GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT

hay

I HC À NNG TRNG I HC BÁCH KHOA KHOA S PHM K THUT B MÔN C K THUT À NNG 2005 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC CHNG I NG HC IM §1. M U NG HC ng hc là phn c hc nghiên cu các tính cht hình hc ca chuyn đng các vt, không k đn quán tính (khi lng) và các lc tác dng lên chúng đ vt chuyn đng. Khi nghiên cu phn đng hc ta cn chú ý đn nhng đim sau đây: 1. Mô hình vt th ca đng hc là đng hc đim và vt rn chuyn đng. ng hc đim là đim hình hc chuyn đng trong không gian, qua thi gian. Vt rn chuyn đng là tp hp nhiu đng đim mà khong cách gia mi cp đim đu không đi trong chuyn đng. 2. Chuyn đng xy ra trong không gian và theo thi gian. Không gian trong c hc là không gian Euclide ba chiu. Tt c các phép đo lng trong không gian này đc xác đnh theo phng pháp hình hc Euclide. n v chiu dài đ đo khong cách là mét (m). Thi gian trong c hc đc coi là thi gian trôi đu không ph thuc vào h quy chiu kho sát. n v đo thi gian là giây (s). Thi gian đc xem là đi s đc lp khi kho sát chuyn đng ca các vt th. 3.  xác đnh v trí ca vt (hoc đim) đang chuyn đng ngi ta gn vi vt chun dùng đ kho sát chuyn đng mt h to đ nào đó mà cùng vi nó to thành h quy chiu. Nu to đ ca tt c các đim ca vt trong h quy chiu đã chn luôn không đi ta nói vt đng yên. Còn nu to đ ca các đim thay đi theo thi gian ta nói vt chuyn đng trong h quy chiu. 4. Kho sát v mt chuyn đng ca mt đim hay ca mt vt rn là tìm cách xác đnh v trí ca đim y đi vi h quy chiu đã chn  mi thi đim, đng thi tìm cách mô t chuyn đng y theo thi gian. Mun vy, ngi ta dùng nhng khía nim sau đây: a) Thông s xác đnh v trí ca đim hay ca mt vt rn trong h quy chiu đã chn. b) Phng trình chuyn đng ca đim hay vt rn chuyn đng là nhng biu thc liên h gia thông s đnh v nói trên vi thi gian mà ta xem là đi s đc lp. Chng I ng hc đim Trang 1 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC c) Vn tc chuyn đng là đi lng biu th hng và tc đ chuyn đng ca đim hay vt rn  thi đim đang xét. Nói chung, vn tc chuyn đng cng là đi lng bin thiên theo thi gian. d) Gia tc chuyn đng là đi lng biu th tc đ thay đi ca vn tc chuyn đng (phng chiu, đ ln) theo thi gian. Gia tc chuyn đng cng là hàm ca thi gian. 5. ng hc đc chia làm hai phn chính: - ng hc đim - ng hc vt rn §2. KHO SÁT CHUYN NG CA IM A- Kho sát chuyn đng ca đim bng phng pháp véct (vector) 1. Phng trình chuyn đng ca đim: Xét chuyn đng ca đim M trong h quy chiu Oyxz. Rõ ràng là v trí ca M đc xác đnh duy nht bng véct đnh v rO= M r r , ta gi là véct bán kính ca đng đim trong h quy chiu y. Khi đng đim chuyn đng, véct s bin thiên liên tc theo thi gian c v hng ln đ dài do đó ta vit : r r = r r (t) (1.1) Hçnh 1.1 W r V r y x z Biu thc (1.1) là phng trình chuyn đng ca đim vit di dng véct. Qu tích các v trí ca chuyn đng đim trong không gian quy chiu đc gi là : Qu đo ca chuyn đng đim trong h quy chiu y. Phng trình (1.1) cng chính là phng trình qu đo di dng thông s. Chng I ng hc đim Trang 2 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC 2. Vn tc chuyn đng ca đim : Gi thuyt ti thi đim t đng đim M có véc t đnh v , và ti thi đim t’=t+t đng đim  v trí M’ có véct đnh v r . r r r Véct ' M M r = - = mô t gn đúng hng đi và quãng đng đi đc ca đng đim trong thi gian , gi là véct tc đ li ca đim. 'r r r r r r t∆ i lng r t ∆ ∆ r đc gi là vn tc trung bình ca đng đim trong thi gian t. Kí hiu V . Nu t càng nh thì đ chính xác càng cao do đó ngi ta đnh ngha : TB M',t' M,t V r r r ' r r ∆ O Hình 1.2 r Vn tc tc thi  thi đim t ca đng đim là véct V r đc xác đnh nh sau: 00 lim lim TB tt rdr VV tdt ∆→ ∆→ r ∆ === ∆ = r r rr r & (1.2) ngha là : Vn tc tc thi ca đng đim là đo hàm cp mt theo thi gian ca véct đnh v ca đng đim (Ký hiu (t)-t nay v sau ta hiu là đo hàm theo thi gian) r r & V mt hình hc khi ti gii hn, vn tc tc thi V r phi hng tip tuyn vi qu đo ca đng đim ti M và thun theo chiu chuyn đng qua đó ca đng đim. n v chính ca vn tc là m/s (mét/giây). 3. Gia tc ca đng đim : Nói chung, véct V bin đi c v hng và đ ln theo thi gian V =V (t). a lng : r r r 0 lim t dV V dt t ∆→ ∆ = ∆ rr cho ta bit tc đ bin đi ca véct c v phng chiu ln đ ln ti thi đim đang xét, ngha là nó V r 'V Hình 1.3 M' M V∆ 'V V r Chng I ng hc đim Trang 3 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC đc trng cho tc đ đi hng và đi hng và đôi đ nhanh ca chuyn đng ca đim. Vì vy, ngi ta đnh ngha: Gia tc tc thi ca đng đim là đi lng véct bng đo hàm cp mt theo thi gian ca vn tc: W r WVr = = r r r & && (1.3) V mt hình hc, chú ý rng véct V ∆ r bao gi cng hng vào b lõm ca qu đo. n v chính đ tính gia tc là m/s 2 4. Mt s tính cht đc suy ra trc tip t biu thc cu vn tc và gia tc: a) Nu V đng nht trit tiêu thì VW∧ rr r và W r luôn luôn cùng phng. Do đó có phng không đi nên chuyn đng ca đim là chuyn đng thng. V r - Nu V không đng nht trit tiêu thì chuyn đng là chuyn đng cong vì khi y V đi phng. W∧ rr r b) Tính đu hay bin đi ca chuyn đng Chuyn đng là đu hay bin đi tu theo giá tr vn tc V là không đi hay tng hoc gim theo thi gian. - Nu tr s vn tc tng hoc gim theo thi gian trong mt khong thi gian nào đó ta nói đim chuyn đng nhanh hoc chm dn trong khong thi gian đó. Chú ý rng s thay đi V 2 đc trng cho s thay đôi đ ln ca V và ta có: 22 ()VV= r , 22 () 2. dV d V VW dt dt == r r r Ta rút ra kt lun nh sau: - Nu  0 thì đng đim chuyn đng đu trên qu đo ca nó (có th thng hay cong) .VW rr - Nu .VW rr ≠ 0 thì chuyn đng bin đi, c th : + > 0 : Nhanh dn .VW rr + < 0 : Chm dn .VW rr Chng I ng hc đim Trang 4 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC B- Kho sát chuyn đng ca đim bng to đ Descartes 1. Phng trình chuyn đng ca đng đim: Xét chuyn đng ca đim trong to đ Descartes Oxyz. V trí ca đim đc xác đnh bi các to đ x,y,z. Vì vy: Phng trình chuyn đng ca đim s là : () () () x xt yy t zzt = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ (1.4) (1.4) cng chính là phng trình qu đo vit di dng tham s. Hçnh 1.4 x O z y r r ),,( zyx WWWW r ),,( zyx VVVV r M ( x ,y, z ) 2. Vn tc chuyn đng ca đim : Gi i, j, k là các véct đn v trên ba trc to đ Ox, Oy, Oz khi y : yj+zkrxi=+ rr r r trong đó i r , j r , k r là hng. Ta có : (yj+zk) = yj+z d kxi xi dt == + +Vr r rrr r r r r & jk xyz VViV V=++ r r r r Vy : ⎪ ⎨ (1.5) Vn tc ca đng đim trong h Descartes t (1.5) có th xác đnh giá tr và hng ca V x y z Vx V Vz = ⎧ y= ⎪ = ⎩ & & & r 22 Vxyz 2 = ++ && & os(Ox, ) x V cV V = r , os(Oy, ) y V cV V = r , os(Oz, ) z V cV V = r Chng I ng hc đim Trang 5 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC 3.Gia tc chuyn đng ca đim : Tng t nh đi vi vn tc, W = V r r = r r ta có: xx yy zz WV x WV y WV z ⎧ == ⎪ == ⎨ ⎪ == ⎩ & && & && & && (1.6) Gia tc trong to đ Descartes t (1.6) ta cng xác đnh giá tr và hng W nh sau : W = 222 x yz + + && && && os(Ox, ) x W cW W = r , os(Oy, ) y W cW , W = r os(Oz, ) z W cW W = r Cui cùng da vào hình chiu ca vn tc V r và gia tc W r ta có th mô t các đc đim thng hay cong, đu hay bin đi đu ca chuyn đng đim. C- Kho sát chuyn đng ca đim bng to đ t nhiên. 1. Phng trình chuyn đng : Khi đã bit qu đo chuyn đng ca đim ta thng kho sát chuyn đng ca đim bng phng pháp to đ t nhiên. Chn đim O tu ý trên qu đo làm gc và xem qu đo nh mt trc to đ cong ri đnh ra trên nó mt chiu dng. Gi OM=s là to đ cong ca đng đim trên qu đo. Rõ ràng s chính là thông s đnh v ca đim M trên qu đo. Vy phng trình chuyn đng ca M có dng : O M Hình 1.5 (+) (-) () s st = Chng I ng hc đim Trang 6 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC 2. Mt s tính cht hình hc ca qu đo : a) H to đ t nhiên H to đ t nhiên là h ba trc vuông góc đc xác đnh nh sau: Trc tip tuyên ti M có hng dng đã chn trùng vi hng dng đã chn trên qu đo, véct đn v trên trc này ký hiu τ r . Ly cung vô cùng bé ds = ' M M nm trong mt phng duy nht qua M và cha tip tuyn M. Mt phng  ti M đc gi là mt phng mt tip. Trong mt phng  ta đim M k pháp tuyn ca qu đo và đnh hng dng vào b mt lõm ca qu đo. Pháp tuyn y gi là pháp tuyn chính ti M. Kí hiu là n r b r n r τ r Hình 1.6 Trc vuông góc vi mt phng gi là trc trùng pháp tuyn, ký hiu là b r là véct đn v, và chn sao cho Mnb là mt tam din thun. b r b)  cong và bán kính cong ca qu đo ti M  cong ca qu đo ti M là mt s dng K : 0 lim s d K sds ϕ ϕ ∆→ ∆ == ∆ Nu qu đo là đng tròn thì : 1 ds R Kd ϕ == là bán kính ca đng tròn. Suy rng ra đi vi đng cong bt k 1 K =  gi là bán kính cong ca qu đo. T r ' T " T τ r ϕ ∆ ∆ s Hình 1.7 M’ Chng I ng hc đim Trang 7 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC 3. Xác đnh vn tc và gia tc ca chuyn đng : a) Xác đnh hng vn tc ca đim M Vì hng theo tip tuyn vi qu đo ti đim M, nên ta có th vit : .VV τ τ = r r (a) Mt khác ta cng có : . dr dr ds V dt ds dt == r r r nhng : 0 lim s dr r ds s τ ∆→ ∆ == ∆ rr r Vy : . ds V dt τ = r r (b) T (a) và (b) ta có th vit : s dt ds VVV & r ==== τ Xét quan h gia V  và dt ds : - Khi M chuyn đng theo chiu dng thì V r và τ r cùng chiu, ngha là V  >0 khi y s tng theo thi gian có ngha là s & >0. vy V  và s & cùng du. - Khi M chuyn đng theo chiu âm thì V r và τ r trái chiu, nên V  <0 khi y s gim theo thi gian ngha là s & <0. Vy V  và s & cùng du. Vì vy ta vit đc τττ τ r & rr r s dt ds VV === Giá tr sVV & == cho tc đ chuyn đng, còn du ca V  cho bit chiu chuyn đng ca đim thun hay ngc vi chiu dng đã chn trên qu đo. b) Xác đnh gia tc W ca M: Ta vit : trong h to đ Mnb, cn phi tìm các giá tr W bWnW bn r rr r WW ++= τ τ , W n , W b theo s T (1.3) và (1.7) ta có: τττ τττ & rr & r & r r ).( dt d VW VVV +=== Chng I ng hc đim Trang 8 GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC Nhng trong hình hc vi phân ngi ta đã chng minh rng : ρ τ n ds d rr = vì vy : τ ρ τ τ V n dt ds ds d r r & r == Do đó ta có : n V V n V rr & r r & r )(.VW 2 2 ρ τ ρ τ ττ +=+= T đó suy ra : sV && & == ττ W , ρρ )( W 22 sV n & == , 0W = b Vy: gia tc ca M  v trí đang xét đc phân tích ra hai thành phn : gia tc tip tuyn W  và gia tc pháp tuyn W n . 4. Phán đoán tính cht ca chuyn đng : - Chuyn đng đu là chuyn đng trong đó V=V 0 ; có ngha là . Khi đó s = s 0W == ττ V & 0 + V 0 .t, trong đó s 0 là to đ t nhiên ban đu ca đng đim. - Chuyn đng bin đi đu là chuyn đng trong đó gia tc tip W  = a = const. T đó suy ra : V  = V 0 + at, V 0 là vn tc đu ca chuyn đng, phng trình chuyn đng có dng : s = s 0 + V 0 t + 2 at 2 , s 0 là to đ t nhiên ban đu. - Chuyn đng bin đi khi: 0.) ).(.(. ≠=+= ττττ ττ WVnWWVWV n r r r rr Nu : >0 Chuyn đng nhanh dn ττ WV . <0 Chuyn đng chm dn ττ WV . Ví d 1: ( Chuyn đng Xyclôít) Xét chuyn đng ln không trt ca đng tròn trên đng thng. Gi s vn tc ca tâm đng tròn đó là v(t) và bán kính cu nó là R. a. Lp phng trình chuyn đng ca mt đim M bt k trên đng tròn y. b. Kho sát vn tc và gia tc ca M nhng lúc nó  trên đng thng ta ca đng tròn c. Gi  thuyt V = V 0 = const, kho sát tính bin đi chuyn đng trên mt cung qu đo ng vi mt vòng ln ca đng tròn. Chng I ng hc đim Trang 9 [...]... i m O(x0, y0) và góc , chúng ta thay ng trình chuy n ng c a v t r n chuy n ng song ph ng là: x0 y0 x0 (t ) y0 (t ) (4.1) (t ) Hai ph v i c c O, ph ng trình u cho ta ph ng trình th ba là ph ng trình chuy n ng trình chuy n ng t nh ti n c a h ng quay t ng ng so i quanh c c O c a thi t di n (S) Ch ng IV Chuy n ng song ph ng c a v t r n Trang 33 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T V y chuy n th i: chuy n t ng PH... t hai bài toán ã nêu trên, ta s tìm m i quan h gi a các chuy n tuy t Ch i, t ng i và kéo theo c a i m hay v t b ng nh ng ng III Chuy n ng t ng h p c a i m nh lý sau ây: Trang 22 ng GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T §2 nh lý : V n t c tuy t t PH N NH LÝ H P V N T C i c a i m b ng t ng hình h c véct v n t c theo và v n t c i c a nó t i th i i m kh o sát : Va ng Ch ng minh : Véct là véc t NG H C Ve Vr nh v c... n sông c là chuy n theo c a con thuy n là Ve = VO vì h chuy n Ch ng Vr V V2 i c a con thuy n : U2 ng t ng h p c a i m U Trang 23 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T qua hình v ta th y r ng, PH N NG H C i v i b sông con thuy n qua sông chéo dòng n cv iv n t c là Va §3 1 nh lý : NH LÝ H P GIA T C m i th i i m, gia t c tuy t theo, gia t c t ng i và gia t c Côriôlit Wa Trong ó : We Wr Wk Wk = 2 Ch ng minh : L y... nh sau : Ch n tr c x vuông góc v i Wr và tr c y vuông góc v i We (nh hình v ) chi u (c) lên các tr c y có hai ph ng trình Wa cos 30 0 Wa cos 60 0 Ch ng III Chuy n i s ch a hai n s Wr và W e Ta có : We We ng t ng h p c a i m Wk n (d ) Wr Trang 30 GIÁO TRÌNH C Gi i các ph H C LÝ THUY T ng trình (d) ta We Wr Wk Wa cos 60 0 y con ch y A chuy n NG H C c: Wa cos 30 Nh v y các véct Wr , We PH N We u ng 2 a... N QUAY QUANH TR C C NH nh ngh a : N u trong quá trình chuy n nói v t r n có chuy n ng quay quanh tr c c ng, v t r n có hai i m luôn c nh, ta nh qua hai i m ó O Mô hình ph ng Mô hình không gian Mô hình c a nó Ch ng II Chuy n c bi u di n : ng c b n c a v t r n Trang 13 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T A Kh o sát chuy n 1 Ph 0 NG H C ng quay c a c v t r n: ng trình chuy n ng: D ng hai m t ph ng ó PH N 0, qua... tròn l n không tr t nên: t V (t ).dt OP mà OP R 0 t 1 V (t ).dt R0 V y Do ó ph ng trình chuy n ng c a i m M x y Qu o c a i m M g m nh ng nên ta ch xét chuy n Ch ng I R( sin ) R(1 cos ) t 1 V (t ).dt R0 ng cong xyclôít tu n hoàn v i chu k là 2 cho ng c a nó trong 0 ng h c i m c vi t nh sau: 2 Trang 10 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C b Bi u th c v n t c và gia t c c a i m: V x x R (1 cos ) V y... a hai i m M và N có th ch ng khít lên nhâu c Vì MM ' NN ' nên ta có : VM Ch ng II Chuy n MM ' 0 t lim t NN ' 0 t lim t ng c b n c a v t r n V N , ngh a là : VM VN Trang 12 GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T WM Suy ra : T PH N NG H C WN nh lý này suy ra : - Vi c kh o sát chuy n kh o sát chuy n ng c a v t r n chuy n ng t nh ti n c thay th b ng vi c ng c a m t i m b t k c a nó -V n t c V và gia t c W chung cho... i C n l c ng kéo theo L y giá máy làm h quy Trang 28 GIÁO TRÌNH C chi u c H C LÝ THUY T nh Chuy n ng tuy t O Các véct Va , Wa h PH N i c a A ã xác Wa = 1) Tìm các v n t c Vr , Ve , = a 0 Wan = a 0 2 0 1 ng tuy t i ph c h p nên ta áp d ng V a = V r + Ve Chuy n ng tròn quanh ng nh hình v , tr s : Va = OA Vì chuy n nh ó là chuy n NG H C ng tuy t nh lý h p v n t c : (a) i c a A là chuy n ng th ng d c theo...GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C Bài gi i : a L p ph ng trình chuy n Kh o sát chuy n c a i m M trên ng : ng x ng tròn, rõ ràng r t nhi u l n M v t ch m v i ng t a Ox Ta ch n ngay m t i m nh th làm g c O và b t sát t y O u kh o... chuy n ng c a các i m thu c v t r n : ng trình chuy n ng: ng tròn tâm O trên tr c quay và có bán kính OM V i OM là kho ng n tr c quay ( ) A O O VM M A 0 M B Hình 2 G i A là giao i m c a m t ph ng góc AÔM = Ch L y AM = s là thông s c ng II Chuy n ng c b n c a v t r n 0 v i ng tròn qu nh v c a M trên qu o ( ) c a M, ta có o và ch n chi u Trang 16 GIÁO TRÌNH C d H C LÝ THUY T ng tính cung thu n v i chi u