Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 23

Gäi I lµ giao ®iÓm cña AB vµ EF.. Tuy nhiªn b¹n H¹nh cã lêi gi¶i ng¾n nhÊt.. Phu nh©n còng biÕt chuyÖn nµy. Anh vÉn kháe. Nã rÊt thÝch th¬ mµ em.. thµnh phè lín thÕ nµy.... ChØ cã b¶y [r]

1

Kì : hƯNH VU NG KƯ L­

Hình vng bên có Bạn đặt vào trong chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, (mỗi chữ số sử dụng lần) cho số nhận đường nằm ngang số phương

nguyễn xuân bình(NXBGD)

Gi s ta phi xỏc định điểm C chia đoạn thẳng AB cho trước thành hai đoạn thẳng AC BC tỉ lệ với

lĐa số bạn tìm cách dựng hai đoạn thẳng khác, tỉ lệ với Sau áp dụng định lí Ta-lét để chia đoạn thẳng cho

Ví dụ :Dựng tam giác MNP, đường cao MH, ta có MH = HP Kẻ tia qua A (khơng qua B), xác định điểm D, E cho AD = MH = HP ; DE = NP + MH = HP, suy

Nối EB, qua D kẻ đường thẳng song song với EB cắt AB C, điểm cần dựng

lCó bạn nêu cách chia trùc tiÕp Ta cã thÓ chia nh­ sau : dùng tam gi¸c ABD cã

rồi dựng C thuộc AB cho DC AB Khi (đề nghị bạn tự chứng minh)

l Các bạn thưởng kì : Nguyễn Phương Đăng Toàn, 9D, THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Tây ; Hoàng Đức ý , 9E, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa,

Thanh Hóa ; Hoàng Minh Thắng, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Phạm Quang Trọng, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc

Anh Compa 



AC

BC

 o

ABD 60 )

 o  o  o

BAD 30 ; ABD 15 (hc BAD 75 ; 

 AD 3 DE

(2 3) 3

2 3

2 3

2

Các bạn biết khơng ? Định lí “Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy”của lớp có nhiều cách chứng minh

Xin giới thiệu số cách chứng minh định lí trên, hi vọng qua bạn tơi, tích lũy nhiều kinh nghiệm dựng hình phụ để giải tốn hình học

Không tính tổng quát, ta xét tam giác ABC có phân giác AD (D thuộc BC), Ta cần chứng minh

C¸ch : Dùng BE (E thuéc AD) cho (h×nh 1)

Ta cã ABE ACD (g-g) suy

BDE cân B BD = BE (2) Tõ (1) vµ (2) suy (*)

C¸ch :Dùng BE AD, CF AD (E, F thuéc AD, h×nh 2) Ta cã ABE ACF (g-g) ; BDE CDF (g-g) suy (®pcm)

Cách : Dựng AH  BC, DM  AB, DN  AC (H, M, N thuộc BC, AB, AC, hình 3)

Ta có ADM = ADN (cạch huyền-góc nhọn) suy DM = DN Do :

L¹i cã

Tõ (1) vµ (2) suy (*)

S(ABD) AH.DB DB (2) S(ACD) AH.DC DC 

S(ABD) DM.AB AB (1) S(ACD) DN.AC AC 

 

AB EB DB AC FC DC

 

BED BDE

 

AEB ADC



AB EB (1) ; AC DC

 

ABE ACD 

AB DB (*) AC DC

 

ABC ACB

HỌC CÁCH DỰNG HÌNH PHỤ QUA VIỆC CHỨNG MINH MỘT ĐỊNH LÍ nguyƠn văn tiến (Lớp 9A3, THCS Tăng Bạt H, Hoài Ân, Bình Định)

Hình

Hình

3

Cách :Qua B vẽ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng AC E (h×nh 4)

XÐt CBE, AD // BE, ta có

Cũng AD // BE mà AD lại phân giác dễ dàng chứng minh ABE cân A AB = AE (2)

Từ (1) vµ (2) suy (*)

Cách :Qua D dựng đường thẳng song song với AB, AC, cắt AC, AB E, F (hình 5) Ta cú BFD DEC (g-g) suy

Mặt khác, dễ thấy AEDF hình thoi nên suy (đpcm)

lVới cách kẻ hình phụ sau, bạn hÃy thư tiÕp

tục chứng minh định lí cách khác :

C¸ch (SGK To¸n 8, tập 2, trang 66) : Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD E (hình 6)

Cách :Qua D dựng đường thẳng song song với AB, qua A dựng đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng cắt E DE cắt AC F (hình 7)

Cỏch :Trong ABC, dựng hai đường cao CE BF, chúng cắt AD K, H Đường thẳng qua C song song với AD cắt BF I (hình 8)

Cách :Dựng qua B đường thẳng vng góc với AB ; dựng qua C đường thẳng vng góc với AC, hai đường thẳng cắt K AD cắt BK, CK E, F Dựng qua B đường thẳng song song với AD, cắt CK G (hình 9)

Cách 10 : Qua B, C dựng đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng qua D song song với AC F, E Đường thẳng qua F song song với AB cắt AD M

 DB AB DC AC



  

 DB BF DF BF DF DC DE CE DE CE

  

AEB ABE



BAC,



DB AE (1) DC AC

H×nh

H×nh H×nh

Hình

4 Trên lớp, cô giáo cho toán sau :

Đề :Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = |x2x + 3| + |x2x 2|

Mình xung phong lên bảng làm sau :

Lêi gi¶i :Ta cã A = |x2x + 3| + |x2x 2|

Suy

Đẳng thức xảy chØ :

Vậy giá trị nhỏ A Mình giải xong vừa hết Cô giáo nhận xét “lời giải em có vấn đề” đề nghị lớp suy nghĩ, tìm sai lầm lời giải Mình suy nghĩ không phát sai lầm cả, bạn giúp với !

Nguyễn Thi Duyên (8C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An)  x             

1 1

x x x

2 2

 11  9 11 20  

A

4 4 4

                                     2 2 2

1 11

x x

2

1

x x

2

1 11

x x

2 4

l Kì :

(TTT2 sè 21)

Các bạn khẳng định lời giải nêu phụ thuộc vào hình vẽ Đây sai lầm phổ biến giải tốn hình học phẳng Chỗ vấp lời giải việc nhận xét

Điều cho trường hợp (TH) H thuộc đoạn AE K thuộc đoạn AD, bốn khả xảy :

TH1) H AE K AD (xem lời giải TTT2 số 21) Ta cã

TH2)H BE K CD, giải tương tự TH1 ta có

TH3)H BE vµ K AD ta cã :

v× suy

mµ suy

TH4) H AE K CD, giải tương tự TH3 ta có

Nh­ : Nếu ABC có hai đường phân giác BD CE cắt I cho ID = IE th× :

lKì xin trao thưởng cho bạn : Trần Văn Phúc, 8A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An ; Nguyễn Hữu Sáng, 8A, THCS BC Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh; Đỗ Huỳnh Long, 7/5, THCS Nguyễn Du, Quận 1, TP Hồ Chí Minh ; Lê Việt, 8D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Thùy Linh Trang, 84, THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm, Biên Hòa, Đồng Nai

Anh kÝnh lóp

 

   o

B C hc B C 120  

   o ABC ACB 120



  o

B C 120 

   o A B C 180

   

A (ABC ACB)

 

IEH IDK

  1   1

IEH A ACB ; IDK C ABC,

2       ABC ACB   ABC ACB         

IEH ABC BCE ; IDK ACB CBD

Chì thặ thỏi ?

Keỏt :

5

KÕt qu¶ :

Kì :

Bài :(Của bạn Đặng Thương Thương, 4A, tiểu học Lê Lợi, TP Vinh, Nghệ An) “Kính tặng thầy Thuyết, giáo viên tiếng Phỏp :

Khi thầy lên lớp giảng

Giáo án, thước kẻđể bàn Giáo khoa lật mở trang

Phấn trắngviết bảng hàng đẹp sao”

Bài :(Của bạn Nguyễn Hoài Đảm, 9D, THCS Hồ Tùng Mậu, Hương Sơn, Hà Tĩnh) Thầy cô thể mẹ cha

Vâng lời, tin tưởngmới biết ơn Nhưng cịn có điều Phải ln kính trọngcơng ơn thầy

Các bạn ý, hai kết tuân theo quy luật số chữ từ tăng dần : 6, 7, 8,

Ngồi hai bạn trên, TTT2 cịn thưởng cho bạn : Đinh Phương Dung, 8A, THCS Nam Cao, Lý Nhân, Hà Nam; Đoàn Thế Vinh, đội 3, thôn Nội Xá, Tân Quang, Ninh Giang, Hải Dương

Nguyễn Đăng Quang

(TTT2 số 21)

MNG XUN T DU

Bài :Tiếp theo ?

thái nhật phượng (Giáo viên trường THCS Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa)

6 Trong viết này, đề cập đến dạng tốn tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức nhiều ẩn, ẩn nghiệm phương trình bất phương trình cho trước

Đối với dạng tốn này, ta cần xác định giải bất phương trình ẩn mà ẩn biểu thức cần tìm GTLN, GTNN

Bài tốn :Tìm GTLN GTNN xy biết x y nghiệm phương trình

x4+ y43 = xy(1 2xy)

Lêi gi¶i :Ta cã x4+ y43 = xy(1 2xy) xy + = x4+ y4+ 2x2y2

xy + = (x2+ y2)2 (1) Do (x2y2)20 víi mäi x, y, dƠ dµng suy (x2+ y2)24(xy)2víi mäi x, y (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã :

xy + 4(xy)24t2t 3 0 (víi t = xy) (t 1)(4t + 3) 0

Vậy : t = xy đạt GTLN

x = y = 1 ;

t = xy đạt GTNN

Bài toán :Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz  x + y + z + Tìm GTNN x + y + z

Lời giải :áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương x, y, z ta có :

Vậy t = x + y + z đạt GTNN x = y = z =

Bài toán :Cho số thực x, y, z tháa m·n x2+ 2y2+ 2x2z2+ y2z2+ 3x2y2z2= Tìm GTLN GTNN A = xyz

Lêi gi¶i :

x2+ 2y2+ 2x2z2+ y2z2+ 3x2y2z2= (x2+ y2z2) + 2(y2+ x2z2) + 3x2y2z2= (1)

áp dụng bất đẳng thức m2+ n22|mn| với m, n ta có :

x2+ y2z22|xyz| ; y2+ x2z22|xyz| (2) Tõ (1) vµ (2) suy :

2|xyz| + 4|xyz| + 3(xyz)29

3A2+ 6|A| 9 0 A2+ 2|A| 3 0

     

  

    

      

   

     

3

3

3 3

3

2 x y z xyz

x y z xyz 27xyz x y z 27(x y z 2)

t 27t 54 (víi t = x + y + z > 0) (t 6)(t 3) t

    x y

     

  

2 x y

3 xy

4    

 

2 x y xy    3 t

4

7 (|A| 1)(|A| + 3) 0 |A| 1

 1 A 1

Vậy : A đạt GTLN

A đạt GTNN 1

Bµi to¸n :Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n x4 + y4 + x2  = 2y2(1 x2) Tìm GTLN GTNN x2+ y2

Lêi gi¶i :Ta cã x4+ y4+ x23 = 2y2(1 x2) (x2+ y2)22(x2+ y2) 3 = 3x20 t22t 3 0 (víi t = x2+ y20) (t + 1)(t 3) 0 t 3

Vậy t = x2+ y2đạt GTLN x = ;

Ta l¹i cã x4+ y4+ x23 = 2y2(1 x2) (x2+ y2)2+ x2+ y23 = 3y20 t2+ t 3 0 (víi t = x2+ y20)

Vậy t = x2+ y2đạt GTNN y = ;

Bài tập tương tự 1)Cho x, y, z thỏa mãn :

2xyz + xy + yz + zx 1 Tìm GTLN xyz

Đáp số :

2)Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn : (x + y + z)3+ x2+ y2+ z2+ = 29xyz Tỡm GTNN ca xyz

Đáp số :8 (x = y = z = 2)

3)Tìm GTLN GTNN S = x2+ y2 biết x y nghiệm phương trình :

5x2+ 8xy + 5y2= 36 Đáp số : GTLN 36

GTNN

4)Cho x y số thực tháa m·n :

T×m GTLN cđa x2+ y2

Đáp số :1 (x = ; y = 0)

5)Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n : x2+ 4y2+ z2= 4xy + 5x 10y +2z 5

Tìm GTLN GTNN x 2y Đáp số : GTLN lµ (x = 2y + ; y R ; z = 1) ; GTNN lµ (x = 2y + ; y R ; z = 1)

6)Tìm số ngun khơng âm x, y, z, t để M = x2+ y2+ 2z2+ t2đạt GTNN, biết :

Đáp số :x = ; y = ; z = ; t = Khi M đạt giá trị nhỏ 61

2 2

2 2

x y t 21 x 3y 4z 101     



  



x2y234x2y26x 0.  (x y   2) (x   y 2) ;

   (x y z 1).

8

   13

x  13                

1 13 13

t t

2 13 t   y                              

x yz x ; y ; z 1; 1; 1 y xz

x ; y ; z 1; 1; xyz                           

x yz x ; y ; z 1; 1; 1 y xz

8

gIốI THIẻU

ThS Nguyễn Văn Nho(NXBGD)

Cuộc thi Olympic Toán học Ban-căng

Olympic Toán học Ban-căng (The Balkan Mathematical Olympiad) là thi toán, tổ chức năm vào tháng tư tháng năm cho học sinh THCS THPT nước vùng Ban-căng, năm 1984 Hi Lạp.

Sau đây, chúng tơi xin giới thiệu số tốn được chọn từ thi dành cho THCS lần thứ 14 (năm 1997 Hi Lạp) và lần thứ 15 (năm 1998 đảo Sip). Trong số tới, tiếp tục giới thiệu thi này.

Bài (1997): Cho số thực x, y thỏa m·n ®iỊu kiƯn h·y tÝnh theo k.

Bài (1997) : Một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R ba cạnh a, b, c thỏa mãn R(b + c) = Tính góc tam giác đó.

Bài (1997) : Cho số nguyên dương n1, n2, , n1998 thỏa mãn :

Chứng minh có số chẵn các số cho.

Bài (1998):Số N = 11 122 25 có 1997 chữ số và 1998 chữ số Chứng minh N l s chớnh phng.

Bài (1998) :Tìm tất số nguyên m, n cho mn= nm n.

2 2

1 1997 1998

n n   n n .

a bc.

8 8 8 8

x y x y

x y x y

  

 

2 2 2 2

x y x y k,

x y x y

   

Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa

(dành cho lớp - năm 2004)

Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa Cuộc thi Toán pa-xcan ca-na-đa

9

Bài : Câu trả lời (D) Trong dãy hình vng đó, hình vng đứng sau có số vuông nhỏ chưa tô màu lớn so với hình vng đứng kề trước Hình vng có vng nhỏ chưa tơ màu Vậy hình vng thứ 10 có số vuông nhỏ chưa tô màu : + 4.9 = 44 (ụ)

Bài :Câu trả lời (A) Ta lập bảng tính :

Bi :Câu trả lời (C) Ta có nhận xét nước đó, kim số kim vào ba số 6, 5, Có nghĩa thời điểm kim số trước 3.k nước kim số

Vậy sau 21 (= 3.7) nước đi, kim số có nghĩa lúc ban đầu (chưa nước nào) kim số Suy sau nước đầu tiên, kim số

Bài : Câu trả lời (A) Các bạn ý, thuế cầu đường phải trả 30 xu nên khả trả thuế tổng giá trị hai đồng rút ngẫu nhiên phải không nhỏ thua 30

Gọi Q1, Q2là hai đồng 25 xu ; D1, D2là hai đồng 10 xu ; N1, N2là hai đồng xu

Gọi Y khả trả đủ thuế ; N khả không trả đủ thuế X khả khơng thể xảy (ví dụ khả rút hai đồng Q1) Ta có bng sau :

Bảng có tất 30 khả xảy 18 khả trả thuế

Do vy ỏp s l 3/5

Bài :Câu trả lời (B)

Gi h chiều cao hình thang ABCD, diện tích ABCD

Ta có S(AZW) = S(ABZ) S(ABW) (2) Dễ dàng tính XY = chứng minh ABZ XYZ Mặt khác, AB = nên tỉ số đồng dạng hai tam giác : Lại có tổng khoảng cách từ Z đến AB XY h nên khoảng cách từ Z đến AB suy S(ABZ) =

Tương tự hai tam giác ABW CYW, ta tính S(ABW) =

Tõ (2), (3), (4) suy S(AZW) = Tõ (1), (5) suy S(AZW) 

S(ABCD) 105 h (5) 15 h (4)

2 h (3) h

3

10

Câu :(3 điểm)

Cho h phng trỡnh với tham số a : a) Giải hệ phương trình a = 2

b) Tìm giá trị tham số a để hệ phương trình có hai nghim

Câu :(2 điểm)

a) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức : A = z2+ z(y + 1) + xy b) Cho tứ giác ABCD (hai cạnh AB CD có độ dài) nội tiếp đường trịn bán kính Chứng minh t giỏc ABCD ngoi

tiếp đường tròn bán kính r

Câu :(2 điểm)

Tỡm tt số nguyên dương n cho phương trình 499(1997n+ 1) = x2+ x có nghiệm ngun

C©u :(3 ®iĨm)

Cho tam giác ABC vng (AC BC) Đường trịn (C) đường kính CD cắt hai cạnh AC BC E F (D hình chiếu vng góc C lên AB) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng BE với đường tròn (C), hai đường thẳng AC MF cắt K, giao điểm đường thẳng EF BK P

a) Chøng minh ®iĨm B, M, F P thuộc đường tròn

b) Giả sử ba điểm D, M P thẳng hàng Tính số đo góc tam giác ABC

c) Giả sử ba điểm D, M P thẳng hàng, gọi O trung điểm đoạn CD Chứng minh CM vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MFP

A

r

2 

x y x y x a

  



    

11

Bài :(2 điểm)

Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương : x4x2+ 2x +

Bµi :(2 ®iĨm)

Giải phương trình hệ phương trỡnh :

Bài :(2 điểm)

Cho số dương a, b, c thỏa mãn chứng minh

Bài :(2 điểm)

Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C nằm đoạn AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF với đường tròn (O) (E, F hai tiếp ®iĨm) Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AB vµ EF Qua C kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O) M N (M nằm C N) Chứng minh :

a) Bốn điểm O, I, M, N nằm đường tròn

b)

Bài :(2 điểm)

Cho đường tròn (O) đường kính BC điểm A thuộc đường tròn (O) Kẻ đường cao AH tam giác ABC Gọi I, K theo thứ tự giao điểm đường phân giác tam giác AHB, AHC Đường thẳng IK cắt AB, AC M N Chøng minh

(SAMN: diƯn tÝch tam gi¸c AMN, SABC: diƯn tÝch tam gi¸c ABC) AMN ABC

S S

2 

 

AIM BIN 1 1 a b c abc  

2 2

a b c ,

3

  

2

a) x 7x 14 x x y y x 30 b)

x x y y 35

   

  

 

 



12

Bài 1(21) : Cho ba số phương A, B, C Chứng tỏ :

(A B)(B C)(C A) chia hÕt cho 12

Lời giải : Hầu hết bạn dựa vào nhận xét :

1) Một số phương chia cho có số dư

2) Một số phương chia cho có số dư

Theo nguyên lí Đi-rích-lê số phương A, B, C phải tồn hai số có số dư chia cho Do số A B, B C, C A có số chia hết cho Vì (A B)(B C)(C A) chia hết cho

Tương tự có (A B)(B  C)(C A) chia hết cho Mà nguyên tố nên (A B)(B C)(C A) chia hết cho x = 12

Nhận xét : 1) Một số bạn dựa vào tính chẵn lẻ A, B, C để chứng minh lời giải di hn

2) Các bạn có lời giải ngắn gọn trình bày tốt : Phạm Minh Tuấn, 8A1, THCS Ngô Sĩ Liên, Hoàn Kiếm, Hà Nội ; Nguyễn Văn Hùng, 8C5, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng ; Đặng Minh Trang, 9G, THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ ; Trần Ngọc Nam, 6A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Trần Thị Khánh Ngà, 9A, THCS Hoàn LÃo, Bố Trạch, Quảng Bình ; Phan Thị Thanh Thảo, 6A, THCS BC Xuân DiÖu, Can Léc,

Hà Tĩnh ; Dương Thị Thu Thảo, 74, THCS Nguyễn Du, TP Pleiku, Gia Lai; Trịnh Tồn Trung, 9150, THCS Trần Hưng Đạo, Biên Hịa, Đồng Nai; Lương Thị Kim Thư, 9B, THCS Nghĩa Lộ, TX Quảng Ngãi, Quảng Ngãi; Vân Duy Ngọc Tân, 710, THCS Phan Chu Trinh, thị trấn Diên Khánh, Khánh Hòa;

Nguyễn Thị Hải Yến, 7A, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Trần Thanh Vũ, 9/8, THCS Lê Quý Đôn, Thăng Bình, Quảng Nam; Nguyễn Dân, 6A, THCS Chu Văn An, Thanh Hà, Hải Dương ; Nguyễn Minh Trang, 6E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh,

Nghệ An ; Nguyễn Thị Mai Hương, 94, THCS Nguyễn Khuyến, TP Đà Nẵng, Đà Nẵng ; Vũ Quang Dũng, 8A, THCS Thụy Văn, Thái Thụy, Thái Bình

ltn

Bµi 2(21) :Chøng minh r»ng :

Lêi gi¶i (cđa nhiỊu bạn): Đặt

ng thc cn chng minh tng ng với

(x - 1)(x + 1)3= (*).

Ta cã (x - 1)(x + 1)3

= (x - 1)(x3+ 3x2+ 3x + 1)

= (x - 1)(2 + 3x2+ 3x + 1) = (x - 1).3.(x2+ x + 1) = 3.(x3- 1) = 3(2 - 1) =

Vậy đẳng thức (*) Bài toán chứng minh

Nhận xét : Cách giải sử dụng phương pháp hữu tỉ hóa Rất nhiều bạn giải theo cách biến đổi từ vế phải sang vế trái, không sáng sủa cách giải Các bạn lớp 6, lớp sau có lời giải tốt : Tạ Hồng Hà, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Hải Sơn, 6C, THCS Trần Nguyên Hãn, TX Bắc Giang, Bắc Giang; Đỗ Văn

  

    



     

2

3

3

3

3

1 x x x

x x

9 9(1 x)

x 1.(1 x) (v× x 3)  32 x. 32 1 31 32 34.

9 9

13 Đạt, 7A, THCS Đông Thọ, Đông Thọ, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Thị ánh Ngọc, 7A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Vũ Hồng Hạnh, 6A1, THCS Bình Minh ; Nguyễn Văn Tuân, 7/1, THCS Hợp Tiến, Nam Sách, Hải Dương; Nguyễn Thị Thảo, 6A, THCS thị trấn Yên Định, Thanh Hóa ; Nguyễn Thanh Hoàng, 7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An; Phan Thị Thanh Thảo, 6A, THCS BC Xuân Diệu, Can Lộc ; Nguyễn Hùng Linh, 7/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Trương Xuân Nhã, 7A, THCS Nguyễn Huệ, Đông Hà, Quảng Trị ; Dương Thị Thu Thảo, 74, THCS Nguyễn Du, TP Pleiku, Gia Lai

nguyễn minh đức

Bµi 3(21) : Cho a  b, a  c, b  c Chøng minh r»ng :

Lời giải : Đa số bạn giải sau : Ta có

Tương tự ta có

Céng theo tõng vÕ cđa (1), (2), (3) ta cã :

Vậy đẳng thức (*) chứng minh

Nhận xét : 1) Một số bạn dùng cách biến đổi vế (quy đồng mẫu số, giản ước tử số), cách dài cho ta thêm kết đẹp, :

2) Các bạn tham khảo thêm lời giải :

Khi vế trái (*) trở thành

bằng vế phải (*)

3) Các bạn có lời giải tốt : Đoàn Thu Hà, 8A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang,

Hng Yờn; Nguyn Bỏ Thc, 8A1, THCS giấy Phong Châu, Phù Ninh ; Trần Ngọc Khánh, 7A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,

Phú Thọ; Phan Thị Thanh Minh, 8A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An ; Nguyễn Văn Tuân, 7/1, THCS Hợp Tiến, Nam Sách ; Vũ Hồng Hạnh, 6A1, THCS Bình Minh, TP Hải Dương, Hải Dương; Trần Đức Minh, 8A1, THCS Tế Tiêu, Mỹ Đức, Hà Tây; Phạm Thị Thu Hiền, 8A1, THCS Nghĩa Hưng, Nghĩa Hưng, Nam Định ; Đặng Văn Tuấn, 7D, THCS Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang ; Huỳnh Thị Mai Thảo, 8E, THCS Lương Thế Vinh, TX Tuy Hòa, Phú Yên; Đỗ Văn Đạt, 7A, THCS Đơng Thọ, n Phong,

B¾c Ninh ; Ngun Việt Long, 7C2, THCS thị trấn Tiên LÃng, Hải Phòng; Nguyễn Thị Cẩm Duyên, 7A, THCS Phan Huy Chú, Thạch Hà, Hà Tĩnh

nguyễn anh quân

  

            Y(X Z) Z(Y X) X(Z Y)

XZ XY YZ

Y Y Z Z X X X Z Y X Z Y Z X X Y Y Z Y Z X

                        

a b X b c X Z

Đặt b c Y suy c a Y X c a Z a b Z Y

    

     

     

   

     

2 2 2

b c c a a b

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) b c c a a b (a b)(a c)(b c) b c c a a b (a b)(b c)(c a)

                                     

2 2 2

b c c a a b

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) b a a c c b b a a c c b a c a b a b b c c b c a b c c a a b

b c c a a b

                  2 2

c a c b b a (2) ;

(b c)(b a) a b b c

a b a c c b (3) ;

(c a)(c b) c b c a

    

     

 

 

 

2 2 2

b c b a a c

(a b)(a c) (a b)(a c) (a b)(a c) b a a c (1) ; a c a b

    

     

  

  

  

2 2 2

b c c a a b

Bài 4(21) :Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c a + b + c = ; x, y, z độ dài phân giác góc A, B, C Chứng minh :

Lời giải : Gọi AD phân giác Dựng qua B đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AC E

Khi ú : (hai góc đồng vị) ; (hai góc so le trong) mà nờn

ABE cân A AB = AE = c Mặt khác :

suy

Trong tam gi¸c ABE cã BE < AB + AE hay BE < 2c (2) Tõ (1), (2) ta cã

Tương tự Do

áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho ba số dương ta có :

kết hợp với giả thiết a + b + c = ta

Từ (3), (4) suy , điều phải chứng minh

Nhn xột : 1) Hai bạn Nguyễn Tiến Thanh, 9C, THCS Nguyễn Quang Bích, Tam Nơng, Phú Thọ; Vũ Hồng Hạnh, 6A1, THCS Bình Minh, TP Hải Dương đề xuất bất đẳng thức mạnh :

Tuy nhiên để chứng minh bất đẳng thức trên, bạn phải sử dụng đến định lí hàm số Cơ-sin tam giác chương trình Tốn THPT

2) Các bạn sau có lời giải gọn : Lê Trường Giang, 9H1, THCS Trưng Vương, Hoàn Kiếm, Hà Nội; Nguyễn Thị Hồng Hà, 8B, THCS Phong Châu, TX Phú Thọ, Phú Thọ; Bùi Thị Bích Phượng; Nguyễn Thị Thu Hiền, 9A, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Tường Thế Nghĩa, 9A1, THCS Ngô Gia Tự, TP Hải Dương, Hải Dương ; Lê Tuấn Hiệp, 8C, THCS Thái Sơn, Đô Lương ; Nguyễn Khánh Hồng, 9A, THCS Bạch Liêu, Yên Thành ; Phạm Anh Minh, 8A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Lưu Thị Kim Hân, 97, THCS Lê Q Đơn, Thăng Bình, Quảng Nam; Trần Hồ Phương Dung, 9A, THCS Nguyễn Trãi, Mộ Đức, Quảng Ngãi; Bùi Bảo Khang, 8A3, THCS số An Nhơn, An Nhn, Bỡnh nh

nguyễn văn mạnh

Bài 5(21) :Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh :

Lời giải (của bạn Hoàng Vũ Hạnh, 10T, THPT chuyên Lam Sơn, TP Thanh Hóa,

Thanh Hãa) :

HB.HC HC.HA HA.HB AB.AC BC.BA CA.CB  

     1 6 x y z a b c

   1 1 x y z

1 1 (4)

a b c  

     

 

      

 

3 1 3

a b c abc ; a b c abc 1

(a b c) 9,

a b c

1 1 1 (3). x y z a b c    

   

       

   

1 1 1 1 1; . y a c z a b

 

     

  

2bc 1 1

x

b c x b c 

x.(b c)

BE (1)

b

 

 AD CA hay x b BE CE BE b c

  ABE AEB   DAB CAD   DAB ABE   CAD AEB  BAC 1 1

x y z  

15 Gọi A’, B’, C’ chân đường cao hạ từ A, B, C ABC Vì ABC nhọn nên H nằm tam giác Vậy :

S(HBC) + S(HCA) + S(HAB) = S(ABC) Mặt khác, dễ thấy CHB CAC’ (g.g)

Tương tự :

VËy :

Nhận xét : 1) Bài tốn khơng khó, nhiều bạn tham gia giải giải Tuy nhiên bạn Hạnh có lời giải ngắn Các bạn khác giải dài kiến thức cao kiến thức mà bạn Hạnh sử dụng lời giải Xin thống kê chi tiết :

+ Phải dùng tới hai cặp tam giác đồng dạng + Phải dùng tới kiến thức đường tròn + Phải vẽ thêm đường kẻ phụ + Phải dùng tới công thức khái niệm hàm số lượng giác góc tù 2) Các bạn sau có lời giải tương đối tốt : Phm Phng Thanh, 9A7, THCS Trn

Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định ; Trịnh Toàn Trung, 9150, THCS Trần Hưng Đạo, TP Biên Hòa, Đồng Nai; Nguyễn Sơn Tùng, 9B, THCS Nguyễn Quang Bích, Tam Nông; Trần Văn Thành, 8A2; Nguyễn Thùy Dung, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,

Phú Thọ ; Lưu Thị Kim Hân, 97, THCS Lê Quý Đôn, Thăng Bình, Quảng Nam; Phạm Ngọc Trâm, 9A, THCS Thái Phúc, Thái Thụy, Thái Bình ; Phan Thùy Linh, 9B, THCS Tản Đà, Ba Vì, Hà Tây

nguyễn minh hà

1

S b.c.sin A



 

S(HAB) S(HCA) S(HAB) 1. S(ABC)

  

HB.HC HC.HA HA.HB AB.AC BC.BA CA.CB

 

HC.HA S(HCA) HA.HB S(HAB); . BC.BA S(ABC) CA.CB S(ABC)

 

  

CH CB' CA CC'

1HB.CB'

HB.HC 2 S(HAB) ;

AB.AC AB.CC' S(ABC)

Vũ Hồng Hạnh, 6A1, THCS Bình Minh, TP Hải Dương ; Nguyễn Văn Tuân, 7/1, THCS Hợp Tiến, Nam Sách, Hải Dương; Dương Thị Thu Thảo, 74, THCS Nguyễn Du, TP Pleiku, Gia Lai ; Trịnh Toàn Trung, 9150, THCS Trần Hưng Đạo, TP Biên Hòa, Đồng Nai ; Lưu Thị Kim Hân, 97, THCS Lê Quý Đơn, Thăng Bình,

Quảng Nam; Phan Thị Thanh Thảo, 6A, THCS BC Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh; Phạm Minh Tuấn, 8A1, THCS Ngơ Sĩ Liên, Hồn Kiếm, Hà Nội; Phạm Phương Thanh, 9A7, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Tạ Hồng Hà, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Hoàng Vũ Hạnh, 10T, THPT chuyên Lam Sơn, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Nguyễn Minh Trang, 6E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh ; Nguyễn Thanh Hoàng, 7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành,

Nghệ An ; Nguyễn Văn Hùng, 8C5, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng; Trần Thị Khánh Ngà, 9A, THCS Hoàn LÃo, Bố Trạch, Quảng Bình ; Nguyễn Hải Sơn, 6C, THCS Trần Nguyên HÃn, TX Bắc Giang, Bắc Giang

Các bạn thưởng kì này

16 Mét bi

sáng mùa đơng, thám tử S ê - L ố c - C ố c châm lửa cho tẩu thuốc chng điện thoại réo vang

- A lô ! Xin chào thám tử ! Tôi tra Mác-tin ! Xin lỗi làm phiền ngài, thực cần giúp đỡ ngài Ngài đến Sở Cảnh sát khơng ?

- ồ! Rất sẵn lịng, tơi đến ! 15 phút sau thám tử có mặt phòng làm việc tra Mác-tin Trong phòng, ngồi vị tra cịn có phụ nữ trạc 50 tuổi, ánh mắt đầy lo lắng Thanh tra Mác-tin đứng lên, bắt tay thám tử :

- Rất cám ơn ngài đến ! Đây phu nhân Bây-len Bà đến từ sáng sớm để trình báo việc ơng nhà - giáo sư Bây-len bị tích

Thám tử Sê-Lốc-Cốc quay sang người phụ nữ :

- Xin bà hÃy bình tĩnh Tôi cố gắng giúp bà Bà kể cho nghe chuyện ®i ! - Th­a th¸m tư ! S¸ng sím thấy có thư gài cửa bọn chúng bắt cóc ông nhà thật ! - Bà Bây-len

- B bỡnh tnh ! Bọn chúng ? Thấy phu nhân xúc động, tra Mác-tin vội trả lời thám tử thay bà :

- Gần đây, có tổ chức đề nghị giáo sư Bây-len nghiên cứu cho chúng vấn đề giáo sư khơng nhận

lời biết ý định xấu Bọn chúng quay sang đe dọa, giáo sư kiên không nghe Phu nhân biết chuyện Cách hơm, giáo sư nói sang chơi nhà ông Pi-tơ quận bên lại vài hơm lâu hai người chưa gp

Bà Bây-len tiếp lời :

- Ngay sau đọc thư, gọi điện sang nhà ơng Pi-tơ Ơng nói chồng tơi từ sáng sớm hôm qua Tôi cho bọn người xấu bắt cóc ơng nhà tơi Bà cho phép xem thư ? -Thám tử đề nghị

Thanh tra Mác-tin đưa thư cho thám tử : - Đây, xin mời ngài Bà Bây-len khẳng định nét chữ chồng

Thám tử Sê-Lốc-Cốc chăm đọc thư : “Em yêu, anh chỗ “những người bạn” mà anh nhiều lần kể cho em Anh khỏe Có lẽ anh phải thời gian em Em chăm sóc giúp anh Xong việc anh Sắp Nô-en rồi, anh nhờ em việc Trước hôm Nô-en ngày, em đọc cho thằng Ni-ke nhà nghe thơ anh làm tặng Nó thích thơ mà em Anh đặt tên thơ “Phía trước”

17

 KÕt qu¶ :

Song đến ngày Phía trước đường cịn dài Buồn vui biết trước E nhiều gian nan

Tạm biệt em Anh Bây-len” - Chà ! Lá thư lạ ! - Thám tử nhận xét - Có lẽ ơng nhà tơi ám điều - Phu nhân nói thêm - chúng tơi khơng có đứa tên Ni-ke

- Thế rồi, giáo sư muốn nói điều qua thư mà bọn bắt cóc lại chuyển thư cho phu nhân ? - Thanh tra Mỏc-tin thc mc

Thám tử Sê-Lốc-Cốc trầm ngâm :

- Chắc giáo sư yêu cầu chuyển thư chấp nhận nghiên cứu cho bọn chúng Lời nhắn nhủ giáo sư có lẽ nằm đoạn cuối cña bøc th­

Cau mày suy nghĩ lúc, thám tử nói : - Nơ-en 24 tháng 12 Trước hơm nghĩa 23 tháng 12 Rất 2312 số nhà nơi bọn xấu giam giữ giáo sư

Thanh tra M¸c-tin sèt sắng :

- Nhưng đâu biết tên đường phố thành phố lớn !

- Ngài bình tĩnh ! Còn thơ mà ! - Một thơ lủng củng, chẳng vần điệu ! - Thanh tra nhận xét

Thám tử giải thích :

- Giáo sư cố tình viết để có chữ đầu dịng theo chủ ý y !

- Nhưng bảy chữ đầu dòng thơ có ghép thành tên đường đâu ? - Vị tra ngạc nhiên

- Thì giáo sư phải khéo léo để bọn bắt cóc khơng phát ! Ngài tra ý đến tên thơ

Nghe đến đây, tra Mác-tin reo lên : - Phải tơi đốn đường Chúng ta tiến hành giải thoát cho giáo sư !

* Vậy theo gợi ý thám tử Sê-Lốc-Cốc tài ba, vị tra đốn tên đường Cịn thám tử “Tuổi Hồng” ? (Nhớ tên tiếng Anh nhé)

Ngun Xu©n Q (2D - K53, Toán - Tin, ĐH Sư phạm Hà Nội)

Cú lẽ am hiểu đời sống động vật nên kì hầu hết thám tử “Tuổi Hồng” trả lời : Đà điểu lồi chim có trọng lượng thể lớn, đôi cánh lại nhỏ nên khơng thể bay Một số bạn q ý vào chi tiết “đà điểu ba tháng tuổi” nên lại cho với độ tuổi non nớt đó, loài chim chưa bay Rất nhiều bạn có câu trả lời thơ Xin trích đăng đoạn thơ bạn Mai Thị Hòa (Hà Tây) :

Câu chuyện ngỡ hợp lí Nhưng chàng trai ! Đà điểu bay lên trời

L cõu chuyện không tưởng Học ngất nga ngất ngưởng Chắc ham chơi Bịa câu chuyện dở Lọt tai Sê-Lốc-Cốc ?

Năm bạn có làm nhận phần thưởng kì : Huỳnh Thị Ngọc Huyền, 6H, THCS TX Bắc Kạn, Bắc Kạn ; Nguyễn ánh Quỳnh Hoa, 6B, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bỡnh,

Bắc Ninh ; Mai Thị Hòa, 9B, THCS Tản Đà, Quảng Oai, Ba Vì, Hà Tây ; Võ Thành Văn, 8B, THCS Hoàn LÃo, Bố Trạch,

Quảng Bình ; Đặng Thị Thanh Hòa, 47/62 Trần Quốc Toản, Q.3, TP Hồ Chí Minh

Thám tử Sê-Lốc-Cốc

VỤ MẤT BA CON ĐAØ

18

Bài toán :Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh :

a4+ b4+ c4a3+ b3+ c3

Bài toán :Cho x1, x2, x3, x4là bốn số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện :

x1+ x2+ x3+ x4=

HÃy tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc :

lKhi giải tốn tơi thành cơng

sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski (sau tơi cịn biết nhiều cách giải khác) : Ta có (a3+ b3+ c3)2= (a.a2+ b.b2+ c.c2)2 (a2+ b2+ c2)(a4+ b4+ c4) suy

(a + b + c)(a3+ b3+ c3) suy

(a + b + c)23(a2+ b2+ c2) suy

Từ (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh

lSau tơi gặp tốn TTT2 số

6, cách giải hoàn toàn tương tự với kết giá trị nhỏ T Tơi có nhận xét ban đầu hai toán sau : toán ta tìm

được giá trị nhỏ ; hai toán khác số số dương ; giá trị tổng số dương khơng ảnh hưởng trực tiếp vào lời giải

Từ tơi nghĩ hai tốn mở rộng cho n số dương đề xuất toán (chứng minh tương tự hai toán trên) :

Bài toán :Cho x1, x2, , xnlà số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x1+ x2+ + xn= k Chứng minh :

lTiÕp tơc suy nghÜ, t«i nhËn thÊy víi mäi

số a dương ta ln cú

và với cách chứng minh ta tiếp tục mở rộng toán :

Bài toán :Cho m, n số nguyên dương ; x1, x2, , xnlà số dương thỏa mãn điều kiện x1+ x2+ + xn= k Chng minh rng :

Hng dn :

Đẳng thøc x¶y x1x2   xnkn

                  

m m m

1 n

m m m

1 n

1 n

x x x

x x x

x x x k

n n

      

m m m

1 n

m m m

1 n

x x x x x x       

m m m

1 n

m m m

1 n

x x x k n x x x

  

n n n a a a

   

  

4 4

1 n

3 3

1 n

x x x k n x x x

 

 

4 4 3 a b c a b c

1

      

  2

a b c a b c 1 (3).

a b c 3

    

 

 

3 3 2

2 2

a b c a b c (2) ;

a b c a b c

    

2 2 3

(a b c ) ( a a b b c c )

4 4 3

3 3 2

a b c a b c (1) ;

a b c a b c

    

   

  



  

4 4

1

3 3

1

x x x x

T

x x x x

Xâu chuỗi tốn

Đối với tơi việc xâu chuỗi, tìm tịi mối liên hệ toán gặp để phát kết công việc hứng thú Ví dụ, q trình học tốn tơi gặp hai tốn :

19 Đây tốn tương đối khó Chỉ có bảy võ sĩ tham gia giải Tất võ sĩ có lời giải Tuy nhiên, có hai võ sĩ cho lời giải gọn hay Đó võ sĩ : Phan Lê Hồng Linh, 10C1, THPT chuyên Phan Bội Châu, TP Vinh, Nghệ An Trần Quốc Hồn, 12 Tốn, THPT Nguyễn Trãi, Hải Dương Tôi phải cân nhắc nhiều trước đến định chọn người đăng quang trận thách đấu võ sĩ Linh, lẽ lời giải võ sĩ Hoàntuy hay phụ thuộc hình vẽ

Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải võ sĩ Linh

1) Nếu tứ giác ABCD nội tiếp PA = PC Giả sử tia đối tia PB, PD theo thứ tự cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD E, F (hình 1)

Theo gi¶ thiÕt :

ED // FB // CA

H×nh

 BFED hình thang cân CA song song với hai đáy ED, FB Từ đó, dễ dàng suy : PA = PC

(Xem tiÕp trang 26)  

 

   

PBC DBA s® CE s® AD ED // CA FB // CA PDC BDA s® CF s® AB



   

  

  



 

 

 

(TTT2 số 21) lNgười thách u :TSKH V ỡnh

Hòa, ĐHSP Hà Nội 1, Hµ Néi

l Bài tốn thách đấu : Một số tự nhiên n gọi số tốt ta chia hình vng thành n hình vng nhỏ với khơng q hai kích thước khác

1) Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè tèt th×

n {1 ; ; 3}

2) Chứng minh số số tèt

3) Chøng minh r»ng 2004 lµ sè tèt 4) Tìm tất số tốt

lXuất xứ :S¸ng t¸c

Bài tốn tương giao đường thẳng đường parabol chủ đề hay gặp kì thi cuối cấp Nắm vững loại toán này, bạn thấy mối liên hệ vị trí tương đối hai đồ thị với nghiệm phương trình bậc hai

Trước hết, bạn cần nhớ kiến thức :

Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) điểm A(xA; yA) ta có :

A (C) yA= f(xA) A (C) yAf(xA)

Tọa độ điểm chung đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) nghiệm hệ :

Do : Hồnh độ điểm chung hai đồ thị nghiệm phương trình f(x) = g(x) Từ ta xét vị trí tương đối hai đường thẳng, vị trí tương đối đường thẳng parabol Vị trí tương đối hai đường thẳng

(D) : y = ax + b (a 0) (D’) : y = a’x + b’ (a’ 0)

Phương trình hồnh độ điểm chung (D) (D’) : (a a’)x = b’ b (1)

(D) // (D’) Phương trình (1) vơ nghiệm

a = a’ vµ b b’

(D) (D’) Phương trình (1) có vơ số

nghiƯm a = a’ vµ b = b’

 (D) cắt (D’) điểm  Phương

tr×nh (1) cã mét nghiƯm a a’

(D) (D’) a.a’ = 1

2.Vị trí tương đối đường thẳng (D) : y = f(x) parabol (P) : y = g(x)

Hoành độ điểm chung (D) (P) nghiệm phương trình : f(x) = g(x) (2) Phương trình (2) phương trình bậc hai Ta thy :

(D) (P) không cã ®iĨm chung 

Phương trình (2) vơ nghiệm  <

(D) tiếp xúc với (P) Phương trình (2)

cã nghiƯm nhÊt (nghiƯm kÐp)  =

(D) cắt (P) hai điểm Phương trình

(2) có hai nghiệm phân biệt  > Sau số dạng tập biện luận tương giao đường thẳng parabol

Dạng : Bài toán chứng minh

Ví dụ :Chứng minh đường thẳng (D) : y = 4x 3 tiÕp xóc víi parabol (P) : y = 2x24(2m 1)x + 8m23

Giải :Hoành độ điểm chung (P) (D) nghiệm phương trình :

2x24(2m 1)x + 8m23 = 4x 3 2x28mx + 8m2= x24mx + 4m2=

Ta cã ’ = 4m24m2= với giá trị m nên parabol (P) luôn tiếp xúc với đường thẳng (D)

Dạng :Bài toán tìm điều kiện

Ví dụ :Cho đường thẳng (D) : y = 2(m x) vµ parabol (P) : y = x2+ 2x + 4m

a) Với giá trị m (D) tiÕp xóc víi parabol (P)

b) Với giá trị m (D) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm tọa độ giao điểm A B

Giải :a) Hoành độ điểm chung (P) (D) nghiệm phương trình :

3

m

2   y f(x)

y g(x)     

Nguyễn Phước (Hiệu trưởng trường THCS Hương Long, TP Huế)

20

21 x2+ 2x + 4m = 2(m x)

x24x 2m = (3) Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) Phương trình (3) có nghiệm kép  ’ = 4 + 2m = m = 2

b) (D) cắt (P) hai điểm  Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt  ’ > 4 + 2m > m > 2

Khi hồnh độ hai giao điểm A B nghiệm phương trình :

Từ suy tọa độ giao điểm A, B (D) (P) :

Dạng :Xác định tọa độ tiếp điểm

Ví dụ :Cho parabol (P) : y = x22x 3 Tìm điểm (P) mà tiếp tuyến (P) điểm song song với đường thẳng (D) : y = 4x

Giải :Gọi đường thẳng tiếp xúc víi (P) lµ (d)

Do (d) song song víi (D) nên (d) có dạng y = 4x + b (b 0)

Hoành độ điểm chung (P) (d) nghiệm phương trình :

x22x 3 = 4x + b

x2+ 2x 3 b = (4) Ta thấy : (d) tiếp xúc với (P) Phương trình (4) có nghiệm kép  ’ = 4 + b = b = 4 Khi đó, gọi điểm A(x0; y0) tiếp điểm (P) (d) ( A (P)

và A (d)) ta có hệ phương trình :

VËy tiÕp điểm cần tìm A(1 ; 0)

Dng :Lập phương trình tiếp tuyến

VÝ dơ :Cho ®­êng thẳng (D) : y = ax + b Tìm a b biết :

a) Đường thẳng (D) song song với đường thẳng 2y + 4x = tiÕp xóc víi parabol (P) : y = x2

b) Đường thẳng (D) vuông góc với đường thẳng x 2y + = vµ tiÕp xóc víi parabol (P) : y = x2

c) Đường thẳng (D) tiÕp xóc víi parabol (P) : y = x23x + điểm C(3 ; 2)

Giải :a) Ta cã 2y + 4x =

(D) song song với đường thẳng 2y + 4x = nên (D) cã d¹ng : y = 2x + b

Theo cách làm dạng ta tìm Vậy đường thẳng (D) có phương trình

b) Ta cã x 2y + =

(D) vuông góc với đường thẳng có phương trình x 2y + =



Suy (D) : y = 2x + b

Theo cách làm dạng 2, ta tìm b = Vậy đường thẳng (D) có phương trình y = 2x +

(Xem tiÕp trang 26)

a a 2     

1

y x

2

  

1 y 2x

4    b  (b )  y 2x

2    

2 0

0 0

0

0

x

y x 2x

y y 4x

                 

A(2 ; 7) ; B(2   ; 7) 

2

x 4x x 4x

x x

22

giải toán máy tính điện tử casio năm 2005 Thể lệ thi

i tng d thi : Tất học sinh bậc THCS THPT

Hình thức dự thi : 12 đề thi đăng số tạp chí Tốn Tuổi thơ từ tháng đến tháng 12 năm 2005 Mỗi đề thi gồm bài, có trung bình (ngang với thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố khu vực) tương đối khó (mang đậm chất tốn hơn)

Thời hạn : 30 ngày kể từ ngày 15 (tháng công bố thi)

Địa gửi :

Tạp chí Toán Tuổi thơ, 187B, Giảng Võ, Hà Nội

Bài dự thi hợp lệ : Ngoài phong bì phải dán phiếu dự thi (cắt từ tạp chí)

Các không thuộc phạm vi thi không bỏ chung phong bì

Gii thng

Gii thng cho kì : Mỗi kì 10 giải, trị giá giải 50.000 đồng

Giải thưởng cho năm 2005(trên sở tổng điểm dự thi 12 kì năm) :

lBa giải Nhất :mỗi giải trị giá 1.000.000 đồng lSáu giải Nhì :mỗi giải trị giá 600.000 đồng lChín giải Ba :mỗi giải trị giá 300.000 đồng lMười hai giải khuyến khích :mỗi giải trị

giá 100.000 đồng

Các bạn giải nhận Bằng chứng nhận Ban Tổ chức Huy hiệu Tốn Tuổi thơ

Ngồi ra, Ban Tổ chức trao Giải Đồng đội cho nhà trường, Phịng Giáo dục, Sở Giáo dục Đào tạo có nhiều học sinh tham gia thi

§Ị thi

Các thầy giáo, bạn học sinh bạn u Tốn Tuổi thơcó thể gửi đề thi (phải kèm theo đáp án) Đề sử dụng ghi tên tác giả hưởng chế độ nhuận bút Đề thi nên tập trung vào vấn đề sau :

lSử dụng thành thạo máy tính điện tử bỏ

túi (MTĐTBT)

lPhát huy vai trò tích cực MTĐTBT

trong học toán môn học khác (bậc Trung học Cơ sở)

l Sử dụng sáng tạo MTĐTBT (sử dụng

sỏng to cỏc phớm bấm để giải toán nhanh, giải nhiều dạng toán mà nhà thiết kế khơng lập trình trước)

lVai trò MTĐTBT nâng cao

tìm hiểu sâu kiến thức toán học bậc Trung học Cơ sở

lMTĐTBT toán thực tế

phiỈu dú thi

23

Bài 1.Tính giá trị biểu thức M :

Bµi

2.1.Tìm gần (đến 10 chữ số) tất nghiệm thực phương trình bậc ba :

1) 8x36x 1 = ; 2) x3+ x22x 1 = ; 3)

2.2 Trong phương trình trên, phương trình có nghiệm hữu tỉ Chứng minh

2.3.Tính xác nghiệm phương trình dạng biểu thức chứa

Bµi

3.1.Dãy số a1, a2, , ak, xây dựng sau : chữ số an+1là tổng chữ số số 10 an Hãy chọn số (có số chữ số 6, 7, 8, 9, 10) thực quy trình Điều xảy ? Hãy chứng minh nhận định

3.2.Dãy số a1, a2, , ak, có tính chất : chữ số an+1là tổng bình phương chữ số số 10 an Hãy chọn số (có số chữ số 6, 7, 8, 9, 10) thực quy trình Điều xảy ? Hãy chứng minh nhận định

Bµi

4.1 Tìm 11 số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương chúng số phương

4.2.Có hay khơng n số tự nhiên liên tiếp (2 < n < 11) có tổng bình phương chúng số phương ?

Bài 5.Tìm số tự nhiên có tính chất : Nếu viết liên tiếp bình phương lập phương nó, sau đảo ngược số nhận ta nhận số lũy thừa bậc sáu số ban đầu

Bµi 6.Mét hµm f : N N cho số tự nhiên n giá trị f(n) số tự nhiên, theo công thức f(f(n)) = f(n) + n

6.1.HÃy tìm hai hàm số

6.2.Chứng minh hàm số kh¸c tháa m·n

16x 12x 10 0. 

M (12 3) 2(1 ) 14

       



24 H×nh

H×nh

Thêm ví dụ về SỰ PHT TRIN KT QU

nguyễn minh hà(ĐHSP Hà Nội) & Nguyễn Đễ(Hải Phòng)

(Tip theo kỡ trc)

Bài toán : Cho hình thang ABCD (AB // CD), AC cắt BD O Chứng minh :

S(OAD) + S(OBC) S(OAB) + S(OCD)

Lêi gi¶i : Qua A kẻ đường thẳng song song với BD, cắt CD E (hình 4)

Qua D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AE F

DÔ thÊy S(AFD) = S(AOD) = S(BOC) ; S(OAB) = S(FDE)

Từ đó, áp dụng kết BT1 ta có : S(AOD) + S(BOC) = S(AOD) + S(AFD) = S(AFDO)

S(FDE) + S(OCD) = S(OAB) + S(OCD) Vậy S(AOD) + S(BOC) S(OAB) + S(OCD) Đẳng thức xảy D trung điểm EC DE = DC AB = DC ABCD hình bình hành

Bài tốn :Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N chạy cạnh AB, CD Điểm P giao MC NB ; điểm Q giao MD NA Tìm vị trí M, N cho S(MPNQ) lớn

Lời giải :(hình 5)

Dễ thấy S(MNQ) = S(ADQ) ; S(MNP) = S(BCP)

 2S(MPNQ) = 2S(MNP) + 2S(MNQ) = (S(MNP) + S(BCP))+ (S(MNQ) + S(ADQ))  S(BMNC) + S(AMND) = S(ABCD) S(MPNQ)  S(ABCD)

VËy S(MPNQ) lớn S(ABCD) AMND BMNC hình bình hành AM = DN

Bài toán : Cho tam giác ABC Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh BC, CA, AB cho tø gi¸c DEAF néi tiÕp

Chøng minh r»ng :

Lời giải : Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC K (hình 6)

Theo BT1 ta có

Mặt khác tứ giác DEAF néi tiÕp vµ DK // AB

    

FED FAD ADK ; EFD KAD  

S(KDA) (1) S(ABC) 4

 

   S(DEF) EF. . S(ABC) AD

1

4

1

2

25  DEF KDA

Tõ (1) vµ (2) suy

Đẳng thức xảy đẳng thức xảy (1) D trung điểm BC

Bài toán :Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, CA, AB, chúng cắt CA, AB B1, C2; AB, BC C1, A2; BC, CA A1, B2 Chứng minh : S(MA1A2) + S(MB1B2) + S(MC1C2)  S(ABC)

Lời giải : Đặt S, Sa, Sb, Sc diện tích tam giác ABC, MA1A2, MB1B2, MC1C2; S’a, S’b, S’clần lượt diện tích hình bình hành AB2MC1, BC2MA1, CA2MB1 (hình 7)

Theo BT1 ta cã :

Sb+ ScS’a; Sc+ SaS’b; Sa+ SbS’c 2(Sa+ Sb+ Sc) S’a+ S’b+ S’c

2(Sa+ Sb+ Sc) S - (Sa+ Sb+ Sc) Sa+ Sb+ Sc S (đpcm)

Đẳng thức xảy M trung điểm B1C2; C1A2; A1B2M trọng tâm tam giác ABC

Bi toỏn :Cho tam giác ABC, điểm M nằm tam giác Chứng minh MA, MB, MC độ dài ba cạnh tam giác diện tích tam giác khơng lớn S(ABC)

Lêi gi¶i :Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, CA, AB Ta kí hiệu điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2nh­ BT7 (h×nh 8)

DƠ thÊy AB1MC1, BC1MA1, CA1MB1 hình thang cân, :

MA = B1C1; MB = C1A1; MC = A1B1 Suy MA, MB, MC độ dài ba cạnh tam giác (tam giác A1B1C1)

Ta cã : S(A1B1C1) =

= S(MB1C1) + S(MA1C1) + S(MA1B1) = S(MAC1) + S(MBA1) + S(MCB1)

= (S(MC1AB2) + S(MA1BC2) + S(MB1CA2))

= (S(ABC) (S(MA1A2) + S(MB1B2) + S(MC1C2)))

 (S(ABC)  (S(ABC)) (theo BT7) = (S(ABC) (đpcm)

Đẳng thức xảy M trọng tâm tam giác ABC

(Kì sau đăng tiếp)

3

1

2 2

1

1

1

 

   S(DEF) EF. . S(ABC) AD

2 S(DEF) EF (2) S(KDA) AD

   

 

H×nh

H×nh

26 (TiÕp theo trang 19)

2) Nếu PA = PC tứ giác ABCD nội tiÕp

H×nh

Giả sử đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD theo thứ tự cắt tia đối tia PB, PD E, F (hình 2) Ta cú :

Mặt khác, theo giả thiết : 

CEF ADB (1) Chó ý,

PEF PDB (2) Tõ (1), (2) dƠ dµng suy : PCF PAB PCF = PAB (v× PC = PA) FB // CA

Tương tự : ED // CA

Tóm lại : BFED hình thang cân CA song song với hai đáy ED, FB Từ đó, với ý PA = PC, ta có A thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Tứ giác ABCD nội tiếp

Lời bình bạn Linh :Bài toán thật hay ! Xứng đáng đề thi tốn quốc tế (?!)

Ngun Minh Hµ

  

  

PFE PBD (cïng ch¾n ED) PEF PDB (cïng ch¾n FB)

          CFE DBA CEF BDA           CBE DBA CDF BDA            

CFE CBE (cïng ch¾n cung CE) CEF CDF (cïng ch¾n cung CF)

 

 

 

(TiÕp theo trang 21)

c) Ta cã : C(3 ; 2) (D) 2 = 3a + b  b = 3a

Khi phương trình (D) có dạng : y = ax + 3a

Theo cách làm dạng ta tìm a = suy b = 7 Vậy đường thẳng (D) có phương trình : y = 3x -

Dạng :Xác định parabol

Ví dụ : Xác định parabol (P) : y = ax2+ bx + c thỏa mãn :

a) (P) tiếp xúc với đường thẳng (D) : y = 5x + 15 qua hai điểm (0 ; 1) vµ (4 ; 5)

b) (P) cắt trục tung điểm có tung độ cắt đường thẳng (D) : y = x 1 hai điểm có hồnh độ

Giải :a) (P) qua hai điểm (0 ; 1) vµ (4 ; 5) 

Do parabol (P) đồ thị hàm số y = ax2(1 + 4a)x 1

Hoành độ điểm chung (D) (P) nghiệm phương trình :

ax2(1 + 4a)x 1 = 5x + 15 ax24(a 1)x 16 = (5)

Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P)  Phương trình (5) có nghiệm kép

 ’ = 4(a 1)216a = (a + 1)2= a = 1 Do : a = 1 ; b = c = 1 Vậy (P) đồ thị hàm số y = x2+ 3x 1 b) Parabol (P) cắt trục tung điểm có tung độ nên (P) qua điểm (0 ; 2) (P) cắt đường thẳng (D) : y = x  hai điểm có hồnh độ Giao điểm (P) với đường thẳng (D) : (1 ; 0) (3 ; 2) Vậy parabol (P) qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) (3 ; 2)

Do a = ; b = 3 c =

2 c c c

0 a b c a b a

2 9a 3b c 3a b b

                               

1 c c

5 16a 4b c b 4a

   

 

       

27

Nhùng b¡i hŸt hay

Sửa thơ cho động từ

Để sửa lại “cho động từ” em cần hiểu : động từ từ hoạt động hay trạng thái vật Sau em phải xem xét động từ định thay hoạt động vật chưa (Ví dụ : NTQ - Hà Tĩnh sửa vót hành gọt hành NTCV - Hà Tĩnh sửa vóthành thành đẵnhành sai) Chỉ thay vótlà bóc, thái, băm

Bài thơ sửa lại : Ra vườn tỉalá, chặtcành

Vào bếp tháithịt, nhặt(băm) hành, gọt (cạo) khoai Tờ giấy to rọclàm đôi

Phát(đẵn) cây, đẵngốc đồi làm nương Giết lợn chọctiết, cạolơng

Mổbụng, phathịt, lọcxương, lạngbì Sách báo xénmép phng lỡ

Chích(chặt) cành sung, nhựa tức chảy

Yêu cau sáu bổba

Dúng mớa tước(róc) vỏ, tiệnra khúc trịn Chẻtre, đầu mặt rócln

Chặtkhúc, chẻmỏng, vóttrơn đan sề Bác thợ cày đẽosay mê

Người khắccon dấu tay nghề phải cao Dưa chuột xắt(cắt, thái) lát Thầy thuốc thận trọng chíchvào u

Năm bạn trao giải kì : Chế Thị Thành Giang, 9A, THCS TT Quán Hành, Nghi Lộc ; Nguyễn Hồng Trung Kiên, 9H, THCS TT Quỳ Hợp ; Đậu Thị Hà Trang, 7A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An ; Phạm Thủy Trúc, 6/5 THCS Nguyễn Khuyến, TP Đà Nẵng ; Trần Thu Hiền, 8C4, THCS Vạn Sơn, Đồ Sơn, Hải Phòng

Phú Bình Các bạn yêu ca

hát tìm chỗ chưa ổn viết sau :

Tuổi học trị thật hạnh phúc ! Nhiều nhạc sĩ viết tặng nhiều hát hay Những hát nâng bước vui đến trường, động viên học tập, rèn luyện Qua hát đó, thêm tự hào kính u Bác Hồ, yêu Đảng, yêu đất nước, gia đình

Mình thích ca hát, kể cho bạn số ca khúc hay ! Mình thích hát Ai u Bác Hồ Chí Minh chúng em nhi đồng Mộng Lâncó giai điệu vừa phải, tha thiết ; Em tươi xanh Phong Nhã

thật tha thiết Khi tóc thầy bạc trắng thầy giáo Vũ Thanhthật đằm thắm, nhẹ nhàng ; Em bay đêm pháo hoa nhạc sĩ Trịnh Công Sơnnghe thật rộn ràng, bạn ? Em mầm non Đảngcủa Hàn Ngọc Bíchcũng rộn ràng, phải khơng ? Càng lên lớp trên, thấy thích Không dám đâu Nguyễn Văn Tý; hát Màu áo đội Hoàng Vân; Em hồng nhỏcủa nhạc sĩ Lưu Hữu Phước thật vui, tình cảm thật sáng ; cịn thích Mùa hoa phượng nở Trần Đứcvà Thiếu nhi giới liên hoan Nguyễn Văn Hiên, nghe vui, nhịp nhàng !

Mong bạn yêu thích ca hát

Nguyễn Văn Hiếu (80, đường Xuân 68, TP Huế)

KÕt qu¶ : (TTT2 sè 21)

28

Trần Đăng Khoa :

Cuc thi truyện ngắn đề tài học sinh sinh viên kết thúc tốt đẹp Cái thành công lớn thi này, nghĩ không chỗ tìm nhiều truyện ngắn hay, nhiều tác giả mới, mà quan trọng hơn, Nhà xuất Giáo dục kéo đông đảo người viết người đọc, thuộc đủ tầng lớp, thành phần toàn xã hội đến với “cuộc chơi” sáng tạo Những truyện ngắn qua vịng sơ khảo ngồi việc cơng bố rộng rãi báo chí nước, Ban Tổ chức đưa lên mạng, tổ chức tiếp thi bình chọn tác phẩm hay mạng, thu hút hàng triệu độc giả người Việt khắp nơi trái đất người nước biết tiếng Việt phạm vi toàn cầu Và thế, bạn đọc không đơn thưởng thức hay, đẹp văn chương mà tham gia thẩm định, “đãi cát tìm vàng” Đó Ban giám khảo Ban Giám khảo, tham gia lựa chọn tác phẩm xuất sắc số tác phẩm tham gia dự giải

Cháu theo dõi bình chọn mạng thấy Phải nói nhiều lời bình hay, phát nhiều vẻ đẹp cịn chìm khuất sau chữ cịn thơ tháp Khơng kiến giải bất ngờ thú vị, chứng tỏ bạn đọc am tường văn chương hiểu đời sống sâu sắc Cách bình luận đa dạng, biến hố Có bài, tác giả bám sát tác phẩm, tìm hay dở để mổ xẻ, đánh giá định vị Có bài, người bình tựa vào tác phẩm để bàn đến vấn đề rộng mà tác phẩm không đề cập tới ởđây, tác phẩm có vai trị tác nhân, cớ đánh thức vùng ký ức tâm hồn độc giả Khơng trường hợp, nhận thấy người đọc người viết thực bạn tâm giao Họ hai gương soi vào nhau, điểm tô nhan sắc cho hai sáng lấp lánh

Đấy người tài chiêm ngưỡng người tài !

Chú Khoa ! Cháu biết thành viên Ban Chung khảo thi truyện ngắn cho học sinh sinh viên thi bình chọn mạng Chú có nhận xét đọc tác phẩm tham gia thi ?

Ngun ThÞ HiĨn

29

l Kết :

l Kì :

Ghộp cho đúng

(TTT2 sè 21)

vÖ ?

Trên bóng bay câu thành ngữ Tiếng Anh câu dịch nghĩa thành ngữ sang Tiếng Việt Bạn ghép bóng thành cặp để câu thành ngữ với lời dịch

Nhãm Mây Ngọc

(8A, THCS Trần Hưng Đạo, TX Quảng Ng·i, Qu¶ng Ng·i)

Các vị khách quý “Vào thăm Vườn Anh” kì khơng giỏi tiếng Anh mà cịn thơng minh giỏi thơ văn Hầu hết tham dự trình bày thơ Chủ Vườn phải khó khăn chọn bạn xuất sắc để tặng quà kì : Nguyễn Thùy Dung, 8A1, THCS Lâm Thao, Phú Thọvới thơ :

Ghế tựa từ CHIAR Khi chặt đầu cịn HAIR Tóc đầu Đúng không chủ vườn E ? Bạn Phan Nữ My Ly, 8B, THCS Hồn

Lão, Bố Trạch, Quảng Bìnhcó đáp án : Xin đáp ghế CHAIR

Chặt đầu lại chữ HAIR May thay thật tài tình

HAIR l túc, u hiển nhiên Ngồi bạn : Nguyễn Quang Tùng, số 12, ngách 38, ngõ 515 Hoàng Hoa Thám, Hà Nội ; Dương Thu Thủy, 8A, THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An; Lê Thị Ngoan, 7A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh xứng đáng nhận tặng phẩm Chủ Vườn

Chóc mõng c¸c bạn

30 Nhân năm ất Dậu, mõng xu©n

Đố vui bạn trẻ vài vần véo von : Gà đẻ trứng ni ?

Gà gáy rộn xóm thơn sớm chiều ? Gà gây gổ đủ điều ?

Gà trắng, đẻ nhiều, trứng to ? Gà sống đồi gũ ?

Gà dáng vóc cao to, đuôi xòe ? Gà màu sắc đen ?

Gà lốm đốm hoa chi trắng ngần ? Gà lớn, để tần ?

Gà bé nhỏ, thấp chân, lông vàng ? Bạn nhanh nhẹn, giỏi giang ? Điền tên cả, bảng vàng lưu danh !

Nguyễn Ngọc Sinh (46 E Đê La Thành, Hà Nội)

Kết :

Kỡ naứy :

VAấN Gè ?

Thaựnh chổ

Văn th­ l­u tr÷ giÊy tê

Văn chứng nhận bạn vừa học xong Văn minh nếp sống cộng đồng Văn nghệ ca hát cho lòng rộn vui

Văn tự khơng nói lời Văn cam kết người với ta

Văn hào nức tiếng gần xa Vn n hi hp cỏc nh nhõn

Văn thơ ghép lại thành vần Văn Miếu lịch sử bao lần hội thi

Thần dân thông tỏ Trẫm xin có chút lì xì đầu năm !

Ban thưởng : Phạm Đức Cảnh, 8A1, THCS Khánh Nhạc, Yên Khánh, Ninh Bình; Vũ Thị Thu Hương, 6A3, THCS Nam Cao, Lý Nhân,Hà Nam ; Bùi Tùng Lâm, 6A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Anh Phúc, 6A, THCS Đề Thám, An Khê, Gia Lai; Cao Việt Đức, 6B, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An

31

Hỏi : Anh ! Sao anh công ? Chúng em yêu TTT có người nói câu mà anh cho “hắn” tập báo ? Chúng em ? Tội nghiệp chúng em ! Anh ! Anh ời

Con cđa mĐ Lan (Tỉ 14, TT CÈm Xuyªn, Hà Tĩnh)

Đáp :

Thật khó em ! Hắn bị anh thời

míi cho ChØ cßn mét bé kho Làm ơn hắn, bao trò

ti thõn Cm thông bạn xa gần Một lời “đại xá” cho ln ny

thôi

Hỏi : Năm ngoái chị em đeo cặp hồng bị học sút Năm em đeo cặp liệu có bị học sút chị không ?

Đặng Mai Ly (6A, THCS Ngô Sĩ Liên, Hà Nội)

Đáp :

Cp hng i ! Hi cp hng Một năm gánh vác công bao ngày ? Thế mà “vạ gió tai bay” Người ta học sút đổ :

cỈp hång !? Hái r»ng : Ai cã tin kh«ng ?

Hỏi :Em thường bị “ngất ngây gà tây” TTT hay lí thú Vì em mang lớp đề nghị bạn làm Nhưng ngờ bạn lớp em bảo : “Lớp mà cịn làm Tốn Tuổi thơ, nít !” Vậy ý anh ? Vũ Thị Hương Lan (9A, THCS th trn Bn, Hng Yờn)

Đáp :

Không sợ nít Chỉ sợ đầu mít Làm Toán Tuổi thơ nhiều Sẽ giỏi thêm không !

Hi :Em l a cao lớp nên số bạn gọi em “khủng long cổ dài” Anh thấy ?

Khñng long cổ dài (213 Lê Duẩn, Phú Thuận, Huế)

Đáp :

Nhìn tên em cuối Em ghi rõ Cổ dài khủng long

Chắc em vừa lòng Cảm ơn bạn xong mà

Hỏi : Chúng em học sinh lớp chuyên Văn,

em v cỏc bn tham khảo thêm bạn chuyên Toán Nhưng bạn cười bảo : “Lớp Văn mà địi học Tốn, cậu có đăng báo Tốn ?” Chúng em tâm giải TTT để mang danh dự cho lớp Văn Anh bảo có khơng ?

Nguyễn Bá Thước (8A, THCS Giấy Phong Châu, Phự Ninh, Phỳ Th)

Đáp :

Ai bo học Văn khơng giỏi Tốn ? Chê người ? Liệu có dám thi đua ? Khơng khéo lớp Tốn bị thua Đành mua rổ khế chua

nghiền Mở trang giải toán thấy liền : Danh Nguyn Bỏ Thc hin trờn

bảng vàng !

Hỏi :Anh Phó ! Em hỏi khí khơng phải : Anh có em bé chưa ? Chị Phó cú xinh khụng ?

Lê Thị Hải Yến (thôn 3, Xuân Viên, Nghi Xuân, Hà Tĩnh)

Đáp :

“Em bé” có “em bé” Anh lên ngơi “bố chồng”

VỊ nhµ cã cháu gọi ông Bà nội nhan sắc không nỗi

Ngày xưa anh bị nốc-ao Bây anh vÉn “khen vµo,

32

Bµi 1(23) :Cho p số nguyên tố lớn

Chứng minh phương trình x2+ y2+ z2= 4p2+ ln có nghiệm dương (x0, y0, z0)

TrÇn Anh Đức (Toán, K26D, ĐHSP Hà Nội 2,

Vĩnh Phóc)

Bài 2(23) :Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh :

Trần Xuân Đáng (Giáo viên trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định)

2 2

a b c 3.

2 b 1 c 1 a 

Bài 3(23) : Giải phương trình :

Đường Thị Liên Phượng (Giáo viên trường THCS Nam Hà, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh)

2 2

3x 7x 3  x  2 3x 5x 1  x 3x 4.

Bài 4(23) : Cho tam giác ABC (AB < AC) P điểm nằm tam giác cho Gọi H K chân đường vng góc hạ từ P xuống AB AC ; I trung điểm BC Chứng minh :

Lê Thị Liễu (Giáo viên trường THCS Lê Lợi, TP Quy Nhơn, Bình Định)

 

HIB KIC.

 

PBA PCA.

Bài 5(23) :Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh BC, CA, AB Gọi M giao điểm đường thẳng AO, DE ; N giao điểm đường thẳng BO, EF ; P giao điểm đường thẳng CO, DF Chứng minh tam giác NAB, MAC, PBC có diện tích

Bùi Văn Chi (Giáo viên trường THCS Lương Thế Vinh,