Download Ôn tập hình học giải tích trong không gian 12

Hãy tìm trên đường thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều.. Tìm toạ độ điểm D.[r]

ONTHIONLINE.NET

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN

Câu 1:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

x y z

d1:

1

 

 



x t

d y

z t

2

:

    

    

a) Chứng minh d1 d2 chéo viết phương trình đường vng góc chung d1 d2

b) Viết phương trình mặt cầu có đường kính đoạn vng góc chung d1 d2 Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:

x y z

3 1

 

 

mặt phẳng (P): 2x y  2 0z  Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm đường thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với (P) qua điểm A(1; –1; 1).

Câu 3: ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) đường thẳng d:

x t

y t

z 2    

    

 Hãy tìm đường thẳng d điểm B C cho tam giác ABC đều. Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường thẳng

:

x y z

2

 

 

 Tìm toạ độ điểm M  cho MAB có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) mặt phẳng (P): x y z

2    5 0 Lập phương trình mặt cầu (S) qua O, A, B có khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt phẳng (P)

5 .

Câu 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2x2y z –3 0 cho MA = MB = MC

Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng () chứa đường thẳng ():

1

x y z

 

  tạo với mặt phẳng (P) : 2x 2y z  1 0 góc 600 Tìm tọa độ giao điểm M mặt phẳng () với trục Oz

Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết mặt phẳng Oxy mặt phẳng (P): z2 cắt (S) theo hai đường trịn có bán kính 8. Câu 9: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với













A 3; 1; , 1;5;1 , 2;3;3  B C , AB đáy lớn, CD đáy nhỏ Tìm toạ độ điểm D. Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng

 

 Viết phương trình mặt cầu (S) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng

 



Câu 1: a) d1 có VTCP u1(1; 1;2)



qua điểm M( 2; 1; 0), d2 có VTCP u2  ( 2;0;1)



qua điểm N( 2; 3; 0)

Ta có: u u1 2, .MN 10 0



 

 d1 , d2 chéo Gọi A(2 ;1– ;2 )t t t d 1, B(2 –2 ; 3; )t t  d2

AB đoạn vng góc chung d1 d2

AB u AB u12

 

 

 

   



 t t

1 '      

  A

5 2; ; 3

 



 

 ; B

(2; 3; 0)

Đường thẳng  qua hai điểm A, B đường vng góc chung d1 d2:

x t

y t

z t    

     

b) PT mặt cầu nhận đoạn AB đường kính:

x y z

2 2

11 13

6 6

     

     

     

     

Câu 2: Gọi I tâm (S) I  d  I(1 ; ; ) t  t t Bán kính R = IA = 11t2 1t Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên:

t

d I P( ,( )) R



 

 37t2 24t0



t R

t R

0

24 77

37 37

   



  



 .

Vì (S) có bán kính nhỏ nên chọn t = 0, R = Suy I(1; –1; 0) Vậy phương trình mặt cầu (S): (x1)2(y1)2z21

Câu 3: d có VTCP ud  ( 1;2;0) Gọi H hình chiếu vng góc A d Giả sử H



1– ; 2 ;3t  t



 AH 



1 ;1 ;0t  t





Mà AH  d nên AH u d 



 1



1 t



2



1 2 t



0 t 



H 8; ;3 5

 

 

 

 AH =

5 .

Mà ABC nên BC = AH

2 15

3  hay BH = 15 .

Giả sử B(1 ;2 ;3) s  s s s

2

1 2 15

5 25

   

    

   

     25s210 –2 0s 

 s

Vậy: B

6 3; ;3

5

   

 

 và C

6 3; ;3

5

   

 

 

hoặc B

6 3; ;3

5

   

 

  C

6 3; ;3

5

   

 

 

Câu 4: PTTS :

x t

y t z t

1 2    

    

 Gọi M( ;1 ;2 )  t  t t . Diện tích MAB

S AM AB, 18t2 36 216t  

     

                           

= 18( 1)t 2198 ≥ 198 Vậy Min S = 198 t1 hay M(1; 0; 2).

Câu 5: Giả sử (S): x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0

 Từ O, A, B  (S) suy ra: a c d

1   

   

  I b(1; ;2). 

d I P( ,( )) 



b 5

6

 

 b b 010     

Vậy (S): x2y2 z2 2x 4z0 (S): x2y2z2  2x20y 4z0 Câu 6: Ta có AB(2; 3; 1),  AC ( 2; 1; 1)   nAB AC,  (2; 4; 8)

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

VTPT (ABC)

Suy phương trình (ABC):



x–0 –1 –4 –2







y





z



0  x2 –4y z 6 Giả sử M(x; y; z)

Ta có:

MA MB MC M ( )P

  

 

 

x y z x y z

x y z x y z

x y z

2 2 2

2 (( 1)1)2 (( 2)2)2 (( 2)2)2 (2 2)( 1)( 1)2

2

          



         

    



 x y z

2   

   

  M(2;3; 7) Câu 7: () qua điểm A(1;0;0) có VTCP u (1; 1; 2) 



(P) có VTPT n (2; 2; 1)  Giao điểm M(0;0;m) cho AM  ( 1;0; )m



() có VTPT n AM u,  ( ;m m 2;1)   

() (P): 2x 2y z  1 tạo thành góc 600 nên :





2

1 1

cos ,

2 2 4 5

       

 

n n m m

m m

 

 m m

2 2    

 

 .

Kết luận : M(0;0;2 2) hay M(0;0;2 2)

Câu 8: Theo giả thiết mp(Oxy) (P): z2 vuông góc với trục Oz , cắt mặt cầu theo đường trịn tâm O1(0,0,0) , bán kínhR12 tâm O2(0,0, 2), bán kínhR2 8 Suy tâm mặt

R bán kính mặt cầu :

2

2

2

2

2

2

4 64

8

R m

m m

R m

  



    



  



  m16

 R2 65, I



0;0;16



Vậy phương trình mặt cầu (S) : x2 y2 (z16)2 260 Câu 9: Do ABCD hình thang cân nên AD = BC = 3.

Gọi  đường thẳng qua C song song với AB, (S) mặt cầu tâm A bán kính R = 3. Điểm D cần tìm giao điểm  (S).

Đường thẳng  có vectơ phương AB 



2;6;3





nên có phương trình:

x t

y t

z t

2 3    

      

Phương trình mặt cầu

  

S x





y





z



2 2

:   1  2 9 Toạ độ điểm D thoả Hệ PT:













x t

t

y t

t t

z t t

x y z

2

2 2

2

1

49 82 33 33

3

49

3

  



   

 

    

    

 

     

 

 Với t = – 1, D(4; – 3; 0) : khơng thoả AB = CD =  Với

t 33 D 164; 51 48;

49 49 49 49

 

    

  (nhận)

Câu 10: S



x





y





z



2

2

( ) : 1  2   25 có tâm I



1; 2;4



R = 5.

Khoảng cách từ I đến () là: d I



,( )



 3 R  () mặt cầu (S) cắt

Gọi J điểm đối xứng I qua () Phương trình đường thẳng IJ :

x t

y t

z t

1 2    

  

   

Toạ độ giao điểm H IJ () thoả





x t t

y t x H

z t y

x y z z

1

2 1; 1;2

4

2

    

 

    

   

 

  

 

    

 

 

Vì H trung điểm IJ nên J



3;0;0



Mặt cầu (S) có tâm J bán kính R = R = nên có phương trình: S



x



y z

2 2 2