Tuyển tập 100 bài toán hệ phương trình

Với hệ này, cả hai ẩn và ở hai phương trình đều khó có thể rút ẩn này theo ẩn kia... Phương trình vô nghiệm.[r]

TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015 

NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN 1) PHẠM VĂN QUÝ

2) NGUYỄN VIẾT THANH 3) DOÃN TIẾN DŨNG

ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XỒI, TỈNH BÌNH PHƯỚC

Bài Giải hệ phương trình:

2

12 (12 ) 12 (1)

8 2 (2)

x y y x

x x y

    



    

 (x, y  R) (ĐH khối A – 2014)

Giải

Điều kiện :

2 12

12

y x

   

  

 

2 12

2 3

y x

   

  



Cách 1:

Đặt a  12y a,   0 y 12a2 PT (1) xa (12a2)(12x2)12

 122 12x2 12a2 x a2 12xa

 2 2 2 2

12

12 12 12 12 2.12

xa

x a x a xa x a

  

      



 2

12

12 2.12 12

xa

x xa a

  

   





12

( )

xa

x a

  

  



Ta có (x – a)2 =  x = 12y (*)

Thế (*) vào (2) : (12y) 12 y 12  y y2

 (4y) 12 y y 2

 (3y) 12 y 12   y 2 y 2

 (3 ) 12 2(3 )

12

y y

y y

y y

 

    

   



3

12

y y

y y

   

    

    



1

Vậy

3 x y

      Cách 2:

Ta có x 12 y (12x y2)  x2 12x212 y y 12

Dấu “=” xảy

2

12 12

y x

y y



 



2

(12 )(12 )

x y y x

    (3)

Khi (1) tương đương với (3)

(3) 2 2

0 0

144 12 12 12 144 12 12 (4)

x x x

x y x y x y y x y x

  

     

  

  

          

  

  

  

Thế (4) vào (2) ta có

3

(2)x 8x 1 10x x 8x  1 10x 0

 

3 8 3 2 1 10 0

x x x

      

  

2

1 (10 )

3

1 10

x

x x x

x

 

     

 

  

2

9

3

1 10

x

x x x

x



     

 

 

2

2( 3)

3

1 10

x

x x x

x

  

 

       

   

 

2

2

2( 3)

x

x

x x

x

   

  

    



  



3

x y

   

Vậy

3 x y

      Cách 3:

Đặt    

 

2

; 12 ; 12 ;

a  x x b  y y

 

12

a  b 

(1)

2 2  

2

a b a b

  

 

a b

   x 12y

(2) x38x  3 10x2 2

3 (vo nghiem x 0)

     

2

3

3

10

x x

x x x

x

 

    

 

  x y

x2 3x 1 10x2  1 2 3 x0

Đặt f x x2 3x 1 10x2  1 3 x

 

' 0

f x    x phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm hpt trên: (3;3)

Bài Giải hệ phương trình: (12 ) ( 1)

2 2

y x y x x y y

y x y x y x y

       



        

 (ĐH khối B – 2014)

Giải

Điều kiện:

0

4

y x y

x y

     

  



Phương trình thứ viết lại thành

(1 ) (1 ) ( 1) ( 1)

1

(1 )(x y 1)

( 1)

1

1

y x y y x y x y y

y

y y

x y

x y

x y y

         

 

    

       

   

TH1 : y 1 thay xuống (2) ta có



93x 2 x  2 4x  8 x (TM)

TH2 : x  y thay xuống (2) ta có

2

2

2

2 2 1

2

2( 1) ( )

1

( 1)

1

5

( )

2

y y y y

y y y

y y y y

y y

y y

y x TM

     

     

      

 

 



     



  

 

 

   

Vậy hệ cho có nghiệm : ( ; ) (3;1),( 1; 1)

2

Bài Giải hệ phương trình:

2

2

( 2) ( 6)

( 1)( 7) ( 1)( 1)

y x x x y

y x x x y

    



      



Giải

ĐK: x y, R Đặt a x

b y

   

 

 , ta có hệ trở thành:

2 2

2 2

( 1) ( 1)( 6) ( 1)( 6) ( 1) (*)

( 1)( 6) ( 1) ( 1)( 6) ( 1)(**)

b a a b a b b a

b a a b b a a b

 

         

 

 

 

         

 

 

 

Trừ vế theo vế hai phương trình thu gọn ta có:

( )( 7)

2

a b

a b a b ab

a b ab

  

          



 Trường hợp 1: a b thay vào phương trình (*) ta có:

2 2

( 1)( 6) ( 1)

3 a

a a a a a a

a

  

          



1 x x

  

   

 hệ có nghiệm (x; y) là:  Trường hợp 2: a  b 2ab 7

Trừ vế theo vế hai phương trình (*) (**) rút gọn ta có:

2

5

2 2

a b

   

      

   

   

 

   

Vậy ta có hệ phương trình: 2

2

5

2 2

a b ab

a b

    



   

   

      

   

   



Đây hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có nghiệm: 2; 3; 2;

2 3

a a a a

b b b b

   

       

   

   

       

   

   

Từ ta có nghiệm (x; y) là: (1;2),(2; 3),(1;3),(2;2)

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1;3),(2;2)

Bài Giải hệ phương trình:

3

2 2

12 16

4

x x y y

x x y y

     



      



Giải

ĐK: x   2;2 , y 0;4

Ta có PT(1)(x 2)36(x 2)y3 6y2

Xét hàm số f t( )t36 ,t t   0; 4 ta có f t'( ) 3t2 12t 3 (t t4)  0, t 0; 4 f t( ) nghịch biến 0;4 Mà phương trình (1) có dạng: f x( 2) f y( )yx2 thay vào phương trình (2) ta có: 4x2  6 4x2  x từ ta có y =

Bài Giải hệ phương trình: 3 2

4 52

x y

x x y x y xy

   



       



Giải

§K: y  1

3

3

4 4 13 52

x y

HPT

x x y xy x x y

   

  

        



2

3

( 1) 13 52

3

2 13

3

1

x y

x x y x y

x y

x y

x y

y y

   

  

     



   

  

   



   

  

   

2

3

5

11 24

3

7

3

8

x y

y

y y

x y

x y

y y

y

   

   

   

  

   

  

 



   

 

       

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:

3 x y

    



Bài Giải hệ phương trình:

2

2

1

1

y x y x

xy

xy x y

   

  

 

    



ĐK: x 0;y 0;xy 1

 1  y 2x  y x  xy  0  y  x y 2 x 10  y  x  y x thay vào

Bài Giải hệ phương trình:

 3  2  

2

5

5

5

2

x y x y

x y xy

xy xy

x y

x y

  

    

 

 

    



ĐK: 1;

5

x   y

Đặt u  x y u, 0;v  xy v, 0

 1 2u3 3u v2 uv2 2v3 0 u 2 2 u u 1 0 u 2 u 2v

v v v v

 

     

    

                     

 2

2

x y xy x y x y

        thay vào  2 , ta được:

 

5 5

5 3 3

5 2 2

x x

x x x x x

x x x x

 

   

             

 

       

1

5 1

3 ì

5

5 2

x y

VN v x

x x

    



      

    



KL: tập nghiệm hệ pt là: S   1;1

Bài Giải hệ phương trình:    

 2

3

2

3

2

1

2 1

1

1

x y

x x x

x y

y x y

y y

x x

y y

     

  

       

  

   

  

   

 

ĐK: y 0

Hệ          

2

3

3 2 3 2 2

1

1

1 1 4 0

x y x y

x y x y x y

x x y y x x y y

  



       

          

  

 

    

      

 

1

1

y x x

x y

 

    

 

   

 

 

KL: S   1;2

Bài Giải hệ phương trình:  

2 2 2

2

4

3 10 34 47

x xy y x xy y x xy y

x xy y

        



   



ĐK:

2

2

3

4

x xy y x xy y

   



   

Chuyển vế nhân liên hợp phương trình  1 , ta được:

 2    

2 2

1

5

6

4

x y n x xy y

x y n

x xy y x xy y

   

  



      

  



      

  

Với x y thay vào  2 , ta được: 1

1

x y

x

x y

    

       

Với x  6ythay vào  2 , ta được:

47 47

6

82 82

82 47

47 47

6

82 82

y x

y

y x



    

 

  

    



KL:   1;1 , 1; , 47; 47 ; 47;6 47

82 82 82 82

S

    

  

   

    

       

 

 

   

 

 

 

Bài 10 Giải hệ phương trình:  

 

2

4 2

3

9

x xy x y

x y x y x

    



    



Hệ

 

2

2

2 2

3 3

3

x y x xy

x y x y x

   

  

   



Thay  1 vào  2 , ta được: 2 

2

0

1

9 15

3

4

3

x y

x y y y x

y x x VN



    

 

       



      



KL:  0;0 ; 1;1

3

S   

 

 

 

Bài 11 Giải hệ phương trình:

 2  2

2

2

2 4 13

2

x y xy

x xy y

x y

x y x y

     



  

   

 

 



ĐK:

0

2

x y x y x y

   

   

Hệ

   

2

4 4

2

x xy y x y

x y x y x y x y

      

  

      



Ta có PT   1 2 4   

2

x y

x y x y

x y l

  



          



Với x 2y1 thay vào  2 , ta được:

 

3y1 y  1 3y9y 6y 13y     0 y x thỏa mãn KL: S   1;

Bài 12 Giải hệ phương trình:    

2 2

2

5 2

3

x x y x y x y

x y

       



  



ĐK: x 2y

Ta có  2 x2  6 3y thay vào  1 ta được: 15y 65y 5y     9 y x thỏa mãn

KL: S   3;1 ;  3;1

Bài 13 Giải hệ phương trình:

 

    

2

2 2

1

1

4 1 1

x y

y

x y

x y x x x y

 

  

   

  

          

  

  



ĐK:

2

1

1

1

x x

y

x y

    

 



    



Đặt:

2 1, 0

1,

a x a

b y b

   



   

 , ta được:

 

2

3 2

2

4

b a b

a ab a b

  



   



Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S  10;2 ;  10;2

Bài 14 Giải hệ phương trình:

3

2

20 3

3

y y xy x y

x y y

     



   

Hệ    

3

2

20 3

3

y y y x y

x y y

     



 

  



Thế  2 vào  1 , ta phương trình bậc KL: 1; ; 3;

2 5

S     

   

 

 

Bài 15 Giải hệ phương trình:

2

2

3

2

x y x y

y x y x

    



      



ĐK:

2

y

Ta có PT   2 2  

3

0

1 3

6

y x y x

y l

x y y x

y xy

x y

  

  

 

  

       



 

  

Với x y thay vào  2 , ta được:

 

2

1

2 11 2

2 2

y x

y y y y y y y y l

y x

    



              



     



KL: S  1;1 ; 2  2;2 2

Bài 16 Giải hệ phương trình:

 

 

4 2

2

2 2

2

2

3

3

x y x y

x y

y x x y

xy y x

  

   

 



   



ĐK: x y 0

Ta có PT    

 

4 2

2

2 2

2

2 2

1 x y x x y y x y x y

x y x y x y

 

   

    

 

       

  

   

 

 Với x ythay vào  2 , ta được: x   1 y

 Với x  y thay vào  2 , ta được: y    1 x

Bài 17 Giải hệ phương trình:

2

3

10 38 41

6

x y xy x y

x xy y y x

      



      



ĐK:

3

3

6

1

x xy y y x

   



   



Ta có PT  1 10x2 2x y 195y26y410

Tính Δ'x  49y12   0 y thay vào  1 x 2 thỏa hệ phương trình KL: S   2;1

Bài 18 Giải hệ phương trình:

3 2

3

2

2

x y x y xy xy x y

x y x x y

       



      

ĐK: x y

Ta có PT     2  2

1

1

0

y x

x y x y x y

x y x y

   

            



 y  x thay vào  2 , ta được: 2 0

1

x y

x x x

x y

     

       



 x2 y2      x y x y v xì  y 0 thay vào hệ không thỏa

KL: S  1; ; 0; 1 

Bài 19 Giải hệ phương trình:  

 

2 3

2

2 2 2

3

8 3 1

4 12

y x y y

y y x y x

      

 

        



ĐK: 1

2 x



 

Đặt:

2

2

1 ,

a y

b x b

  



   

 , ta có:

3 2

2

3 2

3

3

a a a b b

a b b

a a a b

     

   

    

 thay vào  1 , ta được:

 3  2  

2 3 2 3 0 0 0

b b  b b  b b  b      b b a Khi ta có:

2

1

1

2

1 1

x x

y y



 

   

   

 

 

   

   

 

KL: 1;1 ; 1; ; 1;1 ; 1;

2 2

S            

       

 

 

Bài 20 Giải hệ phương trình:   

6 2

3

3 24 18 11

1 2

x y y x x y

y x x y

      



      



ĐK: y0

Ta có PT  1 x2 2y3x4 6x y2 9x2 12y2 18y10

Với x2 2y thay vào  2 , ta được:

 

3

3

2 3

3

1

1 1

1 (4 1) (2 1)

x x x x

x x x x x

 

 

 

         

        

 

1

2

x y

   

KL: 1;1

2 S   

 

 

 

Bài 21 Giải hệ phương trình:

 

2 2

1

4

x y x y

xy

xy x y xy

x y y x

  

   

 



    

 

ĐK: x 0;y0

Ta có PT    

2

2

1  y  x xy  0 x  y xy   x y x y 2 xy thay vào  2 ta được:

 xy 1xy xy xy  xy 4 0 xy 1

Khi ta có:



3

3 2

1 3 5

2 x

x y

xy

y

 

 

   

  

 

  

 

  



KL: thay vào hệ ta có tập nghiệm: 3;

2

S

 

   

 

 

  

 

 

 

 

Bài 22 Giải hệ phương trình:

  

1 4

2

1 1

1

1 1 2

2

x

x x

y y y

y

y x x y

 

      

   

 

       



ĐK: x 1;y1

Đặt: 1,

1,

a x a

b y b

   



   

 Ta có    

2 2 2 2

1  b2 a b 2abab 0

0 b a

     



1

5

1

x x

y y

    

 



  

 

 



thỏa hệ phương trình KL: S   1;5

Bài 23 Giải hệ phương trình:

3

3

1

4

1 1

2

3

x y

y x y

x y y

 

 

  



 

  



   



ĐK:

1

2

3

y x y x y

  

  



  



Ta có   1 

3

x y x y

y x y

 

 



      



  

  thay vào  2 , ta được:

  

2 2

3

1 1 1

1 1

2 2

2 y y a a a a a a a y

 

 



                

 

    

6

1

1 y x

y

     



KL: S  8;2 

Bài 24 Giải hệ phương trình sau:  

 1 21 42 00 ( , )

x y y

x y

y y x x

     

 

     



Giải

Điều kiện: x 1

Đặt t  x 1, t 0 Khi x t2 1 hệ trở thành

2 2

(1 ) 2 ( ) 2

( ) 3 ( ) 3

t y y t y ty t y ty

y y t t y ty t t y ty

  

              

  

  

  

              

  

  

  

Suy

0

2( ) 3( ) 3 3

2

t y y t

t y t y

t y y t

    

 

 

     

      

 

 

 Với 3,

2

y  t ta có 3 13

2 t t t t t

   

 

           

 

Suy 19 13, 13

8

x   y  

Vậy nghiệm (x; y) hệ

Bài 25 Giải hệ phương trình sau:

2

2

( 2)

1

x x x y y x y

x y x y

         



     



Giải

Điều kiện:x2   y

Phương trình (1) (x 2) (x 2)2     3 x y (y)2  3 y Xét hàm số f t( )t t2  3 t Có

2

2

'( )

3 t

f t t t

t

     



Hàm số f(t) đồng biến RPhương trình (1)    x y Thay vào (2) ta có

:

2

2 2

2

3

1 2

1 12 12

3

3 2

1 1 (tmdk)

2

3 13 10 10

3

x x

x x x

x x x x x x x x

x x

x x y

x x

x

 

 

     

 

 

     

           

 

 

 

   

 

   

 

   

       

    

 

   

  

Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1)

Bài 26 Giải hệ phương trình sau: 53  10 2 5 48  , 

2 11 66

x x y y

x y

x y x x y x

      

  

         



   

1

Giải

ĐK:

10 10

9

2 6

2 11 11

x x

y y

x y x y

x y x y

 

    

 

 

    

 

 

 

       

 

 

       

 

 

 

Xét hàm số f t 5t2 3t khoảng t 0; có f t/ 15t2    3 0, t hàm số đồng biến Từ (3) ta có f 10x  f 9y 10 x 9   y y x 1, 4  Thay (4) vào (2) ta x  7 10 x x22x660(5) ĐK: x   7;10

Giải (5) ta

      

   

2 9

7 10 63

7 10

1

9 [ ] 9,

7 10

x x

x x x x x x

x x

x x x y

x x

 

              

   

       

   

Vậy Hệ phương trình có nghiệm    x y;  9;8

Bài 27 Giải hệ phương trình sau:

1

1

1 1

1 2

y x

x y

x y

x y

 

    

   



    



Giải

ĐK:0x y; 1

PT(1) 1

1 1 (1 )

y x

x y

x y



    

     (*)

xét h/s ( )

1

t

f t t

t

 

  ; có

'

2

1

(1 )

2

( ) , (1; )

(1 )

t t

t t

f t t

t

  



     

 

vì (*)  f x( ) f(1y)  x y, vào pt(2) ta :

2

1 x 5 x 2  6 2x 2 56x x 8

2 2 1

5 6 ( 1)

2

x x x x x x x y

              (tmđk)

vậy hệ pt có nghiệm

1 2 x y

      

Bài 28 Giải hệ phương trình sau:

3 3

2

27

9

x y y

x y y x

  



  



Giải

Nhận xét y 0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ phương trình thứ nhất,

3

(3 )xy 7(3 )xy 14(3 )xy  8

Từ tìm 3xy 1 3xy 2 3xy 4

Với 3xy 1, thay vào phương trình thứ nhất, y=1

3

Với 3xy 2, thay vào phương trình thứ nhất, y=0 (loại)

Với 3xy 4, thay vào phương trình thứ nhất, y=-2

3

x  

Bài 29 Giải hệ phương trình sau:

3

2

4

3

x y x y

x y

   



  



Giải

Phương trình (1)2(x3y )3 4(2 x y)

Từ phương trình (2) thay 4x2 3y2 vào phương trình rút gọn ta được:

2

0

6

5

y

x y xy y x y

x y

   

      

   

TH1 : y 0 thay vào hệ ta

3

4

2

x x

x x

 

   

 

  nghiệm (x; y) ( 2; 0)

TH2 : x     y y x thay vào hệ ta :

3

2

1

4

x x

x x

 

   

 



Hệ có nghiệm (x; y)(1; 1); ( 1;1) 

TH3 : x  5y thay vào hệ ta có nghiệm (x; y) ( ; 1); ( 1; )

7 7

 



Bài 30 Giải hệ phương trình sau:  

     

2

(x; y R)

1

y x x y

x y y x y x

    

 

       



Giải

ĐK: 2 1;

3

x y

x y x

    

   



PT (1) x 2.yx y 2 x  2 có  y x2 8x 2  x 42

 

2

2

2

0

4

x y

x

y loai

x

 

 

 



  

   

 



với 2

2

x

y y x y x

x



      

 , vào (1) ta

    

1 1 2

x  x    x   x  x   x 1.( x  2 1)x1   x 12  1

 (*)

Xét hàm số f t( )t t2  1 1t t2  1 t , có

2

'

2

( ) 1 ( )

1 t

f t t f t

t

     

 đồng

biến Vì PT (*)

 2

1

( 1) ( 1) 1

1

x

f x f x x x

x x

  

         

   

  x

Với x =  y (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 5)

Bài 31 Giải hệ phương trình sau:

 

2 1 2 2

2

x y x y

x y y y

    



   



Giải

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

      

2 2 1 1 2 4 2 2 2 2 2 0

2

x

x xy x y x x y x y x x y

x y

  

                



Trường hợp x=2 thay vào (2) ta có y =

Trường hợp x+2y = thay vào (2) ta phương trình vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm x = 2; y =

Bài 32 Giải hệ phương trình sau:

 

 

2

2

2

1

1

2

xy y y y

xy x y

y

    



    



Giải

Điều kiện y 0

 

 

 

 2

2 2

2

1

1 4

( )

1

2 5

x y y y x x

y y

I

y x x y x

y y

 

 

         

 

 

 

 

        

 

 

 

 

Đặt u y x 1 1;v x

y

     ta có hệ

   

2

5 5

10

2 15

1

1

1 10

u v v u u u

v v

u v u u

y x y x

hay y y

x x

   

          

   

   

   

          

   

 

 

 

 

        

 

 

 

 

     

 

 

 

2 1

10

1

9 1

2

x y

y y y y

x x x y

   

 

        

 

  

     

  

 

 

  

Bài 33 Giải hệ phương trình sau: 2 2 1 22 y x x y x x y y              Giải

Điều kiện: x0, y 0 x2 + y2 - 0 Đặt u = x2 + y2 - v = x

y Hệ phương trình (I) trở thành

3 21 u v u v         

2 13 21

21 v v u v           u v     



7 u v     

 + Với

9 u v        x y     



3 x y       

 Với

7 u v         14 53 53 x y         14 53 53 x y          

Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), 14 ;4

53 53          

 

2

14 ;

53 53             

Bài 34 Giải hệ phương trình :

 

3

1

1

x y x

x y

    



  

 (I)

Điều kiện: 1

0 x x y y                    

Ta có (I)  

 

2 3

4

1 1

1

x x x

x y             

Từ phương trình : x 1 x12  1 x3 x    1 x3 x2 2x 2

(1) Ta thấy hàm số f x( ) x 1 hàm đồng biến  1; 

Xét hàm số g x( )  x3 x2 2x 2 Miền xác định: D 1;

Đạo hàm g x/( ) 3x2 2x  2  x D Suy hàm số nghich biến D Từ (1) ta thấy x 1 nghiệm phương trình nghiệm Vậy hệ có nghiệm  1;0

Bài 35 Giải hệ phương trình :

2

3

3

x x y

y y x

    



    





(II) Điều kiện:

Ta có (II)

2

2

3

3

x x y

x y y

    

  

    



Cộng vế theo vế ta có: 3x2 3 x  3 3y2 3 y 3 (2) Xét hàm số f t( ) 3t2 3 t 3 Miền xác định: D  1;

Đạo hàm: /

2

3

( )

2

t

f t x D

t t

     

 Suy hàm số đồng biến D

Từ (*) ta có f x( ) f y( ) x y

Lúc đó: 3x2  x 3 (3)

+ VT (3) hàm số hàm đồng biến D + VP (3) hàm D

Ta thấy x 1 nghiệm phương trình (3) (thỏa điều kiện) Suy phương trình có nghiệm x 1 nghiệm Vậy hệ có nghiệm  1;1

Bài 36 Giải hệ phương trình :

3

2

2 (1)

1 2 (2)

y x x x y

y x xy x

     



    



ĐK : 1  x

Từ (1) ta có : 2.y3 2(x1) 1 x 1 x 1 x y (thêm vào vế trái 1x )

3

2y y 2( x) x

     

Xét hàm số f(t) = 2.t3+t có f’(t ) = 6t2 + >0 suy hàm số đồng biến Suy y = 1x vào (2), ta có 1  x 2x2 2x 1x2 (3)

Vì 1  x nên đặt x = cos(t) với t [0; ] sau vào phương trình (3) kết

Bài 37 Giải hệ phương trình:

2

2

1

(1)

57

4 (3 1) (2)

25

x y

x x y x

   



     



Giải

ĐK: x y, R

Nhân vế phương trình (1) với 25 nhân vế phương trình (2) với 50 ta có: Hệ phương trình

2

2

25 25

200 150 114 50 (3 1)

x y

x x y x

  



 

    



Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta có:

2

225x 25y 25150xy 150x 50y 144

 2 15 5 12 15

15 5 144

15 5 12 15 17

x y x y

x y

x y x y

      

 

       

      

 

 Với 15x 5y 7 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: 2 2

15

1

x y

x y

  



   

 2

2 2

11 25

5 15

2

5 15 11

5 15 25

25

25 25 25 15

2

5

5 1

5 x

y x

y

y x

y x x

x y x x x

x

y

  

   

 

 



  

    

     

 

    

      

   

   

     



 



  

  Với 15x 5y 17 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình: 2 2

15 17

1

x y

x y

   



   

 2

2 2

5 17 15

5 17 15 15

25 25 25 17 15 5

y x

y x y x

x

x y x x 



     

       

 

 

      

   

  

 

hệ vô nghiệm

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là:

2 11

5; 25

1

5 25

x x

y y

 

 

   

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

Bài 38 Giải hệ phương trình: (1)

0 (2)

x y x y

x y x y

     



    



Giải

Điều kiện :

3

x y

x y

   

  



Hệ Phương trình tương đương

1 2

x y x y x y x y x y

x y y x x y y x

 

           

 

 

 

       

 

 

 

 

2

2 x y 2x y y x x y

x y y x

x y y x

 

       

 

 

  

     

 

4

5

y x y x

x y y x x x

 

     

 

 

  

     

 

 

 

2

4 1

5

y x x

x x x

  

 

 

    



4

1

9 11

y x x

x x

  

 

 

   



4

1

2

y x

x x x

 

   

  

      

3 x y

     



Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm

3 x y

      Bài 39 Giải hệ phương trình:

2 2

3

2 2 (1)

2 (2)

x y y x

x y y x

    



   



Giải

ĐK: 2x2 y2 0

Đặt : t  2x2 y2 (t 0)

 

2

2

1

1

3

1

2

t

t t

t

t x y

x y

          

    

  

Khi hệ phương trình tương đương

2

3

2

2

x y

x y y x

  



   



  

2

3 2

2

2 2

x y

x y y x x y

  



 

  



2

3 2

2

5 2 ( 3)

x y

x x y xy y

  





   



Hệ phương trình tương đương

2

2x

x

 



 

 ( vơ lí )

Vậy cặp ( x , 0) không nghiệm hệ

TH2 : Chia hai vế ( ) cho y3ta có hệ phương trình tương đương

2

3

2

5 2

x y

x x x

y y y

  

 

         

     

  

      

      



2

2

1

x y x y

  

  

  

1

x y

x y

   

    

Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm S 1;1 , 1; 1

Bài 40 Giải hệ phương trình:  

2

2

1

6

8

1

2

4

x y xy

x y

y

x y

     



 

 

   

 



Giải

Điều kiện: x  y

Hệ phương trình biến đổi tương đương

   

 

   

2

2

1

2

8

1

0

x y x y

x y

x y x y

x y

      



 

 

      

 



Đặt

a x y b x y

x y

   

   

 



Ta có hệ tương đương

2

2

8

0

a b

a b

     



    

2 25

2

8

a b

a b

    

 

   

2

5 25

2

4

5

b b

a b

  

   

     

      



   

5 a b

     

  

Vậy hệ có nghiệm   13

; 8; ,8;8

Bài 41 Giải hệ phương trình:     

2

2

1 25

2

x y x y y

x xy y x y

     



      

Giải

Hệ phương trình tương đương     

     

2

2

2

1 25

1 10

x y x y y

x y x y y y

     



        



Nhận xét y 1 khơng nghiệm hệ phương trình Chia hai vế phương trình hai cho y 1 ta có

  

 

2

2

1 25

1 10

x y x y y

x y

x y y

   

 

 

 

    

 



Đặt

2

1

x y a

y b x y

 

 

 



    

Khi ta có 25

10 a b

a b

  

   

 

2

5

5 10

a x y y

b x y



 

     

 

     

 

 

Vậy hệ có nghiệm    ; 3;1 , 11; 2

x y   

 

Bài 42 Giải hệ phương trình:  

2 2

3 2

4

4

x x y y y x y x y y xy

     



     



Giải

Nhận xét y 0 không nghiệm hệ phương trình Chia hai vế phương trình cho y2 hai y3

 

2

3

2

1

4

1

4

x x

y y

x x

x

y y y

     

 

      



Đặt

1

a x y x b

y

  

     

2

2

a a b a ab

    

  

  

2 2 4 2

1

4

a b a a

b

a a

 

     

 



  

 

 



1 x y

     



Hệ có nghiệm    x y;  1;1

Bài 43 Giải hệ phương trình:

2

2

5

4

5

x y

x y x y

x y

x y

xy

  

  



 

   

 

Giải

Hệ phương trinh tương đương:

2

5

4

5 5

x y

x y x y

x y

x y

y x

  

  



     



2

2

5

4

5

x y

x y x y

x y y x

x y

  

  

 

 

  

 

2

2

5

4

x y

x y x y

x y y x

x y

  

  

 

 

  

 

Đặt

2

2

x a

x y

y b

x y

 

 

  

 



ta có

4

1

1

a b

a b

   

   

4

4

a b a

ab b

 

    

 

   

 

 

Hệ có nghiệm  ; 3; 2

x y   

 

Bài 44 Giải hệ phương trình:

  

3

5

3 2

2

x y x y

x

y xy y

    



 

     





Giải

Điều kiện ta có

; 3; 3

y x  yx Phương trình (1) tương đương     

2

3

x  yx y  

2 52 122 12 x y x y y       

6

x y x y        Với x 6y9

3

x 6y     9 y Suy phương trình vơ nghiệm Với x2y1thay vào phương trình ( ) ta có

2

3y 2 y 2 2y3y2      2 2 2

y y y y y

2

2 1( )

3 2

y

y vn

y y

   

   

   



Vì 2 ;2

3

3y 2 y2  y 

Vậy hệ có nghiệm ( ;2 )

Bài 45 Giải hệ phương trình:  

2

2 10 1

3

1

1

y y x y y x

y x y

x

        



    

 



Giải

Điều kiện 2y2 7y 10x y 30;y 1 0;x  1

Ta có  

    

2

2 10 1

1

y y x y x y

x y x y x

        



      



     

    

2

2 10 1

1

y y x y x x y y

x y x y x

           

  

      



      

    

2

2 10 2

1 1

y y x y x x x y

x y x x y

          

 

      



Phương trình ( *) tương đương 2y2 4y 2 3xyx23x 

2

x y

x y

    

    

Với y = – x thay vào phương trình ( ) ta

x 1 2     x 1 x x2

( VN )

Với x = – 2y thay vào phương trình (2) ta phương trình đơn giản ẩn y Từ có nghiệm hệ

Bài 46 Giải hệ phương trình:

2

2

2 2 ( )

2 2 ( )

x x x y y y

x y x y

       



      

Giải

Lấy ( ) – ( )

Ta có x2 3x  2 x  2 4y2 2y 2y1

2

(x 1) (x 1) x 4y 2y 2y

         

Xét hàm số : f t( )t2  t t1

'( )2

  1

2 1

2

4

t

t t

      

 

Suy f t' 0

Vậy f t  hàm đồng biến Suy x  1 2y

Thay x 2y1 vào phương trình ( ) ta có 2y122y2 2 2 y   1 y

1

6 1 2

6

y x

y y

y x

    



     

    

Vậy hệ có nghiệm  1;2 , 1;

S   

 

 

 

Bài 47 Giải hệ phương trình: 33  2

2 2

x x y y

x y

     



    



Giải

Điều kiện 2;

2

x  y 

Phương trình ( 1) tương đương : 2x 2 x 2 x 2y1 2 y 1 2y1

   

f x f y

   

Xét hàm số f t t3 t ta có f t' 3t2  1 sauy hàm số f t  đơn điệu tăng

Từ suy f 2x  f 2y1 2 x 2y1   x 2y thay vào phương trình (2) Ta có 352y 2 y 2 5( * )

Đặt

 

35 2

2

u y

v y v

  



   



(*)

2

2

u v

u v

  



   



1;

3 65 23 65

;

4

65 23 65

;

4

u v

u v

u v

  



   



  



  

  



2

233 23 65

32

233 23 65

32 y

y y

   

 

   



 

  

Vậy hệ có nghiệm

  23 65 185 233 23 65 23 65 185 233 23 65

1;2 , 16 ; 32 , 16 ; 32

S

            

   

Bài 48 Giải hệ phương trình:

   

2

2

2

2 1

x y y x x

x y x

   



    



Giải

Với x 0 thay vào hệ phương trình ta có

0 y y

  

 

 

 ( mâu thuẫn )

Chia hai vế phương trình ( 1) cho x3 ta có

3

3

2y y 2x x

x x

   

    

   

y

f f x x

   

   

 

Xét hàm số f t t3 2t có f t' 3t2  2 sauy hàm số f t  đơn điệu tăng Từ suy y x x2 y y 0

x     Thay vào phương trình ( 2) ta có

  2  2

2 1

x  x   x  (*) Đặt

 

2

1

u x

v x v

  

   



(*)u2v v2 2uv2uv2v 2u 0 vu v 2 0    v x

Vậy hệ có nghiệm S   3; ,  3; 3

Bài 49 Giải hệ phương trình:    

2

2

4

4

x x y y

x y x

     



    



Giải

Điều kiện :

3 x y

      

Phương trình ( ) biến đổi ta có      

3

3

8x 2x  62y 52y  2x 2x  52y  52y

Xét hàm số f t t3 t ta có f t' 3t2  1 suy hàm số f t  đơn điệu tăng Từ suy  f x 2  f 52y 2x  52y  

2

5

0

x

y  x

  

Thay vào Phuong trinh ( 2) ta có

2

2

4

2

x

x      x  

  Với

3 0;

4

x   Nhận xét

3

 

2

2

4

2

x

g x  x      x 

  Khi    

2

' 4

3

g x x x

x

   

 với

3 0;

4

x   

 

Ta có 1;

2

g        x y 

  nghiệm hệ

Bài 50 Giải hệ phương trình:  

2 2

2

3

1

2

2 2

y y y x

x x x x y

     

 

       



Giải

Điều kiện 2x 4y 2 Phương trình ( ) tương đương

  2

2x 4y 2 y 1 2y y  1 y 2x 4y 2  y2  1 y2

(*) Thay vào phương trình (2) ta có

 2  2 2

1 1

x   x    y  y

2

2

1

1

2

x x

y y

 

   

       

 

Xét hàm số f t( ) t t2 1 Khi dó

2

'( )

1

t f t

t

  

 suy hàm số f t  đơn điệu tăng

Từ suy  

2

x

f    f y

   

1

2

2

x x

f    f y     y x y

  thay vào phương trinh

(*)ta

 2

2

2

1

1

4

1

y y

y y y

y y

   



      

    



5 x

 

Vậy hệ có nghiệm 3;

2

 

       

Bài 51 Giải hệ phương trình:

2 2

2 3

x x x y y x y x y        

     

Giải

Cộng hai phương trình ta có     2 2

2 2

2 1 4

x x x x y y x x y y               

Xét hàm số f t  t t4t0 Khi ' 1214

Từ suy f x  12 f y 2 x 12 y2

1

y x

y x

   

   

Với y  x thay vào phuong trình hai ta có

   

2

2 3 1

x  x  x   x  x   1

2

x y 

   

Với y  1 x thay vào phương trình hai ta có

   

2 2 1 3 3 1 1 0

x  x  x   x  x  

4

x   y

Bài 52 Giải hệ phương trình:

   

2

2

2 2 32

1

x x y y y

x y x y

     



     

Giải

Xét phương trình thứ hai hệ : 2

2 x  x y   y

Phương trình có nghiệm   1 4y24y  2 4y4y2 0

3

2 y



  

Phương trình thứ hai hệ biến đổi theo biến y

2 0

2 y  y x   x

Phương trình có nghiệm

2

1 4x 4x 4x 4x

        

2 x



  

Phương trình thứ ta có

3

8x 2x  4y 2y  y 32

Xét hàm số

 

8

f x  x  x Khi f x' 24x2 4x với  

0

' 1

6 x f x

x

   

  

  

Ta có  0 0; 1; 1 ; 63

2 54 2

f  f  f  f 

     

Xét hàm số

 

4 32

g y   y  y  y g y'  12y2 4y1 với  

1

'

y g y y        

  Ta có 1 63 1 1733 1 63 3 79

Vậy hệ phương trình có hai căp nghiệm 1; ; 3; 2 2

    

   

   

   

 

   

Bài 53 Giải hệ phương trình: 3 2

4 52

x y

x x y x y xy

   



       

 x y, 

Giải

§K: y  1

3

2

3

4 4 13 52

3

( 1) 13 52

3

3

2 13

x y

HPT

x x y xy x x y

x y

x x y x y

x y

x y

x y y y

   

  

        



   



 

     





 

       

 

 

      

 

 

2

3

5

11 24

3

7

3

8

x y

y

y y

x y

x y

y y

y

   

   

   

  

   

  

 



   

 

       

Bài 54 Giải hệ phương trình:  

   

2

2

2

5

2

x y xy y x y

xy x y x y

     



    

 x y, 

Giải

Biến đổi phương trình thứ hai hệ ta có

2 2 2

2

( ) 2 ( ) ( ) ( 1) 2( 1)( 1)

( 1)( 2)

xy x y x y x y x y xy xy xy

xy x y

           

    

2

3x y6xy 3y  0 y x( y) 0

Vì xy = nên y 0, x = y Do x = y =1 x = y = -1 +) x2 y2 0 thay vào phương trình thứ rút gọn ta được:

3 4 5 2 0 ( 2 )( )2 0

2

x x y xy y x y x y

x y

x y

       

     

Từ giải nghiệm

2 2

(1;1),( 1, 1),(2 ; ),( ; )

5 5

   

Bài 55 Giải hệ phương trình:

2

2

2 (1)

3 (2)

x x x y y

x y x y

      



     

 x y, 

Giải

Từ (1):

2

2

2

3

2

x y x

y x

x x y

    

    , thay (2) vào ta

2

1

( )( 1)

2

x y

x x y

  

     x 3y

Với x = 3y thay vào (2) giải được: ( , ) ( ; );( ; )3

2 4

x y 

Bài 56 Giải hệ phương trình:

4 2

2 2

1 25 (1) (18 ) (2)

x y y x

x y y x

    



    



Giải

Dễ thấy với y 0 hệ pt vô nghiệm

Xét y 0.Chia (1) cho y2, chia (2) cho y ta hệ

4

2

2 2

2

2

2 25

1

18

x x

y

y y y

x

y x

y y

    

 

     



2

2

2

2

( ) 2( 1) 25

1

18 x

y x

y x

y x

y

 

    

    

   

 

Đặt

2

2

1

x

a y

y b x

 

  

    

ta hệ

2

7 11

2 27

18

27 a b

a b

a b a

b

  

 

    

  

 

     

 

 

+ Với

11 a b

    

 ta giải

2 11 x y

    



2 11 x y

     

+ Với

27 a b

     

 vô nghiệm

Vậy phương trình cho có nghiệm

2 11 x y

    



2 11 x y

      Bài 57 Giải hệ phương trình:

3

2

8 65

2(2 ) (1 )

x y

y x x y xy

  



      



Giải

Hệ

2 2

2 2

(2 )(4 ) 65 (2 )[(2 ) ] 65

(2 )[3 (2 )]

4

x y x xy y x y x y xy

x y xy x y x xy y x y xy

 

         

 

 

            

 



3

3

2

2

(2 ) (2 ) 65

(2 ) 2(2 ) 75

(2 ) 3(2 ) 15 0( )

2.(2 ) +6 (2 ) 10

x y x y xy x y

x y x y

x y x y VN

x y xy x y

 

      

 

             

    

 



Thay y = 2x – vào (1) ta có 3

2;

8 (2 5) 65 15 1

;

2

x y

x x x x

x y

   

 

       

   



Vậy hệ có nghiệm (2; 1);( ; 4)1

2

 

Bài 58 Giải hệ phương trình:

2

2 2( 1)

1 2( )

1

y x x

y x

x

    



   

 



Giải

ĐK: x 1

Hệ phương trình cho trở thành

2

2 2( 1)

1

2 ( 1)

1

y x x

y x x

x

    



    

 



Đặt

1

a y x

b x

  



  

2 2 1( )

2 2 2

1

1 1

1

b L

a b b b b a

b

b

a b a b

a b

b b

b

    

  

        

    

    

    

   

        

   

    

 

  

Với 2

1 a

x y

b

 

   

  

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x  y

Bài 59 Giải hệ phương trình:  

3 3

1 (9 )

(5 1)

xy y xy

xy y y

   



   



Giải

Nhận thấy y 0 không nghiệm hệ Xét y 0hệ cho biến đổi thành

3

3

1

1 ( ) 2(9 5 )

2(9 )

1

1 3 5 0

(5 1)

xy x xy

xy

y y

y x xy

x y y

y

  

   

       

  



  

 

  

     

   

 

 



Đặt a x 1,b 5xy

y

    ta hệ

3 2 2

4

6

a

a b

b

a b

 

   

 

 

 

     

 



Với

4 a b

    

 ta có hệ

1 1

2

1

9

x x

y

y xy

 

    

 

 

 

  

   



Vậy hệ cho có nghiệm x  y

Bài 60 Giải hệ phương trình:  

2

1

3

2

x y x y x y

x y

       



  

 

Giải

§K: x  y

2

(1) 3( ) 4( )

2

(2 1)(2 1)

1 3( )

1

(2 1)( 2( ) 1)

1 3( )

2

pt x y x y x y

x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y

       

 

      

   

      

   

Từ ta có hệ

2

2

3

3 1

2

2 6

x y x

x y x



 

     

 

 

 

   

   

 

 

Bài 61 Giải hệ phương trình:  

3

2

3

9

x y x xy

x x y

    



   



Giải

  

 

2

2

3 3

3

3 3

x x x y x x

hpt

x y

x x x y

 

      

 

 

   

   

 



2 3 2

1

2

x x

x y

  



   

Nếu

2 13

3 2

3 11 3 13

2 x

x x

x y

y

  



 

   

 

 

     

 

  



3 13

2

11 13

2 x

y

  

  

  

  

Nếu

2 3 2 17

2

3 10 17

2

2

x x x

x y

y

  



    

 

 

 

     

 

  

 

3 17

2

10 17

2 x

y

  

  

  

  

Bài 62 Giải hệ phương trình

2 2

2

( )( 3) 3( ) (1)

4 16 (2)

x y x xy y x y

x y x

       



     

 x y, 

Giải

ĐK: 2, 16

3

x   y

3

(1)(x 1) (y1)   y x Thay y = x - vao (2)

2 4( 2) 3( 2)

4 22 ( 2)( 2)

2 22

x x

x x x x x

x x

 

         

   

2

4

( 2) 0(*)

2 22

x

x

x x

   

      

    

Xét f(x) = VT(*) 2;21



 

 

  , có f’(x) > nên hàm số đồng biến suy x 1 nghiệm (*)

Vậy hệ phương trình có nghiệm 2;0 ,  1; 

Bài 63 Giải hệ phương trình

2

2

12 12

x y x y

y x y

    



  

 x y, 

Giải

Điều kiện: | |x | |y

Đặt

2 2; 0

u x y u

v x y

   



  

 ; x  y không thỏa hệ nên xét x  y ta có

2

2 u

y v

v

 

 

     

Hệ phương trình cho có dạng:

2 12

12

u v

u u

v v

  

  

  

   

  

  



Đến sử dụng phương pháp rút ta dễ dàng tìm kết tốn

Bài 64 Giải hệ phương trình  

2

2

4 4 3 2

x y x y y

x x y x y

     

   

 x y, 

Giải

Hệ tương đương

2

2 2

(1 ) (1) ( ) (1 ) (2)

x y x y

x y x y

    



    



Thay (1) vào (2)  2 2

0 (1 ) (1 ) (1 )(2 )

2

x

x y x y x y y y

y

    

          

 

 

Với x = suy y =

Với 2 y0 thay vào (1) suy

2

x   y  (Vơ lí) Với y = suy x = x =

Hệ có nghiệm (0; 0), (1; 2), (2; 2)

Bài 65 Giải hệ phương trình

2 5 3 6 7 4 0

( 2) 3

x y y x

y y x x

      



    

 ( ,x y R) x y, 

Giải

 (x 4)2

Phương trình có hai nghiệm:

2

3

2

1

x x

y

x x

y x

   

   



   

   

 

Thay y= -3 vào pt thứ ta pt vô nghiệm

Thay y  x vào pt thứ ta được: x2 5x  2 x25x  5 (3)

Giải (3): đặt x2 5x 5= t, điều kiện t0  3  

7 ( )

t tm

t t

t ktm

  

       



Với t=1  x2 5x 5=1

4

x y

x y

    

   

 ( thỏa mãn)

Vậy, hệ phương trình có nghiệm là:(1;2)và (4;5)

Bài 66 Giải hệ phương trình

2 2

2 2

2

1 2

x y x y y

y x y xy x x xy y y

     



          



( ,x y R)

Giải

Từ phương trình (2) ta có đ/k : x y y, 0 y2  1 yy2  x y2  1 x  y x y2

Xét hàm số f t  t2  1 tt2liên tuc  0;  có / 

2

1 2

1

t

f t t

t t

  



2

1

2 0

2

t t

t t

 

 



      

 

   Suy hàm số nghịch biến 0; nên

   

f y f x y  x y

Thay vào (1) ta có y2x2 x 1  0 y  x 4.Vậy hệ có nghiệm (x ;y) = (4 ; 2)

Bài 67 Giải hệ phương trình  

  

3 1

2

x x y y

x y x y x y

      



      



Giải

Điều kiện: 1;

3

x y

   

2 2

(2)  y x3y2x6x 4 0;  3x5Vậy ta có:

10

yx xy         

10

y  x vơ nghiệm

1;

2x     y y 2x 4, thay vào (1) ta có:    

     

3 2 3

2 3 2 3 *

x x x x

x x x x

      

       

 *  3x  1 2x     3 x y 12 Kết luận:   x y,  4;12

Bài 68 Giải hệ phương trình

2

5

3

3 31

7

x xy y

x y

x y

    

 

 

  

Giải

Điều kiện phương trình x  y

 

     

2

2

5

5 3

3

3 3 1

31

7 31

7

x xy y x xy y

x y

x y x y

x y

    

    

 

 

  

     

 

 



Lấy (2) nhân kết hợp với (1) ta phương trình đồng bậc

 5  2 3 4  

21 x y 31 x xyy x y 10x 31x y31x y 31xy 10y 0

Rõ ràng x  y khơng phải nghiệm hệ phương trình Đặt x ty thay vào (3) ta được:

 

  

5 5

4

4

10 31 31 31 10 10 31 31 31 10

1

1 10 21 10 21 10

10 21 10 21 10

y t t t t t t t t

t

t t t t t

t t t t

          

   

        

    



Với t    1 t hay x     y x y (loại)

Với 10t4 21t3 10t2 21t100 3  Vì t  khơng phải nghiệm phương trình (3) chia hai vế phương trình cho t2 ta được: 10 t2 12 21 t 10

t t

   

      

   

   

 

    ,

Đặt u t u 2; u2 t2 12 t2 12 u2

t t t

           Khi (3) trở thành

2

2

10 21 10

5

u loai

u u

u

   

    

    

Với

2

u  ta có

2

1

2 1

2

2 t

t t t

t t

    

       

   

Với t  2 ta có x  2y vào (1) ta có 3y2  3 y2    1 y tương ứng x 2

Với

2

Bài 69 Giải hệ phương trình

3

2

7

2

x y y

x y xy y

  



   



Giải

Hệ phương trình    

   

3

2

7

y x y

y x y

  

  

 



Từ hệ suy x.y 0; x  y, y0

Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn Lấy hai phương trình thu chia cho ta thu phương trình đồng bậc:  

 

3

3 3 3

8

4

7

y x y

y x y







Đặt x ty ta phương trình: 

   

3

3 3

8

1 7

t t

 

 Từ phương trình suy t1

Xét    

 

3

8

; t

1 t f t

t



  



         

 

     

 

     

 

2 7

2 3 3

8

2

3

8

9 1 1 1 9 8

f'

1

1

0

1

t t t t t t t t t t

t

t t

t t t t

t t

         

 

 

   

   



Vậy f(t) đồng biến với t 1 Nhận thấy t 2 nghiệm (3) Vậy t 2 nghiệm Với t 2 ta có x 2y vào (1) ta y4   1 y (vì y0) suy x 2

Vậy hệ có nghiệm  2;1

Bài 70 Giải hệ phương trình

1

2 (1)

1

2 (2)

y x

x y



   

 

   

 

ĐK: 1,

2

x  y 

Trừ vế hai pt ta 1 2

y x

 

1

2

0

1 1

2 2

y x

y x y x y x

xy xy x y

xy

y x y x

 

 

   

    

      

  

       

 

 

 TH y   x y x vào (1) ta 2 x

x   

Đặt t ,t

x

  ta

2

2 2

2

2 1

2 4

t t

t t t x

t t t t t

 

    

 

 

        

        

 

 

 

y 1

 TH

  11

2

xy x y

xy

y x

  

     

 

 

 

TH vô nghiệm ĐK Vậy hệ có nghiệm (1; 1)

Bài 71 Giải hệ phương trình:

2

2

8

2

2

3

x y

y

x y

y x

   



  

  

      

  

  



Điều kiện: x y 0

Quy đồng  1 vào  2 , ta được:

   

3 2 2

3x y3xy 5xy 2x x y2y 2y y x y 2y 2y

x 2y x xy y2 1 0 x 2y

        thay vào  1 , ta được:

3

4y 2y 2y     8 y x

KL: S   2;1

Bài 72 Giải hệ phương trình:

6 2

3 2

2

8 (2 )

y y x xy x y

xy y x x y

    



      



Giải

2

6

6

1 1

(1) (1)

4 2

2 (3)

VP xy VT y y x

y y x

 

 

         

 

   

3 2

3 2

3 2

2 3

8 2 2 4 (2 )

8 2 (2 )

4 (2 )

1 (2 ) 4 ( ) (4)

xy y y y x x x y

xy y x x y

xy y x x y

x y y xy x y x

        

      

      

        

(4) 0, (4)

VT  VP  Do đó:

3

0

2

(4) 2

2 1

1

x y

y x y x x

y x y y y

x y

      

 

 

     

  

  

     

   

 

  

  



  

 

Thử lại có: ( ; ) ( 1; 1)

x y    thỏa mãn

Vậy hệ cho có nghiệm ( ; ) ( 1; 1)

2

x y   

Bài 73 Giải hệ phương trình

   

2

2

2

2

0 1

2

y

x y

x x

x

x y

y

   



  



    

 

Giải

Từ PT (1) ta có: x y x(  1 x)y2 0 y 0

x y x2 x (3)

y

     

Từ (2) & 3  ta có:

2

2

3

x y

x y x y y

x

y y y

y



   

    

        

   

   

  

      



Thay vào  3 giải ta có nghiệm 0; 1 

Bài 74 Giải hệ phương trình: 3

2 2 1

3

0

x y x y xy

y x y

x

      



    

    

Ta có (1)  2x  1 2 y1 2x 1y10

ĐK: (2x + 1)(y + 1)  Mà x >

1

x y

   

    

Ta có PT (1)  2x  1 y1 2x  1 y10

 2x  1 y 1  y 2x

Thay vào (2): 36x  1 8x3 4x 1

6x 1 36x  1  2x 2x (3) Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến R

(3)  36x  1 2x 3

2

x x

  

Nhận xét: x >1 không nghiệm phương trình Xét 0 x 1: Đặt x = cos với

2

 

 

1 cos

2



 

2

9

2

9

k k

 



 

 

   

 

    



(kZ) Do

2

 

 

9

 

 

Vậy hệ có nghiệm: cos ;2 cos

9

 

 

 

 

 

 

Bài 75 Giải hệ phương trình:

   

   

4

2

4

3

9 3

3 ln

64 32

x y x y

x y x y

x y x

y

    



      

  

     

   

  



Giải

Theo BĐT Cauchy ta có      

4111 44 4.1.1.1 4 xy    xy x y xy Dấu xảy   x y (*)

Từ kết hợp với điều kiện: x33 ,

x y y      PT thứ hai hệ 6443297283 ln 36449732283 ln 3

Xét hàm số f(x) =  

4 9 7

3 ln

64 32

x x x

x

    ( với x < )

    

' 9 14 48

16 16 16( 3)

x x x

x x

f x

x x

   

    

 

   

2 2

4 3 9 13 6

0

16( 3) 16( 3)

x x x

x x x x

x x

  

   

  

  ( x < 3)

Suy hàm số nghịch biến (-2; 3), f(x) = f(y)  x y ( **) Từ (*), (**) có x = y =

2

Bài 76 Giải hệ phương trình:   

2

2

2

9

2 ln

9

3

y y

x y x xy y

x x

x y xy

  

 

    

       

 

  

    



   



Giải

Từ   

2

2

2

9 ln

9

y y x y x xy y

x x

   

 



      



  

 

     

3 2 6 ln 9 2 6 ln 9 1

x x x x y y y y

         

Xét f t t32t 6 lnt t2 9 t 

  2

2

6 2

' 3

3

9

f t t t

t t

 

 



       



 

 

Ta có  

2

2 2

2 2

2 2 29 1 26 29

9

3 27 27

9 9

t

t t t

t t t t



           

   

 

2

26 29 26 29 29 127t 3 3

         Suy f t' 0thàm số đồng biến liên tục R Mà (1) f x f y  x y

u -1 g’(u) + - - + g(u)

Căn vào BBT phương trình (3) có nghiệm thuộc (0; 2) Đặt u 2 cos với 0;

2

    

 

Khi (3) trở thành: os3 =1 = cos

2 9

c      x 

Vậy hệ có nghiệm cos ; cos ; cos ; cos

9 9

   

   

   

    

   

   

 

   

Bài 77 Giải hệ phương trình:

2

2

2

x y x y

x y

 

  



   

Giải

Ta có:  

 

2

2

2

2

1

2

2 4

1

2

x y x y

x y x y

x y x y

    

     



    



Theo BĐT Cauchy ta có: 2x2y 2y2x 2 2x2  y2 x y 2 24 8

PT  dấu “ = ” xảy Từ ta có x = y = Vậy hệ có nghiệm (1; 1)

Bài 78 Giải hệ phương trình:  

2

2

8 (1 )

2

4

3

x y xy y

y

x x

   



 

   



Giải

§K: tõ PT (2) ,suy x>

Ta có PT (1)x x( 2 )y 4 (2y2 yx)(x 2 )(y x 4 )y2   0 x 2y( v× x+4y2> )

Thay vào phương trình (2) có x3 4x x2 2x 4 (*)

Ap dông bÊt d¼ng thøc Cauchy tacã

2

2 2

2

3

4 3

2 ( 4) ( )

4 4

3

( ) 4

2 2

x x

x x x x x x x x x

x

x x x x x

              



     

Dấu đẳng thức xảy x = Hệ phương trình có nghiệm (2,1)

-1

-33

(Chú ý :Cách khác : Bình phương vế pt (*) (x 2) (2 x2  x 4)0)

Bài 79 Giải hệ phương trình:

2 4 8 ( 2)

( , )

3

xy y x x

x y R

x y y

    

 

    



Giải

  

2

(1)

2 x

x y x

x y

   

        



Với x  4 thay vào pt (2) ta y 103 10

Với x y2 2 vào pt (2) ta y2   y 2y1 (*)

Ta có y2   y 2y 1 (y2    y 1) 2y  1 5(2y1)3 2y1

Do pt (*) vô nghiệm

KL: Nghiệm hệ x  4, y 103 10

Bài 80 Giải hệ phương trình:

3

2

8

3 3( 1)

x x y y

x y

   



   



Giải

Ta có PT (1) 

3

2

2(4 )(1) 6(2)

x y x y

x y

   



  



3 2

x x y 12xy

   

0

4

x x y

x y

   

  

   

Thay trường hợp x vào  2  Hệ có nghiệm là:

  3;1 , 3; , ( 4 ; ),(4 ; )

13 13 13 13

   

Bài 81 Giải hệ phương trình:  

2

2

8

4

x y xy y x

x y x y

    



      



Giải

Điều kiện:

3 x y

    

 , phương trình   

0

(1)

2

x y

x y x y

x y

   

        



Với x 2y 8

Ta có : 2

3

x x

x y

y y

 

   

    

 

   

 

 

Khi đó:

3 x

x y

y

  

    

Với x     y y x thay vào phương trình (2) Ta có PT (2) 2 x 3 x x2 5

Điều kiện:   3 x

Ta có (2) 4 1  2 1  1 1

2

x x

x x x x x

x x

 

            

   

1

4

1 (*)

2

x y

x

x x

     



     

    



Xét phương trình (*), đặt ( ) 1

2

f x x

x x

   

   

Ta có:

     

'

2

2

( ) 0; 3;2

2 2 3

f x x

x x x x

      

     

Mặt khác f x( ) liên tục 3;2, suy f x( ) đồng biến 3;2 Ta có: f( 2) 0, suy (*) có nghiệm x    2 y Kết hợp điều kiện, hệ có hai nghiệm 1; ,  2;2

Bài 82 Giải hệ phương trình:

2

3( )(1 2) 2

2 2

y y x x x

y y x

       



     

Giải

ĐK: x 2 Ta có

2

3( )(1 2) 2

2 2

y y x x x

y y x

       



     

2

3( )(1 2) ( 2 1)

2( )

y y x x x

y y x

         

  

    



Đặt

2

1

a y y

b x

   

   

 ta

2

2

1

3

3

11

2 10 21 11 ,

10

a b

b a

ab b

a b a a a b

  

 

      

 

   

  

        

 

 

  

Với a=b=1 suy hệ có hai nghiệm :

1

2,

2

1

2,

2

x y

x y

  

  

 

  

  



Vì

5

b   x    b khơng

Bài 83 Giải hệ phương trình:   

3

2 2 1

3 2

x y x y

y x y

     



    

 , với x 0 x y, R

Điều kiện: (2x 1)(y1)0,

Phương trình (1)2x  1 2 y1 2x 1y 1 0 Từ giả thiết x 0 ta có

2x     1 y Đặt a  2x 1,b  y1 ta có (1) trở thành: a2 2b2 ab 0

 2  2 0   2  0

2 0( )

a b

a b ab b a b a b

a b l

  

            



Với a b ta có: 2x     1 y y 2x thay vào phương trình (2) ta có:

   3

3

36x  2 8x 4x 2 6x 2  36x  2 2x 2x

, (*)

Xét hàm số f t( )t3 t ta có f t'( )3t2    1 0, t R  hàm số f t( ) đồng biến R Do PT(*) 36x  2 2x  8x3 6x  2

2

1 ( )

2( 1)(4 1) 1

( )

x n

x x x

x l

   

     

   

Với x   1 y

Bài 84 Giải hệ phương trình:    

     

5

2

2

5

2

x y xy y x y

xy y x y

     



    



Giải

Từ (2) ta có : xy1x2 y2 2 0 xy  1 x2 y2 2

 Với xy = 1; từ (1) suy : y4 2y2     1 y Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(-1;-1)

 Với : x2 y2  2  1  3y x y24xy2 2x y2 2x y0

 

2

6y 4xy 2x y x y

     

1 xy2y x xy x 2y

       

Xét : xy = Đã giải

Với : x = 2y , thay vào 2  ; 10; 10 , 10; 10

5 5

x y   x y     

 

 

   

Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1), 10 10 10 10

; , ; 5 5

                      

Bài 85 Giải hệ phương trình:       

4 2 2

1 2 12

x y y x y x y y x y    

     

Giải

Điều kiện : y0;y 1

Khi :  1x y y216y22yx2 2 4yy14;x2 3 9yy11

  

     

2

2

2

1

1

4

1 1

4 1

1

3

y x

y

y y y

y

y y y y x

y



      

  



      

  

   

  

Bài 86 Giải hệ phương trình:

2

2

2

1

3

x y y x xy x

xy y x

   



   



Giải

Điều kiện : x 0,y 0 Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm vào hai vế phương trình (2) nhóm chuyển dạng tích

1 1

4

1 1

4 x

x x y

x

x x y

    

 

   

 

  

 

  

  



Đặt : 1; 1 4

4

u v

u x v u v

uv

x x y

   

        



Đến đậy toán trở thành đơn giản

Bài 87 Giải hệ phương trình:

2

3

2

3

2

2

2

xy

x x y

x x

xy

y y x

y y

   



  



   

  



Giải

Cộng hai vế phương trình hệ vế với vế ta có :

2

2

3

2

2 9

xy xy

x y

x  x   y  y   Ta có : x = y = nghiệm hệ

Ta có : 3x2 2x  9 3x 12   8 2 VT xyxy 2xy Khi : VP x2 y2 2xy

Cho nên dấu xảy : x = y = Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y)=(0;0); (1;1)

Bài 88 Giải hệ phương trình:    

   

2

2

1 1

1 1

x x x y

y y y x

     



     



Giải

Dễ thấy : x = y = x = y = -1 nghiệm hệ Xét : x >

Ta có: 1y7 1x1x21x4  1 x x2 x3 x4 x5 x6 x7  1 x7  y x Ta có: 1x7 1y1y21y4  1 y y2 y3 y4 y5 y6 y7  1 y7  x y Vậy hệ vô nghiệm Tương tự y>0 hệ vô nghiệm

Xét : x < -1  1 x7    0 y

Hệ vô nghiệm

Xét trường hợp  1 x0 Hệ vơ nghiệm Kết luận : Hệ có nghiệm : x y;   0;0 ;  1; 1

Bài 89 Giải hệ phương trình:

1

3 (1 ) (1)

7 (1 ) (2)

x

x y y

x y

  

 



  

 



Giải

ĐK x 0,y 0 Dễ thấy x = y = không thõa mãn hệ Với x > 0, y > ta có :

1 2

1

1

3

1 1 2

1

7 3 7

x y x x y

x y x y

x y y x y x y



 

     

 

  

    

 

  

   

   

   

 

 

( nhân vế với vế)

2

21xy (7y 24 )(x x y) 24x 38xy 7y y 6x

          (vì x, y dương)

Thay vào phương trình (1) ta 1

7x 3 x x 3 21

 

 

       

 

Từ dễ dàng suy x y.

Bài 90 Giải hệ phương trình:

3

2

3 49 (1)

8 17 (2)

x xy

x xy y y x

   



    



Giải

Với hệ này, hai ẩn hai phương trình khó rút ẩn theo ẩn Tuy nhiên, rút

2

y từ (2) vào (1) ta phương trình mà ẩn y có bậc 1:

3 3 ( 8 8 17 ) 49 24 ( 1) 2 2 49 49 (3)

x  x  x xy y x    xy x   x  x  x 

Nếu x=0 (1) vơ lí

Nếu x=-1 hệ trở thành y2 16  y Nếu x  1 &x 0 từ (3) suy

2

2 49 49

24

x x

y

x

 

 Thế trở lại phương trình (2) ta

2

2 2

2 8 2 49 49 49 49 49 49 17

24 24

x x x x x x

x x x

x x x

 

       

    

 

2

2

4 2

4 3

3

2 49 49 49

192 (2 49 49) 49.192

3 24

196 196 2205 4606 2401 196 2205 2401

196 196 2205 2205 196 196 2401

x x x

x x x x

x x

x x x x x x

x x x x

    

 

         

 

         

        

Phương trình cuối vơ nghiệm, chứng tỏ hệ có hai nghiệm (-1;4) (-1;-4)

Bài 91 Giải hệ phương trình:

5 10

2

(1)

4 (2)

x xy y y

x y

   



    

Giải

ĐK:

4

x   Nếu y = từ phương trình (1) ta suy x = 0, vào phương trình (2) ta thấy không thỏa mãn, y khác

Đặt x = ky ta (1) trở thành :

5 5 10 5

k y ky y y k  k y y (3) Xét hàm số f t( )t5 t , ta có

4

'( )

f t  t    t  Do f(t) hàm số đồng biến ,

2

(3) f k( ) f y( )   k y x y Thế vào (2) ta

2

4x  5 x   8 5x 132 4x 37x 40 362 4x 37x 40 235x

2 2

23 5 23

41

16 148 160 25 230 529 378 369

x x x

x

x x x x x x

  

     

 

  

   

           

  

 

 

Suy x = y  1

Bài 92 Giải hệ phương trình:

2

4

2 2 2

3

x x y y

x y

      



   



Giải

Điều kiện:

2

2

0

2

3

3

x x

x y y

y x

y

    

     

 

 

 

    

 

   

Mà:

2 2

2 4 2

2 ( 1) 1 2

2 ( 1) 1 2 2 1

x x x x x

y y y y y



          

 

 

          

 

 

2 2 2 2 2 2

x x y y

      

Vậy (1) có nghiệm x = y = thỏa (2)

Bài 93 Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

2

1 2

x y x y y

y x y xy x x xy y y

     



          



Giải

ĐK: x  y 0;y   0 x y

Từ (2) : y2  1 x y y2   y2 2xyx2  xy2  1 y 

 2  2

2 1 1

y   y y   x y   x  y x y

Xét hàm số :

 

2

2

1 1

( ) '( ) 2

2

1

t

f t t t t t f t t t

t t

t t

 

 



             



 

 

(Vì :

2

1

1 1

1

t

t t

       

Như hệ có nghiệm xảy : y  x y hay x = 2y

Thay vào (1) :  2y y2 2 2 y 2y2 5y  2 4y3 10y2 5y 2

  

2 2

y y y y

       : 4y22y 1 vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm : (x; y) = (4; 2)

Bài 94 Giải hệ phương trình:   

   

2

2

1

1

2

3

2

2

y x

x y

y x

x y

 



   

 

   



Giải

Điều kiện :x y, 0

Ta có PT (1)      

4

2

2.2 x x 2.2 y y

   

Xét hàm số : f t( )2.t4 3t t 0 f t'( )8t3  3 Chứng tỏ f(t) đồng biến Do để phương trình (1) có nghiệm : x 2 y  x 4y  *

Thay vào (2) :    

4

5

2

2

y

y

  Xét hàm số : f(t)=24 '( ) 23

2

t  t  f t  t  

Nhận xét : f(1) = +

2  Suy t = nghiệm

 

1

4 4 1

5 ; ;

4 5

5

5 y

x y

x y

y x



 

    

  

   

     

  

  

 

Bài 95 Giải hệ phương trình:     

2

6

4

27x (2)

x x y y

x y

     



   



Giải

Ta có PT (1) x x2  4 2y2   4  2y

Hàm số f t  t2  4 t đồng biến R nên  1   x 2y

Thế vào PT (2) ta có:

     

6

2 3

3 3 3 3

27x 4x

3x 4x

1 4x 4x 3

x x

x x x x

  

   

         

  3

2

3 4x

3x

1 13

6

x x

x x

    

   

  

Bài 96 Giải hệ phương trình:

3

2

( , )

2 4

y y x x x

x y

y y x

     

 

     

 

Giải

Điều kiện:   4 x 1;y

Ta có PT (1)2y3  y 1 x 2x 1 x 1 x 2y3  y 2(1x) 1 x 1x

Xét hàm số f t( )2t3 t,ta có f t'( )6t2    1 0, t  f t( ) đồng biến  Vậy

2

(1) ( ) ( )

1 y

f y f x y x

y x

  

         



Thế vào (2) ta 32x  1  x x 4(3) Xét hàm số

( ) 4,

g x   x   x x  liên tục [-4;1], ta có

1 1

'( )

3 2

g x

x x x

    

     x ( 4;1)g x( ) nghịch biến [-4;1] Lại có

( 3)

g   nên x  3là nghiệm phương trình (3) Với x  3suy y 2 Vậy hệ có nghiệm

2 x y

       Bài 97 Giải hệ phương trình:

2

2

( 1)( 1) 1(1)

1 (2)

x y x y x x

xy x x

      



   



Giải

Nhận xét x = không thỏa mãn phương trình (2) nên ta suy

2 1

1 x

y

x



  (3)

Thay (3) vào (1) ta

2

2 1 2

( ) ( 1)( 1)(2 1) ( 1)(3 1)

x x

x x x x x x x x x

x x

 

           

3 2

0

( 1)(2 ) ( 1) ( 2)

2

x

x x x x x x x x

x

   

           

Loại nghiệm x = 0, phương trình có hai nghiệm: 1; , 2;

 

 



 

 

Bài 98 Giải hệ phương trình:

   

2

2

2

2 1

x y y x x

x y x

   



    



Giải

Ta có hệ    

   

  

   

3 2 2 2 2 4

2

2

2

2

2 1

2 1

y x x y yx x

x y x y x

x y x

x y x

 

      

     

 

 

    

     

 



Trường hợp 1: y =x2, thay vào (2) :

x 2 x2  1 x2  1 2xt2x 2t 2x   0 t 2;t x

2

2

1 3

x x x

x x x

       

  

     



Trường hợp 2: 2x2 y2 yx2 x4  0 y2 yx2 2x2 x40

 

4 4 2 3 8 0 0

y x x x x x x R y

             

2 2

(, ) ,

f y x y yx x x y

       Phương trình vơ nghiệm

Do hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 ,  3;3

Chú ý: Ta cịn có cách giải khác

Phương trình (1) x = y = không nghiệm không thỏa mãn (2) Chia vế phương trình (1) cho  

3

3 0 1 2 y y 2

x x x

x x

        

           

Xét hàm số : f t 2t t3 f t'  2 3t2   0 t R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình có nghiệm xảy : y x y x2

x    Đến ta giải phần

Bài 99 Giải hệ phương trình:   

2

1 1

6

x x y y

x x xy xy x

     

 

     



Giải

Ta có hệ    

2

1

6

x x y y

x x xy xy x

  

 

        

  

  

 

     



(nhân liên hợp) Xét hàm số :

2

2 2

1

( ) '( )

1 1

t t

t t t

f t t t f t t R

t t t



 

          

  

Thay vào phương trình (2) :

2

2 2

6 6

2

x

x x  x    x  x   x  x     x

 

2

2

2

x x x

x x x

   

  

    



 Trường hợp : 2 2

0

2 1;

2

x x

x x x x y

x x x x x

 

   

 

 

              

 

 

 

 Trường hợp : 2 2

0

2

2 6

x x

x x x

x x x x x

 

   

 

 

           

 

 

 

3 11 11

;

2

x  y  

   Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y) = (1;-1),( 11; 11

2

  

)

Bài 100 Giải hệ phương trình:    

 

3

2

8

4 2

x x y y

x x y y y

     



       

Giải

Điều kiện :

2

x 

Ta có PT (1) 8x 3 2x   1 y 4y3 *

Đặt t  2x  1 2x t2  1 8x 3 2x  1 4t2  1 3t 4t2 1t 4t3 t

Do (*) : 4t3  t 4y3 y

Xét hàm số : f(u) = 4u3  u f u' 12u2    1 u R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : f(t) = f(y)  2x  1 y 2x y2 1(**)

Thay vào (2) : y2 12 4y2 12y3 y22y  3 y4 2y3 y2 2y 0         

2 2

y y y y y y y y y y y y

              

Vậy :      

0

0 1

; ; , ; 1;1

1 1

2 2

2 y

y y y

x y x y

x

x y x x y

 

  

        

    

        

     

           

   

 

  

     

2

2

1 5

; 1;0 , 5 ; ;

1

2 2

2 y

y y y

x y x y

x

x y x y x

  

  

          

    

         

     

           

   

 

  

Hết

Đồng Xoài, ngày 05 tháng năm 2014

Chúc quý thầy cô em học sinh có tài liệu bổ ích