Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

A Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: a b ab ; Dấu “=” xảy a = b” + Bất đẳng thức: a c b d (BĐT: Bunhiacopxki); a b c d 2 2 Dấu “=” xảy + a b a a b c d ; Dấu “=” xảy ab b + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nếu y a f ( x ) y = a f(x) = Nếu y a f (x) max y = a f(x) = + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách ví dụ dạng 2) C CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài tốn 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A 4x 4x 11 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) C x 2x y 4y Giải: a) A 4x 4x 11 4x 2 4x 10 Min A = 10 x 2x 1 10 10 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36 Min B = -36 x = x = -5 c) C x 2x y 4y = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + Min C = x = 1; y = 2 Bài tốn 2: Tìm GTLN biểu thức: a) A = – 8x – x2 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải: a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21 Max A = 21 x = -4 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 Max B = x = 1, y Bài tốn 3: Tìm GTNN của: a) M x x x b) x N 2x 2x Giải: a) M x x Ta có: x x x x 4 x x x x Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) x x x x x x b) N 2x Đặt t x 2 2x 2x 2x t 1 2x Do N = t2 – 3t + = (t ) Dấu “=” xảy N t t N t 2x 2x Do 3 x 2 2x 2 x hay x Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) Vậy Min M = + = hay x Vậy N x hay x Bài tốn 4: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 x y 2 x 2 y xy M 2 (x (x x y ) y 2 y ) x2 + y2 + 2xy = Ngoài ra: x + y = 2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ Do x y x y 2 Ta có: M (x x 2 y ) (x 2 y ) Do M 1 y 1 2 M dấu “=” xảy x y 4 Vậy GTNN M x y Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = Tìm GTLN GTNN biểu thức x2 + y2 Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + = x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2 (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + ≤ t 2 t 4 2 t 5 t 5 t t Vì t = x2 + y2 nên : GTLN x2 + y2 = GTNN x2 + y2 = Bài toán 6: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN GTNN biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca Giải: P = a + b + c – ab – bc – ca Ta có: = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì a,b, c ) Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P = Theo giả thiết ta có: – a 0; – b 0; – c 0; (1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc P = a + b + c – ab – bc – ac a b c Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý 0;1 Vậy GTLN P = Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN x + y Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 2(x2 + y2) Mà (x + y)2 (x + y)2 x2 + y2 = (x + y)2 x - Xét x y y 2 x x 2 x Dấu “=” xảy - Xét y y y x x y x y y 2 Dấu “=” xảy x x Vậy x + y đạt GTNN y 2 2 x y y Bài toán 8: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27 Tìm GTLN GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) x+y+z 3(x2 + y2 + z2) 81 (1) x2 + y2 + z2 Mà xy + yz + zx 27 (2) Từ (1) (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36 Vậy max P = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z B = x2 + y2 + z2 P A A B (A 1) Vì B 27 B B 1 B -14 P -14 Vậy P = -14 x x Hay x 13; y 13; z y z y z 27 Bài toán 9: Giả sử x, y số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + Đặt t = xy thì: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101 Do đó: = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45 P 45 dấu “=” xảy Vậy GTNN P = 45 x+y= x+y= 10 10 xy = xy = Bài tốn 10: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Giải: y=2–x Ta có: x + y = Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + – 4x + x2 = 2x2 – 4x + = 2( x2 – 2x) + = 2(x – 1)2 + 2 Vậy GTNN A x = y = Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài tốn 1: Tìm GTLN GTNN của: 4x y x Giải: * Cách 1: y 4x x 2 4x x Ta cần tìm a để Ta phải có: ax a ax 4x a a bình phương nhị thức a ' a (3 a) a 4x - Với a = -1 ta có: y 4x x 1 x x (x 1 x 2) 2 y Dấu “=” xảy x = -2 Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có: y 4x x -4 x 4x x (2 x Dấu “=” xảy x = x 1) Vậy GTLN y = x = * Cách 2: Vì x2 + nên: y 4x x yx 4x y (1) y giá trị hàm số - Nếu y = (1) (1) có nghiệm x - Nếu y (1) có nghiệm ' y( y y y y 3) (y y y 1) ( y 4) Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = Bài toán 2: Tìm GTLN GTNN của: x A x 2 x x Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: x a x 2 x x (1) Do x2 + x + = x2 + .x + Nên (1) 4 ax2 + ax + a = x2 – x + x (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2) Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = Trường hợp 2: Nếu a để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ là: , tức (a 1) 4(a (3 a 1) ( a 1) ( a 3) 1) (a a 2a 3(a )( a 2a 2) 1) Với a a = nghiệm (2) Với a (a 1) a 2(a 1) (1 x a) x = Với a = x = -1 Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có: GTNN A x = GTLN A = x = -1 Bài toán 3: a) Cho a, b số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức: A (a b 1) ( a b ) a b 1 2m n b) Cho m, n số nguyên thỏa Tìm GTLN B = mn Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 b2 a b A (a a b b 2ab 1) ( a 2 (vì ab = 1) b ) a 2(a b 1) b a (a b a Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b a Ta có: (a + b) + a Mặt khác: Suy ra: a A b (a (a b b ) a ab a ) (a b) b b b b b ) (a b) b Với a = b = A = Vậy GTNN A a = b = b) Vì 1 2m n nên hai số m, n phải có số dương Nếu có hai số âm B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n dương 1 2m n Ta có: 3(2 m n) N* nên n – Vì m, n 2mn (2 m 3)( n -2 2m – 3) -1 Ta có: =1.9 = 3.3 = 9.1; Do xảy ra: 2m + n 2m + n 3 2m + n m n 12 m n B = mn = 2.12 = 24 B = mn = 3.6 = 18 m n B = mn = 6.4 = 24 Vậy GTLN B = 24 m n 12 hay m n Bài toán 4: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: x A x y y Giải: Ta viết: x A y x x 2 xy y x y y Do x > y xy = nên: (x A y) x x y Dấu “=” xảy x A (x y) x xy x xy y y y x x y y 2 x x y y 2 y x y x y 2 Từ đó: xy x – y > nên áp dụng bất đẳng thức côsi với số không âm, ta có: Vì x > y A x (x y) (x y) (Do x – y > 0) y x Vậy GTNN A y xy x 1 y x hay Bài tốn 5: Tìm GTLN hàm số: y y x x Giải: Ta viết: y x x x Thỏa điều kiện xy = 2 Vì x 3 4 Do ta có: y Dấu “=” xảy x Vậy: GTLN y x Bài toán 6: Cho t > Tìm GTNN biểu thức: f (t ) t 4t Giải: Ta viết: f (t ) t 4t 4t Vì t > nên ta có: 2t (2t 1) 4t f (t ) Dấu “=” xảy 4t (2t 4t 1) 4t 1 t Vậy f(t) đạt GTNN t Bài tốn 7: Tìm GTNN biểu thức: t g (t ) t Giải: Ta viết: t g (t ) t 2 1 t 2 g(t) đạt GTNN biểu thức t Ta có: t2 + đạt GTLN Nghĩa t2 + đạt GTNN (t2 + 1) = t = g(t) = – = -1 Vậy GTNN g(x) -1 t = Bài toán 8: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN biểu thức: E x (y z) y (z x) z (x y) Giải: Đặt a ;b x Do đó: 1 ;c y z 1 x y abc xyz a b x y (a b ).x y Tương tự: x y c (a b) y + z = a(b + c) z + x = b(c + a) 10 Điều kiện: x x x Vì y > nên y đạt GTLN y2 đạt GTLN Ta có: y Do x cho ta: 2 (x x y x x x x) (x (x )( x) y 2 (x )( x) nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm )( Do 2) (4 x) x x Dấu “=” xảy x (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN hàm số y x = Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y x Giải: a) GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số: (3; 4) ( ( x 1; x) ta có: y (3 y x => y x) (3 2 ) x 100 100 10 x Dấu “=” xảy x = x 61 x hay x x 16 (thỏa mãn điều kiện) 25 Vậy GTLN y là10 x = 61 25 * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = =3 x Đặt: A = => A x x x 5 x x x x x x t2 = + x x dấu “=” xảy x = x = Vậy y + = 14 x (1 x 5) Dấu “=” xảy x = Do GTNN y x = Bài toán 3: GTNN y x = Tìm GTNN biểu thức: M = x 1994 (x 1995) Giải: M= x 1994 (x 1995) Áp dụng bất đẳng thức: a M= x x 1994 => M x x 1995 1994 1995 = b x 1994 a b 1994 x x 1995 ta có: 1995 x Dấu “=” xảy (x – 1994) (1995 – x) 1994 x 1995 Vậy GTNN M =  1994 x 1995 Bài toán 4: Tìm GTNN B = 3a + a với -1 a Giải: B = 3a + a a 16 5 a 25 Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta 3 a 16 5 a 16 25 => B a 25a 41 25a a 25 2 25 => Do B a dấu “=” xảy a = 16 a 25 Vậy GTNN B = a = Bài tốn 5: 15 Tìm GTNN biểu thức: A= 2x x Giải: Điều kiện: 2x x -(x-1)2 + 2 x x 2x x x 2 2 Với điều kiện ta viết: 2x x 2 => + x 2x x 8 2x 2 x 2 Do đó: 2x x Vậy A 2 2 2 dấu “=” xảy x -1 = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTNN A = x Bài tốn 6: Tìm GTNN biểu thức: A = 3x x Giải: Điều kiện: – x2 > x2 < - < x < => A > => GTNN A  A2 đạt GTNN 2 Ta có: A = 3x 25 x Vậy GTNN A = 30 x x 9x x 2 5x x 16 Bài toán 7: Cho x > ; y = thỏa mãn x + y 16 16 Tìm GTNN biểu thức: A = x x Giải: Điều kiện: – x2 x Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 Ta có: x2 + – x2 x x A – x2 x x A Vậy GTLN A = x = 2 hay x = 2 Bài tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x 1996 1998 x Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 Vì y x 1998 với x thỏa mãn điều kiện 1996 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x 9 9 x ( x 9 ) (1 9 x) x 1998 Dấu “=” xảy x – 1996 = 1998 – x x = 1997 Do y2 y Vậy GTLN y x = 1997 Bài toán 9: Cho x Tìm GTLN biểu thức y = x + x Giải: Ta có: y x x =x+2 1 x Vì x nên – x Áp dụng bất đẳng thức Cô si số: 17 (1 – x) cho ta: y x x x x Dấu “=” xảy x x 2 Vậy GTLN y x = 2 Bài toán 10: Cho M = a Tìm TGNN M a a 15 a Giải: M= a = a = 4 a a a 15 a 8 a a a 16 2 a Điều kiện để M xác định a – a a Ta có: M a Đặt x = a điều kiện x Do đó: M = x x Ta xét ba trường hợp sau: 1) Khi x x x 2 x Và x x 4 x => M = – x + – x = – 2x 2 Vậy x < M 2) Khi x x x x-4 =x-4 => M = x x Vậy x > M 3) Khi < x < 2x 6 2 x x x 4 x => M = x – + – x = (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp thì: a a a 17 16 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN M = tương ứng với: a 17 18 D CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: A = (2x – 3)2 – với x x Gợi ý: - Xét trường hợp: x ≥ x ≤ -1 - Kết luận: Min A = x = Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 Xảy đẳng thức x = giá trị không thỏa mãn x , không thỏa mãn x Do khơng thể kết luận GTNN A – Bài 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = Tìm giá trị m để x1 có giá trị nhỏ x2 Gợi ý: = 4(m - )2 + > Phương trình cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x (2m 1) 2(m 2) 4m 6m = => Min ( 2m x1 11 11 4 x2 11 với m = Bài toán 3: Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y vào E 19 Bài tốn 4: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Biết x y số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = 2x2 + 2y2 – 2xy = A + (x – y)2 = Max A = x = y 2x2 + 2y2 = + 2xy Mặt khác: 3A = + (x + y)2 => A A = 8 x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức: M = x + 2y Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki (x +2y)2 x (x 2 4y ) 2y (12 + 12) = 50 50 50 Vậy Max M = M x = 50 50 ; y Min M = -5 x = - 2 ;y=- 2 Bài tóan 6: Cho x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = Tìm GTLN biểu thức: x A= x y y x y Gợi ý: Từ (x2 – y)2 x y 2 2x y x => x x y 2 2x y 20 y Tương tự: y x 2 x => A => Max A = y y x xy x Bài tóan 7: Tìm GTNN biểu thức: A= x Gợi ý: B= x 1 x 1 x x x Min B = - 1 x Bài toán 8: Tìm GTNN biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước Gợi ý: 2 Biểu diễn B = x a b c a b c a 3 => GTNN B = (a2 + b2 + c2) - b a b c Bài tốn 9: Tìm GTNN biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – – y)2 + 5(y – 1)2 + Vậy Min P = y = ; x = Bài tốn 10: Tìm GTLN biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – (y – 2)2 21 c y => GTLN E = 10  y = ; x = Bài tốn 11: Tìm GTLN biểu thức: P = 2x 4y Biết x, y, z biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 x y z x 26 y 52 5 13 z 5 Bài tốn 12: Tìm GTNN biểu thức sau: a) A = x x b) B = 3x c) C = Với x x x Với x 2 2 Với x Gợi ý: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta: A = (x + 2) + b) B = 3x c) C = 2 (vì 2x x x 3x ) 2 Min C = - x = Bài tốn 13: Tìm GTNN biểu thức A = x 2x x 2000 ;(x 22 0) z Gợi ý: A= 2000 x 2 2000 x = 2000) 2 2000 x 2000) 1999 x 2000 x 1999 1999 2000 2000 1999 Vậy Min A = (x 2000 x (x 2000 2 Khi x = 2000 2000 Bài toán 14: Tìm GTNN biểu thức: P= 4x 16 x 56 x x 2 80 x 2x 356 Gợi ý: Biểu diễn P = ( x 2x 256 5) x 64 2x (áp dụng BĐT Côsi) => Min P = 64 x = x = -3 Bài toán 15: x Tìm GTNN A = 4x với x > x x B= x x C= x x D= với x > 1 x 1 (1 với x > x) x x E= F= x với < x < x x 2 x với x > 1 Gợi ý: A = x+ 4 x x 4 (vì x > 0) x => Min A = x = B= x x (x 1) x (vì x > 1) => Min B = x = C= (x x x 1) x 1 x x 2 x x 23 D = (1 + x) 1 x x E= F= x x 5x = 5x x x 2 x x => Min F = 1 x 2 x x 2 x 1 x 2 x x (vì x > 0) x x x x x 1 x = Bài 16: Tìm GTLN GTNN biểu thức: P= 8x x xy y Gợi ý: P=9- (y x P=9- (x x 3x) y 2 y) y Bài 17: Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 Tìm GTNN biểu thức S = Gợi ý: S = 1 x y x = y 1 x y 10 xy x (1 x) S có GTNN x(10-x) có GTLN x = => GTNN S = x = y = 5 Bài 18: Tìm GTNN biểu thức: E= x x x x Gợi ý: Ta có E > với x Xét E2 = (x2 + + x x 1) => Min E = x = 24 5 Bài 19: Cho a b hai số thỏa mãn: a ; a+b Tìm GTNN biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: a+ b => 132 2a 2b 10 3a 3a 2b 13 a 2b b 13 (vì a 3) => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – = Tìm m x x đạt GTNN Gợi ý: ' (2m 1) phương trình ln có nghiệm phân biệt x1; x2 định lý vi-ét ta có: x1 x2 2m x1 x 3m Do 4m 2 x1 x2 GTNN x1 4m 4 m = x2 m R Bài 21: Tìm giá trị nhỏ của: y = x x x 1998 Gợi ý: y= Ta có: 1x x x x 998 x x x 1998 1997 x 1998 x x 1997 + …+ nhỏ 1997 x nhỏ 1995 x 1999 nhỏ x x 998 x 999 1; 9 ;1 9 9 9;1 0 Vậy y đạt GTNN + + …+ 1997 Số số hạng + + … + 1997 (1997 – 1) : + = 999 Vậy Min y = 9992 999 x 1000 25 Theo Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t số ngun khơng âm , tìm gia strị nhỏ M giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng: x x 2 y 3y t 2 4z (1) (2) 21 101 Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 => 2M = 122 + t2 Do 2M 122 M 61 Vậy Min M = 61 t = Từ (1) => x > y x y x y Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 101 y 33 y Ta chọn x = ; y = => z = Vậy Min M = 61 x = ; y = ; z = 4; t = Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = Tìm giá trị a để nghiệm phương trình đó: a) Đạt GTNN b) Đạt gía trị lớn Gợi ý: Gọi m nghiệm phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + = (2) Viết (2) dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = 26 (1) Để tồn a ' Giải điều kiện m4 - m2 m(m – 1) 0 Vậy nghịêm phương trình đạt GTNN với a = -1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTLN với a = -2 x Bài 24: Tìm GTNN, GTLN t = 2x x Gợi ý: Vì x2 + > với x Đặt a = x 2x x 2 => (a – 1) x2 – x +a – = (1) a giá trị hàm số (1) có nghiệm - Nếu a = (1) x = - Nếu a (1) có nghiệm Min A = với x = ' 3+ ; M ax A = 2 với x = 2 Bài 25: Tìm GTNN, GTLN A = x x Gợi ý: Viết A dạng sau với y 2 xy y xy y 2 (A x x y y a x x y y a 2 a a (đặt x a ) y Giải tương tự 24 được: A 3 Còn với y = A = Do đó: Min A = với x = y ; max A = với x = - y Bài 26: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý: Với Q dạng Q = (a + b) a b 3ab ab = – 2ab = – 2a (1 – a) 27 m => Q = 2a2 – 2a + 1 Do đó: Min Q= a = b = 28 ... luận GTNN A – Bài 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = Tìm giá trị m để x1 có giá trị nhỏ x2 Gợi ý: = 4(m - )2 + > Phương trình cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi-ét,... + 4m – = Tìm m x x đạt GTNN Gợi ý: ' (2m 1) phương trình ln có nghiệm phân biệt x1; x2 định lý vi-ét ta có: x1 x2 2m x1 x 3m Do 4m 2 x1 x2 GTNN x1 4m 4 m = x2 m R Bài 21: Tìm giá trị nhỏ của:... Theo Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t số ngun khơng âm , tìm gia strị nhỏ M giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng: x x 2 y 3y t 2 4z (1) (2) 21 101 Gợi ý: Theo giả