ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.. Tính th ể tích lăng trụ.. Tính th ể tích kh ối hộp này.. và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30 0. Tính th ể tích lăng trụ. T[r]
(1)c b
a M
H C
B A
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I.Ôn tập kiến thức bản:
ÔN TẬP 1 KIẾN THỨCCƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10
1 Hệ thức lượng tam giác vuông : cho DABCvuông A ta có : a) Định lý Pitago : BC2 = AB2+AC2
b) BA2 = BH.BC; CA2 =CH.CB
c) AB AC = BC AH
d) 2
1
1
AC AB
AH = +
e) BC = 2AM
f) sinB b, c Bos c, tanB b, cotB c
a a c b
= = = =
g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a =
sin cos
b b
B = C ,
b = c tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA * Định lý hàm số Sin:
sin sin sin
a b c
R A= B = C =
3 Các cơng thức tính diện tích.
a/ Cơng thức tính diện tích tam giác:
2
S = a.ha =
1
sin ( )( )( )
2
a b c
a b C p r p p a p b p c
R
= = = - - - với
2
a b c p= + +
Đặc biệt :*DABC vuông A :
2
S = AB AC,* DABC đều cạnh a:
2 a S = b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S = 12(chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang :
2
S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình trịn : S=p.R2
ƠN TẬP 2 KIẾN THỨCCƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
(2)
2
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa:
Đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung
a//(P) a (P)Û Ç =Ỉ a
(P)
II.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P)
d (P)
d / /a d / /(P) a (P)
ì ậ
ù ị
ớ ù è ợ
d
a (P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a
a/ /(P)
a (Q) d/ /a
(P) (Q) d
ì
ï Ì Þ
ớ
ù ầ = ợ
d a (Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng
(P) (Q) d
(P)/ /a d/ /a
(Q)/ /a
ỡ ầ =
ù ị
ớ ù î
a d
Q P
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I Định nghĩa:
Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung
(P)/ /(Q) (P) (Q)Û Ç =Ỉ
Q P
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với
a,b (P)
a b I (P)/ /(Q)
a/ /(Q),b/ /(Q)
ỡ è
ù ầ = ị
ớ ï ỵ
I b
a
(3)
ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng
(P) / /(Q) a / /(Q) a (P)
ì
Þ í Ì
ỵ
a
Q P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b
ỡ
ù ầ = ị
ớ
ù ầ =
ợ b
a R
Q P
B.QUAN HỆ VNG GĨC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa:
Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng
a mp(P) a c, c (P)^ Û ^ " Ì
P c a
II Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P)
d a,d b
a,b mp(P) d mp(P) a,b cắt
ì ^ ^
ù è ị ^
ớ ù ợ
d
a b P
ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P)
a mp(P),b mp(P) b a b a'
^ Ì
^ Û ^
a' a
b P
§2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
I.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng gọi vuông góc với góc chúng 900
(4)
4
II Các định lý:
ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với
a mp(P)
mp(Q) mp(P) a mp(Q)
ì ^
Þ ^
í Ì ỵ
Q
P a
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q)
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q) a (P),a d
ỡ ^
ù ầ = ị ^
ï Ì ^ ỵ
d Q
P a
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P)
(P) (Q) A (P)
a (P) A a
a (Q) ỡ ^ ù ẻ
ù ị è
ớ ẻ ù ù ^ ợ
A
Q P
a
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)
ì Ç =
ï ^ ị ^
ớ
ù ^
ợ
a
R
Q P
§3.KHOẢNG CÁCH
1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a H O
H O
(5)Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song:
Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P)
d(a;(P)) = OH
a
H O
P
3 Khoảng cách hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng
d((P);(Q)) = OH
H O
Q P
4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng
d(a;b) = AB B
A
b a
§4.GĨC
1 Góc giữa hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b
b' b
a' a
2 Góc giữa đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P)
là góc a hình chiếu a’ mp(P)
Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900
P a'
a
3 Góc giữa hai mặt phẳng
là góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng
Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến điểm
b a
Q P
P Q
a b
(6)
6
B
h
a b c
a a a
B h
4 Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’)
S' Scos= j
trong jlà góc hai mặt phẳng (P),(P’)
j C
B A
S
ÔN TẬP 3 KIẾN THỨCCƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: 1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h với B : d ie än tíc h đ a ùy
h : c h ie àu c a o
ì í ỵ
a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c
với a,b,c ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương: V = a3
với a độ dài cạnh
2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
V=1 3Bh với B : diện tích đáyh : chiều cao
ì í ỵ
3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có:
SABC SA ' B ' C '
V SA SB SC
V = SA ' SB ' SC '
C'
B' A'
C
B A
S
(7)
4 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: V = h3(B B'+ + BB') với
B, B' : diện tích hai đáy h : chiều cao
ì í
ỵ
B A
C
A' B'
C'
Chú ý:
1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a 2, Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a 3,
Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = 2
a + +b c , 2/ Đường cao tam giác cạnh a h =
2 a
3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác
II/ Bài tập:
Nội dung chính
LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ
a
Lời giải: Ta có
VABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng ÞAA' AB^
2 2
AA'BÞAA' =A'B AB 8a- =
V
AA' 2a
Þ =
Vậy V = B.h = SABC AA' = a 23
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ
(8)ook.mathvn.com
A' D
B' C'
A'
C D'
C'
B' B D'
A
5a 4a
D' C'
B' A'
D C
B A
Lời giải:
ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ÞBD 3a= ABCD hình vng AB 3a
2
Þ =
Suy B = SABCD =
2
9a
Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a
Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ
A' C'
B'
A
B
C
I
Lời giải:
Gọi I trung điểm BC Ta có
VABC nên
AB
3 &
AI AI BC
A 'I BC(dl3 )
=
= ^
Þ ^ ^
A'BC A'BC
2S
S BC.A 'I A 'I
2 BC
= Þ = =
AA '^(ABC)ÞAA '^AI 2 A 'AIÞAA '= A 'I -AI =2
V
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'=
Ví dụ 4: Một bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ điở góc bìa hình vng cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp
D'
A'
C'
B' D
A
C
B
Giải
Theo đề bài, ta có
AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vng có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp V = SABCD.h = 4800cm
Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn
(9)60
D' C'
B' A'
D C
B A
600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp
Lời giải:
Ta có tam giác ABD nên : BD = a SABCD = 2SABD =
2
a
Theo đề BD' = AC = 2a a
2 =
2
DD 'BÞDD '= BD ' -BD =a
V
Vậy V = SABCD.DD' =
a
2
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh
lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ ĐS:
3
a
V
= ; S = 3a2
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết BD ' a 6= Tính thể tích lăng trụ
Đs: V = 2a3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ
Đs: V = 240cm3 S = 248cm2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ;30cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ
Đs: V = 24a3
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ
Đs: V = 64 cm3
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19,20,37 chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ
Đs: V = 2888
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 m2 Tính thể tích khối lập phương Đs: V = m3
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật
Đs: V = 0,4 m3
(10)ook.mathvn.com 10
o 60
C'
B' A'
C
B A
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt 5; 10; 13 Tính thể tích khối hộp Đs: V =
2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng mặt phẳng. Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ
Lời giải:
Ta có A 'A^(ABC)ÞA 'A^AB& ABlà hình chiếu A'B đáy ABC
Vậy góc[A 'B,(ABC)] ABA ' 60=ẳ= o
ABA 'ịAA '=AB.tan 60 =a
V
SABC =
2
1 a
BA.BC
2 =
Vậy V = SABC.AA' =
a
2
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A với AC = a , ACB¼= 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ
a o 60
o 30
C'
B' A'
C
B A
Lời giải: VABCÞAB AC.tan60= o =a Ta có:
AB AC;AB AA'^ ^ ÞAB (AA'C'C)^
nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ¼BC'A = 30o
o AB
AC'B AC' 3a
tan30
Þ = =
V
V =B.h = SABC.AA'
2
AA'C'ÞAA'= AC' A'C'- =2a
V
ABC
V nửa tam giác nên
2 ABC a
S = 2
Vậy V = a 63
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng cạnh a
(11)đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích tổng diên tích mặt bên lăng trụ
o 30
a D'
C' A'
B'
D
C B
A
Giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên ta có: DD '^(ABCD)ÞDD '^BD BD hình chiếu BD' ABCD
Vậy góc [BD';(ABCD)] = ¼DBD ' 30= 0 a
BDD ' DD ' BD.tan 30
3
Þ = =
V
Vậy V = SABCD.DD' =
a
3 S = 4SADD'A' =
2
4a
3
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a ¼BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o
Tính thể tích hình hộp
a o 30
o 60
D' C' B'
A'
D
C B
A
Giải
ABD
V cạnh a ÞSABD =a 324
2 ABCD ABD a
S 2S 2
Þ = =
ABB'
V vng tạiBÞBB' ABt an30= o =a Vậy
3 ABCD 3a
V B.h S= = BB'= 2
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân B biết
A'C = a A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS:
3
a
V
16
=
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông B biết
BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS:
3
a
V
=
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết
AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 30o
Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ ĐS: AB' a 3= ;
3
a
V
=
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vng A biết
(12)12 AC = a ¼ACB 60= obiết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) góc 30o
Tính thể tích lăng trụ diện tích tam giác ABC' ĐS: V=a3 , S =
3a
2 Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (A'BC) a AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 Tính thể tích lăng trụ ĐS:
3
32a V
9
=
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a biết A'C hợp với (ABCD) góc 30o hợp với (ABB'A') góc 45o
Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs:
3
a
V
=
Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng Gọi O tâm ABCD OA' = a Tính thể tích khối hộp khi:
1) ABCD A'B'C'D' khối lập phương 2) OA' hợp với đáy ABCD góc 60o 3) A'B hợp với (AA'CC') góc 30o
Đs:1)V 2a3
= ;2)
3
a
V
= ;3)
3
4a
V
9
=
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1) BD' hợp với đáy ABCD góc 60o
2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) góc 30o Đs: 1)V =
a
16 2)V =
3
a
8 Bài 9: Chiều cao lăng trụ tứ giác a góc đường chéo phát xuất từ đỉnh mặt bên kề 60o.Tính thể tích lăng trụ tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = a3 S = 6a2
Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c BD' = AC' = CA' = a2+ +b2 c2
1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' hộp chữ nhật
2) Gọi x,y,z góc hợp đường chéo mặt qua đỉng thuộc đường chéo Chứng minh sin x sin y sin z 12 + + =
3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ
(13)C'
B' A'
C
B A
o 60
Lời giải:
Ta có A 'A^(ABC)& BC^ABÞBC^A 'B Vậy góc[(A 'BC),(ABC)] ABA ' 60=¼= o
0
ABA 'ÞAA '=AB.tan 60 =a
V
SABC =
2
1 a
BA.BC
2 =
Vậy V = SABC.AA' =
a
2
Ví dụ 2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC
Tính thể tích khối lăng trụ
x o
30
I C'
B' A'
C
B A
Giải:VABC ÞAI^BC mà AA'^(ABC) nên A'I^BC(đl 3^)
Vậy góc[(A'BC);)ABC)] =A 'IA¼ = 30o Giả sử BI = x
2
x x
AI = =
Þ Ta có
x x
AI AI
I A AI
A
3 3 30 cos : '
:
' = = = =
D
A’A = AI.tan 300 = x = x
3
Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x 3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = Þ x = Do VABC.A’B’C’ =
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật
(14)14
a
0
60
O
A' D'
B' C'
C
A D
B
Gọi O tâm ABCD Ta có ABCD hình vng nênOC BD^
CC'^(ABCD) nên OC'^BD (đl 3^) Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = COC'¼ = 60o
Ta có V = B.h = SABCD.CC'
ABCD hình vng nên SABCD = a
OCC'
V vuông nên CC' = OC.tan60o =a
2
Vậy V =
3
a
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật
2a
o 30 o
60
D' C'
B'
A'
D C
B
A
Ta có AA' ^(ABCD)ÞAC hình chiếu A'C (ABCD)
Vậy góc[A'C,(ABCD)] = ¼A 'CA=30o BC ^AB ÞBC ^A'B (đl 3^)
Vy gúc[(A'BC),(ABCD)] = ẳA 'BA=60o A 'ACị
V AC = AA'.cot30o = 2a
A 'ABÞ
V AB = AA'.cot60o = 2a
3
2 4a
ABC BC AC AB
3
Þ = - =
V
Vậy V = AB.BC.AA' =
16a
3
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD góc 30o mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích hộp chữ nhật Đs:
3
2a
V
3
=
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh bên a biết mặt (ABC'D') hợp với đáy góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V=a3
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác cân A với AB = AC = a ¼BAC 120= o biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs:
3
a
V
=
(15)Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B BB' = AB = h biết (B'AC) hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ Đs: V h3
4
=
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 60o 2) A'B hợp với đáy ABC góc 45o
3) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ Đs: 1) V=a3 3 ; 2) V = a3
4 ; V =
3
a
Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 45o 2) BD' hợp với đáy ABCD góc 600
3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a Đs: 1) V = 16a3
2) V = 12a3 3) V =
16a Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o 2)Tam giác BDC' tam giác
3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450 Đs: 1)
3 a
2
V= ; 2) V = a3 ; V = a3
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A = 60o Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o 2)Khoảng cách từ C đến (BDC') a
2
3)AC' hợp với đáy ABCD góc 450 Đs: 1)
3
3a V
4
= ; 2) V =
3a
8 ; V =
3
3a Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a Tính thể tích khối hộp trường hợp sau đây:
1) AB = a
2) BD' hợp với AA'D'D góc 30o
3) (ABD') hợp với đáy ABCD góc 300 Đs: 1)
2
V=8a ; 2) V = 5a3 11 ; V = 16a3
4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác
(16)ook.mathvn.com 16 cạnh a , biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o
Tính thể tích lăng trụ
H o 60 a
B' A'
C'
C B
A
Lời giải:
Ta có C'H^(ABC)ÞCH hình chiếu CC' (ABC)
Vậy góc[CC',(ABC)] C'CH=¼=60o 3a
CHC' C'H CC'.sin 60
2
Þ = =
V
SABC =
3 a
4
= Vậy V = SABC.C'H =
3a
Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 60
1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ
H O
o 60
C'
A
a
B' A'
C
B
Lời giải:
1) Ta có A 'O^(ABC)ÞOA hình chiếu AA' (ABC)
Vậy góc[AA ',(ABC)] OAA ' 60=¼= o Ta có BB'CC' hình bình hành ( mặt bên lăng trụ)
AO^BC trung điểm H BC nên BC^A 'H(đl ^)
BC (AA 'H) BC AA '
Þ ^ Þ ^ mà AA'//BB'
nên BC^BB' Vậy BB'CC' hình chữ nhật 2) VABC nên AO 2AH a a
3 3
= = =
o AOA 'ÞA 'O=AO t an60 =a
V
Vậy V = SABC.A'O =
a
4
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với
(17)AB = 3AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 .Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên
H N
M
D'
C'
B' A'
D
C
B A
Lời giải:
Kẻ A’H ^(ABCD),HM^ AB, HN ^ AD AD
N A AB M
A ^ ^
Þ ' , ' (l 3^) ẳA'MH 45 ,A'NH 60o ẳ o
ị = =
Đặt A’H = x Khi A’N = x : sin 600 =
3 2x
AN = AA -A N = - x = HM
4 '
'
2
2
Mà HM = x.cot 450 = x Nghĩa x =
7 3
4
3
= Þ
-x x
Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x
= 3 =
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có cạnh đáy 13;14;15và biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V = a3
Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD hình vng cạnh a biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 30o.Tính thể tích lăng trụ Đs: V =336
Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và¼BAD 30= o biết cạnh bên AA' hợp với đáy ABC góc 60o.Tính thể tích lăng trụ
Bài : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách A,B,C biết AA' = 2a
3 Tính thể tích lăng trụ Đs:
3
a
V
=
Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , đỉnh A' có
hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt bêb BB'C'C hợp vớio đáy ABC góc 60o
1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Đs:
3
3a V
8
=
Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh b
CC' = a hợp với đáy ABC góc 60o C' có hình chiếu ABC trùng với O 1) Chứng minh AA'B'B hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B 2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' Đs: 1)
2
a
S
= 2)
3
3a V
8
=
(18)18
Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết chân
đường vng góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a 1) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ
2) Tính thể tích lăng trụ Đs: 1) 30o 2)
3
3 a V
8
=
Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O
Hình chiếu C' (ABC) O.Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với góc 90o Đs: V 27a3
4
=
Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a,hình chiếu vng góc A' trên(ABCD) nằm hình thoi,các cạnh xuất phát từ A hộp đơi tạo với góc 60o
1) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD 2) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B'
3) Tính thể tích hộp Đs: 2) 2 ACC'A' BDD'B'
S =a 2;S =a 3)
3
a
V
=
Bài 10: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc A = 60o chân đường vng góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy biết BB' = a
1)Tìm góc hợp cạnh bên đáy
2)Tính thể tích tổng diện tích mặt bên hình hộp Đs: 1) 60o
2)
3
2
3a
V &S a 15
4
= =
LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
1) Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) (ASC) vng góc với (SBC) Tính thể tích hình chóp
_
\ / / a
B
S C
A Lời giải:
Ta có
(ABC) (SBC)
(ASC) (SBC)
ìï í ïỵ
^
^ ÞAC^(SBC)
Do V 1SSBC.AC a2 3a a3
3 12
= = =
(19)Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o
1) Chứng minh mặt bên tam giác vng 2)Tính thể tích hình chóp
a
o 60 S
C
B A
Lời giải:
1) SA (ABC)^ ÞSA AB &SA AC^ ^ mà BC AB^ ÞBC SB^ ( đl ^) Vậy mặt bên chóp tam giác vng 2) Ta cóSA (ABC)^ ÞAB hình chiếu SB (ABC)
Vậy góc[SB,(ABC)] = ¼SAB 60= o
ABC
V vuông cân nên BA = BC = a
2
SABC =
2
1BA.BC a
2 =
o a
SAB SA AB.t an60Þ = = 2
V
Vậy
2
ABC
1 a a a
V=3S SA=3 2 = 24 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o
Tính thể tích hình chóp
a
o 60
M C
B A
S Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác
ABC nên AM ^BCÞSA^BC (đl3^) Vậy góc[(SBC);(ABC)] = ¼SMA 60= o Ta có V = 13B.h=13SABC.SA
o 3a
SAMÞSA AMtan60= = 2
V
Vậy V =
3 ABC
1B.h 1S .SA a
3 =3 =
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o
1) Tính thể tích hình chóp SABCD
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
(20)20 H
a
D
C B
A S
o 60
Lời giải: 1)Ta có SA (ABC)^
CD AD^ ÞCD SD^ ( đl ^).(1)
Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA¼ = 60o
SAD
V vuông nên SA = AD.tan60o = a
Vậy
3
ABCD a
1 a
V=3S SA=3 a 3= 3 2) Ta dựng AH ^SD,vì CD^(SAD) (do (1) ) nên CD ^AHÞAH (SCD)^
Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD)
2 2 2
1 1 1
SAD
AH SA AD 3a a 3a
Þ = + = + =
V
Vậy AH = a 32
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với
BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với (SAB) góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs: V =
3
a Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) SA = h ,biết tam giác ABC mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30o Tính thể tích khối chóp SABC Đs:
3
h
V= 3
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng A SB vng góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) góc 30o (SAC) hợp với (ABC)
góc 60o Chứng minh SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp Đs: V a 33
27
=
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD^(ABC) biết AC = AD = cm,AB = cm, BC = cm
1) Tính thể tích ABCD Đs: V = cm3 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Đs: d = 12
34 Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với BC = 2a , góc ¼BAC 120= o, biết SA (ABC)^ mặt (SBC) hợp với đáy góc 45o Tính thể tích khối chóp SABC Đs:
3
a V= 9
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình vng biết
SA ^(ABCD),SC = a SC hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp Đs: V a 33
48
=
Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết
(21)SA ^(ABCD) , SC hợp với đáy góc 45o AB = 3a , BC = 4a
Tính thể tích khối chóp Đs: V = 20a3
Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 60o SA ^(ABCD) ,biết khoảng cách từ A đến cạnh SC = a
Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:
3
a
V= 4
Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA ^(ABCD) (SCD) hợp với đáy góc 60o Tính thể thích khối chóp SABCD Đs:
3
a
V= 2
Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD góc 45o.Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:
3
3R V= 4
2) Dạng : Khối chóp có một mặt bên vng góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a
Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB
2) Tính thể tích khối chóp SABCD
a H
D
C B
A S
Lời giải:
1) Gọi H trung điểm AB
SAB
V ÞSH AB^
mà (SAB) (ABCD)^ ÞSH (ABCD)^ Vậy H chân đường cao khối chóp 2) Ta có tam giác SAB nên SA =a 32
suy
3 ABCD
1 a
V=3S SH= 6
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D , (ABC)^(BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o
Tính thể tích tứ diện ABCD
(22)
22 o
60 a
H D
C
B
A Lời giải:
Gọi H trung điểm BC
Ta có tam giác ABC nên AH^(BCD) , mà (ABC) ^ (BCD) Þ AH ^(BCD) Ta có AH^HDÞAH = AD.tan60o =a & HD = AD.cot60o =a 33
BCDÞ
V BC = 2HD = 2a
3 suy
V =
3 BCD
1S .AH 1 BC.HD.AH a
3 =3 =
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 450
a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC
45
I
J H A
C
B
S Lời giải:
a) Kẽ SH ^BC mp(SAC)^mp(ABC) nên SH^mp(ABC)
Gọi I, J hình chiếu H AB BC Þ
SI^AB, SJ^BC, theo giả thiết ¼ ¼SIH SJH 45= = o Ta có: DSHI = DSHJ Þ HI = HJnên BH
đường phân giác VABCừ suy H trung điểm AC
b) HI = HJ = SH = a
ÞVSABC=
12
3
1 a3
SH
SABC =
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC)
1) Chứng minh chân đường cao chóp trung điểm BC 2) Tính thể tích khối chóp SABC Đs:
3
a V= 24
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) góc 45o Tính thể tích SABC Đs:
3
(23)
Bài 3: Cho hình chóp SABC có ¼BAC 90 ;ABC 30= o ¼= o; SBC tam giác cạnh a (SAB) ^(ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Đs:
2
a V= 24
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h (SBC) ^(ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABC Đs:
3
4h
V= 9
Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với biết AD = a.Tính thể tích tứ diện Đs:
3
a V= 36
Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH = h ,nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:
3
4h V= 9
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs:
3
a
V= 4
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB ^(ABCD) , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy ABCD góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs:
3
8a
V= 9
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với AC = 2BD = 2a tam giác SAD vuông cân S , nằm mặt phẳng vng góc với ABCD Tính thể tích hình chóp SABCD Đs:
3
a V= 12
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs:
3
a
V= 2
3) Dạng : Khối chóp đều
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC
Lời giải:
Dựng SO^(ABC) Ta có SA = SB = SC suy OA = OB = OC
Vậy O tâm tam giác ABC Ta có tam giác ABC nên
(24)
24
a 2a
H O
C
B A
S
AO = 23AH=2 a a 33 2 = 3
2
2 2 11a
SAOÞSO =SA OA- = 3
V
a 11 SO
3
Þ = Vậy
3 ABC
1 a 11
V=3S SO= 12
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác
2) Tính thể tích khối chóp SABCD
a O
D C
B A
S
Lời giải:
Dựng SO ^(ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = ODÞABCD hình thoi có đường trịn gnoại tiếp nên ABCD hình vng
Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên VASCvuông S
2
a OS
Þ =
Þ
3
1 2
3 ABCD
a a V = S SO= a =
Vậy
3
a
V= 6
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC
Lời giải:
a) Gọi O tâm DABCÞ DO ^(ABC)
3 ABC
V = S DO
2 ABC
a
S = ,
3
a OC= CI =
2
ơ ó :
DOC vu ng c DO DC OC
D = -
3 a
=
2
1
3 12
a a a
V
Þ = =
(25)
a I
H O
M
C
B A
D b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến
mp(ABC) MH
2
a
MH = DO =
2
1
3 24
MABC ABC
a a a
V S MH
Þ = = =
Vậy
3
a V= 24
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích hình chóp Đs:
3
3a V= 16
Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên 45o
1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC Đs: SH = a
3
2) Tính thể tích hình chóp SABC Đs:
3
a V= 6
Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy góc 60o Tính thể tích hình chóp SABC Đs:
3
a V= 24
Bài : Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o Tính thể tích hình chóp Đs:
3
h
V= 3
Bài : Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh 60o Tính thể tích hình chóp Đs:
3
h
V= 8
Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a ¼ASB 60= o 1) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp Đs:
2
a S= 3
2) Tính thể tích hình chóp Đs:
3
a
V= 6
Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 60o Tính thể tích hình chóp Đs:
3
2h V= 3
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45o khoảng cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a
(26)
26 Tính thể tích hình chóp Đs:
3
8a
V= 3
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60o Tính thề tích hình chóp Đs:
3
a V= 12
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cạnh Chứng minh SABCD chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp thể tích
3
9a
V= 2 Đs: AB = 3a
4) Dạng : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân ở B, AC = a , SA vng góc với đáy ABC , SA=a
1) Tính thể tích khối chóp S.ABC
2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (a ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN
G M
N
I C
B A
S
Lời giải: a)Ta có:
1
S ABC ABC
V = S SA SA=a + DABC c n câ ó :AC=a 2Þ AB=a
2
1 ABC
S a
Þ = Vậy: 1
3
SABC
a
V = a a=
b) Gọi I trung điểm BC
G trọng tâm,ta có :
SG SI =
a // BC Þ MN// BC
3
SM SN SG
SB SC SI
Þ = = =
9
SAMN SABC
V SM SN
V SB SC
Þ = =
Vậy:
3
4
9 27
SAMN SABC
a
V = V =
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A AB=a Trên đường thẳng qua C
và vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD=a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE^(ABD)
c)Tính thể tích khối tứ diện CDEF
(27)a a F E B A C D
Lời giải:
a)Tính VABCD :
3 ABCD ABC a
V =3S CD= 6
b)Tacó: ,
AB^ AC AB^CD Þ AB^(ACD) Þ AB^EC Ta có: DB ^EC Þ EC ^(ABD)
c) Tính VDCEF :Ta có: (*) DCEF
DABC
V DE DF
V = DA DB Mà DE DA = DC2, chia cho
DA 2 2 2
DE DC a DA DA a
Þ = = =
Tương tự:
2
2 2
1
DF DC a
DB = DB = DC +CB = Từ(*)
6 DCEF DABC
V V
Þ = .Vậy
6 36
DCEF ABCD
a
V = V =
Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng (a)qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng
N S O M B D C A
Lời giải:
Kẻ MN // CD (N ỴSD)thì hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM)
+ SANB SADB SABCD
SADB SAND V V V SD SN V V 2
1Þ = =
= = SABCD SBCD SBMN SBCD SBMN V V V SD SN SC SM V V 4 = = Þ = = =
Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD
8
Suy VABMN.ABCD = VSABCD
8
Do :
5 = ABCD ABMN SABMN V V
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60o Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F
(28)28 I
O A
B C
D S
E
F M a) Hảy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Lời giải:
a) Gọi I =SOÇAM Ta có (AEMF) //BD
ÞEF // BD
b) D D
1
S ABC ABC
V = S SOvới
D
ABC
S = a
+ VSOA có : tan 60 a
SO= AO o =
Vậy :
3 D
6
S ABC
a
V =
c) Phân chia chóp tứ giác ta có EMF
S A
V = VSAMF + VSAME =2VSAMF
S ABCD
V = 2VSACD = VSABC Xét khối chóp S.AMF S.ACD
Ta có :
2
SM SC
Þ =
DSACcó trọng tâm I, EF // BD nên:
3
SI SF SO SD Þ = =
D
1
3 SAMF
SAC
V SM SF V SC SD Þ = =
3
D D
1
3 36
SAMF SAC SAC
a
V V V
Þ = = =
3
EMF
6
2
36 18
S A
a a
V
Þ = =
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA=a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC ^(AB D' ')
c)Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
(29)
A S
I
O D
B
C C'
D'
B'
Lời giải:
a) Ta có:
3
1
3
S ABCD ABCD
a
V = S SA=
b) Ta có BC ^(SAB)Þ BC^ AB'
& SB^ AB'Suy ra:AB'^(SBC)
nên AB'^SC Tương tự AD'^SC Vậy SC ^(AB'D')
c) Tính VS A B C D ' ' ' +Tính VS AB C ' ': Ta có:
' ' '. '(*) SAB C
SABC
V SB SC
V = SB SC DSACvuông cân nên '
2
S C S C =
Ta có:
2 2
2 2
' 2
3
SB SA a a
SB = SB = SA + AB = a =
Từ(* ) ' ' S A B C
S A B C V
V
Þ =
3
' '
1 2
3
SAB C
a a
V
Þ = =
+
3 ' ' ' ' '
2 2
9
S A B C D S A B C
a
V = V =
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD Đs: k=14
Bài 2: Cho tứ diên ABCD tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lấy điểm B',C',D' cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện
AB'C'D' Đs: V = m3
Bài 3: Cho tứ diên ABCD có cạnh a Lấy điểm B';C' AB AC cho AB=a2;AC'=2a3 Tính thể tích tứ diên AB'C'D Đs:
3
a V= 36
Bài 4: Cho tứ diênABCD tích 12 m3 Gọi M,P trung điểm AB CD lấy N AD cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diên BMNP Đs: V = m3
Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a 3,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A vng góc với SB H cắt SC K Tính thể tích hình chóp SAHK Đs: V=a 3340
Bài 6: Cho hình chóp SABCD tích 27m3 Lấy A'trên SA cho SA = 3SA' Mặt phẳng qua A' song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đs: V = m3
(30)
30
Bài 7: Cho hình chóp SABCD tích 9m3, ABCD hình bình hành , lấy M SA cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN Đs: V = 4m3
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN song song với BD cắt
SB,SDF M P Tính thể tích khối chóp SAMNP Đs:
2
a h V= 9
Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC.Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp thành phần.Tính tỉ số thể tích phần Đs: k=12
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA cho SM xSA = Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần tích Đs: x= 12-
5) Dạng : Ơn tập khối chóp lăng trụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc đáy Góc SC đáy 60o M trung điểm SB
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD
2a o 60
H
D
C
B A
S
Lời giải:
a)Ta có
3 ABCD
V = S SA
+ SABCD =(2 )a =4a2
+ DSAC có :SA= ACtanC =2a
3
1
4
3
a
V a a
Þ = =
b) Kẻ MH / /SAÞMH ^(DBC)
Ta có:
2
MH = SA,
BCD ABCD
S = S
3 D
1
4
MBC
a
V V
Þ = =
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp
(31)60
A C
B H S
F E
J
Lời giải:
Hạ SH^(ABC), kẽ HE^AB, HF^BC, HJ^AC suy SE^AB, SF^BC, SJ^AC Ta có
¼ ¼ ¼ O
SEH SFH SJH 60= = = Þ
SJH SFH
SAH =D =D
D nên HE =HF = HJ = r
( r bán kính đường trịn ngọai tiếp DABC) Ta có SABC = p(p-a)(p-b)(p-c) với p = a b c 9a
2 =
+ +
Nên SABC =
2
2
9 a
Mặt khác SABC = p.r
3
2 a
p S
r = =
Þ
Tam giác vuông SHE:
SH = r.tan 600 = a 2 a
6
2 =
Vậy VSABC =
3
3 2 6
a a
a =
Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’
M O
D'
C'
B' A'
D
C
B A
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V Ta có :V = AB A D.AA ' =a 3.a2=a3 3
DABD có :DB= AB2 +AD2 =2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao
giống khối hộp nên:
3 ' ' ' '
1
3
OA B C D
a
V V
Þ = =
b) M trung điểm BC ÞOM^(BB C' ')
2
' ' ' '
1 3
3 2 12
OBB C BB C
a a a
V S OM
Þ = = =
c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có : ' '
'
3 ' OBB C
OBB
V C H
S
=
(32)32 DABD có :DB= AB2 + AD2 = 2a
'
1 OBB
S a
Þ = ÞC H' =2a
Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’
a D'
C'
B' A'
D C
B A
Lời giải:
Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’
+Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy chiều cao nên có thể tích
Khối CB’D’C’ có
1 1
3
V = a a = a +Khối lập phương tích: V2 =a3
Þ ' ' 3
1
4
6
ACB D
V =a - a = a
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC
b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE
J
I F
E
C'
B' A'
C
B A
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB,
' ' ' '
1
A B BC A B B
V = S CI
2
1 3
3 2 12
a a a
= =
b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’
+Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A nên ' EF EF
1
'
A C C
V = S A A
2 EF
1
4 16
C ABC
a
S = S =
3 ' EF
3 48
A C
a V
Þ =
(33)
+Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’
nên ' ' F FB'
'
A B C C
V = S A J
2
FB' '
1
2
C CBB
a
S = S =
2
' ' F
1 3
3 24
A B C
a a a
V
Þ = =
+ Vậy :
3 A'B'FE
3 16 C
a
V =
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vng AB = AC = a; AA1 = a M trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Đs:V = 12
2
a
Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vng B, SA^(ABC) ACB¼ = 60o, BC = a, SA = a 3,M trung điểm SB.Tính thể tích MABC Đs: VMABC = 41 a3
Bài 3: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB¼ = 90o ∆SAC ∆SBD tam giác có cạnh Tính thể tích khối chóp
SABCD Đ s: VSABCD =
6
Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau: a) Cạnh đáy 1, góc ABC = 60o Đs: V = 122 b) AB = 1, SA = Đs: V = 11
12 Bài 5. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính VA’ABC theo a? Đs: V =
3
a Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc đường chéo 60o, cạnh bên nghiêng với đáy góc 45o Tính VSABCD Đs: V
3
=
Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o,
CSA = 120o.Chứng minh ∆ABC vng Tính VSABC Đs: V a
12
(34)34
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a ,SB=a 3và mặt phẳng (SAB) vng góc mặt phẳng đáy Gọi M,N trung điểm cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN
Đs:
3
3
S BMDN
a
v =
Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a M, N, E trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo Đs: k =
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N trung điểm cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP
Đs :
3
3 96
M CNP
a
v =