Skkn hướng dẫn học sinh lớp 6 giải bài toán chia hết

Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài nghiên cứu -Trong cấp học THCS, lớp khối lớp tiếp tục củng cố phát triển nội dung kiến thức học tiểu học, khối lớp mà em cung cấp khái niệm tốn học mang tính chất làm tảng cho khối lớp Trong môn toán lớp 6, toán” chia hết ”là dạng tốn phổ biến.Bài tốn”chia hết” có mặt nhiều nội dung học chương trình tốn lớp Do vậy, tùy theo bài, đối tượng học sinh mà ta cho đề tập nhiều dạng, nhiều mức độ khác Về mặt tích cực, ” chia hết ”là dạng tốn có tác dụng kích thích óc suy nghĩ, tư tìm tịi sáng tạo học sinh q trình giải toán Về mặt tiêu cực, học sinh khơng nắm vững cách giải tốn” chia hết ”sẽ dẫn đến tâm lý chán nản, khơng cịn hứng thú với dạng tốn làm ảnh hưởng khơng đến q trình tiếp thu kiến thức mơn tốn cấp học cấp học Trong q trình giảng dạy tơi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ giải tốn “chia hết” em chưa biết tốn cần áp dụng phương pháp để giải cho kết nhất, nhanh đơn giản Vì để nâng cao kỹ giải tốn “chia hết” em phải nắm dạng toán, phương pháp gỉải, kiến thức cụ thể hoá bài, chương Có thể nói dạng tốn “chia hết” ln dạng tốn khó học sinh khơng học sinh cảm thấy sợ học dạng toán Là giáo viên dạy toán tơi mong em chinh phục khơng chút ngần ngại gặp dạng toán Nhằm giúp em phát triển tư suy luận óc phán đốn, kỹ trình bày linh hoạt Hệ thống tập tơi đưa từ dễ đến khó, bên cạnh cịn có tập nâng cao dành cho học sinh giỏi lồng vào tiết luyện tập Lượng tập tương đối nhiều nên em tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống tập áp dụng này, điều giúp em hứng thú học tập nhiều Vì thế, để giúp em học sinh giải khó khăn,tránh sai sót, tạo hứng thú học tập cho em giải toán “ chia hết ”,tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn chia hết ” 2.Mục đích nghiên cứu -Sáng kiến kinh nghiệm ;”Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết ” nhằm mục đích : + Để tất em học sinh có điều kiện nắm số phương pháp chứng minh chia hết”, cụ thể là: sử dụng dấu hiệu chia hết, sử dụng tính chất chia hết tổng,một tích xét tập hợp số dư phép chia … 1/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết +Để Giáo viên học sinh nắm dạng toán biết thêm nhiều tập “chia hết “ khối lớp +Tạo khơng khí thi đua học tập sôi hơn, giáo dục cho em ý thức tự vận dụng kiến thức học vào thực tế cơng việc ứng dụng thành khoa học đại vào đời sống +Tạo nguồn học sinh giỏi toán cho năm tiếp sau 3.Nội dung nghiên cứu - Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết +Biết nhận sử dụng phương pháp giải tốn dạng chia hết +Tóm tắt lời giải dạng toán Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu -Học sinh khối năm học 2018-2019 -Các dạng toán chia hết lớp Thành phần tham gia nghiên cứu -Phạm vi nghiên cứu dạng toán chia hết lớp phổ biến -Đối tượng chủ yếu học sinh giỏi Phương pháp nghiên cứu -PP điều tra: Điều tra việc giảng dạy - học tập số tiết dạy mơn Tốn lớp đồng nghiệp để học hỏi đúc rút kinh nghiệm -PP đối chứng: So sánh kết trước sau dạy học theo phương pháp - PP nghiên cứu tài liệu: Sưu tầm nghiên cứu tài liệu có liên quan - PP kiểm tra: Đưa số tập yêu cầu học sinh làm để lấy kết Kế hoạch nghiên cứu -Hình thành kỹ giải tốn chia hết cho học sinh thơng qua tiết số học chủ yếu tiết luyện tập,ôn tập chương sách năm học 2018-2019 -Triển khai nội dung đề tài theo chuyên đề ôn học sinh giỏi kiểm tra đối chiếu kết học tập học sinh qua kiểm tra đội tuyển Từ tháng 10 năm 2018đến tháng 3năm2019 PHẦN GIẢIN QUYẾT VẤN ĐỀ :NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI HOẶC CẢI TIẾN Cơ sở lý luận thực tiễn -Hiện nay, năm, song song với việc nâng cao chất lượng đại trà thi chọn học sinh giỏi toán khối lớp cấp quản lý giáo dục quan tâm đầu tư Do , u cầu chất lượng kì thi học sinh giỏi toán ngày cao Xuất phát từ tình hình tơi thấy cần xây dựng sáng kiến để áp dụng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tốn, coi đổi 2/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết phương pháp dạy học, nhằm nâng cao chất lượng hiệu công tác giảng dạy mơn tốn nói riêng chất lượng đào tạo tồn diện nhà trường - Tình hình phổ biến nay, tham gia kỳ thi học sinh giỏi toán , học sinh tự lực tìm tịi tài liệu để tự trang bị cho kiến thức cần thiết, nhà trường phân công cho giáo viên môn phụ trách việc bồi dưỡng, nguồn tài liệu chủ yếu tìm kiếm mạng Internet, phải thừa nhận nguồn tài liệu mạng nhiều, phong phú cho tất bậc học, điểm hạn chế tính phù hợp với trình độ tiếp thu đối tượng học sinh trường không cao, số tài liệu không ý xây dựng sở lý thuyết phương pháp thuật toán Sáng kiến kinh nghiệm“Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn chia hết ” tơi xây dựng với mục đích đưa hệ thống dạng tốn, đảm bảo phù hợp với chương trình tốn bậc THCS, phù hợp trình độ nhận thức đối tượng học sinh bậc học Đặc biệt phù hợp với chương trình học đối tượng lớp lớp đầu bậc THCS.Việc xây dựng phương pháp có sở lý thuyết thuật toán cho loại dạng tốn, giúp cho học sinh có cách giải dạng tốn có chiều sâu, nhớ lâu, vận dụng tốt Đặc biệt hơn, qua nghiên cứu đề thi, cấp qua nhiều năm, đúc kêt xây dựng dạng toán sáng kiến này, khơng dám nói đầy đủ, song tơi hy vọng sáng kiến đáp ứng phần nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh giỏi Thực trạng vấn đề nghiên cứu -Trong năm trước dạy đội tuyển thi học sinh giỏi toán trường ,các em vơ lúng túng giải tốn chia hết Các em khơng biết trình bày khơng định hướng cách làm toán Các em chưa hệ thống dạng tốn phương pháp giải cho dạng.Chính giáo viên giảng dạy, phải phân rõ dạng toán cho học sinh,đưa phương pháp giải dựa vào kiến thức học Mô tả, phân tích giải pháp cải tiến mới: -Để khắc phục khó khăn trên,tơi đưa giải pháp sau: *Giải pháp thứ :Hệ thống kiến thức lý thuyết Học sinhphải nắm kiến thức định nghĩa chia hết ,dấu hiệu chia hết ,các tính chất chia hết 1.ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA Cho số nguyên a b b  ta ln tìm hai số nguyên q r cho: a = bq + r Với  r <  b Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư 3/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết Khi a chia cho b xẩy  b số dư r  {0; 1; 2; …;  b-1} Đặc biệt: r = a = bq, ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a  b  Có số nguyên q cho a = bq MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi N = an an 1 a1a0 2.1 Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N   a0 M2  a0 {0; 2; 4; 6; 8} + N   a0 M5  a0 {0; 5} + N  (hoặc 25)  a1a0 M4 (hoặc 25) + N  (hoặc 125)  a2 a1a0 M8 (hoặc 125) Chú ý: Nếu a0 chia cho dư N chia cho dư nhiêu 2.2 Dấu hiệu chia hết cho + N  (hoặc 9)   an  an1   a1  a0  M3 (hoặc 9) -Chú ý  an  an1   a1  a0  chia cho 3;chia cho dư N chia cho 3;ch0 dư nhiêu 2.3 Dấu hiệu chia hết cho 11  a0  a2     a1  a3   � + N  11  � � � 11 3.CÁC TÍNH CHẤT: Với số a,b,c,m,n số nguyên ta có 1.Với  a   a  a 2Nếu a  b b  c  a  c 3Với  a    a 4Nếu a, b > a  b ; b  a  a = b 5Nếu a  b m  a.m b 6Nếu a  b  (a)  (b) 7a m; a naBCNN(m,n) 8a m; a n (m,n)=1am.n 9.Nếu a  m b  m  a  b  m 10.Nếu a + b  m a  m  b  m 11 Nếu a  b n >  an  bn 4/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết 12 Nếu ac  b (a, b) =1  c  b 13 Nếu a  b, c  b m, n am + cn  b `14 Nếu a  b c  d  ac  bd ĐỒNG DƯ THỨC 4.1 Định nghĩa: Cho m số nguyên dương Nếu hai số nguyên a b cho số dư chia cho m ta nói a đồng dư với b theo modun m Ký hiệu: a  b (modun m) a  b (mod m) Vậy: a  b (modun m)  a - b  m 4.2 Các tính chất Với  a  a  a (mod m) Nếu a  b (mod m)  b  a (mod m) Nếu a  b (mod m), b  c (mod m )  a  c (mod m) Nếu a  b (mod m) c  d (mod m)  ac  bd (mod m) Nếu a  b (mod m) c  d (mod m)  ac  bd (mod m) Nếu a  b (mod m),  an  bn (mod m) *Giải pháp thứ hai : Trang bị cho học sinh phương pháp giải tốn chia hết thơng qua hệ thống tập từ dễ đến khó 1.PHƯƠNG PHÁP 1:DÙNG ĐỊNH NGHĨAPHÉP CHIA HẾT Để chứng minh a chia hết cho b ( b khác 0), ta biểu diễn số a dạng tích thừa số, có thừa số b (hoặc chia hết cho b) a = b.k ( k  N) a =m.k ( m chia hết cho b) 1.1.Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng tỏ số có dạng aaa chia hết cho 37 Bài Giải aaa = a.111= a 3.37 chia hết cho 37 Ví dụ 2: Chứng tỏ số có dạng abcabc chia hết cho 11, chia hết cho chia hết cho 13 Bài Giải Ta có : abcabc = abc000  abc = abc (1000+1) = abc 1001 = abc 11.7.13 nên abcabc chia hết cho 11, chia hết cho chia hết cho 13 Ví dụ 3: Chứng minh rằng, lấy số có chữ số cộng với số gồm chữ số viết theo thứ tự ngợc lại, ta số chia hết cho 11 Bài Giải Gọi số ab ba Ta có : 5/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) chia hết cho 11 1.2.Bài tập củng cố nâng cao Bài 1: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có chữ số tạo số Chứng minh tổng tất số chia hết 211 Bài Giải Tất số có chữ số tạo chữ số 0, a, b là: a0b; ab0; ba 0; b0a Tổng số là: a0b  ab0  ba0  b0a = 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a = 211a +211b = 211.(a+b) chia hết cho 211 Bài 2: a) Cho A = +22 +23 + +260 Chứng minh : A3; A 15 b) Cho B = + 33 + 35 + + 31991 Chứng minh : B chia hết cho 13 Bài Giải *A = +22 +23 + +260 = ( 2+ 22) + ( 23 + 24) + + (259 + 260) (có 30 nhóm ) = 2( 1+ 2) + 23 ( 1+2) + + 259 (1+2) = 2.3+ 23 + +259 = = 3.(2+ 23 + + 259) chia hết cho *A= (2+ 22+ 23) + (24+25+26) + + (258 + 259 + 260) (có 20 nhóm ) = 2.(1+2+ 4) + 24( 1+2+4) + + 258( 1+ 2+4) = 2.7 +24.7+ + 258.7 = 7( 2+24 + + 258) chia hết cho b) B = + 33 + 35 + + 31991 = ( + 33 + 35) + ( 37 + 39+311) + + ( 31987+ 31989 + 31991)( có 332 nhóm) = 3( + 32 + 34) + 37( 1+ 32+34) + + 31987(1+ 32+34) = 91 + 37.91 + + 31987.91 = 91( + 37 + + 31987)  13 ( 91  13) PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT 2.1.Các ví dụ Ví dụ1 : Chứng minh (9999931999 – 5555571997) chia hết cho 10 Bài Giải Ta có : 9999931999 =  (9999934)499 9999933 = = 5555571997= (5555574)499.555557 = =  9999931999 – 5555571997 = chia hết cho 10 ( đpcm) Lưu ý cho học sinh : Trong trinh giải tập dạng ta vào tính chất sau: 1) Những số có chữ số tận là: 0;1;5;6 nâng lên luỹ thừa có chữ số tận là: 0;1;5;6 2) Những số cố chữ số tận là: 2;4;6 nâng luỹ thừa bậc dều có chữ số tận là: 6/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết 3) Nh÷ng sè cè ch÷ sè tËn cïng là: 3;7;9 nâng luỹ thừa bậc dều có chữ số tận là: Vớ d 2: Chng minh : 1028 + chia hết cho 72 Bài Giải Ta có 1028 + = ( 100 + 8) = 100 .08 có tổng chữ số nên 28 chữ số 27 chữ số chia hết cho 1028 + = = 100 .08 có tận 008 nên chia hết cho 27 chữ số Vì ( 8,9) =1 nên 1028+  (8.9) hay 1028+  72 Ví dụ 3: (Đề thi HSG năm 2012-2013) Tìm chữ số a, b cho a56b  45 Bài Giải Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56b  45  a56b  Xét a56b   b  {0 ; 5} Nếu b = ta có số a56b   a + + +   a + 11  a=7 Nếu b = ta có số a56b   a + + +   a + 16  a=2 Vậy: a = b = ta có số 7560 a = b = ta có số 2565 Ví dụ 4:Tìm chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, ,5 Bài Giải Ta có : 21xy   y  0;5 Nếu y = 21xy khơng chia hết cho Nếu y = 21xy chia hết cho � x0   x  0; 2; ; ; 8 (1) 21x0   (2 + + x + 0)   (3+ x)  x  0; 3; 6; 9 Kết hợp (1) ( 2)  x  0; 6 Vậy số cần tìm là: 2100 ; 2160 2.2.Bài tập củng cố nâng cao Bài 1:Chứng minh rằng: a) 10n  23 M9 b) 24 n1  3M5 7/19 ( 2) c) n  1M5 Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn chia hết n a) Ta có 10 + = ( 100 n chữ số Bài Giải + 8) = 100 .08 có tổng chữ số n-1 chữ số nên chia hết cho b) 24 n1  =(24)n.21+3 =   nên chia hết cho c) n   (7 ) n     nên chia hết cho    111    81 Bài 2:: Chứng minh số 111 81 sè1 Bài Giải Ta thấy: 111111111     111   = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1) Có 111 81 sè1 Mà tổng 1072 + 1063 + … + 109 + có tổng chữ số   1072 + 1063 + … + 109 +     111    81 Vậy: 111 81 sè1 Bài 3: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta số A = 192021…7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao? Bài Giải Có 1980 = 22.32.5.11 Vì chữ số tận a 80   A Tổng số hàng lẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279 Tổng số hàng chẵn 9+(0+1+…+9).6+0 = 279 Có 279 + 279 = 558   A  279 - 279 =  11  A  11 � AM 1980 Bài 4: (Đề thi HSG 2016-2017) Tìm tất số x,y để số 34 x5 y chia hết cho 36 Bài Giải Vì (4;9) = nên 34 x5 y chia hết cho 36  34 x5 y chia hết cho 34 x5 y chia hết cho Ta có: 34 x5 y chia hết cho  5y chia hết cho  y 2;6 + y=2 có số 34 x52 chia hết cho  ( 3+4+x+5+2) chia hết cho  (14+x) chia hết cho Vì x chữ số nên �x �9 x = 8/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn chia hết +Nếu y = có số 34 x56 chia hết cho  ( 3+4+x+5+6) chia hết cho 9thì x = x = Vậy cặp số (x=4;y=2);(x=0;y=6);(x=9;y=6) Bài 5: Tìm số 1a7b cho a - b = 1a7b chia cho dư Bài Giải 1a7b chia hết cho dư  ( 1+ a + + b) = (8 + a + b) : dư  a + b   6;15  Và a – b = * a + b = 6, a – b =  a = (loại ) * a + b = 15, a – b =  a = 9, b = Số phải tìm 1976 Bài 6:: Tìm chữ số a để 1aaa1 11 Bài Giải Ta có tổng chữ số hàng lẻ + a Tổng chữ số hàng chẵn 2a 1aaa1 11 � 2a – (a + 2) 11 � a - 11 � a - 2=0 �a = Vậy a=2 3.PHƯƠNG PHÁP 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT 3.1.Các ví dụ 3.1 a.Dùng tính chất chia hết tổng, hiệu * Để chứng minh a chia hết cho b ( b 0) ta làm sau: - Viết a = m + n mà m  b n b - Viết a = m - n mà m  b n b * Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dạng tổng số mà có số hạng tổng khơng chia hết cho b, số hạng khác chia hết cho b Ví dụ 1: Chứng tỏ : a) Tổng số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho b) Tổng số tự nhiên liên tiếp số không chia hết cho Bài Giải a) Gọi số tự nhiên liên tiếp n, n +1 , n + Tổng số : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1)  9/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết b) Gọi số tự nhiên liên tiếp : n , n+1, n+2, n+3 Tổng số : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + = 4n + + = 4(n+1) + không chia hết cho Vậy tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Giáo viên chốt kết luận : Tổng n số tự nhiên liên tiếp chưa chia hết cho n Ví dụ 2: Cho ba số tự nhiên a, b, c, a b số chia hết cho dư c số chia cho dư a) Chứng tổ tổng (hiệu)sau: a + c ; a - b ; chia hết cho b) Mỗi tổng(hiệu) sau: a+ b + c ; a + b – c ;có chia hết cho khơng? Bài Giải Theo đề : a chia cho dư ta viết a = 5.q + ( q  N) Tương tự b chia cho dư ta có : b= 5.p +3 ( p  N) , c chia cho dư ta có: c= 5.m +2 (m  N) a)* Xét a+c = (5q+3) + ( 5m+2) a+c = (5q+5m) +(3+2) a+c = 5(p+m) +5 Vì 5(p+m) chia hết cho 5; chia hết cho 5, nên a+c chia hết cho Tương tự : *a-b=(5.q + ) –(5.p +3)=5.(q-p) chia hết cho c) *a+ b + c=(5q+3) +(5.p +3) + ( 5m+2)=5(q+p+m) +8 Vì 5(q+p+m) chia hết cho khơng chia hết cho Nên a+ b + c không chia hết cho *a + b – c =5(q+p-m) +4 khơng chia hết cho Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên x để 215 + x chia hết cho 11 Bài giải Ta có 215 chia cho 11 thương 19 dư nên 215 = 11.19 +6 Ta có: 215 +x= 11.19 +6+x Vì 11.19 chia hết cho 11 nên 215 +x chia hết cho 11 6+x chia hết cho 11 Suy x số chia cho 11 dư hay x= 11.q+5 Vậy: x=11.q+5 (q  N) 215+x chia hết cho 11 3.1 b.Dùng tính chất chia hết tích Để chứng minh a chia hết cho b (b  0) ta chứng minh cách sau: + Ta chứng minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) =  a chia hết cho b + Biểu diễn b = m.n với (m,n)= 1, sau chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n 10/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết + Biểu diễn a= a1 a2,, b = b1.b2, chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2 Ví dụ 1: Chứng minh : a Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Bài Giải a Trong số nguyên liên tiếp có số chẵn  Số chẵn chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b Tích số ngun liên tiếp ln chia hết tích số ngun liên tiếp ln chia hết cho Trong số nguyên liên tiếp có số chia hết cho  Tích số chia hết cho mà (2; 3) = Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Qua ,Giáo viên chốt: Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! Ví dụ 2: Chứng minh tích số chẵn liên tiếp chia hết cho Bài Giải Gọi số chẵn liên tiếp 2n, 2n +2 ( n  N) Tích số chẵn liên tiếp 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1) Vì n n + số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) chia hết cho Mà chia hết 4.n.(n+1) chia hết cho (4.2)  4.n.(n+1) chia hết cho  2n.(2n + 2) chia hết cho Ví dụ 3: Chứng tỏ 1001.1002.1003……… 2000  1.3.5… 1999 Bài Giải Ta có : 1001.1002.1003……… 2000 = 1.2.3��.1000.1001.1002.1003 2000 1.2.3��.1000 (1 3.5�.1999).(2.4.6 2000)    1.2.3 1000 1000  (1 3.5�.1999)M 3.5�.1999 3.2 Bài tập củng cố nâng cao Bài 1: ( Đề thi HSG năm 2013-2014) Chứng tỏ 11/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết 1.3.5… 2013.2015+2.4.6….2014.2016  9911 Bài Giải Nhận xét : 9911 =11.17.53 Tích 1.3.5… 2013.2015 chia hết cho 11; chia hết cho 17; chia hết cho 53 tích chứa thừa số 11,17,53 Tích 2.4.6….2014.2016 =2.1.2.2.2.3…… 2.1007.2.1008 =21008.(1.2.3.4……1007.1008) chia hết cho 11; chia hết cho 17; chia hết cho 53 tích chứa thừa số 11,17,53 � 1.3.5… 2013.2015+2.4.6….2014.2016 (11.17.53) Hay 1.3.5… 2013.2015+2.4.6….2014.2016 9911 Bài : Cho a - b chia hết cho Chứng minh biểu thức sau chia hết cho a) a +5b b) a + 17b Bài Giải a) Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b  ( (a - b)  6b  6) b) a + 17 b = ( a- b) + 18b  [ (a- b)  18b6] Bài 3: Chứng minh ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 ( x + 7y) chia hết cho 31 với số tự nhiên x, y Bài Giải Vì ( 6x + 11y)  31 nên ( 6x + 11y + 31y )  31  ( 6x + 42 y)  31  ( x + 7y )  31 mà ( 6, 31 ) =  ( x + 7y )  31 ( đpcm) Bài :(Đề thi HSG 2018-2019) Chứng minh với số tự nhiên n 3n +2và 5n + số nguyên tố Bài Giải Gọi d ƯC( 3n+ , 5n + 3)  3n +  d  5.( 3n + 2)  d 5n +  d (5n+3)  d  ( 15n + 10 - 15n - )  d 1d d=1  ( 3n + 2, 5n + 3) hay 3n +2và 5n + số nguyên tố Bài 5: Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2) Bài Giải 12/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn chia hết Cách 1: Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4 Mà 3.(n+2) chia hết cho (n+2) Do (3n+10) chia hết cho (n+2) chia hết cho (n+2)  (n+2) ước  (n+2)  { 1; 2;4}  n  { 0;2}(Vì n số tự nhiên nên loại n=-1) Vậy với n  {0;2 } (3n+10) chia hết cho (n+2) Bài 6:( Để Thi HSG tốn năm 2016-2017) Tìm số ngun n để A= 2.n  số nguên (n nguyên khác 2) n2 Bài Giải Để 2.n  số tự nhiên (2.n-3) chia hết cho n-2 n2 => [ 2.(n-2) - 2(n-3)] chia hết cho (n-2)  chia hết cho (n-2)  (n-2) U(2) = { �1; �2 }  n  {0;1;3;4} Vậy với n  {0;1;3;4} A= 2.n  số nguyên n2 Bài 7: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để số chia hết cho số 5, ,9 ? Bài Giải Giả sử số viết thêm abc Ta có 579abc chia hết cho 5, ,9 suy 579abc chia hết cho = 315 ( 3, 5, đơi ngun tố nhau) Mặt khác 579abc = 579000 + abc = ( 315.1838 + 30 + abc )  315 Mà 315.1838 315 suy ( 30 + abc )  315 Do 30  30 + abc  30 + 999 = 1029 nên ( 30 + abc )  { 315; 630; 945} suy abc  { 285; 600; 915} Vậy số viết thêm 285; 600; 915 Bài 7: (Để Thi HSG toán năm 2017-2018) Một số chia cho dư , chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư Bài Giải Gọi số a 13/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết Theo ra, ta có ( a -5) 7 � (a   2.7)M7 hay a+97 Và ( a -4) 13 � (a   13)M13 hay a+913 Vì (7,13)=1 Suy : a + BCNN(13,9) � a  9M91 hay a:91 dư 82 4.PHƯƠNG PHÁP 4: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Để chứng minh n chia hết cho p ta xét trờng hợp số d chia n cho p: Ta viết n = p.k + r, r = 0, 1, , p-1; k  N Rồi xét tất trờng hợp r 4.1.Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bài Giải a) Gọi số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2 Tích số tự nhiên liên tiếp : n.(n+1).(n+2) Mọi số tự nhiên chia cho nhận số dư 0;1;2 - Nếu r = n chia hết cho  n.(n + 1).(n+ 2) chia hết cho - Nết r = n = k + (k số tự nhiên)  n+2 = 3k +1 + = (3 k +3) chia hết cho n (n+1).(n+2) chia hết cho - Nếu r = n = 3k+ (k số tự nhiên)  n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hết cho n.(n+1) (n+2) chia hết cho Tóm lại, n.(n+1).(n+2) chia hết cho với n số tự nhiên b) Chứng minh tương tự ta có: n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hết cho với n số tự nhiên Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n 4.2 Bài tập củng cố nâng cao Bài 1: Chứng tỏ với số tự nhiên n tích (n + 3).(n +6) chia hết cho Bài Giải Với n ta viết n = 2k + n= 2k - Với n= 2k +1 ta có: (n+3)= (2k+1 +3) = 2k+4= 2.(k+2) chia hết cho � (n + 3).(n +6) chia hết cho 14/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết - Với n= 2k ta có : (n+6) = (2k+6) = (k+3).2 chia hết cho � (n + 3).(n +6) chia hết cho Vậy với n  N (n+3)(n+6) chia hết cho PHƯƠNG PHÁP :SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLET Nội dung nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 thỏ, xếp vào n chuồng, chuồng chứa từ thỏ trở lên” 5.1.Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh số tự nhiên ln tìm số có hiệu chia hết cho Bài Giải -Một số chia cho nhận số dư : 0; 1; 2; 3; Trong số tự nhiên chia cho ln tồn số có số dư ( nguyên tắc Đirichlet)  Hiệu số chia hết cho 5.2 Bài tập củng cố nâng cao Bài 1: (Đề thi HSG tốn 2019-2020) Lớp 6A có 45 học sinh làm kiểm tra, khơng có bị điểm 2và có bạnđược điểm 10 Chứng tỏ tìm học sinh có điểm kiểm tra Bài Giải Có 45 -2 = 43 học sinh phân chia loại điểm ( từ đến 9) Giả sử điểm loại điểm khơng có q học sinh, lớp học khơng có q 8.5 = 40 học sinh ( 43 học sinh) Vậy tồn có học sinh có điểm kiểm tra 6.PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC 6.1.Các ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh : 22007 – M 31 Bài giải Ta có : 25 = 32 � (mod 31) 2007 = 401.5+2 Do : (25)401 �14001 (mod 31) � (25)401 � 1(mod 31) 401 � (2 ) � 4(mod 31) 401 � (2 ) �(4 – )(mod 31) -4 Hay 22007 – �0(mod 31) Vậy : 22007 – M 31 6.2 Bài tập củng cố nâng cao Bài 1: Tìm chữ số tận của: 72005 Bài giải 15/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết Ta cần tìm số dư phép chia 72005 cho 10 Ta thấy 2005 = 501 + Ta có: 74  (72)2  92  (modun 10) Suy ra: 72004  (74)501  1501  (modun 10) Do đó: 72005  7x1  (modun 10) Vậy chữ số tận của: 72005 Bài 2: Tìm chữ số tận 2100 Bài giải Ta cần tìm số dư phép chia 2100 cho 1000 Ta có: 210 ≡ 24 (mod 1000) => 250 = (210)5 ≡ 245 ≡ 624 (mod 1000) => 2100 = 250.250 ≡ 624 x 624 ≡ 376 (mod 1000) Vậy chữ số tận 2100 376 PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận: Các toán " chia hết" đa dạng phong phú nhiên phạm vi SKKN nên dám đưa số ví dụ số dạng tập điển hình " chia hết" Nếu hướng dẫn học sinh giải tập mức độ trung bình em chưa thể thấy "cái hay" dạng tốn này, đồng thời có em cịn có cảm giác khó phức tạp Qua tập ta thấy, dạng tập sử dụng phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, cuối quy định nghĩa tính chất phép chia hết Chính vậy, việc nắm vững định nghĩa phép chia hết, tính chất dấu hiệu chia hết vấn đề then chốt giúp học sinh định hướng cách giải tập giúp học sinh có tư sáng tạo linh hoạt giải tốn -Qua thời gian tìm tịi, nghiên cứu, sáng tạo đúc kết kinh nghiệm tin tưởng sáng kiến tài liệu hợp lý, bổ ích cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán ,đặc biệt phù hợp cho đối tượng lướp 6, sáng kiến xây dựng hệ thống dạng loại tập , ý đến sở lý thuyết phương pháp cho loại dạng toán, giúp cho học sinh có cách giải dạng tốn cách hiệu quả, vận dụng tốt đảm bảo phù hợp chương trình, phù hợp trình độ nhận thức học sinh 16/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn chia hết -Trong q trình giảng dạy đơn vị, đồng nghiệp vận dụng thường xuyên nội dung sáng kiến này, tiết học tốn có dạng tốn ‘chia hết “chúng tơi hướng dẫn cho học sinh vận dụng phương pháp trên, hiệu thấy học sinh có tác phong học tập khoa học ,lơ gic chặt chẽ trình bày lời giải -Kết cụ thể năm học Đối với khối đại trà ,hai lớp 6A,6B mà tham giảng dạy học sinh làm tốt toán chia hết SGK Sách tập toán 6.Còn em đội tuyển giải thành thạo toán đề thi HSG toán Điều kích thích lịng ham mê môn học dẫn đến em yêu quý môn học Kì thi hoc sinh giỏi giải tốn 6cấp huyện:có học sinh đỗ ,trong có 1em đạt giải Nguyễn Phúc Hiển 2.Khuyến nghị: -Như nêu, sáng kiến “Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn chia hết ” tơi chưa có hội áp dụng qui mơ rộng rãi, nên hiệu dừng mức nội bộ, với hi vọng sáng kiến tài liệu hợp lý, bổ ích cho cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi giải tốn, tơi mong mỏi đồng nghiệp góp ý, bổ sung, điều chỉnh điểm thiếu sót, hạn chế để sáng kiến hồn thiện mức cao hơn, tài liệu tốt để đồng nghiệp huyện nhà tham khảo, giúp ích cơng tác bồi dưỡng học sinh - Đối với phòng giáo dục: - Cần tổ chức buổi học chuyên đề nhiều năm học ,hoặc vào dịp hè để GV học hỏi tiếp thu kinh nghiệm ,phương pháp -Quan tâm đến sở trường lớp trang thiết bị,đồ dùng mơn tốn nhà trường - Đối với trường học : cần tạo điều kiện hết mức cho giáo viên tham gia bồidưỡng học sinh giỏi giải toán; Mua bổ sung tài liệu ,trang thiết bị để phục vụ công tác giảng dạy mơn tốn - Đối với phụ huynh học sinh:Cố gắng tạo điều kiện học tập tốt cho em nhà ,nên mua đầy đủ SGK,SBT,mỗi em máy tính bỏ túi - Đối với giáo viên mơn tốn :-Cần chăm cơng tác tự nâng cao tự bồi dưỡng lực để đáp ứng yeu cầu nghành xã hội Qua việc áp dụng sáng kiến kimh “Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết ” trên, thân nhận thấy rõ rệt biến chuyển tích cực kết học tập học sinh Học sinh nắm phương pháp giải, vận dụng hợp lý, sáng tạo sử dụng hiệu việc giải toán 17/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết Với kinh nghiệm viết SKKN giảng dạy cịn hạn chế Nên việc trình bày sáng kiến chắn không tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tơi thực mong muốn nhận nhiều ý kiến đóng góp xây dựng thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm thực hấp dẫn có hiệu đến với em học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn ! Qua xin chân thành gửi lời cảm ơn đến ban giám hiệu nhà trường, tổ chuyên môn thầy cô đồng nghiệp góp ý giúp đỡ tơi hoàn thành nội dung đề tài Hà Nội, ngày 14 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết Khơng chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.SGK Toán Tập I, Tập II, NXB Giáo dục 2.SBT Toán Tập I, Tập II, NXB Giáo dục 3.Sách nâng cao phát triển toán ,NXB Giáo dục 4.Sách nâng cao chuyên đề toán ,NXB Giáo dục Sách tự chọn nâng cao- Sở giáo dục Hà nội 6.Sách hướng dẫn thực dạy học theo chuẩn kiến thức kĩ mơn tốn THCS – NXB Giáo dục 7.Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THCS – Bộ Giáo dục Đào tạo - NXB Giáo Dục Bộ đề thi HSG huyện khối THCS 18/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết 19/19 ... 2k+4= 2.(k+2) chia hết cho � (n + 3).(n +6) chia hết cho 14/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết - Với n= 2k ta có : (n +6) = (2k +6) = (k+3).2 chia hết cho � (n + 3).(n +6) chia hết cho Vậy... minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) =  a chia hết cho b + Biểu diễn b = m.n với (m,n)= 1, sau chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n 10/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải toán chia hết + Biểu... Bài 5: Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2) Bài Giải 12/19 Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn chia hết Cách 1: Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4 Mà 3.(n+2) chia hết cho (n+2) Do (3n+10) chia hết