50 bài toán hình học ôn thi vào lớp 10

Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d.. 4..[r]

TĨM TẮT LÝ THUYẾT HÌNH 1. Hệ thức tam giác vuông

Một tam giác ABC vuông A, đường cao AH (hình 1) Ta có:



AB BH BCvà

AC CH BC



AH HB HC

 AH BC  AB AC

 2 12 2

AH  AB  AC

 sinB AC; cosB AB; tanB AC; cotB AB

BC BC AB AC

   

  góc nhọn 2 sin cos  1

  , hai góc nhọn và 90othìsin cos ; tan  cot 2. Đường trịn

 Đường kính dây cung: (hình 2)

- Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính

- Trong đường trịn đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây

- Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây

 Tiếp tuyến đường trịn (hình 3) - AB, AC tiếp tuyến đường tròn

(O) B C  

AB AC

AO phân giác BAC OA phân giác BOC

     

50 BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO 10 CĨ ĐÁP ÁN

 Vị trí tương đối hai đường trịn (hình 4) - Hai đường tròn (O; R) (O’; r) với Rr

Cắt nhauR r OO'R r Tiếp xúc ngoàiOO'R r Tiếp xúc trongOO'R r

3. Các loại góc liên quan đến đường trịn Tên góc Định nghĩa Hình vẽ

Cơng thức tính số đo

Góc tâm

Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm

 

sđ AOBsđ AmB

Góc nội tiếp

Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai chứa hai dây cung đường trịn

 

2

BAC BC sđ  sđ m

B A

O

C B

A

O

Tiếp xúc trong Tiếp xúc ngoài

Cắt nhau

O'

O O O'

O' O

Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

 

2

BAx AB sđ  sđ

Góc có đỉnh bên đường tròn

  

2

sđ BnC sđ AmD sđ BEC 

Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn

  

2

sđ BC sđ AD sđ BEC 

4. Cơng thức tính đường trịn

Hình vẽ Cơng thức tính

Độ dài đường trịn C 2R hay Cd

Độ dài cung tròn 180

Rn l

A

O x

B

E D

C n

m

B

A

O

E

O C

B D

A

R d O

no l

B A

Diện tích hình trịn S R2

Diện tích hình quạt

2

360 quat

R n S  hay

2 quat

lR S 

5. Chứng minh tứ giác nội tiếp

 Tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp)

 Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o

thì tứ giác nội tiếp đường trịn

 Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc nội tiếp đường trịn

 Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) nội tiếp đường trịn Điểm gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

 Chứng minh phương pháp phản chứng

50 BÀI TẬP CHỌN LỌC

Câu 1 Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN

1 Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp Tính tíchAH AK theo R

3 Xác định vị trị điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn đó?

Câu 2 Cho đường trịn( ; )O R tiếp xúc với đường thẳng dtạiA.Trêndlấy điểmHkhông trùng với điểmAvàAH R QuaHkẻ đường thẳng vng góc vớid,đường thẳng cắt đường tròn hai điểmEvàB (Enằm giữaBvàH)

1 Chứng minhABEEAH ABH# EAH

2 Lấy điểmCtrêndsao choHlà trung điểm đoạn thẳngAC,đường thẳngCEcắtABtại

K Chứng minhAHEKlà tứ giác nội tiếp Xác định vị trí điểmHđểABR

Câu 3 Cho đường trịn( )O có đường kínhAB2Rvà E điểm đường trịn (EkhácAvàB) Đường phân giác gócAEBcắt đoạn thẳngABtạiF cắt đường tròn( )O điểm thứ hai làK

1 Chứng minhKAF# KEA

2 GọiIlà giao điểm đường trung trực đoạnEFvớiOE, chứng minh đường trịn ( )I bán kínhIEtiếp xúc với đường trịn( )O tạiEvà tiếp xúc với đường thẳngABtạiF Chứng minhMN/ /AB,trong đóMvàN giao điểm thứ hai củaAE BE, với

đường trịn( ).I

4 Tính giá trị nhỏ chu vi tam giácKPQtheoRkhiEchuyển động đường tròn ( ),O vớiPlà giao điểm củaNFvàAK Q; giao điểm củaMFvàBK

Câu 4 Cho( ; )O R điểmAnằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyếnAB AC, với đường tròn( , CB tiếp điểm)

1 Chứng minhABOClà tứ giác nội tiếp

2 Gọi E giao điểm củaBCvàOA Chứng minhBEvng góc vớiOAvà

OE OAR Trên cung nhỏ BC (O; R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K

4 Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh PMQNMN

Câu 5 Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt BE điểm F

1 Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp Chứng minh DA DE DB DC

3 Chứng minhCFDOCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE C hứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O)

4 Cho biết DF = R, chứng minhtanAFB2

Câu 6 Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Gọi d1vàd2là hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường trịn (O) (E khơng trùng với A B) Đường thẳng dđi qua E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1và d2lần lượt M, N

1 Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp Chứng minhENIEBIvà 90o

MIN Chứng minhAM BN AI BI

4 Gọi F điểm cung AB khơng chứa E đường trịn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng

Câu Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB

1 Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp Chứng minhACM  ACK

3 Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C

4 Gọi dlà tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm dsao cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB AP MB R

MA  Chứng

minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK

Câu 8 Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) Một đường thẳng dđi qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, dkhông qua tâm O)

1 Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp Chứng minh

3 Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai T Chứng minh: MT // AC

4 Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định dthay đổi thỏa mãn điều kiện đầu

Câu 9 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường trịn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O;R) B cắt đường thẳng AM, AN điểm Q, P

1 Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật

2 Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn

3 Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF

4 Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ

Câu 10 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt nửa đường trịn K Gọi M điểm nằm cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N

1 Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp Chứng minhCA CB CH CD

3 Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N đường tròn qua trung điểm DH

4 Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định

Câu 11 Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB với đường trịn (O) (B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C, I khác O) Đường thẳng IA cắt (O) hai điểm D E (D nằm A E) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE

1 Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn Chứng minh AB BD

AE  BE

3 Đường thẳng dđi qua điểm E song song với AO,dcắt BC điểm K Chứng minh: / /

HK DC

Câu 12 Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M, N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K

1 Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn Chứng minh

NM

NB NK

3 Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi

4 Gọi P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường trịn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng

Câu 13 Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không qua tâm Lấy S điểm tia đối tia AB (S khác A) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) cho điểm C nằm cung nhỏ AB (C, D là tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB

1 Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường trịn đường kính SO Khi SO = 2R, tính độ dài đoạn thẳng SD theo R tính số đo CSD

3 Đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD điểm K Chứng minh tứ giác ADHK tứ giác nội tiếp đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳng SC

4 Gọi E trung điểm đoạn thẳng BD F hình chiếu vng góc điểm E đường thẳng AD Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tia AB điểm F ln thuộc đường trịn cố định

Câu 14.Cho đường trịn O ,đường kínhAB.Vẽ tiếp tuyếnAx By, đường tròn M

là điểm đường tròn(M khácA B, ).Tiếp tuyến tạiMcủa đường tròn cắtAx By, tạiP Q,

1 Chứng minh rằng: Tứ giácAPMO nội tiếp Chứng minh rằng:APBQPQ

3 Chứng minh rằng:

AP BQAO

4 Khi điểmMdi động đường trịn O ,tìm vị trí điểmMsao cho diện tích tứ giácAPQBnhỏ

Câu 15. Cho đường tròn  O điểmAnằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyếnAM AN, với đường tròn O M N,  O  QuaAvẽ đường thẳng cắt đường tròn  O hai điểmB C, phân biệt (Bnằm giữaA C, ) Gọi Hlà trung điểm đoạn thẳngBC

1 Chứng minh tứ giácANHM nội tiếp đường tròn Chứng minh

3 Đường thẳng quaBsong song vớiANcắt đoạn thẳngMNtạiE Chứng minhEH/ /NC Câu 16. Cho đường trịn tâmObán kínhRvà điểmAsao choOA3 R QuaAkẻ tiếp tuyếnAPvàAQvới đường tròn( ; )O R ( ,P Q tiếp điểm) LấyMthuộc đường tròn( ; )O R choPMsong song vớiAQ GọiN giao điểm thứ hai đường thẳngAMvới đường trònO R; .TiaPNcắt đường thẳngAQtạiK

1 Chứng minh tứ giácAPOQlà tứ giác nội tiếp KA KN KP

2 Kẻ đường kínhQScủa đường trònO R; .Chứng minhNSlà tia phân giác củaPNM GọiGlà giao điểm đường thẳngAOvàPK.Tính đội dài đoạn thẳngAGtheo bán

kínhR

Câu 17.Cho tam giácABCnhọnAB ACnội tiếp đường tròn( ),O hai đường caoBE CF, cắt tạiH Tia AOcắt đường tròn O tạiD

1 Chứng minh tứ giácBCEFnội tiếp đường tròn; Chứng minh tứ giácBHCDlà hình bình hành;

3 Gọi Mlà trung điểm củaBC, tiaAMcắtHOtạiG Chứng minhGlà trọng tâm tam giácBAC

Câu 18. Cho đường trịnO R; có đường kínhABcố định Trên tia đối tiaABlấy điểm

Csao choACR QuaCkẻ đường thẳngdvng góc vớiCA.Lấy điểmMbất kì trên O

khơng trùng vớiA B, TiaBMcắt đường thẳngdtạiP.TiaCMcắt đường tròn O điểm thứ hai làN,tiaPAcắt đường tròn O điểm thứ hai làQ

1 Chứng minh tứ giácACPM tứ giác nội tiếp; TínhBM BP theoR

3 Chứng minh hai đường thẳngPCvàNQsong song;

4 Chứng minh trọng tâmGcủa tam giácCMBln nằm đường trịn cố định

Mthay đổi trên O

Câu 19. ChoABCcó ba góc nội tiếp đường trịn( ),O bán kínhR Hạ đường caoAH BK, tam giác Các tiaAH BK, cắt O điểm thứ hai làD E,

1 Chứng minh tứ giácABHKnội tiếp đường tròn Xác định tâm đường trịn Chứng minh.HK/ /DE

Câu 20. Cho xAy90 ,o vẽ đường trịn tâmAbán kínhR Đường trịn cắtAx Ay, thứ tự tạiBvàD Các tiếp tuyến với đường tròn A kẻ từBvàDcắt tạiC

1 Tứ giácABCDlà hình gì? Chứng minh?

2 TrênBClấy điểmMtùy ý (MkhácBvàC) kẻ tiếp tuyếnMHvới đường tròn A ,(H tiếp điểm).MHcắt CDtạiN Chứng minh rằng

45

MAN 

3 P Q; thứ tự giao điểm củaAM AN; vớiBD Chứng minh rằngMQ NP; đường cao củaAMN

Câu 21. Cho ABC AB ACcó góc nhọn nội tiếp đường tròn O R; .Vẽ đường cao AHcủa ABC, đường kínhADcủa đường trịn GọiE F, chân đường vng góc kẻ từ Cvà Bxuống đường thẳngAD M trung điểm củaBC

1 Chứng minh tứ giácABHFvàBMFOnội tiếp Chứng minh HE/ /BD

3 Chứng minh

4 ABC

AB AC BC S

R

 (SABClà diện tích ABC)

Câu 22. ChoABCnhọn ABACba đường caoAP BM CN, , củaABCcắt tạiH Chứng minh tứ giácBCMN nội tiếp

2 Chứng minh ANM ∽ACB

3 Kẻ tiếp tuyếnBDvới đường trịn đường kínhAH(Dlà tiếp điểm) kẻ tiếp tuyếnBEvới đường trịn đường kính CH(E tiếp điểm) Chứng minhBDBE

4 Giả sử AB = 4cm; AC = 5cm; BC = 6cm TínhMN

Câu 23. Cho nửa đường trịn O đường kínhAB2R Điểm Mdi chuyển nửa đường tròn (M khácAvàB) Clà trung điểm dây cungAM Đường thẳng dlà tiếp tuyến với nửa đường tròn B TiaAMcắt dtại điểmN Đường thẳngOCcắtdtạiE

1 Chứng minh: tứ giácOCNBnội tiếp Chứng minh:AC AN AO AB Chứng minh:NOvng góc vớiAE

4 Tìm vị trí điểmMsao cho 2.AM ANnhỏ

Câu 24. Cho đường trịn tâmObán kínhRvà đường thẳng d khơng qua O, cắt đường tròn  O điểmA B, Lấy điểm M tia đốiBA, qua Mkẻ hai tiếp tuyến

,

MC MDvới đường tròn (C D, tiếp điểm) Chứng minh tứ giácMCODnội tiếp đường tròn

3 Đường thẳng quaOvà vng góc vớiMOcắt tiaMC MD, theo thứ tự tạiP Q, Tìm vị trí điểmMtrên d cho diện tíchMPQnhỏ

Câu 25. ChoABCcó ba góc nhọn, hai đường caoBDvàCE cắt tạiH(Dthuộc ;

AC EthuộcAB)

1 Chứng minh tứ giácADHEnội tiếp đường tròn;

2 Gọi M I, trung điểm củaAHvà BC Chứng minhMIvng góc với ED Câu 26. ChoABCcó ba góc nhọnABACnội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường caoAH GọiM N, hình chiếu vng góc củaHtrênABvàAC.KẻNEvng góc với AH Đường vng góc vớiACtạiCcắt đường trịn I cắt tiaAHtạiD TiaAHcắt đường tròn tạiF

1 Chứng minh ABCACBBICvà tứ giácDENCnội tiếp đường tròn Chứng minh hệ thứcAM AB  AN AC tứ giác BFIC hình thang cân

3 Chứng minh: tứ giácBMEDnội tiếp đường tròn

Câu 27. Cho nửa đường tròn O đường kínhAB GọiClà điểm cố định thuộc đoạn thẳng

OB (CkhácOvàB) Dựng đường thẳng d vng góc vớiABtại điểm C, cắt nửa đường tròn  O điểmM.Trên cung nhỏMBlấy điểmN bất kỳ(NkhácMvàB), tiaANcắt đường thẳng d điểm F,tiaBNcắt đường thẳngdtại điểmE.Đường thẳngAEcắt nửa đường tròn  O điểm D(DkhácA)

1 Chứng minh:AD AE  AC AB

2 Chứng minh: Ba điểmB F D, , thẳng hàng vàF tâm đường tròn nội tiếpCDN

3 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp AEF.Chứng minh điểm Iluôn nằm đường thẳng cố định điểmNdi chuyển cung nhỏMB

Câu 28. Cho ABCnhọnABACnội tiếp( ),O vẽ đường kínhAD.Đường thẳng quaB

vng góc vớiADtạiEvà cắtACtạiF GọiHlà hình chiếu củaBtrênACvàMlà trung điểm BC

1 Chứng minhCDEFlà tứ giác nội tiếp Chứng minhMHC BAD90 o

3 Chứng minhHC BC

HF   HE

Câu 29. ChoABCnhọn Đường trịn tâmOđường kínhBCcắt cạnhAB AC, điểmM N M,  B N, C GọiHlà giao điểm củaBNvàCM P; giao điểm củaAH

2 Chứng minhBM BA BP BC

3 Trong trường hợp đặc biệt khiABCđều cạnh bằng2a Tính chu vi đường trịn ngoại tiếp tứ giácAMHNtheo a

4 Từ điểmAkẻ tiếp tuyếnAEvàAFcủa đường tròn tâmOđường kínhBC(E F, tiếp điểm) Chứng minh ba điểmE H F, , thẳng hàng

Câu 30. ChoABCđều có đường caoAH Trên cạnhBClấy điểmMtùy ý(M khơng trùng với B C H, , ).GọiP Q, hình chiếu vng góc củaMlênAB AC,

1 Chứng minh tứ giácAPMQnội tiếp đường tròn xác định tâmOcủa đường tròn

2 Chứng minhOH PQ

3 Chứng minhMPMQ AH

Câu 31.ChoABCcó ba góc nhọn nội tiếp đường trịn  O có bán kínhR3cm Các tiếp tuyến với O tạiBvàCcắt tạiD

1 Chứng minh tứ giácOBDCnội tiếp đường tròn;

2 GọiMlà giao điểm củaBCvàOD BiếtOD5(cm) Tính diện tíchBCD

3 Kẻ đường thẳngdđi quaDvà song song với đường tiếp tuyến với  O A d, cắt đường thẳngAB AC, tạiP Q, Chứng minhAB AP  AQ AC

4 Chứng minhPADMAC

Câu 32. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R Điểm C cố định nửa đường tròn Điểm M thuộc cung AC(M A; C) HạMH ABtại H Nối MB cắt CA E Hạ

EI AB I Gọi K giao điểm AC MH Chứng minh: BHKC AMEI tứ giác nội tiếp

2

AK AC AM

3 AE AC BE BM không phụ thuộc vào vị trí điểm M

4 Khi M chuyển động cung AC đường trịn ngoại tiếp tam giác IMC qua hai điểm cố định

Câu 33 Cho đường tròn(O; R)và điểm A cố định ngồi đường trịn Vẽ đường thẳng

dOAtại A Trên dlấy điểm M Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF tới đường tròn (O) Nối EF cắt OM H, cắt OA B

1 Chứng minh ABHM tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh

OA OBOH OM R

3 Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc đường tròn cố định M di chuyển d

Câu 34 Cho (O; R) điểm A thuộc đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên

Ax lấy điểm H cho AH < R Dựng đường thẳng d Ax H Đường thẳng dcắt đường tròn E B (E nằm H B)

1 Chứng minh ABH # EAH

2 Lấy điểm C thuộcAxsao cho H trung điểm AC Nối CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp

3 Tìm vị trí H trênAxsao choABR

Câu 35. ChoABCvuông A Trên cạnhAClấy điểmM, dựng đường trịn tâm O có đường kínhMC.Đường thẳngBMcắt đường trịn tâm O tạiD, đường thẳngADcắt đường tròn tâm O tạiS

1 Chứng minh tứ giácABCDlà tứ giác nội tiếp vàCAlà tia phân giác gócBCS Gọi E giao điểm củaBCvới đường tròn O Chứng minh đường thẳng

, ,

BA EM CDđồng quy

3 Chứng minhMlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácADE

Câu 36 Cho đường trịnO R; , đường kínhAB.ĐiểmHthuộc đoạn OA Kẻ dây CD vng góc vớiABtạiH.Vẽ đường trịn O1 đường kínhAHvà đường trịn O2 đường kính BH Nối AC cắt đường tròn O1 N NốiBCcắt đường tròn O2 M.Đường thẳngMNcắt đường trịnO R; tạiEvàF

1 Chứng minhCMHNlà hình chữ nhật Cho AH 4cm,BH 9cm Tính MN

3 Chứng minhMNlà tiếp tuyến chung hai đường tròn  O1  O2 Chứng minhCECFCH

Câu 37.Cho đường trịnO R; có hai đường kính vng gócABvà CD Gọi I trung điểm OB.Tia CI cắt đường tròn (O; R) E Nối AE cắt CD H; nối BD cắt AE K Chứng minh tứ giácOIEDnội tiếp

2 Chứng minh

AH AE R Tính tanBAE

4 Chứng minh OK vng góc với BD.

1 Chứng minh

AH ADAB

2 Chứng minh tam giác CAN cân A

3 Giả sử H trung điểm OD Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy HD, đường cao BH

4 Tìm vị trí M để diện tích tam giác ABN lớn

Câu 39. Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường trịn ACAB Dựng phía ngồiABCmột hình vng ACED Tia EA cắt nửa đường tròn F Nối BF cắt ED K

1 Chứng minh điểm B, C, D, K thuộc đường tròn Chứng minhABEK

3 Cho ABC30 ;o BC10cm Tính diện tích hình viên phần giới hạn dây AC cung nhỏ AC.

4 Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giácABClớn

Câu 40. Cho đường trịn (O;R) đường kính AC cố định Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn A Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn B (B khác A) Tiếp tuyến đường tròn C cắt AB D Nối OM cắt AB I, cắt cung nhỏ AB E

1 Chứng minh OIDC tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh tích AB.AD khơng đổi M di chuyển Ax Tìm vị trí điểm M Ax để AOBE hình thoi

4 Chứng minhODMC

Câu 41. Cho đường trịnO R; đường kính AB điểm C thuộc đường trịn Gọi M N điểm cung nhỏ AC BC Nối MN cắt AC I. HạNDAC Gọi E trung điểm BC Dựng hình bình hành ADEF

1 TínhMIC

2 Chứng minh DN tiếp tuyến đường tròn O R;  Chứng minh F thuộc đường tròn O R; 

4 Cho CAB30 ;o R30cm Tính thể tích hình tạo thành choABCquay vịng quanh AB

Câu 42. Cho đường tròn O R; với dây AB cố định Gọi I điểm cung lớn AB Điểm M thuộc cung nhỏ IB. Hạ AH IM AH; cắt BM C

1 Chứng minh IABvàMAClà tam giác cân

Câu 43.Cho đường trịnO R; đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên Ax lấy điểmK AK R Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O) Đường thẳng d AB

tại O, d cắt MB E

1 Chứng minh KAOM tứ giác nội tiếp;

2 OK cắt AM tại I Chứng minh OI.OK không đổi K chuyển động Ax; Chứng minh KAOE hình chữ nhật;

4 Gọi H trực tâm củaKMA Chứng minh K chuyển động Ax H thuộc đường tròn cố định

Câu 44. Cho đường tròn (O) đường kínhAB2 R Gọi C trung điểm OA Dây

MN AB C Trên cung MB nhỏ lấy điểm K Nối AK cắt NM H Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh tíchAH AK khơng đổi K chuyển động cung nhỏ MB Chứng minhBMNlà tam giác

4 Tìm vị trí điểm K để tổng KM KNKB lớn

Câu 45 Cho đường trịnO R; và điểm A ngồi đường trịn Qua A kẻ tiếp tuyến ,

AB ACtới đường tròn (B C tiếp điểm) I điểm thuộc đoạn BC IB IC Kẻ đường thẳng d OI I Đường thẳng d cắt AB, AC E F

1 Chứng minh OIBE OIFC tứ giác nội tiếp Chứng minh I trung điểm EF

3 K điểm cung nhỏ BC Tiếp tuyến đường tròn (O) K cắt AB; AC M N Tính chu viAMNnếuOA2R

4 Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB, AC P và Q Tìm vị trí A để APQ

S nhỏ

Câu 46 Cho đường tròn O  O' cắt hai điểmA B, phân biệt Đường thẳng

OA cắt    O ; O' điểm thứ haiC D, Đường thẳng O A' cắt    O ; O' điểm thứ haiE F,

1 Chứng minh đường thẳngAB CE, DFđồng quy điểm I Chứng minh tứ giácBEIFnội tiếp đường tròn

3 ChoPQlà tiếp tuyến chung của O và O' P O Q,  O'  Chứng minh đường thẳng

Câu 47. Cho hai đường tròn O R; vàO R'; 'với RR'cắt tạiAvà B Kẻ tiếp tuyến chungDEcủa hai đường tròn vớiD O vàE O' choBgần tiếp tuyến so với

A

1 Chứng minh rằngDABBDE

2 TiaABcắtDE tạiM Chứng minhMlà trung điểm củaDE

3 Đường thẳngEB cắtDAtại P, đường thẳngDBcắtAEtại Q Chứng minh rằngPQsong song vớiAB

Câu 48. Cho đường O R; và đường thẳng dkhông quaOcắt đường tròn hai điểm ,

A B Lấy điểmMtrên tia đối tiaBAkẻ hai tiếp tuyến MC MD, với đường tròn (C D, tiếp điểm) GọiHlà trung điểm củaAB;

1 Chứng minh điểmM D O H, , , nằm đường tròn

2 Đoạn OM cắt đường tròn tạiI Chứng minh rằngIlà tâm đường tròn nội tiếp tam giác

MCD

3 Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt tiaMC MD, thứ tự tạiPvà Q Tìm vị trí điểm Mtrên dsao cho diện tích tam giácMPQ bé

Câu 49.Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn O R;  Ba đường cao AD BE CF; ; cắt H GọiIlà trung điểmBC, vẽ đường kínhAK

1 Chứng minh ba điểmH I K, , thẳng hàng Chứng minhDA DH DB DC

3 Cho 

60 ; ABC 20

BAC S  cm Tính SABC

4 Cho BCcố định;Achuyển động cung lớnBCsao choABCcó ba góc nhọn Chứng minh điểmHln thuộc đường trịn cố định

Câu 50. Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính vng góc AB CD Lấy K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH ABtại H Nối AC cắt HK I, tia BC cắt HK E; nối AE cắt đường tròn (O;R) F

1 Chứng minh BHFE tứ giác nội tiếp Chứng minh EC.EB = EF.EA

3 Cho H trung điểm OA Tính theo R diện tíchCEF