Đang tải... (xem toàn văn)
SÁCH DO LÊ HỮU TRÍ - LÊ HÔNG ĐỨC BIÊN SOẠN CỦA NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIGỒM HAI CHƯƠNG :CHƯƠNG 1 : CÁC DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCHƯƠNG 2:CÁC DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
* LÊ HỮU TRÍ -LÊHỒNG ĐỨC |: "GIẢI TỐN LƯỢNG GIÁC 'NÂNG CAO NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI CHUONG I PHƯƠNG TitÌNH LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BAN Bài tốn 1: Giải biện luận phương trình: sinx =m PHUONG PHAP CHUNG Ta biện luận theo bước sau: Bước !: Bước 2: Nếu Iml> phương trình vơ nghiệm Nếu Iml < 1, xét hai khả năng: Khả 1:.Nếu m biểu diễn qửa sin góc đặc biệt, giả sử œ, phương trình có dạng: sinx = sina => x=a4+2kn ,keZ X=N-Q+2kn + Khả 2: Nếu m không biểu diễn qua sin góc đặc vs biệt, đặt m = sinơ, ta được: Ĩ x=qœ+2km sinx = sina „keZ |x=xm-œ+2km` Trong hai trường hợp ta kết luận phương trình có hai họ nghiệm Đặc biệt _ " sinx=0x= kn,keZ = sinx =1 @x= +Kn, keZ " sinx=-l©x Vídul: a ee + 2km, keZ Giải phương trình sau: sinx= | b Giải a Đặt : =sinơ,khi đó: Sinx = sinœ ˆ x=ơ+2km x=mr-œ+2kr Vậy phương trình có hai họ nghiệm ,keZ Z : ‘ sin(2x— 3) + sin3x + 3) =0 b Tacé: sin(2x — nở + sin(3x + 3) =0 © sin(2x - S)= ~sin(3x + 3) o| 2x Tax * sin(2x - =) = sin( — 3x es 3) 54 2kn - 2x KÝ-—=m-( -3x 9x ——) =R~( 3)*+ 2k m @{ pe OF ee ƒ se 2km Skez Vậy phương trình có hai họ nghiệm Giải phương trình sin(xsin2x) = XVídu2: Giải * : Ta có: siN(wsin2x) =1 © nsindx = + 2kn ey sindx= + +2k,keZ - (1) Phuong trinh (1) c6 nghiém va chi khi: kez Ip t2kIS lee - FP sks po ke = Ss Khi (1) có dạng: sink=ie} 2x Vậy phương trình có hai họ nghiệm Bài tốn 2: Giải biện luận phương trình: cosx Tả biện luận Bước ï: Bước 2: =m PHUONG PHAPCHUNG theo bước sau: Nêu Iml > phương trình vô nghiệm Nếu Iml < 1, xét hai trường hợp: Khả 1: Nếu m biểu diễn qua cos góc đặc biệt, giả sử œ, phương trình có dạng: [x=œ+2kz CosX = cOSừ »keZ |x=-œ+2kn` Khả 2: Nếu m không biểu điễn qua cos g6c đặc biệt, đặt m = cosœ, ta được: COSX = cOSỚ x=ơ+2km x=~œ+2km ,keZ Trong hai trường hợp ta kết luận phương trình có hai họ nghiệm Đặc biệt ¿ VU cosx =0 â đ CoSXx=l " cosx= Vớ du 3: „ —a Giải ge ý SO x= +kn, keZ MEST ` ââx=2kn,keZ -lô@âx=+2kn,keZ + Gii cỏc phng trỡnh sau: Sin3x=cos2x Tato: * ốc Số : b cos(2x— + sin(x+ *) =, ô sin3x = cos2x â sin3x = sin( ch 2x) + f ‘|3x o = -2x42kn © 3x =—(C~2x)+2kt n-ne , keZ I x=E+2km 2 Vậy phương trình có hai họ nghiệm b Ta có: t cos(2x— 7)-+ 2) cos(x the cos(2x -—)= 2x-—=x+—+2kr eo | © 2B aan x=x+2kn n 2kn,keZ [FtEt a Vậy phương trình có hai họ nghiệm Vidu4: Giải phương trình: cos{ Gidi (i > cos(x ¬ a e y= he Phương trình tương đương với: J cos(x ~ 2) = +2kn 44 Feos(x ~2)=— + 2k © cos(x— 2) = 5+ 4k (1) | eostx -4) =-> + 4k (2) ,keZ * Phuong trinh (1) cé nghiém va chi khi: [d +akis tea sks keZ © k=0: Khi (1) có dạng: ; x-cart cos(x2) = © XS 4L 2in ZT ng © #9 4k IS 1-2 sks ' ,!}eZ (3) x= +2ln * Phuong trình (2) có nghiệm khi: kez I> km TT „21 12 © k=0 Khi (2) có dạng: PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta biện luận théo bước Sau: Đặt điều kiện: cosx #0 x # : + km, keZ atl ie X š * » Xét hai khả năng: Khả ï: Nếu m biểu diễn qua tg cha góc đặc biệt, giả sử œ, phương trình có dạng: tgx = tgŒ © x = Œ + kr, keZ Khả 2: Nếu m không biểu diễn qua tg góc đặc biệt, dat m = tga, ta được: tgx = tgœ ©> x = œ + ktt, keZ Trong hai trường hợp ta kết luận phương trình có họ nghiệm Nhận xét: Như với giá trị tham số phương trìnb:ln có nghiệm ‘Midu §: Giải phương trình: tel (cosx +sinx)] = Giải Điều kiện: , cos[ (cosx + sinx)] # (*) Phương trình tương đương với: © (eosx + sinx) = a + km > cosx + sinx = + 4k, keZ (i) Phuong trinh (1) có nghiệm va khi: lI+4kI< pe ug! Fine Khi (1) có dạng: cosx ee =l© v2 sin(x + 2)" sin(x + Sys x7 7", 4) P| “ „ AL nS A +2 x=2lx ` | x_ fn + 2ig ,leZthoảmãn Œ) Vậy phương trình có hai họ nghiệm Đài tốn Ta biện luận theo bước sau: Đặt điều kiện: sinx # © x # ki, keZ Xét hai khả năng: Khả 1: Nếu m biểu diễn qua cotg góc đặc biệt, giả sử œ, phương trình có dạng : cotgx = cotga x =a +kz, keZ Khả 2: Nếu m không biểu diễn qua cotg góc đặc biệt, đặt m = cotgœ, ta được: cotgx = cotga => x = œ + kĩ, keZ Trong hai trường hợp ta kết luận phương trình có họ nghiệm Nhận xét: Như với giá trị tham số phương trình ln có nghiệm Ví d6: a Giải phương trình sau: cotg(= ~x)= ale Giải a Điều kiện: b vã sin(= ~x)z0© Ta có: cosx = V3 sinx: ~x “kf © xe ~kn, keZ (*) ‘ Tt cotg(— — x) BGG HRS : =colg cogs nt tT — —xX= — +km Oe ex=- = — k keZ thoả mãn điều kiện (*) b Vậy phương trình có họ nghiệm Tacó: 'cosx = v3 sinx ©> cotgx = 43 =cotg = x= s + kn, keZ Vậy phương trình có họ nghiệm Bài tốn 5: Biện luận theo m số nghiệm thuộc (ơ, B) phương trình lượng giác : Giả sử với phương trình: sinx =m PHƯƠNG PHÁP CHƯNG “Ta lựa chọn hai cách sau:, Cách I: Thực theo bước sau: Bước 1: _ Biểu diễn (œ, B) đường tròn đơn vị thành cung AB Bước 2: Tịnh tiến đường thẳngm Song song với trục cosin, số giao điểm với cung AB số nghiệm thuộc (œ, B) phương trình y= sinx Cách 2: Bước !: Bước 2: Thực theo bước sau: Vẽ đô thị hàm số y =sinx, lấy (œ, B) Tịnh tiến đường thẳng y = m song song với trục Ox, số giao điểm với phần đồ thị hàm số y = sinx số nghiệm ` thuộc (œ, B) phương trình Chú ý: Phương pháp mở rộng tự nhiên cho: Phương trình cosx = m, với lừu ý sử dụng cách ta tịnh tiến đường thẳng m song song với trục sin Với phương trình tgx= m va cotgx = m ta sử dụng cách Vidu7: Biện luận theo m số nghiệm thuộc G ` =) phương trình + sinx =m Giải Ta dựa chọn mộtM trọng hai cách biểu diễn y= sinx =H Kết luận: đặt D = CC: =) ta CĨ: "® - Với Iml> Ï, ‘nice on vơ nghiệm »® Với m=~—], phương trình có I nghiệm thuộc D Với —1