Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a Trục Ox.[r]
(1)Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp dx x C x dx 1 dx ln x C x 0 x e x dx e x C ax a dx C 0 a 1 ln a cos xdx sin x C x sin xdx cos x C cos x dx tan x C sin x du u C d ax b a ax b C x 1 C 1 1 dx cot x C Nguyên hàm hàm số hợp ax b dx ax b C a 1 dx ln ax b C x ax b a e ax b dx e ax b C a cos ax b dx sin ax b C a sin ax b dx cos ax b C a 1 dx tan ax b C a cos ax b 1 dx cot ax b C a sin ax b u du u 1 C 1 1 du u ln u C u 0 e du e C u u au C 0 a 1 ln a cos udu sin u C a u dx sin udu cos u C cos u du tan u C sin u du cot u C I ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đổi biến số dạng b Để tính tích phân f[u(x)]u (x)dx ta thực các bước sau: / a Bước Đặt t = u(x) và tính dt u/ (x)dx Bước Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) b Bước f[u(x)]u/ (x)dx a f(t)dt e2 Ví dụ Tính tích phân I e dx x ln x Giải dx x x e t 1, x e t Đặt t ln x dt I Ví dụ Tính tích phân I dt ln t t Vậy I ln cos x (sin x cos x) dx ln (2) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam Hướng dẫn: I cos x (sin x cos x) (tan x 1) dx dx Đặt t tan x cos2 x ĐS: I Ví dụ Tính tích phân I dx 2x (1 x) Hướng dẫn: Đặt t 2x 3 ĐS: I ln Ví dụ 10 Tính tích phân I 3x dx 1 x Hướng dẫn: 3x t2 dt Đặt t 8 ; đặt t tan u 1 x (t 1)2 ĐS: I Chú ý: 3x Phân tích I dx , đặt t 1x x tính nhanh Đổi biến số dạng b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính f ( x)dx ta thực các bước sau: a / Bước Đặt x = u(t) và tính dx u (t )dt Bước Đổi cận: x a t , x b t b Bước a f ( x)dx f [u (t )]u / (t )dt g (t )dt Ví dụ Tính tích phân I I dx x2 Giải Đặt x sin t, t ; dx cos tdt 2 x t 0, x t cos t dt sin2 t cos t cos t dt Vậy I Ví dụ Tính tích phân I x dx dt t 06 0 6 (3) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam Hướng dẫn: Đặt x sin t ĐS: I Ví dụ Tính tích phân I dx 1 x Giải Đặt x tan t, t ; dx (tan2 x 1)dt 2 x t 0, x t I tan 1 Ví dụ Tính tích phân I tan t dt t Vậy I dx x 2x 2 Hướng dẫn: 1 I dx x 2x 1 dx (x 1)2 Đặt x tan t ĐS: I 12 Ví dụ Tính tích phân I ĐS: I 1 Ví dụ Tính tích phân I ĐS: I 12 Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lượng giác dx x2 dx x2 2x Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân I cos x sin xdx Hướng dẫn: Đặt t cos x ĐS: I 15 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân I cos Hướng dẫn: Đặt t sin x ĐS: I 15 xdx dt (4) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn) Tính tích phân I cos x sin2 xdx I Giải 1 cos x sin2 xdx cos2 x sin2 2xdx (1 cos 4x)dx cos 2x sin2 2xdx 16 x 1 sin 2x (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) sin 4x 16 64 24 32 16 Vậy I 32 Ví dụ 14 Tính tích phân I dx cos x sin x Hướng dẫn: x ĐS: I ln Đặt t tan Biểu diễn các hàm số LG theo t tan 3.2 Dạng liên kết Ví dụ 15 Tính tích phân I 2t 1 t2 2t a ; cos a ; tan a : sin a 2 1 t 1 t2 1 t2 xdx sin x Giải Đặt x t dx dt x t , x t 0 I ( t)dt sin( t) 0 dt t t sin cos 2 t sin t sin t dt dt dt I I sin t sin t dt 0 cos2 t 2 t d t tan t cos2 Vậy I Tổng quát: xf(sin x)dx f(sin x)dx Ví dụ 16 Tính tích phân I sin sin2007 x dx x cos2007 x 2007 Giải Đặt x t dx dt (5) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam x0t sin2007 I sin2007 Mặt khác I J 2 t , x t0 2 2 t cos 2 t 2007 dx dx (2) Từ (1) và (2) suy I Tổng quát: sin n x dx sin n x cosn x Ví dụ 17 Tính tích phân I cos2007 t dx J (1) sin2007 t cos2007 t cos n x dx , n n n sin x cos x sin x dx và J sin x cos x cos2 x dx sin x cos x Giải I 3J (1) dx dx dx sin x sin x cos x Đặt t x dt dx I J ln (2) 1 1 Từ (1) và (2) I ln , J ln 16 16 ln(1 x) Ví dụ 18 Tính tích phân I dx x2 IJ Giải Đặt x tan t dx (1 tan2 t)dt x t 0, x t I ln(1 tan t) tan2 t dt ln(1 tan t)dt tan t Đặt t u dt du t0u , t u0 4 I 0 ln(1 tan t)dt ln tan u du tan u ln 1 tan u du ln tan u du 0 (6) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam 0 ln 2du ln 1 tan u du ln I Vậy I Ví dụ 19 Tính tích phân I ln cos x dx x 1 2007 Hướng dẫn: Đặt x t ĐS: I Tổng quát: Với a > , , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn ; thì f(x) a x dx f(x)dx Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f(x) 2f(x) cos x Tính tích phân I f(x)dx Giải f(x)dx , x t dx dt Đặt J x I t , x t 2 2 f(t)dt J 3I J 2I f(x) 2f(x) dx cos xdx 2 cos xdx Vậy I 3.3 Các kết cần nhớ a i/ Với a > , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì f(x)dx a a ii/ Với a > , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì f(x)dx f(x)dx a iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) a (7) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam cos n xdx 0 (n 1)!! , neáu n leû n sin xdx n !! (n 1)!! , neáu n chaün n !! Trong đó n!! đọc là n walliss và định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: !! 1; 1!! 1; !! 2; !! 1.3; !! 2.4; !! 1.3.5; !! 2.4.6; !! 1.3.5.7; !! 2.4.6.8; !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10 Ví dụ 21 cos 11 xdx 10 !! 2.4.6.8.10 256 11!! 1.3.5.7.9.11 693 sin 10 xdx !! 1.3.5.7.9 63 10 !! 2.4.6.8.10 512 Ví dụ 22 II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b] Ta có / / uv / u v uv uv / dx u/ vdx uv/ dx b d uv vdu udv b d(uv) vdu udv a b b a uv a b a b b vdu udv udv uv a b a a b a vdu a Công thức: b b udv uv b a a vdu (1) a Công thức (1) còn viết dạng: b b f(x)g (x)dx f(x)g(x) / b a a f / (x)g(x)dx (2) a Phương pháp giải toán b Giả sử cần tính tích phân f(x)g(x)dx ta thực a Cách Bước Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân b du u (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân / vdu phải tính a Bước Thay vào công thức (1) để tính kết Đặc biệt: b i/ Nếu gặp a b P(x) sin axdx, b P(x) cos axdx, a a u P(x) b ii/ Nếu gặp e P(x) ln xdx thì đặt u ln x a Cách ax .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt (8) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam b Viết lại tích phân b f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx / a và sử dụng trực tiếp công thức (2) a xe dx Ví dụ Tính tích phân I x Giải u x du dx Đặt (chọn C ) dv ex dx v e x 1 xe dx xe x x 0 ex dx (x 1)ex e x ln xdx Ví dụ Tính tích phân I Giải dx du u ln x x Đặt dv xdx x v e e x e2 x ln xdx ln x xdx 2 e Ví dụ Tính tích phân I e x sin xdx Giải u sin x du cos xdx Đặt dv e x dx v e x I ex sin xdx e x sin x e x cos xdx e J du sin xdx u cos x Đặt dv ex dx v e x e J x cos xdx e x cos x 0 e x sin xdx 1 I e2 I e (1 I) I Chú ý: Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần 2 Ví dụ Tính tích phân I cos xdx Hướng dẫn: Đặt t x I t cos tdt (9) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam e Ví dụ Tính tích phân I sin(ln x)dx (sin cos1)e ĐS: I III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán Dạng b Giả sử cần tính tích phân I f(x) dx , ta thực các bước sau a Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: a x f(x) b Bước Tính I f(x) dx a x1 x2 b x1 x2 f(x)dx f(x)dx a b x1 f(x)dx x2 Ví dụ Tính tích phân I x 3x dx 3 Giải Bảng xét dấu x x 3x I 3 2 x2 3x dx x2 3x dx 3 Vậy I Ví dụ 10 Tính tích phân I ĐS: I Dạng 59 59 cos2 x sin xdx b Giả sử cần tính tích phân I f(x) g(x) dx , ta thực a Cách b Tách I f(x) b g(x) dx a b f(x) dx a g(x) dx sử dụng dạng trên a Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) và g(x) Ví dụ 11 Tính tích phân I x x dx 1 Giải (10) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam Cách 2 x I x dx 1 xdx 1 x x dx x dx 1 2 1 1 xdx (x 1)dx (x 1)dx 1 2 x 1 x x x x 2 1 1 2 Cách Bảng xét dấu x x x–1 –1 0 – – I + – + + x x dx 1 x x dx x x 1 dx 1 x 0 x x x 12 Vậy I Dạng b Để tính các tích phân I b max f(x), g(x) dx và J a f(x), g(x) dx , ta thực a các bước sau: Bước Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x) trên đoạn [a; b] Bước + Nếu h(x) thì max f(x), g(x) f(x) và f(x), g(x) g(x) + Nếu h(x) thì max f(x), g(x) g(x) và f(x), g(x) f(x) Ví dụ 12 Tính tích phân I max x 1, 4x dx Giải Đặt h(x) x 4x x 4x Bảng xét dấu x h(x) + I x – + dx 4x dx x dx 80 80 Vậy I Ví dụ 13 Tính tích phân I , x x dx Giải Đặt h(x) 3x x x x Bảng xét dấu x h(x) I 0 – dx x 1 + x dx 3x x2 4x ln 1 ln 10 (11) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam Vậy I ln IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán Dạng b Để chứng minh b f(x)dx (hoặc f(x)dx ) ta chứng minh f(x) (hoặc f(x) ) với a a x a; b Ví dụ 14 Chứng minh x6 dx 0 Giải Với x 0; : x 1 x 6 x dx 0 Dạng b Để chứng minh b f(x)dx a g(x)dx ta chứng minh f(x) g(x) với x a; b a Ví dụ 15 Chứng minh dx sin10 x dx sin 11 x Giải : sin x sin11 x sin10 x Với x 0; 1 sin10 x sin11 x 10 sin x sin11 x Vậy dx sin 10 x dx sin 11 x Dạng b Để chứng minh A f(x)dx B ta thực các bước sau a Bước Tìm giá trị lớn và nhỏ f(x) trên đoạn [a; b] ta m f(x) M b Bước Lấy tích phân A m(b a) f(x)dx M(b a) B a Ví dụ 16 Chứng minh x2 dx Giải Với x 0; : x x2 Vậy x dx Ví dụ 17 Chứng minh 3 dx sin x Giải 11 5 (12) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam 3 Với x ; sin x sin2 x : 2 4 1 sin2 x 1 sin2 x 3 4 dx 3 1 4 sin x dx sin x Vậy Ví dụ 18 Chứng minh 3 12 3 cotx dx x Giải cotx ta có Xét hàm số f(x) , x ; x x cotx / sin x f (x) x ; x f f(x) f x ; cotx x ; x cotx dx x Vậy 12 cotx dx x 4 Dạng (tham khảo) b Để chứng minh A f(x)dx B (mà dạng không làm được) ta thực a f(x) g(x) x a; b b b Bước Tìm hàm số g(x) cho f(x)dx B g(x)dx B a a h(x) f(x) x a; b b Bước Tìm hàm số h(x) cho b A f(x)dx h(x)dx A a a Ví dụ 19 Chứng minh 2 dx 2007 1 x 12 (13) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam Giải : x2007 x2 1 x2 x2007 x2007 Với x 0; 2 2 1 x2 2 dx dx dx 2007 1 x x2 0 Đặt x sin t dx cos tdt x t 0, x t 2 Vậy Ví dụ 20 Chứng minh 1 dx x2 2 cos tdt cos t dx 2007 1 x xdx 1 x 1 Giải Với x 0; : x x x x 1 1 x 1 Vậy xdx 1 1 xdx x 1 xdx x 1 xdx 1 1 V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn các đường b y f(x), x a, x b và trục hoành là S f(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y ln x, x 1, x e và Ox Giải Do ln x x 1; e nên e S e ln x dx ln xdx x ln x Vậy S (đvdt) 13 e (14) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 4x 3, x 0, x và Ox Giải Bảng xét dấu x y – + S x 4x dx x 4x dx 1 x3 x3 2x2 3x 2x2 3x 0 1 Vậy S (đvdt) Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn các đường b y f(x), y g(x), x a, x b là S f(x) g(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx a 2.2 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn các đường y f(x), y g(x) là S f(x) g(x) dx Trong đó , là nghiệm nhỏ và lớn phương trình f(x) g(x) a b Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f(x) g(x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn ; Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y x 11x 6, y 6x2 , x 0, x Giải Đặt h(x) (x 11x 6) 6x2 x 6x2 11x h(x) x x x (loại) Bảng xét dấu x h(x) – + S x 6x 11x dx x 6x 11x dx x x 11x 11x2 2x 6x 2x 6x 0 1 4 14 (15) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y x 11x 6, y 6x2 Giải Đặt h(x) (x 11x 6) 6x2 x 6x2 11x h(x) x x x Bảng xét dấu x h(x) + – Vậy S S x 6x 11x dx x 6x 11x dx 2 x4 x4 3 11x2 11x 2x 6x 2x 6x 4 1 2 2 Vậy S (đvdt) Chú ý: Nếu đoạn ; phương trình f(x) g(x) không còn nghiệm nào thì ta có thể dùng công thức f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x , y 4x Giải Ta có x 4x x 2 x x S x x 4x dx 2 4x dx 0 x4 x4 2x2 2x2 2 0 Vậy S (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x x và trục hoành Giải Ta có x x t2 4t 0, t x t x 1 x 1 t3 x 3 x 3 S 3 x x dx x2 4x dx x2 4x dx x3 2x 3x 0 x2 4x dx 16 x 2x 3x 16 Vậy S (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x 4x và y x Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 4x x 15 (16) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam x x x 4x x x5 x2 4x x Bảng xét dấu x x 4x S + – + x 5x dx x 3x dx x 5x dx 3 x 5x2 x x3 3x2 5x2 109 6x 0 1 109 Vậy S (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 , y x Giải Phương trình hoành độ giao điểm x x t2 t 5, t x t x t x t t x 3 t t t S 3 x x dx x x dx Bảng xét dấu x x 1 – + S2 x x dx x x dx 1 x x3 x2 x2 73 4x 6x 0 1 73 Vậy S (đvdt) Chú ý: Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường y f(x) x a; b , y , b x a và x b (a b) quay quanh trục Ox là V f (x)dx a Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình tròn (C) : x y R quay quanh Ox Giải Hoành độ giao điểm (C) và Ox là x R x R Phương trình (C) : x2 y2 R y2 R2 x2 16 (17) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam R R V R x dx 2 R x2 dx 2 R R x R 2 R x 0 4R Vậy V (đvtt) 3 Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường x g(y) 0y c; d , x , d y c và y d (c d) quay quanh trục Oy là V g2 (y)dy c 2 x y quay quanh Oy a2 b Giải y2 Tung độ giao điểm (E) và Oy là y b b x2 y2 a y2 Phương trình (E) : x a a b b b b 2 2 ay a y V a dy 2 a dy b b b Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối ellipse (E) : R a y a b 2 a y 3b 4a b Vậy V (đvtt) 3 Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường y f(x), y g(x) , x a và x b (a b, f(x) 0, g(x) x a; b ) quay quanh trục Ox là b V f (x) g2 (x) dx a Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn các đường y x2 , y2 x quay quanh Ox Giải x x Hoành độ giao điểm x x x1 1 V x x dx x x dx 3 x x 10 3 Vậy V (đvtt) 10 Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường x f(y), x g(y) , y c và y d (c d, f(y) 0, g(y) y c; d ) quay quanh trục Oy là d V f (y) g (y) dy c 17 (18) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn các đường x y2 , x y quay quanh Oy Giải y 1 Tung độ giao điểm y2 y y V y2 y 2 dy 1 y 11y2 6y 16 dy 1 y5 11y 3y2 16y 1 153 153 (đvtt) Vậy V VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 10 1 1 Tính I= 1 x dx Áp dụng kết đó hãy tính tổng sau: S C101 C102 C1010 11 19 Tính: I x 1 x dx Áp dụng kết đó hãy tính tổng sau: 1 1 18 19 C19 C19 C19 C19 C19 20 21 n 1 1 2 Chứng minh rằng: Cn Cn Cnn n 1 n 1 S BÀI TẬP TỰ GIẢI Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)= sin x cos x , biết F ln sin x cos x 4 Tính các tích phân sau: e A= x - x dx B= x C= x ln 2dx x -1 dx -2 Tính các tích phân sau: A= e3 cos x sin xdx e B= ln x dx C*= x dx x x 4 x dx x -1 1 D*= Tính các tích phân sau: e I= sin(ln x) dx 1 x J= dx sin x cot x 10 K= lg xdx ln L= x dx x 3 ln e 2e C= M= sin x dx (1 cos x) Tính các tích phân sau: 18 sin xdx cos x sin x N= 2dx x -9 (19) Lại Văn Long web: http://violet.vn/vanlonghanam dx A= 4- x ln D= B= dx x2 3 1- e x dx 1 ex C= 16 - x dx dx x2 E= Tính các tích phân sau: e2 B*= x sin x dx A= ln x dx x C*= ln2x dx x cos x 3x4 x dx x3 e D*= cos(ln x ) dx F* E= x2 dx 1 x Tính: A= cos xdx B= C= xe x dx cos3 xdx 0 D= e x dx x E= x ln xdx e F= ln x dx x G= x x dx H= x xdx 0 I= x dx x 1 x dx 1 x J= Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a x=1; x=e; y=0 và y= ln x b y=2x; y=3x và x=0 x c y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) điểm có hoành độ 10 Cho hình phẳng D giới hạn các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox 11 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 và y=0, x=1 nó quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Hết 19 (20)