Giáo trình cơ học lý thuyết 2

Сборник задач по теоретической механике. краткий курс теоретической механики.[r]

PHẦN THỨ BA: ĐỘNG LỰC HỌC Mởđầu

1 Động lực học phần cuối của giáo trình Cơ học lý thuyết, nghiên cứu chuyển động chất điểm hệ chất điểm học (cơ hệ) tác dụng lực

Chất điểm điểm hình học mang khối lượng, hệ tập hợp hai hay nhiều chất điểm mà chuyển động chất điểm bị ràng buộc chuyển động chất điểm lại thuộc hệ Vật rắn tuyệt đối trường hợp đặc biệt hệ, gần với thực tế có áp dụng nhiều kỹ thuật

2 Lực đại lượng đo tác dụng cơ học của vật thể lên vật thể khác, được đặc trưng đại lượng véctơ, ký hiệu: F

uur

Trong phần Tĩnh học ta gặp lực không biến đổi (lực tĩnh) Trong phần động lực học, ta gặp lực biến đổi, phụ thuộc vào thời gian t (như lực kéo đầu máy, áp lực động lên – móng), phụ thuộc vào vị trí rr (như lực hấp dẫn, lực đàn hồi lò xo), phụ thuộc vào vận tốc (lực cản mơi trường) Nói chung, trường hợp tổng quát lực F

uur

hàm thời gian, vị trí, vận tốc đương nhiên gia tốc Ta biểu thị:

( , , ) F = F t r v uur uur r r

Hệ lực tác dụng lên hệ có hai cách phân loại: Hoặc chia thành nội lực ngoại lực; chia thành lực hoạt động (lực chủđộng) phản lực liên kết

- Nội lực lực tác dụng tương hỗ giữa chất điểm thuộc cơ hệ, ký hiệu

i

F uur

Ngoại lực lực hệ tác dụng lên chất điểm thuộc hệ khảo sát, ký hiệu F e

uur

- Phản lực liên kết lực đặc trưng cho tác dụng của vật gây liên kết lên chất điểm thuộc hệ khảo sát, ký hiệu N

uur

Các lực phản lực liên kết tác dụng lên hệ khảo sát gọi lực hoạt động, ký hiệu Fa

uur

3 Năm 1687, I Niutơn xuất bản cuốn “Những nguyên lý tốn học của triết học tự nhiên” Cơng trình trình bày sở Cơ học cổ điển Ơng đưa khái niệm lực, gia tốc chứng minh chuyển động hành tinh giải thích tương tác hấp dẫn Sự tiếp cận ngày chặt chẽ mặt định lượng học tiếp tục suốt thể kỷ XVI – XIX tạo thành Lý thuyết Cơ học (Cơ học cổđiển) áp dụng cho vật thể thông thường

Nội dung nghiên cứu phần động lực học giải hai toán a. Bài toán I (bài toán thuận): Cho quy luật chuyển động chất điểm hay hệ, xác định lực tác dụng lên chúng

b. Bài toán II (bài toán ngược): Cho lực tác dụng lên chất điểm hay hệ điều kiện ban đầu chuyển động, xác định quy luật chuyển động chất điểm hay hệđó

CHƯƠNG I: CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC NIUTƠN - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG

1.1 Các định luật của cơ học Niutơn 1.1.1 Định luật 1 (Định luật quán tính)

Chất điểm không chịu tác dụng của lực sẽ đứng yên hoặc chuyển động thẳng

đều

Nếu F =0 uur

V =const uur uuuuur

Chất điểm không chịu tác dụng học gọi cô lập chuyển động thẳng dặc trưng véctơ vận tốc khơng đổi Từđó suy ra:

Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng chất điểm gọi chuyển động theo qn tính (chất điểm cân bằng) Quán tính ởđây hiểu sức cản lại biến đổi vận tốc

Như vậy, Định luật khẳng định rằng: Lực nguyên nhân phá vỡ trạng thái cân chất điểm

1.1.2 Định luật 2 (Định luật cơ bản của động lực học)

Dưới tác dụng của lực, chất điểm chuyển động có gia tốc hướng với hướng của lực có độ lớn tỷ lệ với độ lớn của lực.

F =mW uur uur

(1-1)

F = m.W (1-2)

Trong đó: W uur

gia tốc chất điểm nhận tác dụng lực F

uur

; m khối lượng chất điểm, đại lượng dương, bất biến theo thời gian không phụ thuộc vào hệ quy chiếu

Từđịnh luật 2, ta thấy:

– Lực nguyên nhân làm cho chất điểm chuyển động có gia tốc

– Định luật thiết lập mối quan hệđịnh lượng đại lượng học: Lực, khối lượng gia tốc (mối quan hệ không gian, thời gian vật chất)

– Nếu tác dụng lên chất điểm lực có trị số khơng đổi, từ (1-2) suy ra: Khối lượng chất điểm lớn trị số gia tốc nhỏ, nghĩa khó thay đổi vận tốc Từđó cho thấy khối lượng độđo quán tính chất điểm

y z

W F

V

x

M

O

– Trường hợp chất điểm chịu tác dụng đồng thời số lực (F1, F2, , Fn)

uur uur uur thay chúng hợp lực R

ur

Hệ thức (1-1) trở thành: mW =R

uur ur

hay

1

n k k

mW F

= =∑ uur uur

(1-3) (1-3) gọi phương trình cơ bản của động lực học chất điểm tác dụng nhiều lực đồng thời Hệ thức (1-3) sở để thiết lập phương trình vi phân chuyển động, định lý tổng quát động lực học nguyên lý học sau

– Ở lân cận bề mặt trái đất, vật thể có khối lượng m phải chịu tác dụng trọng lực P

ur

Theo hệ thức (1-1) thì: P =mg

uur r

(1-4) Trong gần bậc nhất, trọng lượng P trị số lực hút trái đất tác dụng lên chất điểm Lực gần đồng phạm vi mà khoảng cách tới mặt đất nhỏ so với bán kính trái đất Giá trị g xấp xỉ g ≈ 9,81 m/s2, đường thẳng đứng phương gr

1.1.3 Định luật 3 (Định luật tác dụng phản tác dụng) Lực tác dụng tương hỗ giữa hai chất điểm hai lực có cùng giá, cường độ ngược chiều nhau”

Cho hai chất điểm A B tương tác với Các lực tương tác FA

uuur

FB

uuur

(hình 1-2) Ta có hệ thức: FA = −FB

uuur uuur

(1-5)

Hơn nữa: FA∧BA= FB ∧AB=0

uuur uuur uuur uuur

Dễ thấy rằng, khác với định luật định luật phát biểu cho chất điểm, định luật phát biểu cho hệ hai chất điểm Do sởđể nghiên cứu động lực học hệ

1.2 Hệ quy chiếu quán tính hệđơn vị cơ học 1.2.1 Hệ quy chiếu quán tính

Từđịnh luật quán tính ta thấy: Tồn lớp hệ quy chiếu, mà chúng chất điểm không chịu tác dụng lực chuyển động thẳng Hệ quy chiếu hệ quy chiếu quán tính (hay hệ quy chiếu Galilê) Các định luật học niutơn nghiệm hệ quy chiếu qn tính Hệ quy chiếu khơng thỏa mãn điều kiện vừa nêu hệ quy chiếu không quán tính

Hệ quy chiếu quán tính thường dùng học niutơn

A

B

B

F

A

F

- Hệ quy chiếu Cơpecnic (hình 1-3) Hệ quy chiếu Côpecnic xác định nhờ sử dụng hệ tọa độ Cxcyczc, C khối tâm hệ mặt trời trục Cxc, Cyc, Czc hướng ba ngơi đủ xa để coi cố định Đối với chất điểm

chuyển động hệ mặt trời, với độ xác cao, hệ quy chiếu hệ quy chiếu quán tính

- Hệ quy chiếu Kêple (hình 1-4) Hệ quy chiếu Kêple suy từ hệ quy chiếu Côpernic nhờ phép tịnh tiến Gốc khối tâm S mặt trời, trục Sx, Sy, Sz chọn song song với trục Cxc, Cyc, Czc Thực tế C S gần Sai số tính tốn hai hệ quy chiếu không đáng kể

Một hệ quy chiếu gắn với mặt đất, tính đến chuyển động quay quanh trục chuyển động tịnh tiến quỹ đạo trái đất, khơng phải hệ quy chiếu qn tính Tuy nhiên với tính tốn thực tế với sai số cho phép, hệ quy chiếu gắn với mặt đất coi hệ quy chiếu quán tính

1.2.2 Hệ thống đơn vị cơ học

Trong tính toán kỹ thuật, ta thường dùng hệ đơn vị quốc tế SI Ở nước ta ban hành hệđơn vịđo lường hợp pháp dựa vào hệđơn vị quốc tế SI

Các đại lượng cơ bản Cơ học độ dài, khối lượng thời gian

Các đơn vị tương ứng: Độ dài mét, ký hiệu m; khối lượng kilôgam, ký hiệu kg; thời gian giây, ký hiệu s

Các đại lượng lại đại lượng dẫn xuất Chẳng hạn, lực tính từ cơng thức: F = mW đơn vị dẫn xuất

Nếu lấy m = kg; W = m/s2 F = mW = 1kg.1m/s2 = kgms−2 gọi niutơn, ký hiệu N; N = kgm/s2

x

S y

xC

zC

C

yC

z

Hình 1-4 yC

C

xC

zC

Thứ nguyên đại lượng là: [độ dài] = L; [khối lượng] = M; [thời gian] = T thứ nguyên lực là:

[lực] = [khối lượng][gia tốc] = MLT−2

1.3 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm hệ quy chiếu

quán tính

1.3.1 Dạng véctơ

Gọi rr véctơ xác định vị trí chất điểm hệ quy chiếu qn tính, ta có:

W d r22 r

dt

= =

r

uur r

&& (1-6) Từ (1-3):

1

n k k

mW F

= =∑ uur uur

, suy ra: 22

1

n k k

d r

mr m F

dt =

= =∑

r ur

r

&& (1-7) (1-7) phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng véctơ

1.3.2 Dạng toạđộ a. ToạđộĐề

Trong toạđộđề vuông góc Oxyz, phương trình (1-7) tương đương với hệ:

22 22 22

1 ; ;

n n n

k k k

k k k

d x d y d z

m X m Y m Z

dt = dt = dt =

=∑ =∑ =∑

hay

1 1

; ;

n n n

k k k

k k k

mx X my Y mz Z

= = =

=∑ =∑ =∑

&& && && (1-8) Ở đây: x, y, z tọa độ chất điểm hệ Oxyz; Xk, Yk, Zk thành phần chiếu lực Fk

uur

lên trục toạđộ Ox, Oy, Oz

(1-8) phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng toạđộđề b. Toạđộ tự nhiên

Nếu biết trước quỹ đạo chất điểm, chiếu (1-3) lên hệ trục tọa độ tự nhiên Mτnb, ta có:

1

n k k

mWτ Fτ =

=∑ ;

1

n

n kn

k

mW F

=

=∑ ;

1

n

b kb

k

mW F

=

=∑ Theo kết phần động học:

2 d s

W s

dt

τ = =&&;

2

n

V s

W

ρ ρ

1

n k k

ms Fτ = =∑

&& ;

1

n kn k

s

m F

ρ =

=∑ &

;

0 n kb

k

F =

=∑ (1-9) c. Toạđộ cực

Chất điểm chuyển động mặt phẳng, dùng toạ độ cực Chiếu (1-3) lên trục hướng theo bán kính véctơ rr trục vng góc với phía tằng góc ϕ, ta được:

2

1

( ) n kr ; ( ) n k

k k

m d

m r r F r F

r dt ϕ

ϕ ϕ

= =

− & =∑ & =∑

&& & (1-10)

(1-10) phương trình vi phân chuyển động chất điểm toạđộ cực

Áp dụng phương trình vi phân chuyển động chất điểm ta giải hai tốn động lực học chất điểm

1.4 Hai toán cơ bản của động lực học chất điểm

1.4.1 Bài toán (Bài toán thuận)

Cho biết quy luật chuyển động của chất điểm khối lượng của Xác định lực tác dụng lên chất điểm đó

Trên sở phương trình vi phân biết thiết lập trên, đạo hàm theo thời gian phương trình chuyển động chất điểm với số lần cần thiết, sau dó nhân với khối lượng chất điểm, ta tìm lực tác dụng lên chất điẻm

1.4.2 Bài toán 2(Bài toán ngược)

Cho biết lực tác dụng lên chất điểm, khối lượng của điều kiện ban đầu của chuyển động Xác định quy luật chuyển động của chất điểm ấy

Như nêu phần mở đầu, để tìm quy luật chuyển động chất điểm (nghiệm toán học) phải giải hệ phương trình vi phân cấp II: (1-7) đến (1-10) thoả mãn điều kiện ban đầu (vị trí vận tốc ban đầu chất điểm ) cho trước

Trong trường hợp tổng quát, việc tìm tích phân đại số hệ phương trình vi phân nói chung khơng thể thực Chỉ tìm nghiệm hệ phương trình trường hợp riêng

Ta minh hoạ trường hợp có tính định hướng bước tìm nghiệm toán học:

Giả sử chất điểm chuyển động biểu diễn phương trình (1-7):

22 ( )

1 , ,

n k k

d r

m F t r v

dt = =∑

r uur

r r

Giả thiết rằng: Tìm tích phân tổng qt nó: r =r t C C( , ,1 2) ur ur

r r

(2) Ởđây: C1

ur

C2 ur

là tích phân tùy ý, số quy luật chuyển động chất điểm xác định vơ số Điều khơng ý nghĩa vật lý, chuyển động chất điểm phụ thuộc khơng lực tác dụng lên mà cịn phụ thuộc vào điều kiện đầu chuyển động, vận tốc ban đầu, vị trí ban đầu

Chẳng hạn, thời điểm ban đầu cho biết vị trí vận tốc chất điểm là:

0

t t

r r

= =

r r

0

t t

v v

= =

r r

(3) Đạo hàm (2) theo thời gian ta có:

1 ( , , ) v =r =r t C C

ur ur r r& r&

(4)

Thay (3) vào (2) (4), ta có:

0

1

0

r = r(t ,C ,C ) v = v(t ,C ,C ) 

 

ur ur

r r

ur ur

r r (5)

Hệ (5) cho phép giải tích phân C1 ur

, C2 ur

phụ thuộc vào thông số ban đầu cho trước, nghĩa là:

1 1 0 0 2 0 0 0 C = C (t , r ,v ) C = C (t , r ,v ) 

 

ur ur r r

ur ur r r (6)

Thay (6) trở lại (2), ta nhận phương trình chuyển động chất điểm dạng véctơ:

0 0 * r = r(t,t , r ,v ) = r (t)

r r r r r

(7) Ví dụ Chất điểm có khối lượng m

chuyển động mặt phẳng Oxy có phương trình chuyển động dạng:

x=acos ;kt y=bsinkt

Trong a, b, k số Xác định lực tác dụng lên chất điểm

Bài giải:

Phương trình quỹ đạo chất điểm có dạng:

2 2

x + y = 1

a b

Đó ellíp có bán trục tương ứng a, b (hình 1-5) Áp dụng phương trình vi phân chuyển động dạng toạđộđề (1-8), ta có:

y z

M y

x O

F

r r

2

2

cos sin

k k

X mx mk a kt mk x Y my mk a kt mk y

= = − = −

= = − = −

∑ ∑

&& &&

Độ lớn lực tác dụng lên chất điểm bằng:

2 2 2

k k

F = (ΣY ) + (ΣY ) = mk x + y = mk r

trong r = OM Hướng lực F

ur

được xác định bởi:

( )

cos , Xk

F Ox

F = −∑ ur

; cos ,( ) Yk

F Oy

F = −∑ ur

Suy lực F ur

hướng ngược chiều với rr luôn qua O cốđịnh, ta có:

F= −mk r

r r

Ví dụ (chuyển động thẳng, lực phụ thuộc vào thời gian)

Một vật trọng lượng P bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên mặt ngang nhẵn tác dụng lực F

ur

nằm ngang có giá trị tỷ lệ vói thời gian t với hệ số tỷ lệ k tìm quy luật chuyển động vật

Bài giải:

Xét vật chất điểm vị trí Lực tác dụng lên bao gồm: Trọng lực P

ur

; lực tác dụng F

ur

, có giá trị F =kt phản lực pháp tuyến mặt ngang N

uur

(hình 1-6) Theo (1-3), ta có:

mW =P+N+F uur ur uur ur

Chọn trục Ox theo hướng chuyển động chất điểm, có gốc O trùng với vị trí ban đầu Chiếu hệ thức lên trục Ox, ta có:

dV mx F hay m kt

dt

= =

&&

Từđó ta có: mdV = kt.dt

Tích phân hai vế hệ thức ta nhận được:

2 kt

mV = +C (1)

Ta có: V dx dt

= , nên

2 kt

mdx= +C dt

 

x M

N

F

P O

x

Tiếp tục tích phân, ta có:

3

1

kt

mx= +C t+C (2)

Các số tích phân C1, C2được xác định từ điều kiện ban đầu:

0

t t

x

= = x&t t=0 =0 (3)

Thay (3) vào (1) (2), ta được: C1 = 0, C2 = Vậy quy luật chuyển động chất điểm là:

3

6

kt kgt x

m P

= =

Ví dụ 3.(chất điểm chuyển động thẳng, lực tác dụng phụ thuộc vào vị trí) Một vật khối lượng m bắn thẳng đứng lên từ

mặt đất với vận tốc ban đầu V0 ur

Vật chuyển động tác dụng lực hút trái đất theo định luật hấp dẫn niutơn Xác định phụ thuộc giá trị vận tốc V vào khoảng cách từ vật tới tâm trái đất

Bài giải:

Hai chất điểm A, B có khối lượng m1, m2 cách khoảng r, tác dụng lên lực hút, gọi lực hấp dẫn cho (hình 1-7):

0

B

m m

F G e

r = −

uur r

(1-11)

Trong G = 6,672.10−11 Nm2kg−2 số vũ trụ, er0 véctơ đơn vị trục AB (định hướng từ A đến B)

Bây ta xét vật chất điểm vị trí bất kỳ, tác dụng lực hấp dẫn F

ur

(hình 1-8) Chọn trục Ox theo hướng chuyển động vật, gốc tọa độ trùng với tâm trái đất Từ hệ thức động lực học, chiếu trục Ox, ta có;

mx&&= −F

Trong đó, theo (1-11) F viết bằng: F k2 x =

Khi chất điểm mặt đất ( M0 , x = R) F = P, k = mgR2 Từđó nhận phương trình:

2 gR x

x = − &&

Để tìm vận tốc V hàm x chất điểm, ta giải phương trình vi phân thoả mãn điều kiện ban đầu:

A FB

B .

m1

m2

.

0

e r

Hình 1-7

x

M0

O

R x M

F

0

V V

0

t t

x R

= = x&t t=0 =V0

Phương trình vi phân nhận có biến phân ly Thật vậy:

2

dV dV dx dV gR

x V

dt dx dt dx x

= = = = −

&&

Hay:

2 dx VdV gR

x = −

Tích phân đẳng thức trên, ý đến điều kiện ban đầu:

0

2

V x

V R

dx VdV gR

x = −

∫ ∫

Suy ra:

0 1

V V gR

x R

 

= +  − 

 

Khi V = 0, vật ởđộ cao Ta có:

2

0 2

max V

gR

x x

gR V

= = =

−

Kết rằng: xmax tăng V0 tăng Nếu V0 đạt tới giá trị *

0 gh

V =V = gR x→ ∞ nghĩa vật thoát khỏi lực hút trái đất Lấy g = 9,81 m/s2, bán kính trái đất R ≈ 6,4.106m, ta có:

2.9,81.6,4.106 11,2

gh

V = = Km/s

Giá trị vận tốc Vgh gọi vận tốc vũ trụ cấp II

Ví dụ 4(chất điểm chuyển động thẳng, lực phụ thuộc vào vận tốc)

Một cầu trọng lượng P rơi xuống theo phương thẳng đứng khơng có vận tốc ban đầu Lực cản khơng khí tỷ lệ với khối lượng vận tốc cầu theo quy luật R = k.m.V; k số Tìm vận tốc giới hạn phương trình chuyển động cầu

Bài giải:

Trước giải toán, ta lưu ý vài vấn đề sau:

Cho đến khơng có định luật tổng quát biểu thị lực ma sát, có định luật gần áp dụng cho trường hợp Thực tế thường sử dụng hai định luật tương ứng với hai trường hợp giới hạn:

a. Lực ma sát tỷ lệ với V đối với vận tốc nhỏ b. Lực ma sás tỷ lệ với V2đối với vận tốc lớn

Khi giải phương trình vi phân biểu diễn chuyển động chất điểm, tồn nghiệm (vận tốc) không đổi điều kiện ban đầu tất nghiệm (vận tốc) hội tụ vận tốc này, gọi vận tốc giới hạn

M R O

P

x

x

Bây ta xét cầu chất điểm vị trí bát kỳ, chịu tác dụng trọng lực P

ur

lực cản R ur

, R = k.m.V (hình 1-9)

Ta có: mW =P+R

uur ur ur

Chọn trục Ox thẳng đứng hướng xuống dưới, gốc O trùng với vị trí ban đầu cầu Chiếu hệ thức lên trục Ox, ta được:

mx&&=P−R=P−kmx&=m g( −k&)

Hay: x dx g kx

dt = & = −

&& & suy ra: dx dt g−kx =

& &

Tích phân đẳng thức trên, ta có: d g( kx) k dt g kx C e1 kt

g kx

− −

= − ⇒ − =

−

∫ & ∫ &

& Từ điều kiện ban đầu

0 0

t t

x V

= = =

& , ta nhận được C1 = g Do đó: 2(1 )

kt

g

V x e

k

− = &= −

Rõ ràng t→ ∞ V g

k

→ Ta gọi gh

g V

k =

Để tìm quy luật chuyển động cầu Từ (*), ta có: dx g(1 e kt)dt k

−

= −

Tích phân hai vế hệ thức ta có: x gt g2e kt C2 k k

−

= + +

Theo điều kiện ban đầu:

0

t t

x = = , ta được: C2 g2 k = −

Vậy: 2 2

kt kt

g g g g e

x t e t

k k k k k k

−

−  

= + − =  + − 

 

Ví dụ 5(chuyển động của một viên đạn gần mặt đất) Một viên đạn khối lượng m bắn lên từ mặt đất với vận tốcban đầu V0

ur

lập với phương ngang góc α Bỏ qua sức cản khơng khí

a. Xác định quỹđạo viên đạn b. Giả sử cho trước vận tốc V0

ur

song song với mặt phẳng Oxz Tính giá trị góc α để viên đạn tới bia nằm C (có tọa độ xC, 0, zC) từ suy tập hợp điểm mà viên đạn

với V0 ur

cho trước tới Bài giải:

x M

P

xP/2 xP

g r z

zQ

0

V

α O

a Giả thiết trường trọng lực gr= −gkr đều Chọn gốc tọa độ O trùng với vị trí ban đầu viên đạn, mặt phẳng xOz chứa véctơ V0

ur

(hình 1-10) Từ (1-3) ta có: &&x=0; &&y=0; &&z= −g

Khi kểđến điều kiện ban đầu:

0

t=0 t=0 t=0 t=0 t=0 t=0

x = 0; y = 0; z = 0; x& = V cosα; y& = 0; z& = V sinα ta nhận được: &&x = 0; x = V cos& 0 α; x = V cos0 α.t

y = 0; y = 0; y = 0&& &

&&z = g; z = V sin− & α−gt; z =−gt22 + V sin0 α.t

Quỹ đạo viên đạn mặt phẳng thẳng đứng xOz chứa vận tốc ban đầu

V ur

Đó parabol, phương trình có dạng: 2

g

z = x + x.tgα

2V cos α

− Một số giá trị khác:

- Tầm bắn xP giá trị x viên đạn rơi z = 0:

2 sin 2

P

V x

g α

=

- Độ cao viên đạn có

P

x

bằng:

2 sin

Q

V z

g α

= Độ cao cực đại α = 900

b Để tới một bia C xC, zC phải nghiệm đúng phương trình quỹ đạo của viên đạn:

2C

C 2 C

0 gx

z = + tgα.x

2V cos α

−

Vậy α nghiệm phương trình:

2C C2

C C

2

0

gx tg α+ x tgα gx z = 0

2V 2V

− − −

Biệt số:

2

2 c C

C 2 C

0

4gx gx

∆= x + z

2V 2V

 

−  

 

Từđó: – ∆ < 0: Bài tốn khơng có nghiệm, khơng thể tới bia C – ∆ = 0: Bài tốn có nghiệm

x O

C z

– ∆ > 0: Bài tốn có hai nghiệm

Vậy, tới C ∆≥ 0, nghĩa (hình 1-11):

2

C C

0

V g

z x +

2V 2g

= −

Suy ra: Các điểm tới viên đạn mặt phẳng Oxz nằm đường parabol an tồn có phương trình:

02

2

V g

z = x +

2V 2g

−

Có thể giải tốn trường hợp có kể đến lực cản khơng khí, giả thiết lực cản tỷ lệ với vận tốc R = kmV−

ur ur

, k số

1.5 Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ

Phương trình vi phân chuyển động hệ hệ quy chiếu quán tính dạng véctơ Để thiết lập hệ phương trinh ta dựa vào phương trình động lực học (1-3) viết cho chất điểm hệ

Dạng phương trình vi phân chuyển động hệ tuỳ thuộc vào cách phân loại lực tác dụng lên hệ

Cho hệ n chất điểm Xét chất điểm thứ k thuộc hệ Mk, có khối lượng mk - Nếu phân loại lực tác dụng lên hệ thành nội lực ngoại lực, gọi i

k

F uuur

e

k

F uuur tương ứng hợp nội lực hợp ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ k, theo (1-3) ta có:

i e

k k k k

m W = F + F uuur uuur uur

Trong đó:

2 2k

k

d r W

dt =

r uuur

, rk

r

véctơ xác định vị trí chất điểm Mk hệ quy chiếu quán tính

Tương tựđối với chất điểm khác thuộc hệ ta thu hệ phương trình sau:

1 1

2 2

i e

i e

i e

n n n n

m W F F

m W F F

m W F F

 = +



 = +

   

= +



uuur uuur uur

uuur uuur uur

uuur uuur uur

Hay: i e ( 1, )

k k k k

m W = F + F k = n uuur uuur

uuur

- Nếu phân loại lực tác dụng lên hệ thành lực hoạt động phản lực liên kết, gọi a

k

F uuur

Nk

uuur

tương ứng hợp lực hoạt động hợp phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm thứ k Tương tự trên, ta nhận được:

1 1

2 2

a

a

a

n n n n

m W F N

m W F N

m W F N

 = +



 = +

   

= +



uuur

uur uuur

uuur

uur uuur

uuur

uur uuur

Hay: a ( 1, )

k k k k

m W = F + N k = n uuur

uur uuur

(1-13)

CHƯƠNG II: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC

A Hình học khối lượng

Khảo sát chuyển động chất điểm, khối lượng độ đo qn tính Khảo sát chuyển động hệ, khối lượng, cịn phải tính đến phân bố khối lượng hệ khơng gian, có ảnh hưởng trực tiếp đến chuyển động học hệ

2.1 Khối tâm của cơ hệ

Khối tâm C hệ điểm hình học xác định hệ thức:

n k k k C

m r OC r

M = = =

∑ r

uuur r

(2-1) Trong đó: O điểm bất kỳ; mk, rk

r

khối lượng véctơ định vị chất điểm thứ k thuộc hệ, còn:

1

n k k

M m

=

=∑ khối lượng tồn hệ (hình 2-1)

Hệ thức (2-1) tương ứng với hệ thức hệ tọa độđề Oxyz:

; ;

n n n

k k k k k k

k k k

C C C

m x m y m z

x y z

M M M

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

(2-2) Trong đó: xk, yk, zk tọa độ chất điểm thứ k thuộc hệ

Bây ta xét tổng hợp khối tâm: Giả sử có nhiều hệ (chẳng hạn hai hệ) với khối tâm tương ứng C1, C2 khối lượng tương ứng M1, M2 Khối tâm C hệ xác định bằng:

1 2 1C1 C2

C

M r M r M OC M OC

OC r

M M

+ +

= = =

uuuur uuuur r r uuur r

(2-3)

Ởđây: M = M1 + M2 khối lượng tổng cộng hệ

Cần lưu ý rằng: Nếu hệ vật rắn nằm trường trọng lực, khối tâm vật rắn trùng với trọng tâm vật trùng với trọng tâm Tuy nhiên khái niệm khối tâm rộng khái niệm trọng tâm Khối tâm vật ln tồn tại, cịn trọng tâm tồn trường trọng lực

O x

z

C Mk

k

r r

C

r r

y

Ví dụ 1. Cho cơ cấu thước vẽ ellíp gồm hai chạy A, B có trọng lượng Q, tay quay OC1 có trọng lượng P thước AB có trọng lượng 2P Biết

1 1

OC = AC = BC =l Coi tay quay thước đồng chất Xác định tọa độ khối tâm cấu theo góc ϕ (hình 2-2)

Bài giải:

Có cấu thước vẽ ellíp gồm vật rắn: Thanh AB, OC1 chạy A, B Khối lượng khối tâm chúng xác định hệ Oxy xác định sau:

1 1 ; sin x cos P m C y g ϕ ϕ =  =  =  l l 2 2 ; sin x cos P m C g y ϕ ϕ  =  =   =  l l 3 3 ; sin A x Q Q m C y

g g ϕ

=  = =  =  l 4 4 ;

B x cos

Q Q m C y g g ϕ =  = =  =  l

Gọi khối tâm cấu C Khi theo cơng thức (2-2) ta có: 1 2 3 4

1

1 2 3 4

1

5

3 2

5 sin

3 2

C

C

m x m x m x m x P Q

x cos

m m m m P Q

m y m y m y m y P Q y

m m m m P Q

ϕ ϕ + + + + = = + + + + + + + + = = + + + + l l

2.2 Mơmen qn tính

2.2.1 Định nghĩa

− Mơmen qn tính của cơ hệđối với trục z ký hiệu Jz đại lượng vô hướng bằng

tổng tích khối lượng mk của mỗi chất điểm thuộc hệ với bình phương khoảng

cách dk từ chất điểm đến trục:

2

n

z k k

k

J m d

=

=∑ (2-4)

Đối với chất điểm cách khoảng d đến trục z thì: Jz =md2

− Trong tính tốn kỹ thuật thường sử dụng khái niệm bán kính quán tính, ký hiệu ρz, đo độ dài để tính mơmen qn tính hệđối với trục z:

z z

J =Mρ (2-5)

Trong đó: M khối lượng tồn hệ

Đơn vị mơmen qn tính kgm2, thứ nguyên [J] = ML2 2.2.2 Mơmen qn tính của một số vật đồng chất

Thanh mỏng đồng chất dài l, khối lượng M Ta tìm mơmen qn tính trục Az thẳng góc với (hình 2-3) Hướng trục Ax hình vẽ, phân tố dx cách A khoảng x, có khối lượng dm=ρdx,

M

ρ =

l khối lượng đơn vị chiều dài Ta có:

3

2

0

Az

J =∫x dm=ρ∫x dx=ρ

l l

l

, M =ρl

Từđó:

3

Az

J = Ml (2-6)

− Vành trịn mảnh đồng chất bán kính R, khối lượng M Ta tìm mơmen qn tính trục Cz thẳng góc với mặt phẳng vành trịn qua tâm (hình 2-4) Tất điểm vành tròn cách Cz khoảng R, nên:

2 2

1

n n

Cz k k

k k

J m R m R MR

= =

 

= =  =

 

∑ ∑

Vậy: JCz =MR2 (2-7)

Công thức (2-7) dùng để tính mơmen qn tính vỏ trụ đồng chất bán kính R, khối lượng M trục

− Tấm trịn đồng chất khối trụ đồng chất bán kính R, khối lượng M Ta tính mơmen qn tính trịn trục Cz thẳng góc với mặt qua tâm x y

A B

x dx Hình 2-3

y

C R

Hình 2-4

C

r dr R

nó (hình 2-5) Tách vành trịn yếu tố bán kính r, rộng dr Diện tích vành trịn: 2πrdr, khối lượng dm=ρ2πrdr đó: M2

R

ρ π

= khối lượng đơn vị diện tích Đối với vành trịn trên:

2 2

Cz

dJ =r dm= πρr dr

Khi đó:

0

1

2

R Cz

J = πρ∫r dr= πρR , M =ρ π R2

Do đó:

2

Cz

J = MR (2-8)

Công thức (2-8) dùng để tính mơmen qn tính khối trụ đồng chất nói trục

− Hình chữ nhật đồng chất, hình nón, hình cầu:

a Tấm chữ nhật đồng chất, khối lượng M, cạnh a b Trục x hướng dọc cạnh a, trục y hướng dọc cạnh b:

2;

3

x y

J = Mb J = Ma (2-9)

b Nón trịn xoay đồng chất khối lượng M, bán kính đáy R. Trục z hướng dọc trục nón

2 0,3

z

J = MR (2-10)

c Hình cầu đồng chất, khối lượng M, bán kính R. Trục z hướng dọc đường kính:

0,4

z

J = MR (2-11)

2.2.3 Mơmen qn tính đối với trục song song

Định lý Huyghen

Mômen quán tính vật trục khác khác Ta hệ thức: Khi biết mômen quán tính vật trục dẫn qua vật, tìm mơmen qn tính trục song song với

Giả thiết trục Cz qua khối tâm C vật song song với trục Oz1 Khoảng cách hai trục d (hình 2-6) Theo định nghĩa:

1 2

1

;

n n

Oz k k Cz k k

k k

J m h J m h

= =

′

=∑ =∑ Hình 2-6

C

y z

x z1

B

k

h′ a αk hk

d e

xk

Trong đó: hk, h′k tương ứng khoảng cách từ chất điểm B đến trục Oz1, Cz

Từ∆Bae, ta có: hk2 =hk′2+d2 −2dh cosk′ αk

Dẫn từ C hệ tọa độ có trục Cx, Cy thẳng góc trục Cz trục Cx cắt trục Oz1, Cx // ae Ta gọi tọa độ B xk, yk, zk, nhận được:

h cosk′ αk =xk

2 2 2

k k k

h =h′ +d − d x

Thay

k

h vào biều thức tính

1

Oz

J , ta có:

1

2

1 1

2

n n n

Oz k k k k k

k k k

J m h d m d m x

= = =

   

′

= +  −  

   

∑ ∑ ∑

Từ hệ thức (2-2):

n

k k C

k

m x Mx =

=

∑ Do C gốc tọa độ, nên xC =

1

0

n k k k

m x =

=

∑ ; cuối ta có hệ thức:

1

Oz Cz

J = J +Md (2-12)

Hệ thức (2-12) biểu thịđịnh lý Huyghen:

Mơmen qn tính của vật đối với trục đã cho bằng mơmen qn tính của vật đối với trục song song với đi qua khối tâm C của vật, cộng với tích khối lượng của tồn vật với bình phương khoảng cách giữa hai trục

B Các định lý tổng quát của động lực học hệ quy chiếu quán tính Việc giải nhiều toán động lực học thuận tiện thay phương pháp tích phân trực tiếp phương trình vi phân chuyển động, định lý - gọi các định lý tổng quát của động lực học Các định lý tổng quát Động lực học hệ phương trình động lực học, cho mối quan hệ đặc trưng động lực (động lượng, mômen động lượng, động năng) với đại lượng tác dụng lực (xung lượng lực, mômen lực công lực)

2.3 Định lý động lượng định lý chuyển dời khối tâm 2.3.1 Định lý động lượng

a Định nghĩa động lượng cơng thức tính động lượng

Động lượng của chất điểm đại lượng véctơ, ký hiệu qr, bằng tích khối lượng m của chất điểm với véctơ vận tốc vr của

qr =mvr (2-13)

Động lượng của cơ hệ, ký hiệu Q ur

, tổng hình học động lượng chất điểm thuộc cơ hệ:

1

n k k k

Q m v

= =∑

ur r

(2-14)

Nếu cơ hệ gồm nhiều vật rắn chuyển động, động lượng của cơ hệ bằng tổng hình học động lượng của vật rắn chuyển động thuộc cơ hệ

Đơn vịđo động lượng kg.m/s, thứ nguyên [Động lượng] = ML T

Động lượng hệ cịn tính qua khối lượng tồn hệ vận tốc tâm khối lượng

Định lý

Động lượng của cơ hệ bằng động lượng của khối tâm của hệ, tại đó tập trung tồn bộ khối lượng của cơ hệ:

C

Q=M V ur uur

(2-15)

Chứng minh:

Thật vậy, từ định nghĩa khối tâm hệ ta có:

n

k k C

k

m r Mr =

=

∑ r r

Đạo hàm theo thời gian hệ thức trên, thu được:

1

n n

C

k k C k k

k k

m r Mr hay m V M V

= =

= =

∑ r& r& ∑ uur uur

Nghĩa là: Q=M VC

ur uur

b Định nghĩa xung lượng của lực

− Xung lượng yếu tố của lực đại lượng véctơ, ký hiệu d S ur

, bằng tích véctơ lực F

ur

với khoảng thời gian yếu tố dt: d S =Fdt

ur ur

(2-16)

Hướng d S ur

theo hướng tác dụng lực

− Xung lượng của lực F ur

khoảng thời gian hữu hạn từ t0đến t1 là:

1

0

t t

t t

S =∫dS =∫Fdt ur r ur

(2-17) Nếu lực F

ur

không đổi mơđun hướng thì: S = F t(1−t0) ur ur

(2-18)

c Các định lý động lượng đối với chất điểm Định lý

Đạo hàm theo thời gian động lượng của chất điểm bằng tổng hình học lực tác dụng lên chất điểm ấy:

( ) k

d

mV F

dt =∑

ur ur

(2-19) Chứng minh:

Xét chất điểm khối lượng m, chịu tác dụng lực (F F1, , ,2 Fn

uur uur uur ),

1

n k k

F R =

=

∑uur ur

và chuyển động với gia tốc W uur

Theo (1-3), ta có:

1

n k k

mW F R

= =∑ = uur ur ur

Do khối lượng m chất điểm khơng đổi theo thời gian t, ta có: ( )

d

mW mV R

dt

= =

uur ur ur

Định lý

Biến thiên động lượng của chất điểm một khoảng thời gian đó bằng tổng hình học xung lượng của lực tác dụng lên chất điểm khoảng thời gian ấy

1

1

n k k

mV mV S

=

− =∑

ur uur uur

(2-20)

Chứng minh: Từ (2-19), ta có: ( )

1

n k k

d mV Rdt F dt =

 

= = 

∑  ur ur uur

Tích phân hai vế hệ thức với cá cận tương ứng: ( )

1 1

0

0 1

mV t n n t

k k

k k

t t

mV

d mV F dt F dt

= =

 

=   =

∑  ∑

∫ ∫ ∫

uur

uur

ur uur uur

Hay:

1

n k k

mV mV S

=

− =∑

ur uur uur

d Các định lý động lượng đối với cơ hệ Định lý

Đạo hàm theo thời gian động lượng của cơ hệ bằng véctơ của hệ ngoại lực tác dụng lên cơ hệ

1

n e k k

d Q

Q F

dt

•

= = =∑ ur

uur ur

(2-21)

Xét hệ n chất điểm Gọi hợp ngoại lực hợp nội lực tác dụng lên chất điểm thứ k thuộc hệ tương ứng e

k

F uur

i k

F uur

Áp dụng (2-19) cho chất điểm thứ k, ta có:

( ) e i

k k k k

d

m V F F

dt = +

uur uur uur

Viết hệ thức tương tự cho chất điểm hệ cộng vế lại, ta được:

( )

1 1

n n n

e i

k k k k

k k k

d

m V F F

dt

= = =

= +

∑ uur ∑uur ∑uur

Vế trái hệ thức bằng: ( ) ( )

1

n n

k k k k

k k

d d d

m V m V Q Q

dt dt dt

•

= =

 

=  = =

 

∑ uur ∑ uur ur ur

Do cần chứng minh:

1 n i k k F = =

∑uur , nghĩa véctơ hệ nội lực tác dụng lên hệ triệt tiêu Thậy vậy, xét hai chất điểm A, B thuộc hệ Các lực tác dụng tương hỗ hai chất điểm theo định luật niutơn:

A B

F = −F uur uur

nên FA+FB =0 uur uur

(hình 2-7) Vì A, B bất kỳ, ta suy

1 n i k k F = =

∑uur Định lý

Biến thiên động lượng của cơ hệ một khoảng thời gian đó bằng tổng hình học xung lượng của ngoại lực tác dụng lên cơ hệ khoảng thời gian ấy

1 n e k k

Q Q S

= − =∑

uur uur uur

(2-22) Chứng minh: Từ (2-21), ta có:

1

n e k k

d Q F dt =   =  ∑  uur ur

Tích phân hai vế hệ thức với cận tương ứng:

1 1

0

0 1

Q t n n t

e e

k k

k k

t t

Q

d Q F dt F dt

= =   =   = ∑  ∑ ∫ ∫ ∫ uur uur uur uur ur

hay:

1

n e k k

Q Q S

= − =∑

uur uur uur

Nhận xét:

Các công thức (2-19), (2-20), (2-21), (2-22) viết dạng tọa độ Đềcác, tương ứng có dạng:

( ) k; ( ) k; ( ) k

d d d

mx X my Y mz Z

dt =∑ dt =∑ dt =∑

mx&1−mx&0 =∑Skx; my&1−my&0 =∑Sky; mz&1−mz&0 =∑Skz; (2-20a)

x e; y e; z e;

k k k

dQ

dQ dQ

X Y Z

dt =∑ dt =∑ dt =∑ (2-21a)

; ; ;

e e e

x x kx y y ky z z kz

Q −Q =∑S Q −Q =∑S Q −Q =∑S (2-22a)

e Định luật bảo tồn động lượng

Ta trình bày trường hợp hệ, chất điểm hệ đặc biệt gồm có chất điểm

Từ (2-21) suy ra: Nếu

1

n e k k

F =

=

∑uur thì: Q=const

ur uuuuur

, nghĩa véctơ ngoại lực tác dụng lên hệ ln ln khơng véctơđộng lượng hệ không đổi

Từ (2-21a) suy ra: e

k

X =

∑ Qx = const, nghĩa tổng chiếu ngoại

lực tác dụng lên hệ trục (trục Ox) ln ln triệt tiêu chiếu động lượng hệ lên trục khơng đổi

Định luật bảo toàn động lượng giúp ta giải thích số tượng học thực tế, chẳng hạn:

• ••

• Chuyển động nhờ chân vịt của tàu thuỷ hay nhờ cánh quạt của máy bay

Xét tàu thuỷ chuyển động từ trạng thái nghỉ Khi chân vịt quay, đẩy khối nước chuyển động dọc trục phía sau Quan sát chuyển động hệ gồm khối nước tàu thuỷ Nếu bỏ qua tác dụng lực cản tổng chiếu ngoại lực lên phương ngang không Lực tác dụng tương hỗ chân vịt khối nước nội lực, chúng không làm biến đổi động lượng hệ Do động lượng hệ bảo tồn, nên khối nước bị đẩy phía sau, tàu thuỷ phải chuyển động phía trước

Chuyển động máy bay cánh quạt từ trạng thái tĩnh giải thích tương tự

• ••

• Chuyển động bằng phản lực của máy bay hay tên lửa chân không theo phương nằm ngang

Nhiên liệu máy bay phản lực hay tên lửa bịđốt cháy thành phía sau với vận tốc lớn Xét máy bay hay tên lửa khối nhiên liệu hệ Động lượng hệ luôn không đổi không Khi buồng nhiên liệu cháy có động lượng hướng phía sau, nên máy bay hay tên lửa phải chuyển động phía trước

theo thời gian hàm biểu diễn lực tác dụng lên chất điểm hay hệ Do định lý động lượng dùng giải thuận lợi toán mà lực tác dụng không đổi phụ thuộc vào thời gian

Đối với hệ, định lý động lượng khơng có mặt nội lực Nên cần chọn hệ cho tất số lực chưa biết trở thành nội lực việc giải toán trở nên dễ dàng

Đối với tốn mà hệ mơi trường chất lỏng hay chất khí, đặc biệt tốn va chạm, việc áp dụng định lý động lượng hiệu

Ví dụ 2. Một tải trọng khối lượng m nằm mặt phẳng ngang nhận vận tốc ban đầu V0

uur

Sau tải trọng chuyển động theo quán tính chịu lực cản F ur

không đổi Xác định thời gian vật dừng lại quãng đường

Bài giải:

Coi tải trọng chất điểm M Lực tác dụng lên nó: Trọng lực P

ur

, lực cản F ur

phản lực pháp tuyến N

uur

(hình 2-8) Chọn trục toạ độ Ox hướng theo chiều chuyển động tải trọng, gốc O trùng với vị trí ban đầu

Áp dụng định lý biến thiên động lượng chất điểm trục Ox, ta có:

0

( )

t

mx&−mx& =∫ −F dt

Trong x&0 =V0, tải trọng dừng lại x&=0 Do F ur

khơng đổi, ta thu được:

0

mV

mV Ft t

F

− = − ⇒ =

Mặt khác, từ hệ thức trên, ta được: x dx V0 Ft dx V dt0 Ftdt

dt m m

= = − ⇒ = −

&

Tích phân hệ thức vừa nhận với cận tương ứng: 0

0

( )

x t

F dx V tdt

m

= −

∫ ∫

Suy ra:

2 F t x V t

m

= −

Thay giá trị t tìm vào, ta nhận quãng đường vật được:

2 2

0 0

0 2 2

mV F mV mV

S V

F m F F

 

= −   =

 

V

x P

O

M x

N F

Ví dụ 3. Một viên đạn khối lượng m được bắn khỏi nòng súng theo phương nằm ngang với vận tốc V

ur

, khối lượng súng M Hãy tìm vận tốc giật lùi súng Bỏ qua ma sát (hình 2-9)

Bài giải:

Để loại trừ áp lực chưa biết khí ta khảo sát hệ gồm đạn súng Bỏ qua ma sát, nên ngoại lực tác dụng lên hệ: Trọng lực đạn P=mg

ur ur

, trọng lực súng Q=M g

ur ur

phản lực pháp tuyến N uur

mặt đất lên đế súng Khi tổng chiếu lực lên

phương ngang (chọn Ox) khơng Ta có bảo tồn động lượng hệ theo trục Ox: Qx = const Trước đạn bay khỏi nòng súng hệ cốđịnh Q0x = 0, nên bất

kỳ thời điểm Qx = Gọi vận tốc giật lùi súng ur, động lượng hệ thời điểm đạn có vận tốc V

ur là:

0

x

Q = −Mu+mV = suy ra: u mV

M =

Ví dụ 4. Nước chảy với vận tốc V0 = 2m/s vào ống dẫn có tiết diện biến đổi, đối xứng với mặt thẳng đứng (hình 2-10) Diện tích tiết diện ống dẫn vào F = 0,02m2 Vận tốc nước chảy khỏi ống V1 = 4m/s nghiêng với đường nằm ngang góc α = 300 Giả thiết dịng chảy ổn định (dừng), xác định thành phần nằm ngang phản lực tổng hợp thành đoạn ống dẫn tác dụng lên khối nước chảy

Bài giải:

Khảo sát chuyển động hệ khối nước abcd khoảng thời gian dt Khi bỏ qua ma sát khối nước thành ống, ngoại lực tác dụng lên hệ gồm: Trọng lực P

ur

, phản lực R ur

thành ống phân làm hai thành phần: Thành phần nằm

ngang N

uur

thành phần thẳng đứng Q ur

theo phương P

ur

, áp lực (áp suất khí quyển) hai đầu ống φ1

ur

φ

uur

vng góc với ab cd

Áp dụng định lý động lượng hệ trục Ox nằm ngang, ta có:

x x x 1x 2x

dQ

N P Q N

dt = + + +φ +φ = (a)

ur S V

x Đ

Hình 2-9

300

d c c1

d

1

V

a1 b

b a

0

V 90

0

Tại thời điểm t hệ chiếm vị trí abcd, thời điểm t1 = t + dt hệ chiếm vị trí a1b1c1d1 Các thể tích yếu tố abb1a1 cdd1c1 (lượng nước chảy vào chảy

ra khoảng thời gian dt) Do khối lượng chúng: m0 =m1 =ρFV dt0 =1000.0,02.2.dt =40dt

Mặt khác, biến thiên động lượng hệ thời gian dt hiệu động lượng khối nước cdd1c1 abb1a1 Thành phần chiếu trục Ox bằng:

dQx =m V1 1x−m V0 0x

Trong V0x = 0, V1x = −V cos1 α vậy:

0

1 30 160 30

x

dQ = −m V cos = − cos dt (b)

Thay (b) vào (a), ta được: dQx 160 300 80 ( )

N cos N

dt

= = − = −

Phản lực N uur

nằm ngang có hướng ngược chiều trục Ox Định lý Ơ-le

Ta xét khối chất lỏng giới hạn mặt bên ống hai tiết diện ngang phẳng thẳng góc với thành ống (hình 2-11)

Gọi: S1, S2 diện tích tiết diện ngang 2; ρ1, ρ2 mật độ khối chất lỏng 2; V1

ur

V2 uur

vận tốc chất lỏng

Trong trạng thái chảy ổn định (dừng), nghĩa vận tốc thời điểm dòng chất lỏng khơng phụ thuộc vào thời gian, khối lượng M khối chất lỏng chảy đơn vị thời gian qua mặt cắt ống không đổi:

1 1 2

M =ρV S =ρV S (2-23)

Ký hiệu MV1 ur

, M V2 uur

véctơ động lượng khối chất lỏng tiết diện 1, đơn vị thời gian, có định lý Ơ-le, phát biểu:

“Tổng véctơ của lực mặt, lực khối véctơ động lượng của chất lỏng chảy qua hai mặt cắt bằng không”

( )

1

m k

R + R +M V + −M V = uur uur ur uur

(2-24)

Trong đó: Rm uur

véctơ lực mặt (các lực tác dụng lên phần tử chất lỏng nằm mặt khối chất lỏng: Phản lực thành ống, ); Rk

uur

véctơ lực khối (các lực tác dụng lên phần tử chất lỏng thuộc khối chất lỏng: Trọng lực, )

2

V

1

V

2.3.2 Định lý chuyển động của khối tâm a Định lý chuyển động của khối tâm

Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm, có khối lượng bằng khối lượng của cơ hệ chịu tác dụng của lực được biểu diễn bằng véctơ của ngoại lực tác dụng lên cơ hệ

1

n e

C k

k

M W F

= =∑

uur uur

(2-25)

Hoặc viết dạng tọa độĐềcác:

e; e; e

C k C k C k

k k k

Mx&& =∑X My&& =∑Y Mz&& =∑Z (2-25a) Chứng minh: Dễ dàng thấy, từ hệ thức (2-15) (2-21):

1

, n e

k C

k

d Q

Q M V F

dt =

= =∑

ur

uur ur uur

Suy ra:

1

n e k C

k

M W F

= =∑

uur uur

b Định luật bảo toàn chuyển động khối tâm Từ (2-25),

1

n e k k

F =

=

∑uur VC =const

uur uuuuur

Vậy, véctơ ngoại lực tác dụng lên hệ ln ln khơng khối tâm hệ đứng yên chuyển động thẳng

Tương tự,

0

n e k k

X =

=

∑ , theo (2-25a) ta có x&C =const V( Cx =const) Nghĩa là: Nếu tổng chiếu ngoại lực tác dụng lên hệ trục (trục Ox) ln ln khơng hình chiếu khối tâm hệ trục đứng yên hay chuyển động

Áp dụng định luật bảo tồn chuyển động khối tâm giải thích số tượng thực tế:

• ••

• Chuyển động của khối tâm hệ mặt trời: Các lực hấp dẫn nội lực, nên nói: Hệ mặt trời khơng có ngoại lực tác dụng Do coi gần đúng: Khối tâm hệ chuyển động thẳng khơng gian vũ trụ

• ••

• Tác dụng của ngẫu lực lên vật. Vật rắn tự tác dụng ngẫu lực ( , )F Fur uur′ có:

1

0

n e k k

F F F

=

′

= + ≡

• ••

• Chuyển động theo mặt nằm ngang

- Nếu khơng có ma sát, ngoại lực tác dụng lên người gồm trọng lượng phản lực pháp tuyến mặt đường có tổng chiếu lên trục x theo phương ngang khơng Do ban đầu người đứng n, dù có cố gắng bắp thịt (nội lực) không giúp cho người lại Lực ma sát có tác dụng làm cho người lại Khi bước chân trái lên phía trước, chân phải có xu hướng trượt phía sau xuất lực ma sát hướng phía trước, lực giúp người phía trước

- Xe Ơ-tơ hay đầu máy xe lửa có thể di chuyển nhờ có lực ma sát trượt đặt vào điểm tiếp xúc B bánh chủđộng mặt đường Áp lực hay khí từ máy phát truyền mơmen quay tới bánh chủ động có hướng quay phía sau, lực ma sát trượt hướng phía trước Khi lực khơng có khơng đủ để thắng sức cản bánh bịđộng (lực ma sát bánh bị động A hướng phía sau), xe Ô-tô hay đầu

máy không chuyển động hay tăng tốc (hình 2-12) Bánh chủ động quay chỗ, ta gọi tượng pan xe

• ••

• Hãm xe.Để hãm xe ta tắt máy cho má phanh áp chặt váo bánh xe Lực ma sát má phanh bánh xe nội lực Lực làm bánh xe quay chậm lại lực ma sát ởđiểm tiếp xúc bánh xe mặt đường ngoại lực, ngược chiều chuyển động xe có tác dụng hãm xe

Nhận xét. Từ (2-21), (2-25) ý đến (2-15) ta thấy, thực chất định lý động lượng định lý chuyển động khối tâm hai dạng định lý Tuy vậy, (2-25) sử dụng thuận tiện vật rắn hệ vật rắn Khi khảo sát môi trường lỏng hay khí, hệ thức (2-25) ý nghĩa

Ví dụ

Một người trọng lượng P ngồi mũi thuyền trọng lượng Q dài l Thuyền đứng yên mặt nước Bỏ qua sức cản nước Xác định độ dịch chuyển d thuyền người tới mũi thuyền

Bài giải:

Xét hệ gồm có người thuyền, chịu tác dụng ngoại lực: Trọng lực ,P Q

ur ur

phản lực R ur

nước, chúng có phương thẳng đứng Chọn trục Ox nằm ngang (hình 2-13) Áp dụng định lý chuyển động khối tâm trục Ox, ta có:

0

C C

Mx&& = ⇒ x& =const

A Fms B

V

Hình 2-12

Hình 2-13

x R

Q P

O

Do lúc đầu hệđứng yên, x&C0 =0, nên suy xC = const

Giả sử ban đầu người thuyền có tọa độ khối tâm trục x x10 x20, vị trí khối tâm ban đầu hệ là:

0

0

C

Px Qx x

P Q + =

+ (a)

Khi người tới mũi thuyền, thuyền dịch chuyển ngược lại đoạn d Khối tâm người thuyền trục Ox, có tọa độ:

0

1 ; 2

x =x + −l d x = x −d

Khối tâm hệ có hồnh độ bằng:

( 10 ) ( 20 )

C

Px Qx P x d Q x d

x

P Q P Q

+ + − + −

= =

+ +

l

(b)

Do xC = const hay xC =xC0, từ (a) (b) suy ra:

P d

P Q =

+ l

2.4 Định lý mômen động lượng

2.4.1 Mômen động lượng

a. Định nghĩa

Mômen động lượng của chất điểm đối với tâm O đó đại lượng véctơ, mômen của véctơ động lượng (mV)

ur của chất điểm lấy đối với tâm ấy, ký hiệu: O

ur l Theo định nghĩa ta có (hình 2-14):

O =mO(mV)= ∧r mV uur uur ur r ur

l (2-26)

Mômen động lượng của chất điểm lấy đối với một trục z đại lượng đại số, mômen của véctơ động lượng của chất điểm lấy đối với trục ấy, ký hiệu lz:

z =m mVz( )= ±mV h′ ur

l (2-27)

Trong đó: Vuur′ hình chiếu V ur

mặt phẳng (π) vng góc với trục z, h khoảng cách từ giao điểm mặt phẳng (π) với trục z tới giá véctơ V′

uur

Giá trị lz

lấy dấu dương (+) nhìn từ trục z xuống mặt phẳng (π) thấy Vuur′ có chiều quay vòng quanh trục z ngược chiều kim đồng hồ, lz lấy dấu âm (-) trường hợp

ngược lại

z

p

V m

M V

m ′

h r r

O

l

O

Mômen động lượng của cơ hệ lấy đối với một tâm O hay trục z tổng hình học hay đại số mômen động lượng của tất cả chất điểm thuộc cơ hệđối với tâm hay trục ấy, ký hiệu L0

uur

hay L : z

1 1

( )

n n n

k k k k k

O Ok O

k k k

L m m V r m V

= = =

=∑ =∑ =∑ ∧

ur ur uur uur r uur

l (2-28)

1 1

( ) ( )

n n n

z zk z k k k k k

k k k

L m m V m V h

= = =

′

=∑ =∑ =∑ ±

uur

l (2-29)

Nếu cơ hệ gồm một số vật rắn chuyển động mơmen động lượng của cơ hệ đối với một tâm hay một trục, bằng tổng mômen động lượng của vật thuộc cơ hệ đối với tâm hay trục ấy

Dễ dàng chứng minh định lý liên hệ sau:

Chiếu véctơ mômen động lượng của chất điểm hay cơ hệ đối với một tâm O lên trục z đi qua tâm ấy bằng mômen động lượng của chất điểm hay cơ hệđối với trục ấy

chOz O = z; chOz LO =Lz

uur uur

l l (2-30)

Đơn vị tính mơmen động lượng: kg.m2/s, thứ ngun: [mômen động lượng] =

ML T

b. Tính mơmen động lượng của chất điểm, cơ hệđối với trục tọa độ Giả sử thời điểm khảo sát chất điểm có tọa độ x, y, z; có vận tốc ( , , )V x y z

ur

& & & , O gốc tọa độ hệ Oxyz Ta có:

O

i j k

r mV x y z

mx my mz

= ∧ =

r

r r

ur r ur l

& & &

Khai triển định thức ý tới hệ thức đầu (2-30), ta được:

( ); ( ); ( )

x =m yz&−zy& y =m zx&−xz& z =m xy&−yx&

l l l (2-31)

Từđó, suy hệ:

1 1

( ); ( ); ( )

n n n

x k k k k k y k k k k k z k k k k k

k k k

L m y z z y L m z x x z L m x y y x

= = =

Giả sử vật rắn quay xung quanh trục cố định Oz với vận tốc góc ω Ta coi z

ω ↑↑

ur

Xét phần tử Mk thuộc vật có khối lượng mk, vận tốc V k uur

cách trục quay khoảng rk (hình 2-15) theo định nghĩa:

1

n

z k k k

k

L m V r =

′ =∑ Do Vk′ =Vk =ω.rk nên:

1

( )

n n

z k k k k k z

k k

L m ωr r ω m r ωJ

= =

=∑ = ∑ =

Khi ω↑↓ z

ur

, ta có: Lz = −ω.Jz vậy: Lz = ±ωJz (2-33)

d. Tính mơmen động lượng của hệ

Trong (2-28) đưa công thức định nghĩa tính mơmen động lượng hệ tâm (O) Bây ta biến đổi nó, có áp dụng thuận tiện sau

Dựng hệ Cx′y′z′ qua khối tâm C hệ, chuyển động tịnh tiến hệ quy chiếu quán tính gốc O Oxyz Mk chất điểm thuộc hệ, ta có (hình 2-16):

k c k

rr =rr +r′r Đạo hàm hệ thức theo thời gian: k

k C k

dr

V V V

dt ′

= = +

r

ur uur uur

Hệ thức (2-28) trở thành:

1

( ) ( )

n

O C k k C k

k

L r r m V V

=

′ ′

=∑ + ∧ +

ur r r ur uur

Khai triển ý rằng: r′C

r

véctơ có gốc trùng nhau, nên r′ =C

r

,

C

Vuur′ = , ta thu được: LO =rC ∧M VC +L′C

ur r ur uur

(2-34)

z

k kV

m Mk

rk

ωr

A

B Hình 2-15

O

y z

x

C x′

k

r′

r

y′

z

′

Mk

C

r r

k

r r

Trong đó:

1

n

C k k k

k

L r m V

=

′ =∑ ′∧ ′ uur r uur

, mômen động lượng hệ chuyển động tương đối lấy khối tâm

Định lý Cơ-níc

Mômen động lượng của cơ hệ lấy đối với một tâm O đó bằng mơmen động lượng của khối tâm tại đấy tập trụng toàn bộ khối lượng của cơ hệ lấy đối với tâm O, cộng với mômen động lượng của cơ hệ chuyển động tương đối đối với khối tâm lấy đối với khối tâm.

2.4.2 Định lý mômen động lượng

a. Định lý đạo hàm mômen động lượng của chất điểm

Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của chất điểm đối với một tâm O (hay trục z) bằng tổng hình học (hay đại số) mômen của lực tác dụng lên chất điểm đối với tâm (hay trục) ấy

1

1

( ) ( )

n O

O k

O k n z

z z k

k

d

m F dt

d

m F dt

•

=

=

= =

= =

∑ ∑

ur

ur ur uur l

l

uur l

&l

(2-35)

Chứng minh: Ta có: d O d ( ) dV

r mV V mV r m dt = dt ∧ = ∧ + ∧ dt

ur ur

ur ur ur

l r r

Vì

1

0, n k

k

dV

V mV m mW F

dt =

∧ = = =∑

ur

ur ur uur uur

Do đó: ( )

1 1

n n n

O

k k O k

k k k

d dV

r m r F r F m F

dt dt = = =

= ∧ = ∧∑ =∑ ∧ =∑

ur ur

uur uur uur uur

l r r r

Để có hệ thức thứ hai (2-35), ta chiếu hệ thức đầu lên trục z qua tâm O b. Định lý đạo hàm mômen động lượng của cơ hệ

Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của cơ hệ đối với tâm O (hay trục z) bằng tổng hình học (hay đại số) mômen của ngoại lực tác dụng lên cơ hệđối với tâm (hay trục) ấy

( )

( )

1

n

e O

k

O O

k n

e z

z z k

k

d L

L m F

dt dL

L m F

dt

=

=

= =

= =

∑ ∑

ur

uur ur uur

uur &

Chứng minh:

Áp dụng định lý mômen động lượng cho chất điểm thứ k hệ n chất điểm, ta có:

Ok ( )e ( )i

k k

Ok O O

d

m F m F

dt = = +

ur

uur uur ur uur uur l

l Trong đó: e

k

F uur

, i k

F uur

hợp ngoại lực, nội lực tác dụng lên chất điểm thứ k thuộc hệ Lập hệ thức cho n chất điểm cộng vế với vế lại, ta được:

( ) ( )

1 1

n n n

e i

O

k k

O O

k k k

d

m F m F

dt = = = = + ∑ ∑ ∑ ur uur uur uur uur l

Hay ( ) ( )

1 n n e i O k k O O k k d L

m F m F

dt = =

=∑ +∑

ur

uur uur

uur uur

Để nhận hệ thức thứ định lý, ta cần ra: ( ) n i k O k m F = =

∑uur uur , nghĩa là: Véctơ mơmen hệ nội lực tác dụng lên hệ triệt tiêu

Thật vậy, xét hai chất điểm A, B thuộc hệ Lực tác dụng tương hỗ chúng FA,FB

ur ur

với FA = −FB

ur ur

(hình 2-17) Lấy O làm tâm lấy mơmen, ta có:

mO( )FA +mO( )FB =rA∧FA +rB ∧FB

uur ur uur ur r ur r ur

Thay FA = −FB

uur uur

, ta được: mO( )FA +mO( )FB =(rB −rA)∧FB = AB∧FB ≡0

uur uur uur uur r r ur uuur ur

Do A, B bất kỳ, suy ra: ( )

1 n i k O k m F = =

∑uur uur Từđó suy ra: ( )

1 n e O O k k d L m F dt = =∑ ur ur uur

Chiếu hệ thức lên trục z qua O, ta nhận hệ thức thứ hai (2-36) định lý chứng minh

2.4.3 Định luật bảo tồn mơmen động lượng Từ hệ thức đầu (2-36), ( )

1 n e k O k m F = ≡

∑uur uur , suy ra: LO =const

ur uuuuur

Vậy, véctơ mơmen hệ ngoại lực tác dụng lên hệ ln khơng, mơmen động lượng hệđối với tâm không đổi

Tương tự: Nếu tổng mômen ngoại lực tác dụng lên hệ với trục ln ln khơng, mơmen động lượng hệ với trục không đổi, nghĩa là:

( ) n e z k k m F = ≡

∑ uur suy ra: Lz = const

A FB

Có thể áp dụng định luật bảo tồn mơmen động lượng để giải thích nhiều tượng, chẳng hạn: Xét chuyển động lên thẳng máy bay lên thẳng:

Cánh quạt đặt lên máy bay quay đẩy khơng khí xuống phía mà cịn truyền cho chuyển động xoáy chiều với chiều quay cánh quạt Gọi Cz trục thẳng đứng qua trọng tâm C máy bay Bỏ qua tác dụng khối lượng khí đứng n bao quanh khối khơng khí chuyển động xốy, ta có:

( )

1

n

e

Cz k

k

m F =

≡

∑ uur

Suy ra: Lz(hệ) = Lz(máy bay) + Lz(cánh quạt + khối khơng khí nén) = const

Do ban đầu hệ khảo sát đứng yên, nên Lz(hệ) ≡ Nên cánh quạt máy bay

quay thân máy bay phải quay quanh trục Cz ngược chiều với chiều quay cánh quạt Để làm tượng không mong muốn này, người ta đặt đuôi máy bay cánh quạt nhỏ, gọi cánh quạt lái

Nhận xét:

- Cũng giống định lý động lượng, định lý mômen động lượng nghiên cứu chuyên động quay hệ cho phép loại trừ nội lực chưa biết tác dụng lên hệ

- Áp dụng định lý mômen động lượng việc khảo sát chuyển động quay hệ trục cố định, mà cịn sử dụng lý thuyết quay, lý thuyết va chạm mở rộng vật rắn chuyển động tự (chẳng hạn như: Chuyển động máy bay, đạn, tên lửa, )

2.4.1 Chuyển động dưới tác dụng của lực xuyên tâm

Cho điểm O cố định hệ quy chiếu quán tính Một chất điểm M chịu tác dụng trường lực xuyên tâm có tâm O thời điểm, lực F

uur

được đặt vào M đường thẳng với OM

Trong trường hợp lực xuyên tâm mO( )F ≡0

uur uur

Như vậy, thời điểm, OM

uuuur

vuông góc với véctơ O ur

l khơng đổi Quỹ đạo của M phẳng, mặt phẳng quỹ đạo vuông góc với véctơ O

ur

l chứa điểm O (hình 2-18) Ngồi ra, ta có:

( )

O = mO mv =const

ur uur r

l Do m không đổi, suy ra: mO( )mv =v h =const

uur r

Có thể giải thích kết hình học sau: vh dsh ds h; 2d

dt σ

= =

p O M

ds b h

F V

O

l

Trong đó: dσ diện tích tam giác quạt yếu tố Omb Từđó:

vh 2d const hay, : d const

dt dt

σ σ

= = =

d dt

σ

được gọi vận tốc diện tích, khơng đổi chuyển động lực xuyên tâm Kết tạo định luật diện tích, tồn chuyển động hành tinh số định luật Kêple

Ví dụ 6. Quả cầu M được buộc vào sợi dây BM mềm nhẹ không giãn nhận vận tốc ban đầu V O

uur

vng góc với mặt phẳng ABM Quả cầu chuyển động cho dây vào trục AB thẳng đứng có vận tốc ln ln vng góc với mặt phẳng qua trục Khoảng cách ban đầu từ cầu tới trục h0 Bỏ qua kích thước trục Tìm vận tốc cầu khoảng cách từ đến trục quay h1 ?

Bài giải:

Chọn trục z trùng với AB Quả cầu coi chất điểm chịu tác dụng lực gồm: Trọng lực P

ur

phản lực dây T

ur

Áp dụng định lý đạo hàm mômen động lượng chất điểm, ta có:

z ( ) ( )

z z

d

m P m T

dt = + ≡

ur ur l

Suy lz =const, nghĩa là:

(1) (0)

z = z

l l

Do: (0) (1)

0 0; 1

z =mv h z =mv h

l l Thay vào hệ thức trên, ta nhận được: 1 0

1 h v v

h =

Ví dụ 7. Một sợi dây mềm nhẹ không dãn, hai đầu buộc hai tải trọng, trọng lượng P Q, vắt qua rịng rọc đồng chất bán kính R trọng lượng P1, bỏ qua ma sát ổ trục Xác định gia tốc tải trọng hệ chuyển động

Bài giải:

Khảo sát hệ bao gồm: Các tải trọng, dây ròng rọc Các ngoại lực tác dụng lên hệ là: Trọng lượng ròng rọc tải trọng: P P Q1, ,2

ur uur ur

phản lực NO

uur

trục rịng rọc (hình 2-20)

Áp dụng định lý mômen động lượng hệđối với trục

M0

M z

h1

T

B

h0

A P

Hình 2-19

P Q

1

P

O

N O

V R V

quay ròng rọc Ox, ta có: x ( )e

x k

k

dL

m F dt =∑

uur

Trong đó: ( )e ( )1 ( ) ( ) ( ) ( )

O

x k x x x x

k

m F =m P +m P +m Q +m N = P−Q R

∑ uur ur ur ur uur

Đại lượng Lx bao gồm mơmen động lượng tải trọng rịng rọc, bằng:

x x

P Q

L J V R V R

g g

ω

= + +

Ở đây: V R

ω= vận tốc góc rịng rọc; R bán kính nó; V vận tốc tải trọng; Jx 0,5P1R2

g

= , đó:

2

x

P R

L P Q V

g

 

= + + 

 

Thay giá trị vừa tìm vào (a), ta được: ( 1 2 ) ( )

2 R dV

P P Q P Q R

g dt

+ + = −

Từđó:

1

2( )

2

dV P Q

w g

dt P P Q

−

= =

+ +

Ví dụ 8. Bánh cơng tác của tuabin thuỷ lực quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc không đổi ω Vận tốc tuyệt đối phần tử nước tiết diện nước chảy vào V1

ur hợp với tiếp tuyến vịng trịn ngồi vành bánh góc α1 Ở tiết diện nước ra, phần tử nước có vận tốc V2

uur

hợp với tiếp tuyến vòng tròn vành bánh góc α2 Bán kính vịng ngồi vịng vành bánh r1, r2 Giả thiết nước chảy dừng đường dẫn Xác định mômen quay nước chảy khoảng cánh truyền cho bánh cơng tác (hình 2-21a)

Bài giải:

Xét hệ gồm: Khối nước chứa đầy tất đường dẫn cánh Ngoại lực tác dụng lên hệ: Trọng lực P

ur

khối nước, phản lực Rk uur

thành đường dẫn lên khối nước Chọn trục z trục quay thẳng đứng hướng xuống phía

d1

c1

c α2 d α1

b1

b a

a1 V1

ur

2

V

ur

a) Mq V2

1

V a2

a1

Hình 2-21

Áp dụng định lý mômen động lượng hệđối với trụ z, ta có:

z ( ) ( )

z z k

dL

m P m R

dt = +

ur uur

(1) Trong đó: mz( )P =0

ur

P ur

song song chiều với trục z Xét đường dẫn, giả sử thời điểm t có khối nước abcd, cịn thời điểm t + dt khối nước chiếm vị trí a1b1c1d1 (hình 2-21b) Các thể tích nguyến tố abb1a1 cdd1c1 lượng

nước chảy vào thoát đường dẫn khoảng thời gian dt Do khối lượng chúng Ta có:

Q

m m m dt

ng

= = =

Trong đó: n sốđường dẫn; Q trọng lượng nước chảy qua tất đường dẫn đơn vị thời gian

Do chuyển động dòng nước dừng, biến thiên mômen động lượng khối nước abcd trục z khoảng thời gian dt hiệu mômen động lượng khối nước cdd1c1 abb1a1đối với trục z, nghĩa là:

dLzk =m V h2 2−m V h1 1 (2) Ở đây: m = m1 = m2; h1 h2 khoảng cách từ véctơ động lượng m V1 1

ur 2

m V uur

tới trục z và: h1=r cos1 α1; h2 =r cos2 α2

Thay giá trị vào (2) ta có: dLzk Q r V cos2 2 2 Q rV cos1 1 1 dt

ng α ng α

 

= − 

 

Biến thiên mơmen động lượng tồn hệđối với trục z khoảng thời gian dt bằng:

z zk ( 2 1 1)

k

Q

dL dL n r V cos rV cos dt

ng α α

=∑ = −

Thay kết vào (1), thu được: ( 2 2 2 1 1 1) z( )k

k

Q

r V cos rV cos m R

g α − α =∑

uur

Các áp lực nước lên thành đường dẫn có độ lớn độ lớn Rk uur

, chiều ngược lại Do đó, nước tác dụng lên rơto mômen quay:

( ) (1 1 2 2)

q z k

k

Q

M m R rV cos r V cos

g α α

= −∑ = −

uur

2.5 Định lý động năng 2.5.1 Động năng

a. Định nghĩa

- Động năng của chất điểm đại lượng vơ hướng dương bằng nửa tích khối lượng (m) của chất điểm với bình phương vận tốc (v) của

2 T = mV

- Động năng của cơ hệ, ký hiệu T, tổng động năng của tất cả chất điểm thuộc cơ hệđó:

1

1

n n

k k k

k k

T T m v

= =

=∑ =∑ (2-37)

- Trường hợp cơ hệ gồm một số vật rắn chuyển động, động năng của cơ hệ tổng động năng của vật rắn chuyển động thuộc cơ hệđó.

Thứ nguyên động

2

[ ]T M L

T

= , đơn vị thường dùng Jun (J),

2 m 1J = 1kg

s

b. Tính động năng của cơ hệ

Tính động hệ chuyển động ngồi việc dùng cơng thức định nghĩa (2-37), cịn dùng cơng thức biểu thị định lý sau:

Định lý Cơ-níc

Động năng của cơ hệ chuyển động bất kỳ, bằng tổng động năng của khối tâm tại đó tập trung tồn bộ khối lượng của cơ hệ động năng của cơ hệ chuyển động tương đối đối với khối tâm

2

2 C C

T = MV +T′ (2-38)

Chứng minh:

Tương tự việc dẫn công thức (2-34) (định lý Cơ-níc 1), thay V k = V C+Vk′ uur uur uur vào (2-37), ta có:

( )2 2 .

2 k k k C k k C k k k C k

k k k k k

T =∑ m V =∑ m V +V′ =∑ m V +∑ m V′ +∑m V V′

uur uur uur uur uur uur uur

Xét thành phần: 2

2 k C C k C

k k

m V = V m = MV

2

2 k k C

k

m V′ =T′

∑ , động hệ chuyển động tương đối khối tâm

k C k C k k C C

k k

m V V′=V m V′=V M V′ =

∑ uur uur uur∑ uur uur uur

(vì VC′

uur

vận tốc điểm C hệ quy chiếu có gốc C, nên VC′ =0 uur

)

Vậy, ta được:

2 C C

T = MV +T′ c. Động năng của vật rắn

- Vật rắn chuyển động tịnh tiến: Vật rắn chuyển động tịnh tiến vận tốc của điểm thuộc vật vận tốc khối tâm VC

uur

nó, nên:

2

2 k k k C C

k k

T =∑ m V =∑ m V = MV (2-39)

- Vật rắn quay xung quanh trục cốđịnh: Vật rắn quay xung quanh trục cốđịnh z với vận tốc góc ω, điểm Mk thuộc vật cách trục quay khoảng rk có vận tốc Vk = ω.rk Động vật rắn bằng:

( )2

2 k k k k z

k k

T =∑ m V =∑ m ωr = J ω (2-40)

- Vật rắn chuyển động song phẳng: Trong chuyển động song phẳng, dịch chuyển vật thực chuyển động tịnh tiến với cực chuyển động quay quanh trục qua cực vng góc với mặt phẳng sở

Nếu chọn cực khối tâm C vật rắn, áp dung định lý Cơ-níc với ý đến (2-39) (2-40), ta được:

2 2

1 1

2 C C C Cz

T = MV +T′= MV + J ω (2-41)

Trong JCz mơmen qn tính vật rắn trục Cz qua khối tâm vng góc với mặt phẳng sở

2.5.2 Cơng của lực a. Định nghĩa

• Cơng yếu tố của lực: Cho lực F ur

biến đổi, có điểm đặt M dời chỗ đường cong (C) Gọi α góc hợp lực F

ur

véctơ vận tốc V ur

Công yếu tố của lực F ur

, ký hiệu dA, điểm đặt lực M dời chỗ đường cong (C) đại lượng vô hướng, xác định bởi hệ thức:

dA=Fcos dsα (2-42) Từ (2-42) suy ra:

0

0 90

180 Fds khi

dA khi

Fds khi

α α α

= 



= =



− =



Có thể biểu thị hệ thức (2-42) dạng:

– Dạng véctơ: dA=Fcos α ds=F dr cos α = F dr = F Vdt uur uur ur

r r

(2-43)

– Dạng tọa độđề các: dA= F dr = Xdx Ydy+ +Zdz uur r

(2-44)

– Dạng tọa độ tự nhiên: dA=Fcos dsα =F dsτ (2-45)

• ••

• Cơng của lực qng đường hữu hạn: Công lực F

uur

điểm đặt M dời chỗ đường cong (C) từ M0đến M1 là:

0

1

( ) lim n k

M M n

k

A F dA

→∞ =

= ∑

uur

Tổng tích phân đường từ M0đến M1, nghĩa là:

0

0

( ) ( )

M M M

M M M

A = ∫ dA= ∫ Fcos dsα (2-46)

Thứ nguyên công

2

[ ]A M L

T

= , đơn vị thường dùng Jun(J), 1J = 1Nm =

kgm2/s2

– Công suất: Công suất, ký hiệu N, công sinh đơn vị thời gian Ta có:

F ds dA

N F V

dt dt

τ

τ

= = = (2-47)

Đơn vị thường dùng: Oát (ký hiệu W), 1W = 1J/s

Trong kỹ thuật hay lấy đơn vị mã lực để cơng suất, mãlực 736 ốt b. Một số ví dụ tính cơng của lực

• ••

• Cơng của trọng lực: Giả sử chất điểm M chịu tác dụng trọng lực P ur

dời chuyển từ vị trí M0(x0, y0, z0) đến vị trí M1(x1, y1, z1) (hình 2-23) Ở gần mặt đất, coi P=mg

ur r không đổi hướng thẳng đứng xuống dưới, song song với trục Oz Ta có:

z

y

x O

r

r F

V M1

τ F ds M M0

(C)

1

0

0

( ) ( )

z M M

z M M

A = ∫ Xdx Ydy+ +Zdz= ∫ −mg dz=P z −z Đặt h= z0 −z1 độ dời thẳng đứng điểm đặt lực, ta được:

0

M M

A = ±Ph (2-48)

Trong đó: Cơng lấy dấu dương (+) điểm đặt trọng lực hạ xuống, lấy dấu âm (−) điểm đặt trọng lực nâng lên

Vậy, công trọng lực không phụ thuộc vào quãng đường điểm đặt lực, mà phụ thuộc vào vị trí đầu vị trí cuối điểm đặt lực

• ••

• Cơng của lực đặt lên vật rắn quay xung quanh trục cố định (hình 2-24):

Giả sử vật rắn quay xung quanh trục cốđịnh z, tác dụng lực F

ur

Ta tính cơng lực F uur

vật quay góc ϕ

Ta có: dA=F dsτ =F R dτ ϕ; do: F Rτ =m Fz( )

uur

, nên ( )

z

dA=m F dϕ

uur

Khi vật quay góc ϕ, cơng lực F uur

bằng:

( )

z

A m F d

ϕ

ϕ

=∫ uur

(2-49)

Nếu m Fz( )=Mz =const uur

0 z

M M

A =M ϕ

Khi vật quay tác dụng ngẫu, Mz hệ thức hiểu gía trị ngẫu lực cho •

••

• Cơng của lực đàn hồi: Xét tải trọng M mặt ngang gắn vào lị xo (hình 2-25) Hướng trục Ox theo phương ngang, gốc O trùng với vị trí mút lị xo chưa biến dạng Khi M vị trí bất kỳ, tải trọng chịu tác dụng lực đàn hồi F

uur

hướng O Theo định luật Húc, ta có:

O x

y z

M0 M

M1

g m P= r

Hình 2-23

M Fτ R

z

τ

r F dϕ O A

B Hình 2-24

F

z M0

x= ∆l M1

O

M l

∆

l l

F =C ∆ =l C x , C độ cứng lị xo Cơng lực đàn hồi F

uur

tải trọng dịch chuyển từ M0(x0) đến M1(x1) bằng:

1

0

0

( )

2 ( )

( ) ( )

2

M x

M M

M x

C

A = ∫ −Cx dx= −C xdx∫ = x −x (2-50) •

••

• Công của lực ma sát: Do Fms = fN có hướng ngược chiều vận tốc V ur

, (hình 2-26):

1

0

0

( ) ( )

( ) ( )

M M

ms M M

M M

A = − ∫ F ds= − ∫ fNds (2-51)

Công lực ma sát F ms uur

ln ln âm

• ••

• Cơng của lực ma sát tác dụng lên vật lăn

Xét bánh xe lăn không trượt mặt phẳng ngang (hình 2-27) Cơng lực ma sát trượt F ms

uur

bằng:

dA= −F dSms B = −F V dtms B

Do B tâm vận tốc tức thời: VB = 0, nên suy ra: dA = Theo cách giải thích cơng yếu tố phản lực pháp tuyến N

uur

không Tuy nhiên, ngẫu ma sát lăn tạo (P N, )

ur uur

có Ml =kN (k hệ số ma sát lăn), thì:

( ) dSC

dA M M d kNd kN

R

ϕ ϕ

= − l = − = − l

uuur

(2-52)

Trong đó: dSC dịch chuyển yếu tố tâm bánh xe Khi N khơng đổi, ta có:

( ) C

k

A M kN NS

R

ϕ

= − = − l

uur

C

V ur N ur

C B P ur

ms

F ur R

k Hình 2-27 M

M0

M1

τ

vr

ms

Fr N

ur

2.5.3 Định lý động năng

a. Định lý vi phân động năng của chất điểm:

Vi phân động năng của chất điểm bằng tổng công yếu tố của lực tác dụng lên chất điểm ấy.

2

2 k

k

mV

d = dA

  ∑ (2-53)

Chứng minh: Xét chất điểm có khối lượng m, chuyển động tác dụng lực F F1, , ,2 Fn

uur uur uur

Theo phương trình động lực học, ta có:

k k

mW =∑F uur uur

hay k

k

dV

m F

dt =∑ ur

uur

Gọi drr véctơ di chuyển yếu tố chất điểm hệ quy chiếu qn tính Nhân vơ hướng drr với hệ thức trên, ta được:

k k

k k

dV

m dr F dr hay mV dV dA

dt =∑ =∑

ur

uur ur ur

r r

Chú ý V2 =V2 ur

, hệ thức viết được:

2

2 k

k

mV

d = dA

  ∑

b. Định lý biến thiên động năng của chất điểm:

Biến thiên động năng của chất điểm một chuyển dời đó bằng tổng đại số công của lực tác dụng lên chất điểm chuyển dời ấy.

2

1

1

2

M M k k

mV − mV =∑A (2-54)

Chứng minh:

Tích phân hai vế hệ thức (2-53) theo cận tương ứng biến M0 M1 ta nhận hệ thức (2-54)

c. Định lý vi phân động năng của cơ hệ:

Vi phân động năng của cơ hệ bằng tổng công yếu tố của nội lực ngoại lực tác dụng lên cơ hệấy.

i e

k k

k k

dT =∑dA +∑dA (2-55)

Xét hệ n chất điểm Gọi công yếu tố hợp nội lực hợp ngoại lực tác dụng vào chất điểm thứ k i

k

dA dAke Áp dụng định lý vi phân động cho chất điểm này, ta có:

2

i e

k k

k k

m V

d =dA +dA

 

Lập hệ thức cho chất điểm hệ lấy tổng vế, ta được:

2

i e

k k k k

k k k

d m V =dT = dA + dA

∑  ∑ ∑

d. Định lý biến thiên động năng của cơ hệ:

Biến thiên động năng của cơ hệ một chuyển dời đó bằng tổng đại số công của nội lực ngoại lực tác dụng lên cơ hệ chuyển dời ấy.

i e

k k

k k

T −T =∑A +∑A (2-56)

Chứng minh:

Gọi công nội lực ngoại lực tác dụng vào chất điểm thứ k hệ chuyển dời i

k

A Ake Áp dụng định lý biến thiên động cho chất điểm chuyển dời, ta có:

2

1

1

2

i e

k k k k k k

m V − m V = A +A

Lập hệ thức cho chất điểm thuộc hệ cộng vế lại, thu được:

2

1

1

2

i e

k k k k k k

k k k k

m V − m V = A + A

∑ ∑ ∑ ∑

Hay: ki ke

k k

T −T =∑A +∑A

e. Định lý biến thiên động năng đối với vật rắn

Biến thiên động năng của vật rắn chuyển động một chuyển dời đó bằng tổng đại số công của ngoại lực tác dụng lên vật rắn chuyển dời ấy

1

e k k

T −T =∑A (2-57)

Chứng minh:

Vật rắn trường hợp đặc biệt hệ Để chứng minh hệ thức (2-57), ta cần chứng minh: Tổng công nội lực vật rắn chuyển dời không,

nghĩa là: i

k k

A =

Xét hai chất điểm A, B thuộc vật rắn Các nội lực tác dụng lên chúng tạo nên cặp trực đối theo định luật tác dụng phản tác dụng Niutơn (hình 2-28) Ta có:

i ( ) ( )

k A B A A B B

k

dA =dA F +dA F =F dr +F dr

∑ uur uur uur r uur r Do drA = V dt drA , B = V dtB

uur uur

r r

, đó:

( )

( A) ( B) A A B A AB

dA F +dA F =F V −V dt=F V dt = uur uur uur uur uur uur uur

Vì V AB =V A −V B

uur uur uur

vng góc với AB (theo định lý động học vật rắn) Do A, B bất kỳ, suy ra: i

k k

A =

∑

Nhận xét:

Đối với hệ bất kỳ, định lý động lượng mơmen động lượng hệ, khơng có mặt nội lực hệ thức biểu thị định lý Cịn nội lực có mặt hệ thức biểu thị định lý động Tuy nhiên, ẩn phản lực liên kết ngoại lực có mặt hệ thức biểu thị định lý trên, định lý động năng, bỏ qua ma sát ẩn phản lực liên kết bị loại trừ hệ thức định lý

Ví dụ 9:

Vật có trọng lượng P rơi khơng có vận tốc ban đầu vào lị xo từđộ cao h Tìm độ co lớn lị xo λ, độ co tĩnh tác dụng vật λt Bỏ qua khối lượng lò xo

Bài giải:

Khảo sát vật chất điểm M Lực tác dụng lên chất điểm: Trọng lượng P

ur

độ chuyển dời từ M0đến M1 lực đàn hồi lò xo F dh

uur

độ chuyển dời từ M đến M1 (hình 2-29) Áp dụng định lý biến thiên động

của chất điểm chuyển dời từ M0đến M1, ta có:

0

2

1

1

2

M M k k

mV − mV =∑A Trong đó: V0 = 0; V1 = 0;

( ) ( )

0

M M

k dh

k

A =A P +A F

∑ ur uur

A

r r

B

r r A

B

F ur

B

A

F ur

AB

V ur

O Hình 2-28

M0

M1

h l M

dh

F ur

P ur

Hay: ( )

2

M m k k

A =P h+λ − Cλ

∑

Ở đây: C độ cứng lị xo, tính từ hệ thức: P=Cλt Thay kết

vào hệ thức trên, ta phương trình xác định λ: λ2−2 λ λt −2λth=0 Giải phương trình ta được: λ =λt + λt2+2λth

Rõ ràng: λ >λt; h = 0, ta có: λ=2λt

Ví dụ 10. Bánh xe I trọng lượng Q, bán kính r lăn khơng trượt bánh xe II cố định mặt phẳng thẳng đứng truyền chuyển động cho tay quay AB trọng lượng P Tại thời điểm đầu tay quay vị trí lập góc α = 600 so với phương thẳng đứng khơng có vận tốc ban đầu Xác định vận tốc góc tay quay thời điểm qua vị trí cân Bỏ qua ma sát ổ trục, tay quay AB coi đồng chất dài l, bánh xe I coi nhưđĩa đồng chất (hình 2-30)

Bài giải:

- Khảo sát hệ bao gồm tay quay AB bánh xe I

- Ngoại lực tác dụng lên hệ: P ur

, Q ur

, N uur

, RA

ur - Nội lực tác dụng lên hệ: Tại B có đôi nội lực

- Áp dụng định lý biến thiên động hệ ta có:

1

n n

e i

k k

T −T =∑A +∑A (*)

- Tính

1

n i k

A

∑ : Vì dịch chuyển điểm đặt đôi nội lực nhau, hai lực lại trực đối (cùng giá, cường độ, ngược chiều) nên cơng sinh chúng có trị số tuyệt đối ngược dấu nên:

1

n i k

A =

∑

- Tính

1

n e k

A

∑ : ( ) ( ) ( ) ( )

1

n e

A k

A = A P +A Q +A N +A R

∑ ur ur uur ur

( ) . (1 cos60 )0

2

P

P P

A P =P h = − =

ur l l

600

I II

V

C ≡C

.

. .

A

B

ω P

ur

Qur N ur

A

R ur

( ) . (1 cos60 )0

Q

Q A Q =P h =Q − =

ur l

l ( )

A N = uur

(do phương lực N uur

⊥ phương dịch chuyển điểm đặt lực)

( )A A R =

ur

(do điểm đặt RA

ur

đứng yên) Ta có:

1

2

4

n e k

P Q P Q

A = + = +

∑ l l l

- Tính T0: T0 =0 (tại thời điểm ban đầu hệđứng yên) - Tính T1: T1 =T1AB+T1I

Giả sử qua vị trí cân tay quay AB có vận tốc góc ω, vận tốc góc bánh xe I ωI, ta có: I

r

ω

ω = l

Ta có: 2 2

1 1

2

AB

Az

P P

T J

g g

ω ω ω

= = l = l

2

2 2 2

1 2 I 12 I 2 ( ) 12 2 34

I

B I B z I

Q Q Q Q

T V J r

g g r g g

ω

ω ω   ω

= + = +   =

 

l l

l

Suy ra: 2 2 2

1 6 34 (2 129 )

P Q P Q

T

g ω g ω g ω

+

= l + l = l

Thay kết vàp (*) ta có:

2

(2 )

12

P Q P Q

g ω

+ +

= l

l suy ( )

(2 )

g P Q

P Q

ω= +

+ l

Ví dụ 11. Hai đồng chất AB BC nối với bằng bản lề B Mỗi dài 2l có bán kính qn tính đối với trục đi qua khối tâm vng góc với ρ Chúng dựng nhẵn nằm ngang nhờ dây FG Tại thời điểm dây bị đứt Bỏ qua ma sát lề Tính vận tốc điểm B hàm khoảng cách OB (hình 2-31a)

Bài giải:

Xét hệ hai AB BC Do tính chất đối xứng, chuyển động tác dụng trọng lực, nên điểm B chuyển động theo phương thẳng đứng Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm: Các trọng lực P

ur

phản lực pháp tuyến A, C N A uur

C

N uur

Áp dụng định lý biến thiên động hệ, ta có: 1 0 i e

k k

k k

T −T =∑A +∑A Do bỏ qua ma sát lề B, nên: i

k k

A =

∑ ; T0 = ban đầu hệ đứng yên Hệ

thức trở thành: 1 e

k k

T =∑A (a)

Trong đó: e ( ) ( ) ( ) ( )

k A C

k

A = A P +A P +A N + A N

∑ ur ur uur uur

Ở A N( )A = A N( C)=0

uur uur

N A, NC

uur uur

vng góc với phương dịch chuyển điểm đặt lực, cịn B có tọa độ (0, y) (hình 2-31b) thì:

( ) ( ) ( )

2 h y

A P + A P = P − = P h−y ur ur

Vậy: e ( )

k k

A =P h−y

∑ (b)

Động hệ B(0, y) bằng: 1 2 2

2

AB BC BC E Ez

P

T T T T V J

g ω

 

= + = =  + 

 

K tâm vận tốc tức thời BC, nên:

2 2

4

E B B

KE

V V V

KB y

= =

− l l ;

2

Ez

P J

g ρ = ;

2

B B

V V

KB y

ω= =

− l Do đó, ta được:

2 2

2

1 BC 2.2 B 4 2 4 2 4 2 B

P P

T T V V

g y y y g

ρ ρ

  +

= =  + =

− − −

 

l l

l l l (c)

Thay (b), (c) vào (a), suy ra: B ( 2)(4 22 2)

g h y y

V

ρ

− −

=

+ l l

y

A C VurC

K

B

V ur

O y B

D E

Hình 2-31b y

B E P

ur P ur

C

N ur

C A

A

N ur

F G

O

x D

khi B rơi tới y = 0, nên vận tốc bằng: VB 2gh 2

ρ

=

+ l

l Ví dụ 12. Trên lăn hình trụ bán

kính R trọng lượng P, người ta quấn sợi dây mềm nhẹ không dãn vắt qua ròng rọc O buộc vào tải trọng D trọng lượng Q (hình 2-32) Xác định vận tốc gia tốc khối tâm C lăn dời quãng đường S, ban đầu hệ đứng yên Hệ số ma sát lăn lăn mặt phẳng ngang k, bán kính quán tính trục quay

bằng ρ Bỏ qua khối lượng ròng rọc O, giả thiết lăn lăn không trượt mặt ngang

Bài giải:

Xét hệ gồm lăn, tải trọng D, dây ròng rọc O Để xác định VC, ta áp dụng định lý biến thiên động hệ:

i e

k k

k k

T −T =∑A +∑A (a)

Trong trường hợp này: T0 = i k k

A =

∑ ;

1 D c

T =T +Tl 2

D D

Q

T V

g

= , 2

2

c C

P P

T V

g g ρ ω

 

= +  

 

l

Do điểm B lăn tâm vận tốc tức thời, nên: VC

R

ω= VD =VA =2VC Do đó:

2

1 21 C

T Q P V

g R

ρ

  

=  +  + 

 

 

Tổng công ngoại lực thực lực Q ur

ngẫu lực (N P, ) uur uur

Do

D C

V = V , nên dịch chuyển thẳng đứng h tải trọng D h=2S A Q( )=Q S.2 ur

Mặt khác N = P = const, cơng ngẫu lực ma sát lăn Ml =kN bằng:

( ) k

A M PS

R = − l uur

Vậy: e

k k

k

A QS PS

R

= −

∑

k P ur

N ur

R B

ms

Fur

C VC

ur

Q ur D O A

Thay giá trị tìm vào phương trình (a), nhận được:

2

2

1

2 C

k

Q P V Q P S

g R R

ρ

    

+ + = −

    

 

 

 

Suy ra: ( )

( )

2 2

2

4

C

gS QR kP R V

QR P R ρ

− =

+ + (b)

Để xác định WC, đạo hàm (b) theo t ý C

dS V

dt

= , ta tìm được:

( )

2 2

2

4 ( )

C

QR kP R

W g

QR P R ρ

− =

+ +

2.5.4 Định luật bảo toàn cơ năng a. Định nghĩa

- Trường lực: Phần khơng gian chất điểm chịu tác dụng lực phụ thuộc vào vị trí gọi trường lực Theo định nghĩa:

F =F x y z( , , )= X x y z i( , , ) +Y x y z( , , ) j +Z x y z k( , , )

uur uur ur uur ur

- Trường lực thế: Trong trường lực tồn hàm: U =U x y z( , , ) cho thỏa mãn điều kiện:

X U; Y U; Z U

x y z

∂ ∂ ∂

= = =

∂ ∂ ∂

(2-58)

thì trường lực gọi trường lực Hàm U =U x y z( , , ) gọi hàm lực Trong trường lực thế, công lực không phụ thuộc vào dạng đường điểm đặt lực, mà phụ thuộc vào vị trí đầu vị trí cuối

Thật vậy, ta có: ( )

0

0

M M

M M

M M

U U U

A F Xdx Ydy Zdz dx dy dz

x y z

∂ ∂ ∂

= + + = + +

∂ ∂ ∂

∫ ∫

uur

( ) ( ) ( ) ( )

0

0 , , 0, ,0

M

M

dU U M U M U x y z U x y z

= ∫ = − = −

hay viết đơn giản là: A=U −U0 (2-59)

π(x, y, z) công lực sinh chất điểm dịch chuyển từ vị trí M(x, y, z) đến vị trí M0(x0, y0, z0) Gọi giá trị hàm vị trí M(x, y, z) U, đó:

π = U0− U (2-60)

πđược gọi hàm thế; lực F uur

trường lực gọi lực Từ (2-58) (2-60) suy ra:

; ;

X Y Z

x y z

π π π

∂ ∂ ∂

= − = − = −

∂ ∂ ∂ (2-61)

Do đó: ( )

0

M M

A F = A=π −π

uur

(2-62) b. Định luật bảo toàn cơ năng

Giả sử nội lực ngoại lực tác dụng lên hệ khảo sát lực thế, đó, điểm hệ công lực đặt lên bằng:

( ) ( ) 0

i e

k k k k k k k k k

A = A F + A F =U −U =π −π

uur uur

Đối với tất nội ngoại lực tác dụng lên chất điểm thuộc hệ, ta có:

( ) ( ) 0

i e

k k k k k k k

k k k k k

A = A F + A F = π − π =π −π

∑ ∑ uur ∑ uur ∑ ∑

Áp dụng định lý biến thiên động hệ trường hợp thì:

0 k

k

T −T =∑A =π −π

Suy ra: T +π =const (2-63)

Ký hiệu: E=T+π, gọi Hệ thức (2-63) trở thành E = const Cơ hệ thỏa mãn điều kiện gọi hệ bảo tồn Hệ thức (2-63) tích phân lượng, biểu thịđịnh luật bảo tồn phát biểu sau: “Trong trường lực thế, tổng động năng thế năng của hệ không đổi”.

Ví dụ 13. Sợi dây đồng chất có chiều dài L, một phần nằm bàn nhẵn nằm ngang, chuyển động tác dụng trọng lượng phần dây treo lửng bàn Hãy xác định khoảng thời gian để dây trượt khỏi bàn Biết thời điểm ban đầu chiều dài đoạn dây treo lửng l, cịn vận tốc ban đầu khơng

Bài giải:

L

L

S C

C

Vur

Xét hệ dây đồng chất chiều dài L Gọi V C ur

vận tốc trọng tâm dây, S quãng đường trọng tâm phần treo lửng ngồi bàn (hình 2-33) Ta có:

2 ;

C C

mV

T = V =S&

Chọn vị trí mút dây tuột khỏi bàn làm gốc tính năng, đó: mg2 (S L S) mg(L )S L

L L

π = − + −

Áp dụng định luật bảo toàn năng, ta được:

( )

2 2

2 g

T const C S L S C

L

π

+ = = ⇒ & + − = Tại thời điểm ban đầu: t = 0: 0;

2

S&= S = l Nên suy ra: (2 2)

g

C L

L

= −l đó:

(2 2) . 2

2 /

dS g LC L

C S L S

dt L L g g

 

= + − = + − 

 

Từđó, ta nhận được:

2 2

2 2

ln /

L

L dS L L L

t

g S g

+ −

= =

−

∫

l

l l l

Chú ý:

Các định lý tổng quát động lực học hệ quy chiếu quán tính thiết lập sở phương trình động lực học hệ quy chiếu quán tính (1-3)

PHẦN PHỤ LỤC

(Dành riêng cho Sinh viên ngành Cơng trình Cơ khí)

CHƯƠNG I: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 1.1 Chuyển động tịnh tiến của vật rắn

Vật rắn chuyển động tịnh tiến điểm thuộc vật chuyển động nhau, phương trình vi phân chuyển động tâm khối lượng phương trình vi phân chuyển động vật rắn chuyển động tịnh tiến:

1

n e

C k

k

M W F

= =∑

uur uur

(1-1) Trong đó: M WC

uur

khối lượng vật rắn gia tốc tâm khối lượng, { }e k

F uur

là hệ ngoại lực đặt lên vật rắn (1-1) viết dạng tọa độđề các:

1 ; ;

n n n

e e e

C k C k C k

k k k

Mx X My Y Mz Z

= = =

=∑ =∑ =∑

&& && && (1-1)′ Dựa vào (1-1) hay (1-1)′ giải hai toán động lực học vật rắn

Chú ý:Điều kiện cần đủđể vật rắn chuyển động tịnh tiến MeC =0

uur

ω0 =0 ur

1.2 Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cốđịnh

1.2.1 Phương trình vi phân chuyển động

Xét vật rắn chuyển động quay xung quanh trục cố định tác dụng hệ ngoại lực gồm (F , F , , F1e 2e ne)

uur uur uur phản lực liên kết hai ổ trục NA,NB

uur uur

(hình 1-1)

Áp dụng định lý đạo hàm mômen động lượng trục ta có:

( )

n

e z

z k

k

dL

m F dt =

=∑ uur

(1-2)

Hay ( )

1

n

e

z z k

k

J m F

ϕ

= =∑

uur

&& (1-3)

z

e

F ur

e n

Fur

e k

Fur

e

Fur

e

F ur

B

A Hình 1-1

B

N

ur

A

Từđó rút ra: ( )

n

e

z k

k z

m F J

ε =ϕ = =

∑ uur

&& − Nếu ( )

1

n

e

z k

k

m F =

∑ uur cho Jz lớn, ε nhỏ ngược lại, vật rắn chuyển động quay xung quanh trục cốđịnh Jzđóng vai trị khối lượng vật rắn chuyển động tịnh itến Vì người ta coi Jz – số đo quán tính vật rắn chuyển động quay xung quanh trục cốđịnh

− Nếu ( )

0

n

e

z k

k

m F =

=

∑ uur ε =ϕ&&=0 ⇒ ω=const, vật quay đều quanh trục Phương trình chuyển động có dạng: ϕ =ϕ0 +ωt

− Nếu ( )

n

e

z k

k

m F const =

=

∑ uur ε = const, vật rắn quay biến đổi đều, phương trình

chuyển động có dạng: 0 0

2

t t

ϕ =ϕ +ω + ε

Trong đó: ϕ0, ω0 góc quay vận tốc góc ban đầu Từ (1-2) ta giải hai toán động lực học vật rắn

1.2.2 Xác định phản lực động lực ở hai gối đỡ của trục quay cốđịnh

Dưới tác dụng hệ lực hoạt động (F1a,F2a, , Fna)

uur uur uur

vật rắn chuyển động quay xung quanh trục z cố định với ω

ur ε

r

hình vẽ (hình 1-2)

Xác định phản lực NA, NB

uur uur

ở gối đỡ thời điểm khảo sát

Theo nguyên lý Đalămbe vật rắn hệ ngoại lực đặt lên vật với lực quán tính điểm thuộc vật lập thành hệ lực cân Ta có hệ phương trình cân bằng:

A

a

F ur B

B

X ur

z

y

x

B

Yur

a

F ur

a n

Fur

a k

Fur

A

Xur

A

Yur

A

Z ur

ωr ε

r

C

r r C O

Mk

( ) ( ) ( ) 1 0 n a qt A B k k n qt a O

O k O A O B

k

F N N R

m F m N m N M

= = + + + = + + + = ∑ ∑

uur uur uur uuur

uur

ur ur uur ur uur uur (1-3)

Ta chọn trục Ox, Oy gắn chặt với vật rắn, i, j ur uur

k ur

ba véctơ đơn vị ba trục Ox, Oy, Oz Xác định qt, qt

O

R M uuur uur

mO( )NA ,mO( )NB

ur uur ur uur :

Ta có: qt ( ) ( )

C C C C C

R = −M W =M εy +ω x i +M ω y −εx j

ur uur ur uur

(a) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n n qt qt

O O k k k k

k k

xz yz yz xz z

M m F r m W

J J i J J j J k

ε ω ε ω ε

= =

= = − ∧

= − + + −

∑ uuur ∑

uur ur r uur

ur uur ur (b)

mO( )NA =aY iA −aXA j

ur uur ur uur

(c)

mO( )NB = −bY iB +bXB j

ur uur ur uur

(d) Thay (a), (b), (c) (d) vào (1-3) chiếu hệ phương trình lên ba trục tọa độ chọn ta có:

( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 e

k A B C C

e

k A B C C

e

k A

e

x k A B xz yz

e

y k A B yz xz

e

z k z

X X X Mx My

Y Y Y My Mx

Z Z

m F aY bY J J

m F aX bX J J

m F J

ω ε ω ε ε ω ε ω ε  + + + + =  + + + − =   + =    + − + − =   − + + + =    − =  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ uur uur uur (1-4)

Vì hệ tọa độ Oxyz gắn chặt vào vật, nên xC, yC, Jxz, Jyz Jz khơng đổi Phương trình cuối (1-4) khơng chứa phản lực phương trình vi phân chuyển động quay vật quanh trục cố định phương trình cịn lại xác định thành phần phản lực hai gối đỡ A B, thành phần phản lực không phụ thuộc vào ngoại lực mà phụ thuộc vào ωur εr vật

Để tìm phản lực động lực ta cho e k

X =

∑ , e

k

Y =

∑ , ( )e

x k

m F =

∑ uur

( )e

z k

m F =

∑ uur phương trình (1), (2), (4), (5) hệ (1-4) ta có:

2

2

0 0

0

d d

A B C C

d d

A B C C

d d

A B xz yz

d d

A B yz xz

X X Mx My

Y Y My Mx

aY bY J J

aX bX J J

ω ε

ω ε

ε ω

ε ω

 + + + =



+ + − =

 

− + − =

 

− + + + =



(1-5)

Từ (1-5) ta thấy: Nếu ω ε lớn thành phần phản lực động lực lớn, kỹ thuật ta muốn triệt tiêu, ta có:

2

2

0 0

C C

C C

xz yz

yz xz

Mx My

My Mx

J J

J J

ω ε

ω ε

ε ω

ε ω

 + =



− =

 

− =

 

+ =



(1-6)

Từ (1-6) ω4+ε2 ≠0 từ hai phương trình đầu ta có xC = yC = trục Oz phải qua tâm khối lượng C từ hai phương trình cuối ta có Jxz = Jyz = trục Oz trục qn tính điểm O vật

Vậy điều kiện để thành phần phản lực động lực triệt tiêu trục quay Oz trục quán tính trung tâm

Ví dụ 1. Bánh xe nặng 300KN có trọng tâm ở cách trục nằm ngang một khoảng 1mm Tìm phản lực ổ đỡ, khoảng cách bánh xe hai ổ đỡ nhau, cho biết trục quay với n = 1200 v/p, bánh xe có mặt phẳng đối xứng vng góc với trục quay (hình 1-3)

Bài giải:

Chọn gốc tọa độ O giao điểm tâm bánh xe với trục quay Trục Ox hệđộng qua tâm khối lượng C, trục Oz Oz1 trùng với trục quay

Do xC = −1 yC =

Vì bánh xe có mặt phẳng đối xứng vng góc với trục quay nên mơmen qn tính ly tâm khơng: Jxz = Jyz =

Vì 1200 /v p 40

s

ϕ& = = π đó: ε =ϕ&&=0 ta có: ;

2

A B

z = −l z = l

Phản lực tĩnh học bằng: 150 ; 150

2

T T

A B

P

X = = KN X = KN Dựa vào (1-5) ta có:

2

0

2

0

2

d d

C A B

d d

A B

d d

A B

d d

A B

P

x X X

g Y Y

Y Y

X X

ϕ



− = +

 

 = +

 

= − −

  

= − +



&

l l

l l

Giải hệ phương trình ta có: 240 ;

2

d d d d

A B C A B

P

X X x KN Y Y

g ϕ

= = − & = − = =

Ta thấy phản lực động lực lớn 1,6 lần phản lực tĩnh học Hướng chúng thời điểm theo hướng véctơ OC

uuur

1.3 Chuyển động song phẳng của vật rắn Dưới tác dụng hệ ngoại lực ( 1e, 2e, , e)

n

F F F

uur uur uur vật rắn chuyển động song phẳng

Để tiện cho việc khảo sát ta chọn tâm khối lượng C vật rắn làm cực, hệ quy chiếu Oxy cốđịnh trùng với mặt phẳng cốđịnh hình phẳng (hình 1-4)

Phương trình chuyển động vật rắn là:

xC = x tC( ); yC = y tC( );ϕ=ϕ( )t (1-7) y

x O

C

B

ϕ

Áp dụng định lý chuyển dời khối tâm định lý đạo hàm mômen động lượng hệ theo thời gian ta có phương trình vi phân chuyển động song phẳng vật rắn:

( )

1

1

n e

C k

k n

e

C k

k n

e

Cz Cz k

k

Mx X

My Y

J ϕ m F

=

=

=



=

  

=

  

=

 

∑ ∑ ∑

&&

&&

uur &&

(1-8)

Từ hệ (1-8) giải hai toán động lực học vật rắn

Nếu biết trước quỹ đạo tâm khối lượng hệ phương trình (1-8) viết dạng tọa độ tự nhiên:

( )

2

1

n e

C k

k n

en C

k k C

n

e

Cz Cz k

k

Ms F

V

M F

J m F

τ

ρ ϕ

=

=

=



=

  

=

  

=

 

∑ ∑ ∑

&&

uur &&

(1-9)

Trong đó: sC, VC, ρC toạđộ cong, vận tốc bánh kính cong tâm khối lượng Ví dụ 2. Một lăn có trọng lượng P, bán kính R lăn khơng trượt mặt phẳng nghiêng, nghiêng góc α so với phương nằm ngang Tìm gia tốc tâm lăn hệ số ma sát trượt nhỏ để lăn lăn không trượt, bỏ qua ma sát lăn (hình 1-5)

Bài giải:

ϕ

C

V

ur

C

W

uur

N

ur

Fur

Pur

x C

y

O

Con lăn chuyển động song phẳng, chọn tâm khối lượng C làm cực

Gọi F trị số lực ma sát trượt nhỏ để lăn lăn không trượt Chọn hệ quy chiếu hình vẽ Phương trình vi phân chuyển động lăn có dạng:

sin

C

Cz

P

x P F

g

N Pcos J R F

α α ϕ



= −

 

= −



 =

 

&&

&&

(a)

Ta có: VC =x&C =ω.R,

2 ;

2

C Cz

PR

x R J

g

ε

= =

&&

Thay vào phương trình cuối (a) ta có:

2 2

C

Px

PR P

R F F R

g g g

ε = ⇒ = ε = && (b) Thay (b) vào phương trình đầu (a) ta có:

2 sin sin

2

C

C C

Px

P g

x P x W

g g

α α

= − && ⇒ = = && &&

Vậy sin

3 P

F = α

Từ phương trình (2) (a) ta có N = Pcosα

Điều kiện để lăn không trượt là: F ≤ fN hay sin

3

P

fPcos f tg

α

α α

≤ ⇒ ≥

Vậy min

3 f = tgα

1.4 Chuyển động quay quanh một điểm cốđịnh của vật rắn

1.4.1 Mô men động lượng động năng

a Mô men động lượng

Vận tốc điểm thuộc vật: vr=ωr∧rr Do mơ men động lượng vật rắn điểm cốđịnh O bằng:

( ) ( )

O k k k k k k k k k k k

k k k k

L =∑r ∧m v =∑r ∧m ω∧r =ω∑m r −∑m r r ∧ω

Chiếu hệ thức lên hệ trục động Oxyz (gắn liền với vật rắn), ta được: 2

2

( ) ( )

( )

x x k k k k k k x k y k j k

k k

k k k k y k k k j k k k

k k k

L m x y z m x x y z

m y z m x y m x z

ω ω ω ω

ω ω ω

= ∑ + + −∑ + + =

= ∑ + − ∑ − ∑

Hay: Lx =ωxJxx −ωyJxy −ωzJxz tương tự ta có:

Lz = −ωxJzx−ωyJzy+ωzJzz (1-10)

Lz = −ωxJzx−ωyJzy+ωzJzz

Nếu hệ Oxyz hệ trục quán tính điểm O mơmen tích qn tính (mơmen qn tính ly tâm) khơng ta có:

Lx =ωxJxx = Ap L; y =ωyJyy =Bq L; z =ωzJzz =Cr (1-11)

Ởđây ký hiệu: Jxx = A J, yy =B J, zz =C

b Động năng của vật rắn

Động vật rắn tính theo cơng thức:

( )

( )

2

1 1

2 2

1 1

2 2

k k k k k k k

k k k

O

k k k k k k

k k

T m v m v m v r

r m v r m v L

ω

ω ω ω

= ∑ = ∑ = ∑ ∧ =

= ∑ ∧ = ∑ ∧ =

r

r r r

ur

r r r r r r r

Từđó, ta có:

2 2 2 2

2 xx x yy y zz z xz x z yz y z zx z x

T = J ω +J ω +J ω − J ω ω − J ω ω − J ω ω  (1-12)

Nếu hệ Oxyz hệ trục quán tính điểm O thì:

2 2 2

2 xx x yy y zz z

T = J ω +J ω +J ω = Ap +Bq +Cr  (1-13)

1.4.2 Phương trình động lực học Ơ-le Gọi MO

uur

vectơ mơmen hệ ngoại lực tác dụng lên vật rắn điểm cốđịnh O, ta có:

O O( )ek

k

M =∑m F uur ur uur

(1-14) Theo định lý đạo hàm mômen động lượng ta có: O O

d L M dt =

ur uur

Ký hiệu: da dt r

đạo hàm véctơ ar theo t hệ sở (hệ cố định); da dt r %

đạo hàm véctơ ar theo t hệđộng (đạo hàm cục bộ), thì:

da da a

dt = dt +ω∧ r %r

r r

(1-16) Áp dụng công thức (1-16) phần trái (1-15) Ta có:

O

da da

L dt = dt +ω∧

r %r ur r

(1-17)

Thay (1-17) vào (1-15) nhận được:

O

O O

d L

L M

dt +ω∧ = ur

% ur ur uur

(1-18) Chiếu hệ thức (1-18) lên hệ trục động Oxyz bỏ dấu ký hiệu đạo hàm cục bộ, ta được:

x

y z z y x

y

z x x z y

z

x y y x z

dL

L L M

dt dL

L L M

dt dL

L L M

dt

ω ω

ω ω

ω ω



+ − =

  

+ − =

  

+ − =

 

(1-19)

Nếu hệ trục động Oxyz hệ trục quán tính điểm O thì: Lx =Jxxωx = Ap L; y = Jyyωy =Bq L; z = Jzzωz =Cr

Phương trình (1-19) trở thành:

( )

( )

( )

x

y

z

dp

A C B qr M

dt dq

B A C rp M

dt dr

C B A pq M

dt



+ − =

  

+ − =

  

+ − =

 

(1-20)

Các hệ thức (1-20) Ơ-le đẫn vào năm 1765 gọi phương trình động lực học Ơ-le

hàm t, ϕ, ψ, θ, ωx, ωy, ωz, nên thực chất việc tích phân hệ phương trình khó khăn cảđối với trường hợp riêng

Một số toán riêng nghiên cứu: a. Trường hợp Ơle – Poanhxô: Xét M = 0O

uur

b. Trường hợp Lagrăng – Poanhxô: Xét A=B trọng tâm của vật rắn nằm trên trục đối xứng động lực

c. Trường hợp Côvalepxki đã được xét vào năm 1905

Xét A = B = 2C trọng tâm vật rắn nằm mặt phẳng xích đạo Ellípxơít qn tính

Những nghiên cứu nhiều tác giả khác rằng: Ngoài ba trường hợp khảo sát kể trên, trường hợp khác, khơng có trường hợp tồn tích phân đại số

Một số tác giả tìm trường hợp tồn tích phân đại số riêng, nghĩa tích phân có điều kiện ban đầu chọn đặc biệt đó, chẳng hạn như: Héc, Chanplưghin,

1.5 Lý thuyết gần đúng của hiện tượng quay

1.5.1 Khái niệm Mơ hình quay giá đăng

Vật chất quay nhanh quanh trục đối xứng, trục có thểđổi hướng khơng gian, gọi quay

Người ta tạo quay hình trụ đặc hình xuyến liên kết cho điểm trục quay luôn cố định Những liên kết thực hiện, chẳng hạn, nhờ giá gọi giá đăng Mơ hình quay (Gyrơxcốp) giá đăng có cấu tạo sau (hình 1-6):

Rôto: Là bánh đà nặng quay nhanh quanh trục đối xứng

vật chất Nó phận chủ yếu Gyrôxcốp Rôto treo giá đỡ gọi giá đăng

Khung trong:là vòng trịn A đồng chất mà đường kính CD trục quay bánh đà (Rơto) Đường kính IK ⊥ CD trục

Khung ngồi: Vòng tròn A treo vào vòng tròn B mà đường kính EF quay tự quanh hai ổ trục gắn giá đỡ

Hình 1-6 K

I F E

D

C

Các vòng tròn liên kết cho: CD ⊥ IK ⊥ EF cắt O

Hệ thống giá treo mô tả giá đăng Các khung treo A, B hộp kín chân khơng Các vịng trịn đồng chất thay khung chữ nhật

Đế: Là vật mang giá đăng treo Gyrơxcốp Nếu đế bất động, Gyrơxcốp rõ ràng có ba bậc tự Đế cốđịnh di động

1.5.2 Lý thuyết gần đúng của hiện tượng quay

Những quay có vận tốc góc quay riêng ω1 =ϕ& rất lớn quanh trục đối xứng vật chất có nhiều áp dụng kỹ thuật

Trong trường hợp này, lý thuyết (lý thuyết gần đúng) tượng quay phát biểu sau:

Với quay nhanh (ω1 lớn) coi ba hướng quay: Quay riêng, tiến động chương động gần trùng Điều có nghĩa là: Ở thời điểm vectơ vận tốc góc tức thời ωr ≈ωr1 véctơ mơmen động lượng hướng theo trục đối xứng vật chất quay Ta có: LO =Jω1

ur r

(1-21) Giả thiết gần trên, cho phép nói đến dịch chuyển trục quay so với thay đổi hướng véctơ LO

ur

Áp dụng Định lý Mômen động lượng ta có:

O

O

d L M dt =

ur uur

(1-22) Ở đây: MO

uur

là mơmen ngoại lực tác dụng lên quay điểm O

Gọi mút véctơ LO

ur

điểm B Vế trái (1-22) xem vận tốc vB

r

điểm B (Hình 1-7) vB =MO

uur r

(1-23)

Định lý (Резаля): Vận tốc mút véctơ mômen động lượng trị số hướng mơmen ngoại lực điểm O

Từ đó: Nếu xét quay cân thời điểm trục tác dụng lực F

uur

; mômen lực điểm O MO

uur

vng góc với trục Hình 1-7

O M uur B v r

B′

O h

con quay Theo (1-23) điểm B nhận vận tốc vB =MO

uur r

trục nhận góc lệch nhỏ∆ψ khoảng thời gian ∆t mặt phẳng góc với lực F

uur Vậy, tác dụng lực F

uur

, trục quay bắt đầu lệch không phía lực tác dụng mà theo hướng véctơ mơmen MO

uur

(thẳng góc với lực F uur

) Ta có đặc tính quan trọng quay quay nhanh

Bây giờ, thời điểm ngừng tác dụng lực F uur

Trong điều kiện bình thường nhưđã biết trước, ngừng tác dụng lực vật phải chuyển động theo quán tính Tuy nhiên trường hợp này, F =0

uur

thì MO =0 uur

vB =0

r Nghĩa là: Khi ngừng tác dụng lực trục quay không tiếp tục dịch chuyển Ta nhận đặc tính quan trọng quay quay nhanh (khơng có tính qn tính chuyển động trục nó)

Những điều mơ tả đến kết luận: Tác dụng lực tức thời, thực tế không làm thay đổi hướng trục quay quay nhanh Những quay có tính ổn định bảo tồn hướng trục Đây tính chất quan trọng quay áp dụng rộng rãi kỹ thuật

1.5.3 Mômen Gyrôxcốp Hiệu ứng Gyrô

a Trước hết ta xét chuyển động của quay dưới tác dụng lực Gọi MO

uur

Mơmen lực điểm cốđịnh O thẳng góc với trục quay riêng (z) quay

Điểm B trục có vận tốc: vB =MO

uur r

trục quay quanh điểm cố định O Khi bỏ qua quay chương động (theo lý thuyết bản) chuyển động trục (z) cạnh điểm O tiến động, nghĩa quay quanh trục ζ với vận tốc góc ωr2

Ta có: vB =ω2∧OB OB; =LO = Jω1

uuur uuur ur

r r

r

do đó: J(ω2∧ω1)=MO

uur r r

(1-24) Mômen động lượng LO =Jω1

ur r

được coi cho, nên phương trình (1-24) cho phép: Khi biết MO( )t

uur

xác định ωr2và ngược lại: Khi biết ωr2 xác định MO( )t

uur B

O L ur z

O

O M uur

k

ξ

η

ωr1 θ

B v r ωr2

b Ta chuyển xét toán: Nếu biết vận tốc góc tiến động

ωr (đại lượngJωr2cũng cho) từ (1-24) xác định MO( )t

uur

- gây nên quay tiến động

Giả sử quay thực quay tiến động cưỡng với vận tốc gócωr2thì MO

uur gây nên áp lực lên trục gắn quay, lực tạo thành ngẫu với véctơ

Mơmen M Gyr«

uur

- gọi Mômen quay: MGyro= −MO

uur uur

(hình 1-9) Từ (1-24), Ta có:

( 2)

1 2sin

Gyro Gyro

M J

M J

ω ω

ω ω θ

 = ∧

 

=



uur r r

(1-25) Hiện tượng (sự xuất mơmen Gyrơ) gọi hiệu ứng Gyrơ

Nó xác định quy tắc ặúờợõủờốộ sau đây: Nếu Rôto quay với tốc độ ω1 lớn quanh trục đối xứng nó, bị thiết bị khác buộc phải quay với tốc độ ω2 quanh trục khác, khác với trục đối xứng Rôto sinh ngẫu lực với mômen

Gyro

M uur

- có xu hướng kéo ωr1 đến trùng ω2

r

theo quãng đường ngắn Nhận xét:

1

ωr có độ lớn gần 102 ÷ 104 rad/s nên J lớn, ω2 dù nhỏ sinh MGyro

uur

lớn làm phá hủy rôto Hơn J nhỏ, ω2 lớn phá hỏng rơto Do thiết bị có khả thực lúc hai chuyển động quay quanh trục cắt phải ý đến suất mômen Gyrôxcốp

c Hiệu ứng Gyrơ có lợi: Ứng dụng hiện tượng xuất hiện mômen Gyrô một thiết bị thực hai chuyển động quay quanh trục cắt nhau; người ta chế tạo ô-tô hệ thống bánh; xe lửa; xe điện đường ray

Chế tạo bộđiều khiển hướng bay cho dụng cụ bay: Máy bay không người lái, tên lửa, trạm tự động, thuỷ lôi, tàu ngầm, vũ khí định hướng phương tiện di động: Máy bay, xe tăng, tàu thuỷ

d Hiệu ứng Gyrơ có hại: Các tuốc bin gắn giá đỡ bị rung sẽ đưa đến gãy trục, gãy giá đỡ, hỏng bu lông, gãy cánh tuốc bin

Các loại phương tiện vận tải chạy quỹđạo cong dễ bị lật đổ, ổ bi ổ trục treo bánh xe dễ bị phá hỏng, trục bánh xe bị hỏng

Hình 1-9

A B

Qr

Qr′

Jω1 ω2

Cánh quạt loại quạt có tuốc cần cho quay theo tuốc với tốc độ thấp để hạn chế gãy cánh, hỏng bạc, hỏng trục

Khi treo quạt trần, loại mũi khoan tốc độ lớn v.v phải treo vào ổ đỡ quay tự do, tránh Mômen Gyrôxcốp phát sinh tác động buộc chúng phải đổi hướng quay

1.5.4 Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Một rơto của động cơ điện đặt tầu có trục quay nằm ngang AB Trục AB thẳng góc với trục tầu O1O2 chúng cắt trọng tâm rơto Mơmen qn tính rơto trục AB J, ωr vận tốc góc quay rơto Xác định giá trị lớn áp lực động lực lên gối A B lắc bên tầu xảy quanh trục O1O2 theo quy luật điều

hoà 1 0sin t

T

π

ϕ =ϕ  

 ; khoảng cách

giữa gối AB = h (hình 1-10) Bài giải:

Khi tàu lắc ngang trục AB Rơto thay đổi hướng Do xảy tượng quay Rôto động điện quay với trục đối xứng AB Ta biểu diễn véctơωr dọc AB Mơmen động lượng LO =Jω

ur r

Khi lắc ngang thời điểm cho, véctơ ωr1 hướng dọc trục O1O2 từ O1 đến O2 Ta có:

0

1

0 1max

2 cos2

2 d

t

dt T T

T

πϕ

ω π

ω

πϕ ω



= =

 

 =



Mômen quay xác định theo công thức (1-25): MG =J(ω ω∧ 1)

uur r r

G

M uur

Trong trường hợp hướng theo phương thẳng đứng xuống Mômen quay tạo nên áp lực động lực quay lên gối đỡ A B

Các áp lực (NGA

uur

NGB) uur

tạo thành ngẫu nằm mặt phẳng vng góc với

G

M uur

hình vẽ Do ta có:

G G G 1sin ,( 1)

A B

J M

N N

h h

ωω ω ω

= = =

r r O

1

O

2

K L O L ur

A

B ωr

G A N ur

ωr1 G

B N ur

G Muur

O

Thay: ( )

1 1max

sin , sin ;

2 T

πϕ π

ω ωr r = = ω = , nhận được:

max max

G G

A B

J

N N

T

πϕ ω

= =

Ví dụ 2. Giải tốn trường hợp tầu thực hiện chuyển động xoắn quanh trục thẳng đứng KL với vận tốc góc ωr1

Trả lời: Các áp lực (NGA

uur

NGB ) uur

tạo thành ngẫu lực nằm mặt phẳng thẳng

đứng và: Gmax Gmax G

A B

M J

N N

h h

ωω

= = =

Ví dụ 3. Bánh xe răng nón II bán kính R2 = 20cm lồng tự OA Thanh nối cứng ởđiểm O với trục thẳng đứng OO1 (hình 1-11) Khi quay trục OO1 với vận tốc góc ω = 4π rad/s, bánh xe nón II lăn theo bánh nón I bán kính: R1 = 1,2 m Xác định tỷ số phản lực động lực bánh I với phản lực tĩnh bán kính qn tính bánh II ρ = 18cm, bỏ qua khối lượng OA

Trả lời: 2,6

d G

t t

R R

R = R ≅

Ví dụ 4. Bộ bánh xe có trọng lượng P = 14000N, bán kính a = 75cm bán kính quán tính trục ρ = 0,55 a, chuyển động với vận tốc V = 20m/s theo đường vịng có bán kính R = 200m nằm mặt phẳng nằm ngang (hình 1-12) Hãy xác định áp lực bánh xe lên đường ray khoảng cách chúng L = 1,5m Trả lời: R = (7000 ± 2210) N

L

a R1

R2

y z

I

A

O

1

O

x

II

CHƯƠNG II: LÝ THUYẾT VA CHẠM 2.1 Va chạm giả thiết gần đúng

2.3.1 Định nghĩa: Va chạm trình động lực đặc biệt mà vận tốc của chất điểm thuộc hệ thay đổi lượng hữu hạn khoảng thời gian vơ bé Ví dụ: Quả bóng va chạm vào nẩy lên; búa va đập vào đe

2.3.2 Lực xung lực va chạm Gọi τ thời gian va chạm, ∆V

ur

lượng biến thiên vận tốc chất điểm M thời gian va chạm

Do đó: tb

V W

τ

∆ =

ur uur

gia tốc trung bình chất điểm , có giá trị lớn

Sở dĩ q trình va chạm, ngồi lực thơng thường tác dụng lên chất điểm cịn có phản lực liên kết xuất bắt đầu va chạm sau va chạm đặt lên chất điểm, phản lực gọi lực va chạm ký hiệu N

uur

Lực va chạm có trị số lớn biến thiên nhanh thời gian va chạm, nên để đánh giá tác dụng ta dùng xung lượng S N( )

ur uur

hay giá trị trung bình N*

uur

thời gian va chạm (hình 2-1)

Ta có: *

0

S Nd N

τ

τ τ

=∫ =

ur uur uur

(2-1)

2.3.3 Giả thiết gần đúng của lý thuyết va chạm a. Bỏ qua tác dụng của lực thông thường

Theo định lý biến thiên động lượng chất điểm thời gian va chạm ta có:

0

m V Fd Nd

τ τ

τ τ

∆ =∫ +∫

ur ur uur

(2-2) Trong đó: F

ur

lực thông thường đặt lên chất điểm M

Fur

O τ t

*

N

ur

Ta có:

max

Fd F

τ

τ ≤ τ

∫ur ; Fmax đại lượng hữu hạn thường khơng lớn, cịn τ

đại lượng nhỏ, nên xung lượng lực thông thường bé so với xung lượng va chạm mà ta bỏ qua

Phương trình (2-2) viết:

0

m V Nd S

τ τ

∆ =∫ =

ur uur ur

(2-3)

Đó phương trình lý thuyết va chạm b. Bỏ qua dịch chuyển của chất điểm

Gọi s dịch chuyển chất điểm va chạm, ta có:

max

s Vd V

τ

τ τ

= ∫ ≤

Vì Vmax đại lượng giới hạn mà τ đại lượng nhỏ, ta bỏ qua

dịch chuyển chất điểm va chạm

Vậy lực va chạm làm thay đổi vận tốc chất điểm M va chạm mà không làm thay đổi vị trí

c. Biến dạng hệ số khơi phục

Thực tế ta thấy q trình va chạm chia làm hai giai đoạn: Biến dạng khôi phục

− Giai đoạn biến dạng kéo dài τ1 giây kể từ hai vật thể va chạm tiếp xúc kết thúc biến dạng

− Giai đoạn khôi phục kéo dài (τ2−τ1) giây kể từ kết thúc biến dạng đến kết thúc va chạm Giai đoạn vật thể va chạm lấy lại hình dạng cũ

Người ta chia va chạm hai loại:

− Nếu khơng có giai đoạn khơi phục, va chạm gọi va chạm mềm Đặc điểm loại kết thúc va chạm phần tử hai vật thể vùng tiếp xúc có thành phần vận tốc pháp tuyến

− Nếu có giai đoạn khơi phục va chạm gọi va chạm đàn hồi

Để biểu thịđặc điểm khôi phục ta đưa khái niệm hệ số khôi phục k xác định biểu thức:

2 S k

S

= (2-4)

Trong đó:

1

1 S Nd

τ τ

=∫ xung lượng va chạm giai đoạn biến dạng

2

2

S Nd

τ

τ τ

Rõ ràng nếu: k = va chạm va chạm mềm k = va chạm hồn tồn đàn hồi < k < va chạm đàn hồi

Hệ số k phụ thuộc vào chất vật liệu đàn hồi hai vật thể va chạm xác định thực nghiệm

2.2 Các định lý tổng quát của động lực học áp dụng vào va chạm

Dựa vào giả thiết lực, dịch chuyển biến dạng, sở phương trình m V∆ =S

ur ur

ta xây dựng định lý tổng quát cho lý thuyết va chạm 2.2.1 Định lý biến thiên động lượng

Biến thiên động lượng hệ thời gian va chạm tổng xung lượng va chạm ngoại lực đặt lên hệ thời gian

Chứng minh:

Áp dụng định lý biến thiên động lượng hệ, ta có: 0

n e k k

Q Q S

= − =∑

uur

ur ur

hay

1

n e

C C k

k

M V M V S

=

− =∑

uur

ur ur

(2-5) Trong

1

n e k k

S =

∑uur xung lượng va chạm ngoại lực

Ví dụ 1. Hai quả cầu có khối lượng m1, m2 chuyển động mặt phẳng nằm ngang nhẵn với vận tốc V V1,

ur ur

va chạm vào Giả thiết va chạm mềm (k = 0) tìm vận tốc chung V

ur

hai cầu sau va chạm

Bài giải:

Cơ hệ gồm hai cầu Bỏ qua tác dụng lực thông thường ( P1,P2 ur ur

1,

N N uur uur

)

Áp dụng định lý biến thiên động lượng hệ chiếu lên trục x ta có: 0

C C

Mx& −Mx& =

hay ( ) 1 2

1 1 2

1

0 m V m V

m m V m V m V V

m m +

+ − + = ⇒ =

+

O1 O2V2

ur

1

V ur

x

2.2.2 Định lý biến thiên mômen động lượng

Biến thiên mômen động lượng hệ tâm hay trục thời gian va chạm tổng mômen xung lượng va chạm ngoại lực đặt lên hệ lấy tâm hay trục thời gian va chạm

Chứng minh:

Theo định lý đạo hàm mômen động lượng:

( ) ( )

1

n n

O e e

k k k

O

k k

d L

m F r F

dt = =

=∑ =∑ ∧

ur

uur uur

uur r

Tích phân hai vế ta có:

(0) ( ) ( )

1 1

0

n n n

e e e

O O k k k k O k

k k k

L L r F dt r F dt m S

τ τ = = =   − = ∧ =  ∧ =   ∑ ∑ ∑

∫ uur ∫uur uur

ur ur r r ur

(2-6) Chiếu đẳng thức lên trục Oz ta có:

( ) (0)

1

n

e

Oz Oz z k

k

L L m S

=

− =∑

uur

hay ( 0) ( )

1

n

e

z z k

k

J m S

ω ω

=

− =∑

uur

(2-7)

Ví dụ 2. Vật rắn chuyển động quay xung quanh trục cố định Oz với vận tốc góc ω0 Tác dụng lên vật xung lượng S

ur

hình vẽ Tìm vận tốc góc vật sau va chạm (hình 2-3)

Bài giải:

Áp dụng (2-7) tacó: ωJz −ω0Jz =m Sz( )

ur ( ) ( ) 0 z z z z

m S m S

J J

ω ω ω ω ω

⇒ ∆ = − = ⇒ = +

ur ur

2.2.3 Định lý mất động năng (định lý Cácnô)

Trong va chạm khơng dùng định luật bảo tồn phần động hệ biến thành nhiệt năng, mặt khác không dùng định lý biến thiên động khơng tính cơng ngoại lực va chạm

Ởđây ta có định lý Cácnô:

( ) ( ) 1 0 1 2 n k k k k n k k k k

T T m V V

T

T T m V V

= =  − = −   ∆ =  − = −  ∑ ∑ ur ur

ur ur (2-8)

Nguyên nhân động biến dạng dư kèm theo biến đổi nội hệ Trong thực tế: Người ta sử dụng va chạm gây biến dạng để rèn kim loại

O M O Sr Sr Hình 2-3

nghiền vật liệu Đồng thời làm giảm biến dạng đến mức tối thiểu để tăng dịch chuyển nhưđóng đinh đóng cọc

2.3 Áp dụng định lý tổng quát vào một số toán 2.3.1 Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật chuyển động tịnh tiến

Va chạm thẳng xuyên tâm hai vật chuyển động tịnh tiến va chạm cho pháp tuyến hai mặt tiếp xúc qua tâm khối lượng C1, C2 trùng với phương vận tốc hai tâm

a. Bài toán: Xét va chạm thẳng xuyên tâm hai cầu có khối lượng m1 m2 chuyển động tịnh tiến có vận tốc trước va chạm v1

r v2

r

, hệ số khôi phục k Tìm vận tốc ur1, ur2 sau va chạm, xung lượng va chạm lượng động ∆T va chạm (hình 2-4)

Áp dụng định lý biến thiên động lượng cho cầu giai đoạn biến dạng:

1 21

2 12

( )

( )

m u v S S

m u v S S

− = = −

 

− = =

 (a)

Trong u vận tốc chung hai cầu kết thúc biến dạng Ở giai đoạn khôi phục:

1 21

2 12

( )

( )

m u u S S

m u u S S

′ ′

− = = − 



′ ′

− = =

 (b)

Phương trình xác định hệ số khôi phục là: k S S ′

= (2-9)

Giải hệ (a), (b) (2-9) ta có:

1

vr v2

r

C2

C1

u

r

ur u1

r

1

ur

12

N ur

21

N ur

max

N′

uur

max

N

ur

21

N′

uur

12

N′

uur

Biến dạng Khôi phục

1 2 1 2

1 2

2

1 1

1

2 2

1 2

1 2

1

2 1

(1 ) ( )

(1 ) ( )

m v m v m u m u u

m m m m

m

u v k v v

m m m

u v k v v

m m m m

S v v

m m m m

S u u

m m

 + +

= =



+ +

 

= − + −



+ 



= + + −



+ 



= −



+ 



′ = −



+ 

(2-10)

b. Xác định hệ số khôi phục bằng thực nghiệm

Từ (2-10) ta có:

2

r r

S u u u

k

S v v v

′ −

= = =

− (2-11)

Trong đó: ur, vr vận tốc tương đối hai cầu va chạm thẳng xuyên tâm sau trước va chạm

Thí nghiệm: Thả viên bi xuống khơng vận tốc ban đầu từđộ cao h1 xuống sàn nằm ngang cố định Sau rơi viên bi bị bật lại với độ cao h2 rồilại rơi xuống Tìm hệ số khơi phục k

Theo (2-11) v2 = u2 = 0, nên ta có: 2

1 1

2

0

2

r r

gh

u u h

k

v v gh h

≤ = = = = ≤

Vậy

1

0 k h

h

≤ = ≤

c. Xác định ∆T va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật chuyển động tịnh tiến Ở trường hợp tức thời đặt liên kết, theo (2-8), ta có:

1( 2) 2( 2)

1 2 1 2 2

m m

T T T v u v u

∆ = − = − + − (a)

Thay giá trị u1, u2 từ (2-10) vào (a), rút gọn ta có:

2

1

1 2

(1 )( )

2( )

m m

T k v v

m m

∆ = − −

+ (2-12)

Áp dụng (2-12) vào hai toán thực tế:

Vậy từ (2-12) ta có: 2 12

(1 )

2( )

m m

T k v

m m

∆ = −

+ Gọi 0 1 12

2

T = m v động búa trước va đập Gọi

2

2

(1 )

1

T k

m T

m

η= ∆ = −

+

hệ số hữu ích Rõ ràng muốn tăng η phải giảm tỷ số

1 m

m hay khối lượng búa phải nhỏ nhiều lần so với khối lượng đe vật

− Búa đóng cọc: Khi búa đóng cọc ∆T vơ ích, người ta gọi hệ số hữu ích là:

2

1

2 1

1

T T k

m T

m

η = − ∆ = − −

+ Muốn tăng η phải tăng tỷ số

2 m

m , phải tăng khối lượng búa 2.3.2 Tâm va chạm của vật rắn quay xung quanh một trục cốđịnh

Dưới tác dụng xung lượng va chạm S

ur

, vật rắn chuyển động quay xung quanh trục cốđịnh AB, thường ổđỡ A B xuất xung lượng phản lực SA,SB

ur ur

làm tiêu hao lượng phá hỏng gối đỡ, trục quay Cho nên phải tìm điều kiện để tác dụng xung lượng va chạm lên vật chuyển động quay khơng xuất xung lượng phản lực SA,SB

ur ur

ổđỡ (hình 2-5)

Ta xét vật có mặt phẳng đối xứng Oxy vật gắn vào trục quay AB vng góc với mặt phẳng

Chọn Oy qua tâm khối lượng C vật rắn với OC = a

Giả sử trước lúc va chạm vật rắn đứng yên (ω0 = 0) Khi tác dụng xung lượng va chạm S

ur

nằm mặt phẳng Oxy xung lượng phản lực SA,SB

ur ur

xuất ổ đỡ A, B

Theo định lý biến thiên động lượng ta có: Q−Q0 =S+SA +SB

ur ur ur ur ur

(a) A

B z

A

Sr

Sr K

C

V ur

C a

ω1

h

B

Sr

x

y O

Trong đó: Q0 =0;Q=MVC

ur ur ur

C

V ur

vận tốc tâm khối lượng vật sau va chạm Từ (a) điều kiện để SA =SB =0

ur ur

, S =M VC

ur ur

suy xung lượng va chạm S ur

có hướng với VC

ur

hay ⊥ với OC (trục Oy)

Ta có: S =MVC =M a ω1 (b)

Mặt khác từ (2-7), ta có: 1 0 ( )

1

( ) n e

z z k

k

J m S

ω ω

=

− =∑

uur

đối với tốn ta có:

( ) ( )

1

z

z z

z z

m S S h J m S

J J

ω = ⇒ ω = =

ur ur

(c) Từ (b) (c) ta có:

z

J h

M a

= (2-13)

Các điều kiện xung lượng va chạm S ur

tác dụng lên vật quay xung quanh trục cốđịnh mà không xuất xung lượng phản lực ổ trục là:

− Xung lượng va chạm đặt mặt phẳng Oxy mặt phẳng mặt phẳng đối xứng vật

− Xung lượng va chạm S ur

hướng với VC

ur

vng góc với mặt phẳng chứa trục z tâm khối lượng C vật

− Xung lượng va chạm S ur

đặt cách trục quay Oz khoảng

z

J h

M a

= (ở phía có tâm khối lượng C) Điểm K tâm va chạm xung lượng va chạm S

ur

đặt K khơng xuất xung lượng phản lực ổđỡ

Ví dụ 3. Tìm tâm va chạm của đồng chất chiều dài l đối với trục quay qua đầu vng góc với (hình 2-6)

Bài giải:

Trục quay Oz trục quán tính điểm O

Tâm khối lượng C trung điểm thanh, nên

2 a= l

Vậy:

2

.

2

z

M J

OK

M a M

= = =

l l l

O z

C K

CHƯƠNG III: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI

Trong chương trước, ta khảo sát chuyển động vật thể (chất điểm hệ; vật rắn hệ vật rắn) hệ quy chiếu quán tính (cố định) Tuy nhiên, thí nghiệm cho phép ta nghiệm lại rằng: Một hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc hệ quy chiếu qn tính khơng phải hệ quy chiếu quán tính Chuyển động vật thể hệ quy chiếu gọi chuyển động tương đối (chuyển động hệ quy chiếu khơng qn tính) Nhiều toán thực tế kỹ thuật cần phải khảo sát hệ quy chiếu cho ta lời giải đơn giản

3.1 Phương trình via phân chuyển động của chất điêm hệ quy chiếu khơng qn tính

3.1.1 Thiết lập phương trình vi phân chyển động tương đối của chất điểm Chất điểm M, khối lượng m, chịu tác dụng lực ( , , , )F F1 Fn

ur ur ur

chuyển động hệ quy chiếu quán tính với gia tốc W

uur

Ta xét chuyển động chất điểm M hệ quy chiếu khơng qn tính chuyển động có gia tốc hệ quy chiếu quán tính

Phương trình động lực học hệ quy chiếu quán tính:

1

n k k

mW F

= =∑

uur ur

Từđịnh lý hợp gia tốc: W =Wa =Wr +We+WC

uur uur uur uur uur

Ta thu được:

1

( ) ( )

n k

r e C

k

mW F mW mW

=

=∑ + − + −

uur ur uur uur

Đặt: Feqt = −mWe

ur uur

gọi lực quán tính kéo theo; FqtC = −mWC = −2mωe∧Vr

ur uur ur uur

gọi lực qn tính Cơriơlít Lực tồn chất điểm chuyển động hệ quy chiếu khơng qn tính hệ chuyển động quay hệ quy chiếu quán tính

Như vậy, hệ quy chiếu khơng qn tính chuyển động có gia tốc hệ quy chiếu quán tính, phương trình vi phân chuyển động chất điểm có dạng:

1

n qt qt

k e C

r k

mW F F F

=

=∑ + +

uur ur ur ur

Gọi rr véctơđịnh vị chất điểm hệ quy chiếu khơng qn tính, ta có:

2

n qt qt

k e C

k

d r

mr m F F F

dt =

= =∑ + +

r ur ur ur

r

&& (3-2)

(3-2) phương trình vi phân chuyển động chất điểm hệ quy chiếu khơng qn tính dạng véctơ

Các trường hợp đặc biệt:

− Nếu hệ động chuyển động tịnh tiến: ωe = WC = 0, suy FCqt =0

ur

, phương trình (3-2) có dạng:

2

1

n qt

k e

k

d r

mr m F F

dt =

= =∑ +

r ur ur

r &&

− Nếu hệđộng chuyển động tịnh tiến thẳng đều, chất điểm đứng yên hệđộng ta có trường hợp đặc biệt xét riêng phần đây:

3.1.2 Phương trình cân bằng tương đối của chất điểm (điều kiện cân bằng tương

đối)

Chất điểm không chuyển động hệ khơng qn tính Vr ≡0

uur

, vế trái (3-1) lực quán tính Cơriơlít triệt tiêu Ta nhận được:

1

n qt

k e

k

F F

=

+ =

∑uur uur (3-3)

(3-3) phương trình cân tương đối Như thế, cân chất điểm hệ quy chiếu khơng qn tính giải thích cách đưa thêm vào lực quán tính kéo theo

3.1.3 Nguyên lý tương đối của cơ học cổđiển

Chất điểm M chuyển động hệ quy chiếu khơng qn tính tác dụng hệ lực ( , , , )F F1 Fn

ur ur ur

Hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến thẳng hệ quy chiếu quán tính, đó: F qte =0, FqtC =0

uur uur

Hệ thức (3-1) trở thành:

1

n

r k

k

m W F

= =∑

uuur uur

trong hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến thẳng hệ quy chiếu qn tính hồn toàn giống chúng xảy hệ quy chiếu quán tính

3.1.4 Ảnh hưởng sự quay của trái đất

− Sự bào mòn đường ray: Xét tàu hoả khối lượng m tiến phía bắc dọc theo kinh tuyến với vận tốc Vr

uur

vùng có vĩ độ θ thuộc bán cầu bắc (hình 3-1) Trái đất quay quanh trục từ tây sang đơng, vịng 23 56 phút giây, nghĩa vận tốc góc bằng:

0,0000729

86164 s

π

ω −

= =

Coi tàu chất điểm, gia tốc Cơriơlít là:

2 r

C

W = ω∧V

uur ur uur

Gia tốc hướng phía tây theo tiếp tuyến vĩ tuyến Áp lực tầu thông qua bánh xe lực

qn tính Cơriơlít gây hướng phía đơng (bên phải) theo hướng tàu chạy bằng:

qt

C r

F = − mω∧V

uuur ur uur

; độ lớn: FCqt =2m Vω rsinθ

Thay số với: m = 2.106 kg; Vr = 100 km/h; θ = 450 ta FCqt =5,7KN

Áp lực phải bị khử đường ray, ray bên phải bị bào mòn

− Hiện tượng Berer (lở bờ sông): Giải thích tương tựđối với dịng sơng chảy bắc bán cầu Do dịng chảy khơng lệch ngang, nên dịng sơng chảy từ xích đạo lên bắc bán cầu, dịng nước tác dụng vào bờ sơng lực từ trái sang phải bờ bên phải sơng bị xói lở nhiều Hiện tượng ngược lại tàu chạy dịng sơng chảy từ xích đạo Nam bán cầu

− Sự lệch hướng vật rơi tự gần mặt đất: Do vận tốc góc ω

ur

trái đất có giá trị bé, nên độ lớn lực qn tính Cơriơlít lực qn tính kéo theo đặt lên vật rơi bé so với lực hấp dẫn Ta coi cách gần đúng: Vận tốc tương đối Vr

uur vật rơi hướng theo đường thẳng đứng vào tâm trái đất Khi gia tốc Cơriơlít hướng phía tây lực qn tính Cơriơlít hướng phía đơng Do tác dụng lực này, vật rơi tự gần mặt đất lệch phía đơng so với đường thẳng đứng Độ lệch tính theo cơng thức xấp xỉ:

3/ 2

gcos H g

ω θ 

∆ =  

 

Hình 3-1 O

q

r

V ω qt C

Trong θ vĩđộđịa phương; H độ cao rơi vật

− Nhiều tượng học khác, như:Ở Bắc bán cầu, gió bắc có khuynh hướng thổi lệch phía tây, lệch hướng chuyển động mặt phẳng ngang, thay đổi gia tốc trọng trường theo vĩ độ, giải thích đưa hệ thức xấp xỉ cách tương tự Ta minh hoạ: Hướng lệch gió mùa; hướng chảy vòng dòng nước biển dòng khí; chiều xốy gió bão gió lốc hình vẽ (hình 3-2)

a) Gió mùa đơng: - Bắc bán cầu: Gió mùa Đơng – Bắc - Nam bán cầu: Gió

mùa Đơng – Nam

b) Gió mùa hạ: - Bắc bán cầu: Gió mùa Đơng – Bắc - Nam bán cầu: Gió mùa Đơng – Nam

c)

- Dịng nước biển, dịng khí

- Chiều xốy gió bão

Hình 3-2 Ví dụ

Điểm treo lắc toán học chuyển động đường thẳng đứng với gia tốc không đổi W

uur

Hãy khảo sát chuyển động lắc hệ trục toạ độ tịnh tiến với điểm treo (hình 3-3)

Bài giải:

Khảo sát chuyển động chất điểm M hệ trục tọa độ Oxy, gốc O gắn vào điểm treo

Các lực tác dụng lên chất điểm gồm: Trọng lực P ur

; phản lực N

uur

dây lực quán tính theo qt e

F uuur

, hướng chiều với lực P

ur

, qt

e

F = −mW

uuur uur

Do hệ động chuyển động tịnh tiến, nên F = 0qtC

ur

y

x

τ

r

M

P

qt e

F

nr N

l j O

W

Hình 3-3 T

B

N

Đ

N

Đ

T

B

N

T Đ

Hệ thức động lực học hệ quy chiếu khơng qn tính viết cho chất điểm M:

qt e

mW =P+N +F uuur uur ur uur

Để khử N, chiếu phương trình trục tiếp tuyến, ta có:

sin qtsin

e

ms&&= −P ϕ−F ϕ

Do s=lϕ nên &&s=lϕ&&: Phương trình sau rút gọn, nhận được: ϕ&&+ g+W sinϕ=0

l

Khi ϕ bé, sinϕ ≈ϕ, ta nhận được: ϕ&&+k2ϕ=0, k = g+W l Con lắc thực dao động điều hoà với chu kỳ: T 2

k g W

π π

= =

+ l

Trường hợp điểm treo lắc có gia tốc W uur

hướng xuống Giả thiết W ≤ g, ta có phương trình dao động bé lắc:

0 g W

ϕ&&+ − ϕ = l

− Nếu W < g, chu kỳ dao động lắc: T 2

k g W

π π

= =

− l

− Nếu W = g, ta có: ϕ&&=0,ϕ& =C1,ϕ =C t1 +C2

Cho rằng, thời điểm ban đầu t = 0, lắc lệch khỏi vị trí thẳng đứng góc ϕ0 = α khơng có vận tốc tương đối ban đầu (0) 0ϕ& = , đó ϕ = α

Như vậy, điểm treo lắc rơi tự lắc cân tương đối Áp dụng (1-14) ta được: P+N+ Fqte =0

ur uur uur

Do P = mgur r, Fqte = −mg

uur r

, suy N =0 uur

, chất điểm M trạng thái trọng lượng Trường hợp điểm treo lắc có gia tốc W

uur

hướng xuống giả sử W > g, ta có lắc ngược Chu kỳ dao động lắc:

2 2

T

k g W

π π

= =

Ví dụ

Một chất điểm khối lượng m, chuyển động khơng ma sát mặt phẳng xOz Mặt phẳng quay xung quanh trục thẳng đứng Oz, với vận tốc góc khơng đổi ω Tìm quy luật chuyển động tương đối chất điểm, thời điểm ban đầu đứng yên tương đối điểm M0(x0, z0) Xác định phản lực

N uur

mặt (hình 3-4) Bài giải:

Xét chất điểm M chuyển động mặt phẳng xOz Lực tác dụng gồm: Trọng lượng P

ur

, phản lực pháp tuyến mặt N uur

lực quán tính F qte , FCqt

uur uur

Hệ thức động lực học chất điểm hệ khơng qn tính, trường hợp khảo sát có dạng:

qt qt

r e C

mW =P+N + F + F

uur ur uur uur uur

Trong đó: P↑↑Oz ur

, N uur

vng góc với mặt phẳng xOz chiều với trục Oy;

qt qt

e en en

F = F = −m W

uur uur uuur

; qt

en

F =mxω

uur

, chiều hướng chiều trục Ox;

qt

r C

F = − mω∧V

uur ur uur

hướng ngược chiều trục Oy, có độ lớn: F qtC =2mω x

uur

& Chiếu hệ thức lên hệ Oxyz, thu được:

2

0 qt

C

mx mx

my N F

mz mg

ω

 =



= = − 

 = − 

&& && &&

Phương trình thứ hai hệ cho ta giải N: N =FCqt =2mω x& Hai phương trình cịn lại, sau tích phân, ta có:

1

2

3

t t

x C e C e gt

z C t C

ω −ω

= +

= − + +

Khi ý điều kiện ban đầu t = 0, suy ra: 1 2 0; 3 0; 4 0

x

C =C = C = C =z Phương trình chuyển động chất điểm M mặt phẳng xOz là:

z

x

y M

O z0 M0

x0

P

qt e

F

N

qt C

F

ω

0

( ) x x ch t

gt z z

ω

=   

= − 

 Phản lực N

uur

mặt có độ lớn: N =2mω x& =2mx0ω2sh( )ωt

3.2 Các định lý tổng quát của động lực học chuyển động tương đối Các định lý động lượng, mômen động lượng động thiết lập mối quan hệ độđo chuyển động với độđo tác dụng lực hệ quy chiếu quán tính dẫn sở phương trình bản:

k k

mW =∑F

uur ur

(1)

Vì W =Wr +We+WC

uur uur uur uur

thay vào (1) đặt: −mWe =Fqte

uur ur

, −mWC =FqtC

uur ur

, ta có phương trình động lực học Cơriơlít:

r k qte Cqt

k

mW =∑F +F +F

uur ur ur ur

(2) Điều có nghĩa là: Ngoài lực cho, cần thêm vào lực qn tính kéo theo lực qn tính Cơriơlít chất điểm

Dựa vào nhận xét trên, ởđây ta khơng thực phép biến đổi tốn học chặt chẽ, mà đưa dạng định lý tổng quát Động lực học hệ hệ quy chiếu khơng qn tính sau:

3.2.1 Định lý động lượng

r

e qt qt

k ek Ck

k k k

d Q

F F F

dt =∑ +∑ +∑ ur

ur ur ur

(3-4)

3.2.2 Định lý mômen động lượng

( ) ( ) ( )

r

e qt qt

O

k ek Ck

O O O

k k k

d L

m F m F m F

dt =∑ +∑ +∑

ur

ur ur ur ur ur ur

(3-5)

Nếu hệ quy chiếu động có gốc trùng với khối tâm C hệ trục Cx // O1x1, Cy // O1y1, Cz // O1z1 hệ quy chiếu quán tính O1x1y1z1 (hình 3-5)

0

e

ω =

ur

, nên:

Fqt = −2ω ∧Vr =0

Suy ra: C( )Ckqt

k

m F =

∑ur ur

Mặt khác:

( ) ( ) ( )

0 ( 0)

qt qt e

ek ek

C k k k k k k e

k k k k

e k k e C C

k

m F r F r m W r m W

W m r W Mr do r

= ∧ = ∧ − = ∧ −

= ∧ = ∧ = =

∑ ∑ ∑ ∑

∑

ur ur r ur r uur r uur

uur r uur r r

Do đó, nhận được:

( )

r

e C

k C k

d L

m F dt =∑

ur

ur ur

(3-6)

Kết luận: Trong hệ quy chiếu động (không qn tính) có gốc trùng với khối tâm hệ chuyển động tịnh tiến hệ quy chiếu cố định (qn tính), định lý mơmen động lượng hệ khối tâm C có dạng tương tự hệ quy chiếu quán tính

Ví dụ 3. Tính lực ăn khớp giữa hai bánh răng hành tinh Cơ cấu đặt mặt phẳng nằm ngang, tay quay OA quay với vận tốc góc ω gia tốc góc ε Bánh xe động II coi nhưđĩa đồng chất trọng lượng P2 Biết góc ăn khớp α, bán kính bánh R1 R2 (hình 3-6)

x1

x A

I y y1

O II

ωε

Hình 3-6

A

ω

A

Rur P

ur

N ur

Qur Tur

α

Bài giải

Khảo sát chuyển động bánh động II Hệ quy chiếu động gắn vào khối tâm A Axy, chuyển động tịnh tiến hệ quy chiếu cốđịnh Ox1y1

Lực tác dụng lên bánh II gồm: P2 ur

, phản lực A: RA

ur

, lực ăn khớp Q=T +N

ur ur uur

(hình 3-7)

Áp dụng định lý biến thiên mômen động lượng hệ quy chiếu động:

( ) cos2

r

e Az

k Az k

d L

m F T R Q R

dt =∑ = = α

ur

ur ur

(1)

Ta có: 2 2

2

2

1. . ( )

2

r

Az Az

P R R P R R R

L J R

g R g

ω + ω + ω

= = = (2)

Thay (2) vào (1), ta nhận được: 2( 2)

2 cos P R R Q

g α ω

+ =

3.2.3 Định lý động năng

( ) ( )qt ( )qt

r r r r

k ek Ck

k k k

dT =∑dA F +∑dA F +∑dA F

ur ur ur

Vì r( )qt qt ( )

Ck Ck r e r r

dA F =F V dt= − m ω ∧V V dt=

ur ur ur ur ur ur

Suy ra: r r( ) r( )qt

k ek

k k

dT =∑dA F +∑dA F

ur ur

(3-7)

Như vậy, định lý động khơng có mặt lực qn tính Cơriơlít (nghĩa áp dụng, khơng cần tính cơng lực này)

3.3 Phương trình Lagrăng loại II hệ quy chiếu khơng qn tính Từ phương trình Lagrăng loại II hệ quy chiếu cố định, suy tương tự, ta viết phương trình Lagrăng loại II chuyển động tương đối hệ chịu liên kết giữ, lý tưởng, hơlơnơm có N bậc tự do:

( ) ( )qt ( )qt

r r r

r r

k ek Ck

i i i

i i

d T T

Q F Q F Q F

dt q q

∂  ∂

− = + +

 

∂ ∂

 

ur ur ur

& (3-8)

,

i i

q q& - Toạ độ suy rộng vận tốc suy rộng của cơ hệ hệ quy chiếu khơng qn tính

( ); ( ) ( )qt ; qt

r r r

k ek Ck

i i i

Q F Q F Q F

ur ur ur

- Các lực suy rộng lực hoạt động, lực quán tính theo lực qn tính Cơriơlít ứng với toạ độ suy rộng qi hệ

quy chiếu khơng qn tính

Tr - Động hệ chuyển động tương đối

Khi hệ cân (Vrk =0)

ur

, Tr = 0, ( )

qt r

Ck i

Q F =

ur

Do suy điều kiện cân tương đối:

r( ) r( )qt 0; 1,

k ek

i i

Q F +Q F = i= N

ur ur

(3-9)

Một cách tương tự, độc giả viết phương trình tổng quát Động lực học chuyển động tương đối

Ví dụ 4. Một chất điểm có khối lượng m chuyển động theo ống vòng tròn bán kính a, đồng thời vịng trịn quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω Bỏ qua ma sát, thành lập phương trình vi phân chuyển động chất điểm (hình 3-8)

Bài giải

Để nhận lời giải tốn, viết phương trình Lagrăng loại II hệ quy chiếu cố định, đặt điều kiện ống trịn quay

Ở đây, ta sử dụng phương trình Lagrăng loại II chuyển động tương đối

Khảo sát cầu M chất điểm Do bỏ qua ma sát nên liên kết đặt lên M lý tưởng

Các lực hoạt động tác dụng vào chất điểm P=mg

ur r

, lực quán tính theo

qt qt

e er

F =F

ur ur

(do vòng tròn quay đều) lực qn tính Cơriơlít FCqt

ur

hướng vng góc với mặt phẳng hình vẽ, phía ngồi

Vị trí chất điểm xác định hệđộng toạđộ suy rộng đủ q = θ Phương trình Lagrăng loại II có dạng:

O1

O2

z

O

θ aδθ

P mg=

ur r

qt e

Fr

M

ω

r r ( ) ( ) ( )qt qt

en C

d T T

Q mg Q F Q F

dt θ θ θ θ θ

∂ ∂

 

− = + +

 

∂ ∂

 

ur ur

r

& (1)

Trong đó:

2

r r

T = mV ; Vr = =s& aθ&; suy 2

2

r

T = ma θ&

Ta có: Tr

θ

∂ = ∂ ;

2

r

T

maθ θ

∂ = ∂

&

& ;

2

r

d T

ma

dt θ θ

∂

 

=

 

∂

 

&&

& (2)

Để tính lực suy rộng vế phải phương trình (1), ta cho chất điểm di chuyển với góc δθ có:

( ) sin

( ) A mg mg a sin

Q mgθ δ θ δθ mga θ

δθ δθ

= = − = −

r r

(3)

( ) ( ) cos 2sin cos

qt

qt en

qt

en en

A F F a

Qθ F ma

δ θ δθ

θ θ ω

δθ δθ

= = =

ur ur

(4) ( )qtC

Qθ F = ur

(5)

Thay (2), (3), (4), (5) vào (1), nhận phương trình vi phân chuyển động tương đối chất điểm là:

2cos sin 0

g a

θ + −ω θ θ =

 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Бухгольц.H.H Основной курс теоретической механики Часть I и II

Издательство “наука” Москва 1969

2 Голубева О В Теоретическая Механика Издательство “Высшая

школа” Москва 1968

3 Добронравов В В никитин н.н Дворников А Л Курс теоретической

механики ицд 4.e “Высшаяшкола” Москва 1976

4 Мецерский И В Сборник задач по теоретической механике

Издательство “наука” Москва 1967

5 Тарг C M краткий курс теоретической механики изд 2.e физик-мат

Москва 1961

6 Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Trọng Truyền, Nguyễn Thế Tiến, Ngô Văn Thảo Cơ học lý thuyết, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1969

7 Bộ môn Cơ học lý thuyết - ĐH Thuỷ lợi Cơ học lý thuyết, tập Tĩnh học động học Hà nội 1977

8 Bộ môn Cơ học lý thuyết - ĐH Thuỷ lợi Cơ học lý thuyết, tập Động lực học Hà nội 1977

9 Bộ môn Cơ học lý thuyết - ĐH Thuỷ lợi Bài tập Cơ học lý thuyết, tập Hà nội 1976