[r]
(1)TÍCH PHÂN MỘT SỐ CƠNG THỨC CẦN NHỚ:
∫sinduu=ln|tanu
2| ∫
du
cosu=ln|tan u
2+
π
4|
∫ du √u2±k
=ln|u+√u2±k| ∫ du √a2−u2
=arcsinu a
∫ du u2+a2=
1
aarctan u
a ∫
du u2−a2=
1 2aln|
u−a u+a|
∫ du a2−u2=
1 2aln|
a+u a−u| ∫√a2−u2du=u
2√a
2
−u2+a
2
2 arcsin
u
a ∫√u
2
+k du=u
2√u
2
+k+ln|u+√u2+k|
∫tanudu=−ln|cosu| ∫cotudu=ln|sinu|
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CĨ MẪU CHỨA TAM THỨC BẬC HAI
1/ Dạng 1: A= ∫
dx ax2+bx+c
A =
∫ dx
(mx+n)2+p2 hoặc A = ∫
dx
(mx+n)2−p2 sau áp dụng cơng thức để tính
2/ Dạng 2: B= ∫
(mx+n)dx
ax2
+bx+c
3/ Dạng 3: ∫
dx √ax2+bx+c
4/ Dang 4: ∫
(mx+n)dx
√ax2+bx+c
5/ Dạng 5: ∫
dx
(px+q)√ax2+bx+c Đặt px+q=
(2)6/ Dạng 6: ∫
(mx+n)dx (px+q)√ax2+bx+c
7/ Dạng 7: ∫
xdx
(ax2+b)√cx2+d Đặt t= √cx2+d
8/ Dạng 8: ∫
dx
(ax2+b)√cx2+d Đặt xt = √cx2+d
9/ Dạng 9: ∫
(mx+n)dx
(ax2+b)√cx2+d = m Dạng7 + n Dạng 8
10/ Dạng 10: ∫
Pn(x)dx
√ax2+bx+c
11/ Dạng 11: Các phương pháp Euler
Khử dạng √ax2+bx+c
1/ a>0 đặt √ax2+bx+c = ±√a x+t 2/c>0 đặt √ax2+bx+c = tx±√c
3/ đặt √ax
2
+bx+c = t(x−x0) ax02+bx0+c
TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1/ Dạng 1:
∫ 1
(sinx)n
2/ Dạng 2: ∫
1 (cosx)n
3/ Dạng 3: ∫
dx
asinx+bcosx+c t = tan
x
2
4/ Dạng 4: ∫
dx
(3)5/ Dạng 5: tích phân liên kết
6/ Dạng 6: ∫
asinx+bcosx msinx+ncosx dx
asinx + bcosx = α( msinx+ncosx) + β( mcosx – nsinx)
7/ Dạng 7: ∫
asinx+bcosx+c msinx+ncosx+p dx
asinx +bcosx + c = α( msinx + ncosx + p) + β( mcosx – nsinx) + ω
8/ Dang 8: ∫
asinx+bcosx (msinx+ncosx)2 dx
asinx + bcosx = α( msinx+ncosx) + β( mcosx – nsinx)
9/ Dạng 9: ∫
dx
sin(x+a)sin(x+b) ∫
dx
sin(x+a)cos(x+b) ∫
dx
cos(x+a)cos(x+b)
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ HÀM VÔ TỈ:
1/ ∫f(x,√a
2 −x2)
dx đặt x = asint
2/ ∫f(x,√x
2
−a2) dx đặt x = cosat
3/ ∫f(x,√x
2
+a2) dx đặt x = atant
4/ ∫
f(x,√ a+x
a−x )dx đặt x = acos2t
TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ
I = ∫x
m
(a+bxn)p
1/ p ¿ Z gọi k mẫu số chung nhỏ phân số biểu thị m n đặt x = t
k
2/
m+1
n ¿ Z gọi s mẫu số p đặt a+bxn = t
k
3/ n p
m
1
¿ Z
a+bxn
xn =t
(4)CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Dạng 1: hàm số dấu tích phân hàm chẵn, hàm lẻ.
1/ Nếu f(x) hàm chẵn lien tục [a;a]
I =
∫
−a
a
f(x)dx=2∫ a
f (x)
2/Nếu f(x) hàm lẻ liên tục [a;a] I =
∫
−a a
g(x)
=
Dạng 2: hàm số dấu tích phân thương hàm chẵn hàm mũ:
I=
∫
−a a
f(x) mx+1=∫0
a
f (x)dx
Ví dụ: I =
∫
−1
1
dx
(2x+1)√1−x2 I =
∫
−π π
sinxsin 2xcos5x ex+1
Dạng 3: tính bất biến tích phân xác định biến số thay đổi cận cho nhau:
Nếu f(x) liên tục [a;b] ∫a b
f(x)dx=∫ a b
f (a+b−x)
I=
∫
0
ln(x+1)
x2+1
Dạng 4: tích phân hảm số đối xứng nhau:
Nếu f lien tục [0;1] ∫0
π
2
f(sinx)dx=∫
π
2
f (cosx)dx
( t =
π