18 SKKN toán 9 hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng hệ phương trình

A ĐẶT VẤN ĐỀ Một mục tiêu nhà trường đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế Muốn giải nhiệm vụ quan trọng này, trước hết phải tạo tiền đề vững lâu bền phương pháp học tập học sinh, phương pháp giảng dạy giáo viên mơn nói chung mơn Tốn nói riêng Tốn học mơn khoa học tự nhiên quan trọng, ảnh hưởng lớn đến môn khoa học khác Một nhà tư tưởng Anh nói: "Ai khơng hiểu biết Tốn học khơng thể hiểu biết khoa học khác phát dốt nát thân mình." Để giúp em học tập mơn Tốn có kết tốt, có nhiều tài liệu, sách báo, giáo viên lâu năm, giáo viên giỏi đề cập tới Nhưng lại, giáo viên không nắm vững kiến thức mà điều cần thiết phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh đẽ hiểu Nhà khoa học LEP - NITX nói: "Một phương pháp coi tốt từ đầu ta thấy trước sau khẳng định theo phương pháp ta đạt tới đích " Với tốn ta giải cần bắt chước theo chuẩn mực đắn thường xun thực hành Chương trình Tốn rộng, em lĩnh hội nhiều kiến thức, kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với Do học em không nắm kiến thức mà phải rèn luyện kỹ phân tích, tổng hợp, từ biết vận dụng vào giải Toán Qua cách giải Tốn tự rút phương pháp chung để giải dạng bài, sở đề xuất lời giải khác hay hơn, ngắn gọn Thông qua q trình giảng dạy mơn Tốn lớp 9, đồng thời kiểm tra đánh giá kết tiếp thu kiến thức học sinh, nhận thấy em tiếp thu kiến thức cịn nhiều hạn chế thiếu sót Đặc biệt em lúng túng vận dụng kiến thức học vào giải phương trình dùng hệ phương trình để làm toán khác Do việc hướng dẫn học sinh phân loại dạng hệ phương trình đề cách giải dạng phần tạo cho em có cách nhìn tổng quan hệ phương trình, mặt khác giúp cho em rèn luyện phương pháp học Tốn có hiệu Mặc dù thấy cần thiết vấn đề này, việc hướng dẫn học sinh tiếp thu phần kiến thức gặp nhiều khó khăn, tơi ln suy nghĩ phải bước để hoàn thiện phương pháp nên thân tơi dày cơng nghiên cứu đề tài với hy vọng đề tài giúp em học sinh lớp phát triển tư duy, dùng làm tài liệu dạy học môn học tự chọn, chủ đề bám sát Bên cạnh tơi suy nghĩ năm, giáo viên tập trung nghiên cứu vấn đề chia sẻ với đồng nghiệp chắn hiệu giáo dục nâng lên rõ rệt Từ suy nghĩ thân tâm nghiên cứu viết đề tài: “Hướng dẫn học sinh phân loại giải số dạng hệ phương trình” đáp ứng yêu cầu đổi SGK lớp 9, qua giúp em có thêm kinh nghiệm tiếp thu kiến thức giải hệ phương trình ứng dụng phục vụ cho việc thi HSG, thi vào THPT B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Hệ phương trình dạng chuyên đề khó, ứng dụng nhiều, thực em thường cảm thấy lúng túng tiếp xúc với loại Tốn Bởi tơi thấy cần thiết phải tạo cho em có niềm say mê, u thích học tập, ln tự đặt câu hỏi tự tìm câu trả lời, gặp tốn khó phải có nghị lực, tập trung tư tưởng tin vào khả trình học tập Việc hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải dạng hệ phương trình vấn đề quan trọng, phải tích cực quan tâm thường xun, khơng giúp em nắm vững lý thuyết mà phải tạo cho em phương pháp học tập tốt thân, rèn cho em có thói quen thực hành kỹ nhìn nhận tốn cho: "Mỗi tốn tơi giải trở thành kiểu mẫu để sau giải toán khác" (ĐÊ - CAC) I PHÂN LOẠI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Trong trình dạy học giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân loại dạng hệ phương trình, em tìm phương pháp giải tối ưu cho dạng Ở chương trình lớp em thường gặp dạng hệ phương trình như: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn, Hệ phương trình phân thức đơn giản, Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình khơng phải bậc nhất, Hệ phương trình hai ẩn vế phải vế trái phân tích thành nhân tử, Hệ phương trình đẳng cấp, Hệ phương trình đối xứng loại I, Hệ phương trình đối xứng loại II, Hệ ba phương trình bậc ba ẩn, Hệ hốn vị dạng tổng, 10 Hệ hốn vị dạng tích, 11 Hệ phương trình vơ tỷ, 12 Hệ phương trình giải cách đưa đẳng thức, 13 Hệ phương trình giải cách đưa tổng bình phương, 14 Hệ phương trình giải cách dùng bất đẳng thức, 15 Một số toán ứng dụng hệ phương trình II CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Khi bắt tay vào giải tập, phần phải nắm vững lý thuyết bản, có hy vọng giải toán theo yêu cầu Đối với phần giúp em nhớ lại kiến thức cách đưa hệ thống câu hỏi trắc nghiệm về: nghiệm tổng quát phương trình bậc hai ẩn, số nghiệm hệ phương trình, quy tắc thế, quy tắc cộng, điều kiện nghiệm phương trình bậc hai ẩn, cơng thức nghiệm, hệ thức Vi-et, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Hệ hai phƣơng trình bậc hai ẩn: - Định nghĩa: Cho hai phương trình bậc hai ẩn: ax + by = c a’x + b’y = c’ Khi ta có hệ hai phương trình bậc hai ẩn: ax a' x by b' y c (1) (I) c' (2) - Nếu hai phương trình có nghiệm chung (x0; y0) (x0; y0) gọi nghiệm hệ (I) - Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung thì ta nói hệ vơ nghiệm Quan hệ số nghiệm hệ đƣờng thẳng biểu diễn tập nghiệm Phương trình (1) biểu diễn đường thẳng d Phương trình (2) biểu diễn đường thẳng d’ - Nếu d cắt d’ hệ có nghiệm - Nếu d song song với d’ hệ vơ nghiệm - Nếu d trùng với d’ hệ có vơ số nghiệm Hệ hai phƣơng trình tƣơng đƣơng - Hai hệ phương trình gọi tương đương với chúng có tập hợp nghiệm - Giải hệ phương trình tìm nghiệm hệ phương trình III NỘI DUNG Dạng 1: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn a Giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp thế: a.1 Quy tắc thế: Quy tắc dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Bước Từ phương trình hệ cho ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình cịn ẩn Bước Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (Phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) a.2 Ví dụ minh họa: Ví dụ Giải hệ phương trình sau: (I) 9x 8y 2x y 17 9x y 8(2 x 2x 1) 9x 8y 2x y 17 (I ) 17 x y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1) Đến Gv u cầu học sinh dùng quy tắc rút x từ phương trình (1) giải hệ phương trình 9x 8y 2x y 17 x 17 8y 17 17 x 8y x y 8y y 34 16 y 9y 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1) Học sinh nhận xét hai cách giải từ Gv yêu cầu học sinh làm tiếp ví dụ Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x y 2x Giải: (II) x 2(x y y) x 5y 5 y (II) 3y 5y 5 x y Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 3) Đối với hệ phương trình Gv hướng dẫn học sinh biểu thức a.3 Lƣu ý: - Khi hai phương trình hệ có ẩn có hệ số -1 giải phương pháp cách rút ẩn có hệ số hay -1 theo ẩn - Đối với hệ tương đối phức tạp cần tìm cách biểu thức a.4 Bài tập áp dụng Giải hệ phương trình sau: x 3y 2x 6y x 12 2 y x y Sau đưa lưu ý Gv yêu cầu học sinh giải hệ phương trình: x y 5x y 11 2x 5y 3x 5y (I ) Lúc học sinh cảm thấy lúng túng khơng có hệ số hai phương trình -1 Vậy có cách giải khác chăng? b Giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp cộng đại số: b.1 Quy tắc cộng đại số: Quy tắc cộng đại sô dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương - Bước Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ cho để hệ phương trình tương đương - Bước Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ ( giữ nguyên phương trình kia) b.2 Ví dụ minh họa Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 2x 5y 3x 5y (I ) Giải: Cộng vế hai phương trình hệ (I) ta có 5x 10 2x 5y x y Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1) Ví dụ 3x y 2x y ( II ) Giải: Cộng vế hai phương trình hệ ta có: 3x y 5x 10 x y Hệ có nghiệm (2; -3) Ở hai hệ phương trình ta nhận thấy hệ số ẩn hai phương trình đối nhau ta cộng hay trừ vế với vế Vậy khơng vào trường hợp sao? b.3 Lƣu ý: - Khi hệ số ẩn đối (hoặc nhau) ta cộng (hay trừ) vế với vế hai phương trình hệ - Khi hệ số ẩn hai phương trình khơng khơng đối ta chọn nhân với số thích hợp để đưa hệ số ẩn đối nhau 2x 3y 6x 5y Giải hệ phương trình: ( III ) Giải: Nhân phương trình (1) với trừ phương trình cho phương trình (2) vế 2x với vế ta có 3y 14 y 2x 14 y x y Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1) b.4 Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 4x 3y 2x y x y y 1 x x x y y 3 c Giải biện luận hệ phƣơng trình: c.1.Quy trình giải biện luận Bước Tính định thức: * * * D D D x y a1 b1 a2 b2 a 1b c1 b1 c2 b2 a1 c1 a2 c2 a b1 (gọi định thức hệ) c1b c b1 (gọi định thức x) a1c a c1 (gọi định thức y) Bước Biện luận D x * Nếu D x D hệ có nghiệm D y y D * Nếu D = D x D y hệ phương trình vơ nghiệm * Nếu D = Dx = Dy = hệ có vơ số nghiệm c.2 Ví dụ minh họa Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình sau: mx y 4x my 2m m với m tham số 6 m Ta có D= m 4 m D=0 m = 2; m = - Dx = m = 2; m = Dy = m = 0; m = ; Dx = 2m 2m m m m m ; Dy = 2m m m 2m Biện luận: Nếu m x= D hệ phương trính có nghiệm (x; y), D 2m x D m ;y= D D m y m Nếu m = - D = 0; Dx = - Hệ phương trình vơ nghiệm Nếu m = D=0 Dx=Dy = Hệ phương trình có vơ số nghiệm (x; 2x – 4) x R Ví dụ Giải hệ phương trình sau: Giải: D= m m m D=0 ; Dx = m mx 2y m 2x my 2m m 2m m 3m m ; Dy = m 2m 2m 3m m = 2; m = -2, Dx = m = 1; m = 2, Dy = m = 2; m = Biện luận: Nếu m hệ phương trình có nghiệm Nếu m = -2 hệ vô nghiệm Nếu m = Hệ vô số nghiệm c.3 Lƣu ý: - Đối với toán giải biện luận hệ phương trình bậc hai ẩn việc sử dụng định thức hữu hiệu Có cách dễ nhớ là: D:anh - bạn; Dx: có – bát; Dy : ăn – cơm - Đơi sử dụng tính chất: Nếu hệ phương trình ax a'x - a b a' b' by b' y c có: c' hệ có nghiệm a b c a' b' c' hệ vơ nghiệm - a b c a' b' c' hệ có vơ số nghiệm Ngồi Gv hướng dẫn học sinh chuyển giải biện luận phương trình bậc ẩn Chẳng hạn: Đối với hệ phương trình: mx 2y m 2x my 2m mx thay vào phương trình ta m Từ phương trình ta có y = (1 ) 1( ) 2x m m mx 2m 4x m (m mx ) 4m (4 m )x m 3m 2 Nếu - m2 = m = 2; m = -2 Khi m = ta có 0x = 0, phương trình có vơ số nghiệm Khi m = -2 ta có 0x = -12, phương trình vơ nghiệm Nếu m hệ vơ số nghiệm hệ vơ nghiệm -2 hệ có nghiệm m Đến chắn học sinh nhận thấy theo định thức việc biện luận trở nên nhẹ nhàng đơn giản c.4 Bài tập áp dụng Giải biện luận hệ phương trình sau: mx y m x my mx 5y 5x my ; mx y 2m x my 3m (m 5) x 2y m (m 1) x my 3m ; (a b)x (2 a (a b)x 2x ay ax 2y 2a b) y (2 a b) y a b Tìm điều kiện m, n để hệ phương trình sau có nghiệm 1) mx (2 m (2 m 1) y 3m 1) x my 3m 2) mx ny nx my m n 2 mn Dạng Hệ phương trình phân thức đơn giản Sau giải xong hệ phương trình vấn đề, ta thay x 2x 3y 6x 5y ( III ) thay y x x y x y tìm nghiệm (1; 1) Gv đặt ta hệ phương trình: y ta giải phương trình nào? a Ví dụ minh họa Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 1 x y x y (I ) Ta phải chuyển hệ phương trình ban 1 x y đầu hệ phương trình dạng cách đặt ẩn phụ Đặt u = ; v = u Hệ (I) v 3u v Giải hệ phương trình ta suy u = ;v= 1 x y y ( II ) y x Đặt u = x ;v= y ) u (II) x ta có hệ phương trình khó đơi chút! Ví dụ Giải hệ phương trình: ( u,v từ suy nghiệm x, y hệ phương trình Cịn ta thay x y 2u 2v v giải hệ phương trình ta có u = 2; v = suy x = 1; y = -1 Ví dụ Giải hệ phương trình: (I) 1 x y Khi gặp hệ học sinh dễ dàng giải 1 x y tương tự ví dụ Lúc giáo viên khai thác thêm toán Rõ ràng x y xy x y khác nên ta có: (I) x xy y xy x y xy x học sinh muốn giải y hệ địi hỏi phải chuyển hệ phương trình Lại tiếp phân tích tốn xy x xy y xy xy 2(x 6(x y) Để giải hệ phương trình học sinh phải xét trường y) x y hợp (x; y) = (0; 0) Rồi đưa hệ phương trình để giải b Lƣu ý: - Khi đặt ẩn phụ nhớ điều kiện hệ phương trình - Cần nhìn nhận phương trình để dễ dàng tìm ẩn phụ thích hợp - Đôi cần phải xét nhiều trường hợp xảy tốn c Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải hệ phương trình sau: 1 15 x y x y 1 x y x y 1) 2x y 2x 15 2x y 2x 35 y x x y x 4) x 10 x y y y 3y x 10 11 y y 5 3y x 6) y 7x 3) 3y x 2) 5) y x m x Bài Giải biện luận hệ phương trình: m m y 1 x y 2m Bài Giải hệ phương trình: 2x x y y x ; x 3y y x y y x y x y ; x y 2x x x y y 2x y Bài Giải phương trình sau: xy 3x 2y xy 2x 4y xy xy 6x 5y 77 x 110 y xy x xy y 2x 3y Dạng Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình khơng phải phương trình bậc nhất: a Cách giải: Sử dụng quy tắc từ phương trình bậc ta rút ẩn theo ẩn kia, vào phương trình cịn lại Giải phương trình hai tìm nghiệm quay lại tìm nghiệm b Ví dụ: Giải hệ phương trình: 10 a Ví dụ minh hoạ Ví dụ Giải hệ phương trình: Điều Giải: xy x kiện: y x x y y x 30 x x y y 35 Do x y 0; y 30 Đặt x y PS S S x y 30 xy PS 3P 35 S phương S; xy P trình , Với S tương ,P x y đương Ta có 35 30 hệ PS 90 35 S 30 P x hay S 125 y Suy x = 9; y = x = 4; y = 9.Vậy phương trình có hai nghiệm x = 9; y = x = 4; y = x Ví dụ y (I ) x y Giải: Nếu toán mà dùng phép đặt ẩn phụ thực gặp khó khăn việc hướng dẫn em học sinh Vậy làm để giải phương trình trên? Điều kiện x x Ta có: (I) x x y y 10 x x y y x y x x ; v= Suy u = v = y y Cách (II) x 10 v y 10 1 u v y u v uv 10 25 x = y = Ví dụ Giải phương trình: Điều kiện Ta suy y x u 5 x Đặt u = 0; y 2; y x y y x 2 y x x y phương hai vế ta (II) , Với điều kiện trên, hai vế khơng âm nên bình y x 2x x y 2x x y 2y x y 2y x y Thay x = y vào hệ phương trình ta x = x = Khi x = ta có y = 0,khi x = ta có y = 26 Vậy phương trình có hai nghiệm (0; 0); (2; 2) Có thể làm tương tự ví dụ khơng? Cách (II) Đặt u = tức x x x y x x y x x x ( y u v 2 x x ;v= = y y 2 y cho ta = y 1 u v y y 2 y) u v u v Nên u = v = (*) Kết hợp với hai phương trình hệ ta suy x = y Từ (*) suy x = y = hay x = y = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm b Bài tập áp dụng Bài Giải hệ phương trình sau: x y x y x Bài Cho hệ phương trình: x y a y x y y x (a số thực) xy a a Giải hệ phương trình a = b Với giá trị a hệ có nghiệm Dạng 12 Hệ phương trình giải cách dùng đẳng thức a Phƣơng pháp Từ đẳng thức đáng nhớ, ta dễ dàng suy nhiều đẳng thức quan trọng khác, thường gọi đẳng thức quen thuộc, chẳng hạn như: (a + b)3 - (a3 + b3) = 3ab(a + b); (1) (a - b)3 - (a3 - b3) = -3ab(a - b); (2) (a + b)2 - (a2 + b2) = 2ab; (3) (a - b)2 - (a2 + b2) = -2ab; (4) Điều quan trọng đẳng thức quen thuộc thường xuyên sử dụng biến đổi làm tốn, đặc biệt giải hệ phương trình b Ví dụ minh hoạ Ví dụ Giải hệ phương trình: x y 3 y x 3 xy 2 3x y 27 Giải: Cộng theo vế hai phương trình hệ ta (x + 1)3+(y - 1)3 = (x + y)3 (x + 1)3+(y - 1)3 = [(x + 1)+ (y - 1)]3 [(x + 1)+ (y - 1)]3 - (x + 1)3+(y - 1)3 = 3(x + 1)(y - 1)(x + y) = Nếu x = -1 thay vào hệ ta y3 - 3y2 = y = hay y = Nếu y = thay vào hệ ta x3 + 3x2 = x = hay x = -3 Nếu x + y = x = -y thay vào hệ ta có (x + 1)3 = 2x3 x 1 x Vậy hệ phương trình có nghiệm y x + = x Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x x y z y y (1 ) z z 1( ) 1( ) Giải: Nếu sử dụng đẳng thức chưa thể giải yêu cầu toán, sử dụng đẳng thức nào? Học sinh dễ dàng chứng minh đẳng thức (x + y + z)3 - (x3 + y3 + z3) = 3(x + y)(y + z)(z + x) Lập phương hai vế (1) trừ (3) vế theo vế áp dụng đẳng thức ta được: (x + y + z)3 - (x3 + y3 + z3) = 3(x + y)(y + z)(z + x) = Nếu x + y = -> z = từ (2) -> x = y = Nếu y + z = -> x = từ (2) -> z = y = Nếu z + x = -> y = từ (2) -> z = x = x Ví dụ Giải hệ phương trình sau: y z 3 9y 9z 9x 2 27 y 27 (1 ) 27 z 27 0(2) 27 x 27 (3) Giải: Cộng ba phương trình vế theo vế ta có (x - 3)3 + (y - 3)3 + (z - 3)3 = (4) Giả sử x > 3, từ (1) suy y > 3, (2) nên z > 3, vế trái (4) dương nên loại Tương tự x < y < z < 3, mâu thuẫn Từ ta dễ thấy hệ phương trình cho có nghiệm x = y = z = c Bài tập áp dụng Giải hệ phương trình sau: x x 2 x y y 2 y x y x 2y 3x 3y y 2x 28 Dạng 13 Hệ phương trình giải cách đưa tổng bình phương a Phƣơng pháp Một đẳng thức A2 + B2 + C2 = A = B = C = b Ví dụ minh hoạ Ví dụ Giải hệ phương trình sau: Giải: Điều kiện xyz 1 x y z xy z Đặt 2 X ;Y ;Z x y ta có hệ phương trình z X XY Y Z Z 2 Từ phương trình -> Z = - X - Y thay vào phương trình hai ta có: 2XY - -X2 - Y2 + 4X + 4Y - 2XY = 2XY - (2 - X - Y) = (X - 2)2 + (Y - 2)2 = X = Y = Vây X Y Z x y 2 Hê có nghiệm z là: 1 ; ; 2 Ở toán sau đặt ẩn phụ sử dụng phương pháp biến đổi làm xuát tổng bình phương Có thể dùng phương pháp cộng đại số khơng Ta xét ví dụ sau: 2x x 2y Ví dụ Giải hệ phương trình: 2 y 2z y z 2 z x Giải: Nếu x = suy y = z = 0, hệ có nghiệm (0; 0; 0) Nếu x y, z x 2x y 2y 2 z 2z 2 Nghịch đảo hai vế ba phương trình ta y 2x 1 z 2y 1 x 2z 2 1 2 y y x 1 2 z z y 1 2 x x z 2 1 29 Cộng ba phương trình vế theo vế ta x 2 1 x y z 2 x y z 1 y x = y = z = Thử lại thấy x = y = z = z nghiệm Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0; 0), (1; 1; 1) Ví dụ Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện x, y, z x y 4z y z 4x z x 4y Nhân phương trình với cộng phương trình vế theo vế ta có 4x - ( 4x -1) + ( 4x 4y Suy x = y = x = 1 + 4y - 2 -1) + ( 4y 4z + 4z - 4z -1) = 1 =0 4x - 1 4y - 1 4z - 1 Thử lại thấy thoả mãn nên hệ phương trình có nghiệm 1 2 nhất: ( ; ; ) c Bài tập áp dụng Giải hệ phương trình sau: x xy y z x 2 x y yz y z xz z x xy x y z xz x y z 2 y x y z 12 Dạng 14 Hệ phương trình giải cách dùng bất đẳng thức a Phƣơng pháp Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp số ẩn phương trình nhiều số phương trình hệ Có thể sử dụng BĐT Cơ si, Bunhiacơpxki, hay tính miền giá trị ẩn cách sử dụng tam thức bậc hai b Ví dụ minh hoạ x y z (1 ) Ví dụ Giải hệ phương trình nghiệm dương x y z xyz (2) 30 Giải: Vế trái phương trình (2) = + x + y + z + (xy + yz + zx) + xyz 1+3 xyz 33 xyz xyz xyz Dấu xảy x = y = z =1 Thử lại thấy thoả mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1; 1; 1) x Ví dụ Giải hệ phương trình: x Giải: Điều kiện x -1; y x y x 2 y x y y y 80 Giải sử x > y - Vế trái > Vế phải Giả sử x < y - Vế trái < Vế phải Suy x = y - Lúc học sinh dễ dàng đưa cách giải trọn vẹn Đôi việc xác định miền giá trị x, y nhờ sử dụng điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai đến cách giải hệ phương trình ngắn gọn rõ ràng hơn, chẳng hạn ta xét ví dụ sau: y Ví dụ Giải hệ phương trình: (3 (2 z x y )( y z x) z 2) 4y 4x Giải: Hệ phương trình cho có nhiều ẩn z có nhiều điều kiện ràng buộc, ta chọn đánh giá ẩn z, từ suy ẩn cịn lại Từ (2) suy y2 +2y(3 - z) + - 4z = (*) Phương trình (*) ẩn y có nghiệm z z ' = (3 - z)2 - (9 - 4z) = z2 - 2z Mặt khác, (3) nên (x - 2)2 + z2 = 4, suy z2 suy z Kết hợp vớí (4) suy z = z = Từ ta có nghiệm hệ phương trình là: (4; -3; 0) (2; -1; 2) x Ví dụ Giải hệ phương trình: xy y z xz x, y, z,t t xt 12 yz (1 ) yt zt xyzt 27 ( ) (3) Giải: Từ (2) áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số xy + xz + xt + yz + yt + zt 6 ( xyzt ) =6 xyzt , Suy xyzt - 27 xyzt xyzt 81 (*) Mặt khác từ (1) áp dụng bất đẳng thức Cô si cho bốn số x, y, z, t ta có x + y + z + t 4 xyzt suy xyzt 81(**) Từ (*) (**) suy xyzt = 81 31 Dấu "=" xảy x = y = z = t = Vậy hệ phương trình có nghiệm (3; 3; 3; 3) c Bài tập áp dụng Giải hệ phương trình sau: x xy 36 y 2x y 2 x y 697 81 x y xy 3x 4y x x y y y y x x xy xy Sau thời gian nghiên cứu thân đưa số dạng hệ phương trình phương pháp giải Việc giúp học sinh nắm kiến thức phương pháp giải cần thiết ứng dụng Ứng dụng hệ phương trình rộng, có tốn giải theo cách thơng thường khó sử dụng hệ phương trình q trình trở nên dễ dàng Sau tơi xin trình bày vài ứng dụng việc giải hệ phương trình Dạng 15 Một sơ ứng dụng hệ phƣơng trình: * Ứng dụng hệ phương trình việc xác định hàm số, xác định đa thức a Ví dụ minh hoạ Ví dụ Xác định hàm bậc số y = ax + b biết đồ thị qua hai điểm A(1; 3); B(-1; 1) Giải: Vì đồ thị hàm số qua điểm A nên ta có a + b = Vì đồ thị hàm số qua điểm B nên ta có -a + b = Từ ta có hệ phương trình: a b a b Giải hệ phương trình ta a = 1; b = Vậy hàm số cần tìm y = x + Ví dụ Xác định đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c biết P(x) chia cho (x-1) dư 7; chia cho (x+1) dư 1; chia cho (x+2) dư -5 Giải: Áp dụng định lý Bê-Zu: P(x) chia cho (x- ) có số dư P( ) nên ta có: P(x) chia cho (x-1) dư P(1) = P(x) chia cho (x+1) dư P(-1) = P(x) chia cho (x+2) dư -5 P(-2) = -5 Từ ta có hệ phương trình: a b c a b c 4a 2b c giải hệ phương trình ta a = 1; b = 2; c = 32 Vậy đa thức cần tìm P(x) = x3 + x2 + 2x + Ví dụ Xác định đa thức P(x) thoả mãn điều kiện sau: P(x) +xP(-x) = x + (1) Giải: Thay x -x (1) ta có P(-x) - xP(x) = -x +1 (2) Đặt P(x) = u; P(-x) = v Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: u xv xu x v x Nhân (4) với -x cộng với (3) vế theo vế ta có (x2 + 1)u = x2 + suy u = Thử lại với P(x) = (1) Vậy đa thức cần tìm P(x) = 1 Ví dụ Xác định hàm số f(x) biết rằng: f(x) + 2f( ) = x (1) với x x Giải: Với x thay x 1 x x (1) ta có f( ) + 2f(x) = x (2) u 2v x Đặt u = f(x) v = f( ) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình x 2u v Nhân x (4) với -2 công với (3) vế theo vế ta có u = x Thử lại với f(x) = 3x mãn (1) Vậy hàm số cần tìm f(x) = x x thoả 3x 3x b Bài tập áp dụng Bài Xác đinh hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số qua hai điểm A B a A(1; -1), B(2; 1) b A(1; 5), B(-1; -1) Bài Xác định đa thức bậc ba P(x) biết rằng: a P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4; P(3) = b P(x) chia cho đa thức x-1; x-2; x-3 có số dư P(-1) = -18 Bài Xác định hàm số f(x) thoả mãn: 1 a (x-1)f(x) + f( ) = x x b f(x) -3f( ) = x2 x * Dùng hệ phương trình để phân tích đa thức thành nhân tử a Ví dụ minh họa Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + Giải: Ở ta sử dụng phương pháp hệ số bất định Nhận thấy -1 nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm ngun nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử cách phân tích phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+c)x3 + (ac+c+d)x2 + (ad+bc)x + bd 33 a Đồng hai đa thức ta có hệ phương trình: c ac b ad bc bd d giải hệ ta tìm a = b = d = 1; c = Vậy x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1= (x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1) Ví dụ Xác định hệ số a, b, c để có đẳng thức: x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + a = (x2 - 2x + 1)(x2 + bx + c) Giải: Ta có (x2 - 2x + 1)(x2 + bx + c) = x4 - (b - 2)x3 + (c - 2b + 1)x2 + (b - 2c)x + c Đồng hai đa thức ta có hệ phương trình: b c 2b b 2c c a 2 giải hệ phương trình ta a = c = 1; b = Vậy x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + = (x2 - 2x + 1)(x2 + 1) b Bài tập áp dụng Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + 4x2 + 5x + 2 2x4 - 3x3 -7x2 + 6x + 8, 5x4 + 9x3 - 2x2 - 4x -8 * Dùng hệ phương trình để tính giá trị biểu thức a Phƣơng pháp Đặt ẩn phụ để chuyển biểu thức hệ phương trình, giải hệ phương trình suy giá trị biểu thức b Ví dụ minh hoạ Ví dụ Tính giá trị biểu thức A = Giải: Đặt a = 12 23 ;b= 12 23 + b2 = 24 Từ ta có hệ phương trùnh 12 23 - 12 23 - ta có a > 0; b > 0; a - b > Suy a.b = 11, a2 a 2 ab b 24 22 Trừ vế hai phương trình (1) cho (2) ta có (a - b)2 = suy a - b = - 2 Vậy A = = Ở lời giải ta dựa vào mối liên hệ hai thức 12 23 ; 12 23 để tính hiệu chúng, tương tự ta xét ví dụ sau: 34 Ví dụ Tính giá trị biểu thức sau: B = 17 Giải: Đặt a = - 5 17 17 2 17 + 17 ;d= 17 + ; b= 5 17 ; c= 17 Suy a, b, c, d > c - d > Ta có a.b = 2 , a + b = 10 nên ta có hệ phương trình a b ab phương trình vế theo vế ta có (a + b)2 = + Tương tự c 2 d cd 10 suy c - d = 10 suy a + b = Cộng hai + 1(vì a + b > 0) Trừ vế phương trình cho ta có (c - d)2 = - 7 - Từ suy B = a + b + c - d = Ví dụ Chứng tỏ rằng: 50 50 +1+ -1=2 7 số tự nhiên (Đề thi chọn HSG tỉnh Nghệ An 2007 - 2008) Giải: Đặt a = phương trình a ;b= 50 b ab 14 a 50 b ab ta có a.b = -1 a3 + b3 = 14 từ ta có hệ ab a b 14 Thay (2) vào (1) ta được: (a + b)3 + 3(a + b) - 14 = (a + b - 2)[(a + b)2 + 2(a + b) + 7] = (Vì (a + b)2 + 2(a + b) + ) hay a + b = Vậy 50 a+b-2=0 50 số tự nhiên c Bài tập áp dụng Tính giá trị biểu thức sau: A= B= C= 6 847 27 6 10 19 10 19 847 27 * Dùng hệ phương trình để giải phương trình vơ tỉ a Phƣơng pháp Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình vơ tỉ hệ phương trình hữu tỉ quen thuộc Giải hệ phương trình suy nghiệm phương trình ban đầu 35 b Ví dụ minh hoạ Ví dụ Giải phương trình sau: Giải: Điều kiện xác định x a phương trình: a b b - x a b a b =2 6 Đặt a = 2 x x ; b = x (a; b suy a = 3; b = nên ta có 0) Ta có hệ x x x thoả mãn điều kiện Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: Đặt a = x ;b= x 3 x x 3 a ta có hệ phương trình: a b b Đây hệ phương trình thuộc vào dạng Học sinh dễ dàng suy nghiệm a b a x b a b x Vậy phương trình có hai nghiệm {1; 3} Ở hai ví dụ ta đưa phương trình cho hệ phương trình gồm hai ẩn khơng có mặt ẩn ban đầu Đôi cần đặt ẩn phụ chuyển hệ phương trình gồm ẩn ẩn ban đầu Chẳng hạn ta xét ví dụ sau: Ví dụ Giải phương trình: -x2 + = x Giải: Điều kiện x Đặt y = 0) Ta có hệ phương trình x (y x y 2 y x Rõ ràng hệ phương trình đối xứng loại II mà học sinh biết cách giải Tương tự ta xét phương trình Ví dụ Giải phương trình: x Giải: Đặt y = 35 x 3 35 x x 35 x Ta có hệ phương trình 30 xy x x y y 30 Hệ phương trình 35 thuộc vào hệ phương trình đối xứng loại I Học sinh dễ dàng suy nghiệm hệ từ suy nghiệm phương trình {2; 3} Có phương trình phải đặt ẩn phụ biểu thức để đưa hệ phương trình quen thuộc, chẳng hạn: Ví dụ Giải phương trình: x x 16 x 36 (Đề thi chọn HSG tỉnh Nghệ An 2008 - 2009) Giải: Điều kiện xác định x 16 Đặt 16 x 2y (y 1 + 16x = 4y2 -4y + ) 4y2 - 4y = 16x 2 y - y = 4x (*) y Ta có hệ phương trình: y x y y 4x x 4y (x x x 2 ( lo i v ì x - y 16 y 3) ) x2 - x = 4x Với x = y thay vào (*) x2 - 5x = y )( x x(x - 5) = x ( th o ¶ m · n ) x ( lo ¹ i) Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x = c Bài tập áp dụng Giải phương trình sau: y x 8 y x ; x x x 16 1993 x 1993 ; x x x x 5 C KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Trên vài kinh nghiệm nhỏ rút từ thực tế năm giảng dạy thân Hệ phương trình ứng dụng đa dạng, nhiên với khả mình, tơi đề cập đến số dạng toán bản, thường gặp đề thi Tôi sâu nghiên cứu vào số vấn đề nhỏ hướng dẫn em phân loại đề phương pháp giải phù hợp với dạng bài, để từ em giải tập khác sở toán học Với việc làm nêu thu số kết mà theo diễn tả số cụ thể là: - Phần lớn số học sinh mà bồi dưỡng say mê giải tốn mà tơi đưa - Các em khơng cịn lúng túng gặp tốn u cầu giải hệ phương trình - Các em có niềm tin học tập, khơng nản chí trước tốn khó, ln phát huy cao độ tính độc lập suy nghĩ 37 - Nhiều học sinh giỏi tìm cách giải hay, ngắn gọn, số học sinh đề xuất toán độc đáo từ toán gốc - Cụ thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trường sau: + Trước chưa áp dụng chất lượng học sinh giải hệ phương trình sau: Giỏi Lớp 9C Khá Yếu- TB Sỉ số 30 SL % SL % Sl % SL 3% 10 33% 13 43% % 21% + Sau áp dụng chất lượng học sinh giải hệ phương trình sau: Lớp 9C Giỏi Sỉ số 30 Khá Yếu- TB SL % SL % Sl % SL 16% 15 50% 26% % 6% -Qua áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trường, năm học 2016 - 2017 sau: + Trước chưa áp dụng chất lượng học sinh giải hệ phương trình sau: Lớp 9B Sỉ số 28 Giỏi Khá Yếu- TB SL % SL % Sl % SL 7% 10 36% 11 39% % 18% + Sau áp dụng chất lượng học sinh giải hệ phương trình sau: Lớp 9B Sỉ số 28 Giỏi Khá Yếu- TB SL % SL % Sl % SL 25% 14 50% 21% % 4% Tuy nhiên bên cạnh kết đạt cịn số tồn tại, cịn số học sinh nắm chưa chắn, lười học, nhác làm tập Đối với học sinh thực vấn đề thực khó khăn Một phần khả học toán em cịn nhiều hạn chế, mặt khác dạng tốn khó, địi hỏi em tính tư cao Hơn khả có hạn nên có lúc thân nhận thấy việc truyền đạt chưa hợp lý Bởi tơi thiết nghỉ để có kết tốt người giáo viên cần phải: 38 - Có kiến thức vững vàng, phương pháp dạy học phải phù hợp với đối tượng học sinh (về kiến thức môi trường học tập) - Học sinh phải chăm học nắm lý thuyết, biết vận dụng thực hành loại toán, đặc biệt cần phải có thói quen phát triển tốn Những biện pháp việc làm tơi nêu trên, bước đầu chưa đạt kết thật mỹ mãn nguyện vọng Tuy nhiên thực tốt góp phần đổi phương pháp dạy học mà nghành quan tâm đạo Tôi tin kinh nghiệm biện pháp nhỏ bé phương pháp đúc kết qua sách q thầy giáo trước Vì thân tơi mong đóng góp chân thành từ thầy cô giáo bạn bè đồng nghiệp để giúp tơi hồn thiện phương pháp giảng dạy Từ thân có điều kiện phục vụ cho nghiệp giáo dục nhiều Tôi xin chân thành cảm ơn! 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK SBT Toán ( tập 1,2) – NXBD 2.Nâng cao phát triển Toán 8,9 ( tập 1,2) NXBD năm 2011 Phương pháp giải dạng Toán 9( tập 1,2) NXBD 2005 4.Toán nâng cao chuyên đề Đại số - NXBD 2005 Nâng cao số chuyên đề toán – xuất 2005 Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên mơn tốn đổi phương pháp dạy học Tài liệu qua báo toán học tuổi thơ, báo toán học tuổi trẻ Tài liệu ôn thi cấp tham khảo qua mạng 40 ... Trong q trình dạy học giáo viên cần hướng dẫn học sinh phân loại dạng hệ phương trình, em tìm phương pháp giải tối ưu cho dạng Ở chương trình lớp em thường gặp dạng hệ phương trình như: Hệ hai phương. .. tử, Hệ phương trình đẳng cấp, Hệ phương trình đối xứng loại I, Hệ phương trình đối xứng loại II, Hệ ba phương trình bậc ba ẩn, Hệ hoán vị dạng tổng, 10 Hệ hốn vị dạng tích, 11 Hệ phương trình. .. vơ tỷ, 12 Hệ phương trình giải cách đưa đẳng thức, 13 Hệ phương trình giải cách đưa tổng bình phương, 14 Hệ phương trình giải cách dùng bất đẳng thức, 15 Một số tốn ứng dụng hệ phương trình II