Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 26

Leâ Thoáng Nhaát, Phoù Toång bieân taäp Taïp chí TTT cuøng caùc ñoàng chí laõnh ñaïo vaø chuyeân vieân Phoøng THPT, Phoøng Giaùo duïc caùc huyeän, caùc em hoïc sinh xuaát saéc ñaõ v[r]

26

Chào mừng OLYMPIC Toán Tuổi thơ ! Olympic Toán Tuổi thơoan Tuổi thhơ

1

Ơ chữ TỐN HỌC CHÀO (TTT2 sè 24)

l Ô chữ

l SO SÁNH DIỆN TÍCH

l Mỗi hàng ngang ô chữ khái niệm, thuật ngữ Toán học Có nhiều đáp án đưa :

Hµng :

PhÐp céng / PhÐp chia / Số bị chia / Chia có dư / Đoạn chắn / Chắn cung / Số đo cung / Hình chãp /

Hµng :

Chia hết / Mẫu thức / Căn thức / Lũy thừa / Liên hợp / Đơn thức / Bậc / Nhị thức / Tam thức / Kéo theo / Lớn / Hồnh độ / Hình học / Cắt / Góc nhọn / Hình hộp / Nhị phân /

Hµng :

Hµm sè

Hµng :

Toán cổ / Toán đố / So sánh / Hốn vị /

Hµng :

Bất đẳng thức / Dấu ngoặc đơn / Dấu móc vng /

Hµng :

Tỉng / TÝch / TØ sè / TØ lÖ / TÝnh / Tư sè / Tang / Thùc / Trơc / To¸n /

Hµng :

Sè d­

Hµng :

Tập hợp / Lập phương / Tập nghiệm / Tập số thực / Bậc đa thức / Tập giá trị / Tập hữu hạn / Tập số vô tỉ / Lập phân số /

Hµng :

Ngun lí / Thuận đảo / Dấu ngoặc / Mâu thuẫn / Chu vi đáy / Chung gốc / Chung góc / Chuyển vế /

l Các bạn thưởng kì : Đậu Thế

Vị, 6B, THCS Cao Xu©n Huy, DiƠn Ch©u,

Nghệ An ; Trần Quỳnh Giao, 6/2, THCS Nguyễn Khuyến, Đà Nẵng; Phan Thị Kim Anh, 6D, THCS Trần Cao, Phủ Cừ, Hưng Yên; Lê Tuấn Anh, 6A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn Lê Quân, 6C, THCS Phùng Hưng, Sơn Tây, Hà Tây

Anh Compa

Một hình vng có cạnh chia thành ba phần nhau, điểm chia nối với hình vẽ Hãy so sánh diện tích hình tơ màu với hình vng ban đầu

2

phan ngọc hiếu (8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương)

Trong q trình tự học tốn, tơi thường “nghiên cứu” kĩ tốn đơn giản, cố tìm điểm mấu chốt chúng “xào nấu” chúng thành tốn “trơng lạ” Việc khơng giúp khắc sâu kiến thức, rèn luyện khả sáng tạo mà cịn cho tơi tốn thú vị để đố bạn bè Xin giới thiệu với bạn lần vào “bếp” tôi, toán đơn giản

Bài toán : Tìm giá trị nhỏ T (a 2003)2(b 2004)2(c 2005)2

Lêi gi¶i :Ta cã (a 2003)20 víi mäi a ; (b 2004)20 víi mäi b ;

(c 2005)20 víi mäi c

Suy T với a, b, c Đẳng thức x¶y a  2003 ; b  2004 ; c 2005

Vậy giá trị nhỏ T lµ

lDễ thấy rằng, tốn

ta thay số 2003, 2004, 2005 số thực Từ ta cú bi toỏn sau :

Bài toán : Tìm giá trị nhỏ T (a m)2(b n)2(c p)2với m, n, p số

lHai tốn có cách giải đơn giản

(sử dụng tính chất A2  0) Bây giờ, thêm điều kiện a b c số ta đề xuất tốn sau :

Bài toán : Xét số thực a, b, c có tổng q Tìm giá trị nhỏ cđa T (a m)2(b n)2(c p)2víi m, n, p, q số

Tụi ó th khỏ nhiu cách cuối tìm lời giải cho toán nhờ sử dụng bất đẳng thức phụ sau :

víi mäi x, y, z (1)

Chứng minh (1): Với x, y, z ta có x2y22xy ; y2z22yz ; z2x22zx Cộng theo vế bất đẳng thức chiều ta 2(x2y2 z2) 2(xy  yz  zx)  3(x2 y2  z2) (x y z)2

Đẳng thức xảy x y z

Lời giải : Theo bất đẳng thức (1) ta có

Suy Vậy giá trị nhỏ T

lLêi giải toán không thay

i ta thay điều kiện a b c q điều kiện a b c q Ta có tốn khỏ húc bỳa sau :

Bài toán : Tìm giá trị nhỏ T (a m)2  (b  n)2  (c  p)2 BiÕt a b c q vµ m, n, p, q lµ c¸c h»ng sè

q p 2m n a

3 a m b n c p b q p 2n m

a b c q

q 2p m n

c 3

    

      

     

    

 

     

2 (m n p q) ,

3   

2 (m n p q)

T

3    

2 2

2

T (a m) (b n) (c p)

(a b c m n p) (m n p q)

3

              

 

2 2 (x y z)

x y z

3  

   

2 2 (x y z)

x y z

3

l Cũng toán điều

kiện a  b  c  q ẩn điều kiện khác a, b, c dương abc q3, tốn trở nên “hóc búa” nhiều :

Bài tốn : Tìm giá trị nhỏ T (a m)2(b n)2(c p)2 Biết a, b, c số dương, abc q3và m, n, p, q số

Hướng dẫn : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương a, b, c ta có

lViệc mở rộng bất đẳng thức (1)

giúp phát triển thêm chuỗi tốn Ta có hai bất đẳng thức sau :

víi mäi a1, a2, , an;

(3) với số dương x, y, z số nguyên dương n

Chứng minh (2) : áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho 2n số ta có

Chøng minh(3):

Ta cã

nên (3) với n 1

Giả sử (3) với n k (k N, k > 1), tức

Ta cần chứng minh (3) với n k 1 Thật vậy, (*) tương đương với :

Mặt khác (xkyk)(x y) ; (ykzk)(y z) ; (zkxk)(z x) không âm x, y, z số dương nên (xkykzk)(x y z)  (xk 1yk 1zk 1) (xky ykx) (xkz zkx)  (ykz  zky)  3(xk 1  yk 1  zk 1)  (xky xk 1yk 1ykx) (xkz xk 1 zk 1zkx) (ykz yk 1zk 1zky)  3(xk 1yk 1zk 1) (xkyk)(x y)  (ykzk)(y z) (zkxk)(z x)

3(xk 1yk 1zk 1) hay

Suy

hay (3) với n k 1

Vậy theo nguyên lí quy nạp, ta chứng minh (3)

Các bạn thử dùng bất đẳng thức (1) ; (2) ; (3) để giải toán sau nhộ

Bài toán : Tìm giá trị nhá nhÊt cña T (a1b1)2 (a2 b2)2 (a2005 b2005)2 Biết a1a2 a20052005 b1, b2, , b2005là h»ng sè

Bài tốn : Tìm giá trị nhỏ T (a1b1)2 (a2 b2)2 (a2006 b2006)2 Biết a1, a2, , a2006 số dương có tích khơng nhỏ 24012 b1, b2, , b2006l cỏc hng s

Bài toán : Tìm giá trị nhỏ T (a m)2005(b n)2005(c p)2005 Biết ab c 6015 m, n, p h»ng sè

Bài tốn : Tìm giá trị nhỏ T (a m)2006(b n)2006(c p)2006 Biết a, b, c số dương, abc 54135 m, n, p số

k k k k

x y z x y z

3



        

   k k k k k k

x y z x y z x. y z .

3 3

  

      

k k k k

x y z x y z. x y z ;

3 3



          

k k k k

x y z x y z (*).

3

       

 

1 1

x y z x y z x y z

3 3

            2 2 2

1 n

2

1 n

2 2

1 n n

2

2 2 n

1 n

(a a a )(1 )

(a a a 1) n.(a a a ) (a a a ) (a a a )

(a a a )

n                            n n n n

x y z x y z

3

       

 

2

2 2 n

1 n (a a a )

a a a (2)

n       

3 3

a b c abc q q a b c 3q.

4

Lời giải sai bước từ A2 = suy A =  Biểu thức A lúc nhận hai giá trị ! Cần phải xét dấu A để khẳng định hai giá trị

Ta cần sửa lại bước Sau có A2= 1, ta xét hai trường hợp :

Trường hợp : A > Khi A =

Trường hợp : A < Khi A = 1 Tóm lại :

Nhận xét : Nhiều bạn phân tích khơng chỗ sai lời giải nhận định sai lầm : “Nếu A < ta khơng

được bình phương” Các bạn nên nhớ việc bình phương biểu thức làm ! Chỉ cần lưu ý việc bình phương làm thay đổi tập xác định biểu thức, tập xác định A khác A2(ở tập xác định chúng nhau) Có bạn cho : “A > nên A = 1 không thỏa mãn”

Xin trao thưởng cho bạn lập luận xác : Tạ Hương Quỳnh, số 99, đường Nguyễn Trãi, TX Hưng Yên, Hưng Yên ; Trần Anh Đức, 9A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị Hải Lý, 9B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương,

Nghệ An ; Đậu Thế Vũ, 6B, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An; Nguyễn Thị Lan Hương(con bố Sơn), THCS Trung Sơn, Gio Linh, Quảng Trị

Anh KÝnh Lóp

1 x A

1 x  

   

x x x 3 x              

x x x 3 x              

x x x x

           

x x x x

           

(TTT2 sè 24) THẬT LÀ ĐƠN GIẢN

l Kết :

l Kì :

Bài tốn : Cho hình thoi ABCD Điểm M nằm hình thoi (M khác giao điểm hai đường chéo) cho Các đường thẳng MC, MD cắt AB E, H ; đường thẳng AM cắt BC F ; đường thẳng BM cắt AD G

Chøng minh EF vuông góc với HG

Lời giải :

Dùng AID cã AI // MB vµ DI // MC DÔ thÊy AID  BMC (g.c.g) suy AI BM AIMB hình bình hành

Lại có nên

(theo giả thiết) IAMD tứ giác nội tiếp

Từ (1) (2) suy

 ABG  ADH (g.c.g) AG AH, mặt khác AD AB nên theo định lí Ta-lét đảo ta có GH // DB

Tương tự ta chứng minh EF // AC, mà DB AC nên EF HG

Quả thật lời giải thực đề toán hay ! Các bạn nghĩ ? phan lê nhật (113, THPT Quốc Học Huế, TP Huế)

 

ABM ADM

 

AIM ADM (2)

 

    o

IAM IDM BMA CMD 180   

   

BMA IAM ; CMD IDM 

 

AIM ABM (1)

 

  o

AMB CMD 180  

5

ĐO TRÍ THÔNG MINH

Tạp chí Tốn Tuổi thơ tổ chức OLYMPIC Tốn Tuổi thơ lần thứ vào tháng dành cho em học sinh Tiểu học tỉnh, thành phố phía Bắc Nhân dịp xin mời bạn thi tài hưởng ứng thi

Bài : Thử đọc “mật mã” với chìa khóa : Đường mã xuất phát chữ C Biết : Trong bảng thiếu chữ cuối Chữ chữ nằm ?

Bài 2: Thử đọc “mật mã” :

gnôchnàhtihtcộuccúhc

Bi gii ca bn o Vn Thng, 9A, THCS Hn Thuyờn, Lng Ti,

Bắc Ninh:

Xuân thử trí thông minh So tài câu thấy tài hoa

S nm (5) i s hai ba (23) Thay vào đẳng thức, tức

Câu hai hỏi ý hay

Tôi chọn bia có sai không ? Ba lần vòng tám bắn vào

Hai ln vũng by cng vo xong ! Năm chúc báo thành công Nơi nơi đón đọc đợi trơng báo

Bạn Đào Văn Thắngvà bạn sau thưởng kì : Doãn Thành Luân ; Kiều Thùy Dương, 7C, THCS Phùng Hưng, TX Sơn Tây, Hà Tây ;

Hoµng Khánh Vũ, 8G, THCS Lê Mao, TP Vinh, Nghệ An ; Trần Đình Anh, 6C, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ,

Hà Tĩnh

Nguyễn Đăng Quang

l Kết :

l Kì :

Thư tài OLYMPIC Toán Tuổi thơ !

6

Các bạn học sinh lớp thân mến ! Trong TTT2 số số 16 đề cập đến việc sử dụng diện tích chứng minh hình học số tốn diện tích Trong viết tơi xin nêu thêm số ứng dụng khác diện tích tam giácvào việc chứng minh số dạng tập

1 Quan hệ đoạn thẳng

Bi toỏn : Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC trung tuyến AM D, E, F Chứng minh rng FD FE

Lời giải : Hạ DK EH vuông góc với AM (K, H thuộc AM) Ta cã :

S(ABM)  S(ACM) (chung đường cao, hai đáy nhau) ;

S(DBM)  S(ECM) (đường cao nhau, hai đáy nhau)

Suy S(DAM)  S(ABM)  S(DBM)  S(ACM) S(ECM) S(EAM)

Hai tam giác DAM EAM lại có chung đáy AM nên đường cao hạ xuống AM hay DK  EH Từ ta có KDF  HEF (g.c.g) suy FD FE

Lời bình : Bài tốn khơng có khó khăn ta dùng định lí Ta-lét, nhiên kiến thức diện tích kiến thức hình học lớp tốn chứng minh gọn gàng đẹp đẽ

Bài toán : Cho tam giác ABC, N trung điểm trung tuyến AM Tia BN cắt cạnh AC K Chứng minh :

Lời giải : DÔ thÊy S(ABN)  S(BMN)  S(CMN) S(CAN) suy

Mặt khác cặp tam giác NAK NCK ; BAK BCK có chung đường cao tương ứng với hai đáy AK, CK nên

Suy AK 1CK.Từ



AK S(BAK) S(NAK) CK S(BCK) S(NCK)

S(BAK) S(NAK) S(ABN) S(BCK) S(NCK) S(CBN)

 



  



S(ABN) S(CBN) 2

1

AK CK ; NK BN

2

nguyn khánh nguyên (THCS Hồng Bàng, Hải Phòng) BAỉN VI CC BN LP V

7

suy hai tam

giác có chung đường cao tương ứng với hai đáy NK, BN

Lêi b×nh : NÕu sư dụng kiến thức đường trung bình tam giác toán quen thuộc Đáng tiếc lớp chưa học đường trung bình

2 Chứng minh đồng quy, thẳng hàng Bài toán : Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Chứng minh BE CD cắt AM

Lêi gi¶i : Gäi giao điểm DE AM F, theo toán ta cã FD FE, suy S(BDFM) S(BFD)  S(BFM)  S(CFE)  S(CFM) S(CEFM) (1)

Gäi giao điểm BE CD O, nối OF, OM ta cã S(DOF) S(EOF) (do FD  FE) ; S(BOM)  S(COM) ; S(BDO)  S(CEO) (do S(BDC) S(BEC))

Suy S(BDFOM)  S(CEFOM) hay đường gấp khúc FOM chia đơi diện tích hình thang BDEC (2) Từ (1) (2) suy S(FOM) 0 F, O, M thẳng hàng O thuộc FM (đpcm)

Lời bình : 1) Đôi để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta phải chứng minh tam giác có ba đỉnh ba điểm có diện tích

2) Kết hợp kết toán 1và tốn 3ta có tốn sau : “Trong hình thang, giao điểm hai cạnh bên kéo dài, giao điểm hai đường chéo hai trung điểm hai đáy bốn điểm thẳng hàng”

(Bổ đề hình thang)

Bài tốn : (tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Trong tam giác, ba đường trung tuyến đồng quy điểm đồng quy chia trung tuyến theo tỉ số kể từ đỉnh

Lêi giải : Vẽ trung tuyến BE CF cắt G Nối AG cắt BC M Ta sÏ chøng minh MB MC

Ta cã

suy S(BGF) S(CGE)

S(AGF) S(BGF)  S(CGE) S(AGE) S(ABG) S(ACG) (*) Hạ đường vuông góc BH, CK tíi AM Do (*) nªn BH  CK, suy S(GBM) S(GCM) BM CM Mặt khác, S(ABG)  2S(AGE) suy BG  2GE hay

Tương tự ta có :

Lời bình : Đây tính chất quan trọng hình học hạn chế kiến thức (chưa học đường trung bình tam giác) nên đưa vào chương trình lớp yêu cầu học sinh thừa nhận

(Kì sau đăng tiếp)

AG CG AM CF 3  BG

BE 3

1

S(ABE) S(ACF) S(ABC)

 

2 S(ANK) NK 1BN

S(ABN) 3  3

1 1

S(ANK) S(CNK) S(NAC) S(ABN)

2 3

8

Trong số này, tiếp tục giới thiệu số thi trắc nghiệm năm 1999 ; 2000

Bài Một tàu hỏa từ A vào lúc x y phút đến B lúc y z phút ngày Thời gian từ A đến B z x phút (số tính từ đến 24) Hỏi x nhận giá trị ?

(A) (B) (C) (D) (E) lín h¬n

Bài Bài hát Twinkle, Twinkle Little Star (Ngôi nhỏ lấp lánh) có nốt CCGGAAG (đồ đồ son son lá son) dịng đầu, nốt có trường độ Nếu xếp nốt theo thứ tự ngẫu nhiên, tạo nên giai điệu khác ?

(A) 5040 (B) 210 (C) 105 (D) 72 (E) 120

Bµi 3.NÕu m, n số tự nhiên cho m2+ n2b»ng (A) 25 (B) 37 (C) 29 (D) 40 (E) 41

Bài Trong hình sau, AC, AB, BC đường kính, BD tiếp tuyến chung hai đường tròn nhỏ, D nằm đường tròn lớn Cho DB = 10 Lúc đó, độ dài đoạn thẳng PQ

(A) (B) (C) (D)

(E) số câu trước

Bài Giả sử góc nhọn x có tgx  Khi đó, sinx

(A) (B) (C) (D) (E)

Bài Cho tam giác ABC vuông B hình vẽ Nếu AD = DC = (A) BD 3,1 (B) BD 3,2 (C) BD 3,5 (D) BD vng góc AC (E) Các câu không

3 5

5

5

5

1

6 3 10

7 48  m n

gIèI THIỴUỴ

ThS Nguyễn Văn Nho(NXBGD)

9

Bài 1.Trả lời :(D) 32o

Bài 2.Trả lời :(A) 2,1

Gọi x (đồng) giá bút y (đồng) giá thước Ta có :

Bài 3.Trả lời :(E)

Diện tích hình tròn đen : .12 (cm2)

Diện tích hình tròn : (1 1)24(cm2)

Diện tích hình tròn : (1 1)29(cm2)

Vậy diện tích vành đen bên : 9 4 5(cm2)

VËy diƯn tÝch vµnh ngoµi cïng lớn gấp hình tròn : 5: (lần)

Bài 4.Trả lời :(B) 30 cm

Gọi x1, x2, x3, x4, x5 độ dài (cm) đường kính đường trịn nhỏ, d độ dài (cm) đường kính đường trịn lớn Khi đó, tổng chu vi đường trịn nhỏ :

(x1x2x3x4x5)  d 30 (cm)

Bài Trả lời :(D)

Cách :

Ta cã x46x225 (x25)2(2x)2 (x22x 5)(x22x 5)

Nh­ vËy, p(x) chØ cã thĨ lµ mét hai tam thức x22x 5, x22x

Mặt khác, phép chia đa thức, ta thấy 3x44x228x chØ chia hÕt cho tam thøc x22x 5 VËy ph¶i cã p(x) x22x 5, suy p(1) 4.

C¸ch :

Vì p(x) thừa số phân tích thành nhân tử x4 6x2 25 3x44x228x nên p(x) phải nhân tư cđa 3x44x228x 5 3(x46x225)  14(x22x 5)

Suy p(x) x22x 5 vµ p(1) 4 2x 3y 1,9 x 0,5 3x 2y 2,1.

x y 0,2  y 0,3

    

    

 

10

A- Lí thuyết : (2 điểm)Thí sinh chọn hai đề sau :

Đề Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn số nghiệm

Hãy tìm nghiệm chung hai phương trình : x  4y  x 3y  4

Đề 2.Phát biểu định lí góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Chứng minh định lí trường hợp hai cạnh góc cắt đường trũn

B- Bài tập bắt buộc : (8 điểm) Bài :(2,5 điểm)Cho biểu thức a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P, biết c) Tìm giá trị x thỏa mÃn :

Bi : (2 điểm)Giải toán sau cách lập phương trình : Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác, tổ hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cơng việc ?

Bài : (3,5 điểm)Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K

a) Chứng minh bốn ®iĨm C, O, H, N cïng n»m trªn mét ®­êng trßn b) Chøng minh KN.KC = KH.KO

c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN

d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F

Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ

P x x 3   x 4.

x

2

 

1 x 1 x

P x :

x x x x

 

   

      

   

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS

(Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004)

11

I LÝ thuyÕt : (2 ®iĨm)Chän mét hai c©u sau :

1/ Phát biểu chứng minh định lí Vi-ét (hệ thức Vi-ét) phần thuận

áp dụng : Cho phương trình 7x231x 24 0 a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x1, x2là hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính x1x2x1.x2

2/ Viết cơng thức tính độ dài đường trịn, cung trịn (có ghi kí hiệu cơng thức)

áp dụng : Tính độ dài cung 90ocủa đường trịn đường kính 6dm

II Bài tập bắt buộc : (8 điểm)

Bài :(1 điểm)Giải phương trình hệ phương trình :

Bài :(1,5 điểm)Vẽ parabol (P) : đường thẳng (D) : y = 3x hệ trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phép tính

Bài : (1 điểm)Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng có diện tích 1792m2 Tính chu vi khu vườn

Bài :(1 điểm)Thu gọn biểu thức sau :

Bài :(3,5 điểm)Trên đường tròn (O, R) đường kÝnh AB, lÊy hai ®iĨm M, E theo thø tù A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C ; AE cắt BM D

a) Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vuông góc với AB b) Gọi H giao điểm CD AB Chøng minh BE.BC = BH.BA c) Chøng minh c¸c tiếp tuyến M E đường tròn (O) cắt điểm nằm đường thẳng CD

d) Cho biết Tính diện tích tam giác ABC theo R

 o

BAE 30 

 o

BAM 45

a) A 3.( 2) 2 2

b) B

3 2

  

 

  

 

7

x y

2  

a) 9x 2x 32 4x 3y b)

5x 2y

  

  

   

(Năm học 2003-2004)

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS

(Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004) (Năm học 2003-2004)

12

Bµi 1(24) :Tìm giá trị nhỏ biểu

thc ú a, b, c

là số thực tháa m·n ®iỊu kiƯn a b c >

Lời giải :(của nhiều bạn) Biến đổi ta có

do a b c >

Đẳng thức xảy vµ chØ ba sè a, b, c cã Ýt nhÊt hai sè b»ng

VËy giá trị nhỏ P

Nhn xột :Tất bạn giải toán dẫn đến bất đẳng thức (*) Có nhiều cách dẫn đến bất đẳng thức (*) cách biến đổi đơn giản Các bạn lớp lớp sau có lời giải tốt : Tạ Hồng Hà, 7A3, THCS Lâm Thao ; Nguyễn Thị Hồng Hà ; Lê Thu Trang, 8B, THCS Phong Châu, Phú Thọ ; Cấn Mạnh Hùng, 8C, THCS Thạch Thất, Hà Tây ; Nguyễn Thị Tâm, 8A2, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Doãn Tiến Đạt, 7C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ ;

Phan Ngäc HiÕu, 8/3, THCS Lê Quý Đôn,

TP Hi Dng ; Dương Hồng Hưng, 7B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương ; Nguyễn Thị Vân An, 8G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh ; Lê Tuấn Hiệp, 8C, THCS Thái Sơn, Đô Lương, Nghệ An ; Nguyễn Viết Công, 8I, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh ;

Phan Thị Phương Thùy, 8A, THCS Phan Huy Chú, Thạch Hà, Hà Tnh

Nguyễn Minh Đức Bài 2(24) :Tồn hay không số nguyên n thỏa mÃn n3+ 2003n = 20052005+ ?

Lời giải :Giả sử tồn số nguyªn n tháa m·n hƯ thøc

Ta cã n3 + 2003n = n3  n + 2004n = = (n 1)n(n + 1) + 668.3.n

Vì n 1, n, n + ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Do (n  1)n(n + 1) chia hết cho Suy n3+ 2003n chia hết cho (1)

Mặt khác 20052005+ = (2004 + 1)2005+ mà 2004 chia hết 20052005+ chia cho dư (2) Từ (1) (2) dẫn đến mâu thuẫn, tức khơng thể có số nguyên n thỏa mãn hệ thức

Nhận xét :Tất bạn giải Có bạn chứng minh vế trái chia hết cho vế phải khơng chia hết cho để khẳng định khơng có số nguyên n thỏa mãn Các bạn trình bày lời giải rõ ràng ngắn gọn : nhiều bạn lớp 6A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Xuân Đạt ; Trần Hồ Nam ; Nguyễn Hưng Thịnh, 6/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Đào Xuân Dương, 6A2, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên ; Tô Văn, 5A, TH Tứ Trưng, Vĩnh Tường ; Lê Thị Tuyết Mai, 6A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ;

2

a b c

a b b c c a

a b b c c b b a

2(a b) 2(b c) 2(c a)

a b 1 b c 1

2 a b c a b c c a

(a b)(c b) (b c)(a b) 2(a b)(c a) 2(b c)(c a) (a b)(b c) 1

2(c a) b c a b (a b)(b                                                                                

 c)(a c) (*)

2(a b)(b c)(c a)    P

2  

a b c

P ,

a b b c c a

  

  

THI GIẢI TOÁN QUA THƯ

13

Nguyễn Huy Linh, 7B, THCS Yên Bái, n Định, Thanh Hóa ; Nguyễn Thị Bích Ngọc, 7A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Nguyễn Minh Trang, 6E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh ; Hồng Trung Nhật, 6A, THCS n Sơn, Đơ Lương, Nghệ An ; Hoàng Bảo Trang; Phan Ngọc Hiếu;

Nguyễn Ngọc Minh ; Nguyễn Anh Tú, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương ; Phạm Văn Huy, 8C5, THCS Chu Văn An, TP Hải Phòng, Hải Phòng ;

Nguyễn Như Đức Trung, 9/1, THCS Lý Thường Kiệt, Q Hải Châu, TP Đà Nẵng, Đà Nẵng ; Nguyễn Việt Hồng, 9A1, THCS Ngơ Sĩ Liên, Hồn Kiếm, Hà Nội ; Nguyễn Hằng Nga, 7A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh ; Lưu Thị Kim Ngân, 97, THCS Lê Q Đơn, Thăng Bình, Quảng Nam ; Nguyễn Văn Ngọc, 8H, THCS Nguyễn Huệ, TX Đông Hà, Qung Tr

LTN Bài 3(24) :Đặt

Chứng minh số nguyên

Lời giải : Ta có

Vậy số nguyên

Nhận xét : 1) Lời giải sử dụng kết quen thuộc

Ta mở rộng toán với tổng A, B có 2n số hạng

2) Các bạn có lời giải tốt : Trần Hồ Nam, 6/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hµ TÜnh,

Hà Tĩnh ; Phạm Thị Thùy Nga, 6/1, THCS Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hịa; Phạm Hồng Vũ, 6C, THCS Lí Thường Kiệt, Hà Trung, Thanh Hóa; Lê Thị Ngọc Trâm, 7/2, THCS Trần Hưng Đạo, TP Biên Hòa, Đồng Nai ; Phan Ngọc Hiếu, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương

nguyễn anh quân Bài 4(24) : Cho tam giác ABC có điểm M thuộc BC Gọi E F hình chiếu vng góc M AB AC ; O trung điểm EF ; Q hình chiếu vng góc A đường thẳng OM Chứng minh M chuyển động BC Q ln thuộc đường trịn cố định

Lời giải :(của nhiều bạn)

(Xem tiếp trang 26)

1 1

k(k 1) k k 1    A 3010 1505

B  

1 1

1004x2006 1005x2005 2006x1004

B

2 ( 1 ). 3010 1004 1005 2006

   

   

1 1 1 (1 ) 2( )

2 2006 2006

1 1

A

1x2 3x4 2005x2006

1 1 1

1

2 2005 2006

1 1 1

(1 ) ( )

3 2005 2006

1 1 1

(1 ) (1 )

2 2006 1003

1 ;

1004 1005 2006

       

   

               

        

   

A B

1

1004 x2006 1005x2005 2006x1004

B   

1 1 1x2 3x4 2003x2004 2005x2006

14

ngnd vũ hữu bình(Tác giả s¸ch gi¸o khoa)

Với quan điểm bám sát mục tiêu đào tạo mục tiêu cấp học, coi trọng tính sư phạm mà đảm bảo tính khoa học, tăng thêm nhiều tập có tình có tính thực tiễn, chương Đường trịnđược cấu tạo trình bày phù hợp với tiếp thu học sinh, giúp giáo viên học sinh dễ dạy, dễ học

1 LÝ thuyÕt gän gµng - võa søc

- Khơng học quỹ tích điểm M cho AB đoạn thẳng cho trước, điều học chương sau Cung chứa góc Tuy nhiên giới thiệu kiến thức để học sinh vận dụng làm tập : Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền ; tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng

- Diễn đạt định lí gọn rõ để dễ học dễ vận dụng, chẳng hạn định lí liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây :

- Bổ sung thêm định lí vận dụng nhiều giải tập : Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm

- Một số định lí xếp phần tậpcủa sách cũ, chuyển vào phần học

của sách mới, chẳng hạn :

2 Hệ thống câu hỏi hợp lí

Trong sỏch mi, cú nhiều câu hỏi chừnggiúp học sinh tiếp cận với kiến thức mới, củng cố kiến thức mới, giúp giáo viên đổi phương pháp dạy học, vừa giảng vừa luyện, phát huy tính tích cực chủ động học sinh

Chẳng hạn Đ7 Vị trí tương đối hai đường trịn, có câu hỏi chừng sau :

 o

AMB 90

Chương đường trịn SGK tốn nhiều kiến thức thiết thực bổ ích

15

3 Bài tập thiết thực - đa dạng

Trong tập chương đường trịn, ngồi dạng quen thuộc tính tốn, chứng minh, cịn có dạng tìm tập hợp điểm, dựng hình, tìm vị trí điểm để đại lượng đạt giá trị nhỏ lớn Có tập thực giấy kẻ ô vuông, tập gắn với mặt phẳng tọa độ, tập gắn với hoạt động thực hành (gấp bìa để tìm tâm đường trịn, vẽ hình lọ hoa giấy kẻ vng, bánh xe dây cua-roa )

Các tập chọn lọc nhằm củng cố nhiều kiến thức lí thuyết Chẳng hạn để chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường trịn, có nhiều tập đòi hỏi cách làm khác : 18 dùng cách chứng minh hai độ dài nhau, 21 dùng cách chứng minh góc vng định lí Py-ta-go đảo, 24 dùng cách chứng minh góc vng xét hai tam giác nhau, 41 (câu d) dùng cách chứng minh góc vng xét tổng số đo hai góc Các tập chương thường đơn giản, có nhiều hướng khai thác nâng cao Chẳng hạn :

Bài 11 :Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh CH = DK

Hướng khai thác : Xét toán tương tự, trường hợp dây CD cắt đường kính AB, kết luận tốn

Bài 16 :Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên đường trịn Vẽ dây BC vng góc với OA A Vẽ dây EF qua A khơng vng góc với OA So sánh độ dài hai dây BC EF

Hướng khai thác : Diễn đạt toán nội dung toán cực trị : Trong dây qua điểm A, tìm dây có độ dài nhỏ

Bài 30 : Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Gọi Ax, By tia vuông góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By theo thứ tự C vµ D Chøng minh r»ng CD = AC + BD

Hướng khai thác : Thêm câu hỏi nâng cao cho tốn : - Tìm vị trí điểm M để đoạn thẳng CD có độ dài nhỏ - Tìm vị trí điểm M để tứ giác ACDB có chu vi nhỏ - Tìm vị trí điểm M để tứ giác ACDB có diện tích nhỏ

4 Bài đọc thêm phong phú

Trong chương có đọc thêm giới thiệu ứng dụng toán học kĩ thuật đời sống Học sinh biết thước chữ T; thước phân giácđể tìm tâm đường trịn, thước cặp(pan-me) để đo đường kính vật hình trịn Học đến tiếp tuyến đường trịn, học sinh biết cơng thức gần để tính tầm nhìn xa tối đa d (tính km) người quan sát độ cao h (tính km) so với mặt nước biển Học sinh biết xe lửa đổi hướng chạy từ đường thẳng sang đường cong đường cong phải “vẽ chắp nối chơn” với đường thẳng, tức hai đường phải tiếp xúc

Những kiến thức thực tiễn giúp học sinh vui học hơn, nhớ lâu kiến thức hơn, đồng thời mở rộng tầm hiểu biết nhiều lĩnh vực

Hi vọng chương Đường trịncũng tồn Sách giáo khoa Toán mang đến cho bạn đọc nhiều điều bổ ích thú vị

d 80 2h

16

Trời sẩm tối, thám tử Sê-Lốc-Cốc đang chuẩn bị rời văn phịng thì chng điện thoại réo vang

- A lô ! Xin chào thám tử ! Xin lỗi đã làm phiền ngài vào lúc muộn !

- Khơng ! Có việc anh nói ! - Thưa thám tử ! Tơi Giơn, hàng xóm tiểu thư Pa-li-ni Tại nhà cô ấy vừa xảy vụ trộm tranh quý giá. Xin phiền thám tử đến giúp !

- Được rồi, ! - Thám tử trả lời vui vẻ.

Nói rồi, thám tử Sê-Lốc-Cốc vội và lên xe, phóng

Tới nơi, thám tử thấy tiểu thư Pa-li-ni đang bước loạng choạng hành lang, miệng gào thét om sòm Mái tóc đen của ta ướt sũng.

Th¸m tư Sª-Lèc-Cèc hái :

- Thưa tiểu thư, bình tĩnh kể lại chuyện cho tơi nghe ! Biết đâu, tôi giúp cô !

TiÓu th­ võa khãc võa kÓ :

- Thưa thám tử ! Giá mà không mở cửa phịng ngủ khơng xảy ra

17

ngủ, nhận tranh tiếng treo tường Bức tranh vô cùng quý giá Trước kia, ông nội phải bỏ ra khoản tiền khổng lồ mua Đó là bức tranh

Khơng đợi tiểu thư nói nốt, thám tử Sờ-Lc-Cc vi ngt li :

- Xin lỗi tiểu thư, nhiều thời gian nên mạn phÐp hái lu«n nhÐ !

- Thưa thám tử, ngài hỏi Tôi xin khai báo đầy đủ xác ! - Tiểu thư Pa-li-ni lễ phép nói.

- Tơi muốn hỏi cần tiền cơ khơng bán tranh đắt lại phải tốn công dàn dựng câu chuyện vơ lí ?

Tiểu thư đỏ bừng mặt ngây người một lúc Cuối cô ta đành phải thú nhận :

- Thưa thám tử định bịa ra chuyện tranh để nhận tiền bảo hiểm sau định bán

* Đố bạn biết, vào đâu mà thám tử Sê-Lốc-Cốc đoán tiểu thư Pa-li-ni bịa câu chuyện tranh ?

Nhắn tin : Xin tác giả cho địa xác hơn để TTT liên lạc Cảm ơn.

(TTT2 sè 24)

Lần này, hai kẻ xấu “đồng tâm hợp lực” để gây án và đánh lừa quan điều tra, nhưng thám tử “Tuổi Hồng” vẫn phá án vô nhanh gọn. Kết luận bạn trùng với kết luận thám tử Sê-Lốc-Cốc tài ba : Hai kẻ gây án ông Giôn hầu Sa-ra Ơng Giơn khai xem bọn trẻ thả diều từ sáng sớm, hơm trời mưa đến tận 30 phút Cơ Sa-ra nói bị đánh mạnh bị ngất vừa mở cửa phịng Vậy khay thức ăn bê vào không bị văng xuống sàn nhà mà lại nằm ngay ngắn bàn ?

Năm bạn trao giải kì này : Nguyễn Thị Minh Tâm, 9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh; Hoàng Huệ Linh, 7C, THCS Liên Bảo, TX Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Phan Duy Hà, 6E, THCS TT Kì Anh, Hà Tĩnh; Võ Thị Ngọc Ly, lớp 9/5, THCS Trần Phú, Tam Đàn, TX Tam Kì, Quảng Nam ; Nguyễn Thị Linh Chi, 6/3, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Hu.

Thám tử Sê-Lốc-Cốc

L

18

Bài toán :Cho ba số dương a, b, c Chứng minh

Khi giải tốn này, tơi tìm cách, xin chia sẻ bạn

Cách : áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Cô-si cho số dương ta cú :

(*), điều phải chứng minh

Cách : áp dụng BĐT Cơ-si ta có tương t

Cộng theo vế BĐT ta suy điều phải chứng minh

Cách :Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski ta có

(*), điều phải chứng minh

Cách : Không tính tổng quát, giả sử a b c > 0, suy :

với a, b, c dương (*) BT ỳng

Cách :Cũng giả sử a b c > 0, suy

áp dụng BĐT Trê-bư-sép cho số :

(theo cách 1) Hi vọng bạn tìm nhiều cách giải khác cho toán

1 (a b c).9 a b c

18  2

   

2 2

2 2

2

a b c

b c c a a b

1(a b c ) 1

3 b c c a a b

1(a b c) 1

9 b c c a a b

                                 

2 2 1

a b c ;

b c c a a b

   

  

2 2

(a b) (b c) (c a) 0 4(c a)

    

 



2 2 2

4a (b c) 4b (c a) 4c (a b) 4(c a)

        



2 2 2

4a (b c) 4b (c a) 4c (a b) 4(b c) 4(c a) 4(a b)

       

  



2 2

4c (a b) 4c (a b) 4(a b)   4(c a) 

2 2

4a (b c) 4a (b c) ; 4(b c)   4(c a) 

2 2

a b c (b c c a a b)

b c c a a b

 

         

    

 

2

b c a b ; c a b c. c a  4  a b  4 

 

  

 

2

a b c 2 a .b c a ;

b c b c

c a b (a b c) 3(a b c) a b b c c a       2  

 

  

a b c a b c a b c

a b b c c a

c a b

a b b c c a

     

   

  

   

  

1 1

suy 2(a b c)

a b b c c a

 

     

  

 

1 1 33

a b b c c a      (a b)(b c)(c a)   0

3

2(a b c) (a b)(b c)(c a) ;       2

a b c a b c (*).

b c c a a b       2

2

a b c b c a c a b b c   c a   a b 

 

 

 

u u u u u u u u u u u u u u u u Thân ngọc thành (12A, THPT Năng khiếu Ngô Sĩ Liên, B¾c Giang)

THỬ TÌM NHIỀU CÁCH GIẢI

19

Đây tốn khó Chỉ có võ sĩ bước lên sàn đấu Rất đáng mừng, lời giải võ sĩ Tuy nhiên, có lời giải coi hay, ngắn gọn khơng cần nhiều đường kẻ phụ, lời giải phương pháp diện tích võ sĩ Bùi Văn Quyết, THCS Thái Hòa, Thái Thụy, Thái Bình Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải

Nèi MX, BX, BY, CX, CZ Ta cã :

Từ đó, với ý

ta cã : (1)

Mặt khác, YZ // BC nên ta cã :

(2) Tõ (1) vµ (2) suy

Đương nhiên, võ sĩ Quyết, tác giả biến đổi diện tích “nghệ thuật”, người đăng quang trận đấu

Ngun Minh Hµ

XP MB XN MC

S(XMB) S(YMB) S(MXY) S(BXY) S(XMC) S(ZMC) S(MXZ) S(CXZ) 

 

 

MB S(XMB) S(YMB) MC S(XMC) S(ZMC) 

XP S(MXY) S(BXY) XN S(MXZ) S(CXZ) 

S(PXY) S(BXY) (v× BP // YX) S(NXZ) S(CXZ) (v× CN // ZX)

 

 



XP S(MXP) S(MXY) S(PXY) XN S(MXN) S(MXZ) S(NXZ)  

(TTT2 sè 24)

lNgười thách đấu : Tng Thnh V,

lớp KTVT-B-K41-ĐHGTVT Hà Nội

lBi tốn thách đấu :Cho tam giác ABC

cã C¸c ®iĨm D, E thc c¹nh BC cho

M điểm thuộc cạnh AB, MC cắt AE L, ME cắt AD K Chứng minh : KL // BC

lXuÊt xø :S¸ng t¸c

lThời hạn nhận thách đấu :

Trước ngày 15 - 05 - 2005

  

BAD DAE EAC. 

 

20

SUY NGHĨ TỪ CÁC BAØI TẬP

Các em học sinh lớp thân mến ! Đứng trước kì thi quan trọng kì thi tốt nghiệp THCS kì thi tuyển sinh vào THPT, em trăn trở làm để khắc sâu kiến thức nhanh đạt kết cao kì thi

Một bí nhỏ tơi : suy nghĩ sâu từ tập sách giáo khoa (SGK), hệ thống chúng lại để dễ ghi nhớ vận dụng tốt cho tập

Sau ví dụ để em thấy tập SGK tập s cho nhiu bi khỏc

Ta tập 11 trang 37 SGK Hình học 9:

Bài tốn : Cho đường trịn (O) điểm M cố định không nằm đường tròn Qua M vẽ cát tuyến cắt đường tròn A B Chứng minh tích MA.MB khơng phụ thuộc vị trí cát tuyến

Nhận xét : Chứng minh toán đơn giản, ta xét hai trường hợp điểm M nằm điểm M nằm (O) Trong hai trường hợp ta vẽ thêm cát tuyến MCD (khác cát tuyến MAB)

Dễ dàng chứng minh hai tam giác MAC MDB đồng dạng, suy MA.MB  MC.MD

Nhận xét : Nếu vẽ cát tuyến MCD qua O (CD đường kính) ta cịn đưa kết luận mạnh : MA.MB  |MO2R2| (R bán kính (O)) Kết chứng minh TTT2 số 12

Nhận xét : Trường hợp M nằm (O), cát tuyến MCD trùng với tiếp tuyến MT đường tròn (C D T), hiển nhiên ta có MC.MD  MT2 MA.MB Đây nội dung tập trang 40 SGK Hình học

NhËn xÐt : Kết hợp với tính chất tứ giác nội tiếp ta chứng minh toán sau :

Bi toán : Cho tứ giác ABCD AB cắt CD M AC cắt BD N Chứng minh khẳng định sau tương đương :

a) ABCD tứ giác nội tiếp b)

c)

d) MA.MB MC.MD e) NA.NC NB.ND

NhËn xÐt : Xét hai đường tròn giao (với cát tuyến chung qua hai giao điểm) ta có kết khác

Bi toỏn : Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt hai điểm A B Qua điểm M nằm đường thẳng AB kẻ hai cát tuyến MCD, MEF tới (O1), (O2) (MAB, MCD, MEF không trùng nhau)

a) Chứng minh CDFE tứ giác nội tiếp b) Kết luận cịn khơng

  o

ABC CDA 180  

 

ACB ADB.

TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 9

21

(O1) vµ (O2) tiÕp xóc víi (M n»m trªn tiÕp tun chung cđa hai ®­êng trßn) ?

Bài tốn : Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt hai điểm A B Trên tia đối tia BA lấy điểm M khác B Qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD (O1) hai tiếp tuyến ME, MF (O2) Chứng minh C, D, F, E nằm đường trịn

NhËn xÐt : Bỉ sung số yếu tố khác đường tròn ta lại có thêm nhiều kết khác

Bài toán : Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc với A BD tiếp tuyến chung hai đường tròn (B thuộc (O2), D thuộc (O1)) Gọi DM đường kính (O1), qua M kẻ tiÕp tuyÕn MC víi (O2) Chøng minh MC MD

Lời giải : Ta có BDO1O2là hình thang vuông, A thuộc O1O2; O1AD O2AB tam giác cân O1 O2 suy M, A, B thẳng hàng

Vậy DA đường cao tam giác vuông DBM, suy MD2 MA.MB, mặt khác MC2MA.MB (theo nhËn xÐt 3).

VËy MC2MD2hay MC MD

Đề nghị bạn giải tập sau : Bài tốn :Cho đường trịn (O) tiếp xúc với Mx, My A, B Qua A vẽ đường thẳng song song với My cắt (O) điểm thứ hai C Đoạn thẳng MC cắt (O)

tại điểm thứ hai D, AD cắt My K Chứng minh K trung điểm MB

Bài toán :Từ điểm M nằm đường tròn (O) vẽ cát tuyến MAB tới đường tròn (A nằm M B) Hai tiếp tuyến với (O) A B cắt C ; MO cắt đường tròn đường kính OC H ; CH cắt AB N ; AB cắt OC I Chøng minh r»ng :

a) MA.MB MI.MN b) IM.IN IA2

Bài toán : Cho (O, R) điểm A cố định cho OA 2R Gọi BC đường kính (O, R), BC khơng trùng với OA Đường tròn qua A, B, C cắt đường thẳng OA điểm thứ hai I ; AB AC cắt (O, R) D E ; DE cắt OA K

a) TÝnh AK theo R

b) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE di chuyển đường thẳng cố nh BC quay quanh O

Bài toán : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên AB lấy điểm M, vẽ hai tia Mx, My cắt nửa đường tròn hai điểm C D cho

Chứng minh MC.MD MA.MB

Bài toán 10 :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường phân giác AD cắt (O) điểm thứ hai E Chøng minh r»ng :

AB.AC = AD2+ DB.DC

Bài toán 11 :Cho hai đường tròn (O, R) (O, R) tiếp xúc với A Gọi D điểm thuộc (O) Kẻ tiếp tuyến DA’ víi (O’)

a) Tính độ dài DA’ theo DA, R, R’ b) Vẽ tam giác DBC nội tip (O)

Bài toán 12 :Cho tam giác ABC, trung tuyến AM phân giác AD Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB, AC theo thứ tự t¹i E, F Chøng minh r»ng BE CF

 

CMA DMB.



xMy

  o  o

1

22

Bài Tìm số dư phép chia a = 2345678901234 cho b = 4567

Bµi T×m sè d­ cđa phÐp chia a = 2004376cho 1975

Bài Tính đường dài thực tế hai điểm cách 3,5 cm đồ tỉ l 1/50000

Bài 4.Cho đa thức bậc bốn

P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d cã P(1) = ; P(2) = 13 ; P(3) = 33 ; P(4) = 61 TÝnh P(5) ; P(6) ; P(7) ; P(8)

Bài 5.Máy tính bị hỏng : sử dụng

được phÝm ; ; ; ; ; H·y lËp quy trình bấm phím biểu diễn ngày 27/8/1990

Bi Dự báo với mức độ tiêu thụ dầu không đổi nay, trữ lượng dầu nước hết sau 50 năm Nếu thay mức độ tiêu thụ dầu không đổi, nhu cầu thực tế, mức độ tiêu thụ dầu tăng lên 5%/năm Hỏi sau năm số dầu dự trữ hết ? (Bài 1; 2; 3của tác giả : Nguyễn Trường Chấng, Công ty BITEX, 110 đường Hậu Giang, TP Hồ Chí Minh)

giải toán máy tính điện tử casio năm 2005

KT QU Kè TH HAI

Bài 1.Đáp số :A =

Lời bình : Làm tính dễ (khơng phải nghĩ !), đáp số chưa bảo đảm xác tuyệt đối Làm tốn hay hơn, đáp số xác (nhưng khó chút)

Bµi

2.1.Số thời gian để trả hết nợ 67 tháng

2.2.n = 68 tháng

Lời bình : Đề cho lÃi suất r = 0,04%/tháng LÃi suất r = 0,4%/tháng hợp lí Khi n = 78 tháng

Bài

3.1.Tớnh im trung bỡnh, phương sai độ lệch chuẩn :

Lớp 9A Giá trị trung bình : (6.658) ; Độ lệch chuẩn : (1.933) ; Phương sai : (3.73)

Lớp 9B Giá trị trung bình : (6.658) ; Độ lệch chuẩn : (1.299) ; Phương sai : (1.688)

3.2.B¶ng xÕp h¹ng :

Kết luận :Lớp 9B học 9A

Bµi 4.1.Ta cã

1 1 1 1 1 1.

3 11 15 35 45 231        

phiỈu dú thi

Cuộc thi giải toán máy tính CASIO

Họ tên : Địa :

½Ë thi kƯ thư Tœ

(Bài giải gửi trước ngày 16-05-2005)

23

Với số lẻ k 9 tìm k số lẻ có tổng nghịch đảo Thật vậy,

vì nên

thay tổng ta biĨu diƠn cđa qua 13 ph©n sè cã tư

Thay

ta biểu diễn qua 15 ph©n sè cã tư b»ng

Tương tự, số hạng cuối

còng có dạng nên

thay s ú vo biu thc trước ta biểu diễn qua s cú t bng

4.2 Không tồn số khác có tính chất tổng phân số lớn nhỏ :

Lời bình : Ngày ta thường biểu diễn phân số hai dạng thuận tiện tính tốn dạng phân số dạng số thập phân (đúng gần đúng) Tuy nhiên, ngày xưa, người Hi Lạp biểu diễn số dạng tổng phân số có tử (phân số Hi Lạp) Bài toán biểu diễn số hữu tỉ dạng tổng phân số Hi Lạp cịn hấp dẫn nhà tốn học liên quan tới nhiều tốn số học khác : số hoàn thiện ; số giả hoàn thiện ; số phong phú (http://www.ics.uci.edu/~eppstein/numth/ egypt/)

Bµi

5.1.Mäi cỈp (xn; yn) víi x0= ; y0= ; xn= 3xn1 + 4yn1 ; yn= 2xn1 + 3yn1 nghiệm nguyên x22y2=

5.2.Quy trình tính (xn; yn) : Đưa x0= vào ô

Đưa y0= vào ô

Thực quy trình lặp nhờ phím :

Bài 6.Xem Nguyễn Hữu Điển : Sáng tạo toán phổ thông, Nhà xuất Giáo dục, 2003 (Bài 1.16, trang 29)

Li bỡnh :Cái hay chỗ : từ tốn hình học (hoặc từ tốn giải phương trình nghiệm ngun) ta đưa số Phi-bơ-na-xi nhờ máy để tính tốn

Nhận xét : Hầu hết bạn tham gia giải làm tương đối tốt, lỗi suy luận tốn học

Danh sách mười bạn đoạt giải :Trương Ngọc Sơn, 10T, THPT chuyên Nguyễn Trãi,

Hải Dương ; Nguyễn Thị Thu Hương ;

Nguyễn Lê Duy; Nguyễn Quang Quyền, lớp 9, THCS Lê Lợi, Hà Đông, Hà Tây; Hoàng Minh Thắng, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Lê Bùi Tiến Duy, 10CT, THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh ; Nguyễn Thành Chung, 10C3, THPT chuyên Hùng Vương, Pleiku, Gia Lai ; Đào Ngọc Khải, 11T1, THPT Trần Hưng Đạo, Phan Thiết, Bình Thuận ; Trần Thị Bảo Khánh, 9/1, THCS Trần Cao Vân, TP Huế,

Thừa Thiên - Huế; Lưu Khánh Tường, 10A1, THPT Sào Nam, Duy Xuyên, Quảng Nam

Tạ Duy Phượng

1 0

1 0

2 1

2 1

3 ALPHA A ALPHA B SHIFT STO C (x 3x 4y C ,x ,x , ) ALPHA A ALPHA B SHIFT

STO D (y 2x 3y D ,y ,y , ) ALPHA C ALPHA D SHIFT

STO A (x 3x 4y A ) ALPHA C ALPHA D SHIFT

STO B (y 2x 3y B ) 

  



  



  



  



B : SHIFT STO B A : SHIFT STO A 1 1 1 43024 0,9551 1 11 13 45045       

1 1

3m 5m 9m 45m  

1 1

5.15.77 9.15.77 45.15.77

  

1

45.77 3.15.77 

231

1 1 1

24

Vừa qua bạn Trần Quốc Hồn, 12 Tốn, THPT Nguyễn Trãi, Hải Dương có gửi đến TTT2 toán sau :

Bài toán :Hãy xác định số giao điểm có n đường thẳng cho trước mặt phẳng (n 2)

Đây tốn khó Nếu n đường thẳng đơi cắt khơng có ba đường thẳng đồng quy số giao điểm chúng lớn

Để phát số giao điểm có n đường thẳng, bạn Hoàn kiểm tra số giá trị cụ thể n sau :

Víi n 2, số giao điểm có (khi hai đường thẳng song song hai đường thẳng cắt nhau)

Vi n 3, s cỏc giao điểm có (ba đường thẳng song song) ; (ba đường thẳng đồng quy) ; (hai đường thẳng song song cắt đường thẳng thứ ba) ; (ba đường thẳng đôi cắt khơng đồng quy)

Víi n 4, sè k giao điểm có ; ; ; ; ; (h×nh 1)

Bạn Hoàn phát điều lí thú, số giao điểm đường thẳng khơng thể đưa dự đốn :

Bài toán :Số giao điểm n đường thẳng cho trước mặt phẳng (n  4) số từ đến n 2

Để chứng minh toán ta cần dùng tới mệnh đề Sylvester (một nhà Toán học người Anh), nêu thành toán từ cuối kỉ 19 mà gần 50 năm sau người ta giải Bài toán phát biểu sau :

Bài toán :Trên mặt phẳng cho trước số đường thẳng Chứng minh đường thẳng khơng đồng quy khơng song song với tồn giao điểm chúng có hai đường thẳng qua

Bài tốn Sylvester chứng minh phương pháp dùng khởi đầu cực trị (xem TTT2 số 17) Các bạn tìm thấy chứng minh n(n 1)

2  

 

 

tskh vũ đình hịa(ĐHSP Hà Nội)

n ĐƯỜNG THẲNG

25

Một số kiến thức sở Graph hữu hạn, NXBGD-2004 tác giả Vũ Đình Hòa

Bõy ta chứng minh toán phương phỏp quy np

Chứng minh (bài toán 2) :

Với n 4, theo cách kiểm tra trực tiếp (hình 1)ta thấy số giao điểm đường thẳng cho trước mặt phẳng

Giả sử kết luận toán cho n k > 4, tức số giao điểm k đường thẳng cho trước mặt phẳng số 2, 3, , k 2

Ta cần chứng minh số giao điểm k  đường thẳng cho trước mặt phẳng số 2, 3, , k 1 Ta chứng minh điều phản chứng Thật vậy, giả sử tồn k 1 đường thẳng mặt phẳng cho số giao điểm chúng số q mà q k 1 Như k  đường thẳng không không song song với (số giao điểm phải 0) không đồng quy (số giao điểm phải 1) Theo toán tồn giao điểm chúng có hai đường thẳng qua (ta gọi hai đường thẳng a b)

Xét k đường thẳng thu từ k  đường thẳng cho cách bỏ đường thẳng a Khi số giao điểm k đường thẳng xét không vượt q 1

Vì q k 1 nên q 1 k 2, suy số giao điểm k đường thẳng xét không vượt k 2 ;

Cùng với giả thiết quy nạp (số giao điểm k đường thẳng số 2, 3, , k 2), suy số giao điểm k đường thẳng xét (tương ứng với trường hợp k đường thẳng song song với đồng quy)

Khi q k k 1 (hình 2), điều mâu thuẫn với giả thiết phản chứng q k 1

Như toán chứng minh trường hợp n k 1

Theo ngun lí quy nạp, tốn chứng minh hoàn toàn

Như vậy, đến toán chưa chứng minh hồn chỉnh Cơng việc cịn lại xin dành cho bạn đọc !

Thi giải toán qua thư

Các bạn thưởng kì này

Phan Ngọc Hiếu, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương ; Lê Tuấn Hiệp, 8C, THCS Thái Sơn, Đô Lương, Nghệ An ; Trần Hồ Nam, 6/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh,Hà Tĩnh ; Phạm Mai Luân, 9B, THCS Phong Châu, TX Phú Thọ ; Tạ Hồng Hà, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,

Phú Thọ ; Tô Văn, 5A, TH Tứ Trưng, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Phạm Thúy Nga, 6/1, THCS Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hịa; Phạm Vũ Hịa, 6C, THCS Lí Thường Kiệt, Hà Trung,

Thanh Hóa ; Bùi Huy Hồng, 9E, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội;

Lª ThÕ Tài, 9B, THCS Từ Sơn, Từ Sơn,

Bắc Ninh

26

(TiÕp theo trang 13)

Dùng AH BC (H BC) NÕu M H th× Q A Nếu M H MO cắt AH I Ta thấy điểm E, H, F, M, A nằm đường tròn đường kính AM, tâm J trung điểm AM, suy JE = JF = JH,

mặt khác  JHF đều,

 JEH Từ JE = JF = HF = HE hay tứ giác JEHF hình thoi OH = OJ O, H, J thẳng hàng

Gọi N điểm đối xứng M qua O, suy OJ // NA OJ = NA OH // NA OH = NA  ANI HOI 

 I trọng tâm ABC (I điểm cố định)

Lại nên M di động BC Q ln nằm đường trịn đường kính AI cố định (lưu ý Q I)

Nhận xét :Sau bạn có lời giải gọn : Bùi Huy Hoàng, 9E, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội; Phạm Mai Luân, 9B, THCS Phong Châu, TX Phú Thọ, Phú Thọ ; Nguyễn Thị Lâm Ngọc, 9C, THCS Nguyễn Hữu Tiến, Duy Tiên, Hà Nam ; Lê Tuấn Hiệp, 8C, THCS Thái Sơn, Đô Lương,

Nghệ An; Nguyễn Như Quốc Trung A, 91, THCS Lý Thường Kiệt, Q Hải Châu, TP Đà Nẵng;Phan Xuân Sơn, 9/2, THCS Lê Q Đơn, Thăng Bình, Quảng Nam ; Võ Thái Thông, 9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Ngha, Cam Ranh, Khỏnh Hũa

Nguyễn Văn Mạnh Bài 5(24) : Cho lục giác nội tiếp đường tròn ABCDEF cã AB = AF ; DC = DE

Chøng minh r»ng :

Lời giải : (của bạn Lê Tuấn Hiệp, 8C, THCS Thái Sơn, Đô Lương, Nghệ An)

Gọi H, K hình chiếu D AC, AE Vì tứ giác ACDE nội tiếp nên

mặt khác theo giả thiết DC = DE nên HCD = KED suy HC = KE

AH + AK = AC + AE 2AH = AC + AE 2AD > AC + AE (1)

Tương tự ta có : 2AD > DB + DF (2) Từ (1), (2) suy :

4AD > (AC + DB) + (AE + DF) (3) Đặt M = AC DB ; N = AE DF Ta cã :

Tõ (3), (4) suy : 4AD > 2AD + BC + EF

NhËn xÐt : 1) Bài toán không khó, lẽ (1) quen thuộc Tuy nhiên, có bạn giải sai Sai lầm : AC > BC, AD > EF !

2) Các bạn sau có lời giải tốt : Phạm Mai Luân, 9B, THCS Phong Châu, TX Phú Thọ, Phú Thọ; Lê Thế Tài, 9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh ; Nguyễn Trung Kiên, 9C, THCS Vĩnh Yên, TX Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc;

Bùi Hoàng Đan, 9/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà TÜnh

Ngun Minh Hµ

1

AD (BC EF)

  

AC DB (MA MD) (MB MC) AD BC (4) AE DF (NA ND) (NE NF) AD EF

             

  

  HCD KED,

1

AD (BC EF)

 

 o

AQI 90 AI AN IH OH 2 

1

  o

EJH 2EAH 60 

  o

27

(TTT2 sè 24)

M­a to loang lỉmỈt hå

Đường lồng lộngquanh co khó tìm Bức tường lai lánglem nhem Sáo diều len lihin trờn bu tri

Đêm rằm lủng lẳngtrăng soi Kẻ cắp lấp lóở nơi hội hè

Trăng lên lơ láongọn tre

Lonh lanhom úm ờm hố tỡm Hàng hóa lầm lũisắc màu

Ngọn đèn lơ lửngđêm thâu lặng tờ Bụi đời leo létbơ vơ

Bọn trẻ lútđón chờ người thân

Lập lịesương sớm ngần Trời đêm lộng lẫymn vàn

Gấc chín lấp lánhtrên cao Tên trộm lắt léolọt vào cửa sau

Mai Đình Phẩm (45 Tân Lâm, ýYên, Nam Định)

Ai l nh iu hc ? nhiều bạn tham gia, hưởng ứng Nhiều bạn sửa đúng, xứng danh “nhà điểu học” Tuy vậy, có số bạn nhầm lẫn Bạn ĐTHG Mê Linh, Vĩnh Phúc cho chèo bẻo mò cá viết “Chèo bẻo mị cá mệt nhồi - Mời cò chén đem tài khoe” (Chèo bẻo ăn côn trùng cào cào, châu chấu, bọ cánh cứng, ) Bài thơ sửa lại sau :

Le lemò cá mệt nhoài

Mời cò chén, đem tài khoe

Tu húcất tiếng gọi hè

Đẻ trứng nhờ vả bạn bè ấp thay

Chiền chiệnthi giọng hót hay Được vào chung kết đoạt giải đầu

Bìm bịpkhoác ¸o n©u

Chờ nước lớn gọi vang lng

Cồng cộclặn ngụp bưng Bắt cá lín vui mõng chia

Dồng dộctreo tổ cao Có đàn ong hỏi chào kết thân

Se sẻcắm cúi sân

Nht u, lm thúc nhà gần bay quanh

Choi choinh¶y nhãt thËt nhanh

Tìm mồi bÃi, chuyền cành chẳng quen

Chèo bẻomỏ sắc, lông đen Trời chưa sáng tỏ kêu lên rộn ràng

Cun cútđuôi cộc gọn gàng Gặp nguy, bụi rậm lẹ làng lủi vô

Cỏc bn trao giải kì : Lê Nguyễn Bích Nga, 17/7 , QL1, P2, Tuy Hòa, Phú Yên; Phan Nữ My Li, 8B, THCS Hoàn Lão, Bố Trạch, Quảng Bình; Chế Thị Thành Giang, 9A, THCS Quán Hành, Nghi Lộc, Nghệ An; Hồ Thị Thùy Lương, 9C, THCS Hồ Tùng Mậu, Sơn Bình, Hương Sơn, Hà Tĩnh ; Nhóm bạn Quân, Công, Phương, Hiếu, 8A2, THCS Trưng Vương, Thanh Lâm, Mê Linh, Vĩnh Phúc

Phó B×nh

l Kì :

l Kết :

LÁY LẦM LẪN LẮM !

28

Trần Đăng Khoa :

Khụng phi õu em Cảm giác em tâm trạng anh cách gần 20 năm, anh học Nga lần đầu tiếp xúc với nguyên thơ

“Thư gửi mẹ” Câu thơ đơn giản, câu chữ chẳng có phức tạp, anh lật lật lại mà không hiểu Nếu dịch cho thật sát nghĩa : “Con trở khu vườn trắng nhà ta” Tại lại khu vườn trắng ? Vườn chìm tuyết ? Anh thấy khu vườn Nga trắng xóa tuyết Trắng đến chói chang, trắng đến nhức mắt Cây cối rụng hết lá, cịn thân cành trần trụi, khơ khỏng Đi vườn mà ta có cảm giác lạc đáy biển Tuyết đắp cho thành rừng san hơ trắng xóa Nhưng mùa xn đến rồi, cịn tuyết ? Vậy khu vườn lại trắng ?

Anh mang nỗi băn khoăn thăm nhà Xec-gây E-xe-nhin làng Côngxtăngtinnôvô, tỉnh Ria-dan, vào dịp mùa xuân Xéc-gây mô tả Đối với nước Nga, mùa xuân mùa tưng bừng năm Sau thời gian dài đến gần sáu tháng, cỏ, đất đai ủ sâu tuyết Mùa xuân, tuyết bắt đầu tan Cây cối đâm chồi nảy lộc Tất hối gấp gáp Bắt đầu búp non, sau đêm, nhìn thấy khác Rồi qua ngày,

cả khu vườn óng nuột, mỡ màng Lá hoa đua nảy nở lúc Có hoa cịn nhiều Hoa phủ kín vịm Khu vườn Xéc-gây trắng xóa hoa Hoa mận Hoa táo Hoa tử đinh hương Và bạt ngàn hàng trăm thứ hoa khác mà anh chịu biết tên Căn nhà gỗ Xéc-gây ướp hương thơm ngào ngạt Đến tối mà nhà rực lên quầng sáng kì lạ Đó thứ ánh sáng tỏa từ hoa Anh chưa gặp đâu vùng sáng kì ảo, mộng mị ma quái đến Chỉ lúc anh thấm thía câu thơ đơn giản Xéc-gây thấy hay đến

Anh Khoa ¬i !

Em thích thơ Xéc-gây E-xe-nhin Qua sách báo, em biết anh mê ông nhà thơ Nga Trong chương trình học chúng em phần Văn học nước ngồi có thơ “Thư gửi mẹ” X E-xe-nhin Em có học tiếng Nga, lần đọc văn tiếng Nga, em thấy có câu thơ lạ, nhà thơ lại gọi khu vườn nhà khu vườn trắng Có lẽ nhà thơ vắng nên khu vườn quê thành vườn hoang ?

Vườn Anh kì thu hút đơng bạn gửi tham dự Có nhiều bạn trình bày đáp án thơ Xin đăng bạn Hồ Thị Quỳnh Trang B, 8A, THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An:

Bình hỏi nghĩa “I don’t know” ? Vì An chẳng biết nên câu trả lời : “Mình khơng biết” có thơi Ngờ đâu lại nghĩa li Bỡnh

Thi đua bạn bè gần xa

Nếu mong nhận quà Vườn Anh

Ngồi bạn Quỳnh Trang, bạn có tên sau thỏa niềm mong ước, nhận quà Vườn Anh kì : Lê Thanh Thủy, tổ 24 A, Phường Cẩm Thạch, TX Cẩm Phả, Quảng Ninh; Võ Thị Linh Chi, 71, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Đào Thế Đạtvà Bùi Văn Tân, 8A1, THCS Trưng Vương, Mê Linh, Vĩnh Phúc;

Hoµng Minh TuÊn, 7G, THCS TrÇn Mai Ninh, TP Thanh Hãa, Thanh Hãa

Chủ Vườn

29

Nói câu gì

Trong hàng ngang ô chữ tên nguyên tố hóa học Bạn điền vào cho thật !

Ngun ThÞ Minh Th­ (8A, THCS thị trấn Đối, Kiến Thụy, Hải Phòng)

(TTT2 số 24)

l Kì :

l Kết :

30

(TTT2 sè 24)

Thiên cung điện mây ? Thiên lưỡi búa tay hay cầm ?

Thiên trời giáng xuống trần ? Thiên quân tướng rầm rm bc i ?

Thiên công trạng mÃi ghi ? Thiên rơi xuống chi bất ngờ ?

Thiên tạo hóa ban cho ? Thiên địa võng nỗi lo kẻ thù ?

Thiên hoa nở gần thu ? Thiên đội bóng điển trai ?

Thiên xinh đẹp, đa tài ? Thiên vĩnh cửu lâu dài bạn ?

Thiên nghiên cứu trời ? Thiên người chết mời lên ?

Cùng suy ngẫm giải khuây Rồi nhanh tay gửi, vua ban quà !

Nguyn Duy Cng (8A, THCS Tô Hiệu, TX Nghĩa Lộ, Yên Bái)

Khi vui ta mở miệng cười

Cười nụta chúm chím môi để cười

Cười ngấtnhư muốn đứt

Cười nắc nẻtừng hồi giòn tan

Cười sặcnghe thấy tràng

Cười rộtừng đợt làm bàn rung rinh

Cười ruồikhối trá

Cười ồlớn tiếng liếc nhìn trêu

Cười xịacăng thẳng xua mau

Cười phákhi thích câu pha trị

Cười tủmchẳng dám cười to

Cười tìnhhé miệng, mắt dị đưa dun

Cười khìmột cách hồn nhiên

Cười duyênkín đáo nét riêng nàng

Cười gằnnén nỗi thù hằn

Cười khẩynhếch mép để tăng coi thường

Cười mátgiận vương

Cười nhạttiếng khẽ dường khơng vui

Cười gópđể lấy lịng

Cười nịnhgiả dối người đời khinh chê

Cười khàvới bạn thỏa thuê

Cười trừđể tránh người hỏi Ban thưởng : Nguyễn Thị Hằng (bố Nguyễn Khắc Nhân), trường THCS An Châu, Đông Hưng, Thái Bình ; Lê Nguyễn Bích Nga, 17/7 quốc lộ 1, P2, Tuy Hòa, Phú Yên; Nguyễn Hồng Hạnh, 6C, THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam,

Hà Nội ; Lý Duy Cương, 6A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Lê Thanh Thủy, 8B, THCS huyện Từ Sơn,

B¾c Ninh

Vua TÕu

l Kì : l Kết quaû :

Hỏi :Em xem truyền hình thấy nhiều nơi bạn kí lên áo lúc chia tay Chiếc áo mang làm hở anh ? Nếu giặt chữ kí mờ cịn lưu bút na ?

Nguyễn Hải Yến (8B, THCS Hòa Tiến, Hưng Hà, Thái Bình) Đáp :

Chắc mang phải cất Thỉnh thoảng lấy ngắm nhớ Nếu giặt chữ kí bay mau Chỉ lại ¸o, mai sau

l¹i dïng Hái : Anh ! Sao không tăng thêm kì ? Chứ tháng kì bọn em ngóng lâu !

Phan Thị Thu Hà (7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An) Đáp :

Ngóng lâu quý lâu Còn nhiều quá, lắc đầu :

không xem ! Tòa soạn nghĩ cho em Một tháng hai số e hèm

được không ?

Hỏi :Em biết anh có vợ Nhưng Anh Compa khơng hiểu có chưa ? Nhờ anh nhắn lời chúc em tới anh : “Nếu chưa lấy vợ sớm lấy chị Compa đẹp hiền Nếu lấy vợ chúc bé Compa khỏe mạnh học giỏi !”

Đặng Hoàng Yến (8G, THCS Cẩm Nhượng, Cẩm Xuyên, Hà Tĩnh) Đáp :

Anh nhắn tới Compa Anh biết bò mà cười

Compa đâu phải người Mà địi lấy vợ để

có ? Hỏi :Cháu chuẩn bị thi học sinh giỏi mà thiếu nhiều số TTT Vậy cháu phải mua đâu để có đủ số TTT ?

Ngun Ngọc Diệp (8P, THCS Nguyễn Du, ?)

Đáp :

Cháu khơng nói tỉnh Nên “anh” khơng biết gửi Cảm ơn cháu quý, cháu mê Gửi gấp địa dễ bề

“anh” cho Hỏi : Em học không lại người học bàn Em phi lm õy ?

Trần Nữ Hà Anh (6D, THCS Đông Anh, TT Đông Anh, Hà Nội)

Đáp :

Tuy em có bàn Biết đâu bàn toàn

tài ? Đừng buồn học thêm hăng Thế em

băng băng đầu bàn ! Hỏi :Dạo không hiểu lớp ghét em Có lần lớp phó học tập nói : “Cả lớp có 37 đứa theo tư cịn đứa (ý nói em) theo phong kiến, lạc hậu” Em buồn Có nên b ti nú khụng ?

Đỗ Thị Thủy Tiên (8A6, THCS Mỹ Hội Đông, Chợ Mới, An Giang) Đáp :

Bỏ “tụi nó” để đâu ? Em li lc hu u

phải không ? Đừng chờ anh, ngóng với trông Nhờ cô chủ nhiệm “th«ng”

mäi bỊ

anh phã

32

Bài 1(26) :Cho k số tự nhiên khác Số tự nhiên A gồm 2k chữ số số tự nhiên B gồm k chữ số Chứng minh A - B số phương

nguyễn Anh thuấn (Giáo viên trường THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải Phòng)

Bài 2(26) :Tìm số tự nhiên a b kh¸c cho :

nguyễn ngọc hùng (Giáo viên trường THCS Đức Hòa, Đức Thọ, Hà Tĩnh)

3

3

4 4 b 4 b b 4 b b.

a       

Bµi 3(26) :Cho a b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức :

phan thị mùi (Giáo viên trường THCS Trần Quốc Toản, TX Tuy Hòa, Phú Yên)

2 3 (a b)

P

a b  



Bài 4(26) :Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi giao điểm đường phân giác tam giác HAB, HAC I, K Đường thẳng IK cắt AB, AC D, E

Chøng minh r»ng :

nguyễn đức (TP Hồ Chí Minh)

DE 2 BC

Bài 5(26) :Cho hình vng ABCD Điểm E nằm hình vng cho ABE tam giác Gọi F giao điểm AE BD ; K giao điểm DE FC Chứng minh : KC = KF

Rất nhiều bạn muốn trau dồi Tiếng Anh lại muốn "trổ tài" qua việc giải toán Toán Tuổi thơ mở chuyên mục "Giải Toán - Học Anh" nhằm giúp bạn thỏa mãn nhu cầu đáng Mỗi kì, bạn sẽ gặp toán giải toán bằng tiếng Anh Phần thưởng trao cho bạn giải đúng, giải hay viết "văn phong" tiếng Anh Toán Tuổi thơ không nhận lời giải tiếng Việt

Chú thích từ vựng thuật ngữ : l centroid : trọng tâm (danh từ)

l reflection : điểm đối xứng (danh từ) l intersect : cắt, giao (động từ) l respectively : tương ứng (trạng từ) l determine : xác định, tìm (động từ) l hexagon : hình lục giác (danh từ) l area : diện tích (danh từ)

Proposed by Ho Cong Dung, Binh Thuan province.

edited by Pham Van Thuan.

Problem E2 :

Let ABC be a triangle with centroid G Let A’, B’, C’ be the reflections of points A, B, C, respectively, across the centroid Let A’B’ intersect BC and AC at M, N respectively ; B’C’ intersect AC, AB respectively at P, Q ; and C’A’ intersect AB, BC at R, S in that order Determine, with proof, the area of hexagon MNPQRS if the area of triangle ABC is 2004

NĂM THỦ KHOA CỦA CUỘC THI GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO KHU VỰC I

Trần Phương Thúy Lớp 9, THCS Lê Quý Đơn

Tỉnh Tuyên Quang

Nguyễn Thị Hương Lớp 12 Tốn, THPT Chun

Tỉnh Thái Bình

Trần Minh Quảng Lớp 11, THPT Chun

Tỉnh Tuyên Quang

Trần Minh Tuấn Đơng Hồ, TP Thái Bình

Tỉnh Thái Bình

Nguyễn Minh Hằng Lớp 9, THCS n Phong

Tỉnh Bắc Ninh

Problem E2 :

Let ABC be a triangle with centroid G Let A’, B’, C’ be the reflections of points A, B, C, respectively, across the centroid Let A’B’ intersect BC and AC at M, N respectively ; B’C’ intersect

Sau đaây l

* Biên tập : Nguyễn Anh Quân, Phan Hương

olympic tốn tuổi thơ lần thứ nhất

Chiều ngày 4-3-2005, Sở GD-ĐT Hà Tĩnh tổ chức Lễ Tổng kết phong trào đọc giải tốn Tạp chí TTT2 Nhà giáo ưu tú Nguyễn Trí Hiệp, Phó Giám đốc Sở ; PGS TS Vũ Dương Thụy, Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NXBGD, Tổng biên tập Tạp chí TTT ; TS Lê Thống Nhất, Phó Tổng biên tập Tạp chí TTT đồng chí lãnh đạo chuyên viên Phòng THPT, Phòng Giáo dục huyện, em học sinh xuất sắc dự

Giám đốc Sở GD-ĐT Hà Tĩnh có định khen thưởng tập thể cá nhân thành tích đọc giải tốn Tạp chí TTT năm 2004 Trưởng phịng Giáo dục huyện Can Lộc đơn vị xuất sắc phát biểu nhiều kinh nghiệm tổ chức phong trào trường huyện Lãnh đạo tạp chí TTT trao cờ tặng phẩm cho đơn vị cá nhân

TIN HÀ TĨNH

Danh sách tập thể cá nhân

được Giám đốc Sở GD-ĐT Hà Tĩnh khen thưởng Tập thể : Nhất- Phòng GD-ĐT Can Lộc ; Nhì- Phịng GD-ĐT Đức Thọ TX Hà Tĩnh ; Ba - Phòng GD-ĐT Hương Khê Kỳ Anh ; Khuyến khích - Phịng GD-ĐT Thạch Hà

Cá nhân : Nhất - Bùi Hoàng Đan, 8/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh ; Nhì - Nguyễn Thành Trung, 8D, THCS Kỳ Anh ; Trần Nguyên Hạnh, 9B, THCS Nghèn, Can Lộc ; Ba - Vương Bằng Việt, 7/1, THCS Nam Hà, TX Hà Tĩnh ; Lê Võ Châu Anh, 8A, THCS Nguyễn Trọng Bình, Kỳ Anh ; Võ Thị Thanh Hải, 8B, THCS Bán công Xuân Diệu, Can Lộc ; Trần Thị Thùy Vân, Lại Ngọc Huy, 6C Lê Hồng Lan, 8C, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ ; Nguyễn Thị Cẩm Nhung, 7A, THCS Chu Văn An, Hương Khê ; Nguyễn Hồng Trang, 8B, THCS Xuân An, Nghi Xuân ;

Khuyeán khích- Trần Trí Hiệp, 8H, THCS Kỳ Anh

l Địa điểm : Thành phố Nam Định

l Thời gian : Ngày 14 15 tháng năm 2005 l Mơn thi : Tốn bậc Tiểu học

l Thành phần dự thi : Mỗi tỉnh cử 10 học sinh l Đề thi : Hội đồng tuyển chọn từ nguồn đề thi Sở Giáo dục Đào tạo cung cấp

l Hình thức thi : Làm thi viết 90 phút l Chấm thi : Trưởng Đồn chấm thi đồn thơng qua Ban giám khảo

l Huy chương : Tỉ lệ theo số học sinh sau : H 10% Huy chương Vàng

H 20% Huy chương Bạc H 40% Huy chương Đồng

* Kĩ thuật vi tính : Đỗ Trung Kiên * Mĩ thuật : Ngọc Linh

* Trị - Phát hành : Trần Đức Hùng, Trịnh Đình Tài, Trịnh Thị Tuyết Trang

* Địa liên lạc : số 38, ngõ 61, Trần Duy Hưng, Q Cầu Giấy, Hà Nội * ĐT : 04.5567125

* Fax : 04.5567124 * Đường dây nóng : 0903436757

* Website :http://toantuoitho.nxbgd.com.vn

* Giấy phép xuất : 31/GP-BVHTT ngày 23/1/2003-Bộ Văn hóa Thoâng tin