Một số đề ôn thi vào lớp 10 - thpt chuyên

tại điểm G khác E. Chứng minh rằng trong A có hai phần tử phân biệt mà tổng của chúng bằng 104.. Từ đó bằng phép quy nạp ta dễ. dàng chứng minh được S n là số nguyên.. Chứng minh[r]

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 – THPT CHUYÊN

ĐỀ SỐ

Câu 1) Giải phương trình:  

6

x   x x x  x x

Câu 2) Cho a b c, , ba số thực dương thỏa mãn a b c   a b c 2 Chứng minh rằng:

   

2

1 1 1 1 1

a b c

a b c a b c

     

Câu 3) Chứng minh: 5

2

n n

n

a       

    số phương với số tự nhiên lẻ

Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn ( )O có đường cao

, ,

AD BE CF đồng quy điểm H Đường thẳng CH cắt ( )O điểm G khác C

GD cắt ( )O điểm K khác G

a) Chứng minh OA vng góc với EF

b) Chứng minh: AK qua trung điểm M DE

c) Gọi N trung điểm DF , AN cắt ( )O điểm L khác A Chứng minh điểm M L N K, , , thuộc đường tròn

Câu 5) Cho a b c, , thỏa mãn 2

1

a b c 

Chứng minh rằng:

2 2

3

1 2

a b c

bc ca ab

  

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

ĐỀ SỐ 2. Câu 1) Giải phương trình 2

4 17

x  x  x  x x  x  Câu 2) Tìm ba chữ số tận A 2662015

Câu 3)

a) Tìm nghiệm nguyên phương trình:x3 y3 xy 8

b) Biết  

3

3

26 15 3

9 80 80

x  

   Tính giá trị biểu thức   2016

3

3

P x x 

Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( )O Tiếp tuyến A ( )O cắt tiếp

tuyến B C, ( )O S T, BT cắt AC E , CS cắt AB F Gọi M N P Q, , , trung điểm BE CF AB AC, , , Đường thẳng BQ CP,

cắt ( )O giao điểm thứ K L,

a) Chứng minh: ABK#EBC

b) Chứng minh tứ giác PQKL nội tiếp c) Chứng minh: BCM CBN

Câu 5) Với n số tự nhiên, n2, cho n số nguyên x x1, 2, ,xn thỏa mãn:

  

2 3

1 2 n 1 n

x x   x x n  n x   x x n

Chứng minh rằng:

a) Các số x ii 1, 2, ,n số nguyên dương

3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

ĐỀ SỐ 3. Câu 1) Giải phương trình 2

1

x x

x

  



Câu 2) Cho số x y, thỏa mãn:

 

3

2 2

3 11

3

x y y

x y x y

    

 

    

 Tính giá trị

3

Px y

Câu 3) Tìm tất số tự nhiên n để: 2012 2015

2 2 2n số phương

Câu 4) Cho tam giác ABC nội tiếp ( )O với AB AC Tiếp tuyến A ( )O cắt

BC T Dựng đường kính AD, OT cắt BD điểm E.Gọi M trung điểm

BC

a) Chứng minh: EOD AMC b) Chứng minh: AE/ /CD

c) Giả sử BE cắt AT điểm F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt OE

tại điểm G khác E Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác AGB nằm ( )O

Câu 5) Cho tập hợp X 1, 4, 7,10, ,100 Gọi A tập tập X mà số phần tử A 19 Chứng minh A có hai phần tử phân biệt mà tổng chúng 104

ĐÁP ÁN ĐỀ Câu 1) Giải:

Điều kiện: x 3

Ta có: (1)

3

x x x x x

4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

Đặt t x x3

Do (2)   

4 3 1;

t t t t t t

          

Với t1, ta giải phương trình x x  3 x  3 x

 2 2 2

1 1

3 3

x x x

x x x x x

x x

 

    



  

      

  

  



3 17 17

2

3 17

x

x x

x

  

 

   

 

 

   

Với t3, ta giải phương trình x x  3 x  3 x

3

1

6

x

x x

x

  

   

   

Vậy phương trình cho có hai nghiệm 17,

x  x

Câu 2) Lời giải:

Đặt x a y,  b z,  c x2y2z2    x y z 2 Suy    2  2 2

2 xyyzzx  x y z  x y z 2  2 xyyzzx1

Do đó:   

1 a xyyz zx x  xy xz ; 1 b xyyz zx y2 yzyx;

  

2

5 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

Vì

        

1 1

a b c x y z

a b c  x y x z  y z y x  z x z y

        

     

        

2

x y z y z x z x y xy yz zx x y y z z x x y y z z x

      

 

         

2

1 a b c



  

Câu 3) Ta có

2

3 5 5

2

2 2

n n n n

n a

 

           

 

         

 

        

Xét dãy 5

2

n n

n

S      

    , ta chứng minh bn số nguyên

Xét

1 5 ,

2

x   x   ta có 2

1

x x

x x

 



 

 suy x x1, hai nghiệm phương

trình:

1

x   x

Ta có 1     1

1 2 2

n n n n n n

n

S  x  x   x x x x x x x  x  hay Sn1SnSn1

Ta có S11,S2 x1x222x x1 3,S3 S2 S1 2 Từ phép quy nạp ta dễ

dàng chứng minh Sn số nguyên Suy an  Sn 2 số phương

Câu 4)

a) Ta có AEFOAE

 

1

180 90

ABC AOC 

Suy OA EF

b) Việc chứng minh

trực tiếp AK qua trung điểm DE

6 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

tròn ( )O điểm G ta thấy G H, đối xứng qua AB, hay F trung điểm

GH Như ta cần tìm mối quan hệ điểm F điểm M thông qua tam giác đồng dạng Xét tam giác DFH tam giác DAE : Ta thấy

DFH DBH DAE , Ta có

180

AED ABDFHD suy

2 2

HF HD HF HD HG HD DFH DAE

EA ED EA ED EA ED

 ”        hay HG HD

EA  EM Từ suy

ra HGD” EAM EAM HGDCAK AM AK

c) Giả sử BH cắt đường tròn ( )O điểm P khác B

Tương tự câu a ta có: P đối xứng với H qua AC Suy AGAHAP

GPOAEF suy EF/ /MN/ /GP , giả sử AL cắt GP Q Ta có:

MNAAQPAGQ QAG APG QAG  AKG GKL  AKL suy tứ giác MKNL nội tiếp

Câu 5) Để ý rằng: 2

2xyx y

Ta lại có:  2

1 2 bca  b c 0;  2

1 2 cab  c a 0; 2 abc2a b 2 0

Nên

2 2 2

2 2 2

1 2 1

a b c a b c

bc ca ab b c  c a  a b

        

2 2

2 2 2

1 1

3

1 2 2

a b c

a b c a b c

 

         

       

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta thu được:

2 2 2

1 1 9

2a 2b 2c 6a b c 5.Từ suy ra:

2 2

9 3

1 2 5

a b c

bc ca ab   

   Chứng minh hoàn tất đẳng thức xảy

chỉ

3

a   b c

Câu 6) Vì số nguyên dương m lẻ không vượt 2015, ta xây dựng tập Am

7 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

2 |k , k 2016

m

A  m k m Với cách xây dựng trên, m1009 Am có phần tử m Vì có 1008 số lẻ khơng vượt q 2016 nên có 1008 tập Am Nhận thấy với n nguyên dương bất kỳ, 1 n 2016, ta viết

2 k

n m với m số nguyên lẻ, điều cho thấy số nguyên từ đến 2016 thuộc vào 1008 tập Am Nhưng tập M có 1009 phần tử,

đó chắn có hai phần tử M giả sử a b a,  b thuộc tập Am

đó Khi a2 pm b2 qm với pq, suy b 2q p

a



 hay b bội a

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 7 Câu 1) Viết lại phương trình cho thành:  2

2 17

x  x  x  x  Đặt

2

2 17

t x  x  Ta có 2

2 16

x  x  t phương trình cho viết thành:

 2 2     2

16 4 4

t      t t  t t   Phương trình t 4 có nghiệm

4

t hay x22x    1 x Phương trình t4t42 1 vơ nghiệm t4 Vậy phương tình có nghiệm x 1

Câu 2) Ta có 2015 2015 2015

6  (5 1) 1(mod 5)6 5k1 với kZ Suy

 

5

26 m 26 26 m

A   Mặt khác để ý rằng:

 5 2

5 10 10

a b a  a b a b  a b  ab b Nếu  5

25 (mod125)

a  ab b suy

5

26 1(mod125) A 26(mod125) A 125m26 Dễ thấy A suy

125m26 8m chẵn  m 2r A 250r26248r24 2( r 1) r chia cho dư

3 r 4p3 Hay A250 4 p 3 26 1000 p776 Vậy chữ số tận A

8 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

Câu 3)

a) Ta viết lại phương trình thành: xy33xy x( y)xy8

Đặt x y a( ,a b Z)

xy b

 

 

 

 Ta có

3

3 8 (3 1)

a  ab  b a   b a

 

3

8 (3 1) 27

a a a a

       

27a 215 3a

    215 3a1 Mặt khác ta có 2155.43 suy 3a    1 1; 5; 43; 215 Cuối ta thay trường hợp để tìm

, 2;

a b x y x0;y 2 b) Ta có 3 3

26 15 3  2  2 3.Do

    

3 26 15 2  3  2 3 2 3 1 Đặt 3

9 80 80

a    ta có:

3

18 3 18

a   aa  a   a327 3 a 9 a3a23a6  0 a (vì

2

3

a  a  ) Vậy 3

9 80  9 80 3 Suy

x Khi

 3 2 2016

3 1

P x x  

9 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

Ta dễ chứng minh tính chất sau: Tam giác ABC nội tiếp ( )O , tiếp tuyến

tại Bvà C cắt T , AT cắt ( )O D, OT cắt BC H Khi

AHC ABD BAT HAC (Xem thêm phần tính chất cát tuyến, tiếp tuyến) Trở lại toán:

+ Áp dụng kết tốn ta có: ABK#EBC

+ Từ kết ABK#EBC ý rằng: KP CM, trung tuyến tam

giác ABK,EBC nên suy BCM BKP(1) , tương tự CBNCLQ (2)

+ Ta có PLKQBCPQB (do KLBC nội tiếp PQ/ /BC) Từ suy tứ giác PQKL nội tiếp nên ta có: BKPCLQ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: BCM CBN Câu 5)

a) Ta có: 2 3   

1 2 n 1 n

x x   x x n  n x   x x n

     

2 2 2

2

2

n n n n

x n x n n x n x n n x n x n n

     

                 

x1 nx1 n 1 x2 nx2 n 1 xn nxn1 n 1

             

Mặt khác xk nxk n1 tích hai số ngun liên tiếp nên khơng âm, xk n xk  n Do n2 nên xk số nguyên dương

b) Vì xkn n; 1 nên  

1

1 n

n n    x x x n

Do 2 2 2  2

1

1 n 1

n  n    n x x  x n   n n

10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 8 Câu 1) Điều kiện x0

Phương trình tương đương với: 9

1 1

x x x

x x

x x x x



      

   

2

8 2

1

1 1

x x x

x x x

 

       

    

2

1

7

x

x x x

x

      

 (thỏa mãn)

Câu 2) Ta có: 3  2

2 11 8

x  y  y  x   y      x (1)

     

2 2 2

3 3

x y x   y   x y   y   y 22 2

1 y x x y         

(2) Từ (1) (2) suy x 2, y1 Do

7

x y  

Câu 3) Giả sử số tự nhiên n thỏa mãn đề Khi tồn số nguyên dương k

sao cho

  

2012 2015 2012 1006 1006

2 2 2n k 9.2 2n k  k3.2 k3.2 2n Suy

1006 1006 3.2 3.2 , , a b k k

a b a b n

            1007

2a 2b 3.2

   hay 1  1006

2b 2a b  1 3.2 Suy

1 1006 1007

1009 2a b

b b a              

 n2016

11 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

a) Ta có : Tứ giác AOMT nội tiếp nên : AOT AMT suy

EOD AMC (cùng bù với góc nhau)

b) Ta thấy rằng: AMC#EOD ( g g) suy

2

AC MC MC BC

ED  OD  OD  AD suy EAD ABC

 # nên EAD ABC , tam giác ABC nhọn suy O nằm tam giác suy ABCADC (cùng chắn cung AC) Từ suy EAD ADC suy AE/ /CD

và suy AEAC

c) Từ chứng minh ta có:

90

FAET AC DAC Suy

FGT FAEDACDBCFBT hay tứ giác FGBT nội tiếp nên TGBTFBEGA

suy GO phân giác góc AGB Gọi I giao điểm GO với ( )O Ta có OAOB nên AGBO nội tiếp Mặt khác OA OB OI nên I tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABG

Chú ý: Trong phần chứng minh ta sử dụng bổ đề sau: „‟Cho tam giác ABC nội

tiếp ( )O , ngoại tiếp ( )I Đường thẳng AI cắt ( )O D DI DB DC‟‟ Phần

chứng minh dành cho em học sinh

Câu 5) Nhận xét tập hợp X có 34 phần tử, phần tử có dạng 3n1 với n0,1, 2, , 33 Trước hết, ta tìm cặp hai phần tử phân biệt X

3n1, 3m1 cho 3n 1 3m 1 104  m n 34

Với n0 m3433 Với n17 m17 suy hai phần tử Loại trừ hai phần tử trên, 32 phần tử lại cho ta 16 cặp hai phần tử phân biệt

3n1, 3m1 thỏa mãn n m 34 4;100 , 7;97 , 10;94 , , 49;55      (*) Nếu ta lấy 19 số từ tập X xảy trường hợp “xấu”