Phân thức đại số

Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân từ chung và sử dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau nếu cần, từ đó suy ra điều phải chứng minh... Tìm đa thức trong đẳng thức Phương pháp giải: Thự[r]

(1)

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Một phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng A

B với A B đa thức, B khác đa thức

Chú ý: Trong phân thức A

B , đa thức A gọi tử thức (hay tử), B gọi mẫu thức (hay mẫu)

• Hai phân thức A B

C

D gọi A.D = B.C Ta viết:

A B =

C

D A.D = B.C

Chú ý: * Các tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số phân số cho phân thức

* Các giá trị chữ làm cho mẫu thức nhận giá trị gọi giá trị làm phân thức vô nghĩa hay không xác định

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN A.DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Phương pháp:

Một phân thức đại số (hay nói gọn phân thức) biểu thức có dạng A

B với A B đa thức, B khác đa thức

Chú ý: Trong phân thức A

(2)

Bài Tìm điều kiện x để phân thức sau xác định

a) x 2 x 

b) 1

3 x x



 c)

5

9x

d) 3

2 10 x

x 

  e) 8 1

4 2

x x



 f) 1

4 5

3 6

2 x

x  

a)

 14 3 x

x x



  b)

9 1

x  c)

2 2 7

x x

 

 d)

2 1 4 4 x

x x

   Dạng Chứng minh phân thức ln có nghĩa

Phương pháp giải: Thực theo bước:

Bước Lựa chọn cách biến đổi thường dùng sau: Cách Biến đổi vế trái thành vế phải

Cách Biến đổi vế phải thành vế trái Cách Biến đổi đồng thời hai vê'

Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử;

Bước Rút gọn cách triệt tiêu nhân từ chung sử dụng định nghĩa hai phân thức cần, từ suy điều phải chứng minh

Bài Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa với giá trị x

a) 27 5

x  b)  2 6

1 4

x x



  c)

2

8

2 9 x

x x



  d)

2 11 4 5 x

x x

     Bài Chứng minh

a) 3 6

4 8

y xy x

 b)  

 

2 3

3 9

x x y x y

x x x y

  

(3)

c)

 

2

2 4 2

2 2

x x x

x x

 



 d)

2

1 4 3

3 6 9

x x x

   

  

e)

 

3

2 8

2 4

x x

x x x x

  

   f)

2 2

2 1 1

x y xy x y

x y x x y

     

    

Dạng Tìm đa thức đẳng thức Phương pháp giải: Thực theo hai bước:

Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử hai vế; Bước Triệt tiêu nhân tử chung rút đa thức cần tìm Bài Tìm đa thức A đẳng thức sau

a) 2

4 2

A x

x   x b)

2

A x y

x y x y  

 

c) x2 x 1 1 x2

x A

  

 d) 1 x3 1 x x2

A x

  

 e) x2 2xy y2 2 A 2

x y x y

  

  f)

2

2 2

x xy y A

x y x y

  

 

Bài Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống

a) 3 15 2 10 2

x x

 

 b)

2 1

1

x x x

x

  



c) 2

4 16

x

x  x  d)

1

3 9

x

x x

 

 

Dạng Tìm x để giá trị phân thức

Phương pháp giải

(4)

-Cho tử = để tìm giá trị x so sánh với đk (*) kết luận giá trị x Bài Tìm giá trị x để giá trị phân thức sau

a) 3

3 x x



 b) 3 6

2 x x



 c)

2 5 125

1 x

x 

 d)

2

4 4 4 5

x x

 

Dạng Chứng minh đẳng thức có điều kiện Phương pháp giải: Thực theo hai bước:

Bước Xuất phát từ điều phải chứng minh, áp dụng tính chất hai phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết);

Bước Thu gọn biểu thức dựa vào điều kiện đề cho để lập luận Bài Cho hai phân thức P

Q R

S thỏa mãn P Q =

R

S P ≠ Q.Chứng minh: R ≠ S

P R

Q P S R

Bài Chứng minh đẳng thức P Q R S

Q S

   hai phân thức P Q

R

S thỏa mãn P Q =

R S Bài 10 Cho hai phân thức A C,

B D E

F thỏa mãn

A C E

B DF Chứng minh:

  

 

A C E A

B D F B

HƯỚNG DẪN Bài Tìm điều kiện x để phân thức sau xác định

a) x 2 x 

có nghĩa x 0

b) 1

3 x x



 có nghĩa x   3 x

c) 5

9x có nghĩa 9   x x

d) 3

2 10 x

x 

(5)

e) 8

1 4

2 x x



 có nghĩa 1

4 0 8

2x    x

f) 1

4 5

3 6

2 x

x 

 có nghĩa 3

6 0 4

2x x

   

a)

 14 3 x

x x



  có nghĩa khi  

1

1 3 0

3 x

x x

x   

    





b) 29 1

x  có nghĩa

2 1 0 1

x     x

c) x2 22x 7 x x

 

 có nghĩa

2 0 0

1 x x x

x       



d) 22 1 4 4 x

x x



  có nghĩa

2 4 4 0 2

x  x    x

Bài Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa với giá trị x

a) 27 5 x 

2 0,

x  x  x2  5 5, x

b)

 2 6

1 4

x x



   

2

1 0,

x  x x12  4 4, x c) 28

2 9 x

x x



   

2

2 2 9 1 8 8,

x  x  x   x

d) 22 11

4 5 x

x x

 

    

2

2 4 5 2 1 1;

x x x x

          Bài Chứng minh

a) 3 6

4 8

y xy x

(6)

4.6xy24xy

b)  

 

2 3

3 9

x x y x y

x x x y

 



      

2

.9

x y x x y  x x y

 2 2 2

3 3x x x y 9x x y

c)

 

2

2 4 2

2 2

x x x

x x

 



   

2

2x 4x x2 2x 8x 8x

 2 4 3

2 2 8

x x x  x  x

d) 1 22 4 3

3 6 9

x x x

   

        

2

1 6 9 1 3

x x  x  x x   2    2 

3 4 3 3 1

x x  x  x x

e)

 

3

2 8

2 4

x x

x x x x

  

         

2

2 2 4 2 2 4

x x x  x x x x  x

 3      

8 2 2 4 2 2 4

x x x x x x x x x x

          

f) 22 22 2 1 1

2 1 1

x y xy x y

x y x x y

     

    

x2 y22xy1x y  1 x y 1x y 1x y 1

 2      

2 1 1 1 1 1

x y  x x y   x y x y x y  Bài Tìm đa thức A đẳng thức sau

a) 2

4 2

A x

x   x    

2

. 4 . 2

x x A x

     A x x. 2 b) A x2 y2

x y x y  

      

2

. x y x y A x y

      2

A x y

  

c) 1 x3 1 x x2

A x

  

(7)

d) x2 2xy y2 2 A 2

x y x y

  

       

2 2 . 2 .

x xy y x y A x y

       3

A x y

  

Bài Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống

a) 3 15 2 10 2

x x

 

 Đa thức cần điền:

b) 1

1

x x x

x

  

 Đa thức cần điền: x x

c) 2

4 16

x

x  x  Đa thức cần điền: 4 x  x

d) 1 2

3 9

x

x x

 

  Đa thức cần điền:

2 2 3 x  x

Bài Tìm giá trị x để giá trị phân thức sau

a) 3

3 x x



 x 3

3

0 3 0 3

3 x

x x

x

       



b) 32 6 2 x x





3 6

0 3 6 0 2

2 x

x x

x

      



c) 5 22 125 1 x

x 



2

5 125

0 5 125 0 5

1 x

x x

x 

      



d) 22 4 4 4 5

x x

 

2

4 4

0 4 4 0 2

4 5

x x

x x x

x x

        

 

Bài Xuất phát từ điều cần chứng minh  P(S + R) = R(Q + P) Rút gọn PS = RQ hay P R

Q  S (đúng với giả thiết) Bài Tương tự

Bài 10 Tương tự Rút gọn CB - EB = DA - FA.Mà

,

A C A E

A D B C A F B E

(8)

PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ Bài Chứng minh đẳng thức sau:

a) 22

2

x

x x x

 

   với x ≠ -2 x ≠

1

b)

4

    

 

y y y y

y y với y ≠ y ≠ Bài Chứng minh đẳng thức sau:

a) 10 3

2( 3) 2

a a

 

 

 với a ≠ 3;

b) 3 2

27

   

  

b b b

b b b với b ≠ b ≠ Bài Tìm đa thức A đẳng thức sau:

a) 22

2

A x x

x x

 

  với x ≠ ±

3 2;

b) 22 3

2

b b b b

b b A

  

  với

3

b  b 3 Bài Tìm đa thức B đẳng thức sau: a) 2

( 3)

 

  

y

y B y y với

1

;

2

y y y3;

b) 2 3

2

a B

a a a

 

   a2

Bài Tìm cặp đa thức P Q thỏa mãn đẳng thức:

2

( 1) ( 1)

4 4

x P x Q

x x x

  

   với x 2

Bài Cho đẳng thức: 2 2

( 1) ( 6)

x x

x x x x B

  

(9)

Bài a) Tìm GTNN phân thức: 2x

14

 

b) Tìm GTLN phân thức: 4x2 4x

15

 

Bài Tìm GTLN phân thức:

a) 2 2

x  x  b)

3 2x  5 HƯỚNG DẪN Bài

a) Biến đổi 1

(2 1)( 2)

x

VP VT

x x x



   

   ĐPCM

b) Biến đổi được:

( 1)( 4)

1

y y

VT y

y

 

  



( 1)( 2)

1

y y

VP y

y

 

  



Từ suy ĐPCM Bài

Tương tự Chú ý rằng: a) 3a2 – 10a + = (3a – 1)(a – 3)

b) b3 – 27 = (b – 3)(b2 + 3b + 9) b2 – 5b + = (b – 2)(b – 3) Bài

a)

Cách Ta có: (2 3)

2 (2 3)(2 3)

A x x

x x x

 

  

2 3

A x

x x

   

(10)

Cách Ta có: (2 )(22 3) (2 3)(2 3)

4 (2 3)(2 3)

x x x x x x

A x

x x x

   

  

  

Ax b)

Cách Ta có: ( 3) ( 3) ( 3)

(2 3)( 3)

b b b b b b b

b b A b A

     

  

2

1

2 9

2

b

A b b

b A



     



Cách Ta có: ( )(22 9)

3

b b b b

A

b b

  





Từ tìm được: A = 2b2 + 9b + Bài

Tương tự Chú ý rằng:

a) y2 – 4y + = (y – 1)(y – ) Tìm được: B = 2y2 – 3y + b) a3 – = (a – 2)(a2 + 2a + 4) Tìm được: B = a2 – 3a + Bài

Biến đổi ( 1) ( 1)2 ( 1)( 2)

( 2)( 2) ( 2) ( 1)( 2)

x P x Q x x

P Q

x x x x x

      

    

Chọn Q = (x + 1)(x – 2)  P = (x – 1)(x + 2) Bài

Tương tự Chú ý rằng:

x2 - 2x +1 = (x - 1)2; x2 - x -6 = (x + 2)(x - 3)

1

( 2)( 3)

x

B A

x x

  

(11)

a) 3

14 14

x

 

 GTNN biểu thức

14 x  12

b)    

2

2 4 1

4

15 15 15 15

x x x

x x     

    

GTLN biểu thức

15 x  12 Bài

a)Có 2 52

1 2 ( 1)

x  x   x    Vậy GTLN biểu thức x  1

b) 1 3

2

2x  5   2x  5  Vậy GTLN biểu thức

3

2 x  52 PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ

Bài Tìm điều kiện xác định phân thức:

a) 22 4 9 16

x x



 b)

2 1 4 4 x

x x



  c)

2

4 1 x

x   d) 5 2 3

2 x x x



 e)

x x x

2

5

1

 

 f)

2 (x1)(x3)

g) 22x 1 5x 6 x



 

a)

x2 y2

1

 b) 2

2x 2x 1 x y x



  c)

5x

6x 10 y x



  d) ( 3)2 ( 2)2 x y

x y



  

Bài Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không:

a) x x

2

5 10



 b)

2 2x

x x c) 2x 3

4x 5   d) ( 2 1)( 2)

4 3

x x

 

  f)

x x x

2

1

2



(12)

Bài Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không:

a) 2 4 3x 10 x

x 

  b)

3

16x 3x 4x x

x 

  c)

3

1 2x 3 x x x

x

  

 

Bài Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa:

a) 23 1

x  b)

3x 5 (x 1) 2



  c)

x x2 x

5

2



 

d) 2 4 4x 5 x

x 

   e)

5 7 x x x

   Bài Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa:

a) 2 2

2 1

x y



  b) 2

4

2x 2 x y   Bài Chứng minh đẳng thức sau:

a) y xy x x

3 ( 0)

4   b)

2

3x 3x

( 0) 2y 2y y 

 

 c)

x y x y y x

2( ) 2 ( )

3( )

  

 d) 2x 8x ( 0, 0)

3a 12a

y y

a y

y

   e) 1 1 ( 2)

2 2

x x

y y y

   

  f)

2a 2a

( 0) 5b 5b b



 

 Bài Chứng minh đẳng thức sau:

a) 2 223 ( 0) ( 2x 4)

x x

x x x x

   

   b) 2

3x 3x(x )

( )

y

x y

x y y x

 

  

 

c) x y a x y a x y a a x y

2

3 ( ) ( 0, )

3 9 ( )

     

(13)

HƯỚNG DẪN Bài Tìm điều kiện xác định phân thức:

4 )

3

a x  b x) 2 c x)  1

) 0;

d x x e x)  1 f x)  1;x 3

) 2;

g x x 

) 0;

a x y  b x) 1

)

c x R  d x)  3;y 2

Bài Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không: 2x 1

) 0( 2)

5x 10 2 1 0

1 2

a x

x x

  



  



  

  

  x x

b x

x x x

2

) 0( 0)

2

x

1

2x 3 5

) 0

4x 5 4

2 3 0 3 2

c x

x x

    

 

  

  

 

   

 

   

   x x

d x

x x x x x

2

( 1)( 2)

) 0( 1;3)

4

( 1)( 2)

2

2 2

1

) 0( 1)

2x 1 1 0

1 x

f x

x x x

  

 

  

  

(14)

2

2 4

) 0( 2; 5)

3x 10 4 0

2 x

a x x

x x x

    

 

  

  

3

16x

) 0( 0; 1;4)

3x 4x 16 0

4 x

b x

x

x x

x

   

 

  

  

3

1

) 0( 1; 3)

2x 3 1 0 1

x x x

c x

x

x x x x

  

  

 

    

  

Bài Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa:



     

a x

x x x x

2

3 )

1

0 1

2

3x 5 )

( 1) 2

( 1) 0 ( 1) 2 2

b x

x x x x



 

       

2

5x 1 )

2x 4

2x ( 1) 3 3 c

x

x x x



 

      

2

4 )

4x 5

4x 5 ( 2) 1 1 x

d x

x x x



  

         

2

5 )

7

1 27 27

7

2 4 4

x e

x x

x x x x

  

 

       

 

Bài Chứng minh đẳng thức sau:

)3 4.6

a y x xy b) 3x ( ) 22  y  x2 y

c) 2(x y).3 3(y x).( 2)    d) 2xy.12ay 3a.8xy 2

e) (1 x)(y 2) (2 y)(x 1)     f) 2a b 5b.( 2a) Bài Chứng minh đẳng thức sau: