Đang tải... (xem toàn văn)
4 chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không đổi. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 10m. Nếu chiều dài tăng thêm 6m, chiều rộng giảm đi 3m thì diện tích mới tăn[r]
(1)I MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
DẠNG I Chứng minh số nghiệm phương trình Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:
x0 nghiệm phương trình A x( )B x( ) A x( )0 B x( )0
x0 khơng nghiệm phương trình A x( )B x( ) A x( )0 B x( )0 Bài 1. Xét xem x0 có nghiệm phương trình hay không?
a) 3(2 x) 2x ; x0 2 b) 5x 2 3 x1; 3 2 x c) 3x 5x 1 ; x0 2 d) 2(x4) 3 x; x0 2
e) 7 3x x 5; x0 4 f) 2(x 1) 3x 8 ;x0 2
g) 5x ( x 1) 7 ; x0 1 h) 3x 2x 1 ; x0 3 Bài 2. Xét xem x0 có nghiệm phương trình hay không?
a) x2 3x 2x ; x0 2 b) x2 3x 10 0 ; x0 2
c) x2 3x 2( x 1); x0 2 d) (x1)(x 2)(x 5) 0 ; 1
x
e) 2x2 3x 0 ; x0 1 f) 4x2 3x 2x 1 ; x0 5 Bài 3. Tìm giá trị k cho phương trình có nghiệm x0 ra:
a) 2x k x –1; x0 2 b) (2x1)(9x2 ) – 5(k x2) 40 ; 2
x
c) 2(2x1) 18 3( x2)(2x k ); x0 1 d) 5(k 3 )(x x1) – 4(1 ) 80 x ; 2
x
DẠNG II Số nghiệm phương trình Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:
Phương trình A x( )B x( ) vơ nghiệm A x( )B x( ),x Phương trình A x( )B x( ) có vơ số nghiệm A x( )B x( ),x
Bài 1. Chứng tỏ phương trình sau vơ nghiệm:
a) 2x 4( x 1) 2( x 3) b) 2x 2( x 3)
c) x 2 1 d) x2 4x 0
Bài 2. Chứng tỏ phương trình sau có vơ số nghiệm:
a) 4(x 2) 3x x 8 b) 4(x 3) 16 4(1 4x) c) 2(x 1) 2x 2 d) x x
e) (x2)2 x24x 4 f) (3 x)2 x2 6x 9
(2)Bài 3. Chứng tỏ phương trình sau có nhiều nghiệm:
a) x2 4 0 b) (x 1)(x 2) 0
c) (x 1)(2 x x)( 3) 0 d) x2 3x 0
e) x 1 3 f) 2x 1
DẠNG III Chứng minh hai phương trình tương đương
Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta sử dụng cách sau:
Chứng minh hai phương trình có tập nghiệm.
Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình thành phương trình kia. Hai qui tắc biến đổi phương trình:
– Qui tắc chuyển vế: Trong phương trình, ta chuyển hạng tử từ vế sang vế kia đổi dấu hạng tử đó.
– Qui tắc nhân: Trong phương trình, ta nhân hai vế với số khác 0.
Bài 1. Xét xem phương trình sau có tương đương hay không?
a) 3x 3 x 1 0 b) x 3 0 3x 0 c) x 2 0 (x 2)(x3) 0 d) 2x 0 x x( 3) 0 Bài 2. Xét xem phương trình sau có tương đương hay khơng?
a) x2 2 0 x x( 2) 0 b) x 1 x x2 1 0
c) x 2 0 2 0
x
x d)
2 1 1
x x
x x
x2 x 0 e) x 1 2 (x1)(x 3) 0 f) x 5 0 (x5)(x2 1) 0
II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
DẠNG I Phương trình đưa dạng phương trình bậc nhất Bài 1. Giải phương trình sau:
a) 4 –10 0x b) 7 – 3x 9 x c) 2 – (3 – ) 4(x x x3) d) 5 (6 x) 4(3 ) x e) 4(x3)7x17 f)
5(x 3) 2( x 1) 7
g) 5(x 3) 2( x 1) 7 h) 4(3x 2) 3( x 4) 7x 20
ĐS: a) 5 2 x
b) x1 c) x5 d)
13 9 x
e) 5 11 x
f)x8 g)x8 h) x8
Bài 2. Giải phương trình sau:
a) (3x 1)( x3) (2 x)(5 3x) b) (x5)(2x 1) (2x 3)( x1)
c) (x1)(x9) ( x3)(x5) d) (3x 5)(2x 1) (6x 2)( x 3) e) (x2)2 2(x 4) ( x 4)(x 2) f) (x1)(2x 3) 3( x 2) 2( x 1)2
ĐS: a)
13 19 x
b) 1 5 x
c)x3 d) 1 33 x
e)x1 f) vô nghiệm
(3)a) (3x 2) (3x 2) 5x 38 b) 3(x 2)2 9(x 1) 3( x2 x 3) c) (x3)2 (x 3)2 6x 18 d)
3
( –1) – (x x x1) 5 (2 – ) –11(x x x2)
e) (x1)(x2 x1) 2x x x( 1)(x1) f) ( – 2)x (3 – 1)(3x x1) ( x1)3
ĐS: a) x2 b) x2 c) x3 d)x7 e) x1 f)
10 9 x Bài 4. Giải phương trình sau:
a)
5x 15x
5
3 6 12 4
x x
b)
8x 3x 2 2x 1 3
4 2 2 4
x
c)
1 1 2x 13
0
2 15 6
x x
d)
3(3 ) 2(5 ) 1
2
8 3 2
x x x
e)
3(5x 2) 7x
2 5( 7)
4 3 x
f)
5 2x 7
2 4 6
x x
x
g)
3 1 7
1
11 3 9
x x x
h)
3x 0,4 1,5 2x 0,5
2 3 5
x ĐS: a) 30 7 x
b) x0 c) x16 d) x11 e) x6 f)
53 10 x g) 28 31 x h) 6 19 x Bài 5. Giải phương trình sau:
a)
2x 1 2 7
5 3 15
x x
b)
3 1 5
1
2 3 6
x x x
c)
2( 5) 12 5( 2)
11
3 2 6 3
x x x x
d)
4 3x 2 2x 7x 2
5 10 3 6
x
x
e)
2( 3) 5 13x 4
7 3 21
x x
f)
3x 1 1 4x 9
2 x 4 8
ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm f) vơ nghiệm Bài 6. Giải phương trình sau:
a)
( 2)( 10) ( 4)( 10) ( 2)( 4)
3 12 4
x x x x x x
b)
2
( 2) ( 2)
2(2 1) 25
8 8 x x x c) 2
(2x 3)(2x 3) ( 4) ( 2)
8 6 3
x x
d)
2 2
7x 14x (2x 1) ( 1)
15 5 3
x
(4)e)
2
(7x 1)( 2) 2 ( 2) ( 1)( 3)
10 5 5 2
x x x x
ĐS: a) x 8 b) x9 c)
123 64 x
d)
1 12 x
e)
19 15 x Bài 7. Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
a)
1 3 5 7
35 33 31 29
x x x x
(HD: Cộng thêm vào các hạng tử)
b)
10 8 6 4 2
1994 1996 1998 2000 2002 x x x x x
(HD: Trừ vào hạng tử)
2002 2000 1998 1996 1994
2 4 6 8 10
x x x x x
c)
1991 1993 1995 1997 1999
9 7 5 3 1
x x x x x
9 7 5 3 1
1991 1993 1995 1997 1999 x x x x x
(HD: Trừ vào hạng tử)
d)
85 74 67 64
10
15 13 11 9
x x x x
(Chú ý: 10 4 )
e)
1 2x 13 3x 15 4x 27
13 15 27 29
x
(HD: Thêm bớt vào các hạng tử)
ĐS: a) x36 b) x2004 c) x2000 d) x100 e) x14 Bài 8. Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
a)
1 3 5 7
65 63 61 59
x x x x
b)
29 27 17 15
31 33 43 45
x x x x
c)
6 8 10 12
1999 1997 1995 1993 x x x x
d)
1909 1907 1905 1903
4 0
91 93 95 91
x x x x
e)
29 27 25 23 21 19
1970 1972 1974 1976 1978 1980
x x x x x x
1970 1972 1974 1976 1978 1980
29 27 25 23 21 19
x x x x x x
ĐS: a) x66 b) x60 c) x2005 d) x2000 e) x 1999 DẠNG II Phương trình tích
Để giải phương trình tích, ta áp dụng cơng thức:
( ) ( ) ( ) 0
A x B x A x B x( ) 0
( ) 0 ( ) 0 A x B x
(5)Bài 1. Giải phương trình sau:
a) (5x 4)(4x 6) 0 b) (3,5x 7)(2,1x 6,3) 0 c) (4x 10)(24 ) 0 x d) (x 3)(2x1) 0
e) (5x 10)(8 2x) 0 f) (9 3x)(15 3x) 0
ĐS: a)
4 3
;
5 2
x x
b) x2;x3 c)
5 5
;
2 24
x x
d)
1 3;
2 x x
e) x2;x 4 f) x3;x5 Bài 2. Giải phương trình sau:
a) (2x 1)( x22) 0 b) (x2 4)(7x 3) 0 c) (x2 x 1)(6 2x) 0 d) (8x 4)( x2 2x 2) 0
ĐS: a)
1 2 x
b) 3 7 x
c) x3 d)
1 2 x Bài 3. Giải phương trình sau
a) (x 5)(3 2x)(3x 4) 0 b) (2x 1)(3x 2)(5 x) 0 c) (2x 1)(x 3)(x7) 0 d) (3 2x)(6x 4)(5 8x) 0
e) (x1)(x3)(x5)(x 6) 0 f) (2x1)(3x 2)(5x 8)(2x 1) 0
ĐS: a)
3 4
5; ;
2 3
S
b)
1 2
; ; 5
2 3
S
c)
1
;3; 7 2
S
d)
3 2 5 ; ; 2 3 8 S
e) S 1; 3; 5;6 f) 1 1
; ; ; 2 2 S
Bài 4. Giải phương trình sau:
a) (x 2)(3x 5) (2x 4)( x1) b) (2x 5)( x 4) ( x 5)(4 x) c) 9x2 1 (3x 1)(2x 3) d) 2(9x2 6x 1) (3x 1)( x 2) e) 27x (2 x3) 12( x2 3x) 0 f) 16x2 8x 4( x3)(4x 1)
ĐS: a) x2;x3 b) x0;x4 c)
1
; 2
3 x x
d)
1 4
;
3 5
x x
e)
4
0; 3;
9 x x x
f) 1 4 x Bài 5. Giải phương trình sau:
a) (2x 1) 49 b) (5x 3) (4x 7) 0 c) (2x 7) 9(x2)2 d) (x2)2 9(x2 4x 4)
e) 4(2x 7) 2 9(x3)2 0 f) (5x2 2x 10) (3x2 10x 8)
ĐS: a) x4;x3 b)
10 4;
9 x x
c)
13 1;
(6)d) x1;x4 e)
23 5;
7 x x
f)
1 3;
2 x x Bài 6. Giải phương trình sau:
a) (9x2 4)(x1) (3x 2)( x2 1) b) (x 1)2 1 x2 (1 x x)( 3) c) (x2 1)(x2)(x 3) ( x 1)(x2 4)(x5) d) x4 x3 x 1 0
e) x3 7x 0 f) x4 4x312x 0 g) x5 5x34x 0 h) x4 4x3 3x2 4x 0
ĐS: a)
2 1
; 1;
3 2
x x x
b) x1;x1 c)
7
1; 2;
5 x x x d) x1 e) x1;x2;x3 f) x1;x 3
g) x0;x 1;x1;x2;x 2 h) x1;x1;x2 Bài 7. Giải phương trình sau: (Đặt ẩn phụ)
a) (x2 x)2 4(x2 x) 12 0 b) (x2 2x 3) 9(x2 2x 3) 18 0 c) (x 2)(x2)(x2 10) 72 d) x x( 1)(x2 x 1) 42
e) (x 1)(x 3)(x5)(x7) 297 0 f) x4 2x2 144x 1295 0 ĐS: a)x 1;x2 b) x0;x1;x2;x3 c)x4;x4 d) x2;x3 e) x4;x8 f) x5;x 7
DẠNG III Phương trình chứa ẩn mẫu Các bước giải phương trình chứa ẩn mẫu:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình.
Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế phương trình, khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được.
Bước 4: (Kết luận) Trong giá trị ẩn tìm bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho.
Bài 1.Giải phương trình sau: a)
4x 29
5 3
x
b)
2x 1 2 5 3x
c)
4x 5 2
1 1
x
x x
d)
7 3
2 5
x x e)
2x 5
0
2x 5
x x
f)
12x 10x 4 20x 17
11x 4 9 18
ĐS: a)
136 17 x
b)
11 8 x
c) x3 d)
41 4 x
e)
5 3 x
f) x2 Bài 2.Giải phương trình sau:
a)
11 9 2
1 4
x x x b)
14 2 3 5
3x 12 4 2x 6
x x
c)
12 1 3x 3x
1 9x 1 3x 3x
d) 2
5 25 5
5x 2x 50 2x 10x
x x x
x
(7)e)
1 1 16
1 1 1
x x
x x x
f)
1 1 1
1 ( 2)
1 1 1
x x x
x
x x x
ĐS: a)x44 b) x5 c)x1 d) vô nghiệm
e)x4 f) x 3 Bài 3.Giải phương trình sau:
a)
6x 1 5 3
7x 10 2 5
x x x
b)
2 1 4
0
4 (x 2) ( 2)
x x
x x x x
c)
2
1 1 ( 1)
3 1 3 2x 3
x x
x x x x
d)
1 6 5
2 3 6
x x x x
e)
2
3
2 2x 16 5
2 8 2x 4
x x x
f)
2
2
1 1 2( 2)
1 1 1
x x x
x x x x x
ĐS: a) 9 4 x
b) vô nghiệm c) 3 5 x
d) x4
e) vô nghiệm f)
5 4 x Bài 4.Giải phương trình sau:
a)
8 11 9 10
8 11 9 10
x x x x b) 3 5 4 6
x x x x
x x x x
c) 2
4 3
1 0
3x 2 6x 1
x x d)
1 2 3 6
1 2 3 6
x x x x ĐS: a)
19 0;
2 x x
b)
9 0;
2 x x
c) x0; x3 d)
6 12
;
5 5
x x III GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Các bước giải tốn cách lập phương trình: Bước 1:Lập phương trình
– Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
– Biểu diễn đại lượng chưa biết khác theo ẩn đại lượng biết. – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời
Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm không, kết luận.
DẠNG I Loại so sánh Trong đầu thường có từ:
– nhiều hơn, thêm, đắt hơn, chậm hơn, : tương ứng với phép toán cộng. – hơn, bớt, rẻ hơn, nhanh hơn, : tương ứng với phép toán trừ.
(8)Bài 1. Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết lần số nhỏ cộng lần số lớn –87 ĐS: 18; 17 .
Bài 2. Một phân số có tử số nhỏ mẫu số Nếu thêm đơn vị vào tử số bớt mẫu số đơn vị ta phân số
3
4 Tìm phân số cho.
ĐS: 7 15
Bài 3. Tổng số 45 Nếu lấy số thứ cộng thêm 2, số thứ hai trừ 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chi cho bốn kết Tìm số ban đầu
ĐS: 8; 12; 5; 20
Bài 4. Thương hai số Nếu tăng số bị chia lên 10 giảm số chia nửa hiệu hai số 30 Tìm hai số
ĐS: 24;
Bài 5. Một đội công nhân sửa đoạn đường ngày Ngày thứ đội sửa 1 3
đoạn đường, ngày thứ hai đội sửa đoạn đường 4
3 đoạn làm được
trong ngày thứ nhất, ngày thứ ba đội sửa 80m cịn lại Tính chiều dài đoạn đường mà đội phải sửa
ĐS: 360m
Bài 6. Hai phân xưởng có tổng cộng 220 cơng nhân Sau chuyển 10 công nhân phân xưởng sang phân xưởng
2
3 số công nhân phân xưởng 4
5 số cơng nhân phân xưởng Tính số cơng nhân phân xưởng lúc đầu
ĐS: Phân xưởng có 120 cơng nhân, phân xưởng có 90 cơng nhân
Bài 7. Hai bể nước chứa 800 lít nước 1300 lít nước Người ta tháo lúc bể thứ 15 lít/phút, bể thứ hai 25 lít/phút Hỏi sau số nước bể thứ
2 3 số nước bể thứ hai?
ĐS: 40 phút
Bài 8. Trước năm, tuổi Dung nửa tuổi Dung sau năm Tính tuổi Dung
ĐS: 14 tuổi
Bài 9. Tìm số có chữ số hàng đơn vị 2, biết xoá chữ số số giảm 200
ĐS: 222
Bài 10. Gia đình Đào có người: bố, mẹ, bé Mai Đào Tuổi trung bình nhà 23 Nếu viết thêm chữ số vào bên phải tuổi bé Mai tuổi bố, tuổi mẹ
bằng 9
10 tuổi bố gấp lần tuổi Đào Tìm tuổi người gia đình Đào. ĐS: Tuổi bố, mẹ, bé Mai Đào là: 40, 36, 4, 12
(9)– Bạn thứ nhận viên kẹo lấy thêm 1
11 số kẹo lại.
– Sau bạn thứ lấy phần mình, bạn thứ hai nhận viên kẹo lấy thêm 1
11 số kẹo lại.
Cứ đến bạn cuối cùng, thứ n, nhận n viên kẹo lấy thêm 1
11 số kẹo cịn lại. Hỏi phân đội có đội viên đội viên nhận viên kẹo
ĐS: 10 đội viên, mỗi đội viện nhận 10 viên kẹo.
Bài 12. Một người bán số sầu riêng thu hoạch sau: – Lần thứ bán trái
1
6 số sầu riêng lại.
– Lần thứ hai bán 18 trái 1
6 số sầu riêng lại mới.
– Lần thứ ba bá 27 trái 1
6 số sầu riêng cịn lại mới, v.v
Với cách bán lần sau vừa hết số sầu riêng bán lần Hỏi người bán lần số sầu riêng thu hoạch trái? ĐS: 225 trái,bán 5 lần.
Bài 13. Ba lớp A, B, C góp sách tặng bạn học sinh vùng khó khăn, tất 358 Tỉ số số sách lớp A so với lớp B
6
11 Tỉ số số sách lớp A so với
lớp C 7
10 Hỏi lớp góp sách? ĐS: Lớp A: 84 cuốn; lớp B: 154 cuốn; lớp C: 120 cuốn.
Bài 14. Dân số tỉnh A 612060 người Hàng năm dân số tỉnh tăng 1% Hỏi hai năm trước dân số tỉnh A bao nhiêu?
ĐS: 600000 người.
Bài 15. Trong trường học, vào đầu năm học số học sinh nam nữ Nhưng học kì 1, trường nhận thêm 15 học sinh nữ học sinh nam nên số học sinh nữ chiếm 51% số học sinh trường Hỏi cuối học kì 1, trường có học sinh nam, học sinh nữ?
ĐS: 245 nam, 255 nữ
DẠNG II Loại tìm số gồm hai, ba chữ số
Số có hai chữ số có dạng: xy 10x y Điều kiện: x y N, ,0 x 9,0 y 9. Số có ba chữ số có dạng: xyz100x 10 y z Điều kiện:
, , ,0 9,0 , 9
x y z N x y z .
Bài 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: – Tổng hai chữ số 12
– Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số 36 ĐS: 48
(10)– Tổng hai chữ số 10
– Nếu viết số theo thứ tự ngược lại số nhỏ số 36 ĐS: 73
Bài 3. Một số tự nhiên có chữ số Nếu thêm chữ số vào bên phải hay bên trái số ta số có chữ số Biết viết thêm vào bên phải số số lớn gấp ba lần số nhận ta viết thêm vào bên trái số Tìm số
ĐS: 42857
Bài 4. Một số có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp lần chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số ta số có hai chữ số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Tìm số ĐS: 31
Bài 5. Một số tự nhiên có hai chữ số có tổng chữ số Nếu thêm chữ số vào hai chữ số ta số có chữ số lớn số cho 180 Tìm số
ĐS: 25
DẠNG III Loại làm chung - làm riêng việc
Khi công việc không đo số lượng cụ thể, ta coi tồn cơng việc đơn vị
công việc, biểu thị số 1.
Năng suất làm việc phần việc làm đơn vị thời gian.
Gọi k khối lượng công việc, n suất, t thời gian làm việc Ta có: k nt .
Tổng suất riêng suất chung làm.
Bài 1. Hai người làm công việc 24 xong Năng suất người thứ
3
2 suất ngwòi thứ hai Hỏi người làm cơng việc thì phải thời gian bao lâu?
ĐS: 40 giờ; 60 giờ.
Bài 2. Một bồn chứa có đặt hai vòi nước chảy vào vòi tháo nước – Bồn trống khơng, mở riêng vịi thứ sau bồn đầy nước – Bồn trống khơng, mở riêng vịi thứ hai sau bồn đầy nước
– Bồn trống khơng, đồng thời mở ba vịi sau 12 phút bồn đầy nước Hỏi bồn chứa đầy nước, mở riêng vịi tháo nước sau tháo ra? ĐS: 36 phút.
Bài 3. Một công nhân phải làm số sản phẩm 18 ngày Do vượt mức ngày sản phẩm nên sau 16 ngày anh làm xong làm thêm 20 sản phẩm ngồi kế hoạch Tính xem ngày anh làm sản phẩm
ĐS: 75 sản phẩm.
DẠNG IV Loại chuyển động đều
Gọi s quãng đường động tử đi, v vận tốc, t thời gian đi, ta có: s vt . Vận tốc xi dịng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng + Vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dòng nước
Bài 1. Một xe vận tải từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 50 km/h, từ B quay A với vận tốc 40 km/h Cả thời gian 24 phút Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B
ĐS: 120km.
Bài 2. Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 20 km/h Sau giờ, xe đuổi theo với vận tốc 50 km/h Hỏi xe chạy đuổi kịp xe đạp?
ĐS: 2 giờ.
(11)Lúc trở người theo đường khác dài 42km với vận tốc vận
tốc lượt km/h Thời gian lượt 3
2 thời gian lượt Tìm vận tốc lượt và lượt
ĐS: Vận tốc lượt 30 km/h; vận tốc lượt 24 km/h.
Bài 4. Một xe tải từ A đến B với vận tốc 50 km/h Đi 24 phút gặp đường xấu nên vận tốc quãng đường lại giảm cịn 40 km/h Vì đến nơi chậm 18 phút Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B
ĐS: 80km.
Bài 5. Lúc 15 phút, ô tô từ A để đên B với vận tốc 70 km/h Khi đến B, ô tô nghỉ rưỡi, quay A với vận tốc 60 km/h đến A lúc 11 ngày Tính quãng đường AB
ĐS: 105 km.
Bài 6. Hàng ngày Tuấn xe đạp đến trường với vận tốc 12 km/h Sáng dậy muộn, Tuấn xuất phát chậm phút Tuấn nhẩm tính, để đến trường hơm trước Tuấn phải với vận tốc 15 km/h Tính quãng đường từ nhà Tuấn đến trường
ĐS: 2 km.
Bài 7. Một người xe máy từ thành phố Thanh Hoá thành phố Vinh Nếu chạy với vận tốc 25 km/h muộn so với dự định Nếu chạy với vận tốc 30 km/h đường nghỉ muộn Hỏi để đến nơi mà dọc đường khơng nghỉ xe phải chạy kilômet?
ĐS: 37,5 km.
Bài 8. Hai ô tô khởi hành lúc để từ Huế Đà Nẵng Vận tốc xe thứ 40 km/h, vận tốc xe thứ hai 60 km/h Xe thứ hai đến Đà Nẵng nghỉ nửa quay lại Huế gặp xe thứ cách Đà Nẵng 10 km Tính quãng đường Huế - Đà Nẵng
ĐS: 110 km.
Bài 9. Quãng đường AD dài km, gồm đoạn AB lên dốc, đoạn BC nằm ngang, đoạn CD xuống dốc Một người từ A đến D quay trở A hết tất 41 phút Tính quãng đường BC, biết vận tốc lúc lên dốc người km/h, lúc xuống dốc km/h lúc đường nằm ngang km/h
ĐS: 4 km.
Bài 10. Một xe tải từ A đến B với vận tốc 45 km/h Sau thời gian, xe xuất phát từ A với vận tốc 60 km/h khơng có thay đổi đuổi kịp xe tải B Nhưng sau nửa quãng đường AB xe tăng vận tốc lên 75 km/h, nên sau đuổi kịp xe tải Tính quãng đường AB
ĐS: 450 km.
Bài 11. Một đị máy xi dịng từ bến A đến bến B ngược dòng từ B A Vận tốc dòng nước km/h Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B ĐS: 80km.
Bài 12. Một ca nơ xi dịng từ A đến B ngược dòng từ B đến A Tính khoảng cách AB, biết vận tốc dịng nước km/h
ĐS: 120 km.
Bài 13. Hai bến sông A B cách 40 km Cùng lúc với ca nơ xi dịng từ bến A, có bè trơi từ bến A với vận tốc km/h Sau đến B, ca nô trở bêbs A gặp bè bè trơi km Tính vận tốc ca nơ
ĐS: 27 km/h.
Bài 14. Một thuyền từ bến A đến bến B hết giờ, từ bến B đến bến A hết Hỏi đám béo trơi theo dịng sơng từ A đến B hết bao lâu?
(12)DẠNG V Loại có nội dung hình học
Hình chữ nhật có hai kích thước a, b Diện tích: S ab ; Chu vi: P2(a b )
Tam giác vng có hai cạnh góc vng a, b Diện tích:
1 2 S ab
Bài 1. Chu vi khu vườn hình chữ nhật 60m, hiệu độ dài chiều dài chiều rộng 20m Tìm độ dài cạnh hình chữ nhật.
ĐS: 5 ;25m m
Bài 2. Một đất hình chữ nhật có chu vi 56m Nếu giảm chiều rộng 2m tăng chiều dài 4m diện tích tăng thêm 8m2
Tìm chiều rộng chiều dài đất ĐS: 12 ;16m m
Bài 3. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lần chiều rộng Nếu tăng cạnh thêm 5m diện tích khu vườn tăng thêm 385m2
Tính độ dài cạnh khu vườn ĐS: 18 ;54m m
Bài 4. Hiệu số đo chu vi hai hình vng 32m hiệu số đo diện tích chúng
2
464m Tìm số đo cạnh hình vng.
ĐS: cạnh hình vng nhỏ 25m; cạnh hình vng lớn 33m.
Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 450m Nếu giàm chiều dài 1
5 chiều dài cũ
và tăng chiều rộng thêm 1
4 chiều rộng cũ chu vi hình chữ nhật khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng khu vườn
ĐS: 100 ;125m m
Bài 6. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 10m Nếu chiều dài tăng thêm 6m, chiều rộng giảm 3m diện tích tăng diện tích cũ 12m2 Tính kích thước khu đất
ĐS: 20m, 30m
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải phương trình sau:
a) 6x2 5x 2x 3x(3 2x) b)
2( 4) 2x 1
4 10 5
x x
x
c)
2x 3x 3(2x 1) 7
3 4 2 6
d)
6x 10x 3 2x 1
2x
2 4 2
e) (x 4)(x4) 2(3x 2) ( x 4)2 f) (x1)3 (x 1)3 6(x2 x 1)
ĐS: a)
3 2 x
b) x5 c)
17 19 x
d) 1 2 x
e) x14 f)
2 3 x Bài 2. Giải phương trình sau:
(13)c) (3x 4) 4(x1)2 0 d) x4 2x3 3x2 8x 0 e) (x 2)(x2)(x2 10) 72 f) 2x3 7x2 7x 0
ĐS: a)
3 ; 2 4 S
b)
3 4 ; 5 3 S
c)
2 ;6 5 S
d) S 1; 2;2
e) S 4;4 f)
1 2; 1;
2 S Bài 3. Giải phương trình sau:
a)
2 4 6 8
98 96 94 92
x x x x
b)
2 2x 45 3x 4x 69
13 15 37 9
x
ĐS: a) x100 b) x15 Bài 4. Giải phương trình sau:
a)
2 3 4
2x 2x 4x 1 b)
2x 18 2x 5
1 2x 3 3
x x x
c)
2
3
1 2x 5 4
1 1 1
x x x x
ĐS: a)
9 2 x
b) x1 c) x0
Bài 5. Thương hai số Nếu tăng số bị chia 10 đơn vị giảm số chia nửa số thứ thu lớn số thứ hai thu 30 Tìm hai số ban đầu
ĐS: 24 và
Bài 6. Chu vi hình chữ nhật 140 m, hiệu số đo chiều dài chiều rộng 10 m Tìm số đo cạnh hình chữ nhật
ĐS: 30 m và 40 m
Bài 7. Thùng thứ đựng 40 lít dầu, thùng thứ hai đựng 85 lít dầu Ở thùng thứ hai lấy lượng dầu gấp lần lượng dầu lấy thùng thứ Sau lượng dầu cịn lại thùng thứ gấp đơi lượng dầu lại thùng thứ hai Hỏi lấy lít dầu?
ĐS: 26 lít 78 lít.
Bài 8. Chu vi bánh xe lớn đầu máy xe lửa 5,6 m bánh xe nhỏ 2,4 m Khi xe chạy từ ga A đến ga B bánh nhỏ lăn nhiều bánh lớn 4000 vịng Tính quãng đường AB
ĐS: 16800 m
Bài 9. Hai vịi nước chảy 12 đầy hồ nước Cho hai vòi chảy khố vịi thứ lại cho vòi thứ hai chảy tiếp với lưu lượng mạnh gấp đơi phải 30 phút đầy hồ Hỏi vịi chảy với lưu lượng ban đầu phải đầy hồ
ĐS: Vòi thứ chảy 28 giờ, vòi thứ hai chảy 21 giờ.
Bài 10. Một ô tô quãng đường dài 60 km thời gian định Ơ tơ nửa quãng đường đầu với vận tốc dự định 10 km/h nửa quãng đường lại với vận tốc thấp dự định km/h ô tô đến thời gian định Tính thời gian ô tô dự định quãng đường
ĐS: giờ
(14)ĐS: 30 km.
Bài 12. Hai người khởi hành từ A để đến B Người thứ nửa thời gian đầu với vận tốc km/h, nửa thời gian sau với vận tốc km/h Người thứ hai nửa quãng đường đầu với vận tốc km/h nửa quãng đường sau với vận tốc km/h Hỏi người đến B trước?
ĐS: Người thứ đến trước.
I BẤT ĐẲNG THỨC
1 Bất đẳng thức
Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) bất đẳng thức gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức.
2 Tính chất
(15)3 Một số bất đẳng thức thông dụng
a) a2 0, a Dấu "=" xảy a = 0 2 2
a b ab Dấu "=" xảy a = b. b)Bất đẳng thức Cô–si:
Với a, b 0, ta có: 2
a b
ab
Dấu "=" xảy a = b
Hệ quả: – Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn x = y.
– Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ x = y.
c)Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
d)Bất đẳng thức cạnh tam giác
Với a, b, c là độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > 0.
+ a b c a b; b c a b c; c a b c a 4 Chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh BĐT lập luận để khẳng định tính đắn BĐT đó. Để chứng minh BĐT ta thường sử dụng:
– Tính chất quan hệ thứ tự số. – Tính chất bất đẳng thức.
– Một số BĐT thông dụng.
DẠNG 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất bản Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau:
– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết. – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. Một số BĐT thường dùng:
+ A2 0 + A2 B2 0 + A B. 0 với A, B 0. + A2 B2 2AB
Điều kiện Nội dung
a < b a + c < b + c (1)
c > 0 a < b ac < bc (2a)
c < 0 a < b ac > bc (2b)
a < b c < d a + c < b + d (3)
a > 0, c > 0 a < b c < d ac < bd (4)
n nguyên dương a < b a2n+1 < b2n+1 (5a) 0 < a < b a2n < b2n (5b)
ab > 0
a > b
1 1
ab (6a)
ab < 0
a > b
1 1
a b (6b)
Điều kiện Nội dung
0, ,
x x x x x
a > 0
x a a x a
x a x a
x a
(16)Chú ý:
– Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta có thể tìm GTLN, GTNN biểu thức.
Bài 1. Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2b2 1 ab a b
c) a2b2 c2 3 2(a b c ) d) a2b2 c2 2(ab bc ca )
e) a4b4 c2 1 (a ab2 a c 1) f)
2
2 2
4 a
b c ab ac bc
g) a2(1b2)b2(1c2)c2(1a2) 6 abc h)
2 2 2 ( )
a b c d e a b c d e HD: a)
2 2
(a b ) (b c ) (c a ) 0b) (a b )2 (a 1)2 (b 1)2 0 c)
2 2
(a 1) (b 1) (c 1) 0 d) (a b c )2 0
e)
2 2 2
(a b ) (a c ) (a 1) 0f)
2
( ) 0
2 a
b c
g)
2 2
(a bc ) (b ca ) (c ab ) 0
h)
2 2
0
2 2 2 2
a a a a
b c d e
Bài 2. Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau:
a)
2 2 2
2 2
a b a b
ab
b)
3 3
2 2
a b a b
; với a, b 0 c) a4 b4 a b ab3 d) a4 3 4a
e) a3 b3c3 3abc, với a, b, c > 0. f)
6 4
2 a b a b
b a
; với a, b 0
g) 2
1 1 2
1a 1b 1ab; với ab 1. h) (a5 b a b5)( ) ( a4b a4)( b2); với ab > 0
HD: a)
2 2
( )
0
2 4
a b a b
ab
;
2
2 ( )2
0
2 2 4
a b a b a b
b)
2 3
( )( ) 0
8 a b a b c) (a3 b a b3)( ) 0 d) (a 1) (2 a2 2a3) 0 e) Chú ý: a3 b3 (a b )3 3a b2 3ab2
BĐT
2 2
(a b c a ) b c (ab bc ca ) 0.
f)
2 2 2
(a b ) (a a b b ) 0 g)
2
2
( ) ( 1)
0
(1 )(1 )(1 )
b a ab
ab a b
(17)h)
3
( )( ) 0
ab a b a b .
Bài 3. Cho a, b, c, d R Chứng minh a2 b2 2ab (1) Áp dụng chứng minh bất
đẳng thức sau:
a) a4b4 c4 d4 4abcd b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) 8 abc c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d2 4) 256 abcd
HD: a) a4 b4 2a b c2 2; d2 2c d2 2; a b2 2c d2 2abcd b) a2 1 ;a b2 1 ;b c2 1 2c
c) a2 4 ;a b2 4 ;b c2 4 ;c d2 4 4d
Bài 4. Cho a, b, c, d > Chứng minh 1
a
b
a a c b b c
(1) Áp dụng chứng minh
các bất đẳng thức sau:
a) 1 2
a b c
a b b c c a
b)
1 a b c d 2
a b c b c d c d a d a b
c) 2 3
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
HD: BĐT (1) (a – b)c < 0.
a) Sử dụng (1), ta được:
a a a c
a b c a b a b c
;
b b b a
a b c b c a b c
;
c c c b
a b c c a a b c
.
Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm.
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:
a a a
a b c d a b c a c Tương tự:
b b b
a b c d b c d b d ;
c c c
a b c d c d a a c ;
d d d
a b c d d a b d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm.
c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có:
a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm
Bài 5. Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 ab bc ca (1) Áp dụng
chứng minh bất đẳng thức sau:
a) (a b c )2 3(a2b2 c2) b)
2 2
3 3
a b c a b c
(18)c) (a b c )2 3(ab bc ca ) d) a4b4 c4 abc a b c( ) HD:
2 2
(a b ) (b c ) (c a ) 0.
a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần Bài 6. Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức:
3 2 ( )
a b a b b a ab a b (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau:
a) 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc; với a, b, c > 0.
b) 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1
a b b c c a ; với a, b, c > 0 abc = 1.
c)
1 1 1
1
1 1 1
a b b c c a ; với a, b, c > 0 abc = 1. HD: (1)
2
(a b a b)( ) 0 .
a) Từ (1)
3 ( )
a b abc ab a b c 3
1 1
( )
a b abc ab a b c . Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm.
b, c) Sử dụng a).
Bài 7. Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab bc ca a b 2+ 2c2<2(ab bc ca )
b) abc(a b c b c a a c b )( )( ) c) 2a b2 2b c2 2c a2 2 a4 b4 c4 0 d) a b c( )2b c a( )2 c a b( )2 a3b3c3
HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a2 b2 2bc c 2. Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm.
b) Ta có: a2 a2 (b c )2 a2 (a b c a b c )( ). Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm. c) (a b c a b c b c a c a b )( )( )( ) 0 .
d) (a b c b c a c a b )( )( ) 0 .
Bài 8. Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a)
1 1 1
; ;
a b b c c a độ dài cạnh tam giác khác.
b)
1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c .
HD: a) Sử dụng tính chất phân số BĐT cạnh tam giác
Ta có:
1 1 1 1
a b b c a b c a b c >
2 1
c a c a c a Tương tự, chứng minh BĐT lại.
b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > ta có:
1 1 4
(19)Ta có:
1 1 4 2
( ) ( )
a b c b c a a b c b c a b. Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm.
DẠNG 2: Phương pháp làm trội
Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn tích hữu hạn.
Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1u2 un Ta biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau:
1 k k k u a a
Khi đó: S = a1 a2 a2 a3 an an1 a1 an1
Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u u1 2 un
Ta biến đổi số hạng uk thương hai số hạng liên tiếp nhau: k k
k a u
a
Khi đó: P =
1
2 1
. n n n
a a a a
a a a a
Bài 1. Chứng minh với số tự nhiên n1, ta có: a)
1 1 1 1 3
2 n1 n2 n n 4 b)
1 1 1
1 2 1 1
2 3 n n
c) 2
1 1 1
1 2
2 3 n
d)
1 1 1 1
1
1.2 2.3 3.4 (n 1).n
HD: a) Ta có:
1 1 1
2
n k n n n, với k = 1, 2, 3, …, n –1.
b) Ta có:
1 2 2
2 1
2 1 k k
k k k k , với k = 1, 2, 3, …, n.
c) Ta có:
2
1 1 1 1
1 1
k k k k k , với k = 2, 3, …, n.
d) Ta có:
1 1 1
(k 1).n k 1 k , với k = 2, 3, …, n.
DẠNG 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si 1 Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b 0, ta có: 2
a b
ab
(20)2 Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:
+ Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn x = y.
+ Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ x = y.
Bài 1. Cho a, b, c 0 Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) (a b b c c a )( )( ) 8 abc
b)
bc ca ab
a b c
a b c ; với a, b, c > 0.
c) 2
ab bc ca a b c a b b c c a
; với a, b, c > 0.
d)
3 2
a b c
b c c a a b ; với a, b, c > 0.
HD: a) a b 2 ab b c; 2 bc c a; 2 ca đpcm.
b)
2
2 2
bc ca abc
c a b ab ,
2
2 2
ca ab a bc a b c bc ,
2
2 2
ab bc ab c b c a ac
đpcm
c) Vì a b 2 ab nên 2 2
ab ab ab
a b ab Tương tự: 2 ; 2
bc bc ca ca
b c c a .
2 2
ab bc ca ab bc ca a b c
a b b c c a
(vì
ab bc ca a b c )
d) VT = 1 1 1 3
a b c
b c c a a b
=
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 3
2 a b b c c a b c c a a b
9 3
3 2 2. Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.
Khi đó, VT = 1
3 2
x y z x z y
y x x z y z
1 3
(2 2 3) 2 2. Bài 2. Cho a, b, c > 0 Chứng minh bất đẳng thức sau:
a)
3 3 1 1
(a b c ) (a b c) a b c
b) 3(a3 b3c3) ( a b c a )( b2c2) c) 9(a3 b3c3) ( a b c )3
HD: a) VT =
3 3 3
2 2 a b b c c a
a b c
b a c b a c
.
Chú ý:
3
2
2 2
a b
a b ab
b a Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm.
b)
3 3 2 2 2
(21)Chú ý: a3 b3 ab a b( ) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm. c) Áp dụng b) ta có: 9(a3b3 c3) 3( a b c a )( b2c2). Dễ chứng minh được: 3(a2b2 c2) ( a b c )2 đpcm.
Bài 3. Cho a, b > 0 Chứng minh
1 1 4
a b a b (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:
a)
1 1 1 1 1
2
a b c a b b c c a
; với a, b, c > 0.
b)
1 1 1 1 1 1
2
2 2 2
a b b c c a a b c a b c a b c
; với a, b, c > 0.
c) Cho a, b, c > 0 thoả
1 1 4
a b c Chứng minh:
1 1 1
1 2a b c a2b c a b 2c
d) 2
ab bc ca a b c a b b c c a
; với a, b, c > 0.
e) Cho x, y, z > 0 thoả x2y4z12 Chứng minh:
2 8 4
6
2 2 4 4
xy yz xz
x y y z z x . f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c
.
HD: (1)
1 1
(a b) 4
a b
Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.
a) Áp dụng (1) ba lần ta được:
1 1 4 1 1 4 1 1 4
; ;
a b a b b c b c c a c a . Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm.
b) Tương tự câu a).
c) Áp dụng a) b) ta được:
1 1 1 1 1
4
2 2 2
a b c a b c a b c a b c
.
d) Theo (1):
1 1 1
4
a b a b
1
( )
4 ab
a b a b .
Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm.
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c 12 đpcm. f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.
Áp dụng (1) ta được:
1 1 4 4
( ) ( )
p a p b p a p b c . Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm.
Bài 4. Cho a, b, c > 0 Chứng minh
1 1 9
(22)a)
2 2 1 1 1 3
( ) ( )
2
a b c a b c
a b b c c a
.
b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 Tìm GTLN biểu thức: P = 1 1 1
x y z
x y z . c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 Tìm GTNN biểu thức:
P = 2
1 1 1
2 2 2
a bc b ac c ab.
d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 Chứng minh: 2
1 1 1 1
30 a b c ab bc ca .
HD: Ta có: (1)
1 1
(a b c) 9
a b c
Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.
a) Áp dụng (1) ta được:
1 1 1 9
2( )
a b b c c a a b c .
VT
2 2 2
9( ) 3 3( ) 3
. ( )
2( ) 2 2
a b c a b c
a b c
a b c a b c
Chú ý: (a b c )2 3(a2 b2 c2). b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau:
P =
1 1 1 1 1 1
1 1 1
x y z
x y z
=
1 1 1
3
1 1 1
x y z
Ta có:
1 1 1 9 9
1 1 1 3 4
x y z x y z Suy ra:P
9 3
3
4 4
. Chú ý: Bài tốn tổng quát sau:
Cho x, y, z > thoả x y z 1 k số dương cho trước Tìm GTLN
của biểu thức: P = 1 1 1
x y z
kx ky kz .
c) Ta có: P
2 2
9 9
9
2 2 2 ( )
a bc b ca c ab a b c .
d) VT 2
1 9
a b c ab bc ca
= 2
1 1 1 7
a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
2
9 7 9 7
30 1
( ) 1
3 a b c ab bc ca
Chú ý:
2
1 1
( )
3 3
ab bc ca a b c .
(23)a) 18 ; 0 2 x y x x
b)
2 ; 1 2 1 x y x x c) 3 1 ; 1 2 1 x y x x
d)
5 1
;
3 2 1 2
x y x x e) 5
; 0 1
1 x y x x x f) 1 ; 0 x y x x g)
2 4 4
; 0 x x y x x h) 2 ; 0
y x x
x
HD: a) Miny = x = 6 b) Miny = 3
2 x = 3
c) Miny =
3 6
2
x = 6
1
3 d) Miny =
30 1 3
x =
30 1 2
e) Miny = 2 5
5 5
4 x
f) Miny = 3
4 x = 3 2
g) Miny = x = 2 h) Miny =
5
27 x = 5 3 Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN biểu thức sau:
a) y(x3)(5 x); 3 x 5 b) y x (6 x); 0 x 6
c)
5 ( 3)(5 ); 3
2 y x x x
d)
5
(2 5)(5 ); 5
2
y x x x
e)
1 5
(6 3)(5 );
2 2
y x x x
f) 2; 0
x
y x
x
HD: a) Maxy = 16 x = 1 b) Maxy = x = 3
c) Maxy = 121
8 x = 1 4
d) Maxy = 625
8 x = 5 4
e) Maxy = x = 1 f) Maxy =
1
2 2 x = 2 (2 x2 2 2x
)
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1 Định nghĩa
Bất phương trình dạng ax b 0 (hoặc ax b 0,ax b 0,ax b 0), a, b là hai số cho, a 0, đgl bất phương trình bậc ẩn.
2 Hai qui tắc biến đổi bất phương trình
Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta
phải đổi dấu hạng tử đó.
Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải:
– Giữ ngun chiều bất phương trình số đódương. – Đổi chiều bất phương trình số âm.
(24)a) 3(2x 3) 4(2 x) 13 b) 6x (3x+9) 8x (2x 1) c) 8x 17 3(2x 3) 10( x2) d) 17(x5) 41x 15(x4) 1 e) 4(2 ) (5 x x) 11 x f) 2(3 x) 1,5( x 4) 3 x
ĐS: a) x3 b)
4 3 x c) 3 2 x d) 83 73 x e) 4 5 x
f)
18 5 x Bài 2. Giải bất phương trình sau:
a)
2x 1 6
3 2
x
b)
5( 1) 2( 1)
1
6 3
x x
c)
3( 1) 1
2 3
8 4
x x
d)
3x 5 2
1 2 3 x x e)
1 2 1 1 3
2x
4 5 3 3 5
3 5 2
x x
f)
2x 22 7x 5 2x 5x 2
6 4 3 x 4
ĐS: a) x20 b) x15 c) 9 5 x
d) x5 e)
14 19 x f) 5 2 x Bài 3. Giải bất phương trình sau:
a) (2x 3)(2x 1) 4x( x2) b) 5(x 1) x(7 x) x2
c) (x 1)2(x 3)2 x2 (x1)2 d)
2
(2x 1) (3 )
8 2
x
e)
2 2
( 2) 3( 1) 1
5 10 2
x x x
f)
2 (1,5x 1) (2 ) 5x
2
6 4 2
x x
ĐS: a)
3 4 x
b)
5 2 x
c) 9 10 x d) 7 4 x e) 3 7 x
f) x2 Bài 4. Giải bất phương trình sau:
a)
8x
8x 5 3
5
b)
2x 1 1
2x 3x
2 5
c)
5 1 3
1
6 3 2
x x x
d)
5x 3
6 3 6
x x x
e)
7 2x 7
15 5 3 15
x x
ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm Bài 5. Với giá trị x thì:
a) Giá trị biểu thức 7 3( x1) không nhỏ giá trị biểu thức 2(x 3) 4
b) Giá trị biểu thức 2 1 3 x x
lớn giá trị biểu thức x3.
c) Giá trị biểu thức (x1)2 4 không lớn giá trị biểu thức (x 3)2
d) Giá trị biểu thức
3 1
2 4
x x
(25)ĐS: a)
14 5 x
b) x 2 c) 3 2 x
d) x2. Bài 6. Giải bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
a)
x 1987 1988 1989 1990
2002 2003 2004 2005
x x x
b)
1 3 5 2 4 6
99 97 95 98 96 94
x x x x x x
c)
x-1987 1988 1989 1990
2002 2003 2004 2005
x x x
d)
1 3 5 2 4 6
99 97 95 98 96 94
x x x x x x
ĐS: a) x15 b) x100 Bài 7.
a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Tìm số biết lớn 21 nhỏ 36
b) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 300 đến 400, biết số chia cho 3, 4, có số dư
c) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 500 đến 600, biết số chia cho 5, 8, 10 có số dư 2, 5,
ĐS: a) 31 b) 301 (x 1 chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 (x3 chia hết cho 5, 8, 10) Bài 8. Giải bất phương trình sau:
a)
III PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối
0 0 a a a
a a
2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng A B
1 0 0
C A A
hay
A B A B
2 0 0
C B B
hay
A B A B
Dạng A B A B hay A B
Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối
– Xét dấu biểu thức chứa ẩn nằm dấu GTTĐ.
– Chia trục số thành nhiều khoảng cho khoảng, biểu thức nói có dấu xác định.
– Xét khoảng, khử dấu GTTĐ, giải PT tương ứng trường hợp đó. – Kết hợp trường hợp xét, suy số nghiệm PT cho.
Bài 1. Giải phương trình sau:
a) 4x x 2 b) 2 x 2 3x c) 2x 5x 6
d) 2x 6x 7 x8 e)
1 5x
6 5x 3
f)
2 1 1 3
2 3 4 6
x x x
(26)ĐS: a) 2 2
; 5 3 S
b) S 0 c) 9 7 S
d)S e)
19 20 S
f) 1 8 S Bài 2. Giải phương trình sau:
a) x2 2x x b) 2x2 5x 3 2x2 2 c) x2 4x 5 x2
d) 3x2 7x 2 x2 5x 6 ĐS: a) S 0;1;3 b)
1 1;
4 S
c) S 3;1 d) S 2 Bài 3. Giải phương trình sau:
a)
3x 6
2 1 2x x
b)
2 6x 8 2x 8 3 x x
c)
6 2 36 x x d) 2 4x 3 3
5x 7x 2
x
x
e)
2
2x 7x 4
4
2x 1 x
f) 2 5x 4 4 3x 2 x x x
ĐS: a) S 2 b) 4
;4 3 S
c) 13
2 S
d) 3
;3 5 S
e) S 4 f) S 4 Bài 4. Giải phương trình sau:
a) 2x 1 x 1 b) 2 5x 3x 1 c) 1 4x 7x 0 d) 2x2 5x 10 2x2 1 e) x 4 6 f) x2 3x x21
ĐS: a) S 2;0 b) 1 3
; 8 2 S
c) 1
;1 11 S
d)
9 9
;1;
4 5
S
e)S 1;5 f) 1
1; 2 S
Bài 5. Giải phương trình sau:
a) 2x 5x 3 b) 2 x x3 0 c)
2 3 1
x x
d) x 1 2x 1 x e) 2x 3 x x 1 0 f) x 1 x 1 0
ĐS: a) S b) S 4 c)2 x 3 d) 1 3
; 2 2 S
e)
1 2 S
f)S BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1. Giải bất phương trình sau:
a) 3x 5x+12 b) 4x 15 24 7x c) x 1 2x
d)
1 2 3
1
2 3 4
x x x
e)
2x 1
2x (2x 1) 2
f)
1 2 3
2 3 4
x x x
x
ĐS: a) x10 b) x3 c) x2 d)
11 7 x e) 1 2 x
f) x1 Bài 2.
(27)2 2x 8 1 1 1
2 6 3 4
x x x x x x
c) Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: 4(2 ) (5 x x) 11 x d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: 2(3 x) 1,5( x 4) 3 x ĐS: a) 1;2 b) 3; 2; 1
Bài 3. Giải bất phương trình sau: a)
5 15 2005 1995
2005 1995 5 15
x x x x
b)
1987 1988 27 28
4
15 16 1999 2000
x x x x
c)
1 1 1 1 1 1
1.101 2.102 10.110 x 1.11 2.12 100.110
ĐS: a) x2010 Trừ vế cho 2 b) x1972 Trừ vế cho 4
c) x10 Biến đổi
1 1 1 1
(100 ) 100 100
k k k k
,
1 1 1 1
( 10) 10 10
k k k k
Bài 4. Giải phương trình sau:
a) x 3 5x 7 b) x 5 2x 9 c) 2x 11 x 8 d)
7 4x
4x 7 9
4x 7
e)
2
7x 9x 2
2 7x 5x 4
f)
2
8x 15
3x 9
2x 9x 5
x
ĐS: a) 5 3 S
b)
14 4;
3 S
c) S 1;19 d) 3 15
; 4 4 S
e)
1 2 ; 2 7 S
f) 3