Tài liệu Giáo trình Cơ học môi trường liện tục pdf

PHÁƯN II: CÅ HC MTLT CHỈÅNG I: MÄÜT SÄÚ KHẠI NIÃÛM CÅ BN §1 TEN XÅ V CẠC PHẸP TÊNH XÅ 1.Âënh nghéa: Ten xå l trỉåìng håüp riãng ca hãû thäúng pháưn tỉí, cạc thnh pháưn ca l hàưng säú hồûc hm säú xạc âënh hãû cå såí â cho våïi phẹp biãún âäøi hãû ta âäü cạc thnh pháưn ny thay âäøi theo mäüt quy lût xạc âënh Vê dủ: ( ) n -Ten xå haûng 0: F x , x , , x hm âäúi våïi cạc biãún khäng gian F(X1 , X , , X n ) = F(x , x , , x n ) = F (F l âải lỉåüng vä hỉåïng) -Ten xå hảng 1: r Nãúu mäüt âäúi tỉåüng A biãøu diãùn cạc vẹc tå cå såíú r r r A = A i E i → A l ten xå hảng r r Khi thay âäøi hãû toüa âäü: E i → E 'i ta coï: r r r' 'j A = A j E j = A Ei , âoï A' j & A i liãn r Ei hãû ⎛ i ∂X i ⎞ A = b A ⎜⎜ b j = j ⎟⎟ ∂x ⎠ ⎝ 'j i j i Ta gi A i l cạc thnh pháưn phn biãún ca A ten xå hảng -Ten xå hảng hai v hảng cao r r ij T = T E Âäúi tæåüng i E j , thay âäøi hãû toüa âäü ta coï: T ij' = b ip b qj T pq → T l ten xå hảng T ij : cạc thnh pháưn phn biãún T=T ijklm r r r r r E i E j E k E l E m T ijklm = T sqprt b si b qj b kp b lr b mt → T l ten xå hảng 2.Phẹp biãún âäøi toüa âäü & veïctå cå såú a)Pheïp biãún âäøi toüa âäü x i : biãún å le X i : biãún Lagrange ( X i = xi X 1, X , X ) ∂x i ∂x i j i dX , a j = dx = ∂X j ∂X j i J = a ij Âënh thæïc ma tráûn phẹp biãún âäøi Jacäbien Phẹp biãún âäøi ngỉåüc laûi ∂X i ∂X i i i i j i a ; = dX = dx b b Trong âoï l nghëch â o c a j j j ∂x j ∂x j i=k ∂x i ∂X j i ⎧1 i j = δ a j b k = k⎨ Kyï hiãûu Cränecke j k ∂X ∂x ⎩0 i ≠ k b) Âäúi våïi veïctå cå såú: r r r, r r r ∂r i E i , E i : E i = i ; d r = E i dx ∂x r r ∂r r r E ,j = j ; d r = E 'j dx j ∂x r, r i r E i = E i a j , E i goüi veïc tå cå såú hiãûp biãún r r i, j g = g E i E j → g laì ten xå mãtrêc Âỉa vo vẹc tå cå såú måïi xi ri r ij E = g Ej Coìn Xi r p' r pq E = g Eq r p' r r p' r i p i Mäùi quan hãû E & E nhæ sau E = b i E r Εi cạc vẹc tå cå såú phn biãún c)Ten xå häùn håüp r r T = T Ei E j ij rir j T = Tij E E T ij phaín biãn Tij hiãûp biãn rir T = Ti E E j → j T laì ten xå häùn håüp Ti j 3)Cạc phẹp ca ten xå a)Phẹp cäüng: Chè thỉûc hiãûn âỉåüc våïi cạc ten xå cng hảng cuìng báûc Aij' = aiα a βj Aαβ (α, β, i, j = 1, n ) Bij' = aiα a βj Bαβ Aij' + Bij' = aiα a βj (Aαβ + Bεβ ) b)Nhán våïi mäüt vä hæåïng λA 'i j = bβj a αj (λAβα ) c)Pheïp nhán x ⎛p⎞ ⎛m+ p⎞ ⎛m⎞ A⎜ ⎟ x B⎜⎜ ⎟⎟ = C⎜⎜ ⎟⎟ Trong âọ m,p chè láưn phn biãún n + q q n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cn n,q hiãûp biãún Vê dủ: A 'ij = a iα a βj A αβ B 'k = b'γk B γ A ,ij x B'k = C,ijk = a ,αi a βj x b,kγ Bγ γ γ γ C,ijk = a ,αi a β, j b ,kγ C αβ våïi C αβ = A αβ B C,ijk = A ,ij B,k d) Pheïp cuäün Nãúu mäüt ten xå häùn håüp cho mäüt chè säú trãn bàòng chè sọỳ dổồùi thỗ haỷng cuớa tenxồ giaớm õi hai ,k Cho tenxå A våïi cạc thnh pháưn A ij , nãúu k=j ta coï: γ γ A ,ikk = a iα a βk b,kγ A αβ = a iα δ kγ A αβ = a iα A βαβ A βαβ → Ten xå hảng Phẹp nhán cọ sỉû rụt gn (n-2) gi phẹp cün CHỈÅNG II: CHUØN VË V BIÃÚN DẢNG TEN XÅ BIÃÚN DẢNG §1 CHUØN VË V BIÃÚN DẢNG 1.Chuøn vë Xẹt mäitrỉåìng liãn tủc tải t=0 cọ dảng S v tải t cọ dảng S 0x 1x x & 0X1X X l hai hãû ta âäü Âãư cạcvng gọc r P0 , Q ∈ S0 : dX Sau chuyãøn dëch v biãún dảng r → PQ : dx r2 r r r r r2 Tênh hiãûu: dx − dX = dx.dx − dXdX = dx k dx k − dXi dXi ∂x k = dX i dx k Theo Lagrange: ∂X i r ∂x ∂x k dX i dX j dx = k ∂X i ∂X j r2 dX = dX i dX i = δ ijdX i dX j Thay vo ta cọ: r ⎛ ∂x k ∂x k ⎞ r2 − δ ij ⎟dX i dX j dx − dX = ⎜ ⎜ ∂X ∂X ⎟ j ⎝ i ⎠ = E ijdX i dX j Våïi E ij = ⎞ ⎜⎛ ∂x k ∂x k − δ ij ⎟ goüi laì ten xå biãún dảng hỉỵu hản Grin ⎟ ⎜⎝ ∂X i ∂X j ⎠ r2 d x = δ ijdx i dx j Theo Å le: r ∂X k ∂X k dX = dx i dx j ∂x i ∂x j r2 ⎛ r2 ∂X k ∂X k ⎟⎞ ⎜ dx − dX = δ ij − dx dx = L ij dx i dx j ⎟ i j ⎜ x x ∂ ∂ i j ⎠ ⎝ ∂X k ∂X k ⎞⎟ ⎛⎜ = δ − L våïi ij ⎜ ij ∂x ∂x ⎟ goüi l ten xå biãún dảng hỉỵu hản Amàngxi i j ⎠ ⎝ 2.Biãøu diãùn ten xå biãún daûng qua chuyãøn vë Ta cọ vẹc tå chuøn vë ca pháưn tỉí P0 : r r r u = x − X hay u i = x i − X i ∂u i ∂x i ∂x i ∂u i = − δ ⇒ = + δ ij ij Theo biãún Lagrange: ∂X X X X ∂ ∂ ∂ j j j j ∂u i ∂X i ∂X i ∂u i = δ − ⇒ = − + δ ij ij Coìn theo Å le ta coï: ∂x x x x ∂ ∂ ∂ j j j j ⎤ ⎞⎛ ∂u k ⎞ ⎡⎛⎜ ∂u k ⎟ Thãú vaìo ten xå E ij = ⎢⎜ ∂X + δ ij ⎟⎜⎜ ∂X ⎟⎟ − δ ij ⎥ j ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎠⎝ i ⎠ = ⎜⎛ ∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎞⎟ + + ⎜⎝ ∂X j ∂X i ∂X i ∂X j ⎟⎠ ⎛⎜ ∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎞⎟ L = Ten xå ij ⎜ ∂X + ∂x − ∂x ∂x ⎟ j i i j ⎠ ⎝ §2.TEN XÅ BIÃÚN DẢNG BẸ V TEN XÅ QUAY 1.Ten xå biãún dảng bẹ ∂u k B quạ cạc säú hảng nh báûc cao âäúi våïi ∂x ta cn lải sau: i E ij → ε ij = ⎛⎜ ∂u i ∂u j ⎞⎟ + ⎝⎜ ∂X j ∂X i ⎟⎠ ⎜⎛ ∂u i ∂u j ⎞⎟ L ij → l ij = + ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎟⎠ Gi l ten xå biãún dảng bẹ, âáy l ten xå âäúi xỉïng hảng 2: ε ij = ε ji , l ij = l ji 2.Ten xå quay r r r Ta cọ u v u + du l vẹc tå chuøn vë ca P0 &Q chuøn vë tỉång âäúi giỉỵa Q & P0 l: r r r du = u Q0 − u P0 du i = u Q0i − u P0i Khai triãøn du i = ⎡ ⎛ ∂u ∂u j ⎞ ⎛ ∂u i ∂u j ⎞⎤ ∂u i ⎟⎥dX j = (ε ij + ωij )dX j ⎟+ ⎜ dX j = ⎢ ⎜ i + − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂X j ⎣⎢ ⎝ ∂X j ∂X i ⎠ ⎝ ∂X j ∂X i ⎠⎥⎦ ωij = ⎜⎛ ∂u i ∂u j − ⎜⎝ ∂X j ∂X i ⎞ ⎟ ⎟ goüi laì ten xå quay Lagrange ⎠ Coìn âäúi våïi biãún Å le: ~ = ⎛⎜ ∂u i − ∂u j ⎞⎟ ω ij ⎝⎜ ∂x j ∂x i ⎟⎠ goüi laì ten xå quay Å le Ten xå quay laì ten xå phn âäúi xỉïng ~ = −ω ~ ωij = − ω ji ; ω ij ji ⎡ ωij = ⎢− ω12 ⎢ Nãn cọ thãøï viãút dỉåïi dảng ma tráûn ⎢⎣ − ω13 Trong âọ: ⎛ ∂u ∂u ⎞ ω1 = ω23 = ⎜ − ⎟ ⎝ ∂X ∂X3 ⎠ ω2 = ω13 = ⎛ ∂u1 ∂u ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜⎝ ∂X ∂X1 ⎟⎠ ω2 = ω21 = ⎛ ∂u ∂u1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ − ⎝ ∂X1 ∂X ⎠ ω12 − ω23 ω13 ⎤ ω23 ⎥ ⎥ ⎥⎦ r Hay: ω= r rotu Trong trỉåìng håüp chuøn vë bẹ thỗ toỹa õọỹ õỏửu vaỡ cuọỳi cuớa mọỹt phỏửn tổớ ráút gáưn nãn gradien chuøn vë theo Lagrange v Å le gáưn bàịng nãn ε ij = l ij v ~ ωij = ω ij Ta thỉåìng dng biãún dảng bẹ âi nghiãn cỉïu váût ràõn biãún dảng 3. nghéa váût l ca ten xå biãún dảng bẹ v ten xå quay a)Ten xå biãún dảng nh ∂u ∂u ∂u ε11 = ; ε 22 = ; ε 33 = ∂X ∂X ∂X ∂u ∂x ∆x ∆ x − ∆X − = − = ε = = Thaình pháön 22 ∂X ∂X ∆X ∆X goüi ∆X = P0 Q : phán täú thàóng trng trủc X Váûy ε 22 biãún dảng di tè âäúica phán täú theo tæång tæû ε11 , ε 22 , ε 33 : hay ε ii X2 biãún dảng di tè âäúi våïi trủc Cạc thnh pháưn khäng nàịm trãn âỉåìng chẹo ε 32 = Nãn ε 32 γ ij chênh laì ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎝ ∂X ∂X ⎠ ∂u ∂u Q' Q = = = tgα = α ∂X ∂x PQ' ∂u ∂u M ' M = = = tgβ = β ∂X ∂x PM ' 1 = (α + β ) = γ 32 2 goüi gocï træåüt trãn màût phàóng 0X i X j nãn ε ij (i ≠ j) gi biãún dảng trỉåüt Xi b)Ten xå quay ⎛ ∂u ∂u ⎞ 1 ω 32 = ⎜⎜ − ⎟⎟ = (α − β ) = α − β ⎝ ∂X ∂X ⎠ 2 α : goïc quay phán täú P0 Q β : goïc quay phán täú P0 M âoï α goïc quay âỉåìng chẹo B0 ca P0 quanh trủc X1 P0 Q quay gọc Cn β gọc quay ngỉåüc lải ca âỉåìng chẹo quanh trủc X1 phán täú P0 Q B0 M P0 B0 ∈ P0 Q B0 M P0 M quay gọc β Nhỉ váûy ω32 biãøu thë sỉû quay cạc âỉåìng chẹo P0 B0 cng gọc quay ca phán täú Ta cọ P0 Q B0 M X1 u Q0i = u P0i + du i = u P i + (ε ij )P dx j + (ω ij )P dx j hay quanh truûc r r r r u Q0 = u P0 + u ε + u ω Trong âoï 0 r r r uω = ω ∧ du §3TRẢNG THẠI BIÃÚN DẢNG TẢI LÁN CÁÛN TẢI MÄÜT ÂIÃØM Trảng thại biãún dảng tải âiãøm ca MTLT âỉåüc biãøu thë bàịng mäüt ten xå hảng hai âäúi xỉïng ε ij 1.Quy luáût biãún âäøi thay âäøi hãû toüa âäü Âäúi våïi hãû ta âäü Âãư cạc ngỉåìi ta cọ cäng thæïc biãún âäøi ε ij = a im a jn ε mn ε mn = b mi b njε ij ' b ij = a ji ( a = cos x våúi ij i , X j ) , coìn Âäúi våïi hãû toüa âäü cong: ∂θ i i ∂θ 'i a = ,bj = ∂θ ' j ∂θj i j 2.Biãún dảng chênh, phỉång chênh, Báút biãún ca trảng thại biãún dảng Tải mäüt âiãøm ca MTLT trảng thại biãún dảng âỉåüc âàûc trỉng båíi ten xå biãún dảng ij thỗ bao giồỡ ta cuợng coù thóứ xaùc âënh âỉåüc tải âiãøm âọ cọ phỉång vng gọc våïi chè cọ biãún dảng di k hiãûu ε I , ε II , ε III (ε I > ε II > ε III ) Caïc giaï trë ε I , ε II , ε III laì biãún dảng di cỉûc trë gi l biãún dảng chênh Cn phỉång cạc biãún dảng chênh gi phỉång chênh trãn cạc màût phàóng vng gọc phỉång chênh khäng cọ biãún dảng trổồỹt Bióỳn daỷng chờnh laỡ nghióỷm cuớa phổồng trỗnh sau: ε 3(α ) − ℑ ε (2α ) + ℑ2 ε 3(α ) − ℑ3 = ℑ1 , ℑ , ℑ3 : báút biãún cuía ten xå biãún daûng våïi ℑ1 = ε ii = ε11 + ε 22 + ε 33 ℑ2 = θ= Thay ε 21 ε 22 ε 32 ε 23 ε 33 (εijε jj − εijεij ) = εε11 12 ε 22 ε11 ε 21 ε 31 ℑ3 = ε12 ε 22 ε 32 ε13 ε 23 ε 33 + + ε13 ε 31 ε11 dV − dV0 = ε11 + ε 22 + ε 33 = ℑ, θ âäü biãún âäøi tè âäúi thãø dV0 ε (α ) vaìo phổồng trỗnh: (11 ( ) )n1 + ε 21n + ε 31n = ⎪ ⎨ε12 n1 + (ε 22 − ε (α ) )n + ε 32 n = ⎪ ε n + ε n + (ε − ε )n = 23 33 (α ) ⎩ 13 Våïi n + n + n = ⇒ n , n n caïc phỉång chênh ε 33 2 3.Ten xå cáưu v lãûch biãún dảng ε ij = ε 'ij + ε 'ij ⎡ ε 0⎤ ε 'ij = ⎢0 ε 0⎥ ⎢ ⎥ gi l ten xå cáưu âoï ⎢⎣0 ε ⎥⎦ (ε11 + ε 22 + ε 33 ) ε = Våïi ε 21 ε 31 ⎤ ⎡ε11 − ε ε"ij = ⎢ ε12 ε 22 − ε ε 32 ⎥ ⎢ ⎥ 23 33 13 Đ4.PHặNG TRầNH TỈÅNG THÊCH BIÃÚN DẢNG thnh pháưn ca ten xå biãún dảng bẹï âỉåüc xạc âënh thnh pháưn ui chụng phủ thüc vo Sỉû phủ thüc ny bo õaớm cho caùc bióỳn daỷng tổồng thờch vồùi (vỗ MTLT sau biãún dảng váùn cn LT) Âãø bo âm liãn tủc ta phi loải b cạc thnh pháưn ui âỉåüc quan hãû giỉỵa cạc âảo hm ca cạc thnh pháưn ten xå Tỉì âáy ta nháûn âỉåüc phổồng trỗnh õọỹc lỏỷp 1 ij ,k = (u i , kj − u uû , ki ) = (u i , jk − uûj,i k) 2 = Cho (u i, jk − u k,ij − u k,ij − u j,ik ) ε ij tỗm ui theo trón ta cỏửn tỗm ( = ε ik , j − ε jk ,i ωij ) Âiãưu kiãûn cáưn v â âãø ε ik , j − ε jk ,i dx i cọ vi phán ton pháưn M A i dx i cọ vi phán ton pháön, ε ik , jm + ε jm ,ik − ε jk ,im − ε im , jk = A i , m = A m ,i nãn ∂ ε ij ∂ ε jk ∂ ε km ∂ ε im hay: ∂x ∂x + ∂x ∂x − ∂x ∂x − ∂x ∂x = j k i m i j k m §5.TÄÚC ÂÄÜ BIÃÚN DẢNG, VÁÛN TÄÚC XOẠY 1.Ten xå täúc âäü biãún daûng d d ⎜⎛ ∂u i ∂u j ⎞⎟ ε ij = + dt dt ⎜⎝ ∂x j ∂x i ⎟⎠ ∂ ⎛ du i ⎞ ∂v i d ⎛⎜ ∂u i ⎟⎞ = ⎜ ⎟= dt ⎝⎜ ∂x j ⎟⎠ ∂x j ⎝ dt ⎠ ∂x j ⎜⎛ ∂v i ∂v j ⎞⎟ Ta kyï hiãûu D ij = dt = ⎜ ∂x + ∂x ⎟ Ten xå täúc âäü biãún daûng i ⎠ ⎝ j dε ij 2.Ten xå váûn täúc xoaïy ⎜⎛ ∂v i ∂v i Coìn Vij = dt = ⎜ ∂x − ∂x i ⎝ j dωij ⎞ ⎟ ⎟ Ten xå váûn täúc xoaïy ⎠ Ω1 = V32 , Ω = V13 ; Ω = V21 r r Ω = rotV 3.Váûn täúc lán cáûn taûi âiãøm P ⎛ ∂v ⎞ VQi = VPi + ⎜ i ⎟ dX j = VPi + (D ij )P dx j + (Vij )dX j ⎜ ∂x ⎟ ⎝ j ⎠P Hay r r r r VQ = VP + Vbd + VΩ Váûn täúc xoaïy: r r r V Ω = Ω ∧ dx CHỈÅNG III: TRANG THAẽI ặẽNG SUT Đ1 TRANG THAẽI ặẽNG SUT TẢI MÄÜT ÂIÃØM 1.Lỉûc màût, lỉûc thãø têch Näüi lỉûc a.Læûc màût r r r dQi ⎞ ∆Q dQ ⎛ f (M ) = lim = ⎜ fi (M ) = ⎟ ∆S →0 ∆S dS ⎝ dS ⎠ b.Læûc thãø têch (khäúi) dm ⎧ r r ⎪ ρ (M ) = F (M ) = K (M )ρ (M )⎨ r dV ⎪⎩ K (M ) máût âäü khäúi lỉåüng Lỉûc tạc dủng lãn mäüt âån vë khäúi lỉåüng Fi (M ) = K i (M )ρ (M ) c.Näüi lỉûc r r ∆f Tntb = ∆S l ỉïng suỏỳt trung bỗnh r r r f df Tn = lim = ∆S→ ∆ S dS l vẹc tå æïng suáút taûi M df i T = ni hay dS , Tn =- T-n r r r Tn = σn + τ σ : ỉïng sút phạp; τ : æïng suáút tiãúp 2.Ten xå æïng suáút Xeït phán täú láûp phỉång hãû ta âäü Âãư cạc r r r e1 , e , e r r r T1 , T2 , T3 vaì r r r r T1 = σ11e1 + σ12 e + σ13e3 r r r r r T2 = σ 21e1 + σ 22 e + σ 23e3 hay Ti r r r r T3 = σ 31e1 + σ 32 e + σ 33e3 σ ij r = σ ij e i ten xå hảng gi l ten xå ỉïng sút 3.ỈÏng sút tải âiãøm M Xẹt phán täú tải M: MABC r n l phạp tuún, nil cos chè phỉång våïi cạc màût phàóng ta âäü diãûn têch ABC: dS dSi = n i dS r r Lỉûc màût gäưm: − Ti & Tn r r Lỉûc khäúi: ρK & − ρW Xẹt cán bàịng cạc læûc lãn phán täú: r r r r Tn dS − Ti dS i + ρ K − W dV = r r r r Tn dS − Ti ni dS + ρ K − W dV = r r r r dV ⇒ Tn − Ti ni + ρ K − W =0 dS Khi (ABC) → M r r Ti = σ ij e j r r = σ T n e ij i j ; Nãn n hay ( ( ( ) dV → : ) ) Ta coï: r r Tn = Ti n i maì Tn j = σ ij n i Ten xå ỉïng sút tải âiãøm xạc âënh trảng thại ổùng suỏỳt taỷi õióứm ỏỳy Đ2.PHặNG TRầNH CHUYỉN ĩNG VAè CN BềNG CUA MTLT 1.Phổồng trỗnh chuyóứn õọỹng Theo nguyón lyï D’alambe r r r T dS + K ∫∫ n ∫∫∫ − W ρdV = S ( V ) r r r r r x ∧ T dS + x ∧ K − W ρdV = ∫∫ n ∫∫∫ ( S hay ∫∫ T nK ∫∫ ε S Trong âoï ) V ds + ∫∫∫ (K K − WK )ρdV = (*) V ijK x j TnK dS + ∫∫∫ ε ijK x j (K K − W K )ρdV = V ε ijK kyï hiãûu Spin Cọ chè säú bàịng =0 =1 = −1 Theo cäng thỉïc Gao xå: hoạn vë chàơn hoạn vë l (TnK = σiK n i ) ∫∫ σiK n i dS = ∫∫∫ S (**) V ∂σ iK dV ∂x i ⎤ ⎡ ∂σ iK ( ) ρ K W + − ⇒ K K ⎥ dV = ⎢ (*) ∫∫∫ x ∂ i ⎦ V iK vỗ V bỏỳt kyỡ x + (K K WK ) = phổồng trỗnh chuyóứn âäüng nãúu i r W = WK = : ∂σ iK + K K ρ = phæång trỗnh cỏn bũng xi 2.ởnh luỏỷt õọỳi ổùng cuớa ổùng sút tiãúp Tỉì (**), thay: ⎞ ⎛ ∂σ iK ∂x j ⎜ e x n dS e x dV σ σ = + ijK ⎜ j iK ⎟ ∫∫S ijK j iK i ∫∫∫ ⎟ ∂x i ⎠ ⎝ ∂x i V ⎞ ⎛ ∂σ = ∫∫∫ e ijK ⎜⎜ x j iK + σ jK ⎟⎟dV ⎠ ⎝ ∂x i V Ta coï: ⎡ ∂σ iK ⎤ ( ) e x K W ρ + − ijK j ⎢ K K ⎥ dV + ∫∫∫ eijK σ jK dV = ∫∫∫ x ∂ ⎣ i ⎦ V V ⇒ e ijK σ jK = ⇒ σ12 = σ 21 ; σ 23 = σ 32 ; σ 31 = σ13 Hay σ ij = σ ji ten xå âäúi xæïng 3.Quy luáût biãún âäúi æïng suáút thay âäøi hãû toüa âäü Taûi M, Mx , x , x → Mx 1' , x '2 , x '3 a ij = cos(x 'i , x j ) σ 'ij = a im a jn σ mn σ mn = b mi b nj σ ij b ij = a ji Trong hãû toüa âäü cong σ 'ij = a im a nj σ mn ⎛ i ∂θi ⎞ ⎜a j = 'j ⎟ ∂θ ⎟ ⎜ 'i ⎜ i ∂θ ⎟ ⎜bj = j ⎟ ∂θ ⎠ ⎝ σ mn = b im b nj 'ij Đ3 ặẽNG SUT CHấNH VAè PHặNG CHÊNH, CẠC BÁÚT BIÃÚN CA TEN XÅ ỈÏNH SÚT r r Tn = σn Tnj = σnj = σ ij n j σ æïng suáút chênh; n j = δ ij n i σ ij n i − σδ ij n i = ⇒ (σ ij − δ ijσ )n i = ⎧ (σ11 − σ )n1 + σ 21n + σ 31n = ⎪ ⎨σ12 n1 + (σ 22 − σ )n + σ 32 n = hay ⎪ (*) ⎩ σ13 n1 + σ 23 n + (σ 33 )n = óứ hóỷ phổồng trỗnh coï nghiãûm σ11 − σ σ 21 σ 31 σ 22 − σ σ 32 = del σ ij − δ ijσ = σ12 σ13 σ 23 σ 33 − σ σ − I1σ + I σ − I = I1 = σ ii = σ11 + σ 22 + σ 33 σ 22 σ 11 σ 21 I2 = σ σ + σ 23 12 22 σ 32 σ 33 σ 13 σ 33 + σ 31 σ 11 ( I1,I2 ,I3 caïc báút biãún) I = del σ ij σ I > σ II > σ III Thay σ I vo (*) ⇒ ỉïng sút chênh n1 , n , n Tải M cọ cạc phỉång chênh ⎤ Tn1 = σ I n ⎡σ I σ ij = ⎢ σ II ⎥ Tn = σ II n ⎢ ⎥; σ III ⎥⎦ Tn = σ III n ⎢⎣ Đ4.ặẽNG SUT TIP CặC TRậ 2n = Tni Tni − σ 2n σ n = Tn i n i = Tn1 n + Tn n + Tn n σ n = σ I n + σ II n + σ III n 2 2 2 τ = σ n + σ n + σ n − (σ I n + σ II n + σ III n n I II 2 III = (σ 2I − σ 2III )n12 + (σ12 − σ 2III )n 22 + σ 2III ) 2 [ − (σ I − σ III )n12 + (σ II − σ III )n 22 + σ III {σ ⇒ {σ ∂τ n =0 ∂n2 ∂τ n = 0; ∂n [ [ ] ] ] 2 ( ) ( ) − σ − σ − σ + σ − σ n n I III I III III III }n = 2 II − σ III − (σ I − σ III )n + (σ II − σ III )n }n = Xẹt trỉåìng håüp 1: Xẹt trỉåìng håüp 2: n1 ≠ 0; n = n1 = 0; n ≠ n ; n = 0; n = ± ⇒ = ± Trỉìång håüp 1û ⇒ = = ± n ; n ; n3 = ± Trỉìång håüp 2 Tæång tæû n1 = ± τI = ± 2 1 ; n3 = ; n2 = 2 σ II − σ III σ − σ III σ − σ III ⇒ τ II = ± I ⇒ τ max = τ II = I 2 σ − σ II τ III = ± I §5 BIÃØU DIÃÙN TRẢNG THẠI ỈÏNG SÚT BÀỊNG VNG TRN M Cho màût våïi cạc phỉång chênh tải M: våïi cạc cos chè phæång n1 , n , n n1 = cos α; n = cos β; n = cos γ Ta cọ cäng thỉïc ỉïng sút phạp vaì tiãúp trãn màût: ⎧ σ n = σ I n12 + σ II n22 + σ III n32 ⎨ 2 2 2 2 2 ⎩τ n = σ I n1 + σ n2 + σ III n3 − σ I n1 + σ II n2 + σ III n3 ( n 12 + n 22 + n 32 = ) våïi ⎧ τ n2 + (σ n − σ II )(σ n − σ III ) ≥0 ⎪n1 = ( )( ) − − σ σ σ σ I II I III ⎪ τ + (σ n − σ III )(σ n − σ I ) ⎪ ⇒ ⎨ n22 = n ≥0 ( )( ) − − σ σ σ σ II III II I ⎪ ⎪ τ n + (σ n − σ I )(σ n − σ II ) ⎪ n3 = (σ − σ )(σ − σ ) ≥ III I III II ⎩ våïi σ I > σ II > σ III ⎧τ 2n + (σ n − σ II )(σ n − σ III ) ≥ ⎪ ⇒ ⎨ τ 2n + (σ n − σ III )(σ n − σ I ) ≤ hay ⎪ τ + (σ − σ )(σ − σ ) ≥ n I n II ⎩ n σ + σ III ⎞ ⎛ ⎛ σ − σ III ⎞ τ 2n + ⎜ σ n − II ⎟ ≥ ⎜ II ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ σ + σ σ − σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ III III τ 2n + ⎜ σ n − I ⎟≤⎜ I ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 σ I + σ II ⎞ ⎛ σ I − σ II ⎞ ⎛ τn + ⎜ σn − ⎟ ⎟ ≥⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Choün màût phàóng toüa âäü (σ n ,τ n ) (I)(II)(III) Vng trn Mo nå cho ta nháûn tháúy cạc giạ trë ỉïng sút phạp σ n v ỉïng sút tiãúp τ n trãn mäüt màût phàóng báút k thüc phảm vi ca tam giạc cong ABC ca ba vng trn M0 Cạch xạc âënh ỉïng sút trãn màût phàóng báút k biãút phỉång ca màût Gi sỉí σ I , σ II , σ III ta cọ vng trn M Våïi cạc gọc α, β, β , ta s xạc âënh âỉåüc âiãøm K ∈ ∆ABC maì σ n ,τ n laì ta âäü ca K Biãøu thë ỉïng sút phạp v tiãúp ca màût Âäúi våïi phỉång chênh III våïi gọc γ , tỉì vng trn III: 2γ âiãøm G tỉì vng trn I : 2α = CD Ta cọ âỉåìng cong trn våïi tám O3 , bạn kênh O D : ta cọ cung DE Ta cọ âỉåìng cong trn våïi tám O1 , bạn kênh K l giao âiãøm ca cung DE v GH O1G : ta coù õổồỡng cong GH CHặNG IV: QUAN H GIặẻA ặẽNG SÚT V BIÃÚN DẢNG CA CẠC MÄI TRỈÅÌNG THỈÅÌNG GÀÛP §1 CHÁÚT LOÍNG NHÅÏT σ ij = − p 0δ ij + τ ij 1.Ten xå ỉïng sút -P0 ạp suáút - τ ij : ten xå æïng suáút nhåït Trong cháút læu, æïng suáút nhåït liãn hãû våïi nàng lỉåüng hao tạn âỉåüc thãø hiãûn qua ten xå täúc âäü biãún daûng D ij : τ ij = f ij (D pq ) : cháút loíng Xtäúc Nãúu tuyãún họa ta cọ dảng: τ ij = K i jpq D pq goüi cháút loíng Niu tån ( K ijpq hóỷ sọỳ nhồùt) Nóỳu chỏỳt loớng õọửng chỏỳt thỗ K l hàịng säú Nãúu cháút lng khäng âäưng cháút thỗ K laỡ haỡm caùc toỹa õọỹ K ijpq coù 81 thnh pháưn K ijpp = (i ≠ j) Chè täưn tải K iipp ≠ thnh pháưn våïi hàịng säú âäüc láûp: λ1 & µ1 K1111 = K 2222 = K 3333 = 2µ1 + λ1 K1122 = K1133 = K 2233 = λ1 K iipp = K ppii Trong âọ λ1 & µ1 gi l hóỷ sọỳ nhồùt: thóứ tờch à1 hỗnh daùng Khi âọ ε ij = λ1θ& δ ij + 2µ1 D ij liãn hãû våïi täúc âäü biãún daûng liãn hãû vồùi tọỳc õọỹ bióỳn daỷng 2.Phổồng trỗnh xaùc õởnh cuớa cháút loíng Niu tån: σ ij = − pδ ij + λ1θ& δ ij + 2µ1 D ij Khai triãøn: σ11 = − p + λ 1θ& + 2µ1 D11 ; σ12 = 2µ1 D12 σ 22 = −p + λ1θ& + 2µ1D 22 ; σ 23 = 2µ1D 23 σ = − p + λ θ& + 2µ D ; σ = 2µ D 33 1 r & Våïi θ = D11 + D22 + D33 = divV 33 13 13 r Âäúi våïi cháút læu khäng chởu neùn ( divV = ) Phổồng trỗnh coù dảng: σ ij = − pδ ij + 2µ1 D ij 3.Hóỷ phổồng trỗnh cồ baớn cuớa chỏỳt loớng Niu tån Theo biãún Å le: r Dρ + ρdivV = +Phổồng trỗnh lión tuỷc: Dt ij Dv i K + = i +Phổồng trỗnh chuyóứn õọỹng: x j Dt Du C j (1) (3) +Phổồng trỗnh nàng læåüng: ρ dt = σ ij Dij − ∂x + ρb j - σ ij D ij : Haìm hao tạn (1) u: nàng lỉåüng riãng - C j :lỉu lỉåüng nhiãût -.b :hãû säú bỉïc xả +Phỉång trỗnh xaùc õởnh: ij = p ij +1 δ ijθ& + 2µ1 D ij (ρ , T ) +Phổồng trỗnh traỷng thaùi: P = P +ióửu kióỷn truyóửn nhióỷt cuớa Furió: C j = K +Phổồng trỗnh traỷng thaïi Caläri: ∂T ∂x j (1) (3) (6)