Đang tải... (xem toàn văn)
• Gốc tọa độ thường là chân đường cao của hình chóp, hình lăng trụ trùng với đỉnh của hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông hoặc có thể là trung điểm của cạnh nào đó,... Ví dụ[r]
(1)ÔN THI TỐT NGHIỆP
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
z=0.8 A
C
a uv
F
(2)(3)1 Các công thức Vectơ không gian
Trong không gian cho vectơ−→u1= x1,y1,z1,−→u2= x2,y2,z2và sốk tùy ý
• −→u1=−→u2⇔
x1 = x2
y1 = y2
z1 = z2
• −→u1± −→u2= x1±x2,y1±y2,z1±z2
• k−→u1= k x1,k y1,k z1
• Tích có hướng:−→u1.−→u2=x1.x2+y1.y2+z1.z2
Hai vectơ vng góc nhau⇔ −→u1.−→u2=0⇔x1.x2+y1.y2+z1.z2=0 • −→u1
=
Ỉ
x2
1 +y12+z12
• Gọiϕlà góc hợp hai vectơ 0◦¶ϕ¶180◦
cosϕ=cos −→u1,−→u2=
−→u 1.−→u2
−→u1
−→u2
= x1x2+y1y2+z1z2
Ỉ
x2 1+y
2 +z
2
Ỉ
x2 +y
2 +z
2
• −→AB = xB−xA,yB−yA,zB−zA
AB =
Ç
(xB−xA)2+ yB−yA
2
+ (zB−zA)2 • Tọa độ điểm đặc biệt:
? Tọa độ trung điểmI củaAB:I
x
A+xB ,
yA+yB ,
zA+zB
? Tọa độ trọng tâmG tam giácAB C:G
x
A+xB+xC
3 ,
yA+yB+yC
3 ,
zA+zB+zC
? Tọa độ trọng tâmG tứ diệnAB C D:
G
x
A+xB+xC +xD
4 ,
yA+yB+yC +yD
4 ,
zA+zB+zC+zD
• Tích có hướng hai vectơ vectơ vng góc hai vectơ xác định
−→u =−→
u1,−→u2=
y1 z1
y2 z2
,
z1 x1
z2 x2
,
x1 z1
x2 z2
• Một số tính chất tích có hướng ? −→a và−→b phương⇔
h
−→a ,−→b i
=−→0
A,B,C thẳng hàng⇔
h−→
AB,−→AC
i
=−→0
? Ba vectơ−→a ,−→b ,−→c đồng phẳng⇔
h
−→a ,−→b i
.−→c =0
Bốn điểmA,B,C,D không đồng phẳng⇔
h−→
AB,−→AC
i
.−→AD 6=−→0
?
h
−→a ,−→b i = −→a −→ b sin
−→a ,−→b
• Các ứng dụng tích có hướng ? Diện tích hình bình hành:SAB C D =
−→
(4)? Diện tích tam giác:SAB C = h−→
AB,−→AC
i
? Thể tích khối hộp:VAB C D.A0B0C0D0=
−→
AB,−→AD.−→AA0
? Thể tích tứ diện:VAB C D = h−→
AB,−→AC
i
.−→AD
2 Phương trình mặt phẳng
• Phương trình tổng quát(α):a x +b y +c z+d =0với(a2+b2+c26=0).
• Phương trình mặt phẳng(α)quaM x0,y0,z0và có vectơ pháp tuyến−→n = (a,b,c)
(α):a(x −x0) +b y−y0
+c(z−z0) =0
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:(α)quaA(a, 0, 0);B(0,b, 0);C(0, 0,c)
(α): x−x0
a +
y −y0 b +
z −z0
c =1, vớia,b,c 6=0
• Nếu−→n = (a,b,c) vectơ pháp tuyến của(α) thìk−→n ,k 6=0cũng vectơ pháp tuyến của(α) Do mặt phẳng có vơ số vectơ pháp tuyến Trong số trường hợp ta tìm vectơ pháp tuyến cách chọn giá trị cụ thể choa (hoặcb hoặcc) tính hai giá trị cịn lại đảm bảo tỉ lệa :b :c
3 Góc
• Góc hai mặt phẳng:Cho mặt phẳng(α)có vectơ pháp tuyến là−→nα, mặt phẳng β có vectơ pháp tuyến−→nβ, góc giữa(α)và βđược tính
cos (α), β=cos −→nα,−→nβ
= −→nα.−→nβ
−→nα
−→nβ
• Góc hai đường thẳng:Cho hai đường thẳngd1vàd2có vectơ phương là−→u1
và−→u2, góc giữad1vàd2tính cos(d1,d2) =
cos −→u2,−→u2
= −→u1.−→u2
−→u1
−→u2
(5)• Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳngd có vectơ phương là−→u, mặt phẳng(α)có vectơ pháp tuyến là−→n , góc giữad và(α)làϕđược tính
sinϕ=
−→u −→n
−→u
−→n
4 Khoảng cách
• Khoảng cách từ điểmA x0,y0,z0
tới(α):a x +b y +c z+d=0là
d(A,(α)) =
a x0+b y0+c z0+d
p
a2+b2+c2
• Khoảng cách từ điểmM tới đường thẳng∆quaM0và có vectơ phương−→u
d(A,∆) =
−−−→
M M0,−→u
−→u
• Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau∆1 và∆2biết∆1quaM1 có vectơ
phương−→u1;∆2quaM2và có vectơ phương−→u2
d(∆1,∆2) =
−→
u1,−→u2.−−−→M1M2
−→
u1,−→u2
• Khoảng cách hai mặt phẳng(α)và βsong song khoảng cách từM0∈(α)
tới β
• Khoảng cách hai đường thẳng∆1và∆2song song khoảng cách từM1∈∆1
tới∆2
(6)2 Xác định tọa độ điểm 2.1 Tọa độ điểm trục tọa độ
Tìm tọa độ điểmA trục tọa độ ta tìm khoảng cách từA đến gốc tọa độ dựa vào chiều dương chọn để xác định tọa độA
Ví dụ chọn tiaO Atrùng tiaO x, điểmAvàB nằm trênO x
• O A=2⇒A(0, 0, 2)
• O B=3⇒B(0, 0,−3)(doB nằm phần âm)
2.2 Tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ
Tìm tọa độ củaA mặt phẳng tọa độ ta tìm hình chiếu củaA trục tọa độ dựa vào tọa độ hình chiếu để xác định tọa độA
Ví dụ điểmA,B,C có hình chiếu trục với độ dài hình vẽ, theo chiều dương chọn ta
• AK =1=xK,AH =2=yK: tọa độA(1, 2)
• B I =2=−xB(doB nằm phần âm trục hồnh),B M =1=yB: tọa độB(−2, 1) • C J =2,C M =2: tọa độC(−2,−2)(doC nằm phần âm trục tung trục hoành)
2.3 Tọa độ điểm trường hợp tổng quát
(7)Ví dụ tọa độ hình chiếu vng góc củaAlên mặt phẳng Oxy làH(a,b), ta tính đượcAH =c
thì A có tọa độ A(a,b,c) (giả sử thành phần tọa độ A nằm phần dương)
3 Cách chọn hệ trục tọa độ - chọn véctơ
3.1 Chọn véctơ
Đối với dạng tập tìm véctơ phương, véctơ pháp tuyến đường thẳng mặt phẳng ta gặp trường hợp véctơ chứa tham sốa độ dài cạnh Khi đó, để tiện cho việc tính tốn ta chọn lạivéctơ phương,véctơ pháp tuyếnmất tham sốa
Ví dụ véctơ phương mặt phẳng(α)làS A−→=
a,−3a,a
thì ta chọn lại véctơ phương khác là−→u=
1,−3,a
Trường hợpkhoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách đường thẳng chéo nhauthì véctơ−−−→M1M2ta giữ nguyên
3.2 Chọn hệ trục tọa độ
Phần quan trọng phương pháp cách chọn hệ trục tọa độ Không có phương pháp tổng quát, có nhiều hệ trục tọa độ chọn, chọn cho việc tìm tọa độ điểm có nhiều số tốt
• Hệ trục tọa độ nằm đường thẳng đơi vng góc
• Gốc tọa độ thường chân đường cao hình chóp, hình lăng trụ trùng với đỉnh hình vng, hình chữ nhật, tam giác vng trung điểm cạnh đó,
Ví dụ
(8)• Hình chóp đáy tứ giác lồi
(9)4 Các ví dụ
Ví dụ 4.1 (Cao đẳng 2014)
Cho hình chópS.AB C D có đáy AB C D hình vng cạnha,S A vng góc đáy,S C tạo với đáy góc bằng45◦ Tính theoa thể tích khối chópS.AB C D và khoảng cách từ điểm
B đến mặt phẳng(S C D)
Giải
?Thể tích khối chóp
Ta có: S A ⊥(AB C D) nên góc giữaS C đáy làS C AÖ Do AB C D hình vng cạnh a nên
AC =p2a Suy raS A=AC tanS C AÖ=
p 2a Thể tích khối chóp làVS.AB C D =
1
3.S A.SAB C D = p
2a3
?Khoảng cách
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ,A≡O, tiaAB≡tiaO x, tiaAD ≡tiaO y, tiaAS ≡tiaO z
Khi ta có:
• A(0, 0, 0)
(10)• AD =a ⇒D(0,a, 0) • AS =p2a ⇒S(0, 0p2a)
• C D =C B =a⇒C(a,a, 0)
Ta có:S C−→= a,a,−ap2,S D−→= 0,−a,−ap2suy mặt phẳng(S C D)có cặp véctơ phương là−→u1 = (1, 1,−
p
2),−→u2= 0,− p
2,−1
Véctơ pháp tuyến của(S C D)là−→n =−→u1∧ −→u2= 0,− p
2,−1 Phương trình mặt phẳng(S C D):−p2y −z +ap2=0
Khoảng cách từB đến(S C D):
d(B,(S C D)) =a
p
Nhận xét 1
• Thể tích khối chóp ta tính trực tiếp
• Ta thấyS Avng góc mặt đáy tạiA,AB C D hình vng, đóAlà giao điểm đường thẳng đơi vng góc Đó dấu hiệu nhận biết để chọn hệ trục tọa độ vớiAlà gốc
• Khi tìm tọa độS ta thấy có xuất hiệnp2a, lúc đừng lo lắng
Ví dụ 4.2 (Tốt nghiệp 2015)
Cho hình chópS.AB C D có đáy hình vngAB C D cạnha,S Avng góc với mặt phẳng đáy Góc giữaS C mặt phẳng(AB C D)là45◦ Tính theoa thể tích khối chópS.AB C D khoảng cách hai đường thẳngS B,AC
(11)?Thể tích khối chóp
Góc giữaS C mặt phẳng(AB C D)làS C AƯ=45◦, suy raS A=AC tan 45◦=
p 2a Thể tích khối chóp:VS.AB C D=
1
3.S A.SAB C D = p
2a3
3
?Khoảng cách
Chọn hệ trục tọa độO x y z hình vẽ vớiA≡O, tiaAB ≡O x, tiaAD ≡O y, tiaAS ≡O z
Khi
• A(0, 0, 0)
• AB =a ⇒A(a, 0, 0) • AD =a ⇒D(0,a, 0) • C D =C B =a⇒C(a, 0, 0) • AS =p2a ⇒S(0, 0,p2a)
Gọid1 đường thẳng quaS,B;d2 đường thẳng qua A,C Khoảng cách giữaS B AC
cũng khoảng cách giữad1 vàd2
Ta có:
• S B−→= a, 0,−p2a⇒véctơ phương củad1là−→u1= 1, 0,− p
2 • −→AC = (a,a, 0)⇒véctơ phương củad2là−→u2 = (1, 1, 0)
• −→n =−→u1∧ −→u2= p2,−p2, • −→AB = (a, 0, 0)
Khoảng cách:
d(S A,B C) = (d1,d2) =
−→n .−→AB −→n
= p
10a
5
(12)Ví dụ 4.3 (Đề thi minh họa tốt nghiệp 2015)
Cho hình chópS.AB C D có đáyAB C D tam giác vng tạiB,AC =2a,AC BƯ=30◦ Hình
chiếu vng gócH đỉnhStrên mặt đáy trung điểm cạnhAC vàS H =p2a Tính theo
a thể tích khối chópS.AB C D khoảng cách từC đến mặt phẳng(S AB)
Giải
?Thể tích khối chóp
Ta có:H A=H C =1
2AC =a vàS H ⊥(AB C)
XétÍAB C ta có:B C =AC cosAC BƯ=
p 3a Do đó:SAB C =
1
2AC.B C sinAC BÖ= p
3a2
2
VậyVS.AB C =
3S H.SAB C = p
6a3
?Khoảng cách
(13)• B(0, 0, 0)
• AB =a ⇒A(a, 0, 0)
• B C =p3a ⇒C(0,p3a, 0)
• Trong mặt phẳng(AB C)kẻH I ⊥AB,H K ⊥B C Ta cóH I = B C
2 = p
3a
2 ,H K =
AB
2 =a;
do đóH
a, p
3a
2 ,
DoH hình chiếu củaSxuống(AB C)vàS H =p2a ⇒S
a, p 3a , p 2a
Ta có: −→S B =
a, p 3a , p 2a
,−→S A =
0, p 3a , p 2a
suy mặt phẳng (S AB) có cặp véctơ phương là−→u1=
1, p , p
,−→u2=
0, p , p Véctơ pháp tuyến của(S AB):−→n =−→u1∧ −→u2=
0,p2, p
3
Phương trình mặt phẳng(S AB):p2y +
p z =0
Khoảng cách từC đến(S AB):
d(C,(S AB)) =
p 3a · p
2+p2a · p v u t p
22+
p 2 =2 p 66a 11
Nhận xét 2
• Cách chọn hệ trục tọa độ: ta thấyS H vng góc với mặt đáy mặt đáy chưa có đường thẳng vng góc tạiH nên khơng chọnH làm gốc tọa độ Mặt khác ta có sẵnB A vng gócB C nên cần dựngB z vng góc mặt đáy ta có hệ trục tọa độ vớiB gốc tọa độ
• Tìm độ điểmS:đầu tiên ta tìm tọa độH hình chiếu vng góc củaSxuống(AB C), xS =xH,yS = yH Để tìm tọa độH ta tìm khoảng cách từH xuống trục chọn (B A vàB C) VàzS=S H
Ví dụ 4.4 (Đại học khối B - 2014)
ho lăng trụAB C.A0B0C0có đáy tam giác cạnha Hình chiếu vng góc củaA0trên mặt phẳng(AB C)là trung điểm cạnhAB, góc đường thẳngA0C và mặt đáy bằng60◦.
Tính theoa thể tích khối lăng trụ AB C.A0B0C0và khoảng cách từ điểmB đến mặt phẳng (AC C0A0)
(14)?Thể tích
GọiH trung điểmAB, suy raA0H ⊥(AB C)và
Ø
A0C H =60◦ Do đóA0H =C H tan
×
AC H =3a
2
Thể tích khối lăng trụ là:VAB C.A0B0C0=A0H.SAB C =
3p3a3
?Khoảng cách
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ vớiH ≡O, tiaH B ≡tiaO x, tiaH C ≡tiaO y, tiaH A0≡
tiaO z
Khi ta có:
• H(0, 0, 0) • H A=H B =a
2 ⇒B
a
2, 0,
,A
−a
2 , 0,
• A0H =3a
2 ⇒A
0, 0,3a
• H C =
p 3a
2 ⇒C
0, p
3a
2
Ta có:−→AA0=
a
, 0,3a
,−→AC =
a
, p
3a
,
(15)
Véctơ pháp tuyến của(AC C0A0)là−→n =−→u
1∧ −→u2= −3 p
3, 3,p3
Phương trình mặt phẳng(AC C0A0):−3x+p3y +z −3a =0
Khoảng cách từB đến(AC C0A0):
d B, AC C0A0=3
p 13a
13
Ví dụ 4.5 (Đại học khối D - 2014)
Cho hình chópS.AB C D có đáyAB C tam giác vuông cân tạiA, mặt bênS B C tam giác cạnha mặt phẳng(S B C) vng góc với mặt đáy Tính theoa thể tích khối chóp
S.AB C khoảng cách hai đường thẳngS A vàB C
Giải
?Thể tích
GọiH trung điểmB C, suy raAH =B C
2 =
a
2,S H ⊥(AB C),S H = p
3a
2
Diện tích tma giácAB C:SAB C =
2.AH.B C =
a2
Thể tích khối chóp:VS.AB C =
3.S H.SAB C = p
3a3 24
?Khoảng cách
(16)Khi đó:
• H(0, 0, 0,) • H C =H B=a
2 ⇒B
−a
2 , 0,
,C
a
2, 0,
• H A=a
2 ⇒A
0,a 2,
• H S =
p 3a
2 ⇒S
0, 0, p
3a
2
Gọid1,d2 đường thẳng quaS A B C Khoảng cách giữad1 d2 khoảng
cách giữaS A vàB C Ta có:
• S A−→=
0,a 2,
p 3a
2
⇒véctơ phương củad1là−→u1= 0, 1, p
3 • −→B C = (a, 0, 0)⇒véctơ phương củad2là−→u2= (1, 0, 0)
• −→n =−→u1∧ −→u2= 0, p
3,−1 • −→AC =
a
2, −a
2 ,
Khoảng cách
d(S A,B C) =d(d1,d2) =
−→n .−→AC −→n
= p
3a
4
Nhận xét 3
Ngồi ta cịn chọn hệ trục tọa độ sau