Đang tải... (xem toàn văn)
Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.. Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân..[r]
(1)HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 Đề1
Bài :
a) Tính : ( 1)( 1) b) Giải hệ phương trình :
1 x y x y
Bài :
Cho biểu thức :
1 2( 1)
:
1
x x x x x x
A
x
x x x x
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Bài :
Một ca nô xuôi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km; lúc đó, từ A B bè nứa trơi với vận tốc dịng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ
Bài :
Cho đường trịn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA ; tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M ; MD cắt AB K ; MB cắt AC H
a) Chứng minh : BMDBAC , từ suy tứ giác AMHK nội tiếp
b) Chứng minh : HK // CD c) Chứng minh : OK.OS = R2
Bài :
Cho hai số a b khác thỏa mãn :
1 1 a b
Chứng minh phương trình ẩn x sau ln có nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) =
HƯỚNG DẪN
Bài 3:
Do ca nô xuất phát từ A với bè nứa nên thời gian ca nô thời gian bè nứa:
8 4 (h)
Gọi vận tốc ca nô x (km/h) (x>4) Theo ta có:
24 24 24 16
2
4 4
x x x x
2 0( )
2 40
20 x loai
x x
x
(2)B i 4:à
a) Ta có BC BD (GT) BMD BAC (2 góc nội
tiếp chắn cung nhau)
* Do BMD BAC A, M nhìn HK góc
nhau MHKA nội tiếp.
b) Do BC = BD (do BC BD ), OC = OD (bán kính) OB đường trung trực CD
CDAB (1)
Xét MHKA: tứ giác nội tiếp, AMH 900 (góc nt
chắn nửa đường tròn) HKA1800 900 900 (đl) HKAB (2)
Từ (1) (2) HK // CD H K
M A
B
O
C D
S Bài 5:
2
2
2
0 (*)
( )( )
0 (**) x ax b
x ax b x bx a
x bx a
(*) = a2- 4b, Để PT có nghiệm
2 4 0 4 1
2
a b a b
a b
(3) (**) b2 4a Để PT có nghiệm
2 4 0 1
2
b a
b a
(4) Cộng với ta có:
1 1
2
a b a b
1 1 1 1 1 1
2 4 4
2 a b a b a b
(3)Đề 2
Câu : a)Cho phương trình x4 (m24 )m x27m1 0 Định m để phương trình có nghiệm phân biệt tổng bình phương tất nghiệm 10
b) Giải phương trình:
2
3
5 ( 1)
1 x x
x x
Câu : a)Cho góc nhọn a Rút gọn khơng cịn dấu biểu thức :
2
cos sin
P a a
b) Chứng minh: 4 15 5 3 4 15
Câu : Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức :
2
3
a b c ab bc ca a b c
Khi đẳng thức xảy ?
Câu : Cho đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O’) điểm thứ hai C, D Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) điểm thứ hai E, F
a) Chứng minh đường thẳng AB, CE DF đồng quy điểm I b) Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn
c) Cho PQ tiếp tuyến chung (O) (O’) (P Ỵ (O), Q Î (O’)) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ
HƯỚNG DẪN
Câu :
a) Đặt X = x2 (X 0)
Phương trình trở thành X2 (m24 )m X 7m 0 (1)
Phương trình có nghiệm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt dương
0 0
S P
2
2
( ) 4(7 1)
4
7
m m m
m m
m
(I)
Với điều kiện (I), (1) có nghiệm phân biệt dương X1 , X2
Þ phương trình cho có nghiệm x1, = X1 ; x3, = X2
2 2 2
1 2( 2) 2( )
x x x x X X m m
Þ
Vậy ta có
2
2( ) 10
5
m
m m m m
m
Với m = 1, (I) thỏa mãn
Với m = –5, (I) không thỏa mãn Vậy m =
(4)Được phương trình
5 3(t 1)
t
3t2 – 8t – = Þ t = ;
1
t
(loại) Vậy x4x2 Þ1 x1
Câu :
a)P cos2a sin 2a 1 cos2a cos2a 1
2
cos 2cos
P a a (vì cosa > 0)
(cos 1)
P a
1 cos
P a (vì cosa < 1)
b)
2
4 15 5 4 15 5 4 15 4 15
= 5 3 4 15
=
2
5 4 15
= 8 15 4 15 =
Câu :
a b2 Þ0 a b 2 ab
Tương tự, a c 2 ac
b c bc
1
a a
1
b b
1
c c
Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c =
Câu :
a)Ta có : ABC = 1v ABF = 1v Þ B, C, F thẳng hàng
AB, CE DF đường cao tam giác ACF nên chúng đồng quy
b) ECA EBA (cùng chắn cung AE (O)
Mà ECA AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh)
Þ EBA EFD hayEBI EFI Þ Tứ giác BEIF nội tiếp.
c)Gọi H giao điểm AB PQ
Chứng minh tam giác AHP PHB đồng dạng
O O’
B A
C
D E
F I
P
(5)Þ
HP HA
HB HP Þ HP2 = HA.HB
Tương tự, HQ2 = HA.HB
Þ HP = HQ Þ H trung điểm PQ
Đề 3 Câu 1: Cho biểu thức A=
1
1
x x x x
x x
a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị x A<1
Câu 2: Hai vịi nước chảy vào bể đầy bể sau 24 phút Nếu chảy riêng vịi vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi mở riêng vịi vịi chảy đầy bể?
Câu 3: Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm C (AB>BC) Vẽ đường trịn tâm (O') đường kính BC.Gọi I trung điểm AC Vẽ dây MN vng góc với AC I,
MC cắt đường tròn tâm O' D.
a) Tứ giác AMCN hình gì? Tại sao? b) Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp?
c) Xác định vị trí tương đối ID đường tròn tâm (O) với đường tròn tâm (O') H
íng dÉn
Câu 1:
a) A có nghĩa
0 x
x
0 x x
b) A=
12 1
1
x x x
x x
= x 1 x=2 x1
c) A<1 Þ 2 x1<1Þ x 2Þ x1 Þ x<1
Kết hợp điều kiện câu a) Þ Vậy với 0 x 1 A<1
Câu 2: Đổi 2giờ 24 phút=
12 giờ
(6)Trong vòi thứ chảy :
1 x(bể)
Trong vòi thứ hai chảy :
1 x (bể)
Trong hai vòi chảy :
1 x+
1 x (bể)
Theo ta có phương trình:
1 x+
1 x =
1 12
5
Giaỉ phương trình ta x1=4; x2
=-6 5(loại)
Vậy: Thời gian vịi thứ chảy đầy bể là:4 Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là: 4+2 =6(giờ)
Câu 3:
I
D
N M
O' O
A
C B
a) Đường kính ABMN (gt) Þ I trung điểm MN (Đường kính dây cung)
IA=IC (gt) Þ Tứ giác AMCN có đương chéo AC MN cắt trung điểm đường
vng góc với nên hình thoi
b)ANB900 (góc nội tiếp chắn 1/2 đường trịn tâm (O) ) Þ BN AN.
AN// MC (cạnh đối hình thoi AMCN)
Þ BN MC (1) 900
BDC (góc nội tiếp chắn 1/2 đường tròn tâm (O') )
BD MC (2)
Từ (1) (2) Þ N,B,D thẳng hàng NDC900(3). 900
NIC (vì ACMN) (4)
Từ (3) (4) Þ N,I,D,C nằm đường trịn đường kính NC Þ Tứ giác NIDC nội tiếp
c) BA O'ỴBC mà BA vafBC hai tia đối Þ B nằm O O' ta có OO'=OB +
O'B Þ đường trịn (O) đường trịn (O') tiếp xúc ngồi B MDN
vng D nên trung tuyến DI =
1
2MN =MI Þ MDI cân Þ IMD IDM .
(7)do IDDO Þ ID tiếp tuyến đường tròn (O').
Đề 4 Câu1 :Cho biểu thức
A=
) ( :
1
1
2 2
3
x x x x x
x x x
x
Với x 2;1 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị biểu thức cho x= 62
c) Tìm giá trị x để A=3
Câu2
a) Giải hệ phương trình:
12
4 ) ( )
(
y x
y x y
x
b) Giải bất phương trình:
15
2
x x
x x x
<0
Câu3.Cho phương trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 4 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường trịn Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi F giao điểm AE nửa đường tròn (O) Gọi K giao điểm CFvà ED
a) chứng minh điểm E,B,F,K nằm đường tròn b) Tam giác BKC tam giác ? Vì ?
HƯỚNG DẪN
Câu 1: a Rút gọn A= x
x2
b.Thay x= 62 vào A ta A= 2 2
c
2 17
3
2 A x x Þ x
Câu 2 : a)Đặt x-y=a ta pt: a23a Þ4 a11;a2 4
Từ ta có
12
4 ) ( )
(
y x
y x y
x
*
12
1 y x
y x
(1) *
12
4 y x
y x
(2)
Giải hệ (1) ta x=3, y=2 Giải hệ (2) ta x=0, y=4
(8)O K
F E
D
C B
A
b)Ta có x3 4x2 2x15 ( x 5)(x2 x 3) mà
2
2 3 11 0
2
x x x
với x
Vậy bất phương trình tương đương với x 0 Þ x5 Câu 3: Phương trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xét
1
2
2 m Þ m
pt trở thành x Þ1 x1
Xét
1
2
2 m Þ m
ta có
' m2 2m 1 (m 1)2 0
mọi mÞ pt có nghiệm với m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) với
1 m
pt cịn có nghiệm
1
2
m m x
m m
pt có nghiệm khoảng (-1,0)
1
1
2m
Þ
0
0 1
1 m m
2
0
0
2
2
m
m m
m
Þ Þ
Vậy Pt có nghiệm khoảng (-1,0) m<0
Câu 4:
a Ta có KEB9O
mặt khác BFC9O ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
do CF kéo dài cắt ED D
9
BFK O
Þ Þ E,F thuộc đường trịn đường kính BK,
hay điểm E,F,B,K thuộc đường trịn đường kính BK b BCF BAF
Mà BAF BAE 45 Þ BCF 45
Ta cóBKF BEF
MàBEF BEA 45 (EA đường chéo hình vng ABED) Þ BKF 45
Vì BKC BCK 45 Þ tam giác BCK vuông cân B Đề 5
Bài 1: Cho biểu thức: P =
1 2 : 1
x x x x
x x x x x
x x
a,Rút gọn P
b,Tìm x nguyên để P có giá trị ngun
(9)a.Tìm m để phương trình (*) có nghiệm âm
b.Tìm m để phương trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn
3 x x
=50
Bài 3: Cho phương trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dương phân biệt x
1, x2 Chứng minh:
a,Phương trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dương phân biệt t
1 t2
b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4
Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đường trịn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A
a, Xác định vị trí điểm D để tứ giác BHCD hình bình hành
b, Gọi P Q điểm đối xứng điểm D qua đường thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng
c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn
Bài 5: Cho hai số dương x; y thoả mãn: x + y 1
Tìm giá trị nhỏ của: A = x y xy
501
2
2
HƯỚNG DẪN
Bài 1: ĐK: x 0;x1
a, Rút gọn: P =
1
:
1
2
x x x
x x
x z
P =
1
( 1)
x x
x x
b P =
2 1
x x
x
Để P nguyên
1
1 0
1
1 1( )
x x x
x x x
x x x
x x loai
Þ Þ
Þ Þ
Þ Þ
Þ
Vậy với xỴ0; 4;9 P có giá trị ngun
Bài 2: Để phương trình có hai nghiệm âm thì:
0
0
0
1
2
2
2
m x x
m m x x
m m m
3
1
0 ) )( (
0 25
m
m
(10)b Giải phương trình: 2 ( 3) 50
3
m
m
2
2
0 50
) 3 (
2
2
m m
m m m
m
Bài 3: a) Vì x1 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = nên ax12 + bx1 + c =0
Vì x1> => c
1
1
a
x b
x Chứng tỏ 1
1
x nghiệm dương phương trình:
ct2 + bt + a = 0; t =
1 x Vì x
2 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = => ax22 + bx2 + c =0
vì x2> nên c
0
2
2
a x b
x điều chứng tỏ 2
1
x nghiệm dương phương trình
ct2 + bt + a = ; t =
1 x
Vậy phương trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dương phân biệt x
1; x2 phương trình :
ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dương phân biệt t
1 ; t2 t1 =
1 x ; t
2 =
1 x
b) Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dương nên
t1+ x1 =
1 x + x
1 2 t2 + x2 =
1 x + x
2 2 Do x1 + x2 + t1 + t2 4
Bài 4
a) Giả sử tìm điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên
CH AB BHAC => BDAB CDAC.
Do đó: ABD900và ACD900
Vậy AD đường kính đường tròn tâm O Ngược lại D đầu đường kính AD
của đường trịn tâm O tứ giác BHCD hình bình hành b)Vì P đối xứng với D qua AB nên APBADB
H
O P
Q
D
C B
(11)nhưng ADBACB
Do đó: APB ACB
Mặt khác: APB ACB AHB ACB 180 Þ APB AHB 180
Tứ giác APBH nội tiếp đường tròn nên PBA PHB
Mà PAB DAB ,do đó: PHB DAB
Chứng minh tương tự ta có: CHQ DAC
Vậy PHQ PHB BHC CHQ BAC BHC 180 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c) Ta thấy APQ tam giác cân đỉnh A
Có AP = AQ = AD PAQ2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn AP AQ lớn hay AD lớn
D đầu đường kính kẻ từ A đường trịn tâm O
Đề 6
Bài 1: Cho biểu thức: x y
xy x
y x
y y
y x
x P
1 1
) )
1 )( (
a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P =
Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2)
a) Chứng minh với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt b) Xác định m để A,B nằm hai phía trục tung
Bài 3: Giải hệ phơng trình :
27 1 1
9
zx yz xy
z y x
z y x
Bài 4: Cho đường trịn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đường tròn (C A;C B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng trịn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N
a) Chứng minh tam giác BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tính BC theo R
Bài 5: Cho x,y,zỴR thỏa mãn : x y z x y z
1
1
Hãy tính giá trị biểu thức : M =
3
(12)HƯỚNG DẪN
Bài 1: a) Điều kiện để P xác định :; x 0; y 0; y 1; x y 0 (*)
Rút gọn P:
(1 ) (1 )
1
x x y y xy x y
P
x y x y
( )
1
x y x x y y xy x y
x y x y
1 1
x y x y x xy y xy
x y x y
1 1
1
x x y x y x x
x y
1
x y y y x
y
1 1
1
x y y y y
y
x xy y.
Vậy P = x xy y b) P = x xy y.=
11 1
1 1 1
y x
y y
x
Ta có: + y1 Þ x 1 0 x 4 Þ x = 0; 1; 2; ; 4
Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mãn
Bài 2: a) Đường thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phương trình đường thẳng (d) : y = mx + m –
Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: - x2 = mx + m –
x2 + mx + m – = (*)
Vì phương trình (*) có m2 4m 8 m 22 0m nên phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A B
b) A B nằm hai phía trục tung phương trình : x2 + mx + m – = có hai nghiệm trái
dấu m – < m < 2.
Bài 3 :
3 27
) ( 1 1
1
xz yz xy
z y x
z y x
(13)Q
N
M
O C
B A
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
81 81
81 27
2( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
x y z x y z xy yz zx
x y z xy yz zx x y z
x y z xy yz zx x y z xy yz zx
x y y z z x
x y x y
y z y z x y z
z x z x
Þ
Þ Þ
Thay vào (1) => x = y = z =
Ta thấy x = y = z = thõa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = z = Bài 4:
a) Xét ABM NBM
Ta có: AB đường kính đường tròn (O) nên : AMB NMB 90
M điểm cung nhỏ AC nênBAM MBN ÞBAM BNM
Þ BAN cân đỉnh B.
Tứ giác AMCB nội tiếp
BAM MCN
Þ => BAM ( bù với MCB).
MCN MNC
Þ => ( góc MCB) Þ Tam giác MCN cân đỉnh M
b) Xét MCB MNQ có :
MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)
BMCNMQ ( MCB NMC MBC MQN ; )
( )
MCB MNQ c g c
Þ Þ BC = NQ
Xét tam giác vng ABQ có ACBQÞ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ)
Þ AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)
Þ 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 1)R
Bài 5:
Từ : x y z x y z
1
1
0
1 1
z y x z y x
0
z y x z
z z y x xy
y x
2
1
0
0
( )
( )
z y
xy z x y z
zx zy z xy
x y
xyz x y z
x y y z z x
(14)Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=
y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8)
z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)
Vậy M =
3
+ (x + y) (y + z) (z + x) =
3
Đề 7
Bài 1: 1) Cho đường thẳng d xác định y = 2x + Đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d
qua đường thẳng y = x là: A.y =
1
x + ; B.y = x - ; C.y =
1
x - ; D.y = - 2x - Hãy chọn câu trả lời
2) Một hình trụ có chiều cao gấp đơi đường kính đáy đựng đầy nước, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nước bình cịn lại
2
bình Tỉ số bán kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B.3 ; C 3; D kết khác
Bài 2 1) Giải phương trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 0
2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn A = x + y Bài 3 1) Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức : (x + a)(x - 4) -
Phân tích thành thừa số : (x + b).(x + c)
2) Cho tam giác nhọn xAy , B, C điểm cố định tia Ax, Ay cho AB < AC, điểm M di động góc xAy cho MB
MA
=
1
Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ
Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB CD vng góc với nhau, lấy điểm I đoan CD
a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I trung điểm MN b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định
HƯỚNG DẪN
Bài 1: 1) Chọn C Trả lời
2) Chọn D Kết khác: Đáp số là: Bài 2 : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)
= (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)
= (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2
Vậy A chia hết cho số phương khác với số nguyên dương n 2) Do A > nên A lớn nhất A2 lớn nhất.
Xét A2 = ( x+ y)2 = x + y + 2 xy = + 2 xy (1)
Ta có:
y x
xy
(15)M D
C B
A
x
K O
N
M
I
D C
B A
1 xy
Þ (2)
Từ (1) (2) suy ra: A2 = + 2 xy < + = 2
2
max
2 A x y
,
1
max
2 A x y Bài3
1) Với x ta có (x + a)(x - 4) - = (x + b)(x + c) Nên với x = - = (4 + b)(4 + c)
Có trường hợp:
4
4
b c
và
4
4
b c
Trường hợp thứ cho b = - 3, c = - 11, a = - 10 Ta có (x - 10)(x - 4) - = (x - 3)(x - 11) Trường hợp thứ hai cho b = 3, c = - 5, a =
Ta có (x + 2)(x - 4) - = (x + 3)(x - 5) 2)
Gọi D điểm cạnh AB cho: AD =
1
AB Ta có D điểm cố định Mà AB
MA
=
1
(gt) MA
AD
=
1
Xét tam giác AMB tam giác ADM có MAB (chung)
AB
MA
= MA
AD
=
1
Do
MB MA
ABM ADM
MD AD
Þ
Þ MD = 2MD Xét ba điểm M, D, C : MD MC DC (không đổi)
Do MB2MC2(MD MC ) 2 DC Dấu "=" xảy M thuộc đoạn thẳng DC
Giá trị nhỏ MB + MC DC * Cách dựng điểm M
- Dựng đường trịn tâm A bán kính
1
AB - Dựng D tia Ax cho AD =
1
AB
M giao điểm DC đường tròn (A;
1
AB) Bài 4:a) Dựng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC N
Do MAN 90 nên MN đường kính
Vậy I trung điểm MN b) Kẻ MK // AC ta có : INCIMK(g.c.g)
Þ CN = MK = MD (vì MKD vng cân)
Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA
Þ AM = AN = AD + AC không đổi
(16)Vậy đường tròn ngoại tiếp AMN qua hai điểm A, B cố định.
Đề 8 Bài 1. Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :
2 2 1 2 1 2 1 0 x y y z z x
Tính giá trị biểu thức :A x 2009y2009z2009
Bài 2). Cho biểu thức :M x2 5x y 2xy 4y2014
Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ Bài 3. Giải hệ phương trình :
2 18
1 72
x y x y
x x y y
Bài 4 Cho đường tròn tâm O đường kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M bbất kỳ đường tròn (O) cắt tiếp tuyến A B C D
a.Chứng minh : AC BD = R2.
b.Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD nhỏ Bài 5.Cho a, b số thực dương Chứng minh :
2 2
2 a b
a b a b b a
Bài 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB AC - BD DC. HƯỚNG DẪN
Bài 1. Từ giả thiết ta có :
2 2
2 2
x y
y z
z x
Cộng vế đẳng thức ta có :
2 2 1 2 1 2 1 0 x x y y z z
x 12 y 12 z 12
Þ
1 1 x y z
Þ x y z 1
2009 2009 2009
2009 2009 2009 1 1 1 3
A x y z
Þ
(17) 4 4 2 1 2 2 2007
M x x y y xy x y
22 12 2 1 2007
M x y x y
2
2
1
2 1 2007
2
M x y y
Þ
Do
2
1
y
2
2
2
x y
x y,
2007
M
Þ Þ Mmin 2007 x2;y1
Bài 3. Đặt :
1 u x x v y y
Ta có :
18 72 u v uv
Þ u ; v nghiệm phương trình :
1
18 72 12;
X X Þ X X
Þ
12 u v
;
6 12 u v
Þ
1 12 x x
y y
;
1 12 x x
y y
Giải hai hệ ta : Nghiệm hệ :
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) hoán vị
Bài 4 a.Ta có CA = CM; DB = DM Các tia OC OD phân giác hai góc AOM MOB nên OC OD
Tam giác COD vuông đỉnh O, OM đường cao thuộc cạnh huyền CD nên : MO2 = CM MD
Þ R2 = AC BD
b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp
;
MCO MAO MDO MBO
Þ
COD AMB g g
Þ
Do :
Chu vi COD OM Chu vi AMB MH
(MH
1 AB)
Do MH1 OM nên
1 OM
MH Þ Chu vi COD chu vi AMB
Dấu = xảy MH1 = OM MO Þ M điểm cung AB
Bài 5 Ta có :
2
1
0;
2
a b
a , b >
O H
D
C
M
(18)1
0;
4
a a b b
Þ
1
( ) ( )
4
a a b b
Þ
a , b > 0
0
a b a b
Þ
Mặt khác a b 2 ab0
Nhân vế ta có :
1 2
a b a b ab a b
2 2
a b
a b a b b a
Þ
Bài 6. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp ABC
Gọi E giao điểm AD (O) Ta có:ABDCED (g.g)
BD AD
AB ED BD CD
ED CD
Þ Þ
2
AD AE AD BD CD AD AD AE BD CD
Þ
Þ
Lại có : ABDAEC g g
2
AB AD
AB AC AE AD AE AC
AD AB AC BD CD
Þ Þ
Þ
Đề 9 Câu 1: Cho hàm số f(x) = x2 4x4
a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A =
) (
x
x f
x 2
Câu 2: Giải hệ phương trình
) )( ( ) )( (
) )( ( ) (
y x y
x
y x y
x
Câu 3: Cho biểu thứcA =
1 :
1 1
1
x x x
x x x
x x
với x > x a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị x để A =
Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đường trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đường vng góc hạ từ A đến đường kính BC
D E
C B
(19)a) Chứng minh PC cắt AH trung điểm E AH b) Giả sử PO = d Tính AH theo R d
Câu 5: Cho phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0
Khơng giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:
3x1 - 4x2 = 11
HƯỚNG DẪN
Câu 1a) f(x) = x2 4x4 (x 2)2 x Suy f(-1) = 3; f(5) =
b)
12 10 10 10 ) ( x x x x x f
c) ( 2)( 2)
2 ) ( x x x x x f A
Với x > suy x - > suy
1
x A
Với x < suy x - < suy
1 x A Câu 2
( 2) ( 2)( 4) 2
( 3)(2 7) (2 7)( 3) 21 21
x y x y xy x xy y x x y
x y x y xy y x xy y x x y
x -2 y
Câu a) Ta có: A =
: 1 1 x x x x x x x x = 1 ) ( : 1 ) )( ( ) )( ( x x x x x x x x x x x x = : 1 1 x x x x x x x x x = : 1 x x x x x x
=
: x x x x
= x
x x x 1
= x
x
b)
2
3 3
9 x
A x x x
x
Þ Þ Þ
(20)Câu 4
Do HA // PB (Cùng vng góc với BC)
a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có CB
CH PB EH
; (1)
Mặt khác, PO // AC (cùng vng góc với AB)
POB ACB
Þ (hai góc đồng vị)
AHC POB
Þ
Do đó: OB CH PB AH
(2)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trung điểm AH b) Xét tam giác vng BAC, đường cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) AH = 2EH ta có
)
2 (
2PB AH.CB 2PB
AH.CB AH2 R
AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB
2 2 2
2
2 2
2
2
d R d 2.R 4R
) R 4(d
R d 8R
(2R) 4PB
4R.2R.PB CB
4.PB 4R.CB.PB AH
Câu Để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 >
(2m - 1)2 - (m - 1) > 0
Từ suy m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:
11 4x 3x
2 m x x
2 2m x
x
2
2
2
11 8m -26
7 7m
4m -13
8m -26
7 7m x
7 4m -13 x
1
O
B C
H E
(21)Giải phương trình 26-8m 11 7m
4m -13
3
ta m = - m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11
Đề 10 Câu 1: Cho P =
2 x x x
+
1 x
x x
-
1 x x
a/ Rút gọn P
b/ Chứng minh: P <
1
3 với x x 1.
Câu 2: Cho phương trình : x2 – 2(m - 1)x + m2 – = (1); m tham số.
a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm
Câu 3: a/ Giải phương trình :
1
x +
2 x = 2
b/ Cho a, b, c số thực thỏa mãn :
0
2
2 11
a b
a b c
a b c
Tìm giá trị lớn giá trị bé Q = a + b + 2006 c
Câu 4: Cho ABC cân A với AB > BC Điểm D di động cạnh AB, ( D không trùng với A, B)
Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyến (O) C D cắt K
a/ Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp b/ Tứ giác ABCK hình gì? Vì sao?
c/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK hình bình hành
HƯỚNG DẪN
Câu 1:Điều kiện: x x 1
P =
2 x x x
+
1 x
x x
-
1
( 1)( 1)
x
x x
=
2 ( )
x x
+
1 x
x x
-
(22)=
2 ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x x x x
x x x
= ( 1)( 1)
x x
x x x
=
x x x
b/ Với x x 1 Ta có: P <
3
x
x x < 3 x < x + x + ; ( x + x + > )
x - 2 x + > 0
( x - 1)2 > ( Đúng x x 1)
Câu 2:a/ Phương trình (1) có nghiệm ’ 0. (m - 1)2 – m2 – 0
– 2m 0
m 2.
b/ Với m (1) có nghiệm.
Gọi nghiệm (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta có:
3 2
.3
a a m
a a m
Þ a=
1 m
Þ 3( m
)2 = m2 – 3
m2 + 6m – 15 = 0
m = –32 6 ( thỏa mãn điều kiện).
Câu 3:
Điều kiện x ; – x2 > x ; x < 2.
Đặt y = 2 x2 >
Ta có:
2 2 (1) 1
2 (2) x y
x y
Từ (2) có : x + y = 2xy Thay vào (1) có : xy = xy =
-1
* Nếu xy = x+ y = Khi x, y nghiệm phương trình: x2 – 2x + = x = Þ x = y = 1.
* Nếu xy =
-1
2 x+ y = -1 Khi x, y nghiệm phương trình:
x2 + x -
1
2 = x =
1
2
Vì y > nên: y =
1
2
Þ x =
1
2
O
K
D
B
(23)Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 =
1
2
Câu 4: c/ Theo câu b, tứ giác ABCK hình thang Do đó, tứ giác ABCK hình bình hành AB // CK
BACACK
Mà
2 ACK
sđEC =
1
2sđBD = DCB
Nên BCD BAC
Dựng tia Cy cho BCy BAC Khi đó, D giao điểm AB Cy Với giả thiết AB > BC BCA > BAC > BDC
ị D ẻ AB
Vy im D xác định điểm cần tìm
Đề 11
Câu 1: a) Xác định x ỴR để biểu thức :A = x x x
x
1 1
2
Là số tự nhiên
b Cho biểu thức: P = 2
2
2
zx z
z y
yz y x
xy x
Biết x.y.z = , tính P
Câu 2:Cho điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)
a Chứng minh điểm A, B ,D thẳng hàng; điểm A, B, C khơng thẳng hàng b Tính diện tích tam giác ABC
Câu3 Giải phương trình: x 1 2 x 5
Câu 4 Cho đường tròn (O;R) điểm A cho OA = R Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Một góc xOy45 cắt đoạn thẳng AB AC D E
Chứng minh rằng:
a.DE tiếp tuyến đường tròn ( O ) b.3RDER
2
HƯỚNG DẪN
Câu 1: a
A =
x x
x x x
x x
x x
x x
x
x ( )
) ).(
1 (
1
1 2
2
2
A số tự nhiên -2x số tự nhiên x = 2 k
(24)b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = ta x, y, z > xyz 2
Nhân tử mẫu hạng tử thứ với x; thay mẫu hạng tử thứ xyz ta được:
P =
1 2
( 2
2
xy x
xy x xy x
z
z x
xy xy x
xy x
Þ P 1 P > 0
Câu 2: a.Đường thẳng qua điểm A B có dạng y = ax + b Điểm A(-2;0) B(0;4) thuộc đường thẳng AB nên Þ b = 4; a = 2
Vậy đường thẳng AB y = 2x +
Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + nên C khơng thuộc đường thẳng AB Þ A, B, C
không thẳng hàng
Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + nên điểm D thuộc đường thẳng AB Þ A,B,D thẳng hàn
b.Ta có :
AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20
AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10
BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10
Þ AB2 = AC2 + BC2 Þ ABC vng C
Vậy SABC = 1/2AC.BC =
5 10 10
( đơn vị diện tích )
Câu 3: Đkxđ x1, đặt x 1u; 2 x v ta có hệ phương trình:
1 v u
v u
Giải hệ phương trình phương pháp ta được: v =
Þ x = 10. Câu 4
a.Áp dụng định lí Pitago tính AB = AC = R Þ ABOC hình
vng Kẻ bán kính OM cho BOD = MODÞ
MOE = EOC (0.5đ) Chứng minh BOD = MOD
Þ OMD = OBD = 900
Tương tự: OME = 900
Þ D, M, E thẳng hàng Do DE tiếp tuyến đường trịn (O).
b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC
Þ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2RÞ DE < R
Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC Cộng vế ta được: 3DE > 2R Þ DE > 3
2
R Vậy R > DE >
2
R
Đề 12 CÂU : Tính giá trị biểu thức:
B
M A
O
C D
(25)A =
1
+
1
+
1
+ + 97 99 B = 35 + 335 + 3335 + + 99 ˆ3
3333 35 so CÂU :Phân tích thành nhân tử :
a)x2 -7x -18
b)(x+1) (x+2)(x+3)(x+4) c)1+ a5 + a10
CÂU :
a)Chứng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2)
b)áp dụng : cho x+4y = Tìm GTNN biểu thức : M= 4x2 + 4y2
CÂU : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đường thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P Q
a)Chứng minh DM.AI= MP.IB b)Tính tỉ số : MQ
MP CÂU 5:
Cho P = x
x x
3
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức
HƯỚNG DẪN
CÂU : a) A =
1
+
1
+
1
+ + 97 99
=
1
( 5 3+ 5+ 9 7+ + 99 97) =
1
( 99 3) b) B = 35 + 335 + 3335 + + 99 ˆ3
3333 35 so
= =33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33)
= 198 +
1
( 99+999+9999+ +999 99) 198 +
1
( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 +
B =
27 10 10101
+165
CÂU 2: a)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1đ)
b)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3 = (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3
(26)= [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]
= (x2+5x +3)(x2+5x +7)
c) a10+a5+1=
= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1- (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )
= a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1)-a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)
=(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1)
CÂU 3: a) Ta có : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=>
a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=>
a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=>
(ad - bc)2 (đpcm )
Dấu = xảy ad=bc
b) áp dụng đẳng thức ta có : 52 = (x+4y)2 = (x + 4y) (x2 + y2)(116) Þ
x2 + y2 17
25
Þ 4x2 + 4y2 17
100
dấu = xảy
5 20
;
17 17
x y CÂU 4 :
Ta có : DMP AMQAIC Mặt khác góc ADB BCA Þ MPDICAÞ
DM MP
DM IA MP CI
CI IA Þ hay DM.IA=MP.IB (1).
Ta có:ADC CBA
180 180
DMQ AMQ AIM BIA
Do DMQ BIA Þ
DM MQ
BI IA Þ DM.IA=MQ.IB (2)
Từ (1) (2) ta suy MQ
MP
=
CÂU 5
Để P xác định : x2-4x+3 1-x >0
Từ 1-x > => x <
Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nên ta có :
(x-1) < (x-3) < từ suy tích (x-1)(x-3) > Vậy với x < biểu thức có nghĩa
Với x < Ta có :
P = x
x x
3
=
x x
x x
3
) )( (
Đề 13
Câu 1 : a Rút gọn biểu thức 12
1
1
a a A
(27)b Tính giá trị tổng 2 2 1002
1 99
1
1
1
1
1
1
B
Câu 2 : Cho pt x2 mxm10
a Chứng minh pt ln ln có nghiệm với m.
b Gọi x1,x2 hai nghiệm pt Tìm GTLN, GTNN bt
1
2
2 2
2
x x x
x
x x P
Câu : Cho x1, y1 Chứng minh.
xy y
x
2
1
1
2
Câu Cho đường tròn tâm O dây AB M điểm chuyển động đường tròn, từM kẻ MH AB
(H Ỵ AB) Gọi E F hình chiếu vng góc H MA MB Qua M kẻ đường
thẳng vng góc với è cắt dây AB D
1 Chứng minh đường thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đường tròn Chứng minh
BH AD BD AH MB
MA
2
HƯỚNG DẪN
Câu 1 a Bình phương vế 1
1
Þ
a a
a a A
(Vì a > 0)
c Áp dụng câu a
100
9999 100
1 100
1 1
Þ
B
a a A
Câu a : cm 0 m
B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:
1
1
m x x
m x x
1
2
Þ
m m P
(28)1
2
1
1
Þ
Þ
m GTNN
m GTLN
P
Câu : Chuyển vế quy đồng ta
bđt
1 1
1
1 2
xy y
y x y xy
x x y x
2 10
x y xy xy1
Câu 4: a
- Kẻ thêm đường phụ
- Chứng minh MD đường kính (o) =>
b
Gọi E', F' hình chiếu D MA MB Đặt HE = H1
HF = H2
1
2
2
MB h HF
MA h HE BH
AD BD AH
Þ
HEF
∞ DF'E'
Þ HF.h2 HE.h
Thay vào (1) ta có: BH
AD BD AH MB
MA
2
Đề 14
Câu 1: Cho biểu thức D =
ab b a ab
b a
1
1 :
ab ab b a
1
a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a =
2
c) Tìm giá trị lớn D Câu 2: Cho phương trình
2
x2- mx + 2
2
m2 + 4m - = (1)
a) Giải phương trình (1) với m = -1
M
o E'
E A
F F'
B I
(29)b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoã mãn 2
1
x x x
x
Câu 3: Cho tam giác ABC đường phân giác AI, biết AB = c, AC = b, Aˆ a(a 900)Chứng minh
rằng AI = b c
Cos bc
2 a
(Cho Sin2a 2SinaCosa )
Câu 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB điểm N di động nửa đường tròn cho
B N A
N Vễ vào đường tròn hình vng ANMP.
a) Chứng minh đường thẳng NP qua điểm cố định Q
b) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp c) Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định
Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = x + y + z = -1 Hãy tính giá trị của:
B = x
xyz y zx z xy
HƯỚNG DẪN
Câu 1: a) - Điều kiện xác định D
1 0 ab b a
- Rút gọn D D =
ab a b a
1 2
:
ab ab b a
1
D =
2 a
a
b) a =
1 )
1 (
3 (
2
Þ
a
Vậy D =
3
2 3
2 2
c) Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
1
2 a a Þ D
(30)c b a I C B A a a
Câu 2: a) m = -1 phương trình (1) 2
9
1 2
x x x x
Þ 10 10 x x
b) Để phương trình có nghiệm
1
2
0
m m
(*)
+ Để phương trình có nghiệm khác Þ 4 2 m m m m (*) + 0 ) )( ( 1 2 2 2
1 x x
x x x x x x x x x x 19 19 0 2 m m m m m m
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta m = m4 19 Câu 3:
+ 2;
1 a
cSin AI SABI
+ 2;
1 a
bSin AI SAIC
+ ;
1
a bcSin SABC
AIC ABI
ABC S S S
c b bcCos c b Sin bcSin AI c b AISin bcSin Þ Þ 2 ) ( ) ( a a a a a
Câu 4: a) Nˆ1 Nˆ2Gọi Q = NP (O) QA QB
Þ Suy Q cố định
b) Aˆ1 Mˆ1(Aˆ2)
Þ Tứ giác ABMI nội tiếp
c) Trên tia đối QB lấy điểm F cho QF = QB, F cố định Tam giác ABF có: AQ = QB = QF
Þ ABF vng A Þ Bˆ 450 Þ AFˆB450
30
(31)Lại có Þ Þ
1 45 ˆ
ˆ AFB P
P Tứ giác APQF nội tiếp
Þ APˆF AQˆF 900
Ta có: APˆFAPˆM 900 900 1800 Þ M1,P,F Thẳng hàng
Câu 5: Biến đổi B = xyz
2 2
2
1 1
z y
x =
2