Chuyên đề nâng cao lớp 6 phần số tự nhiên

a) Tích c ủa hai số tự nhiên tiên tiếp thì chia hết cho 2. b) Tích c ủa ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.. M ột số tự nhiên có chữ số đầu tiên lớn hơn chữ số hàng đơn vị.. Ch [r]

 Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 6

SỐ TỰ NHIÊN, SỐ NGUYÊN

Chương I ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN §1 Tập hợp Tập hợp

Kiến thức

1 Tập hợp khái niệm tốn học Để viết tập hợp, thường có hai

cách:

- Liệt kê phần tử tập hợp

- Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp

2 Một tập hợp có phần tử, có nhiều phần tử, có vơ số phần tử,

khơng có phần tử nào, gọi tập rỗng, ký hiệu ∅

3 Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập hợp A tập hợp

tập hợp B Ký hiệu A⊂B

Nâng cao :

1 Mọi tập hợp tập hợp Quy ước ∅ ⊂ A với A

3 Nếu A⊂B B⊂ A A=B

Thí dụ 1: Cho hai tập hợp :

{6 ; ; ; ; 10}

A= B={x ; ; ; l0 ; y}

a) Viết tập hợp A cách tính chất đặc trưng cho phần tử b) Điền kí hiệu ∈ ∉; vào trống để có cách viết :

9 A ; x A ; y B

c) Tìm x y để có A=B

Giải :

a) A={x∈|5 < x < 11}

b) 9∈A ; x∉A ; y B∈

c) A=B ⇔ =x ; y=8 x=8 ; y=6

Nhận xét : Vì thứ tự liệt kê phần tử không quan trọng nên câu c ta có đáp số

Giải : A⊂M nên với x∈A x∈N (1) M ⊂N nên với x∈M x∈N (2)

Từ (1) (2) suy với x∈A x∈N, A⊂N

Nhận xét : Quan hệ ⊂ hai tập hợp có tính chất bắc cầu

BÀI TẬP

1 Các tập hợp A B cho sơ đồ hình bên

a) Viết tập hợp A B cách liệt kê phần tử b) Điền chữ A B vào trống để có cách viết

4 ∈ ; ∉ ; m∈

c) Viết tập hợp H phần tử thuộc hai tập hợp

2 Cho dãy số ; ; ; 13 ;

a) Nêu quy luật dãy số

b) Viết tập hợp B phần tử số hạng dãy

3 a) Viết tập hợp M chữ chữ “GANG”

b) Với tất phần tử tập hợp M viết thành chữ thuộc loại danh từ

4 Cho tập hợp D={0 ; ; ; ; ; 20}

a) Viết tập hợp D cách tính chất đặc trưng cho phần tử b) Tập hợp D có phần tử

c) Viết tập hợp E phần tử số chẵn D (số chẵn số chia hết cho 2) Tập hợp E có phần tử ?

d) Viết tập hợp F phần tử số lẻ tập hợp D (số lẻ số không chia hết cho 2) Tập hợp F có phần tử ?

5 Cho A={a , b} ; B={1 ; ; 3} Viết tập hợp có ba phần tử có phần tử thuộc tập hợp A ; hai phần tử thuộc tập hợp B

6 Cho H tập hợp số lẻ ; K tập hợp số tự nhiên

a) Viết tập hợp L phần tử thuộc K mà không thuộc H

c) Tập hợp M cho H ⊂M ; M ⊂K

- Hỏi tập M có phần tử ? Có nhiều phần tử ?

- Có tập hợp M có phần tử thỏa mãn điều kiện ?

7 Dùng dấu ⊂ =; để thể mối quan hệ tập sau

P tập hợp số tự nhiên x mà x+ ≤3 10 Q tập hợp số tự nhiên x mà x.3=5 R tập hợp số tự nhiên x mà x.3 0= S tập hợp số tự nhiên x mà x.3 24<

8. Cho tập hợp K ={5 ; ; ; 8} Viết tập hợp K cho phần tử phải có số lẻ, số chẵn

9 Tập hợp M có tập hợp có phần tử Hỏi tập M có tập hợp có phần tử ?

§2 Tập hợp số tự nhiên Ghi số tự nhiên

Kiến thức :

1 Tập hợp số tự nhiên kí hiệu  ={0 ; ; ; ; }

Tập hợp số tự nhiên khác kí hiệu * ={1 ; ; ; }

3 Để ghi số tự nhiên hệ thập phân, ta dùng 10 kí hiệu (gọi 10 chữ số) :

0 ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Trong hệ La mã dùng kí hiệu :

I V X L C D M

10 50 100 500 1000

Nâng cao :

Số Ký hiệu Các biểu diễn thập phân

Có chữ số ab = 10 a +b

Có chữ số abcd = 1000 a +100 b +10 c + d

(chữ số (a≠0)

Thí dụ 3: Phố Hàng Ngang phố cổ Hà Nội Các nhà đánh số liên tục, dãy lẻ ; ; ; tới 61 ; dãy chẵn ; ; ; tới 64

a) Bên só nhà chẵn, phịng gác nhỏ, chủ tịch Hồ Chí Minh khởi thảo

quyền tuyên ngôn độc lập khai sinh nước Việt Nam dân chủ cộng hịa Ngơi nhà có

phịng nhà thứ 24 kể từ đầu phố (số 2) Hỏi nhà có số ?

b) Bên số nhà lẻ, chữ số chưa dùng ? chữ số dùng nhiều ?

c) Phải dùng tất chữ số để viết số nhà phố ?

Giải:

a) Ngơi nhà có số 24= 48

b) Bên số nhà lẻ, chữ số không dùng hàng đơn vị hàng chục

Chữ số không dùng hàng đơn vị, cịn hàng chục chưa dùng tới

Vậy chữ số chữ số chưa dùng đến Chữ số dùng tới lần hàng đơn vị (nhiều

nhất so với chữ số khác), dùng tới lần hàng chục (không so với chữ số

khác) Vậy chữ số dùng nhiều (12 lần)

c) Tạm chưa tính nhà 64 dãy phố có 62 nhà từ ; ; ; tới 62 Trong dãy số có số có chữ số 62 53− = số có hai chữ số

Số chữ số cần dùng : 9.1 53.2+ =9.106 115=

Nhận xét : Cơng thức tính số chữ số cần dùng để ghi chép số tự nhiên liên tiếp : Gọi số số có chữ số a1

Gọi số số có chữ số a2 ……

Số số có n chữ số an, số chữ số cần dùng S là:

1 n

S =a + a + + a n

BÀI TẬP

10 Viết tập hợp chữ số tự nhiên liên tiếp lớn 94 không 100

a) Chữ số hàng đơn vị gấp lần chữ số hàng chục

b) Chữ số hàng đơn vị nhỏ chữ số hàng chục

c) Chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục

12 a) Có số tự nhiên nhỏ 20 ? b) Có số tự nhiên nhỏ n ? (n∈)

c) Có số chẵn nhỏ n ? (n∈)

13.a) Có số có chữ số mà chữ số giống ? b) Có số có chữ số ?

c) Có số có n chữ số (n∈*)

14 Bảng số đồng hồ điện tử có nhóm số giờ, phút, giây (mỗi nhóm có chữ

số) Nếu nhìn vào phần số nhóm giây phút có : a) Bao nhiêu lần thay đổi số ?

b) Bao nhiêu lần thay đổi chữ số ?

15 Hãy chia số bề mặt đồng hồ làm nhóm : Nhóm I gồm số tự nhiên liên tiếp nhóm II gồm số lại cho :

a) Tổng số nhóm I tổng số nhóm II

b) Tổng chữ số nhóm I tổng chữ số nhóm II

c) Tổng chữ số nhóm I tổng chữ số nhóm II

16 Cho số có chữ số abc (a b c, , khác khác 0) Nếu đổi chỗ chữ số cho ta số Hỏi có tất số có chữ số ? (Kể số ban đầu)

17 Cho chữ số a b c, , số (a b c, , khác khác 0) với chữ số này, lập số có chữ số ?

18 Cho chữ số khác Với chữ số lập số có chữ

số ?

19. Quyển sách giáo khoa Tốn lớp có 132 trang Hai trang đầu khơng đánh số Hỏi phải

dùng tất chữ số để đánh số trang sách ?

20. Dùng từ đến que diêm ghi số hệ La Mã ?

a) Có giá trị lớn b) Có giá trị nhỏ

22 Có 13 que diêm xếp sau : XII – V = VII

a) Đẳng thức hay sai ?

b) Hãy đổi chỗ que diêm để đằng thức khác

§3 Phép cộng phép nhân

Kiến thức :

1 Tính chất giao hoán phép cộng, phép nhân :

;

a + = +b b a a b=b a

2 Tính chất kết hợp phép cộng, phép nhân :

(a+b)+ = +c a (b+c) ; (a b ).c=a.(b c )

3 Cộng với số ; a+ = + =0 a a

Nhân với số : a 1=1 a = a

4 Tính chất phân phối phép nhân phép cộng :

( )

a b+c =a b + a c

Nâng cao :

1 Phép nhân có tính chất phân phối phép trừ :

(a b− ).c=a b −a c (a≥b)

2 Kí hiệu n!(đọc giai thừa)

( *)

!

n = n n∈

Thí dụ : Cho a b, ∈ Biết a b =0 a+4b=41 Tìm a b,

Giải:

Vì a b =0 nên a=0 b=0

Suy a=41

Thí dụ : Một học sinh nhân số với 31 đặt tích riêng thẳng hành phép cộng nên tích giảm 540 đơn vị so với tích

Tìm tích

Giải :

Gọi số bị nhân a, tích :

( ) ( )

31 30 30

a =a + = a+a

Nếu đặt tích riêng thẳng hàng phép cộng tích

( ) ( )

3

a + = a+a

So sánh (1) (2) ta thấy tích giảm :

30a−3a=27a=540 ; a=20

Vậy tích 30 31 620=

Nhận xét : a) Khi viết 30a−3a=27a ta vận dụng tính chất phân phối phép nhân phép trừ Thực vậy, 30a−3a=(30 − ) a=27a

b) Tích a viết gọn thành a

BÀI TẬP

23 Tìm hai số biết tổng chúng 176 ; số có hai chữ số khác số số viết theo thứ tự ngược lại

24 Cho a c+ =9 Viết tập hợp A số tự nhiên b cho abc+cba số có chữ số

25 Từ 10 chữ số ; ; ; ; gép lại thành số có chữ số cộng chúng lại a) Tìm giá trị lớn tổng

b) Tìm giá trị nhỏ tổng

26 Cho chữ số khác khác

a) Chứng tỏ lập 4! số có chữ số khác

b) Có thể lập số có chữ số khác chữ số cho

27 Có sơ tự nhiên mà tích chúng 2003 tổng có tận khơng ?

a) 38 41 117 159 62+ + + +

b) 73 86 968 914 3032+ + + +

c) 341.67 341.16 659.83+ +

d) 42.53 47.156 47.114+ −

29 Tính giá trị biểu thức :

a) A=(100 100 100 100− ) ( − ) ( − ) ( −n) với *

n∈ tích có 100 thừa số b) B=13a+19b+4a−2b với a b+ =100

30 Khơng tính giá trị cụ thể, so sánh hai biểu thức : a) A=199 201 B=200 200

b) C=35 53 18− D=36 53 34+

31 Hãy viết số sau dạng tích hai số tự nhiên liên tiếp

a) 12 ; b) 1122 ; c) 111222

32*.Tìm chữ số biết a bcd =abcabc

33*.Cho *

, ; ;

a b∈ a> b> Chứng tỏ a b+ <a b

§4 Phép trừ phép chia

Kiến thức :

1 Điều kiện để phép trừ a b− thực a≥b

2 Điều kiện để phép chia a b: khơng có dư (hay a chia hết cho b, kí hiệu a b )

a=b q (với a b q, , ∈;b≠0) Trong phép chia có dư :

Số bị chia = Số chia * Thương + Số dư

( )

;

a=b q + r b≠ < <r b

Nâng cao :

1 Vì số dư r phải nhỏ số chia b nên số dư lấy b giá trị khác ; ; ; ;(b−1)

3 Biểu diễn số tự nhiên

a) Biểu diễn qua phép chia số cho a số chẵn ⇔ =a 2q (q∈)

a số lẻ ⇔ =a 2q+1 (q∈)

b) Biểu diễn qua phép chia số cho a chia hết cho ⇔ =a 3q (q∈)

a chia cho dư ⇔ =a 3q+1 (q∈)

a chia cho dư ⇔ =a 3q+2 (q∈)

c) Biểu diễn qua phép chia số cho a chia hết cho ⇔ =a 4q (q∈)

a chia cho dư ⇔ =a 4q+1 (q∈)

a chia cho dư ⇔ =a 4q+2 (q∈)

a chia cho dư ⇔ =a 4q+3 (q∈)

Kí hiệu ⇔ kí hiệu “tương đương”, đọc “khi khi” có nghĩa mệnh đề trước

suy mệnh đề sau ngược lại, mệnh đề sau suy mệnh đề trước

4 Nếu phép chia khơng cịn dư phép chia có tính chất phân phối phép

cộng phép trừ

5 Quan hệ chia hết có tính chất bắc cầu nghĩa a b ; b c ⇒a c

Thí dụ : Một số cs chữ số số tự nhiên liên tiếp Nếu viết số theo thứ tự ngược lại số số cũ ?

Giải :

Gọi số có chữ số abc a, b, c số tự nhiên liên tiếp Vậy c a− =2 Số viết theo thứ tự ngược lại cba Ta có :

(100 100 ) (100 100 )

cba abc− = c+ b a+ − a+ b c+

Thí dụ : Hai số không chia hết cho 3, chia cho số dư khác Chứng tỏ tổng hai số chia hết cho

Giải :

Gọi hai số a b

Giả sử a chia cho dư ; b chia cho dư Thế a=3q1+1 ; b=3q2+2

Lúc a+ =b 3q1+ +1 3q2+ =2 3q1+3q2+ =3 3.(q1+q2+1)3 Nhận xét :

Trong cách giải ta vận dụng hai kiến thức sau phép chia hết phép chia có dư :

- Số dư phép chia cho phải nhỏ

- Để chứng tỏ a+b3 ta biến đổi a b+ =3 q (ở q= +q1 q2+1)

BÀI TẬP

34 Chứng tỏ phép trừ, tổng số bị trừ, số trừ hiệu chia hết cho

35. Cho M ={1,13, 21, 29, 52} Tìm x, y biết 30< − <x y 40 36 Tìm x, biết :

a) (x+74)−318=200

b) 3636 : 12( x−91)=36

c) (x: 23 45 67+ ) =8911

37 Thực phép tính sau cách hợp lý : a) (44 60 : 11 13 15) ( )

b) 123 456456 456 123123−

c) (98 7676 9898 76 : 2001 2002 2003 2010) ( )

38 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

( )

2003 1003 : 999

39 Hai số tự nhiên a b chia cho m có số dư, a≥b Chứng tỏ (a b− )m

40 Trong phép chia có số bị chia 155 ; số dư 12 Tìm số chia thương

41 Viết tập hợp C số tự nhiên x biết lấy x chia cho 12 ta thương số dư

42 Chia 129 cho số ta số dư 10 Chia 61 cho số ta số dư 10 Tìm số chia

43 Để đánh số trang sách người ta phải dùng tất 600 chữ số Hỏi

sách có trang

44* Người ta viết liền dãy số tự nhiên : 1, 2, 3, 4, Hỏi chữ số thứ 659 chữ số ?

45 Cho S = + + + +7 10 13 97 100+

a) Tổng có số hạng ? b) Tìm số hạng thứ 22

c) Tính S

46 Cho A tập hợp số tự nhiên không vượt 150, chia cho dư :

{x | x = q + ; q ; x 150}

A= ∈ ∈ ≤

a) Hãy liệt kê phần tử A thành dãy số từ nhỏ đến lớn b) Tính tổng phần tử A

§5 Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Kiến thức :

1 Định nghĩa ( *)

n

a = a a a n∈

(n thừa số )

n

a lũy thừa ; a số ; n số mũ

Quy ước: ( )

;

a =a a = a≠

2 Nhân chia hai lũy thừa số :

( *)

,

m n m n

a a =a + m n∈

( * )

: , ; ;

m n m n

Nâng cao :

1 Lũy thừa tích (a b )n =an.bn Lũy thừa lũy thừa ( )m n m n

a =a

3 Lũy thừa tầng n ( )mn

m

a =a

Chẳng hạn 23

2 =2 =256

17

5 =5 =5

Như lũy thừa tầng ta thực phép nâng lên lũy thừa từ xuống

4 Số phương bình phương số tự nhiên

Chẳng hạn ; ; ; ; 16 ; 25

Thí dụ : Tìm x, biết 2.3x =162 Giải :

2 3x =162 ⇒ 3x =162 :

3x =81 ; 3x =3

Vậy x=4

Nhận xét :

Trong cách giải ta dùng tính chất : Trong hai lũy thừa nhau, số

nhau số mũ ; ngược lại số mũ số

BÀI TẬP

47 Tìm số phương có chữ số cho chữ số số phương

48. Trong số sau, số ? Số nhỏ ? Số lớn ?

( )

4 99 *

2 ; ; ; ; 99 ; ; 1n n∈

49 Kiểm tra xem đẳng thức sau hay sai ? Nếu sai di chuyển chữ số đến vị trí khác để đẳng thức

2

152 5− =10

50 Chứng tỏ tổng hiệu sau số phương :

b) 2

13 −5

c) 3 3

1 + + +2

51 Viết tổng hiệu sau dạng lũy thừa với số mũ lớn a) 172−152

b) 43− +23 52

52 Viết số 729 dạng lũy thừa với số khác số mũ lớn

53 Viết tích thương sau dạng lũy thừa số

a)

2 b)

25 125 c)

625 : 25 d) 3

12

54 Tính :

4

3

1

3 2

6 ; ; ; 2003 55 Tìm x∈ biết :

a) 2x−15 17= b) (7x−11)3 =2 55 2+200 56* Tìm x∈, biết :

a) 10

1x

x = b) 10

x =x c) (2x−15) (5 = 2x−15)3

57 Tính giá trị biểu thức :

( )

22 15

2 14

11

A= −

§6 Chuyên đề : So sánh hai lũy thừa

1.Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa so sánh hai lũy thừa số số

mũ

- Nếu hai lũy thừa có số (lớn 1) lũy thừa có số mũ lớn lớn

Nếu m>n m n ( 1)

a >a a>

- Nếu hai lũy thừa có số mũ (lớn 0) lũy thừa có số lớn lớn

hơn

Nếu a>b n n

2.Ngồi hai cách trên, để so sánh hai lũy thừa ta dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn

điệu phép nhân (a<b a c <b c với c>0)

Thí dụ :

So sánh số 19

16 25

8 , số lớn ?

Giải :

Ta thấy số 16 khác lũy thừa nên ta tìm cách đưa

19

16 25

8 lũy thừa số

( )19

19 76

16 = =2

( )25

25 75

8 = =2

Vì 76 75

2 >2 nên 1619 >825

BÀI TẬP 58 So sánh số sau, số lớn ?

a) 11

27

81 b)

625

125

c) 36

5 24

11 d)

3n

2n (n∈*)

59 So sánh số sau, số lớn ? a) 23

5 22

6.5 b) 13

7.2 16

2 c) 15

21

27 49 60 So sánh số sau, số lớn ?

a) 20

199 15

2003 b) 99

3 21

11

61 So sánh hai hiệu, hiệu lớn ?

45 44

72 −72 44 43

72 −72 62 Tìm x∈ biết :

a) 16x <1284 b) 18

5 5x x+ x+ ≤100 :

(18 chữ số 0)

63 Cho

1 2

S = + + + + +

Hãy so sánh S với

5.2

Hãy so sánh m với

10.9

65* Hãy viết số lớn cách dùng chữ số , , với điều kiện chữ số dùng lần lần

§7 Chuyên đề Chữ số tận tích, lũy thừa

1. Trong thực tế nhiều ta không cần biết giá trị số mà cần biết hay

nhiều chữ số tận Chẳng hạn, so xổ số muốn biết có trúng giải cuối hay

không ta cần so chữ số cuối Trong toán học, xét số có chia hết cho 2, 4, hoặ chia hết cho 5, 15, 125 hay không ta cần xét 1, 2, chữ số tận số (xem Bài 10)

Tìm chữ số tận tích

- Tích số lẻ số lẻ

Đặc biệt, tích số lẻ có tận với số lẻ có chữ số tận

- Tích số chẵn với với số tự nhiên số chẵn

Đặc biệt, tích số chẵn có tận với số tự nhiên có chữ số tận

3 Tìm chữ số tận luỹ thừa

- Các số tự nhiên có tận 0, 1, 5, nâng lên luỹ thừa (khác 0) giữ nguyên chữ số tận

- Các số tự nhiên tận chữ số 3,7,9 nâng lân luỹ thừ 4n có chữ

số tận

… 4

3 n =1; n =1; n =1

Các chữ số tự nhiên tận chữ số 2, 4, nâng lên luỹ thừa 4n (n≠0)

có tận

4

2 n =6; n =6; n =6

(Riêng chữ số tự nhiên có chữ số tận 9, nâng lên luỹ thừa lẻ có chữ số tận nó; nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận 1)

Thí dụ 10:

Cho A = 102 ( )

51n 47

n

+ ∈

Chứng tỏ A  10

Giải:

51n =

102 100 4.25

47 =47 47 =47 47 = 9×

Vậy A = 9+ = 0; A  10

Thí dụ 11: Ta biết Dương lịch, Âm lịch người ta ghi lịch theo hệ đếm CAN

CHI, chẳng hạn Nhâm Ngọ, Quý Mùi, Giáp Thân, … Chữ thứ hàng CAN năm

Có 10 CAN là:

Hàng can Giáp Ất Bính Đinh Mậu Kỉ Canh Tân Nhâm Quý

Mã số 10(0)

Muốn tìm hàng CAN năm ta dùng công thức đơn giản sau đối chiếu kết

quả với bảng trên:

(*)

(Nếu chữ số tận năm dương lịch nhỏ ta mượn thêm 10)

Bây bạn tìm hàng CAN năm Ngọ quan trọng lịch sử giành độc lập

của nhân dân ta kỉ XX năm 1930 năm Đảng CVN đời nằm 1945 chiến

thắng Điện Biên Phủ

Giải: 10 - = ⇒ CANH; 1930 năm CANH NGỌ

– = ⇒ GIÁP; 1945 năm GIÁP NGỌ

BÀI TẬP

66. Nước Việt Nam dân chủ cộng hoà đời sau cách mạng tháng Tám năm 1945,

năm Dậu Hãy tìm hàng CAN năm Dậu

67 Em tuổi gì? Tìm hàng CAN tuổi

68 Tìm chữ số tậncùng số sau:

30 31 32 33 35

74 ; 49 ; 87 ; 58 ; 23

69 Tìm hai chữ số tận số 5n (n>1)

70. Chứng tỏ tổng, hiệu sau không chia hết cho 10 a) A = 98.96.94.92 91.93.95.97 ;−

b) B = 405 ( )

405n , ;

m m n n

+ + ∈ ≠

71 Tìm chữ số tận số sau: a)

7

5

234 ; b)

5

6

579

72 Tích số lẻ liên tiếp có tận Hỏi tích có thừa số?

73 Tích A = 10 14

2.2 2 ×5 5 tận chữ số 0?

74* Cho S = 30

1 3+ + + + +3

Tìm chữ số tận S, từ suy S khơng phải số phương

§8 Thứ tự thực phép tính

Kiến thức

1 Thứ tự thực phép tính biểu thức khơng có dấu ngoặc: Luỹ thừa → Nhân chia → Cộng trừ

2 Thứ tự thực phép tính biểu thức có loại dấu ngoặc: ( ) → [ ] → { }

Nâng cao:

Nếu biểu thức có n! phải coi có phép nhân 1.2.3…n, ta thực phép

tính theo quy ước

Thí dụ 12:

Dùng chữ số dấu ngoặc phép tính kể dấu ngoặc để viết thành

biểu thức có giá trị 100 cho dùng chữ số

Giải:

111 11 100− =

( )1

11 1− + =100

a) ( 2 2) ( 2)

10 +11 +12 : 13 +14

b)

9! − 8! − 7!.8

c) ( )

2 16

13 11

3.4.2 11.2 −16

76 Với chữ số dấu phép tính kể dấu ngoặc viết thành biểu thức có

giá trị 000 000

77 Tìm x biết

a) ( 2) ( )2

19x+2.5 :14= 13 8− −4

b) 12

2.3x =10.3 +8.27

78 Một xà lan chở hàng từ bến A đến bến B cách 60km lại trở bến cũ với vận

tốc riêng không đổi 25km/h Vận tốc dịng nước 5km/h Tính vận tốc trung bình cảu xà

lan thời gian

79 Hiện tổng số tuổi bố mẹ 66 Sau 10 năm tổng số tuổi hai

mẹ tuổi bố tuổi mẹ băng ba lần tuổi Tính số tuổi người

nay

80 Có bình lít bình lít Làm để lấy lít nước từ bể

nước

81 Một thùng có 16 lít nước dùng bình lít bình lít để chia 16 lít làm hai phần

82 Người bán hàng chiều khách

Ba người vào cửa hàng sách, tình cờ mua sách giá 7.900 đồng Mỗi người đưa tờ 100 nghìn đồng yêu cầu trả lại tiền thừa sau:

Người thứ nhất: Có số tờ trả lại

Người thứ hai: Có số tờ trả lại có đủ loại tiền nhỏ

Người thứ ba: có số tờ trả lại trung bình cộng số tờ hai người khơng có loại tờ 100 đồng, 1000 đồng, 10.000 đồng

§9 Tính chất chia hết tổng

Kiến thức bản:

1 Tính chất a m b m ;  ⇒ +a b m ; a b m−  (a≥b)

2 Tính chất a m b m/ ;  ⇒ +a b m/ ; a b m− / (a≥b)

3 Tính chất a m ⇒k a m k  ( ∈)

4 Tính chất a m b n ;  ⇒ab mn

Đặc biệt: a b ⇒a bn n Nâng cao:

1 Các tính chất tổng số có nhiều số hạng a m b m ;  ⇒k a1 +k b m2  (Thí dụ 13)

3 a m b m ;  ; a+ +b c m ⇒c m

a m b m ;  ; a+ +b c m/ ⇒c m/ (Thí dụ 14)

Thí dụ 13:

Cho a m b m ;  , chứng minh k a1 +k b m2 

Giải:

1

a m ⇒k a m (tính chất 3)

b m ⇒k b m (tính chất 3) Vậy k a1 +k b m2  (tính chất 1)

Thí dụ 14:

Chứng minh rằng:

a) Nếu a m b m ;  a+ +b c m c m b) Nếu a m b m ;  a+ +b c m/ c m/

Giải

a) Giải sử c m/ ta có a m b m ;  nên a+ +b c m/ (tính chất 2) Điều trái với đề

b) Giải sử c m ta có a m b m ;  nên a+ +b c m (tính chất 1) Điều trái với đề

a+ +b c m/ Vậy điều giải sử sai, suy c m/

Nhận xét:

Phương pháp giải thí dụ 14 phương pháp phản chứng Nó có ba bước: - Giải sử có điều trái với điều chứng minh

- Từ suy (nhờ tính chất biết) kết mâu thuẫn với điều cho, biết - Kết luận: Vậy điều giả sử sai, điều phải chứng minh

BÀI TẬP

83 Chứng minh với n∈N thì 60n + 45 chia hết cho 15 không chia hết cho

30

84 Cho A = 10 12 + 40

Hỏi A có chia hết cho 6, cho 8, cho không?

85 Cho B = 23! 19! 15!+ − Chứng minh rằng: a) B  11

b) B  110

86 Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho cịn tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho

87 Chứng minh tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10 cịn tổng số lẻ liên tiếp chia cho 10 dư

89 Cho C = 1 3+ + + + +2 33 311 Chứng minh rằng: a) C  13

b) C  40

90 Chứng minh rằng:

a) Tích hai số tự nhiên tiên tiếp chia hết cho b) Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho

91 Tìm n ∈Nđể:

c) 27 – 5n  n

93 Tìmn ∈N sao cho: a) n +  n + b) 2n +  n – c) 3n +  11 – 2n

94* Cho 10k−1  19 với k > Chứng minh rằng:

a)

10 k−1 19

b)

10 k−1  19

§10 Dấu hiệu chia hết cho 2, cho

Kiến thức bản:

1 Dấu hiệu chia hết cho

a  ⇔ a có chữ số tận 0; 2; 4; 6; Dấu hiệu chia hết cho

a  ⇔ a có chữ số tận 0;

Nâng cao:

1 a  (hoặc 25) ⇔ chữ số tận a tạo thành số chia hết cho (hoặc 25) a  (hoặc 125) ⇔ chữ số tận a tạo thành số chia hết cho (hoặc 125)

Thí dụ 15:

Chứng minh với n ∈N số

9 n−1 chia hết cho cho

Giải:

( )

2

9 n− =1 n− =1 81n− =1 1 0− =

Số có chữ số tận nên chia hết cho 2;

BÀI TẬP

96 Thay chữ x, y chữ số thích hợp để cho: a) Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho 125 b) Số 9xy4 chia hết cho 2; cho 4; cho

97 Với chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất số

a) Chia hết cho ; b) Chia hết cho ; c) Chia hết cho 25 ; d) Chia hết cho 125

98 Chứng minh rằng:

a) 60 37

942 −351 chia hết cho

b) 995−984+973−962 chia hết cho

99 Có hai số tự nhiên mà tổng 3456 số lớn gấp lần số nhỏ không?

100. Cho a, b ∈N Hỏi số ab(a + b) có tận bàng không?

101 Cho n ∈N, chứng minh 5n−1 4

102. Cho n∈N, chứng minh n2+ +n không chia hết cho khơng chia hết cho

§11 Dấu hiệu chia hết cho 3, cho

Kiến thức bản:

1 Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9)

a  (hoặc 9) ⇔Tổng chữ số a chia hết cho (hoặc 9)

2 Số dư phép chia số a cho (hoặc 9) số dư phép chia tổng chữ số

của a cho (hoặc 9)

Nâng cao:

Dấu hiệu chia hết cho 11

a  11 ⇔Tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn (hoặc ngược lại) chia hết cho 11

Thí dụ 16: Cho số 76a23

a) Tìm chữ số a để số 76a23 9

Giải:

a) 76a23 9 ⇔ + + + +7 a 9 tức a+18 9 a∈{ }0;9 b) Với a = số 76023 có (7+ +0 – 6) ( +2)=2 11/

Với a = số 76923 có (7 – 6+ + ) ( +2)=11 11

Vậy với a = số 76a23 11

BÀI TẬP

103 Thay dấu * chữ số thích hợp để:

a) Số 35*8 chia hết cho không chia hết cho b) số 468* chia hết cho không chia hết cho

104. Hãy tìm:

a) Số nhỏ có chữ số chia hết cho b) Số nhỏ có chữ số chia hết cho c) Số lớn có chữ số chia hết cho 11

105 Tìm chữ số a, b cho số b851a chia hết cho

106 Một số tự nhiên có chữ số lớn chữ số hàng đơn vị Khi viết số theo thứ tự ngược lại số số cũ ba số 2002, 2003, 2004 Hiệu chúng số ba số đó?

107 Cho số abc/ Phải viết số liên tiếp lần để số chia hết cho 3?

108 Cho biểu thức A = 1494 1495 1496× ×

Khơng thực phép tính giải thích sao? a) A  180?

b) A  495

109 Chứng minh với n∈N thì số sau chia hết cho a) 10n−1

b) 10n +8

111 Chứng minh hiệu số tổng chữ số chia hết cho

112* Cho A =

1

8 111 n chu so

n+ (n ∈N*) Chứng minh A 

113*. Lấy mảnh giấy cắt làm mảnh nhỏ Lấy mảnh cắt thành mảnh khác Cứ tiếp tục nhiều lần

a) Hỏi ngừng cắt theo quy luật tất 60 mảnh giấy nhỏ khơng? b) Phải cắt tất bao nhiê mảnh giấy theo quy luật để tất 52 mảnh giấy nhỏ?

§12 Số ngun tố Hợp số Phân tích số thừa số nguyên tố

Kiến thức bản: 1.Ước bội

a  b ⇔a bội b ⇔ b ước a

2. Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước

3. Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước

Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, ta cần ước khác a

4. Phân tích số thừa số nguyên tố viết số dạng tích thừa số

nguyên tố Đặc biệt:

0

100 0 =2 5n n

n chu sè

, chẳng hạn 1000=2 53

Nâng cao:

1 Cách xác định số lượng ước số:

Nếu số M phân tích thừa số nguyên tố M = ax by … cz số lượng ước M (x + 1)(y + 1)…(z + 1)

2 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố

mũ chẵn Từ suy

- Số phương chia hết cho phải chia hết cho 22 - Số phương chia hết cho 23 phải chia hết cho 24

- Số phương chia hết cho phải chia hết cho 52 Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:

Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p a  p b  p Đặc biệt an  p a  p

Thí dụ 17:

Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 601

Giải:

Tổng hai số nguyên tố 601, số lẻ nên hai số phải số nguyên tố chẵn, số Số thứ hai 601 – = 599 (Tra bảng ta thấy 599 số nguyên tố)

Thí dụ 18: Cho A = 100

5 5+ + + +5

a) Số A số nguyên tố hay hợp số?

b) Số A có phải số phương khơng?

Giải:

a) A > ; A  (vì số hạng chia hết cho 5) nên A hợp số b)

5 25 nên 100

5 25, , 25

Nhưng / 25 nên A / 25 nên A số phương

Thí dụ 19:

Số 54 có ước? Viết tất ước

Giải: 54 = 33

Số ước 54 (1 + 1) (3 + 1) = (ước) Để liệt kê tất ước 54 ta viết sau:

1 32 33

1

1 32 33

hay

1 27

2 2.3 2.32 2.33 18 54

- Trong cách giải trên, để viết tất ước 54 ta dùng phương pháp phân tích số 54

ra thừa số nguyên tố Mỗi thừa số nguyên tố ước ngun tố Ngồi cịn có ước

gọi ước hợp Cách trình bày giúp ta khơng bỏ sót ước

- Còn phương pháp khác đem 54 chia cho 1, 2, 3,…, 54 ; lần chia hết

thì số chia ước 54

BÀI TẬP

Số nguyên tố Hợp số:

114 Tìm số nguyên tố a để 4a + 11 số nguyên tố nhỏ 30

115 Các số sau số nguyên tố hay hợp số: a = … 13 + 20

b = 147 247 347 – 13

116 Cho n ∈N* Chứng minh

s s

111 2111 chu o n chu o

  hợp số

117 Tìm số bị chia thương phép chia sau:

9** : 17 = **, Biết thương số nguyên tố

118 Cho a, n ∈N*, biết an  Chứng minh a2 + 150  25

119* a) Cho n số không chia hết cho Chứng minh n2 chia hết cho dư b) Cho p số nguyên tố lớn Hỏi p2 + 2003 số nguyên tố hay hợp số?

120 Cho n > không chia hết cho Chứng minh hai số n2 – n2 + đồng thời số nguyên tố

121*. Cho p số nguyên tố lớn

a) Chứng tỏ p có dạng 6k + 6k +

b) Biết 8p + số nguyên tố, chứng minh 4p + hợp số

122 Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Hỏi p + 100 số nguyên tố hay hợp số Phân tích số thừa số nguyên tố

123 Phân tích số sau thừa số nguyên tố cách hợp lí nhất:

a) 700 ; 9000 ; 210 000

b) 500 ; 1600 ; 18 000

90 ; 540 ; 3675

125 Tìm ước số:

a) 119 ; b) 625 ; c) 200

126 Tính cạnh hình vng biết diện tích :

a) 5929m2 ; b) 32400m2

127 Tính cạnh hình lập phương biết thể tích 1728cm3

128 Chứng minh số tự nhiên khác 0, có số lượng ước số lẻ số tự nhiên số phương

129 Tìm n ∈N* biết:

a) + + + … + 2n = 210

b) + + + … + (2n – 1) = 225

§13 Ước chung ước chung lớn

Kiến thức bản:

1 Giao hai tập hợp

Giao hai tập hợp A B tập hợp tạo thành phần tử chung hai tập

hợp đó, kí hiệu A ∩ B

2 Ước chung ước chung lớn

a) ƯC(a,b) = Ư(a) ∩ Ư(b)

b) Ước chung lớn a b số lớn tập hợp ước chung a b,

kí hiệu ƯCLN(a,b) gọn (a,b)

3 Cách tìm ước chung lớn nhóm số

Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung

Bước 3: Lập tích thừa số chọn thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tim

4 Chú ý

a) Nếu a  b (a,b) = b

c) Muốn tìm ước chung số cho, ta tìm ước ƯCLN số

Nâng cao:

1 Ba số a, b, c nguyên tố đôi (a,b) = 1; (b, c) = 1; (c, a) = Tính chất chia hết liên quan đến ƯCLN:

a) Cho (a,b) = d Nếu chia a b cho d thương chúng số nguyên tố

nhau

b) Nếu ab  m mà (a,m) = b  m

Thí dụ 20: Tìm số tự nhiên b biết chia 326 cho b dư 11; cịn chia 553 cho b dư 13

Giải:

326 chia cho b dư 11 ⇒ 326 – 11 = 315  b ; b > 11 553 chia cho b dư 13 ⇒ 553 – 13 = 540  b ; b > 13 Vậy b ƯC(315,540) với b > 13

Muốn tìm ƯC(315,540) trước tiên tìm ƯCLN(315,540)

315 = 32

540 = 22 33

ƯCLN(315,540) = 32

= 45

ƯC(315,540) = Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

Vì b > 13 nên tốn có hai đáp số b = 15 b = 45

Thí dụ 21: Chứng minh hai số tự nhiên liên tiếp hai số nguyên tố

Giải:

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp n n + (n ∈N) Ta phải chứng minh (n, n + 1) =

Nhận xét: Phương pháp chung để giải loại toán chứng minh hai số nguyên tố

là đặt ƯCLN chúng d, số chia hết cho d, sau tìm cách chứng minh d =

BÀI TẬP

130 Cho A tập hợp số nguyên tố B tập hợp hợp số

M tập hợp ước 20 N tập hợp ước 50 a) Tìm A ∩ B

b) Tìm M ∩ N

131 Cho C tập hợp số chia hết cho D tập hợp số chia hết cho Tìm C ∩ D

132 Tìm ƯCLN ƯC ba số 432; 504; 720

133 Một phịng hình chữ nhật kích thước 630×480 (cm) lát loại gạch hình vng

Muốn cho hai hàng gạch cuối sát hai tường liên tiếp khơng bị cắt xén kích thước

lớn viên gạch bao nhiêu? Để lát phịng cần viên gạch?

134. Chứng minh số sau nguyên tố nhau:

a) Hai số lẻ liên tiếp

b) 2n + 3n + (n ∈ N)

135*. Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng: a) (a, a – b ) =

b) (ab, a + b) =

136. Cho a, b hai số tự nhiên không nguyên tố nhau, a = 4n + 3; b = 5n + (n ∈ N) Tìm (a, b)

137.ƯCLN hai số 45 Số lớn 270, tìm số nhỏ

138. Tìm hai số biết tổng chúng 162 ƯCLN chúng 18

139. Tìm hai số tự nhiên nhỏ 200 biết hiệu chúng 90 ƯCLN chúng 15

140. Tìm hai số biết tích chúng 8748 ƯCLN chúng 27

141*. Cho a+5 7b ( ,a b∈N) Chứng minh 10a b+ 7 Mệnh đề đảo lại có khơng?

142. Một số tự nhiên a lần số có tổng chữ số Chứng minh a9

143*.Có 64 người tham quan hai loại xe: Loại 12 chỗ loại chỗ ngồi, hỏi loại

có xe?

Kiến thức

1.Bội chung bội chung nhỏ a)BC a b( , )=B a( )∩B b( )

b) Bội chung nhỏ a b số nhỏ khác tập hợp bội chung a

và b, kí hiệu BCNN(a, b) gọn [a, b]

2 Cách tìm bội chung nhỏ nhóm số

Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung riêng

Bước 3: Lập tích thừa số nguyên tố chung riêng, thừa số lấy với số mũ lớn Tích BCNN phải tìm

3 Chú ý:

a) Nếu số lớn nhóm số chia hết cho số cịn lại số BCNN

nhóm số cịm lại

b) Nếu số cho đôi ngun tố BCNN chúng tích số

c) Muốn tìm bội chung số cho, ta tìm BCNN số

Nâng cao:

1 Tích hai số tích BCNN với ƯCLN chúng

ab = BCNN(a, b) ƯCLN(a, b)

2 Nếu lấy BCNN(a, b) chia cho số a, b thương số nguyên tố

3 Nếu a m a n a chia hết cho BCNN(m, n) Từ suy ra:

- Nếu số chia hết cho hai số nguyên tố chia hết cho tích chúng

- Nếu số chia hết cho số ngun tố đơi chia hết cho tích

chúng

Thí dụ 22: Tìm số tự nhiên nhỏ có ba chữ số chia cho 18; 30; 45có số dư 8; 20; 35

Giải:

Gọi số phải tìm a Dễ thấy a + 10 chia hết cho 18; 30 45 Vậy a + 10 ∈ BC(18; 30; 45) BCNN(18; 30; 45) = 2.32.5 = 90

Suy a + 10 = 90k (k ∈ N*) Hay a = 90k – 10

Với k = a = 80 (mới có hai chữ số) Với k = a = 170 ( có chữ số) Vậy số phải tìm 170

Nhận xét:

Trong cách giải thí dụ này, ta thấy a + 10 bội chung ba số 18; 30; 45 Muốn tìm

bội chung chúng, trước tiên ta tìm BCNN ba số nhân kết với số tự nhiên k

Lần lượt cho k = 1; 2; 3; …ta bội chung từ nhỏ đến lớn Ta lấy gí trị nhỏ có ba

chữ số a

144 Một xe lăn dành cho người tần tật có chu vi bánh trước 63 cm, chu vi bánh sau 186 cm người ta đánh dấu hai điểm tiếp đất hai bánh xe Hỏi bánh trước bánh sau phải lăn vịng hai điểm đánh dấu lại tiếp đất lúc?

145. Ba học sinh, học sinh mua loại bút Giá ba loại bút 1200 đồng, 1500

đồng, 2000 đồng Biết tiền phải trả nhau, hỏi học sinh mua bút

146. Tìm bội chung lớn 5000 nhỏ 10000 số 126; 140; 180

147. Một số tự nhiên chia cho 12; 18; 21 dư Tìm số biết xấp xỉ 1000

148. Khối trường có chưa tới 400 học sinh, xếp hàng 10; 12; 15 đêu dư

nếu xếp hàng 11 khơng dư Tính số học sinh khối

149. Tìm hai số tự nhiên a b biết: BCNN(a, b) = 300; ƯCLN(a,b) = 15

150. Tìm hai số tự nhiên a b biết tích chúng 2940 BCNN chúng 210

151*. Tìm hai số a b biết tổng BCNN với ƯCLN chúng 15

152*. Tìm số tự nhiên a nhỏ có ba chữ số cho chia cho 11 dư 5, chia cho 13 dư

153. Chứng minh a số lẻ khơng chia hết cho

a −1 6

154. Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

§15 Chuyên đề Nguyên lý Điriclê toán chia hết

1. Có số thìa để số cốc Nếu số thìa nhiều số cốc có

một cốc chứa khơng hai thìa

Như vậy, có n + thìa để n cốc có cốc đựng khơng hai thìa Từ đẳng thức = + ta thấy nhốt thỏ vào ba lồng có

một lồng có chứa nhiều hai thỏ Đó nguyên lý Điriclê phát biểu

dưới dạng đơn giản

Tổng quát: Nếu nhốt a thỏ vào b lồng mà a = b q + r (0 < r < b) có lồng nhốt từ q + thỏ trở lên

2. Chú ý: Khi giải toán vận dụng nguyên lý Điriclê ta cần suy nghĩ để làm xuất

hiện khái niệm “thỏ” “lồng”, khái niệm “nhốt thỏ vào lồng” trình bày lời giải ta

cố gắng diễn đạt theo ngơn ngữ tốn học thơng thường

Thí dụ 23: cho số tự nhiên Chứng minh chọn hai số mà hiệu chúng chia hết cho

Phân tích: Coi thỏ Bảy thỏ nhốt lồng? Ta biết chia số cho số dư sáu số: 0, 1, 2, 3, 4, Có số tự nhiên chia

cho mà có so dư nên theo nguyên lý Điriclê có số có số dư

Hiệu hai số chia hết cho (xem 39)

Trình bày lời giải :

Nhận xét: Từ cách giải thí dụ ta nói n + số tự nhiên, chọn hai số mà hiệu chúng chia het cho n (n ∈ N*)

BÀI TẬP

155. Chứng minh 11 số tự nhiên có hai số có chữ số tận giống

156. Chứng minh tồn tai bội 13 gồm toàn chữ số

157. Cho dãy số : 10, 30

10 ,10 ,10 , ,10

Chứng minh tồn số chia cho 19 dư

158*. Chứng minh tồn số bội 19 có tổng chữ số 19

159. Cho số lẻ Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho

160. Cho số nguyên tố lớn Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia

hết cho 12

161. Chứng minh ba số tự nhiên bất kìln chọn hai số có tổng chia hết

cho

162. Cho bảy số tự nhiên bất kì, chứng minh ta ln chọn số có tổng chia hết

cho

163.Cho năm số tự nhiên bất kì, chứng minh ta ln chọn số có tổng chia hết

cho

164.Cho năm số tự nhiên bất kì, chứng minh ta ln chọn số có tổng chia hết

cho

165*. Viết số tự nhiên vào mặt súc sắc Chứng minh ta gieo súc sắc

xuống mặt bàn mặt nhìn thấy tìm hay nhiều mặt

để tổng số chia hết cho

§16 Ơn tập chương I Thí dụ 24 :Để tìm hàng chi năm ta dùng công thức :

hàng CHI = (Năm – 4) : 12 +1 Rồi đối chiếu kết với bảng sau:

Hàng chi

Tí Sửu Dần Mão Thìn Tị Ngọ Mùi Thân Dậu Tuất Hợi

Mã số 10 11 12

Chẳng hạn năm 2005 có hàng CHI :

Dư 2005

12

−

 

 

  + = + = 10 → Dậu

Năm 2010 kỉ niệm 1000 năm Thăng Long – Hà Nội, năm năm theo hệ đếm CAN CHI ?

CANnăm = 10 – = => Canh ( Xem thí dụ 11)

CHInăm = Dư 2010

12

−

 

 

Vậy năm 2010 năm Canh Dần

Thí dụ 25 : Chứng minh tích ước 50 503 Giải :

50 =

5

Số 50 có ước ; ; ; 10 ; 25 ; 50

Tích ước 50 10 25 50 = (1 50) (2 25) (5 10) = 50 50 50 =

50

BÀI TẬP

166. Thực phép tính sau cách hợp lí :

a)

23sohang 19sohang

19 19 19 77 77 77 + + + + + + + ( 23 số hạng 19; 19 số hạng 17) b) 1000 ! (456 789789 – 789 456456)

167. Cho biểu thức 252 – 84 : 21 + a) Tính giá trị biểu thức

b) Nếu dùng thêm dấu ngoặc giá trị khác ?

168. Tìm x ∈ N biết

a) x + (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 30) = 1240 b) + + + … + x = 210

169. Chiến thắng Đống Đa vào mùa xuân năm 1789 Trong hệ đếm CAN CHI, năm năm

nào?

170. Chứng minh : a) 10n+53  b) 4343−1717 10

c) 555…5 (2n chữ số 5) chia hết cho 11 khơng chia hết cho 125

171 Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 17 dư 5, chia cho 19 dư 12

172 Ngày tháng năm 2003 thứ bẩy

a) Hỏi ngày tháng 3; ngày tháng năm ngày thứ mấy?

b) Ngày tháng năm 2004 ngày thứ mấy?

173 Cho A= + + + +4 43 43 423+4 24 Chứng minh A 20;A 21;A 420  

174 Cho n = 29k với k ∈ N Với giá trị k n là: a) Số nguyên tố

b) Hợp số

c) Không phải số nguyên tố hợp số

175 Tìm x, y ∈N biết (x + 1)(2y – 5) = 143

176* Cho a hợp số, phân tích thừa số nguyên tố chứa hai thừa số nguyên tố khác P1

2

P Biết a3 có tất 40 ước hỏi a2có ước?

177 Tìm a ∈N biết 355 chia a dư 13 836 chia a hì dư

178* Một số tự nhiên chia dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia 91 dư bao nhiêu?

179 Cho số 12; 18; 27

b) Tìm số nhỏ có chữ số chia cho số dư

Chương II SỐ NGUYÊN

§1 Tập hợp Z số nguyên Thứ tự Z

Kiến thức

1 Tập hợp { ; 3; 2; 1;0;1; 2;3; − − − } gồm có số 0, số 1; 2; …(số nguyên dương) số -1; -2; -3; … (số nguyên âm) gọi tập hợp số nguyên, kí hiệu Z

2 Biểu diễn trục số

-4 -3 -2 -1 x Điểm biểu diễn số nguyên a gọi điểm a

3 Số đối

Trên trục số, hai điểm –3 cách gốc Ta nói –3 hai số đối Số đối a kí hiệu –a

4 Thứ tự Z

Trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b a < b hay b > a Từ suy ra: Số nguyên âm < < số nguyên dương

5 Giá trị tuyệt đối số nguyên a, kí hiệu a Nếu a = a =

Nếu a > a = a Nếu a < a = -a

Nhận xét:

- Giá trị tuyệt đối số nguyên lớn 0, nghĩa với a∈Z a

là số tự nhiên

- Hai số đối có giá trị tuyệt đối

Nâng cao:

1 Với a, b ∈ Z có ba truong hợp a = b a > b a < b

2 Với a, b, c ∈ Z a < b; b < c a > c (tính chất bắc cầu) Kí hiệu “hoặc”; kí hiệu “và”

A B

 

 nghĩa A B

A B

 

 nghĩa A B

Chẳng hạn x > -3 x < viết x

x

> −   < 

x > -5 x < viết -5 < x < hay x

x

> −   <  Thí dụ 26:

Nếu a < b a < b Giải:

Mệnh để a < b a < b mệnh đề sai Chẳng hạn: Với a = -7 ; b =

Thì a =7; b =1; > Rõ ràng a < b a < b

Nhận xét:Để chứng tỏ mệnh đề sai ta cần đưa thí dụ cụ thể mà mệnh

đề sai Một thí dụ cụ thể gọi phần thí dụ

Thí dụ 27: Tìm x∈ Z biết: a) x =4

b) x <4 c) x >4 Giải:

a) x ⇒ x = x = -4, viết gọn x = ±4 b) x < ⇔ ∈4 x {0;1; 2;3}

⇔ ∈x {0; 1; 2; 3± ± ± }

⇔ − < <4 x

Trong trường hợp tổng quát ta chứng minh : Vớia ∈ Z; k ∈ N* a < ⇔ − < <k k a k

c) x > ⇔4 x∈{5; 6; 7; }

⇔ ∈ ± ± ±x { 5; 6; 7; }

⇔x > x < -4

4

x x

>  ⇔  < −



Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh : Vớia ∈ Z; k ∈ N* a k a k

a k

>  > ⇔  < −



BÀI TẬP

180 Kí hiệu Z+ tập hợp số nguyên dương; Z- tập hợp số nguyên âm Tìm :

181 Các suy luận sau hay sai ?

a) a∈ ⇒ ∈N a Z b) a∈ ⇒ ∈Z a N c) a∉Z+⇒ ∈a Z−

182 Trên trục số, điểm A cách gốc đơn vị bên trái; điểm B cách điểm A đơn vị Hỏi :

a) Điểm A biểu diễn số nguyên ? b) Điểm B biểu diễn số nguyên ?

183. Cho A={x∈Z x/ > −9}

B={x∈Z x/ < −4}

C={x∈Z x/ ≥ −2}

Tìm A∩B; B∩C; C∩A

184 Viết tập hợp số nguyên liên tiếp có số

185 Số nguyên âm lớn có chữ số số nguyên âm nhỏ có hai chữ số có phải hai số ngun liền khơng ?

186 Tìm giá trị thích hợp a b :

a) 00a > −111 b) −a99> −600 c) −cb3> −cba d) −cab>c85

187 Cho số nguyên a, b Biết a số âm a < b Hãy xếp số theo thứ tự tăng dần

188. Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai ?

a) Nếu a = b a = b

b) Nếu a = b a = b c) Nếu a < b a < b

189 Tìm x biết :

a) x + = −5 37 b) −6 x = 54

190. Tìm x, y, z ∈ Z biết x + y + z =0

a) x <10 b) x >21 c) x > −3 d) x < −1

§ 2: Phép cộng hai số nguyên

Tính chất phép cộng hai số nguyên Kiến thức

1 Cộng hai số nguyên dấu : Ta cộng hai giá trị tuyệt đối đặt trước kết dấu

chung

2 Cộng hai số nguyên khác dấu:

- Cộng hai số nguyên đối : Tổng

- Cộng hai số ngun khác dấu khơng đối : Ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối đặt

trước kết dấu số có giá trị tuyệt đối lớn

3 Tính chất phép cộng số ngun

- Tính chất giao hốn : Với a, b ∈ Z a + b = b + a

- Tính chất kết hợp : Với a, b, c ∈ Z a + (b + c) = (a + b) + c - Cộng với số : Với a ∈ Z a + = a

- Cộng với số đối : Nếu a b đối a + b = Ngược lại , a + b = a = -b; b = -a

Chú ý: Phép cộng nhiều số ngun có tính chất giao hốn , kết hợp tổng quát

Nâng cao

1 Người ta thường viết ( 0)

( 0)

a a a

a a

≥  = − <



2 Ta chứng minh giá trị tuyệt đối tổng hai số nguyên nhỏ hoăc

bằng tổng giá trị tuyệt đối chúng : Với a, b ∈ Z a+ ≤b a + b

(dấu = xảy a b dấu a = b = 0)

Thí dụ 28 : Tính tổng S = (-351) + (-74) + 51 + (-126) + 149

Giải:

Cách 1: S = [(-351) + (-74) + (-126)] + (51 + 149)

S = -551 + 200 = -351

Cách 2: S = [(-351) + 51] + [ (-74) + (-126)] + 149

S = (-300) + (-200) + 149 = -500 + 149 = -351

- Trong cách giải thứ để cộng nhiều số ta cộng số âm với số âm, số dương với số dương cộng hai kết lại Cách có ưu điểm đỡ nhầm dấu

- Trong cách giải thứ hai, ta kết hợp nhóm có tổng số trịn trăm Cách giải

này có ưu điểm nhẩm kết

BÀI TẬP

192. Cho x ∈ {-3; -2; -1; 0; 1; 2; ; 10} y ∈ { -1; 0; 1; 2; ; 5}

Biết x + y = 3, tìm x y

193. Tính nhanh

a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 246 ;

b) -359 + 181 + (-123) + 350 + (-172) ;

c) -69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78

194. Tính tổng số nguyên x biết : a) − ≤ ≤17 x 18;

b) x ≤25

195. Cho S1 = + (-3) + + (-7) + + 17 ; S2 = -2 + + (-6) + + + (-18)

Tính S1 + S2

196. Cho x y số ngun có ba chữ số Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tổng x + y

197. Chứng minh số đối tổng hai số tổng hai số đối chúng

198. Cho x =5 ; y =11 Tính x + y

199*. Cho x, y hai số nguyên dấu Tính x + y biết x + y =10

200. Tính tổng:

a) S1 = a+ a với a ∈ Z ;

201. Cho 18 số nguyên cho tổng số số số âm Giải

thích tổng 18 số số âm ?Bài tốn cịn khơng thay 18 số

19 số

§ Phép trừ hai số nguyên

Kiến thức

Hiệu hai số nguyên a b tổng a số đối b a – b = a + (-b)

Nâng cao : Ta chứng minh với a, b ∈ Z : 1) a > b ⇔ a – b > 0: a < b ⇔ a – b <

2) Giá trị tuyệt đối hiệu hai số nguyên lớn hiệu giá trị tuyệt đối chúng

a b− ≥ a −b

(Dấu = a≥ ≥b a≤ ≤b

Thí dụ 29:

Chứng minh với a, b ∈ Z : a) a – b b – a hai số đối b) a b− = −b a

Giải:

a) Để chứng minh a – b b – a hai số đối ta chứng minh tổng chúng Ta có (a – b) + (b – a) = [a + (-b)] + [b + (-a)]

= [a + (-a)] + [b + (-b)] =

b) a – b b – a hai số đối nên có giá trị tuyệt đối Vậy a b− = −b a

Nhận xét: Do a – b b – a hai số đối nên biết hiệu a – b khơng cần làm phép trừ ta tìm hiệu b – a cách nhanh chóng

Chẳng hạn 10 – = 1- 10 = -9

202. Cho a b giá trị bảng sau Tìm hiệu a – b Khơng cần thực phép tính cho biết b – a

a b a – b b - a

77 55

-29

-13 -6

0 -19

203 Tìm x biết (x + 153) – (48 – 193) = 1- – –

204. Cho x =7; y =20với x, y ∈ Z Tính x - y

205. Cho x ≤3; y ≤5với x, y ∈ Z Biết x – y = 2, tìm x y

206. Tìm x ∈ Z biết a) x+ =8

b) x− =a a với a ∈ Z

207. Tìm x ∈ Z biết 1< − <x

208. Tìm x , y∈ Z biết x+45 40− + +y 10 11− ≤0

209*. Cho x < y < x − y =100, tính x – y

210. Cho x ∈ {-2; -1; 0; 1; ; 11}

y ∈ {-89; -88; -87; ; -1; 0; 1}

Tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hiệu x – y

211. Cho x, y ∈ Z

a) Với giá trị x biểu thức A = 1000 - x+5 có GTLN; tìm GTLN

b) Với giá trị y biểu thức B = y− +3 50 có GTNN; tìm GTNN

§4 Quy tắc “Chuyển vế” Quy tắc “Dấu ngoặc”

Kiến thức bản:

1 Tính chất đẳng thức

a= ⇔ + = +b a c b c

2 Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển số hạng từ vế sang vế đẳng thức

ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành dấu “–” dấu “–” thành dấu “+”

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước số hạng ngoặc giữ nguyên

3 Quy tắc dấu ngoặc: Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “–” đằng trước ta phải đổi dấu tất

số hạng dấu ngoặc” dấu “+” thành dấu “–”; dấu “–” thành dấu “+”

Nâng cao: Tính chất đẳng thức quy tắc “chuyển vế” bất đẳng thức

a b a c b c

a b c m a b m c

> ⇔ + > +

− + > ⇔ − > − Thí dụ 30:

Cho A= − + +a b c 1; B= +a 2với a, b, c∈Z

Biết A = B, chứng minh b c hai số nguyên liền

Giải: Vì A = B nên a− + + = +b c a

⇔ − + + =b c (bỏ a hai vế)

c= + −b (quy tắc chuyển vế)

c= +b

Vậy c số liền sau b

Thí dụ 31: Cho M= − +( a b)−(b+ −c a)+ −(c a)

Trong b, c ∈ Z cịn a số nguyên âm

Chứng minh biểu thức M luôn dương

Giải:

M a b b c a c a

M ( a a) ( b b) ( c c) a

M a

= − + − − + + −

Vì a số nguyên âm nên – a số nguyên dương

Vậy M luôn dương

Nhận xét:

- Quy tắc “chuyển vế” giúp ta đỡ phải nhớ cách tính thành phần tổng hay hiệu

- Quy tắc “dấu ngoặc” giúp ta đỡ phải nhớ tính chất cộng, trừ với tổng hay

hiệu

BÀI TẬP

212 Tính cách hợp lí a) −2003+ − +( 21 75+2003)

b) 1152−(374 1152)+ + − +( 65 374)

213.Đặt dấu ngoặc cách thích hợp để tính tổng đại số sau:

a) 942 2567 2563 1941.− + −

b) 13 12 11 10 1− + + − + − − + − + + −

214. Tìm x biết:

a) 461 (x+ −45)=387

b) 11 (53− +x)=97

c) − +(x 84)+213= −16 215. Chứng minh đẳng thức:

( a b c) (b c 1) (b c 6) (7 a b) x

− − + + + + − = − + − − + +

216. Cho A= + −a b B= − − +b c

C= − −b c D = −b a

Chứng minh A B+ = +C D

217. Cho a > b ; tính S biết:

S= − − − + − + +(a b c) ( c b a)−(a+b)

219. Viết số nguyên vào đỉnh năm cánh cho tổng hai số hai đỉnh liền – Tìm số ngun

§5 Phép nhân hai số nguyên

Kiến thức bản:

1 Quy tắc nhân

∗ a 0= a =0

∗ Nếu a, b dấu a b= a b

∗ Nếu a, b khác dấu a b= −( a b ) Chú ý: Nếu a b 0= a=0 b 0= Nếu đổi dấu thừa số tích đổi dấu

Nếu đổi dấu hai thừa số tích khơng đổi Tính chất phép nhân:

Các tính chất giao hốn, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối phép nhân

phép cộng số tự nhiên mở rộng cho phép nhân hai số nguyên

Chú ý:

• Phép nhân có tính chất phân phối phép trừ a (b− =c) ab−ac

• Phép nhân nhiều số có tính chất giao hốn, kết hợp tổng qt

• Nếu số thừa số âm chẵn mang dấu “+” Nếu số thừa số âm lẻ tích mang dấu “–”

Nâng cao:

1 Lũy thừa bậc chẵn số âm số dương;

Lũy thừa bậc lẻ số âm số âm a≥ ⇔b ac≥bc c>0

a≥ ⇔b ac≤bc c<0

3 Giá trị tuyệt đối tích giá trị tuyệt đối, nghĩa a b = a b Với a∈Zthì

Thí dụ 32:

Tìm a, b∈Z biết a b 24= a+ = −b 10

Giải: Ta thấy ab 0> nên số a b dấu a+ <b nên số a b âm

Do đó: a b 24 ( 1) ( 24) ( 2) ( 12) ( 3) ( 8) ( 4) ( 6).= = − − = − − = − − = − −

Trong trường hợp có ( 4) ( 6)− − = −10.

Vậy a= −4 ; b= −6 a= −6 ; b= −4.

Nhận xét: Trong tập ta biểu diễn số –10 dạng tổng hai số nguyên

âm Tất có trường hợp đó, có trường hợp cho đáp số Cách chưa

hay phải xét nhiều trường hợp

Thí dụ 33:

Tìm tất cặp số nguyên cho tổng tích

Giải:

Gọi hai số nguyên x, y Theo đầu ta có:

xy= +x y

⇔ xy− − =x y ⇔ xy− − + =x y 1 ⇔ x(y 1)− −(y 1)− =1

(y 1)(x 1) y x 1 x 2; y

y x 1 x 0; y

− = − = = =

 

⇔ − − = ⇔ ⇔ 

− = − = − = =

 

BÀI TẬP

220 Tìm x∈Z biết: a) x(x+3)=0

c) (x 1)(x− 2+ =1)

221. Thu gọn biểu thức sau: a) 7x 19x 6x− +

b) ab ab.− −

222. Cho A=(5m2−8m2−9m )( n2 − +3 4n )3

Với giá trị m n A≥0

223. Tìm x biết:

a) −12(x− +5) 7(3−x)=5

b) 30(x+2)−6(x− −5) 24x=100 224. Tìm x∈Z biết:

a) 2x− =5 13

b) 7x+ =3 66

c) 5x− ≤2 13

225. Tìm x, y∈Z biết: a) (x−3)(2y 1)+ =7

b) (2x 1)(3y+ −2)= −55 226. Tìm x∈Z cho

(x−7)(x+3)<0

227. Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lí a) 125 ( 61) ( 2) ( 1) (n− − − 2n ∈N )*

b) 136 ( 47) 36 47− +

c) ( 48) 72 36 ( 304).− + −

228. Tìm x∈Z biết:

b) (x− +3) (x−2)+(x 1)− + + 10 11 11+ = 229. Cho m n số nguyên dương;

A 2m;

m

+ + + +

= B 2n

n

+ + + + =

Biết A < B, so sánh m n

230*. Cho 16 số nguyên Tích số ln số âm Chứng minh tích 16 số số dương

231. Bỏ dấu ngoặc thu gọn biểu thức: a) (a b) (a b)+ +

b) (a b) (a b)− −

c) (a b) (a b)+ −

232. Chứng minh ba số nguyên liên tiếp bình phương số

tích hai số đơn vị

233. Cho a= −20 ; b c− = −5 ; tìm A biết

A2 =b (a− −c) c (a−b)

234. Biến đổi tổng thành tích: a) ab ac ad− +

b) ac+ad−bc−bd

235. Cho a, b, c∈Z Biết ab−ac+bc−c2 = −1

Chứng minh hai số a b đối

§6 Bội ước số nguyên

Kiến thức bản:

1 Định nghĩa: Cho a, b∈Z b≠0 Nếu có số nguyên q cho a =bq ta nói

a chia hết cho b Ta cịn nói a bội b b ước a Ta nói a chia cho b

được q viết a : b=q Tính chất:

a) a b b c a c b) a b ⇒a m c (m ∈Z) c) a c b c ⇒(a±b) c. Nâng cao:

1 Các tính chất khác chia hết (hay không chia hết) số tự nhiên đối

với số nguyên

2 Nếu a bội b –a bội b Nếu b ước a –b ước a số nguyên m có k ước tự nhiên m có thêm k ước âm (đó số đối ước tự nhiên)

3 Chú ý:

- Trong tập hơp Z, số chia dư 1; dư biểu diễn biểu thức 3k ; 3k+ +2

hoặc viết gộp lại 3k 1± (với k∈Z)

Cũng vậy, số lẻ viết 2k 1+ 2k 1− (với k∈Z)

Thí dụ 34:

Tìm tất ước –24

Giải:

Vì Ư (–24) = Ư(24) nên cần tìm Ư(24) Các ước tự nhiên 24 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24

Thêm ước đối được:

Ư (–24) = Ư(24) = = ± ±{ ; 2; ± ±3; 4; ±6; ± ±8; 12; ±24}

Nhận xét: Để tìm tất ước số nguyên âm ta cần tìm tất ước

số đối số nguyên âm Trước tiên, tìm ước tự nhiên thêm ước đối

chúng

Cho a b hai số nguyên khác Biết a b b a , chứng minh a= ±b

Giải:

1

a b ⇒ =a b q (q ∈Z)

2

b a ⇒ =b a q (q ∈Z)

Vậy a=b q1 =(aq ) q2 1 =a (q q ).1 2

Vì a≠0 nên ta có 1 q q= 1 2, suy q1=q2 =1 q1 =q2 = −1 a b= a = −b

Hay a = ±b

BÀI TẬP

237. Các số sau có ước?

a) 54 ; b) –196

238. Chứng minh a b a  b

239. Với n Z∈ , số sau chẵn hay lẻ? A= −(n 4) (n 15)−

B=n2 − −n

240. Cho a, b, x, y∈Z x ; y khơng đối

Chứng minh ax by x−  +y thìay bx x−  +y.

241. Tìm giá trị nguyên dương nhỏ 10 x y cho 3x 4y− = −21

242. Cho 98 99

S= − +1 3 −3 + + −3

a) Chứng minh S bội –20

b) Tính S, từ suy 3100chia cho dư

243. Tìm số nguyên dương n cho n + ước 111 n – bội 11

244. Tìm n∈Z a) 4n n− 

245. Tìm n∈Z cho:

n 1− bội n+5và n+5 bội n 1−

246*. Tìm n∈Z để:

a)

n −7 bội n 3+

b) n 3+ bội

n −7

§7 Ơn tập chương II Thí dụ 36:

Tìm x, y, z∈Z biết:

x− = −y ; y z 10− = ; z+ −x 11

Giải: (x−y)+(y− +z) (z+x)= − + −9 ( 10) 11+

2x= −8

x= −4

Vì x− = −y 9nên y= + = − + =x 9 Vì x+ =z 11 nên z=11 x− =11 ( 4)− − =15

Thí dụ 37: Cho x∈Z, so sánh x2 x3

Giải:

Với x<0 x2 >0; x3 <0 nên

x >x

Với x=0 x 1=

x =x

Với x 1> x2 −x3 =x (1 x)2 − <0 nên x2 <x

Nhận xét:

1 Trong cách giải ta phân chia tập hợp số nguyên thành tập hợp

là tập hợp số nguyên âm; tập hợp số 1; tập hợp số nguyên lớn

Cách phân chia đảm bảo u cầu khơng bỏ sót phần tử khơng có phần tử thuộc hai tập hợp

8 số hạng 8 số hạng

Nếu A B− >0 A>B; A B− =0 A=B ; Nếu A B− <0 A<B

BÀI TẬP

247 Tính giá trị biểu thức A với x= −43 ; y=17

A= −125 (x+ + + − − − −x x y y y)

248. Chi biểu thức B 1=  10 100 Hãy điền vào trống dấu phép tính

cộng, trừ, nhân, chia thêm dấu ngoặc (nếu cần) để B số nguyên lớn nhất; số nguyên

nhỏ

249. Tìm x∈Zbiết x 5≤ ≤

250. Tìm x∈Z a) − + =3x 41

b) 52− x =80

c) 7x 1+ =20

251. Cho A={6 ; ; ; 9}; B= − −{ ; ; ; ; 8− }

a) Có hiệu dạng a b− với a∈A ; b B∈

b) Có hiệu chia hết cho

c) Có hiệu số nguyên âm?

252. Số ( 3)− 20 +1 có phải tích hai số ngun liên tiếp khơng?

253. Tìm x∈Zbiết (x 5) (3x 12)+ − >0.

254. Tìm x∈Zbiết 3 3

(x +5) (x +10) (x +10) (x +15) (x +30)<0

255. Tìm x, y∈Z biết (x 7) (xy 1)− + =9.

256. Cho a, b, c, d∈Z Biết tích ab số liền sau tích cd a b c d.+ = +

Chứng minh a b.=

ĐÁP SỐ PHẦN SỐ HỌC

Chương 1: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN

1 a) A={1; 2; 4;5;m}; B={m n p, , ,5} b) ∈A;4∉B; m∈A; m∈ B

2 a) Số hạng đầu 1; số hạng sau số hạng trước đơn vị b) B={1;5;9;13;17; 21; 25; 29}

3 a) M ={A G; ; N}

b) “ GAN” “ NGAN” “ GANG”

4 a) D={x∈|x<21}

b) Tập hợp D có 20 21− + = phần tử

c) E={0; 2; 4; ; 20} có (20 0) : 11− + = phần tử d) F ={1;3;5; ;19}(19 0) : 10− + = phần tử

Nhận xét: Công thức chung để tìm số phần tử tập hợp là:

(Số cuối – Số đầu) : khoảng cách +1 5 Có tập hợp :

{a;1; 2}; {a;1;3}; {a; 2;3}; {b;1; ; } {b;1;3 ; } {b; 2;3 }

6 a) H ={1;3;5}; K ={0;1; 2;3; 4;5} Vậy L={0; 2; 4}

b) Mọi phần tử H thuộc K đó, H ⊂K

c) Tập hợp M có phần tử ( phần tử H) có nhiều phần tử( phần tử K)

- Có tập hợp M là: M1={1;3;5;0}; M2 ={1;3;5; 2}; M3 ={1;3;5; 4}

7 P={0;1; 2;3;5;6;7}; Q= ∅

{ }0

P=S; Q⊂P; Q⊂R; Q⊂S; R⊂ P; R⊂S; P⊂ Svà S ⊂P

8 Có tập hợp là:

{ } { } { } { } {5;6 ; 5;8 ; 6;7 ; 7;8 ; 5;6;7 ; 5;6;8 ; 5;7;8 ; 5;6;7 ; 6;7;8 ; 5;6;7;8 } { } { } { } { } { }

Có tập hợp M phần tử là:

{a b c; ; } {; a b; ;d ;} {a c d; ; } {; b c d; ; }

Như với tập hợp có phần tử có tập hợp có phần tử có nhiêu tập hợp có phần tử

11 a) {12; 24;36; 48 } b) {40;51;62;73;84;95 }

c) {12;13; ;19; 23; ; 29;34; ;39; 45; ; 49;57;58;59;67;68;69;78;79 } Tập hợp có tất 36+ + + + + + + = phần tử

12 a) 20 b) n

c) Xét hai trường hợp :

- n số chẵn; lúc số số chẵn nhỏ n

n

- n số lẻ, lúc số số chẵn nhỏ n

n+

13 a) Có số 1111; 2222; …; 9999 b) Có 9999 1000 9000− + = ( số) c) Có 99 9 - 100 1+ = 000 0

n chữ số n- chữ số n-1 chữ số

14 a) 60 lần

b) Hàng đơn vị thay đổi 60 lần; hàng chục thay đổi lần tổng cộng có 60+ 6= 66 lần thay đổi chữ số

Nhóm II: 1+2+3+10+11+12= 39

b) Tổng chữ số cà 12 số 51, số lẻ; khơng thể chia làm phần

c) Tổng chữ số nhóm I 51:3=17, tổng chữ số nhóm II 34 Nhóm I gồm

số 9; nhóm II gồm 10 số: 1; 2; 3; 4;5;6;7; 10; 11; 12

16 Có cách chọn chữ số hàng tram ( a, b c) Sau chọn chữ số hàng tram

thì ta cịn hai cách chọn chữ số hàng chục Sau chọn chữ số hàng tram cịn hai

cách chọn chữ số hàng chục Sau chọn chữ số hàng tram chữ số hàng chục rồi,

một cách chọn chữ số hàng đơn vị

Vậy có tất cả: 3.2.1= số Đó : abc acb bac bca cab cba; ; ; ; ;

17 Chữ số khơng thể đứng đầu nên có cách chọn chữ số hàng nghìn, ba cách chọn chữ

số hàng trăm, hai cách chọn chữ số hàng chục, ba cách chọn chữ số hàng trăm, hai cách chọn chữ số hàng chục cách chọn chữ số hàng đợn vị Vậy có tất cả: 3.3.2.1 =18 số

18 Chỉ dẫn: - Trong trường hợp khơng có chữ số có : 5.4.3.2.1 120= số Trường hợp có chữ số có: 4.4.3.2.1 96= ( số)

19 Từ trang đến trang có 7− + = trang có chữ số Từ trang 10 đến trang 99 có 99 10 90− + = trang có chữ số Từ trang 100 đến trang 132 có 132 100 33− + = trang có chữ số Số chữ số cần dùng là: 7.1 90.2 33.3 286+ + = chữ số

20 Dùng que diêm ghi số: I

Dùng que diêm ghi số: II, V, X, L

Dùng que diêm ghi số: III; IV; IX; LI; C

Dùng que diêm ghi 10 số: VII XII, LII, CI; M; XV; XX; XL;LV; LX Vậy ghi tất 10 22+ + + = ( số)

21.a) M M I ( 2001) ; b) X X VIII ( 28)

22 a) Đúng 12 7− =

b) XI −IV =VII( 11 4− =7) XII−VI =VI ( 12 6− =6)

176

ab ba

+

Từ cột hàng chục ta thấy a+ >b 10, từ cột hàng đơn vị ta suy ra: b+ =a 16 Vì a≠b nên a=9; b=7 a=7; b=9

Hai số cần tìm 97 79

24. Ta đặt phép tính cộng dạng thực hành Để tồng số có chữ số a) a+ b< 10

2b< 10; b<

25 Muốn có tổng lớn chữ số hàng chục số hạng phải lớn Ta

chọn 9,8,7,6,5 Năm chữ số lại chữ số hàng đơn vị Ta có: 90 81 72 63 54+ + + + =360

Vậy giá trị lớn tổng 370 Các chữ số hàng đơn vị đổi chon cách hợp

lý

b) 180

26

a) Lập luận tương tự 16 ta 4.3.2.1 4!= số

b) Có cách chọn chữ số hàng chục; có cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có tất cả: 4.3 12= số

27 Giả sử có số tự nhiên có tích 2003; tich số lẻ nên số lẻ, tổng

của chúng số lẻ, khơng thể có tận Vậy khơng tồn số tự nhiên

vậy

28

a) (38 62) (41 159) 117 100 200 117 417

b) (86 914) (968 3032) 73 1000 4000 73 5073

) 341.(67 16) 659.83 83.(341 659) 83000

d) 42.53 47.(156 114) 42.(53 47) 4200

c

+ + + + = + + =

+ + + + = + + =

+ + = + =

+ − = + =

30 a) A=199.(200 1)+ =199.200 199+ (1)

(199 1).200 199.200 200

B= + = + (2)

Từ ( 1) (2) suy ra, A<B

b) C =(34 1).53 18+ − =34.53 53 18+ − =34.53 35+ =D

31

a) 12=3.4

b) 1122 1100= +22 11.(1000= +2)=111.1002 111.3.334= =333.334

32 abcabc=abc.1000+abc=1001.abc=7.143.abc

Vậy a bcd abc =7.143.abc suy a=7;b=1;c=4;d =3 Thử lại 7.143.714 714714=

33 Vì a>2 b>2 nên a= +2 m b; = +2 n (m, n∈*)

(2 ) (2 )

a+ =b +m + +n = + +m n (1)

(2 ).(2 ) (2 ).(2 n) m n mn 2.(m n) mn

a b= +m +n = +m + = + + + = + + + (2)

Vì m n, ∈* nên 2(m+n) > +m n m n >0 Do từ (1) (2) suy a+ <b ab

34 Số bị trừ + ( số trừ + hiệu) = số bị trừ + số trừ = Số bị trừ 2

35 Vì x− >y 30 nên x>30 suy x=52 Vì x− >y 30 nên 52− >y 30 suy y<22 Vì x− <y 40 nên 52− <y 40 suy y>12

Từ (1) (2) suy 12 < y <22 Trong phần tử M có 13 21 thỏa mãn điều kiện đó, y∈{12; 21}

Tóm lại x=52;y=13 x=52;y=13

36 a) x=444; b) y= 16 c) y= 2024

37 a) 64 b) c)

38 B có GTNN 1003: (999−x) có GTNN

999 x

39 Gọi số dư r, ta có a = mq1+r; b = m.q2+r Vậy a b− =m q( 1−q2) m

40 Gọi số bị chia là, số chia, thương số dư a,b, q, r Vậy a=b q +r b( ≠0;r<b)

13.11

b q= − =a r

Vì b>12 nên ta chọn b= 143; q=1 b= 13; q=11

41 Ta phải tìm x∈ cho x= 12.q+q hay x= 13 q ( với q<12) Lần lượt cho q= 0;1;2;…;11; ta tìm x

{0;13; 26; ;143}

C =

42 Gọi số bị chia b, theo đầu ta có :

1

2

129 10 119 119.1 17.7

61 10 51 51.1 17.3

bq b q

b q b q

= + ⇒ = = =

= + ⇒ = = =

Vì b>10 vàq1≠q2 nên ta chọn b=17

43 99 trang đầu cần dùng 9.1+ 90.2= 189 chữ số

999 trang đầu cần dùng 9.1+ 90.2+ 900.3=2889 chữ số Vì 189< 600< 2889 nên trang cuối phải có chữ số Số chữ số cần dùng để đáng trang có chữ số 600 – 1889=411 ( chữ số)

Số trang có chữ số : 411: 137= ( trang ) Số trang sách 99 137 236+ = ( trang)

44 Vì 189< 659< 2889 nên ta viết đến số có chữ số Số chữ số dùng để viết số có chữ số 659 – 189 = 470 Số số có chữ số 470 : 3= 156 dư

Điều có nghĩa người viết 156 số có chữ số viết đến chữ số thứ số

45. a) Số số hạng tổng là: 32 b) Gọi số hangj thứ 22 x, ta có:

7 22 x− + = 70 x=

c) S = +7 10 97 100+ + + 100 97 10

S = + + + +

2S =(7 100)+ +(10 97) (100 7)+ + + + với 32 nhóm 2S =(7 100).32+

(7 100).32

S = +

Nhận xét:

Dãy số 7; 10; …; 97;100 (1) có số hạng sau số hạng liền trước đơn vị gọi

dãy cộng

- Số số hạng dãy cộng kí hiệu n

- Số hạng thứ , thứ hai,… thứ n dãy (1) kí hiệu u u1; 2; ; un

- Khoảng cách hai số hạng liên tiếp hiệu chúng , kí hiệu d

- Tổng n số hạng kí hiệu Sn Ta có cơng thức tổng quasrt sau

1 1 n u u n d −

= + un = + −u1 (n 1).d

1

( )

2

n n

u u n

S = +

46 a) A={3;10; ;143;150}

b) Dễ thấydãy số 3;10; …; 159 dãy cộng với u1=3; d =7

số hạng dãy (1) n un u1 1 22

d −

= + =

Tổng số hạng dãy (1) 1683

47. 49

48 24 =(4 )2 =(16); (99 )0 = =1n Số nhỏ 099 =0

Số lớn 34 =81

49 Đẳng thức sai 152- 12 ≠ 100 Sửa lại : 152−53 =102

50

c) 13+23+ +33 43 =100 10=

51 a) 172−152 =64=82 =43 =26 b) 43− +23 52 =81 9= =34

52 729=272 =93 =36

53 a) 85 =2 (2 )5 =217 b) 25 1256 =(5 ) (5 )2 3 =521 c) 625 : 255 =(5 ) : (5 )4 =56 d) 12 33 =(12.3)3=363=( )62 =66

54 31

6 =6 =216; 323 =38 =6561;

4

3 )

2 (

1 1

7 =7 =7 =7

0

0

2

2003 =2003 =2003 =2003

Ta có nhận xét:

Số dù nâng lên lũy thừa 1, lũy thừa tầng, tầng có

số mũ tất số tầng bỏ

55. a) 2x −15 17;= 2x =32; 2x =2 ;5 x =

b) (7x−11)3 =32.25 200 1000+ =

(7x−11)3=103; 7x− =11 10; x =

56.a) Xét trường hợp x = 0; x = 1; x >

Đáp số x = b) x = x = c) x =

57

29 15 29 30 29

2 28 28 28

11.3 (3 ) 11.3 3 (11 3)

6

2 3 4.3

A= − = − = − =

58. a) 2711 =(3 )3 11 =3 ; 8133 =(3 )4 =332 Vì 333 >332 nên 2711 >818

b) 6255 =(5 )4 =5 ;20 1257 =(5 )3 =521 Vì 521 >520 nên 1277 >6255

c) 536 =(5 )3 12 =12512; 1124 =(11 )2 12 =12112 Vì 12512 >12112 nên 536 >1124

d) 32 =9; 23 =8 Ta có >

nên 32 >23 suy (3 )2 n >(2 )3 n (vì n∈N*) hay 32n >23n

59 a) 523 =5.522 <6.522 Vậy 6.522 >523

27 495 8=(3 ) (7 )3 =3 715 16 Vì 715 16 >3 715 15 nên 27 495 >2115

60 a) 19920 <20020 =(8.25)20 =(2 )3 20 =2 560 40 200315 >200015 =(16.125)15 =(2 )4 15=2 560 45 Vì 560 45 >2 560 40 nên 200315 >19920

b) 399 <340 =(3 )4 10 =8110 1121 >1120 =(11 )2 10 =12110 Vì 12110 >8110 nên 1121 >399

61 A=7245 −7244 =72 (72 1)44 − =72 7144 (1) B=7244 −7243 =72 (72 1)43 − =72 7143 (2) Từ (1) (2) suy A > B

62 a) (2 )4 x <(2 ) ; 27 4x <228 suy 4x < 28 hay x < 7; x∈{0; 1; 2; 6} b) 53x+3≤10 : 218 18

53x+3≤518 suy 3x+ ≤3 18; x≤5 Vậy x∈{0; 1; 2; 3; 4; 5}

63 S = + +1 22+23++29

2.S = +2 22+23+24++29+210

2S− =S 210 −1 hay S =210 − <1 210 =2 22 =4.28 <5.28

64 m=99 =9.98<10.98

65 Trường hợp khơng dùng lũy thừa: Số lớn viết 321

Trường hợp có dùng lũy thừa:

Ta bỏ qua lũy thừa có số số mũ 1; bỏ qua lũy thừa tầng giá trị số

nhỏ so với 321

- Xét lũy thừa mà số mũ có chữ số, số 13 ; 31 ; 122 21

Chỉ cần so sánh 21 v3 ới 31 Ta tính trực tiếp 213 =9261; 312 =961 Vậy 213 >312 - Xét lũy thừa mà số mũ có chữ số, số ; ; ; 13 31 12 21

Chỉ cần so sánh v21 ới 31

2

Ta có 321 =3.320 =3.(3 )2 10 =3.910 (1) 231=2.230 =2.(2 )3 10 =2.810 (2) Từ (1) (2) suy 321 >231

Bây ta so sánh v21 ới 31 321 >39 =(3 )3 =273>213 Vậy số lớn số 21

66 5 3− =2=> Ất; 1945 năm Ất Dậu

67 Chắc chắn em biết sinh năm Giải tương tự 66

68 7430 = 6; 4931 = 9; 8732 =874.8 =

2335 =23 2332 3=( 1).( 7)=

69 25

70 a) A=( 4) ( 5)− = => A10 b) 405n =

2405 =2 2404 =24.101.2=( 6).2= m2 có chữ số tận khác

Vậy A có chữ số tận khác => A10

71 a) Số 234 có tận 4, nâng lên lũy thừa lẻ nên có chữ số tận b) Số 579 có tận 9, nâng lên lũy thừa chẵn nên có tận

72 Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp trở lên có thừa số 5, tích phải tận

5, trái đề bài, số thừa số tích nhỏ

Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp tích có tận 5, tận 9, trái đề

Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp tích có tận hoặc trái đề

Vậy tích có thừa số Ví dụ (…9).(…1).(…3)=…7

73 2.2 22 10 =21 10+ + + + =255 5 52 14 =52 14+ + + + =556

A=2 555 56 =2 5 10 555 55 = 55 Vậy A có tận 55 chữ số

74. Tổng có 31 số hạng, nhóm số hạng từ trái sang phải, nhóm số hạng, thừa

số hạng cuối 328+329 +330 Trong nhóm, chữ số tận tổng Vậy chữ số tận tổng S chữ số tận tổng 328+329+330

Có 328 =34.7 =

29 28

3 =3 3= 3× =

30 28

3 =3 = 9× =

Tổng S có chữ số tận 3+ + =

Số phương khơng tận suy S khơng phải số phương

75.a) Đáp số

b) 7! 8− −

=8! (9 1)− −7! 82 =8!.8 7! 8− =7!82−7! 82 =0 c)

18 36 36

13 22 36 35 36 35

(3.2 ) 9.2 9.2

2

11.2 −2 =11.2 −2 = (11 2)− =

76 (33.3 : 3) ;+ (3.3 : 3)+ 3+ ; [(33 3) : 3]− 3+

77 a) (19x+50) :14=9 Đáp số x = b) 2.3x =10.312 +8.312

2.3x =3 (10 8)12 + ; 2.3x =3 1812

3x =3 312 ; 3x =314 Vậy x = 14

Thời gian sà lan quãng sông AB là: 60 : 30 60 : 20 5+ = (giờ) Vận tốc trung bình sà lan hành trình là:

(60 60) : 5+ =24 (km/h)

79 Tổng số tuổi ba người sau 10 năm là: 66 10.3 96+ = Tuổi bố lúc là: (96 8) : 44− =

Tổng số tuổi hai mẹ lúc là: 96 44 52− = Tuổi lúc là: 52 : 13=

Vậy tuổi bố là: 44 10 34− = Tuổi là: 13 10 3− = Tuổi mẹ là: 66 (34 3) 29− + =

80. Phân tích: 3=4 1−

Muốn có lít nước ta lấy bình lít bớt bình lít

Bình lít Bình lít Giải thích cách làm

4 Đong đầy bình lít

0 Đổ từ bình lít sang bình lít

4 Đong đầy bình lít (lần thứ hai)

3 Đổ nước từ bình lít sang bình lít

Như bình lít cịn lại lít nước

81 Mỗi phần có lít nước 8=7 2−

Thùng 16 lít Bình lít Bình lít Giải thích cách làm

16 0 Bắt đầu

Đong đầy bình lít

Đổ nước từ bình lít cho đầy bình

3 lít

12 Đổ từ bình lít vào

thùng

12 Đổ nước từ bình lít cho đầy bình

3 lít

15 Đổ nước từ bình lít vào thùng

15 Đổ nước từ bình lít vào bình lít

Đổ nước từ thùng vào đầy bình

lít

Như số nước thùng cịn lại lít số nước hai bình

8+ = lít

82 Số tiền phải trả lại cho người 100 000 7900 92100− = (đồng) Tờ 50 000 Tờ 20 000 Tờ 10 000 Tờ 5000 Tờ 2000 Tờ 1000 Tờ 500 Tờ 200 Tờ 100 Tổng số tờ

Khách I 1

II Khách

III

1 3

83 60 15 ⇒60n15 ; 45 15 ⇒60n+45 15 (tính chất 1) 60n30 ; 45 30 ⇒60n+45 30 (tính chất 2)

84 Dùng tính chất

6 ; ;

A A A

85 B=1 310.1123 3+ 10.1119 3.10.11− 15 a) Mỗi số hạng có thừa số 11 11 nên B11

b) Mỗi số hạng có thừa số (10 11) = 110 110 nên B110

86 Hướng dẫn: gọi số tự nhiên liên tiếp n; n + 1; n + Tính tổng 3n+3 3

(tính chất 1) Phần sau dùng tính chất

87 Hướng dẫn: gọi số chẵn liên tiếp 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n +

Tính tổng 10n+20 10

Gọi số lẻ liên tiếp 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + Tính tổng 10n+25 10(= n+ +2) 10 (dư 5)

88 Hướng dẫn: Có thể gọi số 5a + 1; 5b + 2; 5c + 3; 5d +

Tính tổng 5a+5b+5c+5d+10 5 (tính chất 1)

89 a) C = + +(1 3 )2 +(33+ +34 )5 + + (39+310+3 )11 C = + +(1 3 ) (1 3 )2 + + + + + (1 3 )9 + + C =13.(1 3+ +3 3 ) 139 

b) C = + + +(1 32 ) (33 + 4+ + +35 36 ) (37 + 8+ +39 310 +3 )11 C = + + +(1 32 ) (1 33 + + + +2 ) (1 33 + + + +2 )3 C =40.(1 3+ +4 ) 408 

90 Hướng dẫn:

a) Ta phải chứng minh (a a+1) 2 Xét trường hợp a=2 ;n a=2n+1 b) Ta phải chứng minh (a a+1)(a+2) 3

Xét trường hợp a=3 ;n a=3n+1 ;a=3n+2

91 Giả sử có số a∈N thỏa mãn hai điều kiện cho a=15q1+6 (1) a=9q2+1 (2) Từ (1) suy 3a ; Từ (2) suy a 3 Đó điều mâu thuẫn Vậy khơng có số tự nhiên

thỏa mãn đầu

b) 3n+7n; 3n n nên 7n Vậy n∈{1 ; 7}

c) 27 5− n n ; 5n n nên 27n Số 27 chia hết cho số 1, 3, 9, 27 5n < 27; n < Vậy n∈{1 ; 3}

93 a) n+6n+2 mà n+2n+2 nên theo tính chất ta có (n+ − +6) (n 2)n+2 Hay 4n+2 suy n+ ∈2 {1 ; ; 4} n∈{0 ; 2}

b) 2n+3n−2 mà 2(n−2)n−2 nên (2n+ −3) 2(n−2)n−2 hay 7n−2 Suy n− ∈2 {1 ; 7} n∈{3 ; 9}

c) 3n+1 11 2 − n (n < 6)

Suy 2(3n+ +1) 3(11 ) 11 2− n  − n

Hay 35 11 2 − n suy 11 2− n∈{1 ; ; ; 35} Nhưng n < nên n∈{5 ; ; 2}

94 a) 102k − =1 102k −10k +10k − =1 10 (10k k − +1) (10k −1) 19 (tính chất 1)

b) 3

19 19

10 k − =1 10 k −10k +10k − =1 10 (10k k − +1) (10k −1) 19

 



 

95 Bạn đọc tự tìm số chia hết cho 2; cho Những số chia hết cho 1076; 1984; 3452; 7800 Những số chia hết cho 1984; 7800

Những số chia hết cho 25 6375; 7800 Những số chia hết cho 125 6375

96 a) 275x5 ⇔ ∈x {0; 5} 275x25 ⇔ ∈x {0} 275x125 ⇔ ∈x {0}

b) 9xy4 2 ⇔ x y, ∈{0 ; ; ;, 9} 9xy4 4 ⇔ ∈x {0 ; ; ;, 9}

{0 ; ; ; ; 8}

y∈

9xy4 8 ⇔ x∈{0 ; ; ; ; 8} y∈{2 ; 6} Hoặc x∈{1 ; ; ; ; 9} y∈{0 ; ; 8}

97 a) 6752; 7652; 2756; 7256; 5672; 6572; 2576; 5276

b) 6752; 2576; 5672; 7256 c) 6725; 7625; 2675; 6275 d) 7625

98 a) 9424.15−35137 =   6− 1= 5

b) 995−984+973−962 = 9− 6+ 3− 6=0 Số có tận nên chia hết cho

99 Số lớn gấp lần số nhỏ tổng chúng lần số nhỏ chia hết cho 5, mà 3456 5 nên khơng có hai số tự nhiên

Nếu a b lẻ a + b chẵn, tích (ab a+b) số chẵn, khơng thể tận

101 Với n = 4n− =  Với n = 4n− = 

Với n > 5n có tận 25 nên 1n− = 24

102 n2+ + =n n n( + +1)

( 1)

n n+ tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho suy (n n+ +1) số lẻ nên

không chia hết cho

( 1)

n n+ tích hai số tự nhiên liên tiếp nên khơng có tận nên

( 1)

n n+ +

khơng có tận 0, khơng chia hết cho

103 a) 5; ; b)

104 a) 1002; b) 1035; c) 990

105 a = ; b∈{2 ; ; 8} a = ; b∈{1 ; ; 7}

106 Số số cũ có tổng chữ số nên có số dư chia cho

Vậy hiệu chúng chia hết cho Trong ba số 2002; 2003; 2004 có số 2004 chia hết

cho nên hiệu cần tìm 2004

107. Phải viết liên tiếp lần số abcabcabc có tổng chữ số

3(a+ +b c) 3 nên abcabcabc3

108. a) Số 1494 ;1495 ;1496 4   nên A chia hết cho 180× × = b) Số 1494 ;1495 ;1496 11   nên A chia hết cho 11 495× × =

109 a)

cs cs

10n 100…0 99 9

n n − = − = 

b)

cs cs

10n 100…0 100 08

n n− + =+ =  

110 n số chẵn

111 Gọi số a tổng chữ số b (a≥b) Số dư phép chia số a cho

bằng số dư phép chia số b cho Như a b chia cho có số dư nên hiệu

chúng chia hết cho

112

cs

8 111

n A= n+

cs

9 (111 )

n

A= n+  −n

Vì

cs

111

n



 có tổng chữ số n nên

cs

(111 )

n

n −



 chia hết cho (xem 111)

Cả hai số hạng chia hết tổng A9

113 a) Khi cắt mảnh giấy thành mảnh nhỏ số mảnh tăng thêm Cắt nhiều lần số mảnh tăng thêm 3.k ( k só mảnh giấy đem cắt) Ban đầu có mảnh

giấy, tổng số mảnh giấy 3k + Số chia cho dư 1, khơng thể có tất

b) Ta có 3k + = 52; 3k = 51; k = 17 Vậy ta phải cắt tất 17 mảnh giấy

114 a∈{2 ; 3}

115 a > a5 nên a hợp số

247 13 nên số bị trừ số trừ chia hết cho 13 b > 13 b13 nên b hợp số

116

cs cs 1 cs cs cs

111 111 111 11 00 + 111

n n n n n a

+ +

=   =   

1 cs

111

n a

+

>

1 cs

111

n a

+

 nên a hợp số

117 Dễ thấy thương phải lớn 50 50 17 850 9× = < ∗∗ Thương phải nhỏ 60 60 17 1020 9× = > ∗∗

Các số nguyên tố lớn 50 nhỏ 60 53 59 Thử lại thấy 59 khơng phù hợp 59 17 1003 9× = > ∗∗ Vậy thương 53 số bị chia 53 17 901× =

118 an5 mà số nguyên tố nên 5a ; suy a225 ; 150 25 nên a2+150 25

119 a) Nếu n=3k+1 ( )( )

3

n = k+ k+ hay ( )

3 3

n = k k+ + k+ Rõ ràng n2 chia cho dư

Nếu n=3k+2 n2 =(3k+2 3)( k+2) hay n2 =3k(3k+2) (+2 3k+2) =3k(3k+2)+6k+4

Hai số hạng đầu chia hết cho 3, số hạng cuối chia cho dư nên n2 chia hết cho dư b) p số nguyên tố lớn nên không chia hết cho Vậy p2 chia cho dư tức

2

3

p = k+ p2+2003=3k+ +1 2003=3k+2004 3 Vậy p2+2003 hợp số

120 Xét ba số n2 −1 ;n2;n2+1 ba số tự nhiên liên tiếp phải có số chia hết cho

(n2 3 ( n3)) nên hai số cịn lại n2−1 n2+1 phải có số chia hết cho 3; (số hợp số) nên chúng đồng thời số nguyên tố

121 a) Mọi số tự nhiên lớn chia cho xảy trường hợp: dư 0, dư 1, dư 2, dư 3, dư 4, dư

- Nếu p chia cho dư p = 6k, p hợp số

- Nếu p chia cho dư p = 6k +1

- Nếu p chia cho dư p = 6k +2, p hợp số - Nếu p chia cho dư p = 6k + 3, p hợp số - Nếu p chia cho dư p = 6k + 4, p hợp số

- Nếu p chia cho dư p = 6k +5

Vậy số nguyên tố lớn chia hết cho dư dư tức p = 6k +1

hoặc p = 6k +

4p + hợp số

122 p số nguyên tố lớn nên p khơng chia hết cho 3, p có dạng 3k+1 3k+2 Nếu p có dạng 3k+1 p+ =8 (3k+ + =1) 3k+9 3 , số hợp số

Vậy p khơng có dạng 3k+1 mà có dạng 3k+2,

( )

100 100 102

p+ = k+ + = k+  điều

này chứng tỏ p+100 hợp số

123 a) 700=7.100=7.2 52 =2 72

2 3 3

9000=9.1000=3 =2

4 4

210 000=21.10 000=3.7.2 =2 3.5

b) 500=5.100=2 52

6

1600 16.100= =2

4

18000 18.1000= =2

124 90=2.3 52 có số ước (1 1+ ) ( + ) ( + =) 12 (ước)

2

540=2 có số ước (2 1 1+ )( + )( + =) 24 (ước)

2

3657=3.5 có số ước (1 2 1+ )( + )( + =) 18 (ước)

125 119=7.17 có ước 1; 7; 17; 119

4

625=5 có ước 1; 5; 25; 125; 625

3

200=2 có 12 ước

1 2

2

1 5

1 2

2

5.1 5.2 5.2 5.2 hay 10 20 40

2

5 2 2 2 25 50 100 200

126 5929=7 112 =(7.11)2 =772

Cạnh hình vng dài 77m

32400=2 54 =(2 52 )2 =1802

Cạnh hình vng dài 180m

127 1728=2 36 =( )2 32 =123

Cạnh hình lập phương dài 12cm

128 Gọi số tự nhiên M, phân tích M thừa số nguyên tố, giả sử M =a bx ycz

Số lượng ước M (x+1)(y+1) ( z+1) Tích số lẻ nên thừa số lẻ, suy x, y, …z chẵn: x=2 ' ;x y=2 ' ;y ;z=2 'z

Lúc 2 ' 2 ' 2 ' ( ' ' ')2

x y z x y z

M =a b c = a b c Điều chứng tỏ M số

129. a) (2 ): ( 1)

n n

n + n n

+ + ++ = = +

Ta có n n( + =1) 210

Ta phân tích số 210 thừa số nguyên tố ghép thừa số lại để tích hai số tự nhiên liên tiếp

210=2.3.5.7=( )( )2.7 3.5 =14.15

Vậy n n.( + =1) 14.15 ;n=14

b) (2 1) (1 1)

2

n n

n + − n

+ + + + − = =

Ta có n2 =225

n2 =3 52 =( )15 2;n=15

130 a) A∩ = ∅B

b) M ∩ =N {1 ; ; ; 10}

131 C∩ =D D

132.ƯCLN( )

432, 504, 720 =2 =72

ƯCLN(432, 504, 720)={1 ; ; ; ; ; ; ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72}

133 Độ dài lớn cạnh viên gạch hình vng phải ƯCLN (630, 480)=30(cm) Số gạch cần để lát phịng là:

(630 : 30) (× 480 : 30)=21 16× =336 (viên)

134 a) Gọi hai số lẻ liên tiếp 2n+1 2n+3(n∈) Ta đặt (2n+1, 2n+3)=d suy 2n+1d; (2n+1)d Vậy (2n+ −3) (2n+1)d hay 2d, suy d∈{1 ; 2} Nhưng d ≠2 d ước số lẻ Vậy d = 1, điều chứng tỏ 2n+1 2n+3 hai số nguyên tố

b) Ta đặt (2n+5, 3n+7)=d suy

( )

2n+5d ⇒3 2n+5 d

( )

3n+7d ⇒2 3n+7 d

Do 2( n+ −5) (2 3n+7)d hay 1d ⇒ =d Vậy 2n+5 3n+7 hai số nguyên tố

135 a) Ta đặt (a a b, − )=d suy a d a b d−  dẫn tới b d Như d ước

chung a b, (a, b) = nên d = Vậy (a, a – b) =

b) Gọi d ước nguyên tố ab a+b ab d a+b d

Vì ab d nên a d b d (vì d số nguyên tố) Giả sử a d mà a+b d nên

b d Suy d ước nguyên tố a b, trái với đề cho (a, b) =

Vậy (ab a, +b)=1

( )

4n+3d⇒5 4n+3 d

( )

5n+1d ⇒4 5n+1 d

Vậy 4( n+ −3) (4 5n+1)d hay 11d mà d ≠1 nên d = 11, (a, b) = 11

137 Gọi số lớn a, số nhỏ b Vì (a, b) = 45 nên a = 45m; b = 45n (m, n) = m > n

Ta có 45m=270⇒ =m Từ tìm n∈{1 ; 5} Do b∈{45 ; 225}

138 Gọi hai số phải tìm a b (a≤b) Vì ( )a b, =18 nên a = 18m; b = 18n

(m n, )=1

và m≤n Ta có a+ =b 18m+18n=18(m+n)=162⇒ + =m n Chọn cặp số m n nguyên tố nhau, có tổng m≤n ta được:

m n a b

1 18 144

2 36 126

4 72 90

139 Gọi hai số a b (a>b) Vì ( , )a b =15 nên a=15m b; =15n với ( , ) 1m n = m>n Do a=15m<200 nên m<14

Ta có a b− =15m−15n=15(m−n)=90⇒ − =m n

Chọn cặp số m n nguyên tố nhau, có hiệu m<14 ta được:

m m n a b

13 195 105

11 165 75

7 105 15

140 Gọi hai số a b (a≤b) Vì ƯCLN ( )a b, =27 nên a=27m b; =27n

đó ( , ) 1m n = m≤n Ta có ab=27m 27n=8748⇒m n =12 Chọn cặp số m, n nguyên tố nhau, có tích 12 m≤n ta được:

m m n a b

1 12 27 324

3 81 108

141 Xét tổng (a+5b) (+2 10a+b)=21a+7b7 mà a+5b7 nên 10( a+b)7 Vì ( )2, =1 nên 10a+b7

Mệnh đề đảo: Nếu 10a+b7 a+5b7

Chứng minh: Xét tổng (a+5b) (+2 10a+b)=21a+7b7 mà 10( a+b)7 nên

5

a+ b Vậy mệnh đề đảo

5a−a9 hay 4a9 Vì ( )4, =1 nên a9

143 Gọi x số xe 12 chỗ ngồi gọi y số xe chỗ ngồi (x y, ∈∗) Số người xe loại 12 chỗ ngồi 12x

Số người xe loại chỗ ngồi 7y

Theo đầu ta có 12x+7y=64 (1)

Ta thấy 12 ; 64 4x  ⇒7y4 mà ( )7, =1 nên y4 (2)

Từ (1) suy 7y<64 hay y<10 (3)

Từ (2) (3) suy y∈{4 ; 8} Thay y=4 vào (1) x=3

Thay y=8 vào (1) ta x∈∗ nên y=8 bị loại Vậy có xe 12 chỗ ngồi; xe chỗ ngồi

144 Quãng đường ngắn mà xe phải lăn bánh BCNN (63, 186)=3906 (cm) Đáp số: 62 vòng; 21 vòng

145 Số tiền người phải trả BCNN (1200, 1500, 2000)=6000 (đồng) Đáp số: bút ; bút ; bút

146 BCNN (126, 140, 180)=1260 Đáp số: 5040 ; 6300 ; 7560 ; 8820

147 Gọi số phải tìm a, ta có a−5 chia hết cho số 12, 18, 21 nên a− ∈5 BC(12, 18, 21) BCNN (12, 18, 21)=252

Vậy a – = 252k (k∈∗) ; a=252k+5 Với k =4 a=1013 thỏa mãn đầu

148 Gọi số học sinh a Ta có a− ∈3 BC(10, 12, 15); a− =3 60k k( ∈∗); a=60k+3 Ta xem với giá trị k a<400 a11

k

a 63 123 183 243 303 363 423

Trong giá trị trên, có a=363<400 a11 Vậy số học sinh khối 363 học sinh

149 Ta có ab=300 15=4500 (1)

Giả sử a≤b Vì ƯCLN ( )a b, =15 nên a=15m b; =15n với (m n, )=1 m≤n Từ (1) suy 15 15m n=4500 ;mn=20

Ta có bảng liệt kê sau

m n a b

1 20 15 300

150 Ta đặt ( )a b, =d suy a=d m b ; =d n (m n, )=1 Giả sử a≤b m≤n Ta có ab=dm dn =d m n2

[ ], ( )

;

ab d mn

a b d m n

a b d

= = =

Theo đầu [ ]a b, =210 nên d m n =210

Trong [ ] 2940 14

, 210

ab d

a b

= = = Vậy 210 15

14

mn= =

Ta có bảng liệt kê sau:

m n a b

1 15 14 210

3 42 70

151.Đặt (a,b) = d suy a =dm; b = dn với (m,n)=1 Lúc [a,b]= dmn (xem 150)

Vậy [a;b] + (a; b) = dmn + d = d(mn+1) = 15 Giả sử a ≤ b m ≤ n mn +1 ≥2

d mn+1 mn m n a b

1 15 14 14 14

2 7

3 4 12

5 2 10

152. a+6 11 ⇔ + +(a 6) 77 11 ⇔ +a 83 11 (1) a+5 13 ⇔ + +(a 5) 78 13 ⇔ +a 83 11 (2) Từ (1) (2) suy a + 83  BCNN(11,13) a + 83 143

a = 143k – 83 (k ∈ Ν*)

Để a nhỏ có chữ s, ta chọn k =2, a = 203

153. a số lẻ nên a2 số lẻ, suy a2 – 12 (1)

a số không chia hết a2 chia cho dư (xem 119) suy a2 –13 Các số nguyên tố nên từ (1) (2) suy a2 – 1

154. Trong năm số tự nhiên liến tiếp có số chia hết cho 3, có số chia hết

Trong bốn số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho số chia hết tích chúng chia hết cho

Tích năm số tự nhiên liên tiếp vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho

mà số 3,5,8 nguyên tố đôi nên tích chia hết cho 3.5.8 =120

155. Trong 11 số tự nhiên chọn hai số mà hiệu chúng chia hết cho 10

(xem ví dụ 23) Hiệu phải tận số 0, có hai số mà chữ số tận

cùng phải giống

156. Xét 14 số: 2; 22; 222; …;

14

22

chữ số …



Có 14 số mà có 13 số dư phép chia cho 13, tồn hai số có số dư

phép chia cho 13 Gọi hai số

2

22

m chữ số …

 ;

2

22

n chữ số …

 (1≤ < ≤n m 14) Hiệu chúng 

0

0

22 00

n chữ số m n chữ số−

…

 13 hay

2

.10

2

2 n

m n chữ số−

… 

 Vì (10n; 13) = nên

2

1

22

m n chữ số− … 

 tức tồn bội 13 gồm tồn chữ số

Nhận xét: Bài tốn ta thay chữ số chữ số

157. Dãy số 10; 102; 103; …; 1020 (1) ó tất 20 số Có 20 số khác mà có 19 số dư phép chia cho 19, tồn hai số ó số dư phép chia cho 19 Gọi hai số 10m 10n (1≤ < ≤n m 20)

Như 10m –10n  19 hay 10n (10m-n – 1)19.

Vì (10n; 19) = nên 10m-n – 119 hay 10m-n chia cho 19 dư Rõ ràng 10m-n số dãy (1) 1≤ < ≤n m 20

Nhận xét: Qua này, ta thấy tồn số tự nhiên k > 10k –119

158. Với k > 1, ta có 10k –119 (bài 157) Suy 102k – 119

103k – 119 (xem 94) …

1019k – 119

0

1 00

k chữ số …

 +

2

00

1

k chữ số …

 +… +

19

00

1

k chữ số …



Tổng có 49 số hạng, tổng chữ số 19

159. Một số lẻ chia cho số dư bốm số 1; 3; 5; Ta chia bốn số dư làm hai nhóm (hai “lồng”)

Nhóm I: dư dư Nhóm II: dư dư

Có ba số lẻ (ba “thỏ”) mà có hai nhóm số dư (hai”lồng”) nên tồn hai số thuộc

nhóm

- Nếu hai số dư hiệu chúng chia hết cho - Nếu hai số dư khác tổng chúng chia hết cho

160. Một số nguyên tố lớn chia cho 12 số dư bốn số 1; 5; 7;

11 Chia thành hai nhóm: Nhóm dư dư 11; nhóm dư dư Giải tiếp 159

161. Ba “thỏ” mà có hai “lồng” chẵn, lẻ

162. Gọi số a1; a2;…a7 Áp dụng kết 161, ta chọn hai số có tổng chia hết cho 2, chẳng hạn a1 + a2 =2 k1 Còn lại năm số, lại chọn hai số c tổng chia hết cho 2,

chẳng hạn a3 + a4 =2 k2

Còn lại ba số, lại chọn hai số có tổng chia hết cho 2, chẳng hạn a5 + a6 =2 k3 Xét ba số k1; k2; k3 Ta chọn hai số có tổng chia hết cho 2, chẳng hạn k1+ k2=2q Như vậy: 2k1+2 k2 = 4q

Hay a1 + a2 + a3 + a4 = 4q 4

163. Bất kì số tự nhiên có ba dạng 3k; 3k+1; 3k+2 (k∈N) Trường hợp 1: có số thuộc dạng, tổng ba số chia hết cho Trường hợp 2: Có số thuộc dạng đó, suy dạng có số Tổng ba số ba dạng chia hết cho

164. Một số lẻ chia cho số dư 3, tức số lẻ có hai dạng 4k + 4k +

- Nếu có bốn số thuộc dạng tổng bốn số chia hết cho

165. Gọi số mặt a1; a2; a3; a4; a5 Xét tổng: s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2+ a3

s4 = a1 + a2 + a3 + a4

s5 = a1 + a2 + a3 + a4+ a5

- Nếu có tổng chia hết cho tốn giải xong

- Nếu khơng có tổng chia hết cho tồn hai tổng có số dư chia cho (vì tổng mà có số dư khác 1; 2; 3; 4) Hiệu hai tổng chia hết cho Gọi hai tổng sm sn (1≤ < ≤n m 5) sm - sn 5 hay

(a1 + a2 + …+ am) - (a1 + a2 + …+ an) = an+1 + an+2 + …+ am5

166. a) 19.23 +77.19 = 19 (23 +77) = 1900

b) Xét thừa số thứ hai 456.789789 – 789.456456

= 456.1001.789 -789.1001.456 =

Vậy tích

167.Đáp số a)255; b)241 ; 15 ; 168. Vận dụng cơng thức dãy cộng để tính:

( 30 31)

) 1240; 25

2

x x

a + + = x=

(1 )

) 210; ( 1) 420 20.21; 20

2

x x

b + = x x+ = = x=

169. KỈ DẬU

170 a) Tổng chữ số 10n +53 b) Số bị trừ số trừ có tận

c) Tổng chữ số hang lẻ tổng chữ số hang chẵn nên hiệu chúng

chia hết cho 11 Ba chữ số tận 555 không chia hết cho 125

Ta có 17m 17; 17n17 nên 2n +717

Vì a phải nhỏ nên ta chọn n số nhỏ cho 2n+ 17, ta chọn n = Vậy a = 107

172. a) Tháng 2/2003 có 28 ngày bội nên ngày 01/3/2003 ngày thứ bảy Tháng ba

có 31 ngày, chia cho dư nên ngày 01/4/2003 ngày thứ ba

b) Từ 1/2/2003 đến 1/2/2004 có 365 ngày chia cho dư 1, nên ngày 1/2/2004 ngày chủ

nhật

173. Nhóm số hạng thành 12 nhóm, nhóm có hai số hạng

Mỗi nhóm chia hết cho 20 nên A 20

Nhóm thành nhóm, nhóm số hạng Mỗi nhóm chia hết cho 84 nên A84

Mà 8421 nên A21

A 20 A 21 mà (20,21)=1 nên A 20.21 hay A 420

174.Đáp số: a) k = 1; b) k>1; c) k =

175.Hướng dẫn: 143 = 11.13 =13.11 =1.143 = 143

Đáp số: x = 10; y = x = 12, y = x = 0; y = 74 x = 142; y =

176. a = p1m p2n => a3 = p13m p23n Số ước a3 (3m+1)(3n+1) = 40, suy m =; n =3

(hoặc m =3; n =1)

Số a2 =p12m p22n có số ước (2m+1)(2n+1) = 3.7 = 21 (ước)

177.Hướng dẫn: a ƯC 355 -13 = 342 836 – = 828; a >13

Đáp số a = 18

178. Gọi số a Ta có a = 7m +5 a = 13n +4 với m,n ∈N Cộng thêm vào số a ta

được:

( )

a + =9 14 m + = m +2 7

( )

a + =9 13n 13 + = 13 n +1 13

a+  a+9 13 mà (7,13) = nên a+9 7 hay a+9 91

Vậy a = 91k – = 91k – 91 +82; a = 91(k -1) +82 a chia cho 91 dư 82

179.Hướng dẫn BCNN (12, 18,27) = 108

a) Số lớn có ba chữ số chia hết cho số cho 972

b) Số nhỏ có chữ số chia cho số dư 1080+1 = 1081

c) Số nhỏ có chữ số chia cho s ều thiếu 1080 -2 =1078

Chương II SỐ NGUYÊN

180 a)Ζ+ b)Ν* c)Ζ− d)φ

181 a) Đúng b) Sai c) Sai, ví dụ 0∉ Ζ+, 0∉ Ζ−

182 a) Điểm A biểu diễn số -2

b) Điểm B biểu diễn số -5 183

{ }

{ }

5; 6; 7;

2; 1;0;1; 2;

A B

B C

C A

∩ = − − − − ∩ = ∅

∩ = − −

184 {− −2; 1;0} ; {−1;0;1} ; {0;1; 2} 185 -100 -99 hai số nguyên liền 186 a) a∈{1; 2;3; ;9}

b) a∈{1; 2;3; 4;5}

c) a∈{0;1; 2}; b∈{0;1; 2; ;9} d) ab∈{86;87; ;99}

187 Nếu b số nguyên âm a<b<0 Nếu b số tự nhiên a< ≤0 b

188 a) Đúng; b) Sai; c) Sai

189 a) x + = ⇒ =5 37 x 32⇒ = ±x 32 b) 6.x= ⇒ = ⇒ = ±54 x x

190 Vì ; ;x y z∈Ζ nên x∈Ν ; y ∈Ν ; z ∈Ν;

Vậy x + y + z≥0 (1)

Từ (1) (2) suy x = y = =z Do x = y = z =

191

a) x< ⇔ −10 10< <x 10⇔ ∈x {0; 1; 2; ; 9± ± ± }

{ }

21

) 21 22; 23; 24;

21

x

b x x

x > 

> ⇔ < − ⇔ ∈ ± ± ± 

c) x> − ⇔ ∈ Ζ3 x

d) Vì x +y = nên khơng có x để x< −1 192 Vì x + y = nên ta có bảng sau:

x -2 -1

y -1

193 a) (54 + 246) +[(–37) + (–163)] + (–70) = 300 + (–200) + (–70) = 30

b) (181 +350) + [ –359 + (–172)] + (–123) = 531 + (–531) + (–123) = –123

c) [–69+(–94) + (–14)] + (53+46+78) = – 177 + 177 =

194 a) (17+17) + (16 +16) + … + (1 +1) + + 18 = 18

b) x∈{0; 1; 2; 3; ; 24± ± ± ± }

S = + (–1+1) + (–2 +2) + … + (–24+24) =

195 S1 + S2 = [1+ (–3)+ (–2) + 4] +[5+(–7) + (–6) + 8] + … +[13+(–15)+(–14) +16] + [17+

(–18] = + + + 0+(–1) = –1

196 Giá trị lớn x + y 999+ 999 = 1998

Giá trị nhỏ x + y (–999) + (–999) = -1998 197 Ta phải chứng minh – (x+ y) = (–x) + (–y)

Xét tổng (x+ y) + [(–x) + (–y)] = [x + (–x)] + [y + (–y)] =

Tổng hai số hai số đối nhau, suy –(x+ y ) = (–x) + (–y) 198 x = ⇒ = ±5 x ; y = ⇒ = ±11 y 11 ;

Xét trường hợp:

x = –5; y = –11 x + y = (–5) + (–110 = –16

x = 5; y = –11 x + y = + (–11) = –6

x = – 5; y = 11 x + y = –5 + 11 =

199 Vì x y hai số nguyên dấu nên x+ = +y x y (xem phần nâng câo)

Vậy x+ =y 10⇔ + = ±x y 10

200 a) Nếu a≥0thì a =a; S1 = a + a = 2a Nếu a < a = −a; S1 = a + (–a) =

b) Cứ hai số hạng nhóm thành nhóm, 50 nhóm; thừa số hạng cuối

Vì a < nên a + | a | = Mỗi nhóm có tổng bẳng nên S2 = a

201 Ta chia 18 số làm nhóm, nhóm số Vì tổng số ột số âm nên tổng

các số nhóm số âm Vậy tổng ba nhóm tức tổng 18 số số

âm

Nếu thay 18 số 19 số 19 số, có số âm (vì khơng có

một số âm tổng số khơng thể số âm) Ta tách riêng số âm ra, lại

18 số Theo chứng minh tổng 18 số số âm cộng với số âm tách riêng

từ đầu số âm, tức tổng 19 số cho số âm 202 Đáp số: 22 – 22; –30 30; –7 7; 19 –19

203 Đáp số: – 306

204 x = ⇒ = ±7 x ; y = ⇒ = ±20 y 20

Xét trường hợp Đáp số: 13; 27± ± 205 x≤ ⇔ − ≤ ≤3 x 3; y ≤ ⇔ − ≤ ≤5 y 5; Vì x – y =2, ta có bảng sau:

x – – – 1

y – – – – – 1

206

) 8

8 6

8 6 14

a x x

x x

x x

+ = ⇔ + = ± + = ⇔ = − = − + = − ⇔ = − − = −

- Nếu a < khơng có x thỏa mãn đề x a− ≥0 - Nếu a = x =

- Nếu a > x – a = a x – a = – a Suy x = 2a x = 207 1< − < ⇔ − ∈x x { }2;3

2

2

2

2

2

2

x x

x

x x

x x

x

x x

− = =

 

− = ⇔ ⇔

− = − =

 

− = =

 

− = ⇔ ⇔

− = − =

 

208 x+ + + − ≤5 y ( 1) (1)

Vì x+ ≥5 0; y+ − ≥( 1) 0nên x+ + + − ≥5 y ( 1) (2) Từ (1) (2) suy x+ + + − =5 y ( 1)

Vậy x+ =5 y+ − =( 1) Do x = –5 y =1

209 Vì x < y < nên x− = − =y x y 100 (xem phần nâng cao)

Vậy x – y = 100± Nhưng x < y nên x – y < x – y = –100

210 GTLN x- y 11 –(–89) = 100

GTNN x – y –2–1 = –3

211 a) Vì x ∈ Ζ nên x+ ∈ Ν5 , A =1000 –|x+5| 1000≤ Khi x = –5 A = 1000 GTLN A 1000 x = –5

b) Vì y∈ Ζ nên |y –3|∈ Ν, B = | y –3 | + 50 ≥50 KHi y = B = 50

Vậy GTNN A 50 y =3

c) Vì x, y ∈Z nên |x–100|∈ N; |y+200|∈N đóC = |x –100|+|y+200|–1≥–1

Khi x = 100; y = –200 C = –1 Vậy GTNN C –1, x = 100 y = –200 212.a) (2003–2003) + (75–21) =54

b) 1152 –374 –1152–65 +374 = (1152 –1152 + (374 –374) – 65 = –65

b) 13 – (12–11–10+9) + (8-7-6+5) – (4-3-2+1) = 13

214 a) x = –29; b ) x = –33; c) x =145

215 Bỏ dấu ngoặc thu gọn vế, vế a –1

216 A +B = a – c – 4; C-D = a – c – Vậy A +B = C – D

217 S = – a +b+c –c+b+a – a – b = (–a+a) + (–b+b) + (–c+c) + (b – a) = b – a

Vì a > b nên b – a < S = − = − −b a (b a) hay |S| = a – b 218 Vì M > N nên a + b – > b + c –1

 a > c  a – c > Vậy a – c số dương

219 Gọi số cho a1; a2; a3; a4; a5 Theo đề ta có: a1 + a2 = a2 + a3 suy a1 = a3 ;

a2 + a3 = a3 + a4 suy a2 = a4 ;

a3 + a4 = a4 + a5 suy a3 = a5 ;

a4 + a5 = a5 + a1 suy a4 = a1 ;

Vậy a1 = a2 = a3 = a4= a5 = -3 220 a) x = x = -3 b) x = x =5

c) Vì x2 + 1≠0 nên x – = 0; x = 221 a) x (7 –19 +6) = – 6x

b) ab (–1 –1) = –2ab

222 A = –12m2 (3n3) = –36 m2n3

Vì m2 ≥0 nên 36m2n3≥0  m = 0, n ∈ Ζ m ∈ Ζ, n ≤ 223 a) –12x + 60 +21 – 7x = 5; –19x = –76; x =4

b) 30x + 60 –6x + 30 –24x = 100; 0x =10; khơng có x thỏa mãn đẳng thức cho 224 a) Xét hai trường hợp:

2x – = 13; 2x – = –13

c) − ≤13 5x− ≤2 13 − ≤11 5x≤15⇔ − ≤ ≤ ⇔ ∈ − −2 x x { 2; 1;0;1; 2;3} 225 a)

x – –1 –

2y+ –7 –1

x 10 –4

y –4 –1

b)

2x+1 –1 –5 11 –11 55 –55

3y -

2 –55 55 –11 11 –5 –1

x –1 –3 –6 27 –28

y 19 –3 –1

Có đáp số: (x = –1; y = 19); (x = 2; y = –3) (x = 5; y = –1); (x = –28; y = 1)

226 (x – 7) (x +3) <  x – x +3 trái dấu

Ta thấy x – < x +3 nên 7

3

x

x x

− <

 ⇔ − < <  + >



227 a) 125 (– 8) (– 61).1 = 61000

b) (– 47).(136 – 36) = – 4700

c) (– 48).72 +72 (– 152) = 72 (– 48 – 152) = 72 (– 200)= – 14400

228 a) ( 1) ( 99) 50 0;( 50).50 0; 50 50

2

x x

x x x

 + + + 

  = + = + = ⇒ = −

b) Bỏ số hạng 11 hai vế ta được: (x-3)+(x-2) + (x - 1)+ …+10 =

Gọi số số hạng vế trái l n (n>0) ta có: ( 3) 10

x n

 − + 

  =

Hay (x+7 ) n =

Vì n khác nên x + = 0, x = –7

229 (2 ) 2(1 )

2

m m m m

A m

m m

+ +

= = = +

(2 ) 2(1 )

1

2

n n n m

B n

n n

+ +

Vì A < B nên + m <1 + n hay m < n

230 Tích ba số số âm nên ba số có số âm Ta tách

riêng số âm ra, cịn lại 15 số Ta chia 15 số làm nhóm, nhóm số Tích số

trong nhóm số âm Vậy tích nhóm với số âm để tách riêng tích

6 số âm, tích chúng số dương

231 a) (a + b)(a + b) = a (a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab + b2= a2 + 2ab + b2

b) (a – b)(a – b) = a (a-b) – b(a – b) = a2 – ab – ab +b2 = a2 - 2ab + b2

c) (a + b)(a – b) = a (a –b) + b(a – b) = a2 – ab +ab – b2= a2 – b2

Từ kết trên, ta nên nhớ ba đăcngr thức sau: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab +b2

a2 – b2 = (a – b).(a + b)

232 Gọi ba số nguyên liên tiếp (a –1); a; (a+1)

Ta có: a2 – (a –1)(a +1) = a2 – (a2 – 1) = a2 – a2 +1 =

233 A2 = ab – bc – ac +bc = ab – ac = a (b – c )

A2 = –20.(–5) = 100 A = 10 A = –10 234.a) ab – ac + ad = a(b – c + d)

b) ac + ad – bc – bd = a(c + d) –b(c + d)= (c +d )(a – b)

235 a) ab – ac + bc – c2 = –1

b) a(b – c ) + c(b – c ) = –1

(b – c)(a+c) = –1

Suy hai thừa số (b – c); (a+c) có thừa số 1, thừa số -1, nghĩa chúng đối Vậy b – c = – (a + c) hay b – c = – a – c; suy b = – a tức a b đối 236 a) xy + 3x – 7y – 21 =0

x(y + 3) – 7(y + 3) =

(x– 7)(y 3+ )=0, 7,suy r xa = y∈Z ; x∈Z; y =-3 b) xy + 3x – 2y –6 =

(y + 3)(x – 2) =5

237 a) 16 ước; b) 18 ước 238 a b ⇒ =a b q q ( ∈Z)

Vậy | a | =| b q| = | b |.| q | Vì q thuộc Z nên | q | thuộc Z | a | chia hết cho |b| 239 A số chẵn hai thừa số số chẵn

B = n(n – 1) –

n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp nên số chẵn; B = n( n -1) – số lẻ

240 Xét tổng S = (ax –by) + (ay – bx) = (ax +ay ) – (bx + by) = a(x +y –b(x +y) = (x + y) (a – b)

Vì x + y khác nên S chia hết cho x +y ã –by chia hết cho x +y ay – bx chia hết cho x + y

241 Cách 1: 3x – y = – 21 (1) Ta thấy 3; 21 3x −  nên 4y3

Vì (4,3) = nên y3=> y = 3k (0 < k < 4) Thay y = k vào (1) ta 3x – 3k = –21suy x – 4k = – 7; x = 4k –7 (1< k <5)

Kết hợp lại ta < k < suy rak∈{ }2;3 Với k = x = 1; y =

Với k = x = 5; y =

Cách 2: 3x – 4y =-21 suy 3x = 4y – 21

3x =3y – 21 +y; 21

3

y y

x= − + ; x = y – +

3

y

Vì x, y số nguyên dương nhỏ 10 nên 3y suy ray∈{ }6;9 Với y = x =

Với y = x =

242 a) Tổng S có 100 số hạng, nhóm thành 25 nhóm nhóm có số hạng, có tổng chia hết

cho

-20

3S = – 32 + 33 –…– 398 +399 – 3100

Cộng vế hai đẳng thức ta được: 4S = – 3100; S =

100

1

−

S số nguyên nên -3100 4hay 3100 -1 4 suy 3100chia cho dư 243 Các ước 11 3; 37± ±

n+ – 3 –37 37

n – –39 35

n – bội 11 nên n –2 = 11k (k ∈Z) hay n = 11 k + Với k =3 ta n =35 Vậy n = 35 n +2 = 37 ước 111 n –2 = 33 bội 111

244 a) 4n−5 ; 4n n n ⇒5n⇒ ∈ ± ±n { 1; 5} b)

c) 3n+2 2 n−1; 2n−1 2 n−1

Vậy 2(3n+ −2) 3(2n−1) 2 n−1 hay 2 n−1 nên 2n− ∈ ± ±1 { 1; 7}

2n-1 –1 –7

n –3

245 Vì n –1 bội n +5 n +5 bội n –1 nên n – n +5 hai số đối nhau Nhưng n –1 < n+ nên n –1 = – (n + 5); n – = – n – 5;

2n = – 4; n = –2

246 a) n2 – 7=n2 +3n – 3n – + 2; n2 – 7= n(n +3) – (n +3) +2

Vì n2 –7 bội n +3 nên bội n +3 Vậy n +3 ∈ ± ±{ 1; 2}

n+3 – –

n – – – –

b) n + bội n2 –7 nên (n+3)(n - 3) bội n2 – hay n2 – n2 −7; n2− −7 2n2−7 Suy 2n2−7 Vậy n2− ∈ ± ±7 { 1; 2}

n -1 –1 –11 11

247 A = –125 (8x –8y) = –125 (x – y) = –1000 (–43 –17) = 60000

248 - Nếu khơng dung dấu ngoặc GTLN B 10 100 1001+ = ;

GTNN B 10 100− = −999

- Nếu dùng thêm dấu ngoặc có cách: Cách 1: Kết hợp hai số đầu

GTLN B (1 + 10) 100=1100 GTNN B (1 − 10) 100= −900 Cách 2: Kết hợp hai số cuối

GTLN B + (10 100)=1001

GTNN B − (10 100)= −999

Vậy GTLN B 1100 GTNN B -999

249 | x | ∈{2;3; 4;5} x∈ ± ± ± ±{ 2; 3; 4; 5}

250 a) x = -12; b) x∈∅; c) x = -3

251 a) Có cách chọn số bị trừ cách chọn số trừu nên có 4.5 =20 hiệu b) Có hiệu chia hết cho – (–3) =10; –(–2) = 10;

– = ; – (–1) =10; 9– =5

d) Có hiệu số nguyên âm – = – – = –1

252 Gọi số nguyên liên tiếp a a + Tích chúng a (a +1) Nếu a = 3k a =3k +2 a (a+1) 3

Nếu a = 3k +1 a(a +1) = (3k +1)(3k+2) = 9k2+ 6k + 3k + 2; chia cho dư Số (-3)20 + chia cho dư nên tích số nguyên liên tiếp

253 Ta phải có 5

3 12

x x

x

x x

+ > > −

 

⇔ ⇔ >

 − >  >

hoặc 5

3 12

x x

x

x x

+ < < −

 ⇔  ⇔ < −

 − <  <

 

Vậy x > x < – (x+ 5)(3x –12) >

254 Tích bốn thừa số số âm nên phải có thừa số âm ba thừa số âm

Dễ thấy x3 + < x3 +10 < x3 + 15 < x3 + 30

- Nếu có thừa số âm x3 + < < x3 +10 nên x3 = –8 x = –2 - Nếu có ba thừa số âm x3 + 15 < < x3 + 30 nên x3 = –27 x = –3 Vậy x∈ − −{ 2; 3}

255 Có = = (–1) (–9) = 3.3 = (–3)(–3) = =(–9).(–1)

Ta lập bảng giá trị:

x –7 –1 –3 –9

xy +1 –9 –3 –1

x 10 16 –2

y –1

Vậy có cặp số (x; y) (8; 1); (4; –1); (16;0) (–2; 1) 256 Từ a + b = c + d suy d = a +b – c

Vì ab số liền sau cd nên ab – cd =1 Suy ab –c (a + b – c) = ab – ac –bc +c2 =

a(b – c)– c(b – c) =

(b – c) (a – c) =

Suy a – c = b – c(vì –1) hay a =b

257 Cách 1: Gọi hai số nguyên x y Theo đầu ta có xy = x – y xy – x + y =

x (y – 1) + (y –1) = –1

(y – 1)(x +1) = –1

xy + y =x

y(x +1) = x

1 1

1

1 1

x x

y

x x x

+ −

= = = −

+ + +

MỤC LỤC

Chương I ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN 1

§1 Tập hợp Tập hợp

§2 Tập hợp số tự nhiên Ghi số tự nhiên

§3 Phép cộng phép nhân

§4 Phép trừ phép chia

§5 Lũy thừa với số mũ tự nhiên 11

§6 Chuyên đề : So sánh hai lũy thừa 13

§7 Chuyên đề Chữ số tận tích, lũy thừa 15

§8 Thứ tự thực phép tính 17

§9 Tính chất chia hết tổng 19

§10 Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 21

§11 Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 22

§12 Số nguyên tố Hợp số Phân tích số thừa số nguyên tố 24

§13 Ước chung ước chung lớn 27

§14 Bội chung bội chung nhỏ nhất 29

§15 Chuyên đề Nguyên lý Điriclê toán chia hết 31

§16 Ơn tập chương I 32

Chương II SỐ NGUYÊN 35

§1 Tập hợp Z số nguyên Thứ tự Z 35

§ 2: Phép cộng hai số nguyên 38

§ Phép trừ hai số nguyên 40

§4 Quy tắc “Chuyển vế” Quy tắc “Dấu ngoặc” 42

§5 Phép nhân hai số nguyên 44

§6 Bội ước số nguyên 48

§7 Ơn tập chương II 50