Tìm được giới hạn của hàm số tại một điểm bằng định lý.[r]
(1)§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (buổi 1)
(2)§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (buổi 1)
A KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1 Giới hạn hữu hạn hàm số điểm:
Cho khoảng K chứa điểm hàm số xác định K Ta nói hàm số có giới hạn số L khi dần tới nếu:
Với dãy số bất kỳ, , ta có Kí hiệu: hay
a Định nghĩa: (SGK/124)
• Chú ý: Khoảng K viết chung cho khoảng
(3)
Ví dụ Cho hàm số:
Dùng định nghĩa chứng minh rằng:
Giải:
• TXĐ:
• Giả sử dãy số bất kỳ, . • Ta có:
Vậy
lim � (��)=lim ��
2
−1
��+1 =
lim (��+1) (��− 1)
��+1 =lim (��−1)=−2
� (�)= �
2−1
(4)§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (buổi 1)
A KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1 Giới hạn hữu hạn hàm số điểm:
a Định nghĩa: (SGK/124) *Nhận xét:
lim
�→�0
¿ �0
lim
�→�0
(5)§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (buổi 1)
A KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1 Giới hạn hữu hạn hàm số điểm:
b Định lý: (SGK/125)
· lim
�→�0 [ � (�)+�(�)]=�+�
· lim
�→�0 [ � ( �) −�(�) ]=�− �
· lim
�→�0 [ � (�) .�(�)]=�. �
·
lim
�→�0
� ( �)
�( � ) =
�
� (� ≠0)
i) Giả sử Khi đó:
lim
�→�0
� ( �)=� . ii) Nếu { �
(�) ≥0
lim
�→�0
� (�)=� {lim �≥0
�→�0
√ � (�)=√ �
iii) lim
�→�0
3
√ � (�)=√3 � lim
�→�0
(6)Ví dụ Tính giới hạn sau:
Giải:
lim
�→2 (√2 �
+1− �+1)
lim
�→3 2�
+3 �−7
� −5
lim
�→ −3 (�
+3 �+1)
lim
�→ −4
√ � −3
�3 −4 �+10
a) b) c) d)
¿ (−3)2+3.(−3 )+1=1
¿ 2.3
2
+3.3−7
3−5 =−10
¿√2.22+1−2+1=2
¿
3
√− 4−3
(−4)3 − 4.(− 4)+10 =
3
√7
38
�¿ lim
�→ −3 (�
+3 �+1) �¿
lim
�→3 2�
+3 �−7
�−5 �¿ lim�→2 (√2�
+1− �+1)
� ¿
lim
�→−4
√� −
�3 − �+10
=
�¿ lim
�→√2
¿ �2−3∨¿ � ¿ lim
�→�2
(7)Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿ lim
�→ −3 (�
+3 �+1) �¿
lim
�→3 2�
+3 �−7
�−5 �¿ lim�→2 (√2�
+1− �+1)
� ¿
lim
�→−4
√� −
�3 − �+10
�¿ lim
�→√2
¿ �2−3∨¿ � ¿ lim
�→�2
(�3sin �−2cos�)
¿∨(√2)2−3∨¿∨− 1∨¿1
�¿ lim
�→√2
¿ �2−3∨¿
Giải:
� ¿ lim
�→�2
(�3sin �−2cos �)¿( �
2 )
3
sin �
2 −2 cos
�
2 =
�3
8 1−2.0=
�3
(8)Ví dụ Tính giới hạn sau:
Giải: NHÁP nha
(−1)2−1
−1+1 =
0
√5−√5
5−5 = 0
¿
lim
�→−1 (� +1) ( � −1)
� +1 ¿�lim→ −1 ( �
−1)¿−2
�2− �2
=( �+�) ( �− �)
¿
lim
�→5 √� − √5
(√� +√5)( √� − √5)
�¿
lim
�→5 √� −√5 �−5
�¿
lim
�→−1 �
2−1
�+1
�¿
lim
�→−1 �
2−1
�+1 �¿
lim
�→5 √� −√5
�−5 �¿
lim
�→1 �
+5� −6
�−1 � ¿
lim
�→ −2 �
+8
2 �2+3 � −
�− �=(√�)2−(√�)2
¿(√ �+√ �) (√ �−√�) ¿
lim � →5 √ � +√5
¿ 1
(9)Giải: NHÁP nha
�¿
lim
�→1 �
+5� −6
�−1 ¿
lim
�→1 ( �− 1) (�+6)
� −1 ¿ lim�→1 ( �+6 )¿ 7
� ¿
lim
�→ −2 �
+8
2 �2+3 � − ¿
lim
�→−2 (�+2)(�
2 −2�
+4 )
2 (� +2 )(�−
2)
¿
lim
�→−2 �
2 −2 �
+4
2(� −
2)
¿ −12 5
Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→−1 �
2−1
�+1 �¿
lim
�→5 √� −√5
�−5 �¿
lim
�→1 �
+5� −6
�−1 � ¿
lim
�→ −2 �
+8
2 �2+3 � −
12
+5.1−6
1−1 = 0
• �2
+5 �−6=1.(�−1)(�+6) � �2
+��+�¿�(�−�1) (� −�2) �3± �3=( �±�)( �2∓ ��+ �2)
�3
+8=�3+23
¿(�+2)(�2−2 �+4) 2�2
(10)Ví dụ Tính giới hạn sau:
Giải:
�¿
lim
�→3
�2 −9
�3 −6 �2+11� −6 ¿
lim
�→3 ( �+3) (� −3 )
(� −1) (� −3 ) ( � − 2) ¿
lim
�→3 ( �+3)
(� −1) (� −2) ¿ 3
�¿
lim
�→1 �
3 −3 �2
+5� −3
�−1
�¿
lim
�→3 �
2−9
(11)�¿
lim
�→1 �
3−3 �2
+5� −3
�−1
Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→1 �
3 −3 �2
+5� −3
�−1
Giải:
¿
lim
�→1 ( �− 1) (�
2 −2 �
+3)
�− ¿lim�→1 (�
−2 �+3)¿ 2
�¿
lim
�→3 �
2−9
�3 −6 �2+11� −6
NHÁP nha
Các nghiệm không đẹp
(12)�¿
lim
�→2 �
−
√7+� −3
Giải:
¿
lim
�→2
(�− 2) (√7+�+3 )
(√7+�− 3) (√7+� +3 )
¿
lim
�→2
(�− 2) (√7+�+3 )
7+�−
¿
lim
�→2
(�− 2) (√7+�+3)
�− ¿lim�→2
(√7+� +3)¿ 6
NHÁP nha ( �+ �) ( �−�)=�2−�2
Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→2 �
−
√7 +�−3 �¿
lim
�→4 √�
+9−5
�2 −6 �+8 �¿
lim
�→0 1−
√1−�
3 � � ¿
lim
�→4 √�+5−3
(13)Giải:
�¿
lim
�→4 √�
+9−5
�2−6 � +8 ¿
lim
�→4 (√�
+9 −5 ) (√ �2+9+5)
(� − ) ( � − 2)(√ �2+9+5)
¿
lim
�→4 �
+9 − 25
(� − 4) ( �−2)(√�2+9+5)
¿
lim
�→4 �
2− 16
(� − 4) ( �−2)(√�2+9+5)¿
lim
�→4 (� +4 ) ( � − )
(� − 4) ( � −2 )( √�2+9 −5 )
¿
lim
� →4 ( �+ )
(� −2) (√ �2+ 9+5 )
¿ 2 5
NHÁP nha
√42+9−5
42−6.4+8=
0
Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→2 �
−
√7 +�−3 �¿
lim
�→4 √�
+9−5
�2 −6 �+8 �¿
lim
�→0 1−
√1−�
3 � � ¿
lim
�→4 √�+5−3
(14)Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→2 �
−
√7 +�−3 �¿
lim
�→4 √�
+9−5
�2 −6 �+8
Giải:
�¿
lim
�→0 1−
√1−�
3 �
�¿
lim
�→0 1−
√1−�
3 � ¿
lim
�→0
(1 −√3 1− �) (1+√3 1− � +(√3 1− �)2)
3 � (1+√3 1− �+(√3 1 − �)2)
¿
lim
�→0 −(1 − � )
3 � (1+√3 − � +(√3 − � )2)
¿
lim
�→0 �
3 � (1+√3 − � +(√3 − � )2)
¿
lim
�→0
3 (1+√3 − � +(√3 − � )2)
¿ 1 9
NHÁP nha
( �− �) ( �2+ ��+�2)=�3−�3
( �+ �)( �2− ��+�2)=�3+�3
� ¿
lim
�→4 √�+5−3
(15)Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→2 �
−
√7 +�−3 �¿
lim
�→4 √�
+9−5
�2 −6 �+8
Giải:
�¿
lim
�→0 1−
√1−�
3 � � ¿
lim
�→4 √�+5−3
√ �−2
� ¿
lim
�→4 √�+5−3
√ �−2 ¿
lim �→4
( �+5− 9)(√�+2)
( �− ) (√ �+5+3)
¿
lim
�→4 √ �+2 √ �+5 +3 =
2 ¿
lim �→4
( � − ) (√�+2)
(16)Chú ý
Giới hạn hàm số dạng (dạng vô định)
Biểu thức khơng chứa căn: phân tích đa thức thành nhân tử. Biểu thức chứa căn: nhân lượng liên hiệp.
Rút gọn nhân tử tạo dạng
� �
(17)Ví dụ Tính giới hạn sau:
Giải:
¿
lim
�→0
√1+�−1+1− √1+�
�
L= 1
3 − 1
2=− 1 6
Từ (*) (**) suy ra:
�¿
lim
�→2 √�+7−
√8 �+11
�2 −3 �+2
�¿
lim
�→0
√1+�−√1+�
� �¿
lim
�→0
√1+� −√1+�
�
¿ lim
�→0(
√1+�− 1 � +
1 −√1+� � ) (*) (**) L = �+� � = � � + � � A B C lim
�→0
√1+� −
� =
lim
� →0 (1+ �) −1
� [( √3 1+� )2+√3 1+ � +1] =
lim
� →0
( √3 1+ � )2+√3 1+ � +1
=
3 lim
�→0 − √1+�
� =
lim
�→0 1− (1+� )
� (1+ √1+� ) =
lim
�→0 −
1+√1+� =−
(18)Ví dụ Tính giới hạn sau:
�¿
lim
�→0 √1+� −
√1+�
�
HD câu b:
¿
lim
�→2 √�+7−3+3−
√8�+11
�2−3 �+2
�¿
lim
�→2 √�+7−
√8 �+11
�2 −3 �+2
�¿
lim
�→2 √�+7−
√8 �+11
�2−3 �+2
¿lim
�→2(
√�+7 − 3 �2− 3 �+2 +
(19)Giao nhiệm vụ
Nắm định nghĩa định lý giới hạn hữu hạn hàm số
tại điểm.
Tìm giới hạn hàm số điểm định lý (Ví dụ 2) Tìm giới hạn hàm số dạng vơ định (Ví dụ 3, 4, 5)0
0
(20)