Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải bài toán tìm x

Giúp học sinh lớp 6 có kỹ năng giải toán tìm x, tránh được các lỗi thường gặp trong quá trình trình bày lời giải. Bài toán tìm x là dạng toán nền tảng, dạng toán cơ sở cho việc tư duy, phân tích, trình bày. Đặc biệt đối với chương trình lớp 6, bài toán tìm x có mặt ở tất cả các chủ đề kiến thức, nó có vai trò quan trọng trong việc phát huy tính tư duy, khả năng phân tích, kĩ năng trình bày bài toán.

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

BÁO CÁO Sáng kiến năm học 2014-2015

I TÊN SÁNG KIẾN: Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải bài toán tìm x.

II LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN

Đa số học sinh đều rất ngại học toán so với các môn học khác, đặc biệt là học sinh đầu cấp THCS Do tiếp xúc với môi trường mới, phương pháp học khác

so với cấp tiểu học, các em vận dụng kiến thức để tư duy còn nhiều hạn chế, khả năng suy luận chưa nhiều, khả năng phân tích chưa cao; do đó việc giải toán của các em gặp nhiều khó khăn Vì thế nhiều học sinh còn lúng túng khi giải các bài toán dạng suy luận, hoặc chưa tin tưởng vào bài làm của mình, hoặc kết quả đúng nhưng chưa chính xác, gọn gàng và hợp lí Nhiều học sinh không phân biệt được các thành phần của phép toán, chưa biết tìm thành phần trong mối quan hệ của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia

Nhiều học sinh chưa thuộc quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân hai vế với một số khác 0 Chưa biết phân tích tìm hướng giải, hoặc giải sai các bài toán dạng tìm x

Đa số học sinh có mong muốn được học, nhưng khi học đến lớp 8, 9 thì kĩ năng biến đổi tương đương của học sinh còn yếu, làm cho quá trình lĩnh hội kiến thức mới và vận dụng nó gặp khó khăn Cho thấy rằng sự cần thiết phải thành thạo các kĩ năng này trong vận dụng vào phân tích và trình bày

Ví dụ: Tìm số tự nhiên x, biết: 214 + x = 240

Trước hết, củng cố cho học sinh quan hệ phép toán cộng có trong bài, cách tìm thành phần chưa biết (số hạng chưa biết)

Và nếu mở rộng bài toán thành 214 + (x – 2) = 240 thì cách làm như thế nào? Sử dụng quan hệ nào trước, tìm thành phần nào trước?

HS giải vẫn thường mắc các sai lầm như:

x = 240 – 214

x = 26

x = 240 – 214

x = 26

x = 26 +2

x = 28

HS không quan sát hết các phép tính

có trong bài, chỉ sử dụng phép toán

cộng

Kết quả đúng nhưng HS không biết các trình bày

1 Lý do chủ quan

Bài toán tìm x là dạng toán nền tảng, dạng toán cơ sở cho việc tư duy, phân tích, trình bày Đặc biệt đối với chương trình lớp 6, bài toán tìm x có mặt ở tất cả các chủ đề kiến thức, nó có vai trò quan trọng trong việc phát huy tính tư duy, khả năng phân tích, kĩ năng trình bày bài toán Do đó để học tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh cần có sự nhanh nhạy và khả năng tổng hợp kiến thức đã học để vận dụng vào bài toán và định hướng cho việc giải toán

Dạng toán tìm x không chỉ được học và áp dụng khi học lớp 6, mà nó còn có vai trò quan trọng trong suốt quá trình học toán THCS Do đó khi học tốt toán tìm x

ở chương trình lớp 6 là học sinh đã nắm vững các kiến thức cơ bản đã học cũng như các quy tắc cơ bản để học sinh tiếp cận loại toán cơ bản như giải phương trình hay một số dạng toán nâng cao như chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức ở chương trình toán lớp 8,9

Mặt khác trong quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ kiến thức trên tinh thần của sách giáo khoa mà chưa có phân loại dạng toán, chưa khái quát được cách giải mỗi dạng toán cho học sinh Do đó muốn bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh đặc biệt là dạng toán tìm x ta phải diễn đạt mối quan hệ những dạng toán cơ bản đến dạng toán phức tạp

Vì vậy nhiệm vụ của người thầy giáo không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy là người định hướng, hướng dẫn cho học sinh cách tiến hành giải bài toán, với những lí do đó tôi mạnh dạn chọn đề tài:

“Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải bài toán tìm x”

2 Lý do khách quan:

Trên thực tế, ta thấy trong các đề kiểm tra hoặc các kì thi thường có dạng toán tìm x Ví dụ đổi với kì thi học kì toán lớp 8, lớp 9, dạng toán tìm x cơ bản (giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, tìm số đo trong hình học, ) chiếm khoảng 40%, còn dạng toán nâng cao (chứng minh, tìm giá trị nguyên, ) chiếm khoảng 10%

Ngoài ra khi học tốt dạng toán tìm x, học sinh được rèn nhiều về kĩ năng phân tích, trình bày, khả năng suy luận logic; từ đó giúp học sinh phát triển và chiếm lĩnh kiến thức mới một cách nhanh chóng Khi đã có kiến thức, đó chính là động lực thôi thúc các em học tập các dạng toán khác có liên quan

III NỘI DUNG SÁNG KIẾN

A Dạng tìm số tự nhiên x trong quan hệ tập hợp, quan hệ ước bội

1 Kiến thức cần nắm:

- Tập hợp số tự nhiên (N), tập hợp số tự nhiên khác 0 (N*), cách viết tập hợp, cách sử dụng các kí hiệu  , , N, N*, > , < , ≤ , ≥

- Hiểu quan hệ ước và bội: Nếu a chia hết cho b (b≠0) thì a là bội của b, b là ước của a

- Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9

- Thế nào là UCLN, BCNN của hai hay nhiều số tự nhiên

- Tính chất chia hết của một tổng:

Nếu a m và b m thì (a + b) m

Nếu a m và b m thì (a – b) m (với a > b)

- Sử dụng tính chất nhân phân phối đối với phép cộng

a.b + a.c = a.(b+c)

a.b – a c = a.(b - c) ( với b ≥ c)

2 Bài tập áp dụng kiến thức

VD1: Viết các tập hợp sau đây bằng cách liệt kê các phần tử của nó.

a) A = { xN*/ x < 5}

b) B = { xN / 1 ≤ x < 5}

c) C = {xN/ x 2, 1 ≤ x ≤ 5}

Thường thì một số học sinh chưa hiểu được các kí hiệu ≤, < , hay là bài toán có từ hai điều kiện trở lên học sinh chưa biết dùng điều kiện nào trước, dùng như thế nào

Giáo viên giúp học sinh biết tự mình đọc hiểu các kí hiệu: , , N, N*, < , ≤

Từ đó xác định và liệt kê các giá trị x cần tìm

VD2: Tìm số tự nhiên x, biết: ; ; và 450 < x < 500

- Học sinh thường nhầm lẫn quan hệ bội, ước GV cần làm rõ x là bội hay ước của các số 8; 10; 15

- Trước hết cho học sinh tìm hiểu đề bài và phân tích được x cần phải thỏa mãn hai điều kiện:

+ x chia hết cho 8; 10; 15 từ đó tìm bội chung của các số 8; 10; 15

+ Sau đó sử dụng điêu kiện 450 < x < 500 để lọc ra các giá trị trong khoảng

450 đến 500

VD3: Tìm số tự nhiên x, biết: ; và x > 6

- Cũng với quan hệ chia hết, thể hiện mối quan hệ ước, bội, nhưng vì 72 và

60 cùng chia hết cho x, nên lúc này x là ước chung của 72 và 60 Sau khi tìm được UC(72;60) ta tiếp tục sử dụng đến điều kiện x > 6 để lọc ra giá trị cần tìm của x

- Trình bày lời giải:

Vì ; => x  ƯCLN(72;60)

72 = 23 32

60 = 22 3 5

ƯCLN(72; 60) = 22.3 = 12

UC(72; 60) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Mà x > 6 nên x = 12

Qua VD2 và VD3, trong đề bài vẫn là quan hệ chia hết, nhưng nếu học sinh không tinh ý và không có sự đọc hiểu và phân tích kĩ đề bài thì sẽ dễ bị nhầm lần, không phát hiện được x là ước hay bội trong mối quan hệ chia hết đó

Cũng với quan hệ chia hết, nhưng lúc này đề bài lại cho điều kiện của x ở dạng khó hơn, đòi hỏi học sinh phải phân tích thêm mới có được dạng toán quen thuộc như ở VD2

VD4: Tìm số tự nhiên x, biết: và 210 < 7.x < 280

Dạng điều kiện 210 < 7.x < 280 chưa được tìm hiểu, tuy nhiên nếu linh hoạt trong phân tích sẽ thấy được 7.x < 280, bằng câu hỏi gợi mở: 7 nhân với những

số nào để kết quả nhỏ hơn 280, học sinh sẽ có ngay kết quả “nhân với các số nhỏ hơn 40” cũng tương tự như vậy với vế còn lại của điều kiện này Từ đó học sinh

dễ dàng tìm ra hướng giải và cách trình bày bài toán sao cho khoa học

- Trình bày lời giải:

Vì => x  B(5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; ….}

Mà 210 < 7x < 280 => 30 < x < 40

Vậy x = 35

VD5: Tìm số tự nhiên x, biết: (111 + 222 + 333 + x) 3

x là một số hạng, trong mối quan hệ chia hết do đó để giải bài toán này ta phải dùng tính chất chia hết của một tổng Tổng chi hết cho 3 khi các số hạng chia hết cho 3

Tuy nhiên, nhiều học sinh không nắm chắc tính chất chia hết của một tổng thường mắc sai lầm như cộng hết 3 số hạng vào

- Trình bày lời giải:

Vì 111 3 , 222 3 , 333 3 nên (111 + 222 + 333 + x) 3 khi x 3

Mở rộng các bài toán về quan hệ chia hết ta có bài toán:

VD6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho 2 dư 1, chia

cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3; chia cho 5 dư 4

Lúc này bài toán xuất hiện quan hệ chia có dư, làm thế nào để đưa được về quan hệ chia hết mới sử dụng được kiến thức về Tâp hợp, ước, bội

Phân tích cho học sinh thấy được điều đặc biệt ở đây là các phép chia đều

có số dư kém số chia 1 đơn vị, nên để phép chia hết thì số cần tìm phải cộng thêm 1 chuyển bài toán có lời văn sang bài toán tìm x như quen thuộc

- Trình bày lời giải:

Gọi số có hai chữ số cần tìm là x (x  N, 10 ≤ x ≤ 99)

Vì x chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3; chia cho 5 dư 4 nên

x + 1 là bội chung của 2; 3; 4; 5

BC(2;3;4;5) = 2.3.4.5 = 60

=> x + 1 = 60

=> x = 59

Bài toán vẫn dùng quan hệ chia hết, nhưng số chia và số bị chia không cụ thể, đòi hỏi học sinh phải đưa được về dạng quen thuộc bằng cách căn cứ vào tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích Ta có thể rút ra phương pháp chung dựa vào nhận xét: Nếu A B thì (m.A + n.B) B (m, n  N*)

VD7: Tìm số tự nhiên x sao cho: (x + 2) ( x – 1)

VD8: Tìm số tự nhiên x sao cho: (2x +7) (x + 1)

Công việc của học sinh là tách số bị chia sao cho làm triệt tiêu số hạng cần tìm

Nhưng đây là dạng toán nâng cao, học sinh mới được tiếp cận với phép chia các biểu thức chứa chữ, do đó cần hướng dẫn cho học sinh kiến thức áp dụng là tính chất chia hết của một tổng và cách làm xuất hiện các số hạng

- Trình bày lời giải:

Ta có: (2x +7) (x + 1) => [(2.x + 7) – 2.(x + 1)] (x -1) => 5 (x + 1) Với x + 1 = 1 => x = 0

Với x + 1 = 5 => x = 4

Vậy 0 hoặc 4 là số cần tìm

VD9: Bằng suy luận hợp lý, từ hệ thống các dữ kiện sau đây em hãy xác

định số tự nhiên x:

 x là số tự nhiên lẻ, x là số có 2 chữ số

 x chia hết cho 5

 chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 2 số tự nhiên liên tiếp

 chữ số hàng chục chia hết cho 3

Ngoài sử dụng các kiến thức đã học, bằng cách phân tích các dữ kiện đề bài cho, bài toán này đòi hỏi phải có suy luận hợp lý, chặt chẽ để có được kết quả

Do đó học sinh rèn được kĩ năng phân tích, suy luận, trình bày Tạo thêm niềm đam mê học tập bộ môn

3 Bài tập vận dụng

Bài 1: Viết các tập hợp sau đây bằng cách liệt kê các phần tử của nó

a) A = { xN*/ x < 10} Đ/s: A={1;2;3;4;5;6;7;8;9}

b) B = { xN / 140 ≤ x < 145} Đ/s: B={140;141;142;143;144} c) C = {xN/ x là số chẵn, 10 ≤ x ≤ 20} Đ/s: C={10;12;14;16;18;20}

Bài 2: Tìm số tự nhiên x, biết: ; ; và 70 < x < 130

Đ/s: x = 90

Bài 3: Tìm số tự nhiên x, biết: ; và x > 6

Đ/s: x = 11

Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết rằng: x 12, x 28 và 170 < x < 300

Đ/s: x= 252

Bài 5: Tìm số tự nhiên x lớn nhất, biết rằng 420 x và 700 x

Đ/s: x = 140

Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết: (245 + 1055 + 4010 + x) 5

Đ/s: x  B(5)

Bài 7: Tìm số tự nhiên, biết rằng số đó chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho

6 đều dư 1 Nhưng khi chia cho 7 thì không còn dư

Hướng dẫn: Bài toán có 2 nhóm điều kiện: Nhóm chia còn dư 1 và nhóm

chia hết Do đó ta cần sử dụng 2 điều kiện này riêng biệt

Từ đó tổng hợp các kết quả thỏa mãn cả hai điều kiện để trả lời

Bài 8: Tìm số tự nhiên x sao cho: (x + 4) ( x – 3)

Đ/s: x =4 hoặc x = 10

Bài 9: Tìm số tự nhiên x sao cho: (5x -2) (x - 1)

Đ/s: x =2 hoặc x =4

B Dạng tìm số tự nhiên x trong quan hệ phép toán Cộng, trừ, nhân Chia, Lũy thừa đối với số tự nhiên.

1 Kiến thức cần nắm:

- Khi giải bài toán tìm x, học sinh thường giải theo cách của cấp tiểu học bằng cách sử dụng quan hệ của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia theo quy tắc

đã học

+Tìm số hạng: lấy tổng trừ đi số hạng đã biết

+Tìm số bị trừ: lấy hiệu công với số trừ

+Tìm số trừ: lấy số bị trừ trừ đi hiệu

+Tìm thừa số: lấy tích chia cho thừa số đã biết

+Tìm số bị chia: lấy thương nhân với số chia

+Tìm số chia: Lấy số bị chia chia cho thương

- Lũy thừa với số mũ tự nhiên: ax = a.a.a.a……a (n thừa số a)

- Các phép toán lũy thừa: am an = am+n

am: an = am –n (với m ≥ n)

- Trong quá trình làm bài, một số bài cần phải sử dụng phương pháp chung dựa vào nhận xét: Hai lũy thừa bằng nhau khi có cơ số bằng nhau và số mũ bằng nhau ax = an khi x = n

xa = ba khi x = b

2 Bài tập áp dụng kiến thức

- Với dạng toán này học sinh từ trung bình trở lên sẽ làm được khi sử dụng các quan hệ trên một cách thành thạo, tuy nhiên không phải bài toán nào học sinh cũng làm được ngay

VD1: Tìm số tự nhiên x, biết: 214 + x = 240

x = 240 – 214

x = 26 Tuy nhiên với bài toán tìm x chứa biểu thức phức tạp hơn, học sinh sẽ lúng túng không biết cách giải, hoặc giải sai:

VD2: Tìm số tự nhiên x, biết: 214 + (x – 2) = 240

Hướng dẫn HS giải: Coi x – 2 là một số hạng cần tìm, khi đó sử dụng quan

hệ phép cộng ta tìm số hạng x – 2 sau đó gặp dạng toán quen thuộc, học sinh tiếp tục giải

214 + (x – 2) = 240 (coi x -2 là một số hạng cần tìm)

x - 2 = 240 – 214

x - 2 = 26

x = 26+2

x = 28

(dạng quen thuộc)

Khi biểu thức trong bài toán tăng độ phức tạp từ hai phép toán trở lên, thì học sinh cần biết khái quát hóa quan hệ các phép toán đã học, đồng thời thực hiện các quan hệ phép toán ngược lại theo thứ tự thực hiện phép tính, nghĩa là nếu theo thứ tự thực hiện các phép toán: trong ngoặc trước ngoài ngoặc sau, nhân, chia trước cộng, trừ sau thì khi thực hiện bài toán tìm x có chứa nhiều phép toán ta thực hiện ngược lại: Cộng trừ trước rồi nhân, chia sau, ngoài ngoặc trước trong ngoặc sau Từ đó mới hình thành cách giải đúng và vận dụng linh hoạt các bài toán khác:

VD3: Tìm số tự nhiên x, biết: 214 + 2.(x -2) = 240

HS giải:

2.x = 240 – 214

2.x = 26 + 2

2.x= 28

x = 14

216.(x – 2) = 240

x = 240 – 216 + 2

x = 26

x = 240 – 214 : 2

x = 133

x = 133-2

x = 131

HS không biết tổng

quát phép toán cộng,

không biết sử dụng

quan hệ phép nhân

trong bài toán

HS vận dụng không linh hoạt thứ tự thực hiện các phép tính

HS không biết dùng dấu ngoặc khi biểu thị phép toán chia một tổng (hiệu) cho một số

Các sai lầm trên đều cho thấy học sinh gặp vấn đề không biết cách trình bày, không biết khái quát hóa các phép toán, không biết vận dụng linh hoạt quan

hệ của các phép tính trong giải toán tìm x

Hướng dẫn HS giải:

214 + 2.(x -2) = 240 2.(x – 2) = 240 – 214 2.(x -2) = 26

(coi 2.(x-2) là một số hạng cần tìm)

x – 2 = 26:2

x – 2 = 13

x = 15

(coi x – 2 là một thừa số cần tìm) (dạng toán quen thuộc)

VD4: Tìm số tự nhiên x, biết: 125 – 3(x +2) = 35

- HS giải:

3.(x+2) = 125 + 35

3.(x+2) = 160

x+2 = 160:3

x+ 2 =

HS không vận dụng được quan hệ phép toán trừ

Kết quả không là số tự nhiên, đến đây học sinh dừng lại

- Hướng dẫn HS giải:

3.(x+2) = 125 - 35

3.(x+2) = 90

x+2 = 90:3

x+ 2 = 30

x = 28

(coi 3.(x+2) là số trừ cần tìm)

(coi x + 2 là thừa số cần tìm) (bài toán quen thuộc)

Sau khi học sinh luyện tập tương đối thành thạo các bài toán tìm x dạng phức tạp, học sinh sẽ được làm bài toán ở mức phức tạp hơn bao gồm nhiều dấu ngoặc và nhiều phép toán hơn Với bài toán này học sinh cần sự kiên trì, tính tư duy, cách trình bày Áp dụng cho học sinh khá, giỏi

VD5: Tìm số tự nhiên x, biết: 120 – [ 14 + 2.{47 – (x-2):2}] = 32

14 + 2.{47 – (x-2):2}= 120 – 32

14 + 2.{47 – (x-2): 2} = 88

2.{47 – (x-2) : 2} = 88 – 14

2.{47 – (x-2): 2} = 74

47 – (x-2) : 2 = 74: 2

47 – (x-2) : 2= 37

(x – 2) : 2 = 47 – 37

(x – 2) : 2 = 10

x – 2 = 20

x = 22

SD quan hệ phép trừ

SD quan hệ phép cộng

SD quan hệ phép nhân

SD quan hệ phép trừ

SD quan hệ phép chia

SD quan hệ phép trừ

Trong chương trình có bổ xung kiến thức: Lũy thừa với số mũ tự nhiên, trong đó có phép chia lũy thừa, phép nhân lũy thừa Do đó khi gặp bài toán tìm x

có chứa phép toán lũy thừa, học sinh sẽ gặp lúng túng, không biết nên giải quyết như thế nào?

Với dạng toán có lũy thừa, cần hướng dẫn cho học sinh biết tính lũy thừa trước nếu các lũy thừa không chứa x cần tìm ở cơ số hay số mũ: Tính ra số tự nhiên hoặc sử dụng các phép toán nhân, chia hai lũy thừa cùng số mũ, tùy vào bài toán cụ thể. a) 9x - 22 = 53 :52

9x – 22 = 5

9x = 27

x = 3

(Thực hiện phép tính lũy thừa trước)

Trường hợp x cần tìm có ở số mũ hay cơ số, thường sử dụng đến phép so sánh bằng nhau của hai lũy thừa, do đó cần cung cấp thêm cho học sinh kiến thức: hai lũy thừa bằng nhau khi có đủ hai yếu tố: số mũ bằng nhau và cơ số bằng nhau Từ đó dẫn dắt học sinh làm bài toán sau:

b) 4x = 64

4x = 43

x = 3

Vế trái: Số mũ là x cần tìm

cơ số là 4 luôn không thay đổi

Vế phải: số 64 Muốn hai vế bằng nhau ta cần biến đổi 64 dưới dạng lũy thừa với cơ số là 4

Từ đó hai lũy thừa bằng nhau khi có cùng số mũ

c) 3 x - 2 = 27

3 x - 2 = 33

x -2 = 3

x = 5

Mở rộng bài toán của câu b

Bổ sung kiến thức: xm = xn => m = n; am = bm => a = b

và lưu ý cho học sinh cả quan hệ không bằng nhau của 2 lũy thừa cùng cơ số hoặc 2 lũy thừa cùng số mũ

Xác định các yếu tố của hai vế VT: cơ số là ? số mũ là bao nhiêu ? VP: cần biến đổi như thế nào?

Từ đó học sinh nhận ra cách làm giống bài toán b

d) (x – 6)2 = 9 Vẫn sử dụng quan hệ bằng nhau của hai lũy thừa, nhưng x