Khối đa diện và thể tích

A. Tính tổng độ dài  của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a. Số cạnh của hình bát diện đều là A.. Hỏi hình chóp đó có bao nhiêu mặt? A. Hình lăng trụ có thể có số cạnh là s[r]

(1)

TRẮC NGHIỆM 12

TUYỂN CHỌN 2020 - 2021

CHỦ ĐỀ

5 KHỐI ĐA DIỆN

I - KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP

Khối lăng trụ phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ kể hình lăng trụ

Khối chóp phần khơng gian giới hạn hình chóp kể hình chóp Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt

(2)

II - KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 1 Khái niệm hình đa diện

Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có

đỉnh chung, có cạnh chung

 Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện

Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện 2 Khái niệm khối đa diện

Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện

Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện ứng với đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện

Mỗi khối đa diện xác định hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngồi… hình đa diện tương ứng

Ví dụ

- Các hình khối đa diện:

- Các hình khơng phải khối đa diện:

Hình a Hình b Hình c

(3)

hình, điểm khơng phải đỉnh chung hai đa giác; Hình c khơng phải hình đa diện tồn cạnh cạnh chung bốn đa giác

III - PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Nếu khối đa diện  H hợp hai khối đa diện  H1  H2 cho  H1  H2 khơng có chung điểm ta nói phân chia khối đa diện  H thành hai khối đa diện  H1  H2 Khi ta nói ghép hai khối đa diện

 H1  H2 để khối đa diện  H

Ví dụ Với khối chóp tứ giác S ABCD , xét hai khối chóp tam giác S ABC S ACD Ta thấy rằng:

 Hai khối chóp S ABC S ACD khơng có điểm chung (tức khơng tồn điểm khối chóp điểm khối chóp ngược lại)

 Hợp hai khối chóp S ABC S ACD khối chóp S ABCD

Vậy khối chóp S ABCD phân chia thành hai khối chóp S ABC S ACD hay hai khối chóp S ABC S ACD ghép lại thành khối chóp S ABCD

Ví dụ Cắt khối lăng trụ ABC A B C    mặt phẳng A BC  Khi đó, khối lăng trụ phân chia thành hai khối đa diện

A ABC A BCC B  

Nếu ta cắt khối chóp A BCC B   mặt phẳng A B C   ta chia khối chóp A BCC B   thành hai khối chóp A BCB 

A CC B  

Vậy khối lăng trụ cho chia thành ba khối tứ diệnA ABC , A BCB vàA CC B  

Dạng NHẬN BIẾT HÌNH ĐA DIỆN

Câu Cho hình sau:

Hình Hình Hình Hình

(4)

Lời giải Chọn A

Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình khơng phải đa diện

A Hình B Hình C Hình D Hình Lời giải Chọn D

Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số hình đa diện

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Các hình đa diện là: Hình 1; Hình 3; Hình Chọn C

Câu Vật thể vật thể sau khối đa diện?

A B C D

Lời giải Chọn C Vì hình C vi phạm tính chất ''Mỗi cạnh miền đa giác cạnh chung hai miền đa giác''

Dạng SỐ MẶT CỦA HÌNH ĐA DIỆN

Câu 5. Hình đa diện hình vẽ bên có mặt?

(5)

Lời giải Chọn B

Câu 6. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Hình đa diện hình vẽ bên có mặt?

A 6 B 10 C 11 D 12 Lời giải Chọn C

Câu 7. Hình đa diện hình vẽ bên có mặt?

A 11 B 12 C 13 D 14 Lời giải Chọn B

Câu 8. Khối đa diện sau có số mặt nhỏ nhất?

A. Khối tứ diện B. Khối chóp tứ giác C. Khối lập phương D. Khối 12 mặt Lời giải Chọn A

Câu [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hình bát diện cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình bát diện Mệnh đề sau đúng?

A S  3a2 B S2 3a2 C S 4 3a2 D S8 a2

Lời giải Hình bát diện hình có tám mặt mặt tam giác Vậy diện tích cần tính

2

8

4

a

S    a Chọn B

Dạng SỐ CẠNH CỦA HÌNH ĐA DIỆN

Câu 10 Tính tổng độ dài  tất cạnh tứ diện cạnh a A 4 B 4 a C 6 D 6 a Lời giải Tứ diện có tất 6 cạnh nên có tổng độ dài cạnh a Chọn D

Câu 11 Số cạnh hình bát diện A 12. B 16

(6)

Câu 12. Hình đa diện hình vẽ bên có cạnh?

A 8 B 9 C 12 D 16 Lời giải Chọn D

Câu 13 Tính tổng độ dài  tất cạnh khối mười hai mặt cạnh

A 8 B 24 C 30 D 60

Lời giải Khối mười hai mặt có 30 cạnh nên có tổng độ dài tất cạnh 30.2 60

 

 Chọn D

Câu 14. Một hình chóp có 2018 cạnh Hỏi hình chóp có mặt? A 1010. B 1014 C 2017. D 2019

Lời giải Hình chóp có 2018 cạnh có: 1009 cạnh bên 1009 cạnh đáy Do hình chóp có 1009 mặt bên mặt đáy Chọn A

Câu 15. Hình lăng trụ có số cạnh số sau đây?

A 2017 B 2018 C 2019 D 2020

Lời giải Giả sử đa giác đáy có n cạnh, hình lăng trụ có 3n cạnh nên số cạnh hình lăng trụ phải chia hết cho Chọn C

Dạng SỐ ĐỈNH CỦA HÌNH ĐA DIỆN

Câu 16. Cho hình đa diện Trong mệnh đề sau có mệnh đề sai? i) Mỗi đỉnh đỉnh chung ba cạnh

ii) Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt iii) Mỗi mặt có ba cạnh

iv) Mỗi cạnh cạnh chung ba mặt

A 1. B 2 C 3 D 4

Lời giải Chỉ có khẳng định iv) sai Chọn A

Câu 17. (Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên lần 1, năm 2018-2019) Mệnh đề sau đúng?

(7)

D Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh

Lời giải Hình tứ diện có số đỉnh số mặt 4 Chọn A

Câu 18. Một hình đa diện có mặt tam giác Gọi M tổng số mặt C

là tổng số cạnh đa diện Mệnh đề sau đúng?

A 3C2M B C M 2 C M C D 3M 2 C

Lời giải Vì mặt tam giác nên có tổng số cạnh 3M Mỗi cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có hệ thức 3

2

M

C  M  C Chọn D

Câu 19 Cho khối chóp có đáy đa giác lồi n cạnh Mệnh đề sau đúng? A Số mặt số đỉnh B Số đỉnh khối chóp 2n1 C Số mặt khối chóp 2 n D Số cạnh khối chóp n1 Lời giải Chọn A Khối chóp có đáy đa giác lồi n cạnh nên có:

 Số mặt n1 (gồm mặt đáy n mặt bên)  Số đỉnh n1

 Số cạnh 2n ( gồm n cạnh bên n cạnh đáy)

Câu 20. Khối đa diện mà đỉnh đỉnh chung ba mặt số đỉnh Đ số cạnh C khối đa diện ln thỏa mãn

A Đ C B ĐC C 3Ñ2 C D 3C2 Ñ Lời giải Theo kết câu 18, ta có 3M 2 ;C kết câu 19, ta có ĐM

Suy 3Đ2 C Chọn C

Dạng TÂM ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH ĐA ĐIỆN

Câu 21. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Hình đa diện khơng có tâm đối xứng?

A Tứ diện B Bát diện C Hình lập phương D. Lăng trụ lục giác

Dạng TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH ĐA DIỆN

Câu 22 Hình lập phương có trục đối xứng?

(8)

 Đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện  có Vậy có tổng cộng: 3 6 trục đối xứng Chọn B

Câu 23. Gọi n1, , n2 n3 số trục đối xứng khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác khối lập phương Mệnh đề sau đúng?

A n14, n2 1, n3 9 B n1 0, n2 1, n3 9 C n13, n2 1, n3 9 D n1 3, n2 1, n3 13

Lời giải Khối tứ diện có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm cặp cạnh đối diện) Khối chóp tứ giác có trục đối xứng (đi qua đỉnh tâm mặt tứ giác) Khối lập phương có trục đối xứng Chọn C

Câu 24 Hình hộp chữ nhật với kích thước 5 3  có trục đối xứng?

A 3. B 5. C 6. D 9.

Lời giải  Đường thẳng qua hai tâm hai mặt đối diện  có  Đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện có kích thước  có Vậy có tổng cộng: 3 2 trục đối xứng Chọn B

Dạng MẶT ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH ĐA DIỆN

Câu 25 Hình tứ diện có mặt đối xứng?

A 3 B 4 C 6 D 9

Lời giải Có 6 mặt (mặt phẳng chứa cạnh trung điểm cạnh đối diện) Chọn C

Câu 26. Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng?

A 2 B 4 C 6 D 8

Lời giải Chọn B Hình chóp tứ giác có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm: Loại 1: Mặt phẳng qua đỉnh hình chóp

và chứa đường trung bình đáy (có mặt vậy)

Loại 2: Mặt phẳng qua đỉnh hình chóp chứa đường chéo đáy (có mặt vậy)

Câu 27. Số mặt phẳng đối xứng hình bát diện

(9)

Lời giải Chọn C

Loại 1: Mặt phẳng đối xứng qua đỉnh đối diện trung điểm cạnh đối diện không chứa đỉnh (có mặt)

Loại 2: Mặt phẳng đối xứng qua đỉnh đồng phẳng (có mặt)

Câu 28. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng?

A 1. B 3 C 4 D 6

Lời giải Hình lăng trụ tam giác có 3 mặt phẳng đối xứng mặt phẳng trung trực cạnh đáy mặt phẳng đối xứng mặt phẳng trung trực cạnh bên Vậy hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng Chọn C

Câu 29. Hình lập phương có tất mặt phẳng đối xứng?

A 8 B 9 C 10. D 12

Câu 30 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đơi khác có mặt phẳng đối xứng?

A 3 B 4 C 6 D 9

(10)

Câu 31. Một hình hộp đứng có đáy hình thoi (khơng phải hình vng) có mặt phẳng đối xứng?

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn C Hình hộp đứng có đáy hình thoi (khơng phải hình chữ nhật) có mặt phẳng đối xứng bao gồm:

Loại 1: Mặt phẳng đối xứng chứa đường chéo đáy vng góc với mặt đáy (có

2 mặt)

Loại 2: Mặt phẳng đối xứng mặt phẳng trung trực cạnh bên (có mặt)

Câu 32. Có tất mặt phẳng cách bốn đỉnh tứ diện?

A 1 B 4 C 7 D Vô số

Lời giải Chọn C

Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm 3 cạnh bên có chung đỉnh (có mặt)

Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm 4 cạnh (4 cạnh thuộc cặp cạnh, cặp cạnh chéo nhau) (có mặt)

Dạng PHÂN CHIA – LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN

(11)

A Stp 12a2 B Stp 20a2 C Stp 22a2. D Stp 30 a2 Lời giải Diện tích mặt hình lập phương a2.

Diện tích tồn phần khối lập phương 5.6a2 30a2.

Khi ghép thành khối hộp chữ thập, có 4.28 mặt ghép vào phía trong, diện tích tồn phần cần tìm là: 30a28a2 22a2. Chọn C

Câu 34. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Mặt phẳng AB C  chia khối lăng trụ

ABC A B C   thành khối đa diện nào?

A Một khối chóp tam giác khối chóp tứ giác B Hai khối chóp tam giác

C Một khối chóp tam giác khối chóp ngũ giác D Hai khối chóp tứ giác

Lời giải Chọn A Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng AB C  chia khối lăng trụ ABC A B C    thành khối chóp tam giác A A B C    khối chóp tứ giác A BCC B  

Câu 35 Lắp ghép hai khối đa diện  H1 ,  H2 để tạo thành khối đa diện  .H Trong  H1 khối chóp tứ giác có tất cạnh a,  H2 khối tứ diện cạnh a cho mặt  H1 trùng với mặt  H2 hình vẽ Hỏi khối da diện  H có tất mặt?

A 5. B 7. C 8. D 9.

Lời giải Khối đa diện  H có mặt Chọn A

(12)

I - KHỐI ĐA DIỆN LỒI

Khối đa diện  H gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm  H ln thuộc  H Khi đa diện giới hạn  H gọi đa diện lồi

Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi

Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng qua mặt

II - KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa

Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:  Các mặt đa giác n cạnh

 Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh

Khối đa diện gọi khối đa diện loại n p, 

Chỉ có năm khối đa diện Đó là:

Loại  3;3 Khối tứ diện

Loại  4;3 Khối lập phương

Loại  3; Bát diện

Loại  5;3 Hình 12 mặt

Loại  3;5 Hình 20 mặt

(13)

Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại

Tứ diện  3;3

Khối lập phương 12  4;3

Bát diện 12  3;

Mười hai mặt 20 30 12  5;3

Hai mươi mặt 12 30 20  3;5

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1.Cho hình khối sau:

Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình khơng phải đa diện lồi

A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình

Lời giải Áp dụng tính chất khối đa diện lồi  H : ''Đoạn thẳng nối hai điểm  H ln thuộc  H '' Chọn B.

Câu 2.Cho hình khối sau:

Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), số đa diện lồi

A 1 B 2 C 3 D 4

(14)

Câu 3. Tâm tất mặt hình lập phương đỉnh hình hình sau đây?

A Tứ diện B Ngũ giác đều. C Lục giác D Bát diện

Lời giải Chọn D.

Câu 4.Mệnh đề sau đúng?

A Tâm mặt hình lập phương đỉnh hình lập phương

B Tâm mặt hình tứ diện đỉnh hình tứ diện

C Tâm mặt hình tứ diện đỉnh hình lập phương

D Tâm mặt hình lập phương đỉnh hình tứ diện

Lời giải Chọn B.

Câu 5.Trung điểm cạnh tứ diện tạo thành

A các đỉnh hình tứ diện

B các đỉnh hình bát diện

C các đỉnh hình mười hai mặt

D các đỉnh hình hai mươi mặt

Lời giải Chọn B.

Câu 6.Mệnh đề sau sai?

A. Tồn khối tứ diện khối đa diện

B. Tồn khối lặng trụ khối đa diện

C. Tồn khối hộp khối đa diện

D. Tồn khối chóp tứ giác khối đa diện

(15)

Chọn D.

Câu 7.Trong khơng gian có loại khối đa diện hình vẽ

Khối tứ diện

Khối lập

phương Bát diện

Hình12mặt

Hình20mặt Mệnh đề sau đúng?

A Mọi khối đa diện có số mặt số chia hết cho

B Khối lập phương khối bát diện có số cạnh

C Khối tứ diện khối bát diện có tâm đối xứng

D Khối mười hai mặt khối hai mươi mặt có số đỉnh

Lời giải  Khối lập phương có mặt Do A sai

 Khối lập phương khối bát diện có số cạnh 12 Chọn B.

 Khối tứ diện khơng có tâm đối xứng Do C sai

 Khối 12 mặt có 20 đỉnh Khối 20 mặt có 12 đỉnh Do D sai

Câu 8. (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa lần 1, năm 2018-2019) Cho khối 20 mặt Biết mặt đa giác p cạnh, đỉnh đỉnh chung q mặt Ta có p q;  nhận giá trị sau đây?

A p4;q3 B p3;q5 C p3;q4 D p5;q3

Câu 9. (Chuyên Quốc Học-Huế lần 1, năm 2018-2019) Hình bát diện thuộc khối đa diện sau đây?

A  3; B  3;3 D  4;3 C  5;3

Câu 10.Khối đa diện loại  3;3 có tên gọi đây?

A Khối bát diện B Khối lập phương

C Khối 20 mặt D Khối tứ diện

Lời giải Chọn D

Câu 11.Khối đa diện loại  5;3 có tên gọi đây?

(16)

Câu 12. (Chuyên Lê Thánh Tông lần 2, năm 2018-2019) Số mặt phẳng đối xứng khối đa diện 4 ;3

A 3 B 6 C 8 D 9

Lời giải Khối đa diện 4 ;3 khối lập phương Số mặt phẳng đối xứng khối

lập phương Chọn D

Câu 13.Tổng góc đỉnh tất mặt khối đa diện loại  4;3

A.  B.  C. 10  D. 12 

Lời giải Khối đa diện loại  4;3 khối lập phương, gồm mặt hình vng nên tổng góc 6.212  Chọn D

Câu 14.Tổng góc đỉnh tất mặt khối đa diện loại  3;5

A. 12  B. 16  C. 20  D. 24 

Lời giải Khối đa diện loại  3;5 khối hai mươi mặt đều, gồm 20 mặt tam giác nên tổng góc 20.20  Chọn C

Câu 15. Cho hình đa diện loại  4;3 cạnh a Gọi S tổng diện tích tất mặt hình đa diện Mệnh đề sau đúng?

A. S 4a2 B. S6a2 C. S 8a2 D. S10a2

Lời giải Đa diện loại  4;3 khối lập phương nên có mặt hình vng

(17)

I - THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Nếu ta xem khối hộp chữ nhật ABCD A B C D     khối lăng trụ có đáy hình chữ nhật A B C D    đường cao AA suy thể tích diện tích đáy nhân với chiều cao Ta chứng minh điều với khối lăng trụ

Định lí

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h

V Bh

II - THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

Đối với khối chóp người ta chứng minh định lí sau:

Định lí

Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h

1

V  Bh

Ta gọi thể tích khối đa diện, khối lăng trụ, khối chóp nói thể tích hình đa diện, hình lăng trụ, hình chóp xác định chúng

Dạng THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CƠ BẢN

Câu 1. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Thể tích khối chóp cho

A. a3 B.

3 2

a

C.

3

2

a

D.

3 2

a

(18)

Lời giải. Diện tích hình vng:

ABCD

S a

Chiều cao khối chóp: SAa Vậy thể tích khối chóp:

3

1

3

S ABCD ABCD

a V  S SA Chọn B

Câu 2. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với ABa, BC 2 a Hai mặt bên SAB SAD vng góc với mặt đáy ABCD, cạnh SAa 15 Thể tích khối chóp cho

A.

2a 15 B.

3

15

a

C.

3

2 15

a

D.

3

2 15

a

Lời giải. Vì hai mặt bên SAB SAD vng góc với

ABCD, suy giao tuyến SA vng góc với ABCD

Do chiều cao khối chóp là: SAa 15

Diện tích hình chữ nhật:

ABCD

S AB BC  a

Vậy thể tích khối chóp:

3

1 15

3

S ABCD ABCD

a

V  S SA Chọn C.

Câu 3.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy mặt phẳng đáy SCa Thể tích khối chóp cho

A a3 B

3 3

a

C

3 15

a

D

3 3

a

Lời giải Đường chéo hình vng: AC a

Xét tam giác SAC, ta có SA SC2AC2 a

Chiều cao khối chóp: SAa

Diện tích hình vng: SABCD a2

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V  S SA Chọn B.

Câu 4.(Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB3 ,a BCa Cạnh bên SD vng góc với mặt phẳng đáy

2

SD a Thể tích khối chóp cho

A

a B

2 a C

3 a D

6 a Lời giải Chiều cao khối chóp: SD2 a

ABCD

S AB BC  a

1

S ABCD ABCD

(19)

Câu 5. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho khối chóp S ABC có SA vng góc với mặt đáy, SA4, AB6, BC 10 CA8 Thể tích khối chóp cho

A. 24 B. 32 C. 40 D. 192

Lời giải. Tam giác ABC, có AB2AC2 6282 102 BC2

tam giác ABC vuông A nên 24

ABC

S  AB AC 

Vậy thể tích khối chóp: . 32

S ABC ABC

V  S SA Chọn B.

Câu 6. (KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho khối chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, ABa, AC 2 a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy

SAa Thể tích khối chóp cho

A

3

a

B

3

a

C

3

2

a

D

3

a

Lời giải Chiều cao khối chóp: SAa

Ta có BC  AC2AB2  4a2a2 a 3.

Diện tích mặt đáy:

2

1

2

ABC

a S  AB BC

3

1

ABC

a

V  S SA Chọn D

Câu 7.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, ABBC 1,

AD Cạnh bên SA vng góc với đáy SA2 Thể tích khối chóp cho

A 1

3 B 1 C 2 D 3.

Lời giải Chiều cao khối chóp: SA2

Diện tích hình thang:

2

ABCD

AD BC

S    AB



Vậy thể tích khối chóp: .

S ABCD ABCD

V  S SA Chọn B

Câu 8. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a Cạnh bên SA

vng góc với mặt phẳng đáy, góc 

60

SBD Thể tích khối chóp cho

A a3. B 3

a

C

3

a

D

3

2

(20)

Lời giải Ta có SAB SAD, suy SBSD Hơn nữa, theo giả thiết SBD 60  Do tam giác SBD cạnh SBSDBDa

Chiều cao khối chóp: SA SB2AB2 a.

Diện tích hình vng:

ABCD

S a

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V  S SA Chọn C

Câu 9. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a thể tích khối chóp

a Chiều cao hình chóp cho

A. a B.

2

a

C.

3

a

D.

6

a

Lời giải Tam giác ABC cạnh 2a SABC a2

Ta có:

3

2

3

1

3

S ABC S ABC ABC

ABC

V a V S h h a

S a



     Chọn A.

Câu 10. Cho hình chóp S ABC có tam giác SBC tam giác vuông cân S, SB2a

và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC a Thể tích khối chóp cho

A 2 a3 B 4a3. C 6 a3 D 12 a3

Lời giải Chọn SBC làm mặt đáy  chiều cao khối chóp: hd A SBC , 3 a

Tam giác SBC vuông cân S nên 2 2.

2

SBC

S  SB  a

Vậy thể tích khối chóp: . ,  2 3

3 SBC

V  S d A SBC  a Chọn A.

Câu 11. (KHTN Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp cho

A

3

a

B

3 3

a

C

3

a

D

3

a

Lời giải Chọn D. Gọi I trung điểm ABSI AB

Từ giả thiết suy SI ABCD nên chiều cao khối chóp

là:

2

a

SI  (do tam giác SAB cạnh a) Diện tích hình vng: SABCD a2

3

1

3

S ABCD ABCD

a

(21)

Câu 12. Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAB cân

S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SA2 a Thể tích khối chóp cho

A

2 a B

3 a C 15 a D 15 12 a

Lời giải Chọn C. Gọi I trung điểm ABSI AB

Từ giả thiết suy SI ABCD nên chiều cao khối chóp là:

2

2 2 15

2

AB a SI  SA IA  SA   



ABCD

S a

3

1 15

3

S ABCD ABCD

a

V  S SI 

Câu 13. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Thể tích khối chóp cho

A. 11 a B. 11 a C. 11 12 a D. 13 12 a

Lời giải Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì S ABC khối chóp nên suy SI ABC

Gọi M trung điểm

3

a BC  AI  AM 

Tam giác SAI vng I, có

 

2

2 33

2

3

a a SI SA SI a

             

Diện tích tam giác:

2 ABC a S 

3

1 11 12

S ABCD ABC

a

V  S SI  Chọn C

Câu 14.[ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy

,

a cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Thể tích khối chóp cho

(22)

Lời giải Chiều cao khối chóp:

 

2

2 2 14

2

a a SO SA AO a

             

3

1 14 14

3 ABCD

a a

V  S SO a  Chọn D

Câu 15. (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có tam giác SAC cạnh a Thể tích khối chóp cho

A 3 a B 3 a C a D 3 12 a

Lời giải Tam giác SAC cạnh a AC a

Suy

2

a

SO cạnh hình vng

2

a AB Vậy thể tích khối chóp:

2

1 3

ABCD 2 12

a a a

V  S SO  Chọn D.

Dạng THỂ TÍCH KHỐI CHĨP KHI BIẾT CHÂN ĐƯỜNG CAO

Câu 16. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAB vng S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Hình chiếu vng góc S

trên AB điểm H thỏa AH 2BH Thể tích khối chóp cho

A a B a C a D 3 a

Lời giải Trong tam giác vng SAB, có

2 2 2 ; 3

SA AH AB AB AB a

a SH SA AH

  

  

Diện tích hình vng: SABCD a2

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V  S SH  Chọn C

Câu 17. Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B, AC 2 ,a

ABSAa Tam giác SAC vng S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp cho

(23)

Lời giải Kẻ SH AC Từ giả thiết suy SH ABC

Trong tam giác vng SAC, có

2 2 2 a AH SA AH AC

a SH SA AH

SH                    

Tam giác vuông ABC, có BC  AC2AB2 a

3

1 1

3

S ABC ABC

a V  S SH   AB BC SH 

 Chọn C.

Câu 18. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Cạnh bên 2,

2

a

SA tam giác SAC vuông S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp cho

A a B a C a D 12 a

Lời giải Kẻ SH AC Từ giả thiết suy SH ABCD

Trong tam giác vng SAC, có AC a

2

2 2

a AH SA AH AC

a SH SA AH

SH                    

3

1

12

S ABCD ABCD

a

V  S SH  Chọn D.

Câu 19. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh 1, góc ABC 60 

Cạnh bên SD Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD điểm H

thuộc đoạn BD thỏa HD3HB Thể tích khối chóp cho

A 15

8 B 15

12 C 24 D 15 24

Lời giải Vì ABC 60 nên tam giác ABC

Suy 3; 3; 3

2 4

BO BD BO HD BD

Tam giác vuông SHD, có 2

SH  SD HD 

Diện tích hình thoi:

2

ABCD ABC

(24)

Câu 20. Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân C, AB3 Hình chiếu vng góc S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC

14

SB Thể tích khối chóp cho

A 1 B 3

2 C

1

4 D

3

Lời giải Chọn D Gọi M, N trung điểm AB, AC Suy GCM BN

là trọng tâm tam giác ABC Từ giả thiết suy SGABC

Tam giác ABC vuông cân C, suy

2

AB

CACB  CM AB

Ta có 3,

2

CM  AB suy 1;

3

GM  CM 

2 10

;

BG BM GM  SG SB2GB2 1

ABC

S  CA CB

3

S ABC ABC

V  S SG

Dạng THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

CÓ CẠNH BÊN TẠO VỚI ĐÁY MỘT GĨC CHO TRƯỚC

Câu 21. Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy

60 Thể tích khối chóp cho

A

a B

3

a

C

3

a

D

3

a

Lời giải. Xác định:600 SB ABC, SB AB, SBA.

Chiều cao khối chóp: SA AB tanSBAa

2

3

ABC

a S 

3

1

3

S ABC ABC

a

V  S SA Chọn C

Câu 22. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD120 0 Cạnh

bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SD tạo với mặt phẳng đáy góc

0

A a3. B

a

C

3

a

D

3

(25)

Lời giải. Xác định:    

60  SD ABCD,  SD AD, SDA

Chiều cao khối chóp: SA AD tanSDAa

Diện tích hình thoi



2 sin

ABCD BAD

a S  S  AB AD BAD

3

1

3

S ABCD ABCD

a

Câu 23.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD trung điểm H cạnh AB, góc SC mặt đáy 30 0 Thể tích khối chóp cho

A 1

3 B

6 C 15

6 D 15

18

Lời giải. Xác định: 300 SC ABCD, SC HC, SCH.

Chiều cao khối chóp:

 2  15

.tan tan

SH HC SCH  BC BH SCH 

Vậy thể tích khối chóp: . 15 18

S ABCD ABCD

V  S SH  Chọn D.

Câu 24. Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60 Thể tích khối chóp cho

A

3

6

a

B

3

6

a

C

3

6

a

D

3

6 12

a

Lời giải.Chọn C.Gọi OACBD

Do S ABCD hình chóp nên SOABCD

Xác định:    

60 = SB ABCD,  SB OB, SBO

Chiều cao khối chóp: tan

a SOOB SBO

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V  S SO

Câu 25. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AC 2 ,a BC a Đỉnh

S cách điểm A B C, , Biết góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy

0

A a3 B

3

a

C

3

a

D

3

(26)

Lời giải. Gọi O trung điểm AC, suy O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Theo giả thiết đỉnh S cách điểm A B C, , nên hình chiếu

S xuống đáy điểm OSOABCD

Xác định: 600 SB ABCD, SB OB, SBO

Chiều cao khối chóp: SOOB tanSBOa

Vậy thể tích khối chóp:  

1

3

S ABCD ABCD

V  S SO AB BC SOa Chọn A

Câu 26. Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A, AB AC a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi I trung điểm BC, SI tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích khối chóp cho

A

3

a

B

3

6

a

C

3

6

a

D

3

6 12

a

Lời giải. Xác định: 60 SI ABC, SI AI, SIA

Ta có

2

BC a

AI   tan

a SAAI SIA

2

1

2

ABC

a S  AB AC 

3

6

12

3 AB

SA CB C

a S SA

V    Chọn D

Câu 27. Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, AC 2 ,a BC a

Đỉnh S cách điểm A B C, , Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy 60 0 Thể tích khối chóp cho

A.

3

a

B.

3 6

a

C.

3 6

a

D

3 6

12

a

Lời giải. Gọi H trung điểm AC Từ giả thiết suy SH ABC

Xác định:    

60  SB ABC,  SB BH, SBH

Chiều cao khối chóp: tan tan

2

AC

SH BH SBH  SBH a

Tam giác vng ABC, có AB AC2BC2 a 3.

2

1

2

ABC

a S  BA BC 

3

1

3

S ABC ABC

a

(27)

Câu 28. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O, BD1 Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy ABCD trung điểm OD Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích khối chóp cho

A 1

8 B

8 C

12 D

24

Lời giải.Chọn D Xác định: 600 SD ABCD, SD HD, SDH

Chiều cao khối chóp: tan tan

4

BD

SH HD SDH  SDH 

Trong hình vng ABCD, có 2

BD AB 

ABCD

S  AB 

Vậy thể tích khối chóp: . 3 24

S ABCD ABCD

V  S SH 

Câu 29. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, tam giác ABC Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng đáy góc

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3

2

a

Lời giải. Gọi OACBD, M trung điểm AB Suy H BOCM

Xác định: 300 SD ABCD, SD HD, SDH

Dễ thấy 2.2

3

a HD BH  BO

a SH HD SDH 

2

3

2

ABCD ABC

a S  S 

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V  S SH  Chọn C.

Câu 30. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang cân với cạnh đáy AD BC; ,

AD a ABBCCDa Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SD tạo với mặt phẳng đáy góc

A

3

a B

3

a

C

3

a

D

3

(28)

Lời giải. Xác định: 45 SD ABCD, SD AD, SDA

Chiều cao khối chóp: SA AD tanSDA2 a

Ta thấy hình thang cân cho nửa lục giác có cạnh a nên có diện tích:

2 3

3

ABCD

a S  

3

1

3

S ABCD ABCD

a

Câu 31. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vng S Hình chiếu vng góc S mặt đáy điểm H thuộc cạnh AD

sao cho HA3HD Biết SA2a SC tạo với mặt phẳng đáy góc

0

A. 8 a3 B. 8 a3 C

3

8

a

D.

3

8

a

Lời giải. Xác định: 30 SC ABCD, SC HC, SCH

Tam giác vng SAD, có 12

SA AH AD  a  AD AD

Suy AD4 ,a HA3 ,a HDa, SH  HA HD a 3,

HC SH.cotSCH3 ,a CD HC2HD2 2a

ABCD

S AD CD a

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V  S SH  Chọn C

Câu 32.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SAABa Gọi N trung điểm SD, đường thẳng AN hợp với mặt phẳng đáy góc

A a3 3. B

3

a

C

3

a

D

3

a

Lời giải. Gọi M trung điểm AD

Xác định: 300 AN ABCD, AN AM, NAM Ta có

 

.cot cot

2

SA a

AM MN NAM  NAM  ADa

Diện tích hình chữ nhật: SABCD AB AD a2

3

1

3

S ABCD ABCD

a

(29)

Câu 33. (ĐHSP Hà Nội lần 3, năm 2018-2019) Cho hình chóp S ABC có ABa,

BCa ABC 60 Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC trùng với chân đường cao hạ từ A tam giác ABC Góc đường thẳng SA mặt phẳng đáy

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3

3 12

a

Lời giải Xác định:    

45  SA ABC,  SA HA, SAH.

Ta có 

2

1 3

.sin

2 2

ABC

a a S  AB BC ABC   AH BC AH 

a SH  AH SAH 

3

1

3

S ABC ABC

a

V  S SH  Chọn C.

Câu 34.[ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SD tạo với mặt phẳng

SAB góc 30 Thể tích khối chóp cho

A. a3 B.

3

a

C.

3

6

a

D.

3

6 18

a

Lời giải. Xác định:    

30  SD SAB,  SD SA, DSA

Chiều cao khối chóp: SA AD.cotDSAa

3

1

3

S ABCD ABCD

a V  S SA Chọn B

Câu 35*. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3, tam giác SBC

vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SBC góc

A B C

6 D

Lời giải. Kẻ SH BC Từ giả thiết suy SH ABCD

(30)

Do đó:    

60  SD SBC,  SD SC, DSC

Tam giác vng SCD, có SC DC.cotDSC1

Tam giác vng SBC, có

2

3

SB BC SC SB SC SH

BC

   

 

  



3 3

6

S ABCD ABCD

V  S SH  AB SH  Chọn D.

Dạng THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

CĨ MẶT BÊN TẠO VỚI ĐÁY MỘT GÓC CHO TRƯỚC

Câu 36. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA

vng góc đáy mặt bên SCD hợp với đáy góc 60 Thể tích khối chóp cho

A a3 3. B 3

a

C

3 3

a

D

3 3

a

Lời giải Xác định: 60 =0 SCD , ABCDSD AD, SDA.

Chiều cao khối chóp: SA AD tanSDAa

Diện tích hình vng: 2

ABCD

S  AB a

3

1

3

S ABCD ABCD

a

Câu 37. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, ABa, ADa Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy mặt phẳng

SBC tạo với mặt phẳng đáy góc 60 0 Thể tích khối chóp cho

A. a3. B. 3 a3 C.

a

D.

3

a

Lời giải Xác định: 60 =0 SBC , ABCDSB AB, SBA

Chiều cao khối chóp: SA AB tanSBAa

ABCD

S AB ADa

1

S ABCD ABCD

V  S SAa Chọn A

Câu 38. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng SBD mặt phẳng đáy

(31)

A a3 B a C 6 a D 12 a

Lời giải Xác định: 600 SBD , ABCDSO AO, SOA

a SA AO SOA

ABCD

S a

3

1

3

S ABCD ABCD

a

Câu 39.Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên với mặt đáy 60 0 Thể tích khối chóp cho

A 3 a B a C 3 12 a D 3 24 a Lời giải Tham khảo hình vẽ Xác định: 600 SBC , ABCSE OE, SEO.

Chiều cao khối chóp:



tan tan 60

3

AE a a SOOE SEO  

Diện tích tam giác ABC

2

3

ABC

a S 

3

1

24

S ABC ABC

a

V  S SO Chọn D.

Câu 40. (KHTN Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a BAD60 Đường thẳng SO vng góc với đáy mặt phẳng SCD tạo với mặt đáy góc 60 0 Thể tích khối chóp cho

A 3 a B 3 12 a C 3 24 a D 3 48 a Lời giải Kẻ OK CD Khi 600 SCD , ABCDSK OK, SKO Trong tam giác vng COD, có

3

2 2

2

1 1

a OC a OD a OK OK OC OD

 

   

a SOOK SKO

2 3

2

ABCD ABD

a S  S 

3

1

3

S ABCD ABCD

a

(32)

Câu 41.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, đường chéo ACa Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy, góc SCD

và mặt đáy

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3

12

a

Lời giải Gọi H trung điểm AB Từ giả thiết suy SH ABCD

Xác định: 45 SCD , ABCDSC HC, SCH

a SH HC SCH 

2 3

2

ABCD ABC

a S  S 

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V  S SH  Chọn B

Câu 42. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A D, 1,

ADDC  AB2 Cạnh bên SA vng góc với đáy, mặt phẳng SBC tạo với mặt đáy góc 45 Thể tích khối chóp cho

A B

2 C

2 D

Lời giải Gọi I trung điểm AB, suy ADCI hình vng nên

CI  AD AB

Suy tam giác ABC vng C

Khi dễ dàng xác định: 450 SBC , ABCDSC AC, SCA

Chiều cao khối chóp: SA AC.tanSCA

Diện tích hình thang:  

2

ABCD

AB DC

S   AD

3

S ABCD ABCD

Dạng THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Câu 43. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Diện tích tam giác SBC

2 2

a

Thể tích khối chóp cho

A

a B

3 3

a

C

3

a

D

3

2

(33)

Lời giải Đặt cạnh hình vng x0

Suy SB SA2AB2  a2 x2.

Dễ thấy BCSABBC SB nên ta có

2

2 1

2 ABC 2

a

S SB BC a x x x a

     

3

1

3

S ABCD ABCD

a

Câu 44. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

2

a

A.

a B.

3

a

C.

3

a

D.

3

a

Lời giải Gọi H hình chiếu A SB

Dễ dang chứng minh

  , 

2

a AH  SBC d A SBC  AH 

Ta có

2 2

1 1

SA a AH SA  AB  

3

1

ABCD

a

Câu 45. Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a Cạnh bên a Gọi M trung điểm CD, H

là điểm đối xứng O qua SM (tham khảo hình vẽ bên) Thể tích khối đa diện ABCDSH

bằng

A

3

10 12

a

B

3 10

18

a

C

3

10 24

a

D

3

5 10 24

a

Lời giải. Khối đa diện ABCDSH chia thành hai khối chóp S ABCD H SCD

•

3

2

1 10

3

S ABCD ABCD ABCD

a V  S SO S SB OB 

• Vì H đối xứng với O qua SM nên d O SCD , d H SCD , 

Suy

3

1 10 24

HSCD OSCD S ABCD

(34)

Câu 46*. Cho tứ diện ABCD có

4cm ,

ABC

S  SABD 6cm ,2 AB3cm Góc hai

mặt phẳng ABC ABD

60 Thể tích khối tứ diện cho

A

2 3cm B 2 3

cm

3 C

3

4 cm

3 D

3

8 cm

Lời giải. Kẻ CK AB Ta có 8cm

2

ABC

S  AB CK CK 

Gọi H chân đường cao tứ diện hạ từ đỉnh C

Xét tam giác vng CHK, ta có

    

.sin sin ,

CH CK CKH CK ABC ABD 

Vậy 3

cm ABD

V  S CH  Chọn D.

Câu 47*. Cho tứ diện ABCD có BD3 Hai tam giác ABD CBD có diện tích 10 Biết thể tích tứ diện ABCD 11, số đo góc hai mặt phẳng ABD CBD

A arcsin 11 40

 

 

  B arcsin 3340

 

 

  C. arccos 1140

 

 

  D. arccos 3340

 

 

 

Lời giải. Kẻ AH BD Ta có

ABD

S  BD AH AH  Gọi O chân đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A

Ta có 33

3 10

ABCD ABCD BCD

BCD

V V S AO AO

S



   

Xét tam giác vng AOH, ta có

 33  33

sin arcsin

40 40

AO

AHO AHO AH

  

      Chọn B.

Câu 48*. Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Các mặt bên SAB,

SAC tạo với mặt đáy góc 60 ,0 30 0 Hình chiếu vng góc S

mặt phẳng đáy nằm cạnh BC Thể tích khối chóp cho

A.

3

a

B.

3

3 12

a

C

3 3

32

a

D

3 3

64

a

(35)

Từ hình vẽ, suy  

60 cot 60 cot 30 30

SEH HE SH HF SH SFH

     

 

 

     

 



Ta có

2

1

2

ABH ACH ABC

a S S S  AB HE AC HF 

 

2

1 3

cot 60 cot 30

2

a a a SH SH

      

3

1

32

S ABC ABC

a V  S SH 

Câu 49*.Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác với ABAC 5 ,a BC6a mặt bên tạo với đáy góc 60  Hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy nằm bên tam giác ABC Thể tích khối chóp cho

A

3

2

a

B

3 a C.

6 a D.

8 a

Lời giải Kẻ HE  AB E AB, HF AC F AC, HI BC I BC

Từ hình vẽ, suy SEHSFHSIH60 HI HE HF SH.cot 60 

Ta có SABH SACH SBCH SABC

2

1 1

12

2 2

1 3

.16 cot 60 12

2

AB HE AC HF BC HI a

a a SH a SH

   

    

Vậy thể tích khối chóp: . 3

S ABC ABC

V  S SH  a Chọn C.

Câu 50 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A 

30

ABC  Đỉnh

S cách điểm A, B, C Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy a 3,

khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC 2a Thể tích khối chóp cho

A 2 a3 B 4a3 C 4 a3 D 8 a3

Lời giải. Gọi H trung điểm BC Từ giả thiết suy SH ABCDSH a

Ta có d B SAC , 2d H SAC , d H SAC , a

Kẻ HE AC (E trung điểm AC ), kẻ HK SE  1

Ta có AC HE AC SHE AC HK

AC SH

 

    

 

  2

Từ  1  2 , suy HK SAC nên

 

,

HK d H SAC a

Trong tam giác vng SHE, tính  300

6 ABC 2

(36)

Diện tích tam giác: . 4 2

2

ABC

S  AB AC  a

1

S ABC ABC

(37)

Dạng THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG

Câu 51. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a tích

A.

3

a

B.

3

a

C.

3 3

a

D.

3

12

a

Lời giải Chọn B Chiều cao lăng trụ: AA a

Diện tích tam giác đều:

2 3 ABC

a

S 

Vậy thể tích khối lăng trụ:

3

4 ABC

ABC A B C

a V    S AA

Câu 52.[ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy tam giác cạnh a AA  a Thể tích khối lăng trụ cho

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3

a

Lời giải Chiều cao lăng trụ: AA  a

Diện tích tam giác đều:

2

ABC

a

S 

3

4 ABC

ABC A B C

a

V    S AA Chọn D

Câu 53.[ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019]Thể tích khối lập phương có cạnh 2a

A

a B

2 a C

6 a D

8 a

Lời giải Thể tích khối lập phương: V 2 2a a a8 a3 Chọn D

Câu 54. (ĐHSP Hà Nội lần 1, năm 2018-2019) Cho khối hộp chữ nhật

ABCD A B C D    có AA a, AB3 ,a AC 5 a Thể tích khối hộp cho

A 4a3. B 5 a3 C 12 a3 D 15 a3

Lời giải Ta có ADBC AC2AB2 4 a

Thể tích khối hộp chữ nhật: V AA AB AD. . 12 a3 Chọn C.

Câu 55. (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho hình lăng trụ đứng

ABCD A B C D    có AA 3 ,a AC 4 ,a BD5 ,a ABCD hình thoi Thể tích khối lăng trụ cho

A 20 a3 B 27 a3 C 30 a3 D 60 a3

Lời giải Chiều cao khối lăng trụ: AA 3 a

Diện tích hình thoi: 10 2

ABCD

(38)

Câu 56. Cho hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy 2a có mặt bên hình vng Thể tích khối lăng trụ cho

A 2a3 B 3a3 C

3 2 a D 2 a

Lời giải Từ giả thiết, ta có  

2 2

3 day

day

2

S a a

V S h a

h a            Chọn A.

Câu 57. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có

,

BB a đáy ABC tam giác vuông cân B AC a Thể tích khối lăng trụ cho

A.

a B.

3 a C. a D. a

Lời giải Từ giả thiết suy BABC a

Chiều cao khối lăng trụ: BB a

2 2 ABC a

S  BA BC

3

2 ABC

ABC A B C

a

V    S BB Chọn B

Câu 58. Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác với ABa, ,

AC  a BAC1200 AA 2a Thể tích khối lăng trụ cho

A 15

a B

4a C

3 15 a D a

Lời giải Chiều cao khối lăng trụ: AA 2a

Diện tích tam giác: 

2

1

.sin

2

ABC

a

S  AB AC BAC 

Vậy thể tích khối lăng trụ: VABC A B C.    SABC.AAa3 15 Chọn A

Câu 59. Cho khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a tổng diện tích mặt bên 3 a2 Thể tích khối lăng trụ cho

A. a B. 3 a C. 3 a D. 3 12 a

(39)

Diện tích xung quanh lăng trụ: Sxq 3.SABB A  3a2 3.AA AB 

3a2 3.AA a. AAa.

2

ABC

a

S 

3

4 ABC

ABC A B C

a

V    S AA Chọn B.

Câu 60. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có BAa, BC a 2, BA a

Thể tích khối hộp cho

A

a B

2a 2. C 10

a D.

3

2

a

Lời giải. Trong tam giác vuông BB A , ta có

2

BB BA A B   a

Khi thể tích hình hộp chữ nhật

3

2

ABCD A B C D

V     BA BC BB a Chọn B

Câu 61.[ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho khối lập phương ABCD A B C D     có độ dài đường chéo A C a Thể tích khối lập phương cho

A a3. B 3 a3 C 1

3a D

3

a

Lời giải Đặt cạnh khối lập phương x x0  Suy AC x AA x

Tam giác vng A AC , có

 2

2 2

3

A C  AA AC a  x  x  x a

Vậy thể tích khối lập phương: V a3 Chọn A

Câu 62. (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D    có ABa, AD2 ,a AC  a Thể tích khối hộp

A 2 a3 B 2 a3 C 3

a

D

3

a

Lời giải Dễ dàng tính AC  a24a2 a 5, suy CC     6a 2 5a a.

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật: V AB AD CC a a a.2 2 a3 Chọn A.

Câu 63. Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vng B

1

BABC  Cạnh A B tạo với mặt đáy ABC góc

(40)

A B 1

2 C

3

2 D

3

Lời giải Xác định: 600 A B ABC , A B AB , A BA

Tam giác vuông A AB , ta có AA AB tanA BA 

2

ABC

S  BA BC 

Vậy ABC

V S AA Chọn C

Câu 64. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có AB AAa, đường chéo A C

tạo với mặt đáy ABCD góc  thỏa cot Thể tích khối hộp cho

A

2 a B

5 a C

3

a

D

3

a

Lời giải Xác định: A C ABCD , A C AC , A CA

Ta có AC AA.cot a BC AC2 AB2 a

AB AA a



   

    

  



Vậy

ABCD A B C D

V     AA AB BC  a Chọn A.

Câu 65.[ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy

ABC tam giác cân với ABAC a, BAC120 Mặt phẳng AB C  tạo với đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ cho

A.

3

a

B.

3

a

C.

3

a

D.

3

a

Lời giải Gọi M trung điểm đoạn thẳng B C  Dễ dàng xác định

  

   

0

60  AB C  , A B C    AM A M,   AMA

Tam giác vng A B M  , có



.cos cos 60

2

a A M  A B  MA B a 

Tam giác vng AA M , có



tan tan 60

2

a a

AAA M AMA 

Diện tích tam giác: 

2

1

.sin

2

ABC

a

S  AB AC BAC 

3

8 ABC

ABC A B C

a

(41)

Câu 66. (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có

3

AA  Tam giác A BC có diện tích tạo với mặt đáy ABC góc 60 Thể tích khối lăng trụ cho

A 9 B 12 C 18 D 36

Lời giải Chiều cao khối lăng trụ: AA 3

Diện tích mặt đáy: SABC SA BC cos60 3

Vậy thể tích khối lăng trụ: VABC A B C.    SABC.AA3.39 Chọn A.

Câu 67. Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D     có AA a Biết mặt phẳng

A BC  hợp với mặt đáy ABCD góc 60 ,0 đường thẳng A C hợp với mặt đáy

ABCD góc 30 Thể tích khối hộp chữ nhật cho

A a3. B a3 2. C 2a3 6. D

3

2

a

Lời giải Xác định:

 



   

  

   

0

30 , ,

60 , ,

A C ABCD A C AC A CA

A BC ABCD A B AB A BA

      

 

      



Ta có

 

2 cot

2

.cot

AB AA A BA a

BC AC AB a

AC AA A CA a

    

    

  

  



Vậy thể tích khối hộp chữ nhật:

ABCD A B C D

V     AA AB BC  a Chọn C.

Câu 68. Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt xuất phát từ đỉnh

10cm , 20cm ,2 32cm Thể tích khối hộp chữ nhật cho

A. 40cm B. 64cm C. 80cm D. 160cm

Lời giải Xét hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có đáy ABCD hình chữ nhật

Theo ra, ta có

2

10 cm 10

20 cm 20

32

30 cm ABCD

ABB A

ADD A

S AB AD

S AB AA

AA AD S

   

   

 

   

 

 

  

   



Nhân vế theo vế, ta AA AB AD 2 6400 AA AB AD 80

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật:

80 cm

ABCD A B C D

V     AA AB AD  Chọn C.

Câu 69.Cho khối hộp đứng có đáy hình thoi có độ dài đường chéo nhỏ 10

và góc nhọn 60  Diện tích mặt bên khối hộp 10 Thể tích khối hộp cho bằng

(42)

Suy BDa, AC a Theo giả thiết, ta có BD10 a 10

Diện tích mặt đáy: 

2

.sin 50

2

a

SAB AD BAD 

Diện tích mặt bên 10 AB BB 10BB1

Vậy thể tích khối hộp: V SABCD.BB50 Chọn C

Câu 70. Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d  21 Độ dài ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân có cơng bội q2 Thể tích khối hộp chữ nhật cho

A. B. C.

3 D.

8

Lời giải Xét hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có độ dài kích thước ba cạnh AA a AB, b AD, c có đường chéo AC

Ta có a b c, , lập thành cấp số nhân có cơng bội q2 Suy

b a

c a

     

Mặt khác, độ dài đường chéo 2 2 2

21 21 21

AC  AA AB AD  a b c 

Từ ta có hệ

2 2

2

1, 2, 21

c b a

a b c

  

    

    

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật: VABCD A B C D.     abc8 Chọn B.

Dạng THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN

Câu 71. Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A O a Thể tích khối lăng trụ cho

A.

3

a

B

3 3

a

C.

3

a

D.

3 3 12

a

Lời giải. Chiều cao khối lăng trụ: A O a Diện tích tam giác đều:

2

ABC

a

S 

3

4 ABC

ABC A B C

a

V    S A O  Chọn B

Câu 72. Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy tam giác cạnh 2a

3

A A a Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G tam giác ABC Thể tích khối lăng trụ cho

A. 2 a3 B.

3

a

C

3

a

D.

3

a

(43)

Lời giải. Ta có AN a 6, suy 2

3

AG AN  a

Chiều cao khối lăng trụ: 2

a A G  A A AG 

Diện tích tam giác đều: 2 22. 2 3.

ABC

S  a  a

Vậy thể tích khối lăng trụ: ABC ABC A B C

V    S A G  a

Chọn A

Câu 73. Cho hình trụ ABCD A B C D     có tất cạnh ,a đáy ABCD hình vng Hình chiếu vng góc đỉnh A mặt phẳng đáy trùng với tâm đáy Thể tích khối lăng trụ cho

A.

4 a B.

8 a C.

3

4

a

D

3

a

Lời giải. Gọi O tâm hình vng ABCD

Từ giả thiết suy A O ABCD

2

A O  AA AO a

Diện tích hình vng: SABCD 4a2

3

ABCD

ABCD A B C D

V     S A O  a Chọn A.

Câu 74. Cho lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên

AA a Hình chiếu vng góc A mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm

H AB. Thể tích khối lăng trụ cho

A. a3. B

3 3

a

C.

3

a

D.

3 3

a

Lời giải. Diện tích hình vng:

ABCD

S a

a A H  AA AH 

3

2 ABCD

ABCD A B C D

a

V     S A H  Chọn B.

Câu 75. Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông cân B

2

AC  a Hình chiếu vng góc A mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh AB A A a Thể tích khối lăng trụ cho

A. a3 3. B. 2a3 2. C.

3 6

a

D

3

(44)

Lời giải. Từ giả thiết suy BABC a

a A H  AA AH 

Diện tích tam giác vng:

2 ABC

S  BA BC a

Vậy

3

6

2 ABC

ABC A B C

a

V    S A H  Chọn C.

Câu 76. Cho khối lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông A,

ABAC a Biết A A  A B A C a Thể tích khối lăng trụ cho

A.

3

a

B.

3

a

C

3

a

D.

3

12

a

Lời giải. Gọi I trung điểm BC Từ giả thiết suy A I ABC

Tam giác ABC, có BC  AB2 AC2 a 2.

Chiều cao khối lăng trụ: 2 2

a A I  A B BI 

Diện tích tam giác vuông:

2

ABC

a

S  AB AC 

Vậy

3

2

4 ABC

ABC A B C

a

V    S A I  Chọn B

Câu 77. Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC tam giác vuông B, AB1,

AC  Cạnh bên AA  Hình chiếu vng góc A mặt ABC trùng với chân đường cao hạ từ B tam giác ABC Thể tích khối lăng trụ cho

A.

4 B.

21

4 C.

3 21

4 D

21 12

Lời giải. Tam giác vuông ABC, có BC AC2AB2 

2

AB AH

AC

 

Chiều cao khối lăng trụ: 2 7.

A H  AA AH 

2

ABC

S  AB BC 

Vậy . 21 ABC

ABC A B C

V    S A H  Chọn B

Câu 78.[ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC

là tam giác vuông cân A, cạnh AC 2 Biết AC tạo với mặt phẳng ABC

(45)

A.

3 B.

16

3 C.

8

3 D.

16

Lời giải. Chiều cao khối lăng trụ: h AC.sin 600 2 3.

Thể tích khối lăng trụ:

1

2 ABC ABC A B C

V    S h AC h

Suy thể tích cần tính: . 16

3

ABCB C ABC A B C

V    V    

Chọn D.

Câu 79. Cho khối lăng trụ biết đáy có diện tích 10 cm ,

S  cạnh bên 10cm tạo với mặt phẳng đáy góc

60 Thể tích khối lăng trụ

A. 50cm 3 B. 50 3cm 3 C. 100cm 3 D. 100 3cm 3

Lời giải. Chiều cao khối lăng trụ:

.sin 60

h 

Vậy thể tích khối lăng trụ: V S h. 50 3cm 3 Chọn B.

Câu 80. Cho lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O

,

ABa ADa Đường thẳng A O vng góc với đáy ABCD, cạnh bên AA hợp với mặt đáy ABCD góc 45 Thể tích khối lăng trụ cho

A.

3

a B.

3

a

C

3

a

D.

3

a

Lời giải. Xác định: 450 AA,ABCDAA AO,  A AO

Chiều cao khối lăng trụ: A O  AO tanA AO a Diện tích hình chữ nhật:

ABCD

S AB ADa

Vậy

ABCD

ABCD A B C D

V     S A O a Chọn A.

Câu 81. Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy tam giác cạnh Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H BC Góc tạo cạnh bên AA với mặt đáy 45 Thể tích khối lăng trụ cho

A 1 B. C.

8 D.

6 24

Lời giải. Ta có AH 

Xác định: 450 AA,ABCDAA AH, A AH .

Chiều cao khối lăng trụ: A H AH.tanA AH  Diện tích tam giác đều: SABC 

(46)

Câu 82. Cho lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O



120

ABC  Góc cạnh bên AA mặt đáy 60 Đỉnh A cách điểm A B D, , Thể tích khối lăng trụ cho

A. a3 3. B.

3 3

a

C.

3

a

D

3

a

Lời giải. Chọn B. Từ giả thiết suy tam giác ABD

đều cạnh a Gọi H tâm tam giác ABD Vì A cách điểm A B D, , nên A H ABD

Xác định: 60 AA,ABCDAA HA,  A AH

Ta có 2 3

3 3

a a

AH  AO 

Chiều cao khối lăng trụ: A H AH tanA AH a

2

2 ABCD ABD

a

S  S  Vậy

3

2 ABCD

ABCD A B C D

a V     S A H 

Câu 83. Cho khối lăng trụ ABC A B C   , biết thể tích khối chóp A BCB C   a3

Thể tích khối lăng trụ cho

A.

2a B.

3

3 a C. 4a3 D. a3

Lời giải. Dễ thấy

3

1

3 3

2

A A B C ABC A B C

ABC A B C

A BCB C ABC A B C

V V

V a

V V a

     

  

    

 

  



  



Chọn B.

Câu 84. Cho hình hộp ABCD A B C D     tích

12cm Thể tích khối tứ diện ACB D 

A.

2cm B

3cm C.

4cm D.

5cm

 

ACB D ABCD A B C D B ABC D ADC AA B D CB C D

V   V     V  V  V   V   

Mà .

6 ABCD A B C D B ABC D ADC AA B D CB C D

V

V  V  V    V        

Suy

cm

3

ACB D ABCD A B C D

V    V      Chọn C.

Câu 85*. Cho hình hộp ABCD A B C D     có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a,

góc ABC 60 Biết A O ABCD cạnh bên AA hợp với đáy góc

0

(47)

A.

3

a

B.

3

a

C.

3

a

D.

3 12

a

Lời giải. Dễ dàng tính

3

4 ABCD

a V S A O 

Ta có V VO ABC D.   VAA D BB C .  VC BOC. VD AOD. VO CDD C.  

. 1 1 12 12

O ABC D

V   V V V V

    

Suy

3

6

O ABC D

V a

(48)

Dạng TỈ SỐ THỂ TÍCH

Câu 86. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho tứ diện ABCD có AB, AC AD đơi

một vng góc Các điểm M, N, P trung điểm đoạn thẳng BC, CD,

BD Biết AB4 ,a AC 6 ,a AD7 a Thể tích khối tứ diện AMNP

A.

7 a B.

14a C.

21 a D.

28 a

Lời giải. Tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD

đôi vuông góc nên 28

6

ABCD

V  AB AC AD  a

Ta có 1 .

4

MNP BCD AMNP A BCD

S  S V  V  a

Chọn A.

Câu 87. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho tứ diện ABCD tích 24

G trọng tâm tam giác BCD Thể tích khối chóp G ABC

A. B. C. D. 12

Lời giải. Ta có VG ABC. VA GBC.

Vì G trọng tâm tam giác BCD nên

GBC DBC

S  S

Suy . 1.24

3

A GBC ABCD

V  V   Chọn C

Câu 88 Cho tứ diện ABCD tích V Gọi V thể tích khối tứ diện có

đỉnh trọng tâm mặt khối tứ diện ABCD Tỉ số V

V



A

27 B

27 C

27 D 23

27

Lời giải. Chọn A Gọi M trung điểm AC; E, F trọng tâm tam giác ABC, ACD

Trong tam giác MBD, có

EF  BD

Tương tự ta có cạnh cịn lại tứ diện sinh

3 cạnh tứ diện ban đầu nên

3

1 27 V

V

    

   

Câu 89. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc AB6 ,a

9 ,

AC  a AD3 a Gọi M, N, P trọng tâm tam giác ABC, ,

ACD ADB Thể tích khối tứ diện AMNP

A.

2 a B.

4 a C.

6 a D.

(49)

Lời giải. Ta có . . 27 3

6

ABCD

V  AB AC AD a

Do 1 27 3.

4 4

EFG BCD AEFG ABCD

S  S V  V  a

Ta có

2 2

3 3 27

A MNP A EFG

V AM AN AP

V  AE AF AG  

3

8

2 27

A MNP A EFG

V V a

   Chọn A.

Câu 90 [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Cho tứ diện tích V Gọi V

thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho Tỉ số V

V



A.

2 B.

3 C.

4 D.

Lời giải. Kí hiệu tứ diện điểm hình vẽ Ta có

1

8

S A B C

S A B C S ABC

V SA SB SC V

V

V SA SB SC

  

   

Tương tự . . .

8

A A MP B B MN C C NP

V

V  V  V  

Suy

2

V V

V



    Chọn A.

Câu 91 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích 48 Gọi

,

M N điểm thuộc cạnh AB, CD cho MAMB, NC 2ND Thể tích khối chóp S MBCN

A 8. B 20. C 28. D 40

Lời giải. Gọi d khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh CD

Diện tích hình bình hành SABCD  AB d

Ta có SMBCN SABCDSAMN SADN

1 1

2

AB d AM d DN d AB d AB d AB d

     

7

12AB d 12SABCD

 

Vậy . . . 48 28

12 12

S MBCN S ABCD

V  V   Chọn C.

Câu 92 (KHTN lần 2, năm 2018-2019) Cho khối chóp tứ giác S ABCD tích

,

(50)

A 3 V

B 3 V

C 16

V

D 3 16

V

Lời giải Từ giả thiết suy

CNQP ABCD

S  S

Vì M trung điểm SB nên

   

, ,

2

d M ABCD  d S ABCD 

Suy .

16 M CNQP

V  V Chọn D

Câu 93 (Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019) Gọi V thể tích khối lập

phương ABCD A B C D    , V1 thể tích tứ diện A ABD Hệ thức sau đúng? A V 2 V1 B V 3 V1 C V 4 V1 D V 6 V1 Lời giải. Ta có V SABCD.AA 1

3 ABD

V  S AA

Mà

1

6

ABD ABCD

V

S S

V

   

Suy V 6 V1 Chọn D

Câu 94.Cho lăng trụ ABC A B C    Đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC

và song song với BC cắt cạnh AB, AC M, N Mặt phẳng A MN 

chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn

A.

3 B

4

9 C.

23 D.

4 27

AMN ABC

S  S

Ta có VABC A B C.    SABC.AA

1

AMN

A AMN

V   S AA

Suy . .

27

A AMN ABC A B C

V   V   

23

27

BMNC A B C ABC A B C

V    V   

 

Vậy

4 23

A AMN BMNC A B C

V V



  

 Chọn C

Câu 95 Cho hình hộp ABCD A B C D     có I giao điểm AC BD Gọi V1

2

V thể tích khối ABCD A B C D     IA B C   Tỉ số

V

V bằng

A 3

(51)

Lời giải Chọn D Thật vậy:

Khối chóp IA B C   so với khối hộp ABCD A B C D    

 Diện tích đáy giảm

 Cơng thức tính khối chóp nhân thêm

Câu 96. Cho hình chóp S ABC có chiều cao 9, diện tích đáy Gọi M

trung điểm cạnh SB N thuộc cạnh SC cho NS 2NC Thể tích khối chóp A BMNC

A. B. 10. C. 15 D. 30

Lời giải. Từ giả thiết, ta có

3 SN

SC 

1 SM

SB 

Thể tích khối chóp . 1.9.5 15

S ABC

V  

Ta có

10 3 S AMN

ABMNC S ABC

S ABC

V SM SN

V V

V  SB SC     Chọn B

Câu 97.Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên a Gọi M

trung điểm SB, N điểm đoạn SC cho NS 2NC Thể tích khối chóp

A BCNM

A 11 12 a B 11 16 a C 11 18 a D 11 36 a

Lời giải. Gọi O tâm tam giác ABC Từ giả thiết suy SOABC

Chiều cao khối chóp: 2 11

a

SO SA AO 

Thể tích khối chóp:

2

1 11 11

3 12

S ABC

a a a

V  

Ta có

1 ,

2 3

S AMN S ABC

V SM SN

V  SB SC   suy .

2 ABCNM S ABC V V  Vậy 11 18

ABCNM S ABC

a

V  V  Chọn C.

Câu 98.Cho tứ diện ABCD tích V điểm M, N, P thỏa mãn điều kiện

2 ,

AM  AB

 

3

AN  AC

 

AP4AD Mệnh đúng?

A. VAMNP 8 V B. VAMNP 24 V C.

AMNP

V

V  D.

24

AMNP

V

(52)

Lời giải. Từ giả thiết, suy

1 1

; ;

2

AB AC AD

AM  AN  AP 

Ta có

1 1

2 24

A BCD A MNP

V AB AC AD

V  AM AN AP    

Suy VA MNP. 24.VA BCD. 24 V Chọn B

Câu 99 Cho hình chóp S ABC có SA3, SB 4, SC5 ASBBSCCSA 60 

A 5 B 5 C 10 D 15

Lời giải. Trên đoạn SB SC, lấy điểm E F, cho SE SF 3

Khi S AEF khối tứ diện có cạnh a3 Suy

3

2 12

S AEF

a

V  

Ta có

3

4 20

S AEF S ABC

V SE SF

V SB SC  

20

5

S ABC S AEF

V V

  

Chọn A.

Câu 100*. Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Mặt phẳng  P song

song với mặt đáy ABC cắt cạnh bên SA, SB, SC M, N, P Biết mặt phẳng  P chia khối chóp cho thành hai phần tích Diện tích tam giác MNP

A

2

3 a

B.

2

3 4 a

C.

2

3 a

D.

2

3 16 a

Lời giải. Theo định lí Talet: SM SN SP x

SA  SB SC 

Ta có

S MNP S ABC

V SM SN SP

x

V  SA SB SC 

Theo giả thiết

3

1 1

2 2

S MNP S ABC

V

x x

V     

Suy tam giác MNP cạnh

3 2

a

nên

2 2

3

4

2 4

MNP

a a

S

  

  

(53)

Câu 101. Cho tam giác ABC vuông cân A ABa.Trên đường thẳng qua C vng góc với ABC lấy điểm D cho CDa Mặt phẳng   qua C vuông góc với

,

BD cắt BD F cắt AD E Thể tích khối tứ diện CDEF

A

3

a

B

3

12 a

C

3

24 a

D

3

36 a

Lời giải. Ta có

2

BC AB AC a

BD BC CD a

   

 

   



Dễ dàng chứng minh CE AD

Tam giác vng DCB, có

2

1

3

DF CD

CD DF DB

DB DB

   

Tương tự, ta có

2

1

DE CD

DA  DA 

Suy

3

1 1 1

6 6 36

D EFC

D EFC D ABC

D ABC

V DE DF a

V V a a

V DA DB

 



       Chọn D

Câu 102. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B,

1,

BABC  AD2 Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA Gọi H

là hình chiếu vng góc A SB Thể tích khối đa diện SAHCD

A 2

3 B

3 C

2

9 D

Lời giải. Dễ dàng tính . 2

S ABCD

V 

Kẻ HK  SA K AB Ta có

2

1

3 3

HK BH AB SA

HK

SA  BS  BS    

Khi .

3 18

H ABC ABC

V  S HK 

Suy thể tích cần tính: . . 2

2 18

S ABCD H ABC

(54)

Câu 103.Cho hình chóp S ABCD Gọi A, B, C, D trung điểm SA, ,

SB SC, SD Tỷ số thể tích khối chóp S A B C D     chia cho thể tích khối chóp

S ABCD

A 1

2 B

1

4 C

1

8 D

1 16

Lời giải Chọn C. Ta có VS A B C D.     VS A B C.   VS A D C.   

Mà

1 1

2 2

S A B C S ABC

V SA SB SC

       

Suy . .

8 S ABC

S A B C

V     V

Tương tự ta có . .

8 S ADC

S A D C

V     V

Vậy . . . 1 . .  .

8 S ABC S ADC S ABC S ADC S ABCD

S A B C D

V      V  V  V V  V Suy

1

S A B C D S ABCD

V V

    

Lưu ý: Tỉ số thể tích áp dụng cho khối chóp tam giác nên đáy tứ giác ta chia đáy thành hai tam giác

Câu 104. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật Mặt phẳng   qua A,

B trung điểm M SC Mặt phẳng   chia khối chóp cho thành hai phần tích V1, V2 với V1V2 Tỉ số

2

V

A

4 B

3

5 C

3

8 D

5

Lời giải. Kẻ MN  CD NCD, suy ABMN thiết diện khối chóp Ta có VS ABMN. VS ABM. VS AMN.



1 1

2

S ABM

S ABM S ABC S ABCD

S ABC

V SM

V V V

V  SC    



1

4

S AMN

S AMN S ABCD

S ACD

V SM SN

V V

V  SC SD   

Suy . . . .

4 8

S ABMN S ABCD S ABCD S ABCD

V  V  V  V

Suy .

8

ABMNDC S ABCD

V  V Vậy

2

3 V

(55)

Câu 105. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho khối lăng trụ ABC A B C    tích Gọi M N, trung điểm đoạn thẳng AA BB Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A  P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C B 

Q Thể tích khối đa diện lồi A MPB NQ 

A 1 B 1

2 C

1

3 D

2

Lời giải. Gọi h chiều cao lăng trụ ABC A B C   

Do SC PQ 4SC A B   nên . .

3

C C PQ ABC A B C

V   V      1

Ta có . . . .

3 C ABNM 3

C ABB A ABC A B C ABC A B C

V    V    V  V    

Suy . . . 1

3

C ABNM

CMN C A B ABC A B C

V    V   V     2

Từ  1  2 , suy

A MPB NQ

V    Chọn D.

Câu 106. Cho hình lăng trụ ABC A B C    tích V Các điểm M, N, P lần

lượt thuộc cạnh AA, BB, CC cho 1, AM

AA

2

BN CP

BBCC Thể tích

khối đa diện ABC MNP

A 2

3V B

16V C 11

18V D 20

27V

Lời giải. Công thức giải nhanh: .

3

ABC MNP

m n p

V    V

 

với m AM, n BN , p CP

AA BB CC

  

  

Áp dụng: 1, 2, 2 3

m n p , ta . 11

18

ABC MNP

V  V

Chọn C.

Câu 107. Người ta cần cắt khối lập phương

thành hai khối đa diện mặt phẳng qua A

(như hình vẽ) cho phần thể tích khối đa diện chứa điểm B nửa thể tích khối đa diện lại Tỉ số CN

CC

A.

2 B.

1

3 C.

2

3 D.

(56)

Lời giải. Công thức giải nhanh: 2 AMNPBCD ABCD A B C D

CN BM DP

V CC BB DD

V    

 

  

 

Theo giả thiết, ta có

0

1

3 3

AMNPBCD ABCD A B C D

CN

V CC CN

V     CC

 

    

 Chọn C

Câu 108*.Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M, N trung điểm

các cạnh AB, BC E điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện Khối đa diện chứa đỉnh A tích

A. 18 a B. 216 a C. 11 216 a D. 13 216 a

Lời giải. Thể tích khối tứ diện ABCD cạnh

a

3 12 a V 

Gọi P EN CD

Q EM AD

  

 

  

 P Q, trọng tâm

của BCE ABE

Ta có

1 1

.2 ;

2 2

B MNE

B MNE B ACD

V BM BN BE

V V

V  BA BC BD    

.

1 2 7

2 3 9 18

E DQP

BMNDQP E BMN

E BMN

V ED EQ EP

V V V

V  EB EM EN     

Suy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A

3

11 11 11

18 18 12 216

a a

V   Chọn C.

Câu 109*.Cho hình chóp S ABCD Gọi M điểm đối xứng C qua D, N

trung điểm SC Mặt phẳng BMN chia khối chóp S ABCD thành hai phần tích V1, V2 V1 phần thể tích chứa đỉnh A Tỉ số

1

V

A 7

5 B 12 C D 12

Lời giải Dễ thấy DE đường trung bình tam giác MBC, suy 1; ME

MB  F

trọng tâm tam giác SMC, suy MF

(57)

1

2

M DEF M CBN

V MD ME MF

V  MC MB MN  

Suy 2 1 . .

6 M CBN M CBN

V   V  V

  1

Mà

1

2

C BNM C BSD

V CN CM

V  CS CD  

. . .

2

C BNM C BSD S ABCD

V V V

    2

Từ  1  2 , suy

2

1

5 5

6 S ABCD 12 S ABCD

V

V V V

V

    Chọn C

Câu 110*. Cho hình hộp ABCD A B C D     có M, N, P trung điểm ba cạnh

,

A B  BB D D Mặt phẳng MNP cắt đường thẳng A A I Biết thể tích khối tứ diện IANP V Thể tích khối hộp cho ABCD A B C D    

A 2 V B 4 V C 6 V D 12 V

Lời giải Gọi QMNPA D  Theo tính chất giao tuyến suy MQ  NP nên Q trung điểm A D  Suy M, Q trung điểm IN,

IP

Ta có

1 1

3 2 12 12

I A MQ

I A MQ IANP

V IA IM IQ V

V

V IA IN IP



    

Mặt khác . , 

3

I A MQ A MQ

V   d I A B C D      S 

  .

1 1

,

3 2d A ABCD 8SA B C D    48VABCD A B C D   

  

    Từ suy VABCD A B C D.     4 V Chọn B.

Dạng BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Câu 111. Cho hình chóp S ABC có SAa, SBa 2, SC a Thể tích lớn

của khối chóp cho

A a3 6. B. 6

a

C

3

6 a

D

3

6 a

Lời giải Gọi H hình chiếu A mặt phẳng

SBCAH SBC Ta có  AH AS

(58)

Khi 1 SBC

V  S AH   SB SC AS   SA SB SC

 

Dấu '''' xảy SA SB SC, , đơi vng góc với Vậy thể tích lớn khối chóp:

3 max

1

6

a

V  SA SB SC  Chọn D

Câu 112. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB4 Cạnh bên SA

vng góc với mặt phẳng đáy SC6 Thể tích lớn khối chóp cho

A. 24 B. 20

3 C. 40

3 D

80

Lời giải. Đặt BC x Suy

16

AC  x

20

SA x ĐK: 0 x

Thể tích khối chóp:

1

20

3

S ABCD ABCD

V  S SA x x

 

2

20

4 40

3

x  x

 

Dấu "" xảy  x 20x2  x 10. Chọn C.

Cách Xét hàm số  

20

f x  x x 0;2 

Câu 113. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác có SASBSC1

Thể tích lớn khối chóp cho

A 1

6 B

1

12 C

2

12 D

12

Lời giải. Gọi O tâm tam giác ABC

Từ giả thiết suy SO ABC

Đặt ABx, suy

3 x

OA

2

1 x

SO 

Điều kiện: 0 x

Khi .

3 12

S ABC ABC

V  S SO x x

Xét hàm  

12

f x  x x 0; , ta

0; 3    

1 max

6

f x  f  Chọn A.

Cách 2. Ta có  

3

2 2

2 2 2

3 2

3

2

x x x

x x  x x  x       

 

Câu 114. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AD4 Các cạnh bên

(59)

A. 125

3 B. 128

3 C.

130

3 D.

250

Lời giải. Gọi OACBD Từ giả thiết suy SOABCD

Đặt ABx, suy

16

AC  x 

2

128

x

SO  Điều kiện: 0 x

Khi

2

1 128

3

S ABCD ABCD

x

V  S SO x 

 2  2

1 128

128 128 x x x x

     

Dấu '''' xảy

128

x x x

    

Suy . 128

3

S ABCD

V  Chọn B

Câu 115. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh 1; SO vng

góc với mặt đáy ABCD SC 1 Thể tích lớn khối chóp

A.

3 B.

9 C.

2

27 D.

4 27

Lời giải. Đặt OAOC x Suy OD 1x2, SO 1x2. Điều kiện:

0 x

Thể tích khối chóp

 

2 2

1

.2 1

3 3

S ABCD ABCD

V  S SO x x x  x x

Xét hàm f x x1x2  0;1 , ta

 0;1  

1

max

3 3 f x  f  



Vậy thể tích lớn khối chóp

27 Chọn D.

Câu 116. Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông C, AB2 Cạnh bên

SA vng góc với mặt phẳng đáy SA1 Thể tích lớn khối chóp

A.

3 B

1

4 C.

1

6 D.

1 12

Lời giải Đặt AC x, suy CB 4x2 Điều kiện: 0 x

Khi  2

1

3

S ABC ABC

V  S SA x x

2

1

6

x x

   

 

  

(60)

Câu 117 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A AB1 Các cạnh bên SASBSC2 Thể tích lớn khối chóp cho

A.

3 B.

4

3 C

5

4 D.

5

Lời giải Gọi I trung điểm BC Từ giả thiết suy SI ABC

Đặt AC  x, suy BC  x2 1

2

15

x

SI  

Điều kiện: 0 x 15

Khi

2

1 15 3 2

S ABC ABC

x x

V  S SI  

  2

2

1 15

15

12 12

x x

x x  

    Chọn D.

Câu 118. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB4, SC 6 Tam

giác SAD cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích lớn khối chóp cho

A. 40 B. 80 C. 40

3 D. 80

Lời giải Chọn D.Gọi H trung điểm AD Từ giả thiết suy SH ABCD

Đặt ADx, suy

2

16 x

HC  

2

20 x

SH  

Điều kiện: 0 x

Khi

2

1

.4 20

3

S ABCD ABCD

x

V  S SH  x 

1 2 1 2 80

2 80 80

3 x x x x

     

Câu 119. Cho hình chóp S ABCD có SAx 0 x , tất cạnh lại

nhau Với giá trị x thể tích khối chóp cho lớn nhất?

A. 2

x B.

2

x  C.

2

x  D.

3

x 

Lời giải. Gọi O tâm hình thoi ABCD OAOC  1 Theo ra, ta có SBD CBD OSOC  2 Từ  1  2 , ta có

2

(61)

Suy

2

1 x

OA 

2

x

OB AB OA  

Ta có SBSCSD1, suy hình chiếu vng góc

H đỉnh S mặt đáy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCDH AC Trong tam giác vng SAC , ta có

2 2

SA SC x

SH

SA SC x

 

 

Khi

  2

2

1

1 1

3 1 6

S ABCD ABCD

x x x x x

V S SH x x

x

     



      

 



Dấu '''' xảy

3

2

x x x

     Chọn C.

Câu 120. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có AB x, AD3, góc đường

thẳng A C mặt phẳng ABB A  30 0 Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có

thể tích lớn

A. 3

x B.

2

x  C.

5

x  D. 15

5

x 

Lời giải. Xác định: 300 A C ABB A ,  CA B

Đặt BB h h 0  Ta có

 2

2

3

tanCA B BC tan 30 x h 27

A B x h

      

 

Khi

2

2 27 81

27

2

ABCD

x x

V S BB x h x x     

 

Dấu "" xảy 27

x x x

     Chọn B.

Câu 121. Cho hình chóp S ABC có SAx 0 x , tất cạnh lại Thể tích lớn khối chóp cho

A.

4 B.

1

8 C.

1

12 D.

2 12

Lời giải Ta có tam giác ABC SBC tam giác cạnh

Gọi N trung điểm

2

(62)

Trong tam giác SAN, kẻ SH  AN  1

Ta có BC AN BC SAN BC SH

BC SN

 

    

 

  2

Từ  1  2 , suy SH ABC

Khi . 3

3 3

S ABC ABC ABC

V  S SH  S SN  

Dấu '''' xảy  H N Chọn B

Cách 2. Gọi M trung điểm SA NM SA d SA BC ,  MN

NM BC

 



  

 

Tam giác SNA cân N, có

2

SN  AN  nên suy

2

3

x

MN  

Khi   

2

1

, sin ,

6 12

S ABC

x x

V  SA BC d SA BC SA BC   

Dấu '''' xảy

2

x x x

    

Câu 122. Cho tam giác OAB cạnh a Trên đường thẳng d qua O vng góc

với mặt phẳng OAB lấy điểm M cho OM x Gọi E, F hình chiếu vng góc A MB OB Gọi N giao điểm EF d Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ

A. x a B 2 a

x C.

2 a

x D.

12 a

x 

Lời giải. Đặt ON  y Khi

   

1

3

ABMN ABOM ABON OAB

a

V V V  S OM ON  xy

Ta có AF OB AF MOB AF MB

AF MO

 

    

  

Lại có MBAE nên suy MBAEFMBEF Suy OBM ∽ONF nên

2

OB ON OB OF a

ON

OM  OF   OM  x

Suy

2

3

12 12

ABMN

a a a

V x

x

 

 

   

  Dấu '''' xảy

2

a a

x x

x

    Chọn B.

Câu 123. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác

vuông cân A Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Gọi  góc hai mặt phẳng SBC ABC, tính

(63)

A. cos 2

 B. cos

3

 C. cos

3

 D. cos

3



Lời giải. Đặt ABAC  x, SA y Khi

1

S ABC

V  x y

Vì AB AC AS, , đơi vng góc nên

  2

2

1 1 1

3

9 d A SBC,   x x  y  x y

Suy 2 27

81

6

SABC

x y V  x y

Dấu "" xảy   x y 3

Khi cos cos

3 SMA

  Chọn C.

Câu 124. Trong tất hình chóp tứ giác có d khoảng cách hai

đường thẳng chéo gồm đường thẳng chứa đường chéo đáy đường thẳng lại chứa cạnh bên hình chóp Thể tích nhỏ khối chóp

A. B. C. D. 27

Lời giải. Xét hình chóp tứ giác S ABCD

Đặt

1

,

3

S ABCD

ABx SO h V  hx Ta cần đánh giá

3hx  số

Ta tính

2 x

OA nên theo giả thiết ta có 2 12 12 12 12 22

OH SO OA  d  h x



2 2 2

1 1 1

3 27 h x h x x AMGM h x hx

        

Dấu '''' xảy   x h Khi Vmin 9 Chọn B.

Câu 125. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có độ dài đường chéo AC  18

Gọi S diện tích tồn phần hình hộp cho Tìm giá trị lớn Smax S

A Smax 18 B Smax 18 C Smax 36. D Smax 36

Lời giải. Gọi a b c, , ba kích thước hình hộp chữ nhật Khi Stp 2abbcca

Theo giả thiết ta có 2 2

' 18

a b c  AC 

Từ bất đẳng thức a2 b2c2 ab bc ca, suy  

tp 2.18 36

S  ab bc ca  

(64)

Câu 126. Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành hình lăng trụ theo hai cách sau:

 Cách Gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác tích V1 (Hình 1)

 Cách Gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tam giác tích V2 (Hình 2)

Hình Hình

Tính tỉ số

V k

V



A. 3

k  B. 3

4

k C. 3

8

k D.

9

k 

Lời giải. Gọi cạnh hình vng a

Suy cạnh đáy hình lăng trụ tứ giác , a

cạnh đáy hình lăng trụ tứ giác a

Khi

2

1 1

2

2 2

3

3 a

V S h S

V S h S a

       

   

       

Chọn B.

Câu 127*. Một người cần làm hình lăng trụ tam giác từ nhựa phẳng để

có thể tích cm Để hao tốn vật liệu cần tính độ dài cạnh khối lăng trụ tam giác bao nhiêu?

A. Cạnh đáy 6cm cạnh bên 1cm

B. Cạnh đáy 3cm cạnh bên 2cm

C. Cạnh đáy 2cm cạnh bên 3cm

D. Cạnh đáy 3cm cạnh bên 1cm

Lời giải. Giả sử hình lăng trụ tam giác cần làm

ABC A B C   có độ dài AB x, AA h

Khi

4

ABC

S  x

3

4

ABC ABC A B C

V    S AA x h

Theo giả thiết 242 x h  h x

Để tốn vật liệu diện tích tồn phần khối lăng trụ ABC A B C    nhỏ

Ta có tp 3 3 72

2

ABC ABB A

S S S x hx x

x  



(65)

Khảo sát   72

2

f x x

x

  0;, ta f x  nhỏ x 2 Với x 2 cm h 2cm Chọn B

Câu 128*. Cho nhơm hình chữ nhật có kích thước

80cm 50cm. Người ta cắt bốn góc tâm nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x cm , gập nhơm lại thùng khơng nắp dạng hình hộp Thể tích lớn khối hộp

A.

8000cm B.

18000cm C.

28000cm D.

38000cm

Lời giải. Chọn B. Hình hộp tạo thành có kích thước: chiều dài 802x cm ,

chiều rộng 502x cm , chiều cao x cm (Điều kiện: 0 x 25)

Suy thể tích khối hộp:   

80 50 260 4000

V x  x  x  x  x  x

Khảo sát f x 4x3260x2 4000x 0;25 ,

     

3 0;25

max f x  f 10 18000cm

Câu 129*. Cho bìa hình chữ nhật có kích thước

60cm 40cm. Người ta cắt hình vng hình vẽ, hình vng cạnh xcm, gập bìa lại để hộp có nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn

A x4cm B x 5cm C 10cm

x  D 20cm

3

x 

Lời giải.Chọn D Các kích thước khối hộp là: 60 ;

x



402 ;x x

Khi    

hop

2

60

40 120 1200

x

V     x x x  x  x  f x

 

Khảo sát hàm f x  với 0 x 20, ta f x  lớn 20

x

Câu 130*. Một hộp không nắp làm từ mảnh cactong

theo hình vẽ Hộp có đáy hình vng cạnh x cm , chiều cao h cm thể tích

500cm Tìm độ dài cạnh hình vng x cho hộp làm tốn bìa cactong

A x2cm B x 3cm

C x 5cm D x 10cm

Lời giải. Thể tích khối hộp:

2

500 500

V x x h x h h

x

(66)

Để hộp làm tốn bìa cactong diện tích tồn phần hộp nhỏ Diện tích tồn phần hộp (khơng nắp)

Stp Sday Sxung quanh x x 4.hxx24hx

Cosi

2 2

2

500 2000 1000 1000

4 1000

x x x x

x x x

x

       

Dấu '''' xảy 1000 1000

1000 10

x x x

x x

       Chọn D. Cách 2. Xét hàm f x  x2 2000

x

  với x0

Câu 131*. Một người cắt bìa cactong đặt kích

thước hình vẽ Sau người gấp theo đường nét đứt thành hộp hình hộp chữ nhật Hình hộp có đáy hình vng cạnh a cm , chiều cao h cm diện tích tồn phần

6m Tổng ah để thể tích hộp lớn nhất?

A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm

Lời giải. Diện tích tồn phần:

2

tp

6

4

4 a

S ah a h

a



    

Thể tích khối hộp chữ nhật:

2

2 6

4

a a a

V a a h a

a

 

  

Khảo sát hàm  

3

6

a a

f a   0; , ta f a  lớn a1

Với a   1 h   a h 2cm Chọn A

Câu 132*. Từ hình vng có cạnh người ta cắt bỏ tam giác vuông cân tạo thành hình tơ đậm hình vẽ Sau người ta gập thành hình hộp chữ nhật khơng nắp Thể tích lớn khối hộp

A. B. C. 10 D. 11

Lời giải. Gọi độ dài cạnh hình hộp chữ nhật khơng nắp a b, (như hình vẽ) Suy hình chữ nhật có đáy hình vng cạnh b, chiều cao a Vhh ab2

Ta tính cạnh hình vng ban đầu b 2a

Theo đề suy b 2a 2 6  a 2b

Khi đó:  

3

hh

V ab  b b

Xét hàm  

3

f b  b b 0;3 , ta

0;3 2    

(67)

Câu 133*. Để thiết kế bể cá hình hộp chữ nhật khơng nắp có chiều cao

60cm, thể tích 96000cm 3 Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá

thành 70.000đồng

/m loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000đồng

/m

Tính chi phí thấp để hồn thành bể cá

A. 32.000đồng B. 68.800đồng C. 83.200đồng D. 320.000đồng

Lời giải.Chọn C. Gọi x   m , y m x y, 0 chiều dài chiều rộng đáy bể Theo giả thiết, ta có: 0, 6xy 0, 096 y 0,16

x

  

Diện tích mặt đáy: Sday xy x.0,16 0,16 x

  

 giá tiền 0,16 100.000 16.000 đồng

Diện tích xung quanh: Sxq 0,6x 0, 6y 1,2 x 0,16 x

 



        giá tiền 1, x 0,16 70000 84000 x 0,16

x x

   

      

   

 

    đồng

Tổng chi phí f x  84000 x 0,16 16000 x

 



    Cosi 84000.2 x.0,16 16000 83.200 x

   đồng

Câu 134*. Người ta cắt tờ giấy hình vng cạnh

bằng để gấp thành hình chóp tứ giác cho bốn đỉnh hình vng dán lại thành đỉnh hình chóp hình vẽ Để thể tích khối chóp lớn cạnh đáy x hình chóp

A x2 B

x C

5

x  D 2

5

x

Lời giải. Ta có

2 2

x

BM BOMO  ABMO 

Chiều cao hình chóp:

2 2

x x x

h BM MO

    

   



         

Suy thể tích khối chóp:

4

2

1 2

3

x x x

V  x   

Khảo sát f x  x4x5 2 0; ,

2

 

 

 

  f x  lớn

2

(68)

Câu 135*. Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn 1152m2 chiều cao

cố định Người xây tường xung quanh bên để ngăn nhà xưởng thành ba phịng hình chữ nhật có kích thước (khơng kể trần nhà) Vậy cần phải xây phịng theo kích

thước để tiết kiệm chi phí (bỏ qua độ dày tường)?

A. 8m 48m. B. 12m 32m. C. 16m 24m. D. 24m 32m.

Lời giải. Đặt x y h, , chiều dài, chiều rộng chiều cao phòng

Theo giả thiết, ta có x y.3 1152 y 384 x

  

Để tiết kiệm chi phí diện tích tồn phần nhỏ Ta có

tp

384 576

4 6 1152 1152

S xh yh xy xh h h x

x x

  

          Vì h khơng đổi nên Stp nhỏ f x  x 576

x

  (với x0) nhỏ Khảo sát f x  x 576

x

  với x 0, f x  nhỏ x 24 y 16.Chọn C. Cách 2. BĐT Côsi x 576 x.576 48

x x

   Dấu '''' xảy x 576 x 24

x