Ứng dụng maple để xây dựng phần mềm trợ giúp việc giảng dạy và học môn giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - HÀ THỊ THANH ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ XÂY DỰNG PHẦN MỀM TRỢ GIÚP VIỆC GIẢNG DẠY VÀ HỌC MƠN GIẢI TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - HÀ THỊ THANH ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ XÂY DỰNG PHẦN MỀM TRỢ GIÚP VIỆC GIẢNG DẠY VÀ HỌC MƠN GIẢI TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ HÙNG SƠN Hà Nội – Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các liệu, kết nêu luận văn hồn tồn trung thực có nguồn gốc rõ ràng Học viên thực Hà Thị Thanh MỤC LỤC CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRONG DẠY HỌC……1 1.1 Vấn đề khai thác sử dụng CNTT dạy học toán 1.2 Các đặc tính 1.3 Vận dụng phần mềm Maple dạy học Toán 1.3.1 Maple hỗ trợ dạy học khái niệm đặc biệt khái niệm khó, trừu tượng 1.3.2 Maple hỗ trợ dạy học giải số dạng tốn khó 1.3.3 Khai thác khả tính toán phức tạp Maple để trợ giúp kiểmtra kết giải toán 1.3.4 Maple hỗ trợ biên soạn, trình bày giáo án dạy Tốn 1.3.5 Sử dụng phần mềm Maple trợ giúp sinh viên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học 10 1.3.6 Sử dụng Maple dạy - học toán đại học 10 1.3.7 Gói lệnh Student hỗ trợ cho việc dạy học toán 10 CHƯƠNG 2: MAPLE VÀ CÁC TÍNH NĂNG CƠ BẢN CỦA MAPLE 12 2.1 Giới thiệu sơ lược Maple 12 2.2 Giao diện môi trường tính tốn 13 2.3 Một số chức Maple 15 2.4 Các lệnh Maple 16 2.5 Một số lệnh tính tốn Giải tích 19 2.5.1 Xác định hàm lệnh map 19 2.5.2 Giới hạn 19 2.5.3 Đạo hàm hàm số 20 2.5.3.1 Đạo hàm hàm thông thường 20 2.5.3.2 Đạo hàm hàm ẩn 21 2.5.4 Tích phân 21 2.5.4.1 Tích phân lớp 21 2.5.4.2 Tích phân bội 22 2.5.4.3 Phương pháp đổi biến tích phân phần 23 2.5.4.4 Tích phân lặp 25 2.6 Các nhóm lệnh chương trình 25 2.6.1 Biến 25 2.6.2 Lệnh gán 25 2.6.3 Một số lệnh vào 26 2.6.4 Lệnh điều kiện rẽ nhánh 26 2.6.5 Các lệnh vòng lặp 27 Hàm thủ tục 27 2.7.1 Hàm dựng sẵn 27 2.7.2 Hàm người dùng xây dựng 28 2.7.3 Thiết lập chu trình 29 2.8 Đồ thị Maple 30 2.8.1 Đồ thị không gian hai chiều 30 2.8.1.1 Đồ thị thông thường y = f(x) 30 2.8.1.2 Hiển thị đồ thị hai chiều 31 2.8.1.3 Viết chữ đồ thị 31 2.8.1.4 Vẽ đường cong với tiếp tuyến 35 2.8.1.5 Vẽ đường cong theo tham số 36 2.8.1.6 Vẽ đường cong tọa độ cực 36 2.8.1.7 Đồ thị hàm ẩn 37 2.8.2 Đồ thị không gian ba chiều 38 2.8.2.1 Đồ thị hàm thông thường z = f(x,y) 38 2.8.2.2 Hiển thị đồ thị 3D 39 2.8.2.3 Vẽ đồ thị hệ tọa độ trụ 40 2.8.2.4 Vẽ đồ thị tọa độ cầu 41 2.8.2.5 Đồ thị hàm 3D ẩn 41 2.8.3 Một số dạng đồ thị đặc biệt 43 2.7 CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG MAPLE ĐỂ XÂY DỰNG PHẦN MỀM TRỢ GIÚP VIỆC GIẢNG DẠY VÀ HỌC MƠN GIẢI TÍCH 44 3.1 Khảo sát hàm số 44 3.1.1 Giới thiệu toán 44 3.1.2 Một số lệnh khảo sát hàm 44 3.1.3 Chươngtrình 47 3.2 Tính tích phân 56 3.2.1 Tích phân lớp 56 3.2.2 Tích phân kép (tích phân bội hai) 56 3.2.2.1 Bài toán 56 3.2.2.2 Ví dụ 60 3.2.3 Tích phân ba lớp 63 3.2.3.1 Bài toán 63 3.2.3.2 Cách tính tích phân lớp 63 3.2.3.3 Ví dụ 64 3.3 Ứng dụng tích phân 69 3.3.1 Tích phân lớp 70 3.3.1.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong 70 3.3.1.2.Thể tích khối trịn xoay 71 3.3.2 Tích phân bội 74 3.3.2.1 Diện tích hình phẳng 74 3.3.2.2 Diện tích mặt cong 74 3.3.2.3 Thể tích vật thể 76 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CƠNG NGHỆ THƠNG TIN TRONG DẠY HỌC Ứng dụng cơng nghệ thông tin (CNTT) vào dạy học chủ đề lớn, xu làm thay đổi giáo dục Việt Nam cách giai đoạn tương lai Ứng dụng CNTT đổi phương pháp dạy học (PPDH) đổi phương pháp dạy học Toán xu tất yếu Thực tế có nhiều nhà khoa học, toán học, tin học, nhà giáo nhà quản lý không ngừng xây dựng, thiết kế sử dụng phần mềm quản lý, phần mềm hỗ trợ giảng dạy, phần mềm tính tốn, phần mềm ứng dụng CNTT cho mơn Tốn để phục vụ việc dạy - học, đổi phương pháp dạy học (PPDH) mơn Tốn Tuy nhiên, tùy theo điều kiện dạy học, nội dung học, đối tượng nghiên cứu cụ thể mà có phương pháp ứng dụng CNTT với mức độ hình thức khác cho việc dạy - học kiểm tra, đánh giá kết học tập đạt yêu cầu khoa học hiệu mong đợi Ở đây, sử dụng thuật ngữ CNTT với nghĩa rộng, bao gồm thiết bị kĩ thuật, chương trình phần mềm, vv Trước đây, trường học người thầy giảng giải nhiều, chủ yếu dạy học đọc chép, truyền thụ chiều, người học thụ động, chủ yếu học thuộc lòng tuân thủ theo lệnh thầy Do đó, số lượng người học lớp chiếm lĩnh, nắm vững tri thức không đáng bao Với bùng nổ thông tin, người phải học tập nhiều môn khoa học Vai trò người thầy làm nhiệm vụ hướng dẫn người học tự tìm lĩnh hội tri thức Lối dạy học mà giảng giải nhiều, quĩ thời gian có hạn cần phải giải tốt để đảm bảo trình dạy - học tích cực Nếu xem quãng đường từ điểm khởi phát tới đầu trình học tập tích vận tốc học thời gian, tất yếu người dạy người học phải sử dụng số phương tiện khác để hỗ trợ, nhằm tăng vận tốc học, mà số ứng dụng CNTT để hỗ trợ vào trình dạy học Thơng qua ứng dụng CNTT tăng tốc độ học rút ngắn thời gian dạy, có nhiều thời gian cho việc làm rõ sở toán, ý nghĩa thực tiễn, rèn luyện kĩ Nhờ mà đảm bảo mục tiêu dạy - học mơn Tốn 1.1 Vấn đề khai thác sử dụng CNTT dạy học toán Trong tài liệu The free NCET (1995) learnet (Mathematics and IT - apupil’s entitlement) mô tả hướng việc sử dụng CNTT nhằm cung cấp điều kiện cho người học toán, cụ thể: * Học tập dựa thơng tin ngược: Máy tính có khả cung cấp nhanh xác thơng tin phản hồi góc độ khách quan Từ thơng tin phản hồi cho phép người học đưa ước đốn từ thử nghiệm, thay đổi ý tưởng người học * Khả quan sát mơ hình: Với khả tốc độ xử lý phần mềm giúp người học đưa nhiều ví dụ khám phá vấn đề tốn học Máy tính trợ giúp người học quan sát, xử lý mơ hình, từ đưa lời chứng minh trường hợp tổng quát * Phát mối quan hệ toán học: phần mềm cho phép tính tốn biểu bảng, xử lý đồ hoạ, quan sát thay đổi cách xác liên kết chúng với Việc cho thay đổi vài thành phần qua thành phần lại giúp người học phát mối tương quan đại lượng * Thao tác với hình động: Người học sử dụng phần mềm để biểu diễn biểu đồ cách sinh động Việc giúp cho người học hình dung hình hình học cách tổng qt từ hình ảnh máy tính * Khai thác tìm kiếm thơng tin: phần mềm cho phép người sử dụng làm việc trực tiếp với liệu thực, từ hình dung đa dạng sử dụng để phân tích hay làm sáng tỏ vấn đề toán học * Dạy học với máy tính: Khi người học thiết kế thuật tốn để sử dụng phần mềm giúp tìm kết người học phải hồn thành dãy thị mệnh lệnh cách rõ ràng, xác Họ đặt suy nghĩ ý tưởng cách rõ ràng * Sử dùng đồ hoạ với máy tính: Đồ thị máy tính nét lớp dạy học toán Kenneth Ruthven bắt đầu lựa chọn, nghiên cứu phát triển dự án sử dụng đồ hoạ máy tính từ năm 1986 (Ruthven 1990) Tall trình bày đường sử dụng đồ hoạ máy tính ơng để dạy học phép tính từ đầu năm 1980 Phần mềm "Hình ảnh máy tính" ơng phát triển lần cho máy tính BBC Phần mềm cho phép người học phóng to, thu nhỏ đồ thị với phạm vi nào, qua hình thành khái niệm, chẳng hạn gradient đồ thị Hơn thời gian gần vài người tương tự Tall ứng dụng bảng tính, đồ hoạ, ý tưởng báo cáo Micromath Một vài nghiên cứu giáo viên có sử dụng đồ hoạ CNTT q trình giảng họ đưa câu hỏi với yêu cầu cao so với lớp không sử dụng Với hỗ trợ máy tính, giáo viên đề câu hỏi có u cầu cao sử dụng ví dụ khác nhau, qua khai thác vai trị quan trọng đồ hoạ máy tính phân tích vấn đề Mặt khác, sử dụng đồ hoạ cho phép ta phân tích mối liên kết đại số, hình học 1.2 Các đặc tính Tốn học mơn khoa học trừu tượng, khai thác sử dụng phần mềm CNTT dạy học tốn có đặc thù riêng Ngồi mục tiêu trợ giúp học sinh lĩnh hội kiến thức vấn đề phát triển tư suy luận lơgic, óc tưởng tượng sáng tạo toán học đặc biệt khả tự tìm tịi lĩnh hội kiến thức mục tiêu quan trọng Sản phẩm môi trường học tập với hỗ trợ CNTT học sinh có lực tư sáng tạo tốn học, có lực giải vấn đề lực tự học cách sáng tạo Như vậy, việc tổ chức dạy - học với hỗ trợ CNTT phần mềm toán học nhằm xây dựng mơi trường dạy - học với đặc tính sau: • Tạo mơi trường học tập hồn tồn mà mơi trường tính chủ động, sáng tạo học sinh phát triển tốt Người học có điều kiện phát huy khả phân tích, suy đốn xử lý thơng tin cách có hiệu • Cung cấp mơi trường cho phép đa dạng hoá mối quan hệ tương tác hai chiều thầy trị • Tạo mơi trường dạy học linh hoạt, có tính mở Trong hình thức tổ chức dạy - học có hỗ trợ CNTT vai trị người thầy đặc biệt quan trọng Nó địi hỏi cao người thầy khả hình thức tổ chức dạy học truyền thống Về góc độ đó, lực người thầy thể qua hệ thống định hướng giúp học sinh phát giải vấn đề thông qua hệ thống câu hỏi Hệ thống câu hỏi người thầy phải đáp ứng yêu cầu sau: • Các câu hỏi phải mang tính gợi mở, định hướng giúp cho học sinh đường xử lý thông tin để đến kiến thức • Các câu hỏi phải trợ giúp học sinh củng cố kiến thức tăng cường khả vận dụng kiến thức thực hành • Các câu hỏi phải có tính mở để khuyến khích học sinh phát huy tính sáng tạo, khả phân tích tổng hợp, khái qt hố tri thức trang bị để giải vấn đề Điều khác biệt so với hình thức dạy học truyền thống q trình truyền đạt, phân tích, xử lý thông tin kiểm tra đánh giá kết giáo viên, học sinh thực có trợ giúp phần mềm CNTT 1.3 Vận dụng phần mềm Maple dạy học Toán 1.3.1 Maple hỗ trợ dạy học khái niệm đặc biệt khái niệm khó, trừu tượng  Maple hỗ trợ khâu hình thành khái niệm Bằng cách sử dụng khả Maple, giáo viên, giảng viên (GV) minh họa trực quan, nhanh chóng tạo đối tượng đa dạng, từ so sánh, khái quát hóa rút định nghĩa Ví dụ: Dạy học khái niệm hàm số Chủ đề "Hàm số đồ thị" giữ vị trí trung tâm, xun suốt chương trình mơn Tốn phổ thơng đại học, "Hàm số" khái niệm then chốt Tuy nhiên, cũnglà khái niệm trừu tượng, khó hiểu Khi dạy, sau đưa định nghĩa trừu tượng “hàm số quy tắc cho tương ứngvới số x (thuộc miền xác định) với số y (trong miền giá trị) ”, giáo viên thường đưa vài ví dụ hàm số cho dạng công thức (là đa thức, phân thức với biến x, ) để minh hoạ Học sinh (HS) thường không phân biệt cách chất khái Đổi biến sang tọa độ trụ Mặt phía dưới: 𝑧 = 𝑧1 (𝑟, 𝜑) Mặt phía trên: 𝑧 = 𝑧2 (𝑟, 𝜑) Hình chiếu D: { 𝜑1 ≤ 𝜑 ≤ 𝜑2 𝑟1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2 z  z2 ( r ,  ) z  z1 (r , ) 𝜑 𝑧 (𝑟,𝜑) 𝑟 ∫ ∫ ∫𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫𝜑 𝑑𝜑 ∫𝑟 𝑑𝑟 ∫𝑧 2(𝑟,𝜑) 𝑓 (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧) 𝑟 𝑑𝑧 1 Ví dụ: Tính tích phân ∫ ∫ ∫𝐸 √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 E vật thể giới hạn bởi: 𝑧 = 4, 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 , 𝑥 + 𝑦 = Mặt phía trên: z=4 Mặt phía dưới: z=1-r Hình chiếu xuống 0xy D: 𝑥 + 𝑦 < 65 D: { ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 0≤𝑟≤1 2𝜋 𝐼=∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑟 𝑟 𝑑𝑧 1−𝑟 > > Chú ý: Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ hình chiếu miền lấy tích phân xuống mặt tọa độ phần hình trịn phần ellipse  Đổi biến sang tọa độ cầu Trong không gian cho điểm M(x,y,z), N hình chiếu M xuống mặt phẳng xy Ta đặt: φ góc Ox tia ON θ góc Oz tia OM ρ độ dài đoạn OM Như ≤ ρ ≤ +∞, - 2π ≤ φ ≤ 2π, ≤ θ ≤ π 66 Điểm M(x,y,z) hệ trục tọa độ 0xyz M xác định (φ, θ, ρ) (φ, θ, ρ) gọi tọa độ cầu điểm M 𝑥 = ρsinθ𝑐𝑜𝑠𝜑 Công thức đổi biến sang tọa độ cầu: { 𝑦 = ρsinθ𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝐽 = ρ2 𝑠𝑖𝑛θ 𝑧 = ρcosθ Ta có cơng thức đổi biến tích phân bội sang tọa độ cầu: ∫ ∫ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ ∫ ∫ 𝑓( ρsinθ𝑐𝑜𝑠𝜑, ρsinθ𝑠𝑖𝑛𝜑, ρcosθ)ρ2 𝑠𝑖𝑛θdφdθdρ Ω Ω Thơng thường, miền lấy tích phân phần hình cầu phần ellipsoid ta đổi tích phân bội ba sang tọa độ cầu Cận φ xác định dựa vào hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy, θ, ρ dựa vào mặt cắt dọc Ω mặt phẳng chứa trục Oz Ví dụ: Tính tích phân ∫ ∫ ∫Ω 2𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , Ω giới hạn 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ Ta đổi sang tọa độ cầu cách đặt: x = ρsinθcosφ, y= ρsinθsinφ, z = ρcosθ tìm cận φ, θ, ρ cách: Cách1: Ta có 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ ↔ 𝜌 ≤ 𝑧 ≥ → 𝑐𝑜𝑠𝜃 ≥ ↔ ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 𝜋 𝑠𝑖𝑛𝜑 ≥ 𝑦≥0 { ↔{ ↔0≤𝜑≤ 𝑐𝑜𝑠𝜑 ≥ 𝑥≥0 Cách 2: 67 Hình chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy hình trịn 𝐷𝑥𝑦 𝐷𝑥𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0nên ta ≤ φ ≤ π Cắt dọc Ω mặt phẳng chứa trục Oz mặt x = y Vì Ω hình cầu nên mặt phẳng cắt (nếu có) theo giao tuyến hình trịn Suy mặt cắt ½ hình trịn với z ≥ (D1) nên ≤ θ ≤ π/2 Trong miền D1, theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta gặp đường cong tức Ω ta gặp mặt cầu với phương trình 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝜋 𝜋 𝐼 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝜃 ∫ 𝜌2 sinθ ∗ 2ρsinθ𝑠𝑖𝑛𝜑 ρ𝑐𝑜𝑠θdρ 0 𝜋 𝜋 𝐼 = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑑𝜑 ∫ sin 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 ∫ 2𝜌4 dρ 0 > > 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Ví dụ: Cho tích phân 𝐼 = ∫ ∫ ∫𝑉 2 √𝑥 +𝑦 +𝑧 Với V giới hạn bởi: 𝑥 + 𝑦 ≤ 1, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ a Viết cận tích phân toạ độ trụ b Viết cận tích phân toạ độ cầu c Tính tích phân a Hình chiếu 𝐷𝑥𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ ta ≤ φ ≤ 2π, ≤ r ≤ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ ↔ −√2 − 𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ √2 − 𝑥 − 𝑦 68 2𝜋 𝐼=∫ √2−𝑟 𝑑𝜑 ∫ 𝑟𝑑𝑟 ∫ 𝑑𝑧 −√2−𝑧 √𝑟 + 𝑧2 b Hình chiếu 𝐷𝑥𝑦 : 𝑥 + 𝑦 ≤ ↔ ≤ φ ≤ 2π Cắt V theo mặt phẳng chứa trục Oz x=0: 𝑦 ≤ 1, 𝑦 + 𝑧 ≤ ↔ ≤ θ ≤ 2π Đi theo tia màu hồng từ gốc toạ độ từ xuống, ta gặp đường tròn, đường thẳng đường trịn Do đó, miền V chia thành phần : đường thẳng mặt cắt, tương ứng khơng gian mặt nón 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 Cả miền V1, V2, V3 có hình chiếu xuống mp z=0 hình trịn Dxy câu a, V1 phía nón với z dương → { 𝜋 0≤𝜃≤ ≤ 𝜌 ≤ √2 𝜋 V2 phần nửa nón dương phía nửa nón âm → { 3𝜋 V3 phía nón với z âm → { 4 ≤𝜃≤ 3𝜋 ≤ 𝜌 ≤ 1/𝑠𝑖𝑛𝜃 ≤𝜃≤𝜋 ≤ 𝜌 ≤ √2 𝐼 = ∫ ∫ ∫𝑉 +∫ ∫ ∫𝑉 + ∫ ∫ ∫𝑉 3   sin  d    sin  d   sin   sin  d      d  d    d    d     0   3 0 0   4 2 c Tính tích phân Ta chọn cách tính: toa độ Decac, toạ độ trụ toạ độ cầu 2𝜋 𝐼=∫ √2−𝑟 𝑑𝜑 ∫ 𝑟𝑑𝑟 ∫ 0 3.3 Ứng dụng tích phân 69 𝑑𝑟 √𝑟 + 𝑧 3.3.1 Tích phân lớp 3.3.1.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b, (awith(plots) >plot({x/2, x/(x^2 + 1)}, x = -.5 5, thickness=2):#voi m=1/2 >f:= x -> x / (x^2 + 1): >D(f): >%(0): >g:= x -> (1/4) * x: >solve(f(x) = g(x), x); >a:= plot(f(x), x = 2, thickness=2, color = blue): >b:= plot(g(x), x = 2, thickness=2, color = brown): >p:= seq( plot([0 + i * (sqrt(3)/50) , t, t = g(0 + i*(sqrt(3)/50)) f(0 + i * (sqrt(3)/50))], thickness=2, color=red), i = 50): >display({a,b,p}); >solve( x / (x^2 + 1) = m * x,x); 70 √−m(−1+m) m ∫ ( x − mx)dx x2 + >int(x / (x^2 + 1) - m*x, x = sqrt(-m*(-1+m))/m); 3.3.1.2.Thể tích khối trịn xoay Phương pháp cắt lát để tính thể tích  Thể tích vật thể trịn xoay giới hạn đường y =f(x), y = 0, x = a, x = b, sinh quay quanh trục Ox 𝑏 𝑉 = ∫ 𝜋[𝑓 (𝑥)]2 𝑑𝑥 𝑎  Thể tích vật thể trịn xoay giới hạn đường y =f(x), y = g(x), x = a, x = b, sinh quay quanh trục Ox 𝑏 𝑉 = 𝜋 ∫ |𝑓 (𝑥) − 𝑔2 (𝑥)|𝑑𝑥 𝑎 Phương pháp bao trụ để tính thể tích  Thể tích vật thể trịn xoay giới hạn đường y =f(x), y = 0, x = a, x = b, sinh quay quanh Oy 𝑏 𝑉 = ∫ 2𝜋|𝑥||𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎  Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn đường y =f(x), y = g(x), x = a, x = b, sinh quay quanh Oy 𝑏 𝑉 = ∫ 2𝜋|𝑥||𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎 Chương trình >hinhphang :=module () option package; export sapxeptang, dientich, thetich; sapxeptang := proc (danhsach::list) # Thủ tục xếp 71 local tam, i, j, A, n; A := danhsach; n := nops(danhsach); for i to n-1 for j from i+1 to n if is(A[j] < A[i]) then tam := A[i]; A[i] := A[j]; A[j] := tam end if end do;end do; return A; end proc; dientich := proc () # Thủ tục tính diện tích local t, q, a, b, f, g; f:= readstat("Nhap f(x) = "); g:= readstat("Nhap g(x) = "); a:= readstat("Nhap a= "); b := readstat("Nhap b = "); with(Student[Calculus1]); with(plots);print(` -BAI GIAI -`); ifa NULL and b NULL then print(`Dien tich hinh phang gioi han boi cac duong `); print(`y` = f, `y` = g, `x` = a, `x` = b); print(`Do thi cac duong cong`); print(plot([f, g], x = -10 10, y = -10 10, color = [red, green])); print(`Vay dien tich la: S=`Int(abs(f-g), x = a b) = int(abs(f-g), x = a b)) end if; ifa = NULL and b = NULL then print(`Dien tich hinh phang gioi han boi cac duong `); print(`y` = f, `y` = g); print(`Toa giao diem cua hai duong cong (C1) va (C2)`); print(f-g = 0); print(`suy nghiem`, solve({f = g}, {x})); print(`Do thi cac duong cong`); print(plot([f, g], x = -3 3, -5 5)); t := solve(f = g, x); q := sapxeptang([t]); print(`Vay dien tich la: S=`Int(abs(f-g),x = [1] q[nops(q)])=int(abs(f-g),x = q[1] q[nops(q)])); 72 end if; end proc; thetich := proc () #Thủ tục tính thể tích local t, q, a, b, f, g; f := readstat("Nhap f(x) ="); g := readstat("Nhap g(x) ="); a := readstat("Nhap a = > "); b := readstat("Nhap b = "); with(Student[Calculus1]); with(plots);print(` -BAI GIAI `); ifa NULL and b NULL then print(`Hinh phang gioi han boi cac duong `); print(`y` = f, `y` = g, `x` = a, `x` = b); print(`Do thi cac duong cong`); print(plot([f,g],x = -10 10, y = -10 10,color = red,green])); print(`Vat the quay quanh truc Ox`); print(VolumeOfRevolution(f, g, a b, output = plot)); print(`The tich vat the quay quanh truc Ox can tim la:`); print(`V=`VolumeOfRevolution(f, g, a b, output = integral) = VolumeOfRevolution(f, g, a b)); print(`Vat the sinh quay quanh truc Oy`); print(VolumeOfRevolution(f,g,a b,'axis'='vertical','distancefromaxis'= 0,'output'='plot')); print(`The tich vat the quay quanh truc Oy can tim la:`); print(`V=`VolumeOfRevolution(f,g,a b,'axis' ='vertical', 'distancefromaxis'= 0,output = integral)=VolumeOfRevolution (f, g, a b, 'axis' = 'vertical','distancefromaxis' = 0)); else print(`Hinh phang gioi han boi cac duong `); print(`y` = f, `y` = g); print(`Toa giao diem cua hai duong cong (C1) va (C2)`); 73 print(f-g = 0); print(`suy nghiem`,solve({f= g},{x})); print(plot([f, g], x = -10 10, y =-10 10,color=[red, green])); t := solve(f = g, x); q := sapxeptang([t]); print(`Vat the quay quanh truc Ox`); print(VolumeOfRevolution(f, g, q[1] q[nops(q)], output = plot)); print(`The tich vat the quay quanh truc Ox can tim la:`); print(VolumeOfRevolution(f, g, q[1] q[nops(q)], output = integral) = VolumeOfRevolution(f,g,q[1] q[nops(q)])); print(`Vat the quay quanh truc Oy`); print(VolumeOfRevolution(f,g,q[1] q[nops(q)],'axis'='vertical', 'distancefromaxis' = 0, 'output' = 'plot')); print(`The tich vat the quay quanh truc Oy can tim la:`); print(`V=`VolumeOfRevolution(f,g,q[1] q[nops(q)],'axis'='vertical', 'distancefromaxis' = 0, output = integral) = VolumeOfRevolution(f, g, q[1] q[nops(q)], 'axis' = 'vertical', 'distancefromaxis' = 0)) end if; end proc; end module;# Xong thủ tục Ta gộp thủ tục vào thủ tục hinhphang, cần tính ta gọi gói lệnh >with(hinhphang): Sau tính diện tích ta gõ lệnh dientich();, tính thể tích ta gõ lệnh thetich(); nhập hàm số theo toán Nếu toán giới hạn y = f(x), trục Ox, x = a, x = b ta nhập hàm số g(x) = Hai cận a b khơng có nhấn Enter 3.3.2 Tích phân bội 3.3.2.1 Diện tích hình phẳng Diện tích miền D mặt phẳng Oxy tính S(D) = ∫ ∫D dxdy 3.3.2.2 Diện tích mặt cong 74 Diện tích phần mặt cong S có phương trình z = f(x,y) có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy miền D tính 𝑆 = ∫ ∫𝐷 √(1 + 𝑓𝑥′ + 𝑓𝑦′ )𝑑𝑥𝑑𝑦 Như vậy, để tính thể tích vật thể tính diện tích phần mặt cong trước tiên ta phải xác định hình chiếu D vật thể phần mặt cong cần tính xuống mặt tọa độ Oxy, Oyz, Ozx Với mặt cong cần tính diện tích, ta phải viết lại phương trình mặt cách viết biến theo biến cịn lại tuỳ vào việc ta tìm hình chiếu xuống mặt phẳng toạ độ Ví dụ: Tính diện tích phần mặt trụ S: x2+y2=4 nằm phía mặt trụ R: x2+z2 = Ta chiếu phần mặt S xuống mặt phẳng y = hình trụ R song song với trục Oy, hình trịn 𝑥 + 𝑦 ≤ Do tính đối xứng qua mặt tọa độ mặt trụ nên ta tính diện tích phần tám mặt S, nằm góc x≥0, y ≥0, z ≥0 𝒙𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒 (𝑹) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒 (𝑺) Khi đó, ta tính y = f(x,z) từ phương trình mặt S 𝑥 ′ 𝑦 = − 𝑥 2 𝑦 = √4 − 𝑥 → { √4 − 𝑥 → √1 + 𝑦𝑥′ + 𝑦𝑧′ = √4 − 𝑥 𝑦𝑧′ = 75 𝑆 = 8∫ ∫ 𝐷 √4 − 𝑥2 √4−𝑥 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 0 √4 − 𝑥 2 𝑑𝑧 = 16 ∫ 𝑑𝑥 = 32 >Restart: with(student): f:=sqrt(4-x^2); yx:= diff(f,x); yz:=diff(f,z); f1:=sqrt(1+yx^2 +yz^2); S:=8*Doubleint(f1,z=0 sqrt(4-x^2),x=0 2): S:=value(%); 3.3.2.3 Thể tích vật thể Thể tích vật thể Ω giới hạn mặt S1 : z = f1 (x, y); S2 : z = f2 (x, y) giới hạn xung quanh mặt trụ song song với trục Oz có đường chuẩn biên miền D tính bởi: 𝑉 (Ω) = ∫ ∫𝐷(𝑓1 (𝑥, 𝑦) − 𝑓2 (𝑥, 𝑦))𝑑𝑥𝑑𝑦 (𝑓1 (𝑥, 𝑦) < 𝑓2 (𝑥, 𝑦)∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷) Ví dụ: Tính thể tích vật thể V giới hạn 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ; 𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 1; 𝑧 = Ta tìm hình chiếu V xuống mặt phẳng Oxy dựa phương trình khơng chứa z tức hình trụ có đường sinh song song với trục Oz Trong mặt cho có mặt trụ (phương trình khơng chứa z) song song với Oz y=1, y = x2 Hai mặt trụ có đường chuẩn tạo thành miền D đóng mặt Oxy 76 Với mặt lại hiển nhiên ta có ≤ x2+y2 tức f(x,y) = x2+y2 1 Vậy 𝑉 = ∫ ∫𝐷 ((𝑥 + 𝑦 ) − 0)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫−1 𝑑𝑥 ∫𝑥2 (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑦 77 > KẾT LUẬN a Những nội dung giải luận văn - Tìm hiểu khảo sát hàm số, tích phân ứng dụng - Tìm hiểu phần mềm Maple áp dụng để giải nội dung sau:  Khảo sát hàm số  Tính tích phân  Các tốn ứng dụng tích phân b Những đóng góp khoa học thực tiễn luận văn Việc sử dụng kiến thức toán học áp dụng kiến thức để giải tốn thơng qua hỗ trợ phần mềm Maple cho phép tận dụng tối ưu sức mạnh máy tính điện tử việc giải tốn phức tạp, hỗ trợ giảng dạy mơn Toán c Những hạn chế luận văn Luận văn nghiên cứu cở sở lý thuyết thuật tốn liên quan đến tính tốn khoa học tập trung vào việc khảo sát hàm số, tính tích phân, giải tính diện tích, thể tích Với khả Maple phát triển theo chiều rộng chiều sâu việc giải tốn có kích thước lớn TÀI LIỆU THAM KHẢO http://www.maplesoft.com Bộ Giáo dục Đào tạo, Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục, 2009 Phạm Huy Điển, Tính tốn, lập trình giảng dạy tốn học Maple, NXB Khoa học kỹ thuật, 2002 Phạm Minh Hồng, Maple tốn ứng dụng, NXB Khoa học kỹ thuật, 2008 78 Trần Bình, Giải tích II & III Phép vi phân Tích phân hàm nhiều biến, NXB Khoa học kỹ thuật, 2007 Trương Quốc Bảo, Bài giảng Ngơn ngữ lập trình Maple, Đại học Cần Thơ, 2006 79 ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - HÀ THỊ THANH ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ XÂY DỰNG PHẦN MỀM TRỢ GIÚP VIỆC GIẢNG DẠY VÀ HỌC MƠN GIẢI TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN... mềm hỗ trợ giảng dạy, phần mềm tính tốn, phần mềm ứng dụng CNTT cho mơn Tốn để phục vụ việc dạy - học, đổi phương pháp dạy học (PPDH) mơn Tốn Tuy nhiên, tùy theo điều kiện dạy học, nội dung học, ... người dạy người học phải sử dụng số phương tiện khác để hỗ trợ, nhằm tăng vận tốc học, mà số ứng dụng CNTT để hỗ trợ vào trình dạy học Thơng qua ứng dụng CNTT tăng tốc độ học rút ngắn thời gian dạy,