LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH Dạng toán 4: Tìm nguyên hàm ẳng phƣơng pháp nguyên hàm từng phần.[r]
(1)LUYỆN THI TRẮC NGHIỆM TOÁN Năm học: 2016-2017
CHINH PHỤC GIẢI TÍCH 12
TRẮC NGHIỆM
NGUYÊN HÀM
TÀI LIỆU LƢU HÀNH NỘI BỘ
(2)(3)NGUYÊN HÀM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Khái niệm nguyên hàm tính chất 1 Khái niệm nguyên hàm
— ( )f x K ( )F x nguyên hàm ( )
f x K F x( ) f x( ), x K
— ( )F x ( )f x K h nguyên hàm ( )f x K
( ) ( ) ,
f x dx F x C const C
2 Tính chất ( ), ( )f x g x ụ K k ta ln có:
( )
f x dx f x C
k f x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
ng nguyên hàm c m t hàm th ng g p v i C h ng t y
1
x
x dx C
1 ( ) ( )
1 n n ax b
ax b dx C
a n
1
ln
dx x C
x
1
ln
dx ax b C
ax b a
2
1
dx C
x
x
1 1
(ax b) dx a ax b C
sinx dx cosx C sin(ax b dx) 1cos(ax b) C a
cosx dx sinx C cos(ax b dx) sin(ax b) C a
2
cot
sin x dx x C
1
cot( ) sin (ax b)dx a ax b C
2
tan
cos x dx x C
1
tan( ) cos (ax b)dx a ax b C
x x
e dx e C ax b ax b
e dx e C
a
ln x x a
a dx C
a 2
1 ln
dx x a
C
a x a
x a
♦ Nhận xét Khi thay x (ax b)
a M t u
1. ầ ắ vữ
2. h ng ao gi
ữ ầ
3. i n i thành m t t ng
ho c hiệu ữ v
Câu 1. F(x) f(x) a b,
A.Vớ x a b, ta có f x' F x
B.Vớ x a b, ta có F x' f x
(4)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
D.Vớ x a b, ta có F x' f x
Câu 2. K ẳ v ẳ ?
A. f x g x dx f x dx g x dx B. f x g x dx f x dx g x dx C. k f x dx k f x dx
D. f x dx' f x C vớ
Câu 3. G F x1 F x2 f x K ẳ ẳ ú ?
A F x1 F x2
B.Tồ F x1 k F x 2
C.Tồ F x1 F x2 k
D.Tồ F x1 k F x2
Câu 4. Xé ẳ
(1) – ụ a b, ó ó (2) – ũ ú
T ẳ
A. ỉ ó ú B ỉ ó ú
C v ú D v
Câu 5. Xé ẳ
(1) – f ó K f có ngun hàm K
(2) – f v ó F ậ K F f
T ẳ
A. ỉ ú B. ỉ ú
C. v ú D. v
Câu 6. K ẳ ?
A
1
1 x
x dx C
B 1dx lnx C
x
C
ax b
ax b e
e dx C
a
D sinkxdx coskx C k
Câu 7. f x x3 2x2 12 x
A
4
3 ln
x
F x x x B
4 2
ln
4
x x
F x x
C.
4 2 1
4
x x x
F x
x
D
4 2 1
4
x x x
F x
x
Câu 8. f x x1x12ex ?
A. g x 2x2 1 ex B.
4
4
x
x x x
(5)C. g x 3x22x e x1 D.
4
1
4
x
x x x
g x x e
Câu 9. ô f x x24
A
5 x
F x x B
5 x
F x
C.
5
2017
x
F x D
5
2016
x
F x
Câu 10.
cos f x
x
có nguyên hàm trên:
A 0, B ,
2
C ,2 D 2,
Câu 11. 12
cot f x
x
A. F x 2 ln cotx C B. F x tanx x C
C. F x tanx x C D. F x cotx x C
Câu 12. 22
1 x f x
x
A F x x2 1 C B 21
1
F x C
x
C.
2
1
F x C
x
D
2
ln
F x x C
Câu 13. f(x) ó ' 1 f x
x
f 0 1 f 5 ?
A. ln 1 B. 2ln2 1 C. 2ln2 D. 2ln
Câu 14. f x x x21
A
2 1 x
F x C B
3 1
3 x
F x C
C
2
2
F x C
x
D
2 1
F x x C
Câu 15. f x xex2
A F x ex2 C B F x xex2 C C
2
2 x e
F x C D
2
2
2 x x e
F x C
Câu 16. Vớ F x x m e x f x xex ex1
A. m1 B m
e
C m 1
e
D.m 1 e
(6)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH Dạng 1: Tìm ngun hàm ằng c ng thức ản
1 T ứ ặ ũ PP
ễ
2 T ũ PP ể e ô ứ ũ
3 ứ ă PP ể v ũ
4 T PP ụ ô ứ v ậ e
ặ ô ứ
sin cos sin( ) sin( )
2
ax bx a b x a b x
sin sin cos( ) cos( )
2
ax bx a b x a b x
cos cos cos( ) cos( )
2
ax bx a b x a b x
cos cos
2
x
x cos
sin
2
x x
ài tập vận dụng
Câu 1. T
( )
x
f x x
A.
2
( )
4
x
F x x C B. ( )
4
F x x C
C.
2
( )
x
F x x C D.
( )
2
F x x C
……… ………
Câu 2. T
( )
f x x x
A.
( )
F x x C B.
4
( )
4
x x
F x x C
C.
( )
F x x x x C D.
4
( )
2
x x
F x x C
……… ………
Câu 3. T
( ) 12
f x x x x
A.
( ) 30 36
F x x x x C B.
( ) 12
F x x x x x C
C.
3
( )
3
x
F x x x x C D.
3
( )
3
x
F x x x C
……… ………
Câu 4. T
( ) ( ) ( 1)
f x x x x
A.
3 2
( )
3 2
x x x
F x x C B.
4 2
( )
4
x x x
F x C
C.
( )
F x x x C D.
( )
F x x x x C
……… ……… ………
Câu 5. T
( ) (3 )
f x x
A.
4 (3 )
( )
4
x
F x C B.
( ) 3(3 )
(7)C.
4 (3 )
( )
4
x
F x C D.
( ) 3(3 )
F x x C
……… ………
Câu 6. T
2
1
( )
3
f x x
x
A.
3
( )
3
x x
F x C
x B.
2
( )
F x x C
x
C.
3
( ) ln
3
x x
F x x C D.
( )
3
x
F x x C
x
……… ………
Câu 7. T
( ) 10 x f x
A.
2 10
( )
ln10 x
F x C B.
( ) 10 ln10x
F x C
C.
2 10
( )
2 ln10 x
F x C D.
( ) 2.10 ln10x
F x C
……… ………
Câu 8. T 3
( )
f x x x
x
A.
2 ( )
F x x C
x B.
4
( ) 3.ln
F x x x x C
C.
4
2
( )
4
x
F x x C
x D.
4
( ) 3.ln
x
F x x x C
……… ………
Câu 9. T
4 2 ( ) t
f t t
A.F t( ) 4t 43 C
t B.
3 2
( )
3
F t t C
t
C.
( ) ln
F t t t C D.
( )
F t t C
t
……… ……… ………
Câu 10. T f x( ) x 21
x
A.F x( ) 12 23 C
x x B.
2 ( ) ln ln
F x x x C
C.F x( ) lnx C
x D.
1
( )
F x C
x x
……… ………
Câu 11. T
( ) sin
x f x
A.F x( ) x sinx C B.F x( ) x sinx C
C.
( ) cos
x
F x C D.
( ) cos
x
(8)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH ……… ……… ………
Câu 12. T
( ) cos
f x x
A.F x( ) sin2x C B. ( ) 1sin
F x x x C
C. ( ) 1sin 2
F x x x C D. ( ) 1sin
F x x x C
……… ……… ………
Câu 13. T
( ) tan
f x x
A. ( ) tan2 cos
x
F x C
x B.F x( ) tanx x C
C.F x( ) tanx x C D. ( ) tan2
cos
x
F x C
x
……… ……… ………
Câu 14. T ( ) 2 2
sin cos
f x
x x
A.F x( ) tanx cotx C B.F x( ) tan cotx x C
C.F x( ) 4cot 2x C D.F x( ) 2cot 2x C
……… ……… ………
Câu 15. T ( )f x 2sin cos x x
A.F x( ) 5cos5x cosx C B.F x( ) 5cos5x cosx C
C. ( ) 1cos cos
F x x x C D. ( ) 1cos cos
F x x x C
……… ……… ………
Câu 16. T ( ) x.( x 1)
f x e e
A.
( )
2
x x
F x e e C B.
( ) x x
F x e e C
C.
( ) x x
F x e e C D.
( )
2 x x
F x e e C
……… ………
Câu 17. T ( ) 2
cos x x e
f x e
x
A.
( ) x ln cos
F x e x C B. ( ) 2 sin3 cos
x x
F x e C
x
C. ( ) 2 sin3 cos
x x
F x e C
x D. ( ) tan
x
F x e x C
(9)Câu 18. T ( )
I x x dx
A.
3 1
I C
x x B.
3
2
3
I x x C
C.
4
3
2
I x x C D.
4
3
3
I x x C
……… ………
Câu 19. T
3 2
I x dx
x
A. 3
3
I x x C B.
1 3
3
I x x C
C.
3 5
2
3
I x C
x D.
3
3
I x x C
……… ……… ………
Câu 20. T I x x 2 x dx
x
A.
1 2
2
I x x C B.I x C
x
C.I x C
x D.
1 2
2
I x x C
……… ……… ………
Câu 21. T 33 55
2
I dx
x x x
A.
2
1
3
2 25
( )
2
F x x x x C B. 93 255
( )
2
F x x x x C
C.
2
3 25
( )
2
F x x x x C D.
( )
F x x x x C
……… ……… ………
Câu 22. T
4 sin
I x dx
A.I 4sin 2x C B.I 2x 2sin2x C
C.I 2x sin 2x C D.I 2x sin 2x C
……… ………
Câu 23. T cos
2
x
I dx
A. sin 2
x x
I C B. sin
2
x x
I C
C. sin 2
x x
I C D. sin
2
x x
I C
(10)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
Câu 24. T
(3cos 3x )
I x dx
A.
1
3sin ln
x
I x C B.
3sin 3x ln3
I x C
C.
3sin 3x ln
I x C D.
1 3 sin
ln x
I x C
……… ………
Câu 25. T
(tan cot )
I x x dx
A.I tanx 4cotx 9x C B. tan2 cot2 cos sin
x x
I C
x x
C.I tanx 4cotx 6x C D.I tanx 4cotx C
……… ……… ………
Câu 26. T
.( 4)
I u u du
A.
7 3
3
I u u C B. 33
3
7
I u u C
C.
3
4
3
I u C
u D.
1 3 4
3
I u u C
……… ……… ………
Câu 27.
( ) 15
f x x x
A.
( ) 120
F x x x x B.
( ) 15
F x x x x
C.
( ) 15
F x x x D.
( )
F x x x
……… ………
Câu 28.
2 ( )
3
f x x
A.
( ) ln( 3)
F x x x B.
( ) ln( 3)
F x x x
C.
( ) 2017
F x x D.
2
( ) x 2017
F x
x
……… ………
Câu 29. ( ) (4 1) x
f x x e
A. ( ) (4 1) x
F x x e B. ( ) (4 3) x
F x x e
C. ( ) (4 5) x
F x x e D.
( ) (2 ) x
F x x x e
……… ………
Câu 30.
( ) 4tan 4tan
f x x x
A.
4
2
20 tan 12 tan ( )
cos cos
x F x
x x B.
4
( ) tan
F x x
C.
4
2
20 tan 12 tan
( )
cos cos
x F x
x x D.
4
( ) tan
(11)……… ………
Câu 31. ( ) 2 2
( 4) ( 3)
x f x
x x
A. 2
( ) ln ln
F x x x B.
2
4 ( ) ln
3
x
F x x
x
C.
2
4 ( ) ln
3
x F x
x D.
2
( ) ln ln
F x x x
……… ……… ………
Câu 32.
2 2( 1) ( )
1
x f x
x
A.
2
2 ( ) ln
2
x x
F x
x x B.
4 ( ) ln
F x x
C.
( ) 2016 ln
F x x D.
2
2 ( ) ln
2
x x
F x
x x
……… ……… ………
Câu 33. Tìm nguyên hàm F(x)
( )
f x x x (1)F
A.
( ) 5
F x x x x B.
4
2 ( )
4
x
F x x x
C.
4
2 ( )
4
x
F x x x D.
( )
F x x x x
……… ……… ………
Câu 34. Tìm nguyên hàm F(x) ( )f x 5cosx ( )F
A.F x( ) 3x 5sinx B.F x( ) 3x 5sinx
C.F x( ) 3x 5sinx D.F x( ) 3x 5sinx
……… ……… ………
Câu 35. Tìm nguyên hàm F(x)
2 ( ) x
f x
x ( )F e
A. 2
( ) 3ln 5
F x x x e B. 2
( ) 3ln 5
F x x x e
C.
2 5 ( ) 3ln
2
x e
F x x D.
2 5 ( ) 3ln
2
x e
F x x
……… ……… ………
Câu 36. Tìm nguyên hàm F(x)
2 ( ) x
f x
x
3 (1)
2
F
A.
2
( ) ln
x
F x x B.
2
( ) ln 2
x
(12)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
C.
( ) ln
F x x x D.
( ) ln
F x x x
……… ………
Câu 37. Tìm nguyên hàm F(x) f x( ) x x
x (1)F
A.
( )
5
F x x x B. 17
( )
5
F x x x
C.
( )
5
F x x x D. 22
( )
5
F x x x
……… ……… ………
Câu 38. Tìm nguyên hàm F(x) f x sin cosx x
3
F
A. ( ) 1cos 1cos
2
F x x x B. ( ) 1cos 1cos
6 12
F x x x
C. ( ) 1cos 1cos
2
F x x x D. ( ) 1cos 1cos
6 12
F x x x
……… ……… ………
Câu 39. Tìm nguyên hàm F(x)
4 3x 2x
f x
x (1)F
A.
( )
F x x x
x B.
3 2 ( ) 5ln
F x x x x
C.
( )
F x x x
x D.
3 2 ( ) ln
F x x x x
……… ……… ………
Câu 40. Tìm nguyên hàm F(x)
3 2 3 ( 1)
x x x
f x
x (0)F
A.
2
8 ( )
2
x
F x x
x B.
2
8
( ) 16
2
x
F x x
x
C.
2
8
( ) 16
2
x
F x x
x D.
2
8 ( )
2
x
F x x
x
……… ……… ………
Câu 41. Tìm nguyên hàm F(x)
sin
x
f x
2
F
A. ( ) sin
2 2
x x
F x B. ( ) sin
2 2
x x
F x
C. ( ) sin
2 2
x x
F x D. ( ) sin
2 2
x x
F x
(13)Câu 42. Tìm nguyên hàm F(x) f x x x x
7 (1)
2
F
A.
2
( ) 3ln
x
F x x x
x B.
2
( ) 3ln
x
F x x x
x
C.
2
7
( ) ln
2
x x
F x x x D.
2
21
( ) ln
2
x x
F x x x
……… ……… ………
Câu 43. Tìm nguyên hàm F(x)
2 2 cos
cos
x f x
x F
A.F x( ) 2x tanx B.F x( ) 2x tanx C.F x( ) 2x tanx D.F x( ) 2x tanx
……… ……… ………
Câu 44. T ể
( ) (3 2)
F x mx m x x
( ) 10
f x x x
A.m B.m C.
3
m D.Khơng có m
……… ……… ………
Câu 45. T ể
( ) ln
F x x mx
2 ( )
3
x f x
x x
A.m B.m C.Khơng có m D.m
……… ………
Câu 46. T ể
( ) ( ) x
F x ax bx c e
( ) ( 3) x
f x x e
A.a 0, b 1, c B.a 0, b 1, c
C. 1, 3,
a b c D.Khơng có a, b, c
……… ……… ………
Câu 47. T ể 2
( ) ( ) x
F x ax bx c e
2
( ) (2 7) x
f x x x e
A.a 2, b 3, c B. 1, 4,
2
a b c
C.a 1, b 3, c D.Khơng có a, b, c
(14)LỚP TỐN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
Câu 48. T ể
( ) ( ) x
F x ax bx c e
2
( ) ( 2) x
f x x x e
A.a 1,b 1, c B.a 1, b 1, c
C.a 1, b 1, c D.Không có a, b, c
……… ……… ……… ………
Câu 49. T ể ( ) ( 1)sin sin sin
2
b c
F x a x x x
( )f x cosx
A.a b c B.a 1,b c
C.Khơng có a, b, c D.a b c
……… ……… ………
Câu 50. T ể
( ) ( )
F x ax bx c x
2
20 30 ( )
2
x x
f x
x
A.a 5, b 0, c B. 20, 123, 194
9 25 25
a b c
C.a 4, b 2, c D.Khơng có a, b, c
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 51. T ể
( ) ( )
F x ax bx c x
f x( ) x x, (x 3)
A. 2, 2, 12
5 5
a b c B. 2, 2, 12
5 5
a b c
C. 2, 2, 12
5 5
a b c D.Khơng có a, b, c
(15)Dạng tốn 2: Tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ
ài toán t ng quát T ( ) ,
( )
P x
I dx
Q x vớ ( )P x v ( )Q x ứ ô
ă
Ph ng phápgi i:
— ậ ( )P x ậ ( )Q x PP ứ
— ậ ( )P x ậ ( )Q x PP Xe é v ó ụ ứ ể v ổ
ứ ặ
1
( ) ( )
a b
ax m bx n an bm ax m bx n
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
A B m
mx n A B A B x Ab Ba
Ab Ba n
x a x b x a x b x a x b
2
1
,
( ) ( )
A Bx C
x m
x m ax bx c ax bx c vớ
2
4
b ac
2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
A B C D
x a x b
x a x b x a x b
ô ổ v v
Câu 52. 13
( 1)
x
I dx
x ĐS:
3
( 1)
I C
x x
……… ……… ………
Câu 53.
2
1
x x
I dx
x ĐS:
2
3ln
x
I x x C
……… ……… ………
Câu 54.
2
4
x x
I dx
x ĐS:
2
2 ln
I x x x C
……… ……… ………
Câu 55.
3 4
2
x x
I dx
x ĐS:
3
2
ln 2
x x x
I x C
……… ……… ………
Câu 56. 2
6
dx I
x x ĐS:
1
I C
x
……… ……… ………
Câu 57. 23
4
x
I dx
x x ĐS:
3
ln
4 4(2 1)
I x C
(16)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH ……… ……… ………
Câu 58.
2 ( 2)
x x
I dx
x ĐS:
2
3ln
2
I x x C
x
……… ……… ………
Câu 59.
( 1)
dx I
x x ĐS: ln
x
I C
x
……… ……… ……… ………
Câu 60. 2
4
dx I
x ĐS:
1
ln
4
x
I C
x
……… ……… ……… ………
Câu 61. 2
6
dx I
x x ĐS:
1
ln
4
x
I C
x
……… ……… ……… ………
Câu 62. 2
2
dx I
x x ĐS:
1
ln
5
x
I C
x
……… ……… ……… ………
Câu 63. 2
2
dx I
x x ĐS:
1
ln
3
x
I C
x
……… ……… ……… ………
Câu 64. 24
2
x
I dx
x x ĐS: I lnx ln x C
……… ……… ……… ………
Câu 65. 24 11
5
x
I dx
x x ĐS: I 3lnx lnx C
(17)……… ………
Câu 66. 2
6
x
I dx
x x ĐS:
1
ln ln
I x x C
……… ……… ……… ………
Câu 67. 25
3
x
I dx
x x ĐS: I ln x lnx C
……… ……… ……… ………
Câu 68. 22
2
x
I dx
x x ĐS:
1
ln ln
2
I x x C
……… ……… ……… ………
Câu 69.
2
7 12
x dx I
x x ĐS: I x 16 lnx ln x C
……… ……… ……… ………
Câu 70.
2
1
x
I dx
x ĐS:
1
ln
1
x
I x C
x
……… ……… ……… ………
Câu 71.
2
2
x x
I dx
x ĐS:
3
2
ln
3
x x
I x C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 72.
2 2 (1 )
x dx I
x ĐS:
1 1
ln
4 1
x
I C
x x x
(18)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
Câu 73.
2 2
2
x x
I dx
x x x ĐS:
3
ln ln ln
2
I x x x C
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 74.
2
2 10 4
x x
I dx
x x x ĐS:
1 20 17
ln ln ln
6
I x x x C
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 75.
3
1
x
I dx
x x x ĐS:
1 28
ln ln ln
6
I x x x x C
……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ………
Câu 76.
2
3 3
x x
I dx
x x ĐS:
3 ln ln
1
I x x C
x
(19)Dạng tốn 3: Tìm ngun hàm ằng phƣơng pháp i i n số
nh : Cho f u du( ) F u( ) C v u u x( ) ó ụ
( ) ( ) ( )
f u x u x dx F u x C
1 i i n d ng ặ t ( ).x
1
2
( )
1 ( 1) ,
( )
n PP m
n
PP n n
n
n PP
I f ax b xdx t ax b dt a dx
x
I dx t x dt n x dx
ax
I f ax b xdx t ax b dt ax dx
vớ m n,
( ) ( ) n
I f x f x dx PP Đặ t n f x( ), ổ
1 (ln )
1 ( ln )
I f x dx
x
I f a b x dx
x
PP Đặ ln
ln
t x
t a b x
( )x x
I f e e dx PP Đặ
x
t e
(cos ) sin
I f x xdx PP
Đặ t cosx dt sinxdx
(sin ) cos
I f x xdx PP Đặ
sin cos
t x dt xdx
2 (tan )
cos
I f x dx
x
PP
Đặ
2
tan (1 tan ) cos
t x dt dx x dx
x
2 (cot )
sin
I f x dx
x
PP Đặ
2
cot (1 cot )
sin
t x dt dx x dx
x
2
(sin ; cos ) sin
I f x x xdx PP Đặ
2
sin sin cos sin
t x dt xdx
t x dt xdx
(sin cos ) (sin cos )
I f x x x x dx PP
Đặ t sinx cos x 2 i i n d ng ặ x ( ).t
2 2 ( ) n
I f a x x dx PP
Đặ x a.sint dx a.cos t dt
2 2 ( ) n
I f x a x dx PP Đặ
2 tan
cos
adt
x a t dx
t
2 2 ( ) n
I f x a x dx PP
Đặ sin2
cos cos
a a t
x dx dt
t t
2 ( ) n
dx I
x a ax bx c
PP Đặ
2
1 dt
x a dx
t t
1 , ,nk
n
I R ax b ax b dx PP
Đặ n
t ax b vớ n B C N N n n 1; 2; ;nk
( )( )
dx I
x a x b
PP
Đặ
0
0
0
x a
t x a x b
x b
x a
t x a x b
x b
Câu 77.
(2 )
I x x dx ĐS:
2 10 (2 ) (2 )
180 81
x x
I C
(20)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
Câu 78. 2
2
xdx I
x ĐS:
2
ln
I x C
……… ………
Câu 79.
3
x
I dx
x ĐS: 2
1
2(1 ) 4(1 )
I C
x x
……… ……… ………
Câu 80.
3 1
I dx
x x ĐS:
1
4
I C
x
x x x
……… ………
Câu 81.
5
1
x
I dx
x ĐS:
4
2
ln( 1) 2
x x
I x C
……… ……… ………
Câu 82.
4 10
4
x
I dx
x ĐS:
5
1
ln
20
x
I C
x
……… ……… ………
Câu 83.
2 ( 1)
2
x dx
I
x x ĐS:
2
2
I x x C
……… ………
Câu 84.
I x x dx ĐS:
2 (2 )
x
I C
……… ……… ………
Câu 85.
2
2
xdx I
x ĐS:
2
3
( 4)
I x C
……… ……… ………
Câu 86.
2
x dx I
x ĐS:
2
2(3 8)
15
x x x
I C
……… ……… ………
Câu 87.
5
I x x dx ĐS:
4 15
(1 )
I x C
(21)Câu 88. I x5 (1 ) 3 x2 2dx ĐS:
4 2 3(20 3) (1 )
320
x x x
I C
……… ……… ………
Câu 89.
2
x
I dx
x ĐS: I 2x 2x 5ln 2x C
……… ……… ………
Câu 90.
3
x
I dx
x
ĐS:
2
2 (4 )
4
x
I x C
……… ……… ………
Câu 91.
2
dx I
x x ĐS:
2
1
ln
4 4 2
x
I C
x
……… ……… ………
Câu 92.
3 2
x x x
I dx
x x ĐS:
2
2 ( 1)
2
3
x x
I x x C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 93.
ln
I x dx
x ĐS:
3 ln
x
I C
……… ………
Câu 94. 3ln
ln
x
I dx
x x ĐS: I lnx ln lnx C
……… ………
Câu 95. ln
1 ln
x
I dx
x x ĐS:
3 (1 ln )
2 ln
x
I x C
……… ……… ………
Câu 96.
2
ln 2x ln xdx I
x ĐS:
2
3
(2 ln )
I x C
(22)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH
Câu 97.
3
2 log 3ln
x
I dx
x x ĐS:
2
2
(1 3ln )
1 3ln
9 ln
x
I x C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 98.
1 x
dx I
e ĐS:
1
ln
x x
e
I C
e
……… ……… ………
Câu 99.
2 x x
dx I
e e ĐS:
2
ln
1 x x
e
I C
e
……… ……… ……… ……… ………
Câu 100.
x x x
e
I dx
e e ĐS:
2
ln
x
I e C
……… ……… ………
Câu 101.
4 x x
dx I
e e ĐS:
1
ln
4
x x
e
I C
e
……… ……… ……… ……… ………
Câu 102.
3 (1 x)
x
e
I dx
e ĐS:
2
(1 )
2(1 )
x
x
x
e
I e x C
e
……… ……… ………
Câu 103.
2
3 x x x x
e e
I dx
e e ĐS:
2
1
ln( 2) ln
2 2
x x x
x
e
I e e C
e
……… ……… ……… ……… ………
Câu 104.
2 x x
e
I dx
e ĐS:
3 ( 1)
1
x
x
e
I e C
(23)Câu 105.
x x
dx I
e e ĐS:
2
2 ln x x
I e e C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 106.
1 x
dx I
e ĐS:
2 ln x x
e
I C
e
……… ……… ……… ……… ………
Câu 107. cos
1 sin
xdx I
x ĐS: I ln sinx C
……… ………
Câu 108. (2 sin 3)cos
2 sin
x x
I dx
x ĐS:
1
(2 sin 1) ln sin
I x x C
……… ………
Câu 109. 3cos 2
(1 sin )
xdx I
x ĐS:
3
sin
I C
x
……… ………
Câu 110.
sin cos
I x x dx ĐS:
3 sin sin
3
x x
I C
……… ……… ………
Câu 111.
cos sin
I x xdx ĐS:
5 cos cos
5
x x
I C
……… ……… ………
Câu 112.
2 sin
1 sin
x
I dx
x ĐS:
1
ln sin
I x C
……… ……… ………
Câu 113.
3 cos sin
x
I dx
x ĐS:
1
sin sin
I x C
x
……… ……… ………
Câu 114.
3 sin cos
x
I dx
x ĐS:
2
2(1 cos )
(24)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH ……… ……… ………
Câu 115. sin 2
(2 sin )
x
I dx
x ĐS:
4
2 ln(2 sin ) sin
I x C
x
……… ……… ………
Câu 116. sin
.cos x
I e x dx ĐS: sin
x
I e C
……… ………
Câu 117.
(cos 1).cos
I x x dx ĐS:
5
sin sin sin
sin
5
x x x
I x C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 118. cos 2
11 sin cos
xdx I
x x ĐS:
1 sin
ln
3 sin
x
I C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 119. sin cos
1 cos
x x
I dx
x ĐS:
2 cos
cos ln cos
x
I x x C
……… ……… ………
Câu 120. sin 42
1 cos
x
I dx
x ĐS: I 6ln(3 cos2 ) 2cos2x x C
……… ……… ……… ………
Câu 121. sin sin
cos
x x
I dx
x ĐS:
2 cos
ln cos 2 cos 1
x
I x C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 122.
3 sin cos
x
I dx
x ĐS:
1
cos 3cos
I C
x x
(25)Câu 123. tan2
cos
x
I dx
x ĐS:
2 tan
x
I C
……… ………
Câu 124.
4 sin cos
x
I dx
x ĐS:
5 tan
x
I C
……… ……… ………
Câu 125.
4 tan cos
x
I dx
x ĐS:
3
tan tan
tan ln
3 tan
x x
I x C
x
……… ……… ………
Câu 126. 2 2
5cos sin cos 3sin
dx I
x x x x ĐS:
1 tan
ln
2 tan
x
I C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 127. 4 2
cos sin
dx I
x x ĐS:
3
tan
2 tan
3 tan
x
I x C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 128.
cos cos
dx I
x x
ĐS: I ln tanx C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 129.
sin sin
dx I
x x
ĐS: I ln cotx C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 130.
tan cos
x
I dx
x ĐS:
1
tan
I C
(26)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH ……… ……… ………
Câu 131.
2 cos sin
x
I dx
x ĐS:
3
cot
I x C
……… ……… ……… ………
Câu 132.
2 cos sin
x
I dx
x ĐS:
7
15cot 42 cot 35cot
105
x x x
I C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 133. 3
cos sin
dx I
x x ĐS:
2
ln cot cot
I x x C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 134. sin 3
(sin cos )
x dx I
x x ĐS:
1
2(1 cot )
I C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 135. sin cos
sin cos
x x
I dx
x x ĐS: I ln sinx cosx C
……… ……… ………
Câu 136. cos
sin cos
xdx I
x x ĐS: I sinx cosx 2 ln sinx cosx
……… ……… ……… ……… ………
Câu 137.
sin (1 sin )
I x x dx ĐS:
2 (1 sin )
x
I C
(27)Câu 138.
2
dx I
x ĐS:
1
x
I C
x
……… ……… ……… ………
Câu 139.
2
dx I
x x ĐS:
2
x
I C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 140.
2 ( 1)
dx I
x ĐS:
1
x
I C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 141.
3
x
I dx
x
ĐS: 2
( 2)
I x x C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 142.
2 x
I dx
x ĐS:
3 2 (1 )
x
I C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 143.
2
dx I
x ĐS:
2
ln
I x x C
(28)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH Dạng tốn 4: Tìm nguyên hàm ẳng phƣơng pháp nguyên hàm phần
nh u u x( ) v v v x( ) ó v ụ K
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
I u x v x dx u x v x u x v x dx hay I udv uv vdu
Vận dụng gi i toán:
— Nhận d ng T ẳ ũ ứ …
— t:
Vi phân Nguyên m
u du dx
dv dx v Suy ra: I udv uv vdu
— Th t u tiên ch n u: og – a – ƣ ng – m v dv phần c n ại ĩ ó
hay logax u ln hay log ln
ln a
u x x
a dv ị ó ln; log
u ứ v dv ị ó ứ u … — L u ậ ứ v ậ ứ vớ ầ
— ng m nh n ng giác ầ ầ
Câu 144.I x sinx dx ĐS: I sinx cosx C
……… ……… ………
Câu 145. (1 ) x
I x e dx ĐS: (3 ) x
I x e C
……… ……… ………
Câu 146. x cos
I e x dx ĐS: (sin cos )
2 x
e
I x x C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 147.I (2x 1) lnx dx ĐS:
2
( )ln
2
x
I x x x x C
……… ……… ………
Câu 148. 3x
I x e dx ĐS:
3
x x
xe e
I C
……… ……… ………
Câu 149.
ln
I x x dx ĐS:
3
ln
x x x
I C
(29)Câu 150.I lnx dx ĐS: I xlnx x C
……… ……… ………
Câu 151.I (x 1) sin 2x dx ĐS: 1cos 1sin
2
x
I x x C
……… ……… ………
Câu 152. x sin
I e x dx ĐS: (sin cos )
2 x
e x x
I C
……… ……… ………
Câu 153.
sin
I x x dx ĐS:
2
sin cos
4
x x x x
I C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 154. ln1
1
x
I x dx
x ĐS:
2
1
ln
x x
I x C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 155.I ln3x dx
x ĐS: 2
ln
x
I C
x x
……… ……… ………
Câu 156.I x sinx cosx dx ĐS: cos 1sin
4
I x x x C
……… ……… ………
Câu 157.
1 cos
x dx I
x ĐS:
1
tan ln cos
2
I x x x C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 158.
(2 cos 1)
I x x dx ĐS: sin 1cos
2
x
I x x C
(30)LỚP TOÁN THẦY DƢƠNG 76/5 PHAN THANH – 135 NGUYỄN CHÍ THANH ……… ……… ………
Câu 159.
ln( 1)
I x x dx ĐS: 2
( 1)ln( 1)
I x x x C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 160.I cos x dx ĐS: I xsin x 2cos x C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 161.I sin x dx ĐS: I xcos x 2sin x C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 162.
(8 ) x
I x x e dx ĐS: 2
(4 1) x x
I x e e C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 163.
x
I x e dx ĐS: 2
2
x x
I x e e C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 164. sin
sin x
I e x dx ĐS: sin sin
2sin x x
I x e e C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 165. x
I x e dx ĐS: x x x
I xe xe e C
(31)Câu 166.I ln(2x 1) dx
x ĐS:
1
ln ln
x
I x C
x x x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 167.
ln( 1) x x
I e e dx ĐS: ( x 1)ln( x 1) x
I e e e C
……… ……… ……… ……… ………
Câu 168.
2 ln(4 3)
( 1)
x x
I dx
x ĐS:
2
2
4
ln ln 2( 1)
x x
x x x C
x
……… ……… ……… ……… ………
Câu 169. 1 ln( 1)
2
I x x dx
x ĐS: I (x x 1)lnx x x x C