2

1 A=x y+x − −y ; b) ( 2 ) (2 2 )

4 12

B= x +x + x +x − ;

c) ( ) (2 )( )

6

C= x+ x+ x+ − ; Bài 3. Cho

( )

P x =x + x −x +ax b+ Q x( )=x2+2x−3

Xác định a b cho đa thức P x( ) chia hết cho đa thức Q x( )

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M nằm cạnh BC, hạ MD ME vng góc với AB AC (D∈AB, E∈AC) Lấy điểm I đối xứng với D qua A,

K đối xứng với E qua M

a) Chứng minh tứgiác DIEK hình bình hành

b) Chứng minh ba đường thẳng IK, DE, AM giao điểm c) Tìm vịtrí M BC để tứgiác ADME hình vng

d) Khi M chân đường cao hạ từ A xuống BC, gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh rằng: AJ ⊥DE

Bài 5. Cho x, y số thực thỏa mãn x+ =y

(192)

a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( )( )

4

C = x + y y + x + xy

b) Cho tứ giác ABCD có E, F, G, H nằm cạnh AB cho AE=EF =FG=GH =HB M , N, P, Q nằm cạnh CD cho DM =MN =NP=PQ=QC Chứng minh diện tích tứ giác FGPN

5 diện tích tứgiác ABCD

GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức: 32 2

1 1

1 2x +1

x x

P

x x x x

−  

= −  − 

+ +  + − 

a) Tìm điều kiện có nghĩa P rút gọn P b) Tìm số nguyên x để

P số nguyên Lời giải a) Tìm điều kiện có nghĩa P rút gọn P

Đk : x≠1,x≠ −1

3

2 2

1 1

1 2x +1

x x

P

x x x x

−   = −  −  + +  + −  ( ) ( ) ( )( ) 2

1 1

1 1 1

x x

x x x x x

  −   = − −   + +  + − +  ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 1

1

1 1 1

x x x x

x x x x

− − − +

= −

+ + + −

( )( )

( ) (2 )

2

1

1 1

x x x

x x x x

+ − −

= −

+ + + −

( )( )

1

1 1

x

x x x

= + + + + ( )( ) 2 1 x x x x + + = + + ( ) ( )( ) 2 1 x x x + =

+ +

1 x x + = +

b) Tìm số nguyên x để

P số nguyên

Có: ( )

2

1

1 2

1

1 1

x x

x x x x x

x

P x x x x

+ −

+ + + −

= = = = + −

+ + + +

2 2 1 x x x + − = + − +

(193)

2

1

x x

= + − + = − +

+ +

1

P sốnguyên chỉkhi 2(x+1) hay (x+1) ước Lập bảng

1

x+ −1 −2

x −2 −3

Vậy : x∈{0; 2;1; 3− − }thì

P số nguyên

Bài 2. (2,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) 2

1 A=x y+x − −y b) ( 2 ) (2 2 )

4 12

B= x +x + x +x −

c) ( ) (2 )( )

6

C= x+ x+ x+ −

Lời giải

a) 2

1

A=x y+x − −y ( ) ( ) ( )( )

1 1

y x x x y

= − + − = − +

b) ( 2 ) (2 2 )

4 12

B= x +x + x +x − =(x2+x) (2+4 x2+x)+ −4 16=(x2+ +x 2)2−42

( )( ) ( )( )

2 4

x x x x x x x x

= + + − + + + = + − + +

c) ( ) (2 )( )

6

C = x+ x+ x+ − =(36x2+60x+25 3)( x2+5x+ −2)

( ) ( )

12 3x 5x 3x 5x

 

= + + +  + + −

Đặt:

3

t= x + x+

( )

12 12

C= t+ t− = t + −t =12t2+ − −9t 8t =3 4t( t+ −3) (2 4t+3)=(4t+3 3)( t−2)

Thay

3

t = x + x+ vào ta :

( ) ( )

4 3 2

C= x + x+ +    x + x+ −  =(12x2+20x+11 9)( x2+15x+4)

( )( ) ( )( )( )

12x 20x 11 9x 12x 3x 12x 20x 11 3x 3x

= + + + + + = + + + +

Bài 3. Cho

( )

P x =x + x −x +ax b+ Q x( )=x2+2x−3

Xác định a b cho đa thức P x( ) chia hết cho đa thức Q x( ) Lời giải

Chia đa thức

( )

P x =x + x −x +ax b+ cho đa thức Q x( )=x2+2x−3 ta

2

( ) ( 3)( ) ( 3)

P x = x + x− x + + +x a x b+

P x( ) chia hết cho đa thức Q x( ) (a+3)x+ =b với x 0 a b

+ =  ⇔  =



0 a b

= −  ⇔  =



(194)

Vậy với a= −3 b=0 P x( ) chia hết cho đa thức Q x( )

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M nằm cạnh BC, hạ MD ME vng góc với AB AC (D∈AB, E∈AC) Lấy điểm I đối xứng với D qua A,

K đối xứng với E qua M

a) Chứng minh tứgiác DIEK hình bình hành

b) Chứng minh ba đường thẳng IK, DE, AM giao điểm c) Tìm vịtrí M BC để tứgiác ADME hình vng

d) Khi M chân đường cao hạ từ A xuống BC, gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh rằng: AJ ⊥DE

Lời giải

a) Ta có:

 

90 90 ˆ 90 (gt) ˆ 90 (gt)

MDA

MD AB

ME AC MEA tg AEMD

A A

°

 =

 ⊥ 

 ⊥ ⇒ = ⇒

 

 = °  = °

 

là hình chữ nhật

//

ME DA

=  ⇒ 

 (1) Mặt khác

2 (gt) (gt)

DI DA

EK ME

= 

 =

 (2)

Từ (1); (2) ta suy //

DI EK

DI EK =  



Nên tứgiác DIEK hình bình hành b) Giả sử: DE AM H

DE IK H

∩ =



 ∩ = ′



Do tứgiác AEMD hình chữ nhật ⇒H trung điểm DE

Mặt khác tứgiác DIEK hình bình hành nên H′là trung điểm DE

(195)

H H′

⇒ ≡ Vậy AM DE IK, , đồng quy H

c) Để tứgiác ADME hình vng AD=MDhay ∆ADMvng cân D

 45

DAM ° AM

⇔ = ⇒ tia phân giác A

d) Ta có: AM ⊥BC(gt) ⇒BAM+ = °Bˆ 90 Mặt khác ∆ABC vuông A nên  B C+ = °90   (3)

BAM C

⇒ =

Do AJ trung tuyến ứng với cạnh BCnên

2 BC

AJ =JC=JB= ⇒ ∆AJC cân J

  (4).

JAC C

⇒ = Từ (3), (4)⇒ BAM =JAC (5)

Do tứgiác ADME hình chữ nhật ⇒ ∆ADM = ∆EMD(c.c.c)⇒DAM =MED hay  BAM =MED

Mặt khác MED +AED= ° ⇒90 DAM +AED= °90 hay BAM +AED= °90 (6) Từ (5), (6)⇒JAC +AED= °90

Gọi O=AJ∩DE Trong ∆AIE ta có :

 180   180 ( ) 90

AOE= ° −OAE OEA− = ° − JAC+AED = ° hay AJ⊥DE Bài 5. Cho x, y số thực thỏa mãn x+ =y

a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( )( )

4

C= x + y y + x + xy

b) Cho tứ giác ABCD có E, F, G, H nằm cạnh AB cho AE=EF =FG=GH =HB M , N, P, Q nằm cạnh CD cho DM =MN =NP=PQ=QC Chứng minh diện tích tứ giác FGPN

5 diện tích tứgiác ABCD

Lời giải

a) ( )( ) 2 3

4 4 16

C= x + y y + x + xy=x y + x + y + xy+ xy

2 2

4( ) ( ) 24

x y x y  x y xy xy

= + +  + − + 2

4(1 ) 24

x y xy xy

= + − + 2

12

x y xy

= + +

2

(xy 6) 32 32, x y,

= + − ≥ − ∀

Vậy C đạt giá trị nhỏ −32

6 3;

1 2;

xy xy x y

x y x y x y

+ = = − = = −

  

⇔ ⇔

 + =  + =  = − =

  

b) Trước hết chứng minh toán phụ: "Cho tứgiác ABCD Lấy E, F cạnh AB M , N CD cho AE=EF =FB DM =MN =NC Chứng minh

1 EFMN ABCD S = S " Thật

(196)

Q J

P I

N M

B F

A

D

C

E

Gọi I, J, P, Q trung điểm AD, EM, FN, BC

Suy I , J, P, Q thẳng hàng ( dựa vào tính chất đường chéo hình bình hành EIMP FJNQ)

Ta có

2 EPMI AFND

S = S

4 EPM AFND

S∆ S

⇒ = (1)

1

2

EPB MPC EBCM EPF MPN EBCM S∆ +S∆ = S ⇒S∆ +S∆ = S (2) Từ (1) (2)

1

S

4

EPM S EPF S MPN SAFND SEBCM

∆ ∆ ∆

⇒ + + = + 1( )

4

EFMN ABCD EFNM

S S S

⇔ = −

4SEFMN 4SABCD

⇔ =

1 EFMN ABCD

S S

⇔ =

Áp dụng vào tốn ta có:

Q P

N M

B H

G F

A

D

C

E

( )

1

3

FGPN EHQM EFNM FGPN GHQP

S = S = S +S +S 1( )

3SFGPN SEFNM SGHQP

⇒ = +

( ) 1

2 ( ) ( )

3

FGPN EFNM GHQP AGPD FBCN ABCD FGPN

S S S S S S S

⇒ = + = + = −

3SFGPN 3SABCD

⇒ =

1 FGPN ABCD

S S

⇒ =

(197)

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG CHUN HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP (2014-2015)

Thời gian: 120 phút Bài 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức: ( )

2 2

2

2 2x 1 10

:

2

4

x

x x

A x

x x

 + +   − 

 

= + +  − + 

+ +

− −

   

 

b) Tính giá trị A, biết x2+ + =x

c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài 2. (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)

3

x + x − b)

4 x +

c) (x+1)(x+2)(x+3)(x+ −4) 24

Bài 3 (1,0 điểm) Xác định a b đểđa thức P )(x =x4 – 3x3+ ax + b chia hết cho đathức

Q(x)=x + −3x

Bài 4. (3,5 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME⊥ AB,MF ⊥AD

a) Chứng minh:DE=CFvà DE⊥CF

b) Chứng minh ba đường thẳng:DE BF CM, , đồng quy c) Chứng minh : 2 2

MA +MC =MB +MD

d) Xác định vịtrí điểm M đểdiện tích tứgiác AEMF lớn Bài 5. (1,0 điểm)

a) Cho 3;

2

a= − b= + , tính giá trị biểu thức 4

C=a +b b) ( Dành riêng cho lớp 8A B) Cho x y, >0vàx+ =y Tìm giá trị lớn biểu thức 5

A=x y +x y

(198)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG CHUYÊNHÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN LỚP (2014-2015)

Thời gian: 120 phút Bài 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức: ( )

2 2

2

2 1 10

: 2 x x x x A x x x x x  + +   −    = + +  − +  + +  − −      a) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Lời giải

Điều kiện có nghĩa biểu thức A là: x≠2; x≠ −2

( ) 2

2

2 1 10

: 2 x x x x A x x x x x  + +   −    = + +  − +  + + − −       ( )( ) ( ( )( ) )

2 2 2

2

2 1 4 10

:

2 2 2

x x

x x x

A

x x x x x x x

 + +   − + −    = + +   − + + +  − + +     

( 2)( 2) 22 12 : 62 x

x x x x x

 −   

= + +   

− + − +  + 

 

( 2)(4 2)2 62

x x x x

x x − − + − + = ⋅ − + x − = −

Vậy với x≠ ±2, biểu thức A x − = −

2

1 x + + =x

2 3 x x x x  + + = ⇔  + + = −  2 x x x x  + − = ⇔  + + =  x x =  ⇔  = − 

Với x=1 1 A= − =

−

Với x= −2 biểu thức A khơng có nghĩa Vậy giá trị A x2+ + =x

c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên

(199)

Để A nguyên x

−

− nguyên ⇔ −1(x−2)⇔(x−2)∈ Ư( )−1 ⇔(x− ∈ −2) { 1;1} Vậy x∈{ }1;3

Bài 2. (1,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)

3x x + − b)

4 x +

c) (x+1)(x+2)(x+3)(x+ −4) 24

Lời giải a)

3

x + x − =x3−x2+4x2−4x+4x−4 2( ) ( ) ( )

1 4

x x x x x

= − + − + −

( )( )

1 4x

x x

= − + +

( )( )2

1

x x

= − +

b)

4

x + =x4+4x2+ −4 4x2 =(x2+2)2−( )2x =(x2+ −2 2x)(x2+ +2 2x) c) Đặt S =(x+1)(x+2)(x+3)(x+ −4) 24

( 1)( 4)( 2)( 3) 24

S = x+ x+ x+ x+ − =(x2+5x+4)(x2+5x+6)−24 Đặt

5

t=x + x+ Khi đó: S = −(t 1)(t+ −1) 24 = − −t2 24 = −t2 25 = −(t 5)(t+5) Suy ra: ( )( ) ( )( ) ( )( )

5 5 5 5 10 5 10

S = x + x+ − x + x+ + = x + x x + x+ =x x+ x + x+

Vậy ( )( )( )( ) ( )( )

1 24 5 10

x+ x+ x+ x+ − =x x+ x + x+

Bài 3 (1,0 điểm) Xác định a b đểđa thức P )(x =x4 – 3x3+ ax + b chia hết cho đathức

Q(x)=x + −3x

Lời giải Cách

Thực phépchia :

4

x − x +ax + b x2+3 - 4x

3

x + x − x

6x 4x ax b

− + + +

6x 18x 24x

− − +

( )

22x + 24a− x+ b

22x +66 88x −

(a−90 )x + 88 b +

Để P( )x chia hết cho Q( )x phần dư (a−90)x 88 0+ b + = ∀x Suy 90

88 a

b

− =



 + = 

90 88 a b

=  ⇔  = −



(200)

Cách

( )

P x chia hết cho Q( )x ⇔ P( )x =Q( ) ( )x H x ∀x

Cho x=1 ta P 1( )=Q H 1( ) ( ) ⇔ − + + =1 a b 0⇔ + =a b (1)

Cho x= −4 ta P( )− =4 Q( ) ( )−4 H −4 ⇔256 192 4+ − a b+ =0⇔ − + = −4a b 448 (2) Từ(1) (2) ta suy a=90; b= −88

Bài 4. (3,5 điểm)Cho hình vng ABCD, M điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME⊥ AB,MF ⊥AD

a) Chứng minh:DE=CFvà DE⊥CF

b) Chứng minhba đường thẳng:DE BF CM, , đồng quy c) Chứng minh : 2 2

MA +MC =MB +MD

d) Xác định vịtrí điểm M đểdiện tích tứgiác AEMF lớn Lời giải

a) Gọi K giao điểm ED FC Xét ∆ADE ∆DFC có:

  90

A= ADC= ° (1) AD=DC(gt) (2)

DFM

∆ vng F có FDM =45°nên cân F ⇒FD=FM =AE (3) Từ (1),(2),(3)⇒ ∆AED= ∆DFC c g c( )

ED FC

⇒ = (cặp cạnh tương ứng)

 

1

D =C (Cặp góc tương ứng) Mà C 1+F1 = ° ⇒90 D 1+F1= °90

 90

FKD DE FC

⇒ = ° ⇒ ⊥

b) Chứng minh tương tự câu a ta có ∆ABF = ∆BCE (Cạnh – góc – Cạnh) từ suy CE⊥BF

Ta có ME⊥AB E EBM =ABD= ° ⇒45 ∆EBM vuông cân E ⇒EB=EM

1

K F

E

D A

B C

M

Định dạng
Số trang	215
Dung lượng	3,54 MB