Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục - Nguyễn Chín Em

Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng I, chúng ta thực hiện theo các bước sau:.. Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn.[r]

(1)

CHƯƠNG GIỚI HẠN

1 GIỚI HẠN DÃY SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN

1.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 1.2 Một số dãy số có giới hạn0 thường gặp

2 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn

2.2 Một số định lí

2.3 Tổng quát cấp số nhân lùi vô hạn

3 DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC

3.1 Dãy số có giới hạn +∞

3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

3.3 Một số kết

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Sử dụng định nghĩa chứng minh limun=L Dạng Tính giới hạn dãy số định lí giới hạn

Dạng Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Dạng Dãy số có giới hạn vơ cực

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

ĐÁP ÁN 50

2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 51

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 51

(2)

2 Giới hạn hàm số vô cực 51

3 Một số định lí giới hạn hữu hạn 51

4 Giới hạn bên 52

5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực 52

6 Các dạng vô định 53

B CÁC DẠNG TOÁN 53

Dạng Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số tìm giới hạn 53 Dạng Chứng minh lim

x→x0

f(x) không tồn 54

Dạng Các định lí giới hạn giới hạn để tìm giới hạn 54

Dạng Tính giới hạn bên hàm số 57

Dạng Giới hạn hàm số số kép 59

Dạng Một vài qui tắc tính giới hạn vơ cực 59

Dạng Dạng

0 61

Dạng Giới hạn dạng 1∞,0· ∞,∞0. 79

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 80

ĐÁP ÁN 136

3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 138

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 138

1 Hàm số liên tục điểm 138

2 Hàm số liên tục khoảng 138

3 Các định lí hàm số liên tục 139

B CÁC DẠNG TOÁN 139

Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm - Dạng I 139 Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm - Dạng II 140 Dạng Xét tính liên tục hàm số khoảng 141 Dạng Sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh 143

(3)

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 144

(4)

CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN

BÀI 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0

1.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn0

Định nghĩa Ta nóidãy số (un) có giới hạn 0(hay giới hạn 0) số hạng dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Khi ta viết:

lim

n→+∞(un) = viết tắt làlim (un) = 0hoặc un→0 Nhận xét

1 Dãy số (un) có giới hạn dãy số(|un|) có giới hạn

2 Dãy số không đổi (un) với un= có giới hạn0

1.2 Một số dãy số có giới hạn0thường gặp Từ định nghĩa, ta có kết quả:

• lim1

n = • lim

1

√

n = •lim

1

√

n =

Định lí Cho hai dãy số (un) và(vn) Nếu |un|6vn với mọin lim vn= lim un=

Định lí Nếu |q|<1 limqn= 0

2 DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn

Định nghĩa Ta nói dãy số (un) có giới hạn số thực L (hay giới hạn L) lim

x→+∞(un−L) = Khi ta viết:

lim

n→+∞(un) = Lviết tắt lim (un) = L hoặcun→L

2.2 Một số định lí

Định lí Giả sử limun= L Khi đó:

• lim|un|=|L|và lim

√

un=

√

L

• Nếu un>0 với n L>0 lim

√

un=

√

L Định lí Giả sử limun= L, limvn= M Khi đó:

Các dãy số (un+vn), (un−vn), (un.vn) (c.un) có giới hạn và: lim (un+vn) = L + M

1 2 lim (un−vn) = L−M

lim (un.vn) = L.M

(5)

Nếu M6= dãy số

Åu

n

ã

có giới hạn lim

Åu

n

ã

= L M

2.3 Tổng quát cấp số nhân lùi vô hạn Với cấp số nhân(un) có cơng bội q thỏa mãn |q|<1 thì:

S =u1+u2+ +un+ = u1

1−q

3 DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC

3.1 Dãy số có giới hạn+∞

Định nghĩa Ta nói dãy số (un) có giới hạn −∞ số hạng dãy số nhỏ số âm nhỏ tùy ý cho trước kể từ số hạng trở

Khi đó, ta viết: lim

n→+∞(un) =−∞, viết tắt lim (un) =−∞hoặc lim un=−∞hoặcun → −∞ Nhận xét Nếu lim un=−∞ lim (−un) = +∞

1 Các dãy số có giới hạn+∞và−∞được gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vơ cực

2 Dãy số có giới hạn số thực L gọi dãy số có giới hạn hữu hạn

3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

Quy tắc 1

Nếulimun=±∞ vàlimvn=±∞thì lim (un.vn) cho bảng sau: limun limvn lim (unvn)

+∞ +∞ +∞

+∞ −∞ −∞

−∞ +∞ −∞

−∞ −∞ +∞

Quy tắc 2

Nếulimun=±∞ vàlimvn= L6= thìlim (un.vn)được cho bảng sau: limun Dấu L lim (unvn)

+∞ + +∞

+∞ − −∞

−∞ + −∞

−∞ − +∞

Quy tắc 3

Nếulimun= Lvàlimvn= 06=với n thìlim un

được cho bảng sau: Dấu L Dấu củavn lim

un

+ + +∞

+ − −∞

− + −∞

(6)

3.3 Một số kết quả Cho hai dãy số (un) và(vn)

• Nếuun6vn với n vàlimun= +∞ thìlimvn= +∞

• Nếulimun= L∈Rvà lim|vn|= +∞ thìlim un

=

• Nếulimun= +∞ (hoặc −∞) vàlimvn= L∈Rthì lim (un+vn) = +∞(hoặc −∞)

Ví dụ Chứng minh dãy số(un)sau có giới hạn un=

1 n+

1 un=

sinn n+

2

Lời giải

1 a) Ta có :

1 n+

<

n vàlim

n = 0⇒lim

n+ =

2 b) Ta có :

sinn n+

< n+ <

1

n ⇒lim sinn n+ =

Nhận xét Để chứng minh dãy số có giới hạn 0chúng ta sử dụng phép đánh giá để khẳng định un<

1

n vàlim n =

Ví dụ Chứng minh dãy số (un) vớiun=

√

n+ 1−√n có giới hạn Lời giải

√

n+ 1−√n= √ n+

n+ +√n =

1

√

n+ +√n < 2√n <

1

√

n lim

√

n = ⇒limun= Nhận xét Để chứng minh dãy số có giới hạn sử dụng phép đánh giá để khẳng định un<

1

√

n lim

√

n =

Ví dụ Chứng minh dãy số un với un=

cos(nπ)

4n có giới hạn0 Lời giải

Ta có

cos(nπ) 4n

< 4n =

Å

1

ãn

vàlim

Å

1

ãn

= ⇒limun=

Nhận xét Để chứng minh dãy số có giới hạn sử dụng phép đánh giá để khẳng định un<qn lim qn=

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Sử dụng định nghĩa chứng minh limun=L

Phương pháp áp dụng ta chứng minh lim (un−L) =

Ví dụ Chứng minh lim3n−1

2n+ 1=

1 limn

2+n

n2+ 1 =

2

Lời giải

1 Đặtun=

3n−1 2n+ ⇒lim

Å

un−

ã

= lim

Å

3n−1 2n+ 1−

3

ã

= lim −5

(7)

2 Đặtun=

n2+n

n2+ 1 ⇒lim(un−1) = lim

Ån2+n

n2+ 1 −1

ã

= lim n−1

n2+ 1 = ⇒limun=

Ví dụ Chứng minh lim

ï(−1)n

3

√

n +

ò

=

Lời giải Đặtun=

(−1)n

√

n + 2⇒lim (un−2) = lim (−1)n

3

√

n = ⇒limun=

Dạng Tính giới hạn dãy số định lí giới hạn

Phương pháp áp dụng ta đưa dãy số cho dạng tổng hiệu tích thương dãy số mà ta biết giới hạn

Ví dụ Tính giới hạn sau lim n+

3n−1

1 lim n−1

n2−2

2

Lời giải

1 Ta cólim n+ 3n−1 = lim

1 + n 3−

n =

lim + lim n lim 3−lim1 n

=

2 Ta cólim n−1 n2−2 = lim

1 n−

1 n2

1−

n2

= lim1

n −lim n2

lim 1−lim n2

= =

Nhận xét Như vậy, để tính giới hạn thực phép chia tử mẫu cho bậc cao nvà sử dụng kết lim a

nk =

Ví dụ Tính giới hạn sau lim

√

n2+ 1

n+

1 limn

2+n√3 n3+ 1

n√n2+ + 1

2

Lời giải

1 lim

√

n2+ 1

n+ = lim

…

1 + n2

1 + n

= 1 =

2 limn

2+n√3 n3+ 1

n√n2+ + 1 = lim

1 +

…

1 + n3

…

1 + n2 +

1 n2

= + 1 + =

Ví dụ Tính giới hạn sau lim

…

4n+ sin(nπ) n

1 lim

…

8n+ cos(nπ) n

2

(8)

1 lim

…

4n+ sin(nπ)

n = lim

…

4 +sin(nπ)

n =

√

4 = (vìlimsin(nπ) n = 0)

2 lim

…

8n+ cos(nπ)

n = lim

3

…

8 +cos(nπ)

n =

3

√

8 = (vìlimcos(nπ) n = 0)

Nhận xét Như để tính giới hạn trên, thực phép tách thành giới hạn nhỏ

Ví dụ Tính giới hạn sau lim1−4

n + 4n

1 lim3

n−4n+1

3n+2+ 4n

2

Lời giải

1 lim1−4 n + 4n = lim

Å1

4

ãn

−1

Å1

4

ãn

+

= 0−1

0 + =−1

2 lim3

n−4n+1

3n+2+ 4n = lim

Å3

4

ãn

−4

9·

Å3

4

ãn

+

= 0−4 + =−4

Nhận xét Như vậy, để tính giới hạn thực phép chia tử mẫu cho số lớn sử dụng kết lim qn= với |q|<1

Ví dụ Tính giới hạn sau lim √n+ 1−√n

1 2 limÄ√n2+n−nä

lim√

3n+ 2−√2n+

3 lim

√

n2+ 1−√n+ 1

3n+

4

Lời giải

1 lim √n+ 1−√n

= lim√n+ 1−n

n+ +√n = lim

1

√

n+ +√n =

2 limÄ√n2+n−nä= lim√ n

n2+n+n = lim

1

…

1 + n+

=

3 lim√

3n+ 2−√2n+ = lim

√

3n+ +√2n+ n+ = lim

…

3 n+

2 n2 +

…

2 n +

1 n2

1 + n

= =

4 lim

√

n2+ 1−√n+ 1

3n+ = lim

n2−n

(3n+ 2)·Ä√n2+ +√n+ 1ä

= lim

1−

n

Å

3 + n

ã

·

Ç…

1 + n2 +

…

1 n+

1 n2

å =

1

Nhận xét Như vậy,để tính giói hạn cần sử dụng phép nhân liên lợp để khử dạng∞ − ∞

và k

∞ − ∞

(9)

Ví dụ Tínhlimn+

√

1−n3

√

n2+ 1−n

Lời giải

Ta có limn+

√

1−n3

√

n2+ 1−n = lim

n3+ 1−n3

·Ä√n2+ +nä

(n2+ 1−n2)·hn2−n√3

1−n3+»3

(1−n3)2i

= lim

√

n2+ +n

n2−n√3

1−n3+»3

(1−n3)2

= lim

…

1 n2 +

1 n4 +

1 n 1−

…

1

n3 −1 +

3

Å 1

n3 −1

ã2

= =

Ví dụ TínhL= lim1 +a+a

2+ .+an

1 +b+b2+ .+bn , với|a|<1,|b|<1 Lời giải

L= lim +a+a

2+ .+an

(1−a)(1−b) (1 +b+b2+ .+bn) (1−a)(1−b) = lim 1−a

n+1 (1−b) (1−bn+1) (1−a)

= lim(1−a·a

n)(1−b) (1−b·bn)(1−a) =

1−b 1−a

Dạng Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp áp dụng:

Sử dụng công thức:

S =u1+u2+· · ·=

u1

1−q,với|q|<1

Ví dụ Tính tổng sau:

1 S= +1 +

1 +· · ·

2 S=−1 + 10 −

1

102 +· · ·+

(−1)n 10n−1 +· · ·

Lời giải

1 Xét cấp số nhânun có u1= cơng bộiq =

1

2 <1, ta được: S= u1

1−q =

1−1

2 =

2 Dãy số−1, 10,−

1 102, ,

(−1)n

10n−1, cấp số nhân có u1 =−1và cơng bội q=

−1 10 Từ đó, suy ra: limS = u1

1−q =

−1

1 + 10

= −10 11

(10)

Ví dụ Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số: 0,444

1 2 0,2121 3 0,32111

Lời giải

1 Nhận xét rằng:

0,444 .= 0,4 + 0,04 + 0,004 + .= 10 +

4 100+

4

1000+· · · đó, số

10, 100,

4

1000, cấp số nhân lùi vơ hạn có u1 =

10 cơng bội q= 10 Từ đó, suy ra: 0,444 .= u1

1−q = 10 1−

10 =

9

0,2121 .= 0,21 + 0,0021 +· · ·= 21 100+

21

10000 +· · · đó, số 21

100, 21

10000, cấp số nhân lùi vô hạn cóu1 = 21

100 cơng bộiq= 100 Từ đó, suy ra: 0,2121 .= u1

1−q = 21 100 1−

100 = 21

99

0,32111 .= 0,32 + 0,001 + 0,0001 +· · ·= 0,32 + 1000+

1

10000+· · · đó, số

1000,

10000, cấp số nhân lùi vơ hạn cóu1 =

1000 công bộiq = 10 Từ đó, suy ra: 0,32111 .= 0,32 + u1

1−q = 32 100+

1 1000 1−

10

= 289 900

Dạng Dãy số có giới hạn vơ cực

Ví dụ Tính giới hạn sau:

1 lim(n2−n+ 1) 2 lim(−n2+n+ 1) Lời giải

1 Ta có:lim(n2−n+ 1) = lim

ï

n2

Å

1−

n+ n2

ãò

= +∞

2 Ta có:lim(−n2+n+ 1) = lim

ï

−n2

Å

1−

n− n2

ãị

=−∞

1 lim√2n2−3n−8. 2 lim√3

1 + 2n−n3.

Lời giải

1 Ta có:lim√2n2−3n−8 = lim

n2

Å

2−

n− n2

ã

(11)

2 Ta có:lim√31 + 2n−n3 = lim

n3

Å 1

n3 +

2 n2 −1

ã

=−∞

1 lim √2n+ 1−√n

2 limÄ√n2+n+ 2−√n+ 1ä.

3 lim√

n+ 2−√n+ Lời giải

1 Ta thực phép nhân liên hợp:

limÄ√2n+ 1−√nä = lim√2n+ 1−n

2n+ +√n = lim

n+

√

2n+ +√n

= lim

1 + n

2 n +

1 n2 +

1

√

n

= +∞

2 Ta có:

limÄpn2+n+ 2−√n+ 1ä = lim n 2+ 1

√

n2+n+ +√n+ 1

= lim

1 + n2

…

1 n2 +

1 n3 +

2 n4 +

…

1 n3 +

1 n4

= +∞

3 Ta có: lim√

n+ 2−√n+ = lim

√

n+ +√n+ 1= +∞

1 lim (2n+ cosn) 2 limÅ1

2n

2−3 sin 2n+ 5

ã

Lời giải

1 Ta có:2n+ cosn≥2n−1vàlim(2n−1) = +∞

từ đó, suy ra:lim (2n+ cosn) = +∞

2 Ta có: 2n

2−3 sin 2n+ 5≥

2n

2+ 2vàlim

Å1

2n

2+ 2

ã

= +∞

từ đó, suy ra:lim

Å

1 2n

2−3 sin 2n+ 5

ã

= +∞

Ví dụ Chứng minh q >1 thìlimqn= +∞ Áp dụng tìm giới hạn dãy số(un)với:

1 un=

3n+ 1 2n−1

2 un= 2n−3n Lời giải

Ta có:limqn= limÅ

1 q

(12)

1 Ta có:limun= lim 3n+ 2n−1 = lim

1 + 3n

Å2

3

ãn

−

3n

= +∞

2 Ta có:limun= lim 2n−3n= lim 3n

ïÅ2

3

ãn

−1

ị

=−∞

Ví dụ Cho hai dãy số (un),(vn)với un= n

n2+ 1 vàvn=

ncosπ n n2+ 1

1 Tínhlimun 2 Chứng minh limvn= Lời giải

1 Ta có:limun= lim n

n2+ 1 =

2 Ta có:

ncosπ n n2+ 1

≥ n

n2+ 1 lim

n

n2+ 1= 0, từ đó, suy điều cần chứng minh

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu Kết giới hạn lim

Å

sin 5n 3n −2

ã

bằng

A −2 B C D

3 Lời giải

Ta có06

sin 5n 3n

1

n,mà lim

n = nên lim sin 5n

3n = 0,do đólim

Å

sin 5n 3n −2

ã

=−2

Chọn đáp án A

Câu Có số tự nhiên chẵnk đểlim n−2

√

nkcos1 n

2n =

1 2?

A B C D Vơ số

Lời giải Ta có n−2

√

nsin 2n

2n =

1 −

√

nsin 2n

n

Điều kiện toán trở thànhlim

√

nkcos1 n n = Ta cólim cos1

n = cos = 1nên tốn trở thành tìmk cho lim

√

nk

n = limn k

2−1 = 0⇔ k

2 −1<0⇔k <2 màk∈N

∗, k= 3l nên không tồn tạik(dok nguyên dương chẵn)

Chọn đáp án A

Câu Kết giới hạn lim3 sinn+ cosn n+

A B C D

Lời giải Ta có06

3 sinn+ cosn n+

7 n+

7

n →0⇒lim

3 sinn+ cosn n+ =

Chọn đáp án B

Å

5−ncos 2n

n2+ 1

ã

bằng

A B

(13)

ncos 2n n2+ 1

n n2+ 1

1

n →0⇒lim

ncos 2n

n2+ 1 = 0⇒lim

Å

5−ncos 2n

n2+ 1

ã

=

Chọn đáp án C

n2sinnπ −2n

3là

A −∞ B −2 C D +∞

Lời giải Ta cólim

n2sinnπ −2n

3= limn3

Å

1 n ·

sinnπ −2

ã

Vì  



limn3= +∞

06

n·

sinnπ

1 n →0

⇒

 



limn3= +∞

lim

Å1

n · sinnπ

5 −2

ã

=−2<0

⇒limn3

Å

1 n ·

sinnπ −2

ã

=−∞

Chọn đáp án A

Câu Giá trị giới hạn lim

Å

4 +(−1) n

n+

ã

bằng

A B C D

(−1)n n+

1 n+

1

n →0⇒lim (−1)n

n+ = 0⇒lim

Å

4 +(−1) n

n+

ã

=

Chọn đáp án C

Câu Cho hai dãy số(un)và(vn)cóun= (−1)n

n2+ 1 vàvn=

1

n2+ 2 Khi đólim (un+vn)có giá trị

A B C D

Lời giải Ta có

  

 

06|un|6 n2+ 1

1 n →0 06|vn|6

1 n2+ 2

1 n →0

⇒limun= limvn= 0⇒lim (un+vn) =

Chọn đáp án B

Câu Giá trị giới hạn lim −3

4n2−2n+ 1

A −3

4 B −∞ C D −1

Lời giải

Ta cólim −3

4n2−2n+ 1 = lim

−3 n2

4−

n+ n2

= =

Chọn đáp án C

Câu Giá trị giới hạn lim n+ 2n

2

n3+ 3n−1

A B C

3 D

Lời giải

Ta cólim n+ 2n

2

n3+ 3n−1 = lim

1 n2 +

2 n +

n2−

n3

= =

Chọn đáp án D

Câu 10 Giá trị giới hạn lim3n

3−2n+ 1

4n4+ 2n+ 1

A +∞ B C

7 D

(14)

Ta cólim3n

3−2n+ 1

4n4+ 2n+ 1 = lim

3 n−

2 n2 +

1 n4

4 + n3 +

1 n4

= =

Chọn đáp án B

Câu 11 Giá trị giới hạn limn

√

n+ n2+ 2

A

2 B C D

Lời giải

Ta cólimn

√

n+ n2+ 2 = lim

1

√

n+ n2

1 + n2

= =

Chọn đáp án D

Câu 12 Cho hai dãy số (un) (vn) có un=

n+ vàvn=

n+ Khi đólim un

có giá trị

A B C D

Lời giải Ta cólimvn

un

= limn+ n+ = lim

1 +1 n +2 n

= 1 =

Chọn đáp án A

Câu 13 Cho dãy số (un) vớiun=

an+

5n+ alà tham số thực Để dãy số(un) có giới hạn bằng2, giá trị củaalà

A a= 10 B a= C a= D a=

Lời giải

Ta cólimun= lim

an+ 5n+ = lim

a+ n + n

= a

5 Khi đólimun= 2⇔ a

5 = 2⇔a= 10

Chọn đáp án A

Câu 14 Cho dãy số (un)vớiun=

2n+b

5n+ blà tham số thực Để dãy số(un)có giới hạn hữu hạn, giá trị củablà

A b số thực tùy ý B b= C không tồn tạib D b= Lời giải

Ta cólimun= lim 2n+b 5n+ = lim

2 + b n + n

=

5 (∀b∈R)

Chọn đáp án A

Câu 15 Tính giới hạn L= limn

2+n+ 5

2n2+ 1

A L=

2 B L=

1

2 C L= D L=

Lời giải Ta cóL= limn

2+n+ 5

2n2+ 1 = lim

1 + n+

5 n2

2 + n2

=

Chọn đáp án B

4n2+n+

an2+ 5 Để dãy số cho có giới hạn bằng2, giá trị củaalà

(15)

Lời giải

2 = limun= lim

4n2+n+ an2+ 5 = lim

4 + n+

2 n2

a+ n2

=

a(a6= 0)⇔a=

Chọn đáp án D

Câu 17 Tính giới hạn L= lim n

2−3n3

2n3+ 5n−2

A L=−3

2 B L=

1

5 C L=

1

2 D L=

Lời giải L= lim n

2−3n3

2n3+ 5n−2 = lim

1 n−3 +

n2 −

2 n3

= −3

Chọn đáp án A

Câu 18 Tìm tất giá trị tham số ađể L= lim 5n

2−3an4

(1−a)n4+ 2n+ 1 >0

A a60;a>1 B 0< a <1 C a <0;a >1 D 06a <1 Lời giải

L= lim 5n

2−3an4

(1−a)n4+ 2n+ 1 = lim

5 n2 −3a

(1−a) + n3 +

1 n4

= −3a

(1−a) >0⇔

ñ

a <0 a >1

Chọn đáp án C

Câu 19 Tính giới hạn L= lim 2n−n

3

3n2+ 1 (2n−1) (n4−7)

A L=−3

2 B L= C L= D L= +∞

Lời giải

L= lim 2n−n

3

3n2+ (2n−1) (n4−7) = lim

n3

Å 2

n2 −1

ã

·n2

Å

3 + n2

ã

n

Å

2−

n

ã

·n4

Å

1−

n4

ã = lim Å 2

n2 −1

ã Å

3 + n2

ã

Å

2−

n

ã Å

1−

n4

ã

= −1·3 2·1 =−

3

Chọn đáp án A

2+ 2n

2n3+ 1(4n+ 5) (n4−3n−1) (3n2−7)

A L= B L= C L=

3 D L= +∞ Lời giải

L= lim n

2+ 2n

2n3+ 1(4n+ 5) (n4−3n−1) (3n2−7) = lim

Å

1 + n

ã Å

2 + n3

ã Å

4 +5 n

ã

Å

1−

n3 −

1 n4

ã Å

3−

n2

ã =

1·2·4 1·3 =

8

Chọn đáp án C

Câu 21 Tính giới hạn L= lim

√

n+

√

n+ A L=

2 B L= C L=

1

L= lim

√

n+

√

n+ = lim

1 + √31

n

…

1 + n

= √31

1 =

(16)

Câu 22 Kết giới hạn limn

3−2n

1−3n2

A −1

3 B +∞ C −∞ D

2 Lời giải

limn

3−2n

1−3n2 = lim

n3

Å

1−

n2

ã

n2

Å 1

n2 −3

ã = limn·

1−

n2

1 n2 −3

Ta có           

limn= +∞

lim 1−

n2

1 n2 −3

=−1

3 <0

⇒limn

3−2n

1−3n2 = limn·

1−

n2

1 n2 −3

=−∞

Chọn đáp án C

Câu 23 Kết giới hạn lim 2n+ 3n

3

4n2+ 2n+ 1

A

4 B +∞ C D

5 Lời giải

lim 2n+ 3n

3

4n2+ 2n+ 1 = lim

n3

Å 2

n2 +

ã

n2

Å

4 + n+

1 n2

ã = limn·

2 n2 +

4 + n+ n2 Ta có           

limn= +∞

lim n2 +

4 + n +

1 n2

= >0

⇒lim 2n+ 3n

3

4n2+ 2n+ 1 = limn·

2 n2 +

4 + n+

1 n2

= +∞

Chọn đáp án B

Câu 24 Kết giới hạn lim3n−n

4

4n−5

A B +∞ C −∞ D

4 Lời giải

lim3n−n

4

4n−5 = lim n4

Å 3

n3 −1

ã

n

Å

4−

n

ã = limn

3.

3 n3 −1

4−

n Ta có           

limn3 = +∞

lim n3 −1

4−

n

=−1

4 <0

⇒lim3n−n

4

4n−5 = limn

3·

3 n3 −1

4−

n

=−∞

Chọn đáp án C

Câu 25 Trong giới hạn sau đây, giới hạn 0? A lim3 + 2n

3

2n2−1 B lim

2n2−3

−2n3−4 C lim

2n−3n3

−2n2−1 D lim

2n2−3n4

−2n4+n2

Lời giải lim3 + 2n

3

2n2−1 = +∞: « bậc tử »> « bậc mẫu » vàambk= 2·2 = 4>0

lim 2n

2−3

−2n3−4 = : « bậc tử »<« bậc mẫu »

lim2n−3n

3

−2n2−1 = +∞ : « bậc tử »>« bậc mẫu » anbk= (−3)·(−2)>0

lim 2n

2−3n4

−2n4+n2 =

−3

−2 =

2 : « bậc tử »=« bậc mẫu » am

bk = −3

(17)

Chọn đáp án B

Câu 26 Dãy số sau có giới hạn bằng−1

3? A un=

n2−2n

3n2+ 5 B un=

−n4+ 2n3−1 3n3+ 2n2−1

C un=

n2−3n3

9n3+n2−1 D un=

−n2+ 2n−5 3n3+ 4n−2

Lời giải limun= lim

n2−3n3 9n3+n2−1 =

−3 =−

1

Chọn đáp án C

Câu 27 Dãy số sau có giới hạn +∞? A un=

1 +n2

5n+ B un=

n2−2

5n+ 5n3 C un=

n2−2n

5n+ 5n2 D

1 + 2n 5n+ 5n2

Lời giải

limun= lim +n2

5n+ = limn· n2 +

5 + n

= +∞      

    

limn= +∞

lim n2 +

5 + n

= am bk

= >0

Chọn đáp án A

Câu 28 Dãy số sau có giới hạn −∞? A + 2n

5n+ 5n2 B un=

n3+ 2n−1

−n+ 2n3 C un=

2n2−3n4

n2+ 2n3 D un=

n2−2n

5n+ Lời giải

un=

2n2−3n4

n2+ 2n3 : « bậc tử »>« bậc mẫu » ambk=−3.2 =−6<0⇒limun=−∞

Chọn đáp án C

Câu 29 Tính giới hạn L= lim 3n2+ 5n−3

A L= B L=−∞ C L= D L= +∞

Lời giải

L= lim 3n2+ 5n−3

= limn2

Å

2 + n −

3 n2

ã

= +∞  



limn2= +∞

lim

Å

2 + n−

3 n2

ã

= 2>0

Chọn đáp án D

Câu 30 Có giá trị nguyên tham sốathuộc khoảng(−10; 10)đểL= lim 5n−3 a2−2 n3

=

−∞?

A 19 B C D 10

Lời giải

Ta cólim 5n−3 a2−2 n3

= limn3

Å 5

n2 −3 a 2−2

ã

=−∞

⇔lim

Å 5

n2 −3 a 2−2

ã

=a2−2<0⇔ −√2< a <√2.

Vìa∈Z, a∈(−10; 10)nên a=−1; 0;

Chọn đáp án B

Câu 31 Tính giới hạn lim 3n4+ 4n2−n+

A L= B L=−∞ C L= D L= +∞

Lời giải

lim 3n4+ 4n2−n+

= limn4

Å

3 + n2 −

1 n3 +

1 n4

ã

= +∞  



limn4 = +∞

lim

Å

3 + n2 −

1 n3 +

1 n4

ã

= 3>0

Chọn đáp án D

√

(18)

A limun=−∞ B limun=

√

2 1−√2 C limun= +∞ D Không tồn tạilimun Lời giải

Vì√2,Ä√2ä2, ,Ä√2änlập thành cấp số nhân có u1 =

√

2 =q nên un=

√

2·1−

Ä√

2än 1−√2 =

Ä

2−√2ä ỵÄ√2än−1ó⇒limun= +∞ (

a= 2−√2>0 q =

√

2>1

Chọn đáp án C

Câu 33 Giá trị giới hạn lim + +

3

2 +· · ·+ n n2+ 1

A

8 B C

1

2 D

1 Lời giải

Ta có 2+ +

3

2+· · ·+ n =

1

2(1 + +· · ·+n) = ·

n(n+ 1)

2 Do lim

1 2+ +

3

2+· · ·+ n n2+ 1 = lim

n2+n 4n2+ 4 =

1

Chọn đáp án D

Câu 34 Giá trị giới hạn lim

Å

1 n2 +

2

n2 +· · ·+

n−1 n2

ã

bằng

A B

3 C

1

2 D

Lời giải Ta có

n2 +

2

n2 +· · ·+

n−1 n2 =

1

n2 (1 + +· · ·+n−1) =

1 n2 ·

(n−1) (1 +n−1)

2 =

n2−n 2n2

Do lim

Å

1 n2 +

2

n2 +· · ·+

n−1 n2

ã

= limn

2−n

2n2 =

1

Chọn đáp án C

Å1 + + +· · ·+ (2n+ 1)

3n2+ 4

ã

bằng

A B

3 C

2

3 D

Lời giải

Ta có1 + + +· · ·(2n−1) = n(1 + 2n−1)

2 =n

2 nên

lim

Å

1 + + +· · ·+ (2n+ 1) 3n2+ 4

ã

= lim n

2

3n2+ 4 =

1

Chọn đáp án B

Å

1 1·2 +

1

2·3+· · ·+ n(n+ 1)

ã

là A

2 B C D −∞

Lời giải lim

Å 1

1·2 +

2·3+· · ·+ n(n+ 1)

ã

= lim

Å

1−1

2+ −

1

3 +· · ·+ n−

1 n+

ã

= lim

Å

1−

n+

ã

=

Chọn đáp án B

Å 1

1·3 +

3·5+· · ·+

1

(2n−1) (2n+ 1)

ã

bằng A

2 B

1

4 C D

(19)

Với k∈N∗

(2k−1) (2k+ 1) =

Å 1

2k−1 − 2k+

ã

, lim

Å 1

1·3+

3·5 +· · ·+

1

(2n−1) (2n+ 1)

ã

= lim1

ï

1−1

3 + − + 2n−1−

1 2n+

ò

= lim1

ï

1−

2n+

ò

=

Chọn đáp án A

ï 1

1·4 +

2·5 +· · ·+ n(n+ 3)

ò

bằng A 11

18 B C D

3 Lời giải

Ta có 1·4+

1

2·5 +· · ·+ n(n+ 3) =

1

ï

1−1

4+ 2− + −

6+· · ·+ n−

1 n+

ò

=

ïÅ

1 +1 2+

1

3 +· · ·+ n ã − Å1 4+ +

6 +· · ·+ n+

ãò

=

Å

1 +1 +

1 −

1 n+ 1−

1 n+ 2−

1 n+

ã = Å11 − n+ 1−

1 n+ 2−

1 n+

ã

Do lim

Å 1

1·4+

2·5+· · ·+ n(n+ 3)

ã

= lim1

Å11

6 − n+ 1−

1 n+ 2−

1 n+

ã

= 11

Chọn đáp án A

Câu 39 Giá trị giới hạn lim1

2+ 22+· · ·+n2

n(n2+ 1)

A B C

2 D

1 Lời giải

ĐặtP(n) = 2n

3−3n2+n

6 =

n(n−1) (2n+ 1)

6 ta có

12+ 22+ 32+· · ·+n2= (P(2)−P(1)) + (P(3)−P(2)) +· · ·+ (P(n+ 1)−P(n)) =P(n+ 1)−P(1) = n(n+ 1) (2n+ 3)

6

Do lim1

2+ 22+· · ·+n2

n(n2+ 1) = lim

n(n+ 1) (2n+ 3) 6n(n2+ 1) =

2 =

1

Chọn đáp án D

Câu 40 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định   

 

un= un+1=

1 2−un

, n>1

Tínhlimun

A limun=−1 B limun= C limun=

2 D limun= Lời giải

Giả sửlimun=athì ta có a= limun+1= lim

1 2−un

= 2−a ⇔

®

a6=

a(2−a) = ⇔

®

a6=

a2−2a+ = ⇔a=

Chọn đáp án D

Câu 41 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định  

 u1 =

un+1=

un+ , n>1

Tínhlimun

A limun= B limun= C limun= D limun= +∞ Lời giải

Giả sửlimun=athì ta có a= limun+1= lim

un+

2 =

a+

(20)

Chọn đáp án A

Câu 42 Kết giới hạn lim

√

9n2−n+ 1

4n−2 A

3 B

3

4 C D

Lời giải

lim

√

9n2−n+ 1

4n−2 = lim

…

9−

n+ n2

4−

n

=

Chọn đáp án B

Câu 43 Kết giới hạn lim−n

2+ 2n+ 1

√

3n4+ 2

A −2

3 B

1

2 C −

√

3

3 D −

1 Lời giải

lim−n

2+ 2n+ 1

√

3n4+ 2 = lim

−1 + n +

1 n2

…

3 + n4

=−√1

3

Chọn đáp án C

√

2n+

√

2n+ là: A

2 B

5

7 C +∞ D

Lời giải

lim

√

2n+

√

2n+ = lim

…

2 +3 n

√

2 +√5

n =

√

2

√

2 =

Chọn đáp án D

√

n+ 1−4

√

n+ +n

A B C −1 D

2 Lời giải

lim

√

n+ 1−4

√

n+ +n = lim

…

1 n+

1 n2 −

4 n

…

1 n+

1 n2 +

= =

Chọn đáp án B

Câu 46 Biết limn+

√

n2+ 1

√

n2−n−2 =asin

π

4 +b TínhS =a

3+b3.

A S = B S = C S = D S=−1

Lời giải

Ta cólimn+

√

n2+ 1

√

n2−n−2 = lim

1 +

…

1 + n2

…

1−

n− n

= +

√

1 =

√

2 sinπ ⇒

®

a=

√

2

b= ⇒S =

Chọn đáp án B

Câu 47 Kết giới hạn lim√ 10

n4+n2+ 1

A +∞ B 10 C D −∞

(21)

lim√ 10

n4+n2+ 1 = lim

10 n2

…

1 + n2 +

1 n4

= =

Chọn đáp án C

Câu 48 Kết giới hạn lim (n+ 1)

…

2n+ n4+n2−1

A +∞ B C D −∞

Lời giải lim (n+ 1)

…

2n+

n4+n2−1 = lim

2(n+ 1)3 n4+n2−1 =

Chọn đáp án C

Câu 49 Biết lim

√

an3+ 5n2−7

√

3n2−n+ 2 = b

√

3 +c với a, b, c tham số Tính giá trị biểu thức P = a+c

b3

A P = B P =

3 C P = D P =

1 Lời giải

Ta cólim

√

an3+ 5n2−7

√

3n2−n+ 2 = lim

3

…

a+ n−

7 n3

…

3−

n + n2

=

√

b

√

3 =

√

a

√

3=b√3 +c⇒

 



√

a= b c=

⇒P =

Chọn đáp án B

Câu 50 Kết giới hạn lim√5200−3n5+ 2n2 là

A +∞ B C D −∞

Lời giải

lim√5200−3n5+ 2n2 = limn

Ç

5

…

200 n5 −3 +

2 n3

å

=−∞vì   

 

limn= +∞

lim

Ç

5

…

200 n5 −3 +

2 n3

å

=−√5 3<0

Chọn đáp án D

Câu 51 Giá trị giới hạn lim √n+ 5−√n+

A B C D

Lời giải

lim √n+ 5−√n+

= lim√

n+ +√n+ =

Chọn đáp án A

Câu 52 Giá trị giới hạn limÄ√n2−n+ 1−nä là

A −1

2 B C D −∞

Lời giải

limÄ√n2−n+ 1−nä= lim√ −n+

n2−n+ +n = lim

−1 + n

…

1−

n+ n2 +

=−1

2

Chọn đáp án A

Câu 53 Giá trị giới hạn limÄ√n2−1−√3n2+ 2älà

A −2 B C −∞ D +∞

Lời giải

limÄ√n2−1−√3n2+ 2ä= limn

Ç…

1−

n2 −

…

3 + n2

å

=−∞ limn= +∞,lim

Ç…

1−

n2 −

…

3 + n2

å

= 1−√3<0

(22)

Câu 54 Giá trị giới hạn limÄ√n2+ 2n−√n2−2nälà

A B C D +∞

Lời giải

limÄ√n2+ 2n−√n2−2nä= lim√ 4n

n2+ 2n+√n2−2n = lim

4

…

1 + n+

…

1−

n =

Chọn đáp án B

Câu 55 Có giá trị củaa đểlimÄ√n2+a2n−p

n2+ (a+ 2)n+ 1ä= 0?

A B C D

Lời giải

Ta cólimÄ√n2+a2n−p

n2+ (a+ 2)n+ 1ä= lim a

2−a−2 n−1

√

n2+n+√n2+ 1

= lim

a2−a−2−

n

…

1 +1 n+

…

1 + n2

= a

2−a−2

2 = 0⇔

ñ

a=−1 a=

Chọn đáp án B

Câu 56 Giá trị giới hạn limÄ√2n2−n+ 1−√2n2−3n+ 2älà

A B

√

2

2 C −∞ D +∞

Lời giải

limÄp2n2−n+ 1−p2n2−3n+ 2ä= lim√ 2n−1

2n2−n+ +√2n2−3n+ 2

= lim

2−

n

…

2−

n+ n2 +

…

2−

n+ n2

= √1

2

Chọn đáp án B

Câu 57 Giá trị giới hạn limÄ√n2+ 2n−1−√2n2+nälà

A −1 B 1−√2 C −∞ D +∞

Lời giải

limÄ√n2+ 2n−1−√2n2+nä= limn·

Ç…

1 + n−

1 n2 −

…

2 + n

å

=−∞ limn= +∞,lim

Ç…

1 + n−

1 n2 −

…

2 +1 n

å

= 1−√2<0

Chọn đáp án C

Câu 58 Có giá trị nguyên athỏalimÄ√n2−8n−n+a2ä= 0?

A B C D Vơ số

Lời giải

Ta cólimÄ√n2−8n−n+a2ä

= lim

Å −

8n

√

n2−8n+n+a

ã

= lim

Ü

−8

…

1−

n+ +a2

ê

=a2−4 = 0⇔a=±2

Chọn đáp án B

Câu 59 Giá trị giới hạn limÄ√n2−2n+ 3−nälà

A −1 B C D +∞

Lời giải

limÄ√n2−2n+ 3−nä= lim√ −2n+

n2−2n+ +n = lim

−2 + n

…

1−

n+ n2 +

=−1

(23)

Câu 60 Cho dãy số (un) với un =

√

n2+an+ 5−√n2+ 1, đó a là tham số thực Tìm a để

limun=−1

A B C −2 D −3

Lời giải

−1 = limun= lim

Äp

n2+an+ 5−pn2+ 1ä= lim√ an+

n2+an+ +√n2+ 1

= lim

a+ n

…

1 + a n+

5 n2 +

…

1 + n2

= a

2 ⇔a=−2

Chọn đáp án C

Câu 61 Giá trị giới hạn limÄ√3n3+ 1−√3

n3+ 2äbằng

A B C D

Lời giải limÄ√3

n3+ 1−√3

n3+ 2ä= lim −1

3

»

(n3+ 1)2+√3

n3+ 1·√3

n3+ +»3

(n3+ 2)2

=

Chọn đáp án C

Câu 62 Giá trị giới hạn limÄ√3n2−n3+nälà

A

3 B +∞ C D

Lời giải

limÄ√3n2−n3+nä= lim n

3

»

(n2−n3)2−n√3

n2−n3+n2

= lim

3

Å

1 n−1

ã2

−

…

1

n−1 + =

3

Giải nhanh: √3n2−n3+n= n

3

»

(n2−n3)2−n√3

n2−n3+n2

∼ n

2

3

√

n6−n√3

−n3+n2 =

1

Chọn đáp án A

Câu 63 Giá trị giới hạn limÄ√3n3−2n2−nä bằng

A

3 B −

2

3 C D

Lời giải

limÄ√3n3−2n2−nä= lim −2n

3

»

(n3−2n2)2+n·√3

n3−2n2+n2

= lim −2

3

Å

1−

n

ã2

+

…

1−

n + =−2

3

Chọn đáp án B

Câu 64 Giá trị giới hạn lim√

n √n+ 1−√n−1

A −1 B +∞ C D

Lời giải

lim√n √n+ 1−√n−1

= lim

√

n

√

n+ +√n−1 = lim

2

…

1 + n+

…

1−

n =

Giải nhanh:√n √n+ 1−√n−1

=

√

n

√

n+ +√n−1 ∼

2√n

√

n+√n =

Chọn đáp án D

n √n+ 1−√n

A B

2 C

1

3 D

(24)

lim√n √n+ 1−√n= lim

√

n

√

n+ +√n = lim

1

…

1 + n+

= Giải nhanh:√n √n+ 1−√n=

√

n

√

n+ +√n ∼

√

n

√

n+√n =

Chọn đáp án B

Câu 66 Giá trị giới hạn limỵnÄ√n2+ 1−√n2−3äó bằng

A −1 B C D +∞

Lời giải

limnÄ√n2+ 1−√n2−3ä= lim√ 4n

n2+ +√n2−3 = lim

4

…

1 + n2 +

…

1−

n2

=

Giải nhanh:nÄ√n2+ 1−√n2−3ä= √ 4n

n2+ +√n2−3 ∼

4n

√

n2+√n2 =

Chọn đáp án B

Câu 67 Giá trị giới hạn limỵnÄ√n2+n+ 1−√n2+n−6äólà

A √7−1 B C

2 D +∞

Lời giải

limnÄpn2+n+ 1−pn2+n−6ä= lim√ 7n

n2+n+ +√n2+n−6

= lim…

1 + n+

1 n2 +

…

1 +1 n−

6 n2

=

Giải nhanh :nÄ√n2+n+ 1−√n2+n−6ä= √ 7n

n2+n+ +√n2+n−6 ∼

7n

√

n2+√n2 =

7

Chọn đáp án C

n2+ 2−√n2+ 4

A B C −∞ D +∞

Lời giải

lim√

n2+ 2−√n2+ 4 = lim

ï

−1

2

Ä√

n2+ +√n2+ 4ä

ị

= limn·

đ

−1

2

Ç…

1 + n2 +

…

1 + n2

åô

=−∞ vìlimn= +∞,lim

đ

−1

2

Ç…

1 + n2 +

…

1 + n2

åô

=−1<0

Giải nhanh: √

n2+ 2−√n2+ 4=−

1

Ä√

n2+ +√n2+ 4ä∼ −1

2

Ä√

n2+√n2ä=−n→ −∞.

Chọn đáp án C

√

9n2−n−√n+ 2

3n−2 là:

A B C D +∞

Lời giải

lim

√

9n2−n−√n+ 2

3n−2 = lim

…

9−

n −

…

1 n+

2 n2

3−

n

=

√

9 =

Chọn đáp án A

Câu 70 Giá trị giới hạn limÄ√3n3+ 1−nälà

A B C −∞ D +∞

Lời giải

limÄ√3n3+ 1−nä= lim

3

»

(n3+ 1)2+n√3

n3+ +n2

=

(25)

Câu 71 Kết giới hạn lim 2−5 n+2

3n+ 2·5n

A −25

2 B

5

2 C D −

5 Lời giải

lim 2−5 n+2

3n+ 2·5n = lim

Å

1

ãn

−25

Å3

5

ãn

+

=−25

2

Chọn đáp án A

Câu 72 Kết giới hạn lim3

n−2·5n+1

2n+1+ 5n

A −15 B −10 C 10 D 15

Lời giải

lim3

n−2·5n+1

2n+1+ 5n = lim

Å3

5

ãn

−10

2·

Å

2

ãn

+

=−10

Chọn đáp án B

n−4·2n+1−3

3·2n+ 4n

A B C −∞ D +∞

Lời giải

lim3

n−4·2n+1−3

3·2n+ 4n = lim

Å3

4

ãn

−8·

Å1

2

ãn

−3·

Å1

4

ãn

3·

Å1

2

ãn

+

= =

Chọn đáp án A

Câu 74 Kết giới hạn lim n−1

2n−2·3n+ 1

A −1 B −1

2 C

1

2 D

3 Lời giải

lim n−1

2n−2·3n+ 1 = lim

1−

Å1

3

ãn

Å

2

ãn

−2 +

Å

1

ãn =−

1

Chọn đáp án B

Câu 75 Biết lim

Ñ Ä√

5än−2n+1+ 5·2n+Ä√5än+1−3

+2n

2+ 3

n2−1

é

= a

√

5

b +cvớia, b, c∈Z Tính giá trị biểu thứcS =a2+b2+c2.

A S = 26 B S = 30 C S = 21 D S= 31

Lời giải

lim

Ñ Ä√

5än−2n+1+ 5·2n+Ä√5än+1−3

+2n

2+ 3

n2−1

é

= lim

Ü

1−2·

Å 2

√

5

ãn

+

Å 1

√

5

ãn

5·

Å 2

√

5

ãn

+√5−3·

Å 1

√

5

ãn +

2 + n2

1−

n2

ê

= √1

5 + =

√

5 + VậyS = 12+ 52+ 22 = 30

Chọn đáp án B

Câu 76 Kết giới hạn lim π

n+ 3n+ 22n 3πn−3n+ 22n+2

A B

3 C +∞ D

(26)

Lời giải

lim π

n+ 3n+ 22n

3πn−3n+ 22n+2 = lim

π n + Å3 ãn +

3·π

4 n

−3·

Å3 ãn + =

Chọn đáp án D

Câu 77 Kết giới hạn limỵ3n−√5nó

A B −√5 C −∞ D +∞

Lời giải

limỵ3n−√5nó= lim 3n

Ç

1−

Ç√

5

ånå

= +∞vì   

 

lim 3n= +∞

lim 1−

Ç√

5

ån

= 1>0

Chọn đáp án D

Câu 78 Kết giới hạn lim 34·2n+1−5·3n A

√

2

3 B −1 C −∞ D

1 Lời giải

lim 34·2n+1−5·3n

= lim 3n

Å 162· Å2 ãn −5 ã

=−∞vì  



lim 3n= +∞

lim Å 162· Å2 ãn −5 ã

=−5<0

Chọn đáp án C

n−4·2n+1−3

3·2n+ 4n

A B C −∞ D +∞

Lời giải 06

3n−4·2n+1−3 3·2n+ 4n

8·3n+1 4n = 24·

Å3

4

ãn

→0⇒lim3

n−4·2n+1−3

3·2n+ 4n =

Chọn đáp án A

n+1+ 3n+ 10

3n2−n+ 2

A +∞ B

3 C

3

2 D −∞

Lời giải Ta có2n=

n X

k=0

Ckn⇒2n>C3n= n(n−1) (n−2)

6 ∼ n3 ⇒      n 2n →0 2n

n2 →+∞

Khi đó:

lim2

n+1+ 3n+ 10

3n2−n+ 2 = lim

2n n2 ·

2 + 3· n

2n+ 10·

Å1

2

ãn

3−

n+ n2

= +∞              lim2 n

n2 = +∞

lim

2 + 3· n

2n+ 10·

Å1

2

ãn

3−

n+ n2

= >0

Chọn đáp án A

Câu 81 Tìm tất giá trị nguyên athuộc(0; 2018) đểlim

4n+ 2n+1 3n+ 4n+a

1 1024

A 2007 B 2008 C 2017 D 2016

Lời giải

lim

4n+ 2n+1 3n+ 4n+a = lim

4

œ

1 + 2·

Å1 ãn Å ãn

+ 4a =

…

1 4a =

1 (2a)2 =

1 2a

1 1024 ⇔2

a>1024 = 210

⇔a>10

Màa∈(0; 2018)và a∈Z nên a∈ {10; 11; .; 2017} ⇒có 2008giá trịa

(27)

Ç√

n2+ 2n

3n−1 + (−1)n

3n å A √

3 B −1 C

1

3 D −

1 Lời giải

Ta cólim

Ç√

n2+ 2n

3n−1 + (−1)n

3n

å

= lim

√

n2+ 2n

3n−1 + lim (−1)n

3n Ta có                lim √

n2+ 2n

3n−1 = lim

…

1 + n 3−

n = 06

(−1)n 3n Å1 ãn

→0⇒lim(−1) n

3n =

⇒lim

Ç√

n2+ 2n

3n−1 + (−1)n

3n

å

=

Chọn đáp án C

Ç√

3n+ (−1)ncos 3n

√

n−1

å

bằng A

√

3

2 B

√

3 C √5 D −1

Lời giải lim

Ç√

3n+ (−1)ncos 3n

√

n−1

å

= lim

Ç √

3n

√

n−1 +

(−1)ncos 3n

√

n

å

Ta có :          lim √ 3n √

n−1 =

√ = √ 06

(−1)ncos 3n

√

n−1 √

n−1 →0⇒lim

(−1)ncos 3n

√

n−1 =

⇒lim

Ç√

3n+ (−1)ncos 3n

√

n−1

å

=√3

Chọn đáp án B

Câu 84 Có giá trị nguyên a thuộc (0; 20) cho lim

3 +an

2−1

3 +n2 −

1

2n số nguyên?

A B C D

Lời giải Ta có              liman

2−1

3 +n2 = lim

a−

n2

3 n2 +

=a

lim 2n = lim

Å ãn = ⇒lim

3 +an

2−1

3 +n2 −

1 2n =

√

3 +a

Ta có

®

a∈(0; 20), a∈Z √

a+ 3∈Z ⇒a∈ {1; 6; 13}

Chọn đáp án B

Câu 85 Kết giới hạn lim√2·3n−n+ 2là

A B C D +∞

Lời giải

Ta cólim√2·3n−n+ = lim√3n·

2− n

3n + 2·

Å1 ãn Vì                 

lim√3n= +∞

06 n

3n n C2

n

= n

n(n−1)

=

n−1 →0⇒lim n 3n =

lim Å1 ãn = ⇒     

lim√3n= +∞

lim

2− n

3n + 2·

Å ãn = √

2>0

Do lim√2·3n−n+ = +∞.

(28)

Câu 86 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn bằng2, tổng ba số hạng cấp số nhân

4 Số hạng đầuu1 cấp số nhân

A u1= B u1= C u1 =

9

2 D u1 = Lời giải

Gọiq cơng bội cấp số nhân, ta có:        u1

1−q =

S3 =u1·

1−q3 1−q =

9 ⇔   

u1 = (1−q)

2 1−q3 = ⇔       

q =−1

2 u1=

Å

1 +1

ã

=

Chọn đáp án A

Câu 87 Tính tổng S= + + + 3+

1

9+· · ·+

3n−3 +· · ·

A S = 27

2 B S = 14 C S = 16 D S= 15

Lời giải

Ta cóS= + + +

3 +· · ·+

3n−3 +· · ·=

        

1 +1 3+

1

32 +· · ·+

1

3n−1 +· · ·

| {z }

CSN:u1=1, q=          = Ö

1−1

3

è

= 27

Chọn đáp án A

Câu 88 Tính tổng S=√2

Å

1 +1 +

1 4+

1

8 +· · ·+ 2n+· · ·

ã

A S =√2 + B S = C S = 2√2 D S= Lời giải

Ta cóS=√2         

1 +1 +

1 +

1

8 +· · ·+ 2n +· · ·

| {z }

CSN:u1=1, q=         

=√2

Ö

1 1−

2

è

= 2√2

Chọn đáp án C

Câu 89 Tính tổng S= +2 +

4

9 +· · ·+ 2n 3n +· · ·

A S = B S = C S = D S=

Lời giải Ta cóS= +

3+

9 +· · ·+ 2n

3n +· · ·= + + Å2 ã2 +· · ·+ Å2 ãn +· · ·

| {z }

CSNlvh:u1=1, q=

=

1−2

3 =

Chọn đáp án A

Câu 90 Tổng cấp số nhân vô hạn 2,−

1 6,

1 18, ,

(−1)n+1

2·3n−1, A

4 B

8

3 C

2

3 D

3 Lời giải

Ta có:S = −

1 6+

1

18 +· · ·+

(−1)n+1

2·3n−1 +· · ·=         

1−1

3 +

32 +· · ·+

(−1)n+1 3n−1

| {z }

(29)

=

Ö

1

1 +1

è

=

Chọn đáp án D

Câu 91 Tính tổng S=

Å1 − ã + Å1 4− ã +· · ·+ Å 1

2n − 3n

ã

+· · ·

A B

3 C

3

4 D

1 Lời giải Ta có S= Å1 − ã + Å1 4− ã +· · ·+ Å 1

2n − 3n ã +· · · =          2+

4 +· · ·+ 2n+· · ·

| {z }

CSN:u1=q=          −          +

9 +· · ·+ 3n +· · ·

| {z }

CSN:u1=q=          = 1−1

2

−

1 1−1

3

= 1−1

2 =

Chọn đáp án D

Câu 92 Giá trị giới hạn lim1 +a+a

2+· · ·+an

1 +b+b2+· · ·+bn (|a|<1,|b|<1)bằng

A B 1−b

1−a C

1−a

1−b D Không tồn Lời giải

Ta có1 +a+a2+· · ·+anlà tổngn+ số hạng cấp số nhân với số hạng đầu là1 công bội làa, nên +a+a2+· · ·+an= 1· 1−a

n+1 1−a =

1−an+1 1−a Tương tự:1 +b+b2+· · ·+bn= 1−b

n+1 1−b =

1−bn+1 1−b Do lim1 +a+a

2+· · ·+an +b+b2+· · ·+bn = lim

1−an+1 1−a 1−bn+1

1−b

= lim1−b 1−a·

1−an+1 1−bn+1 =

1−b

1−a(|a|<1,|b|<1)

Chọn đáp án B

Câu 93 Rút gọn S = + cos2x+ cos4x+ cos6x+· · ·+ cos2nx+· · · vớicosx6=±1.

A S = sin2x B S = cos2x C S =

sin2x D S= cos2x

Lời giải

Ta cóS= + cos2x+ cos4x+ cos6x+· · ·+ cos2nx+· · ·

| {z }

CSN:u1=1, q=cos2x

=

1−cos2x =

1 sin2x

Chọn đáp án C

Câu 94 Rút gọn S = 1−sin2x+ sin4x−sin6x+· · ·+ (−1)n·sin2nx+· · · với sinx6=±1 A S = sin2x B S = cos2x C S =

1 + sin2x D S= tan

2x.

Lời giải

Ta cóS= 1−sin2x+ sin4x−sin6x+· · ·+ (−1)n·sin2nx+· · ·

| {z }

CSNlvh:u1=1, q=−sin2x

=

1 + sin2x

Chọn đáp án C

Câu 95 Thu gọn S = 1−tanα+ tan2α−tan3α+· · · với 0< α < π A S =

1−tanα B S =

cosα √ sin α+ π C S = tanα

1 + tanα D S = tan

(30)

Lời giải

Ta cótanα∈(0; 1)với α∈0;π

,do S= 1−tanα+ tan2α−tan3α+

| {z }

CSN:u1=1, q=−tanα

=

1 + tanα =

cosα sinα+ cosα =

cosα

√

2 sinα+π

Chọn đáp án B

Câu 96 Cho m,n số thực thuộc(−1; 1)và biểu thức: M = +m+m2+m3+· · ·

N = +n+n2+n3+· · ·

A= +mn+m2n2+m3n3+· · ·

Khẳng định đúng? A A= M N

M+N−1 B A=

M N M +N + C A=

M + N −

1

M N D A=

1 M +

1 N +

1 M N Lời giải

Ta có   

 

M = 1−m N =

1−n

⇒

  

 

m= 1−

M n= 1−

N

,khi

A= 1−mn =

1

1−

Å

1−

M

ã Å

1−

N

ã =

M N M+N −1

Chọn đáp án A

Câu 97 Số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,5111· · · biểu diễn phân số tối giản a

b Tính tổng T =a+b

A 17 B 68 C 133 D 137

Lời giải

Ta có0,5111· · ·= 0,5 + 10−2+ 10−3+· · ·+ 10−n+· · · Dãy số10−2; 10−3; .; 10−n; cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu bằngu1 = 10−2,công bội q = 10−1 nên S =

u1

1−q =

10−2 1−10−1 =

1 90 Vậy 0,5111 .= 0,5 +S= 46

90 = 23 45 ⇒

®

a= 23

b= 45 ⇒T =a+b= 68

Chọn đáp án B

Câu 98 Số thập phân vô hạn tuần hoàn A = 0,353535 biểu diễn phân số tối giản a b Tính T =ab

A 3456 B 3465 C 3645 D 3546

Lời giải

Ta có0,353535 .= 0,35 + 0,0035 +· · ·= 35 102 +

35

104 +· · ·+

35 10n +· · · Dãy số 35

102;

35 104; .;

35

10n; cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu bằngu1 = 35

102,công bội

q= 10−2 nên S = u1 1−q =

35 102

1−10−2 =

35 99

Vậy0,353535 .= 35 99 ⇒

®

a= 35

b= 99 ⇒T =ab= 3465

Chọn đáp án B

Câu 99 Số thập phân vơ hạn tuần hồn B = 5,231231 biểu diễn phân số tối giản a b Tính T =a−b

A 1409 B 1490 C 1049 D 1940

(31)

B = 5,231231 .= + 0,231 + 0,000231 +· · ·

= + 231 103 +

231

106 +· · ·= +

231 103

1−

103

= + 231 999 =

1742 333 ⇒

®

a= 1742

b= 333 ⇒T = 1409

Chọn đáp án A

Câu 100 Số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,17232323 biểu diễn phân số tối giản a

b Khẳng định đúng?

A a−b >215 B a−b >214 C a−b >213 D a−b >212 Lời giải

Ta có

0,17232323 .= 0,17 + 23

Å

1 104 +

1 106 +

1 108 +· · ·

ã

= 17

100+ 23· 10000 1−

100 = 17

100+ 23 100·99 =

1706 9900 =

853 4950

⇒

®

a= 853 b= 4950 ⇒2

12< T = 4097<213.

Chọn đáp án D

Câu 101 lim1 + + +· · ·+ 2n+ 3n2+ 4

A

3 B C

1

3 D +∞

Lời giải

Ta có1 + + +· · ·+ (2n+ 1) = (1 + 2n+ 1)(n+ 1)

2 = (n+ 1)

2.

lim1 + + +· · ·+ (2n+ 1) 3n2+ 4 = lim

(n+ 1)2

3n2+ 4 = lim

1 + n+

1 n2

3 + n2

=

Chọn đáp án C

Câu 102 Trong giới hạn sau, giới hạn bằng−1? A lim 2n

2−3

−2n3−4 B lim

2n3−3

−2n2−1 C lim

2n2−3

−2n3+ 2n2 D lim

2n2−3

−2n2−1

Lời giải Ta cólim 2n

2−3

−2n2−1 = lim

2−

n2

−2−

n2

=−1

Chọn đáp án D

Câu 103 lim1 + + +· · ·+ 2n+ 3n2+ 4

A

3 B C

1

3 D +∞

Lời giải

Ta có1 + + +· · ·+ (2n+ 1) = (1 + 2n+ 1)(n+ 1)

2 = (n+ 1)

2.

lim1 + + +· · ·+ (2n+ 1) 3n2+ 4 = lim

(n+ 1)2 3n2+ 4 = lim

1 + n+

1 n2

3 + n2

=

Chọn đáp án C

Câu 104 A lim1 + n+1

1−3n B lim

Å1

n −

√

n n+

ã

C limn √n+ 1−√2n+ D lim1−3n

2

(32)

Lời giải

XétL= limn √n+ 1−√2n+

= limn√n

Ç…

1 + n −

…

2 + n

å

có limn√n= +∞

lim

Ç…

1 +1 n−

…

2 +1 n

å

= 1−√2<0

Suy raL=−∞

Chọn đáp án C

Câu 105 Phát biểu phát biểu sau làsai?

A limun=c (un=clà số) B limqn= (|q|>1)

C lim

nk = (k >1) D lim n = Lời giải

Ta cólimqn= với|q|<1 Suy limqn= (|q|>1) sai

Chọn đáp án B

Câu 106 limÄ√n2−3n+ 1−näbằng

A −3 B −3

2 C D +∞

Lời giải Ta có

limÄpn2−3n+ 1−nä= lim√ −3n+

n2−n+ +n = lim

−3 + n

…

1−

n + n2 +

=−3

2

Chọn đáp án B

Câu 107 lim

√

n+ n+

A B +∞ C D

2 Lời giải

Ta cólim

√

n+ n+ = lim

√

n n +

2 n +

n =

Chọn đáp án C

Câu 108 Giá trị B= lim4n

2+ 3n+ 1

(3n−1)2

A

9 B

4

3 C D

Lời giải Ta cólim4n

2+ 3n+ 1

(3n−1)2 = lim

4n2+ 3n+ 1

9n2−6n+ 1 = lim

4 + n +

1 n2

9−

n + n2

=

Chọn đáp án A

Câu 109 Giới hạnlim5

√

3n2+n

2(3n+ 2) = a√3

b (vớia,blà số nguyên dương a

b phân số tối giản) Tính T =a+b

A T = 21 B T = 11 C T = D T =

Lời giải

lim5

√

3n2+n

2(3n+ 2) = lim

…

3 + n

Å

3 + n

ã =

(33)

Vậya= 5,b= 6,T =a+b= 11

Chọn đáp án B

Câu 110 Giá trị lim

ï 1

n2 +

2 n2 +

3

n2 +· · ·+

n n2

ò

bằng

A B C

3 D

1 Lời giải

lim

ï 1

n2 +

2 n2 +

3

n2 +· · ·+

n n2

ò

= lim1 + + +· · ·+n

n2 = lim

ïn(n+ 1)

2n2

ò

= lim

Å1

2+ 2n

ã

= 2+ =

1

Chọn đáp án D

Câu 111 Tính giới hạn L= lim 2n+ +n−n2

A L=−∞ B L=−2 C L= D L=

Lời giải

Ta có:L= lim 2n+

2 +n−n2 = lim

n+

1

n2

2

n2 +

1

n−1 =

Chọn đáp án D

Câu 112 Dãy số sau có giới hạn bằng0? A un=

n2−2

5n+ 3n2 B un=

n2−2n

5n+ 3n2 C un=

1−2n

5n+ 3n2 D un=

1−2n2 5n+ 3n2

Lời giải

Giới hạn dãy số có lũy thừa tử thức nhỏ lũy thừa mẫu thức bằng0 Do đó, dãy số có giới hạn bằng0 làun=

1−2n 5n+ 3n2

Chọn đáp án C

Câu 113 Tínhlim n+ 1 2·2n+ 3

A B C D

2 Lời giải

Ta cólim n+ 1

2·2n+ 3 = lim +

2n +

2n

= + + =

1

Chọn đáp án D

Câu 114 Cho dãy số (un),(vn) vàlimun=a,limvn= +∞ thìlim un

bằng

A B C −∞ D +∞

Lời giải

Ta cólimun=a,limvn= +∞ thìlim un

=

Chọn đáp án B

Câu 115 Giá trị giới hạnlim3 + 2n n+

A B −∞ C D

Lời giải

Ta cólim3 + 2n n+ = lim

3 n+ +

n =

Chọn đáp án D

Câu 116 Trong giới hạn sau đây, giới hạn có giá trị bằng1? A lim3

n+1+ 2n

5 + 3n B lim

3n2+n 4n2−5

C lim√n2+ 2n−√n2+ 1. D. lim2n 3+ 3

(34)

Lời giải

lim√n2+ 2n−√n2+ = lim n

2+ 2n−n2−1

√

n2+ 2n+√n2+ 1 = lim

n

Å

2−

n

ã

n

Ç…

1 + n+

…

1 + n2

å =

2

1 + =

Chọn đáp án C

Câu 117 Tínhlim5n+ 2n−1

A B +∞ C D

2 Lời giải

Ta cólim5n+ 2n−1 = lim

5 + n 2−

n =

2

Chọn đáp án D

Câu 118 Tính giới hạn lim2n+ 3n+ A

3 B

3

2 C

1

2 D

Lời giải

lim2n+ 3n+ = lim

n

Å

2 +1 n

ã

n

Å

3 +2 n

ã = lim

2 + n + n

=

Chọn đáp án A

Câu 119 Dãy số (un) xác định   

 

u1=

1 un+1 =

n+ 3n ·un

và dãy số (vn) xác định  



v1 =u1

vn+1 =vn+ un

n Tínhlimvn

A B

6 C

1

6 D

1 Lời giải

Từun+1 =

n+

3n ·un⇔ un+1

n+ = ·

un

n nên dãy un

n

là cấp số nhân với công bộiq = Lại cóvn+1=vn+

un

n ⇔vn+1−vn= un

n Suy

v2−v1 =

u1

1 v3−v2 =

u2

2 vn+1−vn=

un n

Cộng vế theo vế ta đượcvn+1−v1=

u1

1 + u2

2 +· · ·+ un

n = u1

ï

1−

Å

1

ãnò

1−1

3

Do vn+1 =

1

ï

1−

Å

1

ãnò

+v1 =

1

ï

1−

Å

1

ãnò

+1 Từ ta đượclimvn= lim

ï1

2

ï

1−

Å1

3

ãnò

+

ò

= +

1 =

5

Chọn đáp án B

Câu 120 Tính giới hạn lim

√

4n2+ 1−√n+ 2

(35)

A +∞ B C D Lời giải

Ta cólim

√

4n2+ 1−√n+ 2

2n−3 = lim

…

4 + n2 −

…

1 n+

2 n2

2−

n

=

√

4 =

Chọn đáp án B

Câu 121 lim x→22018

x2−42018 x−22018

A 22019 B 22018 C D +∞

Lời giải Ta có

lim x→22018

x2−42018

x−22018 =x→lim22018

(x−22018)(x+ 22018)

x−22018 =x→lim22018(x+

2018) = 22018+ 22018= 22019.

Chọn đáp án A

3−2n

3n2+n−2

A L= +∞ B L= C L=

3 D L=−∞

Lời giải

Ta cóL= lim n

3−2n

3n2+n−2 = lim

n3

Å

1−

n2

ã

n2

Å

3 + n −

2 n2

ã = lim



 n·

Ö

1−

n2

3 + n−

2 n2

è 

= +∞,

vì      

    

limn= +∞

lim

1−

n2

3 + n−

2 n2

= 1−2·0 + 0−2·0 =

1 >0

Chọn đáp án A

3−2n

3n2+n−2

A L= +∞ B L= C L=

3 D L=−∞

Lời giải

Ta cóL= lim n

3−2n

3n2+n−2 = lim

n3

Å

1−

n2

ã

n2

Å

3 + n −

2 n2

ã = lim



 n·

Ö

1−

n2

3 + n−

2 n2

è 

= +∞,

vì      

    

limn= +∞

lim

1−

n2

3 + n−

2 n2

= 1−2·0 + 0−2·0 =

1 >0

Chọn đáp án A

Câu 124 Có tất giá trị nguyên tham số athuộc khoảng(0; 2019) đểlim

9n+ 3n+1 5n+ 9n+a ≤

2187?

A 2018 B 2011 C 2012 D 2019

(36)

Do

n+ 3n+1

5n+ 9n+a >0,∀n∈N ∗ nên

lim

9n+ 3n+1 5n+ 9n+a =

lim9

n+ 3n+1

5n+ 9n+a =

œ

lim + 3·

Å1

3

ãn

Å

5

ãn

+ 9a =

…

1 9a =

1 3a

Theo đề ta có lim

9n+ 3n+1 5n+ 9n+a ≤

1 2187 ⇔

1 3a ≤

1 2187 ⇔3

a ≥2187⇔a≥7.

Màa∈Zvà a∈(0; 2019) nên a∈ {7; 8; 9; .; 2018} Vậy số giá trị nguyênalà2018−7 + = 2012

Chọn đáp án C

Câu 125 Tính tổngS cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầuu1 = 1và công bội q=−

1

A S = B S =

3 C S =

3

2 D S=

Lời giải S= u1

1−q =

1 +1

=

Chọn đáp án B

Câu 126 Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầuu1= cơng sai d= TìmL= lim

n un

A

3 B

1

2 C D

Lời giải

Số hạng tổng quátun=u1+ (n−1)d= + (n−1)3 = 3n−1

Ta cóL= lim n un

= lim n

3n−1 = lim

3−

n =

3

Chọn đáp án A

Câu 127 lim

Å

1 n2 +

2

n2 +· · ·+

n n2

ã

bằng

A B

2 C

1

3 D

Lời giải Ta có

n2 +

2

n2 +· · ·+

n n2 =

1 + +· · ·+n

n2 =

n(n+ 1) n2 =

n+ 2n Do lim

Å 1

n2 +

2

n2 +· · ·+

n n2

ã

= limn+ 2n = lim

n

Å

1 + n

ã

2n =

1

Chọn đáp án B

n un

A

3 B

1

2 C D

Lời giải

Số hạng tổng quátun=u1+ (n−1)d= + (n−1)3 = 3n−1

Ta cóL= lim n un

= lim n

3n−1 = lim

3−

n =

3

(37)

Câu 129 lim

Å 1

n2 +

2

n2 +· · ·+

n n2

ã

bằng

A B

2 C

1

3 D

Lời giải Ta có

n2 +

2

n2 +· · ·+

n n2 =

1 + +· · ·+n

n2 =

n(n+ 1) n2 =

n+ 2n Do lim

Å

1 n2 +

2

n2 +· · ·+

n n2

ã

= limn+ 2n = lim

n

Å

1 + n

ã

2n =

1

Chọn đáp án B

Câu 130 lim

5n+

A B

3 C +∞ D

1 Lời giải

Ta cólim

5n+ =

Chọn đáp án A

Câu 131 lim

5n+ A

5 B C

1

2 D +∞

5n+ = lim

1

n

5 +n2 =

Chọn đáp án B

Câu 132 lim

2n+ A

7 B +∞ C

1

2 D

2n+ = lim n +

n =

2 =

Chọn đáp án D

Câu 133 lim

2n+ A

2 B C +∞ D

1 Lời giải

Ta cólim

2n+ = lim n +

n =

Chọn đáp án B

Câu 134 Cho cấp số nhân lùi vơ hạn(un) có cơng bội q6= 0, có tổngS = 12vàu3=−2u4 Tìm số hạng

đầu u1 cấp số nhân(un)

A u1= 18 B u1= C u1 = 24 D u1 =

Lời giải

Ta cóu3 =−2u4 ⇒u4 =−

1

2u3 ⇒q=− S= 12⇔ u1

1 +1

= 12⇒u1 = 18

(38)

Câu 135 lim

Å 1

5·9 +

9·13 +· · ·+

1

(4n+ 1)(4n+ 5)

ã

bằng A

4 B

1

5 C

1

36 D

1 20 Lời giải

lim

Å 1

5·9 +

9·13 +· · ·+

1

(4n+ 1)(4n+ 5)

ã

= lim1 ·

Å1

5− 9+

1 −

1

13 +· · ·+ 4n+ 1−

1 4n+

ã

= lim1 ·

Å

1 5−

1 4n+

ã

= 20

Chọn đáp án D

Câu 136 Tínhlim2018n+ n−3 A −1

3 B 2018 C +∞ D

Lời giải

Ta cólim2018n+ n−3 = lim

2018 + n 1−

n

= 2018

Chọn đáp án B

Câu 137 Xét khẳng định sau

1 Tồn số tự nhiênnthỏa mãn +1 2+

1 22 +

1

23 +· · ·+

1

2n >2,1

1 22 +

1

23 +· · ·+

1 2n =

1 22 +

1

23 +· · ·+

1

2n >1,99999

Số khẳng định

A B C D

Lời giải

Xét dãy sốun= + 2+

1 22 +

1

23 +· · ·+

1

2n Khi đó,un dãy số tăng Mặt khác, theo công thức tổng cấp số nhân lùi vơ hạn ta có lim

n→+∞un= 1−1

2

=

Do đó, có mệnh đề “Tồn số tự nhiênnthỏa mãn +1 2+

1 22 +

1

23 +· · ·+

1

2n >1,99999”

Chọn đáp án B

Câu 138 Cho dãy số(un)xác định bởi:

®

u1 = 2, u2 =

un+2= 2un+1−un+ (n≥1)

Tính lim n→+∞

un n2

A

5 B

5

2 C

2

3 D

3 Lời giải

Ta cóun+2= 2un+1−un+ 5⇒un+2−un+1 =un+1−un+ (n≥1) Đặtvn=un+1−un ta đượcvn+1=vn+ (n≥1)

Suy dãy số(vn) cấp số cộng có cơng said= vàv1 =u2−u1= 4−2 =

(39)

Từ

u2−u1 =

u3−u2 =

u4−u3 = 12

un+1−un= 5n−3

Suy raun+1−u1= + + 12 + .+ (5n−3) =

n[2 + (5n−3)]

2 =

n(5n−1)

2

Từ ta cóun+1=

n(5n−1)

2 +u1 =

n(5n−1) + =

5n2−n+

2

Bởi vậyun=

5n2−11n+ 10

2 Do lim

n→+∞ un

n2 =n→lim+∞

5n2−11n+ 10

2n2 =n→lim+∞

Å

5 −

11 2n+

5 n2

ã

=

Chọn đáp án B

Câu 139 lim2n

2−3

n2−1

A

2 B C D

Lời giải Ta cólim2n

2−3

n2−1 = lim

2−

n2

1−

n2

=

Chọn đáp án B

Câu 140 Tínhlim2n+ n+

A B C

2 D +∞

Lời giải

Ta cólim2n+ n+ = lim

2 + n + n

=

Chọn đáp án A

Câu 141 lim 1−n 1−3n2

A B C −1

3 D

1 Lời giải

Ta cólim 1−n

1−3n2 = lim

1 n2 −

1 n n2 −3

=

Chọn đáp án B

Câu 142 Dãy số có giới hạn bằng0 ? A (1,01)n B

Ç√

5

ån

C

Å1

3

ãn

D

Å5

3

ãn

Lời giải

Ta biết nếu|q|<1thì limqn=

Chọn đáp án C

Câu 143 lim n→+∞

2n+

−n+

(40)

Lời giải lim n→+∞

2n+

−n+ =n→lim+∞ +1

n

−1 + n

=−2

Chọn đáp án D

Câu 144 Cho dãy số(un) thỏa mãn

®

u1=

un= 3un−1 với n≥2

ĐặtSn= u1

+ u2

+ u3

+ .+ un

Tìm limSn

A +∞ B

4 C

3

8 D −∞

Lời giải

Xét dãy(un) thỏa mãn

®

u1 =

un= 3un−1 (với n≥2)

là cấp số nhân với

®

u1=

q =

Đặtvn= un

, dãy(vn) cấp số nhân với   

 

v1=

1 q=

3

Ta có(vn)là cấp số nhân lùi vô hạn nên Sn= v1

1−q =

4 hay limSn=

Chọn đáp án B

Câu 145 Chọn mệnh đề mệnh đề sau

A Nếulimun= thìlim|un|= B Nếu lim|un|= +∞ limun=−∞

C Nếu lim|un|= +∞ thìlimun= +∞ D Nếulimun=−a thìlim|un|=a Lời giải

Xét dãy số(un)cho bởiun=n2 Ta cólimun= lim|un|= lim

n2= limn2= +∞nên mệnh đề “Nếu lim|un|= +∞thì limun=−∞” sai

Xét dãy số (un) cho un = −n2 Ta có lim|un|= lim −n2

= limn2 = +∞ limun =−∞ nên mệnh đề “Nếulim|un|= +∞ limun= +∞” sai

Xét dãy số (un) cho un = n

n+ Ta có lim n

n+ = lim

n n+

= nên mệnh đề “Nếu limun=−athìlim|un|=a” sai

Chọn đáp án A

Câu 146 Tính giới hạn L= lim3n+ 2017 2n+ 2018 A L=

2 B L=

2

3 C L= D L=

2017 2018 Lời giải

Ta có

L= lim3n+ 2017 2n+ 2018 = lim

3 +2017 n +2018

n =

2

Chọn đáp án A

Câu 147 Cho dãy số(un)xác định

®

u1=−5

un+1 = 5un−20, ∀n∈N∗

TínhI = lim(un+ 2·5n)

A I = 100 B I =−∞ C I =−100 D I = Lời giải

Từun+1 = 5un−20⇔ un+1−5 = (un−5) Đặt =un−5 ta vn+1 = 5vn Suy (vn) cấp số nhân có công bội q = 5và v1 =u1−5 =−5−5 =−10 Công thức tổng quát của(vn) vn=−10·5n−1 hay un=−10·5n−1+

Do I = lim(un+ 2·5n) = lim(−10·5n−1+ + 2·5n) = lim =

(41)

Câu 148 Tính giới hạn L= lim2n+ n−1

A L= B L=−3 C L=−2 D L=

Lời giải

Ta cóL= lim2n+ n−1 = lim

n

Å

2 + n

ã

n

Å

1−

n

ã = lim

2 + n 1−

n =

Chọn đáp án A

Câu 149 Mệnh đề sau đúng? A lim1

n = +∞ B lim(−2n+ 1) =−∞

C lim2−n

3n2 =−∞ D lim

−3

−2n+ = Lời giải

Ta có:lim1 n = lim(−2n+ 1) = lim

Å

n

Å

−2 +1 n

ãã

=−∞

lim2−n 3n2 = lim

n2

Å 2

n2 −

1 n

ã

3n2 = lim

2 n2 −

1 n =

lim −3

−2n+ = lim

−3 n

−2 +1 n

=

−2 + =

Chọn đáp án B

®

u1=

un+1 = 2un+

.Tính giới hạn I = lim un 2n−1

A I =

2 B I = C I = D I =

1 Lời giải

Đặtvn=un+ Từ un+1= 2un+ 5⇔un+1+ = 2(un+ 5)⇔vn+1 = 2vn với v1=u1+ =

Ta cóvn= 2n−1v1= 3·2n⇒un= 3·2n−5 Do I = lim un

2n−1 =

3·2n−5 2n−1 =

3−

2n 1−

2n =

Chọn đáp án C

Câu 151 Cho dãy số(un)xác định bởi:u1 = 2,un+1 =

√

2 +unvới mọinnguyên dương Tínhlimun

A B C √2 D −1

Lời giải

Ta chứng minh quy nạp rằngun= với mọin∈N∗ Vớin= 1, ta cóu1 =

Giả sửun= với mọin≤k Ta cóuk+1 =

√

2 +uk=

√

2 + =

Theo nguyên lý quy nạp, ta có un= với mọin∈N∗ Do limun=

Chọn đáp án A

Câu 152 Biếtlim

√

2·4n+ 1−2n

√

2·4n+ + 2n =a+b

√

2, vớia, b∈Z Tính giá trị biểu thức T =a3+b3

A T = 19 B T = 35 C T = D T = 17

Lời giải

lim

√

2·4n+ 1−2n

√

2·4n+ + 2n = lim

…

2 + 4n −1

…

2 + 4n +

=

√

2−1

√

2 + = 3−2

√

2 Suy raa= vàb=−2

(42)

Chọn đáp án A

Câu 153 Cho dãy số (un) thỏa mãnu1 = un+1 =u2n−3un+ 4, ∀n∈ N∗ Biết dãy số (un) tăng không bị chặn Đặt vn=

1 u1−1

+

u2−1

+

u3−1

+· · ·+ un−1

, ∀n∈N∗ Tìm lim x→+∞vn

A −∞ B +∞ C D

Lời giải

Ta cóun+1=u2n−3un+ 4⇒un+1−2 =u2n−3un+ = (un−1)·(un−2)

⇔

un+1−2

=

(un−1)·(un−2)

⇔

un+1−2

=

nn−2

−

un−1

⇔

un−1

=

nn−2

−

un+1−2

Suy ravn=

1 u1−2

−

u2−2

+

u2−2

−

u3−2

+· · ·+ un−2

−

un+1−2

=

u1−2

−

un+1−2

Do lim

x→+∞vn= limx→+∞

Å 1

u1−2

−

un+1−2

ã

=

u1−2

=

Chọn đáp án C

Câu 154 Tính giá trị lim n→∞

2n+ n−1

A B C −1 D −2

Lời giải lim n→∞

2n+

n−1 = limn→∞ +

n 1−

n =

Chọn đáp án B

Câu 155 Tínhlim2n+ n−1

A +∞ B C

2 D −1

Lời giải

lim2n+ n−1 = lim

2 +1 n 1−

n =

Chọn đáp án B

Câu 156 Kết củalim 2−5 n+2

3n+ 2·5n

A B −5

2 C

5

2 D −

25 Lời giải

lim 2−5 n+2

3n+ 2·5n = lim 5n −5

2

Å3

5

ãn

+

=−25

2

Chọn đáp án D

Câu 157 Cho dãy số(un)thỏa mãn

®

u1=

un+1 =un+ 2(n+ 1) với n= 1,2,3, Khi lim

n→+∞

Å 1

u1

+ u2

+· · ·+ un

ã

bằng

A B +∞ C D

Lời giải

Ta có un = un−1 + 2n = un−2 + 2(n−1) + 2n = · · · = u1+ 2·2 + 2·3 +· · ·+ 2n = n(n+ 1), suy

lim n→+∞

Å

1 u1

+ u2

+· · ·+ un

ã

= lim n→+∞

Å

1−1

2 + −

1

3+· · ·+ n−

1 n+

ã

= lim n→+∞

n

n+ =

(43)

Câu 158 Biếtlim2an

3−6n2+ 2

n3+n = 4vớialà tham số thực Khi đó, tính giá trị củaM =a 4−a.

A M = 10 B M = C M = 12 D M = 14

Lời giải Ta cólim2an

3−6n2+ 2

n3+n = lim

n3 2a−6

n+

2

n3

n3 1 +

n2

= lim 2a−6

n+

2

n3 +n12

= 2a, suy 2a= 4⇔a=

Vậy ta cóM =a2−a= 24−2 = 14

Chọn đáp án D

Câu 159 Cho tổng S= +1 +

1 +

1

8 + +

2n+ Tổng S

A ∞ B C D

Lời giải Ta có

S = +1 +

1 +

1

8 + + 2n + = +

Å

1 +1 +

1 +

1

8 + + 2n+

ã

= + 1−1

2 =

Chọn đáp án C

Câu 160 Cho dãy số(un)có limun= Tính giới hạnlim

3un−1 2un+ A −1

5 B

3

2 C

5

9 D +∞

Lời giải

Ta cólim3un−1 2un+

= 3·2−1 2·2 + =

5

Chọn đáp án C

Câu 161 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn:−1

2, 4,−

1 8, ,

(−1)n 2n ,

A −1 B

2 C −

1

4 D −

1 Lời giải

Cấp số nhân lùi vơ có số hạng đầuu1 =−

1

2, công bộiq=−

2 Tổng cấp số nhân vô hạn làS= u1

1−q =−

Chọn đáp án D

Câu 162 Khi biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn P = 0,323232 .= 0,(32)dưới dạng phân số tối giảnP = m

n m, N ∈N

∗ Tính hiệu H=n−3m.

A B −3 C D 67

Lời giải Ta có

0,(32) = 32

Å

1 100+

1 1002 +

1

1003 +· · ·

ã

= 32·

1 100

1− 100

= 32 99

Do n−3m= 99−3·32 =

Chọn đáp án C

Câu 163

Cho 4ABC có cạnh Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC,

CA,AB ta được4A1B1C1 Tương tự4A2B2C2 có đỉnh trung điểm

các cạnh B1C1, C1A1, A1B1 Quá trình lặp lại sau n bước (n ∈ N∗) ta

(44)

A

√

3

4 B

11√3

36 C

100√3

299 D

19√3 240 Lời giải

Ta có tam giác cạnhacó diện tích a

2√3

4 MàAnBn=

1

2·An−1Bn−1 nên Sn=

4 ·Sn−1 Hay(Sn) cấp số nhân công bộiq=

1 Ta cólimTn=

√

3 ·

1

1−1

4 =

√

3 <

100√3 299

Chọn đáp án C

Câu 164 Dãy số sau có giới hạn bằng0?

A 1−4n B n

3−3n

n+ C

n+

n2 D

1−2n3 n3+ 5n

Lời giải Ta cólimn+

n2 = lim

Å1

n+ n2

ã

=

Chọn đáp án C

Câu 165 Tam giác mà ba đỉnh ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC gọi tam giác trung bình tam giác ABC Ta xây dựng dãy tam giác A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, cho

A1B1C1 tam giác giác cạnh bằng3 với số nguyên dươngn≥2, tam giácAnBnCnlà tam giác trung bình tam giácAn−1Bn−1Cn−1 Với số nguyên dươngn, kí hiệuSn tương ứng diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giácAnBnCn Tính tổngS =S1+S2+· · ·+Sn+· · ·?

A S = 15π

4 B S = 4π C S =

9π

2 D S= 5π

Lời giải Ta có: S1 = π·

Ç

3· √

3

å2

= 3π; S2 = π·

Ç

3 ·

√

3

å2

= 3π =

1 ·S1; S3=π·

Ç

3 ·

√

3

å2

= 3π 16 =

1 ·S2

Ta cóS1;S2;S3; ;Sn; tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu làS1= 3π công bội q=

1 Suy raS =S1+S2+· · ·+Sn+· · ·=

Sn 1−q =

3π 1−1

4

= 4π C

C1

B2

A

B A1

B1

A2

C2

Chọn đáp án B

Câu 166 Tínhlimsin 2018n n

A B C +∞ D 2018

Lời giải

Ta có−16sin 2018n61⇔ −1

n

sin 2018n

n

1 n Vìlim

Å

−1

n

ã

= lim1

n = nênlim

sin 2018n n =

Chọn đáp án A

Câu 167 Trong giới hạn hữu hạn sau, giới hạn có giá trị khác với giới hạn lại? A lim3n−1

3n+ B lim

2n2+

2n2−3 C lim

3n+

−3n+ D lim

n+ n−1 Lời giải

Ta có lim3n−1

3n+ = lim 3−

n + n

= 1; lim2n

2+ 1

2n2−3 = lim

2 + n2

2−

n2

= 1; lim 3n+

−3n+ = lim +

n

−3 + n

(45)

limn+ n−1 = lim

1 + n 1−

n =

Chọn đáp án C

Câu 168 Nếulimun=L (vớiun≥ −9với ∀n∈N∗) thìlim

√

un+ 9có giá trị bao nhiêu?

A √L+ B L+ C L+ D √L+

Lời giải

Theo lý thuyết,lim√un+ =

√

L+

Chọn đáp án A

Câu 169 Giới hạnlimsinn+ n

A +∞ B C −∞ D

Lời giải

Với n >0 thì|sinn+ 1| ≤2 Do đó, với n >0, ta có 0≤

sinn+ n

≤

n Từ

0≤lim

sinn+ n

≤lim2

n = 0⇒lim

sinn+ n

= 0⇒limsinn+ n =

Chọn đáp án D

Câu 170 Cho dãy số (un) thỏa mãn: u1 = 1; un+1 =

…

2 3u

2

n+a,∀n∈ N∗ Biết lim(u21+u22+· · ·+

u2n−2n) =b Giá trị biểu thứcT =ablà

A −2 B −1 C D

Lời giải Ta có∀n∈N∗, un+1=

…

2 3u

2

n+a⇒u2n+1−3a=

2 3(u

2

n−3a)

Đặtvn=u2n−3a thì(vn) cấp số nhân vớiv1 = 1−3avà cơng bội q=

2 Do vn=

Å

2

ãn−1

(1−3a)⇒u2n=vn+ 3a=

Å

2

ãn−1

(1−3a) + 3a

Suy rau21+u22+· · ·+u2n−2n= (1−3a) 1−

Å2

3

ãn

1−2

3

−2n+ 3na = 3(1−3a)

ï

1−

Å2

3

ãnị

−n(3a−2)

Vìlim(u21+u22+· · ·+u2n−2n) =b nên lim

ï

3(1−3a)

Å

1−

Å2

3

ãnã

−n(3a−2)

ị

=b⇔

®

3a−2 = b= 3(1−3a) ⇔

 

 a=

3 b=−3 Suy raT =ab=−2

Chọn đáp án A

Câu 171 Giới hạnlim5

√

3n2+n

2 (3n+ 2) = a√3

b (vớia, blà số nguyên dương a

b phân số tối giản) Tính T =a+b

A T = B T = 21 C T = D T = 11

Lời giải

lim5

√

3n2+n

2 (3n+ 2) = lim n

Ç

5

…

3 + n

å

n

Å

6 +4 n

ã =

5√3 ⇒

®

a= b=

VậyT =a+b= 11

(46)

Câu 172 Có giá trị nguyên tham số a thuộc khoảng (0; 2018) để có lim

9n+ 3n+1 5n+ 9n+a ≤

2187?

A 2011 B 2016 C 2019 D 2009

Lời giải Ta có

lim

9n+ 3n+1 5n+ 9n+a = lim

œ

1 +

Å

3

ãn

Å5

9

ãn

+ 9a =

3a

Nên:

lim

9n+ 3n+1 5n+ 9n+a ≤

1 2187 ⇔

1 3a ≤

1 2187

⇔ 3a≥2187

⇔ 3a≥37

⇔ a≥7

Do đó, khoảng (0; 2018)có 2011giá trị nguyên tham sốathỏa mãn đề

Chọn đáp án A

Câu 173 lim3n−2 n+ A −2

3 B C D −2

Lời giải Ta có 3n−2

n+ = 3−

n + n

Ta có    

  

lim

Å

3−2

2

ã

=

lim

Å

1 + n

ã

=

⇒lim3n−2 n+ =

Chọn đáp án C

Câu 174 Giá trị A= lim2n+ n−2

A +∞ B −∞ C D

Lời giải

A= lim2n+ n−2 = lim

2 + n 1−

n =

Chọn đáp án C

®

u1 = 2018

un+1=un(u2017n + 1), ∀n∈N

∗ Tính giới hạnL= 2018 lim

Ö

u20171

√

u2+

u2

√

u1

+ u

2017

√

u3+

u3

√

u2

+· · ·+ u

2017

n+1

√

un+1+

un+1

√

un

è

A 20182 B 2018 C √2018 D 2018√2018

Lời giải

Ta cóun+1=un(u2017n + 1)⇔u2018=un+1−un⇔u2017n =

un+1−un un

(47)

u2017n

√

un+1+

un+1

√

un

= un+1−un un

Å

√

un+1+

un+1

√

un

ã

= (

√

un+1−

√

un)(

√

un+1+

√

un)

√

un+1un(

√

un+1+

√

un)

=

√

un+1−

√

un

√

un+1un

= √1

un

−√

un+1

Giả sửlimun=a >0 hữu hạn, ta cóun+1 =un(u2017n + 1), ∀n∈N∗ nên a=a(a2017+ 1) (vơ lý a >0), nênlimun= +∞

L = 2018 lim

Ç

1

√

u1

−√1

u2

+ √1

u2

−√1

u3

+· · ·+√1

un

−√

un+1

å

= 2018 lim

Ç

1

√

u1

−√

un+1

å

= 2018·√1

2018 =

√

2018

Chọn đáp án C

Câu 176 Tính tổngS cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầuu1 = 1và công bội q=−

1

A S = B S =

2 C S = D S=

2 Lời giải

Tổng cấp số nhân cho S= u1 1−q =

1

1 +1

=

Chọn đáp án D

Câu 177 Tìm giới hạnI = lim3n−2 n+ A I =−2

3 B I = C I = D I =−2

Lời giải I = lim3n−2

n+ = lim 3−

n + n

=

Chọn đáp án C

Câu 178 TínhL= lim1−2n 3n+ A L=−2

3 B L=

1

3 C D

2 Lời giải

Ta cóL= lim1−2n 3n+ 1= lim

1 n−2 + n

=−2

3

Chọn đáp án A

Câu 179 Vớinlà số nguyên lớn 2, đặtSn= C3

3

+ C3

4

+ C3

5

+· · ·+ C3

n

TínhlimSn

A B

2 C D

1 Lời giải

Ta có

C3n= n!

(n−3)!·3! =

n(n−1)(n−2)

(48)

Do

Sn = C3

3

+ C3

4

+ C3

5

+· · ·+ C3

n

=

3·2·1+ 4·3·2 +

6

5·4·3 +· · ·+

6

n(n−1)(n−2)

=

ï

2 1·2·3+

2 2·3·4 +

2

3·4·5 +· · ·+

2

(n−2)(n−1)n

ò

Lại có

2

1·2·3 = 1·2 −

1 2·3,

2·3·4 = 2·3 −

1 3·4,

3·4·5 = 3·4 −

1 4·5,

2

(n−2)(n−1)n =

1

(n−2)(n−1)− n(n−1)

Suy raSn=

Å

1 1·2 −

1 n(n−1)

ã

Vậy nênlimSn=

3

Chọn đáp án B

Câu 180 Giới hạnlim 1−n

2

2n2+ 1

A B

2 C

1

3 D −

1 Lời giải

Ta cólim 1−n

2

2n2+ 1 = lim

1 n2 −1

2 + n2

=−1

2

Chọn đáp án D

Câu 181 Tam giác mà ba đỉnh trung điểm cạnh tam giácABC gọi tam giác trung bình tam giácABC

Ta xây dựng dãy tam giácA1B1C1,A2B2C2,A3B3C3, choA1B1C1 tam giác cạnh

3và với số nguyên dươngn≥2, tam giácAnBnCnlà tam giác trung bình tam giácAn−1Bn−1Cn−1

Với số nguyên dươngn, kí hiệuSn tương ứng diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giácAnBnCn Tính tổngS =S1+S2+· · ·+Sn+· · ·

A S = 15π

4 B S = 4π C S =

9π

2 D S= 5π

Lời giải

Với tam giác đềuAnBnCn có cạnhan dãy tam giác đề cho, ta có Đường trịn ngoại tiếp tam giácAnBnCn có bán kínhRn=OAn=

an

√

3

3 diện tíchSn= πa2n

3 Ngoài An+1 trung điểm cạnh BnCn nên OAn+1 =

an

√

3 , từ Đường trịn ngoại tiếp tam giácAn+1Bn+1Cn+1 có

bán kínhRn+1=OAn+1 =

an

√

3

6 diện tíchSn+1= πa2n

12 Dãy(Sn) cấp số nhân lùi vơ hạn có

S1=

πa21

3 = 3π công bội q= Sn+1

Sn =

4 Vậy tổng dãy

S=S1+S2+S3+· · ·+Sn+· · ·= S1

1−q = 3π 1−1

4 = 4π

A1

B1 C1

A2

B2

C2

A3

B3 C3

(49)

Chọn đáp án B

Câu 182 Tính giới hạn lim 2n−3 2n2+ 3n+ 1·

A −∞ B C +∞ D

Lời giải

lim 2n−3

2n2+ 3n+ 1 = lim

n2

Å

2 n−

3 n2

ã

n2

Å

2 + n +

1 n2

ã = lim

2 n−

3 n2

2 + n+

1 n2

=

Chọn đáp án B

Câu 183 Cho dãy số(un) với

®

u1=

un+1 =un+

GọiSn= u1u2

+ u2u3

+· · ·+ unun+1

TínhlimSn

A limSn=

6 B limSn= C limSn= D limSn= Lời giải

Từ giả thiết ta có(un)là cấp số cộng với (u1) = 2, d= Ta có

1 unun+1

=

un(un+d) =

d

Å 1

un

−

un+d

ã

= d

Å 1

un

−

un+1

ã

Suy

Sn= d

Å 1

u1

−

u2

+ u2

−

u3

+· · ·+ un

−

un+1

ã

= d

Å

1 u1

−

un+1

ã

= un+1−u1 du1un+1

= u1+nd−u1 du1un+1

= n

u1un+1

= n

u1(u1+nd)

= n

2(2 + 3n)

Do limSn=

Chọn đáp án A

Câu 184 Cho dãy số(un) với  

 u1=

un+1=

1

Å

1 + n

ã

un,∀n≥1

.Gọi Sn=u1+

u2

2 + u3

3 +· · ·+ un

n Tìm limSn

A limSn=

2 B limSn=

3 C limSn=

2 D limSn= Lời giải

Ta cóun+1=

1

Å

1 + n

ã

un⇔ un+1

n+ = 3·

un n (∗)

Đặtvn= un

n ta có (∗) trở thànhvn+1= 3vn Dãy(vn) cấp số nhân có số hạng đầu v1 =

u1

1 = công bộiq = nên vn=v1·qn−1 =

Å1

3

ãn−1

Do đóSn=u1+

u2

2 + u3

3 +· · ·+ un

n =v1+v2+v3+· · ·+vn

= +1 +

1

9+· · ·+

Å1

3

ãn−1

= 1−

Å1

3

ãn

1−1

(50)

Suy ralimSn= lim 1−

Å

1

ãn

1−1

3

=

Chọn đáp án A

Câu 185 TínhI = lim8n

5−2n3+ 1

4n5+ 2n2+ 1

A I = B I = C I = D I =

Lời giải

Ta cóI = lim8n

5−2n3+ 1

4n5+ 2n2+ 1 = lim

8−

n2 +

1 n5

4 + n3 +

1 n5

= =

Chọn đáp án A

Câu 186 Tính giới hạn I = lim2n+ 2017 3n+ 2018 A I =

3 B I =

3

2 C I =

2017

2018 D I = Lời giải

Ta cóI = lim2 +

2017

n +2018n =

2

Chọn đáp án A

Câu 187

Cho hình vngC1 có cạnh bằnga Chia cạnh hình vng thành bốn

phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng C2 Từ hình vngC2 lại tiếp tục làm ta nhận dãy hình

vngC1,C2,C3, GọiSi diện tích hình vngCi (i∈ {1; 2; 3; .}) ĐặtS =S1+S2+· · ·+Sn+· · · BiếtS=

32

3 , tínha

A B

2 C

√

2 D 2√2

Lời giải

Ta cóS1 =a2, hình vngC2 có cạnh

Å3a

4

ã2

+a

2 = a

√

10

4 , đóS2= 10a2

16 Bằng quy nạp ta chứng minh được(Sn) cấp số nhân lùi vô hạn với công bộiq=

S2

S1

= Nên S = a

2

1−5

= 8a

2

3 = 32

3 ⇔a=

Chọn đáp án A

Câu 188 Trong giới hạn hữu hạn sau, giới hạn có giá trị khác với giới hạn lại? A lim3n−1

3n+ B lim

2n+

2n−1 C lim

4n+

3n−1 D lim n+ n−1 Lời giải

Dễ thấylim4n+ 3n−1 =

4 3; lim

2n+ 2n−1 = lim

n+ n−1 = lim

3n−1 3n+ =

Chọn đáp án C

Câu 189 Tínhlim1−2n 3n+

A −5 B C −2

3 D

(51)

lim1−2n 3n+ = lim

1 n−2 + n

=−2

3

Chọn đáp án C

Câu 190 Giới hạnlim

ïÅ

1−

22

ã Å

1−

32

ã

· · ·

Å

1−

n2

ãò

là

A B

2 C

1

4 D

3 Lời giải

Sn=

Å

1−

22

ã Å

1−

32

ã

· · ·

Å

1−

n2

ã

=

ïÅ

1−1

2

ã Å

1−1

3

ã

· · ·

Å

1−

n

ãò ïÅ

1 +1

ã Å

1 +1

ã

· · ·

Å

1 + n

ãò

=

Å

1 ·

2 3· · ·

n−1 n

ã Å

3 ·

4 3· · ·

n+ n

ã

= n ·

n+ = n+

2n

VậylimSn= lim n·

n+ = lim

1 +1 n

2 =

1

Chọn đáp án B

Câu 191 Tínhlim2−n n+

A B C −1 D

2

n−1 +n1 =−1

Chọn đáp án C

Câu 192 Giá trị lim

√

9n2+n+ 1−n

2n

A

2 B

9

2 C +∞ D

Lời giải

Ta cólim

√

9n2+n+ 1−n

2n = lim

…

9 + n+

1 n2 −1

2 =

Chọn đáp án D

Câu 193 Tìm giới hạnlim n

2−n+ 3

2n2+n+ 1

A B +∞ C D

2 Lời giải

lim n

2−n+ 3

2n2+n+ 1= lim

1−

n+ n2

2 + n+

1 n2

=

Chọn đáp án D

Câu 194 Cho tứ diện ABCDcó thể tích V GọiA1B1C1D1 tứ diện với đỉnh trọng tâm

các tam giác BCD,CDA,DAB,ABC tíchV1 Gọi A2B2C2D2 tứ diện với đỉnh

là trọng tâm tam giácB1C1D1,C1D1A1,D1A1B1,A1B1C1 tích V2, tứ

diệnAnBnCnDncó thể tích Vn với n∈N∗ Tính giá trị củaP = lim

n→+∞(V1+V2+· · ·Vn) A V

26 B

V

27 C

8V

9 D

(52)

Lời giải

D1

C1

C

M

D B1

B

P

A1

A

N

Gọi M, N, P trung điểm CD, DB, BC Tam giác B1C1D1 đồng dạng tam giác M N P tỉ số

k= nên

S4B1C1D1 S4M N P

= ⇒

SB1C1D1 BCD =

1

Mặt khác lại cód(A1; (B1C1D1)) =d(D1; (BCD)) =

1

3d(A; (BCD)) Từ ta có

VA1B1C1D1 VABCD

= d(A1; (B1C1D1))·S4B1C1D1 d(A; (ABC))·SBCD

=

27 ⇒V1 =

27·VABCD

Tương tự ta có V2 =

1

27V1, hay (Vn) cấp số nhân với số hạng đầuV1 =

27V cơng bộiq = 27 Do P = lim

n→+∞(V1+V2+· · ·Vn) = V1

1−

27 = V

26

Chọn đáp án A

Câu 195 Tìm giới hạnlim2n+ n+

A I = B I = C I = D I =

Lời giải

lim2n+ n+ = lim

n·

Å

2 +1 n

ã

n·

Å

1 +1 n

ã = lim

2 + n + n

=

Chọn đáp án D

Câu 196 Cho dãy số(un)với un= 1·3 +

1

3·5 +· · ·+

1

(2n−1)·(2n+ 1) Tínhlimun A

2 B C D

1 Lời giải

Ta có:

(2n−1)·(2n+ 1) =

(2n+ 1)−(2n−1) (2n−1)(2n+ 1) =

1 2n−1 −

1 2n+ 2un= 1−

1 3+

1 −

1

5 +· · ·+ 2n−1 −

1

2n+ = 1−

2n+ ⇒un= −

1

2(2n+ 1) ⇒limun=

(53)

Câu 197 Cho dãy số(un)được xác định sau: u1 = 1, u2= 3, un+2 = 2un+1−un+ 1, n= 1,2, Tính lim

n→+∞ un n2

A

3 B

2

3 C

1

2 D

3 Lời giải

Ta cóun+2= 2un+1−un+ 1,∀n≥1⇔un+2−un+1=un+1−un+ 1,∀n≥1 (1)

Đặtvn=un+1−un Từ(1), suy ravn+1 =vn+ 1,∀n≥1 Do đó,(vn)là cấp số cộng với số hạng đầuv1 =

và cơng said= Ta có

v1+v2+· · ·+vn−1 =

(2 +n)(n−1)

⇒ (u2−u1) + (u3−u2) +· · ·+ (un−un−1) =

(2 +n)(n−1)

⇒ un−u1=

(2 +n)(n−1)

⇒ un=

n2+n

Vậy lim n→+∞

un

n2 =n→lim+∞

n2+n

2

n2 =n→lim+∞ +

1 2n

1 =

1

Chọn đáp án C

n un

A L=

3 B L=

1

2 C L= D L=

Lời giải

Ta có:un=u1+ (n−1)d= + (n−1)3 = 3n−1

Do : L= lim n un

= lim n 3n−1 =

1

Chọn đáp án A

ĐÁP ÁN

1 A A B C A C B C D 10 B

11 D 12 A 13 A 14 A 15 B 16 D 17 A 18 C 19 A 20 C

21 B 22 C 23 B 24 C 25 B 26 C 27 A 28 C 29 D 30 B

31 D 32 C 33 D 34 C 35 B 36 B 37 A 38 A 39 D 40 D

41 A 42 B 43 C 44 D 45 B 46 B 47 C 48 C 49 B 50 D

51 A 52 A 53 C 54 B 55 B 56 B 57 C 58 B 59 A 60 C

61 C 62 A 63 B 64 D 65 B 66 B 67 C 68 C 69 A 70 B

71 A 72 B 73 A 74 B 75 B 76 D 77 D 78 C 79 A 80 A

81 A 82 C 83 B 84 B 85 D 86 A 87 A 88 C 89 A 90 D

91 D 92 B 93 C 94 C 95 B 96 A 97 B 98 B 99 A 100 D

101 C 102 D 103 C 104 C 105 B 106 B 107 C 108 A 109 B 110 D

111 D 112 C 113 D 114 B 115 D 116 C 117 D 118 A 119 B 120 B

121 A 122 A 123 A 124 C 125 B 126 A 127 B 128 A 129 B 130 A

131 B 132 D 133 B 134 A 135 D 136 B 137 B 138 B 139 B 140 A

141 B 142 C 143 D 144 B 145 A 146 A 147 D 148 A 149 B 150 C

151 A 152 A 153 C 154 B 155 B 156 D 157 D 158 D 159 C 160 C

161 D 162 C 163 C 164 C 165 B 166 A 167 C 168 A 169 D 170 A

171 D 172 A 173 C 174 C 175 C 176 D 177 C 178 A 179 B 180 D

181 B 182 B 183 A 184 A 185 A 186 A 187 A 188 C 189 C 190 B

(54)

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa (Giới hạn hữu hạn): Giả sử(a;b) khoảng chứa điểm x0 y =f(x)

hàm số xác định khoảng (a;b), trừ điểm x0 Ta nói hàm số f(x) có giới

hạn số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số (xn) tập hợp (a;b)\ {x0} màlimxn=x0 ta có limf(xn) = L

Khi ta viết:

lim x→x0

f(x) = L hoặcf(x)→L khix→x0

Từ định nghĩa, ta có kết quả:

1 lim x→x0

c=c, vớic số

2 Nếu hàm sốf(x)xác định điểm x0 lim

x→x0

f(x) =f(x0)

Định nghĩa (Giới hạn vô cực): Giả sử(a;b)là khoảng chứa điểmx0 vày=f(x)là hàm

số xác định khoảng (a;b), trừ điểm x0 Ta nói hàm sốf(x) có giới hạn

vô cực x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số (xn) tập hợp (a;b)\ {x0}

màlimxn=x0 ta có limf(xn) =±∞ Khi ta viết:

lim x→x0

f(x) =±∞ hoặcf(x)→ ±∞khi x→x0

2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; +∞) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn số thực L x dần đến +∞ với dãy số (xn) tập hợp (a; +∞) mà limxn= +∞ ta cólimf(xn) = L

Khi ta viết:

lim

x→+∞f(x) = L hoặcf(x)→L x→+∞ Các giới hạn lim

x→−∞f(x) = L,x→lim+∞f(x) =±∞,x→−∞lim f(x) =±∞được định nghĩa tương tự Ta có kết sau với số nguyên dương k cho trước:

lim x→+∞

1 xk =

1 lim

x→−∞ xk =

2

lim x→+∞x

k = +∞

3 lim

x→−∞x k=

®

+∞nếu k chẵn

− ∞nếu k lẻ

4

3 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí Giả sử lim x→x0

f(x) = L lim x→x0

g(x) = M (L,M∈R) Khi đó:

1 lim x→x0

(55)

2 lim x→x0

[f(x).g(x)] = L.M Đặc biệt, c số lim x→x0

[c.f(x)] =c.L

3 Nếu M 6= thìlim x→x0

f(x) g(x) =

L M

Định lí Giả sử lim x→x0

f(x) = L∈R Khi đó:

lim x→x0

|f(x)±g(x)|=|L|

1 lim

x→x0 p

f(x) =√3 L

2

Nếu f(x) > lim x→x0

f(x) = L lim

x→x0 p

f(x) =√L L>0

3

Định lí Giả sử f(x), g(x), h(x) ba hàm số xác định khoảng(a;b) chứa điểmx0,

trừ điểm x0 Nếu f(x) 6g(x) 6h(x) với x∈ (a;b)\ {x0} lim

x→x0

f(x) = lim x→x0

h(x) = L lim

x→x0

g(x) = L

các định lí thay x→x0, x→ ±∞

4 GIỚI HẠN MỘT BÊN

Định nghĩa (Giới hạn bên phải): giả sử hàm số f(x) xác định khoảng (x0;b) (x0 ∈R)

Ta nói hàm số f(x) có giới hạn phải số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với

dãy số(xn) khoảng(x0;b) mà limxn=x0 ta cólimf(x) = L

Khi ta viết:

lim x→x+0

f(x) = L hoặcf(x)→Lkhi x→x+0

Định nghĩa (Giới hạn bên trái): giả sử hàm sốf(x) xác định khoảng (a;x0) (x0 ∈R) Ta nói hàm số f(x) có giới hạn trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với

dãy số(xn) khoảng(a;x0) màlimxn=x0 ta có limf(x) = L

Khi ta viết:

lim x→x−0

f(x) = Lhoặc f(x)→L khix→x−0 Định lí Điều kiện cần đủ để lim

x→x0

f(x) = L lim x→x+0

f(x) = lim x→x−0

f(x) = L

1 Các giới hạn lim x→x+0

f(x) =±∞, lim x→x−0

f(x) =±∞ định nghĩa tương tự

2 Định lí với giới hạn vơ cực

5 MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VƠ CỰC

Quy tắc 1 Nếu lim x→x0

f(x) =±∞ lim x→x0

g(x) = L 6= lim x→x0

[f(x).g(x)] =±∞ cho bảng sau:

lim x→x0

f(x) Dấu L lim x→x0

[f(x).g(x)]

+∞ + +∞

+∞ − −∞

−∞ + −∞

(56)

Quy tắc 2 Nếu lim x→x0

f(x) = L 6= 0, lim x→x0

g(x) = g(x) 6= với x 6=x0 lim

x→x0 f(x) g(x) cho bảng sau:

Dấu L dấu lim x→x0

g(x) lim x→x0

f(x) g(x)

+ + +∞

+ − −∞

− + −∞

− − +∞

1 Nếu lim x→x0

f(x) = vàf(x)6= với x6=x0 lim

x→x0

|f(x)| = +∞

2 Nếu lim x→x0

|f(x)|= +∞ lim x→x0

1

|f(x)| =

6 CÁC DẠNG VƠ ĐỊNH

Khi tìm giới hạn hàm số, gặp trường hợp sau:

1 limu(x)

v(x) vớiu(x)→0 vàv(x)→0

2 limu(x)

v(x) vớiu(x)→ ∞ vàv(x)→ ∞

3 lim [u(x)−v(x)]vớiu(x)→ ∞ vàv(x)→ ∞

4 lim [u(x).v(x)]với u(x)→0và v(x)→ ∞ Ta gọi dạng vô định dạng 0,

∞

∞,∞ − ∞,0.∞

Dạng Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số tìm giới hạn Phương pháp áp dụng

Sử dụng định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa

Ví dụ Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, tìm giới hạn sau:

1 lim x→+∞

2

x−1 2 x→lim+∞

2 3x+ Lời giải

1 Đặtf(x) = x−1

Với dãy số (xn) màxn6= với mọin vàlimxn= +∞, ta có f(xn) = xn−1

Do đó: lim

x→+∞

x−1 = lim xn−1

=

limxn−1 =

2 Tương tự câu a

(57)

Dạng Chứng minh lim

x→x0

f(x) không tồn Phương pháp áp dụng

Ta thực theo bước sau:

Bước 1: Chọn hai dãy sốxn yn với

xn→x0 n→ ∞, đánh giá f(xn) n→∞

−−−→L1

yn→x0 n→ ∞, đánh giá f(yn) n →∞

−−−→L2

Bước 2: Nhận xét L1 6=L2

Bước 3: vậy, giới hạn lim x→x0

f(x) khơng tồn

Ví dụ Chứng minh giới hạn sau không tồn tại:

1 lim

x→+∞cosx 2 x→−∞lim sinx Lời giải

1 Đặtf(x) = cosx Chọn hai dãy số {xn}và {yn} với:

xn= 2nπ ⇒xn→+∞khi n→ ∞và ta được: f(xn) = cos (xn) = cos(2nπ) n→∞

−−−→1 yn=

π

2 +nπ ⇒yn→+∞ n→ ∞ ta được:f(yn) = cos (yn) = cos( π +nπ)

n→∞

−−−→0 vậy, giới hạn lim

x→+∞cosx không tồn

2 Đặtf(x) = sinx Chọn hai dãy số {xn} và{yn}với:

xn=−nπ⇒xn→ −∞khi n→ ∞ ta được:f(xn) = sin(xn) = sin(−nπ) n→∞

−−−→0 yn=

π

2 −2nπ⇒yn→ −∞khi n→ ∞ ta được: f(yn) = sin(yn) = sin( π

2 −2nπ) n→∞

−−−→1 vậy, giới hạn lim

x→−∞sinx không tồn

Với hàm số:

f(x) = cosaxchúng ta thường chọn hai dãy số {xn}và {yn} với: xn= 2nπ

a yn= π 2a+

nπ a f(x) = sinaxchúng ta thường chọn hai dãy số {xn}và {yn} với: xn=

nπ

a yn= π 2a+

2nπ a Dạng Các định lí giới hạn giới hạn để tìm giới hạn

Phương pháp áp dụng

Cách 1: Đưa hàm số cần tìm giới hạn dạng tổng, hiệu, tích, thương hàm số mà ta biết giới hạn

Ta có kết sau: lim

x→x0

C =C

1 Nếu hàm số y =f(x) xác định điểm x0

thì lim x→x0

f(x) =f(x0)

2

lim x→+∞

1 xk =

3 lim

x→−∞ xk =

4

lim x→+∞x

k= +∞.

5 lim

x→−∞x k =

®

+∞ k chẵn

− ∞ k lẻ

(58)

Cách 2:Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể Giả sử cần tính giới hạn hàm số lim

x→x0

f(x) lim x→+∞f(x) ta thực bước sau :

Bước 1: Chọn hai hàm sốg(x) ,h(x) thỏa mãn : g(x)≤f(x)≤h(x)

Bước 2: Khẳng định : lim x→x0

g(x) = lim x→x0

h(x) =L lim

x→∞g(x) = limx→∞h(x) =L Bước 3: Kết luận:

lim x→x0

f(x) =Lhoặc lim

x→+∞f(x) =L Chú ý: Chúng ta sử dụng kết sau :

1 Nếu lim x→x0

|f(x)|= lim x→x0

f(x) =

2 Giử sử f(x) vàg(x) hai hàm số xác định khoảng(a;b)có thể trừ điểm x0 ∈(a;b)

Nếu lim x→x0

|f(x)| = |g(x)| ≤ M với x ∈ (a;b) \ {x0} (Trong M số)

lim x→x0

[f(x)·g(x)] =

1 lim x→3(x

2+x).

2 lim x→1

x x−1

Lời giải

1 Ta có : lim x→3(x

2+x) = 32+ = 12.

2 Ta có : lim x→1

x x−1 =

1

1−1 = +∞

Nhận xét

• Với hàm số f(x) xác định điểm x0 giới hạn x→x0 có giá trị f(x)

• Với hàm số f(x)

g(x) có f(x0)6= vàg(x0) = giới hạn x→x0 có giá trị bằng∞

• Trong trường hợp với hàm số f(x)

g(x) có f(x0) = (tức có dạng 0) Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi đại số để khử dạng

0, thông thường làm xuất nhân tử chung (x−x0)

Ví dụ Tính giới hạn sau :

1 lim x→1

x2−1

x−1 2 xlim→1

√

x+ 8−3 x2+ 2x−3

Lời giải

x2−1

x−1 =xlim→1

(x−1)(x+ 1)

(59)

2 Ta có :

lim x→1

√

x+ 8−3

x2+ 2x−3 = xlim→1

x−1

(√x+ + 3)(x−1)(x+ 3)

= lim x→1

1

(√x+ + 3)(x+ 3) = 24

Nhận xét

Vậy với hàm số f(x)khơng xác định điểm x0 cần khử dạng vơ định (nếu có thể),ta

thực sau :

• Trong (câu a) , sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử ,và khử nhân tử(x−1)

• Trong (câu b) , sử dụng phép nhân liên hợp để khử nhân tử (x−1)

Ví dụ Tìm giới hạn sau:

1 lim x→1x

Å

2−

x

ã

2 lim

x→9

√

x−3 9x−x2

Lời giải

1 Ta có : lim x→1x

Å

2−

x

ã

= lim

x→1(2x−1)= −1

√

x−3

9x−x2 =xlim→9

√

x−3

x(9−x) = −xlim→9

1

x(√x−3) =− 54

1 lim x→∞

x2+

x2−x−1 2 x→−∞lim

3x2−x+ 2x3−1

Lời giải

1 Chia tử cho mẫu chox2 ,Ta có : lim

x→∞

x2+

x2−x−1 =xlim→∞

1 + x2

1 +−1

x − x2

=

2 Ta có : lim x→−∞

3x2−x+

2x3−1 =x→−∞lim

3 x −

1 x2 +

7 x3

2−

x3

=

1 lim x→+∞

√

x6+ 2

3x2−1 2 x→−∞lim

√

x6+ 2

3x2−1

Lời giải

1 Ta có : lim x→+∞

√

x6+ 2

3x2−1 =x→lim+∞

…

1 + x6

3−

x3

(60)

2 Ta có : lim x→−∞

√

x6+ 2

3x2−1 =x→−∞lim

−

…

1 + x6

3−

x3

=−1

3

Ví dụ Tìm giới hạn sau: lim x→1−(x+x

2+· · ·+xn− n 1−x)

Lời giải Ta có :

lim

x→1−(x+x

2+· · ·+xn− n

1−x) = limx→1−

x(1−xn)−n 1−x =

lim

x→1−[x(1−x n)−n]

lim

x→1−(1−x)

=−∞

Ví dụ Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng chứa điểm x= 0và thỏa mãn

f(x) x

≤M

với mọix6= Tính lim x→0f(x)

Áp dụng :

1 lim x→0xsin

1 x

2 lim x→∞

x−sinx x+ sinx Lời giải

Từ giả thiết

f(x) x

≤M với mọix6= suy :

|f(x)| ≤M|x|và lim

x→0|x|= ⇒xlim→0f(x) =M ·0 =

1 Với x6= thuộc lân cận điểm ta ln có :

x·sin x

≤ |x| ⇔ − |x| ≤xsin1

x ≤ |x|và xlim→0(− |x|) =xlim→0|x|=0

Vậy, ta lim x→0xsin

1 x =0

2 Với x6= thuộc lân cận điểm ta ln có :

sinx x

≤

|x| ⇔ −

1

|x| ≤

sinx x ≤

1

|x| ,∀x6=

lim x→∞(−

1

|x|) =xlim→∞

|x| =0

Vậy , ta : lim x→∞

x−sinx

x+ sinx =xlim→∞

1−sinx

x +sinx

x

=1

Dạng Tính giới hạn bên hàm số Phương pháp áp dụng

Sử dụng định lí với lưu ý sau:

(61)

• x→x−0 ; hiểu làx→x0 vàx < x0 ( |x−x0|=x0−x)

Ví dụ Áp dụng định nghĩa ,Tìm giới hạn bên giới hạn sau:

1 lim x→1+

√

x−1 2 lim

x→5−(

√

5−x+ 2x)

Lời giải

1 a.Ta có : lim x→1+

√

x−1=

2 Ta có : lim x→5−(

√

5−x+ 2x) =10

Nhận xét Vậy, hàm sốf(x) không xác định điểm x0 giới hạn bên không khác so

với giới hạn x0:

Ví dụ Áp dụng định nghĩa ,Tìm giới hạn bên giới hạn sau:

1 lim x→1+

x

x−1 2 xlim→1−

x x−1

Lời giải

1 a.Ta có : lim x→1+

x

x−1 = +∞

2 Ta có : lim x→1−

x

x−1.=−∞

Ví dụ Tìm giới hạn sau ( có):

1 lim x→2+

|3x−6|

x−2 2 xlim→2−

|3x−6|

x−2 3 xlim→2

|3x−6|

x−2

Lời giải

1 Ta có : lim x→2+

|3x−6|

x−2 =xlim→2+

3x−6

x−2 =xlim→2+3 =3

2 Ta có : lim x→2−

|3x−6|

x−2 = xlim→2−

−3x+

x−2 = xlim→2+(−3)=−3

3 Từ câuavà câub ,Ta thấy : lim

x→2+

|3x−6|

x−2 6= limx→2−

|−3x+ 6|

x−2 ⇒ xlim→2

|−3x+ 6|

x−2 không tồn

lim x→1−

√

1−x+x−1

√

(62)

Lời giải Ta có :

lim x→1−

√

1−x+x−1

√

x2−x3 = xlim→1−

√

1−x

√

x2−x3 −xlim→1−

x−1

√

x2−x3

= lim x→1−

1

√

x2 −xlim→1−

√

1−x

√

x2 =

Dạng Giới hạn hàm số số kép Phương pháp chung

Cho hàm số f(x) =

®

f1(x) x < x0

f2(x) x≥x0

Để tính giới hạn tìm giá trị tham sốm để hàm số có giới hạn x→x0 ta thực theo

các bước sau :

Bước 1:: Tính giới hạn lim

x→x−0

f1(x) =L1; lim

x→x+0

f(x) = lim x→x+0

f2(x) =L2

Bước 2: Khi đó: lim x→x+0

f(x) =L⇔ lim x→x0

f(x) =L

Để hàm số có giới hạn x→x0 điều kiện L1 =L2 ⇒ giá trị tham số

Ví dụ Cho hàm sốf(x) =

®−

x+ 1khi x <0 x2+ 1khi x≥0 Tính lim

x→0−f(x)và xlim→0+f(x) Lời giải

Ta có : lim

x→0−f(x) = limx→0−(−x+ 1) = 1và xlim→0+f(x) = limx→0∗ x

2+ 1 = Vậy ta :

lim

x→0−f(x) = limx→0+f(x) = 1⇒xlim→0f(x) =

Ví dụ Cho hàm số : f(x) =

®

x+akhix <0

x2+ 1khix≥0 Tìmađể hàm số có giới hạn x→0 Lời giải

Ta có : lim

x→0−f(x) = limx→0−(x+a) =avà xlim→0∗f(x) = limx→0+ x

2+ 1 = Để có giới hạn hàm số khix→0⇔ lim

x→0−f(x) = limx→0+f(x)⇔a=

Vậy giá trị cần tìm làa=

Dạng Một vài qui tắc tính giới hạn vơ cực

Ví dụ Tính giới hạn sau :

1 lim x→0 3x

3−5x2+ 7

2 lim

x→+∞

√

2x4−3x+ 12

Lời giải

1 Ta có : lim x→−∞ 3x

3−5x2+ 7

= lim x→−∞x

3

Å

3−

x + x3

ã

= (−∞)3·3 =−∞

2 Ta có : lim x→+∞x

2

…

2−

x3 +

12

x4 = (+∞)

√

(63)

Nhận xét Với hàm số có dạng f(x) =anxn+an−1−xn−11 +· · ·+a0

⇒ lim

x→±∞f(x) = limx→±∞ a1x n+a

n−1xn−1+· · ·+a0

= lim x→±∞x

na

1+

an−1

x +· · ·+ a0

xn

= (±∞)n·an

1 lim x→+∞

x2−5

x2+ 1 2 x→−∞lim

√

x4−x

1−2x Lời giải

1 Ta có : lim x→+∞

x3−5

x2+ 1 = limx→+∞ 1−

x3

1 x+

1 x3

= +∞

Vì lim x→+∞

Å

1−

x2

ã

= lim x→+∞

Å1

x + x3

ã

= x+

1

x3 >0với x >0

2 Ta có lim x→∞

√

x4−x

1−2x = limx→∞ x

s

1− x2

x2

Å 1

x2 −

2 x

ã = lim

x→∞

…

1−

x3

1 x2 −

2 x

= +∞

Vì lim →→∞

…

1−

x3 = x→−∞lim

Å

1 x2 −

2 x

ã

= x2 −

2

x >0với x <0

1 lim x→2+

2x+

x−2 2 xlim→2−

2x+ x−2 Lời giải

1 Ta có lim x→2+

2x+

x−2 = +∞ Vì lim

x→2∗(2x+ 1) = xlim→2∗(x−2) = 0vàx−2>0với x >2

2 Ta có : lim x→2+

2x+

x−2 = +∞ Vì lim

x→2−(2x+ 1) = 5và xlim→2−(x−2) = 0vàx−2<0với x <2

1 lim x→1

ï

2 (x−1)2 ·

2x+ 2x−3

ò

2 lim

x→1

5

(x−1) (x2−3x+ 2)

Lời giải

1 Ta có lim x→1

ï 2

(x−1)2 ·

2x+ 2x−3

ò

= lim x→1

ï 2

(1−1)2 ·

2 + 2−3

ị

= +∞.(−3) =−∞

2 Ta có lim x→1

5

(x−1) (x2−3x+ 2) = limx→1

5

(x−1)2(x−2) = limx→1

5 (1−1)2 ·

5 1−2 = +∞.(−5) =−∞

Nhận xét Trong lời giải ví dụ , câu b học sinh không biến đổi hàm số đưa dạng

(x−1)2(x−2) khơng khẳng định xlim→1

5

(64)

1 lim x→0

Å

1 x −

1 x2

ã

2 lim

x→2−

Å

1 x−2 −

1 x2−4

ã

Lời giải

1 Ta biến đổi x −

1 x2 =

x−1 x2

Vì lim

x→0(x−1) =−1 vàxlim→0x

2 = 0và x2 >0 vớix6= 0 nên lim

x→0

Å1

x − x2

ã

=−∞

2 Ta biến đổi x−2−

1 x2−4 =

x+ x2−4

Vì lim

x→2−(x+ 1) = 3,xlim→2− x

2−4

= vàx2−4<0 vớix <2nên lim x→2−

Å 1

x−2− x2−4

ã

=−∞

Dạng Dạng 0 Phương pháp chung:

Bản chất việc khử dạng không xác định

0 làm xuất nhân tử chung để :

1 Hoặc khử nhân tử chung để đưa dạng xác định

2 Hoặc biến đổi dạng giới hạn , quen thuộc biết kết biết cách giải

Nếu f(x) = có nghiệm x0 f(x) = (x−x0)g(x)

Một số dạng liên hợp

√

a−b là√a+b

1 2 √a−√b √a+√b

3

√

a−b

√

a2+b√3a+b2

3 4 √3a+blà √3a2−b√3a+b2

1 lim x→2

x3−8

x2−4 2 xlim→1

3x2−4x+ x−1 :

Lời giải

1 Ta cólim x→2

x3−8 x2−4 = limx→2

(x−2) x2+ 2x+ (x−2)(x+ 2) = limx→2

x2+ 2x+ x+ =

2 Ta cólim x→1

3x2−4x+ x−1 = limx→1

(3x−1)(x−1)

x−1 = limx→1(3x−1) =

Nhận xét Như ,với dạng lim x→x0

f(x)

g(x) x=x0 nghiệm f(x) g(x) Ta có lim

x→x0 f(x)

g(x) = limx→x0

(x−x0)f1(x)

(x−x0)g1(x)

= lim x→x0

f1(x)

g1(x)

1 lim x→(−3)−

2x2+ 5x−3

(x+ 3)2 2 x→lim(−3)+

(65)

Lời giải

1 lim x→(−3)−

2x2+ 5x−3

(x+ 3)2 =x→lim(−3)−

(2x−1)(x+ 3)

(x+ 3)2 =x→lim(−3)− 2x−1

x+ = +∞

2 Ta có lim x→(−3)+

2x2+ 5x−3

(x+ 3)2 =x→lim(−3)+

(2x−1)(x+ 3)

(x+ 3)2 =x→lim(−3)+

2x−1

x+ =−∞

Chú ý: Tiếp theo, sử dụng phương pháp nhân tử chung cho hàm số khác, cụ thể hàm số lượng giác Khi ta cần nhớ lại công thức biến đổi giác

Ví dụ Tính giới hạn sau: lim x→0

1−sin 2x−cos 2x + sin 2x−cos 2x Lời giải

Ta có 1−sin 2x−cos 2x + sin 2x−cos 2x =

(1−cos 2x)−sin 2x (1−cos 2x) + sin 2x =

2 sin2x−2 sinx·cosx sin2x+ sinx·cosx =

sinx−cosx sinx+ cosx Do lim

x→0

1−sin 2x−cos 2x + sin 2x−cos 2x = limx→0

sinx−cosx

sinx+ cosx =−1

Nhận xét Như , để tính giới hạn cần biến đổi lượng giác để khử nhân tử chung làm dạng

0

Tiếp theo áp dụng cách khử nhân tử chung cho dạng hàm số chứa , cụ thể dạng sau : lim

x→x1 p

f(x)−a

g(x) p

f(x0) =avà g(x0) = Khi ta thực phép nhân liên hợp sau :

lim x→x1

p

f(x)−a

g(x) = limx→xi

f(x)−a2 [pf(x) +a]g(x) = lim

x→x1

(x−x0)f1(x)

[pf(x) +a] (x−x0)g1(x)

= lim x→x0

f1(x)

[pf(x) +a]g1(x)

= f1(x0) 2a·g1(x0)

Phương pháp sử dụng cho số dạng khác thể ví dụ sau :

Ví dụ Tính giới hạn sau: lim x→1

√

x+ 3−2 x2−3x+ 2

Lời giải lim x→1

√

x+ 3−2

x2−3x+ 2 = limx→1

x−1

√

x+ +

(x−1) (x−2) = limx→1

1

√

x+ +

(x−2) =−

4

Ví dụ Tính giới hạn lim x→0

√

x+ 1−1 3−√2x+ Lời giải

Ta có lim x→0

√

x+ 1−1

3−√2x+ = limx→0

x(3 +√2x+ 9)

−2x(√x+ + 1) = limx→0

3 +√2x+

−2(√x+ + 1) =−

2

Ví dụ Tính giới hạn lim x→2

√

x+ 2−√2x

√

x−1−√3−x Lời giải

Ta có : lim x→2

√

x+ 2−√2x

√

x−1−√3−x = limx→2

(√x−1 +√3−x)(2−x) (√x+ +√2x)(2x−4)

= lim x→2

√

x−1 +√3−x

−2(√x+ +√2x) =−

(66)

Ví dụ Tính giới hạn

1 lim x→2

3

√

4x−2

x−2 ; 2 xlim→0

3

√

x−1 +√3 x+

√

2x+ 1−√x+ Lời giải

1 Ta có:

lim x→2

3

√

4x−2

x−2 = xlim→2

4x−8

ỵ

(√34x)2+√3

4x+ 4ó(x−2)

= lim x→2

4 (√34x)2+ 2√3

4x+ =

2 Ta có:

lim x→0

3

√

x−1 +√3 x+

√

2x+ 1−√x+ = xlim→0

2x(√2x+ +√x+ 1) xỵp3

(x−1)2−p3

(x−1)(x+ 1) +p3

(x+ 1)2ó

= lim x→0

2(√2x+ +√x+ 1)

p

(x−1)2−p3

(x−1)(x+ 1) +p3

(x+ 1)2 =

4

1 lim x→2

√

x−√a+√x−a

√

x2−a2 vớia >0; 2 xlim→1

x−1

√

x2+ +x3−3x

Lời giải

1 Ta có:

lim x→2

√

x−√a+√x−a

√

x2−a2 = xlim→2

√

x−√a

√

x2−a2 + limx→2

√

x−a

√

x2−a2

= lim x→a

x−a

(√x+√a)√x2−a2 + limx→3

1

√

x+a

= lim x→2

√

x−a

(√x+√a)√x+a+

√

2a =

√

2a

2 Ta có: lim x→1

x−1

√

x2+ +x3−3x = xlim→1

1

√

x2+ 3−2

x−1 +

x3−3x+ x−1 = lim

x→1

1 x2−1

Ä√

x2+ + 2ä(x−1)+x−2

= lim x→1

1 x+

√

x2+ + 2+x−2

=−2

Nhận xét Như vậy, để tính giới hạn cần thực phép tách thành hai giới hạn nhỏ, từ khử dạng

0 Với giới hạn dạng lim

x→x0 p

f(x)−a

g(x) , p

(67)

Thực phép nhân liên hợp p3

f2(x) +p3

f(x) +a2, ta lim

x→x0 p

f(x)−a

g(x) = limx→x0

f(x)−a3

ỵ

3 p

f2(x) +p3

f(x) +a2óg(x)

= lim x→x0

(x−x0)f1(x)

ỵ

3 p

f2(x) +p3

f(x) +a2ó(x−x

0)g1(x)

= lim x→x0

f1(x)

ỵ

3 p

f2(x) +p3

f(x) +a2óg 1(x)

= f1(x0) (2a2+a)·g

1(x0)

Phương pháp mở rộng cho giới hạn dạng: Với giới hạn lim

x→x0 p

f(x) +a

g(x) , p

f(x0) =−a vàg(x0) =

f2(x)−p3

f(x) +a2.

Với giới hạn

1 lim x→x0

3 p

f(x)±a

p

g(x)±b, p

f(x0) =∓a

p

g(x0) =∓b

2 lim x→x0

3 p

f(x)±a p

g(x)−b, p

f(x0) =∓a

p

g(x0) =b

3 lim x→x0

3 p

f1(x)±

p f2(x)

p

g1(x)−

p g2(x)

, p3

f1(x0) =∓3

p

f2(x0)

p

g1(x0) =

p

g2(x0)

4 lim x→x0

3 p

f1(x)±

p f2(x)

3 p

g1(x)±

p g2(x)

, p3

f1(x0) =∓3

p

f2(x0)

p

g1(x0) =∓3

p

g2(x0)

1 lim x→1

√

2x−1 +x2−3x+

√

x−2 +x2−x+ 1 ; 2 xlim→0

2√1 +x−√3 8−x

x

Lời giải

1 Ta có:

lim x→1

√

2x−1 +x2−3x+

√

x−2 +x2−x+ 1 = limx→1

√

2x−1 +x2−3x+ 1

x−1

√

x−2 +x2−x+ x−1

= lim x→1

√

2x−1−1 x−1 +

x2−3x+ x−1

√

x−2 + x−1 +

x2−x x−1

= lim x→1

2x−2

(√2x−1 + 1)(x−1)+x−2 x−1

ỵ

3 p

(x−2)2−√3x−2 + 1ó(x−1)+x

= lim x→1

2

√

2x−1 + +x−2

p

(x−2)2−√3x−2 + 1 =

2 Ta có lim x→0

2√1 +x−√3 8−x

x = xlim→0

2√1 +x−2 + 2−√3 8−x x

= lim x→0

ñ

2(√1 +x−1)

x +

2−√3 8−x x

ô

= lim x→0

 



2x

x(√1 +x+ 1)+

x xỵ4 + 2√3

8−x+p3

(8−x)2ó

 

 = 13

(68)

Ví dụ 10 Tính giới hạn sau:

1 lim x→1

3

√

2x−1−1

x−1 2 xlim→0

5

√

5x+ 1−1

x

Lời giải

1 Ta lựa chọn hai cách sau: Cách

lim x→1

3

√

2x−1−1 x−1 = limx→1

2x−1−1

ỵ

3 p

(2x−1)2+√3

2x−1 + 1ó(x−1)

= lim x→1

2

p

(2x−1)2+√32x−1 + 1 =

Cách 2.Đặt t=√3

2x−1, ta

lim x→1

3

√

2x−1−1 x−1 = limt→1

t−1 t3+

2 −1 = lim

t→1

2(t−1) t3−1 = limt→1

2 t2+t+ 1 =

2

2 Đặtt=√5

5x+ 1, ta

lim x→0

5

√

5x+ 1−1 x = limt→1

t−1 t5−1

5

= lim t→1

5

t4+t3+t2+t+ 1 =

4! Chúng ta biết đến giới hạn đặc biệt lim

x→0

sinx x = Từ đó, ta suy ra:

lim x→0

tanx x = limx→0

sinx

x·cosx = limx→0

Å

sinx x ·

1 cosx

ã

= 1·1 =

Mở rộng: lim f(x)→0

sin[f(x)]

f(x) = xlim→x0

tan[f(x)]

f(x) = 1,vớif(x0) =

1 lim x→0

sinx

tan 2x; 2 xlim→0

1−cos22x xsinx Lời giải

1 Ta có:

lim x→0

sinx

tan 2x = limx→0

Åsinx

x · x tan 2x

ã

= lim x→0

Åsinx

x · 2x tan 2x ·

1

ã

=

2 Ta có: lim x→0

1−cos22x xsinx = limx→0

sin22x xsinx = limx→0

Åsin 2x

x · sin 2x

sinx

ã

= lim x→0

Å2 sin 2x

2x ·2 cosx

ã

=

Nhận xét Trong ví dụ trên:

Ở câu a) việc thêm vào x nhận hai dạng giới hạn cần lưu ý tan 2x phải tương ứng với 2x

Ở câub) cần sử dụng phép biến đổi lượng giác để chuyển1−cos22xthànhsin22x Ngoài trình bày sau:

lim x→0

1−cos22x

xsinx = limx→0

Ç

sin22x (2x)2 ·

4x sinx

å

=

(69)

Ví dụ 12 Tính giới hạn:

1 lim x→0

sin 2x+ tan 3x

x ; 2 xlim→0

tanx−sinx x3

Lời giải

1 Ta có lim x→0

sin 2x+ tan 3x x = limx→0

Åsin 2x

x + tan 3x

x

ã

= lim x→0

Å2 sin 2x

2x +

3 tan 3x 3x

ã

=

2 Ta có

tanx−sinx= sinx

cosx −sinx=

sinx(1−cosx) cosx =

2 sinx·sin2 x cosx Do

lim x→0

tanx−sinx x3 = limx→0

2 sinx·sin2 x

x3cosx = limx→0

2 cosx ·

sinx·

x ·

sin2 x 4.x

2 =

1

Ở câu a) thực phép tách để nhận tổng hai giới hạn Ở câu b) thực phép tách, làm vậy:

lim x→0

tanx−sinx

x3 = xlim→0

Åtanx

x3 −

sinx x3

ã

= lim x→0

Å

tanx x −

sinx x

ã

1

x2 = (1−1)· ∞= 0· ∞

Hoặc lim x→0

Åtanx

x · x2 −

sinx x ·

1 x2

ã

= 1· ∞ −1· ∞=∞ − ∞ hai dạng vô định khơng thể kết luận

1 lim x→0

cos 4x−cos 3x·cos 5x

x2 ;

2 lim x→0

cos π

2cosx

sin2 x

Lời giải

1 Ta có

cos 4x−cos 3x·cos 5x = cos 4x−1

2(cos 8x+ cos 2x) =

2(2 cos 4x−cos 8x−cos 2x) =

2[(1−cos 8x) + (1−cos 2x)−2(1−cos 4x)] = sin24x+ sin2x−2 sin22x

Do

lim x→0

cos 4x−cos 3xcos 5x

x2 = xlim→0

sin24x+ sin2x−2 sin22x x2

= lim x→0

Ç

sin24x x2 +

sin2x x2 −

2 sin22x x2

å

= lim x→0

ñ

16 sin24x (4x)2 +

sin2x x2 −

8 sin22x (2x)2

ô

(70)

2 Ta có cos

π 2cosx

sin2 x

= sin

π −

π cosx

sin2 x

= sin

hπ

2(1−cosx) i

sin2x

=π sin

πsin2 x

πsin2x

Do lim x→0

cosπ cosx

sin2 x

= lim x→0π

sinπsin2 x

πsin2x

=π

Ở câu a) cần sử dụng phép biến đổi tích thành tổng Và từ đó, với việc định hướng biến đổi TS thành tổng hàm số sin sử dụng cơng thức góc nhân đôi hàm số cos (cụ thể cos 2x= 1−2 sin2x)

Ở câu b) em học sinh cần có kinh nghiệm hàm số lượng giác lồng

Ví dụ 14 Tính giới hạn L= lim x→0

tan(a+x)·tan(a−x)−tan2a

x2

Lời giải Ta có

tan(a+x) tan(a−x)−tan2a = sin(a+x) sin(a−x) cos(a+x) cos(a−x) −

sin2a cos2a

= cos 2x−cos 2a cos 2x+ cos 2a−

1−cos 2a + cos 2a =

−2 cos 2a(1−cos 2x) (cos 2x+ cos 2a)(1 + cos 2a)

= −4 cos 2a·sin

2x

(cos 2x+ cos 2a)(1 + cos 2a) =

−4 cos 2a

(cos 2x+ cos 2a)(1 + cos 2a) ·sin

2x.

Do L= lim x→0

−4 cos 2a

(cos 2x+ cos 2a)(1 + cos 2a)· sin2x

x2 =

−4 cos 2a (1 + cos 2a)2

Nhận xét Như vậy, thí dụ cần sử dụng phép biến đổi lượng giác phức tạp nhiều Và câu hỏi thường đặt “Định hướng cách thực nào?”, để trả lời bắt đầu sau:

Khơng thể thực phép tách, khơng mang lại kết ứng với tan(a+x) cần có a+x vàtan(a−x) cần có a−x Và đó, nhận dạng vô định

Nếu sử dụng phép biến đổi tuý với hàm số tang khó tạo nhân tử chung tan2x cho TS, có mặt số hạng tự tan2a

Từ nhận định trên, khẳng định làm xuất nhân tử chung sin2x cho TS Từ đó, dẫn đến việc biến đổi hàm số tang dạngsin cos

1 lim x→2

3

√

4x−2

x−2 2 xlim→0

3

√

x−1 +√3x+ 1

√

2x+ 1−√x+ Lời giải

1 Ta có: lim x→2

3

√

4x−2 x−2 = limx→2

4x−8 hÄ

3

√

4xä2+ 2√34x+ i

(x−2)

= lim x→2

4

Ä√3

4xä2+ 2√3 4x+

(71)

2 Ta có: lim x→0

3

√

x−1 +√3x+ 1

√

2x+ 1−√x+ = limx→0

2x √2x+ +√x+ xh»3 (x−1)2−p3

(x−1) (x+ 1) +»3 (x+ 1)2i

= lim x→0

2 √2x+ +√x+

»

(x−1)2−p3

(x−1) (x+ 1) +

»

(x+ 1)2 =

3

1 lim x→a

√

x−√a+√x−a

√

x2−a2 , vớia >0 2 xlim→1

x−1

√

x2+ +x3−3x

Lời giải

1 Ta có: lim x→a

√

x−√a+√x−a

√

x2−a2 = limx→a

√

x−√a

√

x2−a2 + limx→a

√

x−a

√

x2−a2

= lim x→a

x−a

(√x+√a)Ä√x2−a2ä+ limx→a

√

x+a

= lim x→a

√

x−a

(√x+√a)√x+a+

√

2a =

√

2a

2 Ta có: lim x→1

x−1

√

x2+ +x2−3x = limx→1

1

√

x2+ 3−2

x−1 +

x3−3x+ x−1 = lim

x→1

1 x2−1

Ä√

x2+ + 2ä(x−1)+x−2

= lim x→1

1 x+

√

x2+ + 2+x−2

=−2

Như vậy, để tính giới hạn cần thực phép tách thành hai giới hạn nhỏ, từ khử dạng

0 Với giới hạn dang:

lim x→x0

3 p

f(x)−a

g(x) , p

f(x0) =avàg(x0) =

f2(x) + p3

f(x) + a2, ta được: lim

x→x0 p

f(x)−a

g(x) = limx→x0

f(x)−a3 h

3

»

f2(x) +ap3

f(x) +a2ig(x)

= lim x→x0

(x−x0)f1(x)

ỵ

3 p

f2(x) +ap3

f(x) +a2ó(x−x

0)g1(x)

= lim x→x0

f1(x)

ỵ

3 p

f2(x) +ap3

f(x) +a2óg 1(x)

= f1(x0) (2a2+a)g

1(x0)

Phương pháp mở rộng cho giới hạn dạng:

1) Với giới hạn: lim

x→x0 p

f(x) +a

g(x) , p

f(x0) =−avàg(x0) =

f2(x)−a.p3

(72)

a) lim x→x0

p

[3]f(x)±a

p

g(x)±b , p

f(x0) =∓avà

p

g(x0) =∓b

b) lim x→x0

p

[3]f(x)±a p

g(x)−b , p

f(x0) =∓avà

p

g(x0) =b

c) lim x→x0

3 p

f1(x)±

p f2(x)

p

g1(x)−

p g2(x)

, p3

f1(x0) =∓3

p

f2(x0)

p

g1(x0) =

p

g2(x0)

d) lim x→x0

3 p

f1(x)±

p f2(x)

3 p

g1(x)±

p g2(x)

, p3

f1(x0) =∓3

p

f2(x0)

p

g1(x0) =∓3

p

g2(x0)

Thực phép nhân liên hợp cho tử số mẫu số

1 lim x→1

√

2x−1 +x2−3x+

√

x−2 +x2−x+ 1 2 xlim→0

2√1 +x−√38−x

x

Lời giải

1 Ta có: lim x→1

√

2x−1 +x2−3x+

√

x−2 +x2−x+ 1 = limx→1

√

2x−1 +x2−3x+ x−1

3

√

x−2 +x2−x+ x−1

= lim x→1

√

2x−1−1 x−1 +

x2−3x+ x−1

√

x−2 + x−1 +

x2−x x−1

= lim x→1

2x−2

√

2x−1 + 1(x−1)+x−2 x−1

h

»

(x−2)2−√3

x−2 + i

(x−1) +x

= lim x→1

2

√

2x−1 + +x−2

3

»

(x−2)2−√3x−2 + 1 +x

=

2 ta có: lim x→0

2√1 +x−√38−x x = limx→0

2√1 +x−2 + 2−√38−x x

= lim x→0

ñ

2 √1 +x−1

x +

2−√3 8−x x

ô

= lim x→0





2x

x √1 +x+ +

x x4 + 2√38−x+»3

(8−x)2 

= 13 12

1 lim x→1

3

√

2x−1−1

x−1 2 xlim→0

5

√

5x+ 1−1

x

Lời giải

(73)

lim x→1

3

√

2x−1−1 x−1 = limx→1

2x−1−1 h

3

»

(2x−1)2+√3

2x−1 + i

(x−1)

= lim x→1

2

»

(2x−1)2+√3

2x−1 + =

3 Cách 2:Đặt t=√32x−1 ta được:

lim x→1

3

√

2x−1−1 x−1 = limt→1

t−1 t3+

2 −1 = lim

t→1

2 (t−1) t3−1 = limt→1

2 t2+t+ 1 =

2

2 Đặtt=√5

5x+ 1, ta được: lim

x→0

5

√

5x+ 1−1 x = limt→0

t−1 t5−1

5

= lim t→0

5

t4+t3+t2+t+ 1 =

Chúng ta biết tới giới hạn đặc biệt: lim

x→0

sinx x = Từ suy ra:

lim x→0

tanx x = limx→0

sinx

x.cosx = limx→0

Å

sinx x ·

1 cosx

ã

= Mở rộng:

lim f(x)→0

sin [f(x)]

f(x) = vàxlim→x0

tan [f(x)]

f(x) = 1với f(x0) =

Tuy nhiên, việc áp dụng chúng để tìm giới hạn hàm số nhiều trưòng hợp cần thực phép biến đổi phù hợp

1 lim x→0

sinx

tan 2x 2 xlim→0

1−cos22x xsinx Lời giải

1 Ta có: lim x→0

sinx

tan 2x = limx→0

Åsinx

x · x tan 2x

ã

= lim x→0

Åsinx

x · 2x tan 2x ·

1

ã

=

2 Ta có: lim x→0

Åsin 2x

x · sin 2x

sinx

ã

= lim x→0

Å2 sin 2x

2x ·2 cosx

ã

=

Trong ví dụ trên:

Ở câu a), việc thêm vào xchúng ta nhận hai dạng giới hạn cần lưu ý tan 2x phải tương ứng với2x

Ở câu b), cần sử dụng phép biến đổi lượng giác để chuyển1−cos22xthànhsin22x Ngoài ra, trình bày sau:

lim x→0

Ç

sin22x (2x)2 ·

4x sinx

å

=

1 lim x→0

sin 2x+ tan 3x

x 2 xlim→0

(74)

Lời giải

1 Ta có: lim x→0

sin 2x+ tan 3x x = limx→0

Å

sin 2x x +

tan 3x x

ã

= lim x→0

Å

2 sin 2x 2x +

3 tan 3x 3x

ã

=

2 Ta có:

tanx−sinx= sinx

cosx −sinx=

sinx(1−cosx) cosx =

2 sinx.sin2 x2 cosx Do đó:

lim x→0

2 sinxsin2x2

x3cosx = limx→0

2 cosx ·

sinx x ·

sin2 x2 x22

! =

2

Ở câu a), thực phép tách để nhận tổngcủa hai giới hạn Ở câu b), thực phép tách, làm vậy:

lim x→0

Å

tanx x3 −

sinx x3

ã

= lim x→0

Å

tanx x −

sinx x

ã

1

x2 = (1−1).∞= 0.∞

Hoặc lim x→0

Åtanx

x · x2 −

sinx x ·

1 x2

ã

= 1.∞ −1.∞=∞ − ∞

Cả hai dạng vô định kết luận

1 lim x→0

cos 4x−cos 3x.cos 5x

x2 2 lim

x→0

cos π2 cosx sin2 x2 Lời giải

1 Ta có:

cos 4x−cos 3x.cos 5x= cos 4x−1

2(cos 8x+ cos 2x) =

2(2 cos 4x−cos 8x−cos 2x) =

2[(1−cos 8x) + (1−cos 2x)−2 (1−cos 4x)] = sin24x+ sin2x−2 sin22x

Do đó: lim x→0

cos 4x−cos 3x.cos 5x x2 = limx→0

sin24x+ sin2x−2 sin22x x2

= lim x→0

Ç

sin24x x2 +

sin2x x2 −

2 sin22x x2

å

= lim x→0

ñ

16 sin24x (4x)2 +

sin2x x2 −

8 sin22x (2x)2

ô

= 16 + 1−8 =

2 Ta có: cos π2 cosx

sin2 x2 =

sin π2 −π2cosx sin2 x2 =

sinπ2 (1−cosx) sin2x2 =π

sin πsin2x2 πsin2 x2 Do đó:

lim x→0

cos π2 cosx sin2 x2 = limx→0

πsin πsin2 x2 πsin2 x2 =π

(75)

Ở câu a), cần sử dụng phép biến đổi tích thành tổng Và từ đó, với việc định hướng biến đổi tử số thành tổng hàm số sin sử dụng ccơng thức góc nhân đôi hàm sốcos (cụ thểcos 2x= 1−2 sin2x)

Ở câu b), em học sinh cần có kinh nghiệm hàm số lượng giác lồng

Ví dụ 22 Tính giới hạn L= lim x→0

tan (a+x) tan (a−x)−tan2a

x2

Lời giải Ta có:

tan (a+x) tan (a−x)−tan2a= sin (a+x) sin (a−x) cos (a+x) cos (a−x)−

sin2a cos2a

= cos 2x−cos 2a cos 2x+ cos 2a−

1−cos 2a + cos 2a

= −2 cos 2a(1−cos 2x) (cos 2x+ cos 2a) (1 + cos 2a)

= −4 cos 2a

(cos 2x+ cos 2a) (1 + cos 2a)·sin

2x.

Do đó: L= lim

x→0

−4 cos 2a

(cos 2x+ cos 2a) (1 + cos 2a)· sin2x

x2 =

−4 cos 2a

(1 + cos 2a)2

Như vậy, thí dụ cần sử dụng phép biến đổi lượng giác phức tạp nhiều Và câu hỏi thường đặt "Định hướng cách thực ?", để trả lời bắt đầu sau:

Khơng thể thực phép tách, khơng mang lại kết ứng với tan (a+x) cần có a+x vàtan (a−x) cần cóa−x Và đó, nhận dạng vô định (∞ − ∞)

Nếu sử dụng phép biến đổi tuý với hàm sốtansẽ khó tạo nhân tử chung tan 2x cho tử số, có mặt số hạng tự dotan2a

Từ nhận định trên, khẳng định làm xuất nhân tử chung sin2x cho tử số Từ đó, dẫn đến việc biến đổi hàm số tan dạngsin vàcos

Ví dụ 23 Tính giới hạn lim

x→−∞

Ä√

2x2+ +xä.

1 lim

x→−∞

Ä√

x2+ +x−1ä.

2

Lời giải

1 Ta có: lim x→−∞

Ä√

2x2+ +xä= lim

x→−∞

x2+

√

2x2+ 1−x = limx→−∞ x2

Å

1 + x2

ã

x2

Å

2 + x2

ã

−x

= lim x→−∞

x2

Å

1 + x2

ã

|x|

…

2 + x2 −x

= lim x→−∞

x2

Å

1 + x2

ã

−x

…

2 + x2 −x

= lim x→−∞

x

Å

1 + x2

ã

−

…

2 + x2 −1

= +∞

(76)

lim x→−∞

Ä√

x2+ +x−1ä= lim

x→−∞

x2+ 1−(x−1)2

√

x2+ 1−x+ 1 = limx→−∞

2x

√

x2+ 1−x+ 1

= lim x→−∞

2x

x2

Å

1 + x2

ã

−x+

= lim x→−∞

2x

|x|

…

1 +

x2 −x+

= lim x→−∞

2x

−x

…

1 +

x2 −x+

= lim x→−∞

2x

x

Ç

−

…

1 +

x2 −1 +

1 x

å = lim

x→−∞

2

−

…

1 +

x2 −1 +

1 x

=−1

Ví dụ 24 Cho hàm số f(x) = √x2+ 2x+ 4−√x2−2x+ Tính giới hạn lim

x→−∞f(x) lim

x→+∞f(x), từ nhận xét tồn giới hạnxlim→∞f(x) Lời giải

Ta có: lim

x→−∞y= limx→−∞

Ä√

x2+ 2x+ 4−√x2−2x+ 4ä= lim

x→−∞

4x

√

x2+ 2x+ +√x2−2x+ 4 =−2

lim

x→+∞y= limx→+∞

Ä√

x2+ 2x+ 4−√x2−2x+ 4ä= lim

x→+∞

4x

√

x2+ 2x+ +√x2−2x+ 4 =

Vậy, ta thấy lim

x→−∞f(x)6= limx→+∞f(x), suy raxlim→∞f(x) không tồn

1 lim x→1

3

√

x−1

√

x−2 +

2 lim x→−1

3

√

x+x2+x+ x+

Lời giải

1 Ta có: lim x→1

3

√

x−1

√

x−2 + 1=limx→1

[»3 (x−2)2−√3

x−2 + 1](x−1) (3

√

x2+√3 x+ 1)(x−1) =limx→1

»

(x−2)2−√3

x−2 +

√

x2+√3 x+ 1

2 Ta có:

lim x→−1

3

√

x+x2+x+

x+ = xlim→−1

3

√

x+

x+ + limx→−1

x2+x x+ = lim

x→−1

x+ (3

√

x2−√3x+ 1)(x+ 1)+ limx→−1x

= lim x→−1

1

√

x2−√3x+ 1−1 =−

1 lim x→1

4

√

2x−1 +√5 x−2 x−1 ;

2 lim x→0

x2+ 2004√7

1−2x−2004

x

(77)

1 Ta có

lim x→1

4

√

2x−1 +√5x−2

x−1 = xlim→1

4

√

2x−1−1 +√5x−2 + 1 x−1

= lim x→1

4

√

2x−1−1 x−1 + limx→1

5

√

x−2 + x−1

Đặt

®

u= √42x−1 v=√5x−2 ⇔

 



x−1 = u

4−1

2 x−1 =v5−1 Khi đó:

4

√

2x−1−1 x−1 =

2(u−1) u4−1 =

2

(u+ 1) (u2+ 1) vàx→1⇔u→1

5

√

x−2 + x−1 =

v+ v5+ 1 =

1

v4−v3+v2−v+ 1 x→1⇔v→ −1

Vậy ta lim x→1

4

√

2x−1 +√5 x−2 x−1 = limu→1

2

(u+ 1) (u2+ 1)+ limv→1

1

v4−v3+v2−v+ 1 =

7 10

2 Ta có: lim x→0

x2+ 2004√71−2x−2004 x = limx→0

x2+ 2004√71−2x−x2−2004 +x2

x = lim

x→0

ñ

x2+ 2004

√

1−2x−1

x +x

ô

=−4008

7

Nhận xét Trong ví dụ b) thêm bớt x2 để làm xuất đa thức P(x) =x2+ 2004 tử thức, từ làm xuất dạng: lim

x→0

8

√

1 +ax−1

x =

a

n Đây điểm mấu chốt lời giải

Ví dụ 27 Tính giới hạn: lim x→1

√

1 +x·

…

1 +x ·

4

…

1 +x −

4

√

1−x

2

√

4 +x−√3

8−x−√4 +x

Lời giải

Gọi tử thức làT ta có

T = √1 +x3

…

1 +x ·

4

…

1 +x −

3

…

1 +x ·

4

…

1 +x +

+

…

1 +x ·

4

…

1 +x −

4

…

1 +x +

4

…

1 +x

3 −1 + 1−

√

1−x

=

…

1 +x ·

4

…

1 +x 3(

√

1 +x−1) +

…

1 +x

+

Å

4

…

1 +x −1

ã

−(√41−x−1)

Gọi mẫu thức M ta có: M =

2·2·

…

1 +x −2

3

…

1−x

8 −

√

1 +x

=

Å…

1 +x −1

ã

−2

Å

3

…

1−x

8 −1

ã

−(√4

1 +x−1)

Ta có: lim x→1

√

1 +x·

…

1 +x ·

4

…

1 +x −

4

√

1−x

2

√

4 +x−√38−x−√41 +x

= lim x→1

T

M = limx→1

1 x M x = 24 = 24

(78)

1 lim x→1

x3+x2−2 sin(x−1) ;

2 lim x→1

x2−4x+ tan(x−1) Lời giải

1 Ta có lim x→1

x3+x2−2 sin(x−1) = limx→1

(x−1) x2+ 2x+ 2 sin(x−1) = limx→1

x2+ 2x+ sin(x−1)

x−1

=

2 Ta có lim x→1

x2−4x+ tan(x−1) = limx→1

(x−1)(x−3) tan(x−1) = limx→1

x−3 tan(x−1)

x−1

=−2

Ví dụ 29 Tính giới hạn:L= lim x→0

98 83

Å1−cos 3xcos 5xcos 7x

sin27x

ã

Lời giải Ta có

1−cos 3xcos 5xcos 7x = 1−1

2(cos 8x+ cos 2x) cos 7x = 1−1

2(cos 8xcos 7x+ cos 2xcos 7x) = 1−1

4(cos 15x+ cosx+ cos 9x+ cos 5x) =

4[(1−cos 15x) + (1−cosx) + (1−cos 9x) + (1−cos 5x)] =

4

Å

2 sin2 15x

2 + sin

2 x

2 + sin

29x

2 + sin

25x

2

ã

=

Å

sin2 15x + sin

2 x

2 + sin

2 9x

2 + sin

2 5x

2

ã

Do đó:

L = lim x→0

98 83 ·

1

Å

sin215x + sin

2x

2 + sin

29x

2 + sin

25x

2

ã

·

sin27x

= 98 83 ·

1 2xlim→0



  

sin2 15x

Å15x

2

ã2 · Å15

2

ã2

+ sin2x

2 x

2 ·

Å1

2

ã2

+

sin2 9x

Å9x

2

ã2 · Å9

2

ã2

+

sin2 5x

Å5x

2

ã2 · Å5

2

ã2



  

· (7x)

2

sin27x · (7)2

= 98 83 ·

1 2xlim→0

ñÅ15

2

ã2

+

Å1

2

ã2

+

Å9

2

ã2

+

Å5

2

ã2ô

·

(7)2 =

Nhận xét Như vậy, thí dụ thực chất cần sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng cơng thức góc nhận đơi cos Tuy nhiên, em học sinh cần thận trong tính tốn

(79)

1 lim x→0

1−√cosx 1−cos√x;

2 lim x→0

√

1 + tanx−√1 + sinx

x3

Lời giải

1 Ta có: lim x→0

1−√cosx 1−cos√x = limx→0

1−cosx

(1−cos√x)(1 +√cosx) = limx→0

2 sin2x 2 sin2

√

x (1 +

√

cosx)

= lim x→0



   

sin2x x

2 ·

x

2

·

Å√

x

ã2

sin2

√

x

·

sin2

√

x

·

Å√x

2

ã2 ·

1 +√cosx



   

=

2 Ta có lim x→0

√

1 + tanx−√1 + sinx x3 = limx→0

tanx−sinx

x3(√1 + tanx+√1 + sinx)

= lim x→0

tanx(1−cosx)

x3(√1 + tanx+√1 + sinx) = limx→0

2 tanx·sin2 x

x3(√1 + tanx+√1 + sinx)

= lim x→0

ñ

tanx x

sin2(x/2) (x/2)2·4 ·

1

√

1 + tanx+√1 + sinx

ô

=

Nhận xét Như vậy, giải ví dụ cần thực phép nhân liên hợp trước sử dụng phép biến đổi lượng giác để chuyển chùng dạng Với giới hạn dạng: lim

x→x0

f1(x)−f2(x)

g(x) , f1(x0) =f2(x0) =c g(x0) =

Ta lựa chọn hai cách:

Cách (Chèn số vắng)Ta thực việc thêm số vắng c(vớif1(x0) =f2(x0) =c) vào biểu

thức giới hạn, ta được: lim x→x0

f1(x)−c+c−f2(x)

g(x) = limx→x0

f1(x)−c

g(x) + limx→x0

c−f2(x)

g(x)

Cách (Chèn hàm số vắng) Ta thực việc thêm hàm số vắng f(x) (vớif(x0) =c) vào biểu thức

của giới hạn, ta được: lim x→x0

f1(x)−f(x)

g(x) + limx→x0

f(x)−f2(x)

g(x)

Ví dụ 31 Tính giới hạn lim x→0

2√1 +x−√3 8−x

x

Lời giải Ta có

lim x→0

2√1 +x−√38−x

x = xlim→0

2√1 +x−2 + 2−√38−x x

= lim x→0

ñ

2(√1 +x−1)

x +

2−√38−x x

ô

= lim x→0

 



2x

x(√1 +x+ 1) +

x xỵ4 + 2√3

8−x+p3

(8−x)2ó

 

 = 13

12

1 Ta có lim x→1

√

(80)

2 lim x→0

√

1 +x2−cosx

x2

Lời giải

1 lim x→1

√

x+ 3−2x tan(x−1) = limx→1

−4x2+x+

(√x+ + 2x) tan(x−1) = limx→1

−4x−3

√

x+ + 2x ·

x−1

tan(x−1) =−

2 Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1.Ta có:

lim x→0

√

1 +x2−cosx

x2 = xlim→0

1 +x2−cos2x

Ä√

1 +x2+ cosxäx2 = limx→0

x2+ sin2x

Ä√

1 +x2+ cosxäx2

= lim x→0

1

√

1 +x2+ cosx ·

Ç

1 +sin

2x

x2

å

=

Cách 2:Ta có:

lim x→0

√

1 +x2−cosx

x2 = limx→0

Ç√

1 +x2−1

x2 +

1−cosx x2

å

= lim x→0



 

2 sin2 x

√

1 +x2+ 1+

2 sin2 x

x

2 

 =

1 lim

x→+∞(x+ 2)

…

x−1 x3+x;

2 lim x→−∞x

2x3+x x5−x2+ 3

Lời giải

1 Ta có lim

x→+∞(x+ 2)

…

x−1

x3+x = limx→+∞

(x−1)(x+ 2)2

x3+x = limx→+∞

Õ Å

1−1

x

ã Å

1 + x

ã2

x2 =

2 Ta có lim x→−∞x

2x3+x

x5−x2+ 3 =−x→−∞lim

x2 2x3+x

x5−x2+ 3 =−x→−∞lim

Œ

2 + x2

1−

x3 +

3 x5

=−√2

Ví dụ 34 Tính giới hạn lim x→π2

π −x

·tanx

Lời giải Đặtt= π

2 −xsuy x= π

2 −t Nhận xét khix→ π

2 thìt→0 Vậy, ta lim

x→π

2 π

2 −x

·tanx= lim t→0tan

π −t

= lim

t→0t·cott= limt→0t·

cost

sint =

Ví dụ 35 Tính giới hạn L= lim x→∞

Åx+ 2

x+

ã2x+1

(81)

Ta biến đổi:

Åx+ 2

x+

ã2x+1

=

Å

1 + x+

ã2x+1

, đặt t =

1

x+ ⇔x=t−1 Nhận xét khix→ ∞ thìt→ ∞

Vậy, ta được:

Åx+ 2

x+

ã2x+1

=

Å

1 +1 t

ã2(t−1)+1

=

Å

1 +1 t

ã2t−t1

Do đó: lim

x→∞

Å

x+ x+

ã2x+1

= lim t→∞

Å

1 +1 t

ã2t−t1

= e2

Ví dụ 36 Xét tính liên tục hàm số sau tồn trục số f(x) =

®

x2+x khix <1 ax+ x≥1

Lời giải

Hàm số xác định với mọix∈R

Khix <1, ta có f(x) =x2+x nên hàm số liên tục vớix <1 Khix >1, ta có f(x) =ax+ 1nên hàm số liên tục với x >1 Khix= 1, ta có:

lim

x→1−f(x) = limx→1− x

2+x

= 2; lim

x→1+f(x) = limx→1+(ax+ 1) =a+ f(1) =a+

Do đó:

– Nếua= lim

x→1−f(x) = limx→1+f(x) =f(1) = 2, hàm số liên tục tạix0= – Nếua6= lim

x→0+f(x)6= limx→0−f(x) =f(1) = 2, hàm số gián đoạn x0 = Kết luận:

Nếua= hàm số liên tục trênR

Nếua6= hàm số liên tục trên(−∞,1)∪(1,+∞) gián đoạn tạix0=

Ví dụ 37 Chứng minh với mọim phương trình cosx −

1

sinx =m (1) có nghiệm Lời giải

Điều kiện:x6=kπ

2,k∈Z

Biến đổi phương trình dạng: sinx−cosx−msinx·cosx= Xét hàm số f(x) = sinx−cosx−msinx·cosx liên tục

h 0;π

2 i

Ta cóf(0) =−1<0,f

π

= 1>0⇒f(0)·f π

2

=−1<0

Vậy phương trình f(x) = ln có nghiệm thuộc0;π

⇔ phương trình(1)ln có1 nghiệm thuộc khoảng

0;π

Ví dụ 38 Xét dấu hàm số f(x) = + cosx−2 tanx

2 (0;π) Lời giải

Hàm sốf(x) liên tục trên(0;π)

Giải phương trìnhf(x) = với ẩn phụt= tanx

2, suy cosx= 1−t2

(82)

2 +1−t

2

1 +t2 −2t= 0⇔2t

3−t2+ 2t−3 = 0 ⇔ (t−1) 2t2+t+ 3 =

⇔ t= 1⇔tanx

2 = 1⇔x= π

Như khoảng

0;π

π 2;π

hàmf(x)không triệt tiêu, đó: Vìfπ

3

= +1 −

2

√

3 >0 nên f(x)>0với ∀x∈

0;π

Vìf

Å2π

3

ã

= 2−1

2−2

√

3<0nên f(x)<0với ∀x∈π

2;π

Dạng Giới hạn dạng 1∞, 0· ∞,∞0. Phương pháp áp dụng:

1 Đối với dạng0· ∞ và∞0 ta chọn hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng dạng giới hạn Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp với bước:

Bước 1: Chọn hai hàm số g(x),h(x) thỏa mãn:

g(x)6f(x)6h(x) Bước 2: Khẳng định: lim

x→x0

g(x) = lim x→x0

h(x) =L (hoặc lim

x→∞g(x) = limx→∞h(x) =L) Bước 3: Vậy, ta được: lim

x→x0

f(x) =L (hoặc lim

x→∞f(x) =L)

2 Đối với dạng1∞ cần nhớ giới hạn sau: lim

x→0(1 +x)

x = e, lim x→∞

Å

1 + x

ãx

= e

Ví dụ Tính giới hạn lim x→(−1)− x

3+ 1

… x

x2−1

lim x→(−1)− x

3+ 1

…

x

x2−1 = x→lim(−1)−(x+ 1) x

2−x+ 1

…

x x2−1

= lim x→(−1)− x

2−x+ 1

x(x+ 1) x−1 =

Ví dụ Tính giới hạn L= lim

x→0(1 + sin 3x)

1 x

Lời giải Ta biến đổi:

(1 + sin 3x)1x = (1 + sin 3x)

1 sin 3x·

sin 3x

x = (1 + sin 3x)

1 sin 3x·

sin 3x

3x ·3

Do đó: L= lim

x→0(1 + sin 3x)

1

x = lim

x→0(1 + sin 3x)

1 sin 3x·

sin 3x

(83)

Câu Giới hạn lim x→+∞(−x

3+x2+ 2) bằng

A B −∞ C +∞ D

Lời giải lim x→+∞(−x

3+x2+ 2) = lim

x→+∞

ï

x3

Å

−1 +1 x+

2 x3

ãị

Ta có: lim

x→+∞x

3= +∞ và lim

x→+∞

Å

−1 + x +

2 x3

ã

=−1 Vậy lim

x→+∞ −x

3+x2+ 2

=−∞

Chọn đáp án B

Câu Cho lim

x→2+(x−2)

… x

x2−4 Tính giới hạn

A +∞ B C D −∞

Lời giải Ta có

lim

x→2+(x−2)

… x

x2−4 = limx→2+

x(x−2)2

(x−2)(x+ 2) = limx→2+

x(x−2) x+ =

Chọn đáp án C

Câu Cho lim x→−∞

Ä√

9x2+ax+ 3xä=−2 Tính giá trị củaa.

A −6 B 12 C D −12

Lời giải Ta có

lim x→−∞

Äp

9x2+ax+ 3xä= lim

x→−∞

ax

√

9x2+ax−3x = limx→−∞

ax x

Å

−

…

9 +a x −3

ã

= lim x→−∞

a

−

…

9 +a x −3

=−a

6

Suy ra−a

6 =−2⇒a= 12

Chọn đáp án B

Câu Tính giới hạn lim x→−∞x

x2017−1

x2019 ta kết

A −∞ B C −1 D

Lời giải Ta có lim

x→−∞x

x2017−1

x2019 = limx→−∞x

1 x2 ·

Å

1−

x2017

ã

= lim x→−∞x·

Å

−1

x

ã …

1−

x2017

= lim x→−∞

Ç

−

…

1−

x2017

å

=−1

Chọn đáp án C

Câu Giá trị giới hạn lim x→0

√

1−x−1 x A −1

2 B

1

2 C +∞ D

x→0

√

1−x−1 x = limx→0

√

1−x−1 √

1−x+ x √1−x+ = lim

x→0

−1

√

1−x+ =−

(84)

Câu Tính lim x→2

x4−16 8−x3

A −2 B

3 C −∞ D −

8 Lời giải

lim x→2

x4−16 8−x3 = limx→2

(x+ 2)(x2+ 4)

−x2−2x−4 =−

8

Chọn đáp án D

Câu lim x→+∞(−x

3+x2+ 2)bằng

A B −∞ C +∞ D

Lời giải lim x→+∞(−x

3+x2+ 2) = lim

x→+∞

ï

x3·

Å

−1 +1 x +

2 x3

ãò

Ta có: lim

x→+∞x

3= +∞ và lim

x→+∞

Å

−1 + x +

2 x3

ã

=−1 Vậy lim

x→+∞(−x

3+x2+ 2) =−∞.

Chọn đáp án B

Câu lim

x→2+(x−2)

… x

x2−4

A +∞ B C D −∞

x→2+(x−2)

… x

x2−4 = limx→2+

x(x−2)2

x2−4 = limx→2+

…

x(x−2) x+ =

Chọn đáp án C

Câu lim x→−∞(

√

9x2+ax+ 3x) =−2 Khi giá trị củaabằng

A −6 B 12 C D −12

Lời giải Ta có

lim x→−∞(

p

9x2+ax+ 3x) = lim

x→−∞

ax

√

9x2+ax−3x

= lim x→−∞

a

−

Å…

9 + a x +

ã

= a

−6

Suy a

−6 =−2⇔a= 12

Chọn đáp án B

Câu 10 Biết lim x→3

x2+bx+c

x−3 = 8,(b, c∈R) TínhP =b+c

A P = 13 B P =−11 C P =−12 D P =−13 Lời giải

Ta thấy x

2+bx+c

x−3 =x+b+ +

3b+c+ x−3 Ta

®

3b+c+ = b+ = ⇔

®

b=

c=−15 ⇒b+c=−13

Chọn đáp án D

Câu 11 Trong giới hạn sau, giới hạn bằng+∞? A lim

x→−∞

2x2+x−1

x+ B x→−∞lim

3x+

1−2x C xlim→1

|1−x|

x2−2x+ 1 D xlim→0+ x

√

x Lời giải

Ta có lim x→1

|1−x|

x2−2x+ 1 = limx→1

1

|x−1| = +∞

(85)

Câu 12 lim x→1

√

x−1 x−1

A B +∞ C D

2 Lời giải

Ta có lim x→1

√

x−1 x−1 = limx→1

1

√

x+ =

Chọn đáp án D

Câu 13 lim x→2

x2−x−2 x2−4

A B C

4 D −

3 Lời giải

Ta có lim x→2

x2−x−2 x2−4 = limx→2

(x−2)(x+ 1) (x−2)(x+ 2) = limx→2

x+ x+ =

3

Chọn đáp án C

Câu 14 Tính lim x→−∞

√

x2+ 1

x+

A −∞ B C −1 D

Lời giải

Ta có lim x→−∞

√

x2+ 1

x+ = limx→−∞

−

…

1 + x2

1 +2 x

=−1

Chọn đáp án C

Câu 15 Giới hạn lim x→2

x2−3x+ 2x−4

A +∞ B

2 C −

1

2 D

3 Lời giải

Ta có lim x→2

x2−3x+ 2x−4 = limx→2

(x−1)(x−2) 2(x−2) = limx→2

x−1 =

1

Chọn đáp án B

Câu 16 Giới hạn lim x→+∞(x

3+ 2x)bằng

A +∞ B C −∞ D −1

x→+∞(x

3+ 2x) = lim

x→+∞

ï

x3

Å

1 + x2

ãò

= +∞ Vì lim

x→+∞x

3= +∞ và lim

x→+∞

Å

1 + x2

ã

=

Chọn đáp án A

x2−12x+ 35 x−5

A +∞ B

5 C −2 D

x→5

x2−12x+ 35 x−5 = limx→5

(x−5)(x−7)

x−5 = limx→5(x−7) =−2

Chọn đáp án C

Câu 18 Giới hạn lim x→1−

x+ x−1 A −1

2 B −∞ C +∞ D

1 Lời giải

Ta có lim

x→1−(x+ 2) = 3>0;xlim→1−(x−1) = 0vàx−1<0khi x→1 −. Vậy lim

x→1− x+

(86)

Chọn đáp án B

Câu 19 lim x→1+

x+ x−1

A +∞ B C −∞ D

Lời giải

Đặtf(x) =x+ 1,g(x) =x−1 Ta có lim

x→1+f(x) = 2;xlim→1+g(x) = g(x)>0khi x→1

+

Vậy lim x→1+

x+

x−1 = +∞

Chọn đáp án A

Câu 20 lim x→−∞

Ä√

4x2+ 8x+ + 2xäbằng

A −2 B +∞ C −∞ D

Lời giải

lim x→−∞

Äp

4x2+ 8x+ + 2xä = lim

x→−∞

Å

8x+

√

4x2+ 8x+ 1−2x

ã

= lim x→−∞

Ü

8 +1 x

−

…

4 + x +

1 x2 −2

ê

= −2

Chọn đáp án A

Câu 21 Giá trị giới hạn lim x→−∞

√

x2−x−√4x2+ 1

2x+

A B −∞ C −1

2 D

1 Lời giải

√

x2−x−√4x2+ 1

2x+ = limx→−∞

|x|

…

1−1

x− |x|

…

4 + x2

2x+

= lim x→−∞

−

…

1−

x +

…

4 + x2

2 +3 x

= −1 +

2 =

1

Chọn đáp án D

Câu 22 Cho giới hạn lim x→3

x+ 1−√5x+ x−√4x−3 =

a

b (phân số tối giản) Giá trị củaT = 2a−b A T =

b B T =−1 C T = 10 D T =

9 Lời giải

Ta có

lim x→3

x+ 1−√5x+ x−√4x−3 = limx→3

(x2−3x) x+√4x−3 (x2−4x+ 3) x+ +√5x+ 1 = lim

x→3

x x+√4x−3 (x−1) x+ +√5x+

= 3(3 + 3) 2(4 + 4) =

9

Khi đóa= 9,b= Vậy T = 2a−b= 10

Chọn đáp án C

Câu 23 Tìm ađể hàm sốf(x) =

®

x2+ax+ x >2

2x2−x+ x≤2 có giới hạn tạix=

(87)

x→2+f(x) = limx→2+(x

2+ax+ 1) = 2a+ 5; lim

x→2−f(x) = limx→2−(2x

2−x+ 1) = 7.

Hàm số có giới hạn x= lim

x→2+f(x) = limx→2−f(x)⇔2a+ = 7⇔a=

Chọn đáp án A

Câu 24 Kết lim x→1+

−2x+ x−1

A +∞ B −∞ C

3 D

1 Lời giải

Ta có lim x→1+

−2x+

x−1 =−∞vì     

   

lim

x→1+(−2x+ 1) =−1<0 lim

x→1+(x−1) =

x→1+ ⇒x >1⇒x−1>0

Chọn đáp án B

−x−3 x+ A −3

2 B −3 C −1 D

x→−∞

−x−3

x+ = limx→−∞

−1−

x +2

x

= −1 + + =−1

Chọn đáp án C

Câu 26 Tìm giới hạn lim x→+∞

3x−1 1−2x A L=−3

2 B L= C L=

3

2 D L=−

1 Lời giải

Tính lim x→+∞

3x−1

1−2x = limx→+∞ 3−

x x −2

=−3

2

Chọn đáp án A

Câu 27 Cho giới hạn lim x→2

x2−3x+ x2−4 =

a

b a

b phân số tối giản Tính S=a

2+b2.

A S = 20 B S = 17 C S = 10 D S= 25

x→2

x2−3x+ x2−4 = limx→2

(x−1)(x−2) (x+ 2)(x−2) = limx→2

x−1 x+ =

1

4 Suy raS = 17

Chọn đáp án B

Câu 28 Tính giới hạn L= lim x→1

2x2−3x+ 1−x2

A L=

4 B L=−

1

2 C L=−

1

4 D L=

1 Lời giải

Ta có

L = lim x→1

2x2−3x+ 1−x2

= lim x→1

(x−1)(2x−1) (1−x)(1 +x)

= lim x→1

−(2x−1) +x =−

1

(88)

Câu 29 Tính giới hạn lim x→1

x2−3x+ x−1

A B C −2 D −1

x→1

x2−3x+ x−1 = limx→1

(x−1)(x−2)

x−1 = limx→1(x−2) =−1

Chọn đáp án D

Câu 30 Cho biết lim x→1

√

ax2+ 1−bx−2

x3−3x+ 2 (a, b∈R)có kết số thực Giá trị biểu thứca 2+b2

bằng

A + 5√3 B 45

16 C

9

4 D 87−48

√

3 Lời giải

Ta có

lim x→1

√

ax2+ 1−bx−2

x3−3x+ 2 = xlim→1

ax2+ 1−(bx+ 2)2

(x3−3x+ 2)(√ax2+ +bx+ 2)

= lim x→1

(a−b2)x2−4bx−3

(x−1)2(x+ 2)(√ax2+ +bx+ 2)

Kết giới hạn số thực nên phương trình(a−b2)x2−4bx−3 = 0có nghiệm kép x= Khi

®

∆0 =

a−b2−4b−3 = ⇔

®

4b2+ 3a−3b2 = a−b2−4b−3 = ⇔

®

b2+ 3a= a=b2+ 4b+

⇔

®

b2+ 3(b2+ 4b+ 3) = a=b2+ 4b+ ⇔

®

4b2+ 12b+ = a=b2+ 4b+ ⇔

  

 

b=−3

2 a=−3

4

Vậya2+b2 = 45 16

Chọn đáp án B

x2−3x+ 2

x−1

A B −1 C D −2

x→1

x2−3x+ x−1 = limx→1

(x−1)(x−2)

x−1 = limx→1(x−2) =−1

Chọn đáp án B

Câu 32 Tìm giới hạn M = lim x→−∞

Ä√

x2−4x−√x2−xä.

A M =−3

2 B M =

1

2 C M =

3

2 D M =−

1 Lời giải

Ta có

M = lim x→−∞

Äp

x2−4x−px2−xä

= lim x→−∞

−3x

√

x2−4x+√x2−x

= lim x→−∞

−3x

|x|

Ç…

1−4

x +

…

1−

x

å

= lim x→−∞

3

…

1−

x+

…

1−

x =

2

(89)

x+ 1−√5x+ x−√4x−3

a

b (phân số tối giản) Giá trị củaa−b A

9 B

9

8 C D −1

x+ 1−√5x+ x−√4x−3 = limx→3

(x2−3x) x+√4x−3

(x2−4x+ 3) x+ +√5x+ 1 = lim x→3

x x+√4x−3

(x−1) x+ +√5x+ =

⇒a= 9,b= 8⇒a−b=

Chọn đáp án C

Câu 34 Tính giới hạn lim x→+∞

x2018√4x2+ 1

(2x+ 1)2019

A B

22018 C

1

22019 D

1 22017

Lời giải

lim x→+∞

x2018√4x2+ 1

(2x+ 1)2019 = limx→+∞

x2019

…

4 +1 x x2019

Å

2 +1 x

ã2019 = limx→+∞ …

4 +1 x

Å

2 +1 x

ã2019 =

2 22019 =

1 22018

Chọn đáp án B

x+ 1−√5x+ x−√4x−3 =

a

b, với a, b∈Z, b >0 a

b phân số tối giản Giá trị củaa−b

A B −1 C

8 D

1 Lời giải

Ta có

lim x→3

x+ 1−√5x+

x−√4x−3 = xlim→3

(x+ 1)2−(5x+ 1) x+ +√5x+

x2−(4x−3) x+√4x−3

= lim x→3

x+√4x−3

(x−3)x x+ +√5x+

(x−3)(x−1)

= lim x→3

x x+√4x−3 x+ +√5x+

(x−1) =

Vậya= 9, b= 8, suy a−b=

Chọn đáp án A

Câu 36 Trong bốn giới hạn sau, giới hạn −∞? A lim

x→+∞

−3x+

x−2 B xlim→2−

−3x+

x−2 C xlim→2+

−3x+

x−2 D x→−∞lim

−3x+ x−2 Lời giải

Ta có lim x→±∞

−3x+

x−2 =−3,xlim→2−

−3x+

x−2 = +∞,xlim→2+

−3x+

x−2 =−∞

Chọn đáp án C

x2−2x+ x+

A B C D

Lời giải Có lim

x→1

x2−2x+ x+ =

2 =

Chọn đáp án A

Câu 38 Giá trị lim x→−∞

√

x2−3

x+

(90)

x→−∞

√

x2−3

x+ = limx→−∞

−»1− x32

1 +x3 =−1

Chọn đáp án B

Câu 39 Tính lim x→1

x−1 x2−1

A B −1

2 C

1

2 D

x→1

x−1

x2−1 = limx→1

x−1

(x−1)(x+ 1) = limx→1

1 x+ =

1 + =

1

Chọn đáp án C

√

5−√5−x2

√

x2+ 16−4 =

a

√

b, đóa số nguyên, b số nguyên tố Giá trị biểu thức a+ 2bbằng

A B C 13 D 14

Lời giải Ta có

lim x→0

√

5−√5−x2

√

x2+ 16−4 = xlim→0

x2Ä√x2+ 16 + 4ä

x2Ä√5 +√5−x2ä = limx→0

√

x2+ 16 + 4

√

5 +√5−x2 =

8 2√5 =

4

√

5

Suy raa= 4,b= Vậya+ 2b= + 2·5 = 14

Chọn đáp án D

(1 +x)(1 + 2x)(1 + 3x)· · ·(1 + 2018x)−1

x

A 2018·2019 B 2019 C 2018 D 1009·2019 Lời giải

Ta chứng minh phương pháp quy nạp, với mọin≥1,n∈N lim

x→0

(1 +x)(1 + 2x)(1 + 3x)· · ·(1 +nx)−1

x =

n(n+ 1) (1)

* Vớin= thìV T = lim x→0

1 +x−1

x = limx→01 = vàV P =

1(1 + 1) = VậyV T =V P nên (1)đúng vớin=

* Giả sử(1) vớin=k, k≥1, k∈N, có nghĩa lim

x→0

(1 +x)(1 + 2x)(1 + 3x)· · ·(1 +kx)−1

x =

k(k+ 1)

* Xétn=k+ 1, ta có V T = lim

x→0

(1 +x)(1 + 2x)(1 + 3x)· · ·(1 +kx)(1 +kx+x)−1 x

= lim x→0

(1 +x)(1 + 2x)(1 + 3x)· · ·(1 +kx)−1

x + limx→0

(1 +x)(1 + 2x)(1 + 3x)· · ·(x+kx) x

= k(k+ 1)

2 + limx→0(1 +x)(1 + 2x)(1 + 3x)· · ·(1 +k)

= k(k+ 1)

2 +k+ =

(k+ 1)(k+ 2)

2 =V P

Vậy(1) vớin=k+ 1, k≥1, k∈N Bây ta áp dụng với n= 2018thì

lim x→0

(1 +x)(1 + 2x)(1 + 3x)· · ·(1 + 2018x)−1

x =

2018(2018 + 1)

2 = 1009·2019

(91)

Câu 42 Tính lim x→+∞

x+ sinx x A

2 B +∞ C D

Lời giải Ta có x−1

x ≤

x+ sinx

x ≤

x+

x x→lim+∞ x−1

x = limx→+∞ x+

x = Suy lim

x→+∞

x+ sinx x =

Chọn đáp án C

Câu 43 lim x→−1−

2x+ x+

A B +∞ C −2 D −∞

Lời giải

Ta có lim x→−1−

2x+

x+ =−∞     

   

lim

x→−1−(2x+ 3) = lim

x→−1−(x+ 1) = x+ 1<0 ∀x <−1

Chọn đáp án D

Câu 44 Tìm giới hạn A= lim x→−2

x+ x2+x+ 4

A −1

6 B −∞ C +∞ D

Lời giải Ta cóA= lim

x→−2

x+ x2+x+ 4 =

−2 +

(−2)2−2 + 4 =−

1

Chọn đáp án A

Câu 45 lim x→3

x−3 x+

A −∞ B C +∞ D

x−3 x+ =

Chọn đáp án B

Câu 46 lim x→+∞

2x−6 x+

A B −2 C D −3

x→+∞ 2x−6

x+ = limx→+∞ 2−6x

1 +2x = 2−0 + =

Chọn đáp án A

2x+ x−3

A B −1

3 C −

2

3 D

x→−∞

2x+

x−3 = limx→−∞ +

x 1−

x =

Chọn đáp án A

x−2 x+ A −2

3 B C D −3

(92)

Ta có lim x→+∞

x−2

x+ = limx→+∞ 1−2

x +3 x

=

Chọn đáp án B

2x+ x−3 A −2

3 B C D −

1 Lời giải

lim x→−∞

2x+

x−3 = limx→−∞ +

x 1−

x =

1 =

Chọn đáp án C

Câu 50 Giá trị lim x→3

x−3 x+

A L=−∞ B L= C L= +∞ D L=

Lời giải Ta cóL= lim

x→3

x−3 x+ =

0 =

Chọn đáp án B

x−3 x+

A L=−∞ B L= C L= +∞ D L=

x→3

x−3 x+ =

0 =

Chọn đáp án B

Câu 52 Biểu thức lim x→π

2

sinx x

A B

π C

π

2 D

Lời giải

lim x→π2

sinx x =

sinπ π

= π1

= π

Chọn đáp án B

Câu 53 Giá trị lim x→−1

x2−1 x+

A B C D −2

x→−1

x2−1

x+ = limx→−1

(x−1)(x+ 1)

x+ = limx→−1(x−1) =−2

Chọn đáp án D

x2+ 3x+ 2−3x2

A

2 B +∞ C −

1

3 D −

2 Lời giải

lim x→+∞

x2+ 3x+

2−3x2 = limx→+∞

1 +x3 +x52

2

x2 −3

=−1

3

Chọn đáp án C

x2−x−2

x2−4

A B C −3

4 D

(93)

x→2

x2−x−2 x2−4 = limx→2

(x+ 1)(x−2) (x−2)(x+ 2) = limx→2

x+ x+ =

3

Chọn đáp án D

2x−3

√

x2+ 1−x

A B −∞ C −1 D

Lời giải Ta có

lim x→−∞

2x−3

√

x2+ 1−x = limx→−∞

2−3

x

−

…

1 + x2 −1

=−1

Chọn đáp án C

Câu 57 GọiS tập hợp tất giá trị nguyên tham số mđể bất phương trình (2m2−7m+ 3)x3+x2−(m−1)x+

(2−m)x2+ 2x−3 ≤0

đúng với mọix thuộc tập xác định bất phương trình Số phần tử củaS

A 13 B 19 C D

Lời giải

Giả sửm số thực thỏa mãn yêu cầu tốn Với m = bất phương trình trở thành −3x

3+x2−x+ 2

2x−3 ≤ 0, bất phương trình khơng với x= 1nên khơng thỏa mãn ycbt

Vớim= bất phương trình trở thành x

2−2x+ 2

−x2+ 2x−3 ≤0, tập nghiệm bất phương trình làR nên

thỏa mãn ycbt

Với m =

2 bất phương trình trở thành

x2+1 2x+

2x

2+ 2x−3

≤0, bất phương trình khơng với x =

nên không thỏa mãn ycbt Với m 6= 2, m 6= m 6=

2, đặt f(x) =

(2m2−7m+ 3)x3+x2−(m−1)x+

(2−m)x2+ 2x−3 đặt A =

2m2−7m+ 3

2−m A6=

Theo giả thiết,f(x)≤0 với mọix thuộc tập xác định củaf(x) (1) – NếuA <0thì lim

x→−∞f(x) = +∞mâu thuẫn với (1) – NếuA >0thì lim

x→+∞f(x) = +∞mâu thuẫn với (1) VậyS ={3}, nên số phần tử S là1

Chọn đáp án C

Câu 58 TínhL= lim n−1 n3+ 3

A L= B L= C L= D L=

Lời giải Ta cólim n−1

n3+ 3= lim

1 n2 −

1 n3

1 + n3

= Vậy L=

(94)

Câu 59 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A lim

x→(−1)−

3x−2

x+ =−∞ B x→lim+∞(

√

x2−x+ +x−2) = +∞.

C lim x→(−1)+

3x−2

x+ =−∞ D x→−∞lim

Ä√

x2−x+ +x−2ä=−3

2 Lời giải

Ta có:

lim x→−∞(

p

x2−x+ +x−2) = lim

x→−∞

x2−x+ 1−(x−2)2

√

x2−x+ 1−x+ 2

= lim x→−∞

3x−3

√

x2−x+ 1−x+ 2

= lim x→−∞

x

Å

3−

x

ã

x

Ç

−

…

x−

x +

x2 −1 +

2 x

å

= lim x→−∞

3−

x

−

…

x−1

x +

x2 −1 +

2 x

=−3

2

Ta có lim x→(−1)−

3x−2

x+ = +∞

vì   

 

lim x→(−1)−

(3x−2) =−5<0

lim x→(−1)−

(x+ 1) = vàx+ 1<0 x→(−1)−

Ta có lim x→+∞(

√

x2−x+ +x−2) = lim

x→+∞x

Ç…

1−

x + x2 + 1−

2 x

å

= +∞

Ta có lim x→(−1)+

3x−2

x+ =−∞

  

 

lim x→(−1)+

(3x−2) =−5<0

lim x→(−1)+

(x+ 1) = 0và x+ 1>0 khix→(−1)+

Vậy lim x→(−1)−

3x−2

x+ =−∞là mệnh đề sai

Chọn đáp án A

Câu 60 Cho hàm sốf(x)xác định trênRthỏa mãn lim x→2

f(x)−16

x−2 = 12 Tính giới hạnxlim→2

3 p

5f(x)−16−4 x2+ 2x−8

A

5 B

5

2 C

5

12 D

1 Lời giải

Do lim x→2

f(x)−16

x−2 = 12nên ta có f(2)−16 = hayf(2) = 16 Ta có

lim x→2

3 p

5f(x)−16−4

x2+ 2x−8 = xlim→2

5(f(x)−16) (x−2)(x+ 4)Äp3

(5f(x)−16)2+ 4p3

5f(x)−16 + 16ä

= lim x→2

f(x)−16 x−2 ·

5 (x+ 4)(p3

(5f(x)−16)2+ 4p3

5f(x)−16 + 16)

= 12·

6·48 = 24

(95)

√

1 +ax2−bx−2

4x3−3x+ 1 =c, vớia, b, c∈R Tập nghiệm phương trìnhax

4+bx2+c= 0

trênR có số phần tử

A B C D

Lời giải Ta có

lim x→1

√

1 +ax2−bx−2

4x3−3x+ 1 = lim

x→1

1 +ax2−(bx+ 2)2

(4x3−3x+ 1)Ä√1 +ax2+bx+ 2ä

= lim x→1

(a−b2)x2−4bx−3

(2x−1)2(x+ 1)Ä√1 +ax2+bx+ 2ä

Theo đềI tồn hữu hạn nên phương trình(a−b2)x2−4bx−3 = phải có nghiệm képx=

2 Tức 



 ∆0 =

2b a−b2 =

1

⇔

®

4b2+ 3(a−b2) = 4b=a−b2 ⇔

®

b2+ 3b= a=b2+ 4b ⇔

®

a=−3

b=−3 (vìa, b6= 0) Khi a=−3, b=−3thì

I = lim x→1

−12x2+ 12x−3

(2x−1)2(x+ 1)Ä√1 +ax2+bx+ 2ä

= lim x→12

−3

(x+ 1)Ä√1−3x2−3x+ 2ä

= −3

3

»

1−34 −32 +

=−2

Do đó,a=−3, b=−3, c=−2 nên phương trình−3x4−3x2−2 = vơ nghiệm

Chọn đáp án A

Câu 62 Tính giới hạn L= lim x→−1

x2−x−2 3x2+ 8x+ 5

A L=−3

2 B L=

1

2 C L=−∞ D L=

x→−1

x2−x−2

3x2+ 8x+ 5 = limx→−1

(x+ 1)(x−2)

(x+ 1)(3x+ 5) = limx→−1

x−2 3x+ =−

3

Chọn đáp án A

Câu 63 lim x→4

x2−3x−4 x−4

A Không tồn B C D Lời giải

lim x→4

x2−3x−4

x−4 = limx→4(x+ 1) =

Chọn đáp án C

x2018+x2017+· · ·+x−2018 x2018−1

A 2018 B 2019

2018 C

2019

2 D

2018 Lời giải

Ta có lim x→1

x2018+x2017+· · ·+x−2018

x2018−1 = xlim→1

(x−1) x2017+ 2x2016+ 3x2015+· · ·+ 2017x+ 2018 (x−1) (x2017+x2016+· · ·+x+ 1)

= lim x→1

x2017+ 2x2016+ 3x2015+· · ·+ 2017x+ 2018 x2017+x2016+· · ·+x+ 1

=

2018·2019

2018 = 2019

(96)

Vậy lim x→1

x2018+x2017+· · ·+x−2018 x2018−1 =

2019

Chọn đáp án C

Câu 65 Tính giới hạn L= lim x→1−

x2+ x−1

A L= B L= +∞ C L=−∞ D L=

Lời giải

Ta có     

   

lim x→1−(x

2+ 1) = 2>0

lim

x→1−(x−1) = x−1<0, ∀x <1

VậyL= lim x→1−

x2+

x−1 =−∞

Chọn đáp án C

x+ 1−√5x+ x−√4x−3

a

b (phân số tối giản, a >0) Giá trị củaa−blà

A B

9 C −1 D

9 Lời giải

lim x→3

x+ 1−√5x+ x−√4x−3

= lim x→3

(x2−3x)(x+√4x−3) (x−1)(x−3)(x+ +√5x+ 1)

= lim x→3

x(x+√4x−3) (x−1)(x+ +√5x+ 1)

=

Suy a= 9,b= Vậy a−b=

Chọn đáp án A

2x−5

−x+ A −5

3 B −1 C D −2

Lời giải

Ta có lim x→+∞

2x−5

−x+ = limx→+∞ 2−5

x

−1 + x

=−2

Chọn đáp án D

Câu 68 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A lim

x→(−1)−

3x−2

x+ =−∞ B x→lim+∞(

√

x2−x+ +x−2) = +∞.

C lim x→(−1)+

3x−2

x+ =−∞ D x→−∞lim

Ä√

x2−x+ +x−2ä=−3

(97)

Ta có:

lim x→−∞(

p

x2−x+ +x−2) = lim

x→−∞

x2−x+ 1−(x−2)2

√

x2−x+ 1−x+ 2

= lim x→−∞

3x−3

√

x2−x+ 1−x+ 2

= lim x→−∞

x

Å

3−

x

ã

x

Ç

−

…

x−

x +

x2 −1 +

2 x

å

= lim x→−∞

3−

x

−

…

x−1

x +

x2 −1 +

2 x

=−3

2

Ta có lim x→(−1)−

3x−2

x+ = +∞

vì   

 

lim x→(−1)−

(3x−2) =−5<0

lim x→(−1)−

(x+ 1) = vàx+ 1<0 x→(−1)−

Ta có lim x→+∞(

√

x2−x+ +x−2) = lim

x→+∞x

Ç…

1−

x + x2 + 1−

2 x

å

= +∞

Ta có lim x→(−1)+

3x−2

x+ =−∞

  

 

lim x→(−1)+

(3x−2) =−5<0

lim x→(−1)+

(x+ 1) = 0và x+ 1>0 khix→(−1)+

Vậy lim x→(−1)−

3x−2

x+ =−∞là mệnh đề sai

Chọn đáp án A

Câu 69 Cho hàm sốf(x)xác định trênRthỏa mãn lim x→2

f(x)−16

x−2 = 12 Tính giới hạnxlim→2

3 p

5f(x)−16−4 x2+ 2x−8

A

5 B

5

2 C

5

12 D

1 Lời giải

Do lim x→2

f(x)−16

x−2 = 12nên ta có f(2)−16 = hayf(2) = 16 Ta có

lim x→2

3 p

5f(x)−16−4

x2+ 2x−8 = xlim→2

5(f(x)−16) (x−2)(x+ 4)Äp3

(5f(x)−16)2+ 4p3

5f(x)−16 + 16ä

= lim x→2

f(x)−16 x−2 ·

5 (x+ 4)(p3

(5f(x)−16)2+ 4p3

5f(x)−16 + 16)

= 12·

6·48 = 24

Chọn đáp án B

√

1 +ax2−bx−2

4x3−3x+ 1 =c, vớia, b, c∈R Tập nghiệm phương trìnhax

4+bx2+c= 0

trênR có số phần tử

A B C D

(98)

Ta có

lim x→1

√

1 +ax2−bx−2

4x3−3x+ 1 = xlim→1

1 +ax2−(bx+ 2)2

(4x3−3x+ 1)Ä√1 +ax2+bx+ 2ä

= lim x→1

(a−b2)x2−4bx−3

(2x−1)2(x+ 1)Ä√1 +ax2+bx+ 2ä

Theo đềI tồn hữu hạn nên phương trình(a−b2)x2−4bx−3 = 0 phải có nghiệm képx=

2 Tức 



 ∆0 =

2b a−b2 =

1

⇔

®

4b2+ 3(a−b2) = 4b=a−b2 ⇔

®

b2+ 3b= a=b2+ 4b ⇔

®

a=−3

b=−3 (vìa, b6= 0) Khi a=−3, b=−3thì

I = lim x→1

−12x2+ 12x−3

(2x−1)2(x+ 1)Ä√1 +ax2+bx+ 2ä

= lim x→1

−3

(x+ 1)Ä√1−3x2−3x+ 2ä

= −3

3

»

1−34 −32 +

=−2

Do đó,a=−3, b=−3, c=−2 nên phương trình−3x4−3x2−2 = vơ nghiệm

Chọn đáp án A

Câu 71 Tính giới hạn L= lim x→−1

x2−x−2 3x2+ 8x+ 5

A L=−3

2 B L=

1

2 C L=−∞ D L=

x→−1

x2−x−2

3x2+ 8x+ 5 = limx→−1

(x+ 1)(x−2)

(x+ 1)(3x+ 5) = limx→−1

x−2 3x+ =−

3

Chọn đáp án A

Câu 72 lim x→4

x2−3x−4 x−4

A Không tồn B C D Lời giải

lim x→4

x2−3x−4

x−4 = limx→4(x+ 1) =

Chọn đáp án C

x2018+x2017+· · ·+x−2018 x2018−1

A 2018 B 2019

2018 C

2019

2 D

2018 Lời giải

Ta có lim x→1

x2018+x2017+· · ·+x−2018

x2018−1 = xlim→1

(x−1) x2017+ 2x2016+ 3x2015+· · ·+ 2017x+ 2018 (x−1) (x2017+x2016+· · ·+x+ 1)

= lim x→1

x2017+ 2x2016+ 3x2015+· · ·+ 2017x+ 2018 x2017+x2016+· · ·+x+ 1

=

2018·2019

2018 = 2019

2

Vậy lim x→1

x2018+x2017+· · ·+x−2018 x2018−1 =

2019

(99)

Câu 74 Tính giới hạn L= lim x→1−

x2+ x−1

A L= B L= +∞ C L=−∞ D L=

Lời giải

Ta có     

   

lim x→1−(x

2+ 1) = 2>0

lim

x→1−(x−1) = x−1<0, ∀x <1

VậyL= lim x→1−

x2+

x−1 =−∞

Chọn đáp án C

x2−(a+ 2)x+a+ 1

x3−1

A 2−a

3 B

−2−a

3 C

−a

3 D

a Lời giải

Ta có

lim x→1

x2−(a+ 2)x+a+ 1

x3−1

= lim x→1

(x−1)(x−a−1) (x−1)(x2+x+ 1)

= lim x→1

x−a−1 x2+x+ 1=

−a

Chọn đáp án C

Câu 76 Trong bộ số (a, b) số nguyên dương thỏa mãn lim

x→−∞

Äp

9x2+ax+p3

27x3+bx2+ 5ä=

27,

tồn số (a, b) thỏa mãn hệ thức sau đây?

A a+ 2b= 33 B a+ 2b= 34 C a+ 2b= 35 D a+ 2b= 36 Lời giải

Ä√

9x2+ax+√3

27x3+bx2+ 5ä= lim

x→−∞

Ä√

9x2+ax+ 3xä+ lim

x→−∞

Ä√3

27x3+bx2+ 5−3xä.

I1 = lim

x→−∞

Ä√

9x2+ax+ 3xä= lim

x→−∞

ax

Ä√

9x2+ax−3xä =−x→−∞lim

a p

9 +ax+ =− a Ta có

I2 = lim

x→−∞

Äp3

27x3+bx2+ 5−3xä

= lim x→−∞

bx2+

p

(27x3+bx2+ 5)2+ 3x√3

27x3+bx2+ + 9x2

= lim x→−∞

b+ x2

Ç

3

…

27 + b x +

5 x3

å2

+ 3·

…

27 + b x +

5 x3 +

= b 27

Suy ra−a

6 + b 27 =

7

27 Vì(a, b)∈Z

+ nên

®

a= b= 16 Do a+ 2b= 34

Chọn đáp án B

x−2 x+ A −2

(100)

x→+∞ x−2

x+ = limx→+∞ 1−2

x +3 x

=

Chọn đáp án B

Câu 78 Trong bộ số (a, b) số nguyên dương thỏa mãn lim

x→−∞

Äp

9x2+ax+p3

27x3+bx2+ 5ä=

27,

tồn số (a, b) thỏa mãn hệ thức sau đây?

A a+ 2b= 33 B a+ 2b= 34 C a+ 2b= 35 D a+ 2b= 36 Lời giải

Ä√

9x2+ax+√3

27x3+bx2+ 5ä= lim

x→−∞

Ä√

9x2+ax+ 3xä+ lim

x→−∞

Ä√3

27x3+bx2+ 5−3xä.

I1 = lim

x→−∞

Ä√

9x2+ax+ 3xä= lim

x→−∞

ax

Ä√

9x2+ax−3xä =−x→−∞lim

a p

9 +ax+ =− a Ta có

I2 = lim

x→−∞

Äp3

27x3+bx2+ 5−3xä

= lim x→−∞

bx2+

p

(27x3+bx2+ 5)2+ 3x√3

27x3+bx2+ + 9x2

= lim x→−∞

b+ x2

Ç

3

…

27 + b x +

5 x3

å2

+ 3·

…

27 + b x +

5 x3 +

= b 27

Suy ra−a

6 + b 27 =

7

27 Vì(a, b)∈Z

+ nên

®

a= b= 16 Do a+ 2b= 34

Chọn đáp án B

x−2 x+ A −2

3 B C D −3

x→+∞ x−2

x+ = limx→+∞ 1−2

x +3 x

=

Chọn đáp án B

Câu 80 lim x→0

Å

1 x −

1 x2

ã

bằng A −2

3 B −∞ C D +∞

Å1

x − x2

ã

= lim x→0

x−1 x2

Ta có lim

x→0(x−1) =−1<0,xlim→0

1

x2 = +∞

Vậy lim x→0

x−1

x2 =−∞, hay xlim→0

Å1

x − x2

ã

=−∞

(101)

2x−2 + 2x

A B C −3 D −2

3 Lời giải

lim x→+∞

2x−2

1 + 2x = limx→+∞ 2−

x x +

=

Chọn đáp án B

Câu 82 Tìm tất giá trị thực tham số k để có k Z

1

(2x−1) dx= lim x→0

√

x+ 1−1

x

A

ñ

k=−1

k= B

ñ

k=

k=−2 C

ñ

k=

k= D

ñ

k=−1 k=−2 Lời giải

k Z

1

(2x−1) dx= (x2−x) k

1 =k 2−k

4 lim x→0

√

x+ 1−1 x = limx→0

4

√

x+ + = Ta cók

2−k= 2⇔

đ

k=−1 k=

Chọn đáp án A

Câu 83 Tính giới hạn lim x→−1

x2+ 2x+ 2x3+ 2

A

2 B +∞ C −∞ D

lim x→−1

x2+ 2x+

2x3+ 2 = limx→−1

(x+ 1)2

2(x+ 1)(x2−x+ 1) = limx→−1

x+

2(x2−x+ 1) =

Chọn đáp án D

3x−1 1−2x A L=−3

2 B L= C L=

3

2 D L=−

1 Lời giải

Tính lim x→+∞

3x−1

1−2x = limx→+∞ 3−

x x −2

=−3

2

Chọn đáp án A

Câu 85 Giá trị lim x→+∞

2−3x x+ A

2 B −3 C −

3

4 D

x→+∞ 2−3x

x+ =−3

Chọn đáp án B

2017x−2 2018x+ A −2

5 B C D

2017 2018 Lời giải

lim x→+∞

2017x−2

2018x+ = limx→+∞

2017−2

x 2018 + x

(102)

Chọn đáp án D

Câu 87 Khẳng định sau đúng? A lim

x→x0 p

f(x) +g(x) = q

lim x→x0

f(x) + q

lim x→x0

g(x) B lim

x→x0 p

f(x) +g(x) = lim x→x0

3 p

f(x) + lim x→x0

3 p

g(x) C lim

x→x0 p

f(x) +g(x) = q

lim x→x0

[f(x) +g(x)]

D lim x→x0

3 p

f(x) +g(x) = lim x→x0

ỵ

3 p

f(x) +p3 g(x)ó Lời giải

Câu hỏi lý thuyết

Chọn đáp án C

Câu 88 Tínhl= lim x→2

x2−3x+ x−2

A l= B l= C l= D l=

Lời giải Ta cól= lim

x→2

x2−3x+ x−2 = limx→2

(x−1)(x−2)

x−2 = limx→2(x−1) =

Chọn đáp án C

Câu 89 Cho m, n số thực khác0 Nếu giới hạn lim x→1

x2+mx+n

x−1 = m·nbằng

A −3 B −1 C D −2

Lời giải

Xét hàm số f(x) =x2+mx+n Ta cóf(1) = 0⇔n=−1−m Do f(x) = (x−1)(x+ +m)

lim x→1

x2+mx+n x−1 = limx→1

(x−1)(x+ +m)

x−1 = limx→1(x+ +m) =

⇒2 +m= 3⇔m= 1⇒n=−2 Vậym·n=−2

Chọn đáp án D

(1−2x)2x3 (x+ 3)5

A B C −2 D −2

3 Lời giải

Ta có

lim x→+∞

(1−2x)2x3

(x+ 3)5 = limx→+∞

Å1

x −2

ã2

Å

1 +3 x

ã5 =

Chọn đáp án B

2017x−2 2018x+ A −2

5 B

2017

2018 C D

Lời giải

lim x→+∞

2017x−2

2018x+ = limx→+∞

2017−2

x 2018 + x

= 2017 2018

Chọn đáp án B

2x−1

x2+ 2x+ 3

A B C −3 D −2

(103)

x→−∞

2x−1

x2+ 2x+ 3 = limx→−∞

2 x −

1 x2

1 + x +

3 x2

=

Chọn đáp án B

Câu 93 Trong giới hạn sau giới hạn có kết bằng0? A lim

x→+∞(

√

x2+ 1−x). B. lim

x→1

x−1

x3−1 C xlim→−2

x2−4

x2+ 3x+ 2 D xlim→−2

2x+ x+ 10 Lời giải

lim x→+∞(

√

x2+ 1−x) = lim

x→+∞

1

√

x2+ +x =

lim x→1

x−1

x3−1 = limx→1

1

x2+x+ 1 =

1 lim

x→−2

x2−4

x2+ 3x+ 2 = limx→−2

x−2 x+ =

lim x→−2

2x+ x+ 10 =

1

Chọn đáp án A

3x−1 x+

A B C −1 D

x→−∞ 3x−1

x+ = limx→−∞ 3−

x + x

=

Chọn đáp án B

x2−3x+ 2x2+ 1

A +∞ B −∞ C D

2 Lời giải

Ta có lim x→+∞

x2−3x+

2x2+ 1 = limx→+∞

1−

x + x2

2 + x2

=

Chọn đáp án D

Câu 96 Cho hàm sốf(x) = √x+

x2+ 1 Chọn đáp án

A lim

x→+∞f(x) = 1; limx→−∞f(x) =−1 B x→lim+∞f(x) = limx→−∞f(x) = C lim

x→+∞f(x) = limx→−∞f(x) =−1 D x→lim+∞f(x) = +∞; limx→−∞f(x) =−∞ Lời giải

Ta có:

lim

x→+∞f(x) = limx→+∞

x+

√

x2+ 1 = limx→+∞ x·

Å

1 + x

ã

x·

…

1 + x2

= lim x→+∞

1 + x

…

1 + x2

=

lim

x→−∞f(x) = limx→−∞

x+

√

x2+ 1 = limx→−∞ x·

Å

1 +1 x

ã

−x·

…

1 + x2

= lim x→−∞

1 + x

−

…

1 + x2

(104)

Chọn đáp án A

√

x+ 2−2

x−2 có giá trị

A B

4 C

1

2 D

√

x+ 2−2 x−2 = limx→2

x−2

(x−2) √x+ + = lim x→2

1

√

x+ + =

Chọn đáp án B

x2−2018x+ 2x2+ 2018x

A 2018 B

2 C D

1 2018 Lời giải

Ta có

lim x→+∞

x2−2018x+

2x2+ 2018x = limx→+∞

1−2018

x + x2

2 +2018 x

=

Chọn đáp án B

Câu 99 lim x→2

x2−4

x−2 có giá trị

A B +∞ C −∞ D −4

x→2

x2−4

x−2 ⇔xlim→2

(x−2)(x+ 2)

x−2 = limx→2(x+ 2) =

Chọn đáp án A

Câu 100 Tìm giá trị tham sốm để lim x→−∞

mx−2 2x+ =

A m= B m=−4 C m= D m=−2

Lời giải

Kết giới hạn hữu hạn nênm6= 0, khim6= ta có lim x→−∞

mx−2 2x+ =

m Theo giả thiết ta có lim

x→−∞

mx−2

2x+ = 2⇒ m

2 = 2⇔m=

Chọn đáp án A

2x−3 1−3x A

3 B C −

2

3 D −

3 Lời giải

lim x→+∞

2x−3

1−3x = limx→+∞ 2−

x x −3

=−2

3

Chọn đáp án C

Câu 102 Cho hàm sốf(x) thỏa mãn lim x→2

f(x)−1

x−2 = 2, tìm I = limx→2

3 p

f(x) + 7−2 x2−4

A −

24 B −

1

8 C

1

24 D

1 Lời giải

Ta có lim x→2

f(x)−1

x−2 = 2⇒f(2) = I = lim

x→2

3 p

f(x) + 7−2 x2−4 = limx→2

f(x)−1 x−2 ·

1 x+ 2·

1

3

»

(f(x) + 7)2+ 2·p3

f(x) + + =

24

(105)

Câu 103 Cho hàm sốf(x) =

®

x3+ x <1

0 x≥1 Khi đó,xlim→1f(x)

A B C D Không tồn

x→(1)−f(x) =x→lim(1)−(x

3+ 1) = 2, lim

x→(1)+f(x) =x→lim(1)+0 = Suy lim

x→(1)−f(x)6=x→lim(1)+f(x) nên xlim→1f(x)không tồn

Chọn đáp án D

Câu 104 TínhI = lim x→+∞

x−2 1−x

A I = B I = C I =−2 D I =−1

Lời giải

Ta cóI = lim x→+∞

x−2

1−x = limx→+∞ x

Å

1−

x

ã

x

Å

1 x −1

ã = lim

x→+∞ 1−2

x x −1

=−1

Chọn đáp án D

Câu 105 Chof(x) = |x−2|

2x−4 Kết luận đúng? A lim

x→2+f(x) = +∞ B xlim→2f(x) =−∞ C xlim→2f(x) =

1

2 D xlim→2+f(x) = Lời giải

Ta có    

  

lim

x→2+f(x) = limx→2+ x−2 2x−4 =

1 lim

x→2−f(x) = limx→2− 2−x 2x−4 =−

1 Do khơng tồn lim

x→2f(x)

Chọn đáp án D

Câu 106 lim x→−2+

2x−3 2x+

A +∞ B C −2 D −∞

Lời giải

Ta có     

   

lim

x→−2+(2x−3) =−7<0 lim

x→−2+(2x+ 4) = 2x+ 4>0∀x >−2

⇒ lim

x→−2+

2x−3

2x+ 4=−∞

Chọn đáp án D

Câu 107 Cho lim x→1

f(x)−1

x−1 = TínhL= limx→1

f3(x) + 2f(x)−3 x2−3x+ 2

A L= 10 B L=−10 C L= D L=−5

Lời giải

Từ giả thiết, ta suy lim

x→1f(x) = Suy

L= lim x→1

[f(x)−1]f2(x) +f(x) + (x−1)(x−2) = 2·

1 + +

1−2 =−10

Chọn đáp án B

x2+x+ 12018

+ (x+ 2)2018−2·32018

(x−1) (x+ 2017)

A 4·32017 B 32017 C 8·32017 D 2·32017 Lời giải

Đặtf(x) = x2+x+ 12018

+ (x+ 2)2018 Ta có lim

x→1

x2+x+ 12018

+ (x+ 2)2018−2·32018

(x−1) (x+ 2017) = limx→1

f(x)−f(1) (x−1) (x+ 2017) =

(106)

Màf0(x) = 2018 (2x+ 1) x2+x+ 12017

+ 2018 (x+ 2)2017 Nênf0(1) = 2018·4·32017 Vậy kết 4·32017

Chọn đáp án A

Câu 109 lim x→−∞(x

3−3x2+ 2x+ 2018) bằng

A 2018 B +∞ C D −∞

Lời giải lim x→−∞(x

3−3x2+2x+2018) = lim

x→−∞

ï

x3

Å

1−3

x+ x2 +

2018 x3

ãò

=−∞(do lim x→−∞x

3=−∞và lim

x→−∞

Å

1−3

x + x2 +

2018 x3

ã

= 1)

Chọn đáp án D

Câu 110 TínhL= lim x→2−

Å

1 x−2 −

1 x2−4

ã

A Không tồn tạiL B L= +∞ C L=−∞ D L= Lời giải

Dạng vô định∞ − ∞

L= lim x→2−

Å

1 x−2−

1 x2−4

ã

= lim x→2−

x+

x2−4 =−∞

Chọn đáp án C

Câu 111 TínhM = lim x→+∞

x−2 2x+ A M =−2

3 B M = C M = +∞ D M =

1 Lời giải

Ta cóM = lim x→+∞

x−2

2x+ = limx→+∞ 1−

x +x3 =

1

Chọn đáp án D

2−√x−3 x2−49

A B 13

4 C −

1

56 D −1

2−√x−3 x2−49 = limx→7

7−x

(x2−49)(2 +√x−3) = limx→7

−1

(x+ 7)(2 +√x−3) =− 56

Chọn đáp án C

2x+ 2017 x+ 2018

A 2017 B 2017

2018 C D −2

Lời giải

Với x6= 0, ta có

2x+ 2017 x+ 2018 =

2 +2017 x +2018

x

Mà lim x→−∞

Å

2 +2017 x

ã

= lim x→−∞

Å

1 +2018 x

ã

= 1⇒ lim x→−∞

2x+ 2017 x+ 2018 =

2 =

Chọn đáp án C

x−1 x2−3x+ 2

A B C −1 D −1

2 Lời giải

Ta có lim x→1

x−1

x2−3x+ 2 = limx→1

x−1

(x−1)(x−2) = limx→1

1

x−2 =−1

(107)

2x2+x x2−1

A −2 B −1 C D

Lời giải Ta có: lim

x→+∞

2x2+x

x2−1 = limx→+∞

2 +1 x 1−1

x =

Chọn đáp án C

Câu 116 Để lim x→−∞

√

4x2+x+ + 4

mx−2 =

2 giá trịm thuộc tập hợp nào?

A [3; 6] B [−3; 0] C [−6;−3] D [1; 3] Lời giải

Dox→ −∞nên coi x <0 Khi đó:

lim x→−∞

√

4x2+x+ + 4

mx−2 = limx→−∞

√

4x2+x+ 1

x +

4 x m−

x

= lim x→−∞

−

…

4 +1 x +

1 x2 +

4 x m−2

x

= −2 m

Vậym=−4

Chọn đáp án C

Câu 117 Giới hạn lim x→−2

x+

(x+ 2)2

A B −∞ C

16 D +∞

Lời giải Ta có

lim

x→−2(x+ 1) =−1<0

lim

x→−2(x+ 2) = 0.

(x+ 2)2 >0,∀x6=−2.

Vậy lim x→−2

x+

(x+ 2)2 =−∞

Chọn đáp án B

Câu 118 lim x→1+

√

x−1 x+

A B

3 C +∞ D −∞

x→1+

√

x−1 x+ =

√

1−1 + =

Chọn đáp án A

5x+ 2018x−1 A

2018 B −2 C −5 D −∞

x→−∞

5x+

2018x−1 = limx→−∞

5 + x 2018−

x =

2018

Chọn đáp án A

Câu 120 Biết rằngb >0,a+b= 5và lim x→0

3

√

ax+ 1−√1−bx

(108)

Lời giải Ta có

2 = lim x→0

3

√

ax+ 1−√1−bx x

= lim x→0

3

√

ax+ 1−1 x −xlim→0

√

1−bx−1 x = lim

x→0

a

√

ax+ 12+√3

ax+ +

−lim x→0

−b

√

1−bx+

= a +

b

Ngoài a+b= nên a= vàb= Khi đóa2−b2 = 5<6

Chọn đáp án D

√

x+ 2−2 x−2

A −∞ B

4 C +∞ D

1 Lời giải

Ta có

lim x→2

√

x+ 2−2 x−2 = limx→2

x−2

(x−2) √x+ + = lim x→2

1

√

x+ + =

Chọn đáp án B

2x−1

√

x2+ 1−1

A B −2 C −∞ D

Lời giải

lim x→−∞

2x−1

√

x2+ 1−1 = limx→−∞

2x−1

−x

…

1

x2 + 1−1

= lim x→−∞

2−

x

−

…

1 x2 + 1−

1 x

=−2

Chọn đáp án B

Câu 123 Cho biết lim x→−∞

√

4x2−7x+ 12

a|x| −17 =

3 Giá trị củaabằng

A −3 B C D −6

Lời giải

√

4x2−7x+ 12

a|x| −17 = limx→−∞

−x

…

4−7

x + 12 x2

−x

Å

a+17 x

ã = lim

x→−∞

…

4−

x + 12 x2

a+ 17 x

= a =

2

3 ⇒a=

Chọn đáp án B

2x−1 x−1

A −1 B C D −2

x→+∞ 2x−1

x−1 = limx→+∞ 2−

x 1−

x =

Chọn đáp án C

Câu 125 lim x→−4

x2+ 3x−4 x2+ 4x

A B −1 C

4 D −

(109)

x→−4

x2+ 3x−4

x2+ 4x = limx→−4

x−1 x =

5

Chọn đáp án C

Câu 126 Xét giới hạn sau I lim

x→1−

x2−3x+

|x−1| = 1;

II lim x→1−

x2−3x+ 2

|x−1| =−1;

III lim x→1+

x2−3x+

|x−1| =−1;

IV lim x→1+

x2−3x+ 2

|x−1| = 1;

Kết sau đúng?

A I III B II III C II IV D I IV Lời giải

lim x→1−

x2−3x+ 2

|x−1| = limx→1−

(x−1)(x−2) 1−x = lim

x→1+

x2−3x+

|x−1| = limx→1+

(x−1)(x−2) x−1 =−1

Chọn đáp án A

√

x+ 1−√3 x+ x−3

A B

2 C

1

3 D

1 Lời giải

Đặt f(x) = √x+ 1−√3x+ 5, đó f(3) = Dễ thấy hàm số có đạo hàm trên [−1; +∞) nên tồn tại f0(3) Do

f0(3) = lim x→3

f(x)−f(3) x−3 = limx→3

√

x+ 1−√3x+ 5 x−3

Màf0(x) = 2√x+ 1−

1 33

»

(x+ 5)2

suy raf0(3) = 4−

1 12 =

1

Chọn đáp án D

Ä√

x2+ 3x+ 2−xä.

A

2 B −

7

2 C −

3

2 D

3 Lời giải

lim x→+∞

Äp

x2+ 3x+ 2−xä = lim

x→+∞

3x+

√

x2+ 3x+ +x

= lim x→+∞

x

Å

3 +2 x

ã

|x|

…

1 + x +

2 x2 +x

= lim x→+∞

x

Å

3 + x

ã

x

Ç…

1 + x +

2 x2 +

å

= lim x→+∞

Å

3 +2 x

ã

Ç…

1 + x +

2 x2 +

å =

3

(110)

Câu 129 Tính giới hạn L= lim x→+∞

3x+ 2x−4 A L=−1

2 B L=−

3

4 C L= D L=

3 Lời giải

Ta cóL= lim x→+∞

3x+

2x−4 = limx→+∞ +

x 2−

x =

2

Chọn đáp án D

Câu 130 Giới hạn lim x→−∞

x+

√

x2−1

A −∞ B C D −1

Lời giải

x+

√

x2−1 = limx→−∞

1 +1 x

−

…

1−

x2

=−1

Chọn đáp án D

Câu 131 Tính giới hạn sau lim x→∞

3x2−2x+

√

8x6−4x3

A

2 B C D +∞

x→∞

3x2−2x+ 1

3

√

8x6−4x3 = limx→∞

x2 3−2

x +

1

x2

x2Ä»3 8− x3

ä = limx→∞

3−2

x+

1

x2

»

8−x43 =

2

Chọn đáp án A

2−x +x

A −1 B

3 C −

2

3 D

Lời giải

2−x

3 +x = limx→−∞ x−1 x+

=−1

Chọn đáp án A

5x2+ 2x+ 3

x2+ 1

A B C D

Lời giải

lim x→+∞

5x2+ 2x+

x2+ 1 = limx→+∞

5 +2 x+

3 x2

1 + x2

= =

Chọn đáp án D

Câu 134 Biết lim x→+∞

(2−a)x−3

x−√x2+ 1 = +∞(vớialà tham số) Giá trị nhỏ củaP =a

2−2a+ 4là

A B C D

Lời giải Để lim

x→+∞

(2−a)x−3

x−√x2+ 1 = +∞ thì2−a <0⇒a >2

(111)

a

f(a)

2 +∞

4

+∞

Suy raminP =

Chọn đáp án A

Câu 135 Choa,b số nguyên lim x→1

ax2+bx−5

x−1 = Tínha

2+b2+a+b.

A 18 B C 15 D

Lời giải Ta có

lim x→1

ax2+bx−5 x−1 =

⇔ lim

x→1

(x−1)(ax+ (a+b)−5 +a+b)

x−1 =

⇔ lim

x→1(ax+ (a+b)−5 +a+b) =

⇔

®

a(1) +a+b=

−5 +a+b=

⇔

®

2a+b= a+b=

⇔

®

a= b=

⇒ a2+b2+a+b= 18

Chọn đáp án A

x+

√

4x2+ 1−2

A

4 B

1

2 C −

3

2 D

x→+∞

x+

√

4x2+ 1−2 = limx→+∞

1 + x

…

4 + x2 −

2 x

=

Chọn đáp án B

x3−1 1−x

A −1 B −3 C D

x→1

x3−1 1−x = limx→1

(x−1)(x2+x+ 1)

1−x = limx→1(−x

2−x−1) =−3.

Chọn đáp án B

(2x+ 1)(2−x) x2+ 3

A −2 B C D

3 Lời giải

lim x→−∞

(2x+ 1)(2−x)

x2+ 3 = limx→−∞

(2 + x)(

2 x −1) +

x2

=−2

(112)

Câu 139 Cho a, blà hai số dương thỏa mãn giới hạn I = lim x→+∞

Ä

ax−√bx2−2x+ 2018ähữu hạn Tính

I

A

a+√b B a−

√

b C

a D

2 a+b Lời giải

Ta thấy

I = lim x→+∞

Ä

ax−pbx2−2x+ 2018ä

I = lim x→+∞

(a2−b)x2+ 2x−2018

ax+√bx2−2x+ 2018

I = lim x→+∞

(a2−b)x+ 2−2018

x a+

…

b−

x + 2018

x2

Từ giả thiết, ta  



a2−b= I =

a+√b

Do vậy, I = a

Chọn đáp án C

(x2+x+ 1)2018+ (x+ 2)2018−2·32018 (x−1)(x+ 2017)

A 4·32017 B 32017 C 2·32017 D 8·32017 Lời giải

Đặtf(x) = (x2+x+ 1)2018+ (x+ 2)2018 Ta có lim

x→1

(x2+x+ 1)2018+ (x+ 2)2018−2·32018 (x−1)(x+ 2017) = limx→1

f(x)−f(1) 2018·(x−1) =

f0(1) 2018

Màf0(x) = 2018·(x2+x+ 1)2017·(2x+ 1) + 2018·(x+ 2)2017 Nênf0(1) = 2018·4·32017 Vậy kết 4·32017

Chọn đáp án A

4x2−2 2x2+ 3

A −2

3 B C D −2

Lời giải lim x→−∞

4x2−2

2x2+ 3 = limx→−∞

x2(4−

x2)

x2(2 +

x2)

= lim x→−∞

4−

x2

2 + x2

=

Chọn đáp án C

Câu 142 Giới hạn lim x→−∞ x

3+ 3x2+ 2018

A −∞ B +∞ C D

x→−∞ x

3+ 3x2+ 2018

= lim x→−∞

ï

x3

Å

1 + x +

2018 x3

ãò

=−∞

Chọn đáp án A

x−2 x2+ 1

A B C D −2

Lời giải

lim x→+∞

x−2

x2+ 1 = limx→+∞

x

Å

1−

x

ã

x2

Å

1 + x2

ã = lim

x→+∞ x ·

1−

x + x2

=

(113)

Câu 144 Giá trị giới hạn lim x→2 x

2+ 1

A B C D

Lời giải lim x→2 x

2+ 1

= 22+ =

Chọn đáp án B

Câu 145 Biết lim x→+∞(

√

x2+bx+ 1−x) = 2, đóbbằng

A B C D −4

Lời giải

• lim x→+∞(

√

x2+bx+ 1−x) = lim

x→+∞

bx+

√

x2+bx+ +x =

b

•Vậy b=

Chọn đáp án C

x+ x

A B C D

x→2

x+ x =

2 + 2 =

Chọn đáp án B

Câu 147 Cặp(a;b) thỏa mãn lim x→3

x2+ax+b

x−3 =

A a=−3, b= B a= 3, b=

C a= 0, b=−9 D Không tồn cặp(a;b) thỏa mãn Lời giải

Theo đề ta có x2+ax+b= (x−3)x⇒a=−3, b=

Chọn đáp án A

Câu 148 Tính giới hạn I = lim x→−∞

5x−2 3x+ A I =

3 B I =−

2

3 C I = D I =−2

Lời giải Ta cóI = lim

x→−∞

5x−2 3x+ =

5

Chọn đáp án A

Câu 149 Cặp(a;b) thỏa mãn lim x→3

x2+ax+b

x−3 =

A a=−3, b= B a= 3, b=

C a= 0, b=−9 D Không tồn cặp(a;b) thỏa mãn Lời giải

Theo đề ta có x2+ax+b= (x−3)x⇒a=−3, b=

Chọn đáp án A

2x+ x−2

A −2 B C −4 D

x→+∞ 2x+

x−2 = limx→+∞ +8x 1−2x =

Chọn đáp án D

Câu 151 Tính giới hạn lim x→−∞ −4x

5−3x3+x+ 1

A B +∞ C −∞ D −4

x→−∞ −4x

5−3x3+x+ 1

= lim x→−∞x

5

Å

−4−

x2 +

1 x4 +

1 x5

ã

= +∞

(114)

Câu 152 Biết lim x→+∞

Ä√

4x2−3x+ 1−(ax+b)ä= 0.Tính giá trị biểu thức T =a−4b.

A T = B T =−2 C T =−1 D T =

Lời giải

Từ giả thiết, đường thẳngy=ax+blà tiệm cận xiên đồ thị hàm số y=√4x2−3x+ 1, khi x→+∞.

Từ đó,

a = lim x→+∞

√

4x2−3x+ 1

x = 2,

b = lim x→+∞

Ä√

4x2−3x+ 1−2xä

= lim x→+∞

−3x+

√

4x2−3x+ + 2x

= lim x→+∞

−3 +x1

»

4−x3 +x12 + =−3

4

Suy raa−4b=

Chọn đáp án D

Câu 153 lim x→1+

x2+

x−1 có giá trị bao nhiêu?

A +∞ B C D −∞

x→1+(x

2+ 1) = 2và lim

x→1+(x−1) = Mặt khác, x→1

+ thìx−1>0.

Vậy lim x→1+

x2+

x−1 = +∞

Chọn đáp án A

x

x2+ 1

A B C −∞ D +∞

x→−∞ x

x2+ 1 = limx→−∞

1 x +

x2

=

Chọn đáp án A

Câu 155 Tính giới hạn lim x→−∞

x−√x2+x

x+

A −2 B C D −∞

Lời giải

lim x→−∞

x−√x2+x

x+ = limx→−∞

x− |x|

…

1 + x

x+ = limx→−∞ x+x

…

1 + x x

Å

1 +1 x

ã = lim

x→−∞ +

…

1 + x +

x

=

Chọn đáp án B

Câu 156 Tính giới hạn I = lim x→1

x2−1 x−1

A I = B I = C I = D I = +∞

Lời giải I = lim

x→1

x2−1 x−1 = limx→1

(x−1)(x+ 1)

x−1 = limx→1(x+ 1) =

Chọn đáp án C

2x−1 3−x

A −2 B

3 C D

(115)

lim x→−∞

2x−1

3−x = limx→−∞ 2−

x x −1

=−2

Chọn đáp án A

Câu 158 Trong mệnh đề sau, mệnh đề nàosai? A lim

x→0+

x = +∞ B xlim→0+

x =−∞ C xlim→0+

x2 = +∞ D xlim→0+

x3 = +∞

Lời giải

Xét hàm sốy =

x, ta có xlim→0+2 = 2>0và xlim→0+x= 0,x →0

+ suy ra x >0 Do đó, lim

x→0+

x = +∞ Vậy, mệnh đề sai lim

x→0+

x =−∞

Chọn đáp án B

Câu 159 Cho giới hạn lim x→−∞

Ä√

ax2+x+ 1−√x2+bx−2ä= TínhP =a·b.

A B −3 C D −5

Lời giải Ta có

lim x→−∞

Äp

ax2+x+ 1−px2+bx−2ä= lim

x→−∞

ax2+x+

− x2+bx−2

√

ax2+x+ +√x2+bx−2

= lim x→−∞

(a−1)x2+ (1−b)x+

√

ax2+x+ +√x2+bx−2

Vì theo giả thiết dãy số có giới hạn hữu hạn khác0nên bậc tử =bậc mẫu Do ta phải khử hệ số bậc hai tử ⇔a−1 = 0⇔a=

Vớia= 1,ta có lim

x→−∞

(a−1)x2+ (1−b)x+

√

ax2+x+ +√x2+bx−2 = limx→−∞

(1−b)x+

√

x2+x+ +√x2+bx−2

= lim x→−∞

Ü

−

(1−b) +3 x

…

1 + x +

1 x2 +

…

1 + b x −

2 x2

ê

= b−1 +

Yêu cầu toán⇒ b−1

1 + = 2⇒b= Vậy

®

a=

b= ⇒P =ab=

Chọn đáp án A

Câu 160 Trong mệnh đề sau, mệnh đề nàosai? A lim

x→−∞

Ä√

x2−x+ +x−2ä=−3

2 B x→−lim1−

3x+

x+ =−∞ C lim

x→+∞

Ä√

x2−x+ +x−2ä= +∞. D. lim

x→−1+

3x+

x+ =−∞ Lời giải

Ta có lim

x→−1−(3x+ 2) =−1<0;x→−lim1−(x+ 1) = vàx+ 1<0 x→ −1 −. Vậy lim

x→−1−

3x+

x+ = +∞

Chọn đáp án B

Câu 161 Tính giới hạn K= lim x→−∞

√

4x2+ 1

x+

A K = B K = C K =−2 D K=

(116)

Ta có

K = lim x→−∞

√

4x2+ 1

x+ = limx→−∞

|x|

…

4 + x2

x+

= lim x→−∞

−x

…

4 + x2

x+ = limx→−∞

−

…

4 + x2

1 +1 x = −

√

4 =−2

Chọn đáp án C

Câu 162 Giới hạn lim x→−2

x+

(x+ 2)2

A −∞ B

16 C D +∞

Lời giải

Ta có:     

   

lim

x→−2(x+ 1) =−1<0

lim

x→−2(x+ 2) = 0

(x+ 2)2 >0, x6=−2

⇒ lim

x→−2

x+

(x+ 2)2 =−∞

Chọn đáp án A

Câu 163 Cho số thựca, b, cthoả mãnc2+a= 18và lim

x→+∞

Äp

ax2+bx−cxä=−2 Tính giá trị biểu

thứcP =a+b+ 5c

A P = 18 B P = 12 C P = D P =

Lời giải Ta thấy

lim x→+∞

Äp

ax2+bx−cxä=−2

⇔ lim

x→+∞

(a−c2)·x2+bx

√

ax2+bx+cx =−2 (1)

Từ(1), ta thấya, b, c thỏa mãn hệ sau        

      

a >0 (vì a≤0 trái giả thiết) a+c2 = 18

a−c2 = b

√

a+c =−2 (2)

⇒

  

 

a= c=−12

c= (loại c=−3 vì(2)) VậyP = 12

Chọn đáp án B

Câu 164 lim x→2

2x2−5x+2 x−2

A B C D 32

x→2

2x2−5x+2

x−2 = limx→2(2x−1) =

(117)

Câu 165 Cho lim x→1

f(x)−10

x−1 = Giới hạn xlim→1

f(x)−10

(√x−1)Äp4f(x) + + 3ä

A 10 B C

3 D

Lời giải

Từ giả thiết ta cóf(1) = 10 Vậy

lim x→1

f(x)−10

(√x−1)Äp4f(x) + + 3ä = limx→1

(f(x)−10)·(√x+ 1) (x−1)·Äp4f(x) + + 3ä =

5·(√1 + 1) p

4f(1) + + =

Chọn đáp án D

2x−5 x+ A

3 B −

5

3 C −5 D

x→+∞ 2x−5

x+ = limx→+∞ 2−

x + x

=

Chọn đáp án D

Câu 167 Tính lim x→1+

x2−3x+ 2

6√x+ 8−x−17

A −∞ B C +∞ D

6 Lời giải

Ta có

I = lim x→1+

x2−3x+ 2

6√x+ 8−x−17

= lim x→1+

(x2−3x+ 2) 6√x+ +x+ 17

−x2+ 2x−1

= lim x→1+

(x−2) 6√x+ +x+ 17

−x+

Vì lim

x→1+(x−2)

√

x+ +x+ 17

=−36<0; lim

x→1+(−x+ 1) = 0và−x+ 1<0, với mọix >1nênI = +∞

Chọn đáp án C

Câu 168 lim x→1+

2x+ x−1

A +∞ B −∞ C D

Lời giải

Khi x→1+, ta có   

 

2x+ 1→3 x−1→0 x−1>0

suy lim x→1+

2x+

x−1 = +∞

Chọn đáp án A

2x−1 x+

A B C −1

2 D −2

2x−1

x+ = limx→−∞ 2−

x + x

=

(118)

Câu 170 lim x→2

2x2−8

x2+x−6

A

5 B C

4

5 D

2x2−8

x2+x−6 = limx→2

2(x−2)(x+ 2) (x−2)(x+ 3) = limx→2

2(x+ 2) x+ =

8

Chọn đáp án A

Câu 171 Tìm giới hạnI = lim x→−∞

Äp

x2+ 4x+ +xä.

A I =−2 B I =−4 C I = D I =−1

Lời giải Ta có

I = lim x→−∞

Äp

x2+ 4x+ +xä= lim

x→−∞

Ä√

x2+ 4x+ +xä Ä√x2+ 4x+ 1−xä

√

x2+ 4x+ 1−x

= lim x→−∞

4x+

√

x2+ 4x+ 1−x = limx→−∞

4x+

√

x2+ 4x+ 1−x

= lim x→−∞

4 + x

−

…

1 +4 x +

1 x2 −1

=

−1−1 =−2

Chọn đáp án A

Câu 172 Gới hạn lim x→2

x−2 x2−4

A B C

4 D

x→2

x−2

x2−4 = limx→2

1 x+ =

1

Chọn đáp án C

Câu 173 lim x→5

x2−2x−15 2x−10

A −1 B C −4 D +∞

x2−2x−15 2x−10 = limx→5

(x−5)(x+ 3) 2(x−5) = limx→5

x+ =

Chọn đáp án B

3x−1 x+

A B −3 C −1

5 D

3x−1

x+ = limx→−∞ 3−

x + x

=

Chọn đáp án A

2x−1 x+

A B −2 C −∞ D +∞

Lời giải

lim x→−∞

2x−1

x+ = limx→−∞ x

Å

2−

x

ã

x

Å

1 + x

ã = lim

x→−∞ 2−

x +2 x

=

(119)

Câu 176 Tính giới hạn lim x→1(x

3−3x2+ 1).

A +∞ B C Không tồn D −1 Lời giải

lim x→1(x

3−3x2+ 1) = 13−3·12+ =−1.

Chọn đáp án D

Câu 177 Gọia, b giá trị để hàm số f(x) =  



x2+ax+b

x2−4 x <−2

x+ x≥ −2

có giới hạn hữu hạn x dần tới−2 Tính3a−b

A 24 B C 12 D

Lời giải lim

x→−2+f(x) =x→−lim2+(x+ 1) =−1

Suy raf(x)có giới hạn hữu hạn x dần tới−2 lim

x→−2−f(x) =−1⇔x→−lim2−

x2+ax+b

x2−4 =−1⇔x→−lim2−

2x2+ax+b−4

x2−4 = (∗)

Do lim x→−2−(x

2−4) = 0nên điều kiện cần để có (*) là lim

x→−2−(2x

2+ax+b−4) = 0⇒2a−b= 4.

Ngược lại, với2a−b= ta có lim x→−2−

2x2+ax+b−4

x2−4 = 0⇔x→−lim2−

2x2+ax+ 2a−8 x2−4 =

⇔ lim

x→−2−

2x+a−4 x−2 =

⇔a=

Suy raf(x)có giới hạn hữu hạn x dần tới−2⇔

®

a= b= 12 Vậy3a−b= 12

Chọn đáp án C

cx2+a x2+b

A a B b C c D a+b

c Lời giải

Ta có lim x→+∞

cx2+a

x2+b = limx→+∞

c+ a x2

1 + b x2

= c =c

Chọn đáp án C

Câu 179 Tính giới hạn K= lim x→0

√

4x+ 1−1 x2−3x

A K =−2

3 B K =

2

3 C K =

4

3 D K=

Lời giải Ta có

K = lim x→0

√

4x+ 1−1 √4x+ + (x2−3x) √4x+ + 1 = lim

x→0

4x

x(x−3) √4x+ +

= lim x→0

4

(x−3) √4x+ + =−

(120)

3x2−x−2 x2−1

A

2 B +∞ C D

x→1

3x2−x−2 x2−1 = limx→1

(x−1)(3x+ 2) (x−1)(x+ 1) = limx→1

3x+ x+ =

5

Chọn đáp án A

Câu 181 Cho hàm sốf(x) =   

 

√

x+ 4−2

x x >0 mx+m+1

4 x≤0

(với m tham số) Tìm giá trị tham số m để hàm số có giới hạn tạix=

A m= B m= C m=

2 D m=−

1 Lời giải

Ta có lim

x→0+f(x) = limx→0+

√

x+ 4−2

x = limx→0+

x

x √x+ + = lim x→0+

1

√

x+ + = lim

x→0−f(x) = limx→0−

Å

mx+m+1

ã

=m+1 Hàm số có giới hạn x= lim

x→0+f(x) = limx→0−f(x)⇔m+ =

1

4 ⇔m=

Chọn đáp án B

√

4x2+x+ 1−√x2−x+ 3

3x+

A −1

3 B

2

3 C

1

3 D −

2 Lời giải

√

4x2+x+ 1−√x2−x+ 3

3x+ = limx→−∞

−»4 +1x+ x12 +

»

1−1

x +

3

x2

3 +1x =

−2 + =−

1

Chọn đáp án A

Câu 183 TínhL= lim x→1

x2+ 3x−4 x−1

A L=−5 B L= C L= D L=−3

x→1

x2+ 3x−4 x−1 = limx→1

(x−1) (x+ 4)

x−1 = limx→1(x+ 4) =

Chọn đáp án B

Câu 184 Trong bốn giới hạn đây, giới hạn không tồn tại? A lim

x→−1

x

(x+ 1)2 B x→−∞lim

2x+

x2+ 1 C xlim→0

x

√

x+ D x→lim+∞cosx Lời giải

Ta có lim x→−1

x

(x+ 1)2 =−∞

lim x→−∞

2x+

x2+ 1 = limx→−∞

2 x +

1 x2

1 + x2

=

lim x→0

x

√

x+ =

lim

(121)

Chọn đáp án D

√

x+ 1−√x−3

A B C −∞ D +∞

Lời giải lim x→+∞

√

x+ 1−√x−3

= lim x→+∞

x+ 1−(x−3)

√

x+ +√x−3 = limx→+∞

4

√

x

Ç…

1 + x +

…

1−3

x

å =

Chọn đáp án A

2x+ x−1

A −1 B C D −2

x→−∞

2x+

x−1 = limx→−∞ +1x 1−1

x =

Chọn đáp án C

Câu 187 Tính giới hạn K= lim x→0

√

4x+ 1−1 x2−3x

A K =−2

3 B K =

2

3 C K =

4

3 D K=

Lời giải Ta cóK= lim

x→0

√

4x+ 1−1 x2−3x = limx→0

4x

x(x−3) √4x+ + = lim x→0

4

(x−3) √4x+ + =−

Chọn đáp án A

2x+ x+ A

2 B C D −1

2x+

x+ = limx→−∞ +1x +1x =

Chọn đáp án C

Câu 189 Choa, b số thực khác0 Tìm điều kiện a, b để giới hạn lim x→−∞

√

x2−3x+ax

bx−1 = 3? A a−1

b = B

a+

b = C

−a−1

b = D

a−1

−b = Lời giải

lim x→−∞

√

x2−3x+ax

bx−1 = 3⇔x→−∞lim

−

…

1−

x+a b−1

x

= 3⇔ −1 +a

b =

Chọn đáp án A

Câu 190 Tính lim x→+∞(

√

x2−4x+ 2−x)

A −4 B −2 C D

Lời giải lim x→+∞(

√

x2−4x+ 2−x) = lim

x→+∞

x2−4x+ 2−x2

√

x2−4x+ +x = limx→+∞

−4x+

√

x2−4x+ +x

= lim x→+∞

−4 +2 x

…

1−

x + x2 +

=−2

Chọn đáp án B

Câu 191 Giá trị lim x→1 2x

2−3x+ 1

A B C +∞ D

(122)

Ta có lim x→1 2x

2−3x+ 1 =

Chọn đáp án D

Câu 192 Tính giới hạn L= lim x→+∞

3x4−2x+ 3

5x4+ 3x+ 1

A L= B L= C L=

x4

Å

3−

x3 +

3 x4

ã

x4

Å

5 + x3 +

1 x4

ã = lim

x→+∞ 3−

x3 +

3 x4

5 + x3 +

1 x4

=

Chọn đáp án C

Câu 193 Tìm giới hạn lim x→−∞(2x

3−x2+x−3).

A +∞ B C −∞ D −3

Lời giải

lim x→−∞ 2x

3−x2+x−3

= lim x→−∞x

3

Å

2−1

x+ x2 −

3 x3

ã

Ta có: lim x→−∞x

3=−∞; lim

x→−∞

Å

2−1

x + x2 −

3 x3

ã

= 2>0 Do lim

x→−∞(2x

3−x2+x−3) =−∞.

Chọn đáp án C

Câu 194 TínhL= lim x→+∞

3−x 2x+

A L= B L= −1

2 C L=

2

3 D L=

−1 Lời giải

3−x

2x+ = limx→+∞ x −1 + x

=−1

2

Chọn đáp án B

Câu 195 Cho hàm sốy=f(x) =

√

1 +x−√38−x

x Tínhxlim→0f(x)

A

12 B

13

12 C +∞ D

10 11 Lời giải

Ta cóy=f(x) =

√

1 +x−√3 8−x

x = 2·

√

1 +x−1

x +

2−√3 8−x

x

lim x→0

√

1 +x−1 x = limx→0

x

x √1 +x+ = limx→0

1

√

1 +x+ = lim

x→0

2−√3 8−x x = limx→0

x xÄ4 + 2√38−x+p3

(8−x)2ä

= lim x→0

1 + 2√38−x+p3

(8−x)2 =

1 12 Vậy lim

x→0f(x) = 2·xlim→0

√

1 +x−1 x + limx→0

2−√38−x x = 2·

1 +

1 12 =

13 12

Chọn đáp án B

Câu 196 Tính lim x→3+

x−3

√

x2−9

A −∞ B C √6 D +∞

(123)

Ta có lim x→3+

x−3

√

x2−9 = limx→3+ p

(x−3)2

p

(x−3)(x+ 3) = limx→3+

√

x−3

√

x+ =

Chọn đáp án B

Câu 197 Tìm giới hạnL= lim x→π2

cosx x−π

2

A L=−1 B L= C L= D L= π

2 Lời giải

Ta cóL= lim x→π2

cosx x− π

2

= lim x→π2

sin π

2 −x

x−π

2

= lim x→π2

−sin

x−π

2

x−π

2

=−1

Chọn đáp án A

Câu 198 Cho giới hạn: lim x→x0

f(x) = 2, lim x→x0

g(x) = TínhM = lim x→x0

[3f(x)−4g(x)]

A M = B M = C M =−6 D M =

Lời giải Ta cóM = lim

x→x0

[3f(x)−4g(x)] = lim x→x0

f(x)−4 lim x→x0

g(x) = 6−12 =−6

Chọn đáp án C

Câu 199 Mệnh đề đúng? A lim

x→−∞

Ä√

x2+x−xä= 0. B. lim

x→+∞

Ä√

x2+x−2xä= +∞.

C lim x→+∞

Ä√

x2+x−xä=

2 D x→−∞lim

Ä√

x2+x−2xä=−∞.

Lời giải

Tính giới hạn cho ta lim

x→−∞

Ä√

x2+x−xä= +∞.

lim x→+∞

Ä√

x2+x−2xä=−∞.

lim x→+∞

Ä√

x2+x−xä=

2 lim

x→−∞

Ä√

x2+x−2xä= +∞.

Từ suy lim x→+∞

Ä√

x2+x−xä=

2 mệnh đề

Chọn đáp án C

Câu 200 Cho số thực athỏa mãn lim x→+∞

a√2x2+ + 2017

2x+ 2018 =

2 Khi giá trị củaalà A a=

√

2

2 B a=

−√2

2 C a=

1

2 D a=

−1 Lời giải

Ta có

lim x→+∞

a√2x2+ + 2017

2x+ 2018 = limx→+∞ ax

…

2 +

x2 + 2017

x

Å

2 +2018 x

ã = lim

x→+∞ a

…

2 + x2 +

2017 x +2018

x

= a

√

2

Khi đó: a

√

2 =

1

2 ⇔a=

√

2

Chọn đáp án A

Câu 201 Giá trị mđể lim x→−∞

√

4x2+x+ + 4

mx−2 =

2 thuộc tập hợp nào?

A m∈[−3; 0] B m∈[−6;−3] C m∈[1; 3] D m∈[3; 6] Lời giải

lim x→−∞

−xÄ»4 +1x+x12 +x4

ä

mx−2 =

−2

m Theo đề ta phải có

−2 m =

1

2 hay m=−4∈[−6;−3]

(124)

√

4x2−2x+ 1−√1−2x

x

A B −1 C −2 D

Lời giải Ta có

lim x→0

√

4x2−2x+ 1−√1−2x

x = limx→0

4x2

xÄ√4x2−2x+ +√1−2xä

= lim x→0

4x

√

4x2−2x+ +√1−2x =

0

1 + =

Chọn đáp án D

2x2−3x+ 1−x2

A L=

2 B L=

1

4 C L=−

1

4 D L=−

1 Lời giải

Ta cóL= lim x→1

2x2−3x+ 1−x2 = limx→1

1−2x +x =−

1

Chọn đáp án D

Câu 204 Chof(x) đa thức thỏa mãn lim x→1

f(x)−16

x−1 = 24 Tính giới hạn sau

lim x→1

f(x)−16

(x−1)Äp2f(x) + + 6ä

A 24 B +∞ C D

Lời giải Vì lim

x→1

f(x)−16

x−1 = 24nên f(1) = 16.Khi lim

x→1

f(x)−16

(x−1)Äp2f(x) + + 6ä = 12 ·xlim→1

f(x)−16 x−1 =

Chọn đáp án C

√

1 + 2x−√3 1 + 3x

x2

A +∞ B −∞ C D

2 Lời giải

lim x→0

√

1 + 2x−√3 + 3x x2 = limx→0

√

1 + 2x−(x+ 1) + (x+ 1)−√3 + 3x

x2

Ta có lim x→0

√

1 + 2x−(x+ 1) x2 = limx→0

−x2

x2 √1 + 2x+x+ 1 =− lim

x→0

(x+ 1)−√31 + 3x x2 = limx→0

x3+ 3x2

x2Ä(x+ 1)2+ (x+ 1)√31 + 3x+p3

(1 + 3x)2ä =

Vậy lim x→0

√

1 + 2x−√31 + 3x

x2 =

1

Chọn đáp án D

Câu 206 TínhL= lim x→−1(x

2−x+ 7).

A L= B L= C L= D L=

x→−1(x

2−x+ 7) = + + = 9.

(125)

Câu 207 Tính giới hạn lim x→(−2)−

3 + 2x x+

A −∞ B C +∞ D

2 Lời giải

Ta có: lim

x→(−2)−(3 + 2x) =−1<0và x→lim(−2)−(x+ 2) = 0; x+ 2<0khi x→(−2) −.

Suy lim x→(−2)−

3 + 2x

x+ = +∞

Chọn đáp án C

Câu 208 Tìm lim x→+∞

2x+ x−1

A B C −1 D

x→+∞ 2x+

x−1 = limx→+∞ +

x 1−

x =

Chọn đáp án A

Câu 209 Tìm giới hạn lim x→0

(1 + 2x)2−1

x

A B C D

x→0

(1 + 2x)2−1 x = limx→0

4x2+ 4x

x = limx→0(4 + 4x) =

Chọn đáp án A

Câu 210 Tìm giới hạnI = lim x→+∞

Ä

x+ 1−√x2−x−2ä.

A I =

2 B I =

1

2 C I =

17

11 D I =

46 31 Lời giải

I = lim x→+∞

Ä

x+ 1−px2−x−2ä= lim

x→+∞

Ä

x+ 1−√x2−x−2ä Äx+ +√x2−x−2ä

Ä

x+ +√x2−x−2ä

= lim x→+∞

(x+ 1)2−(x2−x−2)

Ä

x+ +√x2−x−2ä

= lim x→+∞

3x+

Ä

x+ +√x2−x−2ä

= lim x→+∞

x

Å

3 + x

ã

x

Ç

1 +1 x+

…

1−

x − x2

å

= lim x→+∞

3 + x +

x +

…

1−

x − x2

=

Chọn đáp án A

Câu 211 Chof(x)là đa thức thỏa mãn lim x→1

f(x)−16

x−1 = 24 Tính

I = lim x→1

f(x)−16

(x−1)Äp2f(x) + + 6ä

A 24 B +∞ C D

(126)

Vì lim x→1

f(x)−16

x−1 = 24nên xlim→1(f(x)−16) =

⇒ lim

x→1f(x) = 16⇒xlim→1

1 p

2f(x) + + = 12 Khi lim

x→1

f(x)−16

(x−1)Äp2f(x) + + 6ä = limx→1

f(x)−16 x−1 ·xlim→1

1 p

2f(x) + + =

Chọn đáp án C

2−x

√

x+ 7−3

A L= B L=−4 C L= D L=−6

Lời giải Ta có:L= lim

x→2

2−x

√

x+ 7−3 = limx→2

(2−x) √x+ + x+ 7−9 = limx→2

(2−x) √x+ +

−(2−x) =−6

Chọn đáp án D

Câu 213 TínhI = lim x→+∞

Ä√

4x2+ 3x+ 1−2xä.

A I =

2 B I = +∞ C I = D I =

3 Lời giải

Ta có

lim x→+∞

Ä√

4x2+ 3x+ 1−2xä = lim

x→+∞

4x2+ 3x+ 1−4x2

√

4x2+ 3x+ + 2x

= lim x→+∞

3x+

√

4x2+ 3x+ + 2x

= lim x→+∞

3 + x

…

4 + x +

1 x2 +

=

Chọn đáp án D

x2−4 x−2

A B C −4 D

x2−4

x−2 = limx→2(x+ 2) =

Chọn đáp án B

√

3x+ 1−1

x =

a

b, đóa, blà hai số nguyên dương phân số a

b tối giản Tính giá trị biểu thứcP =a2+b2

A P = 13 B P = C P = D P = 40

√

3x+ 1−1 x = limx→0

3

√

3x+ + =

2 ⇒a= 3, b= 2⇒P =a

2+b2 = 13.

Chọn đáp án A

Câu 216 TínhL= lim x→−∞

2x+

√

2x2−3

A L=−√1

2 B L=

√

2 C L= √1

2 D L=−

√

2

(127)

Ta có

L= lim x→−∞

2x+

√

2x2−3 = limx→−∞

2 + x

−

…

2−

x2

=−√2

Chọn đáp án D

Câu 217 Cho hàm sốf(x) = x−2

3−x·Mệnh đề sau đúng? A lim

x→3+f(x) = +∞và x→−∞lim f(x) = B xlim→3+f(x) =−∞ vàx→−∞lim f(x) =−1 C lim

x→3+f(x) =−∞và x→−∞lim f(x) = D xlim→3+f(x) = +∞ vàx→−∞lim f(x) =−1 Lời giải

Ta có lim

x→3+(x−2) = 1>0,xlim→3+(3−x) = 0và 3−x <0 khix→3

+ ⇒ lim

x→3+f(x) =−∞

lim

x→−∞f(x) = limx→−∞ x−2

3−x = limx→−∞ 1−

x x −1

=−1

Chọn đáp án B

√

x+ 2−2 x−2 A

2 B

1

4 C D

x→2

√

x+ 2−2 x−2 = limx→2

x−2

(x−2) √x+ + = limx→2

1

√

x+ + =

Chọn đáp án B

Câu 219 Cho hàm số f(x) =   

 

√

x+ 4−2 x , x >0 mx+m+1

4, x≤0

m tham số Tìm giá trị tham số m để hàm số có giới hạn tạix=

A m= B m= C m= 21

2 D m=

−1 Lời giải

Hàm số có giới hạn x= 0⇔ lim

x→0+f(x) = limx→0−f(x) Vậy lim

x→0+

√

x+ 4−2

x = limx→0−

Å

mx+m+1

ã

⇔

4 =m+

4 ⇔m=

Chọn đáp án B

Câu 220 Xác định lim x→0

|x|

x2

A B −∞ C không xác định D +∞ Lời giải

Ta có lim x→0

|x|

x2 = limx→0

1

|x| = +∞

Chọn đáp án D

x2018+x2017+· · ·+x−2018 x2018−1 bằng:

A 2018 B 2019

2018 C

2019

2 D

(128)

lim x→1

x2018+x2017+· · ·+x−2018 x2018−1

= lim x→1

x2018−1+ x2017−1+· · ·+ (x−1) x2018−1

= lim x→1

(x−1) x2017+x2016+· · ·+x+ 1+ (x−1) x2016+x2015+· · ·+x+ 1+· · ·+ (x−1)·1 (x−1) (x2017+x2016+· · ·+x+ 1)

= lim x→1

x2017+x2016+· · ·+x+ 1+ x2016+x2015+· · ·+x+ 1+· · ·+ (x2017+x2016+· · ·+x+ 1)

= 2018 + 2017 +· · ·+ 2018

= 2019

Chọn đáp án C

Câu 222 Từ số0,1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên chẵn có3 chữ số?

A 105 B 210 C 84 D 168

Lời giải

Gọi số tự nhiên cần tìm làabctrong đó,a, b, cđược lấy từ tập hợp ban đầu0,1,2,3,4,5,6,a6= 0,B(xB;yB) Vìa6= nên acó cách chọn

Số blấy từ tập0,1,2,3,4,5,6 nên bcó cách chọn Số tự nhiên cần tìm số chẵn nên ccó cách chọn Vậy số số tự nhiên chẵn cần tìm là6·7·4 = 168

Chọn đáp án D

Câu 223 Giá trị giới hạn lim x→2 3x

2+ 7x+ 11

A 37 B 38 C 39 D 40

Lời giải lim x→2 3x

2+ 7x+ 11

= 3·22+ 7·2 + 11 = 37

Chọn đáp án A

Câu 224 Giá trị giới hạn lim x→√3

x2−4

A B C D

Lời giải lim x→√3

x2−4=

Ä√

3ä2−4 =

Chọn đáp án B

Câu 225 Giá trị giới hạn lim x→0x

2sin1

2 A sin1

2 B +∞ C −∞ D

x→0x 2sin1

2 = 0·sin =

Chọn đáp án D

Câu 226 Giá trị giới hạn lim x→−1

x2−3 x3+ 2

A B −2 C D −3

2 Lời giải

lim x→−1

x2−3 x3+ 2 =

(−1)2−3 (−1)3+ =−2

Chọn đáp án B

Câu 227 Giá trị giới hạn lim x→1

x−x3

(2x−1) (x4−3)

A B −2 C D −3

(129)

lim x→1

x−x3

(2x−1) (x4−3) =

1−13

(2·1−1) (14−3) =

Chọn đáp án C

|x−1|

x4+x−3

A −3

2 B

2

3 C

3

2 D −

2 Lời giải

Ta có lim x→−1

|x−1|

x4+x−3 =

|−1−1|

1−1−3 =−

Chọn đáp án D

√

3x2+ 1−x

x−1 A −3

2 B

1

2 C −

1

2 D

3 Lời giải

Ta có lim x→−1

√

3x2+ 1−x

x−1 =

√

3 + +

−1−1 =−

Chọn đáp án A

9x2−x

(2x−1) (x4−3)

A

5 B

√

5 C √1

5 D

9x2−x

(2x−1) (x4−3) =

9·32−3

(2·3−1) (34−3) =

1

√

5

Chọn đáp án C

3

x2−x+ x2+ 2x

A

4 B

1

2 C

1

3 D

1 Lời giải

lim x→2

3

x2−x+ x2+ 2x =

3

22−2 + 22+ 2·2 =

1

Chọn đáp án B

3

√

3x2−4−√3x−2

x+ A −3

2 B −

2

3 C D +∞

x→2

3

√

3x2−4−√3x−2

x+ =

3

√

12−4−√6−2

3 =

0 =

Chọn đáp án C

Câu 233 Kết giới hạn lim x→2+

x−15 x−2

A −∞ B +∞ C −15

2 D

Lời giải Vì

 

 lim

x→2+(x−15) =−13<0 lim

x→2+(x−2) = & x−2>0,∀x >2

⇒ lim

x→2+

x−15

x−2 =−∞

Chọn đáp án A

Câu 234 Kết giới hạn lim x→2+

√

x+

√

(130)

A −∞ B +∞ C −15

2 D Không xác định Lời giải

 

 lim x→2+

√

x+ = 2>0

lim x→2+

√

x−2 = & √x−2>0,∀x >2 ⇒xlim→2+

√

x+

√

x−2 = +∞

Chọn đáp án B

Câu 235 Kết giới hạn lim x→(−2)+

|3x+ 6|

x+

A −∞ B C +∞ D Không xác định Lời giải

Ta có|x+ 2|=x+ 2với mọix >−2,do đó: lim

x→(−2)+

|3x+ 6|

x+ =x→lim(−2)+

3|x+ 2|

x+ =x→lim(−2)+

3 (x+ 2)

x+ =x→lim(−2)+

3 =

Chọn đáp án B

Câu 236 Kết giới hạn lim x→2−

|2−x|

2x2−5x+ 2

A −∞ B +∞ C −1

3 D

1 Lời giải

Ta có lim x→2−

|2−x|

2x2−5x+ 2 = limx→2−

2−x

(2−x) (1−2x) = limx→2−

1−2x =−

Chọn đáp án C

Câu 237 Kết giới hạn lim x→−3+

x2+ 13x+ 30 p

(x+ 3) (x2+ 5)

A −2 B C D √2

15 Lời giải

Ta cóx+ 3>0 với mọix >−3,nên: lim

x→−3+

x2+ 13x+ 30 p

(x+ 3) (x2+ 5) =x→−lim3+

(x+ 3) (x+ 10) p

(x+ 3) (x2+ 5) =x→−lim3+

√

x+ 3·(x+ 10)

√

x2+ 5

=

√

−3 + (−3 + 7)

»

(−3)2+

=

Chọn đáp án C

 

2x

√

1−x với x <1 p

3x2+ 1 với x>1

Khi lim

x→1+f(x)

A +∞ B C D −∞

Lời giải lim

x→1+f(x) = limx→1+

√

3x2+ =√3·12+ = 2.

Chọn đáp án B

Câu 239 Cho hàm sốf(x) =  

 x2+

1−x với x <1

√

2x−2 với x>1

Khi lim

x→1−f(x)

A +∞ B −1 C D

Lời giải lim

x→1−f(x) = limx→1− x2+

1−x = +∞  

 lim x→1− x

2+ 1 =

lim

x→1−(1−x) = & 1−x >0 (∀x <1)

Chọn đáp án A

®

x2−3 với x>2

(131)

A −1 B C D Không tồn Lời giải

Ta có  

 lim

x→2+f(x) = limx→2+ x

2−3 =

lim

x→2−f(x) = limx→2−(x−1) =

⇒ lim

x→2+f(x) = limx→2−f(x) = 1⇒xlim→2f(x) =

Chọn đáp án C

®√

x−2 + với x>2

ax−1 với x <2 Tìmađể tồn xlim→2f(x)

A a= B a= C a= D a=

Lời giải Ta có

 

 lim

x→2−f(x) = limx→2−(ax−1) = 2a−1 lim

x→2+f(x) = limx→2+

Ä√

x−2 + 3ä= Khi lim

x→2f(x) tồn tại⇔xlim→2−f(x) = limx→2+f(x)⇔2a−1 = 3⇔a=

Chọn đáp án B

 

x2−2x+ với x >3

1 với x=

3−2x2 với x <3

Khẳng định đâysai? A lim

x→3+f(x) = B Không tồn xlim→3f(x)

C lim

x→3−f(x) = D xlim→3−f(x) =−15 Lời giải

Ta có  

 lim

2−2x+ 3 =

lim

x→3−f(x) = limx→3− 3−2x

2

=−15 ⇒xlim→3+f(x)6= limx→3−f(x)

⇒ không tồn giới hạn khix→3 Vậy có khẳng định lim

x→3−f(x) = sai

Chọn đáp án C

x→−∞ x−x

3+ 1

A B −∞ C D +∞

Lời giải lim

x→−∞ x−x

3+ 1

= lim x→−∞x

3

Å

1

x2 −1 +

1 x3

ã

= +∞   

 

lim x→−∞x

3 =−∞

lim x→−∞

Å1

x2 −1 +

1 x3

ã

=−1<0

Chọn đáp án D

Ä

|x|3+ 2x2+ 3|x|älà

A B +∞ C D −∞

x→−∞

Ä

|x|3+ 2x2+ 3|x|ä= lim x→−∞ −x

3+ 2x2−3x

= lim x→−∞x

3

Å

−1 +2 x −

3 x2

ã

= +∞ Giải nhanh:|x|3+ 2x2+ 3|x| ∼ |x|3→+∞ khix→ −∞

Chọn đáp án B

Câu 245 Giá trị giới hạn lim x→+∞

Ä√

x2+ +xälà

A B +∞ C √2−1 D −∞

Lời giải

Giải nhanh:x→+∞:√x2+ +x∼√x2+x= 2x→+∞.

Đặtx làm nhân tử chung: lim

x→+∞

Ä√

x2+ +xä= lim

x→+∞x

Ç…

1 + x2 +

å

= +∞vì   

 

lim

x→+∞x= +∞ lim

x→2+

…

1 +

(132)

Chọn đáp án B

Ä√3

3x3−1 +√x2+ 2älà

A √3

3 + B +∞ C √3

3−1 D −∞

Lời giải

Giải nhanh:x→+∞:√3

3x3−1 +√x2+ 2∼√3

3x3+√x2 =Ä√3

3 + 1äx→+∞ Đặtx làm nhân tử chung:

lim x→+∞

Ä√3

3x3−1 +√x2+ 2ä= lim

x→+∞x

Ç

3

…

3−

x3 +

…

1 + x2

å

= +∞ 

  

  

lim

x→+∞x= +∞ lim

x→+∞

Ç

3

…

3−

x3 +

…

1 + x2

å

=

√

3 + 1>0

Chọn đáp án B

Câu 247 Giá trị giới hạn lim x→+∞x

Ä√

4x2+ 7x+ 2xälà

A B −∞ C D +∞

Lời giải

Giải nhanh:x→+∞:xÄ√4x2+ 7x+ 2xä∼xÄ√4x2+ 2xä= 4x2 →+∞.

Đặtx2 làm nhân tử chung: lim

x→+∞x

Ä√

4x2+ 7x+ 2xä= lim

x→+∞x

2

Ç…

4 + x +

å

= +∞

vì    

  

lim x→+∞x

2 = +∞

lim x→+∞

Ç…

4 + x +

å

= 4>0

Chọn đáp án D

x3−8 x2−4

A B +∞ C D Không xác định Lời giải

Ta có lim x→2

x3−8 x2−4 = limx→2

(x−2)(x2+ 2x+ 4) (x−2)(x+ 2) = limx→2

x2+ 2x+ x+ =

12 =

Chọn đáp án C

x5+ 1

x3+ 1

A −3

5 B

3

5 C −

5

3 D

5 Lời giải

lim x→−1

x5+

x3+ 1 = limx→−1

(x+ 1) x4−x3+x2−x+ 1

(x+ 1) (x2−x+ 1) = limx→−1

x4−x3+x2−x+ x2−x+ 1 =

5

Chọn đáp án D

Câu 250 Biết lim x→−√3

2x3+ 6√3 3−x2 =a

√

3 +b Tínha2+b2

A 10 B 25 C D 13

x→−√3

2x3+ 3√3

3−x2 = lim

x→−√3

2Äx+√3ä Äx2−√3x+ 3ä

Ä√

3−xä Ä√3 +xä =x→−lim√3

2Äx2−√3x+ 3ä

√

3−x

=

hÄ

−√3ä2−√3·Ä−√3ä+ i

√

3−Ä−√3ä = 18 2√3 =

√

3⇒

®

a= b= ⇒a

2+b2 = 10.

Chọn đáp án A

−x2−x+ 6

x2+ 3x

(133)

A

3 B

2

3 C

5

3 D

3 Lời giải

lim x→−3

−x2−x+ x2+ 3x

= lim x→−3

(x+ 3) (x−2) x(x+ 3)

= lim x→−3

x−2 x =

−3−2

−3 =

Chọn đáp án C

Câu 252 Giá trị giới hạn lim x→3−

3−x

√

27−x3

A

3 B C

5

3 D

3 Lời giải

Ta có3−x >0 với mọix <3,do đó: lim

x→3−

3−x

√

27−x3 = limx→3−

3−x p

(3−x) (9 + 3x+x2) = limx→3−

√

3−x

√

9 + 3x+x2 =

√

3−3

√

9 + 3·3 + 32 =

Chọn đáp án B

x2+π21√7

1−2x−π21

x

A −2π

21

7 B −

2π21

9 C −

2π21

5 D

1−2π21 Lời giải

Ta có lim x→0

x2+π21√7

1−2x−π21 x = limx→0

x2+π21 √7

1−2x−1

x + limx→0x=−

2π21

Chọn đáp án A

Câu 254 Giá trị giới hạn lim x→0+

√

x2+x−√x

x2

A B −∞ C D +∞

x→0+

√

x2+x−√x

x2 = limx→0+

x2+x

−x

x2Ä√x2+x+√xä = limx→0+

1

√

x2+x+√x = +∞

vì1>0; lim x→0+

Ä√

x2+x+√xä= 0 và√x2+x+√x >0 với mọix >0.

Chọn đáp án D

3

√

x−1

√

4x+ 4−2

A −1 B C D +∞

x→1

3

√

x−1

√

4x+ 4−2 = limx→1

(x−1)

3

»

(4x+ 4)2+ 2√3

4x+ +

(4x+ 4−8)Ä3

√

x2+√3x+ 1ä

= lim x→1

»

(4x+ 4)2+ 2√3

4x+ +

4Ä√3x2+√3x+ 1ä = 12 12 =

Chọn đáp án C

2√1 +x−√3 8−x

x

A

6 B

13

12 C

11

12 D −

13 12 Lời giải

Ta có lim x→0

2√1 +x−√3 8−x x = limx→0

Ç

2√1 +x−2

x +

2−√3 8−x x

å

= lim x→0

Ö

2

√

x+ + 1+

1

4 + 23 q

8−x+

»

(8−x)2

è

= + 12 =

13 12

(134)

Câu 257 Biết rằngb >0,a+b= lim x→0

3

√

ax+ 1−√1−bx

x = Khẳng định đâysai? A 1< a <3 B b >1 C a2+b2>10 D a−b <0 Lời giải

Ta có lim x→0

3

√

ax+ 1−√1−bx x = limx→0

Ç√3

ax+ 1−1

x +

1−√1−bx x

å

= lim x→0

Ñ

ax x

»

(x+ 1)2+√3

x+ + +

bx x +√1−x

é

= lim x→0

Ñ

a

3

»

(x+ 1)2+√3

x+ + +

b +√1−x

é

= a 3+

b =

Vậy ta được:  



a+b= a

3 + b =

⇔

®

a+b=

2a+ 3b= 12 ⇔a= 3,b=

Chọn đáp án A

Câu 258 Kết giới hạn lim x→−∞

2x2+ 5x−3 x2+ 6x+ 3

A −2 B +∞ C D

x→−∞

2x2+ 5x−3

x2+ 6x+ 3 = limx→+∞

2 +5 x−

3 x2

1 +6 x+

3 x2

=

Giải nhanh: x→ −∞ thì: 2x

2+ 5x−3

x2+ 6x+ 3 ∼

2x2 x2 =

Chọn đáp án D

2x3+ 5x2−3

x2+ 6x+ 3

A −2 B +∞ C −∞ D

x→−∞

2x3+ 5x2−3

x2+ 6x+ 3 = limx→−∞x·

2 + x −

3 x3

1 + x +

3 x2

=−∞

3+ 5x2−3

x2+ 6x+ 3 ∼

2x3

x2 = 2x→ −∞

Chọn đáp án C

2x3−7x2+ 11 3x6+ 2x5−5

A −2 B +∞ C D −∞

x→−∞

2x3−7x2+ 11

3x6+ 2x5−5 = limx→−∞

2 x3 −

7 x4 +

11 x6

3 + x −

5 x6

= =

3−7x2+ 11

3x6+ 2x5−5 ∼

2x3 3x6 =

2 3·

1 x3 →0

Chọn đáp án C

2x−3

√

x2+ 1−x

A −2 B +∞ C D −1

Lời giải

Khi x→ −∞

√

x2 =−x⇒√x2+ 1−x∼√x2−x=−x−x=−2x6= 0

(135)

lim x→−∞

2x−3

√

x2+ 1−x = limx→−∞

2−

x

−

…

1 + x2 −1

=−1

Chọn đáp án D

Câu 262 Biết (2√−a)x−3

x2+ 1−x có giới hạn là+∞khix→+∞(vớialà tham số) Tính giá trị nhỏ

củaP =a2−2a+

A Pmin= B Pmin= C Pmin= D Pmin =

Lời giải

Khi x→+∞ thì√x2 =x⇒√x2+ 1−x∼√x2−x=x−x= 0.

⇒ Nhân lượng liên hợp: Ta có lim

x→+∞

(2−a)x−3

√

x2+ 1−x = limx→+∞((2−a)x−3)

Ä√

x2+ +xä= lim

x→+∞x

2

Å

2−a−

x

ã Ç…

1 + x2 +

å

Vì    

  

lim x→+∞x

2= +∞

lim x→+∞

Ç…

1 + x2 +

å

= 4>0

⇒ lim

x→+∞

(2−a)x−3

√

x2+ 1−x = +∞

⇔ lim

x→+∞

Å

2−a−

x

ã

= 2−a >0⇒a <2

Giải nhanh: ta cóx→+∞ ⇒ √ 2x−3

x2+ 1−x = ((2−a)x−3)

Ä√

x2+ +xä

∼(2−a)x·Ä√x2+xä= (2−a)x→+∞ ⇔a <2.

Khi đóP =a2−2a+ = (a−1)2+ 3>3,P = 3⇔a= 1<2⇒Pmin =

Chọn đáp án B

√

4x2−x+ 1

x+

A −2 B −1 C −2 D +∞

Lời giải

Giải nhanh: x→ −∞ ⇒ √

4x2−x+ 1

x+ ∼

√

4x2

x =

−2x x =−2

Cụ thể: lim x→−∞

√

4x2−x+ 1

x+ = limx→−∞

−

…

4−

x + x2

1 +1 x

= −

√

4 =−2

Chọn đáp án C

Câu 264 Kết giới hạn lim x→+∞

√

4x2−2x+ + 2−x

√

9x2−3x+ 2x

A −1

5 B +∞ C −∞ D

1 Lời giải

Giải nhanh: x→+∞ ⇒ √

4x2−2x+ + 2−x

√

9x2−3x+ 2x ∼

√

4x2−x

√

9x2+ 2x =

2x−x 3x+ 2x =

1 Cụ thể: lim

x→+∞

√

4x2−2x+ + 2−x

√

9x2−3x+ 2x = limx→+∞

…

4−

x + x2 +

2 x −1

…

9−3

x +

=

Chọn đáp án D

Câu 265 Biết rằngL = lim x→−∞

√

4x2−2x+ + 2−x

√

ax2−3x+bx >0 hữu hạn (với a, b tham số) Khẳng định

nào đúng?

A a>0 B L=−

a+b C L=

(136)

Ta phải cóax2−3x >0trên (−∞;α)⇔a>0

Ta cóx→ −∞ ⇒√4x2−2x+ + 2−x∼√4x2−x=−3x6= 0.

Như xem “tử” đa thức bậc Khi lim x→−∞

√

4x2−2x+ + 2−x

√

ax2−3x+bx >

√

ax2−3x+bx là đa thức bậc1.

Ta có√ax2−3x+bx∼√ax2+bx= (−√a+b)x⇒ −√a+b6= 0.

Khi

√

4x2−2x+ + 2−x

√

ax2−3x+bx ∼

−3x

−√a+b =

b−√a >0⇔b >

√

a

Chọn đáp án C

3

√

x3+ 2x2+ 1

√

2x2+ 1

A

√

2

2 B C −

√

2

2 D

Lời giải

Giải nhanh:x→ −∞ ⇒

3

√

x3+ 2x2+ 1

√

2x2+ 1 ∼

3

√

x3

√

2x2 =

x

−√2x =−

√

2 Cụ thể: lim

x→−∞

√

x3+ 2x2+ 1

√

2x2+ 1 = limx→−∞

…

1 +2 x +

1 x3

−

…

2 + x2

=−√1

2

Chọn đáp án C

Câu 267 Tìm tất giá trị củaađể lim x→−∞

Ä√

2x2+ +axälà+∞.

A a >√2 B a <√2 C a >2 D a <2 Lời giải

Giải nhanh:x→ −∞ ⇒√2x2+ +ax∼√2x2+x =−√2x+ax=Äa−√2äx→+∞

⇔a−√2<0⇔a <√2 Cụ thể: lim

x→−∞x=−∞nên x→−∞lim

Ä√

2x2+ +axä= lim

x→−∞x

Ç

−

…

2 + x2 +a

å

= +∞

⇔ lim

x→−∞

Ç

−

…

2 + x2 +a

å

=a−√2<0⇔a <√2

Chọn đáp án B

Câu 268 Giá trị giới hạn lim x→−∞ 2x

3−x2

A B +∞ C −1 D −∞

Lời giải

Giải nhanh:x→ −∞ ⇒2x3−x2 ∼2x3→ −∞ Cụ thể: lim

x→−∞ 2x

3−x2

= lim x→−∞x

3

Å

2−

x

ã

=−∞   

 

lim x→−∞x

3 =−∞

lim x→−∞

Å

2−

x

ã

= 2>0

Chọn đáp án D

Câu 269 Giá trị giới hạn lim x→2−

Å

1 x−2−

1 x2−4

ã

là

A −∞ B +∞ C D

x→2−

Å 1

x−2 − x2−4

ã

= lim x→2−

Åx+ 2−1

x2−4

ã

= lim x→2−

Åx+ 1

x2−4

ã

=−∞ Vì lim

x→2−(x+ 1) = 3>0; limx→2− x

2−4

= x2−4<0 với mọix∈(−2; 2)

Chọn đáp án A

Câu 270 Biết rằnga+b= lim x→1

Å

a 1−x−

b 1−x3

ã

hữu hạn Tính giới hạn

L= lim x→1

Å

b 1−x3 −

a 1−x

ã

(137)

A B C D −2 Lời giải

Ta có lim x→1

Å a

1−x− b 1−x3

ã

= lim x→1

a+ax+ax2−b 1−x3 = limx→1

a+ax+ax2−b (1−x) (1 +x+x2)

Khi lim x→1

Å a

1−x − b 1−x3

ã

hữu hạn⇔1 +a·1 +a·12−b= 0⇔2a−b=−1 Vậy ta có

®

a+b= 2a−b=−1 ⇔

®

a=

b= ⇒L=−xlim→1

Å

a 1−x −

b 1−x3

ã

=−lim x→1

x2+x−2

(1−x) (1 +x+x2) =−xlim→1

−(x+ 2) +x+x2 =

Chọn đáp án C

Ä√

1 + 2x2−xälà

A B +∞ C √2−1 D −∞

x→+∞

Ä√

1 + 2x2−xä= lim

x→+∞x

Ç…

1

x2 + 2−1

å

= +∞ Vì lim

x→+∞x= +∞; limx→+∞

Ç…

1

x2 + 2−1

å

=√2−1>0

Giải nhanh:x→+∞ ⇒√1 + 2x2−x∼√2x2−x=√2x−x=Ä√2−1äx→+∞.

Chọn đáp án B

Ä√

x2+ 1−xälà

A B +∞ C

2 D −∞

Lời giải

x→+∞ ⇒√x2+ 1−x∼√x2−x=x−x= 0⇒ Nhân lượng liên hợp.

Giải nhanh:x→+∞ ⇒√x2+ 1−x= √

x2+ +x ∼

1

√

x2+x =

1 2x →0

Cụ thể: lim x→+∞

Ä√

x2+ 1−xä= lim

x→+∞

1

√

x2+ +x = limx→+∞

1 x

…

1 + x2 +

= =

Chọn đáp án A

Câu 273 Biết lim x→−∞

Ä√

5x2+ 2x+x√5ä=a√5 +b TínhS = 5a+b.

A S = B S =−1 C S = D S=−5

Lời giải

x→ −∞ ⇒√5x2+ 2x+x√5∼√5x2+x√5 =−√5x+x√5 = 0 ⇒ Nhân lượng liên hợp:

Giải nhanh:x→ −∞ ⇒√5x2+ 2x+x√5 = √ 2x

5x2+ 2x−x√5

∼ √ 2x

5x2−x√5 =

2x

−2√5x =−

√

5 Cụ thể: Ta có lim

x→−∞

Ä√

5x2+ 2x+x√5ä= lim

x→−∞

2x

√

5x2+ 2x−x√5

= lim x→−∞

2

−

…

5 + x −

√

5

=

−2√5 =−

√

5 =−

√

5⇒

 



a=−1

5 b=

⇒S =−1

Chọn đáp án A

Ä√

x2+ 3x−√x2+ 4xälà

A

2 B −

1

2 C +∞ D −∞

(138)

Khi x→+∞ ⇒√x2+ 3x−√x2+ 4x∼√x2−√x2 = 0 ⇒Nhân lượng liên hợp:

Giải nhanh:x→+∞ ⇒√x2+ 3x−√x2+ 4x = √ −x

x2+ 3x+√x2+ 4x

∼ √ −x

x2+√x2 =

−x 2x =−

1 Cụ thể: lim

x→+∞

Ä√

x2+ 3x−√x2+ 4xä= lim

x→+∞

−x

√

x2+ 3x+√x2+ 4x

= lim x→+∞

−1

…

1 + x +

…

1 +4 x

=−1

2

Chọn đáp án B

Ä√3

3x3−1 +√x2+ 2älà

A √33 + B +∞ C √33−1 D −∞

Lời giải

Giải nhanh:x→ −∞ ⇒√3

3x3−1 +√x2+ 2∼ √3

3x3+√x2 =Ä√3

3−1äx→ −∞ Cụ thể: lim

x→−∞

Ä√3

3x3−1 +√x2+ 2ä= lim

x→−∞x

Ç

3

…

3−

x3 −

…

1 + x2

å

=−∞

Vì lim

x→−∞x=−∞,x→−∞lim

Ç

3

…

3−

x3 −

…

1 + x2

å

=√3

3−1>0

Chọn đáp án D

Ä√

x2+x−√3

x3−x2älà

A

6 B +∞ C −1 D −∞

Lời giải

Khi x→+∞ ⇒√x2+x−√3

x3−x2∼√x2−√3

x3=x−x= 0 ⇒ Nhân lượng liên hợp:

Giải nhanh:√x2+x−√3

x3−x2=Ä√x2+x−xä+Äx−√3

x3−x2ä

= √ x

x2+ +x +

x2 x2+x√3

x3−1 +»3

(x3−1)2

∼ √ x

x2+x +

x2 x2+x√3

x3+√6 x6

= 2+

1 =

5

6(x→+∞) Cụ thể: lim

x→+∞

Ä√

x2+x−√3

x3−x2ä= lim

x→+∞

Ä√

x2+x−x+x−√3

x3−x2ä

= lim x→+∞

Ñ

x

√

x2+ +x +

x2 x2+x√3

x3−1 +»3

(x3−1)2

é

= 2+

1 =

5

Chọn đáp án A

3

√

2x−1−√3

2x+

A B +∞ C −1 D −∞

Lời giải

x→+∞ ⇒ √32x−1−√32x+ 1∼√3

2x−√3

2x= 0⇒ Nhân lượng liên hợp: Giải nhanh: √3

2x−1−√3

2x+ = −2

3

»

(2x−1)2+√3

4x2−1−»3

(2x+ 1)2

∼ √3 −2

4x2+√3

4x2+√3 4x2 =

−2 33

√

4x2 →0

Cụ thể: lim x→+∞

3

√

2x−1−√3

2x+

= lim x→+∞

−2

»

(2x−1)2+p3

(2x−1) (2x+ 1) +

»

(2x+ 1)2 =

Chọn đáp án A

Câu 278 Kết giới hạn lim x→0

ï

x

Å

1−1

x

ãò

là

A +∞ B −1 C D +∞

(139)

Ta có lim x→0

ï

x

Å

1−1

x

ãò

= lim

x→0(x−1) = 0−1 =−1

Chọn đáp án B

x→2+(x−2)

… x

x2−4

A B +∞ C D −∞

x→2+(x−2)

… x

x2−4 = limx→2+

√

x−2·√x

√

x+ = 0·√2

2 =

Chọn đáp án C

Câu 280 Kết giới hạn lim x→+∞x

…

2x+ 3x3+x2+ 2

A

3 B

√

6

3 C +∞ D −∞

Lời giải

Giải nhanh:x→+∞ ⇒x

…

2x+

3x3+x2+ 2 ∼x·

…

2x 3x2 =

√

6 ·x·

1

√

x2 =

√

6 ·x·

1 x =

√

6 Cụ thể: lim

x→+∞x

…

2x+

3x3+x2+ 2 = limx→+∞

x2(2x+ 1)

3x3+x2+ 2 = limx→+∞

Œ

2 +1 x +1

x + x3

=

√

6

Chọn đáp án B

Câu 281 Kết giới hạn lim x→0x

2

Å

sinπx−

x2

ã

là

A B −1 C π D +∞

x→0x

Å

sinπx−

x2

ã

= lim x→0 x

2sinπx−1 =−1

Chọn đáp án B

Câu 282 Kết giới hạn lim x→(−1)+

x3+

… x

x2−1

A B +∞ C D −∞

Lời giải

Vớix∈(−1; 0) thìx+ 1>0và x

x−1 >0 Do lim

x→(−1)+

x3+

… x

x2−1 = lim

x→(−1)+

(x+ 1) x2−x+ 1… x (x−1) (x+ 1)

= lim x→(−1)+

√

x+ x2−x+

… x

x−1 =

Chọn đáp án C

ĐÁP ÁN

1 B C B C A D B C B 10 D

11 C 12 D 13 C 14 C 15 B 16 A 17 C 18 B 19 A 20 A

21 D 22 C 23 A 24 B 25 C 26 A 27 B 28 B 29 D 30 B

31 B 32 C 33 C 34 B 35 A 36 C 37 A 38 B 39 C 40 D

41 D 42 C 43 D 44 A 45 B 46 A 47 A 48 B 49 C 50 B

51 B 52 B 53 D 54 C 55 D 56 C 57 C 58 B 59 A 60 B

61 A 62 A 63 C 64 C 65 C 66 A 67 D 68 A 69 B 70 A

71 A 72 C 73 C 74 C 75 C 76 B 77 B 78 B 79 B 80 B

81 B 82 A 83 D 84 A 85 B 86 D 87 C 88 C 89 D 90 B

91 B 92 B 93 A 94 B 95 D 96 A 97 B 98 B 99 A 100 A

101 C 102 C 103 D 104 D 105 D 106 D 107 B 108 A 109 D 110 C

(140)

121 B 122 B 123 B 124 C 125 C 126 A 127 D 128 D 129 D 130 D

131 A 132 A 133 D 134 A 135 A 136 B 137 B 138 A 139 C 140 A

141 C 142 A 143 A 144 B 145 C 146 B 147 A 148 A 149 A 150 D

151 B 152 D 153 A 154 A 155 B 156 C 157 A 158 B 159 A 160 B

161 C 162 A 163 B 164 C 165 D 166 D 167 C 168 A 169 A 170 A

171 A 172 C 173 B 174 A 175 A 176 D 177 C 178 C 179 A 180 A

181 B 182 A 183 B 184 D 185 A 186 C 187 A 188 C 189 A 190 B

191 D 192 C 193 C 194 B 195 B 196 B 197 A 198 C 199 C 200 A

201 B 202 D 203 D 204 C 205 D 206 B 207 C 208 A 209 A 210 A

211 C 212 D 213 D 214 B 215 A 216 D 217 B 218 B 219 B 220 D

221 C 222 D 223 A 224 B 225 D 226 B 227 C 228 D 229 A 230 C

231 B 232 C 233 A 234 B 235 B 236 C 237 C 238 B 239 A 240 C

241 B 242 C 243 D 244 B 245 B 246 B 247 D 248 C 249 D 250 A

251 C 252 B 253 A 254 D 255 C 256 B 257 A 258 D 259 C 260 C

261 D 262 B 263 C 264 D 265 C 266 C 267 B 268 D 269 A 270 C

271 B 272 A 273 A 274 B 275 D 276 A 277 A 278 B 279 C 280 B

(141)

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa Cho hàm sốy=f(x) xác định khoảng(a;b) Hàm sốy =f(x) gọi liên tục điểm x0 ∈(a;b) nếu:

lim x→x0

f(x) =f(x0)

Nếu điểm x0 hàm số y =f(x) khơng liên tục, gọi gián đoạn x0 điểmx0

gọi làđiểm gián đoạn hàm sốy=f(x) Nhận xét

Hàm số gọi liên tục điểm x0 ba điều kiện sau đồng thời thỏa mãn:

f(x) xác định x0

1 lim

x→x0

f(x) tồn

2 lim

x→x0

f(x) =f(x0)

3

Hàm số y=f(x) gián đoạn điểm x0 có điều kiện không thỏa mãn

Nếu sử dụng giới hạn bên thì:

1 Nếu lim x→x−0

f(x) tồn lim x→x−0

f(x) =f(x0) hàm số gọi liên tục trái điểmx0

2 Nếu lim x→x+0

f(x) tồn lim x→x+0

f(x) =f(x0) hàm số gọi liên tục phải điểm x0

3 Hàm số y=f(x) liên tục điểm x0 ⇔ lim

x→x+0

f(x) = lim x→x0

f(x)

Đặc trưng khác tính liên tục điểm

Cho hàm sốy= (x) xác định trên(a;b) Giả sửx0 vàx(x6=x0) hai phần tử của(a;b)

Hiệux−x0, ký hiệu:∆x, gọi làsố gia đối số điểmx0 Ta có:∆x=x−x0 ⇔x=x0+∆x

Hiệu y−y0, ký hiệu:∆y, gọi làsố gia tương ứng hàm số điểm x0 Ta có:

∆y=y−y0 =f(x)−f(x0) =f(x0+ ∆x)−f(x0)

Đặc trưng: dùng khái niệm số gia, ta đặc trưng tính liên tục hàm số y=f(x) điểm x0 sau:

Định lí Một hàm số y = f(x), xác định (a;b), liên tục x0 ∈ (a;b)

lim

∆x→0∆y

Chứng minh: Thật vậy, ta có:

lim x→x0

f(x) =f(x0)⇔ lim

x→x0

(f(x)−f(x0)) = 0⇔ lim

∆x→0∆y=

2 HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa Ta có:

1 Hàm số y = f(x) gọi liên tục khoảng (a;b) liên tục điểm khoảng

2 Hàm sốy =f(x) gọi liên tục đoạn [a;b]nếu nó:

• Liên tục khoảng(a;b)

• lim

x→a+f(x) =f(a) (liên tục phải điểm a)

• lim

(142)

Đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng

Khi ta nói hàm số y =f(x) liên tục mà khơng khoảng có nghĩa hàm số liên tục tập xác định

x y

O a

b

3 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định lí Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu số khác 0) cuẩ hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm Giả sử y=f(x)và y=g(x)là hai hàm số liên tục điểm x0 Khi đó:

1 Các hàm số y=f(x) +g(x), y=f(x)−g(x) y=f(x)·g(x) liên tục điểm x0

2 Hàm số y= f(x)

g(x) liên tục x0 nếug(x0)6=

Định lí Các hàm đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục tập xác định

Định lí Nếu hàm số y=f(x) liên tục đoạn[a;b] f(a)·f(b)<0, tồn điểm c∈(a;b) chof(c) =

Nếu hàm sốy =f(x)liên tục [a;b]vàf(a)·f(b), phương trìnhf(x) = 0có nghiệm nằm khoang (a;b)

x y

O a

b f(b)

f(a)

c

Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm - Dạng I Phương pháp:

®

f1(x) x6=x0

f2(x) x=x0

Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục điểm x0, thực

hiện bước sau:

Bước 1: Tính giới hạn lim x→x0

f(x) = lim x→x0

f1(x) =L

Bước 2: Tính f(x0) =f2(x0)

Bước 3: Đánh giá giải phương trìnhL=f2(x0), từ đưa kết luận

Ví dụ

1 Xét tính liên tục hàm sốy=g(x)tại x0 = 2, biết:

g(x) =  

 x3−8

x−2 x6= x=

(143)

Lời giải

1 Ta có:g(2) = 5; lim

x→2g(x) = limx→2

x3−8

x−2 = limx→2(x

2+ 2x+ 4) = 12,

như ta lim

x→2g(x)6=g(2)

Vậy hàm số gián đoạn điểmx0 =

2 Nếu thay5 12 hàm số liên tục điểmx0 =

Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau điểm x0 = 1:

f(x) =  

 x2−1

x−1 x6= x+a x=

Lời giải

Hàm số xác định với mọix∈R Ta có:f(1) =a+ 1, lim

x→1f(x) = limx→1

x2−1

x−1 = limx→1(x+ 1) = 2,

Vậy ta có:

Nếu2 =a+ 1⇔a= 1⇔f(1) = = lim

x→1f(x), hàm số liên tục điểm x0 =

Nếu26=a+ 1⇔a6= 1⇔f(1)6= = lim

x→1f(x), hàm số gián đoạn điểm x0=

Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm - Dạng II Phương pháp:

®

f1(x) khix < x0

f2(x) khix≥x0

Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục điểm x0, thực

hiện bước sau:

Bước 1: Tính f(x0) =f2(x0)

Bước 2: (Liên tục trái) Tính: lim x→x−0

f1(x) =L1

Đánh giá giải phương trìnhL1 =f2(x0), từ đưa kết luận liên tục trái

Bước 3:(Liên tục phải) Tính: lim x→x+0

f(x) = lim x→x+0

f2(x) =L2

Đánh giá giải phương trìnhL2 =f2(x0), từ đưa kết luận liên tục phải

Bước 4: Đánh giá giải phương trìnhL1 =L2, từ đưa kết luận

Ví dụ Chứng minh rằng:

1 Hàm số:f(x) =

®

(x+ 1)2 với x≤0

x2+ với x >0 gián đoạn điểmx=

2 Mỗi hàm sốg(x) =√x−3và h(x) =   

 

1

x−2 vớix≤1

−

x vớix >1

liên tục tập xác định

(144)

1 Hàm số xác đinh với mọix∈R Ta có: lim

2+ 2

= lim

x→0−f(x) = limx→0−(x+ 1)

2 = 1.

⇒ lim

x→0+f(x)6= limx→0−f(x)

Tức là, hàm số gián đoạn điểmx=

2 Hàm số xác đinh với mọix∈R

Trước tiên ta thấy hàm số liên tục với mọix6= Xét tính liên tục hàm số điểm x0 = 1, ta có:

lim

x→1+f(x) = limx→1+

Å

−1

x

ã

=−1và lim

x→1−f(x) = limx→1−

x−2 =−1,f(1) =−1

⇒ lim

x→1+f(x) = limx→1−f(x) =f(1)

Tức là, hàm số gián đoạn điểmx= Vậy, liên tục tập xác định

Ví dụ Cho hàm số: f(x) =   

 

x2−3x+ 2

|x−1| x6=

a x=

1 Tìmađể f(x)liên tục trái điểm x=

2 Tìmađể f(x)liên tục phải điểmx=

3 Tìmađể f(x)liên tục R Lời giải

Ta có:f(x) =   

 

x−2 x >1 a x= 2−x x <1

1 Đểf(x) liên tục trái điểm x= ⇔ lim

x→1−f(x) tồn vàxlim→1−f(x) =f(1) Ta có lim

x→1−f(x) = limx→1−(2−x) = vàf(1) =a Vậy, điều kiện làa=

2 Đểf(x) liên tục phải điểmx= ⇔ lim

x→1+f(x) tồn vàxlim→1+f(x) =f(1) Ta có lim

x→1+f(x) = limx→1+(x−2) =−1 vàf(1) =a Vậy, điều kiện làa=−1

3 Hàm số liên tục trênRtrước hết phải có lim

x→1−f(x) =⇔xlim→1+ ⇔1 =−1(mâu thuẫn) Vậy không tồn tạiađể hàm số liên tục R

Dạng Xét tính liên tục hàm số khoảng Phương pháp áp dụng

Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục khoảngI, thực theo bước sau:

Bước 1: Xét tính liên tục hàm số khoảng đơn Bước 2: Xét tính liên tục hàm số điểm giao Bước 3: Kết luận

(145)

b Các hàm sốf(x) =x3−x+ 3vàg(x) = x

3−1

x2+ 1 liên tục điểm x∈R

Lời giải

a Hàm số f(x) hàm đa thức nên liên tục R b Ta có nhận xét:

Hàm sốf(x) hàm đa thức nên liên tục R

Hàm sốg(x)là hàm phân thức nên liên tục tập xác định (tức trênR)

a Hàm số f(x) =√8−2x2 liên tục đoạn [−2; 2].

b Các hàm sốf(x) =√2x−1 liên tục nửa khoảng

Å1

2; +∞

ò

Lời giải

a Hàm số liên tục đoạn[−2; 2] Vớix0 ∈(−2; 2), ta có: lim

x→x0

f(x) = lim x→x0

√

8−2x2=»8−2x2

0=f(x0)

Vậy, hàm số liên tục khoảng (−2; 2)

Ngoài ra, sử dụng giới hạn bên ta chứng minh được: Hàm sốf(x) liên tục phải điểmx0 =−2

Hàm sốf(x) liên tục trái điểmx0=

Vậy, hàm số liên tục đoạn[−2; 2] b Hàm số xác định nửa khoảng

Å

1 2; +∞

ò

Vớixo ∈

Å

1 2; +∞

ã

, ta có: lim

x→x0

f(x) = lim x→x0

√

2x−1 =√2xo−1 =f(xo)

Vậy, hàm số liên tục khoảng

Å1

2; +∞

ã

Ngoài ra, sử dụng giới hạn bên, ta chứng minh được: Hàm sốf(x) liên tục phải điểmxo=

1 Vậy, hàm số liên tục nửa khoảng

ï

1 2; +∞

ã

Ví dụ Chứng tỏ hàm số sau liên tục R

f(x) =  

 xcos

x2 x6=

0 x=

Lời giải

Hàm sốf(x) liên tục với mọix6= Xét tính liên tục củaf(x) điểm x= Ta có:

xcos x2

=|x| ·

cos x2

≤ |x| ⇒ − |x| ≤xcos

x2 ≤ |x| ⇒xlim→0

Å

xcos x2

ã

=

Mặt khácf(0) = Do đó, lim

x→0f(x) =f(0)⇒ hàm số liên tục điểmx=

Vậy hàm số liên tục toàn trục số thựcR Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau toàn trục số

f(x) =

®

(146)

Lời giải

1 Khix <1, ta có f(x) =x2+x hàm số đa thức nên liên tục với x <1 Khix >1, ta có f(x) =ax+ 1là hàm số đa thức nên liên tục với x >1 Khix= 1, ta có:

lim

2+x =

lim

x→1+f(x) = limx→1+(ax+ 1) =a+ f(1) =a+

Do đó:

?Nếua= lim

x→1−f(x) = limx→1+f(x) =f(1) = 2, hàm số liên tục xo = ?Nếua6= lim

x→1−f(x)6= limx→1+f(x), hàm số gián đoạn xo = Kết luận:

- Nếua= 1, hàm số liên tục toàn trục số

- Nếua6= 1, hàm số liên tục khoảng(−∞; 1),(1; +∞)và gián đoạn xo = Dạng Sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh

Phương pháp áp dụng

Cho phương trình f(x) = 0, để chứng minh phương trình có k nghiệm [a, b] , ta thực theo bước sau:

Bước : Chọn số a < T1 < T2 < < Tk−1< b chia đoạn [a, b] thànhk đoạn thõa

mãn :   

 

f(a).f(T1)<0

f(Tk−1).f(b)<0

Bước 2: Kết luận số nghiệm phương trình [a, b]

Ví dụ Chứng minh phương trình x5+x−1 = có nghiệm khoảng(−1; 1) Lời giải

Xét hàm số f(x) =x5+x−1 liên tục trênR ta có :f(−1).f(1) =−3.1 =−3<0

Vậy phương trình có nghiện khoảng(−1; 1)

Ví dụ Chứng minh phương trình x2cosx+xsinx+ = 0có nghiệm thuộc khoảng(0;π)

Lời giải

Xét hàm số f(x) =x2cosx+xsinx+ 1liên tục khoảng(0;π) ta có : f(0).f(π) = 1−π2 <0

Vậy phương trình có nghiệm khoảng(0;π)

Ví dụ Chứng minh phương trình x3+x+ = 0có nghiệm âm lớn −1 Lời giải

Xét hàm số f(x) =x3+x+ 1liên tục trênR Ta có :f(−1).f(0) =−1.1 =−1<0

Vậy phương trình có nghiệm khoảng (0; 1) Do có nghiệm âm lớn

−1

Ví dụ Chứng minh phương trình 2x+ 6√3

1−x = có nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−7; 9)

(147)

Đặtt=√3

1−x.Khi phương trình có dạng2t3−6t+ = Xét hàm số f(t) = 2t3−6t+ 1liên tục trên

R Ta có : f(−2) =−3 ; f(0) = ; f(1) =−3 ; f(2) =

Ta có :f(−2).f(0) =−3<0 nên phương trình có1 nghiệmt1 ∈(−2; 0)

Khi :t1 =

√

1−x⇒x1 = 1−t13 vàt1 ∈(1; 9)

f(0).f(1) =−3<0 nên phương trình có 1nghiệm t2∈(0; 1)

Khi :t2 =

√

1−x⇒x2 = 1−t23 vàt2 ∈(0; 1)

f(1).f(2) =− −15<0 nên phương trình có nghiệmt3∈(−7; 0)

Khi :t3 =

√

1−x⇒x3 = 1−t33 vàt3 ∈(−7; 0)

Vậy : Phương trình có nghiệm thuộc khoảng (−7; 9)

Dạng Sử dụng tính liên tục hàm số để xét dấu hàm số Phương pháp áp dụng:

Sử dụng kết : "Nếu hàm số y=f(x) liên tục khơng triệt tiêu đoạn [a;b] có dấu định khoảng (a;b)"

Ví dụ Xét dấu hàm số : f(x) =√x+ 4−√1−x−√1−2x Lời giải

Hàm số f(x) liên tục đoạn

−4;12

Giải phương trìnhf(x) = Ta có : f(x) = 0⇔√1−x+√1−2x=√x+

⇔

   

  

1−x≥0 1−2x≥0

1−x+ 1−2x+ 2»(1−x)(1−2x) =x+

⇔

    

   

x≤1

x≤

2

»

(1−x)(1−2x) = 2x+

⇔

    

   

x≤

2 2x+ 1≥0

(1−x)(1−2x) = (2x+ 1)2

⇔

 



−1

2 ≤x≤ 2x2+ 7x=

⇔x=

Như khoảng[−4; 0)và 0;12 hàm sốf(x) khơng triệt tiêu Do : Vì f(−1) =√3−√2−√3<0 nên f(x)<0∀x∈[−4; 0)

Vì f(12) =»92 −»1

2 >0 nên f(x)>0∀x∈ 0;

Câu Hàm số f(x) =√3−x+√

x+ liên tục trên:

A [−4; 3] B [−4; 3) C (−4; 3] D [−∞;−4]∪[3; +∞) Lời giải

Điều kiện:

®

3−x>0 x+ 4>0 ⇔

®

x >−4

x6−3 ⇒ TXĐ: D= (−4; 3]⇒ hàm số liên tục trên(−4; 3) Xét x= 3,ta có

lim

x→3−f(x) = limx→3−

Å√

3−x+√

x+

ã

= √1

7 =f(3)⇒ Hàm số liên tục trái tạix= Vậy hàm số liên tục (−4; 3]

Chọn đáp án C

Câu Hàm số f(x) = x

3+xcosx+ sinx

2 sinx+ liên tục trên:

A [−1; 1] B [1; 5] C

Å

−3

2; +∞

ã

D R Lời giải

Vì2 sinx+ 36= với mọix∈R⇒TXĐD =R⇒ Hàm số liên tục trênR

Chọn đáp án D

Câu Cho hàm sốf(x)xác định liên tục trênRvớif(x) = x

2−3x+ 2

(148)

A B C D −1 Lời giải

Vìf(x)liên tục Rnên suy f(1) = lim

x2−3x+

x−1 = limx→1(x−2) =−1

Chọn đáp án D

Câu Cho hàm số f(x) xác định liên tục [−3; 3] với f(x) =

√

x+ 3−√3−x

x với x 6= Tính f(0)

A

√

3

3 B

√

3

3 C D

Lời giải

Vìf(x)liên tục [−3; 3] nên suy f(0) = lim

√

x+ 3−√3−x x = limx→0

2

√

x+ +√3−x =

√

3

Chọn đáp án B

Câu Cho hàm số f(x) xác định liên tục (−4; +∞) với f(x) = √ x

x+ 4−2 với x 6= Tính f(0)

A B C D

Lời giải

Vìf(x)liên tục m <−5 nên suy f(0) = lim

x

√

x+ 4−2 = limx→0

√

x+ + =

Chọn đáp án C

Câu Tìm giá trị thực tham sốmđể hàm sốf(x) =  



x2−x−2

x−2 x6=

m x=

liên tục tạix=

A m= B m= C m= D m=

Lời giải

Tập xác định:D =R, chứa x= Theo giả thiết ta phải có m=f(2) = lim

x2−x−2

x−2 = limx→2(x+ 1) =

Chọn đáp án D

Câu Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f(x) =  



x3−x2+ 2x−2

x−1 x6= 3x+m x=

liên tục x=

A m= B m= C m= D m=

Lời giải

Hàm số xác định với mọix∈R Theo giả thiết ta phải có +m=f(1) = lim

x3−x2+ 2x−2 x−1 = limx→1

(x−1)(x2+ 2)

x−1 = limx→1(x

2+ 2) = 3

⇔m=

Chọn đáp án A

Câu Tìm giá trị thực tham sốkđể hàm sốy=f(x) =  



√

x−1

x−1 x6= k+ x=

liên tục tạix= A k=

2 B k= C k=−

1

2 D k=

Lời giải

Hàm sốf(x) có TXĐ:D = [0; +∞) Điều kiện toán tương đương với k+ =y(1) = lim

x→1y= limx→1

√

x−1 x−1 = limx→1

1

√

x+ =

2 ⇔k=−

(149)

Câu Biết hàm số f(x) =  



3−x

√

x+ 1−2 x6=

m x=

liên tục x= (với m tham số) Khẳng định đúng?

A m∈(−3; 0) B m6−3 C m∈[0; 5) D m∈[5; +∞) Lời giải

Hàm sốf(x) có tập xác định là(−1; +∞) Theo giả thiết ta phải có m=f(3) = lim

3−x

√

x+ 1−2 = limx→3

(3−x) √x+ +

x−3 =−xlim→3

√

x+ + 2=−4

Chọn đáp án B

Câu 10 Tìm giá trị thực tham số m để hàm sốf(x) =  



x2sin

x x6= m x=

liên tục x= A m∈(−2;−1) B m6−2 C m∈[−1; 7) D m∈[7; +∞) Lời giải

Với x6= 0ta có 06|f(x)|=

x2sin1 x

x2 →0khi x→0⇒ lim

x→0f(x) =

Theo giải thiết ta phải có:m=f(0) = lim

x→0f(x) =

Chọn đáp án C

sinx

x = Hàm sốf(x) =  

 tanx

x x6= 0 x=

liên tục khoảng sau đây? A

0;π

2

B x= C

−π

4; π

D (−∞; +∞) Lời giải

Tập xác định:D =R\ nπ

2 +kπ|k∈Z o

= S k∈Z

Å

π +kπ;

3π +kπ

ã

=· · · ∪−π

2; π

∪

Å

π +

3π

ã

∪ · · ·

Ta có lim

tanx x = limx→0

sinx x ·

1

cosx = 1·

cos = 16= =f(0)

⇒f(x) không liên tục tạix=

Chọn đáp án A

sinx

x = Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f(x) =  

 sinπx

x−1 x6= m x= liên tục tạix=

A m=−π B m=π C m=−1 D m=

Lời giải

Tập xác địnhD =R Điều kiện toán tương đương với m=f(1) = lim

sinπx x−1 = limx→1

sin (πx−π+π) x−1

= lim x→1

−sinπ(x−1) x−1 = limx→1

ï

(−π)·sinπ(x−1)

π(x−1)

ị

(∗)

Đặtt=π(x−1)thìt→0 x→1 Do (∗) trở thành: m= lim

t→0

ï

(−π)·sint

t

ò

=−π

Chọn đáp án A

sinx

x = Tìm giá trị thực tham sốmđể hàm sốf(x) =   

 

1 + cosx

(x−π)2 khix6=π m khix=π liên tục tạix=π

A m= π

2 B m=−

π

2 C m=

1

2 D m=−

1 Lời giải

(150)

m=f(π) = lim

x→πf(x) = limx→π

1 + cosx

(x−π)2 = limx→π

2cos2x

(x−π)2 = limx→π 2sin2

x −

π

x−π)2

= 2xlim→π



 sin

x −

π

x −

π





2

(∗)

Đặtt= x −

π

2 →0 khix→1 Khi (∗) trở thành:m= 2limt→0

Åsint

t

ã2

= ·1

2 =

2

Chọn đáp án C

Câu 14 Hàm số f(x) =     

   

3 x=−1

x4+x

x2+x khix6=−1, x6=

1 x=

liên tục tại:

A điểm trừx= 0, x= B điểm x∈R C điểm trừ x=−1 D điểm trừx= Lời giải

Hàm sốy =f(x) có TXĐ: D=R

Dễ thấy hàm số y=f(x)liên tục khoảng (−∞;−1),(−1; 0) và(0; +∞) (i) Xét tạix=−1, ta có

lim

x→−1f(x) = limx→−1

x4+x

x2+x = limx→−1

x(x+ 1)(x2−x+ 1)

x(x+ 1) = limx→−1(x

2−x+ 1) = =f(−1)

⇒ hàm sốy=f(x) liên tục tạix=−1 (ii) Xét tạix= 0, ta có

lim

x4+x x2+x = limx→0

x(x+ 1)(x2−x+ 1)

x(x+ 1) = limx→0 x

2−x+ 1

= =f(0)

⇒ hàm sốy=f(x) liên tục tạix=

Chọn đáp án B

Câu 15 Số điểm gián đoạn hàm số f(x) =     

   

0,5 x=−1

x(x+ 1)

x2−1 x6=−1, x6=

1 khix=

là

A B C D

Lời giải

Hàm sốy =f(x) có tập xác định D =R Hàm sốf(x) = x(x+ 1)

x2−1 liên tục khoảng(−∞;−1),(−1; 1) và(1; +∞)

(i) Xét tạix=−1, ta có lim

x→−1f(x) = limx→−1

x(x+ 1)

x2−1 = limx→−1

x x−1 =

1

2 =f(−1)

⇒ Hàm số liên tục tạix=−1 (ii) Xét tạix= 1, ta có

   

  

lim

x→1+f(x) = limx→1+

x(x+ 1)

x2−1 = limx→1+ x

x−1 = +∞

lim

x→1−f(x) = limx→1−

x(x+ 1)

x2−1 = limx→1− x

x−1 =−∞

⇒Hàm số y=f(x)gián đoạn tạix=

Chọn đáp án B

Câu 16 Có giá trị thực tham số m để hàm số f(x) =

®

m2x2 x62

(1−m)x x >2 liên tục R?

A B C D

(151)

TXĐ:D =R Hàm số liên tục khoảng (−∞; 2);(2; +∞) Khi đóf(x) liên tục trênR⇔f(x) liên tục x=

⇔ lim

x→2f(x) =f(2)⇔xlim→2+f(x) = limx→2−f(x) =f(2).(∗)

Ta có     

   

f(2) = 4m2 lim

x→2+f(x) = limx→2+[(1−m)x] = 2(1−m) lim

x→2−f(x) = limx→2−m

2x2 = 4m2

⇒(∗)⇔4m2 = 2(1−m)⇔





m=−1

m=

Chọn đáp án A

Câu 17 Biết hàm số f(x) =

®√

x x∈[0; 4]

1 +m khix∈(4; 6] liên tục [0; 6] Khẳng định sau đúng?

A m <2 B 26m <3 C 3< m <5 D m>5 Lời giải

Dễ thấyf(x) liên tục khoảng(0; 4)và(4; 6) Khi hàm số liên tục đoạn[0; 6]khi hàm số liên tục tạix= 4,x= 0,x=

Tức ta cần có 

   

   

lim

x→0+f(x) =f(0) lim

x→6−f(x) =f(6) lim

x→4−f(x) = limx→4+f(x) =f(4) (∗)

 

 lim

x→0+f(x) = limx→0+

√

x=

f(0) =√0 =

;

( lim

x→6−f(x) = limx→6−(1 +m) = +m f(6) = +m

;

    

   

lim

x→4−f(x) = limx→4−

√

x=

lim

x→4+f(x) = limx→4+(1 +m) = +m f(4) = +m

Khi đó(∗) trở thành1 +m= 2⇔m= 1<2

Chọn đáp án A

Câu 18 Có giá trị tham số a để hàm số f(x) =   

 

x2−3x+

|x−1| x6=

a x=

liên tục R?

A B C D

Lời giải

Hàm sốf(x) liên tục trên(−∞; 1) và(1; +∞) Khi hàm số cho liên tục trênR liên tục tạix= 1, tức ta cần có

lim

x→1f(x) =f(1)⇔xlim→1+f(x) = limx→1−f(x) =f(1).(∗) Ta có

f(x) =   

 

x−2 x >1 a x= 2−x x <1

⇒

 

 lim

x→1−f(x) = limx→1−(2−x) = lim

x→1+f(x) = limx→1+(x−2) =−1

⇒(∗) không thỏa mãn với mọia∈R.Vậy không tồn giá trị thỏa yêu cầu

(152)

Câu 19 Biết f(x) =   

 

x2−1

√

x−1 x6= a x=

liên tục đoạn [0; 1] (với a tham số) Khẳng định giá trịalà đúng?

A a số nguyên B alà số vô tỉ C a >5 D a <0 Lời giải

Hàm số xác định liên tục trên[0; 1)

Khi đóf(x) liên tục trên[0; 1]khi lim

x→1−f(x) =f(1).(∗) Ta có

  

 

f(1) =a

lim

x→1−f(x) = limx→1−

x2−1

√

x−1 = limx→1−

(x+ 1) √x+

= ⇒(∗)⇔a=

Chọn đáp án A

Câu 20 Xét tính liên tục hàm sốf(x) =  



x−1

√

2−x−1 x <1

−2x x>1

Khẳng định đúng? A f(x)không liên tục R B f(x) không liên tục trên(0; 2)

C f(x)gián đoạn tạix= D f(x) liên tục trênR Lời giải

Dễ thấy hàm số liên tục trên(−∞; 1)và(1; +∞)

Ta có     

   

f(1) =−2 lim

x→1+f(x) = limx→1+(−2x) =−2 lim

x→1−f(x) = limx→1−

x−1

√

2−x−1 = limx→1−

ỵ

−Ä√2−x+ 1äó=−2

⇒f(x) liên tục x=

Vậy hàm sốf(x) liên tục R

Chọn đáp án D

Câu 21 Tìm giá trị nhỏ ađể hàm sốf(x) =   

 

x2−5x+

√

4x−3−x x >3 1−a2x x63

liên tục tạix=

A −√2

3 B

2

√

3 C −

4

3 D

4 Lời giải

Điều kiện toán trở thành: lim

x→3+f(x) = limx→3−f(x) =f(3)

Ta có      

    

f(3) = 1−3a2 lim

x→3+f(x) = limx→3+

x2−5x+ 6

√

4x−3−x = limx→3+

(x−2) √4x−3 +x 1−x =−3 lim

x→3−f(x) = limx→3−(1−a

2x) = 1−3a3.

⇒(∗)⇔a=±√2

3 ⇒amin=−

√

3

Chọn đáp án A

Câu 22 Tìm giá trị lớn củaa để hàm sốf(x) =    

  

√

3x+ 2−2

x−2 x >2 a2x+1

4 x62

liên tục x=

A amax= B amax= C amax= D amax=

Lời giải Ta cần có lim

(153)

Ta có        

      

f(2) = 2a2−

4

lim

x→2+f(x) = limx→2+

√

3x+ 2−2 x−2 =

1

lim

x→2−f(x) = limx→2−

Å

a2x+1

ã

= 2a2−

4

⇒(∗)⇔a=±1⇒amax=

Chọn đáp án C

Câu 23 Xét tính liên tục hàm sốf(x) =

®

1−cosx khix60

√

x+ khix >0 Khẳng định sau đúng? A f(x)liên tục x= B f(x) liên tục trên(−∞; 1)

C f(x)không liên tục R D f(x) gián đoạn tạix= Lời giải

Ta cóf(x) liên tục (−∞; 0)và (0; +∞)

Mặt khác     

   

f(0) = lim

x→0−f(x) = limx→0−(1−cosx) = 1−cos = lim

x→0+f(x) = limx→0+

√

x+ =√0 + =

⇒f(x) gián đoạn tạix=

Chọn đáp án C

Câu 24 Tìm khoảng liên tục hàm số f(x) =  

 cosπx

2 |x|61 x−1 |x|>1

Mệnh đề sau sai?

A Hàm số liên tục tạix=−1

B Hàm số liên tục khoảng (−∞,−1); (1; +∞) C Hàm số liên tục x=

D Hàm số liên tục khoảng (−1,1) Lời giải

Ta cóf(x) liên tục (−∞;−1),(−1; 1),(1; +∞)

Ta có   

 

f(−1) = cos−π

2

=

lim x→(−1)−

f(x) = lim x→(−1)−

(x−1) =−2 ⇒f(x) gián đoạn tạix=−1

Ta có      

    

f(1) = cosπ = lim

x→1+f(x) = limx→1+(x−1) = lim

x→1−f(x) = limx→1−cos πx

2 =

Chọn đáp án A

Câu 25 Cho hàm sốf(x) =     

   

x2

x x <1, x6=

0 khix=

√

x khix>1

Hàm sốf(x)liên tục tại:

A điểm thuộcR B điểm trừ x=

C điểm trừ x= D điểm trừx= 0và x= Lời giải

Dễ thấy hàm số y=f(x)liên tục khoảng (−∞; 0),(0; 1) và(1; +∞)

Ta có       

     

f(0) =

lim

x→0−f(x) = limx→0− x2

x = limx→0−x= lim

x→0+f(x) = limx→0+ x2

x = limx→0+x=

(154)

Ta có      

    

f(1) =

lim

x→1−f(x) = limx→1− x2

x = limx→1−x= lim

x→1+f(x) = limx→1+

√

x=

⇒f(x)liên tục x=

Vậy hàm sốy=f(x) liên tục trênR

Chọn đáp án A

Câu 26 Cho hàm sốf(x) =     

   

x2−1

x−1 khix <3, x6=

4 x=

√

x+ x>3

Hàm số liên tục tại:

A điểm thuộcR B điểm trừ x=

C điểm trừ x= D điểm trừx= 1và x= Lời giải

Dễ thấy hàm số y=f(x)liên tục khoảng (−∞; 1),(1; 3) và(3; +∞) Ta có

 



f(1) =

lim

x2−1

x−1 = limx→1(x+ 1) =

⇒f(x)gián đoạn tạix=

Ta có  



f(3) =

lim

x→3−f(x) = limx→3− x2−1

x−1 = limx→3−(x+ 1) =

⇒f(x) gián đoạn tạix=

Chọn đáp án D

Câu 27 Số điểm gián đoạn hàm số h(x) =   

 

2x x <0 x2+ 1khi 06x62 3x−1 x >2

là:

A B C D

Lời giải

Hàm sốy =h(x) có TXĐ:D =R

Dễ thấy hàm số y=h(x) liên tục khoảng(−∞; 0),(0; 2)và (2; +∞) Ta có

(

h(0) = lim

x→0−h(x) = limx→0−2x=

Ta có     

   

h(2) = lim

x→2−h(x) = limx→2− x

2+ 1 =

lim

x→2+h(x) = limx→2+(3x−1) =

Chọn đáp án A

Câu 28 Tính tổng S gồm tất giá trị m để hàm số f(x) =   

 

x2+x x <1

2 x=

m2x+ x >1

liên tục x=

A S =−1 B S = C S = D S=

Lời giải

Hàm số xác định với mọix∈R Điều kiện toán trở thành lim

x→1+f(x) = limx→1−f(x) =f(1).(∗)

Ta có     

   

f(1) = lim

x→1+f(x) = limx→1+(m

2x+ 1) =m2+ 1

lim

x→1−f(x) = limx→1−(x

2+x) = 2

⇒(∗)⇔m2+ = 2⇔m=±1⇒S =

(155)

Câu 29 Cho hàm sốf(x) =     

   

−xcosx x <0 x2

1 +x 06x <1 x3 khix>1

Hàm số f(x) liên tục

A điểm thuộcx∈R B điểm trừ x= C điểm trừ x= D điểm trừx= 0;x= Lời giải

Dễ thấyf(x) liên tục khoảng(−∞; 0),(0; 1) và(1; +∞)

Ta có      

    

f(0) = lim

x→0−f(x) = limx→0−(−xcosx) = lim

x→0+f(x) = limx→0+ x2

1 +x =

⇒f(x) liên tục tạix=

Ta có      

    

f(1) =

lim

x→1−f(x) = limx→1− x2 +x =

1 lim

x→1+f(x) = limx→1+x

3 = 1

Chọn đáp án C

Câu 30 Cho hàm sốf(x) =−4x3+ 4x−1 Mệnh đề sau sai? A Hàm số cho liên tục trênR

B Phương trình f(x) = khơng có nghiệm khoảng(−∞; 1) C Phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (−2; 0)

D Phương trình f(x) = có hai nghiệm khoảng

Å

−3;1

ã

Lời giải

(i) Hàmf(x)là hàm đa thức nên liên tục trênR (ii) Ta có

®

f(−1) =−1<0 f(−2) = 23>0

⇒f(x) = có nghiệm (−2;−1), mà(−2;−1)⊂(−2; 0)⊂(−∞; 1).(1) (iii) Ta có

 



f(0) =−1<0

f

Å1

2

ã

= >0

⇒f(x) = 0có nghiệm thuộc

Å

0;1

ã

Kết hợp với (1) suy có nghiệm thỏa:−3< x1 <−1<0< x2 <

1

Chọn đáp án B

Câu 31 Cho phương trình 2x4−5x2+x+ = Mệnh đề sau đúng? A Phương trình khơng có nghiệm khoảng(−1; 1)

B Phương trình khơng có nghiệm khoảng(−2; 0) C Phương trình có nghiệm khoảng (−2; 1) D Phương trình có hai nghiệm khoảng(0; 2) Lời giải

Hàm sốf(x) = 2x4−5x2+x+ 1là hàm đa thức có tập xác định Rnên liên tục R Ta có

(i)

®

f(0) =

f(−1) =−3 ⇒f(−1)·f(0)<0⇒f(x) = có nghiệm thuộc (−1; 0) (ii)

®

f(0) =

f(1) =−1 ⇒f(0)·f(1)<0⇒f(x) = có nghiệm thuộc (0; 1) (iii)

®

f(1) =−1

f(2) = 15 ⇒f(1)·f(2)<0⇒f(x) = có nghiệm thuộc(1; 2)

Vậy phương trình f(x) = cho có nghiệmx1,x2,x3 thỏa−1< x1 <0< x2 <1< x3<2

Chọn đáp án D

(156)

A B C D Lời giải

Hàm sốf(x) =x3−3x−1là hàm đa thức có tập xác định làRnên liên tục R Do hàm số liên tục khoảng(−2;−1),(−1; 0),(0; 2) Ta có

®

f(−2) =−3

f(−1) = ⇒f(−2)·f(−1)<0⇒(1)có nghiệm thuộc (−2;−1)

®

f(−1) =

f(0) =−1 ⇒f(−1)·f(0)<0⇒(1)có nghiệm thuộc (−1; 0)

®

f(2) =

f(0) =−1 ⇒f(2)·f(0)<0⇒(1) có nghiệm thuộc(0; 2)

Như phương trình(1) có ba thuộc khoảng(−2; 2) Tuy nhiên phương trìnhf(x) = phương trình bậc ba có nhiều ba nghiệm Vậy phương trìnhf(x) = có nghiệm trênR

Chọn đáp án D

Câu 33 Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [−1; 4] cho f(−1) = 2, f(4) = Có thể nói số nghiệm phương trìnhf(x) = 5trên đoạn [−1; 4]:

A Vơ nghiệm B Có nghiệm C Có nghiệm D Có hai nghiệm Lời giải

Ta cóf(x) = 5⇔f(x)−5 = Đặt g(x) =f(x)−5 Khi

®

g(−1) =f(−1)−5 = 2−5 =−3

g(4) =f(4)−5 = 7−5 = ⇒g(−1)·g(4)<0

Vậy phương trìnhg(x) = 0có nghiệm thuộc khoảng(1; 4)hay phương trình f(x) = 5có nghiệm thuộc khoảng(1; 4)

Chọn đáp án B

Câu 34 Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng (−10; 10) để phương trình x3−3x2+ (2m−2)x+m−3 = có ba nghiệm phân biệtx1,x2,x3 thỏa mãn x1 <−1< x2 < x3?

A 19 B 18 C D

Lời giải

Xét hàm số f(x) =x3−3x2+ (2m−2)x+m−3liên tục R

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệtx1,x2,x3 cho x1 <−1< x2 < x3 Khi

f(x) = (x−x1)(x−x2)(x−x3)

Ta có

f(−1) = (−1−x1)(−1−x2)(−1−x3)>0 (dox1 <−1< x2 < x3)

Màf(−1) =−m−5nên suy −m−5>0⇔m <−5 Thử lại: Với m <−5, ta có

lim

x→−∞f(x) =−∞nên tồn a <−1sao cho f(a)<0.(1) Dom <−5nên f(−1) =−m−5>0.(2)

f(0) =m−3<0.(3)

lim

x→+∞f(x) = +∞ nên tồn b >0 cho f(b)>0.(4)

Từ(1)và (2), suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng(−∞;−1); Từ(2)và (3), suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng(−1; 0); Từ(3)và (4), suy phương trình có nghiệm thuộc khoảng(0; +∞)

Vậy khim <−5 thỏa mãn⇒[m∈(−10; 10)], m∈Z, m∈ {−9;−8;−7;−6}

Câu 35 Tìm ađể hàm sốf(x) =  



√

x+ 2−2

x−2 x6= 2x+a x=

liên tục x=

A 15

4 B −

15

4 C

1

4 D

(157)

f(2) =a+

lim

√

x+ 2−2 x−2 = limx→2

(x+ 2)−4

(x−2) √x+ + = limx→2

1

√

x+ + = Hàm sốf(x) liên tục tạix= lim

x→2f(x) =f(2)⇔

1

4 =a+ 4⇔a=− 15

4

Chọn đáp án B



√

x+ 2−2

x−2 x6= 2x+a x=

liên tục x= A a= 15

4 B a=−

15

4 C a=

1

4 D a=

Lời giải

Ta cóf(2) =a+ 4và lim

√

x+ 2−2 x−2 xlim→2

x−2

(x−2)(√x+ + 2) =

Hàm số liên tục tạix= lim

x→2f(x) =f(2)⇔a+ =

1

4 ⇔a=− 15

4

Chọn đáp án B

Câu 37 Cho hàm sốy =f(x)liên tục trên(a;b) Điều kiện cần đủ để hàm số liên tục trên[a;b]là A lim

x→a+f(x) =f(a) vàxlim→b+f(x) =f(b) B xlim→a+f(x) =f(a) xlim→b−f(x) =f(b) C lim

x→a−f(x) =f(a) vàxlim→b+f(x) =f(b) D xlim→a−f(x) =f(a)và xlim→b−f(x) =f(b) Lời giải

Hàm sốy=f(x) liên tục trên(a;b) Điều kiện cần đủ để hàm số liên tục trên[a;b]là lim

x→a+f(x) =f(a) lim

x→b−f(x) =f(b)

Chọn đáp án B

Câu 38 Tìm tất giá trị m để hàm số f(x) =    

  

√

1−x−√1 +x

x x <0 m+1−x

1 +x x≥0

liên tục x=

A m=−1 B m=−2 C m= D m=

Lời giải lim

x→0−f(x) = limx→0−

√

1−x−√1 +x

x = limx→0−

−2x

x(√1−x+√1 +x) = limx→0−

−2

√

1−x+√1 +x =−1 lim

x→0+f(x) = limx→0+

Å

m+ 1−x +x

ã

=m+ =f(0)

f(x) liên tục x= lim

x→0−f(x) = limx→0+f(x) =f(0)⇔m=−2

Chọn đáp án B

 

x2−3x+

√

x+ 2−2 x >2 m2x−4m+ x≤2

,m tham số Có giá trị m để hàm số cho liên tục tạix= 2?

A B C D

Lời giải

Ta cóf(2) = 2m2−4m+ lim

x→2−f(x) = limx→2−(m

(158)

lim

x→2+f(x) = limx→2+

x2−3x+

√

x+ 2−2

= lim x→2+

(x2−3x+ 2)(√x+ + 2) x+ 2−4

= lim x→2+

(x−2)(x−1)(√x+ + 2) x−2

= lim x→2+

ỵ

(x−1)(√x+ + 2)ó

=

Hàm số cho liên tục tạix= lim

x→2−f(x) = limx→2+f(x) =f(2)⇔2m

2−4m+ = 4⇔2m2−4m+ = 0⇔m= 1.

Vậym=

Chọn đáp án A

Câu 40 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số f(x) =  



x2−2x

x−2 x >2 mx−4 x≤2

liên tục x=

A m= B m= C m=−2 D Không tồn m Lời giải

Tập xác định hàm số làD =R Ta có

f(2) = 2m−4

lim

x→2+f(x) = limx→2+

x2−2x

x−2 = limx→2+x= lim

x→2−f(x) = limx→2−(mx−4) = 2m−4 Hàm sốf(x) liên tục tạix=

f(2) = lim

x→2−f(x) = limx→2+f(x)⇔2m−4 = 2⇔m= Vậym= hàm số f(x) liên tục tạix=

Chọn đáp án A

Câu 41 Tìm m để hàm sốy=f(x) =

®

x2+ 2√x−2 x>2

5x−5m+m2 x <2 liên tục trênR?

A m= 2;m= B m=−2;m=−3 C m= 1;m= D m=−1;m=−6 Lời giải

TXĐD =R

+ Xét trên(2; +∞) đóf(x) =x2+ 2√x−2

∀x0 ∈(2; +∞) : lim

x→x0

x20+ 2√x0−2

=x20+ 2√x0−2 =f(x0)⇒ hàm số liên tục trên(2; +∞)

+ Xét (−∞; 2) f(x) = 5x−5m+m2 hàm đa thức liên tục R ⇒ hàm số liên tục (−∞; 2)

+ Xét tạix0 = 2, ta có f(2) =

lim

2+ 2√x−2

= 4; lim

x→2−f(x) = limx→2−(5x−5m+m

2) =m2−5m+ 10.

Để hàm số cho liên tục trênR phải liên tục tạix0 =

⇔ lim

x→2+f(x) = limx→2−f(x) =f(2)

⇔ m2−5m+ 10 =

⇔ m2−5m+ =

⇔

ñ

m= m=

(159)

 

x2016+x−2

√

2018x+ 1−√x+ 2018 x6=

k x=

.Tìm k để hàm số f(x) liên tục x=

A k= 2√2019 B k= 2017

√

2018

2 C k= D

2016 2017

√

2019 Lời giải

Ta có:lim x→1

x2016+x−2

√

2018x+ 1−√x+ 2018

= lim x→1

(x2016−1 +x−1)(√2018x+ +√x+ 2018) 2018x+ 1−(x+ 2018)

= lim x→1

(x−1)

(x2015+x2014+ .+ 1) + 1

(√2018x+ +√x+ 2018) 2018(x−1)−(x−1)

= lim x→1

(x2015+x2014+ .+ 1) + 1(√2018x+ +√x+ 2018) 2017

= 2017.2

√

2019 2017 =

√

2019

Vậy để hàm số liên tục tạix= k=f(1) = lim

x→1f(x) =

√

2019

Chọn đáp án A



2x2−2 x≥1 2x+a

x2+ 1 x <1

Giá trị ađể hàm số liên tục x0 =

A B −2 C D

Lời giải Ta xét lim

x→1+f(x) = limx→1+ 2x

2−2

= f(1) = lim

x→1−f(x) = limx→1−

2x+a x2+ 1 =

a+ 2 Để hàm số liên tục tạix0 = lim

x→1−f(x) = limx→1+f(x) =f(1)⇔ a+

2 = 0⇔a=−2

Chọn đáp án B



√

4x−2

x−2 x6= ax+ x=

Xác định ađể hàm số liên tục R

A a=

6 B a=−1 C a=−

4

3 D a=

4 Lời giải

Tập xác định hàm số làD =R

Vớix6= hàm số cho liên tục khoảng(−∞; 2),(2; +∞) Như hàm số cho liên tục Rkhi liên tục tạix= Ta cóf(2) = 2a+

Mặt khác lim

3

√

4x−2 x−2 = limx→2

4(x−2) (x−2)Ä3

√

16x2+ 2√3

4x+ 4ä = limx→2

4

√

16x2+ 2√3

4x+ =

Hàm số cho liên tục tạix= 2a+ =

3 hay a=− Vậy vớia=−4

3 hàm số cho liên tục R

Chọn đáp án C

Câu 45 Cho hàm sốy =  

 1−x3

1−x ,khix <1 ,khix≥1

(160)

Lời giải

Viết lại hàm sốy=

®

1 +x+x2 ,khix <1 ,khix≥1 Có lim

x→1−f(x) = limx→1−(1 +x+x

2) = 3; lim

x→1+f(x) = 16= Vậyy liên tục phải tạix=

Chọn đáp án A

Câu 46 Tìm giá trị tham sốađể hàm sốy=f(x) =  



x2−5x+

x−3 x6=

a x=

liên tục tạix=

A a= B a= C a=−1 D a=

Lời giải

Khi x6= ta có lim

x2−5x+ x−3 = limx→3

(x−2)(x−3)

x−3 = limx→3(x−2) =

Khi x= ta có f(3) =a

Vậy hàm số cho liên tục tạix= 3⇔ lim

x→3f(x) =f(3)⇔1 =a

Chọn đáp án B

Câu 47 Tìm m để hàm sốy=  



2√3x−x−1

x−1 khix6= mx+ khix=

liên tục R A −4

3 B −

1

3 C

4

3 D

2 Lời giải

Ta có

lim x→1

2√3x−x−1 x−1 = limx→1

2(√3x−1)−(x−1) x−1 = limx→1

Ç

2

√

x2+√3x+ 1−1

å

=−1

3

Dễ thấy hàm số liên tục x6= Hàm số liên tục tạix= lim

x→1f(x) =f(1)⇔ −

1

3 =m+ 1⇔m=−

Vậy hàm số liên tục Rkhi m=−4

Chọn đáp án A

Câu 48 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f(x) =  



x3−x2+ 2x−2

x−1 khix6= 3x+m khix=

liên tục x=

A m= B m= C m= D m=

f(1) =m+

lim

x3−x2+ 2x−2 x−1 = limx→1

(x−1) x2+

x−1 = limx→1 x 2+ 2

=

Hàm sốf(x) liên tục tạix= lim

x→1f(x) =f(1)⇔3 =m+ 3⇔m=

Chọn đáp án A

Câu 49 Cho hàm số f(x) =    

  

√

x2+ 4−2

x2 khix6=

2a−5

4 khix=

Tìm giá trị thực tham sốa để hàm số f(x) liên tục tạix=

A a=−3

4 B a=

4

3 C a=−

4

3 D a=

(161)

√

x2+ 4−2

x2 = limx→0

x2

x2Ä√x2+ + 2ä = limx→0

1

√

x2+ + 2 =

1 Ta lại cóf(0) = 2a−

4

Để hàm số liên tục tạix= lim

x→0f(x) =f(0)⇔

1

4 = 2a−

4 ⇔a=

Chọn đáp án D

Câu 50 Cho hàm số f(x) =    

  

√

x2+ 4−2

x2 khix6=

2a−5

4 khix=

Tìm giá trị thực tham sốa để hàm số f(x) liên tục tạix=

A a=−3

4 B a=

4

3 C a=−

4

3 D a=

3 Lời giải

Ta có lim

√

x2+ 4−2

x2 = limx→0

x2

x2Ä√x2+ + 2ä = limx→0

1

√

x2+ + 2 =

1 Ta lại cóf(0) = 2a−

4

x→0f(x) =f(0)⇔

1

4 = 2a−

4 ⇔a=

Chọn đáp án D

Câu 51 Tìm giá trị tham sốmđể hàm sốf(x) =  



x2+ 3x+

x2−1 x <−1

mx+ x≥ −1

liên tục tạix=−1

A m=−3

2 B m=−

5

2 C m=

3

2 D m=

5 Lời giải

Ta có

f(−1) =−m+

lim

x→(−1)+f(x) =−m+

lim

x→(−1)−f(x) =x→lim(−1)−

x2+ 3x+ 2

x2−1 =x→lim(−1)−

(x+ 1)(x+ 2)

(x−1)(x+ 1) =x→lim(−1)− x+ x−1 =−

1 Hàm số liên tục tạix=−1⇔f(−1) = lim

x→(−1)+f(x) =x→lim(−1)−f(x)⇔ −m+ =

−1

2 ⇔m=

Chọn đáp án D

 x2−1

x−1 x6= a x=

liên tục điểm x0 =

A a= B a=−1 C a= D a=

Lời giải Ta có

lim

x2−1

x−1 = limx→1(x+ 1) = 2;

f(1) =a

Để hàm số liên tục điểmx0 = lim

x→1f(x) =f(1)⇔a=

(162)

Câu 53 Tìm giá trị thực tham sốmđể hàm sốf(x) =  



x2−x−2

x−2 x6=

m x=

liên tục tạix=

A m= B m= C m= D m=

Lời giải

Hàm số liên tục tạix= m= lim x→2

x2−x−2

x−2 = limx→2(x+ 1) =

Chọn đáp án A

Câu 54 Cho hàm sốf(x) =    

  

√

5x−1−2

x−1 , x >1 mx+m+1

4, x≤1

,(mlà tham số) Giá trịmđể hàm số liên tục

Rlà

A m= B m=

2 C m= D m=

Lời giải

Tập xác địnhD =R

Trên(−∞; 1),(1; +∞)hàm số f(x) liên tục Xét tính liên tục củaf(x) x=

Ta cóf(1) = 2m+ Ta thấy lim

x→1+f(x) = limx→1+

√

5x−1−2

x−1 = limx→1+

5

√

5x−1 + = Ta thấy lim

x→1−f(x) = limx→1−(mx+m+

4) = 2m+ Ta cóf(x) liên tục x= 1⇔ lim

x→1+f(x) = limx→1−f(x) =f(1)⇔2m+ =

5

4 ⇔m=

Chọn đáp án B

Câu 55 Cho mệnh đề:

1 Nếu hàm sốy =f(x) liên tục (a;b) vàf(a)·f(b)<0thì tồn tạix0∈(a;b) cho f(x0) =

2 Nếu hàm sốy =f(x) liên tục [a;b]và f(a)·f(b)<0 phương trìnhf(x) = có nghiệm

3 Nếu hàm sốy=f(x)liên tục, đơn điệu trên[a;b]vàf(a)·f(b)<0thì phương trình f(x) = có nghiệm trên(a;b)

Trong ba mệnh đề

A Có hai mệnh đề sai B Cả ba mệnh đề C Cả ba mệnh đề sai D Có mệnh đề sai Lời giải

Theo tính chất hàm số liên tục mệnh đề1 sai, mệnh đề2,3đúng

Chọn đáp án D

Câu 56 Cho số thực a, b, c thỏa mãn

®

−8 + 4a−2b+c >0

8 + 4a+ 2b+c <0 Khi số giao điểm đồ thị hàm số y=x3+ax2+bx+c với trục Oxlà

A B C D

Lời giải

Hàm sốy =x3+ax2+bx+cxác định, liên tục trênR

Hàm sốy =x3+ax2+bx+cbậc ba nên có đồ thị cắtOx nhiều điểm (1) Ta có lim

x→−∞y=−∞, suy ∃α <−2 saof(α)<0 Lại có lim

x→+∞y= +∞, suy ra∃β >2 sao f(β)>0

Hơn y(−2) =−8 + 4a−2b+c >0 vày(2) = + 4a+ 2b+c <0 Từ suy y(α)·y(−2)<0,y(−2)·y(2)<0,y(2)·y(β)<0 Do đồ thị hàm số cắt Oxtại điểm (2)

Từ (1) (2) suy đồ thị hàm số cho cắtOx ba điểm

Chọn đáp án D

Câu 57 Cho mệnh đề:

(163)

2 Nếu hàm sốy =f(x) liên tục [a;b]và f(a)·f(b)<0 phương trìnhf(x) = có nghiệm

3 Nếu hàm sốy=f(x)liên tục, đơn điệu trên[a;b]vàf(a)·f(b)<0thì phương trình f(x) = có nghiệm trên(a;b)

Trong ba mệnh đề

A Có hai mệnh đề sai B Cả ba mệnh đề C Cả ba mệnh đề sai D Có mệnh đề sai Lời giải

Theo tính chất hàm số liên tục mệnh đề1 sai, mệnh đề2,3đúng

Chọn đáp án D

Câu 58 Cho số thực a, b, c thỏa mãn

®

−8 + 4a−2b+c >0

8 + 4a+ 2b+c <0 Khi số giao điểm đồ thị hàm số y=x3+ax2+bx+c với trục Oxlà

A B C D

Lời giải

Hàm sốy =x3+ax2+bx+cxác định, liên tục trên

R

Hàm sốy =x3+ax2+bx+cbậc ba nên có đồ thị cắtOx nhiều điểm (1) Ta có lim

x→−∞y=−∞, suy ∃α <−2 saof(α)<0 Lại có lim

x→+∞y= +∞, suy ra∃β >2 sao f(β)>0

Hơn y(−2) =−8 + 4a−2b+c >0 vày(2) = + 4a+ 2b+c <0 Từ suy y(α)·y(−2)<0,y(−2)·y(2)<0,y(2)·y(β)<0 Do đồ thị hàm số cắt Oxtại điểm (2)

Từ (1) (2) suy đồ thị hàm số cho cắtOx ba điểm

Chọn đáp án D

®

1−x2 khix <−2

m khix≥ −2.Tìmm để tồn giới hạn hữu hạn xlim→−2f(x)

A m= B m=−1 C m=−3 D m=

x→−2+f(x) =x→−lim2+m=mvà x→−lim2−f(x) =x→−lim2− 1−x

2 =−3

Để tồn giới hạn hữu hạn lim

x→−2f(x) thìx→−lim2−f(x) =x→−lim2+f(x)⇔m=−3

Chọn đáp án C

Câu 60 Cho hàm sốy =  



3−x

√

x+ 1−2 x6=

m x=

Hàm số cho liên tục tạix= m

A m= B m=−1 C m= D m=−4

Lời giải

Hàm số cho liên tục tạix= lim

x→3f(x) =f(3)⇔xlim→3

3−x

√

x+ 1−2 =m

⇔m=−4

Chọn đáp án D

Câu 61 Cho hàm sốy =f(x) xác định đoạn [a;b](a < b) Khẳng định sau đâysai? A Hàm số liên tục trên(a;b]khi hàm số liên tục khoảng (a;b) lim

x→b+f(x) =f(b) B Hàm số liên tục [a;b)khi hàm số liên tục khoảng (a;b) lim

x→a+f(x) =f(a) C Cho x0∈(a;b), hàm số liên tục tạix0 lim

x→x+0

f(x) =f(x0)

D Chox0 ∈(a;b), hàm số có giới hạn số thựcLtạix0 lim

x→x+0

f(x) =L Lời giải

Hàm số liên tục trên(a;b]khi hàm số liên tục khoảng (a;b) lim

x→b−f(x) =f(b)

(164)

Câu 62 Hàm số hàm số sau liên tục điểm x= 1? A h(x) =

®

x+ 1, x≥1

3x−1, x <1 B f(x) = x+ x2−1

C g(x) =

®

x+ 1, x≥1

2x−3, x <1 D k(x) =

√

1−2x

Lời giải

Xét hàm số h(x) =

®

x+ 1, x≥1

3x−1, x <1 Ta có h(1) = 2; lim

x→1+h(x) = limx→1+(x+ 1) = vàxlim→1−h(x) = limx→1−(3x−1) = Do lim

x→1+h(x) = limx→1−h(x) =h(1) = Vậyh(x)liên tục x=

Chọn đáp án A

Câu 63 Tìm giá trị tham số m để hàm sốf(x) =  



x2−3x+

x−1 khix6=

m khix=

liên tục x=

A m=−1 B m=−2 C m= D m=

Lời giải

Hàm số liên tục tạix= lim

x→1f(x) =f(1) ⇔ xlim→1

(x−1)(x−2)

x−1 =m ⇔ xlim→1(x−2) =m ⇔ m=−1

Chọn đáp án A

Câu 64 Hàm số gián đoạn điểm x= 1? A y= x−1

x2+x+ 1 B y =

x2+ 2

x−1 C y= (x−1)(x2+x+ 1) D y = x

2−x+ 1

x+ Lời giải

Ta có lim x→1+

x2+

x−1 = +∞và xlim→1− x2+

x−1 =−∞ nên hàm sốy=

x2+

x−1 gián đoạn điểmx=

Chọn đáp án B



x2+x−6

x−2 khix >2

−2ax+ 1khi x≤2 Xác địnhađể hàm số liên tục điểm x=

A a= B a= C a=−1 D a=

2 Lời giải

Ta có lim x→2

x2+x−6

x−2 = vàxlim→2(−2ax+ 1) =−4a+

Để hàm số liên tục điểmx= thì−4a+ = 5⇔a=−1

Chọn đáp án C

Câu 66 Tìm giá trị thực tham số m để hàm sốf(x) =

®

x+ 1khi x >2

x2+mkhi x≤2 liên tục tạix=

A m=−1 B m= C m= D m=−6

Lời giải

f(2) = +m, lim

x→2+f(x) = 3,xlim→2−f(x) = +m Hàm số liên tục x= +m= 3⇔m=−1

(165)

 sinx

x khix6= a khix=

Tìmađể f(x) liên tục x=

A B −1 C D

Lời giải

Hàm số liên tục tạix= 0⇔ lim

x→0f(x) =f(0)⇔xlim→0

sinx

x =a⇔a=

Chọn đáp án A

Câu 68 Cho hàm số f(x) =

®

x2+m khi x≥2

3x−1 x <2 (mlà tham số) Tìm giá trị thực tham sốmđể hàm số cho liên tục tạix0 =

A m= B m= C m= D m=

Lời giải f(2) = +m;

lim

2+m

= +m lim

x→2−f(x) = limx→2−(3x−1) =

Hàm số cho liên tục tạix0=

lim

x→2+f(x) = limx→2−f(x) =f(2)⇔4 +m= 5⇔m=

Chọn đáp án B



3x2−7x−6

x−3 khix >3 x2+ 5mx+ khix≤3

liên tục với mọixthuộc R

A m= B m= C m= D m=

Lời giải

Tập xác định hàm sốD =R

Vớix >3 thìf(x)là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng (3; +∞) Vớix <3 thìf(x)là hàm số đa thức nên liên tục khoảng (−∞; 3)

Ta có

lim

x→3−f(x) =f(3) =

2+ 15m+ = 15m+ 11.

lim

x→3+f(x) = limx→3+

3x2−7x−6

x−3 = limx→3+

(3x+ 2)(x−3)

x−3 = limx→3+(3x+ 2) = 11 Hàm sốf(x) liên tục với mọix thuộcRkhi hàm số f(x) liên tục x= 3, tức

f(3) = lim

x→3−f(x) = limx→3+f(x)⇔15m+ 11 = 11⇔m= Vậy hàm sốf(x) liên tục với mọix thuộc Rkhi m=

Chọn đáp án D

Câu 70 Giá trị tham sốm cho hàm sốf(x) =   

 

√

x+ 4−2

x x >0 2m−5

4x x60

liên tục tạix= 0là

A B

3 C

1

8 D

1 Lời giải

Có lim

x→0+f(x) = limx→0+

√

x+ 4−2

x = limx→0+

x

x √x+ + = limx→0+

√

x+ + = lim

x→0−f(x) = limx→0−

Å

2m−5

4x

ã

= 2mvà f(0) = 2m Hàm số liên tục tạix= 0⇔ lim

x→0+f(x) = limx→0−f(x) =f(0)⇔2m=

4 ⇔m=

(166)

Câu 71 Giá trị tham số ađể hàm sốf(x) =   

 

√

x−1

x−1 x >1 ax−1

2 x≤1

liên tục điểmx=

A

2 B −1 C D −

1 Lời giải

Ta cóf(1) =a−1

2 lim

x→1−f(x) = limx→1−

Å

ax−1

2

ã

=a−1

2 lim

x→1+f(x) = limx→1+

√

x−1

x−1 = limx→1+

√

x+ = Hàm số liên tục tạix= f(1) = lim

x→1−f(x) = limx→1+f(x)⇔a− =

1

2 ⇔a=

Chọn đáp án C

Câu 72 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số f(x) =  



x2−16

x−4 khix >4 mx+ khix≤4

liên tục R

A m=−8 hoặcm=

4 B m= hoặcm=−

7 C m=−7

4 D m=

7 Lời giải

Hàm số cho liên tục khoảng (−∞; 4),(4; +∞) Vậy hàm số liên tục R liên tục điểmx=

Hàm số liên tục điểmx= lim

x→4+f(x) = limx→4−f(x) =f(4)⇔8 = 4m+ 1⇔m=

Chọn đáp án D

®

sinx cosx≥0

1 + cosx cosx <0 Hỏi hàm sốf có điểm gián đoạn khoảng (0; 2018)?

A 2018 B 1009 C 542 D 321

Lời giải

Do hàm số y= sinx vày= cosx tuần hoàn với chu kỳ2π Ta xét hàm sốf(x) =

   

  

sinx x∈0;π i

∪

ï3π

2 ; 2π

ò

1 + cosx x∈

Åπ

2; 3π

2

ã

Ta xét lim x→π2+

f(x) = lim x→π2+

(1 + cosx) = =f π

2

Tương tự lim

x→π2−

f(x) = lim x→π2−

sinx= =f π

2

Do hàm số liên tục x= π Mặt khác, ta xét lim

x→3π

2

+f(x) = lim x→3π

2

+sinx=−1 =f

Å3π

2

ã

Tương tự lim

x→32π−

f(x) = lim x→32π−

(1 + cosx) = 16=f

Å

3π

ã

Do hàm số gián đoạn tạix= 3π Ta có lim

x→2π−f(x) =x→lim2π−sinx= =f(2π) Vậy điểm gián đoạn hàm số có dạngx= 3π

2 +k2π, với k∈Z Để x ∈ (0; 2018) suy < 3π

2 +k2π < 2018 ⇔ −

4 < k < 2π

Å

2018−3π

2

ã

, k ∈ Z suy k ∈ {0,1,2, ,320}

(167)

√

x−1

x−1 Tìm khẳng định khẳng định sau: (I)Hàm số f(x)gián đoạn tạix=

(II) Hàm số f(x) liên tục tạix= (III) lim

x→1f(x) =

1

A Chỉ(II) B Chỉ(I) và(III) C Chỉ(II) và(III) D Chỉ (I) Lời giải

Hàm sốf(x) =

√

x−1

x−1 có tập xác định [0; +∞)\{1} Vậy hàm sốf(x) gián đoạn tạix= 1⇒(I)

lim

√

x−1 x−1 = limx→1

1

√

x+ =

2 ⇒(III)

Chọn đáp án B

Câu 75 Cho hàm số f(x) =  

 x2−1

x−1 x6= m x=

,với m tham số thực Tìmm để hàm số f(x) liên tục tạix=

A m= B m=−2 C m= D m=−1

x2−1

x−1 = limx→1(x+ 1) =

Hàm sốf(x) liên tục tạix= lim

x→1f(x) =f(1)⇔m=

Chọn đáp án A

 

x2−3

x−√3 x6=

√

3

2

√

3 x=

√

3

Tìm khẳng địnhđúngtrong khẳng định sau: (I).f(x) liên tục tạix=√3

(II).f(x) gián đoạn tạix=√3 (III).f(x)liên tục R

A Chỉ I II B Chỉ I III C Cả I, II, III D Chỉ II III Lời giải

Với x0 ∈

Ä

−∞;√3ä∪Ä√3; +∞ä ta có lim x→x0

x2−3 x−√3 =

x20−3 x0−

√

3 =f(x0) Suy hàm số liên tục với x0 ∈

Ä

−∞;√3ä∪Ä√3; +∞ä (1) Ta có lim

x→√3

x2−3

x−√3 = limx→√3

Ä

x−√3ä Äx+√3ä

x−√3 = limx→√3

Ä

x+√3ä= 2√3 =f(√3) (2) Từ (1) (2) suy hàm số liên tục R

Chọn đáp án B

Câu 77 Cho hàm sốf(x) =     

   

x3−x

x+ với x <0, x6=−1 với x=−1

√

xcosx với x≥0 Khẳng định sau đúng?

A f(x) liên tục R

B f(x) liên tục điểm, trừ điểmx=−1 C f(x) liên tục điểm, trừ điểmx=

D f(x) liên tục điểm, trừ điểmx= vàx= Lời giải

Ta có:

f(x) =√xcosx vớix≥0 nên f(x) liên tục (0; +∞) f(x) = x

3−x

(168)

Mặt khác lim x→−1

x3−x

x+ = limx→−1

x(x−1)(x+ 1)

(x+ 1) = limx→−1x(x−1) = 6= f(−1), suy f(x) gián đoạn

x=−1 lim

x→0−f(x) = limx→0−

x(x−1)(x+ 1) (x+ 1) = lim

x→0+ = limx→0+

√

xcosx= =f(0) Vậy f(x) liên tục x= Vậyf(x) liên tục mọix6=−1

Chọn đáp án B



x2−3x+

x−2 với x6= 2m+ với x=

Với giá trị m sau để hàm số f(x) liên tục tạix=

A B C D −1

Lời giải TXĐ:D =R

x= 2∈D,f(2) = 2m+ lim

x→2

x2−3x+ 2

x−2 = limx→2(x−1) =

x→2f(x) =f(2)⇔1 = 2m+ 1⇔m=

Chọn đáp án A

Câu 79 Có giá trị thực tham số m để hàm số f(x) =

ï

m2x2 x≤2

(1−m)x x >2 liên tục trênR?

A B C D

Lời giải

Hàm số liên tục trênR⇔ hàm số liên tục tạix=

⇔ lim

x→2+f(x) = limx→2−f(x) =f(2)

⇔ 4m2 = 2(1−m)

⇔





m=−1

2

Chọn đáp án C



x2+x−6

x−2 x >2

−2ax+ x≤2

Xác địnhađể hàm số liên tục điểmx=

A a= B a=

2 C a= D a=−1

Lời giải Ta có

lim

x→2+f(x) = limx→2+

x2+x−6

x−2 = limx→2+

(x−2)(x+ 3)

x−2 = limx→2+(x+ 3) = + = lim

x→2−f(x) = limx→2−(−2ax+ 1) =−2a·2 + =−4a+ f(2) =−4a+

Khi đó, để hàm số liên tục x= lim

x→2+f(x) = limx→2−f(x) =f(2)⇔5 =−4a+ 1⇔a=−1 Vậya=−1

(169)

 x3−8

x−2 x6= mx+ x=

Tìmm để hàm số liên tục x=

A m= 17

2 B m=

15

2 C m=

13

2 D m=

11 Lời giải

lim

x3−8

x−2 = limx→2(x

2+ 2x+ 4) = 12.

f(2) = 2m+

Hàm số liên tục tạix= ⇔ lim

x→2f(x) =f(2)⇔m=

11

Chọn đáp án D

Câu 82 Tìm P để hàm sốy =  



x2−4x+

x−1 ,∀x >1 6P x−3,∀x≤1

liên tục R

A P =

6 B P =

1

2 C P =

1

6 D P =

1 Lời giải

/Tập xác định hàm số :D =R

Vớix >1 vàx <1 hàm số xác định nên liên tục Xét x= 1, ta có lim

x→1−y= 6P−3 =y(1),xlim→1+y= limx→1+

x2−4x+

x−1 = limx→1+(x−3) =−2 Để hàm số liên tục trênRthì lim

x→1−y= limx→1+y=y(1)⇔6P −3 =−2⇔P =

Chọn đáp án C

Câu 83 Cho a, b hai số thực cho hàm số f(x) =  



x2+ax+b

x−1 , vớix6= 2ax−1 , vớix=

liên tục R Tính a−b

A B −1 C −5 D

Lời giải

Nếux= không nghiệm củax2+ax+b= lim

x→1(x) =∞, nên hàm sốf(x)gián đoạn tạix= 1, vô

lý

Vậyx= nghiệm x2+ax+b= 0, hay a+b+ = 0⇔b=−a−1 Khi đó: lim

x2+ax−a−1

x−1 = limx→1(x+ +a) = +a

Màf(1) = 2a−1, nên để hàm số liên tục Rthì2 +a= 2a−1⇔a= 3, suy b=−4

Chọn đáp án D



√

3x+ 1−2

x−1 khix6= m khix=

liên tục điểmx0 =

A m= B m= C m=

4 D m=

1 Lời giải

Ta cóf(1) =m lim

3

√

3x+ + =

4 Do đó, hàm số y=f(x) liên tục điểmx0 = 1khi lim

x→1f(x) =f(1)⇔m=

3

Chọn đáp án C

Câu 85 Cho hàm số f(x) =

®√

x−m x≥0

mx+ x <0 Tìm tất giá trị thực m để f(x) liên tục trênR

A m= B m= C m=−1 D m=−2

(170)

Hàm số liên tục trênRkhi hàm số liên tục x= Do đó, lim

x→0+f(x) = limx→0−f(x) =f(0)⇔xlim→0+

√

x−m

= lim

x→0−(mx+ 1) =−1⇔m=−1

Chọn đáp án C

 

ax2−(a−2)x−2

√

x+ 3−2 x6=

8 +a2 x=

Có giá trị tham sốađể hàm số liên tục tạix=

A B C D

Lời giải

x→1f(x) =f(1) Do giả thiết ta có f(1) = +a và

lim

x→1f(x) = xlim→1

ï

ax2−(a−2)x−2

√

x+ 3−2

ò

= lim x→1

ï(ax+ 2)·(x−1)

√

x+ 3−2

ị

= lim x→1

đ

(ax+ 2)·(x−1) √x+ +

√

x+ 3−2 √

x+ +

ô

= lim x→1

ñ

(ax+ 2)·(x−1) √x+ + x−1

ơ

= lim x→1

ỵ

(ax+ 2)·Ä√x+ + 2äó = (a+ 2) = 4a+

Suy ra4a+ = +a2 ⇔a2−4a= 0⇔

ñ

a=

a= Vậy tồn tại2giá trị củaađể hàm số liên tục tạix=

Chọn đáp án D

Câu 87 Hàm số hàm số không liên tục R? A y =|x| B y= x

x+ C y= sinx D y= x

|x|+ Lời giải

Hàm sốy = x

x+ có tập xác định D =R\ {−1}nên khơng liên tục trênR

Chọn đáp án B

Câu 88 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trênRvà f0(x)≥x4+

x2 −2x, ∀x >0 vàf(1) =−1 Khẳng

định sau đúng?

A phương trình f(x) = có nghiệm trên(0; +∞) B phương trình f(x) = có nghiệm (0; 1)

C phương trình f(x) = có nghiệm (1; 2) D phương trình f(x) = có nghiệm (2; 5) Lời giải

Ta cóx4+

x2 −2x≥2

√

2x2−2x≥0∀x >0, nên f0(x)>0 ∀x >0, hay hàm số y=f(x) đồng biến trên (0; +∞) Suy raf(0)< f(1) =−1 vàf(x) = 0có nhiều nghiệm trên(0; +∞)

Mà

f(2) =f(1) +

2

Z

1

f0(x)dx≥

2

Z

1

Å

x4+ x2 −2x

ã

dx= 16 >0

Suy phương trìnhf(x) = có nghiệm thuộc khoảng(1; 2)

(171)

 

ax2−(a−2)x−2

√

x+ 3−2 x6= +a2 x=

Có tất giá trị tham sốa để hàm số liên tục x= 1?

A B C D

(x−1)(ax+ 2) √x+ + x−1 = limx→1

(ax+ 2) √x+ +

= 4a+ Lại cóf(1) = +a2.

Hàm sốf(x) liên tục tạix= 1⇔ lim

x→1f(x) =f(1)⇔4a+ = +a 2⇔

ñ

a= a= Vậy có2 giá trị tham số athoả mãn yêu cầu toán

Chọn đáp án D

ß

sinπx |x| ≤1

x+ |x|>1 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số liên tục trênR

B Hàm số liên tục khoảng (−∞;−1)và (−1; +∞) C Hàm số liên tục khoảng (−∞; 1) và(1; +∞) D Hàm số gián đoạn tạix=±1

Lời giải Ta có

lim

x→1+f(x) = limx→1+(x+ 1) = xlim→1−f(x) = limx→1−sinπx = sinπ = Suy hàm số gián đoạn x=

lim

x→−1+f(x) =x→−lim1+sinπx= sin(−π) = x→−lim1−f(x) = limx→1−(x+ 1) = 0;f(−1) = sin(−x) = Suy hàm số liên tục tạix=−1

Chọn đáp án C



3x+a−1 x≤0

√

1 + 2x−1

x x >0

Tìm tất giá trị ađể hàm số cho liên tục điểmx=

A a= B a= C a= D a=

Lời giải

Ta cóf(0) =a−1 ; lim

x→0−f(x) = limx→0−(3x+a−1) =a−1 lim

x→0+f(x) = limx→0+

√

1 + 2x−1

x = limx→0+

2x

x(√1 + 2x+ 1) = limx→0+

2

√

1 + 2x+ = Hàm số liên tục tạix= 0⇔f(0) = lim

x→0−f(x) = limx→0+f(x)⇔a−1 = 1⇔a=

Chọn đáp án C

Câu 92 Tìm m để hàm sốf(x) =  



x2−16

x−4 x >4 mx+ x≤4

liên tục điểmx=

A m=−8 B m= C m=−7

4 D

7 Lời giải

Hàm số liên tục lim

x→4+f(x) = limx→4−f(x) =f(4)⇔8 = 4m+ 1⇔m=

Chọn đáp án D

Câu 93 Phương trình có nghiệm khoảng (0; 1)?

A 2x2−3x+ = B (x−1)5−x7−2 = C 3x4−4x2+ = D 3x2017−8x+ = Lời giải

Xét hàm số f(x) = 3x2017−8x+ = 0liên tục R

(172)

Chọn đáp án D

 x3−8

x−2 khix6= 2m+ khix=

Tìmm để hàm số liên tục điểm x0 =

A m=

2 B m=

13

2 C m=

11

2 D m=−

1 Lời giải

Ta có lim x→2

x3−8

x−2 = limx→2(x

2+ 2x+ 4) = 12,f(2) = 2m+ Hàm số f(x) liên tục tại x

0 =

lim

x→2f(x) =f(2)⇔12 = 2m+ 1⇔m=

11

Chọn đáp án C



x2+mx khix≤1

√

x+ 3−2

x−1 khix >1

Tìmm để hàm số cho liên tục tạix=

A −3

4 B

1

3 C D

Lời giải lim

2+mx

=m+ lim

x→1+f(x) = limx→1+

√

x+ 3−2

x−1 = limx→1+

x−1

(x−1) √x+ + = limx→1+

1

√

x+ + = Và f(1) = m+ Khi hàm số liên tục x = lim

x→1−f(x) = limx→1+f(x) = f(1), hay m+ =

4 ⇔m=−

Chọn đáp án A

Câu 96 Giá trị b để hàm sốf(x) =  



√

x+ 2−2

x−2 x6= 2b+ x=

liên tục tai x=

A -1

4 B

-3

4 C

3

4 D −

3 Lời giải

Ta có lim

√

x+ 2−2 x−2 = limx→2

x−2

(x−2) √x+ + =

4; vàf(2) = 2b+ Hàm sốf(x) liên tục tạix= lim

x→2f(x) =f(2)⇔

1

4 = 2b+ 1⇔b=−

Chọn đáp án D



1−cosx

x2 x6=

1 x=

.Khẳng định khẳng định sau? A f(x)có đạo hàm x= B f(x) liên tục tạix=

C f(√2)<0 D f(x) gián đoạn tạix= Lời giải

Ta thấy mệnh đề:f(x) liên tục tạix = 0và mệnh đề: f(x) gián đoạn x= xung khắc nhau, ta cần kiểm tra tính liên tục hàm f(x) tạix=

Ta cóf(0) = 1và lim

2 sin2x

x2 = limx→0



 

Ñ

sinx x

é2

·1

2 

 =

1

Do lim

x→0f(x)6=f(0) Vậy hàm số gián đoạn tạix=

(173)

Câu 98 Tìm ađể hàm sốf(x) =   

 

√

4x+ 1−1

ax2+ (2a+ 1)x x6=

3 x=

liên tục x=

A

4 B

1

2 C

−1

6 D

Lời giải Ta có

lim

√

4x+ 1−1

x(ax+ 2a+ 1) = limx→0

4

(ax+ 2a+ 1) √4x+ + = 2a+

Hàm số liên tục tạix= 0⇔

2a+ = 3⇔a=−

Chọn đáp án C

Câu 99 Tìm ađể hàm sốy=  



√

x+ 2−2

x−2 x6= a+ 2x x=

liên tục x0 =

A a=

4 B a= C a=−

15

4 D a= Lời giải

Ta cóf(2) = +a

lim

√

x+ 2−2 x−2 = limx→2

1

√

x+ + =

Do hàm số liên tục x= 2⇔ lim

x→2f(x) =f(2)⇔a=−

15

Chọn đáp án C



2−√x+

x2−1 x6=

a x=

Tìma để hàm số liên tục tạix0=

A a=

8 B a= +∞ C a=−

1

8 D

a= 2−√5

3

Lời giải

Tập xác định:D = [−3; +∞)\ {−1} Ta có lim

2−√x+ x2−1 = limx→1

4−(x+ 3)

(x−1)(x+ 1)(2 +√x+ 3)

= lim x→1

−1

(x+ 1)(2 +√x+ 3) =− Hàm số liên tục tạix0 = 1⇔ lim

x→1f(x) =f(1)⇔a=−

1

Chọn đáp án C

Câu 101 Tìm tất giá trị thực m để hàm số f(x) =   

 

√

x+ 1−1

x khix >0 p

x2+ 1−m khix≤0

liên tục R

A m=

2 B m=

1

2 C m=−2 D m=−

1 Lời giải

Vớix >0, ta có f(x) =

√

x+ 1−1

x liên tục khoảng (0; +∞) Vớix <0, ta có f(x) =√x2+ 1−m liên tục khoảng(−∞; 0).

Tạix= 0, ta có f(0) = 1−m

lim

x→0+f(x) = limx→0+

√

x+ 1−1

x = limx→0+

√

x+ + = lim

x→0−f(x) = limx→0−

Äp

(174)

Suy hàm số f(x) liên tục trênR ⇔1−m=

2 ⇔m=

Chọn đáp án B

Câu 102 Tìmađể hàm số f(x) =  

 x2

2 x≤1 ax+ x >1

liên tục tạix= A a=

2 B a=−1 C a=−

1

2 D a=

x→1+f(x) = limx→1+(ax+ 1) =a+ 1,xlim→1+f(x) = limx→1+ x2

2 =

2 =f(1) Hàmf(x) lên tục tạix= 1khi lim

x→1−f(x) = limx→1+f(x) =f(1)⇔a+ =

2 ⇔a=−

Chọn đáp án C

Câu 103 Trong hàm số

f1(x) = sinx, f2(x) =

√

x+ 1, f3(x) =x3−3x vàf4(x) =

®

x+√x−1khi x>1 2−x x <1 có tất hàm số liên tục trênR ?

A B C D

Lời giải

Hàm sốf2(x) =

√

x+ 1không liên tục trênRvì có tập xác định D = [−1; +∞) Hàm sốf1(x) = sinx,f3(x) =x3−3x liên tục R

Ta xét tính liên tục hàm số f4(x) =

®

x+√x−1 x>1

2−x khix <1 trênR Tập xác địnhR

Hàm sốf4(x) liên tục khoảng (−∞; 1)và (1; +∞)

Ta cần xét tính liên tục x= lim

x→1+f4(x) = limx→1+ x+

√

x−1

= lim

x→1−f4(x) = limx→1−(2−x) = Vậy hàm sốf4(x)liên tục x= liên tục trênR

Kết luận: Có tất ba hàm số liên tục trênR

Chọn đáp án D

Câu 104 Hàm sốf(x) =   

 

x2−16

√

x−2 khix >4 3x−m khix≤4

liên tục tạix0= m nhận giá trị

A 44 B −20 C 20 D −44

x→4−f(x) = limx→4−(3x−m) = 12−m lim

x→4+f(x) = limx→4+

x2−16

√

x−2 = limx→4+

(x−4)(x+ 4)(√x+ 2)

x−4 = limx→4+(x+ 4)(

√

x+ 2) = 32

Mặt khác:f(4) = 12−m

Hàm số liên tục tạix0 = 4⇔ lim

x→4+ = limx→4−=f(4)⇔12−m= 32⇔m=−20

Chọn đáp án B

®

x2−1 x≤1

x+m x >1 liên tục điểm x0 = mnhận giá trị

A m=−2 B m= C m= D m=−1

x→1+f(x) = limx→1+(x+m) = +m;xlim→1−f(x) = limx→1−(x

2−1) =f(1) = 0.

Để hàm sốf(x) liên tục tạix= lim

x→1+f(x) = limx→1−f(x) =f(1)⇔1 +m= 0⇔m=−1

(175)

x2−12x+ 35 25−5x A

5 B −

2

5 C −∞ D +∞

Lời giải

lim x→5

x2−12x+ 35

25−5x = limx→5

(x−5)(x−7) 5(5−x)

= lim x→5

−x+ =

5

Chọn đáp án A



√

2x+ 1−√x+

x−4 x6=

a+ x=

Tìm tất giá trị thực tham số ađể hàm số liên tục x0 =

A a=

2 B a=−

11

6 C a= D a=

Lời giải Ta có

lim

√

2x+ 1−√x+ x−4 = lim

x→4

1

√

2x+ +√x+

= f(4) =a+

Hàm số liên tục tạix0 = lim

x→4f(x) =f(4)⇔a+ =

1

6 ⇔a=− 11

6

Chọn đáp án B

Câu 108 Cho hàm số f(x) =    

  

|2x2−7x+ 6|

x−2 x <2 a+1−x

2 +x x≥2

Biết a giá trị để hàm số f(x) liên tục

x0 = 2, tìm số nghiệm nguyên bất phương trình −x2+ax+

7 >0

A B C D

x→2+f(x) = limx→2+

Å

a+1−x +x

ã

=a−1

4 =f(2);xlim→2−f(x) = limx→2−

|2x2−7x+ 6|

x−2 = limx→2−(−2x+ 3) =

−1 Hàm số liên tục tạix0 = 2⇔a−

1

4 =−1⇔a=−

−x2−3

4x+

4 >0⇔ −

4 < x <1suy x=−1, x=

Chọn đáp án D

Câu 109 Tìm tất giá trị thực củamđể hàm sốf(x) =  



x2−x−2

x−2 x6=

m x=

liên tục điểm x=

A m=−3 B m= C m= D m=−1

x2−x−2

x−2 = limx→2(x+ 1) =

Đểf(x) liên tục x= lim

x→2f(x) =f(2) =m⇔m=

(176)

 

2x+

3x2−27, x6=±3

−1

9 , x=±30

Mệnh đề sau đúng? A Hàm số liên tục điểm trừ điểmx thuộc khoảng(−3; 3)

B Hàm số liên tục điểm trừ điểm x=−3 C Hàm số liên tục điểm trừ điểm x= D Hàm số liên tục R

Lời giải

Vớix6=±3thì f(x) = 2x+

3x2−27 hàm phân thức nên liên tục với∀x6=±3

Mặt khác lim x→3

2x+

3x2−27 = limx→3

2(x+ 3)

3(x+ 3)(x−3)=∞ nên hàm số không liên tục tạix= lim

x→−3

2x+

3x2−27 = limx→−3

2(x+ 3) 3(x+ 3)(x−3) =

−1

9 nên hàm số liên tục x=−3

Chọn đáp án C

Câu 111 Tìm tất giá trị tham sốm cho hàm sốf(x) =

®

2√x−m với x≥0

mx+ với x <0 liên tục R

A m= B m=±2 C m=−2 D m=

Lời giải

Vớix >0 thìf(x) = 2√x−m liên tục Vớix <0 thìf(x) =mx+ 2liên tục Tạix= 0, ta có

lim

x→0+f(x) = limx→0+(2

√

x−m) =−m lim

x→0−f(x) = limx→0−(mx+ 2) =

f(0) =−m Nên, hàm số liên tục x= lim

x→0+f(x) = limx→0−f(x) =f(0)⇔ −m= 2⇔m=−2 Vậy,hàm số cho liên tục trênR khim=−2

Chọn đáp án C

ĐÁP ÁN

1 C D D B C D A C B 10 C

11 A 12 A 13 C 14 B 15 B 16 A 17 A 18 C 19 A 20 D

21 A 22 C 23 C 24 A 25 A 26 D 27 A 28 B 29 C 30 B

31 D 32 D 33 B 35 B 36 B 37 B 38 B 39 A 40 A 41 A

42 A 43 B 44 C 45 A 46 B 47 A 48 A 49 D 50 D 51 D

52 C 53 A 54 B 55 D 56 D 57 D 58 D 59 C 60 D 61 A

62 A 63 A 64 B 65 C 66 A 67 A 68 B 69 D 70 C 71 C

72 D 73 D 74 B 75 A 76 B 77 B 78 A 79 C 80 D 81 D

82 C 83 D 84 C 85 C 86 D 87 B 88 C 89 D 90 C 91 C

92 D 93 D 94 C 95 A 96 D 97 D 98 C 99 C 100 C 101 B