[r]
(1)TÍCH PHÂN
MỘT SỐ CƠNG THỨC CẦN NHỚ:∫
sin
du
u
=
ln
|
tan
u
2
|
∫
du
cos
u
=
ln
|
tan
u
2
+
π
4
|
∫
du
√
u
2±
k
=
ln
|
u
+
√
u
2±
k
|
∫
du
√
a
2−
u
2=
arcsin
u
a
∫
du u2+a2=1
aarctan u
a
∫
du
u
2−
a
2=
1
2
a
ln
|
u
−
a
u
+
a
|
∫
du
a
2−
u
2=
1
2
a
ln
|
a
+
u
a
−
u
|
∫√
a2−u2du=u2
√
a2
−u2+a
2
2 arcsin
u
a
∫√
u2
+k du=u
2
√
u2
+k+ln|u+
√
u2+k|∫
tan
udu
=−
ln
|
cos
u
|
∫
cot
udu
=
ln
|
sin
u
|
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CĨ MẪU CHỨA TAM THỨC BẬC HAI
1/ Dạng 1: A=
∫
dx ax2+bx+c
A =
∫
dx(mx+n)2+p2 hoặc A =
∫
dx
(mx+n)2−p2 sau áp dụng cơng thức để tính
2/ Dạng 2: B=
∫
(mx+n)dx
ax2
+bx+c
3/ Dạng 3:
∫
dx
√
ax
2+
bx
+
c
4/ Dang 4:
∫
(mx+n)dx
√
ax2+bx+c5/ Dạng 5:
∫
dx
(
px
+
q
)
√
ax
2+
bx
+
c
Đặt px+q= (2)6/ Dạng 6:
∫
(mx+n)dx (px+q)
√
ax2+bx+c7/ Dạng 7:
∫
xdx
(
ax
2+
b
)
√
cx
2+
d
Đặt t=√
cx
2+
d
8/ Dạng 8:
∫
dx
(
ax
2+
b
)
√
cx
2+
d
Đặt xt =√
cx
2+
d
9/ Dạng 9:
∫
(mx+n)dx
(ax2+b)
√
cx2+d = m Dạng7 + n Dạng 810/ Dạng 10:
∫
Pn(x)dx
√
ax2+bx+c11/ Dạng 11: Các phương pháp Euler
Khử dạng
√
ax
2+
bx
+
c
1/ a>0 đặt
√
ax
2+
bx
+
c
=±
√
a x
+
t
2/c>0 đặt√
ax
2+
bx
+
c
=tx
±
√
c
3/ đặt
√
ax
2
+
bx
+
c
= t(x−x0)ax
02+
bx
0+
c
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1/ Dạng 1:
∫
1
(
sin
x
)
n2/ Dạng 2:
∫
1
(
cos
x
)
n3/ Dạng 3:
∫
dx
a
sin
x
+
b
cos
x
+
c
t = tanx
2
4/ Dạng 4:
∫
dx
(3)5/ Dạng 5: tích phân liên kết
6/ Dạng 6:
∫
asinx+bcosx msinx+ncosx dx
asinx + bcosx = α( msinx+ncosx) + β( mcosx – nsinx)
7/ Dạng 7:
∫
a
sin
x
+
b
cos
x
+
c
m
sin
x
+
n
cos
x
+
p
dxasinx +bcosx + c = α( msinx + ncosx + p) + β( mcosx – nsinx) + ω
8/ Dang 8:
∫
asinx+bcosx (msinx+ncosx)2 dx
asinx + bcosx = α( msinx+ncosx) + β( mcosx – nsinx)
9/ Dạng 9:
∫
dx
sin
(
x
+
a
)
sin
(
x
+
b
)
∫
dx
sin
(
x
+
a
)
cos
(
x
+
b
)
∫
dx
cos
(
x
+
a
)
cos
(
x
+
b
)
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ HÀM VÔ TỈ:
1/
∫
f
(
x,
√
a
2
−
x
2)
dx đặt x = asint
2/
∫
f
(
x,
√
x
2
−
a
2)
dx đặt x =cos
a
t
3/
∫
f
(
x,
√
x
2
+
a
2)
dx đặt x = atant4/
∫
f
(
x,
√
a
+
x
a
−
x
)dx đặt x = acos2tTÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ
I =
∫
x
m
(
a
+
bx
n
)
p
1/ p ¿ Z gọi k mẫu số chung nhỏ phân số biểu thị m n đặt x =
t
k
2/
m+1
n ¿ Z gọi s mẫu số p đặt a+bxn =
t
k
3/ n p
m
1
¿ Z
a
+
bx
nx
n=
t
(4)CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Dạng 1: hàm số dấu tích phân hàm chẵn, hàm lẻ.
1/ Nếu f(x) hàm chẵn lien tục [a;a]
I =
∫
−a
a
f
(
x
)
dx
=
2
∫
af
(
x
)
2/Nếu f(x) hàm lẻ liên tục [a;a] I =
∫
−
a
a
g
(
x
)
=
Dạng 2: hàm số dấu tích phân thương hàm chẵn hàm mũ:
I=
∫
−a a
f
(
x
)
m
x+
1
=
∫
0a
f
(
x
)
dx
Ví dụ: I =
∫
−1
1
dx
(
2
x+
1
)
√
1
−
x
2 I =∫
−π π
sin
x
sin 2
x
cos5
x
e
x+
1
Dạng 3: tính bất biến tích phân xác định biến số thay đổi cận cho nhau:
Nếu f(x) liên tục [a;b]
∫
a bf
(
x
)
dx
=
∫
a bf
(
a
+
b
−
x
)
I=
∫
0
ln
(
x
+
1
)
x
2+
1
Dạng 4: tích phân hảm số đối xứng nhau:
Nếu f lien tục [0;1]
∫
0π
2
f
(
sin
x
)
dx
=
∫
π
2
f
(
cos
x
)
dx
( t =
π