Đề thi HSG môn Toán lớp 9 và lời giải chi tiết Thị xã Sơn Tây - Tp Hà Nội năm 2020 - 2021

Dưới mỗi cột ta viết tích tất cả các số trong cột đó, về bên phải của mỗi hàng ta viết tích của tất cả các số trong hàng đó.. Chứng minh rằng tổng tất cả 2n tích vừa viết là một số kh[r]

UBND THỊ XÃ SƠN TÂY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HĨA LỚP PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƠN: TỐN

Năm học: 2020 – 2021

Ngày thi: 4/11/2020, thời gian làm 150 phút Bài (4,0 điểm)

a)Rút gọn biểu thức: 5

2 5

A   

   

b)Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn xyyzzx10 Tính giá trị biểu thức:

 2 2  2 2  2 2

2 2

10 10 10 10 10 10

10 10 10

y z z x x y

B x y z

x y z

     

  

  

Bài (4,0 điểm)

a)Giải phương trình:       

      

2

2

2019 2019 2020 2020 13

37

2019 2019 2020 2020

x x x x

x x x x

     



     

b)Đa thức f x( ) chia cho x2 dư 3, f x( ) chia cho x3 dư Tìm dư phép chia f x( ) cho x2x3 

Bài (4,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n cho 26292n số phương b) Cho x y, số thực khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

2

2 x y x y P

y x y x

   

  

      

 

 

Bài (6,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O với đường kính AB cố định Điểm M di động đường trịn  O cho khơng M

khơng trùng với A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn  O điểm thứ hai E Các đường thẳng BM

CN cắt F

a) Chứng minh điểm A E F, , thẳng hàng

b) Chứng minh tích AM AN không đổi

c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Bài (2,0 điểm)

Trong ô bảng ô vuông kích thước n n (n số nguyên dương, n lẽ) ta viết hai 1, cách tùy ý Dưới cột ta viết tích tất số cột đó, bên phải hàng ta viết tích tất số hàng Chứng minh tổng tất 2n tích vừa viết số khác

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài (4,0 điểm)

a)Rút gọn biểu thức: 5

2 5

A   

   

b)Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn xyyzzx10 Tính giá trị biểu thức:

 2 2  2 2  2 2

2 2

10 10 10 10 10 10

10 10 10

y z z x x y

B x y z

x y z

     

  

  

Lời giải

a) Ta có:    

 

 

2

2 5 5

2

2 2 5 1

  



   



     

Tương tự:    

 

 

2

2 5 5

2

2 2 5 1

  

    



     

Do đó: A 2 22

b) Ta có: x210x2xyyzzxxy x z

Tương tự y210yx y z z210 z x z y

Do đó:        

     2 2 10 10 10

y z y x y z z x z y

x x x y z xy zx

x x y x z

     

    

  

Tương tự:   

2

2

10 10

10

x z

y xy yz

y

 

 



 2 2

2

10 10

10

x y

z yz zx

z

 

 



Từ đó: B2xyyzzx20 Bài (4,0 điểm)

a)Giải phương trình:       

      

2

2

2019 2019 2020 2020 13

37

2019 2019 2020 2020

x x x x

x x x x

     



     

b)Đa thức f x( ) chia cho x2 dư 3, f x( ) chia cho x3 dư Tìm dư phép chia f x( ) cho x2x3 

Lời giải

            2 2 2 2

1 13

37

1

1 13

13 3 37

3 37

12

3

a a a a

a a a a

a a

a a a a

a a a a a a                                  

Với a4, ta có x2023 Với a 3, ta có x2016

Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x2023, x2016 b) Ta có x2x3 có bậc nên dư có bậc tối đa Đặt axb dư phép chia f x( ) cho x2x3  Khi f x( )h x x( ) 2x 3 axb Ta có:

   

2 3

1

3

3

f a b

a b a b f                   

Vậy f x( ) chia x2x3 dư x1 Bài (4,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n cho 26292n số phương b) Cho x y, số thực khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

2

2 x y x y P

y x y x

                  Lời giải

a) Giả sử: 26292nk2 với k* Phương trình tương đương:

  

2

24 2n 24 24 n

k    k k 

Do k24 k24 tính chẵn lẽ mà tích hai số lại số chẵn nên hai số số chẵn Lại có k24 k 24 nên từ phương trình tương đương:

24

2 48, 24

a

a n a n a k k            

 với

*

a

Do 2a k 2416 a 4, nên phương trình tương đương:

4

Hai vế khác tính chẵn lẽ nên phương trình vơ nghiệm

Suy khơng tồn n thỏa mãn yêu cầu đề

b) Đặt t x y

y x

  suy

2

2

2 2

x y

t

y x

    Do t2 t2 Khi P2t2   2 3t 2t2 3t

Nếu xy0 t2 Khi ta có: P2t2   4t t 2t t    2 t Nếu xy0 t2 Khi ta có: P2t2  3t t2t  3

Suy ra: P7 với x y, khác Đẳng thức xảy x y Vậy giá trị nhỏ P 7 đạt x y

Bài (6,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O với đường kính AB cố định Điểm M di động đường trịn  O cho khơng M

không trùng với A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vuông góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn  O điểm thứ hai E Các đường thẳng BM

CN cắt F

a) Chứng minh điểm A E F, , thẳng hàng

b) Chứng minh tích AM AN khơng đổi

c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn

Lời giải

F

E

N

C A

O

a) Ta có NMBNCB900BC NM, đường cao tam giác BFN Mà BC cắt MN A nên A trực tâm tam giác BFN

Do FABN Mà AEBN E nằm đường trịn đường kính AB Suy A F E, , thẳng hàng

b) Ta có: ACN AMB AN AC AN AM AB AC

AB AM

       

Do A B C, , cố định nên AN AM không đổi

c) Ta có: CFA CBN CF CA CF CN CA CB

CB CN

       

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: NF2CFCN2 4 CF CN 4CA CB (không đổi) Suy ra: NF2 AB AC

Đẳng thức xảy CFCN hay C trung điểm NF Khi tam giác BNF có BC vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên tam giác BNF cân B Mặt khác

3

BA

BC  A trọng tâm

của tam giác BNF Nói cách khác tam giác BNF tam giác NF nhỏ

Vậy NF nhỏ AB AC A trọng tâm của tam giác BNF Bài (2,0 điểm)

Trong bảng vng kích thước n n (n số nguyên dương, n lẽ) ta viết hai 1, cách tùy ý Dưới cột ta viết tích tất số cột đó, bên phải hàng ta viết tích tất số hàng Chứng minh tổng tất 2n tích vừa viết số khác

Lời giải

Trước hết, ý tích nhận hai giá trị 1,

Xét tích tất n số viết cột, ta thấy tích P tất số bảng Tương tự xét tích tất n số hàng, ta có P Suy tích 2n số cho

0

P  Suy 2n số đó, có chẵn số 1 chẵn số