Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức

Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.. Nhân đa thức với đa thức.[r]

NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC - NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

I Lý thuyết:

1 Nhân đơn thức với đa thức

Quy tắc: Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với

 

A B C A B A C Nhân đa thức với đa thức

Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với

A B C D    AC BC AD BD   II Các dạng tập:

Dạng 1: Thực phép tính Phương pháp:

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức quy tắc nhân đa thức với đa thức để thực phép tính

Bài 1: Thực phép tính:

a)  2 2 2 31

2

x x x

   b) 2

3

x xy x y xy

     

  

  

c)  2 1 2 2

3

x  x x 

     

  d)  

2

2

x y x  y xy

 

Giải

a) Ta có: 2x2x22x3  2x x2 2  2x22x  2x23

4

2x 4x 6x

   

b) Ta có: 2

3

x xy x y xy

     

  

  

2 2 2

2 2

3 3

x

xy x y xy xy xy xy

       

       

       

3 3 2

2 1

3x y 3x y 3x y 6xy

   

c) Ta có:

 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2

3 3

x  x x  x x x   x x                

     

2

3 2 13

4 2

3 3

x x

x x x x x x

d) Ta có:  2

2

x y x  y xy

 

 2  21  23

2

x y x x y y x y xy

     

2 2 3

2 2

x x x y x y y y x xy y xy

     

3

3 2 3

2 2

xy y x y xy x x y

     

Bài 2: Thực phép tính: a)  x x 2 1 3x2x2 3x

b)  xy2 x xy    x x y    yx 2x22xy2 c)  x 2x2x2 x 1

d)   1

2

xy x y x   y  

  

Giải

a) Ta có:  x x 2 1 3x2x2 3x x x. 2x.1 3 x x2 3x2 x

3 9 6 7 9

x x x x x x x

      

b) Ta có:  xy2 x xy    x x y    yx 2x22xy2

2. 2. . . .2 .2

xy x xy xy x x x y yx x yx xy

     

2 2 2 2

x y x y x xy x y x y

     

2 2 2 3

x y x xy x y x y

    

c) Ta có:  x 2x2x2   x 1  x .2x  x 2x2 x 1  2x2 2x x x 1 2x x2 x 1 2x x x 1

           

 2x x2  2x x2  2x2 2 x x2 2 x x 2x

        

4 3

2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x

         

d) Ta có:   1

2

xy x y x   y  

  

   

2

xy x x y y x y

  

      

  

2

2 1

2

xy y xy x xy

  

      

 

 

2

2

2 2

xy y xy xy y

x xy x xy

   

         

2

2 2. . . .

2 3 3

xy y xy xy xy xy y xy

x xy x xy

   

         

   

2 2 2

2

2 3 6

xy y x y x y x y xy x xy

   

         

   

2 2 2

2

2 3 6

xy y x y x y x y xy x xy

       

2 2

2

2

xy y x y x y xy x

     

Bài 3: Tìm giá trị biểu thức

a) A2 3x x 25 x x x3  2x2 x2

b) Bx y x  2xy x x22y2 x2; y 3 c) C6x2xx24x 2 4x x 22x3 x 4 d) D x x  2xy y 2 y x2xy y 2 x5; y 1 Giải

a) Ta có:

   2 2 2

2 3

A x x  x x x x  x x  x x x x x x

3 3

6x 10x 3x x x 7x 4x 10x

       

Tại x2 thay vào ta được: A7.234.2210.2 56 16 20 60    Vậy A60

b) Ta có: Bx y x  2xy x x22y2     . .2 x x xy y x xy x x x y

     

2

x x x xy y x y xy x xy

     

3 2 2 2 2

x x y x y xy x xy x y xy

        

Tại x2; y 3 thay vào ta được: B 2.2 32  2 3  24 18 6  Vậy B6

c) Ta có: C6x2xx24x 2 4x x 22x3

2 3

6x 6x 4x 2x 4x 8x 12x

      

2 3

6x 6x 4x 2x 4x 8x 12x 12x 6x 6x

         

Tại x 4 thay vào ta được: C6 4   24

Vậy C 24

3 2 yx2 3 x x y xy xy y x y

       

Tại x5; y 1 thay vào ta được: D53  13 125   1 126 Vậy D126

Dạng 2: Tìm x với điều kiện cho trước

Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm giá trịx

Bài 1: Tìm x, biết:

a) 2x x  3 x x2  1 10 b) 3 2 3

3

x

x x x

      

  

  

Giải

a) Ta có: 2x x  3 x x2  1 10 2x26x2x2 x 10

5x 10 x

   

b) Ta có: 3 2 3

3

x

x x x

      

  

  

 

2

3

3

x

x x x x

    

             

2 5

3 3

6 6

x x x

x x x x

                Bài 2: Tìm x, biết:

a) 1 2 x x  3 x1 2 x 1 14

b) 3x2  x 2 2x1 2 x  x 4x55 Giải

a) Ta có: 1 2 x x  3 x1 2 x 1 14

 1 x 3  2x x 3  x 2x 1  1 2x 1 14

        

2

3 2 14 12

x x x x x x x x

              

Vậy x 3

b) Ta có: 3x2  x 2 2x1 2 x  x 4x55

3x2 x 2  2x 2 x 1 2 x x x 5 4 x 5 5

           

     

2 2

3 2 20

3 2 20

           

         

x x x x x x x x

x x x x x x

3x 20 x

      Vậy x5

a) 3x24x1x 1 7x x   1 x 12

b) 2x3x 4 x5x2  3x5x4

c) x3ny3nx3ny3n x6ny6n (với n0)

d) 2x2n2x yn ny2nyn4xn yn y2n (với n0) Giải

a) Ta có: 3x24x1x 1 7x x   1 x 12

 

2 2

3x x x x 7x 7x x 12

        

2 2

3x 4x 4x 4x 7x 7x x 12

        

16

4 12 16

6

x x x x

        

Vậy 16

6

x

b) Ta có: 2x3x 4 x5x2  3x5x4

2 2

2x 3x 8x 12 x 5x 2x 10 3x 5x 12x 20

           

2

3x 4x 22 3x 17x 20

     

2

3x 4x 22 3x 17x 20

      

2

21

21

x x

     

Vậy

21

x 

c) Ta có: x3ny3nx3ny3n x6ny6n x6n y x3n 3n x y3n 3n y6n x6n y6n

      

6n 6n 6n 6n 6n 6n 0

x y x y x x

       

6

2x n 0 x n  0 x

Vậy x0

d) Ta có: 2x2n2x yn ny2nyn4xn yn y2n

2 2

2x n 4x yn n 2y n 4y xn n y n y n

     

2 2

2x n y n y n 2x n x

      

B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Bài Rút gọn biểu thức sau:

       

)

a A x x  x x  x x

       

) 3

b B x x  x x   x x x x Hướng dẫn

a) Ta có:

2 2

12 15 12

A x  x x  x  x x  x x

6x 23x 13

  

b) Ta có:

5 2 1 3  3 2  5 4

B x x  x x   x x x x

 

2 2

5x 5x 2x 3x 3x 9x 2x x 5x 4x 20

          

3

3x 8x 12x 2x 18x 40x

       

3

5x 26x 28x

    

Bài Viết kết phép nhân sau dạng lũy thừa giảm dần biến x:

  

)

a x  x x b x) 23x1 4  x

  

) 3

c x  x  x x Hướng dẫn

  

)

a x  x x

3 3 3 3 2 2 3

x x x x x x x x

         

  

)

b x  x  x

2 3

2x 6x 4x 12x 4x 4x 14x 10x

          

  

) 3

c x  x  x x

x2 3x 2 3 x 3x2 9x 6 x3 3x2 2x

         

2 3

3x 9x x 3x 2x x 11x

         

Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x:

       

) 5 17

a C  x x  x x  x

       

) 3

b D x x  x x  x Hướng dẫn

a) Ta có :

2

5 2 15 17 51

C  x  x x  x  x x  x

50

Vậy biểu thức C 50 không phụ thuộc vào x

2

) 48 40 36 27

b D x  x x  x  x x  x

13

D   

Vậy giá trị biểu thức D 13 không phụ thuộc vào giá trị biến x Bài Tìm x, biết :

     

)5 25

a x x  x x 

     

)3 13

b x x  x x   Hướng dẫn

2

)5 35 15 105 10 25

a x  x x  x  x x  

41x 107 25

  

41x 82

  

2

x

2

)3 15 21 105 3 13

b x  x x  x  x  

5x 103 13

   

5x 90

 

18

x 

Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức:

     

) 3 2

a A  x x   x x x 2

   

) 4

b B x x y  y y x 1;

5

x  y  Hướng dẫn

a) Ta có :

2

12 15 10

A x  x  x x  x  x

17x 29x 14

   

Với x  2, thay vào biểu thức ta có :

 2  

17 29 14

A     

68 58 14

   

140

  b) Ta có :

   

5 4

B x x y  y y x

2

5x 20xy 4y 20xy

   

2

5x 4y

 

Thay 1;

5

2

1 1

5

5 25

B        

   

Bài Tính giá trị biểu thức:

6

) 2021 2021 2021 2021 2021 2021

a A x  x  x  x  x  x x2020

10

) 20 20 20 20 20

b B x  x  x   x  x với x 19

Hướng dẫn

a) Với x2020 nên ta thay 2021 x vào biểu thức , ta có :

         

6 1 1 1 1 1 1

A x  x x  x x  x x  x x  x x x 

6 5 4 3 2 1 1

x x x x x x x x x x x x

             

b) Với x 19 nên ta thay 20  x vào biểu thức, ta có :

         

10 1 1 1 1 1

Bx   x x   x x    x x   x x  x

10 10 9 8 2 1

x x x x x x x x x x

           

1



Bài Tìm hệ số a, b, c biết:

 

2

)2 20

a x ax  bx c  x  x  x với x;

  

) 2

b ax b x cx  x x  với x Hướng dẫn

 

2

)2 20

a x ax  bx c  x  x  x

 

4

2ax 4bx 8cx 6x 20x 8x

     

(1) với x

2

4 20

8

a a b b c c                  

  

) 2

b ax b x cx  x x 

3 2 2 2 2

ax bx acx bcx b ax x x

        

     

3 2 2 2 2

ax b ac x a bc x b x x

        

(2) với x

  1 1 2

1 1

1

2

2

2 a a a b b b c b ac c c a bc                                       

2  3 1  12 8

A n n  n n n   chia hết cho Hướng dẫn

Biến đổi đa thức, ta có :

2  3 1 . 12 8 A n n  n n n  

2 3

2n n 6n 3n n n 12n

        

2

5n 5n 10

   

Bài Đặt 2x a b c   Chứng minh rằng:

x a x b     x b x c     x c x a   ab bc ca x   Hướng dẫn

Xét vế trái:

x a x b     x b x c     x c x a   

2 2

x ax bx ab x bx cx bc x ax cx ca

           

 

2

3

ab bc ca x x a b c

      

2

3 2

ab bc ca x x x

    

2 ab bc ca x

   

Vế trái vế phải suy điều chứng minh

Bài 10 Cho a, b, c số thực thỏa mãn ab bc ca abc   a b c  1

Chứng minh : a1b1c 1

Hướng dẫn

Ta có a1b1c 1 a1bc b c  1

abc ab ac a bc b c

       

1

abc ab bc ca a b c

       

   

abc ab bc ca a b c

       

1

abc abc

C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài 1: Làm tính nhân

a) 2x23x1 5 x2 b) 25x210xy4y25x2y Bài 2: Rút gọn biểu thức

a) 5x x   5 x 3x27 b) 4x x 2  x 1 x22 x 3 c) x 5x 3 2x1x3 d) x1x  2 x 5x2 Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) 2x5 3 x 1 6x x 3 b) 2x3x   4  x 1x2 c) 3x2x 2 5 x4x4 d) x1x2  x 1 x x25 Dạng 2: Tìm giá trị chưa biết

Bài 4: Tìm x biết

a) 4x x   5 x 4 x 3 b) 2x1x  2 x 2 x73 c)x3x 4 x1x 1 10 d) 8x x  3 8 x1x 1 20 Bài 5: Tìm x biết

a) x2 5 x 1 5x x  3 b) 4x1x  3 x 4 x 1 15 c) 3x5x 1 3x1x  1 x d)4x x2  7 4x x 2 5 28x213 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức

Bài 6: Tính nhanh giá trị biểu thức A44443.44448.44441 44445.44440.44447 Bài 7: Tính giá trị biểu thức

a) A5x7 2 x 3 7x2x4 x2

b) Bx9 2 x 3 2 x7x5tại

2

x c) C   5x 3 x   2  2x 3x2tại x 2

Bài 8: Tính giá trị biểu thức  3x5 2 x 1 4x1 3 x2tại x 2 Bài 9: Tính giá trị biểu thức :

a) A x 62021x52021x42021x32021x22021x2021tại x2020 b) Bx1020x920x820x220x20với x 19

Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến Bài 10: Chứng tỏ đa thức sau không phụ thuộc vào biến:

     

 3 11 3

A x x  x x 

 5 – 2  –

  2    2 

4 – – – –

C  x x  x x x  x x

     

x y z yz y z x zx z y x

D       

Dạng 5: Bài toán nâng cao Bài 11: Chứng minh đẳng thức

a) x y z  2  x2 y2 z22   2xy  yz2zx b) x y z  2    x2 y2 z2 2xy2yz 2zx c)  x y x x y xy y–  3   2 3 x y4–

d)  x y x x y x y xy y  4–  2– 3  4 x y5

Bài 12: a) Chứng minh với số nguyên n A (2 n n). 23n 1 n n2128 chia hết cho 5

b) Cho a, b, c số thực thỏa mãn ab bc ca abc   a b c  1 Chứng minh rằng:

HƯỚNG DẪN

Bài a) 2x23x1 5 x210x311x211x2 b) 25x210xy4y25x2y125x38y3 Bài 2: Rút gọn biểu thức

a) 5x x   5 x 3x27 5x225x x 3 7x3x221x38x218x21 b) 4x x 2  x 1 x22  x 3 4x34x24x x 3 3x22x 6 3x3 x2 6x6 c) x 5x 3 2x1x   3 x2 3x5x 15 2x26x  3 x x27x12 d) x1x  2 x 5x2x2 x 2x 2 x25x2x10  2x 8

Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) 2x5 3 x 1 6x x  3 5x5

b) 2x3x   4  x 1x2x28x14 c) 3x2x 2 5 x4x4 2x268 d) x1x2  x 1 x x2   5 5x 1 Bài 4: Tìm x biết

    

)4 5

13

8 13

a x x x x

x x

    

     

     

) 2

4 20

5

b x x x x

x x

     

     

     

) 1 10 23

c x x  x x    x

d)  3 8 1 1 20 24 12

x x  x x    x   x Bài 5: Tìm x biết

a)  5 1  3 3

x x  x x   x  x

b) 4 1 3  4 1 15 18 25 25 18

x x  x x   x  x c) 3x5x 1 3x1x     1 x 4 5x  4 x

d) 4 2 7 4  5 28 13 28 20 28 13 13 20

x x x x x x x x x

           

 5 2  2 3 4 24 A a a  a  a a a 

Bài 7: Tính giá trị biểu thức

a) A5x7 2 x 3 7x2x43x227x13 x2 ta có A3.2227.2 13 53 

b) Bx9 2 x 3 2 x7x  5 19x43

2

x ta có 19.1 43 67

2

B   

c) C   5x 4 3 x   2  2x 3x2 17x229x14 tạix 2 ta có C 17 2  229 2  14 140

Bài

2

2

6 10 12 18 12 (*)

x x x x x x

x x

        

  

2

x    x

Thay x 2 vào biểu thức (*) ta có: 18.2212 2   7 89 ; 41 Vậy GT biểu thức A x 2 89 41

Bài 9: a) Với x2020nên ta thay 2021 x 1vào biểu thức, ta có:

         

6 1 1 1 1 1 1 1

A x  x x  x x  x x  x x  x x x  

b) Tượng tự ta tính B 1

Bài 10: Chứng tỏ đa thức sau không phụ thuộc vào biến:

     

 3 11 3 72

A x x  x  x  

 5 – 2  – 15

B x x  x x    x

  2    2 

4 – – – – 24

C  x x  x x x  x x  

     

x y z yz y z

D     x zx z y x 

Bài 11: Hs biến đổi VT=VP

Bài 12: Biến đổi: A5n25n10 5 (t/c chia hết tổng)

b) (a 1)(bc b c  1)abc ab ac a bc b c      1

1

abc ab bc ca a b c

        abc(ab bc ca  ) (   a b c) 1

abc abc

    