Chứng minh AI là cạnh của một hình bát giác đều nội tiếp trong (O; R). Tính độ dài cạnh AI theo R. d) Tính theo R diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ BC và dây BC.. Chứng minh[r]
(1)1 Chương
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRỊN
A - Góc tâm Số đo cung 1. Góc tâm góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn
Số đo (độ) cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung đó
Số đo (độ) cung lớn 3600 trừ số đo (độ) cung nhỏ
Số đo (độ) nửa đường tròn 1800
2. Trong đường tròn (hay hai đường tròn nhau): Hai cung chúng có số đo (độ)
Trong hai cung, cung có số đo (độ) lớn gọi lớn hơn
3 Nếu C điểm nằm cung AB thì: sđ AB = sđ AC + sđ CB
3.1 a) Từ đến kim đồng hồ quay góc tâm độ ? b) Cũng câu hỏi từ đến ?
3.2 Một đồng hồ chạy chậm 15 phút Hỏi để chỉnh lại phải quay kim phút góc tâm độ ?
3.3 Hai tiếp tuyến A B (O) cắt M Tính số đo góc tâm AOB, số số đo cung nhỏ AB cung lớn AB Biết:
a) OM = 2R b) OM = R
3.4 Hai tiếp tuyến A B (O) cắt M Biết AMB700 a) Tính số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OB
b) Tính số đo cung AB (cung lớn cung nhỏ)
3.5 Cho hai đường tròn (O), (O) cắt hai điểm A, B) Đường phân giác OBO cắt đường tròn (O), (O) điểm thứ hai theo thứ tự C D So sánh BOC BO'D 3.6 Cho đường trịn (O ; R), đường kính AB) Gọi C điểm cung AB) Vẽ dây
CD dài R Tính góc DOB
3.7 Cho hai đường tròn (O), (O) cắt hai điểm A, B) Dây cung AC (O) vng góc với AO, dây cung AD (O) vng góc với AO So sánh AOC AO'D
3.8 Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) cắt A B) Hãy so sánh R r : a) Số đo cung nhỏ AB (O) lớn số đo cung nhỏ AB (O)
b) Số đo cung lớn AB (O) nhỏ số đo cung lớn AB (O) c) Số đo hai cung nhỏ
3.9 Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) cắt A B) Hãy so sánh số đo hai cung nhỏ AB hai đường tròn :
(2)2 3.10 Trên đường tròn (O) có sđAB 140 0, cung lớn AD nhận B làm điểm giữa, cung
nhỏ CB nhận A làm điểm Tính số đo cung nhỏ CD, cung lớn CD 3.11 Cho đường tròn (O) nội tiếp ABC (A B C)
a) Gọi I, J, K tiếp điểm tương ứng với cạnh BC, CA, AB So sánh góc tâm IOJ, JOK, KOI
b) Chứng minh: A
BOC 90
Tìm cơng thức tương tự đỉnh B C ABC so sánh AOB, BOC, COA
c) Gọi O1, O2, O3 theo thứ tự tâm đường tròn bàng tiếp ABC góc BAC, CBA,
ACB So sánh góc tâm BO C1 , CO A2 , AO B3
3.12 Cho đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) Dây AB (O; R) chứa dây AB (O; r), dây CD (O , R) chứa dây CD (O; r) Chứng minh: hai cung nhỏ AB, CD hai cung nhỏ AB CD
3.13 Cho ABC Gọi O tâm đường tròn qua điểm A, B, C
a) Tính số đo góc tâm tạo hai ba bán kính OA, OB, OC b) Tính số đo tạo hai điểm A, B C
B - Liên hệ cung dây
1. Với hai cung nhỏ đường tròn (hay hai đường tròn
nhau):
Hai cung căng hai dây Hai dây căng hai cung
2. Với hai cung nhỏ đường tròn (hay hai đường tròn
nhau):
Cung lớn căng dây lớn Dây lớn căng cung lớn
3. Trong đường tròn hai cung bị chắn hai dây song song bằng
4. Trong đường trịn đường kính qua điểm một cung qua trung điểm dây căng cung
Trong đường trịn đường kính qua trung điểm dây cung (khơng qua tâm) chia cung dây thành hai phần
Trong đường trịn đường kính qua điểm một cung vng góc với dây căng cung ngược lại
3.14 Cho ABC có (AB > AC) Trên cạnh AB lấy điểm D cho
AD = AC Vẽ (O) ngoại tiếp DBC Từ O hạ đường vng góc OH, OK xuống BC BD (H BC, K BD)
(3)3
3.15 Cho đường tròn (O; r) với dây cung AB Gọi H trung điểm AB I điểm
giữa cung AB (cung nhỏ cung lớn cung nửa đường tròn) a) Chứng minh ba điểm H, I, O thẳng hàng
b) Cho cung CD nhận I điểm Chứng minh : CD // AB CD AB
3.16 Cho hai đường tròn (O) (O) cắt hai điểm A, B Kẻ đường kính AOC AOD Gọi E giao điểm thứ hai đường thẳng AC với (O)
a) Chứng minh điểm C, B, D thẳng hàng b) So sánh cung nhỏ BC BD
c) Chứng minh B điểm cung EBD
3.17 Trên dây cung AB đường tròn (O), lấy hai điểm C D cho AC = CD = DB)
Các bán kính qua C D cắt cung nhỏ AB E F Chứng minh: a) AEFB b) AEEF
Gọi E điểm đối xứng với O qua tâm C => AEDO hình bình hành
Ta có AE = OD < R (do D nằm đt nên khoảng cách tới O < bán kính) = OA
Trong ∆ AEO AE < OA nên góc AOC = góc AOE < góc AEO = góc EOD (so le) = góc COD
Do đối xứng (hoặc tương tự) góc DOB = góc AOC < góc COD
3.18 Trên nửa đường trịn (O) đường kính AB lấy hai điểm C, D Từ C kẻ
CH AB, cắt đường tròn điểm thứ hai E Từ A kẻ AK DC, cắt đường trịn điểm thứ hai F Chứng minh:
a) Hai cung nhỏ CF DB b) Hai cung nhỏ BF DE c) DE = BF
3.19 Cho đường tròn (O; R) đường tròn (O; 2R) Từ M (O; 2R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB
đến (O; R), tiếp tuyến cắt (O; 2R) N K a) Tính số đo cung AB
b) So sánh hai cung MN NK
c) Gọi OC bán kính (O; 2R) song song với với BM (C cung NK), bán kính cắt đường trịn (O; R) D Tính số đo (độ) cung AD NC
3.20 ABC có AM trung tuyến, BH đường cao
a) So sánh cung nhỏ MH MC đường tròn qua ba điểm C, M, H b) Trong trường hợp CH đường kính đường trịn (CMH), tính số đo HBC
A C D B
O
(4)4 3.21 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C D chia nửa đường tròn thành ba
phần (C gần B hơn)
a) Tứ giác BCDO hình ? Tính số đo góc tứ giác
b) Gọi I điểm cung AD Tiếp tuyến đường tròn A cắt OI E cắt tia BD F Chứng minh: OCI450 OE = AF
3.22 Cho (O; R) đường kính AB điểm C thuộc đường tròn
(C A, C B) Gọi M, N trung điểm cung nhỏ AC CB Kẻ ND AC (D AC)
a) Chứng minh: ND tiếp tuyến (O) b) Tính số đo (độ) cung MN
c) Chứng minh: C di chuyển (O) MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định 3.23 Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) cắt A B (R > r) Kẻ hai đường kính BOC
BOD hai đường tròn
a) So sánh số đo (độ) hai cung nhỏ AC AD
b) Lấy điểm M đoạn AC cho MA < MC Đường thẳng vng góc với AC M cắt (O) N So sánh cung AN cung CN
3.24 Cho ABC Ở miền tam giác vẽ nửa đường trịn đường kính BC Trên nửa
(5)5 C - Liên hệ góc đường trịn
1. Góc nội tiếp:
a) Góc nội tiếp góc có đỉnh thuộc đường trịn hai cạnh góc chứa hai dây cung đường trịn
b) Trong đường trịn số đo góc nội tiếp nửa số đo của cung bị chắn
c) Trong đường tròn:
Các góc nội tiếp chắn cung Các góc nt chắn cung cung
bằng
Góc nội tiếp (nhỏ hay 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung
Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng 2. Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung:
a) Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo của cung bị chắn
b) Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung
3. Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đường trịn:
a) Số đo góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng
số đo hai cung bị chắn
b) Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
3.25 Cho đường trịn (O) hai đường kính AB, CD vng góc với Lấy điểm M
cung AC vẽ tiếp tuyến với (O) M Tiếp tuyến cắt đường thẳng CD S Chứng minh: MSD = 2MBA
3.26 Từ điểm T bên ngồi đường trịn (O) ta kẻ tiếp tuyến TP (P tiếp điểm) cát tuyến TBA qua tâm O đường tròn (A B thuộc (O), B nằm O T) Chứng minh:
0
BTP 2BPT 90
3.27 Cho đường tròn (O) hai dây AB, AC Dây AE cắt dây BC D cắt (O) E
Chứng minh: AB2 = AD AE
3.28 Bài toán (Nhớ cách chứng minh để áp dụng sau này):
a) Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O; R) kẻ tiếp tuyến MT hai cát tuyến MAB MCD với đường tròn (O) (A, B, C, D (O)) Chứng minh: MA MB = MC MD = MT2 = OM2 – R2
b) Qua điểm M bên đường tròn (O; R) kẻ hai dây cung AB CD đường tròn (O) (A, B, C, D (O))
Chứng minh: MA MB = MC MD = R2 – OM2
3.29 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M điểm cung nhỏ BC, MA cắt BC D Trên AM lấy N cho MB = MN Chứng minh:
(6)6 e) MA + MB + MC 4R f) 1
MDMBMC
3.30 Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) cho tiếp tuyến A cắt tia BC D Tia phân giác BAC cắt đường tròn M, tia phân giác D cắt AM I Chứng minh: DI AM 3.31 Trên đường tròn (O; R) vẽ ba dây liên tiếp AB = BC = CD < R Các đường thẳng AB CD
cắt I, tiếp tuyến đường tròn (O) B D cắt K Chứng minh: a) BICBKD b) BC tia phân giác KBD
3.32 Cho đường tròn tâm O, với M bên Kẻ tiếp tuyến MA, MB đường kính AC
của (O) Chứng minh: MO // BC
3.33 Cho đường trịn (O) đường kính AB cung CB có số đo 450 Lấy điểm M
cung nhỏ AC kẻ dây MN, MP tương ứng vng góc với AB OC Tính số đo cung nhỏ NP
3.34 Cho ABC nội tiếp đường tròn Gọi P, Q, R theo thứ tự điểm cung BC, CA, AB
a) Chứng minh: AP QR
b) AP cắt CR I Chứng minh: CPI cân
3.35 Cho hai đường tròn (O) (O) cắt hai điểm A B Hai dây cung AC, BD đường tròn (O) cắt điểm I cắt đường tròn (O) điểm thứ hai C D Chứng minh: CD // CD
3.36 Cho góc xOy độ dài l Hai điểm A, B di động hai cạnh tương ứng cho độ dài AB luôn l Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp OAB
a) Chứng minh IAB có chu vi khơng đổi b) Tìm tập hợp điểm I
3.37 Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) cắt hai điểm A B Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O), (O) điểm thứ hai C D Tia BD cắt (O) điểm thứ hai M Các tia OB, BO cắt (O) điểm thứ hai N P So sánh:
a) ACB BOO' b) CAM PAN
3.38 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD, BE, CF cắt H Các tia AD, BE, CF cắt (O) điểm A, B, C Chứng minh:
a) AB, BC, CA trung trực đoạn thẳng HC, HA, HB b) H tâm đường tròn nội tiếp DEF
c) ABC DEF đồng dạng Suy bán kính đường trịn ngoại tiếp DEF nửa bán kính đường tròn (O)
3.39 Cho hai đường tròn (O) (O) cắt hai điểm A B Tiếp tuyến A (O) cắt (O) P Tia PB cắt (O) Q Chứng minh: AQ song song với tiếp tuyến P (O)
3.40 Cho AOB COD hai đường kính vng góc đường trịn (O; R) Trên cung BC lấy
điểm F cho BF = R Trên cung BD lấy điểm M Tiếp tuyến M gặp tia AB E Đường nối CM gặp AB S
a) Chứng minh: ES = EM
(7)7 3.41 Các đường thẳng chứa dây cung AB CD đường tròn (O) cắt E ngồi đường trịn (B nằm A E, C nằm D E) Biết CBE750, CEB220, AOD450 Chứng minh: AOBBAC
3.42 Cho đường tròn (O), AB CD hai dây cung song song với (A C nằm phía
với BD) AD cắt BC I Chứng minh: AOCAIC
3.43 Cho ABC vuông A Đường trịn đường kính AB cắt BC D Tiếp tuyến D cắt AC
P Chứng minh: PD = PC
3.44 Cho điểm A, B, C (O), cho tiếp tuyến A cắt tia BC D Tia phân giác góc
ABC cắt đường trịn M, tia phân giác D cắt AM I Chứng minh: DI AM
3.45 Cho ABC cân A (
A45 ) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC D
E
a) Tính số đo DOE độ dài dây DE theo R b) Chứng minh: DE // BC
3.46 Cho ABC vuông cân A, nội tiếp đường tròn (O; R) Trong ABC, vẽ tia Bx hợp với BA góc 300, Bx cắt AC D cắt (O) E Gọi H hình chiếu A Bx
a) AHE tam giác ? Giải thích b) Chứng minh: EOHABE c) Tính độ dài BD theo R
d) Gọi F hình chiếu E xuống đường thẳng AB EF cắt (O) M Tính độ dài dây cung AM, ME EC
3.47 Cho ABC đường cao AH M điểm BC Kẻ ME AB E, MF AC
F
a) Chứng minh: A, E, M, H, F thuộc đường tròn Xác định tâm O đường tròn b) Tứ giác OEHF hình ? Vì ?
c) Tìm vị trí M để EF có độ dài ngắn
3.48 Cho nửa đường kính AB Gọi K điểm cung AB, M điểm cung AK,
N điểm dây cung BM cho BN = AM Chứng minh rằng: a) MKN vuông cân MK phân giác AMN
b) Khi K di chuyển cung AK đường vng góc với BM kẻ từ N qua điểm cố định tiếp tuyến nửa đường tròn điểm B
3.49 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi AH đường cao ABC AD đường
kính đường trịn (O) Chứng minh: a) AB AC = AD AH
b) ABC
abc S
4R
, với a, b, c độ dài cạnh ABC
3.50 Cho nửa (O), đường kính AB Kẻ dây AC Gọi M điểm cung AC, OM cắt
AC H Từ C kẻ tia song song với BM, tia cắt OM kéo dài D a) Tứ giác MBNC hình ? Giải thích
b) AM cắt CD K Chứng minh: KH AB
3.51 Cho ABC vng A có đường cao AH Hai đường trịn đường kính AB AC có tâm
(8)8 b) Tứ giác MBNC hình ? Giải thích
c) Gọi I, E, F trung điểm O1O2, MN BC Chứng minh: I cách điểm E, F, A H
d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E di động đường ?
3.52 Cho ABC có đường phân giác AD, trung tuyến AM Vẽ đường tròn ngoại tiếp ADM cắt AB, AC theo thứ tự E F
a) Chứng minh: BD BM = BE BA CD CM = CF CA b) So sánh BE CF
3.53 Cho ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm O đường kính HC Kẻ tiếp tuyến BK với (O) (K tiếp điểm) Tính tỉ số cạnh AB BK
3.54 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song song với tiếp tuyến Bx, đường thẳng cắt BC D Chứng minh:
a) AB2 = BC BD
b) AB tiếp tuyến đường tròn (ACD)
3.55 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy cung CD có số đo
900 Gọi M giao điểm AC BD, N giao điểm AD BC Tính số đo AMB
ANB
3.56 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 10cm, dây AC tiếp tuyến Bx với đường tròn Đường phân giác góc BAC cắt dây BC F, cắt Bx D
a) Chứng minh: BFD cân
b) Cho biết AF = 8cm, tính độ dài AD
3.57 Cho đường tròn (O) hai tiếp tuyến gặp A (B, C tiêp điểm) Từ B kẻ dây BD song song với AC Đoạn thẳng AD cắt (O) E, BE cắt AC K Chứng minh:
a) KA2 = KE KB b) KA = KC
3.58 Cho ABC cân A ngoại tiếp đường tròn (O) Các cạnh AB, AC, BC tiếp xúc với đường
tròn M, N K BN cắt đường tròn (O) E, tia ME cắt BC I Chứng minh: a) MN // BC b) IK2 = IE IM
3.59 Cho hai đường tròn (O) (O) Đường nối tâm OO cắt (O) (O) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF (E (O) F (O)) Gọi M giao điểm AE DF, N giao điểm EB FC Chứng minh:
a) MENF hình chữ nhật b) MN AD
c) ME MA = MF MD
3.60 Cho (O ; R) có bán kính OA OB vng góc với nhau, M điểm cung AB Gọi C giao điểm AM OB, H hình chiếu M OA
a) Chứng minh: BA = BC
b) Tính diện tích tứ giác OHMC theo R
3.61 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm D di động cung AC Gọi E giao
(9)9 3.62 Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao vẽ từ B cắt (O) M, đường cao vẽ từ
C cắt (O) N MN cắt AB AC I J Chứng minh: a) AMN cân b) AI AB = AJ AC
3.63 Cho đường tròn (O) đường thẳng d cố định khơng cắt đường trịn A điểm cố định (O) B điểm cố định d Một đường tròn (O) qua A B, đường tròn cắt (O) C cắt d E
a) Chứng minh (O) thay đổi, đường thẳng CE luôn qua điểm cố định K (O)
b) Đường thẳng BA cắt (O) F Chứng minh: FK // d
3.64 Cho đường tròn (O) dây cung AB M điểm tia đối tia BA, kẻ tiếp tuyến MC MD với đường tròn Phân giác ACB cắt AB E Gọi I trung điểm AB Chứng minh rằng:
a) MC = ME
(10)10 D – C ung chứa góc – Bài tốn quỹ tích
1. Quỹ tích (tập hợp) điểm nhìn đoạn thẳng cho trước một góc (00< <1800) khơng đổi hai cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng
2. Cách vẽ cung chứa góc
Bài tốn: Cho đoạn thẳng AB góc (00 < <
1800) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn AMB
- Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB
- Vẽ tia Ax tạo với AB góc
- Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm
Ay với đường thẳng d
- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa
mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax
Cung AmB vẽ gọi cung chứa góc 3. Cách giải tốn quỹ tích:
Muốn chứng minh quỹ tích điểm M thỏa mãn tính chất một hình H đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận : Mọi điểm có tính chất thuộc hình H Phần đảo : Mọi điểm thuộc hình H có tính chất
Kết luận : Quỹ tích điểm M có tính chất hình H
(Thơng thường với tốn: “Tìm quỹ tích …” ta nên dự đốn hình H trước chứng minh)
Xem thêm phần chuyên đề để biết thêm phần
3.65 Cho ABC có cạnh BC cố định A= khơng đổi Tìm quỹ tích (tập hợp) giao điểm
ba đường phân giác tam giác
3.66 Cho nửa đường trịn đường kính AB C điểm nửa đường tròn, dây AC kéo
dài lấy điểm D cho CD = CB
a) Tìm quỹ tích điểm D C chạy nửa đường tròn
b) Trên tia CA lấy điểm E cho CE = CB Tìm quỹ tích điểm E C chạy nửa đường tròn cho
3.67 Dựng cung chứa góc 500 đoạn thẳng AB = 3,5cm
3.68 Dựng ABC, biết BC = 3cm, A = 450 trung tuyến AM = 2,5cm O H B A x y M y A B d d O M x m m 0 0
90 AMB 180
0 0
0 AMB 90
(11)11
3.69 Cho nửa đường trịn đường kính AB C điểm nửa đường tròn Trên bán kính
(12)12 E - Quan hệ tứ giác đường tròn
1. Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ
giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp)
2. Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện 1800
3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối 1800
Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện
Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác
Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại hai góc
4. Hình thang nội tiếp đường trịn hình thang cân ngược lại
3.70 Cho ABC có góc nhọn Các đường cao AD, BE CF cắt H Gọi I, J, K trung điểm BC, AC, AB Chứng minh:
a) Các tứ giác BFEC, ABDE, AFDC nội tiếp b) Các tứ giác AFHE, BFHD, CDHE nội tiếp c) Sáu điểm D, E, F, I, J, K thuộc đường trịn 3.71 Bài tốn (Nhớ cách chứng minh để áp dụng sau này):
a) Hai đoạn thẳng AC BD cắt E Biết EA.EC = EB.ED Chứng minh: điểm A, B, C, D thuộc đường tròn
b) Hai đường thẳng AC BD cắt M (M AC BD) Biết MA.MC = MB.MD Chứng minh: điểm A, B, C, D thuộc đường tròn
3.72 Cho đường tròn (O) dây cung AB Từ trung điểm M cung AB vẽ hai dây MC, MD
cắt AB E F (E nằm A F)
a) Chứng minh: tứ giác CDEF nội tiếp
b) Kéo dài MC BD cắt I, MD AC cắt K Chứng minh: IK // AB
3.73 Cho hai đường tròn (O) (O) cắt hai điểm A B Đường thẳng AO cắt đường
tròn (O) (O) C E Đường thẳng AO cắt (O) (O) D F a) Chứng minh: tứ giác CDEF, ODEO nội tiếp
b) Đường thẳng CD đường thẳng EF cắt M Chứng minh: tứ giác MCBE nội tiếp
3.74 Cho ABC nhọn nội tiếp (O) có A = 450, đường cao AD, BE, CF gặp H a) Chứng minh: OA EF
b) Chứng minh: điểm đối xứng H qua BC thuộc đường trịn (O) c) Tính tỉ số hai cạnh EF BC
d) Chứng minh: H tâm đường tròn nội tiếp DEF
(13)13 3.75 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Hai tiếp tuyến với (O) B C cắt D Từ D kẻ
một cát tuyến song song với AB cắt (O) E F, cắt cạnh AC I Chứng minh: a) Tứ giác DOIC nội tiếp b) IE = ID
3.76 Từ điểm M bên đường tròn (O; R) vẽ cát tuyến MAB với đường tròn (O) a) Chứng minh: MA MB = MO2 – R2
b) Các tiếp tuyến A B đường trịn (O) cắt đường thẳng (d) vng góc với OM kẻ từ M C D Chứng minh: MC = MD
3.77 Cho ABC (AB AC), trung trực BC cắt BC M cắt tia phân giác góc A I
a) Chứng minh: điểm A, B, I, C thuộc đường tròn
b) Gọi H, K theo thứ tự hình chiếu I AB, AC Chứng minh: H, M, K thẳng hàng
3.78 Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định Điểm M di chuyển (O) Vẽ đường tròn tâm
M tiếp xúc với AB Gọi I giao điểm hai tiếp tuyến (khác AB) kẻ từ A B đến đường tròn tâm M Chứng minh:
a) AOB = EMF
b) Tứ giác AOBI nội tiếp Suy điểm M, O, I thẳng hàng
3.79 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), I điểm cung BC khơng chứa A Vẽ (O1) qua I tiếp xúc với AB B, vẽ (O2) qua I tiếp xúc với AC C Gọi K giao điểm thứ hai (O1) (O2)
a) Chứng minh: ba điểm B, K, C thẳng hàng
b) Lấy D cạnh AB, E thuộc tia đối tia CA cho BD = CE Chứng minh: đường trịn (ADE) ln qua điểm cố định I
3.80 Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi (CD không
trùng với AB) Vẽ tiếp tuyến (d) (O) B) Các đường thẳng AC, AD cắt đường thẳng (d) P Q
a) Chứng minh: tứ giác CPQD tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh: trung tuyến AI APQ vng góc với CD
c) Gọi E tâm đường tròn ngoại tiếp CDP Chứng minh: E di động đường cố định đường kính CD thay đổi
3.81 Cho ABC vuông A (AB < AC) Lấy điểm D thuộc cạnh AC, vẽ đường trịn đường kính
CD cắt BD E cắt AE F
a) Chứng minh: A, B, C, E thuộc đường tròn b) Chứng minh: BCAACF
c) Gọi M, N điểm đối xứng D qua AB BC Chứng minh: BNCM nội tiếp đường tròn
d) Xác định vị trí điểm D cho bán kính đường trịn (BNCM) đạt giá trị nhỏ
3.82 Cho tứ giác ABCD (AB = AD) nội tiếp đường tròn (O) Qua điểm A, B giao điểm
của M hai đường chéo vẽ đường tròn (O) cắt cạnh BC E Chứng minh: a) ACD ACE b) BAE cân c) AB MB
MDMC
3.83 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 4cm có tiếp tuyến Ax By Vẽ tiếp tuyến M (O) (M A, M B) cắt Ax, By D E
(14)14 b) Cho biết SABED = 10cm2 Tính SAMB
3.84 Cho ABC nội tiếp đường trịn (O) đường kính AI Gọi E trung điểm AB, K trung điểm OI Chứng minh:
a) Tam giác EBK cân b) Tứ giác AEKC nội tiếp
3.85 Cho đường tròn (O; R) điểm P (O) Từ P vẽ hai tia Px, Py cắt đường tròn (O) A B Cho xPy góc nhọn
a) Vẽ hình bình hành APBM Gọi K trực tâm ABM Chứng minh: K thuộc (O) b) Gọi H trực tâm APB I trung điểm AB Chứng minh: H, I, K thẳng hàng c) Khi hai tia Px, Py quay quanh P cố định cho Px, Py cắt (O) góc xPy khơng
đổi điểm H lưu động đường cố định ?
3.86 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Lấy điểm C ngồi đường trịn cho B trung
điểm OC Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM, CN đến đường tròn (O) với M, N hai tiếp điểm a) Chứng minh: tứ giác AMCN hình thoi Tính SAMCN theo R
b) Gọi I trung điểm CM Đường thẳng AI cắt OM K Chứng minh: K trung điểm AI
c) Tính SAKB theo R
3.87 Cho đường tròn (O; R) (O; 2R) cắt A B cho AB = R a) Gọi I trung điểm AB Chứng minh: ba điểm O, I, O thẳng hàng b) Tính OO theo R
c) Vẽ tiếp tuyến chung MN hai đường tròn (M (O), N (O)) Gọi K giao điểm của đường thẳng AB MN C/m: KM2 = KA.KB
d) Chứng minh: K trung điểm MN
3.88 Cho ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH Đường trịn tâm B, bán kính BA cắt
AH điểm thứ hai D
a) Chứng minh: CD tiếp xúc với đường tròn (B ; BA)
b) Gọi I điểm đối xứng B qua AH, AI cắt CD E Chứng minh: AHEC nội tiếp đường tròn
c) Gọi F hình chiếu A đường thẳng DB Chứng minh: DB DF = DC DE
d) Cho biết AB = a, AC = 2a Tính SDEH theo a
3.89 Cho đường tròn (O; R), tiếp tuyến với (O) B C cắt A tạo thành góc BAC = 600 Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến với (O) M cắt AB, AC theo thứ tự D E Giao điểm OD, OE với BC theo thứ tự I K
a) Tính số đo DOE
b) Chứng minh: OM, DK, EI đồng qui c) So sánh độ dài IK DE
3.90 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm cung AB Lấy điểm M
cung BC vẽ đường cao CH ACM a) Chứng minh: OH tia phân giác COM
b) Gọi I giao điểm OH BC, D giao điểm thứ hai MI với nửa đường tròn (O) Chứng minh: MC // BD
(15)15 d) Gọi N giao điểm OH BM Chứng minh N di động đường tròn cố
định
3.91 Cho đường tròn (O; R) đường thẳng (d) khơng qua O cắt đường trịn (O) A B Từ điểm M (d) (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với (O), M N hai tiếp điểm a) Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp MNP qua hai điểm cố định M di động
đường thẳng (d)
b) Xác định vị trí điểm M (d) cho tứ giác MNOP hình vng
c) Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp MNP di động đường cố định M di động đường thẳng (d)
3.92 Cho đường tròn (O) dây AB cố định Điểm M di chuyển cung lớn AB Các đường cao
AE, BF ABM cắt H a) Chứng minh OM EF
b) Đường tròn (H ; HM) cắt MA, MB C D Chứng minh OM CD Suy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn
c) Chứng minh đường thẳng kẻ từ H vng góc với CD qua điểm cố định 3.93 Cho đường trịn (O ; R) có hai đường kính AB CD vng góc với M điểm
trên cung nhỏ BD, MC MA cắt AB CD I K Gọi I điểm đối xứng I qua O, CI kéo dài cắt AD E Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ACKE nội tiếp b) EK // AB
c) SACIK không đổi M chạy cung nhỏ BD
3.94 Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) M di chuyển cung nhỏ AB Gọi N
là giao điểm CM BD
a) Chứng minh: Tích CM CN khơng đổi
b) Chứng tỏ đường trịn ngoại tiếp BMN tiếp xúc với đường thẳng BC c) Chứng tỏ đường trịn (MND) có tâm nằm đường thẳng cố định
3.95 Cho (O; R) điểm A cố định thỏa OA = 2R, BC đường kính quay quanh O (A BC)
Đường tròn ngoại tiếp ABC cắt đường thẳng OA A I a) Chứng minh: OA OI = OB OC
b) Đường thẳng AB, AC cắt (O; R) D E DE cắt đường thẳng OA K Chứng minh điểm E, I, K, C nằm đường tròn tính độ dài AK theo R
Thi Lê Hồng Phong 1995 - 1996 3.96 Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, E, F theo thứ tự tâm đường tròn nội tiếp
của ABC, ABH, AHC a) Chứng minh: AI EF
b) Chứng minh: tứ giác BEFC nội tiếp
Thi Lê Hồng Phong 1997 - 1998 3.97 Cho ABC vng A có I trung điểm BC Lấy D thuộc cạnh BC (khác B C) Gọi E, F tâm đường tròn ngoại tiếp ABD ADC Chứng minh: điểm A, E, D, I, F thuộc đường tròn
(16)16 F - Đường tròn ngoại tiếp – nội tiếp
Độ dài đường trịn - cung trịn Diện tích hình trịn – hình quạt trịn 1. Đường trịn ngoại tiếp – nội tiếp:
a) Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn
b) Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh một đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường trịn
Trong hình bên: (O; R) đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD, (O; r) đường trịn nội tiếp hình vng ABCD
c) Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp
2. Độ dài đường tròn – cung tròn:
a) Chu vi (C) đường trịn bán kính R đường kính d: C = 2R = d Với (pi): 3,14
b) Trên đường trịn bán kính R, độ dài cung n0:
Rn
180
3. Diện tích hình trịn – Hình quạt trịn – Hình viên phân: a) Diện tích (S) hình trịn bán kính R:
S = R2 Với (pi): 3,14
b) Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n0: Squạt
2
R n R 360 2
c) Diện tích hình viên phân:
Sviên phân = Squạt AmB – SOAB
3.98 Cho hình bên, biết HI = 10 cm, HO = BI = cm a) Nêu cách vẽ
b) Tính diện tích hình HOABINH
c) Chứng tỏ hình trịn đường kính NA có diện tích với hình HOABINH
3.99 Trên đường trịn (O; R) vẽ dây cung AB = R, BC = R 2, CD = R
a) Tứ giác ABCD hình ?
b) Chứng minh hai đường chéo tứ giác ABCD vuông góc với c) Tính số đo góc AOB, BOC COD
d) Tính độ dài cung nhỏ AB, BC, CD theo R
O R r A B D C O R l 0 n A N
H O B I
O
(17)17 3.100 Cho (O ; R) Tính cạnh đa giác n cạnh nội tiếp (O) trường hợp sau:
a) n = b) n = c) n = d) n = e) n = Nêu lên công thức tổng quát cho trường hợp đa giác n cạnh
3.101 Cho đa giác n cạnh có độ dài cạnh a) Hãy tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp, bán kính r đường tròn nội tiếp đa giác độ dài đường trịn theo a trường hợp sau:
a) n = b) n = c) n = d) n = e) n = Nêu lên công thức tổng quát cho trường hợp đa giác n cạnh
3.102 Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp ABC cân có
B 120 , AC = 6cm
3.103 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng cho B nằm A C Chứng minh độ dài nửa đường tròn đường kính AC tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính AB BC
3.104 Cho ABC nội tiếp (O ; R) có AB = R, BC = R 2, CD = R
a) Tính độ dài cung nhỏ AB, BC CA
b) Tính diện tích hình quạt trịn AOB, BOC ứng cung nhỏ AB BC c) Tính diện tích hình viên phân ứng với cung nhỏ AB, BC CA
3.105 Cho ABC có độ dài cạnh 6cm Gọi (O ; R) (O ; r) đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ABC Tính diện tích hình viên phân tạo hai đường tròn
3.106 Cho ABC nội tiếp đường trịn (O ; R) có AB = 2, BC = R a) Tính độ dài cung nhỏ AB, BC CA
b) Tính diện tích hình quạt trịn AOB, BOC ứng với cung nhỏ AB BC c) Tính diện tích hình viên phân ứng với cung nhỏ AB, BC CA
3.107 Cho ABC vuông A đường cao AH Vẽ đường tròn (O) đường kính AB) Biết BH =
2cm CH = 6cm Tính: d) Diện tích hình trịn (O)
a) Tổng diện tích hai hình viên phân ứng với hai cung nhỏ AH BH b) Diện tích hình quạt tròn AOH (ứng với cung nhỏ AH)
c) Diện tích ABC phần nằm ngồi đường trịn (O) 3.108 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp (O ; R)
a) Chứng minh sđ AB = sđ (AOB) = 600 OAB có cạnh R Suy cách vẽ lục giác nội tiếp đường trịn (O; R) cho trước
b) Tính trung đoạn lục giác chiều dài AB theo R
c) Chứng minh ACE đều, tính cạnh diện tích ACE theo R Nêu cách vẽ tam giác nội tiếp (O; R) cho trước
d) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang cân với AD đường kính, tính diện tích hình thang cân theo R
e) Tính diện tích hình trịn nằm ngồi lục giác
f) Tính diện tích hình vành khăn tạo (O; R) đường tròn nội tiếp lục giác
3.109 Cho ABC cạnh a Vẽ đường trịn (O) đường kính BC
(18)18 a) Tính số đo cung AB, góc tâm AOB độ dài cung nhỏ AB Suy cách vẽ
tam giác nội tiếp (O; R) cho trước
b) Vẽ đường kính AA cắt BC H Chứng minh OH BC (OH trung đoạn ABC) Tính AB OH theo R Suy cách vẽ tam giác nội tiếp (O; R) cho trước c) Tính theo R diện tích hình viên phân giới hạn cung nhỏ AB dây AB
d) E điểm cung nhỏ AB Cm: EA + EB = EC
3.111 Trên đường tròn (O; R) lấy điểm A, B, C cho cung sđAB = 900, sđAB = 600 a) Tính độ dài AB, BC theo R
b) Kẻ AH BC H Tính AH SABC theo R c) Tình độ dài AC theo R
3.112 Cho hình vng ABCD nội tiếp (O ; R)
a) Tính sđAB sđAOB, độ dài cung AB theo R Suy cách vẽ hình vng nội tiếp
trong đường trịn (O; R) cho trước
b) Tính cạnh trung đoạn hình vng theo R
c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn cung nhỏ AB dây AB theo R
d) Từ A B vẽ tiếp tuyến (O) cắt E Chứng minh AOBE hình vng Tính diện tích phần nằm ngồi đường trịn (O) hình vng
e) OE cắt AB I Chứng minh AI cạnh hình bát giác nội tiếp (O; R) Tính độ dài cạnh AI theo R
3.113 Từ điểm A (O; R) ta lấy hai dây AB = R 3, AC = R (OA nằm hai dây a) Tính số đo cung nhỏ BC, BOC, độ dài cung BC theo R, suy số đo góc ABC
b) Từ A vẽ đường cao AH ABC Tính AH BC SABC theo R
(19)19 G - Ôn tập chương
3.114 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R) biết BAC = 600 a) Tính số đo BOC tính độ dài đoạn BC theo R
b) Gọi H trực tâm ABC Chứng minh: tứ giác BCOH nội tiếp
c) Tính diện tích hình quạt trịn giới hạn hai bán kính OB, OC cung nhỏ BC 3.115 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Biết C = 450, AB = a Tính:
a) Số đo AOB bán kính đường tròn (O)
b) Độ dài cung nhỏ AB diện tích hình tạo hai bán kính OA, OB cung lớn AB
3.116 Trên nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm C cho
BC = R Trên tia AC lấy điểm E cho AE = 2AC Gọi D chân đường vng góc hạ từ E xuống đường thẳng AB Chứng minh:
a) OBC Tính số đo BAC
b) Tứ giác BCED nội tiếp AB AD = AC AE c) AD = 3BD; AC AE = 6R2
d) Tính điện tích hình giới hạn đoạn BE, CE cung BC
3.117 Cho đường tròn (O; 2cm), điểm M có MO = 2cm Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB
với đường trịn (A, B hai tiếp điểm) Tính diện tích hình giới hạn đoạn MA, MB cung nhỏ AB
3.118 Cho đường tròn (O; R) dây cung AB = R hai tiếp tuyến A B đường tròn cắt điểm C
a) Chứng minh: ABC tính diện tích ABC theo R b) Tính độ dài cung lớn AB
c) Tìm diện tích hình giới hạn hai tiếp tuyến CA, CB cung lớn AB
3.119 Cho ABC vng A có AB = 4cm, B = 600 Vẽ nửa (O) đường kính BC qua A a) Tính diện tích hình quạt AOC độ dài cung AB
b) Tìm tổng diện tích hai hình viên phân ứng với cung AB cung AC 3.120 Trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm B, C cho sđBC = 1200
a) Tính số đo (độ) BOC độ dài cung nhỏ BC theo R
b) Trên cung lớn BC lấy điểm A Các đường cao AE, BF, CI ABC cắt H Chứng minh: tứ giác ABEF BIHE nội tiếp
c) Chứng minh: BOC = OHC
d) Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp AIF theo R
3.121 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Trên nửa đường trịn lấy điểm C
cho AC < BC Đường tròn tâm I đường kính BC cắt đoạn AB H a) Chứng minh: OI // AC tứ giác OHIC nội tiếp
b) Chứng minh: BI OC BIH2IOH
c) Cho AC = R Tính độ dài đường trịn tâm I diện tích hình giới hạn bán kính IH, IC cung lớn BC đường tròn (I) theo R
3.122 Cho hình vng ABCD cạnh a Lần lượt lấy M, N cạnh AB, AD cho MCN = 450
(20)20 b) Chứng minh tứ giác EFMN nội tiếp đường trịn đường kính MN
c) MF cắt NE H Chứng minh CH MN
d) Chứng minh CM tia phân giác BCH Suy ra: góc MCN = 450 quay quanh C MN ln ln tiếp xúc với đường trịn tâm C
3.123 Cho ABC (AB < AC) nội tiếp (O) có đường kính BC, AH đường cao ABC
Đường trịn tâm K đường kính AH cắt AB, AC (O) D, E I; AI cắt BC M
a) Chứng minh: tứ giác AEHD hình chữ nhật
b) Chứng minh: AB AD = AE AC tứ giác BCED nội tiếp c) Chứng tỏ OK AM, suy K trực tâm MAO
d) Chứng minh: OA DE, suy điểm M, D, E thẳng hàng
3.124 Cho điểm A có khoảng cách đến đường thẳng xy AB = 2a Trên xy lấy điểm C D
hai bên B DAB = 450 CAB = 300 AD AC cắt đường trịn đường kính AC E F
a) Tính cạnh ACD theo a
b) Chứng minh E trung điểm AD tứ giác EFCD nội tiếp c) Tính cạnh AEF theo a
d) Tính diện tích tứ giác CDEF theo a
3.125 Cho ABC (AC = BC) nội tiếp đường tròn có đường kính CK Lấy điểm M
cung nhỏ BC (M B, C) Trên AM kéo dài phía M lấy D cho MD = MB a) Chứng minh: ACKAMK
b) Chứng minh: MK // BD
c) Kéo dài CM cắt BD I Chứng minh: IB = ID C tâm đường tròn ngoại tiếp ABD d) Cho CK = 4, AK = Tính diện tích ABC số đo CMD
3.126 Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) với R > R cắt hai điểm A B) Đường kính AOC cắt (O) E, đường kính AO’F cắt đường tròn (O) D Chứng minh:
a) AB OO ba điểm B, C, F thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đường thẳng AB, CD EF đồng quy c) A tâm đường tròn nội tiếp BDE
d) Năm điểm B, O, D, E, O thuộc đường tròn
3.127 Cho ABC (AB < BC) nội tiếp đường trịn (O ; R) đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC H Trên HC lấy điểm E cho HE = HA (E O) Đường trịn (O) đường kính CE cắt BC I
a) Chứng minh: H trung điểm BD IO'E2ADH b) Chứng minh: CA CI = CB CE; (O) (O) tiếp xúc c) Chứng minh: ba điểm D, E, I thẳng hàng
d) Chứng minh: HI tiếp tuyến đường tròn (O)
e) Cho AB = R Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp HBI theo R 3.128 Cho đường tròn (O; R) hai điểm A, B (O) Biết độ dài cung AB R
4
Tính: a) Số đo AOB độ dài đoạn thẳng AB theo R
(21)21 3.129 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, Ax tiếp tuyến (O), AC dây cung (C B),
tia phân giác Ay CAx cắt (O) D a) Chứng minh: DA = DC OD // BC b) AD cắt BC E Chứng minh: ABE cân
c) BD cắt AC K cắt Ax F Chứng minh: AKEF hình thoi EK AB d) Cho xAC = 600
i) Chứng minh: DB DK = R2 điểm O, K, E thẳng hàng
ii)Tính diện tích tứ giác ACEF phần nằm ngồi đường trịn (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp ACDK theo R
3.130 Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB, lấy điểm M thuộc (O) cho MAB = 300 Kéo dài AB đoạn BC = R Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AM kéo dài D
a) Chứng minh: tứ giác BDCM nội tiếp Xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh: AD AM = 6R2
c) Chứng minh: ABD cân BOMBIM
d) Tính diện tích phần mặt phẳng ABD nằm ngồi đường trịn (O) 3.131 Cho (O; R) dây cung BC = R Tiếp tuyến B C cắt điểm A
a) Tính số đo BOC, độ dài cung nhỏ BC diện tích hình quạt BOC
b) Chứng minh: ABOC nội tiếp được, xác định tâm I đường trịn Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp OAB theo R
c) Đường thẳng vng góc với OB O cắt AC M Chứng minh: MI tiếp tuyến (O)
d) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn cạnh AB, AC cung nhỏ BC (O) theo R
3.132 Cho ABC nội tiếp (O; R) Lấy M thuộc AB N thuộc AC cho BM = AN
a) Tính số đo AOB, độ dài cung nhỏ AB diện tích hình quạt BOC
b) Chứng minh: OM = ON tứ giác OMNA nội tiếp
c) Gọi D điểm thuộc cung nhỏ AC C/minh: DA + DC = DB Xác định vị trí điểm D để BD đường kính (O)
d) Cho BD đường kính (O) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp COD theo R 3.133 Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O) Hai đường cao BD, CE cắt H
a) Chứng minh: BCDE nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn b) Gọi (d) tiếp tuyến A (O) Chứng minh: DE // (d)
c) Chứng minh: AH = 2OI BH BD + CH CE = BC2 d) Chứng minh: EH EC
2
AB
3.134 Cho ABC có gón nhọn nội tiếp đường trịn (O) Gọi I trung điểm BC, OI kéo dài cắt đường tròn (O) M Hai đường cao AD CE cắt H Chứng minh:
a) Tứ giác AEDC nội tiếp đường tròn b) AM tia phân giác BAC
c) ADB CDH đồng dạng
(22)22 a) Chứng minh: BOCM nội tiếp OM BC
b) Chứng minh: MA MD = MB MC MI2 = IA IB
c) Cho BMC = 600 Tính diện tích tứ giác BDCI bán kính đường trịn (BCI) theo R 3.136 Trên (O), lấy hai điểm A B Gọi D điểm cung lớn AB Từ A kẻ hai tiếp
tuyến Ax cắt BD kéo dài N, từ B kẻ tiếp tuyến By cắt DA kéo dài M Chứng minh: a) Tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn
b) MDB MBA đồng dạng c) AB // MN
3.137 Cho đường tròn (O ; R) điểm A với OA = 2R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến
đường tròn (O) (B, C hai tiếp điểm)
a) Chứng tỏ ABC đều, tính theo R độ dài cạnh ABC
b) Từ điểm D cung nhỏ BC (D khác B C) vẽ tiếp tuyến cắt AB, AC M, N Các đường thẳng OM, ON cắt BC E F Chứng tỏ chu vi AMN 2R số đo MON = 600
c) Chứng minh: điểm E, O, C, N nằm đường tròn, suy OD, MF, NE đồng quy
3.138 Cho ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O) có đường kính BC Vẽ đường cao AH ABC Đường trịn đường kính AH có tâm K cắt AB, AC (O) D, E, I Hai đường thẳng AI BC cắt M Chứng minh:
a) Tứ giác AEHD hình chữ nhật
b) AB AD = AE AC tứ giác BDEC nội tiếp c) OK AM, suy K trực tâm AMO
3.139 Cho đường trịn (O) đường kính BC = 2R Gọi A điểm (O) (A khác B C)
Đường phân giác BÂC cắt BC D cắt đường tròn (O) M a) Chứng minh: MB = MC tính độ dài MB theo R
b) Gọi E, F hình chiếu D lên AB, AC Tứ giác AEDF hình ? Vì ? c) Cho ABC = 600 Tính BD theo R
3.140 Cho ABC có góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H
a) Chứng minh: tứ giác DBFH, ACDF tứ giác nội tiếp b) Gọi I giao điểm đường thẳng AD với (O) Chứng minh: HCBICB c) Vẽ đường kính AK (O) Chứng minh: tứ giác CHBK hình bình hành d) Chứng minh: tứ giác BCKI hình thang cân
3.141 Cho ABC có góc nhọn có hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh: tứ giác BCDE nội tiếp
b) Chứng minh: BCEBDE BCEBAH
c) Đường thẳng AH cắt BC K Gọi H điểm đối xứng H qua BC Chứng minh: tứ giác ABHC nội tiếp
d) Cho BD = 5, DC = 4, DA = Tính HC HA
3.142 Cho hình vng ABCD có cạnh a gọi E trung điểm cạnh BC Vẽ BH DE (H
DE) Đường thẳng BH cắt DC K
(23)23 b) Tính CHK
c) AH cắt BD M Chứng minh: MH MA = MB MD d) Tính EH theo a
3.143 Cho ABC vuông A có đường cao AH Vẽ đường trịn đường kính AH, đường tròn
này cắt AB điểm E cắt AC điểm F
a) Chứng minh: tứ giác AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh: tứ giác BEFC nội tiếp
c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh: AI EF
d) Chứng minh rằng: diện tích SABC = 2SAEHF ABC vng cân
3.144 Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O ; R) có ba đường cao AD, BE CF cắt H
a) Chứng minh: tứ giác BFEC, AFHE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: DA tia phân giác góc EDF
c) Đường thẳng AO cắt (O) K (K A) Chứng minh: BHCK hình bình hành d) Gọi G trọng tâm ABC Chứng minh: SAHG = 2SAOG
3.145 Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) đường cao BE, CF gặp H gặp
đường tròn (O) M, N a) Chứng minh: EF // MN b) Chứng minh: OA EF
c) Kẻ đường cao AD Chứng minh AB AC = AD 2R
d) Giả sử BC cố định A di động đường tròn Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp AEF khơng đổi
3.146 Cho ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M thuộc cung nhỏ AC Gọi Cx
là tia qua M
a) Chứng minh: AM tia phân giác góc BMx
b) Gọi D điểm đối xứng A qua O Trên tia đối tia MB lấy điểm H cho MH = MC Chứng minh: MD // CH
c) Gọi I K tr/điểm BC CH Tìm điểm cách điểm A, I, C, K d) Khi M di động cung nhỏ AC trung điểm E BM chạy đường
3.147 Cho đường tròn (O; R) điểm D cố định bên đường tròn Từ D kẻ hai tiếp tuyến DB DC tới đường tròn (B, C tiếp điểm cát tuyến di động DEF Kẻ dây cung BA song song với cát tuyến DEF Dây AC cắt dây EF I, tia OI cắt đường thẳng BC M
a) So sánh CID COD
b) Chứng minh: điểm B, I, O, C, D nằm đường tròn c) Chứng minh: I trung điểm dây EF
d) Khi cát tuyến DEF di động Chứng minh tích OI OM khơng đổi
3.148 Cho đường trịn (O) đường kính BC điểm A nằm cung BC cho AB
AC Lấy tia AC điểm D cho AD = AB, kẻ hình vng BADE Tia AE cắt đường trịn (O) điểm thứ hai F
a) Chứng minh: FBC vng cân b) FCD tam giác ? Vì ?
(24)24 d) Khi A di động cung BC không chứa điểm F E chạy đường ?
3.149 Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2R Trên tia đối tia BA đặt đoạn BC = R Vẽ dây BD = R, AD cắt đường thẳng d vng góc với AB C điểm M
a) Tính tích AD.AM theo R b) Chứng minh: ABM cân
c) Tính chu vi diện tích ABM theo chu vi diện tích ABD
d) Cung BD chia ABM thành hai phần Tính diện tích phần ngồi đường trịn
3.150 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AD, BE, CF gặp H Gọi K điểm đối xứng A qua O I trung điểm BC
a) Chứng minh: ba điểm H, I, K thẳng hàng
b) Tia AD gặp đường tròn (O) N Tứ giác BCKN hình ? Tại ? c) ABC phải có thêm điều kiện để có HA.BC = HC.AB
d) Chứng minh: DA2 + DB2 + DC2 + DN2 = 4R2
3.151 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn P điểm cung AB khơng chứa C D Hai dây PC PD cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I, dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh:
a) CIDCKD
b) Tứ giác CDEF nội tiếp c) IK // AB
d) Đường tròn ngoại tiếp AFD tiếp xúc với PA A e) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để có FA = EB
3.152 Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R, đường cao AD, BE,
CF gặp H
a) Chứng minh: AH.AD = AE.AC = AF.AB
b) Chứng minh: H tâm đường tròn nội tiếp DEF
c) Gọi N điểm đối xứng H qua BC Chứng minh: N (O)
d) Chứng minh: ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác HAB, HBC, HAC
3.153 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn
người ta kẻ tia tiếp tuyến Ax dây cung AC bất kỳ, tia phân giác góc CÂx cắt nửa đường tròn D, tia AD BC cắt E, tia BD cắt tia Ax F
a) Chứng minh: ABE cân B tứ giác ABEF nội tiếp
b) Các dây AC BD cắt K C/minh: tứ giác AKEF hình thoi
c) Chứng minh sin BAC0,5 AK = 2CK ABE tam gác
d) Cùng với giả thiết sin BAC0,5 Hãy tính diện tích chu vi hình trịn (ABEF)