Tìm được giới hạn của hàm số tại một điểm bằng định lý.[r]
(1)§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
(buổi 1)
(2)§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
(buổi 1)
A KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1 Giới hạn hữu hạn hàm số điểm:
Cho khoảng K chứa điểm hàm số xác định K Ta nói hàm số có giới hạn số L khi dần tới nếu:
Với dãy số bất kỳ, , ta có Kí hiệu: hay
a Định nghĩa: (SGK/124)
• Chú ý: Khoảng K viết chung cho khoảng
(3)
Ví dụ Cho hàm số:
Dùng định nghĩa chứng minh rằng:
Giải:
• TXĐ:
• Giả sử dãy số bất kỳ,
.
• Ta có:Vậy
lim
�
(
�
�)
=
lim
�
�2
−
1
�
�+
1
=
lim
(
�
�+
1
) (
�
�−
1
)
�
�+
1
=
lim
(
�
�−
1
)
=
−
2
�
(
�
)
=
�
2
−
1
(4)§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
(buổi 1)
A KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1 Giới hạn hữu hạn hàm số điểm:
a Định nghĩa: (SGK/124) *Nhận xét:
lim
�→�0
¿
�
0lim
�→�0
(5)§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
(buổi 1)
A KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1 Giới hạn hữu hạn hàm số điểm:
b Định lý: (SGK/125)
· lim
�→�0
[
�(
�)
+�(
�)
]
=�+�· lim
�→�0
[
�(
�)
−�(
�)
]
=�− �· lim
�→�0
[
�(
�)
.�(
�)
]
=�. �·
lim
�→�0
� ( �)
�( � ) =
�
� (� ≠0)
i) Giả sử Khi đó:
lim
�→�0
�
(
�
)
=
�
. ii) Nếu{
�
(
�
)
≥
0
lim
�→�0
�
(
�
)
=
�
{
lim
�
≥
0
�→�0
√
�
(
�
)
=
√
�
iii)
lim
�→�0
3
√
�
(
�
)
=
√
3�
lim
�→�0
(6)Ví dụ Tính giới hạn sau:
Giải:
lim
�→2
(
√
2
�
+
1
−
�
+
1
)
lim
�→3 2�
+3 �−7
� −5
lim
�→ −3
(
�+3 �+1
)
lim
�→ −4
√
� −3�3 −4 �+10
a) b) c) d)
¿
(
−
3
)
2+
3.
(
−
3
)
+
1
=
1
¿
2.3
2
+
3.3
−
7
3
−
5
=
−
10
¿
√
2.2
2+
1
−
2
+
1
=
2
¿
3
√
−
4
−
3
(
−
4
)
3−
4.
(
−
4
)
+
10
=
3
√
7
38
�¿ lim
�→ −3
(
�+3 �+1
)
�¿lim
�→3 2�
+3 �−7
�−5
�
¿
lim
�→2(
√
2
�
+
1
−
�
+
1
)
� ¿
lim
�→−4
√
� −�3 − �+10
=
�
¿
lim
�→√2
¿
�
2−
3
∨
¿
� ¿ lim�→�2
(7)Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿ lim
�→ −3
(
�+3 �+1
)
�¿lim
�→3 2�
+3 �−7
�−5
�
¿
lim
�→2(
√
2
�
+
1
−
�
+
1
)
� ¿
lim
�→−4
√
� −�3 − �+10
�
¿
lim
�→√2
¿
�
2−
3
∨
¿
� ¿ lim�→�2
(
�3sin �−2cos�)
¿
∨
(
√
2
)
2−
3
∨
¿
∨
−
1
∨
¿
1
�
¿
lim
�→√2
¿
�
2−
3
∨
¿
Giải:
� ¿ lim
�→�2
(
�3sin �−2cos �)
¿(
�2
)
3
sin �
2 −2 cos
�
2 =
�3
8 1−2.0=
�3
(8)Ví dụ Tính giới hạn sau:
Giải:
NHÁP nha
(−1)2−1
−1+1 =
0
√
5−√
55−5 = 0
¿
lim
�→−1 (� +1) ( � −1)
� +1 ¿�lim→ −1
(
�−1
)
¿
−
2
�2− �2
=( �+�) ( �− �)
¿
lim
�→5
√
� −√
5(
√
� +√
5)(
√
� −√
5)
�¿
lim
�→5
√
� −√
5 �−5�¿
lim
�→−1 �
2−1
�+1
�¿
lim
�→−1 �
2−1
�+1 �¿
lim
�→5
√
� −√
5�−5 �¿
lim
�→1 �
+5� −6
�−1 � ¿
lim
�→ −2 �
+8
2 �2+3 � −
�
−
�
=
(
√
�
)
2−
(
√
�
)
2¿
(
√
�
+
√
�
) (
√
�
−
√
�
)
¿lim � →5
√
� +√
5¿
1
(9)Giải:
NHÁP nha
�¿
lim
�→1 �
+5� −6
�−1 ¿
lim
�→1 ( �− 1) (�+6)
� −1 ¿ lim�→1
(
�+6)
¿
7
� ¿
lim
�→ −2 �
+8
2 �2+3 � − ¿
lim
�→−2 (�+2)(�
2 −2�
+4 )
2 (� +2 )
(
�−2
)
¿
lim
�→−2 �
2 −2 �
+4
2
(
� −2
)
¿
−
12
5
Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→−1 �
2−1
�+1 �¿
lim
�→5
√
� −√
5�−5 �¿
lim
�→1 �
+5� −6
�−1 � ¿
lim
�→ −2 �
+8
2 �2+3 � −
12
+5.1−6
1−1 = 0
• �2
+5 �−6=1.(�−1)(�+6)
� �
2+
��
+
�
¿�(
�−�1) (
� −�2)
�3± �3=( �±�)(
�2∓ ��+ �2)
�
3+
8
=
�
3+
2
3¿(�+2)
(
�2−2 �+4)
2
�
2 (10)Ví dụ Tính giới hạn sau:
Giải:
�¿
lim
�→3
�2 −9
�3 −6 �2+11� −6 ¿
lim
�→3 ( �+3) (� −3 )
(� −1) (� −3 ) ( � − 2) ¿
lim
�→3 ( �+3)
(� −1) (� −2)
¿
3
�¿
lim
�→1 �
3 −3 �2
+5� −3
�−1
�¿
lim
�→3 �
2−9
(11)�¿
lim
�→1 �
3−3 �2
+5� −3
�−1
Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→1 �
3 −3 �2
+5� −3
�−1
Giải:
¿
lim
�→1 ( �− 1) (�
2 −2 �
+3)
�− ¿lim�→1
(
�−2 �+3
)
¿
2
�¿
lim
�→3 �
2−9
�3 −6 �2+11� −6
NHÁP nha
Các nghiệm không đẹp
(12)�¿
lim
�→2 �
−
√
7+� −3Giải:
¿
lim
�→2
(�− 2)
(
√
7+�+3)
(
√
7+�− 3) (
√
7+� +3)
¿
lim
�→2
(�− 2) (
√
7+�+3 )7+�−
¿
lim
�→2
(�− 2) (
√
7+�+3)�−
¿
lim
�→2(
√
7
+
�
+
3
)
¿
6
NHÁP nha
( �+ �) ( �−�)=�2−�2Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→2 �
−
√
7 +�−3 �¿lim
�→4
√
�+9−5
�2 −6 �+8 �¿
lim
�→0 1−
√
1−�3 � � ¿
lim
�→4
√
�+5−3 (13)Giải:
�¿
lim
�→4
√
�+9−5
�2−6 � +8 ¿
lim
�→4
(
√
�+9 −5
) (
√
�2+9+5)
(� − ) ( � − 2)
(
√
�2+9+5)
¿
lim
�→4 �
+9 − 25
(� − 4) ( �−2)
(
√
�2+9+5)
¿
lim
�→4 �
2− 16
(� − 4) ( �−2)
(
√
�2+9+5)
¿lim
�→4 (� +4 ) ( � − )
(� − 4) ( � −2 )
(
√
�2+9 −5)
¿
lim
� →4 ( �+ )
(� −2)
(
√
�2+ 9+5)
¿
2
5
NHÁP nha
√
42+9−542−6.4+8=
0
Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→2 �
−
√
7 +�−3 �¿lim
�→4
√
�+9−5
�2 −6 �+8 �¿
lim
�→0 1−
√
1−�3 � � ¿
lim
�→4
√
�+5−3 (14)Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→2 �
−
√
7 +�−3 �¿lim
�→4
√
�+9−5
�2 −6 �+8
Giải:
�¿
lim
�→0 1−
√
1−�3 �
�¿
lim
�→0 1−
√
1−�3 �
¿
lim
�→0
(
1
−
√
31
−
�
)
(
1
+
√
31
−
�
+
(
√
31
−
�
)
2)
3
�
(
1
+
√
31
−
�
+
(
√
31
−
�
)
2)
¿
lim
�→0 −(1 − � )
3 �
(
1+√
3 − � +(
√
3 − �)
2)
¿
lim
�→0 �
3 �
(
1+√
3 − � +(
√
3 − �)
2)
¿
lim
�→0
3
(
1+√
3 − � +(
√
3 − �)
2)
¿
1
9
NHÁP nha
( �− �)
(
�2+ ��+�2)
=�3−�3( �+ �)
(
�2− ��+�2)
=�3+�3� ¿
lim
�→4
√
�+5−3 (15)Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→2 �
−
√
7 +�−3 �¿lim
�→4
√
�+9−5
�2 −6 �+8
Giải:
�¿
lim
�→0 1−
√
1−�3 � � ¿
lim
�→4
√
�+5−3√
�−2� ¿
lim
�→4
√
�+5−3√
�−2 ¿lim �→4
( �+5− 9)
(
√
�+2)
( �− )
(
√
�+5+3)
¿
lim
�→4
√
�+2√
�+5 +3 =2 ¿
lim �→4
( � − )
(
√
�+2)
(16)Chú ý
Giới hạn hàm số dạng (dạng vô định)
Biểu thức khơng chứa căn: phân tích đa thức thành nhân tử.
Biểu thức chứa căn: nhân lượng liên hiệp.
Rút gọn nhân tử tạo dạng
�
�
(17)Ví dụ Tính giới hạn sau:
Giải:
¿
lim
�→0
√
1+�−1+1−√
1+��
L
=
1
3
−
1
2
=
−
1
6
Từ (*) (**) suy ra:
�¿
lim
�→2
√
�+7−√
8 �+11�2 −3 �+2
�¿
lim
�→0
√
1+�−√
1+�� �¿
lim
�→0
√
1+� −√
1+��
¿
lim
�→0
(
√
1
+
�
−
1
�
+
1
−
√
1
+
�
�
)
(*) (**)L =
�
+
�
�
=
�
�
+
�
�
A B C lim�→0
√
1+� −� =
lim
� →0 (1+ �) −1
�
[
(
√
3 1+�)
2+√
3 1+ � +1]
=lim
� →0
(
√
3 1+ �)
2+√
3 1+ � +1=
3 lim
�→0 −
√
1+�� =
lim
�→0 1− (1+� )
�
(
1+√
1+�)
=lim
�→0 −
1+
√
1+� =− (18)Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→0
√
1+� −√
1+��
HD câu b:
¿
lim
�→2
√
�+7−3+3−√
8�+11�2−3 �+2
�¿
lim
�→2
√
�+7−√
8 �+11�2 −3 �+2
�¿
lim
�→2
√
�+7−√
8 �+11�2−3 �+2
¿
lim
�→2