Tài liệu giáo trình cơ học lý thuyết , chương 11 docx

-135Phần Động lực học Chơng 11 Các định luật niu-tơn phơng trình vi phân chuyển động 11.1 Các khái niệm Động lực phần tổng quát học Động lực học nghiên cứu chuyển động vật thể dới tác dụng lực Động lực học thiết lập định luật liên hệ lực tác dụng với đặc trng động học áp dụng định luật giải toán kỹ thuật Vật thể động lực học đợc xét dới dạng mô hình : chất điểm, hệ, vật rắn Chất điểm điểm hình học có mang khối lợng Chất điểm mô hình đơn giản vật thể động lực học Cơ hệ tập hợp nhiều chất điểm chuyển động phụ thuộc lẫn Vật rắn hệ đặc biệt khoảng cách hai chất điểm luôn không đổi Khác víi tÜnh häc, lùc ®éng lùc häc cã thĨ không đổi, biến đổi độ lớn phơng chiều Lực phụ thuộc vào thời gian nh lực kéo đầu máy, phụ thuộc vào vị trí vật nh lực hấp dẫn, lực đàn hồi lò xo, phụ thuộc vào vận tốc nh lực cản không khí Một cách tổng quát động lực häc lùc lµ mét hµm cđa thêi gian, r r r r vị trí vận tốc Ta có : F = F(t, r , v ) Trong ®éng lực học lực đợc phân chia thành nội lực, lực hay r r hoạt lực phản lực liên kết Nội lực ký hiệu Fi Fi lực tác động tơng hỗ -136giữa chất điểm hệ r Ngoại lực ký hiệu Fe lực chất điểm hay vật thể hệ tác dụng r vào hệ Phản lực liên kết ký hiệu N lực tác dụng vật gây liên kết lên hệ khảo sát Hoạt lực lực tác dụng lên hệ không kể phản lực liên kết, r thờng ký hiệu Fa Để khảo sát chuyển động vật chän tr−íc mét hƯ quy chiÕu HƯ quy chiÕu kh«ng phơ thc vµo thêi gian gäi lµ hƯ quy chiÕu quán tính, ngợc lại hệ quy chiếu phụ thuộc vào thời gian gọi hệ quy chiếu không quán tính 11.2 Các định luật Niu -Tơn Cơ sở lý luận động lực học chủ yếu định luật NIU - TON I-sác Niu Tơn (1643-1727) nhà bác học lỗi lạc đà đặt móng cho học cổ điển đà xây dựng lý thuyết học hoàn thiện cân đối Vì học cổ điển gọi học Niu - Tơn Sau giới thiệu định luật Niu - Tơn xem nh hệ tiền đề học Định luật 1(Định luật quán tính) Chất điểm không chịu tác dụng lực đứng yên chuyển động thẳng Trạng thái đứng yên chuyển động thẳng trạng thái chuyển động theo quán tính Khi chuyển động theo quán tính chất điểm sÏ cã : r r v = const vµ w = Định luật (định luật động lực học ) Dới tác dụng lực chất điểm chuyển động với gia tốc phơng chiỊu víi lùc (h×nh 9-1) r r F = m.W v M F W Hình 11.1 -137m hệ số tỷ lệ, phụ thuộc vào lợng vật chất có chất điểm Theo định luật lực nguyên nhân làm cho chất điểm chuyển động có gia tốc r r BiÓu thøc (11-1) cho thÊy : NÕu lùc F không đổi m lớn W nhỏ ngợc lại, điều chứng tỏ kkối lợng m số qu¸n tÝnh cđa vËt (tÝnh ú cđa vËt) Tõ hệ thức (11-1) lực trọng lợng vật có :P = mg g đợc gọi lµ gia tèc träng tr−êng HƯ thøc (11-1) gäi lµ phơng trình động lực học Định luật (định luật tính độc lập tác dụng lực) Dới tác dụng đồng thời hệ lực chÊt ®iĨm sÏ chun ®éng víi gia tèc b»ng tỉng hình học gia tốc mà chất điểm thu đợc chịu tác dụng độc lập lực r r r r w = w + w + + w n (11-2) r w gia tốc chất điểm hệ lực tác dụng đồng thời ; r r r w , w , w n lµ gia tèc chất điểm chịu tác dụng lực: r r r F1 , F2 , Fn ®éc lËp Tõ hƯ (11-2) nÕu nh©n hai vÕ víi khèi lợng m đợc : r r r r mw = mw + mw + + mw n Theo định luật hai : n r r r r r Do ®ã ta cã : mw = F1 + F2 + + Fn = ∑ F (11-3) i =1 Hệ thức (11-3) phơng trình động lực học chất điểm chịu hệ lực tác dụng Định luật (định luật tác dụng phản tác dụng ) -138Lực tác dụng tơng hỗ hai chất điểm lực phơng, độ lớn ngợc chiều Định luật mô tả tác dụng tơng hỗ hai chất điểm sở nghiên cứu cho động lực học hệ Cần ý hai lực tơng hỗ cặp lực cân chúng đặt lên hai chất điểm khác 11-3 Phơng trình vi phân chuyển động chất điểm hệ Xét chất điểm chuyển động hệ quy chiếu quán tính oxyz, d−íi t¸c r r r r dơng cđa c¸c lùc F1 , F2 , F3 , Fn §èi với chất điểm tự lực hoạt lực đặt lên chất điểm Đối với chất điểm không tự lực bao gồm hoạt lực phản lực liên kết Căn vào phơng trình động lực học ta thành lập phơng trình vi phân chuyển động chất điểm dới dạng khác 11.3.1.Dạng véc tơ r Gọi véc tơ định vị chất điểm r ta cã : r r d2r r w = = && dt Khi phơng trình viết cho chÊt ®iĨm nh− sau : r d2 r n r m = ∑ F1 dt i =1 (11-4) Phơng trình vi phân (11-4) đợc gọi phơng trình vi phân chuyển động chất điểm dới dạng véc tơ 11.3.2 Dạng toạ độ Đề Chiếu phơng trình (9-4) lên trục toạ độ oxyz đợc : -139n m&& = ∑ X i ; x i =1 n m&& = ∑ Yi ; y (11-5) i =1 n m&& = ∑ Z i z i =1 x, y, z toạ độ chất điểm hệ oxyz, Xi, Yi, Zi hình r chiếu lực Fi lên trục ox, oy, oz Hệ phơng trình (11-5) đợc gọi hệ phơng trình vi phân chuyển động chất điểm dới dạng toạ độ Đề 11.3.3 Dạng toạ độ tự nhiên Gọi W, W, W hình chiếu gia tốc điểm Fi, Fi, Fi hình chiếu Fi lên trục hệ toạ độ tự nhiên Sau chiếu phơng trình (114) lên trục hệ toạ độ tự nhiên ta đợc : n mw = m&& = ∑ Fiτ ; s i =1 v2 n η mw = m = ∑ Fi ; ρ i =1 η (11-6) n mw = = ∑ Fi i =1 Đối với hệ tách chất điểm hệ để xét Gọi r hợp ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ k đợc tách Fke hợp nội r lực tác dụng lên Fki Phơng trình vi phân chuyển động chất điểm viết dới dạng véc tơ : r r r m k w k = Fki + Fke r Trong mk w k khối lợng gia tèc cđa chÊt ®iĨm thø k -140Khi xÐt tất chất điểm ta thu đợc N phơng trình sau : r r r m1 w = F1i + F1e ; r r r m w = F21i + F2 e ; (11-7) r r r m n w n = Fni + Fne Hệ phơng trình (11-7) đợc gọi hệ phơng trình vi phân chuyển động hệ dới dạng véc tơ Nếu chiếu hệ phơng trình (11.7) lên trục hệ toạ độ Đề hệ toạ độ tự nhiên ta đợc hệ phơng trình vi phân chuyển động hệ dới dạng toạ độ Đề hệ toạ độ tự nhiên 11-4 Hai toán động lực học Từ phơng trình vi phân chuyển động chất ®iĨm ta thÊy ®éng lùc häc cã hai bµi toán sau : - Bài toán thứ nhất: Cho biết chuyển động chất điểm xác định lực đà gây chuyển động Bài toán gọi toán thuận - Bài toán thứ hai: Cho biết lực tác dụng lên chất điểm điều kiện ban đầu chuyển động xác định quy luật chuyển động chất điểm Bài toán gọi toán nghịch Sau giới thiệu cách giải hai toán nói Đối với toán thứ ta thiết lập phơng trình vi phân chuyển động chất điểm Từ phơng trình vi phân ta xác định đợc lực tác dụng lên chất điểm Điều toán xác định gia tốc chất điểm điều đà đợc giải động học Đối với toán thứ hai, ta thay lực vào vế phải phơng trình vi phân sau tích phân phơng trình vi phân tìm đợc Để tìm dạng chuyển động cụ thể ta xác định số tích phân vào điều kiện ban đầu chuyển động Nếu phơng trình vi phân viết dới dạng toạ độ Đề sau lấy tích phân hai -141lần xuất số tích phân, nghĩa nghiêm x, y, z thu đợc hàm thời gian số tích phân : x=f1(t,C1,C2 C6) y= f2(t,C1,C2 C6) z= f3(t,C1,C2 C6) C¸c h»ng số tích phân đợc xác định từ điều kiện ban đầu ; Khi t=0 x=x0 ; y=y0; z=z0 ; & & & & & & x = x ; y = y0 ; z = z0 ThÝ dụ 11-1: Chất điểm có khối lợng m chuyển động theo đờng enlip x=acoskt y=bsinkt hÃy tìm lực tác dụng lên chất điểm (hình 11-2) Bài giải : Bài toán thuộc toán thứ Căn vào phơng trình chuyển động y b O v F M r x=acoskt y=bsinkt Hình 11.2 Xác định đợc : && = ak cos kt = − k x ; x && = bk sin kt = − k y ; y Ta cã ph−¬ng trình vi phân chuyển động nh sau : &&m = Fx = − mk x x &&m = Fy = mk y y Lực tác dụng lên chất ®iĨm sÏ lµ F víi : F = Fx2 + Fy2 = mk x + y = mk r a x -142- r C¸c gãc chØ phơng F : cos(F, x ) = cos( F, y) = Fx − x = F r Fy F = y r Mặt khác ta có : cos(r, x ) = x r cos(r, y) = y r r Dễ dàng nhận thấy F phơng nhng ngợc chiều với véc tơ định vị r r chÊt ®iĨm r r Ta cã : F = −mkr Thí dụ 11-2 : Để phân loại hạt ngời ta cho hạt qua sàng dao động ngang có nhiều lỗ Biết vận tốc hạt bắt đầu chuyển động qua lỗ r v (hình 11-3) Hạt có hình dạng cầu, bán kính R Bỏ qua lực cản không khí xác định độ dài bé b lỗ để hạt rơi qua lỗ đợc -143Bài giải: R vo Để hạt rơi qua lỗ sàng trọng y tâm hạt vị trí bất đầu chạm b mép bên lỗ phải nằm dới x mặt phẳng ngang sàng Để giải Hình đợc điều kiện ta xác định quÃng đờng hạt đợc theo phơng ngang (phơng ox) tâm hạt rơi xuống đợc đoạn x=R Lực tác dụng lên hạt coi nh đà biết trọng lợng thân Bài toán thuộc loại toán thứ hai Chọn hệ toạ độ oxy gắn với sàng (hình 11-3) coi sàng đứng yên hạt chuyển động so với sàng Lực tác dụng lên hạt có : Fy = Fx = +mg Phơng trình vi phân chuyển động hạt viết đợc : m&& = mg ; x hay && = g ; x m&& = ; y hay && = ; y TÝch ph©n hai vÕ phơng trình ta đợc : gt + C1 t + C 2 & x = gt + C x= & y = C3 y = C3 t + C Để xác định số tích phân ta dựa vào điều kiện đầu đà cho chuyển ®éng & & Khi t = x = x suy C1=0 x=x0 suy C4=0 Thay vµo nghiệm đà tìm đợc ta có : x= gt 2 y = v0 t -144Phơng trình quỹ đạo thu đợc : 2x g y = v0 Khi x=R y = b − R = v 2R g 2R g Suy b = R + v Để hạt chắn rơi qua lỗ ta phải có : b ≥ R + v0 2R g ThÝ dô 11.3 : Một chất điểm có khối lợng m chuyển động mặt phẳng ngang dới r r r tác dụng lực hút tâm O F = k mr r véc tơ định vị k hệ số tỷ lệ HÃy tìm phơng trình chuyển động quỹ đạo chất điểm Cho & & biết thời điểm ban đầu t0 = , x0 = , y0 = , x = , y = v (hình 11-4) Bài giải: Bài toán thuộc toán thứ hai Phơng trình vi phân chuyển động chất điểm viết dới dạng véc tơ : r r mW = − k m r chä hÖ toạ độ oxy nh hình vẽ ta thiết lập phơng trình vi phân dới dạng toạ độ Đề c¸c nh− sau : m&& = −k mx x m&& = − k my y y M y F O Khử khối lợng m hai vế phơng trình ta đợc : Hình 11.4 l x x -145- && = − k x = x && = − k y = y NghiÖm tổng quát hai phơng trình có dạng: x=c1coskt + c2sinkt y=c3coskt + c4sinkt Các số tích phân c1, c2, c3, c4 đợc xác định từ điều kiện ®Çu cđa chun ®éng Ki t =t0 = cã : x = x0 = l = C1; & x = = kC y = y0 = = C3; & y = v = kC Suy : C1 = 1; C2 = 0; C3 = 0; C4 = v0/k Phơng trình chuyển động chất điểm đợc viết : x=lcoskt; y = (v0sinkt)/k Khử t phơng trình tìm đợc phơng trình quỹ đạo dạng x2 y2 + =1 l2 v0 / k Đây phơng trình đờng enlip nhận trục ox, oy trục Thí dụ 11-4: Con lắc toán học gồm chất điểm M có khối lợng m treo vào đầu sợi dây không dÃn không trọng lợng, chuyển động mặt phẳng thẳng đứng Xác định phản lực N dây (hình vẽ 11-5) Cho biết lúc đầu lắc vị trí M0 có vận tốc v0 Bài giải : h o → N τ XÐt chun ®éng cđa chÊt ®iĨm M Các M P Hình 11.5 Mo vo -146lực tác dụng lên gồm P N Có thể thiết lập phơng trình vi phân viết dới dạng tọa độ t nhiên nh său : m&& = P sin ϕ = −mg sin ϕ s m (a) V2 = − P cos ϕ + N = − mg cos ϕ + N (b) ρ Thay lϕ = s vµo phơng trình (a) Ta đợc : && ml = mg sin ϕ hay : g && ϕ + sin = l Xét dao động nhỏ lấy sinϕ ≈ ϕ, ta cã && ϕ + k 2ϕ = (c) Trong ®ã : k = g l Nghiệm tổng quát phơng trình : ϕ = Asin(kt + ∝) A, ∝ lµ h»ng sè đợc xác định điều kiện đầu chuyển động Để tìm N vào phơng trình (b) Ta cã : mv N= + mg cos ϕ l §Ĩ tÝnh v ta chó ý : d ϕ d ω dω d ϕ dω = = = dt dt d dt d Thay kết vào phơng trình ( c) ta có : g && ϕ + sin ϕ = ta cã : l ω dω g = − sin ϕ dt l g ωdω = − cos ϕ + c l -147H»ng c đợc xác định từ điều kiện ban đầu Gọi góc ban đầu vận tốc góc ban đầu kà vµ ω0 ta sÏ cã : 2 ω0 g v0 g c= − cos ϕ = − cos ϕ 2l l l Thay c vµo biểu thức (c) ta đợc : v0 g 2g ω = cos ϕ + − cos ϕ ; l l l 2 v = l ω2 = v + 2gl(cos ϕ − cos Cuối nhận đợc : N = P( v0 + cos ϕ − cos ϕ ) gl Nh− vËy ph¶n lùc N phơ thc vào điều kiện ban đầu vị trí điểm M Kết cho dao động không nhỏ  ... n m&& = ∑ Yi ; y (11- 5) i =1 n m&& = ∑ Z i z i =1 x, y, z toạ độ chất điểm hệ oxyz, Xi, Yi, Zi hình r chiếu lực Fi lên trục ox, oy, oz Hệ phơng trình (11- 5) đợc gọi hệ phơng trình vi phân chuyển... tính 11. 2 Các định luật Niu -Tơn Cơ sở lý luận động lực học chủ yếu định luật NIU - TON I-sác Niu Tơn (1643-1727) nhà bác học lỗi lạc đà đặt móng cho học cổ điển đà xây dựng lý thuyết học hoàn... lấy tích phân hai -141lần xuất số tích phân, nghĩa nghiêm x, y, z thu đợc hàm thời gian số tích phân : x=f1(t,C1,C2 C6) y= f2(t,C1,C2 C6) z= f3(t,C1,C2 C6) Các số tích phân đợc xác định từ điều