Đang tải... (xem toàn văn)
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề về biểu thức đại số sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh[r]
(1)
Sưu tầm tổng hợp
CHUYÊN ĐỀ
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
(2)CÁC DẠNG TOÁN VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề
bài tốn biểu thức đại số Chúng tơi kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề này nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán biểu thức đại số thường kì thi gần Chuyên đề gồm mục lớn sau:
Chủ đề 1: Rút gọn phân thức hữu tỉ
Chủ đề 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức biến Chủ đề 3: Rút gọn tính giá trị biểu thức nhiều biến Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức
Chủ đề 5: Biểu thức chứa thức toán liên quan
Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề biểu thức đại số giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung
Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học!
Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này!
Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC
(3)MỤC LỤC
Trang
Chủđề Rút gọn phân thức hữu tỉ
Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỉ
Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỉ toán liên quan
Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật
Bài tập vận dụng
Hướng dẫn giải
Chủđề Tính giá trị biểu thức biến
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức 14
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa thức 15
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức có biến nghiệm phương trình 15
Bài tập vận dụng 16
Hướng dẫn giải 19
Chủđề Tính giá trị biểu thức nhiều biến có điều kiện
Dạng 1: Sử dụng phương pháp phân tích 24
Dạng 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định 25
Dạng 3: Sử dụng phương pháp hình học 27
Dạng 4: Sử dụng Vận dụng tính chất dãy tỉ số 28
Bài tập vận dụng 28
Hướng dẫn giải 34
Chủđề Một sốphương pháp chứng minh đẳng thức
Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi thương đương 49
Dạng 2: Sử dụng đẳng thức quen biết 50
Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến 51
Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức 53
Dạng 5: Sử dụng lượng liên hợp 53
Dạng 6: Chứng minh có số số cho trước 54
Dạng 7: Sử dụng Vận dụng tính chất dãy tỉ số 56
Bài tập vận dụng 58
Hướng dẫn giải 63
Chủđề Rút gọn biểu thức đại số toán liên quan
Dạng 1: Các toán biến đổi thức thường gặp 77
Dạng 2: Sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa tốn 78
Dạng 3: Các toán tổng dãy có quy luật 83
Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa có nhiều ẩn 84
Dạng 5: Rút gọn biểu thức toán liên quan 87
Bài tập vận dụng 97
Hướng dẫn giải 101
(4) RÚT GỌN PHÂN THỨC HỮU TỶ Nhắc lại kiến thức: Các bước rút gọn biểu thức hữu tỷ
1 Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thức thành nhân tử, cho tất nhân tử khác 2 Phân tích tử thành nhân tử, chia tử mẫu cho nhân tử chung
Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỷ
Thí dụ Rút gọn biểu thức A 4 x x 2x 44 3 2 2x 3x 2x 6x
− − − =
− + − − Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
4 2
2 2
x x 2x x x 2x x x x x
x x x x x x
− − − = − − + = + − − +
= + − − = + + −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
4
4 2
2 2
2x 3x 2x 6x 2x 3x 6x 2x
2 x 3x x 2 x
x 2x 3x x x 2x
− + − − = − − + + +
= − − + + +
= + − − = + − +
Điều kiện xác định A x 2, x
≠ ≠ − Ta có:
( )( )( )
( )( )( )
2
2
x x x x 1
A
2x x x 2x
+ + − +
= =
+
+ − +
Vậy với x 2≠ t
≠ − A x 2x
+ =
+
Thí dụ Rút gọn biểu thức B 2xy x z y2 22 22 2x z y 2xz
− + − =
+ − + Lời giải Ta có:
( )
( ) ( () ) (( )()( ))
2
2 2
2
2 2 2
z x 2xy y z x y z x y z x y
B
x z y x z y
x 2xz z y x z y
− − + − − + − − +
= = =
+ + + −
+ + − + −
Với x y z 0,x y z B z x y x y z
− + + + ≠ − + ≠ ⇒ =
+ +
Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỷ toán liên quan
Thí dụ Cho biểu thức A x 5x 444 22
x 10x
− +
=
− +
(5)a) Rút gọn A b) Tìm x để A =
c) Tìm giá trị A 2x 7− =
Lời giải a) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )
4 2 2
2
x 5x x x x x x x
x x x x x x
− + = − − − = − − −
= − − = − + − +
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )
4 2 2
2
x 10x x x 9x x x x
x x x x x x
− + = − − − = − − −
= − − = − + − +
Điều kiện xác định A x≠ ±1, x≠ ±3 Ta có:
( )( )( )( )
(x x x x 2)( )( )( ) ((x x 2)()( )) A
x x x x x x
− + − + − +
= =
− + − + − +
b) Ta có:
( )( )
(x x 2)( )
A 0 x
x x
− +
= ⇔ = ⇔ = ±
− +
c) Ta có:
2x x
2x
2x x
− = =
− = ⇔ ⇔
− = − = −
Với x = A ((x x 2)()( )) ((4 2)()( )) 1.6 1.7 x x 4
− + − +
= = = =
− + − +
Với x = - A khơng xác định
Thí dụ Cho biểu thức B 2x 7x 12x 4533 22 3x 19x 33x
− − +
=
− + −
a) Rút gọn B b) Tìm x để B >
Lời giải a) Ta có:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2
2
3x 19x 33x 3x 9x 10x 30x 3x
x 3x 10x x 3x 9x x x 3x
− + − = − − − + −
= − − + = − − − − = − −
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2
2x 7x 12x 45 2x 6x x 3x 15x 45 x 2x x 15
x 2x 6x 5x 15 x 2x
− − + = − − − − − = − − −
= − − + − = − +
(6)Điều kiện xác định A x 3, x
≠ ≠ Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
x 2x 2x 5 B
3x x 3x
− + +
= =
−
− −
b) Ta có:
1 x
3
3x 5 1
x x
2x
2x 2 3
B 0
3x 3x x x
2
2x
5 x
2
>
− > + > > − >
+
> ⇔ − > ⇔ ⇔ ⇔ − < < − <
+ <
< −
Vậy để B > x x
3
> ∨ < −
Thí dụ Cho biểu thức:
2 2
2
2 2
y x y x y
2 x
P
x x xy xy xy y x xy y
− +
= − + −
+ + + +
với
x 0; y 0; x≠ ≠ ≠ −y
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị biểu thức P,biết x,y thỏa mãn đẳng thức:
( )
2
x +y 10 x 3y+ = −
Lời giải 1) Với x 0; y 0; x≠ ≠ ≠ −yta có:
( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
2 2
2
2
2
x y x y x y xy x y
2
P
x xy x y x xy y
xy x y x y x y x y
2 .
x xy x y x xy y
− − + − +
= −
+ + +
− − − + +
= −
+ + +
( )( )
( )
2
2
x y x xy y x y
2 .
x xy x y x xy y
x y x y
x xy xy
− + + +
= +
+ + +
− +
= + =
2) Ta có: x2+y 10 x 3y2+ = ( − )
( ) ( )
2
2
x 2x y 6y
x y
⇔ − + + + + =
⇔ − + + =
(7)Lập luận x (tm)
y
= ⇒ = −
Nên thay x 1; y= = −3 vào biểu thức ( ) ( )
1
x y
P
xy 3
+ − +
= = =
−
Thí dụ Cho biểu thức: A x2 :1 2x2
1 x x x x
− −
= + −
− + − −
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên xđể biểu thức Anhận giá trị nguyên c) Tìm xđể A A=
Lời giải a) ĐKXĐ: x 1; x
2
≠ ± ≠
( ) ( )
2
2
1 x x x x 1
A
1 2x x
2 x 1. 2x 2x x
+ + − − − −
=
− −
− −
= =
− −
−
b) Anguyên, mà x nguyên nên 2x ,( − ) từ tìm x 1(ktm) x 0(tm)
= =
Vậy x 0=
c) Ta có:
1
A A A 2x x
2
= ⇔ ≥ ⇔ − > ⇔ <
Kết hợp với điều kiện : x − ≠ <
Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật Ví dụ Tính tổng: S 1
1.3 3.5 5.7 2007.2009
= + + + +
Lời giải Ta có: ( ) 1.(n n( ) ) 1
2 n n
n n n n
+ −
= = −
+
+ +
Do đó:
1 1 1 1 1004
S
2 3 2007 2009 2009 2009
= − + − + + − = − =
Ví dụ Cho
( 2 ) (2 2 ) (2 2 )2 ( 2 )2
2.1 2.2 2.3 2.2012
M
1 2 3 2012 2012
+ + + +
= + + + +
+ + + +
(8)Tính giá trị biểu thức M
Lời giải Ta có:
( 2 )2 ( )2
2a 1
a a 1
a a
+ = − + +
Do đó:
2 2 2 2
2
1 1 1 1
M
2 3 2012 2013
1
2013
= − + − + − + + −
= −
Ví dụ Rút gọn biểu thức:
( ) ( )2 ( )
3 2.n
M
1.2 2.3 n n
+
= + + +
+
Lời giải Ta có:
( ) 2( )2 ( )2
2k 2k 1
k
k k k
k k
+ +
= = −
+ +
+
Do đó:
( ) ( ) (( ))
2 2 2 2 2
n n
1 1 1 1 1
M
1
1 2 3 n n n 1 n 1 n 1
+
= − + − + − − + − = − =
+ + +
Ví dụ 10 Rút gọn biểu thức:
2 2
1 1
M 1 1
2 n
= − − − −
Lời giải Ta có:
( )( )
2
2 2
k k
1 k
1
k k k
+ −
−
− = =
Do đó:
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2
n n 1.3.2.4 n n 1.3 2.4 3.5
M
2 n n
1.2.3 n 3.4.5 n 1 n n 1
2.3.4 n n 2n 2.3.4 n n
− + − +
= =
− + + +
= = =
−
(9) Bài tập vận dụng
Câu Rút gọn biểu thức sau: A x 2x22 2x2 2 3 1 22 x
2x 8 4x 2x x x
−
= − − −
+ − + −
Câu Cho biểu thức : P 2x x2 : x 1 x2
x x
x 2x x x
+ + −
= − +
−
− + −
a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm xđể P 1<
c) Tìm giá trị nhỏ Pkhi x 1>
Câu Tìm tích: M 444 44 44 1744 4 11 19
+ + + +
=
+ + + +
Câu Cho biểu thức : A 4x 8x22 : 2x
2 x x x 2x x
−
= + −
+ − −
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A
b) Tìm xđể A= −1
c) Tìm giá trị xđể A 0<
Câu Cho biểu thức P x 43 : 2x (x 1) x
x x x
− −
= + − ≠
−
− + +
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị P xlà nghiệm phương trình x 3x 02− + = Câu Cho biểu thức A x 2x22 2x2 2 3 1 22
x
2x 8 4x 2x x x
−
= − − −
+ − + −
a) Tìm xđể giá trị Ađược xác định Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên xđể Anhận giá trị nguyên
Câu Cho biểu thức M x 246 4x 12 2 4 x 32 2 x x x x 4x
+ − +
= + −
+ − + + +
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị lớn M
Câu Rút gọn biểu thức: ( )( )
( )( )
2 2
2 2
x a a a x x a a a x
+ + + +
− − + +
Câu Rút gọn biểu thức: P a 4a a 433 22 a 7a 14a
− − + =
− + −
Câu 10 Cho biểu thức sau:
2
2 2
2x 2x 21 2x 8x
P :
2x
4x 12x 13x 2x 20 4x 4x
− − + −
= + − +
−
− + − − + −
(10)a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P x =
c) Tìm giá trị nguyên xđể P nhận giá trị nguyên d) Tìm xđể P 0>
Câu 11 Cho P a 4a a 433 22 a 7a 14a
− − + =
− + −
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên ađể Pnhận giá trị nguyên Câu 12 Tính: A 12 13 18
3 3
= + + + +
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu Điều kiện: x x
≠ ≠
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2
2
x 2x 2x
A
x
2x 8 4x 2x x x
x 2x 2x .x x
4 x x x x
2 x
−
= − − −
+ − + −
− − −
= −
+ − + −
( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
2
2
2
2 2 3 2 2
2
2
2
2
x x
x 2x 2x .
x
2 x x x
x x 4x x x x 4x 4x 4x x 1
x x
2 x x x
x x x x 1
2x
2x x
− + −
= −
+ + −
− + + + − + + +
= =
− + +
+ + +
= =
+ Vậy A x
2x +
= với x
x
≠ ≠
Câu
a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x≠ ≠ ≠ −1 Rút gọn Pta có: P x2
x
= −
b)
2
2 2
1
x
2
x x x x
P 1 0
x x x x
− +
− +
< ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ <
− − − −
x x
⇔ − < ⇔ <
Vậy với x 1< x 0; x≠ ≠ −1thì P 1<
(11)a) Ta có: P x2 x 12 x 1 x 1
x x x x
− +
= = = + + = − + +
− − − −
Khi x 1; x 0.> − > Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: x 1 x
− + ≥
− Dấu " "= xảy x 2.= Vậy GTNN P 4⇔ =x
Câu
Nhận xét được: n4+ =4 (n 1− )2+1 (n 1+ )2+1
Do đó:
( )
( ) ( ) (( ) () ( )) (( ) () ( ))
2 2 2
2
2 2 2
1 16 18 1 1
M
401 20 18 20
+ + + + +
= = =
+
+ + + + + +
Câu
a) ĐKXĐ: x 0; x≠ ≠ ±2
( ) ( )( ) ( ( ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2
2 2
4x x 8x x x
4x 8x x
A : :
2 x x x 2x x x x x x
8x 4x 8x x 2x 4: 8x 4x : x
2 x x x x 2 x x x x
− + − − − − = + − = + − − + − − − + − − + + − = = + − − + − − ( ) ( )( ) ( ) 4x x x x 4x
3 x x
2 x x
+ −
= =
− −
+ −
b) A 1 4x2 1 4x x 02 x
3
x x
4 = − = − ⇔ = − ⇔ + − = ⇔ − =
c) A 4x2 x x x
< ⇔ < ⇔ − < ⇔ < −
Vậy x 3; x 0; x< ≠ ≠ ±2thì A 0<
Câu
1 a) Với x 1≠ ta có:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2
2
2
2 2
2
2
x x x x x x
P :
x x
x x x x x x
x x x : x x 2x .x x
x x x
x x x x x x
− + + + + − + = + − + + − + + + + − + + + + + − + + = = − + + + + − + + + ( )( )
( )( )
x x x 3
x x x
+ − +
= =
+
− +
Vậy x 1≠ P x 32 x
+ =
+
b) x 3x 02 x 2(tm) x 1(ktm)
= − + = ⇒
=
Thay x 2= vào Pta có:
2
P 13 + = = +
(12)Kết luận với x 2= P 13 = Câu
a) Giá trị Ađược xác định
2
2
2x
8 4x 2x x
x + ≠ ⇔ − + − ≠ ≠ ( ) ( ) ( )( ) 2 2 x 2x x
4 x x x x x
x
x x
≠ − ≠ − ≠ ⇔ − + − ≠ ⇔ − + ≠ ⇔ ≠ ≠ ≠ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
x 2x 2x
A
x
2x 8 4x 2x x x
x 2x 2x . x x
4 x x x x
2 x
x 2x x 4x x x 2x 2.
x
2 x x
x x x 2x x 4x 2x 4x
x
2 x x
x x x x x 1
2x x
2 x x
− = − − − + − + − − − + = − − + − + − − − + − − = + − + − + − − + − = + − − + − + + = = + −
b) Ta có: x
* x 2x 2x 2x
2x +
∈ ⇔ + ⇒ + mà 2x 2x
x 1(tm) 2x x
x 1(tm) = ⇒ ⇒ ⇒ = −
Vậy A x x
2x +
= ∈ ⇔ = x= −1
Câu
a) Ta có:
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
4 2
4
2 2
4
4 2
2
4 2 4 4 4 2
2 2
x x x
M
x x
x x x x x
x x 1
x x x x x x
x x x x x x x x x 1
x x x x x x
+ − + = + − − + + − + + + + − = + − − + + + − + + + − + − − + + + − − + − = = + − + + − +
(13)( )( ) ( )(( ) )
2
4 2
4
2 2
x x
x x x
x x
x x x x x x
+ +
= = =
− +
+ − + + − +
Vậy M 4 x22 x x
=
− + với x
b) Ta có : M 4 x22 x x
=
− + với x - Nếu x 0= ta có M 0=
- Nếu x 0≠ , chia tử mẫu M cho x2ta có:
2 M x x = + − Ta có: 2 2
1 1
x x 2.x x 1
x x
x x
+ − = − + + = − + ≥
Nên ta có:
2 M 1 x x = ≤ + −
Dấu " "= xảy x 1.=
Vậy M lớn M 1= x 1= Câu Ta có:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
x a a a x x x a a a a x x x a a a a x x a a a x
x a a a a
x x a a x a a
x x a a x a a x a a a a
x 1 a a 1 a a
1 a a x 1 a a
+ + + + + + + + + = − − + + + − − + + + + + + + + + + + + = = − + + − + − + + − + + + + + + = = − + + − + Câu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )( )( ) )
2 2
3
3
a a a a a
a 4a a P
a 7a 14a a 7a a a a 5a
− − − − −
− − +
= = =
− + − − − − − − +
( )( )( )
(a a a 4a a a 4)( )( ) a 2a
− + − +
= =
−
− − −
Vậy P a a + =
− với a≠{1; 2; 4} Câu 10 Phân tích:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2
2
4x 12x 2x 2x ; 13x 2x 20 x 2x 21 2x 8x 2x 4x ; 4x 4x 2x 2x
− + = − − − − = − −
+ − = + − + − = − +
Điều kiện: x 7; ; ; ; 2
−
≠
(14)a) Rút gọn: P 2x 2x − =
− b)
1
x P
1 2 2
x
1
2 x P
2
= ⇒ =
= ⇒
= − ⇒ =
c) P 2x
2x x
−
= = +
− −
Vậy P x U(2) { 1; 2}
x
∈ ⇔ ∈ ⇒ − ∈ = ± ±
−
x x 3(tm)
x x 4(tm)
x x 6(tm)
x x 7(tm)
− = − ⇒ = − = − ⇒ = − = ⇒ = − = ⇒ = d) P=2x
2x x
− = +
− −
Ta có: P x x
x
> ⇒ > ⇔ > ⇒ − > ⇔ > −
Với x 5> P 0>
Câu 11 a) Ta có:
( )( )( )
( )( )( )
3
3
a 4a a a a a a 7a 14a a a a
− − + = − + −
− + − = − − −
Nêu ĐKXĐ: a 1;a 2;a 4≠ ≠ ≠
Rút gọn P a a + =
− b)
a 3
P ;
a a
− +
= = +
− − ta thấy Pnguyên a 2− ước 3, mà
{ }
U(3)= −1;1; 3; 3− , từ tìm a∈ −{ 1; 3; 5} Câu 12 Ta có:
( ) ( )
2
2
1 1
3A
3 3
1 1
A
3 3
= + + + +
= + + + +
Lấy (1) trừ (2) ta được:
1 6560 3280
2A 1 A
6561 6561 6561
3
= − = − = ⇒ =
(15) TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MỘT BIẾN Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức
Thí dụ Tính giá trị biểu thức
5
4
x 3x 10x 12 F
x 7x 15
− − +
=
+ + với
x 1
4 x + +x 1=
Lời giải
Ta có: 2
2
x 4x x x 1 x 3x 1.
4
x + +x 1= ⇔ = + + ⇔ = −
Do đó:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
4
5
x x.x x 3x 3x x 3x x 8x 3; x x x 8x x 3x 3x 21 8;
x x x 21 x 21x 8x 21 3x 8x 55x 21
= = − = − = − − = −
= = − = − − = −
= = − = − = − − = −
Từ ta có:
( )
( )
5
4
x 3x 10x 12 55x 21 8x 10x 12 21x; x 7x 15 21x 3x 15 42
− − + = − − − − + =
+ + = − + − + =
Vậy: F x 3x 10x 12 21x 15 4 2 (do x 0) 42x
x 7x 15
− − +
= = = ≠
+ +
Thí dụ Cho t 2 x . x x =
− + Tính giá trị biểu thức
2
x A
x x
=
+ + theo t Lời giải
1) Nếu x 0= t 0= A 0.=
2) Nếu x 0≠ x 1 t 1 x 1 1 x 1
x x t x t
+ − = ⇒ + = + ⇒ + = +
2
2
1
x
t
x t
⇒ + = + −
Khi đó:
2
2
1 t
A
1 2t
x
t
x t
= = =
+
+ + +
Từ hai trường hợp suy A t2 2t
= +
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa thức
Thí dụ Cho x+ 2= Tính giá trị biểu thức
5
H x 3x 3x 6x 20x 2023= − − + − +
Lời giải Ta có:
(16)( )2 2
x+ 2= ⇔ − =2 x 3⇒ x− = ⇔3 x 4x 0− + =
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
5
5 4 2
3 2 2
3 2
H x 3x 3x 6x 20x 2023
x 4x x x 4x x x 4x 2018 x x 4x x x 4x x 4x 2018
x x x 4x 2018 2018 (do x 4x 0)
= − − + − +
= − + + − + + − + +
= − + + − + + − + +
= + + − + + = − + =
Vậy H 2018= x+ 2=
Thí dụ Cho x 28 16
3
− =
− Tính giá trị biểu thức:
2 2012
P (x 2x 1)= + − Lời giải
Ta có: x (4 3)2 ( 1)2
3 3
− − −
= = =
− − − = 1−
⇒ x 2x 12+ − =
⇒ P (x= 2+2x 1)− 2012 =1
Thí dụ Cho x= 31+ 65−3 65 1− Tính Q x 12x 2009= 3+ +
Lời giải Ta có : x3 =31+ 65 −3 65 1− 3
= +(1 65) (− 65 1− −) (3 + 65)( 65 1− )31+ 65−3 65 1−
= −2 12 13 + 65 −3 65 1− = −2 12x
Do đó: Q = 2-12x +12x + 2009 = 2011
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức có biến nghiệm phương trình cho trước
Thí dụ Cho a nghiệm phương trình: x 3x 02− + = Khơng cần tính a tính giá trị biểu thức: Q 4 a22
a a
=
+ +
Lời giải
Do a nghiệm phương trình: x 3x 02− + = nêna 3a 02 − + = ⇒a 3a2+ = Suy ra:
( ) ( )
2 2
4 2 2 2
a a a a
Q
8
a a a 1 a 3a a 8a
= = = = =
+ + + − −
Thí dụ Chứng minh phương trình x x 02 + − = có hai nghiệm trái dấu Gọi x nghiệm âm phương trình Tính giá trị biểu thức
1 1
D= x 10x 13 x + + + Lời giải
(17)Phương trình x x 02+ − = có ac = -1 < nên có nghiệm trái dấu Vì x1 có nghiệm phương trình nên: x x 021 + − = ⇒1 x21 = −1 x1 Do đó:
( )
( )
( )
( )
2
4
1 1 1 1
2
8 2
1 1 1 1
2
1 1 1
2
8 2
1 1 1 1
x x 2x x 2x x 3x ;
x 3x 12x 9x 12x 8x x
4 12x x x 12 20x x ;
x 10x 13 12 20x x 10x 13 25 10x x x
= − = − + = − + − = −
= − = − + = − + +
= − + − + = − +
+ + = − + + + = − + = −
Do đó:
( )2
1 1 1 1
D= x 10x 13 x + + + = x− +x = −5 x +x
Do x1 nghiệm âm phương trình nên x1 < nên - x1 > đó:
1 1
D x= − +x = −5 x x+ =5
Thí dụ Gọi m nghiệm phương trình 2x x 0.2+ − = Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức:
( )
2m A
2 2m 2m 2m
− =
− + +
Lời giải
Do m nghiệm dương phương trình 2.x2+ − =x 0 nên
2.x = − ⇒ < <1 x x 1nên 4x4 = −1 2x x+ 2 Do ta có:
( )
( )( ( ) )
( )( ( ) ) ( )
( ) ( )
4
2
4
4 4 2
2
2m 2m 2m 2m
2m A
4m 4m 4m 2m 2m 2m
2m 2m 2m 2m 2 2m 2m 2m
4m
2 m 2 m 1 m m m
m
2 2 2 2
1
− − + −
−
= =
− + −
− + +
− − + − − + −
= =
− + −
− − − − −
= + = + = +
− −
= −
Bài tập luyện tập
Câu 1.Cho x, y thỏa mãn x= y- y +1+ y+ y +12 Tính giá trị biểu thức
4 2
A x +x y+3x +xy- 2y +1= Câu (Chuyên Hải Dương 2010)
(18)Cho 1 312 135 312 135
3 3
x
+ −
= + +
Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức ( )2 M= 9x −9x −3
Câu Cho 3
3 2 2 1, 17 12 17 12 2
m= + − − − n= + + − +
Tính giá trị biểu thức
2(20 ) 38
T = m+ n − Câu Tính giá trị biểu thức
3
3
a 3a
B
a 4a 5a
− +
=
− + − biết
3
a= 55+ 3024+ 55− 3024 Câu (HSG Hải An 2018)
Cho biểu thức A=(x2− −x 1)2018+2019.
Tính giá trị biểu thức A x 3
3 1 1
= −
+ − + +
Câu (HSG Lê Chân 2018)
Cho x= 2+ 2+ − 2− + Chứng ming rằng: x 16x 32 0.4 − 2+ = Câu (HSG Thanh Hóa 2017)
Tính giá trị biểu thức P 4(x 1)x20182 2x2017 2x 2x 3x
+ − + +
=
+
1
x
2 2
= −
− +
Câu (HSG TP Hải Phòng 2018)
Cho a= 3+ 3+ + 3− 3+ Chứng minh a2 −2a 0.− = Câu (HSG Hải Dương 2016)
Cho biểu thức: P= 1 x x x− + −( ) − + 1 x x x− − −( ) − (với − ≤ ≤1 x 1). Tính giá trị biểu thức P x
2019 = − Câu 10 (HSG Hải Phòng 2016)
Cho x 310 3( 1)
6 5
+ −
=
+ − Tính giá trị ( )
2017
P= 12x + 4x – 55 Câu 11 (HSG Hải Dương 2015)
(19)Cho x 3= − Tính giá trị biểu thức A x 8x 17x 6x 116x 104= 5− 4+ 3+ 2− + Câu 12 (HSG Hưng Yên 2015)
Cho x 1= +22+24.Tính giá trị biểu thức A= x 3x 3x 2018.3 − 2− + Câu 13 (HSG Phú Thọ 2015)
Tính giá trị biểu thức P = x 4x 17x 954 32 x 3x 2x 11
− − +
+ + + với
x
4
x + +x 1=
Câu 14 (HSG TP Hải Phịng 2015)
Tính giá trị biểu thứcA x – 6x + 1976 = với x = 20 + 14 + 20 – 14 23 Câu 15 (HSG Hưng Yên 2014)
Cho
3 6 10
x
3
−
= + −
+ Tính giá trị biểu thức
( 4 3 2 )2019
A x x x 2x 1= + − − − Câu 16 (HSG Hải Dương 2014)
Tính giá trị biểu thức: A = 2x 3x 4x 23+ 2− +
với x 5 5
2
+ +
= + + − − − −
Câu 17 (HSG Hưng Yên 2013) Cho x
2 2 1
− =
+ Tính giá trị biểu thức sau:
A = ( )
2014
5 19
2
1 2x (4x 4x x 1) 4x 4x 5x 5x
2x 2x
−
+ − + + + − + + +
+
Câu 18 (HSG Phú Thọ 2013)
Tính giá trị biểu thức P 3 a 3a 23 2 a 4a 5a
− + =
− + − , biết
3
a= 55+ 3024 + 55− 3024 Câu 19 (HSG Kinh Môn 2013)
Khơng dùng máy tính Hãy tính giá trị biểu thức P = (4x3 - 6x2 - 1)2015 +2014 với x =
+3 + +3 −
2 2
Câu 20 (HSG TP Thanh Hóa)
(20)Với ( )
5 17 38
5 14
x
+ −
=
+ − Tính giá trị biểu thức: B = ( ) 2015
3x +8x −2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.Có x = y- y + 13 + y+ y + 12
3 3 3
x = 2y +3 y - y + y+ y + 1 y- y +1 y+ y +1
⇒ +
3
x + 3x -2y = ⇒
4 2
A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + = (x +3x -2xy) + (x y + 3xy - 2y ) 1+ =x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 13 + = Câu 2.Từ x 1 12 135 12 135
3 3
+ −
= + +
(3 1) 12 135 312 135
3 3
x
+ −
⇒ − = +
( )
3
3 12 135 12 135 3 1
3 3
x
+ −
⇔ − = +
( )3 ( )
3x 1 8 3 3x 1
⇒ − = + −
3
9x 9x 2 0
⇔ − − =
( )2
1 1
M
⇒ = − =
Câu
Ta có: m= ( 2 1+ ) (2 − 2 1− )2 − =1 1 n= (3+2 2) (2 + 3 2− )2 + =2 2 Do đó: ( )2
2 20 12 38 2010
T = + − =
Câu
( ) ( )
( ) ( )
2
3 2
a a
a 3a a
B
a
a 4a 5a a a 2
− +
− + +
= = =
−
− + − − −
Xét a3 =55+ 3024 55+ − 3024 55+ 3( + 3024 55)( − 3024 a)
(21)3
a 110 3a
⇔ = +
( )( )
( )
2
2
a a 5a 22
a a 5a 22
⇔ − + + =
⇔ = + + >
a B
a +
⇒ = =
−
Câu Ta có
3 1 3 1
3
x
3 1
3 1 1
3 1 3 1 2
+ + − + −
= − =
+ −
+ − + +
+ + − + +
= =
Thay x=2vào biểu thức A ta
( 2 )2018
A= 2 1− − +2019 2019 2020= + =
Câu 6.
x= 2+ 2+ − 2− +
( )
( )
2
x 2 3 2 3
2 3 2 3
⇒ = + + + − + − + + − +
= − + − − +
= − + − −
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
4
4
4
x 2 3
x 2 3
x 16x 64 12 x 16x 64 32
x 16x 32
⇒ − = − + − −
⇒ − = − + − −
⇔ − + = + + − +
⇔ − + =
⇔ − + =
Vậy
16 32 0
x − x + = (đpcm)
Câu
Vì x 3
2 2
−
= − =
− +
nên x
−
= nghiệm đa thức 2x2+2x 1.−
Do ( )
( )
2017
2
2x 2x 2x 2x 2x 1
P 3
x
2x 2x x
+ − + + +
= = = −
+
+ − + +
(22)Câu
( )
2
3 3
a = + + + − + + − +
6
= + −
( )2 ( ) ( )2
6 3
= + − = + − + = +
Vì a>0 nên a= 1+ Do (a−1)2 =3hay a2−2a− =2 Câu
( )( ( )) ( )( )
2
2
P x 1 x 1 x
P x 2 1 x x x
= − + − + − −
⇒ = − + − − = − +
Mà P= 1 x x x− + −( ) − + 1 x x x− − −( ) − ≥ ⇒ =0 P 2 x( − ) Với x P 2019
2019 2018
= − ⇒ =
Câu 10.
Ta có :
( ) ( )
310 3+ 3 1− =3( 1)+ 3 1−
2
6 5+ − 5= ( 1)+ −
3
2
( 1) ( 1) ( 1)( 1)
x
1 5
( 1)
+ − + − −
= = = =
+ − + −
Thay giá trị x vào P ta được: P 12.2 55=( 2+ − )2017 =12017 =1 Câu 11
Ta có: x 3= − 5⇔ − =3 x 5⇒ −(3 x)2 = ⇒5 x 6x 02− + =
5
A x 8x 17x 6x 116x 104= − + + − +
=(x 6x5− 4+4x ) 2(x 6x 4x ) (x 6x3 − 4− 3+ + 3− 2+4x) 20(x 6x 4) 24+ − + +
3 2 2
A x (x 6x 4) 2x (x 6x 4) x(x 6x 4) 20(x 6x 4) 24= − + − − + + − + + − + + A = 24
Câu 12
Có x 1+ = 2+3 4 2+ = 2 1( +32+3 4)= 2x
( )3 3 3 2
x 2x x 3x 3x A 2019
⇒ + = ⇔ − − = ⇒ =
Câu 13
(23)Ta có 2
x 4x x x 1 x 3x 1
4
x + +x 1= ⇔ = + + ⇔ = −
Khi x3 =x x2 =(3x x 3x− ) = 2− =x 3x x 8x 3( − − =) − x4 =x x3 =(8x x 8x 3x 3x 3x 21x 8− ) = 2− = ( − −) = − x5 =x x4 =(21x x 21x 8x 21 3x 8x 55x 21− ) = 2− = ( − −) = −
Suy P = x 4x 17x 954 32 x 3x 2x 11
− − +
+ + +
( ) ( )
(55x 21 8x 17x 921x 3x 2x 11) ( )
− − − − +
=
− + − + +
6x 32x 16
= = ( x 0≠ ) Vậy P = 16 Câu 14
+ Đặt u = 20 14 2+ ;v = 3 20 14 2− Ta có x = u + v u v3+ =40 u.v = 3(20 14 2)(20 14 2) 2+ − =
3 3
x u v x= + ⇒ =u v 3uv(u v) 40 6x+ + + = +
hay x 6x 403 − = Vậy A = 2016 Câu 15
( )
( ) ( ) ( )
3
3
2
2
3
6 10 3 3
x 3
3 3
1 3
3
3
2
2
3 2
−
− − + −
= + − = + − = + −
+ + +
+ −
−
− +
= + − = − = − =
+
Thay x= vào A ta có
A=(x x x 2x 14+ 3− 2− − )2019 =(4 2 2 1+ − − − )2019=12019 =1 Câu 16
Đặt a = + 5 - 5
2
+ + + , a > ( )
a
2
2 4 4 5 4 4 5 1 3 a 3 5
+
= + − = + − = + − = + ⇒ = +
6
x 5 1
2
+ −
⇒ = + − − − = − − 5 1
2
+ −
= − − = −
(24)x = 1− ⇒x2+2x 0− =
( ) ( )
3 2
B 2x 3x 4x 2x x 2x 1= + − + = + − − x 2x 1 1+ − + = Câu 17 Ta có x
2 2 1
− =
+ =
2 ( 1)
2 − =
2
− ⇒2x= 2 1− ⇒2x 1+ = 2 ⇒4x2+4x 0− = (a)
Do đó:
5 3
4x +4x −x x (4x+ = +4x 1) 1− + =
5
4x 4x 5x 5x 3+ − + + = x3 (4x2 +4x 1)− - x (4x2+4x 1)− + (4x2+4x 1)− +4 = Từ (a) 2x 2x2
2
⇒ + = 2x 2x2
2
⇒ + = ; 2x 1− =
2
1 2x 2x 2 2x 1
1 2x 2x
2
− −
⇒ = = − =
+
Do A = 119+( )4 3+12014 =10
Câu 18 Ta có ( ) ( )
( ) ( )
2
3 2
a a
a 3a a
P
a a 4a 5a a a 2
− +
− + +
= = =
−
− + − − − ;
mà a3 =110 55 3024+ 2− 3 55− 3024 +3 55+ 3024
3
a 110 3a a 3a 110
⇒ = + ⇔ − − =
(a a)( 5a 22) 0 a 5
⇔ − + + = ⇔ = Suy P
3 = Câu 19 Đặt
3
a 2 b 2
= +
= −
− = +
= + =
1
6
3
x b a
b a ab
(2x - 1)3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) = + 3(2x - 1) (2x−1)([2x−1)2−3] =
4x3 - 6x2 - =
Vậy P = (4x3− 6x2− 1)2015 + +2014 = 1+2014 = 2015 Câu 20
Ta có ( ) ( ) ( )( )
3
2
5 5 1 5 (3 5)
x
− + − +
= = =
+ −
+ −
Do B = -
(25) TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN CÓ ĐIỀU KIỆN
Dạng 1: Sử dụng phương pháp phân tích
Thí dụ Cho a, b, c khác thỏa mãn: (a b c) 1 1 a b c
+ + + + =
Tính giá trị biểu thức: P a=( 23+b23)(b c c3+ 3)( 2019+a2019)
Lời giải
Ta có: (a b c) 1 1 a b c
+ + + + =
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2 2
2 2 2
ab bc ca
a b c
abc
a b c ab bc ca abc
a b abc ca ab b c abc abc bc c a abc a b ca b c ab c b ac 2abc
a b b c c a
a b
b c
c a
+ +
+ + =
⇔ + + + + =
⇔ + + + + + + + + =
⇔ + + + + + + =
⇔ + + + =
= − ⇔ = −
= −
* Với a = - b thì: a23+b23 = −( )b 23 +b23 =0 Do đó: P a=( 23+b23)(b c c3+ 3)( 2019+a2019)=0 * Với b = - c thì: b c3+ = −( )c 3+c3 =0
Do đó: P a=( 23+b23)(b c c3+ 3)( 2019+a2019)=0 Với: c = - a thì: c2019+a2019 = −( )a 2019+a2019 =0 Do đó: P a=( 23 +b23)(b c c3+ 3)( 2019+a2019)=0 Vậy ta có: P =
Thí dụ Cho số dương x, y thỏa mãn: 7x 13xy 2y2− − =0 (1) Tính giá trị biểu thức: A 2x 6y
7x 4y
− =
+
Lời giải
Từ (1) ta có: (7x y)(x 2y) 0+ − = ⇔ =x 2y (do x, y > 0)
Thay x = 2y vào A ta được: A 2x 6y 4y 6y 2y 7x 4y 14y 4y 18y
− − − −
= = = =
+ +
(26)Thí dụ Cho số thực x, y thỏa mãn:
2010 1 2010
x y (2)
x 2y 2335
+ =
+ =
Tính giá trị biểu thức: B x
y
=
Lời giải Đặt a 2010 , b 2010
x y
= = với a, b >
Từ (2) suy ra:
a b a b 1 2 7
2010 2.2010 2345 a a 6
a b a b
7a 11a a (do a 0)suyra : b
+ = + =
⇔ ⇒ + =
+
+ = + =
⇔ − − = ⇔ = > =
Vậy: B x b y a
= = =
Dạng 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định
Thí dụ Cho số thực x, y, z thỏa mãn:
2
2
(x y)(x y) z (4) 4y 7z
− + =
= +
Tính giá trị biểu thức D 2x 10y 23z = 2+ 2−
Lời giải Ta có: (4) z x2 2 y22 (4)
4y 7z
− − =
⇔
− =
Ta tìm số thực a, b thỏa mãn: a(z x y ) b(4y 7z ) 2x 10y 23z2− 2− + 2− = 2+ 2−
2 2 2
ax (4b a)y (7b a)z 2x 10y 23z a
a 4b a 10
b 7b a 23
⇔ + − − + = + −
=
=
⇔ − = ⇔ = + =
Vậy D = 2.0 + 3.5 = 15
Thí dụ Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn:
t 1
x 2y 2z (5)
t
z 3x
=
+ +
=
−
Tính giá trị biểu thức: E t x 8y 9z
=
+ +
Lời giải.
(27)Ta có:
y
x 2 2z 1
t t t
(5)
z 3x 2
t t
+ + =
⇔
− =
Mặt khác: x 8y 9z
E t= + t + t Giả sử a, b số thực thỏa mãn:
( )
y y
x z x z x z
a 2 b
t t t t t t t t
y y
x z x z
a 3b 2a (2a b)
t t t t t t
a 3b
a
2a 4.1 1.2
b E
2a b
+ + + − + = + +
⇔ − + + + = + +
− =
=
⇔ = ⇔ = ⇒ = + =
+ =
Vậy E 6=
Thí dụ Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn:
5
5x 3y z (1)
2
t t t (2)
x y z 10
= =
− + =
Tính giá trị biểu thức: C t2 t2 t2 xy yz zx
= + +
Lời giải.
Từ (1) ta có: y 5x, z 2x
= =
Thay y 5x, z 2x
= = vào (2) ta được: t t t t x
x x 2x 10
3
− + = ⇒ =
Vì thế: C t2 t2 t2 x2 x2 x2 x x x x 3 1 xy yz zx xy yz zx y y y z 5 2
= + + = + + = + + = + + =
Dạng 3: Sử dụng phương pháp hình học
Thí dụ Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn ( ) 2
2 2
x y
y z 16 *
y xz
+ =
+ =
=
Tính giá trị biểu thức G xy yz= +
Lời giải
(28)Website:tailieumontoan.com
27
Xét tam giác ABC vng B, có AB = 3, BC = đường cao BD Đặt AD = x, BD = y, DC = z, ta thấy x, y,z hoàn toàn thỏa mãn hệ thức (*) Khi đó:
( ) ABC
G xy yz y x z= + = + =2.S =AB.BC 3.4 12= =
Thí dụ Cho số thực x, y, z với y > thỏa mãn: ( )
2
2
2
29 x y
4
y z
y x z
+ =
− =
= − −
Tính giá trị biểu thức H y x 1= ( − + z− )
Lời giải Từ (7) suy x > z <
Ta viết lại hệ (7) dạng:
Ta viết lại hệ (7) dạng:
( )
( )
2
2
2
25
x y
4
y z
y x z
− + =
+ − =
= − −
Xét tam giác ABC vuông B, đường cao BD với AB 5,BC 2
= =
Đặt BD y,AD= = x 1,CD− = z−
Rõ ràng x, y, z thỏa mãn hệ Từ ta có:
( ) ABC
1 H y x z 2.S .2
2
= − + − = = =
D
B C
3
4 y
z x
y A
D
B C
2
(29)Vậy H =
Dạng 4: Vận dụng tính chất dãy tỉ số
Thí dụ Cho số a, b, c thỏa mãn: a b c a c b b c a
c b a
+ − + − + −
= =
Tính A (a b b c c a)( )( ) abc
+ + +
=
Lời giải
Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
( ) ( ) ( )
( )( )( )
a b c a c b b c a
a b c a c b b c a 1
c b a a b c
a b c c a b 2c
a c b b a c 2b
b c a a b c 2a
a b b c c a 2c.2a.2b
A
abc abc
+ − + + − + + −
+ − + − + −
= = = =
+ +
+ − = + =
⇒ + − = ⇒ + =
+ − = + =
+ + +
⇒ = = =
Bài tập vận dụng
Câu 1.(Chuyên Khánh Hòa 2018)
Cho số x,y,z khác thỏa mãn : x y z 1; 2 12 4;1 1
2 x y xyz x y z
+ + = + + = + + >
Tính Q=(y2017+z2017)(z2019+x2019)(x2021+y2021) Câu 2.(Chuyên Nam Định 2016)
Cho a b c, , số thực thỏa mãn điều kiện a b c 6+ + = ;
1 1 47
a b b c c a 60+ + + + + = Tính giá trị biểu thức a b c
b c c a a b+ + + + + Câu 3.(Chuyên Bình Dương 2018)
Cho số thực x y, thỏa mãn (x+ 2018 x+ 2)(y+ 2018 y+ 2)=2018 Tính giá trị
của biểu thức Q x= 2019+y2019+2018 x y 2020( + )+ Câu 4.(Chuyên Hải Dương 2016)
Tính giá trị biểu thức P (x y) 3(x y)(xy 1)= − 3+ − + biết:
(30)3
x= 2+ − 2− , y=317 12 2+ −317 12 2− Câu 5.(Chuyên TP HồChí Minh 2018)
Cho a,b,c ba số thực thỏa mãn điều kiện a b c 0+ + = a2 =2 a c a b 1( + + )( + − ) Tính giá trị biểu thức A a= 2+b c2+
Câu 6.(Chuyên Phú Thọ 2018)
a) Cho a b c, , số thực đôi khác nhau: a b c x
b c a
+ = + = + = Tính
P x.abc=
b) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn: x y z 9;1 1 x y z
+ + = + + = Tính giá trị nhỏ biểu thức: T x y z 3xyz= 3+ 3+ 3+
Câu 7.(Chuyên Lào Cai 2018)
Cho: 3
3
x 2 2 y 17 12 17 12
= + − −
= + − −
Tính giá trị biểu thức M=(x y− )3 +3 x y xy 1( − )( + ) Câu 8.(Chuyên TP HồChí Minh 2015)
Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a + b ≠ Tính giá trị biểu thức:
3 3 2
1 1 1 1
P ( ) ( ) ( )
a b (a b) a b (a b) a b (a b)
= + + + + +
+ + +
Câu 9.(HSG huyện Thủy Nguyên 2018)
Cho số thực x y z, , ≠0 thỏa mãn x2 y2 z2 12 12 12
x y z
+ + + + + = Tính giá trị biểu thức P x= 2017+y2018+z 2019
Câu 10.(HSG huyện Vĩnh Bảo 2018)
Cho ba số x,y,z 0> thỏa mãn xy yz zx 1.+ + = Tính giá trị biểu thức:
( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
2 2
1 y z z x x y
P x y z
1 x y z
+ + + + + +
= + +
+ + +
Câu 11.(HSG Nam Định 2015)
Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x y z 2,+ + =
2 2
x y z+ + =18 xyz= −1 Tính giá trị S 1 xy z yz x zx y
= + + ⋅
+ − + − + −
Câu 12.(HSG TP Hải Phòng 2015)
(31)Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện:x y z+ + + xyz 4=
Rút gọn biểu thức: B= x(4 y)(4 z)− − + y(4 z)(4 x)− − + z(4 x)(4 y)− − − xyz Bài 13.(HSG Hải Dương 2013)
Cho a b số thỏa mãn a > b > a a b ab 6b 03− + − = Tính giá trị biểu thức B=a 4bb 4a44− 44
− Bài 14.(HSG huyện Yên Định 2012)
Cho a b c 0+ + = , tính giá trị biểu thức: P 2 12 2 2 12 2 2 12 2
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Bài 15.(HSG huyện Kinh Mơn 2012)
Tính giá trị biểu thức sau:
A = x2(x + 1) – y2(y – 1) + xy – 3xy(x - y + 1) + 1974 Biết x – y = 29 12 5+ −
Bài 16.( Chọn HSG tỉnh năm 2014)
Cho biểu thức: P = 2
2
xy x y
xy x y
− − −
+ − −
Tính giá trị biểu thức với: x = a ; y b ; a, b
2 a b
+ = + ≥
Bài 17.(HSG Đăk Lăk năm 2014)
Cho x, y, z số thực thỏa mãn x+ y+ z 2= x y z 2+ + = Tính giá trị biểu thức:
( )( )( ) x y z
P x y z
x y z
= + + + + +
+ + +
Bài 18.(HSG Vĩnh Long năm 2015)
Cho x y+ = −5 x y2+ =11 Tính x y4+ 4 Bài 19.(HSG TP HồChí Minh năm 2015)
Cho hai số thực a, b phân biệt thỏa mãn ab a b= − Tính giá trị biểu thức a b
A ab
b a
= + −
Bài 20.(HSG Bắc Ninh năm 2016)
Cho số thực a,b,c thỏa mãn a b c 0;a+ + = 2+b2 ≠c ; b2 2+c2 ≠a ;c2 2+a2 ≠b2 Tính giá trị biểu thức P 2 a22 2 2 b22 2 2 c22 2
a b c b c a c a b
= + +
− − − − − −
(32)Bài 21.(HSG Đồng Nai năm 2016)
Cho a, b, c số thực dương thỏa a2+b c2+ +2abc 1= Tính giá trị biểu thức
( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
P a b c= − − +b a c− − +c b a− − −abc Bài 22.(HSG Hưng Yên năm 2016)
Cho a 1; b
2
− +
= = Tính a7 +b7 Bài 23.(HSG TP HồChí Minh năm 2016)
Cho ba số a, b, c thoả điều kiện saua b 7; b c 3− = − = Tính giá trị biểu thức 2b c ab bc ca2 22
c 2ab 2b
a c
a
P + + − − −
− − +
=
Bài 24.(Chuyên Phú Thọnăm 2016)
Cho số a, b thoả mãn 2a 11ab 3b2+ − =0; b 2a; b≠ ≠ −2a.Tính giá trị biểu thức: a 2b 2a 3b
T
2a b 2a b
− −
= +
− +
Bài 25.(Chuyên Phú Thọnăm 2016)
Tính giá trị biểu thức P 2xy 10z
2x 2xz y 2xy 10 10z yz 10
= + +
+ + + + + + với x, y, z
số thỏa mãn xyz 5= biểu thức P có nghĩa Bài 26 (Chuyên TP Hà Nội năm 2016)
Cho số thực a, b, c khác đôi thỏa mãn: a3+b c3+ =3abc abc 0≠ Tính: P 2 ab22 2 2 bc22 2 2 ca22 2
a b c b c a c a b
= + +
+ − + − + −
Bài 27.(Chuyên Sư Phạm Hà Nội năm 2017)
Giả sử x, y hai số thực phân biệt thỏa mãn 21 21 xy x y 1+ + + = +
Tính giá trị biểu thức P 21 21 xy x y
= + +
+
+ +
Bài 28.(Chuyên Phú Thọnăm 2017)
Cho ba số a, b, c đôi khác thỏa mãn a2+ =b b c c a2+ = 2+ Tính giá trị biểu thức T=(a b b c c a 1+ − )( + − )( + − )
Bài 29 Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn: 1 x y z+ + = Tính giá trị biểu thức: P 2 yz 2 zx 2 xy
x 2yz y 2zx z 2xy
= + +
+ + +
(33)Bài 30 Cho số x, y, z khác thỏa mãn đồng thời 1 1
x y z+ + =
2 1 4
xy z− = Tính giá trị biểu thức P = (x + 2y + z)2012
Bài 31.Cho 2
3 3
a b c
a b c
a b c
+ + =
+ + =
+ + =
Tính giá trị biểu thức: P a= 2018+b2018+c2018
Câu 32 Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn: ab + bc +ca = Tính giá trị biểu thức:
a) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2
2 2
a b b c c a
A
1 a b c
+ + +
=
+ + + b)
( )( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
a 2bc b 2ca c 2ab
B
a b b c c a
+ − + − + −
=
− − −
Câu 33.Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a100+b100=a101+b101=a102+b102 Tính giá trị biểu thức: P a= 2010+b2010
Câu 34.Cho số x(x R; x 0∈ > ) thoả mãn điều kiện: x2 +
x = 7
Tính giá trị biểu thức: A = x3 +
x B = x5 + x
Câu 35. Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = a + 2b + 3c = 14 Tính giá trị biểu thức T = abc
Câu 36 Cho a, b, c đơi khác Tính giá trị biểu thức:
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2
a b c
P
a b a c b c b a c b c a
= + +
− − − − − −
Câu 37 Cho a, b, c khác thỏa mãn: a b c
b c c a a b+ + + + + = Tính giá trị biểu thức:
2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
Câu 38 Cho a3+b c3+ =3abc Tính giá trị biểu thức: A 1 a 1 b 1 c
b c a
= + + +
Câu 39 Cho a, b,c số thực thỏa mãn: a b c 6; 1 a b b c c a
+ + = + + =
+ + +
Tính giá trị biểu thức: P c a b a b b c c a
= + +
+ + +
Câu 40 Cho 1 1
a b c+ + = Tính giá trị biểu thức: 2
ab bc ac P
c a b
= + +
Câu 41 (HSG Vĩnh Phúc 2011)
(34)Cho f x( ) x3 2 3x 3x
=
− + Hãy tính giá trị biểu thức sau:
1 2010 2011
A f f f f
2012 2012 2012 2012
= + + + +
Câu 42 Cho a, b, c thỏa mãn: ( b c)( ) ( c a)( ) ( a b)( ) 2013
a b a c b a b c c a c b
− + − + − =
− − − − − −
Tính giá trị biểu thức: 1 a b b c c a
1
+ +
− − −
Câu 43 Cho a,b,c ba số đôi khác thỏa mãn: (a b c+ + )2 =a2 +b c2+ Tính giá trị biểu thức: P 2 a2 2 b2 2 c2
a 2bc b 2ac c 2ab
= + +
+ + +
Câu 44 Tính giá trị biểu thức P x y x y
− =
+ Biết ( )
2
x 2y− =xy x y 0; y 0+ ≠ ≠ Câu 45 Tính giá trị biểu thức sau:
( )( )( )( )
16
2
x
x x x x
−
+ + + + với x 2011=
Câu 46 Tìm số dương a,b,c thỏa mãn : a b c2 2
4
+ = + = + và a 2c2 + =3c 192+ Câu 47 Cho số nguyên a,b,c thỏa mãn (a b− ) (3+ b c− ) (3+ −c a)3 =210 Tính giá trị
của biểu thức A a b b c c a= − + − + −
Câu 48 Cho x,y,z thỏa mãn x y z 7; x+ + = 2+y2+z2 =23; xyz 3= Tính giá trị biểu thức H 1
xy z yz x zx y
= + +
+ − + − + −
Câu 49 Biết a3−3ab2 =5và b3−3a b 102 =
Tính M a b2 2018
+ =
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.Ta có: x y z x y z
2 xyz 2xyz
+ +
+ + = ⇔ =
1 1 2
xy yz xz 2xyz xy yz xz xyz
⇔ + + = ⇔ + + =
2 2 2
2
1 1 2 1 1 4
xy yz xz xyz
x y z x y z
1 1 4 1 2
x y z x y z
⇒ + + + + + = + + + =
⇒ + + = ⇔ + + =
Từ
(35)( )( )
1 1
x y z x y z
xy yz xz x y z xyz
+ + =
+ +
⇔ + + + + =
(x y x z y z)( )( )
⇔ + + + =
x y
y z
z x
= − ⇔ = −
= −
Hơn mũ Q lẻ nên có thừa số Vậy Q 0= Câu Do a b c 6+ + = nên a b c b c( ) c a( ) a b( )
b c c a a b b c c a a b
− + − + − +
+ + = + +
+ + + + + +
6 b c c a a b
= + + −
+ + +
1 b c c a a b
= + + −
+ + +
6.47 47 17
60 10 10
= − = − =
Câu Ta có:
( )( )
( )
2
2
2
2
2
2
x 2018 x y 2018 y 2018
2018
x 2018 x
y 2018 y
2018 2018 y y
x 2018 x
2018 y y
x 2018 x 2018 y y (1)
+ + + + =
⇔ + + =
+ +
+ −
⇔ + + =
+ −
⇔ + + = + −
Biến đổi tương tự ta có:
2
2018 x+ − =x 2018 y+ +y (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta được:
2
2
2018 x 2018 y 2018 x 2018 y
+ = +
⇔ + = +
2 x y
x y
x y
=
⇔ = ⇔
= − +)Với x= yta có:
(36)( ) 2 2019 2019
2019 2019
1 x 2018 x 2018 x x
2x x x y
x y
x y
Q x y 2018(x y) 2020 2020
⇔ + + = + −
⇔ = ⇔ = ⇒ = =
+ =
⇒
+ =
⇒ = + + + + =
+)Với x= −y, ta có: x2019 y2019 Q 2020 x y
+ =
⇒ =
+ =
Vậy Q 2020=
Câu 4.Ta có:
3
3
3
x = 2+ − 2−
⇒x3 =4 3x− ⇔x3+3x 2= (1)
( )( ) 3
3
3 2 2 3 2 2 2 2
= + − + − + − + − −
Tương tự: y 3y 24 23+ = (2)
Trừ vế với vế (1) (2) ta được: x y3− 3+3(x y)− = −20 2 ⇔(x - y)3 + 3(x - y)(xy + 1) = −20 2. Vậy P = −20 2 Câu Ta có: a b c 0+ + = ⇔ = − −b a c
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
2
2 2 2
a a c a b a a c a a c a a c c a a c c a 2a c c
a c c
a c a
b a c
c c
A a b c 1
⇒ = + + + −
⇔ = + + − − −
⇔ = + + − −
⇔ + + + + =
⇔ + + + + =
⇔ + + + + =
+ + = =
⇔ ⇔ ⇒ = − − =
+ = = −
⇒ = + + = + + − =
Vậy A 2=
Câu
a) Ta có: a b a b b c
b c bc
− + = + ⇔ − =
Tương tự ta có: b c c a;c a a b
ac ab
− −
− = − =
(37)( )( )( ) ( )2
b c c a a b
a b b c c a
bc ac ab abc
abc
abc
− − −
⇒ − − − =
=
⇔ = ⇔
= −
Nếu abc P x= ⇒ = giả thiết tương đương với
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
3
3
3
a ac b ba c cb x
x a ac b ba c cb abc a b c a b c a b c ab ac cb 3x
x abc ab ac bc a b c ab ac bc a b c
x P
x 3x
x P
+ = + = + =
= + + + = + + + = + + +
⇔
+ + + + + =
⇔ = + + + + + + + = + + + + + + = =
⇔ = + ⇔ ⇔ = − = −
Nếu abc= −1, biến đổi hoàn toàn tương tự
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
3
3
3
a ac b ba c cb x
x a ac b ba c cb abc a b c a b c a b c ac ba cb 3x
x abc ab ac bc a b c ab ac bc a b c
x P
x 3x
x P
− = − = − =
= − − − = − − − = − − −
⇔
+ + − − − =
⇔ = − − − − + + + = − − − + + + − = − =
⇔ = − ⇔ ⇔
= = −
Vậy giá trị Plà P 2= P= −1
b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 1
x y z x y z+ + ≥ + + = Do dấu phải xảy
thì xảy giả thiết hay x y z 3= = =
Thay vào T ta T 162=
Vậy giá trị nhỏ giá trị T 162 Câu Ta có:
( )( )
( )( )
3
3
3
3
3
3 3 3 3
3
3 3
3
3 3
x 2 2
x 2 2
y 17 12 17 12 y 17 12 2 17 12 2
x 2 3 2 2 2 2 2
y 17 12 17 12 17 12 17 12 17 12 17 12
= + − −
= + − −
⇔
= + − −
= + − −
= + − + − + − − − +
⇔
= + − + − + − − − +
3
x 3x y 24 3y
= −
⇔
= −
(38)( )3 ( )( )
M x y x y xy
⇒ = − + − +
( ) ( ) ( )
( )
3
3
x 3xy x y y 3xy x y x y
x y x y
4 3x 24 3y 3x 3y 20
= − − − + − + −
= − + −
= − − + + − = −
Câu Với ab = , a + b ≠ 0, ta có:
3 2
3
3 2
3
2 2
2 4
a b 3(a b ) 6(a b)
P
(a b) (ab) (a b) (ab) (a b) (ab) a b 3(a b ) 6(a b)
(a b) (a b) (a b)
a b 3(a b )
(a b) (a b) (a b)
+ + +
= + +
+ + +
+ + +
= + +
+ + +
+ − +
= + +
+ + +
2 2 2
4
2 2 2
4
(a b 1)(a b) 3(a b ) (a b)
(a b 1)(a b 2) 3(a b ) (a b)
+ − + + + +
=
+
+ − + + + + +
=
+
2 2 2
4
2 2
4
(a b ) 4(a b ) (a b)
(a b 2) (a b)
+ + + +
=
+ + + =
+
2 2
4 2
4 (a b 2ab)
(a b) (a b)
(a b)
+ + =
+ +
= + =
Vậy P = 1, với ab = , a + b ≠ Câu
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
1 1
x y z
x y z
1 1
x y z
x y z
1 1
x y z
x y z
+ + + + + =
⇔ − + + − + + − + =
⇔ − + − + − =
(39)1
x
x x 1
1
y y
y
z
1
z
z
− =
= −
⇔ − = ⇔ = −
= −
− =
x y z = = =
Do P x= 2017 +y2018+z2019 =3 x y z 1= = = Hoặc P x= 2017+y2018+z2019 =1 x y z= = = −1
Câu 10 Ta có: 1 x+ =xy yz zx x+ + + =y x z x x z( + ) (+ + ) (= x y x z+ )( + ) Tương tự: 1 y+ =(x y y z ; z+ )( + ) + =(x z z y+ )( + )
Do đó: ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
2 2
1 y z z x x y
P x y z
1 x y z
+ + + + + +
= + +
+ + +
( )( )( )( )
( )( ) ( )(( )()( )() ) ( )(( )()( )() )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
y z y x x z z y z x z y x y x z x y x z y x y z
x y z
x y x z x y y z z x z y
x y z y z x z x y
xy xz yz xy xz zy xy yz zx
2
+ + + + + + + + + + + +
= + +
+ + + + + +
= + + + + +
= + + + + +
= + +
= Câu 11
Ta có xy z xy x y 1+ − = − − + =(x y 1− )( − )
Tương tự yz x 1+ − =(y z 1− )( − ) zx y 1+ − =(z x 1− )( − )
Suy S ( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 ) ( x y z 3)( )( )
x y y z z x x y z
+ + −
= + + =
− − − − − − − − −
( 1) ( ) xy yz zx1
xyz xy yz zx x y z
−
= =
+ +
− + + + + + −
Ta có (x y z+ + )2 =x y z xy yz zx2 + 2+ 2+ ( + + )⇒xy yz zx+ + = −7 Suy S
7 = − Câu 12
Ta có x y z+ + + xyz 4= ⇔4(x y z) xyz 16+ + + = Khi ta có: x(4 y)(4 z)− − = x(16 4y 4z yz)− − +
x(yz xyz 4x)
= + +
(40)2
x ( yz x) xyz 2x
= + = + (1)
Tương tự y(4 z)(4 x)− − = xyz 2y+ (2) z(4 x)(4 y)− − = xyz 2z+ (3)
Từ (1), (2), (3) suy B 2(x y z= + + + xyz) 2.4 8= = Câu 13
Ta có: a a b ab 6b3− + 2− = ⇔ −0 (a 2b)(a ab 3b ) (*)2 + + = Vì a > b > ⇒a ab 3b2+ + >0 nên từ (*) ta có a = b Biểu thức B a44 4b44 16b4 4b44
b 4a b 64b
− −
= =
− − Vậy:
4
12b
B
21 63b
−
= =
− Câu 14
Ta có: x y z y z + + = ⇒ + = − ⇔x y z( + ) ( )2 = − x Suy ra: y z – x2+ 2 = −2yz.
Do đó:
2
2 2
x x
2yz
y +z x− = −
Tương tự ta có: 2 y22 2 y2 ; 2 z22 2 z2
2xz 2xy
z +x −y = − x +y −z =−
Do đó:
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 3
2 2
2 2 2 2 2
3
y y x y z
x z x z
P
2yz 2xz 2xy 2xyz
y z x z x y x y z
x y z x y y z z x z x y 3xyz 3
2xyz 2xyz 2xyz
+ +
= + + = + + =
− − − −
+ − + − + −
+ + − + + + − − − −
= = = = −
− − −
Vậy P = − Câu 15
Ta có x y− = 29 12 5+ − = (2 3)+ −2 5 3= + − = Nên : A = X3 +X2 – Y3 + Y2 + XY – 3X2Y + 3XY2- 3XY + 1974
= (X- Y)3 + (X-Y)2 + 1974 = 33 + 32 + 1974 = 2010 Câu 16
Có:
2 2
2 2
1 1 1
x a x (a ) x (a )
2 a a a
1 1 1
y b y (b ) y (b )
2 b b b
= + ⇒ = + ⇒ − = −
= + ⇒ = + ⇒ − = −
(41)Do a,b 1≥ ; nên: x y 12 1(a 1)(b 1)
4 a b
− − = − −
2
2
1(a 1)(b 1) 1(a 1)(b 1)
xy x y 4 a b 4 a b
p
1 1 1
xy x y (a )(b ) (a )(b )
4 a b a b
+ + − − −
− − −
= =
+ − − + + + − −
2 2 2
2
2(a b ) 2(a b 1) a b
p :
ab ab a b
+ + +
= =
+ Câu 17
Từ x+ y+ z 2= x y z 2+ + = ta có
( )2 ( )
x+ y+ z = + + +x y z xy+ yz+ zx Từ ta xy+ yz+ zx 1= Khi
( )( )
( )( )
( )( )
x x xy yz zx x y x z
y y xy yz zx x y y z
z z xy yz zx z y x z
+ = + + + = + +
+ = + + + = + +
+ = + + + = + +
Thay vào biểu thức P ta
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ( ) ()( )() ( ) )
( )
2 2
y
x z
P x y z
x y z
x y z y z x z x y
x y y z z x
x y y z z x
2 xy yz zx
= + + + + +
+ + +
+ + + + +
= + + +
+ + +
= + + =
Câu 18
Ta có x y+ = −5 nên ta (x y+ )2 =25⇒x y 2xy 252+ 2+ = Mà ta có x y2+ =11, suy 2xy 14= hay xy 7= Ta có x4 +y4 =(x2+y2)2 −2 xy( )2 =11 2.72− =121 98 23− = Câu 19
Từ giả thiết ab a b= − ta ( ) (ab = a b− )2 Ta có
( )2 ( )2
2 2
a b ab a b a b
a b 2ab
A ab
b a ab ab ab
+ − + − −
= + − = = = =
Câu 20
Từ giả thiết a b c 0+ + = ta
(42)( ) ( ) ( )
2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c
P
2bc 2ca 2ab 2abc
b c b c c a c a a b a b
+ +
= + + = + + =
+ − − + − − + − −
Ta có a b c 3abc3+ 3+ −3 =(a b c a+ + )( 2+b c ab bc ca2 + −2 − − )=0. Từ suy a3+b c3+ =3abc ta P
2 = Câu 21
Theo ra: a2+b c2+ 2+2abc 1=
Suy a2+2abc b c ; b= − 2− 2+2abc c a ;c= − 2− 2 +2abc b a= − 2− 2 Từ ta có
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
P a b c b a c c b a abc
= a c b b c b c a a c c a b a b abc
= a a 2abc b c b b 2abc a c c c 2abc a b abc
= a a bc b b ac c c ab abc
= a a bc b b ac c c ab abc a b
= − − + − − + − − −
− − + + − − + + − − + −
+ + + + + + + + −
+ + + + + −
+ + + + + − = + +c2+2abc 1=
Câu 22
Từ giả thiết ta có a b 2 2;ab 2 1
2 2
− + − +
+ = + = = = Lại có
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
7 4 3 3
2
2 2 2 3 3
a b a b a b a b a b
a b 2ab 2a b a b 3ab a b a b a b
+ = + + − +
= + − − + − + − +
Từ ta
2
7 1 17 170 2 169
a b 2 2
2 64 64 64 64 64
+ = − − − − = − = − =
Vậy a7 b7 169 64
+ =
Câu 23
Nhìn vào tử số P ta có biến đổi quen thuộc
( ) (2 ) (2 )2 b c ab bc ca2 a b b c c a a
2
− + − + −
+ + − − − =
Từ phải biến đổi giả thiết để xuất thêm c a−
Ta có c a− = −(b c− − −) (a b)= − − = −3 10 Đặt T tử của P ta T= 79 Đặt M mẫu P, M phân tích thành tích thành
(43)M=(a c a c 2b− )( + − ) (= a c a b c b− )( − + − )=40 Vậy ta P 79
40 = Câu 24
Với 2a 11ab 3b2+ − =0; b 2a; b≠ ≠ −2ata có
( )( ) ( )( )
( )( )
a 2b 2a b 2a 3b 2a b 2a b
a 2b 2a 3b T
2a b 2a b 2a b
− = − + + − −
=
− −
+
+ +
−
( 2 2) ( )
2
2 2 2
2
2a 11ab 3b 8a 2b 8a 2b
6a 11ab b 4
4a b 4a b 4a b
− − + + − − −
− +
= = = =
− − −
Câu 25
Kết hợp xyz 5= ta biến đổibiểu thức P thành 2xy
1 10z
P
2x 2xz y 2xy 10 10z yz 10
2xy xyz.2z
1
2x 2xz y 2xy 2xyz 2xyz.z yz 2xyz
2y 2y 2zx
1 2xz 1
2x 2xz 1 2x 2xz 2xz 2x 2x 2zx
= + +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
+ +
= + + = =
+ + + + + + + +
Câu 26
Do a3+b c3+ =3abc ⇒(a b c a b c ab bc ca+ + )( + 2+ −2 − − )=0
Do a2 +b c ab bc ca 02+ −2 − − > với a, b, đôi khác nên: a + b + c = Suy ra: a + b + c =
Khi đó:
( )( ) ( )( )
2 2 2
2 2 2
ab ab ab b b b
a c b b b
a +b c− =a + b c b c− + =a + b c− −a = + − = − − =−
Tương tự: 2 bc22 2 c
b +c −a = − ;
2
2 2
ca a
2
c +a −b =−
Cộng theo vế đẳng thức ta được:
( )
2 2
2 2 2 2 2
ab bc ca b c a
P a b c
2 2
a b c b c a c a b
= + + = + + = − + + =
− − −
+ − + − + −
Vậy P = 0. Câu 27
Ta có:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2
2
2 2
2
1 1 1 0
xy xy xy
x y x y
xy y xy x 0 xy y y 1 xy x x 0
x xy y xy
+ = ⇔ − + − =
+ + +
+ + + +
− −
⇔ + = ⇒ − + + − + =
+ + + +
(44)( ) (2 )
x y xy xy 1(vi x y) S
⇔ − − = ⇔ = ≠ ⇒ =
Câu 28
Biến đổi giả thiết a2+ =b b c2+ ta
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
2
a −b = − ⇔c b a b a b− + − −a b = − − −c b a b ⇔ a b a b c a− + − = − Do a , b khác nên ta có a b c a
a b − + − =
−
Hoàn toàn tương tự ta b c a b;c a b c
b c c a
− −
+ − = + − =
− −
Do ta có T (a b b c c a 1)( )( ) c a a b b c a b b c c a
− − −
= + − + − + − = =
− − −
Câu 29 Ta có:0 1 xy yz zx xy yz zx
x y z xyz
+ +
= + + = ⇒ + + =
Do đó: x2 + 2xy = x2 + 2xy – (xy + yz + xz) = (x2 – xz) + (xy – yz) Suy ra: x2 + 2xy = (x-y)(x-z)
Do đó:
( )( )
2
yz yz
x y x z
y +2zx = − −
Tương tự ta có: 2 zx ( zx)( ); 2 xy ( xy)( )
y x y z z x z y
y +2zx = − − z +2xy = − −
Do đó:
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( ) (( )()( )()( ))
2 2
yz zx xy yz zx xy
P
x y x z y x y z z x z y
x 2yz y 2zx z 2xy
yz y z zx z x xy x y x y y z z x
x y y z z x x y y z z x
= + + = + +
− − − − − −
+ + +
− − − − − − − − −
= = =
− − − − − −
Vậy P =
Câu 30 +) Ta có 1 2 x y z+ + = ⇒
2
1 1 4
x y z
+ + =
+) Do
2
2
1 1
x y z xy z
+ + = −
2 2
1 1 2 2 1 0
xy yz zx xy
x y z z
⇔ + + + + + − + =
2 2
1 1 0
xz yz
x z y z
⇔ + + + + + =
2
1 1 0
x z y z
⇔ + + + =
2
2
1 0 1 1
x z x z
x y z
1
1 0
y z
y z
+ = −
=
⇔ ⇔ − ⇔ = = −
+ = =
(45)Thay vào 1
x y z+ + = ta x = y = 2; z =
1 −
Khi P =
2012 2012
1 2.1 1 1
2 2
+ +− = =
Câu 31 Ta có:
( ) ( )
( )
2 2 2 2
a b c a b c ab bc ca
1 ab bc ca ab bc ca
+ + = + + + + + =
⇒ + + + = ⇒ + + =
Mặt khác:
a3 b c3 3abc (a b c a)( b2 c ab bc ca2 ) 3abc 1 0( )
abc a b c
+ + − = + + + + − − − ⇔ − = −
⇒ = ⇒ = ∨ = ∨ =
Xét a = b c 12 2 b 2bc c2 2 2 bc b
b c b c c
+ = + + = =
⇔ ⇒ = ⇒
+ = + = =
Do đó: a = , b = 0, c = a = , b = 1, c = Khi đó: P =
Lập luận tương tự với trường hợp b = c = Vậy P =
Câu 32
a) Ta có: + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c)
Tương tự: + b2 = (a + b)(b + c) ; + c2 = (c +a)(b +c)
Do đó: ( ) ( ) ( )
( )( )( ) (( ) () ( ) () ( ))
2 2 2
2 2
2 2
a b b c c a a b b c c a
A
1 a b c a b b c c a
+ + + + + +
= = =
+ + + + + +
b) Ta có: a2 + 2bc – = a2 + 2bc – ab – bc – ca = (a-b)(a-c)
Tương tự: b2 + 2ca – = (b – c)(b – a) ; c2 + 2ab - = (c – a)(c – b)
Do đó: ( )( )( )
( ) ( ) ( ) (( ) () ( ) () ( ))
2 2
2 2
2 2 2
a 2bc b 2ca c 2ab a b b c c a
B
a b b c c a a b b c c a
+ − + − + − − − −
= = =
− − − − − −
Câu 33 Ta có:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
100 100 101 101 101 101 102 102
100 100 101 101
2
100 100
0 a b a b a b (a b )
a a b b a a b b
a a b b
= − + = + − +
⇔ − + − = − + −
⇔ − + − =
+
Do a = b = (do a, b dương)
(46)Vậy P a= 2010+b2010 = + =1 2 Câu 34
Từ giả thiết suy ra: (x +1
x)2 = ⇒ x +
x = (do x > 0)
⇒ 21 = (x +1
x)(x2 +
x ) = (x3 +
x ) + (x +
x) ⇒ A = x3 +
x =18
⇒ 7.18 = (x2 +
x )(x3 +
x ) = (x5 +
x ) + (x + x)
⇒ B = x5+
x = 7.18 - = 123 Câu 35
Ta có a2 b c2 14 a 2b 3c 14
+ + =
+ + =
⇒
2 2
a b c 14
2a 4b 6c 28
+ + =
+ + =
⇒ a2 + b2 + c2 – 2a – 4b – 6c = - 14
⇔ (a – 1)2 + (b – 2)2 + (c – 3)2 = ⇔ a = 1; b = 2; c = T = abc =
Câu 36
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ( ) )(( )() () )
2 2
2 2 a c b b a c c b a
a b c
P
a b a c b c b a c b c a a b b c c a
− + − + −
= + + =
− − − − − − − − −
Bẳng cách tách: a c− = −(c b− ) (+ b a− ) ta phân tích được:
( ) ( ) ( )
( )( )( ) (( )()( )()( ))
2 2
a c b b a c c b a a b b c c a
P
a b b c c a a b b c c a
− + − + − − − −
= = =
− − − − − −
Câu 37
Ta có: a + b + c ≠ a + b + c = thì:
a b c a b c 1 1 3
b c c a a b+ + + + + =−a+−b+−c = − − − = − (trái với giả thiết) Do a + b + c ≠ Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
b c a c a b a b c
a b c a b c
a b c a b c
b c c a a b b c b c c a c a a b a b
a b c
a b c
b c c a a b
a b c
P
b c c a a b
+ + +
+ + = + + + + = + + + + +
+ + + + + + + + +
= + + + + +
+ + +
⇒ = + + =
+ + +
Câu 38.
Ta có: a3+b c3+ =3abc
(47)( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
3 3
3
3
3
a b 3ab a b b 3abc
a b c 3c a b a b c 3abc 3ab a b
a b c 3c a b a b c 3ab a b c
a b c a b c ab bc ca
⇔ + − + + =
⇔ + + − + + + = + +
⇔ + + = + + + + + +
⇔ + + = + + + +
⇔(a b c a b c+ + ) ( + + )2−3 ab bc ca( + + )=0
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
a b c a b c ab bc ca
1 a b c a b b c c a
2
a b c a b c 0
a b c
a b b c c a
⇔ + + + + − − − =
⇔ + + − + − + − =
+ + = + + =
⇔ ⇔
= =
− + − + − =
Với a + b + c = thì: P a b c b a c c a b
a b a a b a
+ + + − − −
= = = −
Với a = b = c P= +(1 1 1 1)( + )( + =) Câu 39 Ta có:
( ) 1 a b c a b c a b c
6.8 a b c
a b b c c a a b b c c a
c a b c a b
1 1
a b b c a c a b b c a c
+ + + + + +
= + + + + = + +
+ + + + + +
= + + + + + = + + +
+ + + + + +
Vậy: P c a b 6.8 39
a b b c c a
= + + = − =
+ + +
Câu 40
Ta dễ dàng chứng minh 1
a b c+ + = 3
1 1
abc
a +b +c =
Do đó: P ab bc ac abc abc abc2 2 2 3 3 3 abc 13 13 13 abc 3 abc
c a b c a b a b c
= + + = + + = + + = =
Câu 41 Ta có: ( )
( )
3
2 3
x x
f x
1 3x 3x x 1 x
= =
− + + −
Với x + y = ta có: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
3 3 x
f x f y f x f y
1 x x
−
= − = ⇒ + =
− + Từ đó:
1 2011 2010 2011 2011
2A f f f f f 2011 A
2012 2012 2012 2012 2012
= + + + + + = ⇒ =
Câu 42 Ta có:
(48)( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) (( ) ()( )) (( ) ()( ))
b c c a a b
2013
a b a c b a b c c a c b
a c a b b a b c c b c a
a b a c b a b c c a c b
1 1 1
a b a c b c b a c a c b
− − −
= + +
− − − − − −
− − − − − − − − −
= + +
− − − − − −
= − + − + −
− − − − − −
1 1 1
a b c a b c a b c a b c
1 1
2
a b c a b c
1 1 2013
a b c a b c
= + + + + +
− − − − − −
= + +
− − −
⇒ + + =
− − −
Câu 43
( )2 2 2 2
a b c+ + =a +b c+ ⇔ab ac bc 0+ + =
( )( )
2 2
2
a a a
a b a c a +2bc a ab ac bc= − − + = − −
Tương tự: 2 b2 ( b)(2 ) ; 2 c2 ( )(c2 )
b a b c c a c b
b 2ac+ = − − c +2ac = − −
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
2 2
2 2
2 2
a b c
P
a 2bc b 2ac c 2ab
a b c
a b a c a b b c a c b c a b a c b c
1 a b a c b c
= + +
+ + +
= − +
− − − − − −
− − −
= =
− − −
Câu 44
( )( )
2 2
x −2y =xy⇔x −xy 2y− = ⇔0 x y x 2y+ − =0
Vì x y 0+ ≠ nên x 2y 0− = ⇔ =x 2y
Khi P 2y y y 2y y 3y
−
= = =
+
Câu 45
( )( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( ( )( )( )( )( )( )( )( ) )
16
2
16
2 8
x x x x x x
x x x x x
x x 1
x x x x x x x x
− = − + + + +
− + + + +
−
⇒ = = −
+ + + + + + + +
Câu 46
a) Từ giả thiết a 2c2+ =3b 19 a 2c 3b 192+ ⇒ +2 2− =
(49)Ta có: a b c 3b 18 2c a 2c 3b 18 14 142 2 2 2
4 15 12 12 15
+ + + + + + + + − −
= = = = = = =
+ −
Suy : 2
a 49 a
b 64 b
c 81 c
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
Câu 47
Đặt a b x; b c y;c a z− = − = − = ⇒ + + = ⇒ = −x y z z (x y+ )
Ta có: x3+y3+z3 =210⇔x3+y3−(x y+ )3 =210⇔ −3xy x y( + )=210⇔xyz 70= Do x,y,z số nguyên có tổng xyz 70= = −( ) ( )2 7− nên
{ }
x,y,z∈ − −2; 5;7 ⇒A a b b c c a 14= − + − + − = Câu 48
Vì x y z 7+ + = ⇒ = − − + ⇒z x y xy z xy x y 1+ − = = − − + =(x y 1− )( − ) Tương tự ta có: yz x 6+ − =(y z ; zx y 6− )( − ) + − =(z y 1− )( − )
Vậy
( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 ) (z x y 1)( )( )
H
x y y z z x x y z
− + − + −
= + + =
− − − − − − − − −
( )
( x y z 3) ( ) ( ) ( )
xyz xy yz xz x y z xy yz xz xy yz xz
+ + − −
= = =
− + + + + + − − + + + − − + + Ta
có: (x y z+ + )2 =x2+y2+z2+2 xy yz xz( + + )⇒72 =23 xy yz xz+ ( + + )
xy yz xz 13
⇒ + + =
Vậy H
9 13
= = −
− Câu 49
( )
3 2
3 4
6 2
2
2
a 3ab a 6a b 9a b 25 b 3a b 10 b 6a b 9a b 100
a 3a b 3a b b 125
a b
a b
2018 2018
− = ⇒ − + =
− = ⇒ − + =
⇒ + + + =
+
⇒ + = ⇒ =
(50) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương
Thí dụ Cho x, y, z số thực thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng:
1 1
P
1 x xy y yz z zx
= + + =
+ + + + + +
Lời giải
Ta có: x x
1 y yz x xy xyz x xy+ + = + + = + + ;
Mặt khác: xy 2 xy
1 z zx+ + =xy xyz x yz+ + =1 x xy+ +
Do đó: = + +
+ + + + + +
1 1
P
1 x xy y yz z zx
+ +
= + + = =
+ + + + + + + +
xy x xy
1 x 1
1 x xy x xy x xy x xy (đpcm)
Thí dụ Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y z xyz+ + =
Chứng minh rằng: ( )
( )( )( )
2 2
xyz 5x 4y 3z 2y
x 3z
x y y z z x
1 x y z
+ +
+ + =
+ + +
+ + +
Lời giải
Ta có: x 2 xyz xyz( ) 2 xyz ( xyz)( )
yz x.xyz yz x x y z x y z x
1 x+ = + = + + + =x xy yz zx+ + + = + +
Tương tự ta có: 2y2 ( 2xyz)( ); 3z2 ( 3xyz)( )
x y y z y z z x
1 y+ = + + z+ = + +
Do đó: + + =( )( ) (+ )( ) (+ )( )
+ + + + + +
+ + +
2y xyz 2xyz 3xyz
x 3z
x y z x x y y z y z z x
1 x y z
( )
( + +)( + )(+ )+ ( ()( + )(+ ))
= =
+ + + + + +
xyz y z 2x 2z 3x 3y xyz 5x 4y 3z
x y y z z x x y y z z x
Vậy: x 2 2y2 3z2 (xyz 5x 4y 3z()( )( )) x y y z z x
1 x y z
+ +
+ + =
+ + +
+ + +
Thí dụ Cho a b c
b c c a a b− + − + − = Chứng minh: ( ) (2 ) (2 )2
a b c
P
b c c a a b
= + + =
− − −
Lời giải
(51)Ta có:
( )( )
2
a b c 0 a b c b ab ac c
b c c a a b b c a c b a a b c a
− + −
+ + = ⇒ = + =
− − − − − − − −
⇔
( ) ( )( )( )
2
2
a b ab ac c (1)
a b c a b c b c
− + −
=
− − −
−
Tương tự ta có:
( ) ( )( )( )
2
2
b c bc ba a (2);
a b b c c a c a
− + −
=
− − −
− ( ) ( )( )( )
2
2
c b ac cb b (3)
a b b c c a a b
− + −
=
− − −
− Cộng (1), (2), (3) Vế theo vế ta điều phải chứng minh
Thí dụ Cho số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + z = xyz ≠ Tính giá trị biểu thức: P 2 x22 2 2 y22 2 2 z22 2
y z x z x y x y z
= + +
+ − + − + −
Lời giải
Ta có: x y z y z + + = ⇒ + = − ⇔x y z( + )2 = − x( )2 Suy ra: y2+z – x2 = −2yz.
Do đó:
2
2 2
x x
2yz y z x+ − = −
Tương tự ta có: 2 y22 2 y2 ; 2 z22 2 z2
2xz 2xy
z +x −y = − x +y −z =−
Do đó: = + + = + + = + +
− − − −
+ − + − + −
2 3
2 2
2 2 2 2 2
y y x y z
x z x z
P
2yz 2xz 2xy 2xyz
y z x z x y x y z
( + + ) − ( + )( + )( + ) − ( ) ( ) ( )− − −
= = = = −
− − −
3
x y z x y y z z x z x y 3xyz 3
2xyz 2xyz 2xyz
Vậy P = −
Dạng 2: Sử dụng đẳng thức quen biết
Thí dụ Cho a, b, c khác thỏa mãn 1 1 2; a b c abc
a b c+ + = + + =
Chứng minh rằng: 12 + 12 + 22 =
a b c
Lời giải
Ta có: + + = + + − + +
2
2 2
1 1 1 2 1
a b c ab bc ca
a b c
= −4 2.a b c+ + =2 abc
Thí dụ Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a4 b c4 1(a2 b c2 2)2
+ + = + +
Lời giải
(52)Từ: a + b + c = ⇒ + = − ⇒b c a (b c+ )2 =a2 ⇒b2+2bc c+ =a2
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 4 2 2 2
2
4 4 2
a b c 2bc a b c 4b c a b c 2a b 2b c 2c a
2 a b c a b c
⇒ − − = ⇒ − − = ⇒ + + = + +
⇒ + + = + +
Vậy: a4 b c4 1(a2 b c2 2)2
+ + = + +
Thí dụ Cho số thực a, b, c khác đôi thỏa mãn: a b c3+ 3+ =3abc
abc 0≠ Tính: P 2 ab22 2 2 bc22 2 2 ca22 2
a b c b c a c a b
= + +
+ − + − + −
Lời giải
Do a b c3+ 3+ =3abc ⇒(a b c a+ + )( 2+b c ab bc ca2+ 2− − − )=0
Do a b c ab bc ca 02 + 2+ −2 − − > với a, b, đôi khác nên: a + b + c = Suy ra: a + b + c =
Khi đó:
( )( ) ( )( )
2 2 2
2 2 2
ab ab ab b b b
a c b b b
a +b c− =a + b c b c− + =a + b c− −a = + − = − − =−
Tương tự: 2 bc22 2 c b c a+ − = − ;
2
2 2
ca a
2 c a+ −b =−
Cộng theo vế đẳng thức ta được:
( )
2 2
2 2 2 2 2
ab bc ca b c a
P a b c
2 2
a b c b c a c a b
= + + = + + = − + + =
− − −
+ − + − + −
Vậy P = 0.
Thí dụ Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: b c; a b c≠ + ≠ a2 +b2 =(a b c+ − )2 Chứng minh rằng: ( )
( )
2
2
a a c a c
b c
b b c
+ − −
= − + −
Lời giải Ta có:
( ) ( )( )
( )( )
= + − − = + − + + − −
= + − −
2
2
a a b c b a b c b a b c b
a 2b c a c Tương tự: b2+(b c− )2=(2a b c b c+ − )( − ) Do đó: ( )
( ) (( )()( ) () ( )) (( )()( ))
+ − + − − + − + − − −
= = =
−
+ − −
+ − + − − + −
2
2
2
2
a a c a 2b c a c a c 2a 2b 2c a c a c
b c 2a 2b 2c b c
b b c 2a b c b c b c (đpcm)
Dạng 3: Phương pháp đổi biến
(53)Thí dụ Với a,b,clà số thực thỏa mãn:
3 3
(3a 3b 3c)+ + =24 (3a b c) (3b c a) (3c a b)+ + − + + − + + − Chứng minh rằng: a 2b b 2c c 2a( + )( + )( + )=1
Lời giải Đặt
3a b c x 3b c a y 3c a b z
+ − =
+ − =
+ − =
Ta có:
+ + = + + − + + − + + −
⇔ + + = + + +
⇔ + + = + + + − + + +
⇔ − + + + =
⇔ − + + + =
⇔ − + + + =
3 3
3 3
3
(3a 3b 3c) 24 (3a b c) (3b c a) (3c a b)
(x y z) 24 x y z
(x y z) 24 (x y z) 3(x y)(y z)(z x)
24 3(x y)(y z)(z x)
24 3(2a 4b)(2b 4c)(2c 4a) 24 24(a 2b)(b 2c)(c 2a)
⇔ +(a 2b)(b 2c)(c 2a) (đpcm) + + =
Thí dụ Cho a,b,c 0≥ thỏa mãna b c+ + = a+ b+ c 2.= Chứng minh
( )( )( )
+ + =
+ + + + + +
a b c
1 a b c 1 a b c Lời giải
Đặt x= a; y= b; z= c⇒xy yz zx a x y x z + + = ⇒ + =( + )( + )
Tương tự: b 1+ =(y x y z ;c 1+ )( + ) + =(z x z y+ )( + ) Khi ta có:
( )
( )(+ +)( ) ( )( )( )
+ + = =
+ + + + + + + + +
2 xy yz zx
a b c .
1 a b c x y y z z x 1 a b c
Thí dụ 10 Cho số a, b, c khác thỏa mãnab bc ca 0+ + = Chứng minh rằng:
+ + =
2 2
bc ca ab
a b c
Lời giải Đặt
= = =
x ab y bc z ca
thìa b c 0+ + = abc 0= Ta có:
(54)( )( )
+ +
+ +
+ + = =
+ + + + − − − +
=
= =
3 3
3 3 3
2 2 2
2 2
x y z bc ca ab b c c a a b
xyz
a b c a b c
x y z x y z xy yz zx 3xyz xyz
3xyz xyz
Dạng 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Thí dụ 11 Cho a, b, c, z, y, z thỏa mãn + + = + +
+ +
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
a b c y b c
Chứng minh rằngx2019+y2019+z2019 =0. Lời giải Ta có:
+ +
= + +
+ +
⇔ − + − + − =
+ + + + + +
⇔ − + − + − =
+ + + + + +
2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
a b c a b c
y y
x x z z 0
a a b c b a b c c a b c
1 1 1
x y z
a a b c b a b c c a b c
⇔ = = =x y z (do số hạng tổng khơng âm) Vì vậy: x2019+y2019+z2019 =0.
Thí dụ 12 Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a b− +b c− +c a− =3
2 Chứng minh rằng: a2+b c2+ =3
2
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có
+ − + − + −
− + − + − ≤a b2 +b c2 +c a2 =
a b b c c a
2 2
Đẳng thức xảy
= − = −
= − ⇔ = − ⇒ + + =
= −
= −
2 2 2
2 2 2
2
2
a b a 1 b
3
b c b c a b c
2 c a
c a
(đpcm)
Dạng 5: Phương pháp sử dụng lượng liên hợp
(55)Thí dụ 13 Cho x, y thỏa mãn:
x 2014+ + 2015 x− − 2014 x− = y 2014+ + 2015 y− − 2014 y −
Chứng minh: x y=
Lời giải
+ + − − − = + + − − −
x 2014 2015 x 2014 x y 2014 2015 y 2014 y (1) ĐKXĐ: −2014 x;y 2014≤ ≤
(1)⇔ x 2014 y 2014 2015 x 2015 y+ − + + − − − + 2014 y 2014 x − − − =
Nếu x khác y −2014 x;y 2014≤ ≤ x 2014+ + y 2014+ >0;
− + −
2015 x 2015 y> 0; 2014 x− + 2014 y− > , (1)
(2) ⇔ −( ) − + =
+ + + − + − − + −
1 1
x y
x 2014 y 2014 2015 x 2015 y 2014 x 2014 y
Khi dễ chứng tỏ − >
− + − − + −
1 0
2014 x 2014 y 2015 x 2015 y
Mà x y nên (2) vơ lý VT(2) ln khác − ≠
Nếu x = y dễ thấy (1) Vậy x = y
Thí dụ 14 Nếu a , b , c số không âm thoả mãn điều kiện: b=a c+
2 ta có:
+ =
+ + +
1
a b b c c a
Lời giải
Ta có − = − = − ( )
+ + + + + + +
1 b c b c 1
c a a b ( c a)( a b) ( c a)( a b)( b c)
Tương tự − = − ( )
+ + + + +
1 a b 2
b c c a ( c a)( a b)( b c)
Mà b=a c+ ⇒ − = −a b b c (3)
Từ (1) (2) (3) ⇒ − = −
+ + + +
1 1
b c c a c a a b
hay + =
+ + +
1
a b b c c a
(56) Dạng 6: Chứng minh có số sốcho trước
Thí dụ 15 Cho số a, b, c khác thỏa mãn 1 1a b c 20191 a b c 2019 + + =
+ + =
Chứng minh số a, b, c có số 2019 Phân tích:
Ta thấy việc chứng minh số a, b, c có số 2019 tương đương với việc chứng minh hệ thức sau đúng: (a−2019)(b−2019)(c−2019)=0 *( ) khai triển (*) ta được:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
2
* ab 2019a 2019b 2019 c 2019
abc 2019 ab bc ca 2019 a b c 2019 * *
⇔ − − + − =
⇔ − + + + + + − =
Từ giả thiết 1+ + =1 2019
a b c suy abc 2019 ab bc ca− ( + + )=0 2( ) Từ giả thiết a b c+ + =2019 suy 2019 a b c 20192( + + −) =0 3( )
Cộng (2) (3) theo vế ta (**) từ ta dẫn đến lời giải sau: Lời giải
Từ giả thiết 1+ + =1 2019
a b c suy abc 2019 ab bc ca− ( + + )=0 2( ) Từ giả thiết a b c+ + =2019 suy 2019 a b c 20192( + + −) =0 3( )
Cộng (2) (3) theo vế suy ra:
( ) ( )
( )( )( ) ( )
2
abc 2019 ab bc ca 2019 a b c 2019 a 2019 b 2019 c 2019
− + + + + + − =
⇔ − − − =
Từ (1) suy tốn chứng minh
Nhận xét: Từ phân tích cách giải toán ta thấy để giải đơn giản dạng toán cần suy luận ngược để tìm lời giải
Thí dụ 16 Cho số a, b, c khác thỏa mãn a b c a b c1 1 abc
+ + = + +
=
Chứng minh số a, b, c có số Phân tích:
Ta thấy việc chứng minh số a, b, c có số tương đương với việc chứng minh hệ thức sau đúng: (a−1)(b−1)(c− =1) *( ) khai triển (*) ta được:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
* ab a b c
abc ab bc ca a b c * *
⇔ − − + − =
⇔ − + + + + + − =
(57)Từ giả thiết 1+ + = + +1 a b c
a b c abc = ta được:
( ) ( ) ( )
a b c ab bc ca hay ab bc ca+ + = + + + + − + + =a b c Mặt khác abc=1hay abc− =1 3( )
Cộng (2) (3) theo vế ta (**) từ ta dẫn đến lời giải sau: Lời giải
Từ giả thiết 1+ + = + +1 a b c
a b c abc = ta được:
( ) ( ) ( )
a b c ab bc ca hay ab bc ca+ + = + + + + − + + =a b c Mặt khác abc=1hay abc− =1 3( )
Cộng (2) (3) theo vế ta được:
( ) ( )
( )( )
( )( )( ) ( )
abc ab bc ca a b c
ab a b c a b c 1
⇔ − + + + + + − =
⇔ − − + − =
⇔ − − − =
Từ (1) suy toán chứng minh
Thí dụ 17 Cho số a, b, c khác thỏa mãn 3
3 3
1 1
3
a b c
a b c 29 12
+ + =
+ + = + − −
Chứng minh số có số 27 Lời giải
Từ giả thiết 31 31 31
a + b + c = suy ( ) ( )
3abc ab− +3 bc+3ca =0 1
Rút gọn biểu thức:
( )
( )
2
29 12 12 20 5
6 29 12 5
− = − + = − = − = −
⇒ + − − = + − − = =
Do 3a+3 b+3c 0− = ⇒9 a(3 +3 b+3 c)−27 0.= ( )2 Cộng (1) (2) theo vế ta được:
( ) ( )
( )( )( ) ( )
3 3 3 3
3 3
abc ab bc ca a b c 27
a b c 3
− + + + + + − =
⇔ − − − =
Từ (3) suy toán chứng minh
(58) Dạng 7: Vận dụng tính chất dãy tỉ số
Thí dụ 18 Cho số a, b, c khác thỏa mãn 2 a b c
a b c
y
x z
a b c
+ + =
+ + =
= =
Chứng minh xy + yz + zx =
Lời giải Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
( )
2
2 2
2 2
y x y z
x z x y z
a b c a b c y
x z x y z
a b c
+ +
= = = = + +
+ +
⇒ = = = + +
Mặt khác theo tính chất dãy tỉ số ta có:
2 2
2
2 2
2 2 2
y x y z
x z x y z
a b c a b c
+ +
= = = = + +
+ +
Do đó:
( )2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2
x y z x y z x y z xy yz zx x y z
xy yz zx
+ + = + + ⇔ + + + + + = + +
⇔ + + =
Thí dụ 19 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a b c
2016 2015 2014= =
Chứng minh rằng: a b b c( − )( − =) (a c − )2 Lời giải Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
( )
( ) ( )( ) ( )2
a b c a b a c b c a b a c b c
2016 2015 2014 2016 2015 2016 2014 2015 2014
2 a b a c
4 a b b c a c
2 b c a c
− − − − − −
= = = = = = = =
− − −
− = −
⇒ ⇒ − − = −
− = −
Thí dụ 20 Cho số thực a, b, c, x, y, z khác thỏa mãn x y z
a b c= =
Chứng minh rằng:
( )
2 2
2 2
x y c
a b c
ax by cz
+ + =
+ + + +
(Các mẫu khác 0)
Lời giải Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
(59)2
2 2 2 2
2 2
2
y y x y z x y z
x z x z a
a b c ax by cz ax by cz b ax by cz
+ + + +
= = = = = = ⇒ =
+ + + +
Mặt khác theo tính chất dãy tỉ số ta có:
2 2
2
2 2 2
y x y z
a b c x z
x y z a b c a b c
+ +
= = ⇒ = = =
+ +
Do đó:
( )
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
x y z x y z x y z
ax by cz a b c ax by cz a b c
+ + + + + +
= ⇒ =
+ + + + + +
+ +
(đpcm)
Thí dụ 21 Cho số thực a, b, c thỏa mãn bx cy cx az ay bx
a b c
− = − = −
Chứng minh rằng: a b c x y z= =
Lời giải Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
bx cy cx az ay bx bx cy cx az ay bx 0
a b c a b c
− = − = − = − + − + − =
+ + Do đó:
bx cy
a b c cx az
x y z ay bx
=
= ⇔ = =
=
(đpcm)
Thí dụ 22 Cho số thực a, b, c, x, y, z khác thỏa mãn
y
x z .
a 2b c 2a b c 4a b c+ + = + − = − +
Chứng minh rằng: a b c
x 2y z 2x y z 4x 4y z+ + = + − = − + Lời giải
Sử dụng tính chất dãy tỉ số ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2y x y z x 2y z
x z 1
a 2b c 4a 2b 2c 4a 4b c a 2b c 4a 2b 2c 4a 4b c 9a
y 2x y z 2x y z
2x z 2
2a 4b 2c 2a b c 4a 4b c 2a 4b 2c 2a b c 4a 4b c 9b
4y 4x 4y z 4x
4x z
4a 8b 4c 8a 4b 4c 4a 4b c 4a 8b 4c 8a 4b 4c 4a 4b c
+ + + +
= = = =
+ + + − − + + + + + − + − +
+ + + −
= = = =
+ + + − − + + + + + − − − +
− + −
= = = =
+ + + − − + + + − + − + − + 9b4y z 3( )
+
Từ (1), (2) (3) suy ra:
(60)x 2y z 2x y z 4x 4y z
9a 9b 9c
a b c .
x 2y z 2x y z 4x 4y z
+ + + − − +
= =
⇒ = =
+ + + − − +
Bài tập tự luyện:
Câu 1.(Chuyên Khánh Hòa 2018)
Chứng minh với số thực a b c, , ta ln có:
(a b c+ + )2 =a2 +b c2+ 2+2 ab ac bc( + + ) Câu 1.(Chuyên Nam Định 2016)
Cho a b c, , số thực thỏa mãn điều kiện a b c 6+ + = ;
+ + =
+ + +
1 1 47
a b b c c a 60
Tính giá trị biểu thức + +
+ + +
a b c
b c c a a b Câu 2.(Chuyên Thanh Hóa 2018)
Cho a b, số thực dương thỏa mãn biểu thức − + − =
− + + =
3
3
a 3a 5a 17 b 3b 5b 11 Chứng minh a b + =
Câu 3.(Chuyên Hải Dương 2018)
Cho x y z, , thỏa mãn x y z+ + + xyz 4=
Chứng minh x y z( − )( − )+ y x z( − )( − )+ z x y( − )( − )− xyz =
Câu 4.(Chuyên TP HồChí Minh 2018)
Cho a b c, , ba số thực thỏa mãn điều kiện a b c 0và + + = a2 =2 a c a b 1( + + )( + − )
Tính giá trị biểu thức A a= 2+b c 2+ Câu 5.(Chuyên Quảng Ngãi 2018)
Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn điều kiện
+ =
+ =
+ =
2
2
2
a a b
b b c
c c a
Chứng minh rằng(a b b c c a− )( − )( − )=1
Câu 6.(Chuyên Lào Cai 2018)
Cho số dương a b, số ckhác thỏa mãn điều kiện 1 0+ + =
a b c Chứng minh
rằng : a b+ = a c+ + b c+
(61)Câu 7.(HSG Quận Hải An 2018)
Cho (x+ x 2019 y2+ )( + y2+2019)=2019. Chứng minh: x2019+y2019 =0 Câu 8.(HSG Quận Lê Chân 2018)
Cho ∆ABC có A 60 = 0 Đặt BC =
a ; CA = b ; AB =c
Chứng minh + = ⋅
+ + + +
1
a b a c a b c
Câu 9.(HSG Hải Dương 2017)
Cho x y z, , ≠0 đôi khác thỏa mãn 1 0.+ + =
x y z Chứng minh
( ) ( )
+ + + + = + +
+ + +
2016 2017 2018
2 2
1 1 x y z xy yz zx *
x 2yz y 2zx z 2xy Câu 10.(HSG Hải Dương 2016)
Cho x, y hai số thực dương Chứng minh rằng:
2 x y( 2+ −x)( x y2+ −y)= + −x y x y 2+ Câu 11.(HSG Phú Thọ 2016)
Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a b c 5+ + = a+ b+ c 3= Chứng minh + + =
+ + + + + +
a b c
a b c (a 2)(b 2)(c 2)
Câu 12.(HSG Nam Định 2015)
Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x y z 2, + + =
+ + = 2
x y z 18 xyz= −1 Tính giá trị = + + ⋅
+ − + − + −
1 1
S
xy z yz x zx y Câu 13.(HSG Phú Thọ 2015)
Cho số thực x y z, , đôi khác thỏa mãn x3 =3x 1, y− =3y 1− z3 =3z 1.− Chứng minh x2+y2+z2 =6
Câu 14.(HSG Bắc Ninh 2016)
Cho số thực a, b, c thỏa mãn a b c 0,a+ + = +b2 ≠c ,2 b c2 + ≠a ,2 c a2 + ≠b Tính giá
trị biểu thức = + +
− − − − − −
2 2
2 2 2 2 2
a b c
P
a b c b c a c a b
Câu 15.(HSG Đồng Nai 2016)
Cho a, b, c số thực dương thỏa a b c 2abc 2+ 2+ +2 =
(62)Tính giá trị biểu thức P a b c= ( − 2)( − 2)+b a c( − 2)( − 2)+c b a( − 2)( − 2)−abc
Câu 16.(HSG Phú Thọ 2016)
Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1+ + = Chứng minh
− + − + − =
+ + +
a b b c c a 0
1 c a b
Câu 17.(Chuyên Phú Thọ 2017)
Tính giá trị biểu thức = + +
+ + + + + +
2xy
1 10z
P
2x 2xz y 2xy 10 10z yz 10 với x, y, z
số thỏa mãn xyz =5 biểu thức P có nghĩa Câu 18.(Chuyên Hải Dương 2015)
Cho x y, hai số thực thỏa mãnxy+ (1 x )(1 y ) + + =
Chứng minh rằngx y+ +y x+ =0
Câu 19.(Chuyên Hà Tĩnh 2016)
Cho ba số a, b, c thỏa mãn: c2+2 ab bc ac( − − )=0, b c ≠ a b c Chứng minh + ≠
rằng: − + = −
−
− +
2
2
2a 2ac c a c b c
2b 2bc c
Câu 20.(Chuyên KHTN 2010)
Với số thực a, ta gọi phần nguyên số a số nguyên lớn không vượt a ký hiệu [a] Chứng minh với n nguyên dương ta có
( )
+ +
+ + =
+
2
3 n n n 1.2 2.3 n n Câu 21.(Chuyên Hải Dương 2010)
Cho trước a b, ∈R; gọi x y, hai số thực thỏa mãn + = +
+ = +
3 3
x y a b
x y a b
Chứng minh rằng: x2011+y2011=a2011+b2011 Câu 22.(HSG huyện Kinh Môn)
Cho a + b + c + d = Chứng minh rằng: a3+b c d3+ 3+ =3 c d ab cd( + )( − ) Câu 23. Chứng minh có: ax3 = by3 = cz3 1 1+ + =
x y z
Thì: 3ax by cz2+ + = 3a+3 b+3 c Câu 24.Cho a4 b4
x + y =x y+
2
a b 1+ = Chứng minh rằng:
(63)a) bx2 =ay2 b)
( )
2000 2000
1000 1000 1000 y
x
a +b = a b+ Câu 25 Cho x, y hai số thực thỏa mãn:
ax by c bx cy a cx ay b
+ =
+ =
+ =
Chứng minh rằng: a b c3+ 3+ =3abc
Câu 26 Chứng minh nếu: x a b; y b c; z c a
a b b c c a
− − −
= = =
+ + +
Thì: (1 x y z+ )( + )( + ) (= −1 x y z)( − )( − )
Câu 27 Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn: ay bx cx az bz cy
c b a
− − −
= =
Chứng minh rằng: (ax by cz+ + )2 =(x y z a b c2+ + 2)( 2+ 2+ 2) Câu 28 Chom a b; n c d; p ac bd
a b c d ad bc
+ + −
= = =
− − + Chứng minh rằng:m n p m.n.p+ + = Câu 29 Cho a b số thực thỏa mãn điều kiện:
2
6a +20a 15 0;+ = 15b2+20b 0; ab 1.+ = ≠ Chứng minh rằng:
( )
3
b 6
2015
ab ab 1− + =
Câu 30 Giả sử a,b hai số thực phân biệt thỏa mãn a 3a b 3b 22+ = 2+ = a) Chứng minh a b+ = −3
b) Chứng minh a b3+ = −45
Câu 31 Giả sử x, y số thực dương phân biệt thỏa mãn:
2
2 4 8
y 2y 4y 8y 4
x y x+ + +y +x +y +x −y =
Chứng minh rằng: 5y 4x=
Câu 32 Cho Các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời đẳng thức:
( )( )( )
i a b b c c a) + + + =abc
( 3)( 3)( 3) 3
ii a) +b b c c a+ + =a b c Chứng minh: abc 0=
Câu 33.Cho trước a,b R∈ ; gọi x,ylà hai số thực thỏa mãn x y a b3 3 3 3
x y a b
+ = +
+ = +
Chứng minh rằng: x2011+y2011=a2011+b2011
Bài 34 Cho a, b ≠ thỏa mãn a + b = Chứng minh: 3a 3b ab 2(2 2 )
b a a b
−
+ =
− − +
(64)Câu 35 Cho số a, b, c, d nguyên thỏa mãn: a b c d ab cd + = +
+ =
Chứng minh: c = d Câu 36. Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn:1 1
x y z+ + =1 x + y + z = Chứng minh rằng: (x – 1)(y – 1)(z – 1) =
Câu 37 Giả sử a, b, c, x, y, z số thực khác thỏa mãn: a b c
x y z+ + =
y
x z 1
a b c+ + = Chứng minh rằng:x22 y22 z22
a +b +c =
Câu 38 Cho a + b + c = 2009 Chứng minh rằng: 2 a + b + c - 3abc32 2 = 2009 a + b + c - ab - ac - bc
Câu 39 Cho số a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:
( 5+ 5+ 5)= ( 2+ 2+ 2)
2 a b c 5abc a b c Câu 40.Cho x yz y zx z xy2 2
a b c
− − −
= = Chứng minh rằng: a2 bc b ca c ab2
x y z
− = − = −
Câu 41 (HSG Quận TP HồChí Minh năm 2011)
Chứng minh rằng: mn m n m n
m+ n+ m n+ = + − +
Áp dụng tính: A 10
2
=
+ +
Câu 42 (HSG Quận TP HồChí Minh năm 2012)
Giả sử số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2+b2+ +(a b)2 =c d2+ 2+ +(c d)2 Chứng minh rằng: a4 +b4+(a b+ )4 =c4+d4+ +(c d )4
Câu 43 Cho x(m n) y(n p) z(p m)+ = + = + x,y,z la số khác khác 0, Chứng minh rằng: m n n p( ) (p m)
x(y z) y z x z x y
− −
− = =
− − −
Câu 44 Chứng minh rằng:
( )( )2 ( )( )2 ( )( )2
a b c b c a− + − +c a b a b c− + − =b a c a c b− + −
Câu 45 Cho a,b,cđôi khác khác Chứng minh rằng: Nếu a b c 0+ + = a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
− + − + − + + =
− − −
HƯỚNG DẪN GIẢI
(65)Câu
( ) ( )( )
( )
= + + = + + + +
= + + + + + + + +
= + + + + + =
2
2 2
2 2
VT a b c a b c a b c
a ab ac ab b bc ac bc c
a b c ab bc ca VP
Câu
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
3
3
3
3
2
a 2a 16 0(1) a 3a 5a 17
b 3b 5b 11 b 1 2b 12 0(2)
1 a 2a 16 b 2b 12
a b a a b b a b
− + − =
− + − =
⇔
− + + =
− + + =
⇒ + ⇔ − + − + − + + =
⇔ − + − − − − − + − + + − =
( ) ( )
( )
2
2
2
2
a
a b b b
2
a
a b b b a,b
2
−
⇔ + − + − + − + =
−
⇔ + = + − + − + > ∀
Câu
Ta có: x y z+ + + xyz 4= ⇔4 x y z xyz 16 ( + + +) =
Mặt khác:
( − )( − )= − ( + )+ = + + + − ( + )+
x y z x 16 y z yz x 4(x y z) xyz y z yz
( ) ( )
( )( ) ( )
= + + = +
⇒ − − = + = +
2
x 4x xyz yz x x yz
x y z x x yz 2x xyz
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:
( )( )
( )( )
− − = +
− − = +
y x z 2y xyz
z x y 2z xyz
Do
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
− − + − − + − − =
= + + + −
= + + + =
x y z y x z z x y xyz
2x 2y 2z xyz xyz x y z xyz
Vậy x(4 y)(4 z)− − + y x z( − )( − )+ z x y( − )( − )− xyz 8= Câu
Ta có: a b c 0+ + = ⇔ = − −b a c
(66)( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
⇒ = + + + −
⇔ = + + − − −
⇔ = + + − −
⇔ + + + + =
⇔ + + + + =
⇔ + + + + =
+ + = =
⇔ ⇔ ⇒ = − − =
+ = = −
⇒ = + + = + + − =
2
2
2
2
2
2
2 2 2
a a c a b a a c a a c a a c c a a c c a 2a c c
a c c
a c a
b a c
c c
A a b c 1
Vậy A 2= Câu
Cộng theo vế ta a + b + c = Cộng (1) (2) theo vế ta được:
( )( ) ( )( )
+ = 2− = − + = − −
a b c a c a c a b c a hay − = −c ( )(b c a− )
Tương tự ta có − = −b ( )(a b c , a− ) − = −( )(c a b − )
Nhân theo vế đẳng thức ta (a b b c c a− )( − )( − )=1 Câu
Ta có:
= − +
<
+ + = ⇒ ⇒ + + =
+ +
=
1 1
c
1 1 0 c a b
ab ac bc
a b c ab ac bc 0
abc
( )( )
+ = + + +
⇔ + = + + + + + +
⇔ + + + + =
⇔ + =
⇔ − = <
2
2
a b a c b c
a b a c b c a c b c c ab ac bc c
c c
c c 0(c 0)
Vậy a b+ = a c+ + b c+ Câu
Ta có:
(67)( )( )
( )( )( ) ( )
( ) ( )
+ + + + =
⇔ − + + + + + = − +
− + + = − +
⇔ + + = + −
2
2 2
2
2
x x 2019 y y 2019 2019
x x 2019 x x 2019 y y 2019 2019 x x 2019 2019 y y 2019 2019 x x 2019
y y 2019 x 2019 x
Tương tự: x+ x 20192+ = y 2019 y 2+ −
Cộng theo vế hai đẳng thức ta x y 0+ = ⇔ = − ⇒x y x2019+y2019 =0.
Câu
1 Kẻ đường cao BH ∆ABH vuông H nên BH = AB.sin 600 = AB
2 AH = AB.cos600 = AB
Xét ∆BHC vuông H nên BC2 = BH2 + HC2
= + −
= + − +
= + −
2
2
2
2
2 2
3AB AB
BC AC
4
3AB AB
BC AC AB.AC
4
BC AB AC AB.AC
Hay a2 = b2 + c2– bc (1)
+ =
+ + + +
⇔ + + + + = + +
⇔ 2+ + + + 2+ + + + = 2+ + +
1
a b a c a b c
(2a b c)(a b c) 3(a b)(a c)
2a 2ab 2ac ba b bc ac bc c 3a 3ac 3ab 3bc
a2 = b2 + c2 – bc theo (1) Câu
Từ giả thiết 1 xy yz zx 0+ + = ⇒ + + = x y z
( )( )
⇒x 2yz x yz xy zx2+ = 2+ − − = x y x z− −
Tương tự: y 2zx2+ =(y x y z ; z 2xy− )( − ) 2+ =(z x z y− )( − )
60°
H
B
A
C
(68)( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
+ + = + +
− − − − − −
+ + +
− + − + −
= =
− − −
2 2
1 1 1
x y x z y x y z z x z y
x 2yz y 2zx z 2xy y x x z z y 0 x y x z y z Suy đpcm
Câu 10
Ta có: ( + − )( + − )= + − + + +
2 2 2 2
2 x y x x y y x y (x y) x y xy
=(x y 2xy) 2(x y) x y2+ 2+ − + + +x y 2+
= +(x y) 2(x y) x y2− + 2+ +x y = 2+ (x y+ − x2 +y2)2 (*) Do x > 0, y > nên (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy > x2 + y2
Suy : x y+ > x y 2 +
Khai hai vế đẳng thức (*) ta điều phải chứng minh Câu 11
( )
+ + = ⇔ + + + + + = ⇔ + + =
a b c a b c ab bc ca ab bc ca
Do a a+ = + ab+ bc+ ca =( a+ b)( a+ c) b b+ = + ab+ bc+ ca =( b+ c)( b+ a) c c+ = + ab+ bc+ ca =( c+ a)( c+ b)
Suy
( )( ) ( )( ) ( )( )
+ + = + +
+ + + + + + + + +
a b c a b c
a b c a b a c b c b a c a c b
( ( ) ()( )() ( ) ) a
c c b b a
b a c a c b c b a
+ +
+
+ +
+ +
+ =
( ) ) )( )( (
+ + +
+ + =
c b a
ca bc
ab
) )( )( (
4
+ + + =
c b a Vậy
) )( )( (
4
2
2+ + + + = + + +
+ c a b c
c b
b a
a .
Câu 12
Ta có xy z xy x y 1+ − = − − + =(x y 1− )( − )
(69)Tương tự yz x 1+ − =(y z 1− )( − ) zx y 1+ − =(z x 1− )( − )
Suy =( )( ) (+ )( ) (+ )( ) (= )(+ + −)( )
− − − − − − − − −
x y z
1 1
S
x y y z z x x y z
( − ) ( )
= =
+ +
− + + + + + −
1
xy yz zx xyz xy yz zx x y z
Ta có (x y z+ + )2 =x y z xy yz zx2+ 2+ + ( + + )⇒xy yz zx+ + = −7
Suy S= −1 Câu 13
Ta có x3 =3x 1(1), y− =3y 1(2), z− =3z 1(3)− Từ (1), (2) (3) suy
( )
( )
( )
− = − + + =
− = − ⇔
+ + =
− = − + + =
3 2 2
3 2
2
3
x y x y x xy y 3 (4)
y z y z y yz z (5)
z zx x (6)
z x z x
Từ (4) (5) suy
x z xy yz 02− 2+ − = ⇔(x y x y z− )( + + )= ⇔ + + =0 x y z 0, (vì x, y, z đôi phân biệt)
Cộng (4), (5) (6) theo vế với vế ta có
( 2 2 2) ( )2 2 2 2
3
9
2 x +y +z +2 x+ +y z = ⇒x + y +z = Câu 14
Từ giả thiết a b c 0+ + = ta
( ) ( ) ( )
+ +
= + + = + + =
+ − − + − − + − −
2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c
P
2bc 2ca 2ab 2abc
b c b c c a c a a b a b
Ta có a b c 3abc3+ 3+ −3 =(a b c a+ + )( 2+b c ab bc ca2 + −2 − − )=0
Từ suy a b c3+ 3+ =3abc ta P=3
2 Câu 15
Theo ra: a b c 2abc 2+ + +2 =
Suy a2+2abc b c ; b= − − 2 +2abc c a ;c= − − 2+2abc b a= − − 2 Từ ta có
(70)( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= − − + − − + − − −
− − + + − − + + − − + −
+ + + + + + + + −
+ + + + + −
+ + + + + − = +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
P a b c b a c c b a abc
= a c b b c b c a a c c a b a b abc
= a a 2abc b c b b 2abc a c c c 2abc a b abc
= a a bc b b ac c c ab abc
= a a bc b b ac c c ab abc a b +c2+2abc 1=
Câu 16
Ta có 1 a+ =ab bc ca a+ + + = +(a b)(a c).+ Hoàn toàn tương tự ta có
( )( )
( )( )
+ = + + + = + +
+ = + + + = + +
2
2
1 b ab bc ca b b a b c c ab bc ca c c a c b Suy − =( )(− ) (= + − −)( )= −
+ +
+ + + +
+
a b a b a c b c 1
c b c a c a c b c a c b
1 c
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
− = − = + − − = −
+ +
+ + + +
+
− = − = + − − = −
+ +
+ + + +
+
2
b c b c b a a c 1
a c a b
a b a c a b a c
1 a
c a c a c b a b 1
b a b c
b c b a b c b a
1 b
Vậy − + − + − = − + − + − =
+ + + + + +
+ + +
a b b c c a 1 1 1 0
c b c a a c a b b a b c
1 c a b
Câu 17
Kết hợp xyz ta biến đổi biểu thức P thành =
= + +
+ + + + + +
= + +
+ + + + + +
+ +
= + + = =
+ + + + + + + +
2xy
1 10z
P
2x 2xz y 2xy 10 10z yz 10
2xy xyz.2z
1
2x 2xz y 2xy 2xyz 2xyz.z yz 2xyz
2y 2y 2zx
1 2xz 1
2x 2xz 1 2x 2xz 2xz 2x 2x 2zx Câu 18
+ + + = ⇔ + + = −
⇒ + + = −
2 2
2 2
xy (1 x )(1 y ) (1 x) (1 y) xy (1 x )(1 y ) (1 xy)
⇔ +1 x2+y2+x y2 2= −1 2xy x y+ 2
⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = −
⇒ + + + = + − + =
2 2
2 2
x y 2xy (x y) y x
x y y x x x x x Câu 19
Ta có: c2+2 ab bc ac( − − )=0 ⇒a2 =a2+c2+2 ab bc ac( − − )
(71)( ) ( )
= a2 −2ac c+ +2 ab bc− =(a c− )2+2b a c( − )=(a c a c 2b− )( − + )
⇒ 2a 2ac c2− + =(a 2ac c2− + 2)+a2 =(a c− )2 +a2 =(a c− ) (2+ −a c a c 2b )( − + )
( )( )
=2 a c a b c− + −
Tương tự ta có: 2b 2bc c = 2− + 2 b c a b c( − )( + − )
Do đó: ( )( )
( − )( + − )
− + = = −
−
− + −
− +
2
2
2 a c a b c
2a 2ac c a c
b c b c a b c
2b 2bc c (với b c , ≠ a b c )+ ≠
Câu 20
Xét + + = + + = + = − + ∈
+ + + + +
2
k k k k k 1 1(k N) k(k 1) k(k 1) k(k 1) (k 1) k k k
Thay k từ đến n ta được:
( )
+ +
+ + = + − = + =
+ +
+
2
3 7 n n 1 n 1 1 n n n
1.2 2.3 n n 1 n 1 n 1 (đpcm)
Câu 21
( ) ( ) ( ) ( )
+ = +
⇔
+ − + = + − +
3
x y a b (I)
x y 3xy x y a b 3ab a b + = +
⇔ + = +
x y a b (1) (*) xy(a b) ab(a b) (2)
+/Nếu a b 0+ ≠ (*)⇔ + = + =
x y a b xy ab
=> x, y nghiệm phương trình X (a b)X ab 02− + + = Giải ta có = = = =
x b x a ;
y a y b => x2011+y2011 =a2011+b2011 +/Nếu a b 0+ = => a= −b
Ta có hệ phương trình + = ⇔ = −
+ =
3 x y
x y
x y
=> + =
+ =
2011 2011 2011 2011
a b
x y 0=> + = +
2011 2011 2011 2011
x y a b
Câu 22
Từ:a b c d 0+ + + =
(72)( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
⇒ + = − + ⇒ + = − + ⇒ + + + = − − − +
⇒ + + + = − + − + ⇒ + + + = + − +
⇒ + + + = + −
3 3 3 3 3
3 3 3 3
3 3
a b c d a b c d a b 3ab a b c d 3cd c d
a b c d 3ab a b 3cd c d a b c d 3ab c d 3cd c d a b c d c d ab cd
Vậy toán chứng minh Câu 23
Có: 3ax by cz 2+ 2+
= + + = + + =
3
3
3
3 ax by cz 3ax 1 x a
x y z x y z (=
3
c z b
y = )
Ta có: 3ax2+by2+cz2 = 3a; 3ax2+by2+cz2 = b;3ax2+by2+cz2 =3 c
x y z
+ + + + + +
⇒ + + = + +
⇒ + + + + = + +
2 2 2 2 2
3 3
3 3
2 2 3
3
ax by cz ax by cz ax by cz
a b c
x y z
1 1
ax by cz a b c
x y z
=> 3ax by cz2+ 2+ =3 a+3 b+3 c Câu 24
a) Từ a4 b4 x + y =x y+
2
a b 1+ = suy ra: ( ) 2
4 a b
a b
x y x y
+
+ =
+
( )( 4 4 ) ( )( 2 2) (2 2 2)2 2 2
x y a y b x x y a b ay bx bx ay
⇒ + + = + + ⇒ − = ⇒ =
b) Từ câu a) bx2 =ay2
1000
1000 1000 1000
2 2
2 y x y y
x x ;
a b a b a b a a b b a b
+
⇒ = = = ⇒ = =
+ + + +
Do đó:
( )
2000 2000
1000 1000 1000 y
x
a +b = a b+ Câu 25
Ta có:
ax by c bx cy a cx ay b
+ =
+ =
+ =
Công theo vế phương trình hệ ta được:
(a b c x a b c y a b c+ + ) (+ + + ) = + + ⇒(a b c x y 0+ + )( + − =) a b c
x y + + =
⇔ + =
(73)Với a b c 0+ + = thì: (a b c a+ + )( 2+b c ab bc ca2 + − − − )= ⇔0 a3+b c3+ =3abc (1) Với x + y = thay vào giả thiết ta được: a = b = c ⇒a b c3+ 3+ =3abc (2)
Từ (1) (2) suy đpcm Câu 26
( )( )( ) ( )( )( )
a b 2a b c 2b c a 2c
1 x ; y ; z
a b a b b c b c c a c a
8abc
1 x y z (1)
a b b c c a
− − −
+ = + = + = + = + = + =
+ + + + + +
⇒ + + + =
+ + +
Mặt khác:
( )( )( ) ( )( )( )
a b 2b b c 2c c a 2a
1 x ; y ; z
a b a b b c b c c a c a
8abc
1 x y z (2)
a b b c c a
− − −
− = − = − = − = − = − =
+ + + + + +
⇒ − − − =
+ + +
Từ (1) (2) suy ra: (1 x y z+ )( + )( + ) (= −1 x y z)( − )( − ) Câu 27
Đặt ay bx cx az bz cy k
c b a
− = − = − =
2 2
cay cby bcx baz abz acy
k
c b a
− − −
⇒ = = =
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
cay cbx bcx abz abz acy
k ay bx cx az bz cy
a b c
ay bx cx az bz cy
− + − + −
= = ⇒ − = − = − =
+ +
⇒ − = − = − =
( 2 2 2)( 2 2 2) ( )2
a b c x y z ax by cz
⇒ + + + + − + + =
Suy ra: (ax by cz+ + )2 =(x y z a b c2+ + 2)( 2+ 2+ 2) Câu 28
Ta có:
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( ) ( () (( )( )() ( )() ))
( )( )( )
( )( )( )
a b c d c d a b
a b c d ac bd ac bd
m n p
a b c d ad bc a b c d ad bc
ac bd ad bc a b c d ac bd ac bd
ad bc
a b c d a b c d ad bc
ac bd a b a c
m.n.p a b c d ad bc
+ − + + −
+ + − −
+ + = + + = +
− − + − − +
− + + − −
− −
= + =
+
− − − − +
− + +
= =
− − +
Vậy đẳng thức chứng minh Câu 29
Ta ký hiệu điều kiện sau:
6a +20a 15 0+ = (1); 15b2+20b (2); ab (3).+ = ≠
(74)Dễ thấy phương trình (1) (2) có hai nghiệm phân biệt Do (3) nên b khác Chia hai vế (2) cho b2 ta
2
1
6 20 15 (4)
b b
+ + =
Từ (1), (3) (4) suy a
b hai nghiệm khác phương trình
6x +20x 15 0+ = (5)
Theo định lí Vi-ét: a 10 a 5;
b b
+ = − =
Từ : ( )
3 3 3
2
ab ab a 1 5 10 2015
9 a
b b
b
− +
= − + = − − =
Suy
( )
3
b 6 ,
2015
ab ab 1− + = điều phải chứng minh
Câu 30
a) Giả sử a,b hai số thực phân biệt thỏa mãn a22 3b b 3a
+ =
+ =
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) 2
a b a b a b a b a b a b a b
a b loai
a b
⇔ − + − = ⇔ − + + − = ⇔ − + + =
− = ⇔
+ = −
b)(a b+ )3 = −27
( )
3 3
a b 3ab a b 27 a b 9ab 27
⇔ + + + = − ⇔ + − = −
a2+3a b+ +3b 4= ⇔(a b+ )2−2ab a b+ ( + )= ⇔4 ab= −2 Vậy a b3+ = −45
Câu 31 Ta có: ( )
( )( )
4 4
2
2 4 8 2 4 4
4y x y 8y
y 2y 4y 8y y 2y
4
x y x y x y x y x y x y x y x y
− +
= + + + = + +
+ + + − + + + −
( )
( )( )
( )
( )( )
2 2
2
2 4 2 2
2
2
2y x y 4y
y 2y 4y y
x y x y x y x y x y x y
y x y 2y
y 2y y
x y x y x y x y x y
− +
= + + = +
+ + − + + −
− +
= + = =
+ − + − −
Do đó: y y 4x 4y 5y 4x
x y− = ⇔ = − ⇔ =
Vậy 5y 4x = (đpcm)
(75)Câu 32 Ta có: (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) = a3b3c3
⇔(a+b)(b+c)(c+a)(a2 – ab + b2)(b2 – bc + c2)(c2 – ca +a2) = a3b3c3 Mà: (a+b)(b+c)(c+a) = abc Do đó:
abc(a2 – ab + b2)(b2 – bc + c2)(c2 – ca +a2) = a3b3c3
⇔ abc = (a2 – ab + b2)(b2 – bc + c2)(c2 – ca +a2) = a2b2c2 * Nếu abc ≠
Thì: a2 – ab + b2≥ |ab| ; b2 – bc + c2≥ |bc|; c2 – ca + a2≥ |ca| Suy ra: (a2 – ab + b2)(b2 – bc + c2)(c2 – ca +a2) ≥ a2b2c2
Mà: (a2 – ab + b2)(b2 – bc + c2)(c2 – ca +a2) = a2b2c2
Do a = b = c thay vào (i) ⇒ 7a3 = ⇒ a = ⇒ abc = (mâu thuẫn) Vậy: abc = (đpcm)
Câu 33 Ta có:
( )3 ( ) ( )3 ( )
x y a b (I)
x y 3xy x y a b 3ab a b
+ = +
⇔
+ − + = + − +
x y a b (1) (*) xy(a b) ab(a b) (2) + = +
⇔ + = +
+/Nếu a b 0+ ≠ (*)⇔ x y a b
xy ab + = +
=
=> x, y nghiệm phương trình X (a b)X ab 02− + + = Giải ta có x b x a;
y a y b
= =
= =
=>
2011 2011 2011 2011
x +y =a +b
+/Nếu a b 0+ = =>a= −b
Ta có hệ phương trình x y 03 3 x y
x y
+ =
⇔ = −
+ =
=> a20112011 b20112011
x y
+ =
+ =
=>
2011 2011 2011 2011
x +y =a +b
Câu 34
( )( ) ( )( )
3 2
a b a b
VT
b a b b b a a a
= + = +
− − − + + − + +
( ) ( ) 2
a b 1
b b a a a b b b a a
− −
= + = +
+ + + +
− + + − + +
( ) ( )
( )( )
( )
( )
2
2
2 2
2
a b 2ab
a a b b
a b ab a b a b ab a a b b
+ − +
− + + − + +
= = −
+ + + + + +
+ + + +
(76)( )
( ) (2 )
2 2
2 ab 2 ab
VP a b a b a 2ab b
− −
= = =
+
+ + + +
Vậy toán chứng minh
Câu 35 Ta có: a + b = c + d suy ra: a = c + d – b thay vào ab + = cd
Ta có: (c d – b b cd+ ) + = ⇔b d b cd cd 0( − )+ − + = ⇒(d b b c− )( − )= −1 Vì b,c, d số nguyên nên: d – b = -b + c = –d + b = b – c =
Vậy c = d
Câu 36 Ta có: 1 1 xy yz zx
x y z xyz
+ +
= + + = Suy ra: xy yz zx xyz+ + =
Do đó: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1 (*) Thay xy + yz + zx = xyz x + y + z =1 vào (*) ta được:
(x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1 = (xy + yz + zx) – (xy + yz + zx) + -1 = (đpcm) Câu 37 Ta có: a b c ayz bxz cxy
x y z xyz
+ +
= + + = Suy ra: ayz byz cxy 0+ + = Do đó: = + + = + + + + +
2 2 2 2
2 2
y y xy yz
x z x z xz
1
a b c a b c ab bc ca
= + + + + + = + + +
2
2 2
2 2 2
y ayz bxz cxy y
x z 2. x z 2.
abc abc
a b c a b c
Vậyx22 y22 z22
a +b +c = (đpcm)
Câu 38 Ta có đẳng thức: a + b + c - 3abc= a b c a3 3 ( + + )( +b c ab bc ca2+ 2− − − ) Do đó:
( )( 2 )
3 3
2 2 2
a b c a b c ab bc ca
a + b + c - 3abc = = a + b + c =2009
a + b + c - ab - ac - bc a b c ab bc ca
+ + + + − − −
+ + − − −
Lưu ý cần nhớ: Khi a + b + c =0 a3 + b3 + c3 = 3abc ngược lại a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c = Câu 39 Ta có đẳng thức:
( )( )
( ) ( )
+ + − = + + + + − − −
+ + = + + + + +
3 3 2
2 2 2 2
a b c 3abc a b c a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca
Từ a b c a b c+ + = ⇒ 3+ 3+ =3abc a2+b c2 + = −(ab bc ca+ + )
2 Ta có:
(77)( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
+ + + + = + +
⇔ + + + + + + + + = + +
⇔ + + − + + = + +
+ +
⇔ + + + = + +
3 3 2 2 2
5 5 2 2 2 2
5 5 2
2 2
5 5 2
a b c a b c 3abc a b c
a b c a b a b b c b c c a c a 3abc a b c a b c abc ab bc ca 3abc a b c
a b c
a b c abc 3abc a b c
2
( ) ( )
⇔2 a b c5+ 5+ =5abc a2+b c2 + (đpcm)
Câu 40 Đặt x yz y zx z xy2 2 k a x yz2 ,b y zx2 ,c z xy2
a b c k k k
− = − = − = ⇒ = − = − = −
Sau tính: a bc,b ca,c ab2 − 2− 2− theo x, y,z, k từ suy ra:a2 bc b ca c ab2
x y z
− − −
= =
Câu 41 Ta có:
( )( ) ( )2 ( )
2
+ + + + − + = + − + =
m n m n m n m n m n m n mn
Do đó: mn m n m n
m+ n+ m n+ = + − +
Áp dụng: 10 2.5
2+ 5+ = 2+ 5+ 5+ = + −
Câu 42 Ta có:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
2 2 2
2 2
2
2
2 2
4 4
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b a b
2 a b a b
+ + + = + + + + + +
= + + + + − + + +
= + + − + +
= + + +
Tương tự:
( )2 ( )4
2 4
c d c a c d c d
+ + + = + + +
Vậy a4+b4+(a b+ )4 =c d4 + 4+ +(c d)4 Câu 43
Vì xyz 0≠ nên: x(m n) y(n p) z(p m)+ = + = +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x m n y n p z p m
xyz xyz xyz
p m n p m n p m n p m n
n p p m m n
hay :
yz xz xy xy yz yz xy xz yz
+ + +
⇒ = =
+ − + + − + + − +
+ +
+ = = = = =
− − −
(78)( ) n p( ) (p m) m n
x y z y z x z x y
− −
−
= = =
− − −
Câu 44 Ta có: a b c b c a( − )( + − 2)+c a b a b c( − )( + − 2)−b a c a c b( − )( + − 2)=0 (1)
Đặt
x z a
2 a b c x
x y
b c a y b
2
a c b z y z
c
= +
+ − =
+
+ − = ⇒ =
+ − =
= +
Khi ta có:
( )( )
( )
2 2
2 2 2
x y y z y z x y
x z x z
VT y x x y x y z
2 2 2
y z z y
x z x z. .y . .x 1 x y z
2 2
+ + + +
+ +
= − + − − + −
+ −
+ −
= + − −
=1(x z y2 2) 1(z2 y x2) 1 x( y z2)
4 − +4 − −4 −
( 2) ( 2)
1 x y z x y z 0 VP (dpcm)
4
= − − − = =
Câu 45
Đặt a b x;b c y;c a z c a; b; 1(1)
c a b a b x b c y c a z
− − −
= = = ⇒ = = =
− − −
(x y z) 1 x y z
⇔ + + + + =
Ta có: (x y z) 1 y z x z x y (2)
x y z x y z
+ + +
+ + + + = + + +
Ta lại có: y z b c c a c b bc ac a2 c
x a b a b ab a b
+ = − + − = − + −
− −
( )( )
( ) ( ) ( )
2 c 2c a b c
c a b c a b c c a b 2c
ab ab ab
ab a b
− + +
− − − − −
= = = =
−
Tương tự ta có: x z 2a2 ;x y 2b2
y bc z ac
+ +
= =
(x y z) 1 3 2c2 2a2 2b2 3 (a3 b c3 3)
x y z ab bc ac abc
+ + + + = + + + = + + +
Vì a b c a b c 3abc+ + = ⇒ +3 3+ =3
Do đó: (x y z) 1 3abc
x y z abc
+ + + + = + = + =
(79)CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN
Các cơng thức biến đổi thức
1 = = ≥
−
2 nÕu A
nÕu A < A
A A
A
2 AB = A B (Với A≥0;B≥0)
3 A = A
B B (Với A≥0;B>0)
A B = A B (Với B≥0)
5
A B = A B (Với A≥0;B≥0)
6
A B = − A B (Với A<0;B≥0)
7 A = AB
B B (Với A≥0;B>0)
8 A = A B B
B (Với B>0)
9 = ( ±2 )
− ±
C A B
C
A B A B
(Với
0; A B
≥ ≠
A )
10 = ( ± )
− ±
C A B
C
A B
A B
(Với A≥0;B≥0; A≠B) 11 ( )3 A = A3 =A
Cách tìm điều kiện tốn chứa thức
BIỂU THỨC - ĐKXĐ: VÍ DỤ
1 A ĐKXĐ: A≥0 Ví dụ: x−2018 ĐKXĐ: x≥2018
2 A
B ĐKXĐ: B ≠0 Ví dụ:
4 7 + −
x
x ĐKXĐ: x≠7
3 A
B ĐKXĐ: B >0 Ví dụ:
3
+ −
x
x ĐKXĐ: x>3
4 A
B ĐKXĐ: A≥0;B>0 Ví dụ: −3 x
x ĐKXĐ:
0
3
≥
⇔ > >
x
x x
(80)5 A
B ĐKXĐ:
0 0 ≤
<
≥ >
A B A B
Ví dụ: + + x
x ĐKXĐ:
1
2 1
2 + ≤
+ < < −
⇔
+ ≥ ≥ + >
x
x x
x x
x
6
Cho a > ta có: > ⇔ >
< −
x a
x a
x a
Ví dụ: 1 >
x ⇔ >
< −
x a
x a
7 Cho a > ta có: 2
< ⇔ − < <
x a a x a Ví dụ:
2
4 2 2
< ⇔ − < <
x x
Dạng 1: Các tốn biến đổi thức thường gặp
Thí dụ (Trích đềthi HSG huyện Nghi Xuân Hà Tĩnh) Tính giá trị biểu thức: A= 5− + 14 5−
Lời giải
Ta có:A= 5− + 14 5− = ( 1− ) (2 + 3− 5)2 = 3− + − 2=
Thí dụ (Trích đềthi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011)
Cho E (32 1)3 32
−
= + Chứng minh E số nguyên Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )( )
3 3
3
3 3
3 3
3
2 2 1
E 2
3
1 2 1
− −
= + = + + +
= + + − = − =
= (8 7)− − (8 7)+ Vậy E số nguyên
Thí dụ (Trích đềthi chọn HSG tỉnh Hịa Bình Năm 2010-2011)
Rút gọn: 4
4
8
A
8
+ − − − −
=
− +
Lời giải Đặt A T
M
= Ta có T > nên T= T2
(81)Xét T2 =48+ 2 1− −2 84 + 2 8− − 2 1− +48− 2 1−
( )
4
4
4
4
2 8
2 2
2
T
A
= − − −
= − +
= − +
⇒ = − +
⇒ =
Thí dụ (Trích đề thi HSG Phú Thọ năm 2012-2013)
Rút gọn biểu thức: A= 10 30 2 :
2 10 2
+ − −
− −
Lời giải
Ta có: 10 30 2 :
2 10 2
+ − −
− − =
2 2( 1) 6( 1) 1. 3 1. 3 1. 3 1.
2 2 2 2
2 2( 1)
− + − − + − + − + −
= = = =
−
Thí dụ (Trích đềthi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)
Tính giá trị biểu thức N = 4 27 10
4 13
+ + − + −
+
Lời giải
Ta có: N= 2( 4 ) 25 10 2 13
+ + − + − +
+
= 2( 4 ) (5 2)2
(4 3) 4 (4 3)
+ + − + −
+ + + − + +
2
2( 4 ) (5 2) 2( 4 ) 5 2
4
( 4 )
2 5
+ + − + + −
= + − = + −
+ + −
+ + −
= + − =
Thí dụ (Trích đề thi Chọn HSG tỉnh Long An năm 2012)
Không sử dụng máy tính, thực phép tính:A = 15 10 23
− + − +
−
(82)Lời giải
Ta có: A = 15 10 23
− + − +
−
2 15 10
2 23
− + − +
=
−
15
46
− + − +
=
−
( ) ( )
( )
2
2
3 5
3
− + − +
=
−
3 5
3
− + − + =
− 13
−
= =
−
Thí dụ (Trích đề thi HSG huyện Nga Sơn-Thanh Hóa năm 2016-2017)
Rút gọn biểu thức: B =
3 2
3
2
3
− −
− +
+ +
+
Lời giải Ta có:
B 2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 4 3 2 4 3 3 3 3 3
B (2 3)(3 3) (3 3)(2 3) 3 3 3 3 6
2 (3 3)(3 3)
B
1 B 2
2
+ − + −
= + = +
+ −
+ + − −
+ − + + − + + −
= =
+ −
= ⇒ =
Thí dụ (Trích đềthi HSG huyện Thạch Hà năm 2016-2017)
So sánh 2
2017 − −1 2016 −1
Lời giải
Ta có: 2 2 2
2
( 2017 2016 1)( 2017 2016 1) 2015 2014
2017 2016
− − − − + −
− − − =
− + −
2 2
2 2 2
(2015 1) (2014 1) 2017 2016 (2017 2016)(2017 2016) 2017 2016 2017 2016 2017 2016
− − − − − +
= = =
− + − − + − − + −
2 2
2017 2016 2.2016
2017 2016 2017 2016
+
= >
− + − − + −
Vậy 2
2017 − −1 2016 −1 >
2
2.2016
2017 − +1 2016 −1
Thí dụ Rút gọn biểu thức:
2
2.2016
2017 − +1 2016 −1
(83)a) A= 5− 3− 29 12 5− b) B= 370− 4901+370+ 4901
Lời giải
( )
( )
2
a) A 29 12 5
5 1
= − − − = − − −
= − − =
b) Đặt 3
0
x = 70− 4901+ 70+ 4901
3
3
3 3
x 70 4901 70 4901
70 4901 70 4901 70 4901 70 4901 70 4901 70 4901
140 3x
⇒ = − + +
= − + + + − + − + +
= +
Khi ta có:
( )( )
3
0 0
x 3x 140 0+ − = ⇔ x x 5x 28− + + =0
Mà ( )
0 0
x +5x +28>0 do∆ <0 ⇒x =5 Vậy B =
Thí dụ 10 Rút gọn biểu thức: P
2
+ + + +
=
+ +
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
P
2 4
2 4 2
2 4
+ + + + +
+ + + +
= =
+ + + +
+ + + + + + + + + +
= =
+ + + +
1
= +
Dạng 2: Dùng ẩn phụ đơn giản hóa tốn
Thí dụ Rút gọn biểu thức:
4
4
1
2 7
A
7 7 7 7 343
7
−
= − − + +
− +
Lời giải
Đặt a=4 7⇒a4 =7 a2 = 7 ta có:
(84)( )
2
2
3
2
4 4
4
3
1 a
2 a 2a 13a
A a
1
a a a a a a a (a 1)
a a
a a 2a 2a 13a a 2a (7 a ) Doa 7
a (a 1) a (a 1)
− − +
= − − + + = +
+
− +
+ − − + + −
= = = =
+ +
Thí dụ Rút gọn biểu thức:
4 4
2
B
4 25 125
=
− − −
Lời giải
Đặt b= 5⇒b2 = 25,b3 =4125,b4 =5,b6 =5b ,b2 =5b. Ta có:
2
2 B
4 3b 2b 3b
=
− + −
Mặt khác: 3 21 3 2 (b 3b) (2b 4)33 2 22 2 b 2b 3b (b 3b) (2b 4) (b 3b) (2b 4)
+ + +
= =
− + − + − + + − +
3 2
2
b 3b 2b (b 2b 3b 4)(b 3) b 2b 2b 9b 12
2b 2(b 9)
+ + + + + + − + − − −
= = − =
− − −
2
b 2b b
4
− − − +
= = −
Vậy
2
4
2 4
B
b b 5 1
= = =
+ + +
Thí dụ Rút gọn biểu thức:
2
4
4
2 1
2
4 2
E
1 2
+ +
− +
= + −
− +
Lời giải Đặt 42 a= ⇒a4 =2, a4 = = 2
Ta có:
( )
2
2 2 4 2
2 2 2
2
1
a a a a a a a 1
E a
1 a a a a a a a a
+ +
− + + +
= + − = − + − = − =
− + +
Vậy E =
Dạng 3: Các tốn tính tổng dãy có quy luật
Thí dụ Rút gọn:
1 1
S
2 1 2 1999 1998 1998 1999 2000 1999 1999 2000
= + + + +
+ + + +
Lời giải
(85)Với k N,k 1:∈ ≥
( ) (( ))2 2( ) ( ) ( ) ( )
k k k k k k k k
1 1 1
k k
k k k k k k k k k k
+ − + + − +
= = = −
+
+ + + + − + +
Áp dụng (1) với k = 1, 2, 3, , 1999 ta
1 1 ;
2 1 2
1 1 ;
3 2 3
1 1
2000 1999 1999 2000 1999 2000
= − +
= −
+
− − − − − − − − − − − − −
= −
+
Cộng đẳng thức theo vế ta được:
1 1
S
2 1 2 1999 1998 1998 1999 2000 1999 1999 2000
1 1 1
1 2 1999 2000
= + + + +
+ + + +
= − + − + + −
1
1 2000
2000 2000 20 20
= −
− =
− =
Thí dụ Rút gọn:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
A
1 3 1998 1999 1999 2000
= + + + + + + + + + + + +
Lời giải Với k N,k :∈ ≥
( ) ( )
2
2
1 1 2
1
k k k 1 k k k k k
+ − = + + + − −
− − −
−
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
1 2 2
1
k k k k k
k
1 1
1
k k k
k
1 1
1 1
k k k
k
= + + + − + −
− −
−
⇒ + + = + −
−
−
⇒ + + = + −
− −
(86)Áp dụng (1) với k = 1, 2, 3, , 2000 ta
1 1 1 1
A 1 1
2 3 1998 1999 1999 2000
1
1998
2 2000
= + − + + − + + + − + + −
= + −
Thí dụ Rút gọn biểu thức
; Lời giải
Ta có:
1 2 1
1 2
1
3
2 3
1
1
1 1
n n
n n
n n n n n n
Do đó:
1 1
1
1 2 3
A n n n
n n
Thí dụ
a) Chứng minh rằng: 1
1+ 2+ 3+ + + 79+ 80 >
b) Chứng minh rằng: 1 1 2 3 n n n
+ + + + > −
+ +
c) Chứng minh: 2 1 1 1
n n
n
− < + + + + + < − với số nguyên dương n≥2
Lời giải
a) Xét 1
1 79 80
A= + + +
+ + + ,
1 1
2 80 81
B= + + +
+ + +
Dễ thấy A>B
Ta có 1 1
1 2 3 79 80 80 81
A+ =B + + + + +
+ + + + +
x 0; x 1; x≠ ≠ ≠ −1
(87)Mặt khác ta có: ( )
( )( )
1
1
1 1
k k
k k
k k k k k k
+ −
= = + −
+ + + + + −
Suy A+ =B ( 2− 1) (+ 3− 2)+ + ( 81− 80)= 81 8− = Do A>B suy
2A> + = ⇔ >A B A
b) Để ý rằng:
( )
1 1
1 ( 1)
k k k k k k k k
− = <
+ + + + + với k nguyên dương
Suy 1 1 1 1
2 1
VT
n n n
> − + − + + − = −
+ +
c) Đặt 1 1
1
P
n
= + + + + +
Ta có: 2
1
n+ n+ < n = n < n+ n− với số tự nhiên n≥2
Từ suy 2( ) 2 2( 1)
1
n n n n
n n n n n
+ − = < < = − −
+ + + − hay
( ) ( )
2 n n n n
n
+ − < < − −
Do đó: 2( 2− 1) (+ 3− 2)+ + ( n+ −1 n)<T
( ) ( ) ( )
1 2
T < + − + − + n− n− Hay n− < <2 T n−1
Thí dụ Chứng minh với số nguyên dương n>2, ta có:
1 10 3 1
3 12 3 3
n n
n n n
− +
<
+ +
Lời giải
Để ý phân số có tử mẫu đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức
( 2 )
1
2 2
n n
n n n n
n n
−
< ⇔ < + − ⇔ >
+ Kí hiệu
1 10 3 12 3
n n
P
n n
− +
=
+ Ta có:
2 10 3 1 10 3
3 12 3 3 12 3
n n n n
P
n n n n
− + − +
= + +
(88)1 3 10 3
3 10 3 12 3
n n n n
n n n n
− − +
< − + +
1 3 3 3 10 3 3
n n n n
n n n n
− − +
<
− + + ( ) ( )
1
3 3n n
= =
+ +
Từ suy
3
P n <
+ Bất đẳng thức chứng minh
Dạng 4: Bài toán rút gọn biểu thức chứa hay nhiều ẩn
Thí dụ Rút gọn: ( )
2
4
2 1
a
a a a a
B a 0,a
1 a a a
+ +
− +
= + − > ≠
− +
Lời giải Đặt t= 4a t 0( > )⇒ a t ,a t= =
Khi đó:
2
2 2 4
2 1
t t t t t
B
1 t t t
+ + − +
= + −
− +
( )
( )
2
2 2 2
2
2
2
2 2 2
1 1 1
1
t t 1 t t t t t
1 t t t t t
1 t 1
t t t t t
0
+
+
−
= + + − = − + + −
− + +
+
= − = −
+ =
Thí dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2012-2013)
Rút gọn biểu thức:
A = x− 50− x + 50 x + x −50
với x≥ 50
Lời giải
Ta có :
( ) ( )( )
( )( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2
A = x - 50 - x + 50 x + x - 50 A = x - 50 + x + 50 - x - 50 x + x - 50
A = 2x - x - 50 x + x - 50 A = x - x + 50
⇒
⇒ ⇒
Vậy:
A = 100
Nhưng theo giả thiết ta thấy
A = x - 50 - x + 50 x + x - 50
<
A= -10 ⇒
(89)Thí dụ (Trích đề thi HSG Hải Dương năm 2013-2014)
Rút gọn biểu thức ( )
2 3
2
1 x (1 x) (1 x) A
2 1 x
− − + + −
=
− − với − ≤ ≤1 x 1
Lời giải
Ta có: ( )( )
2
2
1 x x x x
A
2 x
− − + + − − −
=
− −
( )
2
1 x x x
= − − + + −
( )( )2 ( )( )
2 2
1 x x x 1 x 2 x
= − − + + − = − − + −
2 2x
= = x
Thí dụ (Trích đềthi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)
Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn (a2 +b2−2 a b)( + )2+(1 ab)− = −4ab Chứng minh ab+ số hữu tỉ
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
⇒ + − + + + + =
⇔ + − + + + + =
⇔ + − + = ⇒ + +
⇔ + = + ⇔ + = + ∈ ∈
2 2
4 2 2
2
2 2
2
(GT) a b 2(ab 1) (a b) ab
a b 2(a b) (1 ab) (1 ab)
a b (1 ab) (a b) -(1 ab)=0
(a b) ab a b ab Q; do: a;b Q
Thí dụ (Trích đềthi HSG T.P Bắc Giang năm 2016-2017)
Cho biểu thức M=a a b b a b
a b a b b a
− − −
− + − với a, b > a≠b
Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết (1 a b− )( − )+2 ab 1= Lời giải
Rút gọn M= ab
a− b với a, b > a≠b Ta có
( )( )
( )
− − + = ⇔ − − + + =
⇔ = − ⇔ = ⇔ =
− −
2
1 a b ab ab a b ab
ab ab
ab a b 1
a b a b
(90)+ Nếu a > b >
ab
a b a b 0; ab 0
a b
ab ab ab 1 M 1
a b a b a b
⇒ > ⇒ − > > ⇒ > −
⇒ = ⇒ = ⇒ =
− − −
+ < a < b
ab
a b a b 0; ab 0
a b
ab ab ab 1 M 1
a b a b a b
⇒ < ⇒ − < > ⇒ < −
− −
⇒ = ⇒ = ⇒ = −
− − −
Dạng 4: Bài toán rút gọn biểu thức tốn liên quan Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử
Bước 3: Chia tử mẫu cho nhân tử chung tử mẫu Bước 4: Khi phân thức tối giản ta hồn thành việc rút gọn Dạng Tính giá trị biểu thức P cho x = k (k số)
Phương pháp:
- Bước 1: - Đặt điều kiện x để biểu thức P có nghĩa
- Bước 2: - Rút gọn biểu thức P rút gọn k nếu biểu thức chứa phức tạp - Bước 3: Thay giá trị x = k vào biểu thức rút gọn tính kết
Ví dụ minh họa:
Thí dụ Cho biểu thức: P x : x x x x x
= +
+ +
, với x >
a) Rút gọn biểu thức P
b)Tìm giá trị P x =
Lời giải a) Điều kiện: x 0>
( )
( )
x x
1 x x x x x x
P :
x x x x x x x x
+ +
+ + +
= + = =
+ + +
b) Ta có x = thì:
x x 4 P
2
x
+ + + + + +
= = = =
(91)Thí dụ (Trích đề thi HSG huyện lớp năm 2013-2014) Cho biểu thức: P x y x y : x y 2xy
1 xy
1 xy xy
+ − + +
= + +
− + −
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị P với x
2
=
+
Lời giải
a) ĐKXĐ: x 0; y 0; xy 1≥ ≥ ≠ . Mẫu thức chung – xy
( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) xy x y 2xy
P :
1 xy xy
+ + + − − − + + +
=
− −
x x y y y x x x y y y x xy
1 xy x y xy
+ + + + − − + −
=
− + + +
2( x y x) x(1 y) x
(1 x)(1 y) (1 x)(1 y) x
+ +
= = =
+ + + + +
b) Ta có: x 2(2 3) 3 ( 1)2
2
−
= = = − + = −
− +
x = ( 1)− = 3 1− = 3 1−
2( 1) P
1 ( 1) 3 2( 1)
P
13
− −
= = =
+ − + − +
− +
= =
−
Thí dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2011-2012) Cho biểu thức P = x x : x 1
10 x
3 x x x 1 x
− + − +
+ −
+ − − − − − −
1) Rút gọn P
2) Tính giá trị P x = 2 2 2 2
+ − −
− +
Lời giải
Điều kiện: x 10< ≠
1)P x 9: x
10 x x 1 x 3
− + − +
=
− − − −
(92)( )
x x 3( x 3)
P
10 x 2 x 4
− − −
− + =
− − +
3 x 1(x 10)( x 2) 3(x 2) P
2(10 x)(x 4) 2(x 5)
− − − − −
= = −
− − − −
2) x 4 2 4 2 4(3 2)2 4(3 2)2 3 2 3 2 2 2
+ −
= − = + − − = + − −
− +
=> x =1+ ( 1) 2− − = x>1 Vậy P =
Dạng 2. Tìm giá trị biến x để biểu thức P = k (k số) Phương pháp:
- Bước 1: - Đặt điều kiện x để biểu thức P có nghĩa - Bước 2: - Rút gọn biểu thức P
- Bước 3: - Giải phương trình P – k =
- Bước 4: Đối chiếu điều kiện x kết luận Ví dụ minh họa:
Thí dụ Cho
9 3
x x x
P
x
x x
+
= + −
−
+ − , với x≥0,x≠9
1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị x để P=
Lời giải
1) ( ) ( )
( )( )
3 3 3
3
3
x x x x x
P
x
x x
− + + − −
= =
+
− +
2) 3 36
3 3
P x x
x
= ⇔ = ⇒ + = ⇔ =
+ (thỏa mãn ĐKXĐ)
Thí dụ (Trích đềthi HSG Ninh Bình năm học 2012-2013)
Cho biểu thức: P = x - x2 - 2x + x + 2(x - 1) (x > 0, x 1)
x + x + x x - ≠
1 Rút gọn P
2 Tìm giá trị x để P =
Lời giải
1/Ta có: P x( x3 1) x(2 x 1) 2( x 1)( x 1)
x x x x
− + − +
= − +
+ + −
(93)x( x 1)(x x 1) x 2( x 1)
x x
− + +
= − − + +
+ +
x x
= − +
2/ Ta có: P = ⇔ x− x 1+ = ⇔ x− x 0− =
Đặt x = t, t 0≥ ta pt t t 02 t (L) t (TM)
= − − − = ⇔ =
Ta có t = ta x = ⇔x = (thỏa mãn ĐK) Vậy x = P =
Thí dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Hà Nam năm 2012-2013)
Cho biểu thức: P x y xy
( x y)(1 y) ( x y)( x 1) ( x 1)(1 y)
= − −
+ − + + + −
1 Rút gọn biểu thức P
2 Tìm giá trị x, y nguyên thỏa mãn P =
Lời giải
1) Điều kiện : x ; y ; y ; x y 0≥ ≥ ≠ + ≠
( )
( )( )( )
x(1 x) y(1 y ) xy x y P
x y x y
+ − − − +
=
+ + −
( ) ( )
( )( )( )
(x y) x x y y xy x y
x y x y
− + + − +
=
+ + −
( )( )
( )( )( )
x y x y x xy y xy
x y x y
+ − + − + −
=
+ + −
( ) ( ) ( )( )
( )( )
x x y x y x x
1 x y
+ − + + + −
=
+ −
( )
x y y y x
1 y
− + −
=
−
( )( ) ( )
( )
x y y y y
1 y
− + − −
=
−
x xy y
= + −
2) P = ⇔ x + xy − y= với x ; y ; y ; x y 0≥ ≥ ≠ + ≠
⇔ x 1( + y) (− y 1+ )= ⇔1 ( x 1− )( + y)=1 Ta có: + y 1≥ ⇒ x 1− ≤ ⇔ ≤ ≤0 x ⇒ x = 0; 1; 2; ; Thay vào P ta cặp giá trị (4;0) (2;2) thỏa mãn
Dạng 3. Tìm giá trị biến x để biểu thức P = A (A biểu thức chứa ẩn) Phương pháp:
(94)- Bước 1: - Đặt điều kiện x để biểu thức P có nghĩa - Bước 2: - Rút gọn biểu thức P
- Bước 3: - Giải phương trình P – A =
- Bước 4: Đối chiếu điều kiện x kết luận Ví dụ minh họa:
Thí dụ Cho biểu thức
2
x x
P
x x x x
− +
= +
+ + −
với x>0 x≠1 a) Chứng minh P x
x +
=
b) Tìm giá trị x để 2P=2 x+5
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( () ( ) )
1
2 1
1
2
x x
x x x x x
P
x x x
x x x x
− + + − + + +
= = =
+ − + −
b) Theo câu a) P x
x + = 2
2P x x x
x +
⇒ = + ⇔ = + x+ =2 2x+5 x⇔2x+3 x− =2 x>0
( ) 1
2
2
x x x x
⇔ + − = ⇔ = ⇔ =
Dạng 4. Tìm giá trị ẩn đê biểu thức thỏa mãn bất đẳng thức A > k ( ; ; k)≥ ≤ <
với k số.
Phương pháp:
- Bước 1: - Đặt điều kiện x để biểu thức A có nghĩa - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A
- Bước 3: - Giải bất phương trình A– k > - Bước 4: Đối chiếu điều kiện x kết luận Ví dụ minh họa:
Thí dụ Cho biểu thức 1
1
x A
x x x x x
= − ÷
+ + + +
, với x>0
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị x để A>
Lời giải
(95)a) Với x>0, ta có
( ) ( ) ( )
2
2 1
1 1
1 ( 1)
1
x x x x
x x x x x
A
x x
+ + − +
− ⋅ = ⋅
+ +
=
+
(1 )( 1)
x x x
x x
− + −
= =
b) Với x>0, ta có
1 1
2
2
x
A x x x x
x −
> ⇔ > ⇔ − > ⇔ < ⇔ < Vậy giá trị x cần tìm
3 x < <
Thí dụ Cho biểu thức 2
1
x x x
M
x
x x x
− −
= − ⋅
− − +
, với x>0, x≠1, x≠4
a) Rút gọn M b) Tìm x để M <4
Lời giải Điều kiện x>0, x≠1, x≠4 Ta có
( )( ) 2
4 1
1
x x x x x x
x x x
x x x x
M
− − − − −
− ⋅ = ⋅ =
− − − −
=
Ta có x>0 nên x2 >0
2
2
4 1
4 4 (2 1)
2 x
M x x x x
x −
< ⇔ < ⇔ − + > ⇔ − > ⇔ ≠
Vậy với x>0,
x≠ , x≠1, x≠4 M <4
Thí dụ Cho biểu thức A= 3( 3 12− +2 27 ,)
1
1
x x x x
B
x x
+ −
= + ⋅ −
+ −
với x>0,x≠1
a) Rút gọn biểu thức A B
(96)b) Tìm giá trị x cho A B⋅ ≤0 Lời giải
a) Ta có A= 3( 3 12− +2 27)= 3( 3− +6 3)=3
Với x>0 x≠1, ta có
2
1
1 1
x x x x x x x x
x x x x
B= + + ⋅ − − = + + − +⋅ −
+ − + −
( ) (2 ) ( ) ( )2
1
1 1
1
x x
x x x
x x
+ − −
= ⋅ = − + ⋅ − = −
+ −
( )
0 1
A B⋅ ≤ ⇔ −x ≤ ⇔ ≥x Vậy x≥1 thỏa yêu cầu toán
Dạng So sánh biểu thức A với k (hằng số) với biểu thức B (chứa ẩn) Phương pháp:
- Bước 1: - Đặt điều kiện x để biểu thức A có nghĩa - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A
- Bước 3: - Xét dấu hiệu A – k A – B đưa kết luận Ví dụ minh họa:
Thí dụ Cho biểu thức ( )
2
1 10
1
a a
B
a a a a a a
−
−
= + ⋅
− − − +
(với a>0,a≠1)
a) Rút gọn biểu thức B
b) Đặt C =B a( − a+1) So sánh C
Lời giải
a) Ta có a a− −a a+ =1 a( a− −1) ( a− =1) ( a−1)(a−1)
Do
( )( )
( )2
1 10
1 1
a a
a a a a
B
− −
= + ⋅
− − −
( )
( ) ( ) ( )
2
6 10 1
a a a
a
a a
− + − −
= ⋅
+ ⋅ −
4
4 ( 1)
a
a a a
+
= =
+
(97)b) Ta có C a a a 1 1
a a
− +
= = + − ≥ − =
Đẳng thức xảy a=1 (loại) Vậy C>1 Ví dụ 2: Cho biểu thức 1 :
1
a M
a a a a a
+
= +
− − − +
với a>0 a ≠1 a) Rút gọn biểu thức M
b) So sánh M với
Lời giải a) Điều kiện: a>0 a≠1
1 1
:
1
a M
a a a a a
+
= +
− − − +
( ) ( )2
1 1
:
1 1
a a
a a a
+
= +
− − −
( )
( ) ( )( )
( )( )
2
1 1
1
1
1 1
1
a a a
a
a
a a a a a
a a
− + −
+
= =
+
− − +
− =
b) Xét hiệu: M a 1
a a
− −
− = − = < với a>0 a≠1 Vậy M <1
Ví dụ 3:Cho biểu thức
2
1 1
2
1
x x x
P
x x x
− +
= − −
+ −
a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với − x
Lời giải a) Điều kiện: x>0 ; x≠1
( ) ( )
( )( )
2
2 2
2
1
1 1
2
1 1
4 1
x x
x x x x
P
x x x x x x
x x x
x x x
− − +
− + −
= − − =
+ − + −
− − −
= =
−
Vậy P x x −
= với x>0 ;x≠1
b) Xét hiệu P ( x) x x x
x x
− +
− − = + =
Với x ; x x P ( x)
x +
> ≠ ⇒ > ⇒ − − >
(98)2
P x
⇒ > −
Dạng So sánh biểu thức rút gọn A với A hoặc A2 với A Phương pháp:
Bước 1: + Xác định điều kiện x để A>0 (nếu A chưa phải biểu thức dương) Bước 2: + So sánh Avới cách xét hiệu A−1theo điều kiện x đã có:
Bước 3: - Nếu 0< <A 1thì A> A. Bước 4: - Nếu A>1 thì A<A.
+ Chú ý: Dạng cịn có biến thể so sánh biểu thức rút gọn A với A2 (chỉ xét với biểu
thức A dương)
Ví dụ 1: Cho biểu thức 1 : 2
1
x x x x x x
A
x
x x x x
+ − + −
= − +
−
− +
với
1
0; ;
4
x> x≠ x≠ a) Rút gọn biểu thức A b) So sánh A với A
Lời giải a) Điều kiện: 0; 1;
4
x> x≠ x≠
1 2 :
1
1
x x x x x x
A
x
x x x x
+ − + −
= − +
−
− +
( ) (( )()( )) ( ( )( )( ))
1 1 2
:
1 1 1
x x x x x
x
x x x x x x x
+ − + −
−
= +
− − + + − +
( ) ( )
2 1
:
1
1
x x
x
x x x
x x
−
= − +
− − +
−
( ) ( ) ( )( ( ) )
1
2
: :
1 1
x x x x
x
x
x x x x x
− + + −
−
= −
− − − +
( ) (: )(1 )
1 1
1
x x x x x
x x x =
− − − +
− + =
b) Biến đổi A x x x 1
x x
− +
= = + −
(99)Áp dụng BĐT cosi có: x
x
+ > với 0; 1; x> x≠ x≠
( )
1
1 1 1
A x A A A A
x
⇒ = + − > ⇒ > ⇒ − > ⇒ − >
A A A A
⇒ − > ⇒ >
Ví dụ 2: Cho biểu thức :
4 2
x A
x x x
= − −
− −
a) Rút gọn biểu thức A b) So sánh A với A2
Lời giải a) Điều kiện: x>0 ; x≠4
( )( )
( )( )
1 2
:
4 2 2
2 2
2
2
x x x x
A
x x x x x
x x x
x
x x
+ + −
= − =
− − − − +
+ − +
= =
+
− +
b) Với x>0 ; x≠4
x A
x + = >
+
Mà 1
2
x
x x A
x + + < + ⇒ = <
+
Vậy 0< <A với x>0 ;x≠4 ⇒A2< A với x>0 ;x≠4
Dạng Chứng minh với giá trị x A > k ( ; ; k)≥ ≤ < với k số Phương pháp:
- Bước 1: - Đặt điều kiện x để biểu thức A có nghĩa - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A
- Bước 3: - Chứng minh hiệu A– k > ∀x
Thí dụ (Trích đề Thi HSG huyện Bình Giang năm 2012-2013)
Cho biểu thức: A x x 1 x x x x 1 x
+ +
= + +
− + + − với x 0, x 1≥ ≠
1) Rút gọn A
2) Chứng tỏ rằng: A <
Lời giải
Ta có: 1)
( )(x ) x 1
A
x x x
x x x
+ +
= + −
+ + −
− + +
(100)( )( )
( )( )
x x x x A
x x x
x x
A
x x x
+ + − − − − =
− + +
− =
− + +
( )
( x x 1)( ) x
A
x x
x x x
−
= =
+ +
− + + , với x 0, x 1≥ ≠
2) Xét ( )
2 x
1 A x
3 3 x x 3(x x 1)
−
− = − =
+ + + +
Do x 0, x 1≥ ≠
( )2
x x x x
2
⇒ − > + + = + + >
1 A
⇒ − > ⇔ A
3 <
Thí dụ (Trích đề thi HSG huyện Cam Lộ)
Cho biểu thức: P =
x +1 x x +1 x - x +1
3
− +
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P ≥
Lời giải
a) ĐKXĐ: x 0≥ P =
x +1 x x +1 x - x +1
3
− +
=
( )( )
1
x +1 x +1 x - x +1 x - x +1
3
− +
= ( )
( )( ) ( )( )
x - x +1 x +1 x + x
x +1 x - x +1 x +1 x - x +1
3
− +
= = x
x - x +1
b) x ≥0
x - x+1 = x
1 3
2 4
− + ≥
Do đó: P= x
x - x +1
≥
Thí dụ (Trích đềthi HSG T.P Đà Nẵng năm học 2013-2014)
(101)Cho biểu thức: M a a a a a a2 a
a a a a a a
+ − − + −
= + +
− − với a > 0, a ≠
Chứng minh M 4.>
Lời giải
Do a > 0, a ≠ nên: a a ( a 1)(a a 1) a a
a a a( a 1) a
− = − + + = + +
− −
2
a a a a (a 1)(a 1) a(a 1) (a 1)(a a 1) a a
a a a a(1 a) a(1 a) a
− + − + − − − − − + − + −
= = =
− − −
⇒ M a a
+
= +
Do a 0; a 1> ≠ nên: ( a 1)− >0 ⇔ a a+ >
⇒ M a a
> + =
Dạng 8. Tìm giá trị x để biểu thức thỏa mãn bất đẳng thức A > B( ; ; B)≥ ≤ <
với B biểu thức chứa ẩn.
Phương pháp:
- Bước 1: - Đặt điều kiện x để biểu thức A có nghĩa - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A
- Bước 3: - Giải bất phương trình A– B > - Bước 4: Đối chiếu điều kiện x kết luận Ví dụ minh họa:
Thí dụ Cho biểu thức :
4 2
x x x
A
x x x x x
+
= +
+ + + + , với x>0 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm tất giá trị x để
3
A x ≥ Lời giải
Ta có : 12 :
4 2 ( 2) ( 2)
x x x x x x
A
x x x x x x x x x
+ +
= + = +
+ + + + + + +
2
1 :
( 2) 2
x x x
x x x
+
= +
+ + +
(102)2
2
1 (1 )
: :
( 2) ( 2)
1
( 2) (1 ) ( 2)
x x x x x x
x x x x
x x
x x x x x
+ + + +
= =
+ + + +
+ +
= ⋅ =
+ + +
Ta có 1 1 1( 0)
3
3 ( 2)
A do x
x x x x x
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ >
+ +
2 1
x x x
⇔ + ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
Vậy để
3
A x
≥ 0< ≤x
Thí dụ Cho hai biểu thức
1
x A
x + =
−
3 2 3
x B
x x x
+
= −
+ − + với x0, x≠1
a) Tính giá trị biểu thức A x=9 b) Chứng minh
1
B x =
−
c) Tìm tất giá trị x để A x B + Lời giải
a) Với x=9 ta có A= b) Với x0, x≠1 ta có
3 3 2( 1)
2 3 ( 3)( 1) ( 3)( 1)
x x x x
x x x x x x x x x
B + − = + − = + − − =
+ − + + − + + − −
=
c) Ta có 4:
1
A x
x
B x x
+
= = +
− −
( )2
5 4
4 A x
x x x x
B + ⇔ − + ⇔ − ⇔ =
Dạng 9. Tìm giá trị của ẩn để biểu thức nhận giá trị nguyên
Phương pháp 1: Đưa biểu thức dạng chứa phân thức mà tử nguyên, tìm giá trị ẩn để mẫu ước tử
- Bước 1: - Đặt điều kiện x để biểu thức A có nghĩa
(103)- Bước 2: - Rút gọn biểu thức A đưa dạng phân thức có tử số nguyên
- Bước 3: - Lý luận để biểu thức số nguyên mẫu số phải ước tử, từ tìm giá trị ẩn
- Bước 4: Đối chiếu điều kiện x kết luận Ví dụ minh họa:
Thí dụ Cho biểu thức
9 3
−
= − −
−
− +
a a
A
a
a a với a≥0,a≠9 a) Rút gọn A
b) Tìm số nguyên a để A nhận giá trị nguyên Lời giải
a) Với a≥0,a≠9, ta có
( 3) (3 3)
3 2 11
9 9 9
3
+ −
− −
− − = − − =
− − − − −
− +
= a a a a a a
a a a a
A
a
a a
b) 11 9∈ =
−
a
A 11 chia hết cho a−9 Do
9 10 9 11 20 11 (l)
a a
a a
a a
a a
− = =
− = − =
⇔
− = = − = − = −
Vậy a∈{8;10; 20} A nhận giá trị nguyên
Thí dụ (Trích đề thi HSG huyện Thanh Oai 2014-2015)
Cho biểu thức A = x x : 25 x x x
x 25 x x 15 x 5 x 3
− − + −
− − +
− + − + −
1 Rút gọn A
2 Tìm số nguyên x để A nguyên
Lời giải
1) Điều kiện x 0,x 25,x 9≥ ≠ ≠ Rút gọn A
x
=
+
2) x ∈ z => x 3+ Ư(5)
(104)=> x (loai)
x x
+ =
+ = => =
Thí dụ (Trích đề thi HSG huyện Thanh Oai năm 2015-2016)
ChoM x : x x x
x x x x x
+ + +
= − + +
+ − − − +
1) Rút gọn M
2) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên
Lời giải
ĐKXĐ: x 0;x 4,x *≥ ≠ ≠ ( ) 1)Rút gọn M: Với x 0;x 4,x *≥ ≠ ≠ ( )
Rút gọn ta được: M x x
− =
+
2) M x x x 3
x x x x x
− + − +
= = = − = −
+ + + + +
Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3( x 1+ ⇒) ( x U 3+ ∈) ( ) Ư(3)∈ ± ±{ 1; 3} Vì x 0≥ ⇒ x 0≥ ⇒ x 1 + ≥
Nên x 1;3+ ∈{ }
Xảy trường hợp sau:
) x 1 x x
+ + = ⇔ = ⇔ = (TMĐK (*))
) x x x
+ + = ⇔ = ⇔ = (không TMĐK (*) loại ) Vậy x = M nhận giá trị nguyên
Phương pháp 2: Đánh giá khoảng giá trị cùa biểu thức, từ khoảng giá trị ta có giá trị nguyên mà biểu thức đạt
- Bước 1: - Đặt điều kiện x để biểu thức A có nghĩa - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A
- Bước 3: - Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A đạt được, từ khoảng giá trị ta có giá trị nguyên mà biểu thức A đạt
- Bước 4: Giải phương trình vế trái biểu thức A rút gọn, vế phải giá trị nguyên nằm miền giá trị A, đối chiếu điều kiện kết luận
Thí dụ Cho biểu thức 24
9
= +
− −
−
x x
x A
x
7 =
+ B
x với x≥0, x≠9
1 + − =
x x M
(105)a) Rút gọn A
b) Tìm số nguyên x để P=A B nhận giá trị nguyên Lời giải
a) ta có:
( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
24 5 24
3 3 3
3 8
3 3
2 24
+ + − + −
= + = =
− + − + −
− +
−
+
= =
+
+ −
−
x x x x x
A
x x x x
x x x
x
x
x x
x
x x
b) ta có:
8 7
3
3
+
= = = ⇒ < ≤
+ + +
x
P A B P
x x x
Vậy giá trị nguyên mà P đạt
Với P = ta có: 7 16 ( )
3= ⇒ + = ⇒ = ⇒ =
+ x x x TM
x
Với P = ta có: 2 1 ( )
2 3= ⇒ + = ⇒ = ⇒ =
+ x x x TM
x
Thí dụ (Trích đềthi HSG tỉnh Hải Phòng năm 2016-2017)
Cho biểu thức = + + − + − + −
− −
2
a a a a a a a B
a a a a a a với a > 0, a ≠ Với giá trị a biểu thức A=
B nhận giá trị nguyên?
Lời giải.
Với điều kiện a 0; a 1> ≠ thì:
( )( )
( ) ( )(( )()( ) )
− + + − + − +
+
= + −
− − +
a a a a a a a
a B
a a a a a a
( + )
+ + + − +
= + − =
2 a a a a a a
B
a a a a
Khi
( )
= = >
+
6 a
A
B a 1 Ta thấy với a a< ≠ ⇒ − a 0+ >
( )
( )
2
2 a
a a
a
⇔ + > ⇔ <
+
(106)Do N 2< <
Để N có giá trị ngun N =
⇔ a
a a 1+ + = ⇔ a a 0− + =
⇔ ( a 2)2 a a ( )
a a ( )
= + = +
− = ⇔ ⇔
= − + = −
tháa m·n
tháa m·n
Vậy a 3.= ±
Thí dụ (Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011-2012) Cho biểu thức P x x x 1 2x x2
x x x x x x x x
− + + −
= + +
− + + −
Tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên Lời giải
Điều kiện: x 0, x 1> ≠ Khi ta có Rút gọn biểu thức ta P x
x x
+ =
+ +
Ta có Px+(P x P 0− ) + − = , ta coi phương trình bậc hai x Nếu P 0= ⇒ − x 0− = vơ lí, suy P 0≠ nên để tồn x phương trình có
( )2 ( )
P 4P P
∆ = − − − ≥
( )2
2 4
3P 6P P 2P P
3
⇔ − + + ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ − ≤
Do P nguyên nên (P 1− )2
+) Nếu (P 1− )2 = ⇔ = ⇔ =0 P x không thỏa mãn +) Nếu (P 1)2 P P 2x x x
P
=
− = ⇔ = ⇒ = ⇔ + = ⇔ =
khơng thỏa mãn
Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn
Phương pháp 3: Đặt biểu thức tham số nguyên, tìm khoảng giá trị tham số, từ khoảng giá trị ta xét giá trị nguyên tham số, giải tìm ẩn
- Bước 1: - Đặt điều kiện x để biểu thức A có nghĩa - Bước 2: - Rút gọn biểu thức A
- Bước 3: - Đánh giá khoảng giá trị mà biểu thức A đạt được, từ khoảng giá trị ta có giá trị nguyên mà biểu thức A đạt
- Bước 4: Giải phương trình vế trái biểu thức A rút gọn, vế phải giá trị nguyên nằm miền giá trị A, đối chiếu điều kiện kết luận
(107)Thí dụ Cho biểu thức 24
9
= +
− −
−
x x
x A
x
7 =
+ B
x với x≥0, x≠9 a) Rút gọn A
b) Tìm số nguyên x để P=A B nhận giá trị nguyên Lời giải
a) ta có:
( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
24 5 24
3 3 3
3 8
3 3
2 24
+ + − + −
= + = =
− + − + −
− +
−
+
= =
+
+ −
−
x x x x x
A
x x x x
x x x
x
x
x x
x
x x
b) ta có:
8 7
3
+
= = =
+ + +
x P A B
x x x
Vậy giá trị nguyên mà P đạt cà
Đặt ( 0) 7 0 { }1;
3
−
= > ⇒ = − = ≥ ⇒ − ≥ ⇒ < ≤ ⇒ = +
n
n n x n n n
n n
x
Với n = ta có: 7 16 ( )
3= ⇒ + = ⇒ = ⇒ =
+ x x x TM
x
Với n = ta có: 2 1 ( )
2 3= ⇒ + = ⇒ = ⇒ =
+ x x x TM
x
Thí dụ (Trích đề thi HSG huyện Thanh Oai năm 2015-2016)
ChoM x : x x x
x x x x x
+ + +
= − + +
+ − − − +
1) Rút gọn M
2) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên
Lời giải
ĐKXĐ: x 0;x 4,x *≥ ≠ ≠ ( ) 1)Rút gọn M: Với x 0;x 4,x *≥ ≠ ≠ ( )
Rút gọn ta được: M x x
− =
+
2 + − =
x x M
(108)2) M x x x 3
x x x x x
− + − +
= = = − = −
+ + + + +
Đặt = ( > )⇒ = − = − +
3 n n 0 x 1 n
n n
x
Do x nên ≥ n n 0 n n 1;2;3− ≥ ⇔ − ≥ ⇒ < ≤ ⇒ ={ } n
Xảy trường hợp sau:
+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =
+
3
) x x x
x (không TMĐK (*) loại)
+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =
+
3 1
) x x x
2
x ( loại x không nguyên (*) )
+ = ⇔ + = ⇔ =
+
3
) x 1 x
x ( TMĐK (*) )
Vậy x = M nhận giá trị nguyên
Dạng 10. Tìm giá trị ẩn để biểu thức đạt GTNN GTLN
Phương pháp 1: Thêm bớt dùng bất đẳng thức Cauchy đánh giá dựa vào điều kiện
Thí dụ 37 (Trích đề thi HSG huyện Thanh Oai 2014-2015)
Cho biểu thức A = x x : 25 x x x
x 25 x x 15 x 5 x 3
− − + −
− − +
− + − + −
1 Rút gọn A
2 Với x≥0, x ≠25, x ≠9 tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = A(x 16)
+
Lời giải
b) Điều kiện x 0,x 25,x 9≥ ≠ ≠ Rút gọn A
x
= + b) Ta có :
A(x 16) 5(x 16) x 16 B
5 5( x 3 x 3
+ + +
= = =
+ + =
25 25
x x
x x
− + = + + −
+ +
Theo bất đẳng thức Cauchy:
( )
= + + − ≥ + − = − =
+ +
25 25
B x x 2.5
x x
(109)=> B 4≥ => B = + = ⇔ + = ⇔ = +
25
x x x
x
Thí dụ (Trích đềthi HSG huyện Tư Nghĩa năm 2016-2017)
Cho biểu thức 2 1.( 1 )
3 1 2 1 2 1 2
x x
A
x x
x −
= + +
+ + − +
+
a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị nhỏ A
Lời giải a) Điều kiện x để biểu thức A có nghĩa :
2
2
1
1
2
x
x x
x x
+ ≥
≥ −
+ ≠ ⇔
≠ −
+ ≠
b) Rút gọn biểu thức A
2
3
2
2
2
2 1 ( 2)
.( )
1 2 ( 1)( 1) ( 2)
( 2) ( 2) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 1)
( 1)( 1)
x x x x
A
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x
x x x x x
− −
= + + = +
+ + + − + + − + − +
− − − − +
= − =
+ − + + + − +
− + −
= =
+ − + − +
c) Tìm giá trị nhỏ A Ta có
2
1
1
( )
A
x x
x
− −
= =
− + − +
Ta có A nhỏ
( )
2
x− + đạt giá trị nhỏ Vậy: Giá trị nhỏ A
3
−
x− = 0⇔ x=
Thí dụ Cho biểu thức
( )2
1 1
: ,
1 1
x A
x x x x
+
= +
− −
− với x>0,x≠1 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị lớn biểu thức P= −A x Lời giải
a) Với điều kiện x>0, x≠1 ta có
(110)( ) ( ) ( ) 2
1
1 1 1
:
1 1 1
x
x x x
A
x x x x x x x x
−
+ + −
= + = ⋅ =
− − − +
−
b) Với điều kiện x>0, x≠1 ta có
1 1
9 x 9
P A x x x x
x x x
−
= − = − = − − = − +
Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có
1 1
9 x x x
x x x
+ ≥ ⋅ ⇔ + ≥
Như P≤ −5
Đẳng thức xảy x x
= hay x= Vậy giá trị lớn P −5
9 x=
Phương pháp 2: Dùng miền giá trị
Thí dụ Cho biểu thức
( )2
1 1
: ,
1 1
x A
x x x x
+
= +
− −
− với x>0,x≠1 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị lớn biểu thức P= −A x Lời giải a) Với điều kiện x>0, x≠1 ta có
( ) ( ) ( )
2
1
1 1 1
:
1 1 1
x
x x x
A
x x x x x x x x
−
+ + −
= + = ⋅ =
− − − +
−
b) Với điều kiện x>0, x≠1 ta có
(111)( )
( )
( )2 ( ) ( )
1
9 9
9 1
9 1 *
−
= − = − = − − <
⇔ = − −
⇔ + − + =
⇔ + − + =
x
P A x x x P
x x
P x x x
x P x
x P x
Để tồn P phương trình (*) phải có nghiệm, tức là:
( )2 ( )2 ( )
1 36 36
∆ = P− − ≥ ⇔ P− ≥ ⇔ − ≤ −P do P< ⇔ ≤ −P Như P≤ −5 ( 1) ( 1) 1
2.9 2.9
− − − − −
= P = = ⇒ =
x x
Vậy giá trị lớn P −5 x=
Dạng 11. Chứng minh biểu thức âm dương
Phương pháp:
- Để chứng minh biểu thức A dương ta ( )
1
= + >
A A k k - - Để chứng minh biểu thức A âm ta ( )
1
= − − > A A k k
Ví dụ minh họa:
Thí dụ Cho biểu thức
1
1
:
= −
+ +
+
A
x x
x x
x với x>0,x≠1 a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh A âm với với giá trị x làm A xác định Lời giải
a) Điều kiện: x >
Khi đó:
1
1
:
= −
+ +
+
A
x x
x x
x
( )( ) ( ()( ) )
( )
1
1
2
1 1
2
− +
− + − −
= =
+ − + + − +
− =
− +
x
x x x x x
x x x x x x
x x x
(112)Do
( )
2
1
0; 0
2 2 1
−
− < − + = − + > ⇒ < ∀
− +
x
x x x x x
x x
Vậy A âm với với giá trị x làm A xác định
Thí dụ Cho biểu thức 1
1 1
+
= + +
− + − − +
x x x A
x x x x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh A không âm với giá trị x làm A xác định Lời giải
a) Điều kiện: x≥1
( )( ) ( )
1
1 1
1
1
1
1
2
+
= + +
− + − − +
+
− − + + −
= +
+
− + − −
= − −
x x x A
x x x x x
x x
x x x x
x
x x x x
x x
b) Ta có: A= −x x− =1 (x− −1) x− + =1 ( x− −1 1)2≥ ∀ ≥0 x
A không âm với giá trị x≥1
Dạng 12. Tìm x biết biểu thức P thỏa mãn phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp:
Tìm x để|A| = A
Phương pháp: |A|= ⇔ ≥A A
Cần tìm x thỏa mãn ĐK để A≥0.
Tìm x để |A| = - A.
Phương pháp: |A|= − ⇔ ≤A A
Cần tìm x thỏa mãn ĐK để A≤0.
Tìm x để
A = A
Phương pháp:
0
A = ⇔ ≥A A
Cần tìm x thỏa mãn ĐK để A≥0. Tìm x để |A| > - A.
Phương pháp: |A|> − ⇔ >A A
Cần tìm x thỏa mãn ĐK để A>0.
Tìm x để A> A.
Phương pháp: A> ⇔ < <A A
Cần tìm x thỏa mãn ĐK để 0< <A 1.
(113) Tìm x để A<A.
Phương pháp: A< ⇔ >A A
Cần tìm x thỏa mãn ĐK để A>1.
Tìm x để A b A b A b A b> ; ≥ ; < ; ≤ Phương pháp:
Cần tìm x thỏa mãn ĐK để: A b− >0 ; A b− ≥; A b− <0 ; A b− ≤0
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho biểu thức: 1
x A
x
= + + :
1
1
x
x x x x x
−
− + − −
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A>1
Lời giải
a) Điều kiện: x≥0;x≠1 Kết rút gọn
1
x x
A
x + + =
−
1 1
1 : :
1 1 1 ( 1)( 1)
x x x x x
A
x x x x x x x x x x
+ +
= + + − = + −
− + − − − + +
2
1 1 ( 1)( 1)
:
1 ( 1)( 1) ( 1)
x x x x x x x x x x
x x x x x x
+ + + + + + + + + +
= = =
+ + + + + +
b) Ta có: A> ⇔1
1
x x
x + +
− >
⇔ 1
1
x x
x
+ + − >
− ⇔
1 1
x x x
x
+ + − + > −
2
x x
+ ⇔ >
− 1
x x
⇒ − > ⇔ > ( x+ >2 ) Kết hợp với ĐKXĐ 0≤ <x A>1
Ví dụ 2: Cho biểu thức
( )
2
1
x x
A
x x x
−
= −
− −
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị x A > A
Lời giải
a) Điều kiện: x>0 ; x≠1 Kết rút gọn A x x
−
=
b) Ta có: A > ⇔ <A A
1
0
x
x x
−
⇔ < ⇔ − < (vì x>0 với x>0; x≠ )
(114)⇔ x< ⇔ <1 x
Kết hợp với điều kiện xác định 0< <x A >A
Dạng 13. Tìm giá trị tham sốm để x thỏa mãn phương trình, bất phương trình.
Phương pháp:
- Đối với phương trình ta đưa phương trình dạng f(m).x = k - Xét cáctrường hợp:
Trường hợp 1: f m( )=0, kết luận bất phương trình nhận được.
Trường hợp 2: f m( )≠0, tìm tập nghiệm x, lập luận theo điều kiện nghiệm x thỏa mãn. - Đối với bất phương trình biến đổi bất phương trình dạng sau:
( )
f m x>k hoặc f m x( ) ≥k hoặc f m x( ) <k hoặc f m x( ) ≤k
( )
f m x >k hoặc f m( ) x ≥k hoặc f m( ) x <k hoặc f m( ) x ≤k - Xét trường hợp:
Trường hợp 1: f m( )=0, kết luận bất phương trình nhận được.
Trường hợp 2: f m( )>0, tìm tập nghiệm x, lập luận theo điều kiện nghiệm x thỏa mãn.
Trường hợp 3: f m( )<0, tìm tập nghiệm x, lập luận theo điều kiện nghiệm x thỏa mãn. Ví dụ 1: Cho biểu thức: A= x−2
x
1 9
− −
= −
− −
x x
B
x
x với x>0,x≠9 a) Rút gọn B
b) Cho biểu thức P= A
B, tìm giá trị m để x thỏa mãn P= −m Lời giải
a) Ta có:
( )( )
( )( ) ( )( ) (( )()( ))
1
1
9
3 3 3 3
− + − + − −
− − − + −
= − = = = =
−
− − + − + − + +
x x x x x
x x x x x
B
x
x x x x x x x x
b) Ta có:
2 2 3
:
3
− − − + +
= = = =
+ −
A x x x x x
P
B x x x x x với điều kiện: x>0,x≠9,x≠4 ( )
3
2 3
3 +
= − ⇔ = − ⇔ + = − ⇔ − = ⇔ =
− x
P m m x m x x m x x
m x
Ta có: x>0,x≠9,x≠ ⇒4 x >0, x ≠2, x ≠3
(115)Để x thỏa mãn P = m - thì: 3 3 15 4
>
− >
≠ ⇔ ≠ − ≠ ≠ − m m m m m m
Ví dụ Cho biểu thức: : 4
2
x x x
P
x
x x x x
−
= − + −
− +
với x>0,x≠1,x≠4
a) Rút gọn P
b) Tìm m để với giá trị x>4thì m( x−1 )P< −x
Lời giải a) Ta có: với x>0,x≠1,x≠4
4
:
2
x x x
P
x
x x x x
−
= − + −
− +
4 (2 ) ( 2)
:
(2 )(2 ) ( 2)
x x x x x
x x x x
+ − − + +
=
− + +
4 2
:
(2 )(2 ) ( 2)
x x x
x x x x
− + −
=
− + +
4 ( 2)
2 2
x x x
x x + = + − x x = −
Vậy
1 x P x = −
b) Với x>0,x≠1,x≠4 ta có
1 x P x = −
( )
m x− P< −x ( ) 1
x
m x x
x
⇔ − < −
− ⇔m x.2 < −x 1⇔(2m−1)x< −1
Trường hợp 1: Khi 1
m− = ⇔m= ⇒ < − (vô lý)
Trường hợp 2: Khi 1
m− < ⇔ <m
1 x
m ⇒ >
− , để bất phương trình thỏa mãn với x>4 thì:
1 1 8
4 0
1 2 2
m m
m m m m
− + −
≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
− − − −
Mà 3
8
m m m
− > ⇒ − ≤ ⇔ ≤
Trường hợp 3: Khi 1
m− > ⇔m>
1 x
m ⇒ < <
− , giá trị xlà âm nên khơng thỏa mãn điều kiện yêu cầu toán
(116)Vậy với
m≤ bất phương trình thỏa mãn với x>4
Ví dụ 3. Cho biểu thức
1
x x x x x x x x
P
x x x x x x
+ − − − +
= −
+ + −
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị m để x>2 ta có: P x.( + x+ − >1) m x( − +1) x
Lời giải a) Điều kiện: x≥0 ; x≠1
2
1
x x x x x x x x
P
x x x x x x
+ − − − +
= −
+ + −
( )
( ) ( ) ( )
2 1
1
x x x x x x
P
x x x x x
+ − − − −
= −
−
+ +
( )( )
( )( )
1
2
1 1
x x
x x P
x x x x x
− −
+ −
= −
+ + − + +
2 1
1
x x x
P
x x
+ − − + =
+ +
x x
P
x x
+ =
+ +
b) Ta có:
1
x x
P
x x
+ =
+ + với x≥0 ; x≠1
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
3
3
1
1 (*)
P x x m x x
x x
x x m x x
x x
x x m x x
x m x
m x m
m x m
+ + − > − + +
⇔ + + − > − +
+ +
⇔ + − > − + ⇔ − − − > ⇔ − + − > ⇔ − > −
Trường hợp 1: Khi 1− = ⇔m m= ⇒ >1 (vô lý) Trường hợp 2: Khi 1− < ⇔m m>1
1 m x
m − ⇒ <
− , đó: + Nếu
1 m m − <
− tức x<2 giá trị x>2 khơng thỏa mãn bất phương trình
(117)+ Nếu
m m − >
− tức
3
1 m x
m − < <
− có số giá trị x>2 thỏa mãn bất phương trình (Tập nghiệm bất phương trình (∗) không chứa hết giá trị x>2)
⇒ Trường hợp không thỏa mãn với giá trị x>2 Trường hợp 3: Khi 1− > ⇔m m<1
1 m x
m − ⇒ >
− , để bất phương trình thỏa mãn với x>2 thì:
3
1 1
m m m
m m m
− ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ + ≤
− − −
Mà 1− > ⇒ + ≤ ⇒ ≤ −m m m kết hợp với m<1ta m≤ −1 Vậy với m≤ −1 bất phương trình thỏa mãn với x>2 Ví dụ 4. Cho biểu thức: :
2 2
x x x
P
x x x x x
− +
= − +
− − −
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị a để có x thỏa mãn: P( x+ >1) x+a
Lời giải a) Điều kiện: x>0 ; x≠4
4
:
2 2
x x x
P
x x x x x
− +
= − +
− − −
( ) ( )
2
P
4
x x
x x
x x
x x
− − +
=
− − −
( )
( ) ( )
4
4
x x x
P
x x
− −
=
− −
1
P= − x
b) Ta có: P= −1 x với x>0 ; x≠4 ( 1)
P x+ > x+a
(1 x)( x 1) x a ⇔ − + > +
1 x x a ⇔ − > +
1 (*)
x x a
⇔ + − < −
1
1
4
x x a
⇔ + + − − < −
2
1
2
x a
⇔ + < −
Với
2
1
0
2
x> ⇒ x+ >
(118)2
1
1
4 x a a
⇒ < + < − ⇒ <
Vậy với a<1 có x thỏa mãn: P( x+ >1) x+a BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu (Trường chuyên tỉnh Bình Thuận năm 2019-2020)
Cho biểu thức:
25 5
+ −
= − −
−
+ −
x x x
P
x
x x với x≥0,x≠25 a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm tất giá trị x để P <
Câu (Trường chun tỉnh Bình Định vịng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:
2 5
2 2
A
Câu (Trường chuyên tỉnh Bạc Liêu năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: B=(13−4 7)( +4 3)−8 20+2 43+24 Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Giang chuyên toán năm 2019-2020)
Cho x y, số thực dương
3 3 3 1.
P= x+ x + x y + y+ y + y x + x+ y+ Chứng minh x+3 y+ =1 P2.
Câu (Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh vòng năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức:
4 2
2 38
4
x x x x
A
x x x= +2
Câu (Trường chuyên tỉnh Bến Tre vịng năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức:
1 5
1 5.
5 A
− − +
+ −
=
Câu (Trường chuyên tỉnh Cao Bằng vòng năm 2019-2020)
Cho biểu thức :
1
1
x x
P
x
x x x x x
= − −
+
− + − −
với x≥0, x≠1
(119)a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm tất giá trị x để P≥1
Câu (Trường chuyên tỉnh Cần thơ chuyên toán năm 2019-2020)
Cho biểu thức ( ) ( )
( )
2
4 1
1
x x x x
A
x
x x
− − + + −
= −
−
− − x>1,x≠2
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A số nguyên Câu (Trường chuyên tỉnh DAK NONG vòng năm 2019-2020)
Cho biểu thức: = + + + −
− − − +
a a
P
a a a a a a
2
1 . ( 1) 1
1 1 4
Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P
Câu 10 (Trường chuyên tỉnh Gia lai chuyên tin năm 2019-2020)
Rút gọn biểu thức: 16
2 3
x x x x
P
x x x x
+ − + −
= − −
+ − + − (x ≥ 0,x ≠1)
Câu 11 (Trường chuyên tỉnh Gia Lai không chuyên năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức : 4
2
a a a
P
a a
− − +
=
+ − , với a≥0,a≠4
Câu 12 (Trường chuyên tỉnh Gia lai vòng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức:
5
A= + + − +
+
Câu 13 (Trường chuyên tỉnh Hà Giang vòng năm 2019-2020)
Cho biểu thức: 3 :( () )
2 2
x x y
x x
M
x xy y x x y y x y x xy y
− −
= − +
+ + − − + +
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm số nguyên x cho biểu thức M có giá trị nguyên
Câu 14 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam chuyên toán năm 2019-2020)
Cho biểu thức::
24 2
:
2
x x x x
A
x x x x x x ,
(với x 0, x 4,x 9) 1 Rút gọn biểu thức A
2 Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ
(120)Câu 15 (Trường chuyên tỉnh Hà Nam thi chung năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức sau:
1 A 4 27 12
2 :
1
a a
B
a
a a a
, (với a 0,a 1)
Câu 16 (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chun Tin năm 2019-2020) 1) Tìm điều kiện xác định:
2
A
x x
= −
− −
2) Rút gọn: B=5 12− 27
3) Rút gọn: 1 a C
a
−
= −
−
Câu 17 (Trường chun tỉnh Hịa Bình Chun Tốn năm 2019-2020) Cho biểu thức:
1
2
a a a
A
a a a a
+ − −
= − + −
+ − − +
1)Rút gọn biểu thức A 2)Tìm giá trị a để A =2
Câu 18 (Trường chun tỉnh Hịa Bình dành cho tất thí sinh năm 2019-2020) Rút gọn:
( 3)( 3)
A= − + +
Câu 19 (Trường chuyên tỉnh Hưng Yên Vòng năm 2019-2020) a) Cho a số thực khác −1 Rút gọn biểu thức
2
3
1
1
1 1
3 a
a a
a P
a a
a a
+ +
− +
= ÷ −
− −
− + +
b) Cho số thực x y a, , thoản mãn x2+3 x y4 + y2+3 y x4 =a Chứng minh rằng: x2 +3 y2 =3a2
Câu 20 (Trường chuyên tỉnh Hải Dương chuyên toán năm 2019-2020)
Cho 2
1
x x x x x x x x
P
x x x x
+ − − + −
= + −
− − −
với
1 0, 1,
4 x≥ x≠ x≠ a) Rút gọn P
(121)b)Tìm giá trị x cho P=
Câu 21 (Trường chuyên tỉnh Hải phòng vòng năm 2019-2020)
Cho biểu thức: :
1 1
x x x
P
x x x x x x x (với x0)
Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để P
Câu 22.(Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức A 2x 15 2 x 1
a) Tìm điều kiện xđể biểu thức A có nghĩa b) Tìm x để A3
Câu 23 (Trường chuyên tỉnh Hậu Giang chuyên toán năm 2019-2020) Cho x 1 32 3 4. Tính giá trị biểu thức
4 2 2019.
A x x x x x
Câu 24 (Trường chuyên tỉnh Kon Tum cho tất thí sinh năm 2019-2020) a) Tìm điều kiện x để biểu thức
3
x x
có nghĩa
b) Chứng minh đẳng thức 1
1
a a a a a
a a
a0,a1 Câu 25.(Trường chuyên tỉnh Kon Tum vòng năm 2019-2020)
1) Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức 3 5
10
P
2) Rút gọn tính giá trị biểu thức
2 x x Q
x
x2020 2019
Câu 26 (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng năm 2019-2020) Tính giá trị biểu thức sau:
) 4+3
a b) 5+ (6− 5)2 Câu 27 (Trường chuyên tỉnh Lào Cai Vòng năm 2019-2020)
Cho biểu thức: 22 1
1 1
+
= + −
− + −
x x H
x x x (với x≥0;x≠1)
(122)a) Rút gọn biểu thức H
b)Tìm tất giá trị x để x− <H
Câu 28 (Trường chuyên tỉnh Lâm Đồng vòng năm 2019-2020)
Tính giá trị biểu thức: T =(2 3 1+ )( − ) 13 19 2− +
Câu 29 (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020) Tìm điều kiện xác định biểu thức 2019
9
P
x x
= −
− −
Câu 30 (Trường chuyên tỉnh Nam Định cho lớp chuyên KHTN năm 2019-2020)
Cho biểu thức 1 :
1 1
a a a a a
P a
a a a
+ − +
= − +
− + +
với a>0, a≠1
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị số nguyên
Câu 31 (Trường chuyên tỉnh Nam Định chuyên toán năm 2019-2020)
Cho x= 3+ 5 3+ + 3− 5 3+ Tính giá trị biểu thức P=x(2−x)
Câu 32 (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Tìm điều kiện xác định biểu thức: 2019
9
P
x x
= −
− −
Câu 33 (Trường chuyên tỉnh Nam Định lớp chuyên KHXH năm 2019-2020) Cho biểu thức: 1
1
a a
P a
a a a a
+ −
= − +
− +
với a>0, a≠1
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị P a= +
Câu 34 (Trường chuyên tỉnh Ninh Bình chun tốn năm 2019-2020) Với x >0, xét hai biểu thức: A x
x +
= B x x
x x x
− +
= +
+ Tìm tất giá trị x để A
B >3
Câu 35 (Trường chun tỉnh Ninh Bình chun tốn năm 2019-2020)
(123)Rút gọn biểu thức : C 33 128
3
− + −
=
−
Câu 36 (Trường chuyên tỉnh Phú Yên Vòng năm 2019-2020)
Cho biểu thức: 2 :
2
x x x x
A
x x x x x x
+ + + −
= + + −
− − − + − −
a)Rút gọn biểu thức A
b)Tìm x để P 2A x
= − đạt giá trị lớn
Câu 37 (Trường chuyên tỉnh PTNK ( VỊNG ) năm 2019-2020) Tìm a, biết: ( ) ( )
( ) ( ( )( ) )
2
1 1 1
1
4 1
+ − − + + + + − +
− =
− +
a a a a a a
a a a a
Câu 38 (Trường chuyên tỉnh Quảng Nam Vòng năm 2019-2020)
Cho biểu thức 2
1
+ + − + −
= − ⋅
− + + +
x x x x x x
A
x x x x x với x≥0
Rút gọn biểu thức A tìm x để A=6
Câu 39 (Trường chuyên tỉnh Quảng Ngãi chuyên toán năm 2019-2020) Cho biểu thức: P x x x x x
x x x x x x
+ − +
= + −
− +
2
2
với x>0,x≠1 Rút gọn tìm giá trị nhỏ biểu thức P
Câu 40 (Trường chuyên tỉnh Quảng Ninh Vòng năm 2019-2020)
Cho biểu thức :
3 2
x x x x
A
x x x x
− − + − −
= + −
+ + + + (với x≥0)
a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị lớn A
Câu 41 (Trường chuyên tỉnh Sơn La Vòng năm 2019-2020) a) Rút gọn biểu thức:
A =
1 x x
−
+
:
3 2
2
x x x
x x x x
+ + +
− +
− − − +
(với x≥0; x≠4; x≠9)
(124)b) Cho ( 1) 103 21
x= − +
+ + tính
2 2019
( 2)
B= x + x−
Câu 42 (Trường chun tỉnh Thái Bình vịng năm 2019-2020) Cho biểu thức: = + +1 1⋅ ( + )−
+
xy x y xy P
x y
xy x x y y (với x>0;y>0) Rút gọn biểu thức P
2 Biết xy =16 Tìm giá trị nhỏ P
Câu 43 (Trường chuyên tỉnh Thái Nguyên chuyên tin năm 2019-2020)
Cho: 3
70 4901 70 4901
= + + −
x
Khơng sử dụng máy tính cầm tay, chứng minh x số nguyên tố
Câu 44 (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang chuyên tin năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: A= 4+ 10+2 + 4− 10+2
Câu 45 (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang Vòng năm 2019-2020) Cho 3
2 2 3 2 2 3 1
x= + + − −
Tính giá trị biểu thức 3( )3
3 9
P=x x + x+
Câu 46 (Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chun tốn năm 2019-2020) Tính tổng:
2
1 1
3 2019 2019 2
= + + + +
+ + + + −
S
Câu 47 (Trường chuyên tỉnh Tây Ninh Vòng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: ( 2 2)( )1
2
a a
T
a a
− −
=
− − với a>0,a≠4 Câu 48 (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long vòng năm 2019-2020)
a) Cho biểu thức: ( )
2
1 1
:
1 1
+
= +
− −
−
x P
x x x x
Tìm điều kiện xác định P giá trị x để = P b) Rút gọn biểu thức
46 61 69 28
= − + −
A
(125)Câu 49 (Trường chuyên tỉnh An Giang Vòng năm 2019-2020) Rút gọn:
2
1 3
2 3
A= + − − − −
+ −
Câu 50 (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu thi chung năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: A=(3 5− 27− 20) 5+3 15
Câu 51 (Trường chun tỉnh Bình Phước chun tốn năm 2019-2020)
Cho biểu thức: 2( 3)
2 3
−
− +
= − +
− − + −
x
x x x
A
x x x x
a) Rút gọn biểu thức 𝐴
b) Tính giá trị biểu thức 𝐴 x= −4
Câu 52 (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán dự bị năm 2019-2020)
Cho biểu thức 1 ( 1)
1 1
x x x x x x
P x
x x x x
− − + − +
= + − − −
+ + + − với x≥0,x≠1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm tất số nguyên tố x để P≤1
Câu 53 (Trường chuyên tỉnh Long An chuyên toán năm 2019-2020)
Cho biểu thức với x>0
a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh: P≤3
Câu 54 (Trường chuyên tỉnh Quảng Trị Vòng năm 2019-2020) Cho biểu thức: 2( 1) 2
1 1
x x x x x
A
x x x x
− + −
= + −
+ − + − với x≥0, x≠1 Tìm tất giá trị x để A≤0
Câu 55 (Trường chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế vòng năm 2019-2020) Rút gọn biểu thức: P 3x 9x x x
x x x x
+ − + −
= − −
+ − + −
Tìm x để P =3
Câu 56 (Trường chuyên tỉnh Yên Bái vòng năm 2019-2020)
2 2
1 1
x x x x x
P
x x x x x x
+ − −
= + − ⋅
− + + − +
(126)Cho biểu thức: 1
1
x
A x
x x x x
−
= + −
− + +
1 Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Rút gọn biểu thứcA
2 Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên
Câu 57 (Trường chuyên tỉnh Chuyên ĐHSP vòng năm 2019-2020) Cho số thực x y a, , thoản mãn x2+3x y4 + y2+3 y x4 =a Chứng minh 3x2 +3 y2 =3a2
Câu 58 (Chuyên Nam Định 2018)
a) Rút gọn biểu thức P x2 y2 x y2 (x y)(1 y) (x y)(1 x) (1 x)(1 y)
= − −
+ − + + + −
b) Chứng minh 12 12 12 12 1 2 2 2018
1 2 2017 2018
+ + + + + + + + + <
Câu 59 (Chuyên Hà Tĩnh 2018)
Cho x y z, , số hữu tỉ thỏa mãn 1
x y z+ = Chứng minh x2+y2+z2 số hữu tỉ
Câu 60 (Chuyên Bình Định 2018) Cho biếu thức : ( )
2
3
a b ab a b a b
T :
a b a b a b
− + − −
= −
−
+ − , với a≠b, a>0, b>0
a) Rút gọn biểu thức T b) Chứng tỏ T > Câu 61 (Chuyên Cà Mau 2018)
Rút gọn biểu thức sau
a) A 20= − 45 125 405+ − b) B= 2− + 2+
Câu 62 (Chuyên Lam Sơn 2018)
Tính giá trị biểu thức P 1 1 1
1 2 3 2018
= − − −
+ + + + + + +
Câu 63 (Chuyên Hưng Yên 2018)
Cho biểu thức A x : 2
x x x x x x
+ −
=
+ + − +
4
B x 5x 8x 2025= − − + với x 0,x 1> ≠
a) Rút gọn biểu thức A
(127)b) Tìm giá trị xđể biểu thức T B 2A= − 2đạt giá trị nhỏ Câu 64 (Chuyên Bến Tre 2018)
Cho biểu thức
1
a b a b a b
P
ab
+ − −
=
+ với a b, hai số thực dương
a) Rút gọn biểu thức
( )( )
1 :
P
a+ b a b+
b) Tính giá trị biểu thức Pkhi a=2019 2018+ b=2020 2019+
Câu 65 (Chuyên Hà Nam 2018)
Cho biểu thức ( )
2
1 1
1 1
1 1
a a
Q a a a
a a
a a a a
+ −
= + − − − + < <
+ − − − − +
1) Rút gọn Q 2) So sánh
,
Q Q
Câu 66 (Chuyên Lâm Đồng 2018)
Tính giá trị biểu thức A 4= +( 15)( 10− 4) − 15 Câu 67 (Chuyên Đồng Nai 2018)
Cho biểu thức P a a a a
a a a a
+ −
= +
+ + +
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm số thực dương a cho Pđạt giá trị lớn Câu 68 (Chuyên Nguyễn Trãi 2018)
Cho
( ) ( )
2
2 a
x a 1 a , a
a
= + − + + >
+ ;
x x x 1 P
x 2x
+ − + +
=
− +
Rút gọn P theo a
Câu 69 (Chuyên Năng Khiếu TP HồChí Minh 2018) Biết x y< ≤
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
x y x y y x 5
3
x y x 2y) x x y y x y
+ + −
+ + =
+ + + + +
Tính x y Câu 70 (Chuyên Bắc Ninh 2018)
Rút gọn biểu thức : 2 2 2 2
2 2
a a b a a b a a b
P : , a b
b
a a b a a b
+ + − + −
= − > >
− + + +
Câu 71 (Chuyên Hải Dương 2016)
(128)Rút gọn biểu thức: A a x2 a a x2 a
x x
+ +
= − + + với a 0, x 0> > Câu 72 (Chuyên Vĩnh Long 2018)
a) Cho biểu thức A x x :
x x x x
+ +
= −
− −
với x 0> x 4≠ Tìm giá trị A x 14 5= +
b) Tính giá trị biểu thức A= 12− 80 32 3− − 12+ 80 32 3− Câu 73 (Chuyên Bắc Giang 2018)
Cho biểu thức A x x x x : 1 x
x x x 1 x
+ + +
= + −
−
+ − + −
(với x 0; x 1> ≠ )
a) Rút gọn biểu thức A
b) Có giá trị nguyên x để A 2018 2018
+ ≥
Câu 74 (Chuyên Quảng Nam 2018)
Cho biểu thức A a ab a : 2a b ab ab
ab 1 ab
+ + +
= + +
−
+ −
với a 0; b 0> > ab 1≠
Rút gọn biểu thức A tìm giá trị lớn A a + b = ab Câu 75 (Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu 2018)
Rút gọn biểu thức: P a3 a a a (a 1)
a a
+ − +
= + − >
−
Câu 76 (Chuyên Điện Biên 2018)
Cho biểu thức P x x 3x x 5,(x 0; x 25)
x x x x ≥ ≠
+ + + −
= − −
+ − − −
a) Rút gọn P Tìm số thực x để P> −2
b) Tìm số tự nhiên x số phương cho P số nguyên Câu 77 (Chuyên Đà Nẵng 2018)
Cho biểu thức A x 1( ) x2 x 2x x
x x x x
− − +
= + −
− + + với x>0,x≠1
Chứng minh rằng: A ≥ Câu 78 (Chuyên Đà Nẵng 2018)
(129)Cho biểu thức:
2 2 2
y
x x
Q :
x y x y x x y
= − +
− − − − với x y 0> >
1 Rút gọn Q
2 Xác định giá trị Q x=3y
Câu 79 (HSG TP Hải Phòng 2018)
Cho biểu thức ( )
3
x y 2x x y y xy 3y
A
x y x x y y
− + + −
= +
−
+ với x,y 0≥ x y≠ Chứng minh giá trị biểu thức A không phụ thuộc giá trị biến
Câu 80 (HSG Quận Hồng Bàng 2018) Cho biểu thức
( x)( ) ( y)( ) ( xy)( )
P
x y y x y x x 1 y
= − −
+ − + + + −
a) Tìm điều kiện x, y để biểu thức P xác định rút gọn P; b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P 2.=
Câu 81 (HSG Quận Lê Chân 2018)
Cho biểu thức a b 2 2 a22 b22 ( )
a b a b a b a b a b
a b
P − ⋅ + a b 0
+ + − − − + −
−
= + > >
Chứng minh khia b 1− = P 2 2.≥ +
Câu 82 (HSG Quận Ngô Quyền 2018)
Cho biểu thức P x y x y : x y 2xy xy
1 xy xy
+ − + +
= + +
− + −
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tính giá trị P với x
2
=
+
Câu 83 (HSG Quận Thủy Nguyên 2018)
Cho biểu thức P x x x x : 1 x
x x x x
+ + +
= − +
−
+ − + −
(với x>0;x≠1 )
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Với giá trị x ta có x 1
P
+
− ≥
Câu 84 (HSG Thanh Hóa 2017)
(130)Cho biểu thức P x x x 1 2x x2
x x x x x x x x
− + + −
= + +
− + + − , với x>0,x≠1. Rút gọn P
và tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên Câu 85 (HSG Hải Dương 2017)
Cho biểu thức A x2 x x2 x
x x x x
− +
= +
+ + − + Rút gọn B 1= − 2A x 1− + (
1
0 x )
4 ≤ ≤ Câu 86 (HSG Hải Phòng 2017)
Cho a= 3+ 3+ + 3− 3+ Chứng minh a 2a 0.2− − = Câu 87 (HSG Hải Dương 2016)
Cho biểu thức: P= 1 x x x− + −( ) − + 1 x x x− − −( ) − (với
1 x 1) − ≤ ≤ Tính giá trị biểu thức P x
2019 = − Câu 88 (HSG Thái Bình 2011)
Chứng minh rằng: 87 1 88 89 <2 2+ + +2011 2010 <45 Câu 89 (HSG Chuyên Hưng Yên 2019-2020)
Rút gọn biểu thức A 2( 5)2 20 20
= − + −
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu
a) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
5 5
1
25
5 5
− − + + + −
+ −
= − − =
−
+ − + −
x x x x x
x x x
P
x
x x x x
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ()( ))
5 5 2 10
5 5 5
− − + + + − − − − +
= = =
+ − + − + −
x x x x x x x x x
x x x x x x
2 =
− x x
b) 2 ( 5)
5 5
− − +
< ⇔ < ⇔ − < ⇔ < ⇔ <
− − − −
x x
x x x
P
x x x x
5 25 ⇔ x− < ⇔ x < ⇔ ≤ <x Vậy 0≤ <x 25
Câu 2.
(131)2 2 3 2 3 5 8 5 2 5 5 2 2
8 5 2 10
2 3 2 3 4 3 3 5 4 3 3 5 1 12 5 10
2 3 2 3 4 3 3 5 4 3 3 5 1
12 5 10
Do đó:
2 2 5 2 10 10 5 20
10 10
2 2
A
Vậy A2 Cách khác:
Ta có:
2
2 6 5 6 5 6 5 4
2
5 5
2 4 5 1
2
2 6 5 6 5 6 5 4
5 5
2 4 5 1
Do đó: 4 4 20 20 40
25 20
5 5
A
Vậy A2
Câu 3.
(13 7)( 3) 20 43 24
B= − + − + +
= 91 52 3+ −28 3−48 8− ( 13−4 + 7+4 3)2 = 43+24 3−8( 13 3− + 7+4 3)
(132)= 43+24 3−8 (2 1− ) (2 + 2+ 3)2
= 43 24 3+ −8 2( − + + 3)
= 35
Câu 4.
Đặt a=3 x b; = y a b( , >0), ta có
( )
3 2 2
1
1
P a a a b b b ab a b a b a b
= + + + + + + + +
= + + + +
3 P2 = + + =a b 1 x+3 y+1.
Câu 5.
Ta có ( )2 2
x 2− = 3⇒ x 2− = ⇒3 x −4x 0+ =
2
x −4x+ =5 x −4x 4+ + =2
4
x −2x +3x −38x 5+
( 2) ( ) ( )
x 4x x 2x 8x 2x 10x 40x 10 5
= − + + − + + − + − = −
2
A
Câu
( ) ( )
( )( )
2
1 5
1 5 1 5 5 5 5
1 5 4 5
1 5 1
5 5
− − +
− − + − + − − −
+ − −
+ − −
= = = = =
− A
Câu
a) Biến đổi
( )( )
1 2
1 1 1
x x
x x x x x x x x
− = −
− + − − − − +
Biến đổi
( )( ) ( )( )
1 2
1 1 1
x x x
x x x x x
+ −
− =
− − + − +
(133)2
1
x x x
x x + − − = + + 1 P x = −
b) 1
1 x P x x − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − −
TH1: 2 4
1
1
x x x
x x
x x
− ≥ ≤ ≤
⇔ ⇔ ⇔ < ≤
>
− > >
TH2: 2
1
1
x x x
x
x x
− ≤ ≥ ≥
⇔ ⇔
<
− < <
(không xảy ra)
Vậy giá trị x cần tìm 1< ≤x Câu
a)
( ) ( )
( )
2
4 1
1
x x x x
A x x x − − + + − = − − − −
2 2
4
x x x x x
A x x x − − + + − − = − − +
1 1 2
2
x x x
A
x x
− − + + − −
=
− −
Nếu 1< <x A
x =
− Nếu x>2
1
A x =
−
b) - Nếu 1< <x 2thì khơng có giá trị nguyên - Nếu x>2
1
A x =
−
+ x− = ⇔ =1 x ( )l + x− = ⇔ =1 x ( )n
Câu 9.
Điều kiện: a>0,a≠1
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
2
1 1
1
1 1 1
+ − + −
= + =
− − − − −
a a a
a P
a a a a a a a
(134)1
a =
Câu 10
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
+ − + −
= − −
+ − + −
+ − + − +
+ −
= −
+ − + −
+ − − + −
= −
− + + −
3 16
2 3
1 3
3
2 3
3
1 3
x x x x
P
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
( )( ) ( )( )
( )( )
+ − −
= −
− + + −
+ +
=
+ −
3 10
1 3
4
3
x x x
x x x x
x x
x x
( )( )
( )( )
+ +
=
+ −
+ =
−
3
3
1
x x
x x
x x
Câu 11
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
4 4 2
: : :
2
2 2 2
− + −
− − + −
= = = − = − =
+ − + − −
a a a
a a a a
P a a
a a a a a
Câu 12.
2 2
( 1) ( 1)
5
A= + + − +
+
3
5 = + + − +
+
2( 3)
3
2 −
= + +
2 =
(135)Câu 13
a).Điều kiện: x≥0; y≥0; x≠ y x; ≠1
( ) ( )
( )( )
3
x x y x x xy y x xy y
M
x x y y x x y
− − + + + + +
=
− − − ;
( )( ) ( ( )( ))
2
x xy y x xy y
M
x y x xy y x x y
+ +
− +
=
− + + − −
2 M
x =
−
b).Để M có giá trị nguyên x-1 ước Các ước nguyên ± ±1;
Do ta có
1 1
1
x x
x x
x x
x x
− = =
− = − =
⇔
− = = − = − = −
Vì x≥0; x ≠1 nên có x = 0; x = 2; x = thỏa mãn
Câu 14
1 Rút gọn biểu thức A
( )( ) ( )( )
( )( )
+ − − + − + +
+
=
− − − −
x x x x x
x A
x x x x
3 2 24 :
2
( )( ) ( ( ) ( )( ) )
− − − + +
+
=
+ − − −
x x x
x A
x x x x
9 24 :
1 2
( )( ) ( )( )
+ −
=
+ − − −
x x
A
x x x x
24 : 2
+ =
+
x A
x 24
1
2) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ
24 25 25 25
1
1 1
+ − +
= = = − + = + + −
+ + + +
x x
M x x
x x x x
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số ta có 25 10
+ + ≥
+ x
x Do M ≥8
(136)Đẳng thức xảy ( x+1)2 =25⇔ x+ = ⇔ =1 x 16
Vậy giá trị nhỏ M 8, đạt x = 16
Câu 15
1 A4 32 27 12
4 3
0
2 :
1
a a
B
a
a a a
với a 0,a 1
1 . 1
1 ( 1)
a a a
a a a
2
( 1) ( 1)
( 1)( 1)
a a a
a
a a
3a
Câu 16
1 ĐK:
2
x x
> ≠
2 B=10 3 3− =7
3 ĐK:
1
a a
≥ ≠
; C= a+ − =1 a Câu 17
1).Điều kiện a 0 a 1
( )
3( 1)
1
( 2)( 1)
3( 1) ( 2) ( 2)( 1)
( 2)( 1)
1
a a a
A
a a a a
a a a a a a a
A
a a
a A
a
+ − −
= − + −
+ − − +
+ − − − + + − − + −
=
+ −
+ =
−
2)
1 a A
a + =
− để
1
2
1 a A
a +
= ⇔ =
−
(137)Học sinh giải phương trình tìm giá trị a a = = Câu 18
( 3)( 3)
= − + + = − + =
A
Câu 19.
a) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2
2 2
2
1 1
3 1 1
1
1 2
1
1 1 1 1
1
1 1
a a
a
a a a
a
a a a
a P
a a a a a a a a
a a a + + − + + − + − + − + = ÷ − = ÷ − − − − + + − + + − − + + + ( ) ( ) (( )) ( )( ) ( )( ) 2 2 2
4 1 1
1
4 1 1
a a a a a a a
a
a a a a a a
− + + − + +
= −
−
+ + − + − +
1
1
1 1
a a a
a a a
+ −
= − = = −
− − −
Vậy P= −1 b) Đặt
s= x t=3 y2 đẳng thức đề viết lại thành 3
s +s t + t +t s =a
Do s t, ≥0 nên 3
,
s +s t =s s+t t +t s =t s+t
Từ ta có (s+t) s+ =t a hay (s+t)3=a2
Suy
s+ =t a Đây kết cần chứng minh
Câu 20
( 1)(2 1) (2 1)( 1) ( 1)
)
(1 )(1 ) (1 )( 1)
+ − − + −
= + −
− + − + + −
x x x x x x x
a P
x x x x x x
( 1) 1 x x P x x x + = + − + + +
(1 )( 1) ( 1)
1
(1 ) 1
1
x x x x x
P
x x
x x x x x x x
x x x x
− + + + + = + + − + − + + + = = + + + +
4
)
5
7
4
7 + = ⇒ = + + = − ⇒ − + = ⇔ = + x b P x x x x x x (tháa m·n) (tháa m·n)
(138)Vậy để
P= x= ±7 Câu 21
1
:
1
x P
x x x x
1
x
1 1
2 5
P x
x
x
Vậy 0 x thỏa mãn toán Câu 22
a) Ta có A 2x 15 2 x 1 2x 1 2.4 2x 1 16
( 2x 1 4)2 2x 1 4
Biểu thức Acó nghĩa 1
x x
2
)
2 1
x x
b A x
x x
25
x x
Câu 23
Ta có x 1 32 4 ( 1)3 x ( 1)(13 32 3 4)
( 1)3 x 1 32x x 1 x3 3x2 3x 1 0. Khi Ax5 4x4 x3 x2 2x 1 2020
(x2 x 1)(x3 3x2 3x 1) 20202020.
Câu 24
a) Điều kiện x để biểu thức
x x
có nghĩa x 3
3
x
(139)b).Chứng minh đẳng thức 1
1
a a a a a
a a
a0,a1 .
Ta có 1 1 1
1 1
a a a a a a a a
a a a a
1 a1 a
1 a
Câu 25
1) Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức 3 5
10
P
3
8
P
2
5 5
8
5 1
1
2) Rút gọn tính giá trị biểu thức 2 x x Q
x
x2020 2019 Ta có x2020 2019 2019 2019 1 2019 1 2
2019
x
2 1 2
2
2
x x x x
Q
x x
2
Q x
2 2019 1 2019
Q
Câu 26
(140)a) 4+ = + =3
b)
5+ (6− 5) = 5+ −6
5 6 = + − = Câu 27
a). 22 1 ( 1) 1 1
1 1 (x 1)(1 ) 1 1
+ +
= + − = + − = + −
− + − − + + − − + −
x x x x x
H
x x x x x x x x x
2 ( 1)
1
+ − − +
=
−
x x x
x
2
1 − =
− x x 2(x 1)
2 −
= =
− x
b).Ta có x− < ⇔H x− < ⇔2 x< ⇔ <2 x
Mà x≥0;x≠1, suy ra: 0≤ <x 4; x≠1 Vậy: Với 0≤ <x 4; x≠1 x+H <0 Câu 28.
Tính 13 3− =2 1−
và 19 2+ =3 1−
Đưa dạng ( )2 ( )2
2 3
T = − −
Tính kết T = 187
Câu 29
Biểu thức xác định
0
x x x
≥
− ≠
≠
0
x x
≥ ⇔ ≠
Câu 30
1).Với a>0, a≠1 ta có
a a a
a a a
+ =
+
(141)Và ( ) ( ) ( )( )
( )( )
2
1 1
1
4
1 1
a a a a a
a a
a
a a a a
+ − − + − +
+ −
− + =
− + − +
4
a a a =
−
Do
1
a a P
a a a a
= =
− −
2).Với a nguyên P nhận giá trị số nguyên
1 1 1
a a a a a a
− = −
− = −
− = − − = − =
− =
3
a a a a a a
= − = − = ⇔ =
=
=
Đối chiếu với điều kiện ta có a=2,a=3,a=5 (thỏa mãn)
Câu 31
+ Có
+ Do nên
+ Suy hay ,
Câu 32
Biểu thức xác định
9
x x
− > ≠
3
x x
> ⇔ ≠
Câu 33
( )
2
2
3 5 3 3 5 3 6 3 5 3 6 3
x = + + + − + = + − + = + −
( ) ( )2
6 3
= + − = + = +
0
x> x= 3 1+
( )2
1
x− = x2 −2x=2 P = −2
(142)1).Với a>0,a≠1 ta có ( ) ( ) ( )( )
( )( )
2
1 1
1
4
1 1
a a a a a
a a
a
a a a a
+ − − + − +
+ −
− + =
− + − +
( )
2 1
a a a a a a
a
+ + − + − + −
=
−
4 a a a =
−
Do
1
a a P
a a a a
= =
− −
2).Ta có a= 2+ = (2 1+ )2 =2 1.+
Do P= Câu 34
Với ta có:
(vì )
Câu 35
Ta có:
( )( ) ( )
( ) ( )
x x x x x 9 B
x x x x
− + + + − + +
= =
+ +
( ) ( )
x x
x x x
x ( x 3) x x x
+
+ +
= = =
+ +
+
x>0 A x 2: x
B x x 3
+ +
> ⇔ >
+
x x
+ ⇔ > x x
⇔ + > x >0 ∀ >x x x 81 ⇔ < ⇔ < <
2
5 (4 1)
5 33 128
C
3
− + −
− + −
= =
− −
2
5 (2 2)
5 6
3
− −
− −
= =
− −
5 11
− =
−
2
5 (3 2)
− =
−
(143)
Câu 36
a) Rút gọn biểu thức A.
Điều kiện: x>0,x≠4,x≠ ⋅9 Ta có:
( )( )
3 2 2
2 3
x x x x x x
x x x x x x x x
+ + + + + = + + + + +
− − − + − − − −
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 2
2
x x x x x
x x
+ − − + − + +
=
− −
( ) ( )
( )( )
9 1
2
2
x x x
x
x x
− − − + +
= = ⋅
−
− −
( )
( )( )
2
2
2 2
x x x
x x x
x x x x x x x x
− − − −
− − = = = ⋅
− − − − − − + −
Do
( )( )
1
:
2
x x
A
x x x x
+
= = ⋅
− + −
b) Tìm x để P 2A x
= − đạt giá trị lớn Ta có P x 2
x x
x x
+
= − = + −
2
1 3 x
= − − + ≤
Dấu “=” xảy 1 x x = ⇔ = Vậy maxP= ⇔ =3 x
Câu 37
Điều kiện: a>0 a≠1 Ta có:
( ) (2 ) (2 ) ( )
1 1 2
+ − − = + + − + − =
a a a a a a a
5(3 2)
−
= =
−
(144)và
( 2a+ +1 a+1)( 2a+ −1 a+ =1) (2a+ − + =1) (a 1) a
Do đó, phương trình cho viết lại thành 1 1− 1=
− +
a a
Phương trình tương đương với ( ) ( )
( )( )
1
1
1
+ − −
=
+ −
a a
a a hay
2 1= − a Như thế, ta có a− =1 hay a=3 (thỏa mãn)
Vậy có giá trị a thỏa mãn yêu cầu đề a=3
Câu 38
Với x≥0, ta có:
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
2
2
1
2 1
3
1
1
3 2
1
1
3
3
2
3
2
3
+ + − + −
= − ⋅
− + + +
+ + − − − + −
= ⋅
+
+ − +
+ −
+ + − −
= ⋅
+ +
−
= + − − ⋅
+ −
= − + ⋅
+
= − −
= − +
x x x x x x
A
x x x x x
x x x x x x x
x
x x x
x x x
x x x
x x x
x
x x x
x x
x x
x
x x
x x
( )( )
( )
6
4 4
4 0
= ⇔ − + = ⇔ − − =
⇔ + − − = ⇔ − + =
⇔ − = + > ∀ ≥
A x x x x
x x x x x
x x x
16
⇔ =x (TMĐK)
Vậy với x=16 A=6 Câu 39
(145)( )( )
( ) (( ) )
x x x x x x
x x x x x x
P
x x x x x x x x x x x
− + + +
+ − + +
= + − = + −
− + − +
2 1
2 3
1
( )
( ) ( )(( ) )
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
+ + − +
+ + + + + +
= + − = + −
+ +
1 1
2 3
1
( )
( ) ( )(( ) )
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
+ + − +
+ + + + + +
= + − = + −
+ +
1 1
2 3
1
x x x x x x x
x
x x x x x
+ + + − + + +
=2 3+ 1− 2= 3=2 + +2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có x P
x
+ ≥ ⇒ ≥ +
2 2
Dấu xảy x= 3(tmdk)
Câu 40
a)
( )( ) (( )()( )) (( )()( ))
1 2 1
4
1 2
x x x x
x x
A
x x x x x x
− + − + − − + = + − + + + + + + ( )( ) ( )( )
1 1 5
1
1
x x x
x x x − + − = = + + +
b) 5
1 x A x x − = = − +
+ + Với x≥0ta có: x+ ≥1 nên
6 x+ ≤
Do
1 A
x
= − + ≤
+ Giá trị lớn A 1đạt x=0
Câu 41
a) : 2
1
x x x x
A
x x x x x
+ + +
= − − +
+ − − − +
Với x≥0;x≠4;x≠9
( )( ) ( )( )
( )( )
3 2
1 :
1
x x x x x
A
x x x
+ − − + − + + = + − − : A x = + ( )( )
9
2
x x x
x x
− − + + +
− − ( )( )
1
:
1
x
x x x
− =
+ − −
1
:
1
x A
x x x
−
= =
+ − +
(146)b) Ta có
3
310 3+ = 3(1+ 3) = +1 3
21 5+ = (2 1)+ =2 1+
Nên ( 1)( 1)
2 5
x= − + = = −
+ +
Vậy 2019 2019
( 2) ( 1)
B= x + x− = − = −
Câu 42.
1 Ta có:
( )
( )
( )( )
( )2
2 1
2
+ −
= + + ⋅
+
+ − + +
= ⋅
+ + −
+
= ⋅
+ +
=
xy x y xy P
x y
xy x x y y
xy x y xy
xy y x
xy x y x y xy
x y xy
xy x y
x y
xy
Vậy P= x+ y
xy với x>0;y>0 2.Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:
2 16
4 16
+ ≥ = =
⇒ ≥ =
x y xy
P
Dấu “=” xảy ⇔ = =x y Vậy minP=1 x= =y
Câu 43
Ta có:
(147)( )( )( )
( )( )
3
3
3 3
3
2
2
70 4901 70 4901
140 70 4901 70 4901 70 4901 70 4901
140
3 140
5 28
5 87
5 28
2
= + + −
⇒ = + + − + + −
⇔ = −
⇔ + − =
⇔ − + + =
⇔ = + + = + + > ∀ ∈
x x
x x
x x
x x x
x x x x x
Vì x số nguyên tố
Câu 44
Ta có ( )( )
0 10 10
A> ⇒A = + + + − +
( ) ( )2
2
8 16 10 8
A = + − + = + − = + −
( ) ( )2
2 8 2 5 1 6 5 5 1
A = + − = + = +
5
A
⇒ = +
Câu 45
3
2 2 3 2 3 1
x= + + − − ⇔ + =x 1 2+2 3 +3 2−2 3
( )3 ( ) 3 2
1 4 6 1 3 9 3
x x x x x
⇒ + = − + ⇒ + + = −
( ) (3 )3
3
3 9 3 9
P=x x + x+ = x + x + x
27
P= −
Câu 46
Ta có:
2
1 1
1 3 5 2019 2019
= + + + +
+ + + − +
S
2
2
1 3 5 2019 2019
1 3 5 2019 2019
− − − − −
⇒ = + + + +
− − − − −
S
2
1 3 5 2019 2019
− + − + − + + − −
⇒ =
− S
2
1 2019 2019
1009
2
− −
⇒ = = =
− −
S
(148)Vậy S=1009
Câu 47
Rút gọn biểu thức ( 2 2)( )1
a a
T
a a
− −
=
− − với a>0,a≠4
( 2a−2 2)( )a− =1 2( a−2)( )a−1 ( )( )( )
2 a a a
= − − +
( )( ) 2
a− a− = a+ a−
Vậy T = 2( a−1)
Câu 48
a) Điều kiện: x>0; x≠1
( ) ( ) ( )
2
1
1 1 1
:
1 1 1
−
+
= + = +
− − − − +
−
x x
P
x x x x x x x x
( ) ( )
2
1
1
1
−
+ −
= =
+ −
x
x x
x x
x x
( )
1 1
2
2
−
= ⇔ x = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
P x x x x
x (thỏa điều kiện)
Vậy giá trị cần tìm x=4 b)
( ) ( )3 ( )3
2
3 3 3
46 5−61= −3 3.2 5.1+ − =1 1− =2 1.−
( ) (2 )2
69 28 5− = 49 2.7.2 5− + = 5− = −7
3
46 61 69 28 5
= − + − = − + − =
A
Câu 49
2
1 3
2 3
A= + − − − −
+ −
(149)( )
( ) ( ( ) )
2
2
1 4 3 + − − −
= −
+ −
( ) ( )
2
2 3
2 3
−
= −
+ −
( ) (2 )2
3 3
4
1 3
= − = −
+ −
+ −
12 12 12
3
16 12
− − −
= = − = −
− Vậy 3A= − Cách khác:
( )
( ) ( )
2
1
1 2 3
2 3 3
+ −
+
− = = =
+ + + +
( )
( ) ( )
2
1
1 2 3
2 3 3
− −
− −
− = = = −
− − − −
( ) ( )
2
2
3 3
1 3 1 3 1 3
A= − − = −
+ −
+ −
3 12 12 12 16 12 4
− − −
= − = = −
−
+ −
Vậy 3A= −
Câu 50
(3 27 20) 15
A= − − +
(3 3 5) 15
= − − +
( 3) 15
= − +
5 15 15
= − + =
Câu 51
a) Rút gọn biểu thức 𝐴
(150)Điều kiện:
9
≥ ≠
x x Ta có:
( )( ) ( )( )
3 12 18 3 24
1 3
− − + − − − − − + −
= =
+ − + −
x x x x x x x x x x
A
x x x x
( ) ( )
( )( ) (( )()( ))
3 3 8
1
1 3
− + − − + +
= = =
+
+ − + −
x x x x x x
x
x x x x
b)Tính giá trị biểu thức 𝐴 x= −4
Ta có :
( )2
4 3 3 3
= − = − + = − ⇒ = − = −
x x
4 12
4 3 1
− + −
= = = −
− +
A
Câu 52
a) Ta có:
2
3
x x
x x
− −
= −
+
2
2 x x
x x
x +
= − +
+
1
1
1
x x x
x
x x
− + −
− =
−
+ −
5
P= −x x+
b) Tìm tất số nguyên tố x để P≤1
P≤ ⇔ ≤ x ≤
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
x= x= x= x= x= x= x= x= x=
Câu 53
a). ( 1)
1
x x
x x
x x
+ = +
− +
( ) ( )
2 2
2
1
x x x
x x
x x
− − − = − − −
+
(151)b).
Câu 54.
2( 1)
A= x− + +x x− x
2 ( 1)( 2)
x x x x
= + − = − +
( x−1)( x+ ≤ ⇔2) x− ≤ ⇔ ≤ ≤1 0 x
Đối chiếu điều kiện giá trị cần tìm 0≤ <x
Câu 55
Điều kiện: x≥0, x≠1.Ta có
3x x x x x x
P
x x
( )( ) ( )( )
( )( )
+ − − + − − + −
=
− +
x x x x x
x x x x x
( )( )
( )( ) ( )( )
+ + + + +
= = = ⋅
− + − + −
x
P 3 x x
x +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
− (thỏa mãn điều kiện)
Câu 56
Điều kiện: x>0
1 1
1
x
A x
x x x x
−
= + −
− + +
( )( ) ( )
( )( )
1 1
1
1
x x x x
x x
x x x x
− + − − +
+
=
− + +
1
1
x x x
x x x
+ −
=
+
2 x
x − =
2 2
1
1
x x x x x
x x
x x x x
+ + − − − = + +
− + +
1
x x
P
x x
+ +
=
− +
( )
3
P≤ ⇔ +x x+ ≤ x− x+ ( )2
2 x
⇔ − ≥
(152)2 Ta có A x 2
x x
−
= = −
Suy A nhận giá trị nguyên x ước nguyên 2 Hay x∈ −{ 1;1; 2; 2− }
Ta có: x = −1 (Vô nghiệm) 1
x = ⇔ =x (thỏa mãn)
2
x = ⇔ =x (thỏa mãn)
2
x = − (Vô nghiệm)
Vậy để A nguyên x∈{ }1;
Câu 57
Đặt
s= x t=3 y2 đẳng thức đề viết lại thành 3 s +s t+ t +t s=a Do s t, ≥0 nên 3
,
s +s t =s s+t t +t s=t s+t
Từ ta có (s+t) s+ =t a hay ( )3
s+t =a
Suy s+ =t 3a2 Đây kết cần chứng minh Câu 58 a) Điều kiện: x≠ −y; x≠ −1; y 1.≠
3 2 3 2 2 2
x x y y x y x y x xy y x y x y
P
(x y)(1 y)(1 x) (1 y)(1 x)
+ − + − − − + + − −
= =
+ − + − +
x2 x y x y2
1 x
+ + −
=
+ x xy y.= + −
b) Đặt S 12 12 12 12 1 2 2
1 2 2017 2018
= + + + + + + + + +
Ta có
2
2
1 1
1
n n n(n 1)
n (n 1)
+ + = + − +
+ +
+
*
(n∈ )
2
1 1
1
n n n n
= + − = + −
+ +
Áp dụng đẳng thức ta S 1 1 1 1
1 2 2017 2018
= + − + + − + + + −
(153)= 2018 2018 2018
− < (điều phải chứng minh) Câu 59
Từ giả thiết cho ta có:
1 1 xz yz xy 2xy 2xz 2yz 0
x y z+ = ⇔ + = ⇔ − − =
( )2
2 2 2
x y z x y z 2xy 2xz 2yz x y z x y z
⇒ + + = + + + − − = + − = + −
2 2
x y z
⇒ + + số hữu tỉ Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 60
a) Rút gọn T:
Với a≠b, a>0, b>0, ta có:
( )( ) ( ( )( ) )
3 3 a b a b
a b ab a a b b a b a b a b ab a b ab
T :
a b a b a b a b ab a b ab
− +
+ − + − − − + + − + −
= = ⋅ =
+ − + + −
Vậy : T a b ab ab
+ −
= , với a≠b, a>0, b>0 b) Chứng tỏ T >
Ta có: T a b ab ab
+ −
= , với a≠b, a>0, b>0 (kết câu 1.a)
( )2 ( )2
a b ab a b
T 1
ab ab
− + −
⇔ = = + > (vì ab 0, a> − b 0≠ với a b,a 0,b 0≠ > > )
Vậy T > Câu 61
Ta có ngay:
A 20 45 125 405 5 15 18 5 B 9
= − + −
= − + − =
= − + +
( )2 ( )2
2 2.2 2.1 2 2.2 2.1
= − + + + +
( ) (2 )2
2 2
2 2 2 2 (do2 0)
= − + +
= − + + = − + + = − >
(154)Câu 62 Ta có: 1 2.3
2 2.3
+ = = ⇒ =
+
3.4
1
2 3.4
2018.2019
1 2018
2 2018 2018.2019
2 2
P 1
2.3 3.4 2018.2019
2.3 3.4 2. 2018.2019 2.3 3.4 2018.2019
+ + = = ⇒ =
+ +
+ + + + = ⇒ =
+ + + +
= − − −
− − −
=
( ) ( )
( ) ( )
4 10. 4074340
2.3 3.4 2018.2019
1.4 2.5 3.6. . 2016.2019 2017.2020.
2.3 3.4 4.5 2017.2018 2018.2019
1.2 2017 4.5 2020 1.2020 2020 1010
2018.3 6054 3027 2.3 2018 3.4.5 2019
= =
= = = =
Câu 63
a) Điều kiện x 0; x 1> ≠
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
2
x 1 x
A : x x
x x x x x x x x x
x x x x 1 x x x
x x x x x x x
x x
+ − +
= = −
+ + − + + +
+
= −
+ + +
= − + + = + − = −
+ +
b) Ta có: T B 2A= −
( )
( ) ( )
2
4
4 2
4
4 2
2
2
x 5x 8x 2025 x
x 5x 8x 2025 2x 4x
x 7x 4x 2023
x 8x 16 x 4x 2003
x x 2023
= − − + − −
= − − + − + −
= − − +
= − + + − + +
= − + − +
Vì (x 42 − )2 ≥0, x 2( − )2 ≥ ⇒ ≥0 T 2003 Dấu “=” xảy
x
x x 2 x 2
x
x
=
− =
⇔ ⇔ = − ⇔ = − =
=
Vậy với Tmin =2003⇔ =x
(155)Câu 64
a) Rút gọn biểu thức
( 1)( ) P :
a+ b a b+
Điều kiện : a 0,b 0> >
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( ) 2
1
1
:
ab a b a b a b ab
P a b
ab ab
P P a b a b
a b a b
a b a b a b a b a b a b
− + − − + = = = − + + ⇒ = + + + + = − + + = − + = −
b) Ta có:
( ) ( ) ( ) 2 2018
2019 2018 2018
2020 2019 2019 1 2019
2018 2019 2018 2019
a
a a
b b b
P a b
= + = + = + ⇔ ⇒ = + = + = + ⇒ = − = + − + = −
Câu 65 1) Điều kiện 0< <a
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2
1 1
1
1 1
1
1 1
2
1 1 1
1 1
1
1 1
+ − = + − − − + + − − − − + + − − = + − − + + − − − − − + + − − = + − − + − − + − − a a
Q a a
a a
a a a a
a
a a
a a
a a
a a a a a
a a a
a
a a
a a a a
2
1 1
( 0)
1
+ + − −
= − − >
+ − −
a a a
a do a
a a
a a
( )
2
1 1
( 1)
1
+ + − − −
= − < <
+ − −
a a a
a do a
a
a a
( )( )
( ) ( )
2
1 1 1 1
1
+ + − + − − − −
= −
+ − −
a a a a a
a a
a a
2
2
1 1
.(1 )
1
+ − + − −
= −
+ + − − −
a a a
a a
a a a
2
2
2 1
(1 )
2
− − = − − − a a a a a
(156)(1 ) = − −a = −a
2) Điều kiện a 1< < Ta có: Q3 =(a 1− )3 Xét hiệu :
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )
3
2
Q Q a a
a a 1 a a 1 a 1 a(a 1)(a 2)
− = − − −
= − − − = − − − − + = − −
Mà
( )( )
3
a
0 a a a a a
a
Q Q Q Q
>
< < ⇒ − < ⇒ − − > − <
⇒ − > ⇔ > Vậy Q3 >Q
Câu 66
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
A 15 10 15 15 15 15
8 15 16 15
5 5
= + − − = + − + −
= + − − = + −
= + − = − =
Câu 67
a) Điều kiện a 0>
a a a a
P
a a a a
+ −
= +
+ + +
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
a a
a .4 a
a a a a
a a .4 a
a a a
2 a a a a a
a a
a a a
a a a a
+
−
= +
+ + +
−
= +
+ +
− + + −
+
= =
+
= + − = − + +
b) Điều kiện a>0 Ta có:
2
1 9
P a a a
2 4
= − + + = − − + ≤
Dấu “=” xảy a a a 1(tm)
2
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(157)Vậy MaxP
= a =
Câu 68
Điều kiện a 0; x 1> ≠
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
4 2
2
2
2
2 2
2
2
a x a 1 a
a
a 2a a 2a 2a a
(a 1)
a 2a a 2a 2a a
a a a a
a
a a a a a a
a a
a a a
a 2a a a a 1 a 0
a a
0 x a
x x
x x x 1 P
x 2x
= + − + + +
+ + + + + = + −
+
+ + + + + = + −
+ + + = + −
+
+ + + + + +
= + − = + − >
+ + +
+ + − − −
= = < ∀ >
+ +
⇒ < < ∀ >
+ −
+ − + +
⇒ = =
− +
( )
( )
( )
2
2
1
x
x x 1 x 1 x 1 2 2 a 1
2a a
1 x a a
x 1
a
+ −
+ − + + − + +
= = = = = +
− + −
− −
+
Vậy P 2a 2= + Câu 69
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
x y x y y x 5
3
x y x y x 2y x x y y x y
x y xy x y xy y y x x
x y 2x 4y xy x y
+ + −
+ + =
+ − + + + +
+ + + + − +
⇔ + =
− + + +
( )( )
( )
x y x y xy
2(x y)
3(x y) xy x y
+ + −
+
⇔ + =
+ +
x y xy
1 xy
+ −
⇔ =
(158)x y xy xy
⇔ + − =
( )2
x y xy
x y
⇔ + − =
⇔ − =
x
x y
y
⇔ = ⇒ =
Vậy x y =
Câu 70 2 2 2 2
2 2
4
: ,
+ + − + −
= − > >
− + + +
a a b a a b a a b
P a b
b
a a b a a b
( ) ( )
( )( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2
4
+ + − − +
=
+ + − + −
a a b a a b b
a a b a a b a a b
( )
( )
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
4
+ + + + − + + − +
=
− − −
+ +
= =
− −
a a b a a b a a b a a b b
a a b a a b
a a b b a a b
b a a b a a b
2
2
2
2
0
0
+
>
− =
+
− <
−
a b
khi a
a b
a b
khi a
a b
Câu 71
( ) (2 )2
2 x a x a
a x 2x a a x 2x a
A =
x x x x
− +
+ − + +
= + +
x a x a
x
− + +
=
+) Với x≥ a x− a x= − a nên A = x a x a 2x x
x x
− + + = =
+) Với x< < a x− a = − −(x a)= a x− nên A = a x x a a
x x
− + + =
Câu 72
(159)a) Với x 0; x 4> ≠ , ta có:
x x 1
A :
x x x x
+ +
= −
− −
( )( ) ( )( )
x x x x x
x x x x x x
+ + + +
= −
− + + − + +
( x x x 4)(x ) x x x 4x
−
= =
+ +
− + +
Ta có x 14 2.3 5= + = + + =(3+ 5)2 ⇒ x = (3+ 5)2 = +3 3= + Khi đó, ta có:
( ) ( )
3 5
A
8 24
14 5
+ + +
= = = =
+
+ + + + +
b) Ta có A2 =24 3− + =(2 2− )2
( )
A
⇒ = ± −
Do A 0< nên A 2 3= − Câu 73
a) + Biến đổi ( )
( )( ) ( ()( ) )
2
x x x
x x x x x
x x x x x x
+ +
+ + +
+ = −
−
+ − − + − +
= x x
x x x
+ − =
− − −
+ Biến đổi
( )( )
1 x
x 1+ − − x = x 1+ x 1−
+ Ta có
( )( ) ( x 1)( x 1)
2 x
A :
x x x x x
+ −
= =
− + − −
+ Vậy A x x
+
= , với điều kiện x 0, x 1> ≠ b) Ta có:
1 2018 1 1
A 1
2018 x 2018 x 2018
+
≥ ⇔ + ≥ + ⇔ ≥
x ≤ 2018⇒ < ≤0 x 2018
Vì x 0, x 1> ≠ x nguyên nên x∈{2; 3; 4; ; 2018} Suy có 2017 giá trị nguyên x thỏa mãn toán
Câu 74 Ta có:
(160)2 a 2a b ab
A :
1 ab ab
+ +
=
− −
2(1 a)
2 ab(1 a) ab
+
= =
+
Khi a 0; b 0> > , 1 1 1
a b a b
⇔ a + b = ⇔ + = ⇔ = −
a + b = ab
ab Do
2
1 1 1
A (1 )
4
b b b
= − = − − ≤
Dấu “ = “ xảy ⇔ =b 4; a 4= Vậy giá
trị lớn A
4 a b 4= = Câu 75
Ta có:
( )
( )( )
( )( ) ( )
3
2
1 a a a
P a a
a a
1 a a a a
P a
a a a
1 a a a
P a (Do a a a 0)
a a
+ − +
= + − >
−
+ − + −
= + −
− +
− + −
= + − > ⇒ > ⇒ − > −
1 a a a a a a
P
a a
a a
P
a a
− + + − − + −
=
− −
= =
− Câu 76
( )( )
x x 3x x x x 3x x
a) P
x x x x x x x x
+ + + − + + + −
= − − = − −
+ − − − + − + −
( x 2)( x 5) ( x 3)( x 1) (3x x 5) ( x 1)( x 5)
+ − + + + − + −
=
+ −
x x ( x 1)( x 5)
− − − =
+ −
( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 5) x
+ + +
= − = −
+ − −
(161)Ta có P x 2 x x
x x x 12
<
+ +
> − ⇔ − > − ⇔ − > ⇔
− − >
+ Với x 5< ⇔ ≤ <0 x 25 + Với x 12> ⇔ >x 144 Câu 77
Điều kiện :x>0,x≠1
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 x x x 2x x
A
x x x x
x x x
2 x x
x x
1 3
1 x x x x x
4 4
− − +
= + −
− + +
−
= − + − −
+ +
= + − = − + + = − + ≥
Vậy A
≥ Dấu " "= xảy x x (tm)
2
⇔ − = ⇔ =
Câu 78
a) Ta có:
2 2 2
y
x x
Q :
x y x y x x y
= − +
− − − −
2 2
2 2
x x y x x y
x
y
x y x y
+ − − −
= − ⋅
− −
2 2
2 2
x x y x
x y y x y
− +
= −
− −
2 2
y x
x y x y
= −
− −
( )2
x y x y
x y x y x y
− −
= =
+ − +
Vậy Q x y x y
− =
+ với x y 0> > b) Ta có:
Thay x 3y= (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được:
3y y 2y
Q
2
3y y 4y
−
= = =
+ Vậy Q
2
= x 3y=
(162)Câu 79
( )3
x y 2x x y y xy 3y
A
x y x x y y
− + + −
= +
−
+ với x,y 0≥ x y≠
( )( ) ( y x( )( y) )
x x 3x y 3y x y y 2x x y y
x y x xy y x y x y
−
− + − + +
= +
+ − + − +
( )
( x3 x xy x)( xy yxy y) x3 yy
− +
= +
+
+ − +
3 y x
x y x y
= +
+ +
3 x y
x y
+
= =
+
Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến với x,y 0≥ x y.≠
Câu 80
a) ĐKXĐ: x 0; y 0,y 1,x y 0.≥ ≥ ≠ + ≠
( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
x x y y xy x y
P
x y y x
x y x y x xy y xy
x xy y
x y y x
+ − − − +
=
+ − +
+ − + − + −
= = + −
+ − +
( ) ( ) ( )( )
) = ⇔2 + − = ⇔2 1+ − + = ⇔1 −1 1+ =1
b P x xy y x y y x y
Ta có: 1+ y 1≥ ⇒ x 1− ≤ ⇒ x 2≤ ⇔ ≤x
Kết hợp với điều kiện x 0≥ ⇒ ≤ ≤ ⇔ ∈0 x x {0;1; 2; 3; 4} Thay vào phương trình P 2=
Ta ( ) ( ) ( )x; y ∈{ 4;0 ; 2; } Câu 81
(163)( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
2
a b a b
a b a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
2 a b a b a b
2b a b a b
a b
P a b
a b
− +
⋅
+ + − − − + −
− +
= ⋅
+ + − − + − − −
− + − − + − + + − +
= ⋅
− + + − + − − −
− + +
= ⋅
− −
−
= + > >
− +
2 a b
b a b
+ = +
Vì a – b = a = b + theo BĐT AM – GM:
( )2 2
2 b b
a b 2b 2b 1 = 2b + 1 2 2b 2 2
b b b b b
P= + = + + = + + + ≥ ⋅ + = +
Câu 82
a) ĐKXĐ: x≥0;y≥0,xy≠1
( )(1 ) ( )(1 ) 1 2
:
1
1
1
+ + + − − − + + +
=
− −
+ + + + − − + −
=
− + + +
x y xy x y xy xy x y xy
P
xy xy
x x y y y x x x y y y x xy
xy x y xy
( )
( )( ) ( )(( ))
2 2 1 2
1 1 1
+ +
= = =
+ + + + +
x y x x y x
x y x y x
b) Với ( )
( 2)( ) ( )2
2
x 3
2 3
−
= = = − = −
+ + −
( )2
x = 1− = 1− = 1−
( )
( )2
2 2 2
P
13
1
− − +
= = =
−
+ −
Câu 83
(164)( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
x x x x 1
a) P :
x
x x x x
x x x : x x
x
x x x x
x x
x x x x
2 x
x x
x x
x . x 1.
2 x x
x x
+ + +
= − +
−
+ − + −
+ + − + +
= −
−
+ − + −
+ −
+ + − −
=
+ −
+ −
+ +
= =
+ −
( ) x 0; x
1 x
b) 2 x x 1
P *
8 x
> ≠
+
− ≥ ⇔ +
− ≥
+
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 16 x x
* x x tm
8 x
− +
⇔ ≥ ⇔ − ≤ ⇔ =
+
Vậy x 9= x 1
P
+
− ≥
Câu 84
Với điều kiện x 0,x 1> ≠ , ta có:
( x x)( ) ( x ) ( 2x x 1)( )
P
x x x x x x x x x x
− + − +
= + +
− + + + + − + +
( ) ( )( )
( )( )
x x x x x 2x x
x x x x
− + + − + − +
=
− + +
( )
( x x )( x )
x x x x
+ −
=
− + +
( )( )
( x xx 1)( x 2x 1) x x x
− + +
= =
+ +
− + +
Ta có với điều kiệnx 0,x 1> ≠ ⇒ +x x 1+ > x 1+ >
x x
0 P
x x x x
+ +
⇒ < = < = + <
+ + + +
DoPnguyên nên suy P x x
x x
+
= ⇔ = ⇔ =
+ + (loại)
(165)Vậy khơng có giá trị x để P nhận giá trị nguyên Câu 85
Ta có A x2 x x2 x x x 1( ) (x x 2x.)
x x x x
− +
= + = − + + =
+ + − +
Do B 1= − 2A x 1 x 1 x− + = − − = − −( )=2 x Câu 86
Ta có:
( )
2
a = +3 3+ + − 3+ + − +
6
= + −
( )2 ( ) ( )2
6 3
= + − = + − + = +
Vì a 0> nên a= 1+ Do (a 1− )2 =3hay a2 −2a 0.− = Câu 87
( )( ( )) ( )( )
2
2
P x 1 x 1 x
P x 2 1 x x x
= − + − + − −
⇒ = − + − − = − +
Mà P= 1 x x x− + −( ) − + 1 x x x− − −( ) − ≥ ⇒ =0 P 2 x( − ) Với x P 2019
2019 2018
= − ⇒ =
Câu 88
Với n số nguyên dương ta có:
(n n1) (n nn) n n n 11 1n n 1n 1n n 11
= = − = − > −
+ +
+
+ +
Suy ra: A 1 1 1 1
2 2011 2010 2 2010 2011
= + + + > − + − + + −
1 87 89 89 2011
= − > − =
Lại có:
(n n+1) < n n 1+ ( + +2 n n) = 2n − n 12+
2 2 2 1 88
A 2
45 45
2 2010 2011 2011
⇒ < − + − + + − = − < − =
(166)Câu 89 Ta có
( )
( )
2
A 2 20 20 2 5 20
5
2 5 5
= − + − = − + −
= − + − = − + − = −