Sáng kiến kinh nghiệm 1 số phương trình quy về bậc 2

tr-ờng đại học s- phạm hà nội Khoa toán -*** Đề tài Một số ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai Giáo viên h-ớng dẫn: Ng-ời thực hiện: hảii d-ơng, năm 2006 Lời nói đầu Việc dạy chuẩn mực kiến thức ch-ơng trình nhiệm vụ quan trọng ng-ời giáo viên đứng lớp Tuy nhiên, việc bồi d-ỡng cho học sinh khá, giỏi việc làm cần thiết phải đ-ợc tiến hành th-ờng xuyên nhà tr-ờng phổ thông trung häc c¬ së ViƯc båi d-ìng gióp cho häc sinh không nắm vững kiến thức, kỹ mà có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để suy luận cách hợp logíc tìm đ-ợc lối giải tập khó, giúp em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú học môn toán Đối với môn toán lớp 9, phần phương trình bậc hai, phương trình quy phương trình bậc hai l phần kiến thức trọng tâm, l phần kiến thức th-ờng xuyên xuất đề thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi thi vào trung học phổ thông Do đó, theo học sinh cần nắm thật chắn mảng kiến thức ny, đặc biệt l học sinh giỏi cần có nhìn thật đầy đủ ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai Sau nghiên cứu nhiều ti liệu tham khảo viết vấn đề thấy, tác giả đà đ-a toán đa dạng phong phú, nhiên dạng tản mạn, nằm nhiều tài liệu khác nhau, gây không khó khăn cho việc dạy giáo viên học sinh Tr-ớc tình hình đó, sau nghiên cứu kỹ tài liệu, mạnh dạn đưa hệ thống kiến thức nói phương trình quy phương trình bậc hai với mong ước l lm ti liệu ôn tập, nhm tạo điều kiện thuận lợi cho ng-ời dạy ng-ời học việc bồi d-ỡng học sinh giỏi Một số ph-ơng trình đưa phương trình bậc hai l hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, đ-ợc tích hợp từ nhiều tài liệu khác Nói cách giải số loại ph-ơng trình đ-a đ-ợc ph-ơng trình bậc hai.nh-: Ph-ơng trình chứa ẩn mẫu; ph-ơng trình bậc ba; ph-ơng trình bậc bốn; ph-ơng trình vô tỷ Với loại ph-ơng trình sau trình bày cách giải có kèm theo ví dụ minh hoạ, cuối dạng có nhận xét l-u ý nhằm giúp ng-ời đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu Do thời gian hạn hẹp nh- kinh nghiệm thân hạn chế, trình thực đề tài chắn tránh khỏi thiếu sót, mong bảo tận tình thầy cô bạn đồng nghiệp Tôi xin trân thành cảm ơn! Phần I: Những vấn đề chung A Mục tiêu nhiệm vụ đề tài Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu chọn hệ thống kiến thức nhất, chung dạng ph-ơng trình đ-a ph-ơng trình bậc hai nhằm: + Giúp cho giáo viên có tài liƯu ®Ĩ båi d-ìng häc sinh giái + Gióp cho học sinh có nhìn thật đầy đủ ph-ơng trình đ-a đ-ợc ph-ơng trình bậc hai, từ có thao tác t- nhanh nhạy, sáng tạo, có kỹ nhuần nhuyễn việc giải dạng ph-ơng trình + Giúp học sinh tự tin giải toán thi cử B Đối t-ợng nghiên cứu Nghiên cứu dạng ph-ơng trình, cách giải ph-ơng trình nói chung ph-ơng trình bậc hai nói riêng Nghiên cứu ph-ơng pháp dạy học toán tr-ờng THCS Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, tài liệu tham khảo chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi toán Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp Phần 2: Nội dung A sở thực tiễn vấn đề nghiên cứu Toán học môn khoa học trìu t-ợng, đóng vai trò quan trọng đời sống ng-ời, việc nghiên cứu khoa học Khi học toán em nắm bắt đ-ợc nhiều ph-ơng pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ tính toán, phân tích tổng hợp, giải đ-ợc nhiều toán thực sống Việc bồi d-ỡng học sinh giỏi việc làm cần thiết nhà tr-ờng THCS Để học sinh giỏi, em cần đ-ợc rèn luyện, phát triển tduy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức Sự phân hoá đối t-ợng học sinh lực lên rõ số học sinh lớp chuyên, chọn chiếm tỷ lệ t-ơng đối lớn, nhu cầu đ-ợc nâng cao, mở rộng kiến thức em học sinh lớn Căn vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức ph-ơng trình ph-ơng trình đ-a ph-ơng trình bậc hai ch-ơng trình THCS ch-a đ-ợc đề cập đến nhiều Đội ngũ giáo viên ch-a đ-ợc chuẩn bị chu bắt tay vào bồi d-ỡng cho học sinh giỏi, đòi hỏi ng-ời giáo viên phải tự biên soạn, s-u tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng nội dung bồi d-ỡng phần kiến thức ch-a có thống nhất, gây không khó khăn cho ng-ời học ng-ời dạy Nghiên cứu sách giáo khoa ch-ơng trình hành ta thấy: SGK đại số đà đ-a cho học sinh số laọi ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai nh-: ph-ơng trình chứa ẩn mẫu, ph-ơng trình vô tỷ, ph-ơng trình trùng ph-ơng, đ-a vào ẩn song nhìn chung mức độ yêu cầu loại dừng lại mức độ nhận dạng, phù hợp với học sinh đại trà, với em học sinh lớp chuyên, lớp chọn dừng lại yêu cầu ch-a đủ, cần hệ thống, phân loại giới thiệu với em mảng kiến thức phương trình quy phương trình bậc hai B Một số kiến thức kỹ cần thiết học giải ph-ơng trình: Khi học giải ph-ơng trình học sinh cần nắm đ-ợc số kiến thức kỹ sau: + Các quy tắc tính toán với biểu thức đại số (các phép tính cộng, trừ, nhân, chia) + Các đẳng thức đáng nhớ + Kỹ phân tích đa thức thành nhân tử + Kiến thức giá trị tuyệt đối số, biểu thức đại số + Điều kiện biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định ph-ơng trình, tập xác định biểu thứcc + Kỹ biến đổi biểu thức + Kỹ giải biện luận ph-ơng trình bậc hai nmột ẩn, ph-ơng trình chứa ẩn mẫu (dạng bản) C Ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai I Nhắc lại ph-ơng trình bậc hai ẩn số Định nghĩa: + Ph-ơng trình bậc hai ẩn số ph-ơng trình có dạng tổng quát: ax2+bx+c=0 (trong x ẩn; a,b,c hệ số thuộc tập R; a 0) + Nghiệm ph-ơng trình bậc hai giá trị ẩn số mà thay vào vế trái ph-ơng trình ta đ-ợc giá trị hai vế Giải biện luận hệ ph-ơng trình bậc hai *) Khi nghiên cứu nghiệm số ph-ơng trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a 0) ta cần quan tâm tới biệt số ph-ơng trình: =b2 - 4ac + Nếu 0: Ph-¬ng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1,2= b 2a Khi b chẵn, hay b=2b(b ) ta cã: ’ ’2 =b - ac ’ + NÕu 0: ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý: Nếu a c trái dấu (tức a.c0) *) Đối với số ph-ơng trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) tr-ờng hợp ph-ơng trình có nghiệm ( >=0) ta dùng định lý Viet để nhẩm nghiệm ph-ơng trình Định lý Vi-et Nếu ph-ơng trình ax2+bx+c=0 (a 0) cã nghiƯm sè x1;x2 ( 0) th×: x1+x2= x1.x2= b a c a Tr-ờng hợp đặc biệt: + Nếu a+b+c=0 ph-ơng trình có nghiệm là: x1=1; x2= c a + Nếu a-b+c=0 ph-ơng trình có nghiệm là: x1=-1; x2=- c a *)Nhờ định lý Viet ta khảo sát tính chất nghiệm ph-ơng trình bậc hai + Ph-ơng trình bậc hai cã cïng dÊu khi: hay b2-4ac c x1.x2>0 a + Ph-ơng trình bậc hai có hai nghiệm d-¬ng hay b2- 4ac c x1.x2>0 a b x1+x2>0 a + Ph-ơng trình có hai nghiƯm cïng ©m khi: hay b2- 4ac c x1.x2>0 a b x1+x2