Hãy tìm trên đường thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều.. Tìm toạ độ điểm D.[r]
(1)ONTHIONLINE.NET
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
Câu 1:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
x y z
d1:
1
x t
d y
z t
2
:
a) Chứng minh d1 d2 chéo viết phương trình đường vng góc chung d1 d2
b) Viết phương trình mặt cầu có đường kính đoạn vng góc chung d1 d2 Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x y z
3 1
mặt phẳng (P): 2x y 2 0z Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với (P) qua điểm A(1; –1; 1).
Câu 3: ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) đường thẳng d:
x t
y t
z 2
Hãy tìm đường thẳng d điểm B C cho tam giác ABC đều. Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường thẳng
:
x y z
2
Tìm toạ độ điểm M cho MAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) mặt phẳng (P): x y z
2 5 0 Lập phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B có khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt phẳng (P)
5 .
Câu 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2x2y z –3 0 cho MA = MB = MC
Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng () chứa đường thẳng ():
1
x y z
tạo với mặt phẳng (P) : 2x 2y z 1 0 góc 600 Tìm tọa độ giao điểm M mặt phẳng () với trục Oz
Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết mặt phẳng Oxy mặt phẳng (P): z2 cắt (S) theo hai đường trịn có bán kính 8. Câu 9: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với
A 3; 1; , 1;5;1 , 2;3;3 B C , AB đáy lớn, CD đáy nhỏ Tìm toạ độ điểm D. Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
(2)tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng Viết phương trình mặt cầu (S) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng
Câu 1: a) d1 có VTCP u1(1; 1;2)
qua điểm M( 2; 1; 0), d2 có VTCP u2 ( 2;0;1)
qua điểm N( 2; 3; 0)
Ta có: u u1 2, .MN 10 0
d1 , d2 chéo Gọi A(2 ;1– ;2 )t t t d 1, B(2 –2 ; 3; )t t d2
AB đoạn vng góc chung d1 d2
AB u AB u12
t t
1 '
A
5 2; ; 3
; B
(2; 3; 0)
Đường thẳng qua hai điểm A, B đường vng góc chung d1 d2:
x t
y t
z t
b) PT mặt cầu nhận đoạn AB đường kính:
x y z
2 2
11 13
6 6
Câu 2: Gọi I tâm (S) I d I(1 ; ; ) t t t Bán kính R = IA = 11t2 1t Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên:
t
d I P( ,( )) R
37t2 24t0
t R
t R
0
24 77
37 37
.
Vì (S) có bán kính nhỏ nên chọn t = 0, R = Suy I(1; –1; 0) Vậy phương trình mặt cầu (S): (x1)2(y1)2z21
Câu 3: d có VTCP ud ( 1;2;0) Gọi H hình chiếu vng góc A d Giả sử H1– ; 2 ;3t t AH 1 ;1 ;0t t
Mà AH d nên AH u d
11 t21 2 t0 t
H 8; ;3 5
AH =
5 .
Mà ABC nên BC = AH
2 15
3 hay BH = 15 .
Giả sử B(1 ;2 ;3) s s s s
2
1 2 15
5 25
25s210 –2 0s
s
(3)Vậy: B
6 3; ;3
5
và C
6 3; ;3
5
hoặc B
6 3; ;3
5
C
6 3; ;3
5
Câu 4: PTTS :
x t
y t z t
1 2
Gọi M( ;1 ;2 ) t t t . Diện tích MAB
S AM AB, 18t2 36 216t
= 18( 1)t 2198 ≥ 198 Vậy Min S = 198 t1 hay M(1; 0; 2).
Câu 5: Giả sử (S): x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0
Từ O, A, B (S) suy ra: a c d
1
I b(1; ;2).
d I P( ,( ))
b 5
6
b b 010
Vậy (S): x2y2 z2 2x 4z0 (S): x2y2z2 2x20y 4z0 Câu 6: Ta có AB(2; 3; 1), AC ( 2; 1; 1) nAB AC, (2; 4; 8)
VTPT (ABC)
Suy phương trình (ABC): x–0 –1 –4 –2 y z 0 x2 –4y z 6 Giả sử M(x; y; z)
Ta có:
MA MB MC M ( )P
x y z x y z
x y z x y z
x y z
2 2 2
2 (( 1)1)2 (( 2)2)2 (( 2)2)2 (2 2)( 1)( 1)2
2
x y z
2
M(2;3; 7) Câu 7: () qua điểm A(1;0;0) có VTCP u (1; 1; 2)
(P) có VTPT n (2; 2; 1) Giao điểm M(0;0;m) cho AM ( 1;0; )m
() có VTPT n AM u, ( ;m m 2;1)
() (P): 2x 2y z 1 tạo thành góc 600 nên :
2
1 1
cos ,
2 2 4 5
n n m m
m m
m m
2 2
.
Kết luận : M(0;0;2 2) hay M(0;0;2 2)
Câu 8: Theo giả thiết mp(Oxy) (P): z2 vuông góc với trục Oz , cắt mặt cầu theo đường trịn tâm O1(0,0,0) , bán kínhR12 tâm O2(0,0, 2), bán kínhR2 8 Suy tâm mặt
(4)R bán kính mặt cầu :
2
2
2
2
2
2
4 64
8
R m
m m
R m
m16
R2 65, I0;0;16
Vậy phương trình mặt cầu (S) : x2 y2 (z16)2 260 Câu 9: Do ABCD hình thang cân nên AD = BC = 3.
Gọi đường thẳng qua C song song với AB, (S) mặt cầu tâm A bán kính R = 3. Điểm D cần tìm giao điểm (S).
Đường thẳng có vectơ phương AB 2;6;3
nên có phương trình:
x t
y t
z t
2 3
Phương trình mặt cầu S x y z
2 2
: 1 2 9 Toạ độ điểm D thoả Hệ PT:
x t
t
y t
t t
z t t
x y z
2
2 2
2
1
49 82 33 33
3
49
3
Với t = – 1, D(4; – 3; 0) : khơng thoả AB = CD = Với
t 33 D 164; 51 48;
49 49 49 49
(nhận)
Câu 10: S x y z 2
2
( ) : 1 2 25 có tâm I1; 2;4 R = 5.
Khoảng cách từ I đến () là: d I ,( ) 3 R () mặt cầu (S) cắt
Gọi J điểm đối xứng I qua () Phương trình đường thẳng IJ :
x t
y t
z t
1 2
Toạ độ giao điểm H IJ () thoả
x t t
y t x H
z t y
x y z z
1
2 1; 1;2
4
2
Vì H trung điểm IJ nên J3;0;0
Mặt cầu (S) có tâm J bán kính R = R = nên có phương trình: S x y z
2 2 2