phương trình mũ và logarit

một số công thức và bài tập có lời giải của phương trình mũ và logarit.

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A.PHƢƠNG TRÌNH MŨ VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ. I.Công thức lũy thừa và căn thức. . . . m n m n m n m n m n m n n n n n m n m m n m n a a a a a a aa a b a b aa aa         II. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ. 1) Đƣa về dạng cơ bản. () 0 (0 1) ( ) log fx a b a b a f x b          2)Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số. Biến đổi phƣơng trình về dạng :   () ( ) ( ) 01 gx f x a f x g x a         Nếu cơ số a không phụ thuộc x ( a=a(x))   ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ( ) 1)( ( ) ( )) 0 g x f x ax a x a x a x f x g x           3)Phƣơng pháp dùng ẩn số phụ. Đặt t= ()fx a chọn cơ số a thích hợp Điều kiện t >0 Biến đổi phƣơng trình mũ về phƣơng trình bậc 2 , bậc3 theo t Giải phƣơng trình này và chọn nghiệm t >0 Giải tiếp suy ra x 4)Phƣơng phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình tích. -Nhóm các số hạng rồi đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích 5)Phƣơng pháp lấy logarit thích hợp 2 về. Dạng ( ) ( ) 01 01 f x g x a ab b            Lấy logarit cơ số a 2 vế ( ).log ( )log ( ) ( ).log aa a f x a g x b f x g x b   PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 6)Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu. Biến đổi phƣơng trình về dạng f(x)=g(x) Trong đó f(x) và g(x) là 2 hàm số đơn điệu Đoán nhận 1 nghiệm x= 0 x Suy ra phƣơng thình có nghiệm duy nhất x= 0 x III.Một số ví dụ. VD1:Giải phƣơng trình 0,5 1 (0,2) 5.(0,04) 5 x x    Giải: 1 1 1 2 1 2 11 2( 1) 22 23 51 (1) 5. 25 5 5 5.5 55 23 3 x x x x xx xx x                      VD2: Giải phƣơng trình:   2 2 24 4 2 5. 2 6 0 xx xx        Giải: Điều kiện 2 4 0 2xx     hoặc 2x      2 2 24 4 (1) 2 5. 2 2 6 0 xx xx         Đặt t= 2 4 ( 2) xx . Điều kiện t>0  2 4 5 6 3 2 2 t tt t           2 4 22 22 3 ( ai) 2 t=4 ( 2) 4 4 4 4 4 04 4 16 8 4 5 2 xx t lo x x x x x x x x x x                              PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT ĐS: 5 2 x  VD3.Giải phƣơng trình 8.3 3.2 24 6 x x x    (1) Giải: (1) 8.(3 3) 2 (3 3) (3 3)(2 8) 0 3 3 1 2 8 3 x x x x x x x x x                   ĐS: x=1;x=3 VD4.Giải phƣơng trình 2 42 35 xx  (1) Giải: Lấy logarit cơ số 3 hai vế 22 3 3 3 2 3 ( 4)log 3 2 .log 5 4 2 log 5 2 log 5 4 0 x x x x xx          2 33 2 33 log 5 log 5 4 log 5 log 5 4 x x            VD5.Giải phƣơng trình 37 2 55 x x     Giải: Ta thấy x=1 là một nghiệmcủa phƣơng trình Đặt 37 () 55 x fx     là hàm số giảm trên R ( ) 2 x gx là hàm số tăng trên R Mà f(1)=g(1) Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x=1 VD6. Giải phƣơng trình: 1 1 1 2 3 5 2 3 5 x x x x x x         Giải: Đặt 1 ( ) 2 3 5 x x x fx     là hàm số tăng trên R 11 ( ) 2 3 5 x x x gx       là hàm số giảm trên R Mà 11 22 fg              nên phƣơng trình có nghiệm x= 1 2 PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT VD7 Giải phƣơng trình: 22 3.25 (3 10).5 3 0(1) xx xx       Giải : Đặt t= 2 5 x (t>0) (1) 2 3 (3 10) 3 0(2)t x t x      1 3 3 t tx        Với 2 5 5 1 1 1 5 2 log 3 3 3 2 log 3 x tx x           Với 2 3 5 3 (3) x t x x       (3) có 1 nghiệm x=2 Đặt 2 ( ) 5 x fx   là hàm số tăng trên R ( ) 3g x x là hàm số giảm trên R Vậy (3) có nghiệm duy nhất x=2 Vậy (1) có nghiệm : x=2 ; 5 2 log 3x  IV.Một số bài tập: Bài 1: Giải phƣơng trình: 1 4 2 4 2 2 16 x x x      Bài 2: Giải phƣơng trình:   1 2 log 9 5.3 4 xx  Bài 3: Giải phƣơng trình:     2 3 2 3 4 xx     Bài 4: Giải phƣơng trình: 2 1 2 4 .3 3 2 .3 2 6 x x x x x x x       Bài 5: Giải phƣơng trình: 111 9 6 4 0 xxx    VẤN ĐỀ 2: Tìm m để phƣơng trình mũ có nghiệm, có nghiệm duy nhất. I. Tìm m để phƣơng trình mũ: F(x,m)=0 (1) có nghiệm x  D. Cách giải: -Đặt ẩn phụ: t:=q(t), tìm điều kiện cho ẩn phụ t. -Chuyển điều kiện x  D thành điều kiện t  T. -Biến đổi phƣơng trình (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t f(t,m)=0 (2). *Cách 1. -Biến đổi (2) tƣơng đƣơng với f(t)=m (2’) với t  T. -Tính f’(t), lập bảng biến thiên. -Để (1) có nghiệm x  D khi và chỉ khi (2’) có nghiệm t  T điều này cũng tƣơng đƣơng với đƣờng thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=f(t) -Dựa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của m. PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT *Cách 2. -Ta có (1)  f(t,m)=0 (2) (bậc 2 theo t) -Để (1) có nghiệm x  D khi và chỉ khi (2) có nghiệm t  T Tức là (2) có 1 trong 2 nghiệm thuộc T hoặc cả hai nghiệm đều thuộc T. II. Tìm m để phƣơng trình có nghiệm duy nhất *Cách 1. Điều kiện cần. -Giả sử phƣơng trình có nghiệm x 0 . Dựa vào tính đối xứng, hàm số chẵn, giá trị tuyệt đối … phƣơng trình có nghiệm x 1 . -Từ đó phƣơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x 0 =x 1 . -Thay vào phƣơng trình để tìm giá trị m. Điều kiện đủ. -Thay giá trị m vừa tìm đƣợc vào phƣơng trình. -Giải phƣơng trình và chọn m sao cho thỏa mãn điều kiện phƣơng trình có nghiệm duy nhất. Từ đó đƣa ra kết luận các giá trị m thỏa mãn. *Cách 2. -Bằng cách đặt ẩn phụ t=q(x) để đƣa phƣơng trình đã cho về dạng f(t)=m. -Đặt y=f(t) với t  T -Tính f’(t), lập bảng biến thiên trên T. -Từ đó phƣơng trình (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đƣờng thẳng y=m chỉ có duy nhất một điểm chung với đồ thị y=f(t). -Dựa vào bảng biến thiên để có đƣợc giá trị m cần tìm. III.Một số ví dụ : VD1: Định m để phƣơng trình:       1 4 2 3 2 3 0 1 xx m m m      có nghiệm Giải: Đặt: t=2 x (t>0)            2 22 22 2 2 1 1 2 3 3 0 2 6 3 2 1 6 3 63 20 21 m t m t m mt m m t t m t t t t tt mt tt                         Đặt     2 2 63 0 21 tt f t t tt          2 2 2 2 4 8 12 21 1 0 4 8 12 0 3 tt ft tt t f t t t t                    PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bảng biến thiên: Để (1) có nghiệm   2xR có nghiệm t>0  Đƣờng thẳng y=m cớ điểm chung với đồ thị   y f x . Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 3 3 2 m   ĐS: 3 3 2 m   Ví dụ 2: Cho phƣơng trình:       3 16 2 1 4 1 0 1 xx x m m      Tìm m để phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Giải: Đặt:   40 x tt phƣơng trình (1) trở thành         2 3 2 1 1 0 2f t m t m t m       Phƣơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu 12 0 1 2 1 2 0 4 4 4 1 xx x x t t         (2) có nghiệm t 1 , t 2 thõa 0 < t 1 < 1 < t 2           . 1 0 . 0 0 3 4 3 0 3 1 0 3 3 4 3 1 3 4 1 af af mm mm m m m m                                           Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu khi: . 3 1 4 m    Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất:   1 1 3 2 1 2 x m   Giải: Phƣơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT       1 2 2 2 2 3 2 0 3 11 1 2 1 log 3 2 3 2 1 log 3 2 1 log 3 2 x mm x mm xm xm                       Phƣơng trình có nghiệm duy nhất       22 2 1 log 3 2 1 log 3 2 log 3 2 0 3 2 1 1 mm m m m               IV.Một số bài tập: Bài 1: Tìm m để phƣơng trình     4 9 2 2 3 1 0 xx m m m      có nghiệm. Bài 2: Tìm m để phƣơng trình .2 2 5 0 xx m     có 1 nghiệm duy nhất. Bài 3: Định m để phƣơng trình:     3 2 2 3 2 2 tgx tgx m    Có đúng 2 nghiệm trong , 22      Bài 4:Tìm k để phƣơng trình     1 1 4 3 2 .2 3 1 0 xx k k k        có 2 nghiệm trái dấu. Bài 5:Giải và biện luận phƣơng trình .3 .3 8 xx mm   B.PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit. I.Dạng cơ bản:   log log 0, 1 log , ; ; 0 a N a x x a x N x a a a a x x a x x           Công thức đổi cơ số: log log log log log log a a a b b a x x b x x b    1 log log x a a x  ; log log bb ca ac 3 1 log log 3 log log a a a a xx xx       II.Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit. 1.Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số -Biến đồi phƣơng trình về dạng: PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT              log log 0 1 0 0 aa f x g x a fx gx f x g x                 2.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ: -Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đối phƣơng trình đã cho thành một phƣơng trình đại số. 3.Phƣơng pháp đƣa về dạng phƣơng trình tích: -Nhóm các số hạng, đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích. 4.Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu. -Suy đoán 1 nghiệm đặc biệt và chứng minh nghiệm đó duy nhất. 5.Dạng:     01 log log 01 m ab a f x a g x b       -Suy đoán nghiệm x 0 và chứng minh nghiệm duy nhất. -Nghiệm duy nhất x 0 thõa:     0 0 m n f x a g x a        6.Dùng phƣơng pháp đối lập. AB Am Am Bm Bm             7.Dạng:         log log a x a x f x g x           0 1 0 ax ax fx f x g x             III.Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phƣơng trình:      4 2 11 log 3 log 4 1 24 xx Giải: ĐK: 0 1 x x                     2 2 2 2 11 1 log 3 . .8log 1 log 4 42 log 3 1 log 4 3 1 4 2 x x x x x x x x x             PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT  Nếu 0< x <1 :  Nếu x>1 ĐS: 3; 3 2 3xx    Ví dụ 2: Giải phƣơng trình:   12 11 4 lg 2 lgxx   Giải: ĐK: 4 0 0 lg 4 10 lg 2 1 100 x x xx x x                  Đặt:   lg 4 2t x t t            2 2 12 11 42 2 2 4 4 2 10 8 4 2 3 2 0 1 2 tt t t t t t t t t tt t t                             1 lg 1 10t x x      2 2 lg 2 10 100t x x      ĐS: x=10; x=100 Ví dụ 3: Giải phƣơng trình:     32 log log 1 1xx PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giải: Điều kiện: 0x  Đặt: 2 log 3 t t x x           2 1 log 1 3 2 1 3 13 12 22 t t t t t t                Nhận xét: t=2 là nghiệm của (2) Vế trái là hàm số giảm. Vế phải là hàm số hằng. Nên phƣơng trình có 1 nghiệm duy nhất là 2 3 2 log 2 3 9t x x      ĐS: x=9 IV.Một số bài tập: Bài 1: Giải phƣơng trình         2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 log 1 log 1 log 1 log 1x x x x x x x x           Bài 2: Giải phƣơng trình: 4 21 2 log 1 21 x x x     Bài 3: Giải phƣơng trình:     22 3 2 3 log 2 9 9 log 4 12 9 4 0 xx x x x x         Bài 4: Giải phƣơng trình:   9 log 1 lg 0 2 x x    Bài 5: Giải phƣơng trình:     22 3 1 log 3 1 2 log 1 log 2 x xx       VẤN ĐỀ 2: Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm, có nghiệm duy nhất: I.Tìm m để phƣơng trình:     , 0 1F x m  có nghiệm xD -Đặt ẩn số phụ: log a tx thích hợp. -Chuyển điều kiện x D t T   -Biến đổi (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t. Biến đổi phƣơng trình này về dạng:     2f t m -Tính   ,f t t T   . Lập bảng biến thiên -Để (1) có nghiệm trên D  (2) có nghiệm trên T. -Dựa vào bảng biến thiên  điều kiên của m II. Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm duy nhất: Cho phƣơng trình ( chứa logarit )     , 0 1F x m  -Đặt:   t p x -Tìm điều kiện của tT -Biến đổi phƣơng trình (1) về dạng:     2f t m