Phuong trinh mu va logarit

Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1. 1 1 1 X X X 6.9 13.6 6.4 0− + = ĐK: x ≠ 0. Chia 2 vế cho 1 x 9 . ĐS: x = ±1. 2. 2 2 x 1 x 3 9 36.3 3 0 − − − + = ĐS: x = ±1, x = ± 2 . 3. 1 1 1 x x x 2.4 6 3.9 − − − − = ĐK: x ≠ 0. Chia 2 vế cho 1 x 9 − . ĐS: x = 1. 4. 2 1 x 2(1 x) 5 16 4 25 − +     =  ÷  ÷     ĐS: x = -1, x = 5. 5. x 1 x x 1 3 .2 72 + − = logarit hóa. 6. 2 2 x x x x 2x 2 4.2 2 4 0 + − − − + = Biến đổi PT về 2 2x x x (2 4)(2 1) 0 − − − = . 7. Giải và biện luận phương trình x 1 1 2m 1 2 − = − 8. 8 4 2 2 1 1 log (x 3) log (x 1) log (4x) 2 4 + + − = Đưa về cơ số 2, chú ý về điều kiên và có giá trị tuyệt đối. 9. x 5 log (5 4) 1 x− = − 10. 2 5x 5 5 log log x 1 x + = Đổi về cơ số 5. 11. 2 2 3 3 log x log x 1 5 0+ + − = Đặt 2 3 log x 1 t 0+ = ≥ đưa PT về dạng bậc hai đối với t. 12. 3 3 2 3 2 3 x 1 log log x log log x x 2 3   − = +  ÷   Biến đổi về PT tích 3 2 3 2 1 (log x log x)(log x log x) 0 3 + − = . 13. 3 4 12 log x log x log x+ = Đưa về cùng cơ số 3. ĐS: x = 1. 14. [ ] 2 log 4(x 1) 3 (x 1) 4(x 3) − − = − logarit cơ số 2 hai vế, rút gọn đặt 2 t log (x 1)= − được PT bậc hai ẩn t. ĐS: x = 3/2, x = 5. 15. 2 2 2 log x (x 4)log x x 3 0+ − − + = Tìm được 2 2 log x 1,log x 3 x= = − (dùng sự biến thiên của hàm số). ĐS: x = 2. 16. Tìm m để x x (m 3)16 (2m 1)4 m 1 0+ + − + + = có hai nghiệm trái dấu. ĐS: -3 < m < -3/4. 17. Giải và biện luận PT m.3 x + m.3 -x = 8 18. Cho phương trình: m.16 x + 2.81 x = 5.36 x a) Giải PT với m = 3. b) Tìm m để PT có nghiệm duy nhất. GV: ĐÀO DUY NAM Trang 1 Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit 19. Xác định m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt: log m [x 2 – (6m – 1)x + 9m 2 – 2m – 1] = log m (x – 3). 20. Biện luận số nghiệm của PT 2 1 x ln x m 0 2 − − = Số nghiệm của PT là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số 2 1 y x ln x 2 = − . BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Các trường hợp cơ bản: i) f (x) g(x) a 1 f (x) g(x) a a 0 a 1 f (x) g(x)  >    <   < ⇔  < <    >    hoặc [ ] a 0 (a 1) f (x) g(x) 0 >    − − <   ii) f (x) a b< (b > 0) a b a 1 f (x) log b 0 a 1 f (x) log b  >    <    < <    >    iii) f (x) a a b 0 f (x) XÐ b 0 a 1 a b f (x) log b 0 a 1 f (x) log b  ≤       >      > > ⇔       >        < <       <       CÁC PHƯƠNG PHÁP 1) Phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa. 1. 2 x 1 x 2x 1 2 2 − − ≤ ĐS: x 2≥ . 2. x x 1 x 2 x x 1 x 2 9 9 9 4 4 4 + + + + + + < + + ĐS: 9 4 21 x log 91 < . 2) Phương pháp đặt ẩn số phụ. 3. 1 x x x 2 2 1 0 2 1 − − + ≤ − Đặt x 2 t 0= > . ĐS: x < 0 hoặc x > 1. GV: ĐÀO DUY NAM Trang 2 Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit 4. 2 3 3 1 log log x x 3 18x 3 0− + > Đặt t 3 log x t x 3= ⇒ = đưa BPT về ẩn t. Đặt 2 t 3 u 0= > đưa BPT về ẩn u. ĐS: x > 3. 3) Phương pháp hàm số. 5. x 4 2x 4 3 2 13 + + + ≥ ĐK: x 2≥ − . Các hàm số 1 2 f (x) x 4,f (x) 2x 4= + = + đồng biến với x 2≥ − x 4 2x 4 f (x) 3 2 + + ⇒ = + đồng biến với x 2≥ − . Ta có f(0) = 13: + Nếu x > 0 thì f(x) > f(0) nên x > 0 là nghiệm. + Nếu 2 x 0− ≤ ≤ thì f(x) ≤ f(0) nên 2 x 0− ≤ ≤ không là nghiệm. Vậy nghiệm của BPT là x > 0. 6. x x x 2.2 3.3 6 1+ > − Chia hai vế cho 6 x > 0 ta được x x x 2 3 1 1 3 2 6 + + > . Hàm số x x x 2 3 1 f (x) 3 2 6 = + + nghịch biến. + Với x 2≥ , f (x) f (2) 1≤ = , BPT vô nghiệm. + Với x < 2, f(x) > f(2) = 1, BPT nghiệm đúng. Vậy nghiệm của BPT là x < 2. 4) Phương pháp đánh giá. 7. 2 2 sin x cos x 2 2 2(sinx+cosx)+ ≤ Ta có: VT = 2 2 2 2 2 2 sin x cos x sin x 1 sin x sin x sin x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − + = + = + ≥ (Cauchy) VP = 2(sinx + cosx)2 2 sin(x ) 2 2 4 π + ≥ Vậy BPT có nghiệm 2 2 sin x sin x 2 2 2 VT VP 2 2 x 2k ,k Z 4 sin(x ) 1 4  =  π  ⇔ = = ⇔ ⇔ = + π ∈  π  + =   . BÀI TẬP 1. x 1 x 3 x 3x 1 ( 10 3) ( 10 3) + − +− + < − Chú ý: ( 10 3)( 10 3) 1+ − = . ĐS: 3 x 5 1 x 5  − < < −  < <   . 2. x x 4 2x 8.3 x 4 3 9.9 0 + + − + − > ĐK: x 4≥ − . Chia hai vế cho 2 x 4 3 0 + > ta được 2(x x 4) x x 4 3 8.3 9 0 − + − + − − > . Đặt x x 4 3 t 0 − + = > . ĐS: x > 5. GV: ĐÀO DUY NAM Trang 3 Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit 3. Cho BPT 1 x 2 x 1 1 12 3 3     + >  ÷  ÷     (*) a) Giải BPT (*). b) Tìm m để mọi nghiệm của (*) cũng là nghiệm của BPT 2x 2 + (m + 2)x +2 – 3m < 0. 4. 2 x x 3 3 2x 0 4 2 − + − ≥ − ĐS: 1 x 2. 2 < ≤ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Các trường hợp cơ bản: i) [ ] a a 0 a 1 a 1 f (x) 0 0 f (x) g(x) log f (x) log g(x) g(x) 0 0 a 1 (a 1) f (x) g(x) 0 f (x) g(x) < ≠  >      > < <    < ⇔ ⇔   > < <      − − < >     ii) b a b a 1 0 f (x) a log f (x) b 0 a 1 f (x) a  >    < <   < ⇔  < <     >   iii) b a b a 1 f (x) a log f (x) b 0 a 1 0 f (x) a  >    >   > ⇔  < <     < <   CÁC PHƯƠNG PHÁP 1) Phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa. 1. 2 3 3 (log x) log x 3 x 6+ ≤ ĐK: x > 0 Ta có: ( ) 2 3 3 3 2 (log x) log x log x 3 3 x= = do đó BPT trở thành 3 log x x 3≤ , logarit cơ số 3 hai vế được 2 3 1 (log x) 1 x 3 3 ≤ ⇔ ≤ ≤ . 2. 2 x log (5x 8x 3) 2− + > Áp dụng dạng cơ bản iii) ở trên. ĐS: x > 3/1 hoặc 1/2 < x < 3/5. 3. 3 2x 3 log 1 1 x − < − ĐK: 2x 3 0 1 x − > − . Mũ hóa 3 2x 3 log 0 1 1 x 3 2x 3 2x 3 0 log 1 3 3 3 1 3 1 x 1 x − − − − ≤ < ⇔ ≤ < ⇔ ≤ < − − . ĐS: 6 4 x 5 3 < ≤ . GV: ĐÀO DUY NAM Trang 4 Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit 2) Phương pháp đặt ẩn số phụ. 4. x x 2 3 2 log (3 2) 2log 2 3 0 + + + − > Đặt x x 2 3 2 1 log (3 2) t 1 log 2 t + + = > ⇒ = đưa BPT về t 2 – 3t + 2 > 0. ĐS: 3 x log 2> . 5. 2 3 3 1 log log x x 3 18x 3 0− + > Đặt t 3 log x t x 3= ⇒ = . Biến đổi, đặt 2 t 3 u 0= > . ĐS: x > 3. 3) Phương pháp hàm số. 6. 2 3 log x 1 log x 9 1+ + + > ĐK: x 1> − . Hàm số 1 2 f (x) x 1,f (x) x 9= + = + đồng biến với x > -1 2 3 f (x) log x 1 log x 9⇒ = + + + đồng biến với x > -1 . Mà f(0) = 1 do đó: + Nếu x > 0 thì f(x) > f(0) nên x > 0 là nghiệm. + Nếu -1 < x ≤ 0 thì f(x) ≤ f(0) nên -1 < x ≤ 0 không là nghiệm. Vậy nghiệm của BPT là x > 0. 7. 2 2 3 x x 12 log x 7 x x 12 7 x − − + ≤ − − − − ĐK: 4 x 7 x 3 < <   < −  . BPT: 2 2 3 3 log x x 12 x x 12 log (7 x) 7 x− − + − − ≤ − + − . Hàm số 3 f (t) log t t= + đồng biến nên 2 2 f ( x x 12) f (7 x) x x 12 7 x− − ≤ − ⇔ − − ≤ − giải BPT này và kết hợp với ĐK ta được kết quả 61 4 x 13 x 3  < <   < −  . 4) Phương pháp đánh giá. 8. 2 3 1 log ( x 2 4) log 8 x 1   − + ≤ +  ÷ −   ĐK: x 2≥ . Ta có: 2 2 x 2 4 4 log ( x 2 4) log 4 2 VT 2− + ≥ ⇔ − + ≥ = ⇔ ≥ . 3 3 1 1 1 x 2 x 1 1 x 1 1 1 8 9 log 8 log 9 2 x 1 x 1 x 1   ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ =  ÷ − − −   VP 2⇔ ≤ . Vậy BPT có nghiệm khi và chỉ khi VP = VT = 2. ĐS: x = 2. BÀI TẬP 1. x 1 log (x ) 2 4 − ≥ Áp dụng dạng cơ bản iii) ở trên. ĐS: x 1≤ . 2. 2 x 4x 2 1 log x 2 2   − ≥  ÷  ÷ −   Áp dụng dạng cơ bản iii) ở trên. ĐS: ( ) { } 1 ; 1 3 1;3 7 \ 2 2   − + ∪ +  ÷   . 3. x 1 log 2010 2+ < BPT x 3 log 2010 1⇔ − < < . Áp dụng dạng cơ bản ii), iii) ở trên. ĐS: 3 1 0 x 2010 < < hoặc x > 2010. GV: ĐÀO DUY NAM Trang 5 Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit 4. 2 2 2 log x log x− > 5. 2 2 2 5 x log (x 3) 0− − ≤ ĐS: 2 x 3− ≤ < hoặc 3 x 2< ≤ hoặc x 5= ± . 6. 2 2 1 2 x 2 log (4 x ) 0− − ≤ 7. 2 2 1 2 x 2 log (x 3) 0− − ≥ GV: ĐÀO DUY NAM Trang 6 . Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1. 1 1 1 X X X 6.9 13.6 6.4 0− + = ĐK: x ≠ 0. Chia 2 vế. − +     =  ÷  ÷     ĐS: x = -1, x = 5. 5. x 1 x x 1 3 .2 72 + − = logarit hóa. 6. 2 2 x x x x 2x 2 4.2 2 4 0 + − − − + = Biến đổi PT về 2 2x x