Tài liệu giáo trình cơ học lý thuyết , chương 5 pdf

-54- Phần Động học Động học nghiên cứu qui luật chuyển động vật thể đơn hình học, không đề cập đến khối lợng lực Những kết khảo sát động học làm sở cho việc nghiên cứu toàn diện qui luật chuyển động vật thể phần động lực học Trong động học vật thể đợc đa dới hai mô hình: động điểm vật rắn Động điểm điểm hình học chuyển động không gian, vật rắn tập hợp nhiều động điểm mà khoảng cách hai điểm luôn không đổi Khi khảo sát vật thực có kích thớc không đáng kể, coi nh mô hình động điểm Chuyển động thay đổi vị trí vật không gian theo thời gian Đơn vị đo độ dài mét ký hiệu m, đơn vị đo thời gian giây viết tắt s Tính chất chuyển động phụ thuộc vào vật chọn làm mốc để so sánh ta gọi hệ qui chiếu Trong động học hệ qui chiếu đợc lựa chọn tuỳ ý cho việc khảo sát chuyển động vật đợc thuận tiện Để tính toán ngời ta phải chọn hệ toạ độ gắn với hệ qui chiếu Thông thờng muốn hình vẽ đợc đơn giản ta dùng hệ toạ độ làm hệ quy chiếu Tính thời gian thông thờng phải so sánh với mốc thòi điểm t0 chọn trớc Về nội dung, động học phải tìm cách xác định vị trí vật mô tả chuyển động vật theo thời gian so với hệ quy chiếu đà chọn Thông số xác ®Þnh vÞ trÝ cđa vËt so víi hƯ quy chiÕu đà chọn thông số định vị Thông số định vị véc tơ, toạ độ, góc Qui luật chuyển động đợc biểu diễn qua biểu thức liên hệ thông số định vị với thời gian đợc gọi phơng trình chuyển động Trong phơng trình chuyển động thời gian đợc coi đối số độc lập Khi khử đối số thời gian phơng trình chuyển động ta đợc biểu thức liên hệ thông số định vị gọi phơng trình qũi đạo -55Để biểu thị tính chất chuyển động ta đa đại lợng vận tốc gia tốc Vận tốc đại lợng biểu thị hớng tốc độ chuyển động điểm hay vật.Gia tốc đại lợng biểu thị thay ®ỉi cđa vËn tèc theo thêi gian Gia tèc cho biÕt tÝnh chÊt chun ®éng ®Ịu hay biÕn ®ỉi Vận tốc gia tốc đại lợng phụ thuộc vào thời gian Căn nội dung ngời ta chia động học thành hai phần: động học điểm động học vật rắn Khi khảo sát động học vật rắn gồm hai phần: Động học vật động học điểm thuộc vật Chơng Chuyển động điểm 5.1 Khảo sát chuyển động điểm véc tơ 5.1.1 Thông số định vị phơng trình chuyển động Xét động điểm M chuyển động z hệ qui chiếu oxyz (hình 5-1) M r r Vị trí động điểm M đợc xác định r r biết véc tơ r = OM Véc tơ r thông số định vị cđa ®éng ®iĨm (C) y r Khi ®éng ®iĨm chun động véc tơ r O biến thiên liên tục theo thời gian t ta viết đợc: r r r = r (t) (5-1) x Nếu biết đợc qui luật biến thiên (5-1) ta hoàn toàn xác định đợc vị trí động Hình 5.1 điểm thời điểm Biểu thức (5-1) phơng trình chuyển động động điểm M viết dới dạng véc tơ -56Trong trình chuyển động, động điểm vạch đờng gọi quĩ đạo chuyển động động điểm Phơng trình đờng quĩ đạo phơng trình chuyển động (5-1) nhng viết dới dạng thông số Nếu đờng quĩ đạo thẳng ta nói động điểm chuyển động thẳng, đờng quĩ đạo cong ta nói chuyển động điểm chuyển động cong 5.1.2 Vận tốc chuyển động điểm r Giả thiết thời điểm t vị trí động điểm xác định véc tơ định vị r r Tại thời ®iĨm t1 = t + ∆t ®éng ®iĨm ®Õn vÞ trí M1 xác định r 1, ta có MM = ∆r r r r r - r = r (xem hình 5-2) Gọi tỷ số vận tốc trung bình động điểm t r khoảng thêi gian ∆t vµ ký hiƯu lµ v tb Khi t nhỏ nghĩa M1 r gần M v tb gần đến giới hạn, giới hạn gọi vận tốc tức thời thêi v cp z ®iĨm t M1 ∆r NÕu ký hiệu vận tốc tức thời r động điểm v th×: r r ∆v d r = v = lim ∆t → ∆ t dt v r1 M r (5.3) O y VËn tèc tøc thêi cđa ®éng điểm đạo hàm bậc theo thời gian véc tơ x định vị thời điểm r Về mặt hình học ta thấy véc tơ r Hình 5.2 nằm cát tuyến MM1 hớng từ M đến M1 tiến tới giới hạn vÐc t¬ r vËn tèc v sÏ tiÕp tun víi quĩ đạo vị trí M xét hớng theo chiều chuyển động điểm Đơn vị để tính vận tốc mét/giây viết tắt m/s -575.1.3 Gia tốc chuyển động điểm r Giả thiết thời điểm t điểm có vận tốc v thời điểm t1 điểm có vận r tốc v Tû sè r r r ∆v v − v = gọi gia tốc trung bình điểm thêi gian ∆t ∆t r ∆t Giíi h¹n tû số t tiến tới không gọi gia tèc tøc thêi w cđa ®iĨm Ta cã: r r r ∆v dv d r r = = w = lim (5-3) ∆t → ∆t dt dt M z r ω Nh− vËy gia tèc tøc thêi điểm v v r cp v1 M1 véc tơ đạo hàm bậc theo thời gian cuả y O véc tơ vận tốc hay đạo hàm bậc hai theo thời gian véc tơ định vị Về mặt hình r học véc tơ v bào cịng h−íng vỊ phÝa x lâm cđa ®−êng cong (xem hình 5-3), r véc tơ gia tốc w bao giê cịng h−íng vỊ H×nh 5.3 phÝa lâm cđa đờng cong Đơn vị để đo gia tốc mét/giây2 viết tắt m/s2 5.1.4 Tính chất chuyển động Để xem xét chuyển động điểm thẳng hay cong ta vào tích r r r v xw= c r r r r NÕu c = v w phơng, nghĩa vận tốc v có phơng không đổi Chuyển động lúc chuyển động thẳng r r r r Nếu c v w hợp với góc ®iỊu ®ã chøng tá vÐc t¬ v thay ®ỉi ph−¬ng chuyển động chuyển động cong Để xét chuyển động r r điểm hay biến đổi ta vào tích vô hớng v w = B r d ( v) d ( v ) r r r = = 2v w Vì v2 = ( v ) nên dt dt r Cho nên B = chứng tỏ v số nghĩa động điểm chuyển động -58r Nếu B v đại lợng biến đổi, chuyển động biền đổi Nếu B > chuyển động nhanh dần B < chuyển động chậm dần 5.2 Khảo sát chuyển động điểm toạ độ Đề 5.2.1 Thông số định vị phơng trình chuyển động Xét động điểm M chuyển động theo z đờng cong hệ trục toạ độ đề oxyz M (hình 5-4) r k toạ độ x,y,z thông số z định vị điểm M đổi liên tục theo thời gian ®ã ta cã: x i Khi M chun động toạ độ thay y J O y x x = x(t); H×nh 5.4 y = y(t); (5-4) z = z(t) Các phơng trình (5-4) phơng trình chuyển động điểm phơng trình quĩ đạo điểm viết dới dạng thông số toạ độ Đề 5.2.2 Vận tốc chuyển động điểm r r r Nếu gọi véc tơ đơn vị ba trục toạ độ i , j , k véc tơ định vị véc tơ vận tèc cã thÓ viÕt: r r r r =xi+y j +z r k Suy r r r r dr r d dx r dy v = = (x i + y j + z k ) = i+ dt dt dt dt r j + dz r k dt (5.5) BiĨu thøc trªn chøng tá: vx = dx & = x; dt vy = dy & = y; dt vx = dz & = z dt (5.6) -59H×nh chiếu véc tơ vận tốc lên trục toạ độ đạo hàm bậc theo thời gian toạ độ tơng ứng Dựa vào biểu thức (5.6) dễ dàng xác định đợc véc tơ vận tốc độ lớn phơng chiều v= v x +v cos(ox,v) = y +v z ⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ vx ; v cos(oy,v) = vy v ; cos(oz,v) = vz v 5.2.3 Gia tốc điểm Tơng tự nh vận tốc, dựa vào biểu thức (5.3) ta tìm thấy: dv x d2x x wx = = = && ; dt dt wy = wx = dv y dt = d2y y = && ; dt (5.7) dv z d2z z = = && dt dt Gia tốc chuyển động điểm đợc xác định độ lớn phơng chiều theo biểu thức sau: w = w x + w y + w z = && + && + && x y z cos(ox,w) = r wx ; w cos(oy,w) = wy w ; cos(oz,w) = wz w r Khi biÕt v vµ w ta cã thể xem xét đợc tính chất chuyển động điểm M 5.3 Khảo sát chuyển động điểm toạ độ tự nhiên 5.3.1 Thông số định vị phơng trình chuyển động Giả thiết động điểm M chuyển động theo đờng cong AB hệ toạ độ oxyz (xem hình vẽ 5.5) Trên quĩ đạo AB lấy điểm O làm gốc chọn -60chiều dơng cho đờng cong Thông thờng ta chọn chiều dơng đờng cong chiều mà động điểm chuyển động Rõ ràng biết cung OM = s ta cã thĨ biÕt vÞ trÝ điểm M quĩ đạo Nói khác cung OM = s thông số định vị động điểm, gọi toạ độ cong Khi điểm M chuyển động s biến đổi liên tục theo thời gian nghĩa là: s = s(t) (5.8) Biết đợc quy luật biến thiên (5.8) ta xác định vị trí điểm M thời điểm Biểu thức (5.8) đợc gọi phơng trình chuyển động điểm Theo phơng pháp để xác định chuyển động điểm phải biết: - Quĩ đạo chuyển động AB - Chiều chuyển động quĩ đạo - Quy lt chun ®éng (5.8) 5.3.2 VËn tèc chun ®éng cđa điểm Giả thiết động điểm chuyển động đờng cong AB Tại thời điểm t động điểm vị trí M xác định toạ độ cong s Tại thời ®iĨm t1 = t + ∆t ®iĨm ë vÞ trÝ M1 xác định toạ độ cong s1 = s + ∆s Tû sè -0+ A ∆s s −s = = v tb gọi tốc độ trung t t s M z1 bình Giới hạn tỷ số t tiến tới không gọi tốc độ tức thời điểm thời điểm t ký hiệu v B O1 y1 x1 Hình 5.5 s ds & v= lim = =s ∆t → ∆t dt -0+ (5.8) s s1 Vận tốc có giá trị đạo hàm bậc theo thời gian quÃng đờng s, có phơng tiếp Hình 5.6 M1 s v -61tuyến với quĩ đạo, hớng theo chiều chuyển động ( xem hình 5.6) 5.3.3 Gia tốc tiếp tuyến gia tốc pháp tuyến điểm 5.3.3.1 Hệ toạ độ tự nhiên Giả thiết chất điểm chuyển động theo n ®−êng cong AB nh− h×nh (5.7) v1n B M1 a Trên đờng cong lấy hai điểm M1M1' v1 v1 b lân cận hai bên điểm M Vẽ mặt phẳng ®i qua ba ®iÓm ®ã Khi hai ®iÓm M1M1' tiÕn A M1 M gần đến M mặt phẳng tiến gần đến v giới hạn mặt phẳng () gọi mặt b phẳng mật tiếp Trong mặt phẳng mật tiếp vẽ đờng M tiếp tuyến với quĩ đạo (trùng Hình 5.7 r với véc tơ vËn tèc ( v ) Mét trơc kh¸c vÉn n»m mặt phẳng mật tiếp vuông góc với M M ký hiệu Mn gọi pháp tuyến chÝnh Trơc Mb vu«ng gãc víi hai trơc gäi trùng pháp tuyến Ta chọn chiều ba trục Mnb tạo thành tam diện thuận gọi hệ toạ độ tự nhiên 5.3.2 Gia tốc tiếp tuyến pháp tuyến điểm Nh đà biết: r r ∆v lim lim w = = = ∆t ∆t ∆t r r v1 − v = ∆t Chiếu biểu thức lên trục toạ độ tự nhiªn ta cã: v t1 − v t lim t w = ∆t = ; ∆t wn = lim ∆;t 0= vn1 − ; ∆t wb = 0; r Trên hình (5.7) gọi cung MM1 = s ; góc hợp v M ta có: -62- ∆ϕ =k= ∆ t → ∆s ρ lim Tỷ số k gọi độ cong bán kính cong quỹ đạo M r r Mặt khác chiếu véc tơ v v lên trục ta đợc: vt = v vt1 = v1cos∆ϕ; = vn1 = v1sin∆ϕ; Thay thÕ kết tìm đợc vào biểu thức wt wn đợc: v1 cos v ; t → ∆t wt = lim wn = lim ( v1 sin ∆ϕ ) ; ∆t ∆t → Khi t tiến tới 0, điểm M1 dần tới M ∆ϕ tiÕn tíi 0, ∆s tiÕn tíi 0, v1 tiÕn tới v; cos tiến tới Thay giá trị vào biểu thức ta nhận đợc: v1 v dv d s = = = && ; s w = lim dt dt ∆t t sin ∆ϕ ∆ϕ ∆s v2 )= w = lim(v1 ∆t ∆s ∆t ρ n Trong biÓu thøc (5.9) wt vµ wn lµ gia tèc tiÕp tuyÕn vµ gia tốc pháp tuyến điểm thời điểm t r Gia tèc tiÕp tuyÕn w t cã trÞ sè b»ng đạo hàm bậc theo thời gian vận tốc hay đạo hàm bậc hai theo thời gian quÃng đờng s, có r r phơng tiếp tuyến với quĩ đạo, chiều với v wt > ngợc chiều với v wt Hình 5.8 5.3.4 Một số trờng hợp chuyển động đặc biệt 5.3.4.1 Chuyển động thẳng Trong trờng hợp ρ = ∞ vµ wn = v2 = ρ r r r t dv Khi còn: w = w = dt Gia tốc đạo hàm bËc nhÊt theo thêi gian cđa vËn tèc, cïng chiỊu víi r r r r v w > ngợc chiều với v w wx = 0; r w lúc khác không, điểm dựng lại tức thời mặt đất Trong trờng hợp đặc biệt v = v0 = số thì: ϕ= R t ∫o v (o ) dt = vot ; R -70- ϕ= vot ; R Lóc nµy: ϕo = 0; & ϕ= vo ; R vx = vo(1-cosϕ); v2o wx = sin ϕ ; R && ϕ = vy = vosinϕ; v2o wy = cos ϕ R Để xét tính chất chuyển động điểm trªn cung OA ta cã: v r r v w = vx.wx + vy.wy = o R [sin ϕ(1 − cos ϕ) + sin ϕ cos ϕ]; = v3o sin ϕ R r r r r Nh− vËy v w > kho¶ng < ϕ < v.w < khoảng < < Trên nửa cung đầu điểm chuyển động nhanh dần nửa cung sau điểm chuyển động chậm dần r Ví dụ 5.4 Một vật rắn bắn theo phơng ngang với vận tốc ban đầu v o sau rơi xuống theo quy luật : x = vot; y= gt Tìm quỹ đạo, vận tốc, gia tốc toàn phần, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến, bán kính cong quỹ đạo thời điểm t Bài giải: Khử thời gian t phơng trình chuyển động ta đợc phơng trình quỹ đạo: y= g x v2o Đây phơng trình parabol (xem hình 5.12) x O Vận tốc vật xác định đợc dx vx = = vo ; dt ωn n M ωτ ω y H×nh 5.12 τ -71- vy = dy = gt; dt v2o + g2t v= Gia tốc điểm đợc xác định nh sau: wx = d2x = 0; dt d2y = g dt wy = Suy w = g Gia tèc cña vËt b»ng gia tốc trọng trờng Để xác định gia tốc tiếp tuyến ta cã: dv w = = dt t g2t g2t = v + g2t2 vo Theo kÕt qu¶ ë trªn v2 = vo2 + g2t2 nªn suy ra: t= v2 + vo g Thay vµo biểu thức wt ta đợc: v0 w = g v t Từ kết ta thấy thời điểm ban đầu v = vo th× wt = Khi v → ∞ th× wt g Tiếp theo ta xác định gia tốc pháp tuyến vào biểu thức: w = w 2τ + w n Ta cã: suy : 2 ⎛ vo ⎞ vo w n = w - w τ = g + g ⎜1 − ⎟ = g ; ⎜ v ⎟ v ⎠ ⎝ 2 wn = g 2 vo v Tại thời điểm đầu v = vo wn = g -72Từ biểu thức tìm đợc wn ta xác định đợc bán kính cong quỹ đạo wn = v3 v2 v2 suy ρ = hay ρ = v0g ρ wn vo Tại thời điểm đầu v = vo ta cã ρ = g Khi v → ∞ th× ρ → ∞  ... chia động học thành hai phần: động học điểm động học vật rắn Khi khảo sát ®éng häc cđa vËt r¾n bao giê cịng gåm hai phần: Động học vật động học điểm thuộc vật Chơng Chuyển động điểm 5. 1 Khảo sát... (t) (5- 1) x NÕu biết đợc qui luật biến thiên (5- 1) ta hoàn toàn xác định đợc vị trí động Hình 5. 1 điểm thời điểm Biểu thức (5- 1) phơng trình chuyển động động điểm M viết dới dạng véc tơ  -56 Trong... (hình 5- 4) r k toạ độ x,y,z thông số z định vị điểm M đổi liên tơc theo thêi gian ®ã ta cã: x i Khi M chuyển động toạ độ thay y J O y x x = x(t); H×nh 5. 4 y = y(t); (5- 4) z = z(t) Các phơng trình