Giáo trình cơ học lý thuyết phần động lực học

Giáo trình cơ học lý thuyết - Động lực học Động lực là phần tổng quát của cơ học. Động lực học nghiên cứu chuyển động của vật thể d-ới tác dụng của lực. Động lực học thiết lập các định luật liên hệ giữa lực tác dụng với những đặc tr-ng động học và áp

TR NG I H C BÁCH KHOA

KHOA S PH M K THU T

B MÔN C K THU T

À N NG 2005

Trong ph n T nh h c chúng ta đã nghiên c u v l c và s cân b ng c a các v t th

đi n (Khác v i khái ni m không gian, th i gian trong lý thuy t t ng đ i)

2 Quán tính :

Th c t cho th y r ng tác d ng c a m t l c lên hai v t th t do khác nhau, nói

3 Ch t đi m :

4 C h :

đ n chuy n đ ng c a các ch t đi m khác thu c h

5 V t r n :

6 H quy chi u :

đ c a t t c các đi m thu c c h trong h quy chi u đã ch n, luôn luôn không đ i thì

đ ng trong h quy chi u đã ch n

tác d ng lên ch t đi m b ng 0 thì véct v n t cvf c a ch t đi m s không đ i c v đ

Ff f

C n nói thêm r ng, c ng nh gia t c g, tr ng l ng thay đ i theo v đ và đ cao

3 nh lu t v tác d ng và ph n tác d ng : ( nh lu t III)

b ng vì chúng đ t vào hai ch t đi m khác nhau

, ,, 2

1 mà

ch t đi m có đ c n u nh t ng l c Ff Ff Ffn

, ,, 2

Theo tiên đ trên ta có :

n W W

W

Wf f f f

+++

n W m W

m W m W

= 1+ 2 + +

n F F

F W

m f f f f

+++

=

1 2

n i i

f f

s

m kg

N =

H đ n v MKS : Các đ n v c b n là mét (m), kilôgram l c (kG) và giây (s) n

§4 PH NG TRÌNH VI PHÂN CHUY N NG

, ,, 2

1 ( i

lên các tr c to đ Ox, Oy, Oz ta đ c :

F z

m

F y

m

F x

F dt

z d m

F dt

y d m

F dt

x d m

2 2 2 2 2 2

(1.6’)

đi m trong h to đ Descarte

kn n

k

F W

m

F W

m

F W

m

.

F

F

s m

F s

m

0

phép chúng ta xác đ nh quy lu t chuy n đ ng c a h , hai ph ng trình còn l i dùng đ

M

Xét c h g m n ch t đi m m1,m2, , mn G i Ffe k

là h p l c c a t t c các l c ngoài và Ffi k

là các h p l c c a t t c các l c t ng tác d ng lên ch t đi m th k c a h

k i k k

i e

F F W

+

=

2 2 2 2

i e

F F W

m1.$$= 1 + 1

y i y e F F

y

m1.$$= 1 + 1

z i z e F F z

m1.$$= 1 + 1

(1.8)

nx i nx e

n x F F

m $$ = +

ny i ny e

n y F F

m $$ = +

nz i nz e

n n n

n W F N

m f f f

+

=

§5 HAI BÀI TOÁN C B N C A NG L C H C

Tf

z

II GI I BÀI TOÁN TH HAI C A NH L C H C I V I CH T I M :

v n t c, v trí ngh a là :

),,(t v r F

) , , , , , , (

) , , , , , , (

z y x z y x t F z

m

z y x z y x t F y

m

z y x z y x t F x

m

kz ky kx

),,,,,,(

),,,,,,(

6 5 4 3 2 1 3

6 5 4 3 2 1 2

6 5 4 3 2 1 1

c c c c c c t f z

c c c c c c t f y

c c c c c c t f x

1 Chuy n đ ng th ng c a đi m :

chi u trùng v i chi u c a h p l c tác d ng lên ch t

đi m do đó chuy n đ ng th ng ch x y ra khi :Rf =∑Ffk

V trí c a đi m M xác đ nh b i to đ x, ph ng trình chuy n đ ng c a ch t đi m

),,(t x x R

x d

2

2

t f dt

x d

m =

)

(t f dt

T đây ra suy ra : x = f2(t,c1,c2)

Các h ng s phân tích c1, c2đ c xác đ nh t đi u ki n ban đ u (1.14)

b) L c ch ph thu c vào kho ng cách : Rx = f(x) Khi đó ph ng trình chuy n

đ ng có d ng :

)(

2

2

t f dt

x d

m =

Ta có :

dt

dx dx

x d dt

x d dt

x d

ây là ph ng trình tách bi n có th phân tích đ c :

v = f1(x,c1)

) ,

1 x c f dt

dx =

dt c x f

dx

= ) ,

x d

1 t c f dt

Ví d 1.4: V t có tr ng l ng P b t đ u chuy n đ ng t tr ng thái đ ng yên trên

t ng t l v i th i gian theo quy lu t R=kt Tìm quy lu t chuy n đ ng c a v t

Ví d 1.5 : Gi i bài toán v t r i trong không khí t

R= xρ

CH NG II

H C

đ ng l ng, đ ng n ng và đ đo c b n tác d ng c a l c là xung l ng và công

r m

rfC = ∑ kfk

(2.1) Chi u lên các tr c to đô ta đ c :

M

y m y

M

x m x

k k C

k k C

k k C

đ ng nh t thì kh i tâm c a c h s trùng v i tr ng tâm c a nó C ng c n nói thêm

m t thu c tính c a c h , còn tr ng tâm c a v t ch có ngh a khi c h n m trong

1.2 Mômen quán tính :

)(

)(

2 2

2 2

2 2

k k k

k k k

k k k

x y m Jz

z x m Jy

z y m Jx

đó

II Mômen quán tính c a v t th (c h ) :

k k

III Mômen quán tính c a v t th đ i v i các tr c song song nh lý Huygen :

nh lý 1.1 : Mômen quán tính c a v t đ i v i m t tr c z1 nào đó b ng

O

ta có :

d x

Cho h tr c to đ Oxyz và tr c L đi qua O Ph ng c a L đ c xác đ nh b i

OM k k k k

fff

++

cos2 ) + z2k ( 1 - cos2 ) –2xkykcos cos - 2xkzkcos cos – 2ykzkcos cos

+ +

J J

ββ

αγ

yz m y z

O

c quán tính chính và tr c quán tính chính trung tâm :

Ta th y các đ i l ng Jxy, Jyz, Jzx ph thu c vào v trí c a đi m O và ph ng c

quán tính chính trung tâm

Hai đ nh lý này d dàng đ c ch ng minh b ng cách s d ng tính đ i x ng c a

ch tính mômen quán tính c a m t s v t đ ng ch t đ n gi n :

a) Thanh đ ng ch t : Tính mômen quán tính c a than

=

=

2 2

11

3

2 Ml Ml Ml

M J

2

MR R

m r

J =∑∆ =∑ 3∆

2πγ Chuy n t i gi i h n ta có :

0

2

1 2

Cx m y

J , =∑ 2

k k

MR J

d)Kh i c u đ ng ch t : Do tính đ i x ng nên

2

22

1

MR J

x m x M x

K =∑ $ = $ , K y =∑m k y$ =k M y$C, K z =∑m k.z$ =k M z$C

r n quanh m t tr c c đ nh N u tr c quay đi qua kh i tâm thì đ ng l ng c a v t

dt F

sf f

(2.15)

t x x

t y y

t z

v m

k i k k

k v F F m

d dt

ff

f

+

=)(

(k= 1,2 n)

C ng t ng v ph ng trình này ta đ c :

∑

∑

∑m k v k = F k + F i k dt

mf f f

0 1

Ch ng minh: T (2.17) ta có :

∑

= F dt v

m

d( f) fk

t to k v

m

S dt

F dt

F v

m d

v m

f f

f f

f

1 0 1

0

)

(

f1

0 1

nh lý 2.4 : Bi n thiên đ ng l ng c a c h trong m t kho ng th i gian nào đó

df f k

Tích phân hai v

t k

đ ng th c này v i các c n t ng ng ta đ c :

e to

k k

S F

dt F K

t t

k dt ff

ff

f

1 1

f

1

0 0

0 1

2 nh lý chuy n đ ng c a kh i tâm :

h và thay vào bi u th c (2.18) ta đ c :

k C

C dt

dt M W M W

d K

df = f =

)( f =∑Ffe

x C

F y

M

F x

C F z

N u véct chính c a h ngo i l c tác d ng lên c h b ng không thì kh i tâm c a h

T ng t nh đã nói ph n trên n u t ng hình chi u c a các ngo i l c tác d ng lên

g m m N y

M$$C = 2 −( 1+ 2)

trong đó : M = m1 + m2 C là kh i tâm c a c h

Trong tr ng h p này chuy n đ ng c a kh i tâm ã bi t qua quy lu t quay c a bánh đà c th là :

t

ω const nên :

ωω

ωω

cos)

(

sin

2 1 2

1 2

2 1 1

++

Mx C = A + A + sin )

)cos(

1

2y m y a t m

My C = A + A − ω

Vì : xA = const, yA =

t a

m y M

t a

m x

M C

C

ωω

ωω

cos

sin

2 1

2 1

m g m m N

t a

t

dt N P K

K

1 f f f

c b

a m v m v v

m K

3 2

1 0

Trong đó m1, m2, m3 là kh i l ng ch t l ng trong kh i aa1a’a’1, bb1b’b’1, cc1c’c’1

z y x

k j i v m r v m m

k k zk

z l m r m r J

nh lý bi n thiên mômen đ ng l ng đ i v i tâm (hay tr c) c đ nh :

0 0

k F m dt

z

z m F dt

m f f

dt

v m

dt

ff

f

f ( )

)()

dt

d r v m dt

r d v m r

d f∧ f = f ∧ f+f∧ f

Ta có :

dt

)()

dt r v m v v m r dt

d r v m r dt

)()

(f∧ f = f∧ f =

dt

dl F r F

h lý 3.2 : o hàm theo th i gian mômen chính đ ng l ng c a c h đ i v i

:

n

tâ

)(

0 0

k F m dt

L

df f f

∑

)( k z

z m F dt

Ch ng minh : Xét c h g m n ch t đi m, g i l n l t là t ng các ngo i

theo (2.27) ta có :

k i

k F r e k k k k

k m v r F r

dt

d f f f f f f

∧+

∧

=

∧ )(

k k

k k k dt

i k e

k r F F

r v

m r

d f f f f f f

)(

F r dt

fff

f )(

∑

∑ ∧ = ∧

k

e k k k

dt r k m k v k r F

d f f f f

)(

)(

0 0

k F m dt

ds vh dt

const v

m m dt

d = ( ) =2

1

0

ff

σ

đi m quét đ c nh ng di n tích b ng nhau (đ nh lu t các di n tích) ây là m t trong nh

kh i tâm C c a máy bay, ta có :

LZ(máy bay) +LZ(cánh qu t) = 0

ng đ nh lu t Kepler

Theo đ nh lu t b o toàn mômen đ ng l ng ta có th xác đ nh s bi n thiên c a

b ph n khác

đ t theo vành c a m t sân tròn

nh tr c th ng đ ng Oz v i v n t c góc 0 T i th i đi m n

cho máy ch y trên ray v i v

sân Hãy xác đ nh v n t c góc c a sân

Bài gi i : Xét h g m sân quay, đ u máy Các

,0( 2 2 0

g

Q R g

5,0

g

Q R g

Q

.5,0

0 − +

=ωω

1

C k

C k

.2

1ω ∑m k h k

2 2

2

1)

.(2

12

2 2

22

)(

2 J Md ω J ω Md ω

T = C + = C +

Nh ng d

11

1

= cp = vC, do đó :

2 2

2

12

1

c

C Mv J

d) V t r n quay quanh đi m c đ nh : Khi v t r n quay quanh đi m c đ nh, t i

là v

ó vì v y :

đi qua đi m c đ nh đ

Theo công th c (2.9) ta có :

y, cos = z

N u g i , , là các góc ch ph

αγγ

ββ

αγ

k v v

vf = f + '

k C k c

=

++

=

k k C k k C

k C k c k

v m v h m Mv

v v v v m T

'

2

12

1

)' 2'(

21

2 2 2

2 2

ff

ff

ω

n v tính công là Jun hay Ni

1 0

Z Z P Pdz dz

P dz

P dy P dx P A

M M

z z

z = − = − = − +

) ( )

1 0 1 0

M M

y x

M M

h z

z0 − 1 = ta có :

hông ph

2 Công c a l c đàn h i : Tr liên k t tác d ng lên ch t

2 ) (

1 0 1 0 1

0 dA c r d r d r r r A

r M

M M M M

3 Công c a l c tác d ng lên v t r n chuy n đ ng :

a) Tr ng h p v t chuy n đ ng t nh ti n:

2 2 1

2 c

c r

f f

C

r d F

M

f f f

f f f f f f

V y : khi l n không tr t, công c a l c ma sát tr t trong chuy n d i b t k a v t

1+ = f f

nh ng vì vfM 1M2 M

1M2 t c vuông góc v i Ff12

+ dAnên : dA1

d )2

1

Ch ng minh : Xét ch t đi m chuy n đ ng d i tác d ng c a các l c Ff Ff Ffn

, , , 2

1

∑

= F k w

mf f

∑

= F k dt

v d

mf. f

1).(2

1

)2

1()(2

1

v d v

mv d v

md =f

dT

Ch ng minh : Áp d ng công th c (2.37) đ i v i t ng ch t đi m ta có :

k k

k

k v dA m

d 2 )2

1( = 0 +dA1

(dA0k, dA1k là t ng công nguyên t c a t t c các ngo i l c, n i l c tác d ng lên

Hay : dT =∑dA0k +∑dA1k (đpcm)

nh lý 4.3: Bi n thiên đ ng n ng c a ch t đi m trên m t đ d i h u h n b ng

t ng đ i s công c a các l c tác d ng lên ch t đi m trên cùng đ d i đó :

∑

=

− 0 0 11

2

12

1

M kM A mv

k k

k v m v A A

m 2 1 − 2 2 = +

2

12

+

= k i k k

k

22

ây là đi u ph i ch ng minh

l c và n i l c đ t vào các ch t đi m thu c h

g gian v t lý mà khi ta đ t m t ch t đi m vào

(2.39) :

là vi phân toàn ph n c a m t hàm U(x,y,z) nào đó thì nh chúng ta đã bi t, ta có th

II Th

0 1 0 1

0 dA dU(x,y,z) U U A

M M M M M

n ng :

m th n ng là

l c

e e T

T − =Π −Π

T1+Πe1 =T0 +Πe0 =const

đ th n ng c tr

6

12

−

Do đó ta có :

26

1 2 2

Ml ω 0 =−

l Mg

Bài gi i : ây là bài toán xác đ nh đ d i, bi t v n t c i, áp d ng công

2 0

2

')2

(2

;)2

(

g T

R g

=

0 2 2

2

12

g

Q V

g

Q

T C = CO =

0 2 0

2 0

2 0

2 0

4

22

14

g

Q P R

g

Q R

g

P R

g

P T T T

=+

+

=+

Ams = -(f.F.R) 1 = -f.F.R.2 Nvq Thay các giá tr tìm đ c vào ph ng trình (a) gi ra ta có :

+

=

gfF

R Q P

N vq

Π

+

= 8

) 2

Ví d 2.5: M t xe goòng đ c kéo lên theo

31

22

1

v g

P v

2

14

3 P

⎛42

1

v p P g

v g

v g

l p P h

p P P A l

A(Qf ) =Q ; ( f ) = ( + 4 ) C = − ( + 4 ) sinαThay các giá tr đ c vào (a) và gi i đ i v i v1 ta đ c :

s m p

P

p Q

gl 4 )sin

2 − P− α

/8,26

(

=

th c trên là hàm c a th i gian t ng th c (b) có th vi t l i :

[ ( 4 )sinα]

2)

6(P+ p v 1 = gl Q− P− p

o hàm 2 v theo t ta đ c :

[ ( 4 )sinα]

2)

6(

2 g dl Q P p

dt

dv v p

dt

2

/98.06

sin)4(

m g g

p P

p P Q

CH NG III

NGUYÊN LÝ DI CHUY N KH D

§1 CÁC KHÁI NI M V C H KHÔNG T DO

1.1 Liên k t :

l i và đi sâu vào tính ch t c a các

Ví d : C c u tây quay thanh truy n Tay quay OA quay quanh tr c O Thanh

thanh truy n nh sau :

x(0) = y(0) = 0

2 2 2

r y

2 2 2

) (

) ( xA − xB + yA − yB = l

yB = 0

e) Phân lo i liên k t :

- Liên k t d ng và liên k t không d ng

0)

T nay v sau ta ch xét các c h ch u liên k t d ng, và hình h c

V i ví d trên c h ch u liên k t hình h c và liên k t d ng

1.2 Di chuy n kh d và s b c t do :

a) Di chuy n kh d :

Di chuy n kh d c a h là t p h p t t c nh ng đ d i vô cùng bé c a các ch t

đi m c a h mà t t c các liên k t cho phép t i th i đi m kh o sát

Nh v y di chuy n kh d hay còn g i là di chuy n o c a h ph i th a mãn 2

Không k chúng có th nguyên hay có ý ngh a hình h c ho c ý ngh a v t lý nh th nào

*)

*, ,

*,(

*)( k 1 2 m k 1 2 m

k m m

k

q

r q

q q r q q

q q

q q r t

δ

δδ

δδ

=

=

−+++

++

=

1 2

1 2

2 1

1 , , , ) ( , , , )(

*)(

ff

ff

(3.7) Khi h chuy n đ ng các t a đ suy r ng s bi n đ i liên t c theo th i gian :

1.4 L c suy r ng :

Xét c h g m n ch t đi m, ch u tác d ng c a h l c { }Ffk

Cho h có m b c t

do đ c xác đ nh b i t a đ suy r ng { }q i i =1,2, ,m

c a h l c tác d ng lên c h , ta xét kh n ng sinh công c a h l c

Ta g i A là công kh d c a h l c { }Ffk

tác d ng lên c h là t ng công các l c trong t p h p di chuy n kh d

k k

k r F

kz kz ky ky kx k

kx r F r F r F

i i

k k

q

r F q

q

r F

δ

δδ

r F

δ

δff

cho t a đ suy r ng qi có s gia qi ≠ 0, còn các t a đ khác qi = 0 v i j ≠ i Tính

t ng công c a các l c trên di chuy n kh d Theo (3.11) t đây xét ra :

i i

q

A Q

q

A Q

δ

δ

=

q q

U q

q

U q q

U A

δ

∂

∂ + +

∂

∂ +

So sánh (3.12) v i (3.11) ta có :

m m

q

U Q

q

U Q

q

U Q

Vì th n ng = -U nên (3.13) có th bi u di n l c suy r ng qua th n ng nh sau :

m m

q

Q q

Q q

2 2

1

1.5 Liên k t lý t ng :

đ d i phân t c a h tri t tiêu Hay nói cách khác liên k t này không nh h ng

đ n bi n thiên đ ng n ng c a h trong quá trình chuy n đ ng Ta đ a ra khái ni m

c h lý t ng Ta có đ nh ngh a sau :

0.)

1.6 Ví d l c suy r ng :

Ví d : Hãy xác đ nh các l c suy r ng c a h b qua l c ma sát (nh hình v 2),

đ ng Viên bi M có kh i l ng Q chuy n đ ng trên thanh Chi u dài t nhiên c a lò

Gi i : H có hai b c t do, ta ch n q1 = và q2

= x Làm 2 t a đ suy r ng

h m t di chuy n kh d sao cho ch có góc thay

đ i, còn x = const nên x = 0

Trên di chuy n này, các l c Pf Qf

, sinh công :

δϕϕ

⎥⎦

⎤ +

−Q(a x) sin

ϕδ

δϕ

δ

sin ) (

§2 NGUYÊN LÝ DI CHUY N KH D

2.1 Nguyên lý :

( + = + =

k

k N F

k k

δ

đ ng n ng c a c h , ta có :

dT = dAF + dAN >0

Vì liên k t lý t ng : dAN = 0

nên dAF >0

i u này trái v i đ ng th c (3.16) V y c h cân b ng

c a c h không t do

.cos

)sin(

ω ϕ ϕ ββ

βϕω

tg r

r

V B = + = +

l r

ϕ

β sin sin

=

β

ββ

2

sin 1

2 2

=

r l

r r

.cos1

2 2

=

r l

r r

P M

Ví d 2: Cho h d m ch u liên k t và ch u l c nh hình v 4 B qua ma sát, tìm

()

( δϕ+ B C δϕ

B P m R

04

aP aQ

M A

)(P Q a

M = +

⇒

Qua các ví d trên ta th y ý ngh a c a nguyên lý di chuy n kh d ch nó cho ta

đi u ki n cân b ng c a m i c h d i d ng t ng quát Trong khi đó các ph ng pháp t nh h c yêu c u xét s cân b ng c a t ng v t trong h Khi dùng nguyên lý

ph n l c liên k t ch a bi t, khi chúng là các liên k t lý t ng

2 2 1 1 )

= +

+ +

=

i i

i q Q q Q q Q q Q

2 1

q

ππ

π

(3.20)

CH NG IV

NGUYÊN LÝ ALAMBE

đ ng hay đi u ki n cân b ng c a c h d a trên nh ng c s khác n a là các nguyên lý

đ ng trong m i quan h v i chuy n đ ng c a c h

y m F

x m F

qt z

qt y

qt x

F F

T đ nh ngh a ta th y l c quán tính không ph i là l c th c s tác d ng lên ch t

F F

Ff f f

, ,, 2

k

Ff

v i k = 1, 2, , n thu g n h l c quán tính này d a vào k t qu t t nh h c, ta có th thu g n v

{ }qt k

Ff

~ ( qt qt)

M

Rf f ,

) (

)(

k

qt k qt

k

k

qt k qt

F m M

F R

fff

ff

đ c g i là véct chính và mômen chính c a h l c quán tính đ i v i tâm O

i v i qt

Rf

ta có :

C k

k qt

W M W

Theo phép bi n đ i véct ta có :

k k

f f

) (

k k C k k k k

k k qt

C m r W m r M

qt

C qt

J M

W M R

−

=

−

= ff

c) V t quay m t quanh tr c:

O m r W

∧

trong đó : Wfk f rfk f f rfk x k x k if y k y k fj

)(

)(

)(ω ω2 ε ω2 εω

(if fj kflà các véct đ n v c a các tr c ox, oy, oz.)

, ,

z yz

xz xz

yz qt

O J J i J J j J

M =(− 2 + ) +( 2 − ) +

Trong đó : Jxz, Jyz mômen tích quán tính

ε

εω

ωε

z qt x

xz xz

qt x

yz xz qt x

J M

J J

M

J J M

x M M

z J

W M

z J

§2 NGUYÊN LÝ ALAMBE

2.1 i v i ch t đi m :

T i m i th i đi m n u đ t thêm vào ch t đi m l c quán tính c a nó ta đ c m t h

Th t v y t tiên đ 2 c a đ ng l c h c ta có :

N F W

Ff

n i l c

{ }qt k

Ff

,{ }qt k

Trong đó : =∑ i =0

k i

= +

qt O e O

qt e

M M

R R

f f

f f

Chi u lên các tr c t a đ ta thu nh n :

000000

=+

=+

=+

=+

=+

=+

qt z e z

qt y e y

qt x e x

qt z e z

qt y e y

qt x e x

M M

M M

M M

R R

R R

R R

Ta thi t l p ph ng trình cân b ng :

0

000

00

2 2

2 2

=

−

=+

+

−+

=+

+

−+

=+

=

−+

++

=+

+++

ε

εω

εω

εω

εω

z e z

yz xz

B A e y

xz yz

B A e x

e z

xC yC

B A e y

yC xC

B A e x

J M

J J

b X a X M

J J

b Y a X M

Z R

M M

Y Y R

M M

X X R

quay là m t trong nh ng tr c quán tính chính trung tâm c a v t

T đây nó cho ta ý ngh a c a các đ i l ng Jxz và Jyz là đ c tr ng cho m c đ m t