Chuyên đề 4 - Giá trị nguyên của biến, giá trị của biểu thức

[r]

Chuyên đề 4: Giá trị nguyên biến, giá trị biểu thức

Các kiến thức vận dụng: - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5,

- Phân tích TSNT, tính chất số nguyên tố, hợp số , số phương - Tính chất chia hết tổng , tích

- ƯCLN, BCNN số 2 Bài tập vận dụng :

* Tìm x,y dạng tìm nghiệm đa thức Bài 1: a) Tìm số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 2

23 ) 2004 (

7 x   y

c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y =

d) Tìm số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1

HD: a) Từ 51x + 26y = 2000  17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) 3,17 số NT nên x

2 mà x NT x = Lại có 1000 – 13y 51 , 1000 – 13y > y NT  y =

b) Từ 2

23 ) 2004 (

7 x  y (1)

7(x–2004)2 0 2

23 y y 23 y {0, 2,3, 4}

      

Mặt khác số NT 13 y

  y = y = thay vào (1) suy : x= 2005 ,y =4 x = 2003, y =

b) Ta có xy + 3x - y = ( x – 1)( y + 3) =  1

3

x y

     



1

3

x y

   

    

hoặc

3

x y

     



1

1

x y

   

    

c) x2-2y2=1 2

1 ( 1)( 1)

x y x x y

      

VP = 2y2 chia hết cho suy x > , mặt khác y nguyên tố

1

x y x

x y y

  

 

 

  

 

Bài 2 a) Tìm số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = b) Tìm x y,  biết: 25y2 8(x2012)2

HD : a) Từ x – y + 2xy = 2x – 2y + 2xy = (2x - 1)( 2y + 1) = 13

b) Từ 2

25y 8(x2012)  y2  25 25 – y2 chia hết cho , suy y = y = y = , từ tìm x

Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên dương x y, cho: 1 x  y  b) Tìm số a, b, c nguyên dương thoả mãn :

b a

a33 255 c a35

HD : a) Từ 1

x  y   ( x + y) = xy (*)

5

5

x xy

y



  



+ Với x chia hết cho , đặt x = q ( q số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:

5q + y = qy 5q = ( q – ) y Do q = không thỏa mãn , nên với q khác

ta có 5

1

q

y Z q

q q

      

  Ư(5) , từ tìm y, x

b) b

a

a33 255  a2 ( a +3) = 5b – , mà c

a35  a2 5c = 5( 5b – – 1) 5 b c a   

  Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( c >1 5b – - không

chia hết cho a khơng số ngun.) Với c = 1 a = b =

Bài 4: Tìm cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:

2

2 2

5 p20135 p q

HD : 2 2 2

5 p 20135 p q 2013q 25p 25p 2013q 25 (25p p1)

Do p nguyên tố nên 2

2013q 25 2013 – q2 > từ tìm q Bài 5 : Tìm tất số nguyên dương n cho: 2n 1 chia hết cho HD : Với n < 2n khơng chia hết cho

Với n 3 n = 3k n = 3k + n = 3k + ( * kN )

Xét n = 3k , 2n -1 = 23k – = 8k – = ( + 1)k -1 = 7.A + -1 = 7.A 7

Xét n = 3k +1 2n – = 23k+1 – = 2.83k – = 2.(7A+1) -1 = 7A + không

chia hết cho

Xét n = 3k+2 2n – = 23k +2 -1 = 4.83k – = 4( 7A + 1) – = A + không chia hết cho Vậy n = 3k với *

kN

* Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết: Bài Tìm số nguyên m để:

a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị biểu thức 2m + b) 3m1 3

HD : a) Cách : Nếu m >1 m -1 < 2m +1 , suy m -1 không chia hết cho 2m +1

Nếu m < -2 m 1 2m1 , suy m -1 khơng chia hết cho 2m +1 Vậy m { -2; -1; 0; 1}

Cách : Để m1 2m 1 2(m1) 2m 1 (2m 1) 2m 1 2m1

b) 3m1 3  - < 3m – < 

1 3 m m m        

 m nguyên

Bài a) Tìm x nguyên để x 1 chia hết cho x3

b) Tìm xZ để A Z tìm giá trị

A =   x x

HD: A =

3   x x

= 2( 3)

3 x x x       

Bài 3: Tìm x nguyên để 2012 1006

x x

 

HD : 2012 1006

x x

  =

2(1006 1) 2009 2009

2

1006 1006

x

x x

 

 

 

để 2012 1006

x x



 2009 1006 x1 x số CP

Với x >1 x số CP 1006 x 1 20122009 suy 2009 không chia hết cho 1006 x1

Với x = thay vào không thỏa mãn Với x = 2009 :1006 x 1 2009